数学建模案例分析与求解003
数学建模竞赛案例分析
数学建模竞赛案例分析数学建模竞赛是一项旨在培养学生创新思维、动手能力和团队合作精神的活动。
参与竞赛的学生需要运用数学理论和方法解决实际问题，并通过建立模型、分析数据和验证结果等步骤，最终得出科学可行的结论。
本文将从一个具体的数学建模竞赛案例出发，进行深入分析。
案例介绍该案例是关于城市交通流量优化的问题。
某城市的交通拥堵问题日益严重，市政府决定通过优化交通信号灯的配时方案来减轻拥堵程度。
但是，在使用传统方式设置配时方案时，往往难以真实反映实际交通状况，造成传统方式不够准确和高效的问题。
因此，这个案例要求参赛队伍通过建模分析，给出一种更科学、更精确的交通信号灯优化方案。
建模分析团队成员首先分析了交通拥堵问题的原因，确定了车流量和信号灯配时之间的关系。
然后，他们在分析的基础上建立了一个数学模型，将交通信号灯的配时问题转化为优化问题。
针对所建模型，他们设计了相应的算法，并利用计算机进行模拟实验。
结果验证为了验证模型的准确性和有效性，他们选择了某主干道进行实地测试。
对于测试数据的采集，他们设计了专门的采样方案并进行了多次采样。
通过对数据的统计分析，他们得出了不同交通流量下的最优配时方案，并与之前的传统方案进行了对比。
结果表明，他们提出的优化方案在减轻拥堵程度、提高道路通行效率方面效果明显，证明了所建模型的准确性和可行性。
问题讨论在结果验证过程中，团队成员对模型的局限性和可扩展性进行了深入讨论。
他们提出了一些可能改进的方案，如增加交通流量的动态性、考虑多种车辆类型等。
同时，他们还针对模型的实用性进行了讨论，提出了一些具体的应用建议。
同时，他们也意识到建模过程中的一些假设和限制条件，比如忽略行人的影响等，需要在实际应用中进行进一步研究。
结论通过这个案例的分析，团队成员不仅提高了数学建模的能力，还学会了如何团队合作和实际应用建模成果。
同时，他们也发现了数学建模在实际问题解决中的潜力和局限性。
这个案例为他们提供了一个宝贵的学习机会，使他们的数学建模水平得到全面提升。
数学建模的实例与分析
数学建模的实例与分析在现代社会中，数学建模作为一种重要的科学方法，被广泛应用于各个领域。
通过数学模型的构建和分析，我们能够深入了解问题的本质，预测未来的趋势，并为决策提供科学依据。
本文将为大家介绍两个关于数学建模的实例，并对其进行详细分析。
实例一：股票价格预测股票市场一直以来都备受人们的关注，因为其价格的波动会对投资者的财富造成重大影响。
为了帮助投资者更好地预测股票价格，数学建模成为了一种重要的工具。
在股票价格预测的建模过程中，一般使用时间序列分析方法。
首先，我们需要获取一段时间内的历史股票数据，包括每日的股票价格和交易量。
然后，通过统计学方法对这些数据进行分析，例如平均值、标准差等。
接下来，我们可以利用时间序列模型，如ARIMA模型，来对未来的股票价格进行预测。
除了时间序列分析，机器学习算法也可以应用于股票价格的预测。
例如，可以使用支持向量机（SVM）或人工神经网络（ANN）等算法，通过训练模型来捕捉股票价格的变化规律，并进行预测。
这些算法能够根据历史数据中的模式和趋势，预测未来股票价格的走势。
通过数学建模，我们能够更好地理解股票市场的运行规律，并及时预测股票价格的变化，为投资者提供决策参考。
实例二：交通拥堵模拟随着城市化的发展，交通拥堵成为了一个普遍存在的问题。
为了有效地缓解交通拥堵，数学建模可以帮助我们研究交通流的特性，并设计出更好的交通管理策略。
在交通拥堵模拟中，常常使用微观模型和宏观模型相结合的方法。
微观模型关注个体车辆的行为，例如车辆的加速度、减速度以及车头间距等。
而宏观模型则关注整体交通流的特性，例如道路容量、流量以及速度等。
通过对交通流的建模和仿真，我们可以模拟城市道路网络中交通流的变化，以及拥堵的产生和扩散过程。
借助于数学建模，我们可以预测在不同交通管理策略下，拥堵情况的变化以及交通状况的优化效果。
此外，数学建模还可以结合其他领域的知识，如人工智能和大数据分析，来进一步提高交通拥堵模拟的准确性和可靠性。
数学建模案例分析
数学建模案例分析数学建模是将现实问题转化为数学模型，并利用数学方法对模型进行求解的过程。
它是数学与实际问题结合的重要手段，能够帮助人们深入理解问题的本质，提供科学的决策依据。
以下是一个数学建模案例分析。
市有4个城区，现准备改造城市供水系统，以满足未来的供水需求。
根据过往的数据分析，每个城区的用水量与其人口数量、平均收入以及大型工厂的数量有关。
现在的问题是如何设计供水系统，使得满足各城区的用水需求，并且降低总成本。
为了解决这个问题，我们需要进行数学建模。
首先，我们需要确定影响用水量的因素。
1.人口数量：根据过往数据，我们可以得到人口数量与用水量之间的关系。
假设每增加1个人口，用水量增加A升，其中A为一个常数。
2.平均收入：平均收入的提高可能会促使人们增加用水量。
假设平均收入每提高1个单位，用水量增加B升，其中B为一个常数。
3.大型工厂数量：大型工厂对水的需求较大，可能对城区的用水量产生较大的影响。
假设每增加1个大型工厂，用水量增加C升，其中C为一个常数。
通过对过往数据的分析和回归分析，我们可以得到A、B和C的具体数值。
然后，我们可以建立供水系统的数学模型：设城区1、城区2、城区3和城区4的人口分别为x1、x2、x3和x4，平均收入分别为y1、y2、y3和y4，大型工厂数量分别为z1、z2、z3和z4设城区1、城区2、城区3和城区4的用水量分别为w1、w2、w3和w4根据前述的假设，我们可以得到数学模型：w1=A*x1+B*y1+C*z1w2=A*x2+B*y2+C*z2w3=A*x3+B*y3+C*z3w4=A*x4+B*y4+C*z4此外，由于我们希望降低总成本，我们还需要引入成本模型。
假设供水系统的建设成本与每个城区的用水量成正比，并且平均每增加1升用水量，建设成本增加D元，其中D为一个常数。
设城区1、城区2、城区3和城区4的建设成本分别为cost1、cost2、cost3和cost4根据成本因素，我们可以得到成本模型：cost1 = D * w1cost2 = D * w2cost3 = D * w3cost4 = D * w4接下来，我们需要优化这个数学模型。
数学建模案例分析【精选文档】
案例分析1：自行车外胎的使用寿命问题：目前，自行车在我国是一种可缺少的交通工具。
它小巧、灵活、方便、易学,而且价格适中，给广大居民带来了不小的益处。
但是，自行车也有令人头痛的地方，最常见的问题莫过于扎胎了。
扎胎的原因有很多，但相当一部分是由于外胎磨损,致使一些玻璃碴、小石子很容易侵入、扎破内胎。
为了减少不必要的麻烦,如何估计自行车外胎的寿命,及时更换?分析：分析角度：由于题目里未明确指出我们是应从厂家角度，还是应从用户角度来考虑这个问题,因此需要我们自己做出合理判断.若从厂家角度，我们面对的应当是一大批自行车外胎的平均寿命的估计。
这样的估计要求一定精确度和相对明确的使用环境；而从用户角度来说，面对的仅是个人的一辆车，不需要很高的精确度，这样的寿命估计更简单，易于随时了解，下面仅从用户角度进行分析。
产品的使用者需要了解产品的寿命，是基于安全性及更换的费用来考虑的。
我们将这两个标准作为主要标准来分析,首先值得注意的两个关键性问题是如何定义寿命、何时为寿命的终止。
寿命的定义要做到科学，直观，有可比性，在航空工业中航天飞机的使用寿命是用重复使用的次数来衡量，而工厂机器设备的寿命则以连续工作的时间来定义。
本题外胎的寿命亦可用时间来表征，但由于外胎的寿命直接与其磨损速度相关；而磨损速度又与使用频率及行驶速度相互联系，致使外胎的寿命不一定与使用时间成正比(这种非正比关系使我们不能拿一辆—天跑200公里的自行车与一天只跑1公里的自行车进行寿命比较），降低了可比性。
如换成自行车的路程寿命来比较，就好得多。
产品寿命是在安全性和更换费用相互制约下达到的一个点，在这个点上,外胎的安全系数降到用户不可接受的最低值，更换费用（寿命越长，在一定意义上更换费用越低）也达到了最大限度的节省。
弄清了上面两个问题后，我们继续明确建立模型需要解决哪些问题及建立模型的重点难点。
自行车使用过程中，一来影响因素多，二来这些因素之间彼此相关，十分复杂，要做到比较准确地估计使用寿命，不但要对外胎的性能有相当的了解，而且对使用环境更不能忽视。
8.27课上数学建模案例分析解析
微分方程模型
实验目的
1．学会用MATLAB分析求解微分方程模型．
实验内容
1． 数学建模实例． 鸭子过河问题 慢跑者与狗的问题 导弹追踪问题
2．实验作业．
Байду номын сангаас 为什么要建立模型来解决 问题呢？
• 我认为可用“曹冲称象”的例子来说明，如图3。 变
大 象
• •
石 头
小称
大象重量
图 3
dx dt dy dt
X x , Y y
0
（2）
消去参数 ，可得狗的运动轨迹的参数方程
w dx (10 20cos t x) dt 2 2 (10 20cos t x ) (20 15sin t y ) w dy (20 15sin t y ) dt 2 2 (10 20cos t x ) (20 15sin t y ) y(0) 0 x(0) 0,
15 16
17 18 19 20 21 22
1.9217 1.8160 1.6721 1.4913 1.2759 1.0300 0.7591 0.4702
2.0937 1.6516 1.2479 0.8891 0.5818 0.3329 0.1484 0.0333
计算(1.3)的Matlab代码
a=1;b=2;h=10;dt=0.3; i=1; p=[0,h]; while p(2)>0 i=i+1; v=[a-b.*p(1)./sqrt(p(1).^2+p(2).^2),-b.*p(2)./sqrt(p(1).^2+p(2).^2)]; p=p+v.*dt; hold on plot(p(1),p(2),'p') end p
数学建模-第四篇-典型案例分析
v
gL
§1.5 空气阻力的影响
只考虑水平方向的阻力，且阻力与速度成正比
水平方向运动 x k x 0 , x ( 0 ) 0 , x ( 0 ) v c
解得 x(t)vcos1ekt
x(t)vco ks tkc vo s t2
y(t)vsintg2t
2
2
不考虑篮球和篮框大小，确定球心命中框心的条件
★ 球入篮框时的入射角度 计算公式
d
0 D
tan dx
dy XL
yxtanx2 g 2v2c o2s
tantan2(Hh)
L
★ 考虑篮球和篮框的大小，球心命中框心且球
入框的条件为
sin d
D
将 d24.6cmD45.0cm代入得 33.10
§1.4 出手角度和出手速度最大偏差估计
球入框时球心偏前(偏后)的最大距离 x D d
17.93 19.04 19.96 20.84 22.014 22.96 23.88 24.99 25.91 892 866 843 822 // /单位时间流出的水的体积.
