第一讲周期,任意角,弧度正余弦函数
任意角的正余弦函数定义
正弦函数奇偶性和对称性
奇偶性
正弦函数是奇函数，即满足$sin(-x) = -sin(x)$。
对称性
正弦函数图像关于原点对称，即如果点$(x, y)$在正弦函数图像上，那么点$(-x, -y)$也在图像上。此外，正弦函 数还具有轴对称性，其对称轴为$x = kpi + frac{pi}{2}$（k为整数）。
弦函数，是正切函数的基础定义。
正余弦函数相互转化方法
要点一
正弦函数转化为余弦函数
$sintheta = cos(frac{pi}{2} - theta)$。这个公式可以将正 弦函数转化为余弦函数，通过角度的变换实现两种函数的 转化。
要点二
余弦函数转化为正弦函数
$costheta = sin(frac{pi}{2} - theta)$。同样地，这个公 式可以将余弦函数转化为正弦函数，也是通过角度的变换 实现转化。
当$r > 0$时，$alpha$是第一或第二象限的角；当$r < 0$时，$alpha$是第三或第四象限的角；当$r = 0$时， $alpha$是轴线角。
在平面直角坐标系中，任意角$alpha$可以表示为 $(cosalpha, sinalpha)$，其中$cosalpha$和$sinalpha$ 分别是角的余弦值和正弦值。
在波动现象中，正余弦函数是波动方程的基本解，用 于描述波的传播和干涉等。
在其他领域应用
信号处理
正余弦函数在信号处理中用于表 示周期性信号，如正弦波和余弦 波，以及进行频谱分析等。
电气工程
在电气工程中，正余弦函数用于 描述交流电的电压和电流变化规 律，以及进行电路分析等。
任意角和弧度制PPT课件
与x轴正方向形成的角称为轴线角 ，其大小为正负90°。
Part
02
弧度制的基本概念
弧度的定义
弧度的定义
弧度是度量角的一种方式，它是以长度来度量圆弧所对应的中心角的大小。在 圆中，长度等于半径的圆弧所对应的中心角叫做1弧度的角。
弧度的符号
用rad表示弧度，例如，1弧度可以表示为1rad。
弧度与角度的换算
任意角和弧度制ppt 课件
• 任意角的概念 • 弧度制的基本概念 • 任意角的三角函数 • 弧度制下的三角函数 • 任意角和弧度制的实际应用
目录
Part
01
任意角的概念
定义与性质
定义
任意角是平面内一条射线绕着端点从 一个位置旋转到另一个位置所形成的 角。
性质
任意角具有方向性，其正方向由旋转 方向确定；旋转量大于0°小于360°的 角称为正角，旋转量大于360°的角称 为负角。
正弦函数、余弦函数、正 切函数都具有周期性，其 周期为2π弧度。
奇偶性
正弦函数和正切函数是奇 函数，余弦函数是偶函数 。
图像
正弦函数、余弦函数、正 切函数的图像分别呈正弦 波、余弦波和直线形状， 且均在单位圆上表示。
弧度制下三角函数的应用
三角恒等式
利用三角函数的性质，可以推导 出许多三角恒等式，如sin^2(x)
电磁学中的交流电
在电磁学中，交流电的相位角可以用任意角和弧度制来表示，帮助 理解交流电的特性和规律。
振动和波动
在振动和波动的研究中，任意角和弧度制可以用来描述振动相位、 波传播方向等。
在几何学中的应用
平面几何和立体几何
任意角和弧度制可以用来描述平面几何和立体几何中的角度 和旋转，例如旋转矩阵、极坐标等。
三角函数第一讲
三角函数第一讲：任意角与弧度制角的定义(一)角的概念： 1 任意角正角：按顺时针方向形成的角 负角：按逆时针方向形成的角 2 象限角定义：角的顶在原点始边与x 轴重合，终边在第几象限此角就是第几象限角。
与角α有相同终边所有角表示为：α+2kπ（k 为任意整数） （1）在直角坐标系内讨论角：注意：若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。
（2）①与角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或（3）区间角的表示： ①象限角：象限角象限角的集合表示第一象限角的集合 o o o {|360<<36090,x k k k α⋅⋅+∈Z } 第二象限角的集合 o o o o {|36090<<360180,x k k k α⋅+⋅+∈Z } 第三象限角的集合 o o o o {|360180<<360270,x k k k α⋅+⋅+∈Z } 第四象限角的集合o o o o {|360270<<360360,x k k k α⋅+⋅+∈Z }②写出图中所表示的区间角： 由α的终边所在的象限， 来判断2α所在的象限，来判断3α所在的象限例：如果α是第一象限角，要求α/2的象限：把每个象限平分，因为α是第一象限角，所以选择1的位置：α/2在第一和第三象限，α/3同理把每个象限三等分。
α(二)弧度制1 弧度角的规定.它的单位是rad 读作弧度如图：∠AOB=1rad∠AOC=2rad 周角=2πrad定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
与圆的半径无关以弧度为单位来度量角的制度叫弧度制。
（1）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 （2）角α的弧度数的绝对值 （l 为弧长，r 为半径） （3）用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）弧度制与角度制的换算公式：弧度制=角度制*π/180o角度制=弧度制*180o /π 2π=360o弧度数α与弧长L 与半径R 的关系：L=Rα（可用来求弧长与半径） （4）弧长公式：L=Rα；扇形面积公式：221R S α=弧长公式：180rn l π=，扇形面积公式：3602R n S π=扇（初中）2 弧度制与角度制的换算：因为周角的弧度数是2π，角度是360°，所以有 radrad radrad 01745.018011802360≈===ππποοο把上面的关系反过来写οο1803602==rad rad ππ815730.57)180(1'=≈=οοοrad rad π之间的一些特殊角的度数与弧度数的互化必需熟练掌握.度0°30°45°60°90°120° 135° 150° 180° 270° 360°rl=αοο360~0o r C2rad 1rad r l=2r o A AB类型一：角的概念问题1. 终边相同的角的表示例1 若角α是第三象限的角，则角α-的终边在第______象限. 答案：二.解析：因为α是第三象限的角，故oooo360270<<360180,k k k α-⋅---⋅-∈Z ，则o 360k ⋅o o o 270<<360180,k k α--⋅-∈Z ，故α-的终边在第二象限.练习：与o 610角终边相同的角可表示为_____________. 【答案：oo360250(k k ⋅+∈Z ）】 2. 象限角的表示例2 已知角α是第二象限角，问（1）角2α是第几象限的角？（2）角2α终边的位置. 思路：先根据已知条件得出角的范围，再通过讨论k 值来确定象限角.解析：（1）因为α是第二象限的角，故oooo36090<<360180(k k k α⋅+⋅+∈Z )，故︒︒︒︒+⋅<<-⋅45180245180k k αo 180k ⋅o o o 45<<18090(2k k α+⋅+∈Z ).当k 为偶数时，2α在第一象限；当k 为奇数时，2α在第三象限，故2α为第一或第三象限角. （2）由oooo36090<<360180(k k k α⋅+⋅+∈Z )，得o o o 2360180<2<2360k k α⋅+⋅+ o 360(k ∈Z )，故角2α终边在下半平面.点评：已知α所在象限，求(n nα∈N *)所在象限的问题，一般都要分几种情况进行讨论.结论：类型二：弧度制与弧长公式 1.角度制与弧度制的互化例3 把下列各角的度数化为弧度数：⑴ο150 ⑵'3037ο ⑶'3022ο- ⑷解 因为1801π=οrad ，所以ο315-⑴ rad rad 65180150150ππ=⨯=ο ⑵ rad rad 245180213721373037'ππ=⨯=⎪⎭⎫⎝⎛=οο⑶ rad rad 8180212221223022'ππ-=⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-οο⑷ rad rad 47180315315ππ-=⨯-=-ο 练习：把下列各角的弧度数化为度数： ⑴rad 43π ⑵rad 5.3 ⑶rad 35π ⑷rad 49π- 解 因为 π rad ＝ο180，所以 ⑴rad 43π＝43×ο180＝ο135； ⑵ rad 5.3＝οο55.20030.575.315.3=⨯≈⨯rad ；⑶rad 35π＝35×ο180＝ο300；⑷ rad 49π-＝49-×ο180＝ο405-．例4 （1）设o 750α=，用弧度制表示α，并指出它所在的象限；（2）设35βπ=，用角度制表示，并在～内找出与它有相同终边的所有角.导思：（1）角度与弧度应如何进行互化？（2）确定角为第几象限角的依据是什么？（3）怎样找终边相同的角？依据是什么？解析：（1），故在第一象限. （2），与它终边相同的角可表示为Z ），由，得，故或，即在～范围内与有相同终边的所有角是和.点评：角度与弧度进行互化，关键是对转化公式的理解和应用；判断一个角所在的象限，关键是在内找到与该角终边相同的角.