云南省昆明一中高三第一次摸底考试数学(理) Word版(含答案)精编版

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云南省昆明市第一中学2021届高三高中新课标第一次摸底测试数学(理)答案

昆明市第一中学2021届摸底考试参考答案（理科数学）一、选择题1.解析：因为112+=，所以1i i z ==-，所以复数z 在复平面内对应的点的坐标为()0,1-，选B ．2. 解析：因为集合{}[]2211,1A x x y =+==-，集合{[)0,B y y ===+∞，所以[]0,1AB =，选A ．3. 解析：因为抛物线的焦点为(,0)2p，双曲线的渐近线为0x y ±=，所以抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为d ==0p >，所以2p =，选C ． 4. 解析：由等高堆积条形图1可知，不管是文科还是理科，女生占比均高于男生，故样本中的女生数量多于男生数量，A 错误；从图2可以看出男生和女生中选择理科的人数均高于选择文科的人数，选C ．5. 解析：由题意，若三位数的回文数是偶数，则末（首）位可能为2，4，6，8，另外中间一位数有10种可能，所以有41040⨯=个，选A ．6. 解析：函数的定义域是(0,)+∞，2243(1)(4)()1x x f x x x x +-=--=＇，令()0f x <＇，解得04x <<，故函数4()3ln f x x x x=+-在(0,4)上单调递减，选D ． 7. 解析：由三视图可知，该几何体是圆锥的一部分，观察到正视图中1和2的分界线可知俯视图是圆心角为120︒的扇形，故该几何体的体积为π91642π31312=⨯⨯⨯=V ，选C ． 8. 解析：令0y =，4x =；0x =，2y =.所以(4,0)A ，(0,2)B ，所以AB ==，选C ． 9. 解析：由题意，()()()()255221441x x x x x -+=-++，52232551a x x C x =⋅⋅14541x C x -⋅⋅055546C x x +⨯=-，所以56a =-，选C ．10. 解析：由题意，△SAB 是以AB 斜边的直角三角形，以三角形SAB 所在平面截球所得的小圆面圆心在AB 中点，又因为平面⊥SAB 平面ABC ，所以平面ABC 截球所得平面即为大圆.因为△ABC 是边长为3的正三角形，其外接圆半径3333=⨯=R ，故该三棱锥外接球的半径3=R ，其表面积π12π42==R S ，选D ．11. 解析：解析：因为)(x f 的最小正周期为π，故2=ω，将其向右平移3π后所得图像对应的解析式为)32π2sin()(-+=ϕx x g ，又)(x g 为奇函数，所以π32πk =-ϕ，2π<ϕ，解得3π-=ϕ，故)3π2sin()(-=x x f .令π2π3π2k x +=-（Z ∈k ），解得2π125πk x +=（Z ∈k ），取1-=k ，12π-=x ，故①正确；令π3π2k x =-（Z ∈k ），解得2π6πk x +=（Z ∈k ），)(x f 的对称中心为⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,2π6πk （Z ∈k ），②正确；又由π22π3π2π22π3k x k +-≤-≤+-（Z ∈k ），取0=k 知⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12π,12π7是原函数的一个单调递减区间，又⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⊆⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12π,2π712π,2π，故③正确；对于④，函数在此区间上的零点只有3π2，6π7两个，故错误，综上所述正确结论的编号为①②③，选A ．12. 解析：依题意函数()f x 的图象关于y 轴及直线2x =对称，所以()f x 的周期为4，作出[]2,0x ∈-时()f x 的图象，由()f x 的奇偶性和周期性作出()f x 的图象，关于x 的方程()log (2)0a f x x -+=恰有三个不同的实数根，可转化为函数()f x 与log (2)a y x =+的图象有三个不同的交点，由数形结合可知log (22)3log (62)3a a +<⎧⎨+>⎩，解得2322a <<，选B ．二、填空题13. 解析：如图所示y x z +=2在()2,2A 处取得最大值，且2226z =⨯+=．14. 解析：由b a b a 2-=+平方可得：21122a b b ⋅==，所以a 在b 方向上的投影是12a b b ⋅=． 15. 解析：由题意可得，直线:210l x --=过抛物线2:4C y x =的焦点(1,0)F ，设P 、Q 在l 上的射影分别是1P 、1Q ，过Q 作1QM PP ⊥于M ．由抛物线的定义可得出Rt PQM △中，得45BAE ∠=︒，1112cos451PP QQ PM PF QF PQ PF QF PF QF λλ---︒=====+++323λ=+ 16. 解析：因为BD ⊥平面1ACC ，所以BD CE ⊥，故①对；因为点C 到直线EF 的距离是定值，点B 到平面CEF 的距离也是定值，所以三棱锥B CEF -的体积为定值，故②对；线段EF 在底面ABCD 上的正投影是线段GH ，所以△BEF 在底面ABCD 内的正投影是△BGH .又因为线段EF 的长是定值，所以线段GH 是定值，从而△BGH 的面积是定值，故③对；设平面ABCD 与平面1DEA 的交线为l ，则在平面ABCD 内与直线l 平行的直线有无数条，故④对.所以正确结论是①②③④．HGA 1EB 1CD F AD 1C 1三、解答题（一）必考题17. 解：（1）由1121S a =-得：11a =，因为11(2)(2(1))n n n n S S a n a n ---=---- (2)n ≥，所以121n n a a -=+ (2)n ≥，所以2121=3a a =+，3221=7a a =+；由此猜想数列{}n a 的通项公式21n n a =-；证明：因为121n n a a -=+ (2)n ≥，所以112(1)n n a a -+=+，所以1121n n a a -+=+(2)n ≥，所以{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，所以12n n a +=，即：21n n a =-.（用数学归纳法证明也可） ………6分（2）由（1）得21n n a =-，所以()32313523222(2)n n a a a a n +++++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-+22(14)(2)14n n +-=-+-252383n n +--=. ………12分18. 解：（1）证明：因为//AB CD ，AB AD ⊥，且121===CD AD AB ，可得2BD BC ==，2=CD ，所以BD BC ⊥又平面⊥ADEF 平面ABCD ，平面 ADEF 平面AD ABCD =，四边形ADEF 是矩形，AD ED ⊥，⊂ED 平面ABCD ，可得⊥ED 平面ABCD ，⊂BC 平面ABCD ，则ED BC ⊥，BD ，ED ⊂平面BDE ，D ED BD = ，故⊥BC 平面BDE ， BC ⊂平面BCE ，所以，平面BCE ⊥平面BDE ． ………6分（2）由（1）知△BCE ，△BDE ，△CDE 都是直角三角形，030BEC ∠=．设a ED =，则42+=a CE ，2=BC ，BC CE 2=， 2442⨯=+a ，解得2=a ，如图以点D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DE 为z 轴建立空间直角坐标系.可得)0,1,1(B ，)0,2,0(C ，)2,0,0(E ，)2,0,1(F ，故），，（211-=EB ，），，（001=EF ，），，（220-=EC ，设），，（z y x m =为平面BEF 的一个法向量，则 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0EF m EB m ，得），，（120--=m ，同理可得平面BCE 的一个法向量为），，（111=n ，设二面角C BE F --的平面角为α， nm n m n m ⋅>=<,cos 35120⋅-+-+=）（）（551-=， =αcos ><n m ,cos 515-=，所以，二面角M CN A --的余弦值为515-. ………12分19. 解：（1）设“甲获得合格证书”为事件A ，“乙获得合格证书”为事件B ，“丙获得合格证书”为事件C ，则412()525P A =⨯=，321()432P B =⨯=，255()369P C =⨯=.因为()()()P C P B P A >>，所以丙获得合格证书的可能性最大. ………6分（2）设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D ，则21421531511()()()()52952952930P D P ABC P ABC P ABC =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.所以三人考试后恰有两人获得合格证书的概率是1130. ………12分20. 解：（1）因为线段QN 的中垂线交线段QM 于点C ，则CQ CN =，所以42CM CN CM CQ QM MN +=+==>=，由椭圆定义知：动点C 的轨迹为以原点为中心的椭圆，其中：24a =，22c =，又222=3b a c =-，所以曲线E 的轨迹方程为22143x y +=. ………5分（2）设()11,D x y ，()22,A x y ，则()11,B x y -，由题意知直线AD 的斜率必存在，设直线AD 的方程为：y kx m =+，由22+143y kx m x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消y 得：()()222438430k mk m x x +++-=，故()()()2221222122222438434343641630340k k k mk x x k m x x k m m m ⎧+⎪⎪⎪+=-⎨+⎪-⎪⋅=⎪∆=-->⇒+⎩->+ 因为A ，B ，P 共线，其中()224,PA x y =-，()114,PB x y =-- 所以()()()212144x y y x --=-，整理得()()12122480kx x m k x x m +-+-=，则()()22224388044343k m mk m k m k k ⋅--⋅+-=++-，解得m k =-，此时2330k∆=+>则直线AD 的方程为：()1y k x =-，所以直线AD 恒过定点()1,0 ………12分21. 解：（1）函数()f x 的定义域为(),-∞+∞，()e x f x a ，当0a 时，()0f x ，()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a 时，令()0f x ，得ln()x a ．所以()f x 在,ln()a 上单调递减；在ln(),a 上单调递增．综上所述，当0a 时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a 时，()f x 在,ln()a 上单调递减；在ln(),a 上单调递增．………6分（2）当0,x时，11x ，所以()ln(1)0g x x ．设()ln(1)h x x x (0)x ，则1()111xh x x x '=-=++，当0x 时，()0h x '>，()h x 在0,上单调递增，所以()(0)0h x h >=，所以ln(1)x x ，故0()g x x ．由（1）可知，当0a 时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增．所以(())()f g x f x <成立；当10a 时，ln()0a -≤，且()f x 在ln(),a 上单调递增，所以(())()f g x f x <成立；当1a时，()f x 在0,ln()a 上单调递减；则有(())()f g x f x >，不合题意．综上所述，实数a 的取值范围为[)1,-+∞. ………12分（二）选考题：第22、23题中任选一题做答。

云南省昆明一中高三上学期第一次摸底测试数学(理)试题 Word版含解析

昆明第一中学2018届高中新课标高三第一次摸底测试理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】集合集合，故选B.2. 如图，正方形内的图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A. B. C. D.【答案】C3. 已知（其中是虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】,，故选C. 4. 设函数的图象关于直线对称，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】若，因为函数的图象关于直线对称，所以若，因为函数的图象关于直线对称，所以（与前提条件矛盾）所以故选择A小提示：涉及绝对值的问题，一般都是将每个绝对值的零点作为分界点，进行讨论。

5. 二项式展开式中的常数项为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】展开式的通项为，令得，所以展开式中的常数项为，故选B.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.6. 设数列的前项和为，若成等差数列，则的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为成等差数列，所以，当时，；当时，，即，即，数列是首项，公比的等比数列，，故选B.7. 执行如图所示的程序框图，若输出的值为，则判断框中可填入（）A. B. C. D.【答案】A【解析】模拟执行如图所示的程序框图知，该程序的功能是计算，选A.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.8. 设为正数，且，当时，的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令，则，由得，故选C.9. 一个正方体挖去一个多面体所得的几何体的三视图如图所示，其中正视图、左视图和俯视图均为边长等于的正方形，这个几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体是棱长为的正方形的内部挖去一个底面为边长为的正四棱锥，将三视图还原可得如图，可得其表面积为，，故选D.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.10. 已知函数（），且，当取最小值时，以下命题中假命题是（）A. 函数的图象关于直线对称B. 是函数的一个零点C. 函数的图象可由的图象向左平移个单位得到D. 函数在上是增函数【答案】C【解析】，由得，即，由知的最小值是2，当取得最小值时，.由可得出：函数的图象关于直线对称，A为真；由可得出：是函数的一个零点，B为真；将函数的图象向左平移个单位得到的图象，所以C为假；由复合函数单调性可得在上是增函数，所以D为真，选C.【点睛】函数的性质(1).(2)周期(3)由求对称轴(4)由求增区间; 由求减区间11. 已知抛物线的焦点为，准线为，点，线段交抛物线于点，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由已知为的三等分，作于，如图，则，，故选B.12. 已知数列的前项和为，且，，则数列中的为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由有，解得，故，又，于是，因此数列是以为首项，公比为的等比数列，得，于是，因此数列是以为首项，为公差的等差数列，解得，，故选B.【方法点晴】本题主要考查等差数列的定义以及已知数列的递推公式求通项，属于中档题.由数列的递推公式求通项常用的方法有：累加法、累乘法、构造法，已知数列前项和与第项关系，求数列通项公式，常用公式，将所给条件化为关于前项和的递推关系或是关于第项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式. 在利用与通项的关系求的过程中，一定要注意的情况.，进而得出的通项公式.第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量，，，则__________．【答案】【解析】由可得，，即，，故答案为.14. 若实数满足不等式组，则的最大值为__________．【答案】【解析】画出不等式组所表示的可行域，如图，由图知平移直线，当直线经过点时，直线在轴上的截距最大，即在点处取得最大值，故答案为.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15. 已知双曲线的中心为坐标原点，点是双曲线的一个焦点，过点作渐近线的垂线，垂足为，直线交轴于点，若，则双曲线的方程为__________．【答案】【解析】设双曲线的方程为:，由已知得：由点到直线的距离公式可得由及勾股定理可得，又因为与渐近线垂直，结合可得双曲线的方程：，故答案为.16. 体积为的正三棱锥的每个顶点都在半径为的球的球面上，球心在此三棱锥内部，且，点为线段的中点，过点作球的截面，则所得截面圆面积的最小值是_________．【答案】三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在中，分别是角的对边，且，（1）求的值；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由余弦定理利用可得由，，再由正弦定理可得，从而可得，再利用三角形内角和定理、诱导公式、及两角和的正弦公式可得的值；（2）由及可得出，利用（1）的结论以及三角形面积公式可得结果.试题解析：（1）由得出：，由及正弦定理可得出：，所以，再由知，所以为锐角，，所以（2）由及可得出，所以.18. 如图，在直三棱柱中，，，点分别为的中点.（1）证明：平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）连接，，点，分别为，的中点，可得为△的一条中位线，，由线面平行的判定定理可得结论；（2）先利用勾股定理证明，由题意以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果；试题解析：（1）证明：连接，，点，分别为，的中点，所以为△的一条中位线，，平面，平面，所以平面.（2）设，则，，，由，得，解得，由题意以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系.可得，，，，故，，，，设为平面的一个法向量，则，得，同理可得平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，，，所以，二面角的余弦值为.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19. 某市为了解本市万名学生的汉字书写水平，在全市范围内进行了汉字听写考试，发现其成绩服从正态分布，现从某校随机抽取了名学生，将所得成绩整理后，绘制出如图所示的频率分布直方图.（1）估算该校名学生成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）求这名学生成绩在内的人数；（3）现从该校名考生成绩在的学生中随机抽取两人，该两人成绩排名（从高到低）在全市前名的人数记为，求的分布列和数学期望.参考数据：若，则，【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）直方图中每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和，即可得到该校名学生成绩的平均值；（2）求出直方图中最后两个矩形的面积之和与总人数相乘即可求出这名学生成绩在内的人数；（3）的所有可能取值为分别求出各随机变量的概率，从而可得分布列，由期望公式可得结果.试题解析：（1）（2）.（3），则..所以该市前名的学生听写考试成绩在分以上.上述名考生成绩中分以上的有人.随机变量.于是，，.的分布列：数学期望.20. 已知动点满足：.（1）求动点的轨迹的方程；（2）设过点的直线与曲线交于两点，点关于轴的对称点为（点与点不重合），证明：直线恒过定点，并求该定点的坐标.【答案】（1）；（2）直线过定点，证明见解析.【解析】试题分析：（1）动点到点，的距离之和为，且，所以动点的轨迹为椭圆，从而可求动点的轨迹的方程；（2）直线的方程为：，由得，，根据韦达定理可得，直线的方程为，即可证明其过定点.试题解析：（1）由已知，动点到点，的距离之和为，且，所以动点的轨迹为椭圆，而，，所以，所以，动点的轨迹的方程：.（2）设，，则，由已知得直线的斜率存在，设斜率为，则直线的方程为：由得，所以，，直线的方程为：，所以，令，则，所以直线与轴交于定点.21. 已知函数，，（其中，为自然对数的底数，……）.（1）令，若对任意的恒成立，求实数的值；（2）在（1）的条件下，设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由对任意的恒成立，即，利用导数讨论函数的单调性，求出最小值，即可得到实数的值；（2）由（1）知，即，令（，）则，所以，令，求和后利用放缩法可得，从而可得的最小值.所以，.试题解析：（1）因为所以，由对任意的恒成立，即，由，（i）当时，，的单调递增区间为，所以时，，所以不满足题意.(ii)当时，由，得时，，时，，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以的最小值为 .设，所以，①因为令得，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，②由①②得，则.（2）由（1）知，即，令（，）则，所以，所以，所以，又，所以的最小值为.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程极坐标系中，为极点，半径为的圆的圆心坐标为.（1）求圆的极坐标方程；（2）设直角坐标系的原点与极点重合，轴非负关轴与极轴重合，直线的参数方程为（为参数），由直线上的点向圆引切线，求线线长的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）先确定圆心直角坐标，再写出圆的标准方程，最后将直角坐标方程化为极坐标方程（2）先根据加减消元法将直线的参数方程化为普通方程，再根据圆的几何意义得切线长最小时，直线上的点与圆心连线垂直直线，最后根据点到直线距离公式以及切线长公式求切线长最小值试题解析：解：（Ⅰ）设是圆上任意一点，如图，连接，并延长与圆交于点，当点异于，时，连接、，直角△中，，即，当点与，重合时，也满足上式，所求圆的极坐标方程为.（Ⅱ）直线的普通方程为，圆心到直线的距离为，，所以直线与圆相离，故切线长的最小值为.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若不等式解集非空，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义将不等式转化为三个不等式组，分别求解集，最后求并集（2）根据绝对值三角不等式得的最小值为，再解一元二次不等式得实数的取值范围.试题解析：解：（Ⅰ）由可化为：或或解得：或或，所以，不等式解集为.（Ⅱ）因为所以，即的最小值为，要不等式解集非空，需，从而，解得或，所以的取值范围为.点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。