★水泵不工作时段流量计算：水位对时间的变化率. ★水泵供水时段的流量计算：(1) 数值微分、拟合;
1.8 62.4099 63.1147 63.7281 64.2670
8.0
1.9 42.7925 40.9188 39.1300 37.4017 2.0 53.8763 55.8206 57.4941 5809615
2.1 20.9213 201431 19.6478 19.3698
1.8 67.6975 68.0288 68.3367 68.6244
vcostkcvost2L0 vsi ntg2t2 (Hh)0
数学建模实例分析
数学建模实例分析在现代科学和工程领域中，数学建模是一种广泛应用的方法，用于解决现实世界中的问题。
数学建模通过数学语言和技术，将实际问题转化为数学模型，并运用数学方法进行分析和求解。
本文将通过一个数学建模实例，详细分析数学建模的过程和应用。
实例背景假设我们要解决一个城市的垃圾处理问题。
城市中存在多个垃圾处理站点，每个站点有不同的处理能力和成本。
我们的目标是确定最优的垃圾处理方案，使得总成本最低且满足垃圾处理需求。
问题分析1. 确定决策变量我们需要确定每个垃圾处理站点的处理量和选择哪些站点进行处理。
假设城市中有n个垃圾处理站点，我们可以引入以下决策变量：- xi：表示第i个垃圾处理站点的处理量，其中1 ≤ i ≤ n。
- yi：表示是否选择第i个垃圾处理站点进行处理，其中1 ≤ i ≤ n，yi取值为0或1。
2. 建立目标函数我们的目标是最小化总成本，因此我们可以建立如下的目标函数：minimize Z=∑(ZZZZ+ZZZZ)其中ci表示第i个垃圾处理站点的处理成本，fi表示第i个垃圾处理站点的固定成本。
3. 建立约束条件为了满足垃圾处理需求，我们需要引入约束条件。
假设垃圾处理的总需求为D，则有以下约束条件：∑ZZ = D此外，我们还需要考虑每个垃圾处理站点的处理能力限制和选择约束。
对于每个站点i，我们可以引入以下约束条件：ZZ≤ ZZZZ其中ai表示第i个垃圾处理站点的处理能力。
模型求解通过建立目标函数和约束条件，我们可以将垃圾处理问题转化为一个数学优化问题。
我们可以使用线性规划方法进行求解。
通过线性规划求解器，我们可以得到最优的决策变量和目标函数值，从而确定最优的垃圾处理方案。
实例结果分析通过数学建模和求解，我们可以得到最优的垃圾处理方案。
我们可以获得每个垃圾处理站点的处理量以及选择的站点信息。
同时，根据目标函数值，我们可以评估该方案的总成本。
实例应用数学建模的实例分析不仅仅应用于垃圾处理问题，还可以应用于许多其他现实世界的问题。
数学建模解决实际问题的实践案例
数学建模解决实际问题的实践案例数学建模是一种将实际问题进行抽象、建模、求解、验证的一种方法，可以解决各种各样的实际问题。
实践中，数学建模已经发展成为一门独立的学科，吸引着越来越多的学生和专业人士关注和参与。
本文将介绍数学建模解决实际问题的一些实践案例，以期为学习和实践的人提供一些启示和借鉴。
1. 预测疫情发展趋势随着全球新冠疫情的爆发，各国政府和公众非常关注疫情的发展趋势。
数学建模可以帮助预测疫情的传播和爆发趋势，为政府制定应对措施提供参考和依据。
一个成功的例子是2020年初，中国各大高校和研究机构联合开展的“新冠疫情数学建模竞赛”，其中多个团队使用了数学模型预测了疫情的发展趋势，并对实际情况进行调整和优化，取得了很好的成果。
2. 优化交通运输系统交通拥堵是城市发展的一大难题，为了解决这个问题，可以使用数学模型优化交通运输系统。
例如，瑞典斯德哥尔摩的交通问题比较突出，瑞典皇家理工学院的研究人员使用数学模型建立了一个交通仿真系统，可以模拟不同的交通场景，优化交通路线和信号灯的配时，从而减少拥堵和排放污染物。
3. 改善医疗服务质量医疗服务是人民生活的重要组成部分，如何优化医疗服务质量是医疗行业面临的重要问题。
数学模型可以帮助医疗机构优化医疗流程和资源配置，提高医疗服务效率和质量。
例如，美国佛罗里达州的一家医疗中心就使用了数学模型对医生的看诊时间进行优化，从而减少了等待时间和排队人数，提高了医疗服务质量和满意度。
4. 提高金融风险管理能力金融风险管理是金融机构必须面对的问题之一，如何预测和管理风险是保证金融行业稳定发展的关键。
数学模型可以帮助金融机构进行风险评估和预测，制定风险管理策略。
例如，中国银监会就使用了数学模型对风险指标进行监测和预测，从而提高了银行业的风险管理能力和金融稳定性。
总的来说，数学建模可以解决各种各样的实际问题，这些案例只是冰山一角。
数学建模不仅有理论上的重要性，更有实践上的应用价值。
c++三次多项式拟合_数学建模_003_插值和拟合_2020_9_3
c++三次多项式拟合_数学建模_003_插值和拟合_2020_9_3插值问题：有限个已知数据点，构造⼀个解析表达式，由此计算数据点之间的函数值，称之为插值。
当数据量不够，需要补充,且认定已有数据可信时,通常利⽤函数插值⽅法。
常见插值⽅法：拉格朗⽇插值(lagrange插值)分段线性插值Hermite三次样条插值克⾥⾦插值(地理学)反距离权重插值算法(地理学)拉格朗⽇插值(⾼次多项式插值)：(次数太⾼有Runge现象)1. 曲线光滑；误差估计有表达式2. 收敛性不能保证(振荡现象)3. ⽤于理论分析，实际意义不⼤matlab中没有分段线性插值：1. 收敛性良好2. 只⽤两个节点，且线性，简单实⽤3. 曲线不光滑三次样条插值:1. 曲线2阶光滑，收敛性有保证2. 实际中应⽤⼴泛3. 误差估计较难拟合：已知有限个数据点，求近似函数，可不过已知数据点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最⼩。
曲线拟合要解决的两个问题：1. 线型的选择(关键点，⼀般根据散点图)2. 线型中参数的计算参数的求解：1. 线性拟合----最⼩⼆乘法2. ⾮线性拟合----Gauss-Newton迭代法最⼩⼆乘法:函数表达式： 其中 , k=[1,n],是线性⽆关的函数， 是待定系数，⽬的找⼀组适当的，使得 与的距离平⽅和最⼩。
这种准则称为最⼩⼆乘准则，求系数的⽅法称为最⼩⼆乘拟合法。
MATLAB拟合：线性拟合：polyfit(x,y,n)函数x,y被拟合数据的⾃变量和应变量，n为拟合多项式的次数polyval()函数多项式在 x 处的值 y 可⽤polyval函数计算⾮线性拟合：[b,r] = polyfit(x ,y ,fun,bo, option)fun: 拟合函数 b0：拟合参数初始化迭值option: 拟合选项 b:拟合参数 r:拟合残差MATLAB拟合⼯具箱： cftool(⾹)插值和拟合的异同联系都是根据实际中⼀-组已知数据来构造⼀个能够反映数据变化规律的近似函数的⽅法。
数学建模实例及其解题思路剖析
数学建模实例及其解题思路剖析数学建模是一门将数学方法应用于实际问题解决的学科。
它通过建立数学模型，运用数学分析和计算方法，对问题进行分析、预测和优化。
数学建模的应用领域广泛，涵盖了自然科学、工程技术、经济管理等多个领域。
本文将以一个实际的数学建模实例为例，分析其解题思路和方法。
假设我们要解决一个城市交通拥堵问题。
首先，我们需要收集相关数据，包括道路网络、交通流量、交通信号灯等信息。
然后，我们可以建立一个数学模型来描述交通拥堵的程度。
常用的模型包括流体力学模型、网络模型和统计模型等。
在这个例子中，我们选择使用网络模型来描述城市道路网络。
首先，我们将城市道路网络抽象为一个有向图。
每个节点表示一个交叉口，每条边表示一条道路。
我们可以使用邻接矩阵或邻接表来表示这个有向图。
接下来，我们需要确定每条道路的通行能力和交通流量。
通行能力可以通过道路宽度、车道数和限速等因素来估计。
交通流量可以通过交通调查和传感器数据来获取。
将这些数据加入到图中，我们就可以得到一个具有权值的有向图。
接下来，我们需要计算每条道路的拥堵程度。
我们可以使用图论中的最短路径算法来计算每个节点之间的最短路径。
常用的最短路径算法包括Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。
通过计算最短路径的长度和通行能力的比值，我们可以得到每条道路的拥堵指数。
拥堵指数越高，表示该道路越容易发生交通拥堵。
在得到道路的拥堵指数后，我们可以进一步分析交通拥堵的原因。
例如，我们可以通过统计每个交叉口的拥堵指数，找出拥堵最严重的交叉口。
然后，我们可以分析该交叉口的交通信号灯设置和交通流量分布，找出导致拥堵的主要原因。
通过对交通拥堵原因的分析，我们可以提出相应的改进措施，如调整交通信号灯的时序、增加道路容量等。
除了分析交通拥堵的原因，我们还可以预测交通拥堵的趋势。
通过收集历史交通数据，我们可以建立一个时间序列模型来预测未来的交通流量。
常用的时间序列模型包括ARIMA模型和神经网络模型等。
数学建模实践方法与案例分享
数学建模实践方法与案例分享第一章: 数学建模的基本概念与方法数学建模是一种通过数学方法来解决实际问题的过程，它包括建立数学模型、求解模型以及对模型结果进行分析和应用。
数学建模的基本步骤包括问题的定义与分析、建立数学模型、模型求解、模型评价以及应用和推广等。
1.1 问题的定义与分析在进行数学建模之前，首先要明确问题的定义与分析。
这包括确定问题的背景和目标、明确问题的具体要求以及了解问题的相关背景知识和约束条件等。
1.2 建立数学模型建立数学模型是数学建模的核心环节。
在建立数学模型时，可以运用数学分析、数学统计、优化方法等数学工具来描述问题的数学关系。
常见的数学模型包括代数模型、统计模型、几何模型、动力系统模型等。
1.3 模型求解模型求解是数学建模的重要一步。
在模型求解时，可以运用数值计算、优化算法、计算机模拟等方法来得到模型的数值解或近似解。
1.4 模型评价在得到模型解之后，需要对模型的有效性和可行性进行评价。
这包括对模型解的精度、稳定性以及对实际问题的解释和应用等方面的评估。
1.5 应用和推广在对模型的评价和应用之后，可以将模型应用到实际问题中，并对模型进行推广。
这包括对模型的扩展和改进，以适应更加复杂和实际的问题。
第二章: 数学建模实践案例分享2.1 旅行商问题(TSP)的建模与求解旅行商问题是一个经典的优化问题，它要求确定一条最短路径，使得销售员能够依次访问一组城市，并最终回到出发点。
在建立TSP数学模型时，可以利用图论的方法来描述城市间的距离关系，并利用优化算法如遗传算法等来求解最优路径。
2.2 疾病传播模型与控制策略分析疾病传播模型是一个典型的动力系统模型，用于描述人群中疾病的传播过程。
在建立疾病传播模型时，可以考虑人群的感染率、恢复率以及人群之间的接触关系等因素，并利用微分方程来描述传播过程。
通过模型求解可以分析不同的控制策略对疾病传播的影响。
2.3 股票价格预测模型的建立与应用股票价格预测是金融领域中的重要问题。
数学建模方法与实例
数学建模方法与实例数学建模是一种将数学方法与实际问题相结合的过程，通过建立数学模型来分析和解决实际问题。
本文将介绍数学建模的基本步骤以及一些实例来说明其应用。
一、数学建模的基本步骤数学建模通常包含以下几个基本步骤：问题理解、建立数学模型、求解与分析、结果验证和模型优化。
具体步骤如下：1. 问题理解：首先需要对给定的实际问题进行深入理解，明确问题的背景、目标和限制条件。
2. 建立数学模型：在问题理解的基础上，将实际问题转化为数学语言，建立相应的数学模型。
模型可以是代数方程、微分方程、概率统计模型等。
3. 求解与分析：通过合适的数学方法和工具，对建立的数学模型进行求解与分析，得出问题的解决方案或结论。
4. 结果验证：对求解得到的结果进行验证，比较模型预测结果与实际观测数据或实验结果之间的差异。
5. 模型优化：根据验证结果，对建立的数学模型进行调整和优化，进一步提高模型的准确性和适用性。
二、数学建模的实例1. 城市交通流量模型假设某城市的交通拥堵问题需要解决，可以建立一个基于交通流理论的数学模型。