βo 720-o025********66ππαππ=⨯==⨯+αo o 31803()10855πππ=⨯=o o 360180(k k ⋅+∈o 720-≤o o o360180<0k ⋅+332<1010k --≤2k =-1k =-o 720-o 0βo 612-o 252-[0,2]π练习：（1）设，用弧度制表示，并指出它所在的象限；（2）设，用角度制表示，并在～内找出与它有相同终边的所有角.解析：（1），故在第二象限. （2），故在～范围内与β有相同终边的角是o 60-.2.求弧长与扇形面积例5 已知一扇形中心角为α，所在圆半径为R .（1）若3πα=，10R =cm ，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积；（2）若扇形的周长为一定值(>0)C C ，当α为何值时，该扇形面积最大，并求此最大值.导思：（1）扇形的弧长公式是什么？（2）怎样由扇形面积来求弓形的面积？（3）如何用扇形的周长C 表示扇形面积？（4）怎样求最大值？能用二次函数来求吗？能用基本不等式来求吗？解析：（1）设弧长为l ，弓形面积为S 弓，则10(3l π=cm )， 故110110232S S S π∆=-=⨯⨯-⨯弓扇210sin 50(33ππ⨯=-cm 2). （2）解法一：由扇形周长2C R l =+，得2l C R =-，故211=(2)22S Rl R C R R =-=-扇221()2416C C RC R +=--+.当4C R =时，S 扇有最大值且最大值为216C .此时22Cl C R =-=，故422l C R Cα==⋅=.故当2α=时，该扇形有最大面积. 解法二：由扇形周长22C R l R R α=+=+，得2CR a=+，故211=22S R αα=⋅扇2()2C α=+， o570α=-α73βπ=βo720-o 0195(570)2218066ππαππ=⨯-=-=-⨯+αo o 71807()()42033πππ-=⨯-=-o 720-o 022221142442164C C C ααααα⋅=⋅++++≤当且仅当，即时，扇形面积最大为.点评：在应用扇形弧长和面积公式时，如果圆心角用角度表示，则应先化为弧度；注意不要把弓形面积与扇形面积相混淆.练习：设扇形的周长为cm ，面积为cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________.解：1(82)42S r r =-=，即2440r r -+=，解得2r =，故4l =，从而422l r α===.1、下列角中终边与330°相同的角是（ ）A ．30°B ．-30°C ．630°D ．-630° 答案：B2、－1120°角所在象限是 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：D3、把－1485°转化为α＋k ·360°（0°≤α＜360°, k ∈Z ）的形式是 （ ） A ．45°－4×360°B ．－45°－4×360°C ．－45°－5×360°D ．315°－5×360° 答案：D4、写出-720°到720°之间与-1068°终边相同的角的集合___________________． 答案：{}οοοο372,12,348,708--5、终边在第二象限的角的集合可以表示为： （ ） A ．｛α∣90°<α<180°｝B ．｛α∣90°＋k ·180°<α<180°＋k ·180°，k ∈Z ｝C ．｛α∣－270°＋k ·180°<α<－180°＋k ·180°，k ∈Z ｝D ．｛α∣－270°＋k ·360°<α<－180°＋k ·360°，k ∈Z ｝ 答案：D6、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ） A ．B=A ∩C B ．B ∪C=CC ．A CD ．A=B=C答案：B7、下列结论正确的是（ ）Α．三角形的内角必是一、二象限内的角 B ．第一象限的角必是锐角 C ．不相等的角终边一定不同D ．=答案：D8、若是第四象限的角，则α-ο180是 ．24α=2a =216C 84⊂{}Z k k ∈±⋅=,90360|οοαα{}Z k k ∈+⋅=,90180|οοαααA ．第一象限的角B ．第二象限的角C ．第三象限的角D ．第四象限的角答案：C9、与1991°终边相同的最小正角是_________,绝对值最小的角是_______________． 答案：与；10、若角α的终边为第二象限的角平分线，则α的集合为______________________．答案：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固一、选择题1．(2014·山东济南商河弘德中学)已知α＝－3，则角α 的终边所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限[答案] C[解析] 1rad ＝(180π)°，则α＝－3rad ＝－(540π)°≈－171.9°，∴α是第三象限角．2．与－13π3终边相同的角的集合是( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π3B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫5π3C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋π3，k ∈ZD ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋5π3，k ∈Z[答案] D[解析] 与－13π3终边相同的角α＝2k π－13π3，k ∈Z ，ο191ο169-{}Z k k ∈+⋅=,135360|οοαα∴α＝(2k －6)π＋6π－13π3＝(2k －6)π＋5π3，(k ∈Z )．3．已知集合A ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B ＝( ) A ．∅B ．{α|0≤α≤π|C ．{α|－4≤α≤4|D ．{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π} [答案] D[解析] k ≤－2或k ≥1时A ∩B ＝∅；k ＝－1时A ∩B ＝[－4，－π]；k ＝0时，A ∩B ＝[0，π]；故A ∩B ＝[－4，－π]∪[0，π]．故选D.4．一条弧所对的圆心角是2rad ，它所对的弦长为2，则这条弧的长是( ) A ．1sin1B ．1sin2C ．2sin1D ．2sin2[答案] C[解析] 所在圆的半径为r ＝1sin1，弧长为2×1sin1＝2sin1. 5．(2014·浙江象山中学高一月考)某扇形的面积为1cm 2，它的周长为4 cm ，那么该扇形的圆心角等于( )A ．2°B ．2C ．4°D ．4[答案] B[解析] 设扇形的半径为r ，弧长为l ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝412lR ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1l ＝2.∴该扇形圆心角α＝lr ＝2(rad)，故选B.6．如图中，圆的半径为5，圆内阴影部分的面积是( )A ．175π36B ．125π18C ．75π18D ．34π9[答案] A[解析] 40°＝40×π180＝2π9，30°＝30×π180＝π6，∴S ＝12r 2·2π9＋12r 2·π6＝175π36.二、填空题7．若两个角的差是1°，它们的和是1弧度，则这两个角的弧度数分别是__________． [答案]180＋π360、180－π360[解析] 设两角为α、β则⎩⎪⎨⎪⎧α－β＝π180α＋β＝1，∴α＝180＋π360、β＝180－π360.8．正n 边形的一个内角的弧度数等于__________． [答案](n －2)nπ [解析] ∵正n 边形的内角和为(n －2)π， ∴一个内角的弧度数是(n －2)πn .三、解答题9．已知α1＝－570°、α2＝750°，β1＝3π5，β2＝－7π3.(1)将α1、α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在象限；(2)将β1、β2用角度制表示出来，并在－720°～0°范围内找出与β1、β2有相同终边的角． [解析] (1)∵－570°＝－570π180＝－19π6＝－4π＋5π6，∴－570°与5π6终边相同，5π6在第二象限，∴α1在第二象限．∵750°＝750π180＝25π6＝4π＋π6，∴750°与π6终边相同，π6在第一象限，∴α2在第一象限．(2)∵β1＝3π5＝(35×180)°＝108°，与其终边相同的角为108°＋k ·360°，k ∈Z ，∴在－720°～0°范围内与β1有相同终边的角是－612°和－252°. 同理，β2＝－420°且在－720°～0°范围内与β2有相同终边的角是－60°.能力提升一、选择题1．扇形的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角是 ____弧度．