天津市静海区第四中学2020-2021学年高二第一学期第一次月考数学试卷
天津市静海区第四中学2020-2021学年高二上学期第一次月考物理试题 Word版含解析
静海四中2020-2021学年第一学期第一次月考高二物理一、单选题1. “能源危机”是当今世界各国共同面临的问题．对此，以下措施可行的是 A. 人人都要自觉做到节约用水、节约用电，不浪费和人为毁坏物品 B. 关闭现有的火力发电站 C. 各地都要兴建水力和风力发电站D. 停止使用石油资源，而以核能和太阳能取代 【答案】A 【解析】受地域环境的限制，风力、水力发电站不能在各地兴建，因而不能关闭火力发电站，故B 、C 错；受技术限制，核能和太阳能尚未大规模被利用，所以也不能停止使用石油资源，故D 错误．人人都要自觉做到节约用水、节约用电，不浪费和人为毁坏物品，A 正确． 2. 铅蓄电池的电动势为2V ，这表示（ ）A. 电源将1C 的正电荷从正极移至负极的过程中，2J 的化学能转变为电能B. 电源将1C 的正电荷从负极移至正极的过程中，2J 的化学能转变为电能C. 蓄电池在1s 内将2J 的化学能转变为电能D. 蓄电池比干电池（电动势为1.5V ）体积大，故电动势高 【答案】B 【解析】【详解】铅蓄电池的电动势为2V ，表示非静电力将单位正电荷从电源的负极通过电源内部移送到正极时所做的功为2J ，不是将正电荷从正极移至负极，故A 错误，B 正确；铅蓄电池的电动势为2V ，表示非静电力将单位正电荷从电源的负极通过电源内部移送到正极时所做的功为2J ，即电能增加2J ，与时间无关，故C 错误；电源的电动势是表示电源将其它形式的能转化为电能的本领，铅蓄电池的电动势比一节干电池的电动势大，与二者的体积大小无关，故D 错误．3. 某导线中的电流是7.5×10–3 A ，则通过导线横截面的电荷量为15 C 所需要的时间为 A. 2.0×104 s B. 2.0×106 s C. 2.0×105 sD. 2.0×103 s【答案】D 【解析】【详解】已知电流和电量，则由电流的定义变形后可求得通过15C电量所需要的时间．由I=q t可知：通过导线横截面的电荷量为15C所需要的时间为t=qI=2.0×103s故选D．【点评】本题考查电流的定义式的变式计算，属公式的简单应用，注意计算的准确性即可．4. 关于公式URI=、lRSρ=以及变形式RSlρ=的理解正确的是（）A. 由URI=可知，导线的电阻与电压成正比，与电流成反比B. 由lRSρ=可知，导线的电阻与导线的长度成正比，与其横截面积成反比C. 由RSlρ=可知，导线的电阻率与导线的横截面积成正比D. 由RSlρ=可知，导线的电阻率与导线的长度成反比【答案】B【解析】【详解】A．导线的电阻是由导体本身决定的，与两端的电压以及电流无关，选项A错误；B．由lRSρ=可知，导线的电阻与导线的长度成正比，与其横截面积成反比，选项B正确；CD．导线的电阻率是由导体的材料决定的，与导线的横截面积和导线的长度无关，选项CD错误；故选B。
天津市部分区2020~2021学年度第一学期期中高二数学试题及答案
天津市部分区2020－－2021学年度第一学期期中练习高二数学一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分，在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的。
1. 已知向量(2,3,1),(2,0,3),a b =-=则()a a b +=（ ）A.21B. －21C.20D.－202. 经过()(),2,,3A m B m m -+两点的直线的斜率是1，则实数m 的值为（ ）A.3B.－3C.13D.－133. 若向量(1,,0),(2,1,2),a b λ==-且a 与b 的夹角余弦值为23，则实数λ等于（ ）A. 0B.－43C.0或－43D.0或434. 过点()3,2且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为则（ ）A.50x y +-=B.230x y -=C. 50x y +-= 或 230x y -=D.50x y ++=或320x y -=5. 已知向量(1,1,0),(1,0,2),m n ==-且km n +与2m n -互相平行，则实数k 的值是（ ）A. －35B.75C.35D.－2 6. 两圆229x y +=和228690x y x y +-++=的位置关系是（ ）A. 相离B. 相交C. 内切D.外切7. 在正三棱柱111ABC A B C -中，若12AB BB =,则1AB 与1BC 所成角的大小为（ ）A. 90B.60C.105D.758.已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得的弦的长度为4，则实数a 是（ ）A.－2B.－8C.－4D.－69.如图，在四面体OABC 中，OA OB OC ==,,,OA OB OB OC OC OA ⊥⊥⊥,则二面角B AC O --的余弦值为（ ）A.3 B. 22 C. 1 D.13 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分10.已知()()1,0,1,0,1,1A B -，则AB =11. 过点()4,1P -且与直线3460x y -+=垂直的直线方程是12. 已知(3,,)(,)u a b a b a b R =+-∈是直线l 的方向向量，(1,2,3)n =是平面α的法向量，如果l α⊥，则a b +=13. 以(1,2),(5,6)A B --为直径两端点的圆的方程为14. 已知两条平行直线12:210,:0()l x y l x ay a R -+=+=∈，则1l 与2l 间的 距离15. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 中点，则点1B 到直线1A E 的距离为＝三、解答题：本大题共5小题，共60分。
天津市静海区2020-2021学年高三上学期第一次月考数学试题
天津市静海区2020-2021学年度第一学期第一次月考试卷高三数学试卷一、选择题（共9小题，每小题5分，共45分）1. 已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则()U A B ⋂= A. {}1- B. {}0,1 C. {}1,2,3- D. {}1,0,1,3-A本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.={1,3}U C A -，则(){1}U C A B =-故选：A易于理解集补集的概念、交集概念有误.2. 设命题:p x ∃∈R ，22012x >，则P ⌝为（ ）． A. x ∀∈R ，22012x ≤ B. x ∀∈R ，22012x > C. x ∃∈R ，22012x ≤ D. x ∃∈R ，22012x <A根据含有一个量词的命题的否定，可直接得出结果. 解：P ⌝表示对命题P 的否定，“x ∃∈R ，22012x >”的否定是“x ∀∈R ，22012x ≤” ．故选A ． 本题主要考查命题的否定，只需改写量词与结论即可，属于常考题型.3. 函数()32xy x x =-的图象大致是（ ）A. B.C. D.B先根据函数的奇偶性排除部分选项，然后令y =0，结合图象分析求解.因为函数()32x y x x =-定义域为R ，且()()()()()()3322xxf x x x x x f x --=---=--=-，所以函数是奇函数，故排除C ，由()()()32112xxy x x x x x =-=-+，令y =0得x =-1，x =0，x =1，当01x <<时，0y <，当1x >时，0y >，排除AD 故选：B本题主要考查函数图象的识别以及函数的奇偶性和零点的应用，还考查了数形结合的思想和分析求解问题的能力，属于中档题.4. 学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n 位同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在[10,50]，（单位：元）之间，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[10,30)（单位：元）内的同学有33人，则支出在[40,50]（单位：元）内的同学人数为（ ）A. 100B. 120C. 30D. 300C根据小矩形的面积之和，算出位于10~30的2组数据的频率之和为0.33，结合频率的计算公式，求得样本容量，进而求得的数据在[40,50]的频率，即可求解. 由题意，位于10~20，20~30的小矩形的面积分别为：120.01100.1,0.023100.23S S =⨯==⨯=，所以位于10~20，20~30的数据的频率分别为0.1，0.23， 可得位于10~30的前2组数据的频率之和为0.10.230.33+=， 因为支出在[10,30)的同学有33人，即330.33n=，解得100n =. 由此可得位于[40,50]数据的频率之和为10.370.330.3--=， 所以支出在[40,50]的同学有1000.330⨯=人.故选：C.5. 若棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 A. 12π B. 24πC. 36πD. 144πA根据正方体的外接球的直径公式2R =，代值计算即可.解：因为正方体的外接球的直径2R =， 所以棱长为2的正方体外接球的直径2R ==， 所以该球的表面积2412R ππ=.故选：A. 几何体的外接球、内切球问题： （1）几何体的外接球：一个多面体的顶点都在球面上即为球的外接问题，解决这类问题的关键是抓住外接球的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径； （2）几何体的内切球：求解多面体的内切球问题，一般是将多面体分割为以内切球球心为顶点，多面体的各侧面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各分割棱锥的体积之和求内切球的半径. 6. 已知a b >，则下列成立的是（ ）A. >B. 22a b >C.22a bc c > D. 22ac bc >C利用不等式性质，逐一判断即可．A ．a ＞b ，不能保证a ，b 都大于0，故不成立；B ．b ＜a ＜0时，不成立；C ．∵21,0a b c >>，∴22a b c c>，故C 成立；D ．当c ＝0时，不成立．故选C ．本题主要考查不等式性质，属于基础题型．7.若双曲线过点，且渐近线方程为13y x =±，则该双曲线的方程是（ ）．A. 2219x y -=B. 2219y x -=C. 2219y x -=D. 2219x y -=A先由渐近线方程，设双曲线方程为22(0)9x y λλ-=≠，再由题意，即可求出结果.解：因为双曲线的渐近线方程为13y x =±，所以，可设双曲线标准方程为：22(0)9x y λλ-=≠，∵双曲线过，代入方程得1λ=-，∴双曲线方程：2219x y -=．故选A ．本题主要考查求双曲线的方程，熟记双曲线标准方程的求法即可，属于基础题型. 8. 设2log a π=，12log b π=，2c π-=，则（ ）A. a b c >>B. b a c >>C. a c b >>D. c b a >>C利用对数函数、指数函数的单调性与“0，1”比较即可. 因为22log >log 21a π==，1122log log 10b π=<=，2001c ππ-<=<=，a cb ∴>>．故选：C.方法点睛：比较大小的常用方法为：（1）化为同底数、同指数或同真数的对数式和指数式，利用其单调性进行比较，（2）借助于中间值0和1进行比较.9. ()()()14212x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，，是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为（ ） A. (1)+∞，B. [4)8，C. (4)8，D. (18)， B根据分段函数的单调性的判定方法，列出不等式，即可求解.由题意，函数(),142,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩在R 单调递增，可得11402422a a a a ⎧⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪≥-+⎪⎩，解得48a ≤<，即实数a 的取值范围为[4,8).故选：B. 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 10. i 是虚数单位,计算12i2i-+ 的结果为________． -i()()()()12i 2i 12i i 2i 2i 552i i ---==-=-++-. 考点：本题主要考查复数的乘除运算..11.在52x ⎛- ⎝的展开式中，含2x 的系数为______. 80先求得二项式5(2x 的展开式的通项公式，再令x 的次数为2，进而可求出答案.二项式5(2x 的展开式的通项公式为()()355521552C 21C rr r r r r rr T x x ---+⎛==⨯-⨯ ⎝， 令3522r -=，解得2r，所以2x 的系数为：()232521C 80⨯⨯-=. 故答案为：80.本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 12. 从3名男生和2名女生中随机选取两人，则两人恰好是一名男生和一名女生的概率是______．35随机选取两人的情况数和两人恰好是一名男生和一名女生情况数表示出来，相除即可求解.解：从3名男生和2名女生中随机选取两人有2510C =种，两人恰好是一名男生和一名女生有11326C C =种，所以两人恰好是一名男生和一名女生的概率是11322535C C C =，故答案为：35.1.古典概型的概率求解步骤：（1）求出所有基本事件的个数n ；（2）求出事件A 包含的所有基本事件的个数m ； （3）代入公式()mP A n=求解. 2.基本事件个数的确定方法（1）列举法：此法适合于基本事件个数较少的古典概型；（2）列表法：此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成坐标法； （3）树状图法：树状图是进行列举的一种常用方法，适用于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求；（4）运用排列组合知识计算.13. 已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点(0,5)M 在圆C 上，且圆心到直线20x y -=的距离为45，则圆C 的方程为__________. 22(2)9.x y -+=试题分析：设(,0)(0)C a a >，则222452,2535a a r =⇒==+=（），故圆C 的方程为22(2)9.x y -+=【考点】直线与圆位置关系【名师点睛】求圆的方程有两种方法：（1）代数法：即用“待定系数法”求圆方程．①若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，列出关于a ，b ，r 的方程组求解．②若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，列出关于D ，E ，F 的方程组求解．（2）几何法：通过研究圆的性质、直线和圆的位置关系等求出圆心、半径，进而写出圆的标准方程．14. 已知0a >，0b >且2a b ab +=，则2+a b 的最小值为______． 9由题意可得211ba+=，据此结合均值不等式即可求得2+a b 的最小值，注意等号成立的条件.2a b ab +=，0a >，0b >，211b a∴+=，()212222225529a b a b a b a b b a b a b a ⎛⎫∴+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当3a b ==时，等号成立.则2+a b 的最小值为9. 故答案为：9.易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.15. 若不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围为_______.试题分析：时，有80≥，对任意x R ∈恒成立；时，若不等式2680kx kx k -++≥对任意x R ∈恒成立，则需，解得，综上可知，实数k 的取值范围为．考点：含参数不等式恒成立问题，需对二次项系数讨论第Ⅱ卷三、简答题：（共6题，共80分） 16. 已知函数()3sin 21f x x x =++ （I ）求()f x 的最小正周期及对称轴方程； （Ⅱ）求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值． （I ）π；212k x ππ=+，k Z ∈．（Ⅱ）最大值为3，最小值为13（I ）利用辅助角公式化为一个角的三角函数，即()sin()f x A x ωϕ=+的形式，然后由正弦函数的性质可求解．（Ⅱ）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求得42333x πππ≤+≤，由正弦函数的性质可得最值即可．（I ）由()2sin 212sin 213f x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，得()f x 的最小正周期22T ππ==； ()f x 的对称轴方程232x k πππ+=+，即212k x ππ=+，k Z ∈． 所以()f x 的最小正周期为π， 对称轴方程为：212k x ππ=+，k Z ∈． （Ⅱ）02x π≤≤， 02x π∴≤≤，42333x πππ∴≤+≤， ∴ 当232x ππ+=时，即12x π=时，()max 3f x =， 当4233x ππ+=时， 即2x π=时，()min 1f x =所以()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为3，最小值为1方法点睛：三角函数问题一般都要利用两角和与差的正弦（余弦）公式、二倍角公式、诱导公式等化为一个角的三角函数，即()sin()f x A x ωϕ=+的形式，然后利用正弦函数性质求解．17. 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知2a =，c =cos 4A =-．（Ⅰ）求sin C 和b 的值；（Ⅱ）求cos(2)3A π+的值．（Ⅰ）sin 4C =，1b =；（Ⅱ）3cos(2)=38A π-++．（1）由cos A 的值，利用同角三角函数间基本关系求出sin A 的值，再由a ，c 的值，利用正弦定理求出sin C ，利用余弦定理求出b 的值即可；（2）原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将sin2A 与cos2A 的值代入计算即可求出值．（Ⅰ）在ABC ∆中，由cos A =，可得sin A =又由sin sin a c A C =及2a =，c =sin C = 由2222cos a b c bc A =+-，得220b b +-=. 因为0b >， 故解得1b =．所以sin 4C =，1b =．（Ⅱ）由cos 4A =-，sin 4A =，得23cos22cos 14A A =-=-，sin22sin cos A A A ==，所以cos 2cos2cos sin2sin 333A A A πππ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ =. 此题考查了正弦、余弦定理，二倍角及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中， E 为1BB 的中点．（Ⅰ）求证：1//BC 平面1AD E ；（Ⅱ）求直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值． （Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）23. （Ⅰ）证明出四边形11ABC D 为平行四边形，可得出11//BC AD ，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；（Ⅱ）以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，利用空间向量法可计算出直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值.（Ⅰ）如下图所示：在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB A B 且11AB A B =，1111//A B C D 且1111A B C D =，11//AB C D ∴且11AB C D =，所以，四边形11ABC D 为平行四边形，则11//BC AD ， 1BC ⊄平面1AD E ，1AD ⊂平面1AD E ，1//BC ∴平面1AD E ；（Ⅱ）以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系A xyz -，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则()0,0,0A 、()10,0,2A 、()12,0,2D 、()0,2,1E ，()12,0,2AD =，()0,2,1AE =，设平面1AD E 的法向量为(),,n x y z =，由100n AD n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得22020x z y z +=⎧⎨+=⎩， 令2z =-，则2x =，1y =，则()2,1,2n =-. 11142cos ,323n AA n AA n AA ⋅<>==-=-⨯⋅. 因此，直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值为23. 本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法计算直线与平面所成角的正弦值，考查计算能力，属于基础题.19. 已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，{}n b 是等差数列，且111a b ==，2332b b a +=，5237a b -=．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）n n n c a b =，*n N ∈求数列{}n c 前n 项和．（1）12n n a -=，21n b n =-；（2）*(23)23,n n S n n N =-⋅+∈（1）将条件用基本量表示，列出方程组，解出基本量,q d ，结合111a b ==即可得出{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）通过{}n a 和{}n b 的通项公式写出n c 的通项公式，运用错位相减法求出数列{}n c 的前n 项和.解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，数列 {}n b 的公差d ，由题意0q >，由题意可得241122113(1)7d d q q d ⎧+++=⨯⨯⎨⨯-+=⎩，即24232310q d q d ⎧-=⎨-=⎩， 消去d 整理得42280q q --=0,q > 解得 2,2,q d =∴=∴ 数列{}n a 的通项公式为12n n a -=，*n N ∈所以数列{}n b 的通项公式为21n b n =-，*n N ∈，（2）由（1）有1(21)2-=-⋅n n c n ，设{}n c 的前n 项和为n S ，01221123252(23)2(21)2n n n S n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯12312123252(23)2(21)2n n n S n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯两式作差得：2311222(21)223(21)2(23)23n n n n n n S n n n +-=+++⋅⋅⋅+--⨯=---⨯=--⨯-所以*(23)23,n n S n n N =-⋅+∈.等差数列基本运算的常见类型及解题策略：（1）求公差d 或项数n .在求解时，一般要运用方程思想；（2）求通项：1a 和d 是等差数列的两个基本元素；（3）求特定项：利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解；（4）求前n 项和：利用等差数列的前n 项和公式直接求解或利用等差中项间接求解.注意：在求解数列基本量问题中主要使用的是方程思想，要注意使用公式时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意运用整体代换思想，使运算更加便捷.20. 已知函数2()2ln .f x x a x =+（1）若函数()f x 的图象在()2,(2)f 处的切线斜率为l ，求实数a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间.（1）3a =-（2）见解析.试题分析：（Ⅰ）()22222a x a fx x x x='+=+，由f'（2）=1，能求出a ；（II ）函数f （x ）的定义域为（0，+∞）．当a≥0时，f'（x ）＞0，f （x ）的单调递增区间为（0，+∞）；当a ＜0时()()()2x a x a f x x +---'=．列表讨论，能求出函数f （x ）的单调递区间试题解析：（1）2222'()2a x a f x x x x+=+= 由已知'(2)1f =，解得3a =-．（2）函数()f x 的定义域为(0,)+∞．①当0a ≥时, '()0f x >，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；②当0a <时2()()'()x a x a f x +---=． 当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下：由上表可知，函数()f x 的单调递减区间是)a -；单调递增区间是,)a -+∞．考点：1.导数的几何意义；2.函数导数与单调性。
