02第四章 线性规划在工商管理中的
合集下载
第4章线性规划在工商管理中的应用ppt课件
解 设采购甲、乙、丙、丁四种食物的数量分别为 x1, x2 , x3 , x4 。则有
min z 0.8x1 0.5x2 0.9x3 1.5x4
1000x1 1500x2 1750x3 3250x4 4000
st.
0.6x1 0.27x2 0.68x3 0.3x4 1 17.5x1 7.5x2 30x4 30
4.3 套裁下料问题
例 4-5 某工厂要做 100 套钢架，每套用长 2.9m，2.1m 和 1.5m 的钢材各 一根，这些钢材从长 7.4m 的钢材上下料截取，问如何下料，可使用 7.4m 的 钢材根数最少。
解 对于本题首先要给出所有下料的方式，然后才能确定如何下料，下料 的方式选择上应该是多种方式的组合也就是套裁。所有的下料方式如表 4-6 所 示。
4.4 配料问题
例 4-6 某工厂要用三种原料 1、2、3 混合调配出三种不同规格的产品甲、 乙、丙，已知产品的规格要求、产品的单价、每天能供应的原材料的数量及原 材料单价如表 4-7。该厂应如何安排生产使利润最大？
表 4-7 产品规格要求、单价表
产品名称 甲
乙 丙
规格要求 原材料1不少于50%
原材料 2不超过 25% 原材料1不少于25%
4.2 生产计划问题
例 4-4 永久机场生产 1、2、3 三种产品，每种产品要经过 A、B 两道工 序加工。设该厂有两种规格的设备能完成 A 工序，他们以 A1 , A 2 表示，有三 种规格的设备能完成 B 工序，他们以 B1 , B2 , B3 表示，产品 1 可在 A、B 的 任何规格的设备上加工，产品 2 可在任何一种规格的 A 设备上加工，但完成 B 工序时，只能在 B1 设备上加工。产品 3 只能在 A 2 , B2 设备上加工。已知在
运筹学第4章 线性规划在工商管理中的应用
55
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
Page 16
则
min Z 340 x1 260 x2 180 x3 230 x4 190 x5 0.25 x1 0.4 x2 0.2 x4 0.08 x5 0.28 0.1x 0.15 x 0.2 x 0.05 x 0.15 1 3 4 5 0.1x1 0.05 x3 0.15 x5 0.1 0.25 x1 0.3 x2 0.2 x3 0.4 x4 0.17 x5 0.55 0.25 x 0.3 x 0.2 x 0.4 x 0.17 x 0.35 1 2 3 4 5 0.7 x1 0.7 x2 0.4 x3 0.8 x4 0.45 x5 1 x 0, j 1, 2, , 5 j
o.4
0
0.3
0.6
0.2
0.5
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
Page 11
则用料最少数学模型为:
min Z x j
j 1 10
2 x1 2 x 2 x3 x 4 x5 1000 x 2 x3 x 4 4 x6 3 x7 2 x8 x9 1000 1 x2 2 x 4 3 x5 x7 2 x8 4 x9 5 x10 1000 x j 0, j 1,2， 10
1.5m
1m 0.7m
种下料方案所用圆钢的根数。
2 x1 2 x2 x3 x4 x5 1000
x1
x2
x1
方案 1 2 1 0
2 x3 x4
2 x4 3x5
《管理运筹学》第4章线性规划在工商管理中的应用
6000 10000 4000 7000 4000
满负荷时的 设备费用
300 321 250 783 200
管理运筹学
9
§2 生产计划的问题
解：设 xijk 表示第 i 种产品，在第 j 种工序上的第 k 种设备上加工的
数量。建立如下的数学模型:
s.t. 5x111 + 10x211
≤ 6000
（ 设备 A1 ）
工，但对B工序，只能在B1设备上加工；Ⅲ只能在A2与B2设 备上加工。数据如表。问：为使该厂获得最大利润，应如
何制定产品加工方案？
设备
A1 A2 B1 B2 B3 原料（元/件） 售价（元/件）
产品单件工时
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
5
10
7
9
12
6
8
4
11
7
0.25 0.35 0.50
1.25 2.00 2.80
设备的 有效台时
管理运筹学
3
§1 人力资源分配的问题
例2．一家中型的百货商场，它对售货员的需求经过统 计分析如下表所示。为了保证售货人员充分休息，售货人 员每周工作5天，休息两天，并要求休息的两天是连续的。 问应该如何安排售货人员的作息，既满足工作需要，又使 配备的售货人员的人数最少？
时间 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
= -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33
约束条件： 从第1个表中有：
x11≥0.5(x11+x12+x13) x12≤0.25(x11+x12+x13) x21≥0.25(x21+x22+x23) x22≤0.5(x21+x22+x23)
满负荷时的 设备费用
300 321 250 783 200
管理运筹学
9
§2 生产计划的问题
解：设 xijk 表示第 i 种产品，在第 j 种工序上的第 k 种设备上加工的
数量。建立如下的数学模型:
s.t. 5x111 + 10x211
≤ 6000
（ 设备 A1 ）
工，但对B工序，只能在B1设备上加工；Ⅲ只能在A2与B2设 备上加工。数据如表。问：为使该厂获得最大利润，应如
何制定产品加工方案？
设备
A1 A2 B1 B2 B3 原料（元/件） 售价（元/件）