( ) A ．π B ．π2C ．π3D ．π4[答案] C[解析] ∵圆心角所对的弦长等于半径， ∴该圆心角所在的三角形为正三角形， ∴圆心角是π3弧度．2．在直角坐标系中，若角α与角β终边关于原点对称，则必有( ) A ．α＝－β B ．α＝－2k π±β(k ∈Z ) C ．α＝π＋β D ．α＝2k π＋π＋β(k ∈Z ) [答案] D[解析] 将α旋转π的奇数倍得β.3．在半径为3cm 的圆中，60°的圆心角所对的弧的长度为( ) A ．π3cmB ．πcmC ．3π2cmD ．2π3cm[答案] B[解析] 由弧长公式得，l ＝|α|R ＝π3×3＝π(cm)．4．下列各组角中，终边相同的角是( )A ．(2k ＋1)π与(4k ±1)π，k ∈ZB ．k π2与k π＋π2，k ∈ZC ．k π＋π6与2k π±π6，k ∈Z D ．k π±π3与k π3，k ∈Z [答案] A [解析] 2k ＋1与4k ±1都表示的是奇数，故选A.二、填空题5．把－11π4写成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ的值是________． [答案] －3π4[解析] －11π4＝－3π4－2π＝5π4－4π， ∴使|θ|最小的θ的值是－3π4. 6．用弧度表示终边落在y 轴右侧的角的集合为________.[答案] {θ|－π2＋2k π<θ<π2＋2k π，k ∈Z } [解析] y 轴对应的角可用－π2，π2表示，所以y 轴右侧角的集合为{θ|－π2＋2k π<θ<π2＋2k π，k ∈Z }．三、解答题7．x 正半轴上一点A 绕原点依逆时针方向做匀速圆周运动，已知点A 每分钟转过θ角(0<θ≤π)，经过2min 到达第三象限，经过14min 回到原来的位置，那么θ是多少弧度？[解析] 因为0<θ≤π，所以0<2θ≤2π.又因为2θ在第三象限，所以π<2θ<3π2. 因为14θ＝2k π，k ∈Z ，所以2θ＝2k π7，k ∈Z . 当k 分别取4、5时，2θ分别为8π7、10π7，它们都在⎝⎛⎭⎫π，3π2内． 因此θ＝4π7rad 或θ＝5π7rad. 8．设集合A ＝{α|α＝32k π，k ∈Z }，B ＝{β|β＝53k π，|k |≤10，k ∈Z }，求与A ∩B 的角终边相同的角的集合．[解析] 设α0∈A ∩B ，则α0∈A 且α0∈B ，所以α0＝32k 1π，α0＝53k 2π，所以32k 1π＝53k 2π， 即k 1＝109k 2. 因为|k 2|≤10，k 2∈Z ，且k 1∈Z ，所以k 1＝0，±10.因此A ∩B ＝{0，－15π，15π}，故与A ∩B 的角的终边相同的角的集合为{γ|γ＝2k π或γ＝(2k ＋1)π，k ∈Z }＝{γ|γ＝n π，n ∈Z }．9．已知扇形AOB 的周长为8cm.(1)若这个扇形的面积为3cm 2，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的弧度数和弦长AB .[解析] (1)设扇形的圆心角为θ，扇形所在圆的半径为x (cm)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋xθ＝812θ·x 2＝3，解得θ＝23或6， 即圆心角的大小为23弧度或6弧度． (2)由于扇形的圆心角θ＝8－2x x， 于是扇形面积S ＝12x 2·8－2x x＝4x －x 2＝－(x －2)2＋4. 故当x ＝2cm 时，S 取到最大值．此时圆心角θ＝8－42＝2(弧度)，弦长AB ＝2·2sin1＝4sin1(cm)． 即扇形的面积取得最大值时圆心角为2弧度，弦长AB 为4sin1cm.备选题目：1（2015年1月·昌平期末·14）某蒸汽机上的飞轮直径为20cm ，每分钟按顺时针．．．方向旋转180转，则飞轮每秒钟．．．转过的弧度数是_________；轮周上的一点每秒钟．．．经过的弧长为_________.答案：6π- ，60cm π2（2015年1月·西城期末·1．已知，且sin 0<α，cos 0>α，则角α的取值范围是（ ） (0,2π)α∈（A ）π(0,)2（B ）π(,π)2 （C ） （D ） 答案：D（A ） （B ） （C ）（D ） 答案：C4（2015年1月·延庆期末·2．已知)2,0[πα∈，与角终边相同的角是（A ）（B ）32π （C ）34π （D ）35π 答案：D 5（2015年1月·延庆期末·3．若0sin >α ，且0cos <α ，则角α是A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 答案：B6（2015年1月·顺义期末·8.如图，现要在一块半径为圆心角为的扇形金属板上，剪出一个平行四边形，使点在弧上，点在上，点在上，记的面积为，则的最大值为C. 答案：D7（2015年1月·西城期末·13．若(,)22ππ∈-θ，且tan 1>θ，则θ的取值范围是_． 答案：(,)42ππ 8（2015年1月·延庆期末·16．已知是圆上两点,弧度,,则劣3π(π,)23π(,2π)22π34π35π37π33π-3π1m 3πAOB MNPQ P AB Q OA ,M N OB MNPQ Y S S 2223m 2B A ,O 2=∠AOB 2=OA O M N A B PQ弧AB长度是__ ____.答案：4。
任意角和弧度制、三角函数的概念
π
3π
所以 kπ+2 < 2<kπ+ 4 (k∈Z).
π
3π
当 k=2n(n∈Z)时,2nπ+2 < 2<2nπ+ 4 , 2是第二象限角;
3π
7π
当 k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+ 2 < 2 <2nπ+ 4 , 2是第四象限角.
综上可知,当 α 是第三象限角时,2是第二或第四象限角.
4
3
3
3
是真命题;-400°=-360°-40°,从而-400°是第四象限角,故③是真命
题;-315°=-360°+45°,从而-315°是第一象限角,故④是真命题.
π
π
(2)集合 π + ≤ ≤ π + ,∈Z 中的角的终边所表示的范围(阴影
4
2
部分)是( C )
π
π
当 k=2n(n∈Z)时,2nπ+ ≤ ≤2nπ+ ,
3
3
3
4π
,k∈Z}.
3
= 2π +
解题心得1.角的终边在一条直线上比在一条射线上多一种情况.
2.判断角β所在的象限,先把β表示为β=2kπ+α,α∈[0,2π),k∈Z,再判断角α所
在的象限即可.
3.确定角 kα, (k≥2,且 k∈N*)的终边的位置:先用终边相同角的形式表示出
角 α 的范围,再写出 kα 或 的范围,最后根据 k 的可能取值讨论确定角 kα 或
∴终边在直线 y= 3x 上的角的集合为 =
三角函数的图像和性质讲解(定义域,值域,周期,单调性等)
三角函数的图象与性质教学目标：1、掌握正、余弦函数的定义域和值域；2、进一步理解三角函数的周期性和奇偶性的概念，会求它们的周期，会判断它们的奇偶性；3、能正确求出正、余弦函数的单调区间教学重点：正、余弦函数的性质教学难点：正、余弦函数的单调性知识要点：1、定义域：函数sin y x =及cos y x =的定义域都是(),-∞+∞，即实数集R2、值域：函数sin y x =，x R ∈及cos y x =，x R ∈的值域都是[]1,1-理解：（1）在单位圆中，正弦线、余弦线的长都是等于或小于半径的长1的，所以sin 1x ≤，cos 1x ≤，即1sin 1x -≤≤，1cos 1-≤≤。
（2）函数sin y x =在2,()2x k k Z ππ=+∈时，y 取最大值1，当22x k ππ=-，()k Z ∈时，y 取最小值-1；函数cos y x =在2x k π=，()k Z ∈时，y 取最大值1，当2x k ππ=+，()k Z ∈时，y 取最小值-1。
正弦函数s i n y x =，x R ∈和余弦函数cos y x =，x R ∈是周期函数，2k π(0)k Z k ∈≠且都是它们的周期，最小正周期是2π。
4、奇偶性正弦函数sin y x =，x R ∈是奇函数，余弦函数cos y x =，x R ∈是偶函数。
理解：（1）由诱导公式()sin sin x x -=-，cos()cos x x -=可知以上结论成立；（2）反映在图象上，正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于y 轴对称。
5、单调性（1）由正弦曲线可以看出：当x 由2π-增大到2π时，曲线逐渐上升，sin x 由-1增大到1；当x 由2π增大到32π时，曲线逐渐下降，sin x 由1减至-1，由正弦函数的周期性知道：①正弦函数sin y x =在每一个闭区间2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上，都从-1增大到1，是增函数； ②在每一个闭区间32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上，都从1减小到-1，是减函数。
高三数学复习三角函数知识点总结
高三数学复习三角函数知识点总结
考试内容：
角的概念的推广.弧度制.