2021届云南省昆明市第一中学高三高中新课标第一次摸底测试数学(理)试题(解析版)

2021届云南省昆明市第一中学高三高中新课标第一次摸底测试数学（理）试题一、单选题1．复数z 满足122z i ⋅=+，则复数z 在复平面内对应的点的坐标为（） A ．(1，0) B ．(0，1)C ．(1-，0)D ．(0， 1-)【答案】D【解析】求出左边复数的模，利用除法运算化简复数z ，可得复数z 的坐标，从而可得答案. 【详解】因为122z i ⋅=+1==，所以1iz i ==-，所以复数z 在复平面内对应的点的坐标为()0,1-，故选：D ．【点睛】本题主要考查复数的模与复数的除法运算，考查了复数的坐标表示，属于基础题.2．已知集合A ={}221x x y +=，集合B = {y y =，则A B =（）A ．[0，1]B ．[- 1，1]C ．[-1，0)D ．[- 1，0]【答案】A【解析】先根据圆的范围和值域的求法，化简两个集合，再利用集合的交集运算求解. 【详解】因为集合{}[]2211,1A x x y =+==-，集合{[)0,B y y ===+∞，所以[]0,1AB =，故选：A ．【点睛】本题主要考查结合的基本运算以及值域的求法和圆的范围，属于基础题.3．抛物线22(0)y px p =>的焦点到双曲线221x y -=的渐近线的距离为22，则p =（） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】C【解析】因为抛物线的焦点为(,0)2p，双曲线的渐近线为0x y ±=利用点到直线的距离公式，即可得解. 【详解】因为抛物线的焦点为(,0)2p，双曲线的渐近线为0x y ±=，所以抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2222211p d ==+，又因为0p >，所以2p =，故选：C . 【点睛】本题考查了抛物线基本量的计算，考查双曲线的渐近线和距离公式，属于基础题. 4．我国目前部分普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，某学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图根据这两幅图中的信息，下列统计结论正确的是（） A ．样本中的男生数量多于女生数量B ．样本中有理科意愿的学生数量少于有文科意愿的学生数量C ．对理科有意愿的男生人数多于对文科有意愿的男生人数D ．对文科有意愿的女生人数多于对理科有意愿的女生人数【答案】C【解析】由等高条形图的特点和性质进行判断，【详解】由等高堆积条形图1可知，不管是文科还是理科，女生占比均高于男生，故样本中的女生数量多于男生数量，A 错误；从图2可以看出男生和女生中选择理科的人数均高于选择文科的人数，故选：C ．【点睛】本题主要考查了独立性检验中利用等高条形图判断两个变量之间的差异，属于基础题. 5．数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读.数学中有回文数，如343 ，12521等.两位数的回文数有11 ，22 ，3，……，99共9个，则在三位数的回文数中偶数的个数是（） A ．40 B ．30C ．20D ．10【答案】A【解析】根据回文数定义，确定首位，再确定中间数，最后根据分步乘法计数原理得结果. 【详解】由题意，若三位数的回文数是偶数，则末（首）位可能为2，4，6，8.如果末（首）位为2，中间一位数有10种可能，同理可得，如果末（首）位为4或6或8，中间一位数均有10种可能，所以有41040⨯=个，故选：A 【点睛】本题考查分步计数原理实际应用，考查基本分析求解能力，属基础题. 6．函数4()3ln f x x x x=+-的单调递减区间是（） A ．(1,4)- B ．(0,1)C ．(4,)+∞D ．(0,4)【答案】D【解析】求导，2243(1)(4)()1x x f x x x x +-=--=＇，由()0f x <＇即可得解. 【详解】函数的定义域是(0,)+∞，2243(1)(4)()1x x f x x x x +-=--=＇，令()0f x <＇，解得04x <<，故函数4()3ln f x x x x=+-在(0,4)上单调递减，选：D . 【点睛】本题考查了利用导数求函数单调性，考查了导数的基本能应用，属于基础题. 7．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A ．163πB ．643πC ．169πD ．649π【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是圆锥的一部分，结合图中所给数据，即可得解. 【详解】由三视图可知，该几何体是圆锥的一部分，观察到正视图中1和2的分界线可知俯视图是圆心角为120︒的扇形，故该几何体的体积为21116π24π339V =⨯⨯⨯=，故选：C . 【点睛】本题考查了三视图，考查了锥体体积的计算公式，属于基础题.8．已知圆C : 22420x y x y +--=与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，则弦长AB =（）A ．B ．5C ．D ．【答案】A【解析】分别令0x =和0y =，从而求出A ，B 两点的坐标，由两点的距离公式可求出弦长. 【详解】令0y =，解得4x =或0；令0x =，解得2y =或0.所以(4,0)A ，(0,2)B ，所以AB =故选:A 【点睛】本题考查了两点的距离公式，属于基础题.本题的关键是求出A ，B 两点的坐标. 9．将多项式26576510a x a x a x a x a +++++分解因式得25(2)(1)x x -+，则5a =（） A ．16 B ．14C ．6-D ．10-【答案】C【解析】将()51x +展开，观察345,x x x , 的系数，对应()22x -的展开相乘，相加得到答案. 【详解】解析：由题意，()()()()255221441x x x x x -+=-++，52232551a x x C x =⋅⋅14541x C x -⋅⋅055546C x x +⨯=-，所以56a =-，故选：C. 【点睛】本题考查了二项式定理,考查计算能力，属于基础题.10．在三棱锥S -ABC 中，平面SAB ⊥平面ABC ，△ABC 是边长为3的等边三角形，△SAB 是以AB 为斜边的直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（） A ．32π B ．16π .C ．24πD ．12π【答案】D【解析】先根据题意确定三棱锥外接球的球心为△ABC 外接圆圆心，再根据正弦定理求得求半径，最后根据球表面积公式得结果. 【详解】由题意，△SAB 是以AB 斜边的直角三角形，以三角形SAB 所在平面截球所得的小圆面圆心在AB 中点，又因为平面SAB ⊥平面ABC ，所以平面ABC 截球所得平面即为大圆.因为△ABC 是边长为3的正三角形，其外接圆半径33R =⨯=锥外接球的半径R =，其表面积24π12πS R ==，故选：D 【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积，考查空间想象能力，属基础题.11．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期是π，把它图象向右平移3π个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数.现有下列结论： ①函数()f x 的图象关于直线12x π=-对称.；②函数()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称；③函数()f x 在区间,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减；④函数()f x 在3,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有3个零点.正确的结论是（） A ．①②③ B ．①②④C ．②③D ．②【答案】A【解析】利用函数()y f x =的最小正周期以及平移后的函数的奇偶性求出ω、ϕ的值，可求得函数()y f x =的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断①②的正误；利用正弦型函数的单调性可判断③的正误；当3,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，解方程()0f x =可判断④的正误. 【详解】因为函数()y f x =的最小正周期为π，则22πωπ==，则()()sin 2f x x ϕ=+，将函数()y f x =的图象向右平移3π个单位后得到函数2sin 2sin 233y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由于函数2sin 23y x πϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭为奇函数，则()23k k Z πϕπ-=∈，可得2,3k k Z πϕπ=+∈. 22ππϕ-<<，1k ∴=-，则3πϕ=-，()sin 23f x x π⎛⎫∴=-⎪⎝⎭. 对于命题①，()min sin 2sin 1121232f f x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯--=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，①正确；对于命题②，sin 2sin 00663f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，②正确；对于命题③，当212x ππ-≤≤-时，42332x πππ-≤-≤-，所以，函数()y f x =在区间,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，③正确；对于命题④，当3,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，82333x πππ≤-≤，由()0f x =可得23x ππ-=或223x ππ-=，解得23x π=或76x π=，④错误. 故选：A. 【点睛】本题考查正弦型函数的对称性、单调性与零点个数的判断，同时也考查了利用正弦型函数的周期和图象变换求函数解析式，考查计算能力，属于中等题.12．已知定义在R .上的偶函数f (x )，对任意x ∈R ，都有f (2-x ) =f (x +2)，且当[2,0]x ∈-时()21xf x -=-.若在a > 1时，关于x 的方程()()log 20a f x x -+=恰有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（） A ．(1，2) B ．(232，2)C ．23(,2)-∞(2， +∞) D ．(2，+∞)【答案】B【解析】由函数的奇偶性和周期性作()f x 的图象，将方程的根的问题转化为两函数图象交点的问题，从而得log (22)3log (62)3a a +<⎧⎨+>⎩，进而可求出实数a 的取值范围.【详解】依题意函数()f x 的图象关于y 轴及直线2x =对称，所以()f x 的周期为4，作出[]2,0x ∈-时()f x 的图象，由()f x 的奇偶性和周期性作出()f x 的图象，关于x 的方程()log (2)0a f x x -+=恰有三个不同的实数根，可转化为函数()f x 与log (2)a y x =+的图象有三个不同的交点，由数形结合可知log (22)3log (62)3a a +<⎧⎨+>⎩，解得2322a <<，故选:B ．【点睛】本题考查了数形结合的思想，考查了函数的奇偶性和周期性，考查了函数的零点与方程的根，考查了对数不等式的求解，属于中档题.画出函数的图象是本题的关键.二、填空题13．若x ， y 满足约束条件33040x y x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩，则z =2x +y 的最大值是__________. 【答案】6【解析】画出不等式组对应的可行域，平移动直线20x y z +-=可得z 的最大值. 【详解】不等式组对应的可行域如图所示：由40x y x y +-=⎧⎨=⎩可得22x y =⎧⎨=⎩，故()2,2A .平移动直线2z x y =+至()2,2A 处时，z 取得最大值，且最大值为2226⨯+=．故答案为： 6.【点睛】本题考查线性规划，注意利用它来求最值时，应挖掘目标函数的几何意义，本题属于基础题.14．已知(2,3),(1,3)a b =-=，则a 在b 方向上的投影为_________. 【答案】12【解析】利用数量积的几何意义可求投影的值. 【详解】a 在b 方向上的投影是()2221331213a bb⋅-⨯+⨯==+．故答案为：12. 【点睛】本题考查数量积的几何意义，考查学生对概念的理解与掌握，本题属于基础题. 15．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线l ：210x -=与C 交于P 、Q (P 在x 轴上方)两点，若PF FQ λ=，则实数λ的值为_______ 【答案】526+【解析】先求出(526,23)P +、(526,223)Q --、(1,0)F ，再求出(426,2223)PF =---和(426,2223)FQ =-，最后建立方程求λ即可.【详解】解：由题意联立方程组24210y x x y ⎧=⎪⎨--=⎪⎩，解得5262223x y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩或5262223x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩因为P 在x 轴上方，所以(526,2223)P ++、(526,2223)Q --, 因为抛物线C 的方程为24y x =，所以(1,0)F ，所以(426,2223)PF =----，(426,2223)FQ =--因为PF FQ λ=，所以(426,2223)(426,2223)λ----=--，解得：22235262223λ--==+-，故答案为：526+ 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、抛物线的几何性质、利用共线向量求参数，是中档题16．如图，正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长为1 ，线段AC 1上有两个动点E 、F ，且EF 3=3，给出下列四个结论:①CE ⊥BD②三棱锥E - BCF 的体积为定值③∆BEF 在底面ABCD 内的正投影是面积为定值的三角形 ④在平面ABCD 内存在无数条与平面DEA 1平行的直线其中，正确的结论是____________ 【答案】①②③④【解析】根据棱柱的结构特征和线面关系逐项排除即可. 【详解】因为BD ⊥平面1ACC ，所以BD CE ⊥，故①对；因为点C 到直线EF 的距离是定值，点B 到平面CEF 的距离也是定值，所以三棱锥B CEF -的体积为定值，故②对；线段EF 在底面ABCD 上的正投影是线段GH ，所以△BEF 在底面ABCD 内的正投影是△BGH .又因为线段EF 的长是定值，所以线段GH 是定值，从而△BGH 的面积是定值，故③对；设平面ABCD 与平面1DEA 的交线为l ，则在平面ABCD 内与直线l 平行的直线有无数条，故④对. 所以正确结论是①②③④．故答案为：①②③④ 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，解题时要认真审题，要熟练掌握棱柱的结构特征，线与面之间的关系.三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2()n n S a n n N *=-∈.（1）求123,,a a a 的值，猜想数列{}n a 的通项公式并加以证明；（2）求13523()n a a a a n N *+++++∈.【答案】（1）11a =，23a =，37a =；猜想数列{}n a 的通项公式21nn a =-；证明见解析；（2）252383n n +--. 【解析】（1）由1=(2)n n n a S S n --≥可猜测{}n a ，然后再利用等比数列定义证明；（2）利用等比数列求和即可. 【详解】（1）由1121S a =-得：11a =，因为11(2)(2(1))n n n n S S a n a n ---=----(2)n ≥，所以121n n a a -=+(2)n ≥，所以2121=3a a =+，3221=7a a =+；由此猜想数列{}n a 的通项公式21nn a =-；证明：因为121n n a a -=+(2)n ≥，所以112(1)n n a a -+=+，所以1121n n a a -+=+(2)n ≥，所以{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，所以12nn a +=，即：21n n a =-.（用数学归纳法证明也可）（2）由（1）得21nn a =-，所以()32313523222(2)n n a a a a n +++++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-+22(14)(2)14n n +-=-+-252383n n +--=. 【点睛】本题考查了用1=(2)n n n a S S n --≥递推式求通项公式，等比数列求和公式. 18．如图，在六面体ABCDEF 中，AB //CD ，AB ⊥AD ，且112AB AD CD ===，四边形ADEF 是正方形，平面ADEF ⊥平面ABCD ．（1）证明：平面BCE ⊥平面BDE ；（2）若∆BCE 中，∠BEC =30°，求二面角C BE F --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）3. 【解析】（1）先证明BC BD ⊥和BC ED ⊥，再结合BD ED D =，证明BC ⊥平面BDE ，最后证明平面BCE ⊥平面BDE 即可；（2）先建立空间直角坐标系，再求平面BEF 的一个法向量和平面BCE 的一个法向量，最后求二面角C BE F --的余弦值. 【详解】解：（1）证明：因为//AB CD ，AB AD ⊥，且112AB AD CD ===，所以2BD BC ==2CD =，则在BCD 中：222CD BD BC =+，所以BC BD ⊥ 又平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF平面ABCD AD =，四边形ADEF 是正方形，ED AD ⊥，ED ⊂平面ABCD ，可得ED ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，则BC ED ⊥，BD ，ED ⊂平面BDE ，BD ED D =，故BC ⊥平面BDE ，BC ⊂平面BCE ，所以，平面BCE ⊥平面BDE .（2）由（1）知ED DA ⊥、ED DC ⊥、DA DC ⊥，以点D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DE 为z 轴建立空间直角坐标系，如图.可得(1,1,0)B 、(0,2,0)C 、(0,0,1)E 、(1,0,1)F ，故(1,1,1)EB =-，(1,0,0)EF =，(0,2,1)EC =-，设(,,)m x y z =为平面BEF 的一个法向量，则00m EB m EF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得(0,1,1)m =，同理可得平面BCE 的一个法向量为(1,1,2)n =，01+11+123cos ,=226m n m n m n⋅⨯⨯⨯<>==⨯⋅ 二面角C BE F --的是钝二面角，所以二面角C BE F --的余弦值为32-.【点睛】本题考查利用线面垂直证明面面垂直、利用空间向量求面面所成的角，是中档题. 19．计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为45，34，23，在实际操作考试中“合格”的概率依次为12，23，56，所有考试是否合格相互之间没有影响. （1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？（2）这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率. 【答案】（1）丙；（2）1130【解析】（1）分别计算三者获得合格证书的概率，比较大小即可（2）根据互斥事件的和,列出三人考试后恰有两人获得合格证书事件，由概率公式计算即可求解. 【详解】（1）设“甲获得合格证书”为事件A ，“乙获得合格证书”为事件B ，“丙获得合格证书”为事件C ，则412()525P A =⨯=，321()432P B =⨯=，255()369P C =⨯=. 因为()()()P C P B P A >>，所以丙获得合格证书的可能性最大. （2）设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D ，则21421531511()()()()52952952930P D P ABC P ABC P ABC =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.【点睛】本题主要考查了相互独立事件，互斥事件，及其概率公式的应用，属于中档题. 20．已知点Q 是圆M :22(1)16x y ++=上一动点(M 为圆心)，点N 的坐标为(1，0)，线段QN 的垂直平分线交线段QM 于点C ，动点C 的轨迹为曲线E . （1）求曲线E 的轨迹方程;（2）直线l 过点P (4，0)交曲线E 于点A ，B ，点B 关于x 的对称点为D ，证明:直线AD 恒过定点.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析. 【解析】（1）根据中垂线性质得CQ CN =，即得4CM CN +=，最后根据椭圆定义求方程;（2）先设直线AD 的方程y kx m =+，并与椭圆方程联立，再根据A ，B ，P 共线，结合韦达定理求得m k =-，即得定点. 【详解】解：（1）因为线段QN 的中垂线交线段QM 于点C ，则CQ CN =，所以42CM CN CM CQ QM MN +=+==>=，由椭圆定义知：动点C 的轨迹为以原点为中心的椭圆，其中：24a =，22c =，又222=3b a c =-，所以曲线E 的轨迹方程为22143x y +=.（2）设()11,D x y ，()22,A x y ，则()11,B x y -，由题意知直线AD 的斜率必存在，设直线AD 的方程为：y kx m =+，由22+143y kx m x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消y 得：()()222438430k mk m x x +++-=，故()()()2222221222122641643303408434343m k k m k m mk x x k m x x k ⎧∆=-+->⇒+->⎪⎪⎪+=-⎨+⎪-⎪⋅=⎪+⎩因为A ，B ，P 共线，其中()224,PA x y =-，()114,PB x y =-- 所以()()()212144x y y x --=-，整理得()()12122480kx x m k x x m +-+-=，则()()22224388044343k m mk m k m k k ⋅--⋅+-=++-，解得m k =-，此时2330k∆=+>则直线AD 的方程为：()1y k x =-，所以直线AD 恒过定点()1,0 【点睛】本题考查椭圆标准方程、椭圆定义、直线过定点，考查综合分析求解能力，属中档题. 21．已知函数()1()x f x e ax a R =+-∈ （1）判断函数f (x )的单调性；（2）若()ln(1)g x x =+当(0,)x ∈+∞时，不等式(())()f g x f x <恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）当0a ≥时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a <时，()f x 在,ln()a 上单调递减；在ln(),a 上单调递增；（2）[)1,-+∞.【解析】（1）先对()f x 求导，再分0a ≥和0a <两种情况进行讨论，利用()0f x '>和()0f x '<判断函数f (x )的单调性；（2）将当(0,)x ∈+∞时,不等式(())()f g x f x <恒成立,转化为()g x x <和()g x x >，下面先证明0()g x x （0x >），分左右两部分，证明再结合（1）的单调区间实数a 的取值范围. 【详解】解：（1）因为函数()1()x f x e ax a R =+-∈，所以()f x 的定义域为(),-∞+∞，()e x f x a ，当0a ≥时，()0f x '>，()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a <时，令()0f x '=，得ln()x a =-，所以()f x 在,ln()a 上单调递减；在ln(),a 上单调递增.综上所述，当0a ≥时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a <时，()f x 在,ln()a 上单调递减；在ln(),a 上单调递增.（2）当()0,x ∈+∞时，11x +>，所以()ln(1)0g x x . 设()ln(1)h x x x =-+(0)x >，则1()111xh x x x '=-=++，当0x >时，()0h x '>，()h x 在()0,∞+上单调递增，所以()(0)0h x h >=，所以ln(1)x x >+，故0()g x x .由（1）可知，当0a ≥时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增，所以(())()f g x f x <成立；当10a -≤<时，ln()0a ，且()f x 在ln(),a 上单调递增，所以(())()f g x f x <成立；当1a <-时，()f x 在0,ln()a 上单调递减；则有(())()f g x f x >，不合题意.综上所述，实数a 的取值范围为[)1,-+∞. 【点睛】本题考查利用函数的单调性解不等式、导数的运算、利用导数判断函数的单调性、导函数研究不等式恒成立问题并求参数范围，是中档题.22．已知平面直角坐标系xOy 中，曲线221:1C x y +=经过伸缩变换2x x y y =''⎧⎨=⎩得到曲线C 2，直线l 过点P (-1，0)C 2交于A ，B 两点. （1）求曲线C 2的普通方程和直线l 的参数方程; （2）求PA PB ⋅的值.【答案】（1）1,21.2x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）；2214x y +=；（2）127. 【解析】(1)由变换规则可得12x x y y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'，代入曲线1C 可得C 2的普通方程，由已知条件即可写出直线的参数方程.(2) 设A ，B 所对应参数分别为1t ，2t ，将l 的参数方程代入曲线2C ，结合韦达定理和参数的几何意义即可求出PA PB ⋅的值. 【详解】（1）由2,x x y y ''=⎧⎨=⎩得12x x y y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'，代入曲线1C 得：()2212x y '⎛⎫'+= ⎪⎝⎭，所以曲线2C 的普通方程为2214x y +=.因为直线l 过点(1,0)P -所以l的参数方程为1,1.2x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.（2）设A ，B 所对应参数分别为1t ，2t ，将l 的参数方程代入曲线2C 得:27120t --=，则(247120∆=+⨯⨯>，且12127t t =-，所以，1212127PA PB t t t t ⋅=⋅==. 【点睛】本题考查了伸缩变换，考查了直线的参数方程，考查了参数的几何意义. 23．已知函数()22,0f x x x a a =+-->. （1）当a = 1时，求不等式f (x )≥2的解集;（2）若f (x )的图象与x 轴围成的三角形的面积大于6，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）()1,+∞.【解析】(1)代入1a =，通过讨论去掉绝对值号，从而求出解集.(2)讨论x 的取值范围，去掉函数的绝对值号，从而可得图象与x 轴所围成的三角形三个顶点的坐标，进而可求出面积表达式，由题意可写出关于a 的不等式，从而可求出实数a 的取值范围. 【详解】解：（1）1a =时，由不等式()2f x ≥可得：()2212f x x x =+--≥，可化为：22222x x x <-⎧⎨--+-≥⎩ 或212222x x x -≤≤⎧⎨++-≥⎩ 或12222x x x >⎧⎨+-+≥⎩，解得：x ∈∅ 或 213x ≤≤ 或 12x <≤，即：223x ≤≤，则不等式的解集为2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）因为22,2,()322,2,22,,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩所以()f x 的图象与x 轴所围成的三角形，三个顶点分别为22,03a A -⎛⎫⎪⎝⎭，(),2B a a +，()22,0C a +，由题意，()()122222623a a a -⎡⎤+-+>⎢⎥⎣⎦，整理得：2450a a +->，因为0a >，所以解得：1a >，所以，实数a 的取值范围为()1,+∞. 【点睛】本题考查利用零点分段法求解绝对值不等式，同时也考查了利用绝对值函数与坐标轴围成的三角形面积求参数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.。