天津市静海区大邱庄中学2020-2021学年高二上学期第一次月考数学试题 (1)
静海区2020—2021学年度第一学期第一次月考高二年级数学试卷第Ⅰ卷一、选择题（共10题，每题5分，共50分）1. 已知向量()3,2,1a =-，()2,4,0b =-，则42a b +等于（ ） A. ()16,0,4 B. ()8,16,4-C. ()8,16,4D. ()8,0,4【★答案★】D 【解析】 【分析】根据坐标形式下空间向量的加法和数乘运算求解出42a b +的坐标表示. 【详解】因为()()412,8,4,24,8,0a b =-=-，所以()428,0,4a b +=， 故选：D.【点睛】本题考查坐标形式下空间向量的加法和数乘运算，考查学生对坐标形式下空间向量的加法和数乘的公式运用，难度较易.2. 已知向量a 和b 的夹角为120︒，且2a =，5b =，则()2a b a -⋅等于（ ） A. 12B. 8+3C. 4D. 13【★答案★】D 【解析】 【分析】将()2a b a -⋅展开，根据向量的模长和夹角并结合数量积公式完成计算. 【详解】因为()22222cos120a b a a a b a a b -⋅=-⋅=-︒，所以()2122225132a b a ⎛⎫-⋅=⨯-⨯⨯-= ⎪⎝⎭，故选：D.【点睛】本题考查向量的数量积计算，主要考查学生对数量积计算公式的运用，难度较易. 3. 已知向量()()0,2,1,1,1,2a b ==--，则a 与b 的夹角为（ ） A. 0B. 45C. 90D. 180【★答案★】C 【解析】 【分析】根据两个向量的数量积的定义求出两个向量数量积的值，从而求得a 与b 的夹角． 【详解】∵a b ⋅=（0，2，1）（﹣1，1，﹣2）＝0×（﹣1）+2×1+1×（﹣2）＝0， ∴a b ⊥，∴a 与b 的夹角：2π， 故选C ．【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量数量积公式的应用，向量垂直的充要条件，属于中档题．4. 已知空间向量(3,1,0)a =，(),3,1b x =-，且a b ⊥，则x =（ ）A. 3-B. 1-C. 1D. 2【★答案★】C 【解析】 【分析】先根据题意建立方程31(3)010x +⨯-+⨯=，再求参数即可. 【详解】解：因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，又因为空间向量(3,1,0)a =，(),3,1b x =-，所以31(3)010x +⨯-+⨯=，解得1x = 故选：C【点睛】本题考查根据空间向量垂直求参数、空间向量数量积的坐标表示，是基础题. 5. 如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，B 1E 1＝14A 1B 1，则1BE 等于( )A. 10,,14⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 1,0,14⎛⎫- ⎪⎝⎭ C. 10,,14⎛⎫-⎪⎝⎭ D. 1,0,14⎛⎫- ⎪⎝⎭【★答案★】C【解析】 【分析】根据空面向量运算法则，利用 BE OE OB =- ，即可得出．【详解】由题，在空间直角坐标系中，正方体1111ABCD A B C D －的棱长为1，111B E A B ＝， 则3110(11)4B E （，，），，，，31(11)110(01)44BE OE OB ∴=-=-=-，，（，，），，，故选C ．【点睛】本题考查了向量共线定理、向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 6. 直线333y x =+的倾斜角为（ ） A. 90︒ B. 30C. 0︒D. 180︒【★答案★】B 【解析】 【分析】先求直线的斜率，再根据斜率求倾斜角. 【详解】解：因为直线方程为333y x =+，所以33k =所以直线的倾斜角0θπ≤<，满足3tan 3θ=， 所以直线333y x =+的倾斜角为30 故选：B【点睛】本题考查根据直线的方程求直线的倾斜角，是基础题. 7. 若经过两点()4,21A y +、()2,3B -直线的倾斜角为34π，则y 等于（ ）A. 1-B. 2C. 0D. 3-【★答案★】D 【解析】 【分析】由直线AB 的倾斜角得知直线AB 的斜率为1-，再利用斜率公式可求出y 的值. 【详解】由于直线AB 的倾斜角为34π，则该直线的斜率为3tan 14π=-， 由斜率公式得()2132142y y ++=+=--，解得3y =-，故选D.【点睛】本题考查利用斜率公式求参数，同时也涉及了直线的倾斜角与斜率之间的关系，考查计算能力，属于基础题. 8. 已知351,,22a ⎛⎫=-⎪⎝⎭，153,,2b λ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭满足//a b ，则λ等于（ ） A.23 B.92C. 92-D. 23-【★答案★】B 【解析】 【分析】根据空间向量的共线可得★答案★.【详解】因为351,,22a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，153,,2b λ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,因为//a b ，所以a tb =，即351513,,222t t t λ=--==-， 得13t =-， 92λ=. 故选：B.【点睛】本题考查空间向量平行的坐标表示，属于基础题.9. 在棱长为2的正方体1111—ABCD A B C D 中，O 是底面ABCD 的中点，E ，F 分别是1CC ，AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于（ ）A.427B.155C.33D.63【★答案★】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，分别用坐标表示出1,FOE D，然后计算出向量夹角的余弦值，由此可求解出异面直线OE和1FD所成的角的余弦值.【详解】建立空间直角坐标系如图所示：所以()()11,1,1,1,0,2FOE D=-=-，所以111315cos,535FDOEOEOEFDFD⋅<>===⋅，所以异面直线OE和1FD所成的角的余弦值为155，故选：B.【点睛】本题考查利用向量方法求解异面直线所成角的余弦值，难度一般.异面直线所成角的向量求解方法：根据直线方向向量夹角的余弦值求解出异面直线所成角的余弦值，从而异面直线所成角可求.10. 已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么3a b-等于（）A. 7B. 10C. 13D. 4【★答案★】A【解析】【分析】先根据题意求出21a =，21b =，12a b ⋅=，再求出237a b =-，最后求3a b -即可.【详解】解：因为a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60︒，所以21a =，21b =，111cos602a b ⋅=⨯⨯=， 2221639169172a b a a b b -⋅+=-=-⨯+⨯=，所以73a b =-故选：A【点睛】本题考查根据数量积的运算求模、数量积的运算，是基础题.二、填空题（共7题，每题5分，共35分）11. 若向量()1,1,2a =，()1,2,1b =，()1,1,1c =，则()()2c a b -⋅=_________. 【★答案★】2- 【解析】 【分析】根据坐标运算先求解出,2c a b -，再利用坐标形式下空间向量的数量积计算公式求解出()()2c a b -⋅的值.【详解】因为()()0,0,1,22,4,2c a b -=-=，所以()()()20022c a b -⋅=++-=-， 故★答案★为：2-.【点睛】本题考查空间向量的数量积计算，主要考查学生对空间向量的数量积计算公式的运用，难度较易.已知()()111222,,,,,a x y z b x y z ==，则121212a b x x y y z z ⋅=++. 12. 若已知5a =，4b =，且10a b ⋅=，则向量a 与b 的夹角为_________. 【★答案★】3π 【解析】 【分析】根据数量积的计算公式求解出cos ,a b <>的值，从而,a b <>可求. 【详解】因为cos ,10a b a b a b ⋅=<>=，且5a =，4b =，所以1cos ,2a b <>=，所以,3a b π<>=， 故★答案★为：3π.【点睛】本题考查求解向量夹角，主要考查学生对数量积计算公式的运用，难度较易. 13. 经过点()2,3A ，()1,1B -两点的直线的斜率为_________.【★答案★】4 【解析】 【分析】根据两点对应的斜率的计算公式求解出直线的斜率. 【详解】因为()2,3A ，()1,1B -，所以()31421k --==-，故★答案★为：4.【点睛】本题考查根据两点的坐标求直线的斜率，难度容易.已知()()()112212,,,A x y B x y x x ≠，则2121y y k x x -=-.14. 已知平面α和平面β的法向量分别为()1,1,2a =，(),2,3b x =-，且αβ⊥，则x =_________. 【★答案★】4- 【解析】 【分析】根据平面垂直对应的法向量也垂直，从而法向量的数量积为0，由此求解出x 的值. 【详解】因为αβ⊥，所以a b ⊥，所以0a b ⋅=， 所以260x -+=，所以4x =-， 故★答案★为：4-.【点睛】本题考查根据向量垂直求解参数值，难度较易.平面,αβ互相垂直，则两个平面的法向量也互相垂直；若平面,αβ互相平行，则两个平面的法向量共线. 15. 过点()1,0M 倾斜角为45︒的直线方程为_________. 【★答案★】10x y --= 【解析】【分析】根据条件求解出直线的斜率，然后写出直线的点斜式方程，最后将其转化为一般式方程. 【详解】因为直线的倾斜角为45︒，所以直线的斜率tan 451k =︒=， 所以直线的方程为：()011y x -=⋅-，即10x y --=， 故★答案★为：10x y --=. 【点睛】本题考查直线方程的求解，难度较易.已知直线上一点和直线的斜率可求解出直线的点斜式方程.16. 棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，直线1DD 与平面1ABD 所成角为________.【★答案★】45︒ 【解析】 【分析】取1AD 中点E ，利用垂直关系证明1DD E ∠即为所求角，并求解出角的大小. 【详解】如图所示，取1AD 中点E ，连接DE ，因为四边形11AA D D 为正方形，所以1DE AD ⊥，又因为AB ⊥平面11AA D D ，所以AB DE ⊥，且1DEAD E =，所以DE ⊥平面1ABD ，所以直线1DD 与平面1ABD 所成角即为1DD E ∠，且145DD E ∠=︒， 故★答案★为：45︒.【点睛】本题考查求解线面角的大小，解答问题的关键是通过垂直关系找到线面角是哪一个角，难度一般.本例还可以根据线面角的向量求法进行求解：通过直线的方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值求得线面角的正弦值，从而线面角可求.17. 棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1BD 的中点，则CE 的长为________.【★答案★】32【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，写出,C E 的坐标，利用空间中两点间的距离公式求解出CE 的长度. 【详解】建立空间直角坐标系如图所示：所以()111,,,0,1,0222E C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以22211130102222CE ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故★答案★为：32. 【点睛】本题考查空间中距离公式的运用，难度较易.已知()()111222,,,,,A x y z B x y z ，则()()()222121212AB x x y y z z =-+-+-.三、解答题18. 根据条件，求出下列直线的方程： （1）经过点()1,2A 倾斜角为45︒； （2）经过点()0,5A，()5,0B .【★答案★】（1）10x y -+=；（2）50x y +-=. 【解析】 【分析】（1）先求解出直线的斜率，然后根据直线的点斜式方程求解出直线的方程； （2）直接假设直线的截距式方程求解出直线的方程.【详解】（1）因为直线的倾斜角为45︒，所以直线的斜率tan 451k =︒=， 所以直线的方程为：()211y x -=⋅-，即10x y -+=； （2）设直线的方程为()10x yab a b+=≠，因为直线过点()0,5A ，()5,0B ， 所以5a b ==，所以直线方程为50x y +-=.【点睛】本题考查根据条件求解直线的方程，难度较易.求解直线方程时，要注意根据条件判断选用哪一种直线的方程去求解更容易.19. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，2AC CB ==，122AA =，且AC CB ⊥，1AA ⊥底面ABC ，E 为AB 中点，点P 为1B B 上一点.（1）求证：1//BC 平面1A CE ；（2）求平面1A CE 与平面CEB 夹角的余弦值.【★答案★】（1）详见解析；（2）55-. 【解析】【分析】 （1）连接1AC 与1A C 交于点O ，连接OE ，得到1//OE BC ，再利用线面平行的判定定理证明即可；（2）根据AC CB ⊥，1AA ⊥底面ABC ，建立空间直角坐标系，求得平面1A CE 的一个法向量(),,m x y z =，再根据1CC ⊥底面ABC ，得到()10,0,22CC =平面CEB 一个法向量，然后由111cos ,CC m CC m CC m ⋅=⋅求解.【详解】（1）如图所示：连接1AC 与1A C 交于点O ，连接OE ，所以1//OE BC ，又OE ⊂平面1A CE ，1BC ⊄平面1A CE ，所以1//BC 平面1A CE ；（2）由AC CB ⊥，1AA ⊥底面ABC ，建立如图所示空间直角坐标系：则()()()()12,0,22,0,0,0,1,1,0,0,2,0A C E B ，所以()()11,1,0,2,0,22CE CA ==，设平面1A CE 的一个法向量为：(),,m x y z =， 则100CE m CE CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即02220x y x z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 令1x =，则21,1,2m ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭， 因为1CC ⊥底面ABC ，所以()10,0,22CC =平面CEB 一个法向量， 所以1115cos ,5CC m CC m CC m ⋅==-⋅， 由图知二面角为钝角，所以平面1A CE 与平面CEB 夹角的余弦值为55-. 【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理以及空间向量法求二面角问题，还考查了转化化归思想和逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点.（1）证明BE DC ⊥（2）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求平面FAB 与平面ABP 夹角的余弦值. 【★答案★】（1）证明过程见详解；（2）33：（3）31010. 【解析】【分析】（1）可以建立空间直角坐标系，利用向量数量积来证明BE DC ⊥； （2）向量法：先求平面PBD 的法向量n ，然后利用公式sin cos ,n BEn BE n BE θ⋅==⋅求直线BE与平面PBD 所成角的正弦值；（3）向量法：先求平面ABF 和平面PBA 的法向量12,n n ，再利用公式121212cos ,n n n n n n ⋅=⋅来求二面角F AB P --的余弦值．【详解】依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系（如图），可得(1,0,0),(2,2,0)B C ，(0,2,0),(0,0,2)D P ，由点E 为棱PC 的中点，得()1,1,1E ．（1）向量()0,1,1BE =，()2,0,0DC =，故0BE DC ⋅=． ∴BE CD ⊥．（2）向量(1,2,0),(1,0,2)BD PB =-=-，设(),,n x y z =为平面PBD 的法向量，则00n BD n PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2020x y x z -+=⎧⎨-=⎩， 不妨令1z =，可得()2,1,1n =为平面PBD 的一个法向量． 于是有23cos ,3||||62n BE n BE n BE ⨯〈〉===⨯⨯， ∴直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33． （3）()2,2,2,(2,2,0),(1,0,0),CP AC AB =--==，由点F 在棱PC 上，故(12,22,2)BF BC CF BC lCP l l l =+=+=--， 由BF AC ⊥，得+22(12)(22=0)l l --，解得34l =，即113,,222BF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 设1(,,)n x y z =为平面ABF 的法向量，则1100n AB n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即01130222x x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩，不妨令1z =，可得1(0,3,1)n =-为平面ABF 的一个法向量．取平面PAB 的法向量2(0,1,0)n =，则1212123310cos ,1010n n n n n n ⋅-===-⋅． 易知二面角F AB P --是锐角，∴其余弦值为31010． 【点睛】本题考查利用空间向量证明线线垂直、利用空间向量求线面所成的角、利用空间向量求面面所成的角.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.是中档题感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。
天津市高二上学期1月阶段测试(期末)数学试题(解析版)
一、单选题1．图中的直线的斜率分别为，则有（ ）123,,l l l 123,,k k kA ．B ． 123k k k <<123k k k >>C ．D ．132k k k <<312k k k <<【答案】C【分析】根据直线斜率的概念，结合图象，可直接得出结果. 【详解】由图象可得，， 1320k k k <<<故选：C2．是首项和公比均为3的等比数列，如果，则n 等于（ ）．{}n a 20233n a =A ．2020 B ．2021 C ．2022 D ．2023【答案】D【分析】根据题意求出通项公式即可得出答案.{}n a 【详解】根据题意可知的通项公式为，当时，{}n a 3nn a =20233n a =2023n =故选：D3．椭圆的离心率是（ ）22194x y +=A ．BC ．D ．594923【答案】B【分析】求出、的值，可得出椭圆的离心率的值.a c【详解】在椭圆中，，，则，22194x y +=3a =2b =c =因此，椭圆的离心率为22194x y +=c e a ==故选：B.4．在等差数列中，，则（ ）．{}n a 376a a +=28a a +=【答案】C【分析】应用等差数列项数相同且下标和相等的性质即可确定答案. 【详解】由等差数列的性质知：. 28a a +=376a a +=故选：C.5．已知点，，则直线的倾斜角为（ ） ()20A，(B AB A ．30 B ．60C ．120D ．150︒︒︒︒【答案】B【分析】求出直线的斜率即得解. AB 【详解】解：由题得直线的斜率，AB k ==设直线的倾斜角为，tan [0,180)ααα∴=∈ ，所以. =60α 故选：B6．双曲线的渐近线方程是（ ）．221169x y -=A ． B ． C ． D ．916y x =±169y x =±34y x =±43y x =±【答案】C【分析】根据双曲线的标准方程可直接得出该双曲线的渐近线方程.【详解】在双曲线中，，，因此，该双曲线的渐近线方程为.221169x y -=4a =3b =34=±=±b y x x a 故选：C.7．在数列中，，（，），则（ ）{}n a 112a =111n n a a -=-2n ≥N n +∈2023a =A ． B ．1C ．D ．2121-【答案】A【分析】利用数列的递推公式求出数列的前4项，推导出为周期数列，从而得到的值 {}n a {}n a 2023a 【详解】，，， 2111121a a =-=-=-3211112a a =-=+=431111122a a =-=-=可得数列是以3为周期的周期数列，， {}n a 202336741112a a a ⨯+∴===故选：A8．已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为24x y =A A【答案】D【详解】试题分析：抛物线焦点在轴上，开口向上，所以焦点坐标为，准线方程为24x y =y (0,1)，因为点A 的纵坐标为4，所以点A 到抛物线准线的距离为，因为抛物线上的点到1y =-415+=焦点的距离等于到准线的距离，所以点A 与抛物线焦点的距离为5.【解析】本小题主要考查应用抛物线定义和抛物线上点的性质抛物线上的点到焦点的距离，考查学生的运算求解能力.点评：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，这条性质在解题时经常用到，可以简化运算.9．如图，在三棱锥中，点为棱的中点，点在棱上，且满足，设-P ABC N AP M BC 2CM BM =，则（ ）,,PA a PB b PC c ===MN =A ．B ．121233a b c -- 121233a b c +-C ．D ．121233a b c -+- 121233a b c --+ 【答案】A【分析】根据空间向量基本定理结合空间向量的线性运算即可得解.【详解】因为点为棱的中点，，设，N AP 2CM BM =,,PA a PB b PC c ===所以1132MN MB BP PN CB PB PA =++=-+ . ()1112132232311233PB PC PB PA PA PB PC a b c --+===----故选：A.10．已知，是双曲线（，）的左、右焦点，点关于渐近线的对称点恰1F 2F 22221x ya b-=0a >0b >1F 好落在以为圆心，为半径的圆上，则该双曲线的离心率为（ ） 2F 2OFA B C ．