任意角的三角函数.单位圆中的三角函数线.同角三角函数的根本关系式.正弦、余弦的诱导公式.
两角和与差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切.
正弦函数、余弦函数的图像和性质.周期函数.函数y=Asin(x+)的图像.正切函数的图像和性质.三角函数值求角.
正弦定理.余弦定理.斜三角形解法.
考试要求：
(1)理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进展弧度与角度的换算.
(2)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义;了解余切、正割、余割的定义;掌握同角三角函数的根本关系式;掌握正弦、余弦的诱导公式;了解周期函数与最小正周期的意义.
(3)掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式;掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.
(4)能正确运用三角公式，进展简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明.
(5)理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用五点法画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(x+)的简图，理解A.、的物理意义.
(6)会由三角函数值求角，并会用符号arcsinxarc-cosxarctanx表示.
(7)掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形.
(8)同角三角函数根本关系式：sin2+cos2=1，
sin/cos=tan,tancos=1.
高三数学复习三角函数知识点就为大家介绍到这里，希望对你有所帮助。
任意角的正弦函数、余弦函数的定义
周期性
总结词
正弦函数和余弦函数都是周期函数，这意味 着它们的图像会重复出现。
详细描述
周期函数的定义是，如果存在一个非零常数 $T$，使得对于定义域内的所有$x$，都有 $f(x+T)=f(x)$，则称$f(x)$是周期函数， $T$是它的周期。对于正弦函数和余弦函数， 它们的周期是$2pi$。这意味着无论角度是 多少，正弦和余弦函数的值都会在一定的周 期内重复。
04
在$0^circ$到 $360^circ$之间，余弦 函数在$0^circ$、 $180^circ$处取得最大 值1和最小值-1。
正弦函数与余弦函数的比较
正弦函数和余弦函数有许多相似之处，如它们 都是周期函数，其值域也都为$[-1,1]$。
然而，它们在图像上呈现出不同的形态。正弦 函数的图像呈现正弦波的形状，而余弦函数的 图像呈现余弦波的形状。
正弦函数的周期性
正弦函数具有周期性，其周期 为2π。
在一个周期内，正弦函数呈 现出波形变化的特点，即随 着角度的增加，正弦值在-1
和1之间循环变化。
正弦函数的周期性是三角函数 的一个重要性质，在解决实际
问题中具有广泛的应用。
02
任意角的余弦函数定义
定义
1
任意角α的余弦函数定义为：cosα = x/r，其中x 是余弦函数在单位圆上对应的横坐标，r是单位圆 的半径。
乘积公式
总结词
乘积公式是正弦函数和余弦函数之间的另一种重要关 系，用于将两个角的正弦或余弦值的乘积转换为其他 角度的正弦或余弦值。
详细描述
乘积公式是三角函数中另一个重要的公式，它表示两个 角的正弦或余弦值的乘积可以通过已知的两个角的三角 函数值计算出来。具体来说，对于任意角α和β，有： sin α cos β=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]；cos α cos β=1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]；sin α sin β=1/2[cos(αβ)-cos(α+β)]。这些公式在解决实际问题时也非常有用， 例如在信号处理和振动分析等领域。
任意角函数知识点总结
任意角函数知识点总结任意角函数是初等数学中的一个重要概念，它是对常规角函数的拓展，使其可以适用于任意角度的情况。
任意角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等，它们在数学、物理、工程等领域中有着广泛的应用。
在学习和运用任意角函数时，需要了解其定义、性质、图像等基本知识，下面我们将对任意角函数进行详细的总结。
一、正弦函数正弦函数是最基本的任意角函数之一，它表示一个角的正弦值。
在直角三角形中，正弦函数的定义是指对边与斜边的比值，它的定义域为实数集合，值域为[-1,1]。
正弦函数的图像是一条周期为2π的曲线，其波动幅度在[-1,1]之间，且符合奇函数的性质。
正弦函数的反函数为反正弦函数，可以表示为y=sin⁻¹x，其中定义域为[-1,1]，值域为[-π/2,π/2]。
二、余弦函数余弦函数是另一个重要的任意角函数，它表示一个角的余弦值。
在直角三角形中，余弦函数的定义是指邻边与斜边的比值，它的定义域为实数集合，值域为[-1,1]。
余弦函数的图像也是一条周期为2π的曲线，其波动幅度在[-1,1]之间，且符合偶函数的性质。
余弦函数的反函数为反余弦函数，可以表示为y=cos⁻¹x，其中定义域为[-1,1]，值域为[0,π]。
三、正切函数正切函数是对角的正切值的表示，它的定义是指对边与邻边的比值。
正切函数的定义域为实数集合中除以π的奇数倍的数，其值域为实数集合。
正切函数的图像是一条以π/2为周期的振荡曲线，不存在振荡幅度的上限和下限。
正切函数的反函数为反正切函数，可以表示为y=tan⁻¹x，其中定义域为实数集合，值域为(-π/2,π/2)。
四、余切函数余切函数是对角的余切值的表示，它的定义是指邻边与对边的比值。
余切函数的定义域为实数集合中除以π的奇数倍的数，其值域为实数集合。
余切函数的图像也是一条以π为周期的振荡曲线，不存在振荡幅度的上限和下限。
余切函数的反函数为反余切函数，可以表示为y=cot⁻¹x，其中定义域为实数集合，值域为(0,π)。
数学一轮复习第三章三角函数解三角形第1讲任意角和蝗制及任意角的三角函数学案含解析
第三章三角函数、解三角形第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数[考纲解读］1。
了解任意角的概念及弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化．(重点)2.理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，并能熟练运用基本知识与基本技能、转化与化归思想等．(重点、难点)[考向预测］从近三年高考情况来看，本讲内容属于基础考查范围．预测2021年高考会考查三角函数的定义、根据终边上点的坐标求三角函数值或根据三角函数值求参数值．常以客观题形式考查，属中、低档试题.1．任意角的概念（1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着错误!端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的分类（3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内,可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°,k∈Z｝．2．弧度制的定义和公式（1)定义：把长度等于错误!半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0。
(2)公式3．任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y）,那么sinα＝错误!y,cosα＝错误!x，tanα＝错误!错误!.1．概念辨析（1）锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．()（2）角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．()（3)不相等的角终边一定不相同．（）（4)三角形的内角必是第一、第二象限角．(）答案（1）×（2）√（3）×(4）×2．小题热身(1)下列与错误!的终边相同的角的表达式中正确的是(）A．2kπ＋45°(k∈Z）B．k·360°＋错误!（k∈Z）C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋5π4（k∈Z）答案C解析角度制与弧度制不能混用,排除A,B；因为错误!＝2π＋π4，所以与错误!终边相同的角可表示为k·360°＋45°(k∈Z)或k·360°－315°等，故选C。
第1讲三角函数任意角的定义与弧度制
第四章
三角函数、解三角形
(教材习题改编)若角 θ 满足 tan θ>0，sin θ<0，则角 θ 所在的 象限是( ) B．第二象限 D．第四象限
A．第一象限 C．第三象限
答案：C
栏目 导引
第四章
三角函数、解三角形
(教材习题改编)单位圆中， 200° 的圆心角所对的弧长为( A．10π 9 C． π 10
同角三角函数 cos2x＝1， sin x ＝tan x. cos x 的基本关系式 与诱导公式
π 能利用单位圆中的三角函数线推导出 ±α， 2
π±α 的正弦、余弦、正切的诱导公式.