2020年云南省昆明市第一中学高考第一次摸底测试数学试题(附答案解析)

2020年云南省昆明市第一中学高考第一次摸底测试数学试题一、单选题1．探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源放在焦点F 处．己知灯口直径为60cm ，光源距灯口的深度为40cm ，则光源到反射镜的顶点的距离为( )A ．5cmB ．10cmC ．15cmD ．20cm2．已知函数()151xf x e x =--（其中e 为自然对数的底数），则()y f x =的大致图象为（） A ． B ． C ． D ．3．若复数z 满足24iz i =-，则z 在复平面内对应的点的坐标是( ) A ．(2,4) B ．(2,4)-C ．(4,2)--D ．(4,2)-4．若集合{}{}21,,2,4A mB =，则"2"m =是{}"4"A B ⋂=的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，且当01x ≤≤时，()2(1)f x x x =-，则52f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（） A ．12B ．14C ．14-D ．12-6．抛物线22y px =，过点(2,4)A ，F 为焦点，定点B 的坐标为(8,8)-，则||:||AF BF 值为（）A ．1:4B ．1:2C ．2:5D ．3:87．三维柱形图中柱的高度表示的是（） A ．各分类变量的频数 B ．分类变量的百分比 C ．分类变量的样本数 D ．分类变量的具体值8．如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱的顶点A 在x 轴上，AB 平行于y 轴，侧棱1AA 平行于z 轴．当顶点C 在y 轴正半轴上运动时，以下关于此直三棱柱三视图的表述正确的是（）A ．该三棱柱主视图的投影不发生变化；B ．该三棱柱左视图的投影不发生变化；C ．该三棱柱俯视图的投影不发生变化；D ．该三棱柱三个视图的投影都不发生变化． 9．设复数2i 1ix =-(i 是虚数单位),则12016C x +222016C x +332016C x ++201620162016C x=A ． 0B ． 2-C ． 1i -+D ． 1i --10．将四棱锥S ﹣ABCD 的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果有恰有5种颜色可供使用，则不同的染色方法有（） A ．480种B ．360种C ．420种D ．320种11．已知函数2()cos 2cos 1f x x x x =⋅-+，将()f x 图像的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移2π个单位后得到函数()g x ，在区间[0,]π上随机取一个数x ，则()1g x ≥的概率为 A ．13 B ．14C ．15D ．1212．已知三棱锥P ABC -的各顶点都在同一球面上，且PA ⊥平面ABC ，若该棱锥的体积为1，2AB =，1AC =，60BAC ∠=，则此球的表面积等于（）A ．B ．323π C ．12π D ．16π二、填空题13．在平面直坐标系中，O 为原点，点()4,2A -，点P 满足3OP PA =-，则点P 的坐标为_______. 14．设点P 为ABC ∆的重心，若AB=2，AC=4，则•AP BC =___________.15．已知实数x ，y 满足约束条件22024410x y x y x y +-≥⎧⎪+≤⎨⎪-+≥⎩，则目标函数3z x y =-+的最大值为______.16．如图，四面体ABCD 中，面ABD 和面BCD 都是等腰Rt ∆，AB =，2BAD CBD π∠=∠=，且二面角A BD C --的大小为23π，若四面体ABCD 的顶点都在球O 上，则球O 的表面积为____________。

2022年云南省昆明一中高考数学第一次摸底数学试卷(理科)+答案解析(附后)

2022年云南省昆明一中高考数学第一次摸底数学试卷（理科）1. 已知集合，集合，则( )A. B.C. D.2. 某校为了解学生体能素质，随机抽取了50名学生，进行体能测试，并将这50名学生成绩整理得如下频率分布直方图.根据此频率分布直方图，下列结论中不正确的是( )A. 这50名学生中成绩在内的人数有10人B. 这50名学生中成绩在内的人数占比为C. 这50名学生成绩的中位数为70D. 这50名学生的平均成绩同一组中的数据用该组区间的中点值做代表3. 已知，则( )A. B. C. D.4. 角的度量制有角度制度的角等于周角的，弧度制弧度的角就是长度等于半径长的弧所对的圆心角其实军事上角的度量还常用密位制，密位制的单位是密位．1密位等于圆周的所对的圆心角的大小，所以密位．密位的写法是在百位上的数与十位上的数之间画一条短线，例如6密位写成，478密位写成那么的角在密位制下的写法正确的是( )A. B. C. D.5. 已知双曲线C的渐近线方程为，且过点，则C的方程为( )A. B. C. D.6. 一个正方体挖去一个多面体后，剩余几何体的三视图如图所示，其中正视图、左视图和俯视图均为边长相等的正方形，则挖去多面体与剩余几何体的体积比为( )A.B.C. 2D. 37.已知数列是公比为q的等比数列，若，且是与的等差中项，则q的值是( )A. B. 1 C. 2 D.或8. 如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距行员为了避开某一区域的雷雨云层，从A点起飞以后，就沿与原来的飞行方向AB成角的方向飞行，飞行到中途C点，再沿与原来的飞行方向AB成角的方向继续飞行到终点B点．这样飞机的飞行路程比原来的路程500km大约多飞了( )A. 10kmB. 20kmC. 30kmD. 40km9. 若，则( )A. B. C. D.10. 学习室里一排有6个座位，3人随机就座，任何两人不相邻的概率为( )A. B. C. D.11. 若正三棱台的各顶点都在表面积为的球O的表面上，且，则正三棱台的高为( )A. B. 4 C. 或3 D. 3或412. 函数，则满足的x的取值范围是( )A. B. C. D.13. 已知向量，向量，则向量在向量方向上的投影为______ .14. 曲线在点处的切线方程是______.15. 已知点P是椭圆上任意一点，直线l：与两坐标轴分别交于A，B两点，则三角形PAB的面积的最大值为______ .16. 已知函数，若的图象向右平移个单位后与的图象重合，当最小时，给出下列结论：①的最小值为4；②在上单调递增；③在上单调递减；④的图象关于直线对称；⑤的图象关于点中心对称.其中，正确结论的编号是______ 填写所有正确结论的编号17. 垃圾的分类回收不仅能减少环境污染，美化家园，甚至能够变废为宝，节约资源.为增强学生的垃圾分类意识，推动垃圾分类进校园，某校组织全体学生参加了“垃圾分类知识竞赛”.现从参加知识竞赛的学生中随机抽取了100名学生，将他们的竞赛成绩满分100分分为6组：得到如图所示的频率分布直方图.求a的值；在抽取的100名学生中，规定：竞赛成绩不低于80分为“优秀”，低于80分为“非优秀”，将下面列联表补充完整，并判断能否有的把握认为竞赛成绩是否优秀与性别有关？非优秀优秀合计男生25女生50合计100参考公式及数据：，其中18. 已知数列是等差数列，是的前n项和，，_____.判断2022是否是数列中的项，并说明理由；求的最小值.从①，②中任选一个，补充在上面的问题中并作答.19. 如图，已知四棱锥的底面是菱形，AC交BD于O，平面ABC，E为AD的中点，点F在PA上，证明：平面BEF；若，求二面角的余弦值．20. 已知函数若，求证：；若函数在上不单调，求实数m的取值范围.21. 已知A，B，C三点在椭圆上，其中A为椭圆E的右顶点，圆O：为三角形ABC的内切圆.求圆O的半径r；已知是E上的两个点，直线与直线均与圆O相切，判断直线与圆O的位置关系，并说明理由.22. 直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为其中求曲线C的直角坐标方程；已知为曲线C上一点，求的最大值及取得最大值时点M的坐标.23. 已知函数，求不等式的解集；若不等式的解集为R，求实数a的取值范围.答案和解析1.【答案】D【解析】解：因为集合，集合，则故选：利用集合并集的定义求解即可．本题考查了集合并集定义的理解与应用，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：对于A，根据频率分布直方图，成绩在内的人数为人，故A 错误，对于B，这50名学生中成绩在内的频率为，故B正确，对于C，这50名学生成绩在内的频率为，则中位数小于70，故C错误，对于D，，故D正确．故选：对于A，结合频率与频数的关系，即可求解，对于B，这50名学生中成绩在内的频率为，即可求解，对于C，结合中位数的公式，即可求解，对于D，结合平均数公式，即可求解．本题主要考查了频率分布直方图的性质，需要学生有数形结合的思想，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：，，故选：根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．本题考查了复数代数形式的乘除法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：圆心角弧度数为时对应的角度数是，由题意知，其密位大小为，所以用密位制表示为故选：把弧度数化为角度数，再由题中给出的密位制定义求解即可．本题考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，是基础题．5.【答案】C【解析】解：由于双曲线的渐近线方程为，设双曲线方程为，则由点在双曲线上，则有，即有，则双曲线的方程为：故选：由于双曲线的渐近线方程为，设双曲线方程为，代入P的坐标，即可求得k，进而得到双曲线方程．本题考查双曲线的方程的求法，考查双曲线的渐近线与双曲线的关系，考查运算能力，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为正方体挖去一个正四棱锥体；如图所示：所以：挖去的正四棱锥体的体积为：，剩余的体积为：；所以：挖去多面体与剩余几何体的体积比为：1：故选：首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积，最后求出几何体的体积比．本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：数列是公比为q的等比数列，，且是与的等差中项，，解得或q 的值是或故选：利用等比数列、等差中项的性质列方程组，能求出结果．本题考查等比数列的运算，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角形内角和定理，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．直接利用正弦定理的应用，三角形内角和定理的应用求出结果．【解答】解：根据题意：在中，，利用正弦定理：，解得：，，故飞机的飞行路程比原来的路程500km大约多飞了故选：9.【答案】C【解析】解：因为，所以，因为，所以，所以，因为，所以，所以故选：先利用同角三角函数的平方关系求得，再根据，结合两角差的余弦公式求出的值，然后由同角三角函数的关系式，得解．本题考查两角和差的余弦公式，同角三角函数的关系式，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：先排三个空位，形成4个间隔，然后插入3个同学，故有种其中3人随机就座有种，故任何两人不相邻的概率为，故选：利用“插空法“，先排三个空位，形成4个间隔，然后插入3个同学得到任何两人不相邻，再求出总数，根据概率公式即可求出．本题考查概率的求法，古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】D【解析】解：设球的半径为R，则，所以设的外接圆半径为，由正弦定理有，解得，所以球心O到平面的距离为设的外接圆半径为，由正弦定理有，解得，所以球心O到平面ABC的距离为当球心O在正三棱台外时，高；当球心O在正三棱台内时，高故选：利用球的表面积公式求出球的半径利用正弦定理求出上下底面外接圆的半径，进而得到球心到上下底面的距离．分上下底面在球心的同侧和异侧两种情形讨论．本题考查球截面的性质，棱台的性质，属于基础题．12.【答案】C【解析】解：，，，为奇函数，又，，，，，，在上单调递减，，，，故选：由，可得为奇函数，由可得在上单调递减，于是所求关系式可转化为，利用其定义域上的单调性脱“f“可得答案．本题考查利用导数研究函数的单调性，能判断出为奇函数且在上单调递减是关键，考查推理能力与运算能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：向量在向量方向上的投影为，故答案为：根据向量的坐标运算性质以及向量投影的求解即可求得答案．本题考查向量投影的求法，主要涉及向量的坐标运算性质，属于基础题．14.【答案】【解析】解：由，得，，则曲线在点处的切线方程是，即故答案为：求出原函数的导函数，得到函数在处的导数，再由直线方程的斜截式得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题．15.【答案】【解析】解：直线l：中x，y分别为0，可得直线与两坐标轴分别交于，，设椭圆上，则P到l的距离，，所以，当且仅当时取等号．故答案为：由题意可得A，B的坐标，求出的值，设椭圆上P的参数坐标，求出点P到直线的距离，代入面积公式，由三角函数的取值范围求出面积的最大值．本题考查点到直线的距离公式及椭圆上的点的坐标参数的设法，面积公式的应用，属于中档题．16.【答案】①⑤【解析】解：函数，若的图象向右平移个单位后与的图象重合，则当最小时，，，，故①正确；在上，，函数没有单调性，故②错误；在上，，函数没有单调性，故③错误；令，求得，故的图象关于点中心对称，故⑤正确，故答案为：①⑤．由题意利用函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．17.【答案】解：频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1，，解得列联表如下：非优秀优秀合计男生252550女生153550合计4060100，有的把握认为竞赛成绩是否优秀与性别有关．【解析】根据已知条件，结合频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1，即可求解．根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．本题主要考查了独立性检验的应用问题，以及频率分布直方图的性质，属于基础题．18.【答案】解：若选①，设公差为d，则，解得所以令，得，所以2022不是数列中的项．令，解得所以当时，故当时，取到最小值，为若选②，设公差为d，则，解得所以令，解得，所以2022是数列的第1017项．令，得所以当时，故当或时，取到最小值，为【解析】由通项公式、求和公式展开条件求出，d，进而求出；由求出数列中正负项的分界点，进而求出的最小值．本题考查等差数列的通项公式，求和公式，前n项和的最值问题，属于中档题．19.【答案】证明：设AO交BE于G，连接FG，因为O，E分别是BD，AD的中点，所以G为的重心，所以，，又，所以，所以，因为平面BEF，平面BEF，所以平面解：以O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，在菱形ABCD中，因为，所以为等边三角形，所以，因为，平面ABC，所以，所以，，，，所以，，，设平面即平面的一个法向量为，则，即，令，则，，所以，同理可得，平面AFB的一个法向量为，所以，，由图知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为【解析】设AO交BE于G，连接FG，易知G为的重心，再结合重心的性质和平行线的判定定理，可证，然后由线面平行的判定定理，得证；以O为原点建立空间直角坐标系，求得平面即平面和平面AFB的法向量与，由，，得解．本题考查空间中线与面的位置关系，二面角的求法，熟练掌握线面平行的判定定理，以及利用空间向量求二面角的方法是解题的关键，考查空间立体感、推理论证能力和运算能力，属于中档题．20.【答案】解：证明：当时，，所以；当时，，在区间上单调递减；当时，，在区间上单调递增；所以是在区间上的最小值，所以依题意，若，则当时，，在区间上单调递增，不合题意，舍去；若，令，则因为时，，所以在上单调递增．因为，而，所以存在，使得此时函数在上单调递减，在上单调递增，符合条件；综上所述，实数m的取值范围是【解析】将代入，对求导，判断其单调性，进而得出其取值情况，由此得证；对求导，分及讨论即可得出结论．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的证明，考查推理能力及运算能力，属于中档题．21.【答案】解：圆O与椭圆E均关于x轴对称，故可设，，过圆心O作于点D，设BC与x轴交于点H，由，得，即，而点在椭圆E上，故，即，得直线与圆O相切．理由如下：由题意可知直线与斜率和均存在，设过且与圆相切的直线方程为：，即，则圆心O到该直线的距离，即，联立，可得：，即，则方程异于的实数解为，可得，设，，则直线的斜率，故直线的方程为：，则圆心O到的距离，故直线与圆O相切．【解析】由题意可设，，过圆心O作于点D，设BC与x轴交于点H，由相似三角形对应边成比例可得，而点在椭圆E上，代入椭圆方程可得关于r的方程，求解可得r值．由题意可知直线与斜率和均存在，设出过且与圆O相切的直线方程，由圆心O到该直线的距离等于半径列式可得，联立直线方程与椭圆方程，求出切点坐标，进一步求得直线的斜率，可得直线的方程，求得圆心O到的距离，可得直线与圆O相切．本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆、圆与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，属难题．22.【答案】解：曲线C的极坐标方程为其中，根据，转换为直角坐标方程为知为曲线C上一点椭圆方程转换为为参数，所以，，当时，即，时，即时，的最大值为【解析】直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；利用三角函数的关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．23.【答案】解：解：，当时，，解得，故，当时，，故，当时，，解得，故，综上所述，不等式的解集为画出函数和的图象如下，不等式的解集为R，的图象在的图象的上方或者部分重合，的图象至少向上平移5个单位，实数a的取值范围是【解析】，分，，三种情况讨论，并取其并集，即可求解．画出函数和的图象如下，结合图象，即可求解．本题考查了绝对值不等式的求解，以及函数恒成立问题，需要学生有数形结合的思想，属于中档题．。

