三个数的均值定理

表述:三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
推广
对于 n 个正数 a1 , a2 , a3 ,an， 它们的算术 平均值不小于它们的几何平均值，
a1 a2 a3 an ≥ n a1a2 a3 an 即 n
(当且仅当 a1 a2 a3 an 时取等号.)
2
ymin 3 4
3
达标检测
12 1.函数 y 3x 2 ( x 0) 的最小值是 ( C ) x
A.6
2
B.
6 6
C.9
D.12
16 8 2.函数 y 4 x 2 2 的最小值是____________ ( x 1)
3.函数
y x (2 x )(0 x 2 ) 的最大值是（ D ）
注：一正、二定、三等。
理论迁移
例1：已知 、b、c都是正数，求证： b c)3 27abc a (a
1 例2 求函数 y x (1 3 x)在 [0, ]上的最大值. 3
2
例3.将一块边长为a的正方形铁皮,剪去四个角(四 个全等的正方形),作成一个无盖的铁盒,要使其容 积最大,剪去的小正方形的边长为多少?最大容积 是多少? a a 2xx
探究一 三个正数的均值不等式
等号成立的条件是什么 ？
问题1：由a 2 b 2 2ab推广到三个数又如何？ 怎样证明？
和的立方公式： x ( 立方和公式： x 3
y ) x 3 x y 3 xy y
3 3 2 2
3
y ( x y )( x xy y )
变式 (1)当0 x 1 , 求函数y x 2 (1 x)的最大值 时 .
(2)当0 x 1时, 求函数y x(1 x 2 )的最大值 .
思考：下列解法正确吗？
3 求函数y 2 x , ( x 0)的最小值. x
2
解:
3 2 2 1 2 1 2 y 2 x 2 x 33 2 x 33 4 x x x x x
三个正数的均值不等式
【学习目标】 1．了解三个正数的算术平均值与几何平均值的大小． 2．会用三个正数的均值不等式解决一些简单的问题． 【学法指导】 1．要善于通过由两个正数的均值不等式推广到三个及多个 正数的均值不等式． 2．利用均值不等式解决问题是特别注意等号成立的等价条 件．
复习回顾
1．如果 a，b∈R，那么 a2＋b2 ≥ 2ab(当且仅当 a＝b “＝”号)． a＋b ≥ 正 数， 2． a， 都为 若 b 那么 2 等号成立)，称上述不等式为 为 a，b 的算术平均数，
热身训练
1 1 1.(1)若正数x、y满足x+2y＝1.求 的最小值； x y
3 2 2
(2)若x、y∈R+，且2x+8y-xy＝0.求x+y的最小值.
18
2.已 知x 1, y 2, 且x y 15, 求D ( x 1)( y 2) 的最大值 .
36
自主学习教材- -9页的内容， 8 解决下列问题
4 2
A.0
B.1
16 C. 27
32 D. 27
归纳延伸
通过本节学习，要求大家掌握三个正数的算术平均数 不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一 些不等式及求函数的最值，但是在应用时，应注意定 理的适用条件。
课后作业
1．教材 10 页 10、11、12、13 提示：11 题条件两边平方解决 2．预习绝对值不等式
探究二 三个正数的均值不等式的应用
设 x , y , z 都是正数，则有 ⑴若 xyz S （定值） ， 3 小 3 S 则当 x y z 时， x y z 有最_____值_____. 3 p ⑵若 x y z p （定值） ， 大 27 则当 x y z 时， xyz 有最_____值_______.
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ab
时取
ab(当且仅当 a ＝ b 时， 称
a＋b 基本 不等式，其中 2
称为 a，b 的几何平均数．
a＋b ≤ 3．当 a>0，b>0 时， 1 1≤ ab≤ 2 ＋ a b
2
a2＋b2 2
调和平均值≤几何平均值≤算术平均值≤平方平均值
4．设 x，y 为正实数
s2 (1)若 x＋y＝s(和 s 为定值)， 则当 x＝y 时， xy 有最 大 值为 4 . 积
(2)若 xy＝p(积 p 为定值)，则当 x＝y 时，和 x＋y 有最 小 值 为2 p. 5．利用基本不等式求积的最大值或和的最小值时，需满足： (1)x，y 必须是 正数 ； (2)求积 xy 的最大值时，应看和 x＋y 是否为定值；求和 x＋y 的最小值时，应看积 xy 是否为 定值 ． (3)等号成立的条件是否满足．利用基本不等式求最值时，一 定要注意三个前提条件，这三个前提条件概括为“一正、二定、 三相等”．
3 2 2
问 题2： 三 个 正 数 的 算 术 平 数 与 几 何 平 均 数 的 大 关 均 小 系 如 何 ？ 怎 样 证 明 ？号 成 立 的 条 件 是 什 么 ？ 等
问题3：由两个正数、三个正 数推广到多个正数又如 何？
三个正数的算术-几何平均不等式 定理

abc 3 若a, b.c R , 那么 abc , 3 当且仅当a b c时，等号成立。