产品单件工时
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
5
10
7
9
12
6
8
4
11
7
0.25 0.35 0.50
1.25 2.00 2.80
设备的 有效台时
管理运筹学
3
§1 人力资源分配的问题
例2．一家中型的百货商场，它对售货员的需求经过统 计分析如下表所示。为了保证售货人员充分休息，售货人 员每周工作5天，休息两天，并要求休息的两天是连续的。 问应该如何安排售货人员的作息，既满足工作需要，又使 配备的售货人员的人数最少？
时间 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
= -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33
约束条件： 从第1个表中有：
x11≥0.5(x11+x12+x13) x12≤0.25(x11+x12+x13) x21≥0.25(x21+x22+x23) x22≤0.5(x21+x22+x23)
第4章 线性规划在工商管理中的应用14366 (2)
管
理
运
筹
学
22
§2
生产计划的问题
解：设 x1,x2,x3 分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种 产品的件数，x4,x5 分别为由外协铸造再由本公司加工和装配的甲、乙两
种产品的件数。
求 xi 的利润：利润 = 售价 - 各成本之和 产品甲全部自制的利润 =23-(3+2+3)=15
产品甲铸造外协，其余自制的利润
管 理 运 筹 学
17
2、产品配套问题
例1-8 某产品由两个零件I和三个 零件II组成，每个零件均可由三个车间 各自生产，但各车间的生产效率和总工 时限制各不相同，表中给出了有关信息。 试确定各车间生产每种零件的工作时间， 使生产产品的件数最多。
管 理 运 筹 学
18
例1-8有关信息表
生产效率（件/小时） 车 间 1 2 3 总 工 时 100 50 75 零件 I 8 10 16 零件 II 6 15 21 生产工时数 零件 I 零件 II
第四章 线性规划在工商管理中的应用
• §1 • §2 • §3 • §4 • §5 人力资源分配的问题 生产计划的问题 套裁下料问题 配料问题 投资问题
管 理 运 筹 学
1
§1
人力资源分配的问题
例1．某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机 和乘务人员数如下：
班次 1 2 3 4 5 6 时间 6：00 —— 10：00 10：00 —— 14：00 14：00 —— 18：00 18：00 —— 22：00 22：00 —— 2：00 2：00 —— 6：00 所需人数 60 70 60 50 20 30
x11 x 21 x 31
x12 x 22 x 32
3第四章 线性规划在工商管理中的
做法二：套裁法。
x1
方案1 2.9 1 2.1 0 1.5 3 合计(m) 7.4 料头(m) 0
x2
方案2 2 0 1 7.37.2 0.2
x4
方案4 1 2 0 7.1 0.3
x5
方案5 0 1 3 6.6 0.8
设xi (i=1,2,…5)表示按照方案i下料的原材料的根 数，则该问题的数学模型如下：
工时与成本
每件铸造工时 （小时） 每件机械加工工时 （小时）
甲
5 6
乙
10 4
丙
7 8
每件装配工时 （小时）
自行生产铸件每件 成本（元） 外包协作铸件每件 成本（元） 机械加工每件成本 （元） 装配每件成本（元） 每件产品售价（元）
3
3 5 2 3 23
2
5 6 1 2 18
2
4 ----3 2 16
知识点的回顾
16、可行解一定是最优解； 17、最优解不一定（一定）是可行解
第四章 线性规划在工商管理中 的应用
• • • • • • 一、人力资源分配的问题 二、生产计划问题 三、套裁下料问题 四、配料问题 五、运输问题 六、投资问题
一、人力资源分配的问题
• 例1、某昼夜服务的公交线路每天各时间段 内所需司机和乘务人员人数如表所示，设 司机和乘务人员分别在各时间段开始时上 班，并连续工作八小时，问该公交线路应 怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作 需要，又使配备司机和乘务人员的人数最 少？
x1
x7
x2
x8
x3
x4
x5
x6
甲：（A1，B1) , (A1,B2), (A1,B3), (A2,B1), (A2,B2), (A2,B3)六种方案 乙：（A1，B1），（A2，B1）两种方案 丙：（A2，B2）一种方案
运筹学04线性规划问题在工商管理中的应用
线性规划在工商管理中的应用
§1 §2 §3 §4
人力资源分配的问题 生产计划的问题 套裁下料问题 投资问题
1
4.1 人力资源分配问题
例1．某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机 和乘务人员数如下：
班次 1 2 3 4 5 6
时间 6：00 —— 10：00 10：00 —— 14：00 14：00 —— 18：00 18：00 —— 22：00 22：00 —— 2：00 2：00 —— 6：00
所需人数 60 70 60 50 20 30
设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并 连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员， 既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?