D21【答案】C【分析】先求解F 1到渐近线的距离，结合OA ∥F 2M ，可得∠F 1MF 2为直角，结合勾股定理可得解 【详解】由题意,F 1(−c ,0),F 2(c ,0)，设一条渐近线方程为y =x ,则F 1. b a b =设F 1关于渐近线的对称点为M ,F 1M 与渐近线交于A ,∴|MF 1|=2b , A 为F 1M 的中点，又O 是F 1F 2的中点, ∴OA ∥F 2M ,∴∠F 1MF 2为直角， ∴△MF 1F 2为直角三角形， ∴由勾股定理得4c 2=c 2+4b 2 ∴3c 2=4(c 2−a 2),∴c 2=4a 2， ∴c =2a ，∴e =2. 故选：C二、填空题11．已知直线与平行，则的值为__________. 1:210l x my ++=2:310l x y --=m 【答案】23-【分析】根据给定条件利用两直线平行是性质列式计算即可. 【详解】因为直线与平行， 1:210l x my ++=2:310l x y --=所以当时，两条直线不平行，不符合题意； 0m =当时，，解得. 0m ≠23m -=23m =-故答案为：.23-12．已知圆与相交于A ，B 两点，则直线的方程是222450x y x y ++--=22210x y x ++-=AB __________． 【答案】10y +=【分析】根据两相交圆与公共弦关系，两相交圆方程相减所得方程即是公共弦方程．【详解】两圆方程相减，得()2222212450x y x x y x y ++--++--=10y +=故答案为：10y +=13．数列的前项和，则_____.{}n a n 2,*n S n n n N =+∈n a =【答案】2n【分析】根据来求得数列的通项公式.11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩{}n a 【详解】当时，，1n =112a S ==当时，. 2n ≥()()221112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎣⎦当时上式也符合， 1n =所以. 2n a n =故答案为：2n 14．等比数列是递减数列，前n 项的积为，若，则________． {}n a n T 1394T T =815a a =【答案】2【分析】由题意可得，且，由条件可得，化简得01q <<0n a >12131294a a a a a a ⋯=⋯101112134a a a a =，再由，求得的值．81510131112a a a a a a ⋅==815a a ⋅【详解】解：等比数列是递减数列，其前项的积为，若，设公比为，{}n a n *(N )n T n ∈1394T T =q 则由题意可得，且．01q <<0n a >，．12131294a a a a a a ∴⋯=⋯101112134a a a a ∴=又由等比数列的性质可得，． 81510131112a a a a a a ⋅==8152a a ∴⋅=故答案为：2．15．已知分别是，上的两个动点，点是直,A B 221:(1)(3)1C x y -+-=A 222:(5)(1)4C x y ++-=A M 线上的一个动点，则的最小值为_____________. 0x y -=||||MA MB +【答案】5【分析】运用数形结合思想，画图确定最值位置，再求解最小值即可. 【详解】如图，圆是圆关于直线 的对称圆，3C 1C 0x y -=所以圆的方程为，圆心为 ，且由图知，3C ()()22311x y -+-=()33,1C1MA MB MA MB +=+五点共线时， 有最小值， 213,,,,C B M A C∴1MA MB +此时， ()231235min MA MB C C +=--==所以的最小值为5. MA MB +故答案为：5.三、解答题16．已知等差数列满足，其前项和；数列是单调递增的等比数列，且满{}n a 59a =1111121S ={}n b 足，.149b b +=238b b =(1)求数列和的通项公式． {}n a {}n b (2)求数列的前项和．{}n b n n T 【答案】(1)，()21n a n n *=-∈N ()12n n b n -*=∈N (2)21nn T =-【分析】（1）设数列的公差为，由已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的{}n a d 1a d 值，可得出等差数列的通项公式，根据等比数列的单调性与基本性质可求得、的值，可求{}n a 1b 4b 得等比数列的公比，进而可得出数列的通项公式； {}n b {}n b （2）利用等比数列的求和公式可求得.n T 【详解】（1）解：设数列的公差为，由已知可得，解得， {}n a d 51111491110111212a a d dS a =+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩112a d =⎧⎨=⎩所以，．()()1121n a a n d n n *=+-=-∈N 因为数列是单调递增的等比数列，由已知可得，解得，{}n b 1423141498b b b b b b b b+=⎧⎪==⎨⎪<⎩1418b b =⎧⎨=⎩所以，数列的公比为，所以． {}n b 2q ==()1112n n n b b q n --*=⋅=∈N （2）解：. ()111221112n n n n b q T q--===---17．已知圆，直线． 22:240C x y y +--=()10l mx y m m -+-∈R ：＝(1)写出圆的圆心坐标和半径，并判断直线与圆的位置关系；C l C (2)设直线与圆交于A 、两点，若直线的倾斜角为120°，求弦的长． l C B l AB【答案】(1)圆心与圆相交； ()0,1l﹒【分析】（1）将圆的方程化为标准方程即可求其圆心C 和半径r ，求出直线l 经过的定点，判断定点与圆的位置关系即可判断l 与圆的位置关系；（2）求出圆心到直线的距离d ，根据 AB =【详解】（1）由题设知圆：， C ()2215x y +-=∴圆的圆心坐标为C ，半径为rC ()0,1又直线可变形为：，则直线恒过定点， l ()11y m x -=-()1,1M ∵，()2211115+-=<∴点在圆内，故直线必定与圆相交． M C l （2）由题意知，0m ≠∴直线l 的斜率，k m =tan120=︒=∴圆心到直线的距离， C ()0,1l 10y +=d ==∴． ||AB ===18．已如数列的前项和为，，当时，． {}n a n n S 112a =2n ≥11n n n n S S S S --=-(1)证明数列为等差数列，并求；1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n S(2)求数列的前项和为．2n n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 【答案】(1)证明见解析， 11n S n =+(2)12n n T n +=⋅【分析】（1）由可得，即可证明数列是以为首项，为公差的等11n n n n S S S S --=-1111n n S S --=1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭21差数列，从而求出；n S （2）由（1）知，利用错位相减法计算可得.2(1)2n nnn S =+⋅【详解】（1）解：当时，由，得，2n ≥11n n n n S S S S --=-1111n n S S --=所以数列是以为首项，为公差的等差数列． 1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭11112S a ==1所以，即． 11n n S =+11n S n =+（2）解：由（1）知，2(1)2n nnn S =+⋅所以，①2122322(1)2n nn T n n -=⨯+⨯++⨯++⨯ 所以，② 231222322(1)2n n n T n n +=⨯+⨯++⨯++⨯ ①②得-()2314222(1)2n n n T n +-=++++-+⋅ ，()111424(1)22n n n n n +++=+--+⋅=-⋅所以．12n n T n +=⋅19．如图，在直三棱柱中，，，．111ABC A BC -AC BC ⊥1BE EB =122AB CC BC ===(1)证明：；1AC C E ⊥(2)求直线与平面所成角的正弦值； 1BB 1AEC (3)求平面与平面的夹角的余弦值． 1AEC ABE 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系C 1,,CA CB CC x y z ，，，利用坐标法证明即可； C xyz -（2）根据空间向量坐标法求解即可； （3）根据空间向量坐标法求解即可；【详解】（1）解：依题意，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空C 1,, CA CB CC x y z ，，间直角坐标系，如图，C xyz -则．1112),(0,1,0),(0,1,2),(0,0,2),(0,1,1)A A B B C E，1(0,1,1)CA C E ==-因为， 10CA C E ⋅= 所以．1AC C E ⊥（2）解：结合（1）得，11(2),((0,0,2)AC AE BB ===设平面的法向量为， 1AEC ()111,,m x y z =则111111200m AC z m AE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩ 令，得．12x=m =设直线与平面所成角为，则1BB 1AEC θ111sin cos ,||BB m BB m BB m θ⋅===⋅所以直线与平面 1BB 1AEC （3）解：结合（1），(0,0,1)BE =设平面的法向量为， ABE ()222,,x n y z =则 22220,0,n BE z n AE y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩ 令，则，21x=n = 由（2）知平面的法向量为1AEC m =设平面和平面的夹角为，AEF EFC α则． ||cos |cos ,|m n m n m n α⋅====所以，平面与平面AEF EFC 20．已知椭圆上任意一点到两个焦点，的距离的和为2222:1(0)xy C a b a b +=>>1(F 2F 4．经过点且不经过点的直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线与直线交于点(1,0)D (1,1)M MQ 4x =E ，直线与直线交于点N ． PE MD (1)求椭圆C 的标准方程； (2)求证：的面积为定值．EMN A 【答案】(1)2214x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据焦点坐标得出，根据的关系得出c =24a =a b c 、、b ，即可得出椭圆方程；（2）直线方程为，点，，联立方程根据韦达定理得出，PQ 1(0)x ty t =+≠()11,P x y ()22,Q x y 12y y +，设直线的方程为，得出点的坐标，即可得出直线的方程，得出12y y MQ 2211(1)1y y x x --=--E PE 点的纵坐标，即可得出，即可得出答案.N ||MN 【详解】（1）由焦点坐标可知c =因为任意一点到两个焦点的距离的和为4，12(F F 所以，可得，24a =24a =又，可得，222a b c =+21b =所以椭圆C 的标准方程为． 2214x y +=（2）由题意知直线斜率一定存在，设直线方程为，点，，PQ PQ 1(0)x ty t =+≠()11,P x y ()22,Q x y 联立方程，消去得， 22144x ty x y =+⎧⎨+=⎩x ()224230t y ty ++-=则，， 12224t y y t +=-+12224y y t =-+设直线的方程为，则，即， MQ 2211(1)1y y x x --=--222341E y x y x +-=-222344,1y x E x ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭所以直线的方程为， PE ()22121113414y x y x y y x x x +----=--可得， ()222211112212111122343313313433N y x y ty x y ty y x ty ty y y y x ty ty y y +-+---⋅---===---． 222222222323334441333344t t t y y t t t t t y y t t ⎛⎫----+ ⎪++⎝⎭+===-----++所以． 1||332EMN S MN =⨯=△。
2020-2021学年天津某校高二(上)第一次月考数学试卷
2020-2021学年天津某校高二（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分。
共30分.）1. 下列说法错误的是（ ）A.设a →，b →是两个空间向量，则a →，b →一定共面 B.设a →，b →是两个空间向量，则a →⋅b →=b →⋅a →C.设a →，b →，c →是三个空间向量，则a →，b →，c →一定不共面 D.设a →，b →，c →是三个空间向量，则a →⋅(b →+c →)=a →⋅b →+a →⋅c →【答案】 C【考点】命题的真假判断与应用 【解析】由向量的平移可判断A ，C ；由向量数量积满足交换律、分配律可判断B ，D ． 【解答】A ，设a →，b →是两个空间向量，则a →，b →一定共面，正确，因为向量可以平移； B ，设a →，b →是两个空间向量，则a →⋅b →=b →⋅a →，正确，因为向量的数量积满足交换律； C ，设a →，b →，c →是三个空间向量，则a →，b →，c →一定不共面，错误，因为任何向量都可以平移为共面向量；D ，设a →，b →，c →是三个空间向量，则a →⋅(b →+c →)=a →⋅b →+a →⋅c →，正确，因为向量的数量积满足乘法对加法的分配律．2. 在空间直角坐标系中，已知点A(4, −3, 5)，B(−2, 1, −7)，则线段AB 的中点坐标是（ ） A.(2, −2, −2)B.(1, −1, −1)C.(1, 1, 1)D.(2, 2, 2)【答案】 B【考点】空间中的点的坐标 【解析】利用中点坐标公式直接求解． 【解答】在空间直角坐标系中，点A(4, −3, 5)，B(−2, 1, −7)，则线段AB 的中点坐标是(1, −1, −1)．3. 如图，在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，若BD 1→=xAB →+yAD →+zAA 1→，则(x, y, z)=( )A.(−1, 1, 1)B.(1, −1, 1)C.(1, 1, −1)D.(−1, −1, −1)【答案】 A【考点】空间向量的正交分解及其坐标表示 空间向量的基本定理及其意义 向量的线性运算性质及几何意义 空间向量 【解析】利用向量的加法公式，对向量BD 1→进行分解，进而求出x ，y ，z 的值． 【解答】BD 1→＝BB 1→+B 1D 1→，又因BB 1→＝AA 1→，B 1D 1→＝BD →＝AD →−AB →， ∴ BD 1→＝AA 1→+AD →−AB →=xAB →+yAD →+zAA 1→， ∴ x =−1，y =1，z =1，4. 如图，在单位正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→为坐标向量建立空间直角坐标系，则平面A 1BC 1的法向量是（ ）A.(1, 1, 1)B.(−1, 1, 1)C.(1, −1, 1)D.(1, 1, −1)【答案】 A【考点】 平面的法向量 【解析】以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→为坐标向量建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面A 1BC 1的法向量． 【解答】在单位正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→为坐标向量建立空间直角坐标系， A 1(1, 0, 1)，B(1, 1, 0)，C 1(0, 1, 1)， BA 1→=(0, 1, −1)，BC 1→=(−1, 0, 1)， 设平面A 1BC 1的法向量是n →=(x, y, z)，则{n →⋅BC 1→＝−x +z ＝0˙，取x =1，得n →=(1, 1, 1)， ∴ 平面A 1BC 1的法向量是(1, 1, 1)．5. 已知空间向量a →=(3, 0, 4)，b →=(−3, 2, 5)，则向量b →在向量a →上的投影向量是（ ） A.1125(−3, 2, 5)B.1138(−3, 2, 5)C.1125(3, 0, 4)D.1138(3, 0, 4)【答案】 B【考点】空间向量的数量积运算 【解析】由向量b →在向量a →上的投影向量为|a →|cos <a →，b →>b→|b →|，计算即可求出答案．【解答】向量a →=(3, 0, 4)，b →=(−3, 2, 5)， 则|a →|=5，|b →|=√38，a →⋅b →=11， 所以向量b →在向量a →上的投影向量为|a →|cos <a →，b →>b→|b →|=|a →||a →||b →|˙b→|b →|=5×5×√38→√38=1138b →=1138(−3, 2, 5)．6. 已知两条异面直线的方向向量分别是u →=(3, 1, −2)，v →=(3, 2, 1)，则这两条异面直线所成的角θ满足（ ） A.sin θ=914B.sin θ=14C.cos θ=914D.cos θ=14【答案】C【考点】异面直线及其所成的角 【解析】由已知两条异面直线的方向向量的坐标，然后利用数量积求夹角公式得答案． 【解答】∵ 两条异面直线的方向向量分别是u →=(3, 1, −2)，v →=(3, 2, 1)， ∴ u →⋅v →＝3×3+1×2+(−2)×1＝9，|u →|＝√32+12+(−2)2＝√14，|v →|＝√32+22+12＝√14，又两条异面直线所成的角为θ，则cos θ=|cos <u →，v →>|=|u →|⋅|v →|˙=√14⋅√14914．7. 已知平面α={P|n →⋅P 0P →=0}，其中点P 0(1, 2, 3)，法向量n →=(1, 1, 1)，则下列各点中不在平面α内的是（ ） A.(3, 2, 1) B.(−2, 5, 4) C.(−3, 4, 5) D.(2, −4, 8)【答案】 B【考点】 平面的法向量 【解析】结合各个选项分别求出P 0P →，计算n →⋅P 0P →的值是否为0，从而得出结论．【解答】对于B ，P 0P →=(−3, 3, 1)，n →⋅P 0P →=1×(−3)+1×3+1×1=1≠0，故选项B 不在平面α内（1）对于C ，P 0P →=(−4, 2, 2)，n →⋅P 0P →=1×(−4)+1×2+1×2=0，故选项C 在平面α内（2）对于D ，P 0P →=(1, −6, 5)，n →⋅P 0P →=1×1+1×(−6)+1×5=0，故选项D 在平面α内． 故选：B ．8. 定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值，则在单位正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，直线AC 与BC 1之间的距离是（ ） A.√22B.√33C.12D.13【答案】 B【考点】点、线、面间的距离计算 【解析】在AC 上任取点M ，作MN ⊥BC 1，设设AM →=λAC →，BN →=μBC 1→，根据MN →⊥BC 1→得出λ和μ的关系，从而可得|MN →|关于μ（或λ）的函数关系，再求出此函数的最小值即可． 【解答】设M 为直线AC 上任意一点，过M 作MN ⊥BC 1，垂足为N ，设AM →=λAC →=λAB →+λAD →，BN →=μBC 1→=μAD →+μAA 1→，则MN →=AN →−AM →=AB →+BN →−AM →=(1−λ)AB →+(μ−λ)AD →+μAA 1→， BC 1→=AD →+AA 1→，∵ MN ⊥BC 1，∴ MN →⋅BC 1→=0，即[(1−λ)AB →+(μ−λ)AD →+μAA 1→]•(AD →+AA 1→)=0， ∴ (μ−λ)AD →2+μAA 1→2=0，即μ−λ+μ=0，∴ λ=2μ，∴ MN →=(1−2μ)AB →−μAD →+μAA 1→，∴ |MN →|=√(1−2μ)2+μ2+μ2=√6μ2−4μ+1=√6(μ−13)2+13，∴ 当μ=13时，|MN →|取得最小值√13=√33， 故直线AC 与BC 1之间的距离是√33．9. 直线√3x −y +2=0的倾斜角为（ ） A.30∘B.60∘C.120∘D.150∘【答案】B【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系 【解析】先求出直线的斜率，再根据倾斜角与斜率的关系及倾斜角的范围，求出倾斜角的大小． 【解答】直线√3x −y +2＝0的斜率等于√3，又因为直线的斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角大于或等于0度小于180度， 故直线的倾斜角为60∘，10. 如果AB >0，BC >0，那么直线Ax −By −C =0不经过的象限是（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】 B【考点】直线的一般式方程与直线的性质 【解析】化直线的方程为斜截式，由已知条件可得斜率和截距的正负，可得答案． 【解答】解：由题意可知B ≠0，故直线的方程可化为y =AB x −CB ， 由AB >0，BC >0可得AB>0，−CB<0，由斜率和截距的几何意义可知直线不经过第二象限. 故选B .二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）已知空间向量a →=(1, 0, 2)，b →=(−2, 1, 3)，则a →−2b →=________． 【答案】 (5, −2, −4) 【考点】向量的线性运算性质及几何意义 空间向量空间向量的概念【解析】根据向量的坐标运算计算即可． 【解答】∵ a →=(1, 0, 2)，b →=(−2, 1, 3)， ∴ a →−2b →=(1, 0, 2)−2(−2, 1, 3) =(5, −2, −4)，已知空间向量a →=(−2, 1, 5)，b →=(1, 3, −4)，则a →⋅b →=________． 【答案】 −19【考点】空间向量的数量积运算 【解析】根据空间向量数量积的坐标运算，计算即可． 【解答】空间向量a →=(−2, 1, 5)，b →=(1, 3, −4)， 所以a →⋅b →=−2×1+1×3+5×(−4)=−19．已知空间向量a →=(1, −2, 3)，则向量a →在坐标平面Oxy 上的投影向量是________． 【答案】 (1, −2, 0) 【考点】空间向量的数量积运算 【解析】根据空间中点的坐标确定方法，结合空间向量的坐标表示，写出结论即可． 【解答】根据空间中点的坐标确定方法知，空间中点A(1, −2, 3)在坐标平面Oxy 上的投影坐标，竖坐标为0，横坐标与纵坐标不变． 所以空间向量a →=(1, −2, 3)在坐标平面Oxy 上的投影坐标是：(1, −2, 0)．如图，长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =4，BC =2，CC 1=3，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1为坐标轴建立空间直角坐标系，则平面D 1EF 的一个法向量是________．【答案】 (−6, 3, 2) 【考点】 平面的法向量 【解析】根据条件可得D 1E →=(1, 4, −3)，D 1F →=(0, 2, −3)，设平面D 1EF 的一个法向量是n →=(x, y, z)，由{n →⋅D 1F →＝2y −3z ＝0˙，能求出平面D 1EF 的一个法向量．【解答】解：由题意得，D 1(0, 0, 3)，E(1, 4, 0)，F(0, 2, 0)， 所以D 1E →=(1, 4, −3)，D 1F →=(0, 2, −3). 设平面D 1EF 的一个法向量是n →=(x, y, z)， 则{n →⋅D 1E →＝x +4y −3z ＝0,n →⋅D 1F →＝2y −3z ＝0,取y =3，则n →=(−6, 3, 2)，所以平面D 1EF 的一个法向量是(−6, 3, 2). 故答案为：(−6, 3, 2).在三棱锥PABC 中，G 为△ABC 的重心，设PA →=a ，PB →=b ，PC →=c ，则PG →=________（用a ，b ，c 表示）．【答案】 13(a →+b →+c →) 【考点】空间向量的加减法 【解析】利用三角形重心的性质定理、三角形法则、向量的线性运算即可得出． 