第四章
三角函数、解三角形
知识点
考纲下载 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公 式．
和与差的三角函 数公式
能利用两角差的余弦公式导出两角差的正 弦、正切公式． 能利用两角差的余弦公式导出两角和的正 弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余 弦、正切公式，了解它们的内在联系.
y x 叫做 α 的余 ___ x 叫做 α 的正切， ___
y 叫做 α 的正 ___
弦，记作 sin α
弦，记作 cos α 记作 tan α
栏目 导引
第四章
三角函数、解三角形
三角 函数
正弦
余弦
正切
三角 函数线
MP OM 有向线段______ 有向线段______
为正弦线 为余弦线
AT 有向线段______
π α∈0， 2 ，则
tan α＞sin α.( √ )
(6)若 α 为第一象限角，则 sin α＋cos α＞1.( √ )
栏目 导引
第四章
三角函数、解三角形
高考数学一轮复习第四篇三角函数解三角形第1讲 任意角弧度制及任意角
卜人入州八九几市潮王学校第1讲任意角、弧度制及任意角的三角函数【2021年高考会这样考】1．考察三角函数的定义及应用．2．考察三角函数值符号确实定．【复习指导】从近几年的高考试题看，这局部的高考试题大多为教材例题或者习题的变形与创新，因此学习中要立足根底，抓好对局部概念的理解．根底梳理1．任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．②按终边位置不同分为象限角和轴线角．(2)终边一样的角终边与角α一样的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．(3)弧度制①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．③用“弧度〞做单位来度量角的制度叫做弧度制，比值与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关．④弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．⑤弧长公式：l＝|α|r，扇形面积公式：S扇形＝lr＝|α|r2.2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的间隔为r(r＞0)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sinα＝，cosα＝，tanα＝，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．3．三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M，那么点M是点P在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P的坐标为(cos_α，sin_α)，即P(cos_α，sin_α)，其中cosα＝OM，sinα＝MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或者其反向延长线相交于点T，那么tanα＝AT.我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线．三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦．(2)终边落在x轴上的角的集合{β|β＝kπ，k∈Z}；终边落在y轴上的角的集合；终边落在坐标轴上的角的集合可以表示为.两个技巧(1)在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能那么取终边与单位圆的交点，|OP|＝r一定是正值．(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．三个注意(1)注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．(2)角度制与弧度制可利用180°＝πrad进展互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(3)注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题．双基自测1．(A教材习题改编)以下与的终边一样的角的表达式中正确的选项是()．A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)解析与的终边一样的角可以写成2kπ＋π(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确．答案C2．假设α＝k·180°＋45°(k∈Z)，那么α在()．A．第一或者第三象限B．第一或者第二象限C．第二或者第四象限D．第三或者第四象限解析当k＝2m＋1(m∈Z)时，α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°，故α为第三象限角；当k＝2m(m∈Z)时，α＝m·360°＋45°，故α为第一象限角．答案A3．假设sinα＜0且tanα＞0，那么α是()．A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析由sinα＜0知α是第三、四象限或者y轴非正半轴上的角，由tanα＞0知α是第一、三象限角．∴α是第三象限角．答案C4．角α的终边过点(－1,2)，那么cosα的值是()．A．－B.C．－D．－解析由三角函数的定义可知，r＝，cosα＝＝－.答案A5．(2021·)角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，假设P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－，那么y＝________.解析根据正弦值为负数且不为－1，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该角为第四象限角，∴y＜0，sinθ＝＝－⇒y＝－8.答案－8考向一角的集合表示及象限角的断定【例1】►(1)写出终边在直线y＝x上的角的集合；(2)假设角θ的终边与角的终边一样，求在[0,2π)内终边与角的终边一样的角；(3)角α是第二象限角，试确定2α、所在的象限．[审题视点]利用终边一样的角进展表示及判断．解(1)在(0，π)内终边在直线y＝x上的角是，∴终边在直线y＝x上的角的集合为.(2)∵θ＝＋2kπ(k∈Z)，∴＝＋(k∈Z)．依题意0≤＋＜2π⇒－≤k＜，k∈Z.∴k＝0,1,2，即在[0,2π)内终边与一样的角为，，.(3)∵α是第二象限角，∴k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z.∴2k·360°＋180°＜2α＜2k·360°＋360°，k∈Z.∴2α是第三、第四象限角或者角的终边在y轴非正半轴上．∵k·180°＋45°＜＜k·180°＋90°，k∈Z，当k＝2m(m∈Z)时，m·360°＋45°＜＜m·360°＋90°；当k＝2m＋1(m∈Z)时，m·360°＋225°＜＜m·360°＋270°；∴为第一或者第三象限角．(1)相等的角终边一定一样，但终边一样的角却不一定相等，终边一样的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍．(2)角的集合的表示形式不是唯一的，如：终边在y轴非正半轴上的角的集合可以表示为，也可以表示为.【训练1】角α与角β的终边互为反向延长线，那么()．A．α＝－βB．α＝180°＋βC．α＝k·360°＋β(k∈Z)D．α＝k·360°±180°＋β(k∈Z)解析对于角α与角β的终边互为反向延长线，那么α－β＝k·360°±180°(k∈Z)．∴α＝k·360°±180°＋β(k∈Z)．答案D考向二三角函数的定义【例2】►角θ的终边经过点P(－，m)(m≠0)且sinθ＝m，试判断角θ所在的象限，并求cosθ和tanθ的值．[审题视点]根据三角函数定义求m，再求cosθ和tanθ.解由题意得，r＝，∴＝m，∵m≠0，∴m＝±，故角θ是第二或者第三象限角．当m＝时，r＝2，点P的坐标为(－，)，角θ是第二象限角，∴cosθ＝＝＝－，tanθ＝＝＝－.当m＝－时，r＝2，点P的坐标为(－，－)，角θ是第三象限角．∴cosθ＝＝＝－，tan＝＝＝.任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P的位置无关．假设角α已经给出，那么无论点P选择在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的．【训练2】(2021·课标全国)角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝2x上，那么cos2θ＝()．A．－B．－C.D.解析取终边上一点(a,2a)，a≠0，根据任意角的三角函数定义，可得cosθ＝±，故cos2θ＝2cos2θ－1＝－.答案B考向三弧度制的应用【例3】►半径为10的圆O中，弦AB的长为10.(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.[审题视点](1)由条件可得△AOB是等边三角形，可得圆心角α的值；(2)利用弧长公式可求得弧长，再利用扇形面积公式可得扇形面积，从而可求弓形的面积．解(1)由⊙O的半径r＝10＝AB，知△AOB是等边三角形，∴α＝∠AOB＝60°＝.(2)由(1)可知α＝，r＝10，∴弧长l＝α·r＝×10＝，∴S扇形＝lr＝××10＝，而S△AOB＝·AB·＝×10×＝，∴S＝S扇形－S△AOB＝50.弧度制下的扇形的弧长与面积公式，比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁得多，用起来也方便得多．因此，我们要纯熟地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式．【训练3】扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？解设圆心角是θ，半径是r，那么2r＋rθ＝40，S＝lr＝r(40－2r)＝r(20－r)≤2＝100.当且仅当r＝20－r，即r＝10时，S max＝100.∴当r＝10，θ＝2时，扇形面积最大，即半径为10，圆心角为2弧度时，扇形面积最大．考向四三角函数线及其应用【例4】►在单位圆中画出适宜以下条件的角α的终边的范围．并由此写出角α的集合：(1)sinα≥；(2)cosα≤－.[审题视点]作出满足sinα＝，cosα＝－的角的终边，然后根据条件确定角α终边的范围．解(1)作直线y＝交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，那么OA与OB围成的区域(图中阴影局部)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为.(2)作直线x＝－交单位圆于C、D两点，连接OC、OD，那么OC与OD围成的区域(图中阴影局部)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为.利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤是：(1)用边界值定出角的终边位置；(2)根据不等式(组)定出角的范围；(3)求交集，找单位圆中公一共的局部；(4)写出角的表达式．【训练4】求以下函数的定义域：(1)y＝；(2)y＝lg(3－4sin2x)．解(1)∵2cos x－1≥0，∴cos x≥.由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影局部所示)．∴定义域为(k∈Z)．(2)∵3－4sin2x＞0，∴sin2x＜，∴－＜sin x＜.利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影局部所示)，∴定义域为(k∈Z)．