2
4.1 人力资源分配问题
解：设 xi 表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员数,
这样我们建立如下的数学模型。
4
4.1 人力资源分配问题
解：设 xi ( i = 1,2,…,7)表示星期一至日开始休息的人数,
这样我们建立如下的数学模型。
目标函数： Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 约束条件：s.t. x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≥ 28
x2 + x3 + x4 + x5 + x6 ≥ 15 x3 + x4 + x5 + x6 + x7 ≥ 24 x4 + x5 + x6 + x7 + x1 ≥ 25 x5 + x6 + x7 + x1 + x2 ≥ 19 x6 + x7 + x1 + x2 + x3 ≥ 31 x7 + x1 + x2 + x3 + x4 ≥ 28
§1 §2 §3 §4
人力资源分配的问题 生产计划的问题 套裁下料问题 投资问题
1
4.1 人力资源分配问题
例1．某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机 和乘务人员数如下：
班次 1 2 3 4 5 6
时间 6：00 —— 10：00 10：00 —— 14：00 14：00 —— 18：00 18：00 —— 22：00 22：00 —— 2：00 2：00 —— 6：00
所需人数 60 70 60 50 20 30
设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并 连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员， 既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?
2
4.1 人力资源分配问题
解：设 xi 表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员数,
这样我们建立如下的数学模型。
4
4.1 人力资源分配问题
解：设 xi ( i = 1,2,…,7)表示星期一至日开始休息的人数,
这样我们建立如下的数学模型。
目标函数： Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 约束条件：s.t. x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≥ 28
x2 + x3 + x4 + x5 + x6 ≥ 15 x3 + x4 + x5 + x6 + x7 ≥ 24 x4 + x5 + x6 + x7 + x1 ≥ 25 x5 + x6 + x7 + x1 + x2 ≥ 19 x6 + x7 + x1 + x2 + x3 ≥ 31 x7 + x1 + x2 + x3 + x4 ≥ 28
线性规划在工商管理中的应用
线性规划在工商管理中的应用
一、引言
线性规划是一种数学优化方法，可以帮助在给定约束条件下找到最优解，其在工商管理中有着广泛的应用。
本文将探讨线性规划在工商管理中的具体应用情况。
二、供应链管理中的线性规划应用
供应链管理是工商管理中一个重要的领域，线性规划可以帮助优化供应链中的货物流动和库存管理。
通过优化运输路线和库存水平，企业可以降低成本，提高效率。
三、生产计划中的线性规划应用
线性规划可以帮助企业制定最优生产计划，平衡生产能力和市场需求之间的关系。
通过合理安排生产资源和生产顺序，企业可以实现生产成本最小化和生产效率最大化。
四、营销策略中的线性规划应用
在制定营销策略时，线性规划可以帮助企业确定最优的销售推广方式和渠道选择，以最大化收益。
通过考虑市场需求和销售成本等因素，企业可以制定更具有效果的营销策略。
五、人力资源管理中的线性规划应用
线性规划在人力资源管理中也有着重要的应用，例如员工排班和资源分配等方面。
通过线性规划方法，企业可以合理安排员工工作时间和工作任务，以提高员工效率和满足企业需求。
六、财务管理中的线性规划应用
在财务管理中，线性规划可以帮助企业进行财务规划和资金管理。
通过优化投资组合和资金分配，企业可以实现财务风险的最小化和资金利用效率的最大化。
结论
综上所述，线性规划在工商管理中有着广泛的应用，可以帮助企业优化决策和提高经营效率。
在实际运营中，企业可以结合线性规划方法，制定更科学合理的管理策略，从而实现经济效益的最大化。
第四章线性规划在工商管理中的应用
了星期六开始休息和星期日开始休息的人外都应该上
班，即有x1+x2+x3+x4+x5≥28，
目标函数: min x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
约束条件: x1 x2 x3 x4 x5 28
喂！请问数学模型？
x2 x3 x4 x5 x6 15
为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作五 天，休息两天，并要求休息的两天是连续的，问应该 如何安排售货人员的作息，既满足了工作需要，又使 配备的售货人员的人数最少?