通过收集交通流量数据、道路网络信息和车辆速度等参数，建立基于微分方程的交通流模型，进而分析不同路段的交通流量、拥堵原因和解决方案。
2. 股票价格预测模型股票价格的涨跌对投资者来说具有重要意义。
利用时间序列分析方法，可以建立股票价格波动模型，通过对历史股票价格数据的分析，预测未来股票价格的走势。
3. 化学反应动力学模型在化学领域，建立反应动力学模型是研究化学反应过程的重要手段。
通过收集实验数据，利用代数方程和微分方程等数学方法，建立化学反应速率方程，进而预测反应速率与反应条件之间的关系。
4. 生态系统模型生态系统的演化和平衡是生态学研究的重要内容。
通过建立生态系统模型，分析不同物种之间的关系、资源分配和环境因素对生态系统的影响，进而预测生态系统的发展趋势和稳定性。
以上只是数学建模的一些实例，实际应用范围非常广泛，涵盖了自然科学、工程技术、社会经济等各个领域。
数学建模中的实际问题解析与求解
数学建模中的实际问题解析与求解数学建模是一种将实际问题转化为数学模型，通过数学方法进行分析和求解的过程。
它在现代科学和工程中起着重要的作用。
本文将通过几个实际问题的解析与求解，来探讨数学建模的应用。
首先，我们来看一个经典的问题：货车装载。
假设有一辆货车要装载不同重量的货物，而货车的载重量有限。
我们希望找到一种最优的装载方案，使得货车能够装载最多的货物。
为了解决这个问题，我们可以建立一个数学模型。
假设货车的载重量为C，有n个货物，它们的重量分别为w1，w2，...，wn。
我们可以将其转化为一个线性规划问题：maximize ∑(xi)，其中xi表示第i个货物的装载量subject to ∑(wi*xi) <= C，其中i = 1,2,...,n通过求解这个线性规划问题，我们可以得到最优的装载方案，即每个货物的装载量。
这个问题在实际中有着广泛的应用，比如物流配送中的货物装载、航空货运中的货物分配等。
接下来，我们来看一个更加复杂的问题：城市交通拥堵。
城市交通拥堵是一个普遍存在的问题，给人们的生活带来了很多不便。
为了解决这个问题，我们可以利用数学建模来进行分析。
首先，我们可以建立一个城市交通网络的图模型，将道路和交叉口表示为节点，将道路之间的连接表示为边。
然后，我们可以利用图论的方法来分析交通流量、路段拥堵程度等问题。
另外，我们还可以利用数学建模来优化交通信号灯的控制。
通过对交通流量的监测和分析，我们可以建立一个数学模型，来确定交通信号灯的时序和配时方案，以最大程度地减少交通拥堵。
最后，我们来看一个与环境保护相关的问题：水资源管理。
水资源是人类生存和发展的重要基础，合理的水资源管理对于保护环境和可持续发展至关重要。
为了解决水资源管理问题，我们可以建立一个数学模型，考虑水资源的供应和需求、水资源的分配和利用效率等因素。
通过对这些因素的分析和优化，我们可以制定出合理的水资源管理策略，以实现水资源的可持续利用。
数学建模案例分析
线性代数建模案例汇编法正系，思想政治教育13-1汗克孜·亚森2015年6月目录案例一. 交通网络流量分析问题 (1)案例二. 配方问题 (4)案例三. 投入产出问题 (6)案例四. 平板的稳态温度分布问题 (8)案例五. CT图像的代数重建问题 (10)案例六. 平衡结构的梁受力计算 (12)案例七. 化学方程式配平问题 (14)案例八. 互付工资问题 (16)案例九. 平衡价格问题 (18)案例十. 电路设计问题 (20)案例十一. 平面图形的几何变换 (22)案例十二. 太空探测器轨道数据问题 (24)案例十三. 应用矩阵编制Hill密码 (25)案例十四. 显示器色彩制式转换问题 (27)案例十五. 人员流动问题 (29)案例十六. 金融公司支付基金的流动 (31)案例十七. 选举问题 (33)案例十八. 简单的种群增长问题 (34)案例十九. 一阶常系数线性齐次微分方程组的求解 (36)案例二十. 最值问题 (38)附录数学实验报告模板 (39)这里收集了二十个容易理解的案例. 和各类数学建模竞赛的题目相比, 这些案例确实显得过于简单. 但如果学生能通过这些案例加深对线性代数基本概念、理论和方法的理解, 培养数学建模的意识, 那么我们初步的目的也就达到了.案例一. 交通网络流量分析问题城市道路网中每条道路、每个交叉路口的车流量调查，是分析、评价及改善城市交通状况的基础。
根据实际车流量信息可以设计流量控制方案，必要时设置单行线，以免大量车辆长时间拥堵。
图1 某地交通实况图2 某城市单行线示意图【模型准备】某城市单行线如下图所示, 其中的数字表示该路段每小时按箭头方向行驶的车流量(单位: 辆).图3 某城市单行线车流量(1) 建立确定每条道路流量的线性方程组.(2) 为了唯一确定未知流量, 还需要增添哪几条道路的流量统计?(3) 当x 4 = 350时, 确定x 1, x 2, x 3的值.(4) 若x 4 = 200, 则单行线应该如何改动才合理?【模型假设】 (1) 每条道路都是单行线. (2) 每个交叉路口进入和离开的车辆数目相等.【模型建立】 根据图3和上述假设, 在①, ②, ③, ④四个路口进出车辆数目分别满足500 = x 1 + x 2 ①400 + x 1 = x 4 + 300 ②x 2 + x 3 = 100 + 200 ③x 4 = x 3 + 300 ④【模型求解】根据上述等式可得如下线性方程组12142334500100300300x x x x x x x x +=⎧⎪-=-⎪⎨+=⎪⎪-+=⎩其增广矩阵(A , b ) =1100500100110001103000011300⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭−−−−→初等行变换10011000101600001130000000--⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭ 由此可得142434100600300x x x x x x -=-⎧⎪+=⎨⎪-=-⎩即142434100600300x x x x x x =-⎧⎪=-+⎨⎪=-⎩.为了唯一确定未知流量, 只要增添x4统计的值即可.当x4 = 350时, 确定x1 = 250, x2 = 250, x3 = 50.若x4 = 200, 则x1 = 100, x2 = 400, x3 = 100 < 0. 这表明单行线“③④”应该改为“③④”才合理.【模型分析】(1) 由(A, b)的行最简形可见, 上述方程组中的最后一个方程是多余的. 这意味着最后一个方程中的数据“300”可以不用统计.(2) 由142434100600300x xx xx x=-⎧⎪=-+⎨⎪=-⎩可得213141500200100x xx xx x=-+⎧⎪=-⎨⎪=+⎩,123242500300600x xx xx x=-+⎧⎪=-+⎨⎪=-+⎩,132343200300300x xx xx x=+⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩, 这就是说x1, x2, x3, x4这四个未知量中, 任意一个未知量的值统计出来之后都可以确定出其他三个未知量的值.参考文献陈怀琛, 高淑萍, 杨威, 工程线性代数, 北京: 电子工业出版社, 2007. 页码: 16-17.Matlab实验题某城市有下图所示的交通图, 每条道路都是单行线, 需要调查每条道路每小时的车流量. 图中的数字表示该条路段的车流数. 如果每个交叉路口进入和离开图4 某城市单行线车流量(1)建立确定每条道路流量的线性方程组.(2)分析哪些流量数据是多余的.(3)为了唯一确定未知流量, 需要增添哪几条道路的流量统计.案例二. 配方问题在化工、医药、日常膳食等方面都经常涉及到配方问题. 在不考虑各种成分之间可能发生某些化学反应时, 配方问题可以用向量和线性方程组来建模.图5 日常膳食搭配图6 几种常见的作料【模型准备】一种佐料由四种原料A、B、C、D混合而成. 这种佐料现有两种规格, 这两种规格的佐料中, 四种原料的比例分别为2:3:1:1和1:2:1:2. 现在需要四种原料的比例为4:7:3:5的第三种规格的佐料. 问: 第三种规格的佐料能否由前两种规格的佐料按一定比例配制而成?【模型假设】(1) 假设四种原料混合在一起时不发生化学变化. (2) 假设四种原料的比例是按重量计算的. (3) 假设前两种规格的佐料分装成袋, 比如说第一种规格的佐料每袋净重7克(其中A、B、C、D四种原料分别为2克, 3克, 1克, 1克), 第二种规格的佐料每袋净重6克(其中A、B、C、D四种原料分别为1克, 2克, 1克, 2克).【模型建立】根据已知数据和上述假设, 可以进一步假设将x袋第一种规格的佐料与y袋第二种规格的佐料混合在一起, 得到的混合物中A、B、C、D四种原料分别为4克, 7克, 3克, 5克, 则有以下线性方程组24,327,3,2 5.x yx yx yx y+=⎧⎪+=⎨+=⎪+=⎩【模型求解】上述线性方程组的增广矩阵(A, b) =214327113125⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭−−−−→初等行变换101012000000⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭,可见{1,2.x y==又因为第一种规格的佐料每袋净重7克, 第二种规格的佐料每袋净重6克, 所以第三种规格的佐料能由前两种规格的佐料按7:12的比例配制而成.【模型分析】(1) 若令α1 = (2, 3, 1, 1)T, α2 = (1, 2, 1, 1)T, β = (4, 7, 5, 3)T, 则原问题等价于“线性方程组Ax = b是否有解”, 也等价于“β能否由α1, α2线性表示”.(2) 若四种原料的比例是按体积计算的, 则还要考虑混合前后体积的关系(未必是简单的叠加), 因而最好还是先根据具体情况将体积比转换为重量比, 然后再按上述方法处理.(3) 上面的模型假设中的第三个假设只是起到简化运算的作用. 如果直接设x克第一种规格的佐料与y克第二种规格的佐料混合得第三种规格的佐料, 则有下表因而有如下线性方程组214(),7619327(),7619113(),7619125().7619x y x y x y x y x y x y x y x y ⎧+=+⎪⎪⎪+=+⎪⎨⎪+=+⎪⎪⎪+=+⎪⎩ (*) 【模型检验】把x = 7, y = 12代入上述方程组(*), 则各等式都成立. 可见模型假设中的第三个假设不影响解的正确性. Matlab 实验题蛋白质、碳水化合物和脂肪是人体每日必须的三种营养, 但过量的脂肪摄入不利于健康.人们可以通过适量的运动来消耗多余的脂肪. 设三种食物(脱脂牛奶、大豆面粉、乳清)每100克中蛋白质、碳水化合物和脂肪的含量以及慢跑5分钟消耗蛋白质、碳水化合物和脂肪的量如下表.问怎样安排饮食和运动才能实现每日的营养需求?案例三. 投入产出问题在研究多个经济部门之间的投入产出关系时, W. Leontief提出了投入产出模型. 这为经济学研究提供了强有力的手段. W. Leontief因此获得了1973年的Nobel经济学奖.图7 三个经济部门这里暂时只讨论一个简单的情形.【模型准备】某地有一座煤矿, 一个发电厂和一条铁路. 经成本核算, 每生产价值1元钱的煤需消耗0.3元的电; 为了把这1元钱的煤运出去需花费0.2元的运费; 每生产1元的电需0.6元的煤作燃料; 为了运行电厂的辅助设备需消耗本身0.1元的电, 还需要花费0.1元的运费; 作为铁路局, 每提供1元运费的运输需消耗0.5元的煤, 辅助设备要消耗0.1元的电. 现煤矿接到外地6万元煤的订货, 电厂有10万元电的外地需求, 问: 煤矿和电厂各生产多少才能满足需求?【模型假设】假设不考虑价格变动等其他因素.