标准解答7——如何利用三角函数的定义求三角函数值【问题研究】三角函数的定义：设α是任意角，其终边上任一点P(不与原点重合)的坐标为(x，y)，它到原点的间隔是r(r＝＞0)，那么sinα＝、cosα＝、tanα＝分别是α的正弦、余弦、正切，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，这样的函数称为三角函数，这里x，y的符号由α终边所在象限确定，r的符号始终为正，应用定义法解题时，要注意符号，防止出现错误．三角函数的定义在解决问题中应用广泛，并且有时可以简化解题过程．【解决方案】利用三角函数的定义求三角函数值时，首先要根据定义正确地求得x，y，r的值；然后对于含参数问题要注意分类讨论．【例如】►(此题总分值是12分)(2021·月考)角α终边经过点P(x，－)(x≠0)，且cosα＝x，求sinα、tanα的值．只要确定了r的值即可确定角α经过的点P的坐标，即确定角α所在的象限，并可以根据三角函数的定义求出所要求的值．[解答示范]∵P(x，－)(x≠0)，∴P到原点的间隔r＝，(2分)又cosα＝x，∴cosα＝＝x，∵x≠0，∴x＝±，∴r＝2.(6分)当x＝时，P点坐标为(，－)，由三角函数定义，有sinα＝－，tanα＝－；(9分)当x＝－时，P点坐标为(－，－)，∴sinα＝－，tanα＝.(12分)当角的终边经过的点不固定时，需要进展分类讨论，特别是当角的终边在过坐标原点的一条直线上时，在根据三角函数定义求解三角函数值时，就要把这条直线看做两条射线，分别求解，实际上这时求的是两个角的三角函数值，这两个角相差2kπ＋π(k∈Z)，当求出了一种情况后也可以根据诱导公式求另一种情况．【试一试】角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα＋cosα＋tanα.[尝试解答]取直线3x＋4y＝0上的点P1(4，－3)，那么|OP1|＝5，那么sinα＝－，cosα＝，tanα＝－，故sinα＋cosα＋tanα＝－＋＋×＝－；取直线3x＋4y＝0上的点P2(－4,3)，那么sinα＝，cosα＝－，tanα＝－.故sinα＋cosα＋tanα＝－＋×＝－.综上，sinα＋cosα＋tanα的值是－或者－.。
周期现象及任意角的概念
任意角的大小范围
01
在平面几何中，任意角的大小范围 是$[0°, 360°)$，或等价地$[0rad, 2pi rad)$。
02
在球面几何中，任意角的大小范围 是$[0°, 360°]$，或等价地$[0rad, 2pi rad]$。
04
周期现象与任意角的关系
周期现象中的角度变化
周期现象中的角度变化是指在一个周期内，角度会按照一定的 规律重复出现。例如，在正弦函数和余弦函数中，角度的变化 是按照2π的周期进行的。
• 社会科学领域：在社会科学领域，周期现象和任意角概念也有一定的应用。例 如，在经济学中，经济周期可以用周期现象来描述；在心理学中，人的心理活 动也可以用周期现象来研究。任意角概念在社会学、心理学和信息科学等领域 也有应用，可以帮助研究事物的变化和发展。
THANKS
感谢观看
在天文学中，周期现象和任意角的概念被用来描述天体的运动和位置变 化。例如，在太阳的升起和落下中，周期现象和任意角的概念被用来描 述太阳高度角的变化。
05
结论
对周期现象和任意角概念的理解
周期现象
周期现象是指事物按照一定的规律不断重复出现的现象。例如，四季更替、昼夜 交替等都是典型的周期现象。周期现象具有规律性、重复性和可预测性等特点， 对于自然界和人类社会中许多事物的变化和运动都有重要影响。
高考数学 31弧度制、任意角三角函数定义课件 北师大版
3．(2011·山东高考)若点(a,9)在函数 y＝3x 的图象上，则
tan a6π的值为( )
A．0
3 B. 3
C．1
D. 3
【答【案解】析】D 由题意知：9＝3a，解得 a＝2，所以 tan a6π＝ tan 26π＝tan π3＝ 3，故选 D.
4．(2011·江西高考)已知角 θ 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的正半轴，若 P(4，y)是角 θ 终边上一点，且 sin θ＝－255， 则 y＝________.
【解析】 ∵P0( 2，－ 2)，∴∠P0Ox＝π4. 按逆时针转时间 t 后得∠POP0＝t，∠POx＝t－π4. 此时 P 点纵坐标为 2sint－4π，∴d＝2sint－π4. 【答当案】t＝0C时，d＝ 2，排除 A、D；当 t＝π4时，d＝0，排 除 B.
{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}
(1)终边相同的角相等吗？它们的大小有何关系？ (2)锐角是第一象限角，第一象限角是锐角吗？小于90°的
角是锐角吗？
提示：(1)终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整 数倍．
(2)第一象限角不一定是锐角，如390°、－300°都是第一 象限角，但它们不是锐角．
小于90°的角也不一定是锐角，如0°、－30°都不是锐角.
1．(2010·上海高考)“x＝2kπ＋π4(k∈Z)”是“tan x＝1”
成立的பைடு நூலகம் )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条
件【答案】 A 【解析】 由 tan x＝1 得 x＝kπ＋π4(k∈Z)，故选 A.
2.(2010·全国新课标高考)如图，质点 P 在半径为 2 的圆周 上逆时针运动，其初始位置为 P0( 2，－ 2)， 角速度为 1，那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时 间 t 的函数图象大致为( )
第1讲 任意角和弧度制三角函数的概念
第四章 三角函数、解三角形 第1讲 任意角和弧度制、三角函数的概念1．角的概念(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的□1端点旋转所成的图形． (2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为□2正角、□3负角、□4零角．按终边位置不同分为□5象限角和轴线角．(3)相反角：我们把射线OA 绕端点O 按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为□6－α．(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义把长度等于□7半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad 表示． (2)公式3．任意角的三角函数(1)设α是一个任意角，α∈R ，它的终边OP 与单位圆相交于点P (x ，y )， 则sin α＝□9y ，cos α＝□10x ，tan α＝y x (x ≠0). (2)任意角的三角函数的定义(推广)：设P (x ，y )是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O 的距离为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx (x ≠0).4．三角函数在各象限的符号规律常用结论►(1)三角函数在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦． (2)象限角(3)轴线角1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)小于90°的角是锐角．( )(2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.( ) (3)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关．( ) (4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( ) 2．(教材改编)67°30′化为弧度是( ) A ．3π8B ．38C ．673π1 800D ．6731 8003．(教材改编)已知α是第一象限角，那么α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第二象限角D ．第一或第三象限角4．(教材改编)已知角θ的终边经过点P (－12，5)，则sin θ＋cos θ＝ ．关键能力 互动探究 命题点1 任意角及其表示例1 (1)集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( C )(2)(2024·河北唐山质检)在[－720°，0°]范围内所有与45°终边相同的角为 ． 命题点睛►(1)表示区间角的三个步骤①先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；②再按由小到大的顺序分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x |α＜x ＜β}，其中β－α＜360°；③最后令起始、终止边界的对应角α，β加上360°的整数倍，即得区间角的集合． (2)象限角的两种判断方法①图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角；②转化法：先将已知角化为k ·360°＋α(0°≤α<360°，k ∈Z )的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α的终边所在的象限判断已知角是第几象限角．针对训练1．(多选)下列命题正确的是( )A ．终边落在x 轴的非负半轴的角的集合为{α|α＝2k π，k ∈Z }B ．终边落在y 轴上的角的集合为{α|α＝90°＋k π，k ∈Z }C ．第三象限角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|π＋2k π≤α≤3π2＋2k π，k ∈ZD ．在－900°≤x <0°范围内所有与30°角终边相同的角为－690°和 －330°2．终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3．命题点2 弧度制及其应用例2 已知扇形的圆心角是α，半径为R ，弧长为l . (1)若α＝π3，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)若扇形的周长是20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ (3)若α＝π3，R ＝2 cm ，求扇形的弧所在的弓形的面积．命题点睛►应用弧度制解决问题时的注意点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． 针对训练(多选)中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形(如图)的面积为S 1，圆心角为α1，扇形所在圆面中剩余部分的面积为S 2，圆心角为α2，当S 1与S 2的比值为5－12≈0.618(黄金分割比)时，折扇看上去较为美观，那么( )A ．α1≈127.5°B ．α1≈137.5°C ．α2＝(5－1)πD ．α1α2＝5－12命题点3 三角函数的定义及其应用角度1 三角函数的定义例3 (1)已知角α的终边与单位圆交于点P ⎝⎛⎭⎫35，m 5，则sin α的值是( ) A ．±45B ．±35C ．34D ．－34(2)如果点P 在角23π的终边上，且|OP |＝2，则点P 的坐标是( )A ．(1，3)B ．(－1，3)C ．(－3，1)D ．(－3，－1) 角度2 三角函数的符号例4 (1)点P (sin 100°，cos 100°)在( ) A ．第一象限内 B ．第二象限内 C ．第三象限内D ．第四象限内 (2)已知sin θ<0，tan θ<0，则角θ的终边位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限命题点睛►1．三角函数定义的应用(1)找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，直接利用三角函数的定义，确定这个角的三角函数值．(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值．2．