2020届云南省昆明市第一中学高三第一次摸底测试数学(理)试题及答案

2020届云南省昆明市第一中学高三第一次摸底测试数学（理）试题及答案一、单选题1．已知集合{}1,0,1A =-，{}21xB x =≤，则AB =（）A ．{}1,0,1-B ．{}1,0-C ．{}0,1D ．{}1,1-【答案】B【解析】先求集合B ，然后求A B .【详解】因为{}0B x x =≤，所以{}1,0A B ⋂=-，选B. 【点睛】本题考查了集合的交集. 2．若()347z i i +=+，则z =（） A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ．1i --【答案】B 【解析】复数734iz i+=+，然后化简. 【详解】7(7)(34)134(34)(34)i i i z i i i i ++-===-++-，选B.【点睛】本题考查了复数的运算，属于简单题型.3．“二万五千里长征”是1934年10月到1936年10月中国工农红军进行的一次战略转移，是人类历史上的伟大奇迹，向世界展示了中国工农红军的坚强意志，在期间发生了许多可歌可泣的英雄故事.在中国共产党建党98周年之际，某中学组织了“长征英雄事迹我来讲”活动，已知该中学共有高中生2700名，用分层抽样的方法从该校高中学生中抽取一个容量为45的样本参加活动，其中高三年级抽了12人，高二年级抽了16人，则该校高一年级学生人数为（） A ．720 B ．960 C ．1020 D ．1680【答案】C【解析】先计算高一年级抽取的人数，然后计算抽样比，再计算高一年级的总人数. 【详解】因为用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高三年级抽12人，高二年级抽16人，所以高一年级要抽取45121617--=人，因为该校高中学共有2700名学生，所以各年级抽取的比例是451270060=，所以该校高一年级学生人数为117102060÷=人，选C.【点睛】本题考查了分层抽样，属于简单题型.4．()()3112x x +-的展开式中含3x 项的系数为（）A ．5-B ．4-C ．6D ．7【答案】A【解析】先化解为()()33121x x x +-+，然后分别求两部分含3x项的系数.【详解】因为333(1)(12)(1)2(1)x x x x x +-=+-+，含3x 项的系数为323321235C C -=-⨯=-，选A.【点睛】本题考查了二项式定理，分类讨论思想，主要考查计算问题. 5．函数sin e e x xxy -=-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】首先考查函数的奇偶型，排除选项，然后代特殊值判断. 【详解】因为sin x x xy e e -=-为偶函数，所以排除D 选项，当2x =时，sin 0x xxy e e-=>-，选B.【点睛】本题考查了根据函数的解析式判断函数的图像，这类问题根据函数的奇偶型，单调性，特殊值，极值点，以及函数值的趋向来判断选项.6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若927S =，则972a a -=（） A ．3- B ．3 C ．6- D ．6【答案】A【解析】根据9S 可求出5a ，再根据性质9752a a a -=-，计算结果. 【详解】因为927S =，所以53a =，97523a a a -=-=-，选A. 【点睛】本题考查了等差数列的基本计算，属于简单题型. 7．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1AD 的中点，F 为BD 的中点，则（） A ．11//EF C D B ．1EF AD ⊥ C ．//EF 平面11BCC B D ．EF ⊥平面11AB C D【答案】D【解析】分析选项，得到正确结果. 【详解】连结AC ，1D C ，则F 为AC 的中点，所以1//EF D C ，因为11⊥D C DC ，1D C AD ⊥，1AD DC D =，所以1DC ⊥平面11AB C D ，所以EF ⊥平面11AB C D ，选D.【点睛】本题考查了几何体里面的线线和线面的位置关系，考查空间想象能力，以及逻辑推理能力，本题的关键是能证明1//EF CD .8．已知函数()e (sin cos )x f x a x b x =⋅+，若0x =是()f x 的一个极小值点，且222a b +=，则a =（） A ．1- B ．0 C ．1 D ．±1【答案】C【解析】首先求函数的导数，()00f '=，再结合已知求解,a b ，注意不要忘了验证0x =是极小值点. 【详解】由，()()()sin cos x f x e a b x a b x '=⋅-++⎡⎤⎣⎦得()00f a b '=+=，又222a b +=，则21a =，若1a =-，则1b =，此时()2sin xf x e x '=-⋅，0x =是()f x 的一个极大值点，舍去；若1a =，则1b =-，此时()2sin xf x ex '=⋅，0x =是()f x 的一个极小值点，满足题意，故1a =，选C.本题考查了根据函数的极值点求参数，属于简单题型，本题的一个易错点是忘记回代验证0x =是极小值点. 9．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（）A ．25B ．24C ．21D ．9【答案】A【解析】根据程序框图，顺着流程线依次代入循环结构，得到结果. 【详解】第一次循环：09S =+，97T =+：第二次循环：97S =+，975T =++；第三次循环：975S =++，9753T =+++；第四次循环：9753S =+++，97531T =++++；第五次循环：97531S =++++，()975311T =+++++-，此时循环结束，可得()591252S ⨯+==.选A.本题考查了循环结构，顺着结构图，依次写出循环，属于简单题型.10．偶函数()f x 在(],0-∞上为减函数，若不等式()()212f ax f x -<+对任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．()-B ．(-C ．(-D ．()2,2-【答案】D【解析】偶函数满足()()f x f x =，所以函数化简为()()212f ax f x -<+，再根据()0,∞+的单调性去绝对值，转化为210x ax ++>和230x ax -+>在R 上恒成立，求出a 的取值范围. 【详解】因为()f x 为偶函数，由题意可知，()()212f ax f x -<+，()f x 在[)0,+∞上为增函数，所以212ax x -<+，从而22212x ax x --<-<+在x ∈R 恒成立，可得212a <且24a <，所以22a -<<，选D. 【点睛】本题考查了根据偶函数和单调性解抽象不等式，以及一元二次不等式恒成立的问题，需注意偶函数解抽象不等式时，需根据公式()()f x f x =化简，根据()0,∞+的单调性去绝对值.11．设抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点A 为C 上一点，以F 为圆心，FA 为半径的圆交l 于B ，D 两点，若30FBD ∠=︒，ABD ∆的面积为83，则p =（） A ．1 B ．2C ．3D ．2【答案】D【解析】因为点F 到准线的距离是p ，30FBD ∠=，所以半径||||2FA FB p ==，||23BD p =，再根据抛物线的定义可知点A到准线的距离2d FA p ==，最后根据面积计算得到p . 【详解】因为30FBD ∠=︒，所以圆的半径||||2FA FB p ==，||23BD p =，由抛物线定义，点A 到准线l 的距离2d FA p ==，所以1||32832BD d p p ⋅=⋅=，所以2p =，选D.【点睛】本题考查了抛物线的定义，以及抛物线内的平面几何长度的求解，考查了转化与化归和计算问题，涉及抛物线几何性质的题型，需记住：焦点到准线的距离是p ，通径2p ，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，还有焦半径公式等.12．若存在()00,1x ∈，满足()()001ln212x ax +>-，则实数a 的取值范围是（）A ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【答案】A【解析】不等式化简为()()ln 121ln 2x a x +>-+，设函数()()ln 1f x x =+，()()21ln 2g x a x =-+，观察两个函数的交点()1,ln 2A ，求函数()f x 在点A 处的切线，比较切线和()g x 的斜率大小，得到a 的取值范围. 【详解】设()()ln 1f x x =+，()()21ln 2g x a x =-+，则它们函数图象的一个公共点为()1,ln 2A ，函数()()ln 1f x x =+在点A 处的切线斜率为()111112f '==+，所以在A 处的切线方程为()11ln 22y x =-+，所以要存在()00,1x =满足()()00ln 121ln 2x a x +>-+，则122a >，所以a 取值范围是1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，选A.【点睛】本题考查了不等式恒成立求参数取值范围的问题，本题的难点是合理分离两个函数()f x 和()g x ，并且观察其交于点()1,ln 2A ，根据数形结合比较切线的斜率和()g x 的斜率.二、填空题13．已知a ，b 为单位向量，且a ，b 的夹角为60︒，则2a b -=______________..【解析】利用公式()222a b a b-=-，代入数值求解.【详解】因为22212444411132a b a a b b -=-⋅+=-⨯⨯⨯+=.所以23a b -=.【点睛】本题考查了向量数量积的运算，属于基础题型. 14{}n a 的各项都是正数，且3119a a =，则39log a =________. 【答案】2.【解析】根据等比数列的性质23117a a a =，再根据公比求9a . 【详解】因为3119a a =，所以73a =，2939a =⨯=，393log log 92a ==.【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了基本计算，属于简单题型.15．已知1F ，2F 分别为双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，以2F 为圆心，12F F 为半径的圆交双曲线C 的右支于A ，B 两点，若12AB F =，则双曲线C 的离心率为_________.【答案】12.【解析】根据已知条件可知22,AF c AH ==，那么260AF H ∠=，然后进一步求出1AF ，根据双曲线的定义可知122AF AF a -=，求出离心率.【详解】设AB 与x 轴交于点H ，则3AH c =，所以260AF H ∠=︒，所以130AF H ∠=︒，所以123AF c =，所以2322c c a -=，所以双曲线C 的离心率31e +=.【点睛】本题考查双曲线离心率的求法，本题的重点是利用半径等于2c ，根据平面几何的性质将1AF 和2AF 都表示成与c 有关的量，然后根据双曲线的定义求解.在圆锥曲线中求离心率的方法：（1）直接法，易求,,c b c b a a 的比值；（2）构造法，根据条件构造成关于,a c 的齐次方程；（3）几何法，利用椭圆和其他平面图形的一些几何性质，找到等量关系，求离心率.16．在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，PAB ∆和ABC ∆均为边长为3P ABC -的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为____________.【答案】20π.【解析】因为PAB ∆和ABC ∆是全等的等边三角形，所以取AB 中点H ，连接,PH CH ，过两个三角形外接圆的圆心做,PH CH 的高，交点就是外界球的球心，根据所构造的平面图形求半径，最后求球的表面积.【详解】由题意可知，设PAB ∆和ABC ∆的外心的半径为1r ，2r ，则1223224r r ===，122r r ==，21O H =，11O H =，3AH =， 22222115R AO AH O H O O ==++=，5R =，所以球的表面积为2420S R ππ==.【点睛】本题考查了几何体外接球的表面积的求法，考查了空间想象能力，以及转化与化归和计算能力，属于中档题型，这类问题，需先确定球心的位置，一般可先找准底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线，垂线上的点到底面各顶点的距离相等，然后再满足某点到顶点的距离也相等，找到球心后，利用球心到底面的距离，半径和顶点到底面中心的距离构造直角三角形，求半径.三、解答题17．某学校为了解本校文、理科学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从理科班学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从文科班学生中随机抽取n人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：甲样本数据直方图乙样本数据直方图已知乙样本中数据在[)70,80的有10个.（1）求n和乙样本直方图中a的值；（2）试估计该校理科班学生本次模拟测试数学成绩的平均值和文科班学生本次模拟测试数学成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）.【答案】（1）50a=；n=，0.018（2）81.5,82.5.【解析】（1）首先计算乙样本中数据在[)70,80的频率，然后计算样本容量，利用频率和等于1求a；（2）根据样本平均值和中位数的计算公式分别计算；【详解】（1）由直方图可知，乙样本中数据在[)70,80的频率为0.020100.20⨯=，而这个组学生有10人，则100.20n=，得50n =. 由乙样本数据直方图可知()0.0060.0160.0200.040101a ++++⨯=，故0.018a =.（2）甲样本数据的平均值估计值为()550.005650.010750.020850.045950.0201081.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=. 由（1）知0.018a =，故乙样本数据直方图中前三组的频率之和为()0.0060.0160.018100.400.50++⨯=<，前四组的频率之和为()0.0060.0160.0180.040100.800.50+++⨯=>，故乙样本数据的中位数在第4组，则可设该中位数为80x +，由()0.0060.0160.018100.0400.50x ++⨯+=得2.5x =，故乙样本数据的中位数为80 2.582.5+=.根据样本估计总体的思想，可以估计该校理科班学生本次模拟测试数学成绩的平均值约为81.5，文科班学生本次模拟测试数学成绩的中位数约为82.5.