解：设x1为星期一开始休息的人数，x2为星期二开始休 息的人数，…，x7为星期日开始休息的人数。目标是要求 售货人员的总数最少。因为每个售货员都工作五天，休息
1
广西大学
王中昭 制作
2
0
0.3
0
2.25
3
4000
0
从对偶价格栏可知铸造每工时的对偶价格为0.3元，
机加工每工时的对偶价格为2.25元，装配每工时的对偶
价格为零元。这样如果有人以低于铸造和机加工的对偶
价格来提供铸造及机加工的工时则可以购入来获取差价
（例如外协铸造工时价格低于0.3元，则外协铸造合算)。
两天，所以只要计算出连续休息两天的售货员人数，也就
计算出了售货员的总数。把连续休息两天的售货员按照开
始休息的时间分成7类，各类的人数分别为X1，X2，…X7，
即有目标函数: min X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7
6
模型：
广西大学 再按照每天所需售货员的人数写出约束条件，例如
王中昭
制星作 期日需要28人，我们知道商场中的全体售货员中除
管理运筹学4线性规划在工商管理中的应用1-文档资料
第四章 线性规划在工商管理中的应用
• §1 • §2 • §3 • §4 • §5
人力资源分配的问题 生产计划的问题 套裁下料问题 配料问题 投资问题
管理运筹学
1
§1 人力资源分配的问题
例1．某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机 和乘务人员数如下：
班次
时间
所需人数
1
6：00 —— 10：00
60
2 10：00 —— 14：00
70
3 14：00 —— 18：00
60
4 18：00 —— 22：00
50
5
22：00 —— 2：00
20
6
2：00 —— 6：00
30
设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并 连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员， 既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?
x11+ x21 + x31 ≤ 100 (供应量限制） x12+ x22 + x32 ≤ 100 (供应量限制） x13+ x23 + x33 ≤ 60 (供应量限制）
xij ≥ 0 , i = 1,2,3; j = 1,2,3
管理运筹学
18
§4 配料问题
例7.汽油混合问题。一种汽油的特性可用两种指标 描述，用“辛烷数”来定量描述其点火特性，用 “蒸汽压力”来定量描述其挥发性。某炼油厂有1、 2、3、4种标准汽油，其特性和库存量列于表4-6中， 将这四种标准汽油混合，可得到标号为1，2的两种 飞机汽油，这两种汽油的性能指标及产量需求列于 表4-7中。问应如何根据库存情况适量混合各种标准 汽油，既满足飞机汽油的性能指标，又使2号汽油满 足需求，并使得1号汽油产量最高？
• §1 • §2 • §3 • §4 • §5
人力资源分配的问题 生产计划的问题 套裁下料问题 配料问题 投资问题
管理运筹学
1
§1 人力资源分配的问题
例1．某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机 和乘务人员数如下：
班次
时间
所需人数
1
6：00 —— 10：00
60
2 10：00 —— 14：00
70
3 14：00 —— 18：00
60
4 18：00 —— 22：00
50
5
22：00 —— 2：00
20
6
2：00 —— 6：00
30
设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并 连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员， 既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?