要判断三角函数的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再确定三角函数在各象限的符号．如果不能确定角所在象限，那么就要进行分类讨论求解．针对训练1．(2023·黑龙江哈尔滨期中)已知角α的终边经过点P (－3，4)，则sin α－cos α－11＋tan α的值为( )A ．－65B ．1C ．2D ．32．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，若A (－1，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－31010，则y ＝( )A ．3B ．－3C ．1D ．－13．(2024·福建福州质检)若α是第二象限角，则下列不等式正确的是( ) A ．cos (－α)>0 B ．tan α2>0C ．sin 2α>0D ．sin (－α)>0 课时作业 [基础巩固练]1．下列与角9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )2．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，其终边经过点P (1，2)，则sin α＝( ) A ．255B ．55 C ．2D ．123．点A (sin 1 240°，cos 1 240°)在直角坐标平面上位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限4．(2023·天津河东一模)在面积为4的扇形中，其周长最小时半径的值为( ) A ．4 B ．22 C ．2D ．15．(2024·河南郑州质检)已知α是第二象限角，则点(cos (sin α)，sin (cos α))所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限6．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角一定是第一象限角或第二象限角；③无论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；⑤若cos θ<0，则θ是第二象限角或第三象限角．其中正确命题的序号是( )A ．②④⑤B ．③⑤C ．③D ．①③⑤7．(多选)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，终边上有一点P (1，2sin α)，且|α|<π2，则角α的可能取值为( )A ．－π3B ．0C ．π6D ．π38．已知角α的终边经过点(2a －1，4)，且cos α＝－35，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－1C ．2D ．1 9．若角α的终边与函数5x ＋12y ＝0(x <0)的图象重合，则2cos α＋sin α＝ ． 10．用弧度制表示终边落在如图所示的阴影部分内(含边界)的角θ的集合是11．α为第二象限角，且⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则α2在第 象限． 12．(2024·山东德州质检)已知扇形的圆心角为23π，面积为3π，则该扇形的周长为 ．[能力提升练]13．(多选)在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点P (－1，m )(m >0)，则下列各式的值一定为负的是( )A ．sin α＋cos αB ．sin α－cos αC ．sin αcos αD ．sin αtan α14．(2023·山西长治模拟)水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中提到的由三体文明使用强互作用力材料(SIM)所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴．如图所示，水滴由线段AB ，AC 和圆的优弧BC 围成，其中AB ，AC 恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为1，点A 到圆弧所在圆的圆心的距离为2，则该封闭图形的面积为( A )A ．3＋2π3B ．23＋2π3C ．23＋π3D ．3＋π315．(2023·黑龙江牡丹江三模)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ⎝⎛⎭⎫35，45，将线段OA 绕原点顺时针旋转π3得到线段OB ，则点B 1016．若点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0，2π)内α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4．。
任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的定义
任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的定义授课时间第周星期第节课型新授课主备课人学习目标1.掌握任意角三角函数的定义，并能借助单位圆理解任意角三角函数的定义；2.会用三角函数线表示任意角三角函数的值；3.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号重点难点求任意角三角函数的值学习过程与方法自主学习1．设点P是α角终边上任意一点，坐标为(,)P x y，22||OP x y r=+=，用（1）比值叫做α的正弦，记作sinα，即sinα= ；（2）比值叫做α的余弦，记作cosα，即cosα= ；（3）比值叫做α的正切，记作tanα，即tanα= .其中，siny x=和cosy x=的定义域分别是_____________；而tany x=的定义域是_________.除上述情况外，对于确定的值α，比值yr、xr、yx分别是一个确定的实数，所以正弦、余弦、正切、是以角α为自变量，一比值为函数值的函数，分别叫做角α的正弦函数、余弦函数、正切函数，以上三种函数统称为____________．2．三角函数的符号由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：①正弦值yr对于第一、二象限为_______对于第三、四象限_______；②余弦值xr对于第一、四象限为_______对于第二、三象限为_______；③正切值yx对于第一、三象限为_______对于第二、四象限为________．说明：（1）若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值；（2）正弦函数值的符号与y的符号相同，余弦函数值的符号与x的符号相同．精讲互动一、任意角的三角函数例1．已知角α的终边经过点(2,3)P-，求α的正弦、余弦、正切值.分析：任意角的三角函数的定义思考 ：若角θ的终边经过点(4,3)(0)P a a a -≠，求sin cos θθ和的值二、三角函数的定义域例2. x 取什么值时，sin cos tan x x x-有意义.（ 分 析：三角函数的定义域）三、三角函数值在各象限的符号例3 确定下列三角函数的符号：（1）7cos12π； （2）0sin(465)-； （3）11tan 3π达标训练1设α是三角形一个内角，在sin ,cos ,tan ,tan2αααα中，哪些有可能是负值？ 2确定下列各角的正弦、余弦、正切值的符号：（1）0885； （2）0395-； （3）196π； （4）253π- 3 已知角α的终边经过点(3,4)P -，求角α的正弦、余弦和正切值.作业布置习题1-4 1，2，6 学习小结/教学反思。
三角函数知识点归纳
第一章：三角函数§、任意角一、 正角、负角、零角、象限角的概念. 二、 与角α终边相同的角的集合： {}Z k k ∈+=,2παββ.§、弧度制一、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 二、 r l =α. 3、弧长公式：R Rn l απ==180. 4、扇形面积公式：lR R n S 213602==π. §、任意角的三角函数一、 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么：xyx y ===αααtan ,cos ,sin二、 设点(),A x y 为角α终边上任意一点，那么：（设r =sin y r α=，cos xrα=，tan y x α=，cot x y α=3、 αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号和三角函数线的画法.正弦线：MP;余弦线：OM; 正切线：AT五、 特殊角.§、同角三角函数的大体关系式一、 平方关系：1cos sin 22=+αα. 二、 商数关系：αααcos sin tan =. 3、 倒数关系：tan cot 1αα= §、三角函数的诱导公式（归纳为“奇变偶不变，符号看象限”Z k ∈）一、 诱导公式一：二、 诱导公式二：()()().tan 2tan ,cos 2cos ,sin 2sin απααπααπα=+=+=+k k k ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ=+-=+-=+（其中：Z k ∈）3、诱导公式三：4、诱导公式四：()()().tan tan ,cos cos ,sin sin αααααα-=-=--=- ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ-=--=-=- 五、诱导公式五： 六、诱导公式六：.sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛- .sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+§、正弦、余弦函数的图象和性质 一、记住正弦、余弦函数图象：二、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：概念域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 3、会用五点法作图.sin y x =在[0,2]x π∈上的五个关键点为：30010-12022ππππ（，）（，，）（，，）（，，）（，，）. §、正切函数的图象与性质一、记住正切函数的图象： 二、记住余切函数的图象：3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：概念域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.周期函数概念：关于函数()x f ，若是存在一个非零常数T ，使适当x 取概念域内的每一个值时，都有()()，那么函数()x f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做那个函数的周期.图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质图象定义域 R R },2|{Z k k x x ∈+≠ππ值域[-1,1][-1,1]R 最值max min 2,122,12x k k Z y x k k Z y ππππ=+∈==-∈=-时，时，max min 2,12,1x k k Z y x k k Z y πππ=∈==+∈=-时，时，无周期性 π2=T π2=T π=T奇偶性奇 偶 奇单调性Z k ∈ 在[2,2]22k k ππππ-+上单调递增 在3[2,2]22k k ππππ++上单调递减在[2,2]k k πππ-上单调递增 在[2,2]k k πππ+上单调递减在(,)22k k ππππ-+上单调递增对称性 Z k ∈对称轴方程：2x k ππ=+对称中心(,0)k π 对称轴方程：x k π= 对称中心(,0)2k ππ+无对称轴 对称中心,0)(2k π§、函数()ϕω+=x A y sin 的图象 一、关于函数：()()sin 0,0y A x B A ωφω=++>>有：振幅A ，周期2T πω=，初相ϕ，相位ϕω+x ，频率πω21==Tf .