【解答】解：如图，取BC 的中点D ， ∵ G 为△ABC 的重心，则在△ABC 中，AG →=23AD →=23×12(AB →+AC →)=13(AB →+AC →)． ∴ PG →−PA →=13(PB →−PA →+PC →−PA →) ∴ PG →=13PA →+13PB →+13PC →=13(a →+b →+c →)．故答案为：13(a →+b →+c →)．已知矩形ABCD ，AB =20，BC =15，沿对角线AC 将△ABC 折起，使得BD =√481，则二面角B −AC −D 的大小是________. 【答案】2π3【考点】用空间向量求平面间的夹角 【解析】作出二面角的平面角，建立空间坐标系，设二面角为α，表示出B ，D 两点坐标，根据距离公式列方程解出α． 【解答】解：在矩形ABCD 中，作DE ⊥AC 于点O ，交AB 于点E ，作BF ⊥AC 于点F ，∵ AB =20，BC =15， ∴ AC =√202+152=25， ∴ DO =BF =20×1525=12，AO =CF =√152−122=9，∴ OF =25−9×2=7，在翻折后，以O 为原点，以OE ，OC 所在直线为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系O −xyz ，则∠DOE为二面角B−AC−D的平面角，设∠DOE=α(0<α<π)，则D(12cosα, 0, 12sinα)，B(12, 7, 0)，∴|BD|=√(12cosα−12)2+49+144sin2α=√337−288cosα=√481，∴cosα=−12，∴α=2π3.故答案为：2π3.直线ax+2y+6=0与直线x+(a−1)y+a2−1=0平行，则两直线间的距离为________．【答案】6√55【考点】两条平行直线间的距离【解析】直接利用两直线平行的充要条件的应用和平行线间的距离公式的应用求出结果．【解答】直线ax+2y+6=0与直线x+(a−1)y+a2−1=0平行，则a(a−1)−2=0，即a2−a−2=0，解得a=2或−1．当a=2时，两直线重合，故a=−1，所以两平行线间的距离d=√1+226√5 5已知点A(−3, 4)，B(2, 2)，直线mx+y+m+2=0与线段AB相交，则m的范围为________．【答案】[3, +∞)∪(−∞, −4 3 ]【考点】直线的斜率 【解析】先求出PA 的斜率和PB 的斜率，可得m 的范围． 【解答】直线mx +y +m +2=0，即m(x +1)+y +2=0，它经过定点P(−1, −2)，斜率为−m ，PA 的斜率为4+2−3+1=−3，PB 的斜率为 2+22+1=43， ∵ 直线mx +y +m +2=0与线段AB 相交， ∴ −m ≤−3 或−m ≥43，求得m ≥3 或m ≤−43，三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骧）求经过直线l 1:3x +4y −5=0，l 2:2x −3y +8=0的交点M ，且满足下列条件的直线的方程．（1）经过点P(1, 3)；（2）与直线2x +y +5=0平行；（3）与直线2x +y +5=0垂直． 【答案】由{3x +4y −5＝02x −3y +8＝0，求得{x ＝−1y ＝2，可得直线l 1:3x +4y −5=0，l 2:2x −3y +8=0的交点M(−1, 2)．∵ 直线还经过点P(1, 3)，故它的方程为y−23−2=x+11+1，即 x −2y +5=0．根据所求直线与直线2x +y +5=0平行，可设它的方程为2x +y +m =0， 再把点M(−1, 2)代入，可得−2+2+m =0，求得m =0，故所求的直线的方程为 2x +y =0．根据所求直线与直线2x +y +5=0垂直，可设它的方程为x −2y +n =0，再把点M(−1, 2)代入，可得−1−4+n =0，求得n =5，故所求的直线的方程为x −2y +5=0．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系 直线的一般式方程与直线的平行关系【解析】（1）把两条直线的方程联立方程组，则方程组的解即为交点M 的坐标，再用两点式求出直线的方程．（2）由题意利用两条直线平行的性质，用待定系数法求出直线的方程． （3）由题意利用两条直线垂直的性质，用待定系数法求出直线的方程． 【解答】由{3x +4y −5＝02x −3y +8＝0，求得{x ＝−1y ＝2，可得直线l 1:3x +4y −5=0，l 2:2x −3y +8=0的交点M(−1, 2)．∵ 直线还经过点P(1, 3)，故它的方程为y−23−2=x+11+1，即 x −2y +5=0．根据所求直线与直线2x +y +5=0平行，可设它的方程为2x +y +m =0， 再把点M(−1, 2)代入，可得−2+2+m =0，求得m =0，故所求的直线的方程为 2x +y =0．根据所求直线与直线2x +y +5=0垂直，可设它的方程为x −2y +n =0，再把点M(−1, 2)代入，可得−1−4+n =0，求得n =5，故所求的直线的方程为x −2y +5=0．如图，长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =2，BC =CC 1=1，若在CD 上存在点E ，使得A 1E ⊥平面AB 1D 1．（1）求DE 的长；（2）求平面AB 1D 1与平面BB 1E 夹角的余弦值． 【答案】 由可知A 1E →=(−1, 12, −1)为平面AB 1D 1的法向量，BE →=(−1, −32, 0)，BB 1→=(0, 0, 1)， 设平面BB 1E 的法向量为n →=(x, y, z)，则{n →⋅BE →＝0˙，即{z ＝0−x −32y ＝0， 令y =2可得n →=(−3, 2, 0)，∴ cos <A 1E →，n →>=|A 1E →||n →|˙=32×√13=8√1339， ∴ 平面AB 1D 1与平面BB 1E 夹角的余弦值为8√1339【考点】二面角的平面角及求法直线与平面垂直 【解析】（1）建立空间坐标系，设DE =a ，令A 1E →⊥AB 1→即可求出a 的值；（2）求出平面BB 1E 的法向量n →，计算n →和A 1E →的夹角即可得出二面角的大小． 【解答】(1)以D 为原点，以DA ，DC ，DD 1为轴建立空间直角坐标系D −xyz ，如图，△ABC 是边长为2的正三角形，△ABD 是以AB 为斜边的等腰直角三角形，已知CD =2．（1）求证：平面ABC ⊥平面ABD ；（2）求直线AC 与平面BCD 所成角的正弦值． 【答案】证明：取AB 中点O ，连OC 、OD ， 则OC ⊥AB ，OD ⊥AB ，所以∠COD 是二面角C −AB −D 的平面角． 在△OCD 中，因为OC ＝√3，OD =1，CD =2， 所以∠COD =90∘．所以，平面ABC ⊥平面ABD ． 建立空间直角坐标系(O −CBD)．则AC →＝(√3,1,0)，BC →＝(√3,−1,0)，BD →＝(0,−1,1)． 设n →＝(x,y,z)是平面BCD 的法向量，则{n →⋅BD →＝−y +z ＝0˙⇒√3x ＝y ＝z ，取n →＝(1,√3,√3)．则|cos <AC →，n →>|=|AC →||n →|˙=√32×√7√217， 所以直线AC 与平面BCD 所成角的正弦值√217． 【考点】直线与平面所成的角 平面与平面垂直【解析】（1）取AB 中点O ，连OC 、OD ，说明∠COD 是二面角C −AB −D 的平面角．求解∠COD =90∘．即可证明平面ABC ⊥平面ABD ．（2）建立空间直角坐标系(O −CBD)．求出平面BCD 的法向量，利用空间向量的数量积求解直线AC 与平面BCD 所成角的正弦值． 【解答】证明：取AB 中点O ，连OC 、OD ， 则OC ⊥AB ，OD ⊥AB ，所以∠COD 是二面角C −AB −D 的平面角． 在△OCD 中，因为OC ＝√3，OD =1，CD =2， 所以∠COD =90∘．所以，平面ABC ⊥平面ABD ． 建立空间直角坐标系(O −CBD)．则AC →＝(√3,1,0)，BC →＝(√3,−1,0)，BD →＝(0,−1,1)． 设n →＝(x,y,z)是平面BCD 的法向量，则{n →⋅BD →＝−y +z ＝0˙⇒√3x ＝y ＝z ，取n →＝(1,√3,√3)． 则|cos <AC →，n →>|=|AC →||n →|˙=√32×√7√217， 所以直线AC 与平面BCD 所成角的正弦值√217．如图，四棱锥P −ABCD 中，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC // AD ，CD ⊥AD ，PC =AD =2DC =2CB ，E 为PD 的中点．（1）证明：CE // 平面PAB ；（2）求直线CE 与平面PAB 间的距离． 【答案】证明：取PA 的中点M ，连接BM 、EM ，∵ E 为PD 的中点，∴ EM // AD ，EM =12AD =BC ， ∴ 四边形BCEM 为平行四边形， ∴ CE // BM ，∵ CE ⊄平面PAB ，BM ⊂平面PAB ， ∴ CE // 平面PAB ．∵ CE // 平面PAB ，∴ 点E 到平面PAB 的距离即为所求． 设PC =AD =2DC =2CB =2，取AD 的中点N ，连接BN 、PN ，则四边形BCDN 为矩形，BN =CD =1 ∵ △PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，∴ PN ⊥AD ，PN =12AD =1， ∵ BN ⊥AD ，PN ∩BN =N ，PN 、BN ⊂平面PNB ， ∴ AD ⊥平面PNB ，∵ BC // AD ，∴ BC ⊥平面PNB ，∵ BC ⊂平面ABCD ，∴ 平面ABCD ⊥平面PNB ，以B 为原点，BC 、BN 分别为x 、y 轴，在平面PNB 内，作Bz ⊥平面ABCD ，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0, 0, 0)，A(1, −1, 0)，D(1, 1, 0) ∵ BC ⊥平面PNB ，∴ BC ⊥PB ，在Rt △PBC 中，PB =√PC 2−BC 2=√22−12=√3， ∵ BN =PN =1，∴ ∠PNB =120∘， ∴ 点P(32, 0, √32)，E(54, 12, √34)，∴ BP →=(32, 0, √32)，BA →=(1, −1, 0)，BE →=(54, 12, √34)，设平面PAB 的法向量为n →=(x, y, z)，则{n →⋅BA →＝0˙，即{32x +√32z ＝0x −y ＝0，令x =1，则y =1，z =−√3，∴ n →=(1, 1, −√3)， ∴ 点E 到平面PAB 的距离d =||n →|˙|=54+12−√3×√34√1+1+3=√55， 故直线CE 与平面PAB 间的距离为√55． 【考点】点、线、面间的距离计算直线与平面平行【解析】（1）取PA 的中点M ，连接BM 、EM ，易证四边形BCEM 为平行四边形，故CE // BM ，再由线面平行的判定定理即可得证；（2）由CE // 平面PAB ，知点E 到平面PAB 的距离即为所求．设BC =1，取AD 的中点N ，连接BN 、PN ，可证PN ⊥AD ，BN ⊥AD ，进而推出BC ⊥平面PNB ；于是以B 为原点，BC 、BN 分别为x 、y 轴，在平面PNB 内，作Bz ⊥平面ABCD ，建立空间直角坐标系，可证BC ⊥PB ，从而求得PB =√3，∠PNB =120∘，写出点P 、E 的坐标，根据法向量的性质求得平面PAB 的法向量n →，由点E 到平面PAB 的距离d =||n →|˙|即可得解． 【解答】证明：取PA 的中点M ，连接BM 、EM ，∵ E 为PD 的中点，∴ EM // AD ，EM =12AD =BC ，∴ 四边形BCEM 为平行四边形， ∴ CE // BM ，∵ CE ⊄平面PAB ，BM ⊂平面PAB ， ∴ CE // 平面PAB ．∵ CE // 平面PAB ，∴ 点E 到平面PAB 的距离即为所求． 设PC =AD =2DC =2CB =2，取AD 的中点N ，连接BN 、PN ，则四边形BCDN 为矩形，BN =CD =1 ∵ △PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，∴ PN ⊥AD ，PN =12AD =1， ∵ BN ⊥AD ，PN ∩BN =N ，PN 、BN ⊂平面PNB ， ∴ AD ⊥平面PNB ，∵ BC // AD ，∴ BC ⊥平面PNB ，∵ BC ⊂平面ABCD ，∴ 平面ABCD ⊥平面PNB ，以B 为原点，BC 、BN 分别为x 、y 轴，在平面PNB 内，作Bz ⊥平面ABCD ，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0, 0, 0)，A(1, −1, 0)，D(1, 1, 0) ∵ BC ⊥平面PNB ，∴ BC ⊥PB ，在Rt △PBC 中，PB =√PC 2−BC 2=√22−12=√3， ∵ BN =PN =1，∴ ∠PNB =120∘， ∴ 点P(32, 0, √32)，E(54, 12, √34)， ∴ BP →=(32, 0, √32)，BA →=(1, −1, 0)，BE →=(54, 12, √34)，设平面PAB 的法向量为n →=(x, y, z)，则{n →⋅BA →＝0˙，即{32x +√32z ＝0x −y ＝0，令x =1，则y =1，z =−√3，∴ n →=(1, 1, −√3)， ∴ 点E 到平面PAB 的距离d =||n →|˙|=54+12−√3×√34√1+1+3=√55， 故直线CE 与平面PAB 间的距离为√55．。
2020-2021学年天津市某校高二(上)第一次月考数学试卷(有答案)
2020-2021学年天津市某校高二（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共9个小题，每小题5分，在每个小题给出的4个选项中，只有一个是符合题目要求的）1. 若A，B，C，D为空间任意四个点，则+-＝（）A. B. C. D.2. 已知＝(2, −4, 2)，＝(1, a, 1)，且⊥，则a＝（）A.−3B.−2C.1D.23. 下列命题正确的是（）A.若与共线，与共线，则与共线B.若，，共面，则它们所在的直线共面C.若与平行，则存在唯一的实数λ，使得＝λD.零向量是模为0，方向任意的向量4. 在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，＝，＝，＝，E是BC的中点，用，，表示为（）A.+-B.+-C.--D.-+5. 已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为＝(1, −3, z)，向量＝(3, −2, 1)与平面α平行，则z等于（）A.3B.6C.−9D.96. 直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BCA=90∘，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC= CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A.1 10B.25C.√3010D.√227. 如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的余弦值为（）A.√63B.2√55C.√155D.√1058. 已知向量，，满足++＝，且||＝7，||＝5，||＝3，则与的夹角为（）A. B. C. D.9. 已知空间四个点A(−3, x, 3)，B(−2, −1, 4)，C(0, 3, 0)，D(1, 1, 1)在同个平面内，则实数x＝（）A.1B.−2C.0D.−1二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分）已知点P(1, 0, 2)，Q(1, −3, 1)，点M在y轴上，且M到P与到Q的距离相等，则M的坐标是________．已知A(1, −2, 5)，B(−2, 0, 3)，C(−1, 1, 0)，若＝2，则D的坐标为________．已知平面α，β的法向量分别为＝(−2, m, 1)，＝(n, 4, −2)，若α // β，则m−n＝________．已知，均为空间单位向量，且它们夹角为，则|4−5|＝________．已知＝(1, 5, −2)，＝(3, 1, c)，若＝(a, b, −7)，⊥，且⊥平面BCD，则＝________．已知三棱锥S−ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为________．三、解答题（本大题共5个小题，满分0分.解答应写出文字说明.演算步骤或推理过程）如图所示的正四棱柱中，BC＝2，BB1＝4，M是棱CC1的中点．（1）求异面直线AM和CD所成的角的余弦值；（2）证明：平面ABM⊥平面A1B1M．如图所示的五面体中，A1A，B1B，C1C都与底面ABC垂直，且∠ABC＝120∘，A1A＝8，C1C＝2，AB＝BC＝B1B＝4．（1）证明：B1A⊥平面A1B1C1；（2）求直线AC1与平面CBB1所成的角的正弦值．如图，正方形ABCD与梯形CDEF所在的平面互相垂直，CD⊥DE，CF // DE，CD＝CF＝2，DE＝4，G为AE的中点．（1）求证：FG // 平面ABCD；（2）求D点到平面FAE的距离；在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45∘，AD=AC=1，O为AC中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD中点．（1）求证：PB // 平面ACM；（2）求证：AD⊥平面PAC；（3）求二面角M−AC−D的正切值．在如图所示的多面体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC＝BC＝BD ＝2AE＝2，M是AB的中点．求证：CM⊥EM；(Ⅱ)求平面EMC与平面BCD所成的二面角的正弦值；(Ⅲ)在棱DC上是否存在一点N，使得直线MN与平面EMC所成的角是60∘，若存在，指出点N的位置；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2020-2021学年天津市某校高二（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共9个小题，每小题5分，在每个小题给出的4个选项中，只有一个是符合题目要求的）1.【答案】A【考点】空间向量向量的线性运算性质及几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】C【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】D【考点】命题的真假判断与应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】A【考点】空间向量的基本定理及其意义空间向量的正交分解及其坐标表示【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】C【考点】共线向量与共面向量【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】C【考点】异面直线及其所成的角【解析】画出图形，找出BM 与AN 所成角的平面角，利用解三角形求出BM 与AN 所成角的余弦值．【解答】解：如图，直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∠BCA =90∘，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，设BC 的中点为O ，连结ON ，则MN = // 12B 1C 1=OB ， 则MNOB 是平行四边形，BM 与AN 所成角就是∠ANO ，∵ BC =CA =CC 1，设BC =CA =CC 1=2，∴ CO =1，AO =√5，AN =√5，MB =√B 1M 2+BB 12=√(√2)2+22=√6，在△ANO 中，由余弦定理可得：cos ∠ANO =AN 2+NO 2−AO 22AN⋅NO =62×√5×√6=√3010． 故选C .7.【答案】C【考点】直线与平面所成的角【解析】连接A1C1交B1D1于点O，连接BO，在长方体中由AB=BC=2，可得CO1⊥B1D1，由长方体的性质可证有OC1⊥BB1，且由直线与平面垂直的判定定理可得OC1⊥平面BB1D1D，则∠C1BO为则BC1与平面BB1D1D所成角在Rt△BOC1中，可求【解答】解：连接A1C1交B1D1于点O，连接BO由AB=BC=2，可得A1B1C1D1为正方形即CO1⊥B1D1由长方体的性质可知BB1⊥面A1B1C1D1，从而有OC1⊥BB1，且BB1∩B1D1=B1∴OC1⊥平面BB1D1D则∠C1BO为则BC1与平面BB1D1D所成角在Rt△BOC1中，OC1=√2，BC1=√5OB=√3∴cos∠OBC1=OBBC1=√3√5=√155故选C．8.【答案】B【考点】平面向量数量积坐标表示的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】A【考点】共线向量与共面向量【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分）【答案】(0, −1, 0)【考点】空间向量的夹角与距离求解公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】(−7, 5, −4)【考点】空间向量向量的线性运算性质及几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】−6【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】【考点】平面向量数量积坐标表示的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】(11, −5, −7)【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】34【考点】直线与平面所成的角【解析】过A作AE垂直于BC交BC于E，连接SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，由题设条件证出∠ABF即所求线面角．由数据求出其正弦值．【解答】解：过A作AE垂直于BC交BC于E，连接SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，∵正三角形ABC，∴E为BC中点，∵BC⊥AE，SA⊥BC，∴BC⊥面SAE，∴BC⊥AF，AF⊥SE，∴AF⊥面SBC，∵∠ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长2，∴AE=√3，AS=3，∴SE=2√3，AF=3，2∴sin∠ABF=3．4．故答案为：34三、解答题（本大题共5个小题，满分0分.解答应写出文字说明.演算步骤或推理过程）【答案】正四棱柱中，BC＝21＝4，M是棱CC1的中点．以A为原点，AB为x轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，A(6, 0, 0)，2，2)，2，5)，2，0)，＝(8, 2, 2)，，5，0)，设异面直线AM和CD所成的角为θ，则cosθ＝＝＝，∴异面直线AM和CD所成的角的余弦值为．证明：A(0, 2, 0)，0，3)，A1(0, 6, 4)，B1(4, 0, 4)，5，2)，＝(2, 4, 0)，，2，6)，，6，0)，，8，−2)，设平面ABM的法向量＝(x，y，则，取y＝1，得，6，−1)，设平面A1B3M的法向量＝(a，b，则，取b＝1，得，1，3)，∵＝01B5M．【考点】异面直线及其所成的角平面与平面垂直【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】证明：∵∠ABC＝120∘，AB＝BC＝4，由勾股定理知，B1A2＝AB4+B1B2＝16+16＝32，＝AB4+＝16+16＝32，＝BC2+＝16+4＝20，＝AC2+＝48+4＝52，∴B7A2+＝64＝，B1A2+＝52＝，∴B1A⊥A2B1，B1A⊥B3C1，又A1B4∩B1C1＝B2，A1B1、B2C1⊂平面A1B4C1，∴B1A⊥平面A7B1C1．设点A到平面BCC7的距离为d，∵＝，∴CC1•AB⋅BC sin∠ABC＝BC⋅CC5，即d＝AB sin∠ABC＝，∴直线AC5与平面CBB1所成的角的正弦值为＝＝．