x11+ x21 + x31 ≤ 100 (供应量限制） x12+ x22 + x32 ≤ 100 (供应量限制） x13+ x23 + x33 ≤ 60 (供应量限制）
xij ≥ 0 , i = 1,2,3; j = 1,2,3
管理运筹学
18
§4 配料问题
例7.汽油混合问题。一种汽油的特性可用两种指标 描述，用“辛烷数”来定量描述其点火特性，用 “蒸汽压力”来定量描述其挥发性。某炼油厂有1、 2、3、4种标准汽油，其特性和库存量列于表4-6中， 将这四种标准汽油混合，可得到标号为1，2的两种 飞机汽油，这两种汽油的性能指标及产量需求列于 表4-7中。问应如何根据库存情况适量混合各种标准 汽油，既满足飞机汽油的性能指标，又使2号汽油满 足需求，并使得1号汽油产量最高？
管理运筹学4线性规划在工商管理中的应用
管理运筹学4线性规划在工商管理 中的应用
contents
目录
• 线性规划的概述 • 线性规划在工商管理中的应用 • 线性规划的求解方法 • 线性规划的案例分析
01 线性规划的概述
线性规划的定义
线性规划是运筹学的一个重要分支， 它通过建立数学模型，求解线性目标 函数在一定约束条件下的最优解。
线性规划广泛应用于生产计划、物资 管理、运输优化、金融投资等领域。
线性规划在生产计划中应用广泛，通过合理安排生产任务和资源，降低生产成 本，提高生产效率。例如，某制造企业使用线性规划模型优化其生产线上的任 务分配，以最小化生产成本并最大化产量。
资源分配优化案例
总结词
资源分配优化
详细描述
线性规划可以帮助企业合理分配资源，实现资源利用的最大化。例如，某航空公 司使用线性规划模型优化其航班和机组人员的调度，以最小化运营成本并最大化 航班收益。
资金分配
线性规划可以用于资金分配，根据不同项目的投资回报率和风险， 合理分配资金，实现投资效益的最大化。
运输问题
1 2 3
货物运输
线性规划可以用于优化货物运输方案，根据货物 的目的地、运输成本和运输时间，选择最佳的运 输方式和路线。
人员运输
线性规划可以用于优化人员运输方案，根据人员 的出行需求、运输成本和时间，选择最佳的交通 工具和路线。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
生产成本控制
线性规划可以用于控制生产成本， 通过优化生产过程中的资源消耗 和成本投入，实现生产成本的最
小化。
资源分配问题
人力分配
线性规划可以用于合理分配人力资源，根据不同任务的需求和人 员的技能，优化人员配置，提高工作效率。
contents
目录
• 线性规划的概述 • 线性规划在工商管理中的应用 • 线性规划的求解方法 • 线性规划的案例分析
01 线性规划的概述
线性规划的定义
线性规划是运筹学的一个重要分支， 它通过建立数学模型，求解线性目标 函数在一定约束条件下的最优解。
线性规划广泛应用于生产计划、物资 管理、运输优化、金融投资等领域。
线性规划在生产计划中应用广泛，通过合理安排生产任务和资源，降低生产成 本，提高生产效率。例如，某制造企业使用线性规划模型优化其生产线上的任 务分配，以最小化生产成本并最大化产量。
资源分配优化案例
总结词
资源分配优化
详细描述
线性规划可以帮助企业合理分配资源，实现资源利用的最大化。例如，某航空公 司使用线性规划模型优化其航班和机组人员的调度，以最小化运营成本并最大化 航班收益。
资金分配
线性规划可以用于资金分配，根据不同项目的投资回报率和风险， 合理分配资金，实现投资效益的最大化。
运输问题
1 2 3
货物运输
线性规划可以用于优化货物运输方案，根据货物 的目的地、运输成本和运输时间，选择最佳的运 输方式和路线。
人员运输
线性规划可以用于优化人员运输方案，根据人员 的出行需求、运输成本和时间，选择最佳的交通 工具和路线。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
生产成本控制
线性规划可以用于控制生产成本， 通过优化生产过程中的资源消耗 和成本投入，实现生产成本的最
小化。
资源分配问题
人力分配
线性规划可以用于合理分配人力资源，根据不同任务的需求和人 员的技能，优化人员配置，提高工作效率。
运筹学线性规划在工商管理中的应用PPT课件
目标函数： Max 15x1 + 10x2 + 7x3 + 13x4 + 9x5 约束条件： 5x1 + 10x2 + 7x3 ≤ 8000
6x1 + 4x2 + 8x3 + 6x4 + 4x5 ≤ 12000 3x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4 + 2x5 ≤ 10000
x1,x2,x3,x4,x5 ≥ 0
