2012届惠安高级中学高三文科数学大题周练(10)

2012届惠安高级中学高三文科数学大题周练(10)
——分类讨论专题
1. 设k R ∈，试讨论方程22(8)(4)(8)(4)k x k y k k -+-=--表示什么曲线？ 解：
（1）当4k =时，方程变为240x =即0x =，此时表示为直线； （2）当8k =时，方程变为240y =即0y =，此时表示为直线；
（3）当4k ≠且8k ≠时，方程可变为
22
148x y k k
+=--， ①当4k <时，表示为焦点在y 轴的双曲线； ②当46k <<时，表示为焦点在y 轴的椭圆；
③当6k =时，表示为以原点为圆心、半径为
④当68k <<时，表示为焦点在x 轴的椭圆； ⑤当8k >时，表示为焦点在x 轴的双曲线。

2. 已知函数f (x )＝2a sin 2x －2 3a sin x cos x ＋a ＋b (a ≠0)的定义域是
⎣
⎢⎡
⎦⎥⎤0，π2，值域是[－5,1]，求常数a ，b 的值．
解 f (x )＝2a ·1
2
(1－cos 2x )－ 3a sin 2x ＋a ＋b
＝－2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos2x ＋3
2sin2x ＋2a ＋b
＝－2a sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，
又∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤7
6
π，
∴－12≤sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫2x ＋π6≤1.
因此，由f (x )的值域为[－5,1]
可得⎩⎪⎨⎪⎧ a >0－2a ×(－1
2
)＋2a ＋b ＝1
－2a ×1＋2a ＋b ＝－5
或⎩⎪⎨
⎪⎧
a <0－2a ×1＋2a ＋
b ＝1－2a ×(－1
2)＋2a ＋b ＝－5
解得⎩⎨
⎧
a ＝2
b ＝－5
或⎩⎨⎧
a ＝－2
b ＝1
.
3.已知在等比数列{a n }中，a 1＝1，S n 是其前n 项的和，且a k ＋1，a k ＋3，a k ＋2 (k ∈N )成等差数列．
(1)求数列{a n }的公比；
(2)试判断S k ＋1，S k ＋3，S k ＋2 (k ∈N )是否也构成等差数列，说明理由．
解 (1)设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，则a k ＋1＝q k ，a k ＋3＝q k ＋2，a k ＋2＝q k ＋1. 依题意得2q k ＋2＝q k ＋q k ＋1，由于q k ≠0，
所以2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－1
2
.
(2)当q ＝1时，S k ＋1＝(k ＋1)a 1＝k ＋1， S k ＋3＝k ＋3，S k ＋2＝k ＋2，
显然S k ＋1＋S k ＋2＝k ＋1＋k ＋2＝2k ＋3≠2S k ＋3， 故S k ＋1，S k ＋3，S k ＋2不能构成等差数列；
当q ＝－12时，S k ＋1＝1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12k ＋1
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12＝23⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k ＋1，
同理可得S k ＋2＝23⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k ＋2，
S k ＋3＝23⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k ＋3，于是
S k ＋1＋S k ＋2＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k ＋1＋23⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k ＋2
＝2
3⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
2－
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
－
1
2
k＋1－
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
－
1
2
k＋2＝
4
3⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
1－
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
－
1
2
k＋3＝2S
k＋3
，
所以S k＋1，S k＋3，S k＋2能构成等差数列．
综上所述：当q＝1时，S k＋1，S k＋3，S k＋2不能构成等差数列；
当q＝－1
2
时，S k＋1，S k＋3，S k＋2能构成等差数列．
4. 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元（35
a
≤≤）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（911
x
≤≤）时，一年的销售量为2
(12)x
-万件．
（Ⅰ）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值()
Q a．
解：（Ⅰ）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为：
2
(3)(12)[911]
L x a x x
=---∈
，，．
（Ⅱ）2
()(12)2(3)(12)
L x x x a x
'=-----
(12)(1823)
x a x
=-+-．
令0
L'=得
2
6
3
x a
=+或12
x=（不合题意，舍去）．
35
a
≤≤，
228 86
33
a
∴+
≤≤．
在
2
6
3
x a
=+两侧L'的值由正变负．
所以（1）当
2
869
3
a
+<
≤即
9
3
2
a<
≤时，
2
max (9)(93)(129)9(6)
L L a a ==---=-．
（2）当
228
96
33
a
+
≤≤即
9
5
2
a
≤≤时，
23
max
2221(6)63126433333L L a a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+=+---+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎣⎦，
所以3
99(6)32()1943532a a Q a a a ⎧-<⎪⎪
=⎨⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭⎩， ≤，， ≤≤ 答：若9
32
a <
≤，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L 最大，最大值()9(6)Q a a =-（万元）；若952a ≤≤，则当每件售价为263a ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭元时，
分公司一年的利润L 最大，最大值3
1()433Q a a ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
（万元）．。