【点睛】本题考查了样本频率分布直方图中的相关计算问题，需熟记公式：每个小矩形的面积是本组的频率，频率之和等于1，频数=频率⨯样本容量，样本平均数等于每组数据的中点乘以本组的面积之和，中位数两侧的面积都是0.5. 18．已知在ABC ∆中，120ACB ∠=︒，2BC AC =.（1）求tan A 的值；（2）若1AC =，ACB ∠的平分线CD 交AB 于点D ，求CD 的长.【答案】（1）tan 2A =；（2）23.【解析】（1）根据正弦定理边角互化可知sin 2sin A B =，利用60A B +=，代入60B A =-，整理求tan A ；（2）60ACD ∠=，利用180A ACD ADC +∠+∠=，()sin sin ADC A ACD ∠=+∠，最后ADC∆中利用正弦定理求CD 的长.【详解】（1）因为2BC AC =，所以sin 2sin 2sin 3A B A π⎛⎫==- ⎪⎝⎭. sin sin A A A =-，可得tan 2A =.（2）因为CD 是角平分线，所以60ACD ∠=︒，由tan 2A =，可得sin 7A ==cos 7A ==，所以()sin sin sin cos cos sin 14ADC A ACD A ACD A ACD ∠=∠+∠=∠+∠=，由sin sin AC CD ADC A =∠可得sin 2sin 314AC A AD ADC ===∠. 【点睛】本题考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换解三角形，常用公式180A B C ++=，()sin sin A B C =+以及两角和或差的三角函数，辅助角公式等转化，考查了转化与化归的思想，以及计算能力的考查.19．图1是由正方形ABCG，直角梯形ABED，三角形BCF组成的一个平面图形，其中22==，3AB DE===，将BE BF CF其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.（1）证明：图2中的D，E，C，G四点共面，且平面ABD⊥平面DEC；（2）求图2中的二面角B CE A--的大小.【答案】（1）见解析；π.（2）3【解析】（1）根据平行的传递性，可证明四点共面，要证明面面垂直，可转化为证明线面垂直，即证明AD⊥平面⊥，AD DEDEC，转化为证明AD DG⊥；（2）过点D作AG的垂线，垂足为O，过点O作BC的垂线，垂足为H，则OA OH⊥，由（1）可知点O为AG中⊥，OA OD点，可以OA，OH，OD所在直线分别为x轴、y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz-，分别求两个平面的法向量,m n，求二面角的大小转化为cos,m n<>求解.【详解】（1）证明：因为正方形ABCG中，//AB CG，梯形ABED中，//DE AB ，所以//DE CG ，所以D ，E ，C ，G 四点共面：因为AG AB ⊥，所以AG DE ⊥，因为AD DE ⊥，ADAG A =，所以DE ⊥平面ADG ，因为DG ⊂平面ADG ，所以DE DG ⊥，在直角梯形ABED 中，2AB =，1DE =，BE =可求得AD = 同理在直角梯形GCED 中，可求得DG =2AG BC ==，则222AD DG AG +=，由勾股定理逆定理可知AD DG ⊥，因为AD DE ⊥，DE DG D =，所以AD ⊥平面DEG ，因为AD ⊂平面ABD ，故平面ABD ⊥平面DEG ，即平面ABD ⊥平面DEC .（2）解：过点D 作AG 的垂线，垂足为O ，过点O 作BC 的垂线，垂足为H ，则OA OH ⊥，OA OD ⊥，由（1）可知点O 为AG 中点，且OD DE ⊥，则OD OH ⊥，故可以OA ，OH ，OD 所在直线分别为x 轴、y 轴和z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则各点坐标依次为：()0,0,0O ，()1,0,0A ，()1,2,0B ，()1,2,0C -，()0,0,1D ，()0,1,1E ，所以()1,1,1AE =-，()1,1,1CE =-，设(),,n x y z =为平面ACE 的一个法向量，则00n AE x y z n CE x y z ⎧⋅=-++=⎨⋅=-+=⎩可取1x =，则()1,1,0n =，又()2,0,0CB =，设(),,m x y z '''=为平面BCE 的一个法向量，则200m CB x m CE x y z ⎧⋅==⎨⋅='''+='-⎩可取1y '=，则()0,1,1m =，所以()1cos ,2n mn m n m ⋅==⋅，结合图形可知二面角B CE A --的大小为3π.【点睛】本题考查了面面垂直的证明，以及建立空间直角坐标系，求面面角的问题，证明位置关系的习题可以采用分析法逐步寻找使命题成立的充分条件，然后再用综合法推导证明.20．过()0,1F 的直线l 与抛物线2:4C x y =交于A ，B 两点，以A ，B 两点为切点分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，设1l 与2l 交于点()00,Q x y .（1）求0y ；（2）过Q ，F 的直线交抛物线C 于M ，N 两点，求四边形AMBN 面积的最小值.【答案】（1）01y =-；（2）32.【解析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，并且直线l 与抛物线方程联立，分别求这两点的切线方程，再联立方程求交点坐标；（2）先求向量QF 和AB 的坐标，0QF AB ⋅=，可求得QF AB ⊥，根据焦点弦长公式求AB 和MN ，因为MN AB ⊥,所以四边形AMBN 的面积12S MN AB =⨯⨯，得到关于k 的函数，利用基本不等式求最小值.【详解】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线:1l y kx =+，所以241x y y kx ⎧=⎨=+⎩得2440x kx --=，所以121244x x k x x +=⎧⎨=-⎩ 由2142x y y x '=⇒=，所以()111112:l y y x x x -=-，即：2111124:x l y x x =-，同理22221:24x l y x x =-，联立得1201202214x x x k x x y +⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩，即01y =-.（2）因为12,22x x QF +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2121,AB x x y y =--，所以()222222222121212120222x x x x x x QF AB y y ---⋅=--=-=，所以QF AB ⊥，即MN AB ⊥，()212122444AB y y k x x k =++=++=+，同理244MNk =+， ()222211181182322AMBN S AB MN k k k k ⎛⎫⎛⎫==++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1k =±时，四边形AMBN 面积的最小值为32.【点睛】本题考查了直线与抛物线相交的综合问题，属于中档题型，当直线与圆锥曲线相交时，一种情况是设直线，直线方程与圆锥曲线联立，利用根与系数的关系，表示几何问题，或是设交点，利用交点的坐标表示直线，同样表示几何问题时，用到坐标间的关系，从而达到消去的作用. 21．已知函数()()()1ln 1x f x x e a x ax b =-++-+，[]0,1x ∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在a ，b ，使得函数()f x 在区间[]0,1的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出a ，b 的所有值；若不存在，请说明理由.参考数据：ln 20.693≈.【答案】（1）见解析；（2）存在，当1ln 21a =-且0b =时，或当31ln 2a =-且2b =时，可以使得函数()f x 在区间[]0,1的最小值为1-且最大值为1【解析】（1）首先求函数的导数()(1)1x x f x x e a x '⎡⎤=+-⎣⎦+，设()()1x g x x e a +=-，[]0,1x ∈，再求()0g x '>恒成立，说明()g x 是单调递增函数，然后讨论a 的范围，确定函数的单调区间；（2）根据（1）讨论的函数的单调性，当1a ≤和2a e ≥时函数是单调函数，易判断，当12a e <<时，令()()ln 1h x x x =+-，[]0,1x ∈，根据其单调性，可判断()0h x ≤，当1a =时，()()()1f x u x u =≤，当2a e =时，()()()1f x x νν=≥，因为12a e <<，所以()()()v x f x u x <<，()()()21e f x u ν∴<<，()()()()max min 21112.6l 32n 2f x f x e -<-≈<-，与条件矛盾，所以这种情况下不存在. 【详解】（1）()(1)1xx f x x e a x '⎡⎤=+-⎣⎦+，令()()1xg x x e a +=-，[]0,1x ∈，则()(2)0x g x x e '=+>，则()g x 在[]0,1上单调递增， ①.若1a ≤，则()()010g x g a ≥=-≥，则()()01x g x f x x ⋅'=≥+，则()f x 在[]0,1上单调递增；②.若2a e ≥，则()()120g x g e a ≤=-≤，则()()01x g x f x x ⋅'=≤+，则()f x 在[]0,1上单调递减；③.若12a e <<，则()010g a =-<，()120g e a =->，又()g x 在[]0,1上单调递增，结合零点存在性定理知：存在唯一实数()00,1x ∈，使得()()00010x g x x e a =+-=，当[)00,x x ∈时，()0g x <，则()0f x '<，则()f x 在[)00,x 上单调递减，当[]0,1x x ∈时，()0g x ≥，则()0f x '≥，则()f x 在[]0,1x 上单调递增.综上，当1a ≤时，()f x 在[]0,1上单调递增；当2a e ≥时，()f x 在[]0,1上单调递减；当12a e <<时，存在唯一实数()00,1x ∈，使得()01x x e a +=， ()f x 在[)00,x 上单调递减，在[]0,1x 上单调递增.（2）由（1）可知，①.若1a ≤，则()()min 011f x f b ==-=-，则0b =，而()()max 1ln 21f x f a a b ==-+=，解得11ln 21a =<-满足题意； ②.若2a e ≥，则()()max 011f x f b ==-=，则2b =，而()()min 1ln 21f x f a a b ==-+=-，解得39.77221ln 2a e =≈>-满足题意：③.若12a e <<，令()()ln 1h x x x =+-，[]0,1x ∈，则()01xh x x -'=≤+，故()h x 在[]0,1上单调递减，所以()()00h x h ≤=，令()()()1xu x x e h x b =-++，[]0,1x ∈，由（1）知()()1ln 21u u x b ≤=-+；令()()()12xv x x eeh x b =-++，[]0,1x ∈，由（1）知()()()12ln 21v x v e b =-≥+；因为()()()1xf x x eah x b =-++，()0h x ≤，且12a e <<，所以()()()v x f x u x <<，则()max ln 21f x b <-+，()()min 2ln 21f x e b >-+，故()()()()max min 21112.6l 32n 2f x f x e -<-≈<-，故对任意()1,2a e ∈，不存在实数b 能使函数()f x 在区间[]0,1的最小值为1-且最大值为1；综上，当1ln 21a =-且0b =时，或当31ln 2a =-且2b =时，可以使得函数()f x 在区间[]0,1的最小值为1-且最大值为1. 【点睛】本题考查了导数讨论函数的单调性和最值，考查了分类与整合，转化与化归的思想，以及分析，变形，逻辑推理能力，属于高档题型，本题的难点是当12a e <<时讨论函数的最值，分离出()f x 的()ln 1x x +-这部分，并判断其正负，分别令1a =和2a e =时，判断函数的单调性和不等关系的传递性求函数的最值.22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为32x ty t =+⎧⎨=-+⎩（t为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为54π⎛⎫ ⎪⎝⎭，曲线C 的极坐标方程为24sin 0ρρθ+=.（1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若点Q 为曲线C 上的动点，求PQ 中点M 到直线l 的距离的最小值【答案】（1）50x y --=，()2224x y ++=；（2）1.【解析】（1）两式相减，消去t 后的方程就是直线l 的普通方程，利用转化公式222x y ρ=+，sin y ρθ= ，极坐标方程化为直角坐标方程；（2）32cos 52sin ,22M αα-+-+⎛⎫⎪⎝⎭，然后写出点到直线的距离公式，转化为三角函数求最值. 【详解】（1）直线l 的普通方程为：50x y --=，由线C 的直角坐标方程为：()2224x y ++=.（2）曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=-+⎩（α为参数），点P 的直角坐标为()3,3--，中点32cos 52sin ,22M αα-+-+⎛⎫⎪⎝⎭，则点M 到直线l的距离d =，当cos 14πα⎛⎫ ⎪⎝⎭+=时，d 的最小值为1，所以PQ 中点M 到直线l 的距离的最小值为1.【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的转化，以及将距离的最值转化为三角函数问题，意在考查转化与化归的思想，以及计算求解的能力，属于基础题型.23．已知正数a ，b ，c 满足等式1a b c ++=. 证明：（1≤；（2≤【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）采用分析法证明，要证明不等式成立，只需证明23≤，展开以后利用基本不等式证明；（2）利用2323231111111a b c +++++=，再利用第一问的结论，即可证明.【详解】（1）要证不等式等价于23≤，因为22123222a b b c a c a b c +++⎛⎫=+++≤+++= ⎪⎝⎭，≤13a b c ===时取等号. （2）因为()()()23232311a b c +++++=，所以2323231111111a b c +++++=，又因为23011a +>，23011b +>，23011c +>.所以≤13a b c===时取等号.【点睛】本题考查了利用基本不等式证明不等式，考查了学生分析问题和类比推理的能力，属于中档题型.。