x11+ x21 + x31 ≤ 100 (供应量限制） x12+ x22 + x32 ≤ 100 (供应量限制） x13+ x23 + x33 ≤ 60 (供应量限制）
xij ≥ 0 , i = 1,2,3; j = 1,2,3
管理运筹学
23
§4 配料问题
例7.汽油混合问题。一种汽油的特性可用两种指标描述，用 “辛烷数”来定量描述其点火特性，用“蒸汽压力”来定量 描述其挥发性。某炼油厂有1、2、3、4种标准汽油，其特性 和库存量列于表4-6中，将这四种标准汽油混合，可得到标号 为1，2的两种飞机汽油，这两种汽油的性能指标及产量需求 列于表4-7中。问应如何根据库存情况适量混合各种标准汽油， 既满足飞机汽油的性能指标，又使2号汽油满足需求，并使得 1号汽油产量最高？
2.9米 2.1米 1.5米
7.4米 各100根
管理运筹学
15
方案序号 2.9米 2.1米 1.5米 余料
1
2
0
1 0.1
2
1
2
0 0.3
3
1
1
1 0.9
4
1
0
3 0.0
5
6x1 + 4x2 + 8x3 + 6x4 + 4x5 ≤ 12000 3x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4 + 2x5 ≤ 10000
x1,x2,x3,x4,x5 ≥ 0
x11+ x21 + x31 ≤ 100 (供应量限制） x12+ x22 + x32 ≤ 100 (供应量限制） x13+ x23 + x33 ≤ 60 (供应量限制）
xij ≥ 0 , i = 1,2,3; j = 1,2,3
管理运筹学
23
§4 配料问题
例7.汽油混合问题。一种汽油的特性可用两种指标描述，用 “辛烷数”来定量描述其点火特性，用“蒸汽压力”来定量 描述其挥发性。某炼油厂有1、2、3、4种标准汽油，其特性 和库存量列于表4-6中，将这四种标准汽油混合，可得到标号 为1，2的两种飞机汽油，这两种汽油的性能指标及产量需求 列于表4-7中。问应如何根据库存情况适量混合各种标准汽油， 既满足飞机汽油的性能指标，又使2号汽油满足需求，并使得 1号汽油产量最高？
2.9米 2.1米 1.5米
7.4米 各100根
管理运筹学
15
方案序号 2.9米 2.1米 1.5米 余料
1
2
0
1 0.1
2
1
2
0 0.3
3
1
1
1 0.9
4
1
0
3 0.0
5
02第四章线性规划在工商管理中的
设备
产品单件工时（小时/件） 设备的有
效台时
甲
乙
丙 （小时）
A1 5 A
A2 7 B1 6
B B2 4
B3 7
10
9
12
8
11
原料费(元/件) 0.25 0.35 0.5
6000 10000 4000 7000 4000
单价(元/件) 1.25 2
2.8
解：根据题意，生产三种产品分别有如下几种方案：
x5
方案5 0 1 3 6.6 0.8
设xi (i=1,2,…5)表示按照方案i下料的 原材料的根数，则该问题的数学模型
如下：
Minz=x1+x2+x3+x4+x5 x1+2x2+x4≥100
s.t. 2x3+2x4+x5≥100 3x1+x2+2x3+3x5≥100 x1,x2,x3,x4,x5 ≥0
时间 星期五 星期六 星期日
所需售货员人数 31 28 28
• 解：设x i表示在星期i开始休息的人数 (i=1,2,…,7) ，z表示所需的总人数，则根 据题意，得到原问题的数学模型为:
m z x 1 i n x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7
X1+x2+x3+x4+x5≥28 x2+x3+x4+x5+X6≥15 x3+x4+x5+X6+x7≥24 s.t. x4+x5+ X6+x7+x1≥25 x5+X6+x7+X1+x2≥19 X6+x7+X1+x2+x3≥31 x7+X1+x2+x3+x4≥28 X1,x2,x3,x4,x5,x6,x7≥0
线性规划在工商管理中的应用
线性规划在工商管理中的应用摘要线性规划是运筹学的一个重要分支，它被广泛应用于工业、农业、商业等领域，来解决实际中的问题。
本文通过介绍线性规划及其在工商管理中应用的实例，来说明它在工商管理中的重要作用。
关键词运筹学；线性规划；方法；应用1.线性规划在工商管理中运用的广泛性工商管理[1]是研究工商企业经济管理基本理论和一般方法的学科，它通过运用现代管理的方法和手段来进行有效的企业管理和经营决策，保证企业的生存和发展。
在当今社会，随着市场竞争的日益加剧，如何统筹安排，合理利用有限的人力、物力、财力等资源，使总的经济效益最好，已经成为企业经营管理过程中实现利益最优必须解决的问题。