【考点】直线与平面垂直直线与平面所成的角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】证明：取AD的中点H，连接GH，∵G，H分别是AE，∴GH // DE，GH＝，∵DE // CF，CF＝，∴GH // CF，GH＝CF，∴四边形GHCF是平行四边形，∴GF // CH，又GF⊄平面ABCD，∴GF // 平面ABCD．∵DE⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴DE⊥CD，DE⊥AD，∵四边形ABCD是正方形，∴CD⊥AD，又AD∩DE＝D，∴CD⊥平面ADE，∵CF // DE，CF⊄平面ADE，∴CF // 平面ADE，∴F到平面ADE的距离等于CD，故V F−ADE＝S△ADE⋅CD＝＝，连接AC，则AC＝，∴AF＝，AE＝，EF＝，∴AF8+EF2＝AE2，∴AF⊥EF，∴S△AEF＝＝5，设D到平面AEF的距离为ℎ，则V D−AEF＝＝，又V F−ADE＝V D−AEF，∴＝，解得ℎ＝，故D点到平面FAE的距离为．【考点】直线与平面平行点、线、面间的距离计算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】（1）证明：连接OM，BD，∵M，O分别为PD和AC中点，∴OM // PB，∵OM⊂平面ACM，PB⊄ACM平面，∴PB // 平面ACM…．（2）证明：由已知得PO⊥平面ABCD∴PO⊥AD，∵∠ADC=45∘，AD=AC=1，∴AC⊥AD，∵AC∩PO=O，AC，PO⊂平面PAC，∴AD⊥平面PAC．…..（3）解：取DO中点N，连接MN，则MN // PO，∴MN⊥平面ABCD过点N作NE⊥AC于E，则E为AO中点，连接ME，由三垂线定理可知∠MEN即为二面角M−AC−D的平面角，∵MN=1，NE=12∴tan∠MEN=2…..【考点】与二面角有关的立体几何综合题直线与平面平行的判定直线与平面垂直的判定【解析】（1）连接OM，BD，由M，O分别为PD和AC中点，知OM // PB，由此能够证明PB // 平面ACM．（2）由PO⊥平面ABCD，知PO⊥AD，由∠ADC=45∘，AD=AC=1，知AC⊥AD，由此能够证明AD⊥平面PAC．（3）取DO中点N，连接MN，由MN // PO，知MN⊥平面ABCD．过点N作NE⊥AC于E，由E为AO中点，连接ME，由三垂线定理知∠MEN即为所求，由此能求出二面角M−AC−D的正切值．【解答】（1）证明：连接OM，BD，∵M，O分别为PD和AC中点，∴OM // PB，∵OM⊂平面ACM，PB⊄ACM平面，∴PB // 平面ACM…．（2）证明：由已知得PO⊥平面ABCD∴PO⊥AD，∵∠ADC=45∘，AD=AC=1，∴AC⊥AD，∵AC∩PO=O，AC，PO⊂平面PAC，∴AD⊥平面PAC．…..（3）解：取DO中点N，连接MN，则MN // PO，∴MN⊥平面ABCD过点N作NE⊥AC于E，则E为AO中点，连接ME，由三垂线定理可知∠MEN即为二面角M−AC−D的平面角，∵MN=1，NE=12∴tan∠MEN=2…..【答案】证明：(Ⅰ)∵AC＝BC，M是AB的中点，又∵EA⊥平面ABC，CM⊥EA，∵EA∩AB＝A点，∴CM⊥平面AEM，∵EM⊂平面AEM，∴CM⊥EM．（2）如图，以M为原点，MC为x，建立如图所示的坐标系M−xyz，∴M(0, 0, 4)，，0)，0，1)，B（，0，0)，0，2)，＝（-，0，1)，，，0)，，，0)，＝(0, 6, 2)，设平面EMC的法向量＝(x，y，则，取x＝2，得，0，），设平面BCD的法向量＝(x，y，则，取x＝1，得，8，0)，设平面EMC与平面BCD所成的二面角的平面角为θ，则|cosθ|＝＝＝，sinθ＝＝．∴平面EMC与平面BCD所成的二面角的正弦值为．(Ⅲ)在棱DC上存在一点N，设N(x，y，且＝(5≤λ≤1)，∴(x−，y，z−6)＝λ(−），∴＝（，，y＝，∵直线MN与平面EMC所成角为60∘，∴cos<>＝，解得，∴存在点N符合条件，且N是棱DC的中点．【考点】二面角的平面角及求法直线与平面所成的角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
2021-2022学年天津市静海区四校高二(上)段考数学试卷(11月份)(附详解)
2021-2022学年天津市静海区四校高二（上）段考数学试卷（11月份）一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知直线l在x轴上的截距是−5，在y轴上的截距是6，则直线l的方程是()A. 6x−5y−30=0B. 6x+5y−30=0C. 6x−5y+30=0D. 6x+5y+30=02.已知向量a⃗=(−1,2,1)，b⃗ =(3,x,y)，且a⃗//b⃗ ，那么|b⃗ |=()A. 3√6B. 6C. 9D. 183.直线x−y+1=0与圆x2+(y+1)2=4相交于A、B，则弦AB的长度为()A. √2B. 2√2C. 2D. 44.设平面α的一个法向量为n1⃗⃗⃗⃗ =(1,2,−2)，平面β的一个法向量为n2⃗⃗⃗⃗ =(−2,−4,k)，若α//β，则k=()A. 2B. −4C. −2D. 45.已知圆C1：x2+y2=4和圆C2：x2+y2+2ay−6=0(a>0)的公共弦长为2，则实数a的值为()A. √33B. √3 C. √22D. √26.已知过点P(2,2)的直线与圆(x−1)2+y2=5相切，且与直线ax−y+1=0平行，则a=()A. 2B. 1C. −12D. 127.对于向量a⃗、b⃗ 、c⃗和实数λ，下列命题中真命题是()A. 若a⃗⋅b⃗ =0，则a⃗=0或b⃗ =0B. 若λa⃗=0⃗，则λ=0或a⃗=0⃗C. 若a⃗2=b⃗ 2，则a⃗=b⃗ 或a⃗=−b⃗D. 若a⃗⋅b⃗ =a⃗⋅c⃗，则b⃗ =c⃗8.在棱长为a的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A到平面MBD的距离是()A. √63a B. √36a C. √34a D. √66a9. 如图，在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 为A 1D 1的中点，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，则CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. −a ⃗ −12b ⃗ +c ⃗ B. a ⃗ −12b ⃗ +c ⃗ C. a ⃗ −12b ⃗ −c ⃗ D. a ⃗ +12b ⃗ −c ⃗10. 设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( )A. √3−1B. √2−1C. √33 D. √22二、单空题（本大题共8小题，共32.0分）11. 直线kx −y +1=3k ，当k 变化时，所有直线都通过定点______12. 已知两条平行直线l 1：2x −y +1=0，l 2：x +ay =0(a ∈R)，则l 1与l 2间的距离为______．13. 已知直线l 1：x +ay +6=0和l 2：(a −2)x +3y +2a =0，若l 1⊥l 2，则a =______． 14. 若椭圆C ：x 28+y 24=1的右焦点为F ，且与直线l ：x −√3y +2=0交于P ，Q 两点，则△PQF 的周长为______．15. 已知圆x 2+y 2=4与圆x 2+y 2−6x +2y +6=0关于直线l 对称，则直线l 方程______ ．16. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是CD 、CC 1的中点，则异面直线A 1M与DN 所成角的大小是__________．17. 已知动点A 在圆x 2+y 2=1上运动，则点A 与定点B(4,0)连线的中点的轨迹方程是______． 18. 已知点P 是椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)上的一点，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，已知∠F 1PF 2=120∘，且|PF 1|=2|PF 2|，则椭圆的离心率为______．三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）19. 已知关于x ，y 的方程C ：x 2+y 2−2x −4y +m =0．(1)若方程C 表示圆，求m 的取值范围；(2)若圆C 与圆x 2+y 2−8x −12y +36=0外切，求m 的值； (3)若圆C 与直线l ：x +2y −4=0相交于M ，N 两点，且|MN|=4√55，求m 的值．20. 已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为√32，且过点P(−√3,12).(1)求椭圆的标准方程；(2)已知斜率为1的直线l 过椭圆的右焦点F 交椭圆于A.B 两点，求弦AB 的长．21. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB//CD ，且CD =2，AB =1，BC =2√2,PA =1，AB ⊥BC ，N 为PD 的中点． (1)求证：AN//平面PBC ；(2)求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值；(3)在线段PD 上是否存在一点M ，使得直线CM 与平面PBC 所成角的正弦值为√2626，若存在，求出DMDP 的值；若不存在，说明理由．22. 已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为e =12，过点(2,0)．(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)设左、右焦点分别为F 1，F 2，经过右焦点F 2的直线1与椭圆C 相交于A 、B 两点，若AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线1方程．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵直线l在x轴上的截距是−5，在y轴上的截距是6，则l的方程为x−5+y6=1，即6x−5y+30=0．故选：C．利用截距式方程即可得出．本题考查了截距式方程，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：根据题意，向量a⃗=(−1,2,1)，b⃗ =(3,x,y)，且a⃗//b⃗ ，则设b⃗ =k a⃗，即(3,x,y)=k(−1,2,1)，则有k=−3，则x=−6，y=−3，则b⃗ =(3,−6,−3)，故|b⃗ |=√9+36+9=3√6；故选：A．根据题意，设b⃗ =k a⃗，即(3,x,y)=k(−1,2,1)，分析可得x、y的值，进而由向量模的计算公式计算可得答案．本题考查空间向量的平行以及模的计算，关键是求出x、y的值．3.【答案】B【解析】解：圆x2+(y+1)2=4的圆心坐标为(0,−1)，半径为4，圆心(0,−1)到直线x−y+1=0的距离d=√2=√2，∴弦AB的长度为2√r2−d2=2√4−2=2√2．故选：B．由圆的方程求得圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，利用垂径定理求弦长．本题考查直线与圆位置关系的应用，训练了利用垂径定理求弦长，是基础题．4.【答案】D【解析】解：平面α的一个法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(1,2,−2)，平面β的一个法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(−2,−4,k)，∵α//β，由题意可得−21=−42=k−2，∴k =4． 故选：D ．两个平面平行，可得法向量共线，列出关系式求出k 即可． 本题考查平面的法向量，涉及平面与平面的位置关系，属基础题．5.【答案】A【解析】解：根据题意，圆C 1：x 2+y 2=4和圆C 2：x 2+y 2+2ay −6=0(a >0)， 则有{x 2+y 2=4x 2+y 2+2ay −6=0，联立可得：y =1a ，即两圆公共弦所在直线的方程为y =1a ， 圆C 1：x 2+y 2=4，其圆心为(0,0)，半径r =2，若公共弦的弦长为2，则圆C 1的圆心C 1到公共弦的距离d =√4−1=√3， 又由a >0，则有1a =√3，解可得a =√33， 故选：A ．根据题意，联立两个圆的方程可得公共弦所在直线的方程，由直线与圆的位置关系可得点C 1到公共弦的距离d =√3，即可得1a =√3，解可得a 的值，即可得答案． 本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆与圆公共弦方程的计算，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：已知过点P(2,2)的直线与圆(x −1)2+y 2=5相切， 将点P(2,2)代入圆(x −1)2+y 2=5恒成立，则点P 在圆上．即过点P(2,2)的直线与圆(x −1)2+y 2=5相切的切线只有一条， 令过点P(2,2)的切线的方程为y −2=k(x −2)，即kx −y −2k +2=0， 由此切线与ax −y +1=0平行，两直线的斜率相等且y 轴截距不等， 可得k =a 且−2k +2≠1；由圆心到切线的距离等于圆的半径，可得圆的半径r =|k−0−2k+2|√12+k 2=√5，k =−12，即a =−12；故选：C ．设过点P(2,2)的直线的方程为y −2=k(x −2)，由圆心到切线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于r 的方程，求出方程的解得到k 的值，由切线与ax −y +1=0平行，可得答案．此题考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，直线与直线平行充要条件，熟练掌握此性质是解本题的关键．7.【答案】B【解析】解：a ⃗ ⊥b ⃗ 时也有a ⃗ ⋅b ⃗ =0，A 不正确； B 正确；设a ⃗ =(2,2)，b ⃗ =(1,√7)，此时a ⃗ 2=b⃗ 2，但a ⃗ =b ⃗ 或a ⃗ =−b ⃗ 不成立，C 错误； ∵a ⃗ ⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅c ⃗ 得不到b ⃗ =c ⃗ ，如a ⃗ 为零向量或a ⃗ 与b ⃗ 、c ⃗ 垂直时，D 错误； 故选B ．本题是对几个常见的基本概念的考查，第一个是数量积为零，我们知道向量垂直时也有数量积为零，第二个考的是数乘运算，当一个实数和一个向量的积是零时，有两种情况，一是实数为零，一个是向量是零向量，本选项正确．在实数中，若a ≠0，且a ×b =0，则b =0；但是在数量积中，若a ⃗ ≠0，且a ⃗ ×b ⃗ =0，不能推出b ⃗ =0.因为其中cosq 有可能为0.在做有关向量问题时，不要凭想当然做事，不然会出错．8.【答案】D【解析】解：以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz ，A(a,0,0)，B(a,a,0)，D(0,0,0)，M(a,0,a2)， 则DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,a,0)，DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,0,a 2)， 设平面BDM 的法向量为n⃗ =(x,y,z)，则{n ⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ax +ay =0n ⃗ ⋅DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ax +a 2z =0，取x =1，得n ⃗ =(1,−1,−2)， ∵BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,a,0)， ∴点A 到平面MBD 的距离d =|BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=|a|√6=√66a ． 故选：D ．以D 为原点建立空间直角坐标系D −xyz ，利用向量法能求出点A 到平面MBD 的距离． 本题考查点到直线的距离的求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．9.【答案】A【解析】解：根据向量的三角形法则得到：CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =c ⃗ +12b ⃗ −a ⃗ −b ⃗=−a ⃗ −12b ⃗ +c ⃗ ． 故选：A ．根据空间向量的几何运算、向量的三角形法则可得结果．本题考查考查空间向量以及线性运算，考查空间向量的几何运算、向量的三角形法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.【答案】B【解析】解：设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，设点P(c,ℎ)，则c 2a 2+ℎ2b 2=1，ℎ2=b 2−b 2c 2a 2=b 4a2，∴|ℎ|=b 2a，由题意得∠F 1PF 2=90°，∠PF 1F 2=45°， Rt △PF 1F 2中，tan45°=1=PF 22c=a 2−c 22ac，∴a 2−c 2=2ac ，e 2+2e −1=0，∴e =√2−1， 故选：B ．设椭圆的方程和点P 的坐标，把点P 的坐标代入椭圆的方程，求出点P 的纵坐标的绝对值，Rt △PF 1F 2中，利用边角关系，建立a 、c 之间的关系，从而求出椭圆的离心率．本题考查椭圆的简单性质，直角三角形中的边角关系的应用．考查计算能力．11.【答案】(3,1)【解析】解：直线kx −y +1=3k ，即k(x −3)+1−y =0， 由{x −3=01−y =0 得定点的坐标为(3,1)， 故答案为(3,1)．把直线的方程化为k(x −3)+1−y =0，此直线一定过x −3和1−y =0的交点，联立方程组可解得定点坐标(3,1)．本题考查直线过定点问题，直线k(ax +by +c)+(mx +ny +p)=0一定过两直线ax +by +c =0和mx +ny +p =0的交点．12.【答案】√55【解析】解：∵两条平行直线l 1：2x −y +1=0，l 2：x +ay =0(a ∈R)， ∴12=a−1≠01，∴a =−12，∴直线l 1：2x −y +1=0，l 2：2x −y =0， 则l 1与l 2间的距离为√4+1=√55， 由题意利用两条平行直线的性质，求得a 的值，再利用两条平行直线间的距离公式，求得结果．本题主要考查两条平行直线的性质，两条平行直线间的距离公式的应用，属于基础题．13.【答案】12【解析】解：∵直线l 1：x +ay +6=0和l 2：(a −2)x +3y +2a =0，l 1⊥l 2， ∴1×(a −2)+a ×3=0，解得a =12． 故答案为：12．根据已知条件，结合两直线垂直，对应系数之间的关系，即可求解． 本题主要考查两直线垂直，对应系数之间的关系，属于基础题．14.【答案】8√2【解析】解：∵直线l过椭圆C的左焦点F′(−2,0)，直线l：x−√3y+2=0经过左焦点F′，∴△PQF的周长|PQ|+|PF|+|QF|=|PF′|+|PF|+|QF′|+|QF|=4a=8√2，故答案为：8√2．求出左焦点坐标，利用直线经过椭圆的左焦点，结合椭圆的定义求三角形的周长即可．本题考查椭圆的简单性质，是基本知识的考查．15.【答案】3x−y−5=0【解析】解：由于两个圆的圆心分别为O(0,0)、C(3,−1)，由题意可得直线l即为两个圆的圆心连接成的线段的中垂线，求得CO的中点为(32,−12)，CO的斜率为−13，故直线l的斜率为3，利用点斜式求得直线l的方程为：y+12=3(x−32)，即3x−y−5=0，故答案为：3x−y−5=0．由题意可得直线l即为两个圆的圆心连接成的线段的中垂线，求得CO的中点为(32,−12)，CO的斜率为−13，可得直线l的斜率为3，利用点斜式求得直线l的方程．本题主要考查两个圆关于一条直线对称的性质，利用点斜式求直线的方程，属于中档题．16.【答案】90°【解析】【分析】本题考查空间异面直线的夹角求解，采用了向量的方法．向量的方法能降低空间想象难度，但要注意有关点，向量坐标的准确．否则容易由于计算失误而出错．以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的方法求出DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角求出异面直线A 1M 与DN 所成的角． 【解答】解：以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设棱长为2， 则D(0,0,0)，N(0,2,1)，M(0,1,0)，A 1(2,0,2)，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,1)，A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,−2) DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即A 1M ⊥DN ，异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是90°， 故答案为90°．17.【答案】(x −2)2+y 2=14【解析】解：设线段AB 的中点为M(x,y)，设点A(x 0,y 0)，则x 02+y 02=1，由中点坐标公式可得，{x =x 0+42y =y 02，即{x 0=2x −4y 0=2y，故(2x −4)2+4y 2=1，即(x −2)2+y 2=14． 故答案为：(x −2)2+y 2=14．设线段AB 的中点为M(x,y)，设点A(x 0,y 0)，则x 02+y 02=1，再结合中点坐标公式可得，{x 0=2x −4y 0=2y，将该式子代入圆的方程中，即可求解． 本题主要考查轨迹方程的求解，考查计算能力，属于基础题．18.【答案】√73【解析】 【分析】根据椭圆定义和已知得：|PF 1|=4a3，|PF 2|=2a 3，然后在三角形中用余弦定理列式可解得离心率．本题考查了椭圆的性质．属中档题． 【解答】解：因为|PF 1|=2|PF 2|，又因为|PF 1|+|PF 2|=2a ，解得：|PF 1|=4a3，|PF 2|=2a 3，在三角形F 1PF 2中由余弦定理得：(2c)2=(4a 3)2+(2a 3)2−2×4a 3×2a 3×cos120°，化简得：c 2=7a 29，∴e =c a=√73， 故答案为：√73．19.【答案】解：(1)关于x ，y 的方程C ：x 2+y 2−2x −4y +m =0．整理得：(x −1)2+(y −2)2=5−m ， 由于方程C 表示圆，所以：5−m >0， 解得：m <5．(2)圆x 2+y 2−8x −12y +36=0的方程转化为：(x −4)2+(y −6)2=16， ∵圆C 与圆x 2+y 2−8x −12y +36=0外切， ∴√(6−2)2+(4−1)2=4+√5−m ， 解得：m =4．(4)圆C 与直线l ：x +2y −4=0相交于M ，N 两点， 则：圆心(1,2)到直线x +2y −4=0的距离d =√5=√55， 且|MN|=4√55， 所以利用垂径定理得：5−m =(√55)2+(2√55)2， 解得：m =4．【解析】本题考查的知识要点：圆成立的充要条件的应用，圆与圆的位置关系的应用，直线与圆的位置关系的应用及相关的垂径定理的应用．(1)直接把圆的一般式转化为标准式，进一步求出圆的成立的充要条件． (2)直接利用圆与圆相切的充要条件求出结果．(3)利用直线与圆的位置关系，进一步利用垂径定理求出m 的值．20.【答案】解：(1)设椭圆方程为：x 2a 2+y2b 2=1，(a >b >0)， 由题意得{ c a =√323a 2+14b 2=1a 2=b 2+c 2，解得a =2,b =1,c =√3， ∴椭圆的标准方程为：x 24+y 2=1；(2)由(1)可知，F(√3,0)，∴直线l 的方程为：y =x −√3， 代入椭圆方程消去y 得， 5x 2−8√3x +8=0， ∴x 1+x 2=8√35， ∴|AB|=2a −e(x 1+x 2) =4−√32×8√35=85．故弦AB 的长为85．【解析】(1)利用离心率和点P 得到a ，b ，c 的方程组，可得标准方程方程； (2)联立直线与椭圆方程得到根与系数关系，代入焦点弦长公式，即可得解． 此题考查了椭圆方程，直线与椭圆的综合等，难度适中．21.