云南省昆明一中高三数学上学期摸底试卷理(含解析)

云南省昆明一中2015届高三上学期摸底数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={x∈Z|x2＜4}，B={x|x＞﹣1}，则A∩B=（）A．{0，1} B．{﹣1，0} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}2．（5分）在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（1，﹣1）D．（﹣1，﹣1）3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y=|x+1| B．y=C．y=2﹣|x|D．y=log2|x|4．（5分）双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x﹣2y+1=0垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2 D．5．（5分）在△ABC中，点D为BC的中点，若AB=，AC=3，则•=（）A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）已知关于x的方程2sin（x+）﹣a=0在区间[0，2π]上有两个不同的实根，则实数a的数值范围是（）A．（﹣2，2）B．[﹣2，2] C．[﹣2，）∪（，2] D．（﹣2，）∪（，2）7．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的x，y，N的值分别为1，2，3，则输出的S=（）A．27 B．81 C．99 D．5778．（5分）设α为第四象限的角，若=，则tanα=（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣39．（5分）4名学生从3个体育项目中每人选择1个项目参加，而每个项目都有学生参加的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心且经过点A的圆交l于B、D两点，若∠ABD=90°，△ABF的面积为3，则p=（）A．1 B．C．2 D．11．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体体积的最小值等于（）A．36 B．C．18 D．12．（5分）已知函数f（x）=ax2﹣lnx，若f（x）存在两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，1）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，﹣1]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）（+）6的展开式中常数项为．（用数字作答）14．（5分）甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说真话．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是．15．（5分）已知在△ABC中，C=，AB=6，则△ABC面积的最大值是．16．（5分）已知三棱锥A﹣BCD的所有顶点都在球O的球面上，AB为球O的直径，若该三棱锥的体积为，BC=2，BD=，∠CBD=90°，则球O的表面积为．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a2=2，a3•a5=64（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，求数列{a n+1•b n+1}的前n项和T n．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA=PC，（1）证明：PB⊥AC；（2）若平面PAC⊥平面平面ABCD，∠ABC=60°，PB=AB，求二面角D﹣PB﹣C的余弦值．19．（12分）某校2014-2015学年高一年级共有800名学生，其中男生480名，女生320名，在某次满分为100分的数学考试中，所有学生成绩在30分及30分以上，成绩在“80分及80分以上”的学生视为优秀．现按性别采用分层抽样的方法共抽取100名学生，将他们的成绩按[30，40]、[40，50]、[50，60]、[60，70]、[70，80]、[80，90]、[90，100]分成七组．得到的频率分布直方图如图所示：（1）请将下列2×2列联表补充完整，计算并说明是否有95%的把握认为“该校学生数学成绩优秀与性别有关”？数学成绩优秀数学成绩不优秀合计男生12女生合计100（2）在第1组、第7组中共抽处学生3人调查影响数学成绩的原因，记抽到“成绩优秀”的学生人数为X，求X的分布列及期望．附：K2=，其中n=a+b+c+d．P（K2≥k0）0.15 0.10 0.05K0 2.072 2.706 3.84120．（12分）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣，0），过F的直线交C于A，B两点，设点A关于y轴的对称点为A′，且|FA|+|FA′|=4．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若点A在第一象限，当△AFA′面积最大时，求|AB|的值．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣ax2，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线在x轴上的截距为．（1）求实数a的值；（2）设g（x）=f（2x）﹣f（x），求证：g（x）在R上单调递增．一、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，CD是△ABC中AB边上的高，以AD为直径的圆交AC于点E，一BD为直径的圆交BC于点F．（Ⅰ）求证：E、D、F、C四点共圆；（Ⅱ）若BD=5，CF=，求四边形EDFC外接圆的半径．一、选修4-4-：坐标系与参数方程23．已知曲线C的极坐标方程是ρ﹣2cosθ﹣4sinθ=0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程是（t是参数）．（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线l的参数方程化为普通方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，与y轴交于点E，求|EA|+|EB|．一、选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|2x+b|．（Ⅰ）若不等式f（x）≤3的解集是{x|﹣1≤x≤2}，求实数b的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若f（x+3）+f（x+1）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．云南省昆明一中2015届高三上学期摸底数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={x∈Z|x2＜4}，B={x|x＞﹣1}，则A∩B=（）A．{0，1} B．{﹣1，0} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：先求出x2＜4的解集，再求出集合A，由交集的运算求出A∩B．解答：解：由x2＜4得，﹣2＜x＜2，则集合A={x∈Z|x2＜4}={﹣1，0，1}，又B={x|x＞﹣1}，则A∩B={0，1}，故选：A．点评：本题考查了交集及其运算，注意元素的取值范围，属于基础题．2．（5分）在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（1，﹣1）D．（﹣1，﹣1）考点：复数代数形式的混合运算；复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，化简复数z为﹣1+i，由此可得它对应的点的坐标．解答：解：∵复数===﹣1+i，故它对应的点的坐标为（1，﹣1），故选B．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y=|x+1| B．y=C．y=2﹣|x|D．y=log2|x|考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性和单调性之间的关系解答：解：A．函数y=|x+1|为非奇非偶函数，不满足条件．B．函数的定义域为[0，+∞），为非奇非偶函数，不满足条件．C．函数为偶函数，当x＞0时，y=2﹣|x|=y=2﹣x，为减函数，不满足条件．D．y=log2|x|是偶函数又在（0，+∞）上单调递增，满足条件．故选：D点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的性质．4．（5分）双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x﹣2y+1=0垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2 D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：分析：由题意可判断出直线x﹣2y+1=0与渐近线y=x垂直，利用相互垂直的直线的斜率之间的关系和离心率的计算公式即可得出．解答：解：∵双曲线=1的渐近线方程为y=±x．又直线x+2y﹣1=0可化为y=x+，可得斜率为．∵双曲线=1的一条渐近线与直线x+2y﹣1=0垂直，∴×=﹣1，得到=﹣2．∴双曲的离心率e====．故选：D．点评：熟练掌握双曲线的渐近线、相互垂直的直线的斜率之间的关系和离心率的计算公式是解题的关键．5．（5分）在△ABC中，点D为BC的中点，若AB=，AC=3，则•=（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：平面向量数量积的运算；余弦定理．专题：平面向量及应用．分析：利用三角形中线的性质将和分别用表示，然后进行向量的模的运算即可．解答：解：因为在△ABC中，点D为BC的中点，所以，，因为AB=，AC=3，所以•====2；故选B．点评：本题考查了向量的三角形法则的运用以及向量的乘法的计算，运用了向量的平方与其模的平方相等使问题得到解决．6．（5分）已知关于x的方程2sin（x+）﹣a=0在区间[0，2π]上有两个不同的实根，则实数a的数值范围是（）A．（﹣2，2）B．[﹣2，2] C．[﹣2，）∪（，2] D．（﹣2，）∪（，2）考点：函数的零点．专题：作图题；函数的性质及应用．分析：方程2sin（x+）﹣a=0在区间[0，2π]上有两个不同的实根可化为函数a=2sin（x+）的图象特征，作图可得．解答：解：方程2sin（x+）﹣a=0在区间[0，2π]上有两个不同的实根可化为函数a=2sin（x+）的图象特征，作出其图如下：由图可知，实数a的数值范围是：（﹣2，）∪（，2）．故选D．点评：本题考查了方程的根与函数的图象之间的关系，同时考查了学生的作图能力，属于中档题．7．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的x，y，N的值分别为1，2，3，则输出的S=（）A．27 B．81 C．99 D．577考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，写出每次循环得到的x，y S，k的值，当k=4时满足条件k≥N，输出S的值为81．解答：解：执行程序框图，有x=1，y=2，N=3k=1，a=1，b=2第1次执行循环体，x=5，y=4，S=9，k=2；不满足条件k＞N，第2次执行循环体，x=13，y=14，S=27，k=3；不满足条件k＞N，第3次执行循环体，x=41，y=40，S=81，k=4；满足条件k≥N，输出S的值为81．故选：B．点评：本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．8．（5分）设α为第四象限的角，若=，则tanα=（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣3考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：先根据3α=α+2α对sin3α进行变换，再由正切函数的二倍角公式可得答案．解答：解：∵a为第四象限的角∴sinα＜0，cosα＞0∵===2cos2α+cos2α=4cos2α﹣1=∴cosα=，sinα=﹣∴tanα=﹣故选：A．点评：本题主要考查两角和与差的正弦公式和正切函数的二倍角公式．9．（5分）4名学生从3个体育项目中每人选择1个项目参加，而每个项目都有学生参加的概率为（）A．B．C．D．考点：相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：根据题意，4名学生选择3个项目可能出现的结果数为34，记“3个项目都有人选择”为事件A1，计算事件A1包含出现的结果数，由古典概型公式，计算可得答案；解答：解：4名学生选择3个项目可能出现的结果数为34，由于是任意选择，这些结果出现的可能性都相等．3个项目都有人选择，可能出现的结果数为3C43C21C11；记“3个项目都有人选择”为事件A1，那么事件A1的概率为P（A1）=，故选C．点评：本题考查排列、组合的综合运用与概率的计算，关键在于利用组合数公式计算事件包括的情况的数目．10．（5分）设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心且经过点A的圆交l于B、D两点，若∠ABD=90°，△ABF的面积为3，则p=（）A．1 B．C．2 D．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；直线与圆．分析：由题意，|AB|=|AF|=|BF|，△ABF是等边三角形，利用△ABF的面积为3，求出|BF|，即可得出结论．解答：解：由题意，以F为圆心且经过点A的圆交l于B、D两点，∠ABD=90°，∴|AB|=|AF|=|BF|，∴△ABF是等边三角形，∴∠FBD=30°．∵△ABF的面积为3，∴|BF|=2，∴|DF|=，即p=．故选：B．点评：本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，考查学生的计算能力，比较基础．11．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体体积的最小值等于（）A．36 B．C．18 D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三视图知：几何体体积的最小时，几何体是四棱锥与正方体的组合体，且正方体的棱长为3，四棱锥的底面为正方形，边长为3，高为3，即可求出几何体体积的最小值．解答：解：由三视图知：几何体体积的最小时，几何体是四棱锥与正方体的组合体，且正方体的棱长为3，四棱锥的底面为正方形，边长为3，高为3∴几何体的体积的最小值V=3×3+=18．故选：C．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是关键．12．（5分）已知函数f（x）=ax2﹣lnx，若f（x）存在两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，1）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，﹣1]考点：函数的零点与方程根的关系；函数的零点．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：f′（x）=2ax﹣==0在（0，+∞）上有解并求出解，从而得函数f（x）=ax2﹣lnx，若f（x）存在两个零点可化为f（）＜0．解答：解：由题意，f′（x）=2ax﹣==0在（0，+∞）上有解，则a＞0，解为x=，则f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增；则函数f（x）=ax2﹣lnx，若f（x）存在两个零点可化为f（）＜0，即﹣ln＜0，解得实数a的取值范围是（0，）．故选A．点评：本题考查了函数的零点的个数的判断，同时用到了导数及函数的单调性，属于基础题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）（+）6的展开式中常数项为60．（用数字作答）考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：根据二项展开式的通项公式，求出常数项来．解答：解：∵的展开式中，T r+1=••=2γ••，令3﹣=0，解得r=2；∴常数项为T2+1=22×=4×15=60．故答案为：60．点评：本题考查了二项式定理的应用问题，解题时应用通项展开式进行解答，是基础题．14．（5分）甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说真话．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是甲．考点：进行简单的合情推理．专题：探究型；推理和证明．分析：利用反证法，即可得出结论．解答：解：假设甲说的是假话，即丙考满分，则乙也是假话，不成立；假设乙说的是假话，即乙没有考满分，又丙没有考满分，故甲考满分；故答案为：甲．点评：本题考查进行简单的合情推理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．15．（5分）已知在△ABC中，C=，AB=6，则△ABC面积的最大值是9．考点：三角形的面积公式．专题：计算题；解三角形．分析：利用余弦定理，整理后可得a2+b2﹣ab=36再利用基本不等式求出ab的最大值，然后利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，即可求出三角形ABC面积的最大值．解答：解：由题意，由余弦定理可得36=a2+b2﹣2abcos，∴a2+b2﹣ab=36∵a2+b2≥2ab，∴ab≤36∴S=absin，∴△ABC面积的最大值是9．故答案为：9．点评：本题考查余弦定理，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16．（5分）已知三棱锥A﹣BCD的所有顶点都在球O的球面上，AB为球O的直径，若该三棱锥的体积为，BC=2，BD=，∠CBD=90°，则球O的表面积为11π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：先利用体积，求出A到平面BCD的距离，可得O到平面BCD的距离，再利用勾股定理，求出球的半径，即可求出球O的表面积．解答：解：由题意，设A到平面BCD的距离为h，则∵三棱锥的体积为，BC=2，BD=，∠CBD=90°，∴×=，∴h=2，∴O到平面BCD的距离为1，∵△BCD外接圆的直径BD=，∴OB==，∴球O的表面积为4π×=11π．故答案为：11π．点评：本题考查球O的表面积，考查学生的计算能力，确定球的半径是关键．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a2=2，a3•a5=64（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，求数列{a n+1•b n+1}的前n项和T n．考点：数列的求和；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用等比数列的通项公式即可得出．（2）b n=log2a n=n﹣1，可得a n+1•b n+1=n•2n．利用“错位相减法”和等比数列的前n项和公式即可得出．解答：解：（1）设各项均为正数的等比数列{a n}的公比q＞0，∵a2=2，a3a5=64，∴a1q=2，，解得q=2，a1=1．∴．（2）b n=log2a n=n﹣1，∴a n+1•b n+1=n•2n．∴T n=1×2+2×22+3×23+…+n•2n，2T n=22+2×23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1，∴﹣T n=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=2×﹣n•2n+1，∴T n=（n﹣1）•2n+1+2．点评：本题考查了“错位相减法”和等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA=PC，（1）证明：P B⊥AC；（2）若平面PAC⊥平面平面ABCD，∠ABC=60°，PB=AB，求二面角D﹣PB﹣C的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）连接PO，AC⊥BD，且O为AC和BD的中点，由PA=PC，得AC⊥PO，从而AC⊥平面PBD，由此能证明PB⊥AC．（Ⅱ）由已知得PO⊥平面ABCD，过点O作OH⊥PB于点H，连结CH，得CH⊥PB，从而∠OHC 是二面角D﹣PB﹣C的平面角，由此能求出二面角D﹣PB﹣C的余弦值．解答：（Ⅰ）证明：连接PO，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，且O为AC和BD的中点，又PA=PC，∴AC⊥PO，∵BD∩PO=O，BD、PO⊂平面PBD，∴AC⊥平面PBD，∵PB⊂平面PBD，∴PB⊥AC．（Ⅱ）解：∵平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，AC⊥PO，PO⊂平面PAC，∴PO⊥平面ABCD，∵BD⊂平面ABCD，∴PO⊥BD，过点O作OH⊥PB于点H，连结CH，得CH⊥PB，∴∠OHC是二面角D﹣PB﹣C的平面角，设PA=AB=a，∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴AB=BC=AC，CO=，BO=，在Rt△POB中，PO===，OH==，∴在Rt△COH中，CH===，=，∴二面角D﹣PB﹣C的余弦值．点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19．（12分）某校2014-2015学年高一年级共有800名学生，其中男生480名，女生320名，在某次满分为100分的数学考试中，所有学生成绩在30分及30分以上，成绩在“80分及80分以上”的学生视为优秀．现按性别采用分层抽样的方法共抽取100名学生，将他们的成绩按[30，40]、[40，50]、[50，60]、[60，70]、[70，80]、[80，90]、[90，100]分成七组．得到的频率分布直方图如图所示：（1）请将下列2×2列联表补充完整，计算并说明是否有95%的把握认为“该校学生数学成绩优秀与性别有关”？数学成绩优秀数学成绩不优秀合计男生12女生合计100（2）在第1组、第7组中共抽处学生3人调查影响数学成绩的原因，记抽到“成绩优秀”的学生人数为X，求X的分布列及期望．附：K2=，其中n=a+b+c+d．P（K2≥k0）0.15 0.10 0.05K0 2.072 2.706 3.841考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；独立性检验．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由已知得应抽取男生60人，女生40人，从而能作出2×2列联表，求出k2=0.407＜3.841，计算结果表明，没有95%把握认为“该校学生数学成绩优秀与性别有关”．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及期望．解答：解：（Ⅰ）应抽取男生60人，女生40人，2×2列联表如下：数学成绩优秀数学成绩不优秀合计男生 12 48 60女生 6 34 40合计 18 82 100k2==0.407＜3.841，计算结果表明，没有95%把握认为“该校学生数学成绩优秀与性别有关”．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）=C=，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，∴X的分布列为X 0 1 2 3PE（X）==．点评：本题考查2×2列联表的作法，计算并说明是否有95%的把握认为“该校学生数学成绩优秀与性别有关”，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要注意排列组合的合理运用．20．（12分）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣，0），过F的直线交C于A，B两点，设点A关于y轴的对称点为A′，且|FA|+|FA′|=4．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若点A在第一象限，当△AFA′面积最大时，求|AB|的值．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）设F′是椭圆的右焦点，由椭圆的性质及其定义可得：|FA|+|FA′|=|FA|+|F′A|=2a=4．再利用b2=a2﹣c2即可得出．（II）设A（x1，y1）（x1＞0，y1＞0），△AFA′面积S==x1y1．由于利用基本不等式的性质可得．当△AFA′面积取得最大时，=，解得A，可得直线AB的方程为：，设B（x2，y2），与椭圆的方程联立可得B，利用|AB|=即可得出．解答：解：（I）设F′是椭圆的右焦点，由椭圆的性质和定义可得：|FA|+|FA′|=|FA|+|F′A|=2a=4．解得a=2，∵左焦点为F（﹣，0），c=，∴b2=a2﹣c2=2．∴椭圆C的方程为=1．（II）设A（x1，y1）（x1＞0，y1＞0），△AFA′面积S==x1y1．∵≥2×=，∴．当△AFA′面积取得最大时，=，解得，y 1=1．由F（﹣，0），A，可得直线AB的方程为：，化为=0，设B（x2，y2），联立，解得，，可得B．∴|AB|==．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、基本不等式的性质、弦长公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣ax2，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线在x轴上的截距为．（1）求实数a的值；（2）设g（x）=f（2x）﹣f（x），求证：g（x）在R上单调递增．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）求函数的导数，利用导数的几何意义，即可得到结论．（2）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可得到结论．解答：解：（1）函数的导数f′（x）=e x﹣2ax，f′（1）=e﹣2a，f（1）=e﹣a，∴y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（e﹣a）=（e﹣2a）（x﹣1），由y=0，得x=，∵切线在x轴上的截距为．∴=．解得a=1．（2）由（1）知f（x）=f（x）=e x﹣x2，则g（x）=e2x﹣e x﹣3x2，函数的导数g′（x）=2e2x﹣e x﹣6x，令h（x）=2e2x﹣e x﹣6x，h′（x）=2e2x﹣e x﹣6，令h′（x）＞0，得或（舍去），∴当x＞ln时，h（x）递增，当x＜ln时，h（x）递减，∴h（x）≥h（）=2（）2﹣﹣6ln=﹣6ln＞=，下面证明：ln（x+1）≤x，（x＞﹣1），设d（x）=ln（x+1）﹣x，则d′（x）=，则d（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，∴d（x）≤d（0）=0，∴ln（x+1）≤x，∴ln（+3）≤，∴h（x），即g（x）在R上单调递增．点评：本题主要考查导数的几何意义的应用，以及利用导数证明函数的单调性，综合考查导数的应用，运算量较大，难度较大．一、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，CD是△ABC中AB边上的高，以AD为直径的圆交AC于点E，一BD为直径的圆交BC于点F．（Ⅰ）求证：E、D、F、C四点共圆；（Ⅱ）若BD=5，CF=，求四边形EDFC外接圆的半径．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；立体几何．分析：（Ⅰ）利用AD，BD是直径，可得∠AED=∠BFD=90°，再证明∠DEC+∠DFC=180°，即可证明：E、D、F、C四点共圆；（Ⅱ）确定BD是四边形EDFC外接圆的切线，求出BD，同理求出CD，即可求四边形EDFC外接圆的半径．解答：（Ⅰ）证明：连接ED，FD，∵AD，BD是直径，∴∠AED=∠BFD=90°，∴∠DEC=∠DFC=90°，∴∠DEC+∠DFC=180°，∴E、D、F、C四点共圆；（Ⅱ）解：∵∠DEC=90°，∴CD是四边形EDFC外接圆的直径，∵CD是△ABC中AB边上的高，∴BD是四边形EDFC外接圆的切线，∴BD=BF•BC∵BD=5，CF=，∴BF=3，同理CD=∴四边形EDFC外接圆的半径为．点评：本题考查与圆有关的比例线段，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．一、选修4-4-：坐标系与参数方程23．已知曲线C的极坐标方程是ρ﹣2cosθ﹣4sinθ=0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程是（t是参数）．（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线l的参数方程化为普通方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，与y轴交于点E，求|EA|+|EB|．考点：参数方程化成普通方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）由曲线C的极坐标方程ρ﹣2cosθ﹣4sinθ=0，化为ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ=0，利用即可得出；由直线l的参数方程（t是参数），把t=2x代入即可得出．（2）把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程可得：t2﹣t﹣4=0．点E对应的参数为t=0．设点A，B分别对应的参数为t1，t2．利用|EA|+|EB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|=及其根与系数的关系即可得出．解答：解：（1）由曲线C的极坐标方程ρ﹣2cosθ﹣4sinθ=0，化为ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ=0，∴x2+y2﹣2x﹣4y=0；由直线l的参数方程（t是参数）化为．（2）把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程可得：t2﹣t﹣4=0．点E对应的参数为t=0．设点A，B分别对应的参数为t1，t2．则t1+t2=1，t1t2=﹣4．∴|EA|+|EB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|===．点评：本题考查了参数方程极坐标方程化为普通方程、直线参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．一、选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|2x+b|．（Ⅰ）若不等式f（x）≤3的解集是{x|﹣1≤x≤2}，求实数b的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若f（x+3）+f（x+1）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．考点：绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）求出不等式f（x）≤3的解集，和已知的解集作对比，从而求得实数b的值．（Ⅱ）设g（x）=f（x+3）+f（x+1）=|2x+5|+|2x+1|≥|（2x+5）﹣（2x+1）|=4，它的最小值为4，从而求得实数m的取值范围．解答：解：（Ⅰ）由不等式f（x）≤3可得|2x+b|≤3，解得≤x≤．再由不等式f（x）≤3的解集是{x|﹣1≤x≤2}，可得=﹣1，=2，解得b=﹣1．（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，f（x）=|2x﹣1|，设g（x）=f（x+3）+f（x+1），则g（x）=|2x+5|+|2x+1|≥|（2x+5）﹣（2x+1）|=4，若f（x+3）+f（x+1）≥m对一切实数x恒成立，应有4≥m．故实数m的取值范围为（﹣∞，4]．点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了化归与转化的数学思想，属于中档题．- 21 -。