【模型建立】设煤矿, 电厂, 铁路分别产出x元, y元, z元刚好满足需求. 则有下表根据需求, 应该有(0.60.5)60000(0.30.10.1)100000(0.20.1)0x y zy x y zz x y-+=⎧⎪-++=⎨⎪-+=⎩,即0.60.5600000.30.90.11000000.20.10x y zx y zx y z--=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩【模型求解】在Matlab命令窗口输入以下命令>> A = [1,-0.6,-0.5;-0.3,0.9,-0.1;-0.2,-0.1,1]; b = [60000;100000;0]; >> x = A\bMatlab执行后得x =1.0e+005 *1.99661.84150.5835可见煤矿要生产1.9966⨯105元的煤, 电厂要生产1.8415⨯105元的电恰好满足需求.【模型分析】令x =xyz⎛⎫⎪⎪⎝⎭, A =00.60.50.30.10.10.20.10⎛⎫⎪⎪⎝⎭, b =60000100000⎛⎫⎪⎪⎝⎭, 其中x称为总产值列向量, A称为消耗系数矩阵, b称为最终产品向量, 则Ax =00.60.50.30.10.10.20.10⎛⎫⎪⎪⎝⎭xyz⎛⎫⎪⎪⎝⎭=0.60.50.30.10.10.20.1y zx y zx y+⎛⎫⎪++⎪+⎝⎭根据需求, 应该有x Ax = b, 即(E A)x = b. 故x = (E A )1b.Matlab实验题某乡镇有甲、乙、丙三个企业. 甲企业每生产1元的产品要消耗0.25元乙企业的产品和0.25元丙企业的产品. 乙企业每生产1元的产品要消耗0.65元甲企业的产品, 0.05元自产的产品和0.05元丙企业的产品. 丙企业每生产1元的产品要消耗0.5元甲企业的产品和0.1元乙企业的产品. 在一个生产周期内, 甲、乙、丙三个企业生产的产品价值分别为100万元, 120万元, 60万元, 同时各自的固定资产折旧分别为20万元, 5万元和5万元.(1) 求一个生产周期内这三个企业扣除消耗和折旧后的新创价值.(2) 如果这三个企业接到外来订单分别为50万元, 60万元, 40万元, 那么他们各生产多少才能满足需求?案例四. 平板的稳态温度分布问题在热传导的研究中, 一个重要的问题是确定一块平板的稳态温度分布. 根据…定律, 只要测定一块矩形平板四周的温度就可以确定平板上各点的温度.图8 一块平板的温度分布图【模型准备】如图9所示的平板代表一条金属梁的截面. 已知四周8个节点处的温度(单位°C), 求中间4个点处的温度T 1, T 2, T 3, T 4.图9 一块平板的温度分布图【模型假设】假设忽略垂直于该截面方向上的热传导, 并且每个节点的温度等于与它相邻的四个节点温度的平均值.【模型建立】根据已知条件和上述假设, 有如下线性方程组1232143144231(90100)41(8060)41(8060)41(5050)4T T T T T T T T T T T T ⎧=+++⎪⎪⎪=+++⎪⎨⎪=+++⎪⎪=+++⎪⎩ 【模型求解】将上述线性方程组整理得1231241342344190414041404100T T T T T T T T T T T T --=⎧⎪-+-=⎪⎨-+-=⎪--+=⎪⎩. 在Matlab 命令窗口输入以下命令>> A = [4,-1,-1,0;-1,4,0,-1;-1,0,4,-1;0,-1,-1,4]; b = [190;140;140;100];>> x = A\b; x ’Matlab 执行后得ans =82.9167 70.8333 70.8333 60.4167可见T 1 = 82.9167, T 2 = 70.8333, T 3 = 70.8333, T 4 = 60.4167.参考文献陈怀琛, 高淑萍, 杨威, 工程线性代数, 北京: 电子工业出版社, 2007. 页码: 15-16.Matlab 实验题假定下图中的平板代表一条金属梁的截面, 并忽略垂直于该截面方向上的热传导. 已知平板内部有30个节点, 每个节点的温度近似等于与它相邻的四个节点温度的平均值. 设4条边界上的温度分别等于每位同学学号的后四位的5倍, 例如学号为16308209的同学计算本题时, 选择T l = 40, T u = 10, T r = 0, T d = 45.图10 一块平板的温度分布图(1) 建立可以确定平板内节点温度的线性方程组.(2) 用Matlab 软件求解该线性方程组.(3) 用Matlab 中的函数mesh 绘制三维平板温度分布图.案例五. CT 图像的代数重建问题X 射线透视可以得到3维对象在2维平面上的投影, CT 则通过不同角度的X射线得到3维对象的多个2维投影, 并以此重建对象内部的3维图像. 代数重建方法就是从这些2维投影出发, 通过求解超定线性方程组, 获得对象内部3维图像的方法.图11双层螺旋CT 图12 CT 图像 这里我们考虑一个更简单的模型, 从2维图像的1维投影重建原先的2维图像.一个长方形图像可以用一个横竖均匀划分的离散网格来覆盖, 每个网格对应一个像素, 它是该网格上各点像素的均值. 这样一个图像就可以用一个矩阵表示,其元素就是图像在一点的灰度值(黑白图像). 下面我们以33图像为例来说明.表4 消耗与产出情况33图像水平方向上 的叠加值x 1 + x 2 + x 3 = 1x 4 + x 5 + x 6 = 1x 7 + x 8 + x 9 = 1.5的叠加值x 1 + x 4 + x 7 = 1.5 x 2 + x 5 + x 8 = 0.5 x 3 + x 6 + x 9 = 1.5 每个网格中的数字x i 代表其灰度值, 范围在[0, 1]内. 0表示白色, 1表示黑色, 0.5表示灰色. 如果我们不知道网格中的数值, 只知道沿竖直方向和水平方向的叠加值, 为了确定网格中的灰度值, 可以建立线性方程组(含有6个方程, 9个未知数)123456369111x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎪⎨⎪++=⎪⎩ 显然该方程组的解是不唯一的, 为了重建图像, 必须增加叠加值. 如我们增加从右上方到左下方的叠加值, 则方程组将增加5个方程x 1 = 1,x 2 + x 4 = 0,x 3 + x 5 + x 7 = 1,x 6 + x 8 = 0.5,x 9 = 1,和上面的6个方程放在一起构成一个含有11个方程, 9个未知数的线性方程组.【模型准备】设33图像中第一行3个点的灰度值依次为x 1, x 2, x 3, 第二行3个点的灰度值依次为x 4, x 5, x 6, 第三行3个点的灰度值依次为x 7, x 8, x 9. 沿竖直方向的叠加值依次为1.5, 0.5, 1.5, 沿水平方向的叠加值依次为1, 1, 1.5, 沿右上方到左下方的叠加值依次为1, 0, 1, 0.5, 1. 确定x 1, x 2, …, x 9的值.【模型建立】由已知条件可得(含有11个方程, 9个未知数的)线性方程组1234569111x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎪⎨⎪=⎪⎩ 【模型求解】在Matlab 命令窗口输入以下命令>> A = [1,1,1,0,0,0,0,0,0;0,0,0,1,1,1,0,0,0;0,0,0,0,0,0,1,1,1;1,0,0,1,0,0,1,0,0;0,1,0,0,1,0,0,1,0;0,0,1,0,0,1,0,0,1;1,0,0,0,0,0,0,0,0;0,1,0,1,0,0,0,0,0;0,0,1,0,1,0,1,0,0;0,0,0,0,0,1,0,1,0;0,0,0,0,0,0,0,0,1];>> b = [1;1;1.5;1.5;0.5;1.5;1;0;1;0.5;1];>> x = A\b; x ’Matlab 执行后得Warning: Rank deficient, rank = 8 tol = 4.2305e-015.ans =1.0000 0.0000 0 -0.0000 0.5000 0.5000 0.5000 -0.0000 1.0000可见上述方程组的解不唯一. 其中的一个特解为x 1 = 1, x 2 = 0, x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 0.5, x 6 = 0.5, x 7 = 0.5, x 8 = 0, x 9 = 1.【模型分析】上述结果表明, 仅有三个方向上的叠加值还不够.可以再增加从左上方到右下方的叠加值. 在实际情况下, 由于测量误差, 上述线性方程组可能是超定的.这时可以将超定方程组的近似解作为重建的图像数据.Matlab 实验题给定一个33图像的2个方向上的灰度叠加值: 沿左上方到右下方的灰度叠加值依次为0.8, 1.2, 1.7, 0.2, 0.3; 沿右上方到左下方的灰度叠加值依次为0.6, 0.2,1.6, 1.2, 0.6.(1) 建立可以确定网格数据的线性方程组, 并用Matlab 求解.(2) 将网格数据乘以256, 再取整, 用Matlab 绘制该灰度图像.案例六. 平衡结构的梁受力计算在桥梁、房顶、铁塔等建筑结构中, 涉及到各种各样的梁. 对这些梁进行受力分析是设计师、工程师经常做的事情.图13埃菲尔铁塔全景图14 埃菲尔铁塔局部下面以双杆系统的受力分析为例, 说明如何研究梁上各铰接点处的受力情况.【模型准备】在图15所示的双杆系统中, 已知杆1重G1 = 200牛顿, 长L1 = 2米, 与水平方向的夹角为1 = /6, 杆2重G2 = 100牛顿, 长L2= 米, 与水平方向的夹角为2 = /4. 三个铰接点A, B, C所在平面垂直于水平面. 求杆1, 杆2在铰接点处所受到的力.图15双杆系统【模型假设】假设两杆都是均匀的. 在铰接点处的受力情况如图16所示.【模型建立】对于杆1:水平方向受到的合力为零, 故N1 = N3,竖直方向受到的合力为零, 故N2 + N4 = G1,以点A为支点的合力矩为零, 故(L1sin1)N3 + (L1cos1)N4 = (12L1cos1)G1.图16 两杆受力情况对于杆2类似地有N5 = N7, N6 = N8 + G2, (L2sin2)N7 = (L2cos2)N8 + (12L2cos2)G2.N5N6/6/4此外还有N 3 = N 7, N 4 = N 8. 于是将上述8个等式联立起来得到关于N 1, N 2, …, N 8的线性方程组:132414800N N N N G N N -=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪-=⎩ 【模型求解】在Matlab 命令窗口输入以下命令>> G1=200; L1=2; theta1=pi/6; G2=100; L2=sqrt(2); theta2=pi/4;>> A = [1,0,-1,0,0,0,0,0;0,1,0,1,0,0,0,0;0,0,L1*sin(theta1),L1*cos(theta1),0,0,0,0;0,0,0,0,1,0,-1,0;0,0,0,0,0,1,0,-1;0,0,0,0,0,0,L2*sin(theta2),-L2*cos(theta2);0,0,1,0,0,0,-1,0;0,0,0,1,0,0,0,-1];>> b = [0;G1;0.5*L1*cos(theta1)*G1;0;G2;0.5*L2*cos(theta2)*G2;0;0];>> x = A\b; x ’Matlab 执行后得ans =95.0962 154.9038 95.0962 45.0962 95.0962 145.0962 95.0962 45.0962【模型分析】最后的结果没有出现负值, 说明图16中假设的各个力的方向与事实一致. 如果结果中出现负值, 则说明该力的方向与假设的方向相反.