【答案】解：过A 作AE ⊥CD 于点E ，则DE =1，以A 为原点，AE 、AB 、AP 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，E(2√2,0,0)，D(2√2,−1,0)，C(2√2,1,0)，P(0,0,1)， ∵N 为PD 的中点，∴N(√2,−12,12).(1)AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,−12,12)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√2,0,0)． 设平面PBC 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−y +z =0m ⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2√2x =0，令y =1，则x =0，z =1，∴m ⃗⃗⃗ =(0,1,1)， ∴AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =−12+12=0，即AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥m ⃗⃗⃗ ， 又AN ⊄平面PBC ，∴AN//平面PBC ．(2)由(1)知，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)，AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√2,−1,0)， 设平面PAD 的法向量为n ⃗ =(a,b,c)，则{n ⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =c =0n ⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2√2a −b =0，令a =1，则b =2√2，c =0，∴n ⃗ =(1,2√2,0)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√2√2×3=23．故平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值为23． (3)令DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λDP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ∈[0,1]，设M(x,y,z)，∴(x −2√2,y +1,z)=λ(−2√2,1,1)，∴M(2√2−2√2λ,λ−1,λ)， ∴CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√2λ,λ−2,λ)． 由(1)知，平面PBC 的法向量为m⃗⃗⃗ =(0,1,1)， ∵直线CM 与平面PBC 所成角的正弦值为√2626，∴√2626=|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ ||=√8λ2+(λ−2)2+λ2×√2，化简得21λ2−50λ+24=0，即(3λ−2)(7λ−12)=0，∵λ∈[0,1]，∴λ=23， 故DMDP =23．【解析】本题考查空间中线与面的位置关系、二面角和线面角的求法，熟练利用空间向量处理二面角、线面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．过A 作AE ⊥CD 于点E ，以A 为原点，AE 、AB 、AP 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，依次写出A 、B 、E 、D 、C 、P 、N 的坐标．(1)根据法向量的性质求得平面PBC 的法向量m ⃗⃗⃗ ，由AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =0以及线面平行的判定定理即可得证；(2)同理求得平面PAD 的法向量n ⃗ ，由空间向量数量积的坐标运算求出cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >即可得解；(3)设M(x,y,z)，由DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λDP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ∈[0,1]，可用含λ的式子表示出点M 的坐标，由题可知，√2626=|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ ||，于是列出关于λ的方程，解之即可．22.【答案】解：(Ⅰ)由e =c a =12，且a =2，则c =1，b =√a 2−c 2=√3，故椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；(Ⅱ)F 1(−1，0)，F 2(1,0)，设经过右焦点F 2的直线1的方程为x =my +1，与椭圆方程3x 2+4y 2=12联立，可得(4+3m 2)y 2+6my −9=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则y 1+y 2=−6m 4+3m 2，y 1y 2=−94+3m 2， 由AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即AF 1⊥BF 1， k AF 1⋅k BF 1=y 1x1+1⋅y 2x2+1=−1，即有(x 1+1)(x 2+1)+y 1y 2=(my 1+2)(my 2+2)+y 1y 2=(1+m 2)y 1y 2+2m(y 1+y 2)+4=(1+m 2)⋅(−94+3m 2)+2m ⋅(−6m4+3m 2)+4=0， 解得m =±√73，则直线l 的方程为x =±√73y +1，即为y =±3√77(x −1)．【解析】(Ⅰ)由椭圆的离心率公式和a ，b ，c 的关系，可得a ，b ，c 的值，进而得到椭圆方程；(Ⅱ)设经过右焦点F 2的直线1的方程为x =my +1，与椭圆方程联立，运用韦达定理，以及两直线垂直的条件，解方程可得m ，即可得到所求直线方程．本题考查椭圆的方程和性质，以及直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．。
天津静海县第四中学高二数学文月考试卷含解析
天津静海县第四中学高二数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知两条直线l1：x+2ay﹣1=0，l2：x﹣4y=0，且l1∥l2，则满足条件a的值为（）A．B．C．﹣2 D．2参考答案：C【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】直线与圆．【分析】根据两直线平行，直线方程中一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求得a的值．【解答】解：根据两条直线l1：x+2ay﹣1=0，l2：x﹣4y=0，且l1∥l2，可得，求得 a=﹣2，故选C．【点评】本题主要考查两直线平行的性质，两直线平行，直线方程中一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，属于基础题．2. 若，则实数x的值为 ( )A．4 B．1 C．4或1 D．其它参考答案：C略3. 已知为定义在上的可导函数，且对于恒成立（为自然对数的底），则( )A BC D 与大小不确定参考答案：C略4. 定义在上的函数，其导函数是成立，则A. B.C. D.参考答案：D略5. 已知F1，F2是双曲线=1（a，b＞0）的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2为钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是( )A．（1，+∞）B．C．D．参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点可知△ABC为等腰三角形，所以△ABF2为钝角三角形只要∠AF2B为钝角即可，由此可知＞2c，从而能够推导出该双曲线的离心率e的取值范围．【解答】解：由题设条件可知△ABC为等腰三角形，只要∠AF2B为钝角即可，所以有＞2c，即2ac＜c2﹣a2，解出e∈（1+，+∞），故选：B．【点评】本题考查双曲线的离心率和钝角三角形的判断，在解题过程中要注意隐含条件的挖掘．6. 某个命题与正整数有关，若当时该命题成立，那么可推得当时该命题也成立，现已知当时该命题不成立，那么可推得A. 当时，该命题不成立B. 当时，该命题成立C. 当时，该命题成立D. 当时，该命题不成立参考答案：D略7. 各项均为正数的等比数列的前n项和为，若，则S40等于（）A．80 B．30 C．26 D．16参考答案：B8. 已知点M（a，b）在圆O：x2+y2=1外，则直线ax+by=1与圆O的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．不确定参考答案：B【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由M在圆外，得到|OM|大于半径，列出不等式，再利用点到直线的距离公式表示出圆心O到直线ax+by=1的距离d，根据列出的不等式判断d与r的大小即可确定出直线与圆的位置关系．【解答】解：∵M（a，b）在圆x2+y2=1外，∴a2+b2＞1，∴圆O（0，0）到直线ax+by=1的距离d=＜1=r，则直线与圆的位置关系是相交．故选B9. 某运动会组委会要派五名志愿者从事翻译、导游、礼仪三项工作，要求每项工作至少有一人参加，则不同的派给方案共有A．150种B．180种C．240种D．360种参考答案：A略10. 函数的导函数原点处的部分图象大致为 ( )参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若曲线处的切线平行于直线的坐标是_____.参考答案：P(e,e)略12. 函数的最小值为_____________.参考答案：1213. 设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为．参考答案：﹣2【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【分析】由已知得=+，从而得到，由此求出a=﹣2．【解答】解：==+，∵复数为纯虚数，∴，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要注意复数的代数形式的乘除运算法则的合理运用．14. 某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分记录用茎叶图表示，从茎叶图的分布情况看，运动员的发挥更稳定．（填“甲”或“乙”）参考答案：乙【考点】茎叶图；极差、方差与标准差．【分析】由茎叶图知甲的得分相对分散，乙的得分相对集中，由此能求出结果．【解答】解：由某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分记录的茎叶图表知：甲的得分相对分散，乙的得分相对集中，∴从茎叶图的分布情况看，乙运动员的发挥更稳定．故答案为：乙．15. 观察不等式：，，，由此猜测第个不等式为．参考答案：略16. 设A,B 分别为关于的不等式的解集，若A B,则m 的取值范围是参考答案：17. 给出下列四个命题：（1）函数（且）与函数（且）的定义域相同；（2）函数与的值域相同；（3）函数的单调递增区间为；（4）函数是奇函数。
2020-2021学年天津市静海区第一中学高二上学期9月学生学业能力调研数学试题(解析版)
2020-2021学年天津市静海区第一中学高二上学期9月学生学业能力调研数学试题一、单选题1．在空间直角坐标系中，点(3,1,5)M -，关于x 轴对称的点的坐标是( ) A ．()3,1,5--- B ．()3,1,5--C ．()3,1,5-D ．()3,1,5--【答案】A【解析】试题分析：点(3,1,5)M -关于x 轴对称的点x 坐标不变，y 坐标与z 分别互为相反数.故对称点为()3,1,5---. 【解析】空间直角坐标系.2．已知两点(1,2)A -，(,3)B m ，且1m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则直线AB 的倾斜角α的取值范围是（ ）． A ．,62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦ C ．2,,6223ππππ⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦D ．2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】分1m =-、1m ≠-两种情况讨论，当1m ≠-，11k m =+，先求出斜率的范围，然后可得α的取值范围. 【详解】①当1m =-时，π2a ； ②当1m ≠-时，∵1(,1k m ⎫=∈-∞⋃+∞⎪⎪+⎣⎭， ∴2,,6223a ππππ⎡⎫⎛⎤∈⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦． 故选：D【点睛】本题考查的是直线的倾斜角与斜率，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单.3．已知平面α内有一个点()2,1,2A -，α的一个法向量为()3,1,2=n ，则下列点P 中，在平面α内的是( ) A ．()1,1,1- B ．31,3,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．31,3,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．31,3,2⎛⎫--⎪⎝⎭【答案】B【分析】由题意可知符合条件的点P 应满足0PA n ⋅=，逐个选项验证即可． 【详解】对于选项A,PA =(1,0,1),⋅PA n =5,所以PA 与n 不垂直,排除A;同理可排除C,D.对于选项B,有11,-4,2⎛⎫= ⎪⎝⎭PA ,所以0PA n ⋅=,因此B 项正确.【点睛】本题考查平面法向量的定义，属基础题．4．若直线10Ax By +-=在y 轴上的截距为1-3y -=的倾斜角的2倍，则有（ ）．A ．A =1B = B ．A =1B =-C ．A =1B =-D ．A =1B =【答案】B【分析】先求直线的斜率，再由截距的运算列方程组求解即可.【详解】3y -=的倾斜角为3π，则直线10Ax By +-=的倾斜角为23π，所以2tan 3π=即AB-=，又直线10Ax By +-=在y 轴上的截距为1-， 则11B=-，解得A =1B =-， 故选B.【点睛】本题考查了截距的运算，属基础题.5．在四面体O ABC -中，点P 为棱BC 的中点. 设OA a =, OB b =，OC c =，那么向量AP 用基底{},,a b c 可表示为（ ）A ．111222a b c -++ B ．1122a b c -++ C ．1122a b c ++ D ．111222a b c ++ 【答案】B【分析】先根据点P 为棱BC 的中点，则()12OP OB OC =+，然后利用空间向量的基本定理，用,,a b c 表示向量AP 即可. 【详解】点P 为棱BC 的中点，()12OP OB OC ∴=+， ()12AP OP OA OB OC OA ∴=-=+-，又,,OA a OB b OC c ===，()111222AP OB OC OA a b c ∴=+-=-++，故选B. 【点睛】本题主要考查空间向量的基本定理，以及向量的中点公式，要求熟练掌握，同时考查了转化与划归的思想的应用，属于基础题.6．若两条平行线1:10L x y -+=，与()2:300L x ay c c +-=>2，则3a c-等于（ ） A ．2- B ．6-C ．2D ．0【答案】A【解析】两条平行线1:10L x y -+=，与()2:300L x ay c c +-=>，有：3a =-， 得：平行线1:3330L x y -+=，与()2:3300L x y c c --=> 223c 233+=+解得3c =或-9（舍）则33323a c ---==-. 故选A.7．下列说法正确的是（ ）A ．当直线1l 与2l 的斜率1k ，2k 满足121k k 时，两直线一定垂直B ．直线0Ax ByC ++=的斜率为AB-C ．过（1x ，1y ），（2x ，2y ）两点的所有直线的方程212121y y x x y y x x --=--D ．经过点（1，1）且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-= 【答案】A【分析】A. 当直线1l 与2l 的斜率1k ，2k 满足121k k 时，可得两直线一定垂直；B.分类讨论0B =和0B ≠两种情况；C.分类讨论：过1122(,),(,)x y x y 两点的所有直线的方程为2112122121(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠--或112()x x x x ==或112()y y y y ==；D. 过点(1,1)且在x 轴和y 轴上截距都相等，分类讨论：截距为0和不为0两种情况. 【详解】A.当直线1l 与2l 的斜率1k ，2k 满足121k k 时，两直线一定垂直，A 项正确；B.直线0Ax By C ++=，当0B ≠时，其斜率为AB-，所以不正确； C.过1122(,),(,)x y x y 两点的所有直线的方程为2112122121(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠--或112()x x x x ==或112()y y y y ==，因此不正确；D.过点(1,1)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=或y x =，所以不正确；综上，只有A 正确， 故选：A.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关直线的问题，解题思路如下： （1）把握中斜率存在两直线垂直的条件可以判断A 正确； （2）注意斜率存在的条件；（3）注意直线两点式方程的试用条件；（4）直线在两轴上的截距相等需要分截距等于零和不等于零两种情况.二、填空题8．如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别为OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且2MG GN =，若OG xOA yOB zOC =++，则x y z ++=______．【答案】56【分析】以,,OA OB OC 为一组基向量，首先OG OM MG =+，再将,OM MG 逐步地用基向量表示，最后合并整理得出结果.【详解】由M ，N 分别为OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上， 且2MG GN =， 所以1223OG OM MG OA MN =+=+ ()1223OA ON OM =+- ()12112322OA OB OC OA ⎡⎤=++-⎢⎥⎣⎦111633OA OB OC =++， 则56x y z ++=， 故答案为：56. 9．已知向量()2,1,2a =--，()1,1,2b =-，(),2,2c x =．当22c =时，若向量ka b+与c 垂直，则实数x 和k 的值为______． 【答案】0；3-【分析】根据空间向量模的坐标表示公式，结合空间向量的加法、数乘的运算的坐标表示公式和空间向量垂直的坐标表示公式进行求解即可.【详解】因为22c =，所以22222220x x ++=⇒=，(21,1,22)ka b k k k +=---++，因为ka b +与c 垂直，所以()0ka b c +⋅=⇒0(21)2(1)2(22)03k k k k ⋅--+-+++=⇒=-. 故答案为：0；3-10．已知A 、B 为x 轴上不同的两点，点P 的横坐标为1，且PA PB =，若直线PA 的方程为10x y -+=，则直线PB 的方程为______． 【答案】30x y +-=.【分析】由题设可知直线,PA PB 关于直线1x =对称，再利用直线点斜式方程的求法求解即可.【详解】解：由,A B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为1，且PA PB =，则直线,PA PB 关于直线1x =对称，由直线P A 的方程为10x y -+=，则()1,0A -，则()3,0B ，即 直线PB 的方程为(3)y x =-- ，故直线PB 的方程为30x y +-=. 故答案为：30x y +-=.三、解答题11．如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点．设AB a =，AC b =，AD c =．（1）求证：EG AB ⊥；（2）求异面直线AG 和CE 所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）23. 【分析】（1）由向量的数量积运算，求得0EG AB ⋅=，可得证； （2）由向量的夹角运算公式，可求得答案.【详解】（1）由已知得()111222EG AB EA+AG AB AB+AC+AD AB ⎛⎫⋅=⋅=-⋅ ⎪⎝⎭2111222AB +AC AB+AD AB =-⋅⋅21111111110222122++=-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=，所以EG AB ⊥，所以EG AB ⊥； （2）()()11++22CE AC CG AG CA CB ⋅⋅=()21+++4AC AC CB AD CA AD CB =-⋅⋅⋅ ()21++++4AC AC CB AD CA AC CD CB ⎡⎤=-⋅⋅⋅⎢⎥⎣⎦ 2111111+11+11+11+1142222⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 12=-，设异面直线AG 和CE 所成角为02πθθ⎛⎫<≤⎪⎝⎭，则2cos 3322AG CE AG CEθ-⋅===⋅， 所以异面直线AG 和CE 所成角的余弦值为23． 12．直线1l :10x y -+=，2l :20x y -=，1l 与2l 的交点为P ． （1）过点Q （3，2）与直线1l 平行的直线方程是什么？ （2）求Q （3，2）关于直线1l 的对称点是什么？（3）直线n 过点P ，且坐标原点O 到直线n 的距离为1，求直线n 的方程？【答案】（1）10x y --=；（2）()14，；（3）直线n 的方程为1x =或34+50x y -=.【分析】（1）设与直线1l 平行的直线方程为0x y m -+=，代入点Q （3，2），可求得与直线1l 平行的直线方程；（2）设Q （3，2）关于直线1l 的对称点为点()11M x y ，，建立方程组可求得点Q （3，2）关于直线1l 的对称点； （3）由1020x y x y -+=⎧⎨-=⎩解得交点P ，分直线n 的斜率不存在和直线n 的斜率存在，根据点到直线的距离公式可求得答案.【详解】（1）设与直线1l 平行的直线方程为0x y m -+=，又因该直线过点Q （3，2），所以320m -+=，解得1m =-，所以过点Q （3，2）与直线1l 平行的直线方程是10x y --=； （2）设Q （3，2）关于直线1l 的对称点为点()11M x y ，，则1111213+3+2+1022y x x y -⎧=-⎪-⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得1114x y =⎧⎨=⎩，所以Q （3，2）关于直线1l 的对称点是()14，； （3）由1020x y x y -+=⎧⎨-=⎩解得()12P ，，当直线n 的斜率不存在时，直线n 的方程为1x =，满足原点O 到直线n 的距离为1. 当直线n 的斜率存在时，设直线n 的方程为()21y k x -=-，即+20kx y k --=， 因为原点O 到直线n 的距离为11=，解得34k =，所以直线n 的方程为34+50x y -=，综上得：直线n 的方程为1x =或34+50x y -=.【点睛】方法点睛：与直线++0Ax By C =平行的直线的方程可设为：++0Ax By m =，与直线++0Ax By C =垂直的直线的方程可设为：+0Bx Ay n -=.13．如图所示的几何体P ABCDE -中，ABP △和AEP △均为以A 为直角顶点的等腰直角三角形，AB AE ⊥，//AB CE ，//AE CD ，24CD CE AB ===，M 为PD 的中点．