云南省昆明市第一中学2020届高三上学期第一次摸底测试数学(理)试题 Word版含解析

2019-2020学年云南省昆明一中高三（上）第一次摸底数学试卷（理科）（9月份）一、选择题（本大题共12小题）1.已知集合0，，，则A. 0，B.C.D.2.若，则A. B. C. D.3.“二万五千里长征”是1934年10月到1936年10月中国工农红军进行的一次战略转移，是人类历史上的伟大奇迹，向世界展示了中国工农红军的坚强意志，在期间发生了许多可歌可泣的英雄故事．在中国共产党建党98周年之际某中学组织了“长征英雄事迹我来讲”活动，已知该中学共有高中生2700名，用分层抽样的方法从该校高中学生中抽取一个容量为45的样本参加活动，其中高三年级抽了12人，高二年级抽了16人，则该校高一年级学生人数为A. 720B. 960C. 1020D. 16804.的展开式中含项的系数为A. B. C. 6 D. 75.函数的图象大致为A.B.C.D.6.已知等差数列的前n项和为，若，则A. B. 3 C. D. 67.在正方体中，E为的中点，F为BD的中点，则A. B.C. 平面D. 平面8.已知函数，若是的一个极小值点，且，则A. B. 0 C. 1 D.9.执行如图所示的程序框图输出的S的值为A. 25B. 24C. 21D. 910.偶函数在上为减函数，若不等式对任意的恒成立，则实数a的取值范围是A. B. C. D.11.设抛物线C：的焦点为F，准线为l，点A为C上一点，以F为圆心，FA为半径的圆交l于B，D两点，若，的面积为，则A. 1B.C.D. 212.若存在，满足，则实数a的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题）13.已知，为单位向量，且，的夹角为，则______．14.公比为3的等比数列的各项都是正数，且，则______．15.已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆交双曲线C的右支于A，B两点，若，则双曲线C的离心率为______．16.在三棱锥中，平面平面ABC，和均为边长为的等边三角形，若三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题）17.某学校为了解本校文理科学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从理科班学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从文科班学生中随机抽取n人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：已知乙样本中数据在的有10个．求n和乙样本直方图中a的值；试估计该校理科班学生本次模拟测试数学成绩的平均值和文科班学生本次模拟测试数学成绩的中位数同组中的数据用该组区间中点值为代表．18.已知在中，，．求tan A的值；若，的平分线CD交AB于点D，求CD的长．19.图1是由正方形ABCG，直角梯形ABED，三角形BCF组成的一个平面图形，其中，，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2．证明：图2中的D，E，C，G四点共面，且平面平面DEC；求图2中的二面角的大小．20.过的直线l与抛物线C：交于A，B两点，以A，B两点为切点分别作抛物线C的切线，设与交于点求；过Q，F的直线交抛物线C于M，N两点，求四边形AMBN面积的最小值．21.已知函数，．讨论的单调性；是否存在a，b，使得函数在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，请说明理由．参考数据：．22.如在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为，曲线C的极坐标方程为．写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；若点Q为曲线C上的动点，求PQ中点M到直线l的距离的最小值．23.已知正数a，b，c满足等式证明：；．答案和解析1.【答案】B【解析】解：0，，，．故选：B．可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，指数函数的单调性，以及交集的运算．2.【答案】B【解析】解：由，得．故选：B．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.【答案】C【解析】解：设该校高一年级学生人数为x人，由题意得：，解得．故选：C．设该校高一年级学生人数为x人，由此利用列举法得，由此能求出该校高一年级学生人数．本题考查高一年级学生人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】A【解析】解：的展开式中含项的系数为，故选：A．把按照二项式定理展开，可得结论．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：函数定义域为；且，函数为偶函数，排除选项D；将表达式的分子分母均乘以，可得且当时，，故选项A，C不成立．故选：B．首先利用函数的奇偶性排除选项D，再将原函数的分子分母同乘进行化简，最后利用特殊值法即可判断．本题考查函数的奇偶性及图象对称性的综合应用，属于中档题6.【答案】A【解析】解：等差数列的前n项和为，，，解得，．利用等差数列的前n项和公式推导出，再由，能求出结果．本题考查等差数列的前n项和公式、通项公式的应用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】D【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体中棱长为2，则0，，1，，2，，0，，0，，在A中，1，，，与不平行，故A错误；在B中，0，，，与不垂直，故B错误；在C中，平面的法向量1，，，与平面不平行，故C错误；在D中，0，，2，，，，，，，平面D.故选：D．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．本题考查线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8.【答案】C【解析】解：，，又，或，当，时，，在区间上，在区间上，是极大值点，不符合题意．当，时，，在区间上，在区间上，是极小值点，符合题意．，故选：C．先写出导函数，得，又因为，所以或，分别代入解析式，检验哪个符合题意．本题考查导数的应用，极值，属于中档题．9.【答案】A【解析】解：初始值，；第一步，，，此时，故；第二步：，，此时，故；第三步：，，此时，故；第四步：，，此时，故；第五步：，，此时，故输出；根据程序框图依次写出每次循环的结果，再根据判断框内的条件，确定输出的S的值即可．本题考查程序框图，难度较小，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：是偶函数，图象关于y轴对称．在的单调性与的单调性相反，可得在上是增函数．不等式恒成立，等价于恒成立．即不等式恒成立，的解集为R，结合一元二次方程根的判别式，得：且解之得．故选：D．根据偶函数图象关于y轴对称，得在上是单调减函数，且在上单调增，由此结合是正数，将原不等式转化为恒成立，去绝对值再用一元二次不等式恒成立的方法进行处理，即得实数a的取值范围．本题给出偶函数的单调性，叫我们讨论关于x的不等式恒成立的问题，着重考查了函数的单调性与奇偶性、一元二次不等式解法等知识，属于基础题．11.【答案】D【解析】解：如图所示，设l与x轴交于H，且，l：，因为，在直角三角形FBH中，可得，所以圆的半径为，，由抛物线的定义知，点A到准线l的距离为，所以的面积为，解得．故选：D．根据题意画出图形，结合图形求出，，由抛物线的定义可得点A到准线l的距离，运用三角形的面积公式可得的面积，从而求出p的值．本题考查了抛物线的定义与性质的应用问题，也考查了数形结合思想应用，是中档题．12.【答案】A【解析】解：设，，则是单调增函数，且的值域为；设，则恒过定点，又，，且，存在，不等式时，即，不等式不成立，由此得，解得，所以a的取值范围是．故选：A．设，，，对求导数，利用导数的几何意义列不等式求出a的取值范围．本题主要考查对数函数与不等式的应用问题，也考查了利用导数研究函数的单调性问题，是中档题．13.【答案】【解析】解：已知，为单位向量，且，的夹角为，，则，故答案为：．由题意利用两个向量的数量积的定义求出，再根据求向量的模的方法，求出本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模，属于基础题．14.【答案】3【解析】解：公比为3的等比数列的各项都是正数，且，，且，解得，，．故答案为：3．由公比为3的等比数列的各项都是正数，且，求出，从而，由此能求出的值．本题考查等比数列的第9项的对数值的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.【答案】【解析】解：设，由，且圆和双曲线关于x轴对称，可得A的纵坐标为，在等腰三角形中，，，可得，则A的横坐标为，即，代入双曲线的方程可得，由，，可得，化为，由，可得，解得．故答案为：．设，圆和双曲线关于x轴对称，可得A的纵坐标为，再由等腰三角形的性质和勾股定理，求得A的横坐标，将A的坐标代入双曲线方程，结合离心率公式，解方程即可得到所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查圆和双曲线的对称性，等腰三角形的性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．16.【答案】【解析】解：由题意，如图所示，取AB中点E，连结PE，DE，延长CE，交外接圆于点D，连结PD，是边长为的等边三角形，外接圆半径为，且，，平面平面ABC，和均为边长为的等边三角形，在直角中，平面ABC，且，在直角中，，且，在直角中，，在直角中，由正弦定理得，该球的半径，该球的表面积．故答案为：．取AB中点E，连结PE，DE，延长CE，交外接圆于点D，连结PD，外接圆半径为2，且，，求出，，，在直角中，由正弦定理得，该球的半径，由此能求出该球的表面积．本题考查球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：由频率分布直方图得：乙样本中数据在的频率为，这个组学生有10人，则，解得，由乙样本数据直方图得：，解得．甲样本数据的平均值估计值为：，乙样本数据直方图中前三组的频率之和为：，前四组的频率之和为：，乙样本数据的中位数在第4组，设中位数为，由，解得，中位数为．根据样本估计总体思想，可以估计该校理科学生本次模拟测试数学成绩的平均值约为，文科班学生本次模拟测试数学成绩的中位数约为82．【解析】由频率分布直方图得乙样本中数据在的频率为，这个组学生有10人，由此能求出n，由乙样本数据直方图能求出a．利用甲、乙样本数据频率分布直方图能估计估计该校理科学生本次模拟测试数学成绩的平均值和文科班学生本次模拟测试数学成绩的中位数．本题考查实数值、平均数、中位数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】解：，由正弦定理，可得，，可得，是角平分线，，由，可得，，，由，可得．【解析】由已知利用正弦定理，三角形内角和定理可得，利用两角差的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式可求tan A的值．由已知可求，利用同角三角函数基本关系式可求sin A，cos A的值，利用两角和的正弦函数公式可求的值，根据正弦定理即可解得CD的值．本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角差的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19.【答案】解：证明：由正方形ABCG中，直角梯形ABED中，．，E，C，G四点共面．，，，，平面ADG．平面ADG，．在直角梯形ABED中，，可得，同理直角梯形GCED中，可得，．，．，，平面DEG，平面ADB，平面平面DEG．平面平面DEC；解：过点D作的垂线，垂足为O，过点O作BC的垂线，垂足为H，则，，故以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则0，，0，，2，，2，，0，，1，．所以，．设平面ACE的法向量为y，，由．设平面BCE的法向量为b，，由．，二面角的大小为．【解析】根据面面垂直的判定定理即可证明平面平面DEC；建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角的大小．本题主要考查空间平面和平面垂直的判定，以及二面角的求解，综合考查学生的计算能力．20.【答案】解：设，，直线l的方程为，联立抛物线方程，可得，即有，，由的导数为，可得的方程为，化为，同理可得的方程为，联立两直线方程解得，，故；由，，，可得，即，，，则四边形AMBN的面积，当且仅当时，四边形AMBN的面积取得最小值32．【解析】设，，直线l的方程为，联立抛物线方程，运用韦达定理，以及导数的几何意义，求得两条切线的方程，联立求得交点，可得所求值；求得，的坐标和数量积，可得，即，运用抛物线的弦长公式可得，，由四边形的面积公式，结合基本不等式可得所求最小值．本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及导数的几何意义，考查切线方程的求法，以及向量垂直的性质，考查基本不等式的运用：求最值，属于中档题．21.【答案】解：，令，，，在上单调递增，，，若时，恒成立，即在区间上单调递增，若时，则，则，则在区间上单调递减，若，则，，又在上单调递增，结合零点存在性定理知，存在唯一的实数，使得，当时，，则，则在上单调递减，当时，，则，则在上单调递增，综上所述：若时，在区间上单调递增，若时，在区间上单调递减，若时，存在唯一的实数，，在上单调递减，在上单调递增．由可得：若，则，则，而，解得满足题意，若时，则，则时，而，解得满足题意，若时，令，，则，在上单调递减，，令，，由可知，令，，由可知，，，，，综上：当且，或当且时，使得在区间的最小值为且最大值为1．【解析】先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出，对a分类讨论，利用的结论即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：由为参数，消去参数t，可得直线l的普通方程为，由，且，，，得曲线C的直角坐标方程为；点P的极坐标为，则点P的直角坐标为，点Q为曲线C上的动点，设，则PQ中点M为，则点M到直线l的距离：，点M到直线l的最小距离为．【解析】直接把直线参数方程中的参数t消去，可得直线的普通方程，由已知结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C的直角坐标方程；化P为直角坐标，设出Q的坐标，由中点坐标公式求得M的坐标，再由点到直线的距离公式写出距离，利用三角函数求最值．本题考查点的直角坐标、曲线的直角坐标方程的求法，考查点到直线的距离的中小值的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.【答案】解：要证不等式等价于，因为，，当且仅当时取等号．，，又，，当且仅当时取等号．【解析】利用基本不等式即可证明结论；利用基本不等式即可证明结论．本题考查用分析法证明不等式，关键是寻找不等式成立的充分条件，属于中档题．。

高三数学上学期新课标第一次摸底测试理科试题 Word版含答案详解

人教版高中数学测试卷（考试题）昆明第一中学2021届高中新课标高三第一次摸底测试理科数学注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上的指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区城内,写在试卷、草稿纸和答题卡,上的非答题区域均无效。

5.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题:本题共12小题，每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.复数z 满足132z i i ⋅=+,则复数z 在复平面内对应的点的坐标为 A.(1,0) B. (0,1-) C.( 1-,0) D.(0, 1) 2.已知集合A ={}221x x y +=,集合B = {}2y y x =,则A B =A.[0,1]B.[- 1,1]C.[-1,0)D.[- 1,0] 3.抛物线22()y px p =>的焦点到双曲线221x y -=的渐近线的距离为22，则p = A. 4 B. 3 C. 2 D.14.我国目前部分普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题,某学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本,制作出如下两个等高堆积条形图根据这两幅图中的信息，下列统计结论正确的是 A.样本中的男生数量多于女生数量B.样本中有理科意愿的学生数量少于有文科意愿的学生数量C.对理科有意愿的男生人数多于对文科有意愿的男生人数D.对文科有意愿的女生人数多于对理科有意愿的女生人数5.数学与文学有许多奇妙的联系,如诗中有回文诗“儿忆父兮妻忆夫”,既可以顺读也可以逆读。

云南省昆明市第一中学2019届9月高三第一次摸底测试理科数学(解析版)

云南省昆明市第一中学2019届9月高三第一次摸底测试理科数学（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，集合，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：集合，集合，则．故选：B．化简集合A，根据交集的定义写出．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2.A. B. C. D.【答案】C【解析】解：．故选：C．直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.已知，，则的值是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，，，故选：C．由题意利用两角差的余弦公式求得的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得的值．本题主要考查两角差的余弦公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．4.二项式的展开式中常数项为A. B. 15 C. D. 20【答案】B【解析】解：二项式的展开式的通项公式为，令，求得，故展开式中常数项为，故选：B．先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得常数项的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱为A. 1B.C.D.【答案】D【解析】解：由三视图还原原几何体如图：在长、宽、高分别为2，1，1的长方体中截得该三棱锥，则最长棱为，故选：D．由三视图还原原几何体，可知原几何体为在长、宽、高分别为2，1，1的长方体中截得该三棱锥，求出最长的棱得答案．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．6.圆C：与直线相交于A，B两点，M是弦AB的中点，则直线CM的方程是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：根据题意，圆C与直线相交于A，B两点，M是弦AB的中点，则直线CM与AB垂直，又由AB的方程为，即，则，又由，则直线CM的方程是，即；故选：D．根据题意，由垂径定理分析可得直线CM与AB垂直，由直线AB的方程分析可得直线CM的斜率，由直线的点斜式方程分析可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，注意垂径定理的使用，属于基础题．7.函数的图象大致为A. B.C. D.【答案】A【解析】解：由，，排除B，是偶函数排除C，和排除D，故选：A．特殊值排除法．本题考查了函数的图象与图象的变换属基础题．8.现有6人坐成一排，任选其中3人相互调整座位这3人中任何一人不能坐回原来的位置，其余3人座位不变，则不同的调整方案的种数有A. 30B. 40C. 60D. 90【答案】B【解析】解：根据题意，分2步进分析：，在6人选出3人，相互调整座位，有种选法，，设选出相互调整座位的3人为A、B、C，A有2种坐法，B、C只有1种坐法，则A、B、C相互调整座位有2种情况，则不同的调整方案有种；故选：B．根据题意，分2步进分析：，在6人选出3人，相互调整座位，，分析选出相互调整座位的3人的调整方法，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．9.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：，，解得，，由正弦定理得，即，，即，．故选：B．先根据余弦定理求出A，然后根据正弦定理化边为角，结合三角恒等变换，即可得到结论．本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，要求熟练掌握两个定理的内容及应用．10.三棱锥的四个面都是直角三角形，各棱长的最大值为4，则该三棱锥外接球的体积为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：如图所示，三棱锥，，三棱锥的外接球的直径为4，故此三棱锥的外接球的半径为2，故此三棱锥的外接球的体积．故选：D．根据已知可得三棱锥的外接球的直径为4，进而求出球半径，代入球的体积公式，可得答案．本题考查的知识点是球的体积与表面积，根据已知得到球的半径，是解答的关键．11.正方形ABCD的四个顶点都在双曲线上，若双曲线的焦点都在正方形的外部，则双曲线的离心率的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：令得，，因为双曲线的焦点在正方形的外部，所以，即，又，化简可得，可得，，解得，故选：C．利用已知条件列出不等式，转化求解双曲线的离心率的范围即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．12.若实数x，y，满足，下列四个不等式成立的个数是A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】解：因为，所以设，则，对于，所以成立；对于，所以成立；对于，所以成立．对于取，，，，，所以不成立，因此成立的不等式有3个，故选：C．由已知可设，代入，利用基本不等式可判断；对于，进行分解因式后，结合已知及不等式的性质可判断；对于结合已知所设及基本不等式可判断；对于可取特殊值，，进行检验本题主要考查了利用基本不等式及不等式的性质，考查了逻辑推理与运算的能力．二、填空题（本大题共4小题）13.已知单位向量，满足，则向量与夹角的大小为______．【答案】【解析】解：根据题意得，，，，，向量与夹角的大小为，故答案为：．运用模长的运算和向量的夹角计算公式可得结果．本题考查向量的模长和向量的夹角计算公式的简单应用．14.已知，函数过点，则的最小值为______．【答案】【解析】解：由题意，函数过点，则，解得：，．，可得最小值为，故答案为：．根据函数过点，可得，，可得最小值；本题主要考查三角函数图象过点的坐标的求解，属于基础题．15.设函数为非零实数，若函数有三个零点，则a的取值范围为______．【答案】【解析】解：由，得，令，则，由，得，由，得，在上单调递增，在，上单调递减，当时，极小值，当时，极大值．有三个零点，即函数和的图象有三个交点，．故答案为：．把函数有三个零点，转化为有三个根，令，利用导数求极值，则答案可求．本题考查函数零点的判定，考查利用导数研究函数的单调性，是中档题．16.已知，为抛物线上不同的两点，且，点O为坐标原点，则的取值范围是______．【答案】【解析】解：设直线AB的方程为，代入抛物线方程得，所以，所以，所以，，当且仅当时取等号，，所以的取值范围是．故答案为：．设直线AB的方程为，代入抛物线方程得，所以，，，即可得的取值范围．本题考查抛物线的方程和性质，以及向量夹角知识解决问题的能力，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题）17.已知数列的前n项和为，且，，为等差数列．证明：为等比数列；求．【答案】证明：设，则，，，是首项为4，公比为2的等比数列分解：数列是等差数列，，，，，，由，得：，分【解析】设，则，由此能证明是首项为4，公比为2的等比数列．由是等差数列，求出，从而，进而，由此利用错位相减法能求出．本题考查等比数列的证明，考查数列的数前n项和的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.甲、乙两名射击运动员参加某项有奖射击活动射击次数相同，已知两名运动员射击的环数都稳定在7，8，9，10环，他们的这次成绩的条形图如下：求甲、乙两名运动员射击的环数都不低干9环的概率；甲、乙两名运动员现在要同时射击4次，如果甲、乙射击的环数都不低于9环3次时，可获得奖金万元；如果甲、乙射击的环数都不低于9环4次时，可获得奖金两万元，其他结果不予奖励，求甲、乙两名运动员可获得奖金数的期望值注：频率可近似看作概率【答案】解：记“甲运动员击中i环”为事件，“乙运动员击中i环”为事件，所以，，所以甲、乙击中目标都不低于9环的概率：；分记甲、乙两名运动员射击的环数都不低于9环的次数为随机变量X，X的可能取值：0，1，2，3，4；则～，其中，，所以，；分记甲、乙两名运动员获得奖金数万元为随机变量Y，Y的可能取值：0，1，2；则，；所以甲、乙两名运动员可获得奖金数的期望值为：元分【解析】利用频率分布表求出甲、乙击中目标都不低于9环的概率值；甲、乙两名运动员射击的环数都不低于9环的次数为随机变量X，～；甲、乙两名运动员获得奖金数万元为随机变量Y，计算Y的频率分布与数学期望值．本题考查了频率分布与离散型随机变量的分布列和数学期望计算问题，是中档题．19.如图1，在直角三角形PBC中，，，且，AC与BD的交点为O，将直角三角形PBC沿着AD边折起，得到如图2的四棱锥，．求证：平面；若，二面角的大小为，求的长．【答案】证明：在直角梯形ABCD中，，即，因为，所以，，所以，又因为，所以，即，图2的四棱锥中，，由题知，则平面ABCD，所以，又，所以平面分解：在图1中，因为，，设，因为 ∽ ，所以，，，则，由知平面ABCD，则以点A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，为z轴建立空间直角坐标系．则0，，0，，0，，，1，，1，，，，设平面的一个法向量为y，，则，取，得，设平面BDC的一个法向量为0，，因为二面角的大小为，则，由，得，所以的长为分【解析】推导出，，从而，，，，从而平面ABCD，进而，由此能证明平面．设，则，，则，以点A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，由此能求出的长．本题考查线面垂直的证明，考查线段的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20.设，分别是椭圆：的左、右焦点，过斜率为1的直线与E相交于A，B两点，且，，成等差数列．求E的离心率；设点满足，求E的方程．【答案】解：由椭圆定义知，又，得，l的方程为，其中．设，，则A、B两点坐标满足方程组化简的则因为直线AB斜率为1，，得，故所以E的离心率设AB的中点为，由知，．由，得，即得，从而故椭圆E的方程为．【解析】根据椭圆的定义可知，进而根据，，成等差数表示出，进而可知直线l的方程，设，，代入直线和椭圆方程，联立消去y，根据韦达定理表示出和进而根据，求得a和b的关系，进而求得a和c的关系，离心率可得．设AB的中点为，根据则可分别表示出和，根据，推知直线PN的斜率，根据求得c，进而求得a和b，椭圆的方程可得．本题主要考查圆锥曲线中的椭圆性质以及直线与椭圆的位置关系，涉及等差数列知识，考查利用方程思想解决几何问题的能力及运算能力21.已知函数．若，求实数a的取值范围；证明，．【答案】解：的定义域为，由，得：，令，则，由，得，由，得，在上单调递增，在上单调递减，，；证明：当时，，此时，，在上单调递增，，即：，令，则，，，，，，，，．【解析】由，得：，令，利用导数求其最大值，可得实数a的取值范围；当时，，利用导数证明在上单调递增，可得，即：，令，得到，即，分别取，3，，n，作和得答案．本题考查利用导数研究函数的单调性，训练了利用分离参数法求解此时的取值范围，训练了利用放缩法证明函数不等式，是中档题．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：为参数，，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为求圆C的圆心的直角坐标；设点，若直线l与圆C交于A，B两点，求．【答案】解：圆C的极坐标方程为圆C：，圆心坐标分将，代入C：，得：，设点A，B所对应的参数为，，则，分【解析】求出圆C的极坐标方程，由此能求出圆C的直角坐标方程，从而能求出圆心的直角坐标．将，代入C：，得：，由此能求出．本题考查圆的圆心坐标的求法，考查两线段乘积的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23.设函数．当时，求不等式的解集；对任意实数x，都有恒成立，求实数a的取值范围．【答案】解：当时，，当时，，当时，，当时，，所以不等式解集为0，，，因为，所以，所以或，所以a的取值范围为．【解析】分类讨论去绝对值；等价于．本题考查了绝对值不等式的解法属基础题．。