参考文献陈怀琛, 高淑萍, 杨威, 工程线性代数, 北京: 电子工业出版社, 2007. 页码: 157-158.Matlab 实验题有一个平面结构如下所示, 有13条梁(图中标号的线段)和8个铰接点(图中标号的圈)联结在一起. 其中1号铰接点完全固定, 8号铰接点竖直方向固定, 并在2号, 5号和6号铰接点上, 分别有图示的10吨, 15吨和20吨的负载. 在静平衡的条件下,任何一个铰接点上水平和竖直方向受力都是平衡的. 已知每条斜梁的角度都是45º.(1) 列出由各铰接点处受力平衡方程构成的线性方程组.(2) 用Matlab 软件求解该线性方程组, 确定每条梁受力情况.图17 一个平面结构的梁案例七. 化学方程式配平问题在用化学方法处理污水过程中, 有时会涉及到复杂的化学反应. 这些反应的化学方程式是分析计算和工艺设计的重要依据. 在定性地检测出反应物和生成物之后,可以通过求解线性方程组配平化学方程式.图18 污水处理 【模型准备】某厂废水中含KCN, 其浓度为650mg/L. 现用氯氧化法处理, 发生如下反应:KCN + 2KOH + Cl 2 = KOCN + 2KCl + H 2O.投入过量液氯, 可将氰酸盐进一步氧化为氮气. 请配平下列化学方程式:KOCN + KOH + Cl 2 === CO 2 + N 2 + KCl + H 2O.(注: 题目摘自福建省厦门外国语学校2008-2009学年高三第三次月考化学试卷)【模型建立】设x 1KOCN ＋ x 2KOH ＋ x 3Cl 2 === x 4CO 2 ＋ x 5N 2 ＋ x 6KCl ＋ x 7H 2O,则1261247141527362222x x x x x x x x x x x x x x x +=⎧⎪+=+⎪⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎪=⎪⎩, 即1261247141527360200202020x x x x x x x x x x x x x x x +-=⎧⎪+--=⎪⎪-=⎪⎨-=⎪⎪-=⎪-=⎪⎩ 【模型求解】在Matlab 命令窗口输入以下命令>> A = [1,1,0,0,0,-1,0;1,1,0,-2,0,0,-1;1,0,0,-1,0,0,0;1,0,0,0,-2,0,0;0,1,0,0,0,0,-2;0,0,2,0,0,-1,0];>> x = null(A,’r ’); format rat, x ’Matlab 执行后得ans =1 2 3/2 1 1/2 3 1可见上述齐次线性方程组的通解为x = k (1, 2, 3/2, 1, 1/2, 3, 1)T .取k = 2得x = (2, 4, 3, 2, 1, 6, 2)T . 可见配平后的化学方程式如下2KOCN + 4KOH + 3Cl 2 === 2CO 2 + N 2 + 6KCl + 2H 2O.【模型分析】利用线性方程组配平化学方程式是一种待定系数法. 关键是根据化学方程式两边所涉及到的各种元素的量相等的原则列出方程. 所得到的齐次线性方程组Ax = 中所含方程的个数等于化学方程式中元素的种数s, 未知数的个数就是化学方程式中的项数n.当r(A) = n1时, Ax = 的基础解系中含有1个(线性无关的)解向量. 这时在通解中取常数k为各分量分母的最小公倍数即可. 例如本例中1, 2, 3/2, 1, 1/2, 3, 1分母的最小公倍数为2, 故取k = 2.当r(A) n2时, Ax = 的基础解系中含有2个以上的线性无关的解向量. 这时可以根据化学方程式中元素的化合价的上升与下降的情况, 在原线性方程组中添加新的方程.参考文献陈怀琛, 高淑萍, 杨威, 工程线性代数, 北京: 电子工业出版社, 2007. 页码: 84-85.Matlab实验题配平下列反应式(1) FeS + KMnO4 + H2SO4——K2SO4 + MnSO4 + Fe2(SO4)3 + H2O + S↓(2) Al2(SO4)3 + Na2CO3 + H2O ——Al(OH)3↓+ CO2↑+ Na2SO4案例八. 互付工资问题互付工资问题是多方合作相互提供劳动过程中产生的. 比如农忙季节, 多户农民组成互助组, 共同完成各户的耕、种、收等农活. 又如木工, 电工, 油漆工等组成互助组, 共同完成各家的装潢工作. 由于不同工种的劳动量有所不同, 为了均衡各方的利益, 就要计算互付工资的标准.图19 农忙互助 图20 装修互助【模型准备】现有一个木工, 电工, 油漆工. 相互装修他们的房子, 他们有如下协议:(1) 每人工作10天(包括在自己家的日子),(2) 每人的日工资一般的市价在60~80元之间,(3) 日工资数应使每人的总收入和总支出相等.求每人的日工资. 【模型假设】假设每人每天工作时间长度相同. 无论谁在谁家干活都按正常情况工作, 既不偷懒, 也不加班.【模型建立】设木工, 电工, 油漆工的日工资分别为x , y , z 元, 则由下表可得2610451044310x y z x x y z y x y z z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩, 即8604504470x y z x y z x y z -++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩ 【模型求解】在Matlab 命令窗口输入以下命令>> A = [-8,1,6;4,-5,1;4,4,-7];>> x = null(A,’r ’); format rat, x ’Matlab 执行后得ans = 31/36 8/9 1可见上述齐次线性方程组的通解为x = k (31/36, 8/9, 1)T . 因而根据“每人的日工资一般的市价在60~80元之间”可知 60 3631k <98k < k 80, 即 312160 k 80. 也就是说, 木工, 电工, 油漆工的日工资分别为3631k 元, 98k 元, k 元, 其中312160 k 80.为了简便起见, 可取k = 72, 于是木工, 电工, 油漆工的日工资分别为62元, 64元, 72元.【模型分析】事实上各人都不必付自己工资, 这时各家应付工资和各人应得收入如下由此可得6845447y z x x z y x y z +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩, 即8604504470x y z x y z x y z -++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩ 可见这样得到的方程组与前面得到的方程组是一样的.Matlab 实验题甲, 乙, 丙三个农民组成互助组, 每人工作6天(包括为自己家干活的天数), 刚好完成他们三人家的农活, 其中甲在甲, 乙, 丙三家干活的天数依次为: 2, 2.5, 1.5; 乙在甲, 乙, 丙三家各干2天活, 丙在甲, 乙, 丙三家干活的天数依次为: 1.5, 2, 2.5. 根据三人干活的种类, 速度和时间, 他们确定三人不必相互支付工资刚好公平. 随后三人又合作到邻村帮忙干了2天(各人干活的种类和强度不变), 共获得工资500元.问他们应该怎样分配这500元工资才合理?案例九. 平衡价格问题为了协调多个相互依存的行业的平衡发展, 有关部门需要根据每个行业的产出在各个行业中的分配情况确定每个行业产品的指导价格, 使得每个行业的投入与产出都大致相等.图21 三个行业【模型准备】假设一个经济系统由煤炭、电力、钢铁行业组成, 每个行业的产出在各个行业中的分配如下表所示:等的平衡价格.【模型假设】假设不考虑这个系统与外界的联系.【模型建立】把煤炭、电力、钢铁行业每年总产出的价格分别用x1, x2, x3表示, 则123212331230.40.60.60.10.20.40.50.2x x xx x x xx x x x=+⎧⎪=++⎨⎪=++⎩, 即1231231230.40.600.60.90.200.40.50.80x x xx x xx x x--=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩.【模型求解】在Matlab命令窗口输入以下命令>> A = [1,-0.4,-0.6;-0.6,0.9,-0.2;-0.4,-0.5,0.8];>> x = null(A,’r’); format short, x’Matlab执行后得ans =0.9394 0.8485 1.0000可见上述齐次线性方程组的通解为x = k(0.9394, 0.8485, 1)T.这就是说, 如果煤炭、电力、钢铁行业每年总产出的价格分别0.9394亿元, 0.8485亿元, 1亿元, 那么每个行业的投入与产出都相等.【模型分析】实际上, 一个比较完整的经济系统不可能只涉及三个行业, 因此需要统计更多的行业间的分配数据.Matlab实验题假设一个经济系统由煤炭、石油、电力、钢铁、机械制造、运输行业组成, 每个行业的产出在各个行业中的分配如下表所示:等的平衡价格.参考文献David C. Lay, 线性代数及其应用, 沈复兴, 傅莺莺等译, 北京: 人民邮电出版社, 2009. 页码: 49-50.案例十. 电路设计问题电路是电子元件的神经系统. 参数的计算是电路设计的重要环节. 其依据来自两个方面: 一是客观需要, 二是物理学定律.图22 USB 扩展板 【模型准备】假设图23中的方框代表某类具有输入和输出终端的电路. 用11v i ⎛⎫ ⎪⎝⎭记录输入电压和输入电流(电压v 以伏特为单位, 电流i 以安培为单位), 用22v i ⎛⎫ ⎪⎝⎭记录输出电压和输入电流. 若22v i ⎛⎫ ⎪⎝⎭= A 11v i ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 则称矩阵A 为转移矩阵.图23 具有输入和输出终端的电子电路图图24给出了一个梯形网络, 左边的电路称为串联电路, 电阻为R 1(单位: 欧姆). 右边的电路是并联电路, 电路R 2. 利用欧姆定理和楚列斯基定律, 我们可以得到串联电路和并联电路的转移矩阵分别是1101R -⎛⎫ ⎪⎝⎭和2101/1R ⎛⎫ ⎪-⎝⎭串联电路 并联电路图24 梯形网络设计一个梯形网络, 其转移矩阵是180.55-⎛⎫ ⎪-⎝⎭. v 2【模型假设】假设导线的电阻为零.【模型建立】设A 1和A 2分别是串联电路和并联电路的转移矩阵, 则输入向量x 先变换成A 1x , 再变换到A 2(A 1x ). 其中A 2A 1 =2101/1R ⎛⎫ ⎪-⎝⎭1101R -⎛⎫ ⎪⎝⎭=121211/1/R R R R -⎛⎫ ⎪-+⎝⎭就是图22中梯形网络的转移矩阵.于是, 原问题转化为求R 1, R 2的值使得121211/1/R R R R -⎛⎫ ⎪-+⎝⎭=180.55-⎛⎫ ⎪-⎝⎭.【模型求解】由121211/1/R R R R -⎛⎫ ⎪-+⎝⎭=180.55-⎛⎫ ⎪-⎝⎭可得121281/0.51/5R R R R -=-⎧⎪-=-⎨⎪+=⎩.根据其中的前两个方程可得R 1 = 8, R 2 = 2. 把R 1 = 8, R 2 = 2代入上面的第三个方程确实能使等式成立. 这就是说在图22中梯形网络中取R 1 = 8, R 2 = 2即为所求.【模型分析】若要求的转移矩阵改为180.54-⎛⎫ ⎪-⎝⎭, 则上面的梯形网络无法实现. 因为这时对应的方程组是121281/0.51/4R R R R -=-⎧⎪-=-⎨⎪+=⎩. 根据前两个方程依然得到R 1 = 8, R 2 = 2,但把R 1 = 8, R 2 = 2代入上第三个方程却不能使等式成立.参考文献David C. Lay, 线性代数及其应用, 沈复兴, 傅莺莺等译, 北京: 人民邮电出版社, 2009. 页码: 129-130.