（1）求证：CE PE ⊥：（2）求二面角M CE D --夹角的大小； 【答案】（1）证明见解析；（2）4π. 【分析】（1）根据线面垂直的判定与性质可得证；（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解得各面法向量，根据向量数量积得法向量夹角，最后根据二面角与法向量夹角关系得结果.【详解】（1）证明：∵ABP △和AEP △均为以A 为直角顶点的等腰直角三角形，所以PA AB ⊥，PA AE ⊥，又EA AB A ⋂=，所以PA ⊥平面ABCDE ，又CE ⊂平面ABCDE ，所以PA CE ⊥， 又AB AE ⊥，//AB CE ，所以CE AE ⊥，因为PA AE A =，所以CE ⊥面PAE ，又PE ⊂面PAE ，所以CE ⊥PE ；（2）如图以A 点为原点，分别以AB AE AP 、、所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，∴()()()()0,0,02,0,00,2,00,0,2A B E P ，，，，()()4,6,0,4,2,0,D C()2,3,1M ， ()4,0,0CE =-,()4,4,0,ED =()2,1,1CM =-设平面MCE 的法向量为(),,m x y z =，00MC m CE m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，402+0x x y z -=⎧⎨-+=⎩，取1z =，∴()0,1,1m =-，又平面CED 的法向量为()0,0,1n =，设二面角M CE D --夹角的大小为θ，由图示得θ为锐角， ∴2cos 2m n m nθ⋅==⋅， ∴二面角M CE D --所成的二面角为4π. 【点睛】关键点点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.14．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，2AC BC ==，13CC =，点D ，E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且1AD =，2CE =，M 为棱11A B 的中点．（1）求证：1//C M 平面1B ED ； （2）求直线1C M 到平面1B ED 的距离； （3）求点1A 到直线1B E 的距离.（4）求直线AB 与平面1B ED 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（26（3230（43【分析】（1）设1A D 的中点为N ，连接MN ，则1//MN B D ，连接1C N ，利用线面平行、面面平行的判定和性质，可得证；（2）利用平行于平面的直线上各点到平面的距离相等和等体积法可求得线到面的距离；（3）连接1A E ，运用三角形的等面积法可求得所求的距离．（4）首先根据题意建立适当的空间直角坐标系，写出各相关点的坐标，运用线面角的向量求解方法，可求得答案.【详解】解：（1）设1A D 的中点为N ，连接MN ，则1//MN B D ，又MN ⊄平面1B ED ，1B D ⊂平面1B ED ，所以//MN 平面1B ED ；连接1C N ，因为1//C E ND 且1C E ND =，所以1C NDE 是平行四边形，所以1//C N DE ，又1C N ⊄平面1B ED ，DE ⊂平面1B ED ，以1//C N 平面1B ED ；又1C N MN N ⋂=，且1C N ⊂平面1C MN ，MN ⊂平面1C MN ，所以平面1//C MN 平面1B ED ， 又1C M ⊂平面1C MN ，所以1//C M 平面1DB E ；（2）由（1）得1//C M 平面1DB E ，所以直线1C M 到平面1B ED 的距离等于点1C 到平面1B ED 的距离，设1C 到平面1B ED 的距离为d ，则1111C B ED D B EC V V --=，而11112221323D B EC V -=⨯⨯⨯⨯=， 又115,5,23DE B E DB ===1123262DEB S =⨯= 所以12633d ⨯=，解得63d =， 所以直线1C M 到平面1B ED 6；（3）连接1A E ，则1111522A E B E A B===，，设点1A 到直线1B E 的距离为h ，所以11122322h B E ⨯⨯=⨯⨯，解得2305h = 所以点1A 到直线1B E 的距离为230. （4）依题意，以C 为原点，分别以,CA ,CB 1CC 的方向为,x ,y z 轴，建系如图，得(0,0,0)C ，(2,0,0)A ，(0,2,0)B ，1(0,0,3)C ，1(2,0,3)A ，1(0,2,3)B ，(2,0,1)D ，(0,0,2)E ，(1,1,3)M ．所以(2,2,0)AB =-，()()12,0,1,0,2,1DE B E =-=--，设平面1DB E 的一个法向量为(,,)n x y z =，则100DE n B E n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2+020x z y z -=⎧⎨--=⎩， 令1x =，则(1,1,2)n =-为平面1DB E 的一个法向量，于是3cos ,3||||AB n AB n AB n ⋅〈〉==-．所以，AB 与平面1DB E所成角的正弦值为33． 【点睛】关键点点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.15．已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD △是正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，E ，F ，G 分别是PA ，PB ，BC 的中点．（1）求平面EFG 与平面ABCD 的夹角的大小；（2）线段PD 上是否存在一个动点M （与线段的端点不重合），使得直线GM 与平面EFG 15，若存在，求线段PM 的长度，若不存在，说明理由． 【答案】（1）3π；（2）存在这样的M ，且2PM =. 【分析】（1）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解得各面法向量，根据向量数量积得法向量夹角，最后根据二面角与法向量夹角关系得结果，（2）先假设存在，根据（1）可得平面EFG 法向量，再根据向量数量积得直线方向向量与法向量夹角，结合条件得方程，根据方程解的情况作判断.【详解】（1）取AD 中点O ，连接PO ，∵PAD ABCD ⊥平面平面， PO AD ⊥，∴PO ABCD ⊥平面，如图以O 点为原点分别以OG OD OP 、、所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，∴()()()()0,0,00,2,04,2,04,2,0O A B C --，，，，()()0,2,0,4,0,0,D G (0,0,23P ，((0,3,2,3E F --， ()2,0,0EF =,(4,1,3,EG =-设平面EFG 的法向量为(),,m x y z =，00EF m EG m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，20430x x y z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，取1z =，∴()0,3,1m =，又平面ABCD 的法向量为()0,0,1n =，设平面EFG 与平面ABCD 所成的二面角为θ，由图示得θ为锐角， ∴1cos 2m nm n θ⋅==⋅， ∴平面EFG 与平面ABCD 所成二面角为3π. （3）设(),0,1PM PD λλ=∈， ((4,0,230,2,23GM GP PM GP PD λλ=+=+=-+-，∴)()4,2,231GM λλ=--， 21523cos ,2162428GM m GM m GM m λλ⋅===⋅-+， 即223+10λλ-=，因为()0,1λ∈，所以12λ=，∴存在这样的M ，且2PM =. 【点睛】关键点点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.。
2019-2020学年天津市静海区四校高二上学期9月联考数学试题
天津市静海区四校联考2019—2020学年度第一学期第一次联考高二数学试卷一、选择题（共10小题；共40分）1. 数列满足：，2d=，是其前项和，则A. B. C. D.2. 求和：1111 1223341415 ++++=⨯⨯⨯⨯A. B. C. D.3. 在等差数列中，，，其前项和19na=，则等于A. B. C. D.4. 设等比数列的公比，前项和为，则的值为A. B. C. D.5. 若集合，，则A. B. C. D.6. 已知等比数列，，，则A. B. C. D.7. 各项都是正数的等比数列的公比，且，，成等差数列，则的值为A. B.C. D. 或8. 等差数列的前三项依次为，，，则此数列的第项A. B. C. D.9. 不等式12xx->-的解集为A. (1,2)B.C. D. (),1(2,)-∞⋃+∞10. 数列满足，，则A. B. C. D.二、填空题（共5小题；共20分）11. 设是由正数组成的等比数列，为其前项和，已知，，则的公比．12. 已知实数，当、满足条件时，不等式成立．13. 数列满足，，则．14. 公差为的等差数列的前项中，偶数项和与奇数项和的差为．15. 若数列满足，，，则数列的通项公式是．三、解答题（共5小题；共60分）16. 已知等差数列中，，，（1）求的通项公式；（2）求的前项和．17. 已知不等式．（1）当时，解不等式；（2）当时，解不等式．18. 已知等比数列中，，公比为（且），且．（1）判断数列是否为等比数列，并说明理由；（2）求数列的通项公式．19. 设等差数列的公差为 ，前 项和为，等比数列的公比为 ．已知，，，．（1）求数列 ，的通项公式；（2）记 11n n n c a a +=，求数列 的前 项和．20. 已知数列满足，，数列的前项和为，且．（1）求数列 ，的通项公式；（2）设，求数列的前 项和．19-20第一次四校联考答案第一部分1. A2. A3. B4. B 【解析】等比数列的公比，前项和为，所以，，所以．5. D【解析】由中不等式变形得：，解得：，即，因为，所以．6. A7. C8. B 【解析】因为等差数列的前三项依次为，，，所以，解得：．所以等差数列的前三项依次为，，，则等差数列的首项为，公差为，所以．9. D10. B【解析】由已知可得，，，，，所以数列的最小正周期为，所以．第二部分11.12.【解析】当时，因为，所以，即，当时，因为，所以，即，综上所述，当、满足时，不等式成立．故答案为：．13.14.15.【解析】因为，，，所以．所以数列是等差数列，公差为，首项为．所以，所以．第三部分16. （1）因为所以所以．（2）因为所以 ．17. （1） 当 时，不等式为，因为 ，方程的根分别是 和， 所以不等式 的解集为．（2） 当 时，不等式为，因为 ，方程 的根分别是 和 ，所以不等式 的解集为． 18. （1） 数列 是等比数列，由题意得，，所以 ，又 且 ，则，且 ，所以数列是以 为公比、以为首项的等比数列，（2） 由（1）得，．19. （1） 由题得：解得：（舍去）或故（2）21n nT n =+ 20. （1） 因为 ，，所以 为首项是 ，公差为 的等差数列，所以 ，又当时，，所以，当时，由得，即，所以是首项为，公比为的等比数列，故，.（2）由（Ⅰ）知，则得所以．。
天津市静海区第一中学2020-2021学年高二数学上学期9月学生学业能力调研试题(含解析)
（2）线段 上是否存在一个动点 （与线段的端点不重合），使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ，若存在，求线段 的长度，若不存在，说明理由．
【答案】（1） ；（2）存在这样的 ，且 .
【解析】
【分析】
（1）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解得各面法向量，根据向量数量积得法向量夹角，最后根据二面角与法向量夹角关系得结果，
10. 已知Байду номын сангаас、 为 轴上不同的两点，点 的横坐标为1，且 ，若直线 的方程为 ，则直线 的方程为______．
【答案】 .
【解析】
【分析】
由题设可知直线 关于直线 对称，再利用直线点斜式方程的求法求解即可.
【详解】解：由 是 轴上的两点，点 的横坐标为1，且 ，则直线 关于直线 对称，
由直线PA的方程为 ，则 ，则 ，即 直线PB的方程为 ，
考点：空间直角坐标系
2. 已知两点 ， ，且 ，则直线 的倾斜角 的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
分 、 两种情况讨论，当 ， ，先求出斜率 范围，然后可得 的取值范围.
【详解】①当 时， ；
②当 时，
∵ ，
∴ ．
故选：D
【点睛】本题考查的是直线的倾斜角与斜率，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单.
13. 如图所示的几何体 中， 和 均为以 为直角顶点的等腰直角三角形， ， ， ， ， 为 的中点．
（1）求证： ：
（2）求二面角 夹角的大小；
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据线面垂直的判定与性质可得证；
2020-2021学年天津市静海区第一中学高二上学期9月学生学业能力调研数学试卷(解析版)
天津市静海区第一中学2020-2021学年高二上学期9月学生学业能力调研试卷第Ⅰ卷 基础题一、选择题：1. 在空间直角坐标系中，点(3,1,5)M -，关于x 轴对称的点的坐标是( ) A.()3,1,5---B.()3,1,5--C.()3,1,5-D.()3,1,5--『答案』A『解析』点(3,1,5)M -关于x 轴对称的点x 坐标不变，y 坐标与z 分别互为相反数. 故对称点为()3,1,5---.2. 已知两点(1,2)A -，(,3)B m，且1m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则直线AB 的倾斜角α的取值范围是（ ）．A. ,62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦C.2,,6223ππππ⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ D.2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 『答案』D『解析』①当1m =-时，π2a；②当1m ≠-时，∵1(,1k m ⎫=∈-∞⋃+∞⎪⎪+⎣⎭，∴2,,6223a ππππ⎡⎫⎛⎤∈⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦．故选：D3. 已知平面α内有一个点()2,1,2A -，α的一个法向量为()3,1,2=n ，则下列点P 中，在平面α内的是( )A. ()1,1,1-B.31,3,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 31,3,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ D . 31,3,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 『答案』B『解析』对于选项A,PA =(1,0,1),⋅PA n =5,所以PA 与n 不垂直,排除A;同理可排除C,D.对于选项B,有11,-4,2⎛⎫= ⎪⎝⎭PA ,所以0PA n ⋅=,因此B 项正确. 4. 若直线10Ax By +-=在y 轴上的截距为1-3y -=的倾斜角的2倍，则有（ ）．A. A =1B =B. A =1B =-C. A =1B =-D. A =1B =『答案』B3y -=的倾斜角为3π，则直线10Ax By +-=的倾斜角为23π，所以2tan3π=，即AB -=，又直线10Ax By +-=在y 轴上的截距为1-， 则11B =-，解得A =1B =-，故选B.5. 在四面体O ABC -中，点P 为棱BC 的中点. 设OA a =, OB b =，OC c =，那么向量AP 用基底{},,a b c 可表示为（ ）A. 111222a b c-++ B.1122a b c-++ C.1122a b c++D. 111222a b c++『答案』B『解析』点P 为棱BC 的中点，()12OP OB OC ∴=+，()12AP OP OA OB OC OA ∴=-=+-，又,,OA a OB b OC c ===，()111222AP OB OC OA a b c ∴=+-=-++，故选B.6. 若两条平行线1:10L x y -+=，与()2:300L x ay c c +-=>之间的距离为，则3a c -等于（ ）A. 2-B. 6-C. 2D. 0『答案』A『解析』两条平行线1:10L x y -+=，与()2:300L x ay c c +-=>，有：3a =-，得：平行线1:3330L x y -+=，与()2:3300Lx y c c --=>，=,解得3c =或-9（舍），则33323a c ---==-.故选A.7. 下列说法正确的是（ ） A. 当直线1l 与2l的斜率1k ，2k 满足121k k 时，两直线一定垂直B. 直线0Ax By C ++=的斜率为AB -C. 过（1x ，1y ），（2x ，2y ）两点的所有直线的方程212121y y x x y y x x --=--D. 经过点（1，1）且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-= 『答案』A『解析』A.当直线1l 与2l的斜率1k ，2k 满足121k k 时，两直线一定垂直，A 项正确；B.直线0Ax By C ++=，当0B ≠时，其斜率为AB -，所以不正确；C.过1122(,),(,)x y x y 两点的所有直线的方程为2112122121(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠--或112()x x x x ==或112()y y y y ==，因此不正确；D.过点(1,1)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=或y x =，所以不正确； 综上，只有A 正确， 故选：A. 二、填空题：8. 如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别为OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且2MG GN =，若OG xOA yOB zOC =++，则x y z ++= ______．『答案』56『解析』由M ，N 分别为OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且2MG GN =，所以1223OG OM MG OA MN=+=+ ()1223OA ON OM =+-()12112322OA OB OC OA ⎡⎤=++-⎢⎥⎣⎦111633OA OB OC =++，则56x y z ++=，故答案为：56.9. 已知向量()2,1,2a =--，()1,1,2b =-，(),2,2c x =．当22c =ka b+与c 垂直，则实数x 和k 的值为______． 『答案』0；3-『解析』因为22c =0x ==，(21,1,22)ka b k k k +=---++，因为ka b +与c 垂直，所以()0ka b c +⋅=⇒0(21)2(1)2(22)03k k k k ⋅--+-+++=⇒=-. 故答案为：0；3-10. 已知A 、B 为x 轴上不同的两点，点P 的横坐标为1，且PA PB=，若直线PA 的方程为10x y -+=，则直线PB 的方程为______． 『答案』30x y +-=.『解析』由,A B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为1， 且PA PB=，则直线,PA PB 关于直线1x =对称，由直线P A 的方程为10x y -+=，则()1,0A -，则()3,0B ，即 直线PB 的方程为(3)y x =--，故直线PB 的方程为30x y +-=. 故答案为：30x y +-=. 三、解答题：11. 如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点．设AB a =，AC b =，AD c =．（1）求证：EG AB ⊥；（2）求异面直线AG 和CE 所成角的余弦值．『解』（1）由已知得()111222EG AB EA+AG AB AB+AC+AD AB⎛⎫⋅=⋅=-⋅ ⎪⎝⎭2111222AB +AC AB+AD AB=-⋅⋅21111111110222122++=-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=，所以EG AB ⊥，所以EG AB ⊥；（2）()()11++22CE AC CG AG CA CB ⋅⋅=()21+++4AC AC CB AD CA AD CB =-⋅⋅⋅()21++++4AC AC CB AD CA AC CD CB ⎡⎤=-⋅⋅⋅⎢⎥⎣⎦ 2111111+11+11+11+1142222⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 12=-，设异面直线AG 和CE 所成角为02πθθ⎛⎫<≤⎪⎝⎭，则2cos 33AG CE AG CEθ-⋅===⋅，所以异面直线AG 和CE 所成角的余弦值为23．12. 直线1l :10x y -+=，2l :20x y -=，1l 与2l的交点为P ． （1）过点Q （3，2）与直线1l 平行的直线方程是什么？ （2）求Q （3，2）关于直线1l的对称点是什么？（3）直线n 过点P ，且坐标原点O 到直线n 的距离为1，求直线n 的方程？『解』（1）设与直线1l平行的直线方程为0x y m -+=， 又因该直线过点Q （3，2），所以320m -+=，解得1m =-， 所以过点Q （3，2）与直线1l平行的直线方程是10x y --=； （2）设Q （3，2）关于直线1l的对称点为点()11M x y ，，则1111213+3+2+1022y x x y -⎧=-⎪-⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得1114x y =⎧⎨=⎩，所以Q （3，2）关于直线1l的对称点是()14，；（3）由1020x y x y -+=⎧⎨-=⎩解得()12P ，， 当直线n 的斜率不存在时，直线n 的方程为1x =，满足原点O 到直线n 的距离为1. 当直线n 的斜率存在时，设直线n 的方程为()21y k x -=-，即+20kx y k --=，因为原点O 到直线n 的距离为11=，解得34k =，所以直线n 的方程为34+50x y -=，综上得：直线n 的方程为1x =或34+50x y -=.13. 如图所示的几何体P ABCDE -中，ABP △和AEP △均为以A 为直角顶点的等腰直角三角形，AB AE ⊥，//AB CE ，//AE CD ，24CD CE AB ===，M 为PD 的中点．（1）求证：CE PE ⊥：（2）求二面角M CE D --夹角的大小；『解』（1）证明：∵ABP △和AEP △均为以A 为直角顶点的等腰直角三角形， 所以PA AB ⊥，PA AE ⊥，又EA AB A ⋂=，所以PA ⊥平面ABCDE ，又CE ⊂平面ABCDE ，所以PA CE ⊥， 又AB AE ⊥，//AB CE ，所以CE AE ⊥，因为PA AE A =，所以CE ⊥面PAE ，又PE ⊂面PAE ，所以CE ⊥PE ；（2）如图以A 点为原点，分别以AB AE AP 、、所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，∴()()()()0,0,02,0,00,2,00,0,2A B E P ，，，，()()4,6,0,4,2,0,D C()2,3,1M ，()4,0,0CE =-,()4,4,0,ED =()2,1,1CM =-，设平面MCE 的法向量为(),,m x y z =，00MC m CE m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，402+0x x y z -=⎧⎨-+=⎩， 取1z =，∴()0,1,1m =-，又平面CED 的法向量为()0,0,1n =，设二面角M CE D --夹角的大小为θ，由图示得θ为锐角，∴2cos 2m n m nθ⋅==⋅，∴二面角M CE D --所成的二面角为4π.第Ⅱ卷 提高题14. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，2AC BC ==，13CC =，点D ，E 分别在棱1AA 和棱1CC上，且1AD =，2CE =，M 为棱11A B 的中点．（1）求证：1//C M 平面1B ED ； （2）求直线1C M到平面1B ED的距离；（3）求点1A 到直线1B E的距离.（4）求直线AB 与平面1B ED所成角的正弦值.『解』（1）设1A D的中点为N ，连接MN ，则1//MN B D，又MN ⊄平面1B ED ，1B D ⊂平面1B ED，所以//MN 平面1B ED；连接1C N，因为1//C E ND 且1C E ND=，所以1C NDE是平行四边形，所以1//C N DE，又1C N ⊄平面1B ED，DE ⊂平面1B ED ，以1//C N 平面1B ED ； 又1C N MN N⋂=，且1C N ⊂平面1C MN，MN ⊂平面1C MN，所以平面1//C MN 平面1B ED， 又1C M ⊂平面1C MN，所以1//C M 平面1DB E；（2）由（1）得1//C M 平面1DB E，所以直线1C M到平面1B ED距离等于点1C 到平面1B ED的距离，设1C 到平面1B ED的距离为d ，则1111C B EDD B EC V V --=，而11112221323D B EC V -=⨯⨯⨯⨯=，又11DE B E DB ==112DEB S =⨯=，所以1233d ⨯=，解得d =， 所以直线1C M 到平面1B ED的距离为3；（3）连接1A E，则1111A E B E A B ===设点1A 到直线1B E 的距离为h，所以11122h B E ⨯⨯=⨯解得5h =，所以点1A 到直线1B E的距离为.（4）依题意，以C 为原点，分别以,CA ,CB 1CC 的方向为,x ,y z 轴，建系如图，得(0,0,0)C ，(2,0,0)A ，(0,2,0)B ，1(0,0,3)C ，1(2,0,3)A ，1(0,2,3)B ，(2,0,1)D ，(0,0,2)E ，(1,1,3)M ．所以(2,2,0)AB =-，()()12,0,1,0,2,1DE B E =-=--，设平面1DB E 的一个法向量为(,,)n x y z =，则100DE n B E n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2+020x z y z -=⎧⎨--=⎩，令1x =，则(1,1,2)n =-为平面1DB E 的一个法向量， 于是3cos ,||||AB n AB n AB n ⋅〈〉==-． 所以，AB 与平面1DB E 所成角的正弦值为．15. 已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD △是正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，E ，F ，G 分别是PA ，PB ，BC的中点．（1）求平面EFG 与平面ABCD 的夹角的大小；（2）线段PD 上是否存在一个动点M （与线段的端点不重合），使得直线GM 与平面EFG所成角的正弦值为10，若存在，求线段PM 的长度，若不存在，说明理由． 『解』（1）取AD 中点O ，连接PO ，∵PAD ABCD ⊥平面平面， PO AD ⊥，∴PO ABCD ⊥平面，如图以O 点为原点分别以OG OD OP 、、所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，∴()()()()0,0,00,2,04,2,04,2,0O A B C --，，，，()()0,2,0,4,0,0,D G (P ，((0,,2,EF --， ()2,0,0EF =,(4,1,,EG =设平面EFG 的法向量为(),,m x y z =，00EF m EG m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，2040x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩， 取1z =，∴()0,3,1m =，又平面ABCD 的法向量为()0,0,1n =， 设平面EFG 与平面ABCD 所成的二面角为θ，由图示得θ为锐角， ∴1cos 2m n m n θ⋅==⋅，∴平面EFG 与平面ABCD 所成二面角为3π. （3）设(),0,1PM PD λλ=∈，((0,2,GM GP PM GP PD λλ=+=+=-+-， ∴)()4,21GM λλ=--，∴cos ,10216GM m GM m GM m λ⋅===⋅， 即223+10λλ-=，因为()0,1λ∈，所以12λ=，∴存在这样的M ，且2PM =.。
天津市静海区四校2021届高三第一学期12月阶段性检测数学试卷
密 封 装 订 线密 封 线 内 不 要 答 题静海区2020—2021学年度第一学期12月份四校阶段性检测高三 数学 试卷本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
试卷满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷 选择题（共45分）一、选择题（共9题；每题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设全集{}2,1,0,1,2--=U ，集合{}02|2=-+=x x x A ，{}0,2B =-，则()U BC A =（ ）A ．{}1,0B ．{}0,2-C ．{}2,1--D ．{}02. 设x R ∈，则“21x -<”是“201x x +>-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．函数()()33lg x xf x x -=+⋅的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．4.为普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取部分学生参加环保知识测试，这些学生的成绩（分）的频率分布直方图如图所示，数据（分数）的分组依次为[20,40），[40,60），[60,80），[80,100].若分数在区间[20,40）的频数为5，则大于等于60分的人数为（ ）A ． 15B ．20C ．35D ．455. 若一个正四面体的棱长为1，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为（ ）A. B.2π C. D.6．已知||2)(x x x f ⋅=,)5(log 3f a =，)4.0(5.0f b =，)5(log 2=c ，则c b a ,,的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b a c >>7.若抛物线22(0)y px p =>的焦点到双曲线2218x y p-=的渐近线的距离为24p ，则抛物线的标准方程为（ ）A ．216y x = B ．28y x = C ．24y x = D ．232y x =8．己知函数)0,0(sin )(>>=ωωA x A x f 图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2，将)(x f 的图象向右平移31个单位长度，得到函数)(x g 的图象，则下列是函数)(x g 的单调递增区间的为（ ） A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--32,38 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-34,32 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡37,31 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡313,37 9.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，22log (1),(1,0]()173,(,1]22x x f x x x x --∈-⎧⎪=⎨---∈-∞-⎪⎩，若关于x 的方程()=()f x t t R ∈恰有5个不同的实数根12345,,,,x x x x x ，则12345++++x x x x x 的取值范围是（ ）A.(2,1)--B ．(1,1)-C.(1,2)D.(2,3)第Ⅱ卷 非选择题（共105分）二、填空题（共6题；每题5分，共30分.其中第13题中的第一个空3分，第二个空2分.把答案填在相应的横线上.）10. 若复数满足，其中为虚数单位，则在复平面内所对应的点位于第 象限的二项展开式中，2x 的系数为 11在 12.已知直线:(0)l y kx k =>为圆1)3(:22=+-y x C 的切线，则k 为__________．13．某合资企业招聘大学生时加试英语听力，待测试的小组中有男、女生共10人（其中女生人数多于男生人数），若从中随机选2人，其中恰为一男一女的概率为815.求该小组中女生的人数为 ；若该小组中每个女生通过测试的概率均为34，每个男生通过测试的概率均为23.现对该小组中男生甲、53()x x-密 封 装 订 线密 封 线 内 不 要 答 题男生乙和女生丙3人进行测试.记这3人中通过测试的人数为随机变量X ，则数学期望为 。
天津北京师范大学静海附属学校2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试题(解析版)
A.
B.
C. 或
D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】先求解出两直线的交点坐标，然后分类讨论直线的截距是否为 ，由此求解出满足的直线方程.
【详解】解：因 ，所以 ，
当直线的横纵截距都为 时，设 ，代入 可得 ，
所以直线方程为 ，即 ；
当直线的截距不为 时，设 ，代入 可得 ，
（2）若直线 与直线 平行，求两平行直线 与 之间的距离．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】（1）由题意利用直线在坐标轴上的截距的定义，求得 的值．
（2）利用两条直线平行的性质求得 的值，再利用两条平行直线间的距离公式，计算求得结果．
【详解】（1）若直线 ，令 ，求得 在 轴上的截距为 ，
利用中点坐标公式可得： ，由于 ，
故直线 的方向向量为：
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，
所以平面 的一个法向量为
设直线 与平面 所成角为 ，
故A1B1⊥BC，且A1B1∩A1E=A1，
由线面垂直的判定定理可得：BC⊥平面A1B1E，
因为EF⊂平面A1B1E，
所以EF⊥BC.
小问2详解】
在底面ABC内作EH⊥AC，以点E为坐标原点，EH，EC，EA1方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系E﹣xyz.
设 ，则 ，
据Байду номын сангаас可得： ，
由 可得点 的坐标为 ，
（3）由（1）知，平面 的一个法向量为 ，然后由 求解.
【小问1详解】
证明：如图所示，
连接A1E，B1E，
等边 AA1C中，AE=EC，则A1E⊥AC，
静海区高中2019-2020学年高二上学期第一次月考试卷数学
静海区高中2019-2020学年高二上学期第一次月考试卷数学班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．已知||=3，||=1，与的夹角为，那么|﹣4|等于（）A．2 B．C．D．132．如果点P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，那么角θ所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）．当0≤x≤1时，f（x）=x2．若直线y=x+a与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是（）A．0 B．0或C．或D．0或N ，则输出的S的值是（）4．在下面程序框图中，输入44A．251B．253C．255D．260【命题意图】本题考查阅读程序框图，理解程序框图的功能，本质是把正整数除以4后按余数分类. 5． 若函数f （x ）=ax 2+bx+1是定义在[﹣1﹣a ，2a]上的偶函数，则该函数的最大值为（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．26． 阅读右图所示的程序框图，若8,10m n ==，则输出的S 的值等于（ ） A ．28 B ．36 C ．45 D ．120 7． 设i 是虚数单位，则复数21ii-在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限8． 2016年3月“两会”期间，有代表提出适当下调“五险一金”的缴存比例，现拟从某工厂职工中抽取20名代表调查对这一提案的态度，已知该厂青年，中年，老年职工人数分别为350，500，150，按分层抽样的方法，应从青年职工中抽取的人数为（ ）A. 5B.6C.7D.10【命题意图】本题主要考查分层抽样的方法的运用，属容易题.9．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（）A．B．C．D．610．若复数z满足iz=2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是（）A．（2，4）B．（2，﹣4）C．（4，﹣2）D．（4，2）11．某工厂产生的废气经过过虑后排放，过虑过程中废气的污染物数量P（单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）间的关系为0e ktP P-=（P，k均为正常数）．如果前5个小时消除了10%的污染物，为了消除27.1%的污染物，则需要（）小时.A.8B.10C. 15D. 18【命题意图】本题考指数函数的简单应用，考查函数思想，方程思想的灵活运用，体现“数学是有用的”的新课标的这一重要思想.12．与﹣463°终边相同的角可以表示为（k∈Z）（）A．k360°+463°B．k360°+103°C．k360°+257°D．k360°﹣257°二、填空题13．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数()1 ee xxf x=-，其中e为自然对数的底数，则不等式()()2240f x f x-+-<的解集为________．14．等比数列{a n}的公比q=﹣，a6=1，则S6=．15．已知集合{}|03,A x x x R=<∈≤，{}|12,B x x x R=-∈≤≤，则A∪B＝▲．16．已知点A（2，0），点B（0，3），点C在圆x2+y2=1上，当△ABC的面积最小时，点C的坐标为．17．数据﹣2，﹣1，0，1，2的方差是．18．已知f（x）=，则f（﹣）+f（）等于．三、解答题19．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，AB ⊥PA ，BC=2AB=2AD=4BE ，平面PAB ⊥平面ABCD ，（Ⅰ）求证：平面PED ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若直线PE 与平面PAC 所成的角的正弦值为，求二面角A ﹣PC ﹣D 的平面角的余弦值．20．设函数．（1）若x=1是f （x ）的极大值点，求a 的取值范围．（2）当a=0，b=﹣1时，函数F （x ）=f （x ）﹣λx 2有唯一零点，求正数λ的值．21．本小题满分12分已知椭圆C 2． Ⅰ求椭圆C 的长轴长；Ⅱ过椭圆C 中心O 的直线与椭圆C 交于A 、B 两点A 、B 不是椭圆C 的顶点，点M 在长轴所在直线上，且22OMOA OM =⋅,直线BM 与椭圆交于点D ，求证：AD ⊥AB 。
天津静海县第四中学2021年高二数学理月考试卷含解析
天津静海县第四中学2021年高二数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设等差数列{a n}的公差d≠0，a1=2d，若a k是a1与a2k+1的等比中项，则k=（）A．2 B．3 C．6 D．8参考答案：B【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】根据等差数列的通项公式表示出a k与a2k+1，由a k是a1与a2k+1的等比中项，根据等比数列的性质列出关系式，根据公差d不为0，化简后得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．【解答】解：由a1=2d，得到a k=2d+（k﹣1）d=（k+1）d，a2k+1=2d+2kd=（2k+2）d，又a k是a1与a2k+1的等比中项，所以[（k+1）d]2=2d[（2k+2）d]，化简得：（k+1）2d2=4（k+1）d2，由d≠0，得到：（k+1）2=4（k+1），即k2﹣2k﹣3=0，k为正整数，解得：k=3，k=﹣1（舍去），则k的值为3．故选：B．2. 在下列命题中：①若、共线,则、所在的直线平行；②若、所在的直线是异面直线,则、一定不共面；③若、、三向量两两共面,则、、三向量一定也共面；④已知三向量、、,则空间任意一个向量总可以唯一表示为=x+y+z.其中真命题的个数为 ( )A.0B.1C.2D.3参考答案：A3. “λ＜1”是“数列a n=n2﹣2λn为递增数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据数列的单调性以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：a n=n2﹣2λn的对称轴为n=λ，当λ＜1时，a n=n2﹣2λn在[1，+∞）上是增函数，则数列a n=n2﹣2λn为递增数列，即充分性成立，若数列a n=n2﹣2λn为递增数列，则满足对称轴λ＜，则λ＜1不成立，即必要性不成立，则“λ＜1”是“数列a n=n2﹣2λn为递增数列”的充分不必要条件，故选：A4. 在等比数列{a n}中，若a3a6=9，a2a4a5=27，则a2的值为（）A．2 B．3 C．4 D．9参考答案：B【考点】等比数列的通项公式．【分析】设公比为q，可得=9， =27，两式相除可得答案．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，由题意可得a3a6===9，①a2a4a5===27，②可得a2=3故选B5. 若f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则f（x）的单调递增区间为（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，0）∪（2，+∞） C．（2，+∞）D．（0，+∞）参考答案：C【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】确定函数的定义域，求出导函数，令导数大于0，即可得到f（x）的单调递增区间．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞）求导函数可得：f′（x）=2x﹣2﹣，令f′（x）＞0，可得2x﹣2﹣＞0，∴x2﹣x﹣2＞0，∴x＜﹣1或x＞2∵x＞0，∴x＞2∴f（x）的单调递增区间为（2，+∞）故选C．6. 已知复数z=1+2i，则等于（）A．5+4i B．1﹣2i C．1 D．2参考答案：B【考点】A2：复数的基本概念．【专题】35 ：转化思想；4A ：数学模型法；5N ：数系的扩充和复数．【分析】直接由复数z=1+2i即可求出．【解答】解：由z=1+2i，得．故选：B．【点评】本题考查了复数的基本概念，是基础题．7. 函数图像上一点，以点为切点的切线为直线，则直线的倾斜角的范围是（）A. B．C． D．参考答案：D略8. 如果椭圆的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（）A. B.C. D.参考答案：D9. 已知,为两个不相等的非零实数，则方程与所表示的曲线可能是（）A B CD参考答案：C10. 有下列四个命题：①“若，则a，b全为0”的逆否命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若“”，则有实根”的逆否命题；④“矩形的对角线相等”的逆命题．其中真命题为（）A．①②B．①③C．②③D．③④参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 不等式组表示的平面区域的面积是参考答案：3612. 求的值域____.参考答案：【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系化简函数解析式，再利用正弦函数的定义域和值域、二次函数的性质，求得函数在上的值域。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
静海四中2020—2021学年度高二数学第一次月考试卷
一、选择题（每题4分，共40分）
1．下列说法正确的是（）
A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底
B．空间的基底有且仅有一个
C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D．基底中基向量与基底基向量对应相等
2.，，那么向量（）.
A．B．C．D．
3．直线的倾斜角为（）
A．B． C．D．
4．若直线与两坐标轴围成的三角形的面积S为（）A．B．C．D．
5.已知点A(1，－2)、B(m,2)，且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是( ) A．－2 B．－7 C．3 D．1
6．已知，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（）.A．B．C．D．
7．如图所示，在正方体中，若为的中点，则与所成角的余弦值为（）
A. B. C. D.
8.直线的图象可能是( )
A．B．C．D．
9．已知平面α、β的法向量分别为)4,,1(y a -=、
)2,1,(--=x b 且β⊥α，则y x +的值为( ) A 、8- B 、 4- C 、4 D 、8
10．经过点()1,1M 且在两坐标轴上截距相等的直线是（ ） A ．2x y +=
B ．1x y +=
C ．2x y +=或y x =
D ．1x =或1y =
二、填空题（每题4分，共20分）
11.已知直线L 1 过点p(2,1)且与直线：y=x+1平行，则的点斜式方程为 ． 12.已知直线 L 的方向向量为 (2,m,1)，平面 的法向量为
，且 L//
，则
________________．
13．若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，
则m ＝_____ 14．向量
，若
，且
，则
的值为
15．在空间直角坐标系中，已知点)2,0,1(A ，)1,3,1(-B ，点M 在y 轴上，且M 到A 与到B 的距离相等，则M 的坐标是 。
三．解答题（每题12分，共60分）
16、若直线l 的方程为220()ax y a a R +--=∈. （1）若直线l 与直线:20m x y -=垂直，求a 的值； （2）若直线l 在两轴上的截距相等，求该直线的方程
17、如图，在平行六面体中，AB=5,AD=3,AA 1=4，
，
1111ABCD A B C D -90DAB ∠=︒
，E 是的中点,设
1
,,AB a AD b AA c ===
（1）用 ,,a b c 表示；（2）求的长．
18．已知的顶点，，． 求：（1）边上的中线所在直线的方程； （2）求点关于直线对称点坐标．
19. 如图 , 在三棱锥 P-ABC 中 , PA ⊥ 底面ABC,AB=AC=3 ,
(1)证明:平面 PBC ⊥平面 PAD; (2).若三棱锥 P-ABD 的体积为 ,且 AB ⊥AC,求平面 PAB 与平面 PDE 所成锐二面角的余
弦值.
1160BAA DAA ∠=∠=︒1CC AE AE ABC △()2,4A ()0,2B -()4,2C -AB CM A BC
20.在四棱锥P - ABCD中,PA⊥底面ABCD，AD⊥AB,AB//DC,AD=DC=AP=2, AB=1, 点E为棱PC中点，
(1)证明：BE // 面PAD (2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
（3）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F-AB-P的余弦值。