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云南昆明第一中学2014届高中新课程高三第一次摸底测试数学（理）试题注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．11ii+- （）A ．iB ．－iC ． 1－iD ．1+i2．已知集合|0,,1x M x x R x ⎧⎫=≥∈⎨⎬+⎩⎭集合{||1,},N x x x R =≤∈则M N =（）A ．{|01}x x <≤B ．{|01}x x ≤≤C ．{111}x x -<≤D ．{111}x x -<≤3．已知椭圆22214x y m+=的一个焦点为(0,3)F ，则m= （） A ．5 B ． 7 C ． 9D ．25 4．下列函数中，既是奇函数又是定义域上的增函数的是（）A ．y=x+1B ．xxy e e -=- C ．2y x-=D ．y =5． “01a <≤”是方程“2210ax a ++=”有实根的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．曲线cos sin cos x y x x =+在1(,)42p π点处的切线的斜率为（）A ．2 B ．12C ． —12D ．－27．执行如图所示的程序框图，则输出的数等于（）A ．5B ．6C ．7D ．88．已知过点A （－1，－1）的直线l 与圆22(1)1x y +-=相切，且与直线1:10l x my ++=平行，则m= A ．0 B ．34C ．－34D ． 34±9．若函数322()f x x ax bx a =--+在x=1处有极值10，则b―a = （） A ．－6 B ．15C ．－9或12D ．－6或1510．有四个函数：①sin cos ;y x x =+②sin cos ;y x x =-③2(sin cos );y x x =+ ④22sin cos y x x =- ；其中在(0,)2π上不单调函数是（）A ． ①和④B ． ②和③C ．①和③D ． ②和④11．设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 的直线交抛物线C 于A 、B 两点，其中点A 在x 轴的下方，且满足4AF FB =，则直线AB 的方程为（）A ． 4x －3y －4=0B ．4x+3y －4=0C ． 3x －4y －4=0D ．3x+4y －4=012．已知01,()4,()14,xa a a f x a x m g x og x x n >≠=+-=+-且函数的零点为函数的零点为12m n +则的最小值为（）A ．12B ．32C ．14+ D ．34+ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量(2,1),(1,),()(),a b x a b a b x ==-+⊥-=若共线。

14．设21(1)(1)(),4(1)n x x f x x x ->⎧=⎨-≤⎩则()0f x <的解集为。

15．一个组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为。

16．定义在1121(0,)()(1),(),()22x x y f x f f x f e x ++∞==>>上的函数满足且则不等式的解集为。

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分1 0分）已知单调递增的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2=2，S 3=7． (I)求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)设*212131(),,4n n n nn n b og a n N n T T b b ++⎧⎫=∈<⎨⎬⎩⎭数列的前项和求证。

18.（本小题满分1 2分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知C=3π．（Ⅰ）若a=2，b=3，求cosB ；（Ⅱ）若sin sin()2,sin 2,2C B A c A +-==求a b +；19.（本小题满分1 2分）如图，已知四边形ABCD 和ABEF 均为矩形，BC=BE=12AB ，点M 为线段EF 的中点， BM ⊥AD 。

（Ⅰ）求证：BM ⊥DM ；（Ⅱ）求二面角F －DM －A 的大小；20.（本小题满分12分）有两个质地均匀的骰子：其中一个是正四面体，各面分别标有数字1、2、3、4；另一个是正方体，各面分别标有数字1、2、3、4、5、6．现有以下两种游戏方案可供选择：方案一：连续抛掷正方体骰子三次，每次出现奇数得2张积分卡，出现偶数不得积分卡，方案二：顺次完成以下三步．第一步：抛掷正方体骰子一次，出现不大于4的数字得2张积分卡，出现大于4的数字不得积分卡；第二步：抛掷正四面体骰子一次，出现不大于3的数字得1张积分卡，出现大于3的数字不得积分卡；第三步：抛掷正方体骰子一次，出现小于5的数字得2张积分卡，出现不小于5的数字不得积分卡．（Ⅰ）求采用方案一所得到的总积分卡数X 的分布列和数学期望；（Ⅱ）为了得到更多的积分卡，你该选择上述哪种方案？请说明理由． 21.（本小题满分12分）已知椭圆中心为坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长与短半轴长之和为离心率为5。

（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若C(l ，0)，过B （－1，0）作直线l 交椭圆于M ，N 两点，且CM ．CN =2，求△MNC的面积．22．（本小题满分12分）已知函数2()(22).xf x e x ax a =-- （Ⅰ）设1,a >-求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若321()(6)3x g x e x x a =-+-,讨论关于x 的方程()()f x g x =的实数根的个数.昆明市第一中学2014届摸底考试参考答案（理科数学）命题、审题组教师顾先成、李春宣、鲁开红、张宇甜、李建民、刘皖明、杨昆华、孔德宏一、选择题1. 解析：21(1)21(1)(1)2i i ii i i i ++===--+，选A . 2. 解析：{}0,011x M xx R x x x x ⎧⎫=≥∈=≥<-⎨⎬+⎩⎭或，{}{}1,11N x x x R x x =≤∈=-≤≤，所以{}01MN x x =≤≤，选B .3. 解析：因为椭圆焦点在y 轴上，2243m -=，所以25m =. 选D.4. 解析：选项A 不是奇函数，选项C 是奇函数，但不是定义域上的增函数，选项D 中0x ≥，所以不是奇函数，选项B 是奇函数，又由指数函数的性质得在R 上是增函数，故选B.5. 解析：2210ax x ++=有实根时，0a =成立，当0a ≠时2440a ∆=-≥，即1a ≤，所以“ 01a <≤”是一元二次方程“2210ax x ++=”有实根的充分不必要条件，选A . 6. 解析：因为22sin (sin cos )cos (cos sin )1(sin cos)(sin cos )x x x x x x y x x x x -+---'==++,所以412x y π='=-，选C ．7. 解析：01234562222222100S =++++++>，此时7i =，故选C ．8. 解析：当直线l 的斜率不存在时直线l 方程为1x =-，则0m =此时直线l 与直线1l 重合；当直线l 的斜率存在时设直线l 方程为(1)1y k x =+-，即10kx y k -+-=，圆心(0,1)O 到直线l 的距离1d ==，解得34k =，故43m =-，选C . 9. 解析：因为()232f x x ax b '=-- 由()21320(1)110f a b f a b a ⎧⎪⎨⎪⎩'=--==--+=，解得33a b ⎧⎨⎩==-或411a b ⎧⎨⎩=-=．经检验只有411a b ⎧⎨⎩=-=符合条件，所以15b a -=，选B ．10. 解析：分别作出四个函数： ①)4sin(2cos sin π+=+=x x x y ；②)4sin(2cos sin π-=-=x x x y ；③xx x y 2sin 1)cos (sin 2+=+=；④x x x y 2c o s co s si n 22-=-=的图象，由图象可得 ① 和 ③ 符合题意,故选C.11. 过AE 12. 线1m n =13. 14. 解析：当1x >时，ln(1)0x -<得式15.16. 解析：由1()f x x '>得1()0f x x'->，构造函数()()()ln 0F x f x x x =->，则()F x 在(0,)+∞为增函数，不等式21()2x x f e +>化为1()2x f e x ->即1()ln 2x x f e e ->，所以1()2xF e >，而1(1)(1)ln12F f =-=，由()F x 在(0,)+∞为增函数得1xe >，所以0x >，即(0,)+∞.三、解答题17. （Ⅰ）解：因为 2327a S =⎧⎨=⎩ 所以1211127a q a a q a q ⎧⎪⎨⎪⎩=++= 解得112a q ⎧⎨⎩==，或1412a q ⎧⎪⎨⎪⎩==（舍去）所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=．………………………4分（Ⅱ）证明：因为12n n a +=,所以2log 2n nb n ==……………………………………………6分由于211111()(2)22n n b b n n n n +==-++………………………………8分所以13242111nn n T b b b b b b +=+++11111111111111(1)()()()()2322423521122n n n n =-+-+-+-+--++ 11113(1)22124n n =+--++<……………………10分 18. 解：（Ⅰ）因为,3,3,2π===C b a 由余弦定理得：,7222=-+=ab b a c 所以,,7=c再由余弦定理得：1472cos 222=-+=ac b c a B . ．．．．．．．．．5分（Ⅱ）由题设可得：A A A AB A B A B A BC cos sin 42sin 2cos sin 2)sin()sin()sin(sin ===-++=-+．所以,A A A B cos sin 2cos sin =, 当0cos =A 时,.32,332,334,6,2=+====b a b a B A ππ．．．．．．．．．8分当0cos ≠A 时,得,sin 2sin A B =由正弦定理可得,a b 2=．．．．．．① 又由3,2π==C c 可得，C ab b a c cos 2222-+=，即422=-+ab b a ．．．．．．②联立①②解得：,334,332==b a 所以,32=+b a ．．．．．．．．．．11分G NMFED CBA综上可知：32=+b a ．．．．．．．．．．12分 19. 解析：（Ⅰ）证明：由题设可知，AFM ∆和BEM ∆均为等腰直角三角形，则45AMF BME ∠=∠=，所以90AMB ∠=，故BM AM ⊥，而BM AD ⊥，AMAD A =，所以BM ⊥平面ADM ．又因为DM ⊂平面ADM ，所以BM DM ⊥． ………6分（Ⅱ）（方法一）：由（Ⅰ）知BM ⊥平面ADM ，而BM ⊂平面ABEF ，所以平面ABEF ⊥ 平面ADM ．取线段AM 中点N ，连接FN ，则FN ⊥平面ADM ．过点N 作NG DM ⊥，垂足为G ，连接FG ，则F G N ∠为二面角F DM A --的平面角．由题设可得DAM ∆为直角三角形，设AD a =，则DM =，FN =，由MGN ∆∽MAD ∆可求得6NG a =，在R t FGN ∆中，tan FGN∠FNNG === 所以AGN ∠＝60．故二面角F DM A --的大小为60． ………12分）：由题设条件可得DA ⊥平面ABEF ，所以DA AF ⊥，且A F A D =；又AB ⊥AD ，AB AF ⊥，所以AB 、AD 、AF 两两互相垂直．以A 为坐标原点，AD 的方向为x 轴的正方向，AD 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．由题意知(0,0,0)A ，(1,0,0)D ，(0,0,1)F ，(0,1,1)M ，则(1,0,0)AD =，(0,1,1)AM =,(1,0,1)DF =-，(0,1,0)MF =-．设平面ADM 的法向量为n (,,)x y z =，则0n AD n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x y z =⎧⎨+=⎩，可取(0,1,1)n =-．同理，设m 为平面FDM 的法向量，则0m DF m MF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可取(1,0,1)m =．从而1cos ,2n m n m n m⋅<>==⋅．因为二面角F DM A --为锐角，故二面角F DM A --的大小为60． ………12分 20. 解:∴()2463888E X =⨯+⨯+⨯=…………5分（Ⅱ）记采用方案二所得的总积分卡数为Y ，由题意，Y 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5. ……6分根据事件的独立性和互斥性得：()1111034336P Y ==⨯⨯=；()213113412P Y ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭；()1221312C 3349P Y ==⨯⨯⨯=； ()1221313C 3343P Y ==⨯⨯⨯=；()22114349P Y ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭；()22315343P Y ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭所以的分布列为∴()11141012345.3612939312E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=…………11分 ∵41312<， ∴应该选择方案二. (12)分21. 解析：(Ⅰ) 因为1a b c a⎧+=⎪⎨=⎪⎩，即22145a b c a ⎧+=+⎪⎨=⎪⎩，所以22115a b b a ⎧+=⎪⎨=⎪⎩.1)1)b =即1b =.所以25a =，椭圆标准方程为2215x y +=.………………………4分 (Ⅱ)当直线l 斜率为0时，(1,0)CM =,(51,0)CN =，42CM CN ⋅=-≠…………5分…………3分…………10分当直线l 斜率不为0时，设直线l 的方程为1x my =-，11(,)M x y ，22(,)N x y ，由22115x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()225240m y my +--=. 所以1221222545m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩.………………………8分()()()()()11221212212121212222222222(1,)(1,)(1)(1)221244244442041612425555CM CN x y x y x x y y my my y y m y y m y y m m m m m m m m m m m ⋅=-⋅-=--+=--+=+-++----++-+=+-+===++++所以22416210m m -+=+，21m =.………………………10分212112MNC S BC y y y y ∆=-=-==53==.………………………12分 22. 解：(Ⅰ))22()22()(2a x e a ax x e x f x x -+--=']4)22([2a x a x e x --+=)2)(2(e x +-=x a x当1->a 时, 因为0>xe 且22->a ，解()0f x '>得a x 2>或2-<x , 解()0f x '<得a x 22<<-，所以函数()f x 单调增区间为)2,(--∞和),2(+∞a ,单调减区间为)2,2(a -． ………5分(Ⅱ)由()f x =)(x g 得()f x -)(x g 0)4231(3=+-=a ax x e x．因为0>xe ，所以问题转化为求关于x 的方程042313=+-a ax x 的实数根的个数.令()x h =a ax x 42313+-，则()a x x h 22-='， ①当02≤a 即0≤a 时，())(,0x h x h ∴≥'为增函数，又因为(3)9100h a -=-+<，(3)920h a =->，故方程0)(=x h 有一个实根．……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………11 ②当02>a 即0>a 时，由()0='x h 得a x 2±=，所以函数)(x h 在)2,(a --∞和),2(+∞a 为增函数，在)2,2(a a -为减函数．而()x h 的极大值为()042344222322>+=++-=-a a a a a a a a a h ， ()x h 的极小值为()a a a a a a h 4222322+-=． ⑴ 当()02>a h ，即04234a ＞a a +-，所以290a ＜< 时，方程0)(=x h 有一个实根；⑵当()02=a h ，即04234=+-a a a ，所以29=a 时，方程0)(=x h 有两个实根； ⑶当()a h 2 04234a ＜a a +-=，所以29a ＞时，方程0)(=x h 有三个实根．综上可知, 关于x 的方程()f x =)(x g 当29a ＜时，有一个实根；当29=a 时，有两个实根；当92a > 时，有三个实根． ………12分。