练习题根据基尔霍夫回路电路定律(各节点处流入和流出的电流强度的代数和为零, 各回路中各支路的电压降之和为零), 列出下图所示电路中电流i 1, i 2, i 3所满足的线性方程组, 并用矩阵形式表示:图25 简单的回路E 12③案例十一. 平面图形的几何变换随着计算机科学技术的发展, 计算机图形学的应用领域越来越广, 如仿真设计、效果图制作、动画片制作、电子游戏开发等.图26 计算机图形学的广泛应用图形的几何变换, 包括图形的平移、旋转、放缩等, 是计算机图形学中经常遇到的问题. 这里暂时只讨论平面图形的几何变换.【模型准备】平面图形的旋转和放缩都很容易用矩阵乘法实现, 但是图形的平移并不是线性运算, 不能直接用矩阵乘法表示. 现在要求用一种方法使平移、旋转、放缩能统一用矩阵乘法来实现.【模型假设】设平移变换为(x, y ) (x+a, y+b)旋转变换(绕原点逆时针旋转θ角度)为(x, y ) (x cosθy sinθ, x sinθ + y cosθ)放缩变换(沿x轴方向放大s倍, 沿y轴方向放大t倍)为(x, y ) (sx, ty)【模型求解】R2中的每个点(x, y)可以对应于R3中的(x, y, 1). 它在xOy平面上方1单位的平面上. 我们称(x, y, 1)是(x, y)的齐次坐标. 在齐次坐标下, 平移变换(x, y ) (x+a, y+b)可以用齐次坐标写成(x, y , 1) (x+a, y+b, 1).于是可以用矩阵乘积1001001ab⎛⎫⎪⎪⎝⎭1xy⎛⎫⎪⎪⎝⎭=1x ay b+⎛⎫⎪+⎪⎝⎭实现.旋转变换(x, y ) (x cosθy sinθ, x sinθ + y cosθ)可以用齐次坐标写成(x, y , 1) (x cosθy sinθ, x sinθ + y cosθ, 1).于是可以用矩阵乘积cos sin0sin cos0001θθθθ-⎛⎫⎪⎪⎝⎭1xy⎛⎫⎪⎪⎝⎭=cos sinsin cos1x yx yθθθθ-⎛⎫⎪+⎪⎝⎭实现.放缩变换(x, y ) (sx, ty)可以用齐次坐标写成(x, y , 1) (sx, ty, 1).于是可以用矩阵乘积0000001s t ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭1x y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=1sx ty ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭实现. 【模型分析】由上述求解可以看出, R 2中的任何线性变换都可以用分块矩阵1⎛⎫ ⎪⎝⎭A O O 乘以齐次坐标实现, 其中A 是2阶方阵. 这样, 只要把平面图形上点的齐次坐标写成列向量, 平面图形的每一次几何变换, 都可通过左乘一个3阶变换矩阵来实现.参考文献David C. Lay, 线性代数及其应用, 沈复兴, 傅莺莺等译, 北京: 人民邮电出版社, 2009. 页码: 139-141.Matlab 实验题在Matlab 命令窗口输入以下命令>>clear all , clc,>>t = [1,3,5,11,13,15]*pi/8;>>x = sin(t); y=cos(t);>>fill(x,y,'r');>>grid on ;>>axis([-2.4, 2.4, -2, 2])运行后得图25.图26 Matlab 绘制的图形(1) 写出该图形每个顶点的齐次坐标;(2) 编写Matlab 程序, 先将上面图形放大0.9倍; 再逆时针旋转3π; 最后进行横坐标加0.8, 纵坐标减1的图形平移. 分别绘制上述变换后的图形.案例十二. 太空探测器轨道数据问题太空航天探测器发射以后, 可能需要调整以使探测器处在精确计算的轨道里. 雷达监测到一组列向量x 1, …, x k , 它们给出了不同时刻探测器的实际位置与预定轨道之间的偏差的信息.图28 火星探测器 【模型准备】令X k = [x 1, …, x k ]. 在雷达进行数据分析时需要计算出矩阵G k = X k X k T . 一旦接收到数据向量x k +1, 必须计算出新矩阵G k +1. 因为数据向量到达的速度非常快, 随着k 的增加, 直接计算的负担会越来越重. 现需要给出一个算法, 使得计算G k 的负担不会因为k 的增加而加重.【模型求解】因为G k = X k X k T = [x 1, …, x k ]T 1T k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦x x =T 1k i i i =∑x x ,G k +1 = X k +1T 1k +X = [X k , x k +1]T T 1k k +⎡⎤⎢⎥⎣⎦X x = X k X k T + x k +1T 1k +x = G k + x k +1T 1k +x ,所以一旦接收到数据向量x k +1, 只要计算x k +1T 1k +x , 然后把它与上一步计算得到的G k相加即可. 这样计算G k 的负担不会因为k 的增加而加重.【模型分析】计算机计算加法的时间与计算乘法的时间相比可以忽略不计. 因此在考虑计算矩阵乘积的负担时, 只要考察乘法的次数就可以了. 设x k 的维数是n , 则X k = [x 1, …, x k ]是n k 的矩阵, G k = X k X k T 是n n 的矩阵. 直接计算G k = X k X k T 需要做n 2k 次乘法. 因而计算的负担会随着k 的增加而增加. 但是对于每一个k , 计算x k T k x 始终只要做n 2次乘法.Matlab 实验题用Matlab 编写一个程序用于处理这个问题.参考文献David C. Lay, 线性代数及其应用, 沈复兴, 傅莺莺等译, 北京: 人民邮电出版社, 2009. 页码: 123.。
数学建模命题与解题思路解析案例
注意到，上述公平度只考虑了“延期日子”，而没有将 “插队人数”度量在内，对此可以有不同的理解与定义， 不必苛求一致。
解题思路
12
第二问
本问主要考核能否给出一个相对合理的病床 安排模型，主要目标为：提高病床有效利用率 以及提高公平度。
● 效率指标——平均术前住院时间，或病床有效利用率。 非外伤病人入院第2日（白内障）或第3日（其他眼病） 后等待手术的时间称为病床无效时间，病床有效利用率 定义为 病床有效利用率 = 1 - 病床无效时间 / 该病人住院时间
解题思路
11
● 公平性指标——从公平性考虑，希望尽量做到FCFS （First come, First serve）,公平度具体如何确定， 是一个小考点。这个指标必须考虑，否则会出现尽量收 白内障病人入院，以改善效率指标的现象。
解题思路
5
主要考点：
1. 分布拟合检验； 2. 合理的评价指标体系； 3. 仿真方法应用； 4. 满足一定置信度的统计预测模型的建立； 5. 排队论优化模型的建立。
解题思路
6
评阅原则
本题解题方法比较多，结果也未必一致， 评阅时主要以解题过程中体现出的对问题的 理解程度与建模能力为依据。
解题思路
31
● 视为建模的中间环节 ● 尽早开始 ● 规范性 清晰性 可读性
32
33
CUMCM09年B题
“眼科病床的合理安排” 命题、解题思路解析及论文点评
解题思路
1
目录
命题思路 解题思路 论文点评 综合评述
解题思路
2
命题 思路
来自于人们司空见惯的日常生活现象—医院住 院排队现象的一道题目，问题本身非常浅显明 白，专业门槛低，但解决问题中却涉及较深刻 的排队论理论问题，当无法通过理论方法获得 最优解时，可以通过仿真优化方法获得实用效 果令人满意的可行解，以上构成该道题目的特 点。
数学建模例题及解析资料讲解
数学建模例题及解析例1差分方程一一资金的时间价值问题1:抵押贷款买房一一从一那么广告谈起每家人家都希望有一套〔甚至一栋〕属于自己的住房,但又没有足够的资金一次买下,这就产生了贷款买房的问题.先看一下下面的广告〔这是1991年1月1日某大城市晚报上登的一那么广告〕,任何人看了这那么广告都会产生许多疑问,且不谈广告中没有谈住房面积、设施等等,人们关心的是：如果一次付款买这栋房要多少钱呢？银行贷款的利息是多少呢？为什么每个月要付1200元呢？是怎样算出来的？由于人们都知道,假设知道了房价〔一次付款买房的价格〕,如果自己只能支付一局部款,那就要把其余的款项通过借贷方式来解决,只要知道利息, 就应该可以算出五年还清每月要付多少钱才能按时还清贷款了,从而也就可以对是否要去买该广告中所说的房子作出决策了.现在我们来进行数学建模.由于本问题比拟简单无需太多的抽象和简化.a.明确变量、参数,显然下面的量是要考虑的：需要借多少钱,用记；月利率〔贷款通常按复利计〕用R记；每月还多少钱用x记；借期记为N个月.b.建立变量之间的明确的数学关系.假设用**■记第k个月时尚欠的款数,那么一个月后〔加上利息后〕欠款月, 不过我们又还了x元所以总的欠款为—=〔1+犬〕4或k=0 ,1, 2, 3,而一开始的借款为所以我们的数学模型可表述如下上1 1 —〔.1+2?〕 A1-x尢=O1 11 2 > 3 , 离〔不妨假设儿为〕c. 〔1〕的求解.由= 〔1』及]达口-工4二〔1十E〕』「工二〔1十五〕[〔1+五〕=C1 + R〕9厂封〔1+衣〕+1]易知& = C1+R〕%厂工]〔1+田〕I- 〔1+A〕"*+…+ 〔1+Q +1]=〔1+R〕乂$ Cl+R〕U]故4= 〔A c-卷〕口 + 氏〕*+%这就是月"月口心£之间的显式关系.d.针对广告中的情形我们来看〔1〕和〔2〕中哪些量是的.N=5年=60个月, ；每月还款x= 1200元,A.即一次性付款购置价减去70000元后剩下的要另外去借的款,并没有告诉你,此外银行贷款利率R也没告诉你,这造成了我们决策的困难.然而,由〔2〕可知60个月后还清,即人.=口,从而得o = 4〔I+K严- ^叱1]« _ 1200[〔l+J?/°- 1]小二一无工祈一〔3〕〔O〕⑶ 表示N= 60, x=1200给定时人和x之间的关系式,如果我们已经知道银行的贷款利息R,就可以算出A0.例如,假设R =0. 01,那么由〔3〕可算得为三53946元.如果该房地产公司说一次性付款的房价大于70000十53946= 123946元的话,你就应自己去银行借款.事实上,利用图形计算器或Mathematica 这样的数学软件可把(3)的图形画出来,从而可以进行估算决策.以下我们进一步考虑下面两个问题.注1问题1标题中“抵押贷款〞的意思无非是银行伯你借了钱不还,因而要你用某种不动产(包括房子的产权)作抵押,即万一你还不出钱了,就没收你的不动产.例题1某高校一对年青夫妇为买房要用银行贷款60000元,月利率0. 01,贷款期25年=300月,这对夫妇希望知道每月要还多少钱,25年就可还清.假设这对夫妇每月可有节余900元,是否可以去买房呢？解：现在的问题就是要求使月土加三口的x,由(2)式知兀(1+―)1现为= 60000, R= 0. 01, k=300,算得x=632元,这说明这对夫妇有水平买房.例题2恰在此时这对夫妇看到某借贷公司的一那么广告：“假设借款60000元,22年还清,只要；(i)每半个月还316元；(ii)由于文书工作多了的关系要你预付三个月的款,即316X6=1896元.这对夫妇想：提前三年还清当然是好事,每半个月还316元,那一个月不正好是还632元,只不过多跑一趟去交款罢了；要预付18%元,当然使人不快乐,但提前三年还清省下来的钱可是22752元哟,是1896元的十几倍哪！这家公司是慈善机构呢还是仍然要赚我们的钱呢？这对夫妇请教你给他们一个满意的答复.具体解法略.问题2:养老基金今后,当年青人参加工作后就要从其每月工资中扣除一局部作为个人的养老基金,所在单位〔假设经济效益好的话〕每月再投入一定数量的钱,再存入某种利息较高而又平安的“银行〞〔也可称为货币市场〕到60岁退休时可以动用.也就是说,假设退休金缺乏以维持一定的生活水平时,就可以动用自己的养老基金,每月取出一定的款项来补贴缺乏局部.