二、能够讲出函数x y sin =的图象与()sin y A x B ωϕ=++的图象之间的平移伸缩变换关系. ① 先平移后伸缩：sin y x = 平移||ϕ个单位 ()sin y x ϕ=+（左加右减）横坐标不变 ()sin y A x ϕ=+纵坐标变成原先的A 倍纵坐标不变 ()sin y A x ωϕ=+ 横坐标变成原先的1||ω倍平移||B 个单位 ()sin y A x B ωϕ=++ （上加下减）① 先伸缩后平移：sin y x = 横坐标不变 sin y A x =纵坐标变成原先的A 倍纵坐标不变 sin y A x ω= 横坐标变成原先的1||ω倍()sin y A x ωϕ=+（左加右减）平移||B 个单位 ()sin y A x B ωϕ=++（上加下减）3、三角函数的周期，对称轴和对称中心函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A≠0)的周期2||T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期||T πω=.关于sin()y A x ωϕ=+和cos()y A x ωϕ=+来讲，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.求函数sin()y A x ωϕ=+图像的对称轴与对称中心，只需令()2x k k Z πωϕπ+=+∈与()x k k Z ωϕπ+=∈解出x 即可.余弦函数可与正弦函数类比可得. 4、由图像确信三角函数的解析式利用图像特点：max min 2A =，max min2y y B +=.ω要依照周期来求,ϕ要用图像的关键点来求.§、三角函数模型的简单应用一、 要求熟悉讲义例题.第三章、三角恒等变换§、两角差的余弦公式§、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 一、()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+ 二、()βαβαβαsin cos cos sin sin -=-3、()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+4、()βαβαβαsin sin cos cos cos +=-五、()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ+-+=. 六、()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ-+-=.§、二倍角的正弦、余弦、正切公式一、αααcos sin 22sin =，变形： 12sin cos sin 2ααα=. 二、ααα22sin cos 2cos -=1cos 22-=αα2sin 21-=.变形如下： 升幂公式：221cos 22cos 1cos 22sin αααα⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ 降幂公式：221cos (1cos 2)21sin (1cos 2)2αααα=+=-⎧⎪⎨⎪⎩ 3、ααα2tan 1tan 22tan -=. 4、sin 21cos 2tan 1cos 2sin 2ααααα-==+§、简单的三角恒等变换1、注意正切化弦、平方降次. 二、辅助角公式)sin(cos sin 22ϕ++=+=x b a x b x a y（其中辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ=).。
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周期现象，任意角，角的弧度制，单位圆与正、余弦函数 【基础知识】1.函数的周期性(1)定义：如果存在一个非零常数T ，使得对于函数定义域内的任意x ，都有f(x ＋T)＝________，则称f(x)为________函数，其中T 称作f(x)的周期．若T 存在一个最小的正数，则称它为f(x)的________________． (2)性质： ①f(x ＋T)＝f(x)常常写作f(x ＋T 2)＝f(x －T2)．②如果T 是函数y ＝f(x)的周期，则kT(k ∈Z 且k≠0)也是y ＝f(x)的周期，即f(x ＋kT)＝f(x)．2. 角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角 （2）正角，负角，零角的概念：(3)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝{β|β＝k ·360°＋α，k ∈Z }．(4)象限角：①定义：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限．②分类：角按终边位置不同分为象限角和轴线角（象限界角）．说明：象限角和轴线角（象限界角）的研究脱离不了平面直角坐标系 3. 弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零，弧度的单位记作rad 。
(2)用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．|α|＝lr，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．比值l r与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关．(3)角度制和弧度制的互化：180°＝πrad,1°＝π180rad,1 rad＝⎝⎛⎭⎪⎫180π°.(4)扇形的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝12lr＝12|α|·r2.说明：在进行角度与弧度的换算时，关键要抓住180°＝πrad这一关系式4．任意角的三角函数(1)任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx.三个三角函数的初步性质如下表：5．诱导公式（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）【基础应用】填表例1 (1)写出终边在直线y ＝3x 上的角的集合；(2)若角θ的终边与6π7角的终边相同，求在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角；(3)已知角α是第一象限角，试确定2α、α2所在的象限．已知角α＝45°，(1)在区间[－720°，0°]内找出所有与角α有相同终边的角β； (2)设集合M ＝{}Z k k x x ∈︒+︒=.45180|，N ＝{}Z k k x x ∈︒+︒=.451802|，那么两集合的关系是什么？ 题型二 三角函数的定义例2 已知角α的终边经过点P (x ，－2) (x ≠0)，且cos α＝36x ，求sin α的值．已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α的值．题型三 三角函数线、三角函数值的符号例3 (1) 已知cos α=－12，求角α的集合．题型四 扇形的弧长、面积公式的应用例4 已知一扇形的圆心角为α (α>0)，所在圆的半径为R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积； (2)若扇形的周长是一定值20 ，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 思维启迪：(1)弓形面积可由扇形面积与三角形面积相减得到；(2)建立关于α的函数．(1)一个半径为r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？扇形的面积是多少？(2)一扇形的周长为20 cm ；当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？题型五 三角函数的诱导公式的应用 例5.求下列函数值（1）sin(－1650︒)； （2）sin(－47π) （3）cos 611π （4）cos89π （5）cos(－43π) （6）cos(－1650°) 变式题：求(1)sin(－1 740°)·cos1 470°＋cos660°·sin750°的值．(2)sin(－1 320°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)·sin 750°＋tan 495°；(3)cos(－233π)＋tan 174π；题型六 三角函数的化简 （1）sin (π＋α)·cos (π－α)·sin ⎝⎛⎭⎫－3π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·cos ⎝⎛⎭⎫－3π2－α（2）()()()()()πααπαπαπαπ---+-+-cos 3cos cos 3cos 2cos（3）()()()()()πααπαπαπαπ---+-+-sin3sinsin3sin2sin练习1．角α的终边过点P(－1,2)，则sin α等于()A.55 B.255C．－55D．－2552．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是() A．sin α＋cos α<0 B．tan α－sin α<0C．cos α－tan α<0 D．tan αsin α<03．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为() A．2 B．4 C．6 D．84．有下列命题：①终边相同的角的同名三角函数的值相等；②终边不同的角的同名三角函数的值不等；③若sin α>0，则α是第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P(x，y)是其终边上一点，则cos α＝－xx2＋y2.其中正确的命题的个数是() A．1 B．2 C．3 D．45． cos(－2 013π)的值为()A. 12B．－1 C．－32D．06．已知f(α)＝sin(π－α)·cos(2π－α)cos(－π－α)·tan(π－α)，则f⎝⎛⎭⎪⎫－25π3的值为()A. 12B．－12 C.32D．－327．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．8．设α为第二象限角，其终边上一点为P(m，5)，且cos α＝24m，则sin α的值为________．9．如果sin α＝15，且α为第二象限角，则sin⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝________.10. 一个扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.课后作业：1．以下四种化简过程，其中正确的有( )①sin(360°＋200°)＝sin 200°；②sin(180°－200°)＝－sin 200°；③sin(180°＋200°)＝sin 200°；④sin(－200°)＝sin 200°.A．0个B．1个 C．2个 D．3个2．设cos(π＋α)＝32，(π<α<32π)，那么cos(2π－α)的值是( )A．－12B.32C．－32D.123．若k∈{4,5,6,7}，且sin(kπ2－α)＝－sin α，cos (kπ2－α)＝cos α，则k的值是( )A．4 B．5 C．6 D．74．正弦函数f(x)＝sin x(x∈R)的最小正周期是( )A．2kπ，k∈Z B．π C．2kπ，k∈Z，且k≠0 D．2π5．下列各余弦值的符号为正的是( )A．cos 120° B．cos(－30°) C．cos 240° D．cos(－120°) 6．sin 420°的值是( )A.12B.32C．－32D．－127．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是( )A．1 B．0 C．2 D．－28．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是________．9．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)且cos α≤0，sin α>0，则a的取值范围是________．10．已知函数f(x)的周期为1.5，且f(1)＝20，则f(10)的值是________．。