例如：人力资源分配：用最少的劳动力来满足工作的需要?产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获利最大?套裁下料：如何在保证生产的条件下，下料最少?配料问题：在原料供应量的限制下如何获取最大利润?投资问题：从投资项目中选取方案，使投资回报最大?运输问题：如何制定调运方案，使总运费最小?这样的问题常常可以化成或近似地化成“线性规划”（Linear Programming, 简记为LP）问题。
线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好。
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题[2]。
利用线性规划我们可以解决很多问题，例如上述人力资源分配、计划安排、套裁下料等诸多方面的问题，在本文的后面我们将用线性规划方法对企业在生产中的具体问题进行探讨。
2.线性规划的模型线性规划[2]是运筹学的一个重要分支。
自1947年丹捷格（G. B. Dantzig ）提出了一般线性规划问题求解的方法——单纯形法之后，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。
特别是在电子计算机能处理成千上万个约束条件和决策的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，它已是现代科学管理的重要手段之一了。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
乙：（A1，B1），（A2，B1）两种方案 x31 丙：（A2，B2）一种方案
设i=1,2,3分别表示甲、乙、丙三种产品；
j=1,2,….分别表示第j个方案；
xij表示第i种产品采用第j个方案进行加工的产品的数量
三、套裁下料问题
• 例6、 某工厂要做100套钢架，每套钢架 需要长度分别为2.9m，2.1m和1.5m的圆 钢各一根。已知原料每根长7.4m，问应 该如何下料，可使所用原料最省？
11
7000 4000
0.25 1.25
0.35 2
0.5 2.8
思考！
决策变量的另一种表示方法：
根据题意，生产三种产品分别有如下几种方案：
x11 x12 x13 x14 x15 x16 甲：（A1，B1) , (A1,B2), (A1,B3), (A2,B1), (A2,B2), (A2,B3)六种方案 x21 x22
某厂生产甲、乙两种产品，要消耗A、B、
要A 、B、C资源分别是2、1、3， 资源A 、B、 产品的单位利润分别是1500、2500，问如何
安排生产计划，使得既能充分利用现有资源又
使总利润最大 ？
x1
产品甲 资源A 3
x2
产品乙 2 资源的限制 65
资源B 资源C
单位利润
2 0
1500
1 3
2500
班次
1 2 3
时间
6:00-10:00 10:00-14:00 14:00-18:00
所需 人数 60 70 60
班次
4 5 6
时间
18:00-22:00 22:00-2:00 2:00-6:00
所需 人数 50 20 30
• .解：设x i表示在第i个时期初开始工作的司
机和乘务人员人数(i=1,2,…,6)，z表示所需 的总人数，则根据题意，得到原问题的数学 模型为:
min z x1 x2 x3 x4 x5 x6 st. x1 x6 60 x x2 70 1 x2 x3 60 x3 x4 50 x4 x5 20 x5 x6 30 xi (i 1, 2.3.4.5.6) 0
• 解：设x i表示在星期i开始休息的人数 (i=1,2,…,7) ，z表示所需的总人数，则根 据题意，得到原问题的数学模型为:
min z x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
X1+x2+x3+x4+x5≥28 x2+x3+x4+x5+X6≥15 x3+x4+x5+X6+x7≥24
0.5 2.8
解：根据题意，生产三种产品分别有如下几种方案：
x1 x2 x3 x4 x5 x6 甲：（A1,B1) , (A1,B2), (A1,B3), (A2,B1), (A2,B2), (A2,B3)六种方案 x7 x8 乙：（A1,B1），（A2，B1）两种方案 x9 丙：（A2,B2）一种方案 xi表示采用第i种方案进行加工的某种产品的数量(i=1,2,…,9)
x1 x2 x3 x4 x5 x6 甲：（A1,B1) , (A1,B2), (A1,B3), (A2,B1), (A2,B2), (A2,B3)六种方案 x7 x8 乙：（A1，B1），（A2，B1）两种方案 x9 丙：（A2，B2）一种方案
令xi表示采用第i种方案进行加工的某种产品的数量(i=1,2,…,9)
s.t.