假设月利率及= 0. 01不变,还允许在建立养老基金时自己可以一次性地存入一笔钱A 〔不管多少〕,每月存入y元〔个人和单位投入的总和〕；通常从三十一岁开始到六十岁就可以动用.这当然是一种简化的假设,但作为估算仍可作为一种考虑的出发点.本问题实际上有两个阶段,即退休前和退休后,其数学模型为U a+l = 4〔1+K〕4A 用=U, 1, 2, 3 s...以卜4*1 = 4 - X ? =3 1 j ...|p30己知其中x为每月要从养老基金中提出的款项.习题1某大学年青教师小李从31岁开始建立自己的养老基金,他把已有的积蓄1万元也一次性地存入,月利率为0. 01 〔以复利计〕,每月存入300 元,试问当小李60岁退休时,他的退休基金有多少？又假设,他退休后每月要从银行提取1000元,试问多少年后他的退休基金将用完？你能否根据你了解的实际情况建立一个较好的养老基金的数学模型及相应的算法和程取软件〕.习题2渔业〔林业〕治理问题设某养鱼池〔或某海域〕一开始有某种鱼条,鱼的平均年净繁殖率为R, 每年捕捞x条,记第N 年有鱼©a条,那么池内鱼数按年的变化规律为三£理［1+R J * X!工也注意,在实际渔业经营中并不按条数计算而是以吨记数的.假设对某海域的渔业作业中工100000吨,R= 0. 02, x= 1000吨,试问/西三？会不会使得假设干年后就没有鱼可捕捞了(资源枯竭了)？例2比例分析法一一席位分配问题：某学校有三个系联合成立学生会,(1)试确定学生会席位分配方案.(2)假设甲系有100名,乙系60名,丙系40名.学生会设20个席位,分配方案如何？(3)假设丙系有3名学生转入甲系,3名学生转入乙系,分配方案有何变化？(4)由于有20个席位的代表会议在表决提案时有可能出现10: 10的平局,会议决定下一届增加1席,假设在第(3)问中将学生会席位增加一席呢？(5)试确定一数量指标衡量席位分配的公平性,并以此检查( 1) — (4). 公平而又简单的席位分配方法是按人数的比例分配,假设甲系有100名,乙系60名,丙系40名.学生会设20个席位,三个系分别应有10, 6, 4个席位.第二列所示,按比例分配席位时,出现了小数 (见表中第四列).在将取得整数的19席分配完毕后,剩下的1席根据惯例分给余数最大的丙系,于是三个系仍分别占有10、6、4个席位.由于有20个席位的代表会议在表决提案时有可能出现10: 10的平局,会议决定下一届增加1席,于是他们根据上述惯例重新分配席位,计算的结果令人吃1席,见下表.惊：总席位增加1席,丙系反而减少方法.下面就介绍这样一个席位分配模型.设A、B两方人数分别是p1和p2,分别占有n1和n2个席位,那么两方每个席位所代表的人数分别是p1 /n12和p2/n2.很明显,仅当这两个数值相等时,席位的分配才是公平的.但是,通常它们不会相等,这时席位分配得不公平.不公平的程度可以用数值值1e1少2病2|来表示,它衡量的是“绝对不公平〞.从下表所举的例子来看,A B之间的“绝对不公平〞与C、D之间是一样的.但是从常识的角度看,A B之间显然比G D之间存在着更加严重的不公平.所以“绝对不公平〞不是一个好的衡量标准.为了改良绝对标准,我们自然想到用相对标准.由于p/n越大,每个席位代表的人数越多,或者说,总人数一定时分配的席位越少.所以,如果p1/n13 >p2/n2,那么A方是吃亏的,或者说,对A是不公平的,由此,我们这样定义“相对不公平〞：假设p1/n1 >p2/n2,那么称例1 _pl例1 pl福2为对A的相对不公平值,记做7〔包,吟〞假设p1/n1<p2/n2,那么称pl物122/黑2 _ pln2尸2饱2 p2盟1为对B的相对不公平值,记做■藤〔包,吟.假设A、B两方已分别占有n1和n2个席位,我们利用相对不公平的城念来讨论,当总席位再增加1席时,应该给且A方还是B方？不失一般性,可设p1/n1>p2/n2,即此时对A方不公平, ,有定义.当再分配1个席位时,关于p/n的不等式有以下三种可能：1〕p1/〔n1十1〕 >p2/n2,这说明即使A方增加1席,仍然对A不公平,所以这1席当然应给A方；2〕p1/〔n1十1〕<p2/n2,说明当A方增加1席位,将对B不公平,此时应参照式,计算对B的相对不公平值3〕说明当B方增加1席时,将对A方不公平,此时计算得对A的相对不公平值是5+1,盟2〕〔k 1.盟2 + 1〕〔注意：在p1/n11p2/n2的假设下,不可能出现p1/n1<p2/〔n2+1〕的情况因为公平的席位分配方法应该使得相对不公平的数值尽量地小,所以如果rj +1 s M2〕,对2+1〕那么这1席应给A方；反之应给B方.根据〔3〕、〔4〕两式,〔5〕式等价于并且不难证实1从上述第1〕种情况的p1/〔n1十1〕＞p2/p2也可推出. 于是我们的结论是：当〔6〕式成立时,增加的1席应分配A方；反之,应分配给B方.假设记3山〔小十1〕,那么增加的1席位应分配给Q值较大的一方.将上述方法可以推广到有m方分配席位的情况.下面用这个方法,重新讨论本节开始时提出的,三个系分配21个席位的问题.首先每系分配1席,然后计算: 甲系n1 = 1,_ 3〕3_ io9C1 = =乙系,n2=1 ,5 一忌〔点+A _VQ丙系,n3=1,_ 〔＞3〕3_ 3 甲Q=q〔京+1〕一=必由于°】最大,所以第4席应分配给甲系,继续计算: 甲系n1 = 2,00 3103a2=门不叮二不二=1768 2将以与上面的.如心相比,%最大,第5席应分给乙系,继续计算.如此继续,直到第21席分配给某个系为止〔详见列表〕可以看出,用Q值法,丙系保住了它险些丧失的1席.你觉得这个方法公平吗？习题：学校共1000名学生,235人住在A宿合,333人住在B宿合,432人住在C宿合.学生们要组织一个10人的委员会,试用以下方法分配各宿舍的委员数.1)惯例的方法,印按比例分配完整数名额后,剩下名额给余数最大者.2) Q值方法.如果委员会从10人增至15人,分配名额将发生什么变化？,例3状态转移问题一一常染色体遗传模型随着人类的进化,人们为了揭示生命的奥秘,越来越注重遗传学的研究,特别是遗传特征的逐代传播,引起人们的注意.无论是人,还是动植物都会将本身的特征遗传给下一代,这主要是由于后代继承了双亲的基因,形成自己的基因对,基因对将确定后代所表现的特征.下面,我们来研究两种类型的遗传：常染色体遗传和x一链遗传.根据亲体基因遗传给后代的方式,建立模型,利用这些模型可以逐代研究一个总体基因型的分布.在常染色体遗传中,后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因,形成自己的基因对,基因对也称基因型.如果我们所考虑的遗传特征是有两个基因A和控制的,那么就有三种基因对,记为AA, A,.例如,金草鱼由两个遗传基因决定花的颜色,基因型是AA的金鱼草开红花,型的开粉红色花,而型的开白花.又如人类的眼睛的颜色也是提升通过常染色体遗传限制的.基因型是的人,眼睛是棕色,基因型是的人,眼睛是兰色.这里由于都表示了同一外部特征,我种基因型植物相结合的方案培育植物后代.那么经过假设干年后,这种植物的任一代的三种基因型分布如何?第一步：假设：令n0,1,2,(1)设小,6和C n分别表示第n代植物中,基因型为AA,Aa和aa的植物占植物总数的百分率.令x⑺为第n代植物的基因型分布：ax(n)bC n当n=0时a.x(0)b.C o表示植物基因型的初始分布(即培育开始时的分布),显然有a 0b 0 C 0 1〔2〕第n 代的分布与第n-1代的分布之间的关系是通过上表确定的.第二步：建模 根据假设〔2〕,先考虑第n 代中的AA 型.由于第n-1代的AA 型与AA 型结 合,后代全部是AA 型；第n-1代的Aa 型与AA 型结合,后代是AA 型的可能性 为1/2 ,第n-1代的aa 型与AA 型结合,后彳弋不可能是 AA 型.因此,当 n 0,1,2,时b n 1/2类似可推出C n 0 将式相加,得a nb nc na n 1b n 1c n 1根据假设〔1〕,其中1 1/2 0 1/2 0 0式递推,得a nb n C n a .b 0 C 0 1对于式、式和式, 我们采用矩阵形式简记为 (n) XMx (n〞,n1,2,a n 1? a n 1b n 1/2 0?C n 1 a n C n 1b n1/2a(n)x bC n(n) (n 1) 2 (n 2)x Mx M x式给出第代基因型的分布与初始分布的关系.1M PDP 1因而有PD n P其中0 1/2 0所以 通过计算0 (2)n 0a.b 0Co(n)XC nM n x (0)为了计算出M n我们将M 对角化,即求出可逆矩阵 P 和对角阵D,使1,2,D nn 10 0n 20 0n 3这里1, 2,3是矩阵 M 的三个特征值. 对于式中的易求得它的特征值和特征11, 1/2, 3因此因此有(n)Xn (0)X n 1 (0)PD P x(1/2)n (1/2)n 0(1/2)n(1/2)n 1a.b g Ca ob oc o (1/2)n b o (1/2)n1C o(1/2)n b o (1/2)n1C oo所以有a n 1 (1/2)nb o (1/2)n1C o b n (1/2)n b o (1/2)n1C oC n o当门 时(1/以 °,所以从式得到a n 1,b n o 和 C n =o即在极限的情况下,培育的植物都是 AA 型 第三步：模型讨论假设在上述问题中,不选用基因 AA 型的植物与每一植物结合,而是将具有相同基 因型植物相结合,那么后代具有三代基因型的概率如下表:M并且x (n) M n x (o),其中M 的特征值为1 1,2 1,3通过计算,可以解出与1,2相对应的两个线性无关的特征向量3相对应的特征向量1 1/4 o o 1/2 o o 1/4 1 1/21和2,及与1 0 1P 1 2 3 0 0 2因此 1 1 11 1/2 0P 1 1 1 10 1/2 0(n) n (0) n 1 (0)x M x PD P x1 0 1 1 0 0 1 1/2 0 a00 0 2 0 1n0 1 1 1 b01110 0 (1/2)n0 1/2 0 c0所以有a n a. (1/2)b0 (1/2)n 1b0b n (1/2)n b0_ — n 1C n C0 (1/2)b0 (1/2) b0当n 时(1/2)n0,所以从式得到a n a0 (1/2)b0,b n 0和C n C0 (1/2)b0AA 因此,如果用基因型相同的植物培育后代,在极限情况下,后代仅具有基因和aa.例4合作对策模型在经济或社会活动中,几个社会实体〔个人、公司、党派、国家〕相互合作或结成联盟,常能获得比他们单独行动更多的经济或社会效益.这样合理地分配这些效益是合作对策要研究的问题.请看下面的例子.问题一：经商问题甲、乙、丙三人经商,假设单干,每人仅能获利1元；甲乙合作可获利7元；甲内合作可获利5元；乙丙合作可获利4元；三人合作可获利10元,问三人合作时如何分配10元的收入.甲的收入应根据甲对各种形式的合作的奉献来确定.对于某一合作的奉献定义为：有甲参加时这个合作的收入与无甲参加时这个合作的收入之差.例如甲对甲乙二人合作的奉献是7—1 = 6(由于甲乙合作获利7元,而乙单干仅获利1 元).甲可以参加的,合作有四个：甲自己(单干视为合作的特例)、甲乙、甲丙、甲乙丙. 甲对这些合作的奉献分别是甲：1 — 0=1元；甲乙：7—1=6元；甲内：5—1=4元；甲乙丙：10—4= 6元,甲应分得的收入是这四个贡献的加权平均值,加权因子将由下面的一般模型给出.这个问题叫做3人合作对策,是对策论的一局部,这里介绍它的一种解法.一般的n人合作对策模型可以表达如下：记n人集合为I=U,2J…遣),如果对于।中的任一子集都对应一个实值函数v (s),满足v 101=0v Csm(门)十廿(g)C % c 6 =疗)那么称为定义在I上的特征函数.所谓合作对策是指定义了特征函数的I中n个人的合作结果,用向量值函数= C pl (V)t优(■)〕来表示.在实际问题中.常可把I中各种组合的合作获得的利益定义为特征函数,上式表示合作规模扩大时,获利不会减少.不难看出,如将三人经商问题中合作的获利定义为特征函数v, v是满足(1)、(2)的.为了确定步2 , Shapley在1953年首先制定了一组$,,, 应该满足的公理,然后证实了满足这组公理的由(曾)的唯一解是低〔Q = Cd Q5P C S〕-v i = 1 5 2, 3,.其中国是I中包含｛i｝的所有子集,Is I是集合s中的人数,是加权因子,由()_ l|g|- O ■!n \确定.〔3〕式中[y 9 -V U- a〕〕]可看作成员｛i｝对合作s的奉献；表示对所有包含｛i｝的集合求和.?2〕称为由v定义的合作的Shapley值.我们用〔3〕、〔4〕计算三人经商问题中各个人应得到的收入.甲、乙、丙分别记作｛1｝ , ｛2｝ , ｛3｝,包含｛1｝的集合有｛1｝、｛1 , 2｝、｛1 , 3｝、｛1 , 2, 3｝,计算结果列入下表.韵(K)=1/3+1+2/3+2 = 4元同样可以算出乙、丙应得收入为嚣=3. 5元,劭=2.5元.问题二：三城镇的污水处理方案沿河有三城镇1、2和3,地理位置如图4; 6所示.污水需处理后才能排入河中.三城镇或者单独建立污水处理厂,或者联合建厂,用管道将污水集中处理〔污水应于河流的上游城镇向下游城镇输送〕.以Q表示污水量〔吨/秒〕,工表示管道长度〔公里〕.0.712根据经验公式,建立处理厂的费用为P 73Q,铺设管道的费用为0.51 ・/ L ———LP20.66Q L .今三城镇的污水量分别为Q l 5,Q2 3,Q3 5. L的数值L12 20,L23 38 . 试从节约总投资的角度为三城镇制定污水处理方案；包括是单独还是联合建厂；如果联合,如何分担投资额等.三城镇或单干或不同形式的联合,共有五种方案.下面一一计算所需的投资.方案一三城镇都单干.投资分别为0(1) = 730 X 50 712= 2300C(2) = 730X 3071i= U00C(3) = 2300总投资:必-⑶+0⑶=6200方案二城1、2合作.这时城1、2将从节约投资的角度对联合还是分别建厂作出决策,所以城1、2的投资为：「八八./联合：730 (.5+3；.外工46.6乂即'22U = M5口.］C5 2 = 联叫单干.C⑴+C⑵=3900=3500C (3) =2300总投资：M = C (b 2)+0 ⑶=550.方案三城2、3合作p30 C3+5J iJB+t,6x^,J1x33 =(2)-G(3)= 39DCC (1) =2300总投资：M = C3)+0 ⑴=595Q方案四城1、3合作门 C —圻以小.°,口+仁心5七〞46MC (2) =1600总投资:& = C (b 3)+0 ⑵=£20.=5560总投资：M = C 〔J ,2, 3〕= 556.比拟五个方案可知,应该选择三城合作,联合建厂的方案. 下面的问题是如何分担总额为 5560的费用.城3的负责人提出,联合建厂的费用按三城的污水量之比5: 3: 5分担,铺设管道费应由城1、2担负.城2的负责人同意,并提出从城2到城3的管道费由 城1、2按污水量之比5: 3分担；从城1到城2的管道费理应由城1自己担 负.城1的负责人觉得他们的提议似乎是合理的,但因事关重大,他没有马上0.712表示同意；而是先算了一笔账.联合建厂的费用是73〔5 3 5〕4530城2到城3的管道费是730,城1到城2的管道费是300,按上述方法分配时, 城3负担的费用为1740,城2的费用为1320,域1的费用为2500.结果出乎 意料之外,城3和城2的费用都比单独建厂时少,而城1的费用却比单独建厂 时的C 〔1〕还要多.城1的负责人当然不能同意这个方法,但是一时他又找不出公平合理的解决方法.为了促成联合的实现,你能为他们提供一个满意的分担方案五三城镇合作MI 阳1 CCC2 ^ + + +C+ 6 6x5v J1x20 + 6 x8U3J x38 = 5 5 60 (3) = 5800 CQ = 59oo Q) = Q20O + C (3) = 62003)费用的方案吗？首先,应当指出,城3和城2负责人提出的方法是不合理的：从前面的计算我们知道,三城联合,才能使总投资节约了640的效益应该分配给三城,使三城分配的费用都比他们单干时要少,这是为促成联合所必须制定的一条原那么.至于如何分配,那么是下面要进一步研究的问题.把分担费用转化为分配效益,就不会出现城1联合建厂分担的费用反比单独建厂费用高的情况.将三城镇记为I={1,2,3),联合建厂比单独建厂节约的投资定义为特征函数.于是有v( )=0,v({1})=v({2})=v({3})=0M{1,2})=c⑴+c⑵-c(1,2)=2300+1600-3500=400,v({2,3})=c(2)+c(3)-c(2,3)=1600+2300-3650=250,v({1,3})=0,v(I)=c(1)+c(2)+c(3)-c(1,2,3)=640.即1(v)同理得2(v) 321, 3(v) 122那么,城1分担的费用为2300-197=2103,城2分担的费用为1600-321=1279,城3分担的费用为2300-122=2178,合计5560.习题：某甲(农民)有一块土地.如果从事农业生产可年收入100元；如果将土地租给某企业家用于工业生产,可年收入200元；如果租给某旅店老板开发旅游业,可年收入300元；当旅店老板请企业家参与经营时,年收入可达400元.为实现最高收入,试问如何分配各人的所得才能达成协议？例5动态规划模型有不少动态过程可抽象成状态转移问题,特别是多阶段决策过程的最优化如最短路径问题,最优分配,设备更新问题,排序、生产方案和存储等问题.动态规划是一种将复杂问题转化为一种比拟简单问题的最优化方法,它的根本特征是包含多个阶段的决策.1951年,美国数学家贝尔曼(R. Bellman)等人, 提出了解决多阶段决策问题的“最优化原理〞,并研究了许多实际问题,从而创建了动态规划•动态规划方法的根本思想是：将一个复杂问题分解成假设干个阶段,每一个阶段作为一个小问题进行处理,从而决定整个过程的决策,阶段往往可以用时间划分这就具有“动态〞的含义,然而,一些与时间无关的静态规划中的最优化问题,也可人为地把问题分成假设干阶段,作为一个多阶段决策问题来处理,计算过程单一化,便于应用计算机.求解过程分为两大步骤,①先按整体最优化思想递序地求出各个可能状态的最优化决策；②再顺序地求出整个题的最优策略和最优路线.下面,结合一个求最短路径的例子,来说明动态规划的一些根本概念.最短路径问题如下图的交通网络,节点连接线路上的数字表示两地距离,计算从A到E的最短路径及长度.1 .阶段.把所要处理的问题,合理地划分成假设干个相互联系的阶段,通常用k表示阶段变量.如例中,可将问题分为4个阶段,k=1,2,3,4.2 .状态和状态变量.每一个阶段的起点,称为该阶段的状态,描述过程状态的变量,称为状态变量,它可以用一个数、一组数或一个向量来描述,常用X k来表示第k阶段的某一状态.如果状态为非数量表示,那么可以给各个阶段的可能状态编号,(1) . (i)X k i(X k表示第k个阶段的第i状态).第k阶段状态的集合为X J/) (2)(i) (T)lX k {X k ,X k , , X k , ,X k }如例6中,第3阶段集合可记为X3 {X31),X32),X33)} {01,02.03) (1,2.3)3.决策和决策变量.决策就是在某一阶段给定初始状态的情况下,从该状态演变到下一阶段某状态的选择.即确定系统过程开展的方案.用一个变量来描述决策,称这个变量为决策变量.设U k(X k)表示第k个阶段初始状态为 "的决策变量.D k(X k)表示初始状态为X k的允许决策集合,有U k(X k) D k ( X k ) ={ u k )如例6中D1(A)出任艮},假设先取B2,那么U(A) B2O4,策略和子策略.由每段的决策U k(X k)组成的整个过程的决策变量序列称为策略,记为P,n,即F1,n=(U1(X1),U2(X2), ,U n(X n ))从阶段k到阶段n依次进行的阶段决策构成的决策序列称为k子策略,记为P k,n即P k,n(X i) ={U k(X k),U k l(X k i), ,U n(X n)}显然,k=1时的k子策略就是策略.如例6,选取路径A B i C2 D2 E就是一个子策略.从允许策略集中选出的具有最正确效果的策略称为最优策略.5 .状态转移方程.系统在阶段k处于状态Xk,执行决策U k(X k)的结果是系统状态的转移,即由阶段K的状态X k转移到阶段K十1的状态X k 1适用于动态规划方法求解的是一类具有无后效性的多阶段决策过程.无后效性又称马尔科夫性,指系统从某个阶段往后的开展,完全由本阶段所处的状态以及其往后的决策决定,与系统以前的状态及决策无关,对于具有无后效性的多阶段过程,系统由阶段k向阶段k+1的状态转移方程为X k i T k(X k,U k(X k))意即X k1只与X k, U k(X k)有关,而与前面状态无关.T k(Xk,U k(X k))称为变换函数或算子.分确定型和随机型,由此形成确定型动态规划和随机型动态规划.6 .指标函数和最优指标函数.在多阶段决策中,可用一个数量指标来衡量每一个阶段决策的效果,这个数量指标就是指标函数,为该阶段状态变量及其以后各阶段的决策变量的函数,设Vk,n (X k,U k,X k 1, ,X n)k 1,2,指标的含义在不同的问题中各不相同,可以是距离、本钱、产品产量、资源消耗等.为V k,n即％例6中,指标的含义就是距离,指标函数为A到E的距离,为各阶段路程的和.最常见的指标函数取各阶段效果之和的形式,即nV k,n V j(X j,U j)j k指标函数V k,n的最优值,称为相应的最优指标函数,记为f k(X k)f k(X k) OptV k,n式中opt是最优化之意,根据问题要求取max或min.7 .动态规划最优化原理.贝尔曼指出“作为整个过程的最优策略具有这样的性质：即无论过去的状态和决策如何,对前面的决策所形成的状态而言,余下的诸决策必须构成最优策略〞基于这个原理,可有如下定理：定理假设策略P,n是最优策略,那么对于任意的k(1<k<n),它的子策略P k,n对于以 * —• * * 、X k T k1(X k1,U k1)为起点的k到n子过程来说,必是最优策略.实质上,动态规划的方法是从终点逐段向始点方向寻找最短路径的一种方法.8 .动态规划的数学模型.利用最优化原理,可以得到动态规划的数学模型f k(X k) opt{V k(X k,U k) f k 1(X k 1)}(k n,n 1, ,1U k D k(xJf n 1(X n1) 0这是一个由后向前的递推方程.卜面以例6的最短路径问题说明这种递序解法.指标函数为两点之间的距离, 记为d 〔X k ,uJ,例中共分4个阶段. 〔倒推〕 第4阶段f 5(E) 第3阶段* l"2,4{ B i ,C 2, D 2 , E}d(B 2,C i ) f 2(B 2) min 2d(B 2,C 2)* 一 一一F 2,4 { B 2 ,C 2 , D 2 , E}f 4(D i ) d(D i ,E) f 5(E) f 4(D 2) d(D 2,E) f 5(E) f 4(D a )d(D 3,E)f 5(E)f 3(C i ) min d(C i 'D i ) dGB)f ,(D i ) f 4(D 2)*鸟,4 {C i , D i , E}f 3(C 2) min d(C 2,D) d(C 2,D 2)f 4(D i )f 4(D 2)* R,4{C 2, D 2, E}f 3(C 3) min d(C 3,D 3) d(C 3R )f/D z ) f 4(D 3)12 6*鸟,4 {C 3, D 3, E} 第2阶段f 2 (B 1) mind(B i ,C i ) dBOf 3(C i ) f 3(C 2) 13 7f 3(C i ) f 3©2)。