x4+x5+ X6+x7+x1≥25
x5+X6+x7+X1+x2≥19 X6+x7+X1+x2+x3≥31 x7+X1+x2+x3+x4≥28 X1,x2,x3,x4,x5,x6,x7≥0
二、生产计划问题
• 例3、某公司面临一个是外包协作还是自行生产 的问题。该公司有甲、乙、丙三种产品，这三 种产品都要经过铸造、机械加工和装配三道工 序，甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦 可以自行生产，但产品丙必须由本厂铸造才能 保证质量，有关情况如表所示，公司中可利用 的总工时为：铸造8000小时，机械加工12000 小时和装配10000小时。为了获得最大利润， 甲乙丙三种产品各应生产多少件？甲、乙两种 产品的铸件有多少由本公司铸造？有多少为外 包协作？
一般情况，决策变量只取大于等于0的值（非负值） x1 0, x2 0
用max表示最大值，s.t.（subject to的简写） 表示约束条件， 得到该问题的数学模型为：
目标函数
max Z=1500x1+2500x2 3x1+2x2 65 s.t. 2x1+ x2 40 3x2 75 x1, x2 0
40 75
解： 1．确定决策变量：
设x1表示生产甲产品的数量；x2表示生产乙产品的数量
2．确定目标函数：工厂的目标是总利润最大
z=1500x1+2500x2
3．确定约束条件：
3x1+2x265（A资源的限制） 2x1+ x2 40（B资源的限制） 3x2 75（C资源的限制）
4．变量取值限制：
xi≥0 (i=1,2,…,9)
整理得：
Maxz= x1+x2+x3+x4+x5+x6 +1.35x7+1.65x8+2.3x9
5x1+5x2+5x3 7x4+7x5+7x6 +10x7 ≤6000 +9x8+12x9 ≤10000
s.t.
6x1
4x2 7x3
+6x4
+4x5 +7x6
+8x7 +8x8
Maxz= (1.25-0.25)(x1+x2+x3+x4+x5+x6)+(2-0.35)(x7+x8)+(2.8-0.5)x9 5(x1+x2+x3)+10x7≤6000 7(x4+x5+x6)+9x8+12x9 ≤10000
s.t.
6(x1+x4)+8x7 +8x8 ≤4000
4(x2+x5)+11x9≤7000 7(x3+x6) ≤4000
整理得： Maxz=15x +10x +7x +13x +9x
1 2 3 4
5
5X1+10x2+7x3≤8000
s.t. 6x1+ 4x2+8x3+6x4 +4x5≤ 12000 3x1+2x2+2x3+3X4+2x5≤ 10000 X1,x2,x3,x4,x5≥0
例4、永久机械厂生产甲、乙、丙三种产品，每种产品 均要经过A、B两道加工工序。设该厂有两种规格的设 备能完成工序A，它们以A1、A2表示；有三种规格的 设备能完成工序B，它们以B1、B2、B3表示。产品甲 可在工序A和B的任何规格的设备上加工；产品乙可在 工序A的任何一种规格的设备上加工，但完成工序B时， 只能在设备B1上加工；产品丙只能在设备A2与B2上 加工。已知在各种设备上加工的单件工时、各种设备 的有效台时如表所示。另外已知产品甲、乙、丙的原 料单价分别为0.25元/件、0.35元/件和0.5元/件，销售 单价分别为1.25元/件、2元/件和2.8元/件，要求制定 最优的产品加工方案，使该厂利润最大。
设备
产品单件工时（小时/件） 设备的有 效台时 （小时） 甲 乙 丙 5 10 6000
满负荷时 的设备费 用（元） 300
A
A1
A2
B1 B B2 B3
原料费(元/件) 单价(元/件)
7
6 4 7
9
8
12
10000
4000
321
250 783 200
11
7000 4000
0.25 1.25
0.35 2
x4
方案4 1 2 0 7.1 0.3
设备
产品单件工时（小时/件） 设备的有 效台时 （小时） 甲 乙 丙 5 10 6000
A
A1
A2
B1 B B2 B3
原料费(元/件) 单价(元/件)
7
6 4 7
9
8
12
10000
4000
11
7000 4000
0.25 1.25
0.35 2
0.5 2.8
解：根据题意，生产三种产品分别有如下几种方案：
解：做法一：截取法。
每根原材料中各截取一根组成一套，2.9+2.1+1.5=6.5 每根料头0.9m, 100根90m料头，浪费
做法二：套裁法。
x1
方案1 2.9 1 2.1 0 1.5 3 合计(m) 7.4 料头(m) 0
x2
方案2 2 0 1 7.3 0.1
x3
方案3 0 2 2 7.2 0.2
工时与成本
每件铸造工时 （小时） 每件机械加工工时 （小时） 每件装配工时 （小时） 自行生产铸件每件 成本（元） 外包协作铸件每件 成本（元）
甲 5 6
乙 10 4
丙 7 8
限制工时
8000 12000
3
3
2
5
2
4
10000
5 2
3
6 1
2
----3
2
机械加工每件成本 （元）
装配每件成本（元）
每件产品售价（元）
约束条件 决策变量
运筹学数学模型三要素： 决策变量 目标函数 约束条件