解析法在几何中的应用 -
解析法求解平面汇交力系
解析法求解平面汇交力系平面力系指的是由多个力组成的力系，这些力都在同一平面内作用。
求解平面力系的关键在于解析出各个力的作用方向、大小和作用点的坐标，然后根据力的平衡条件和力的合成、分解原理进行计算。
1. 画出力的几何示意图：根据题目中所给的力的作用点和方向，画出力的向量图，力的箭头表示力的方向，力的长度表示力的大小。
2. 分解力成分力：对于力的向量图，将其分解为x轴和y轴方向上的分力，分解后的力可以表示为：F = Fx + Fy。
Fx表示力F在x轴方向上的分力，Fy表示力F在y轴方向上的分力。
3. 定义力的作用点坐标：确定力的作用点在平面坐标系中的坐标，通常以力的作用点的横坐标和纵坐标表示。
4. 列出力的平衡条件：根据力的平衡条件，即合力为零的条件，列出力的平衡方程。
对于x轴方向的平衡方程，其形式为：ΣFx = 0；对于y轴方向的平衡方程，其形式为：ΣFy = 0。
5. 解力的平衡方程组：根据平衡方程组，利用代数方法解出未知数，即力的分量和作用点的坐标。
6. 检验结果：将得到的力的分量和作用点的坐标带入平衡方程组，验证方程是否成立。
如果方程成立，则说明求解正确；如果方程不成立，则说明求解有误，需要重新检查和修改。
需要注意的是，在使用解析法求解平面力系时，要注意以下几点：1. 力的分解应按照受力物体的几何形状和受力方向进行。
比如对于斜面上的力，可以将其分解为垂直于斜面和平行于斜面的两个分力。
2. 力的分解和合成要遵循力的平行四边形定则和三角形定则，即分力的矢量和等于合力的矢量，分力的矢量差等于合力的矢量。
3. 力的平衡条件适用于平面力系的任意一个物体或系统，当物体处于平衡状态时，所有受力物体的合力为零。
4. 解析法求解平面力系是一种数学方法，在具体应用时，要注意对力和作用点的坐标进行数值计算，并且要有良好的数学推导能力。
解析法是一种较为常用的求解平面力系的方法，适用于各类平面力系的求解。
通过分解力成分力，列出平衡方程组，并利用代数方法进行求解，可以得到力的作用方向、大小和作用点的坐标。
第三章、解析法相对定向
2、单独法解析相对定向原理
Z1
Y1
B
S1
X1
y1
Z2 Y2
S2
1、坐标系构建：单独像对相对定向
是以摄影基线作为像空间辅助的X
轴，以左摄影中心S1为原点，左像 片主光轴与摄影基线B组成的平面
X2
构成右手直角坐标系S1-X1Y1Z1如图
y2 所示
a1(X1 ,Y1 ,Z1)
x1
a2(X2 ,Y2 ,Z2)
此时左、右像片的相对方位元素分 别为：
x2
左像片：
Xs1=0,Ys1=0,Zs1=0； 1，1=0，1 ； 右像片：
Xs2=Bx＝B, Ys2=By＝0, Zs2=Bz＝0； 2，2，2 ； A
2、单独法解析相对定向原理
X1
x1
Y1
R1
y1
Z1
f
X1
a2(X2 ,Y2 ,Z2)
a1(X1 ,Y1 ,Z1)
x1
A
X2 y2
x2
Bx X1 X 2 Bx
By Y1 Y2 By
Bx By Bz X1 Y1 Z1
X 2 Y2 Z 2
0
Bz Z1 Z2 Bz
连续法解析相对定向原理
s2
B
Bz
s1
Bx
By
By Bx tg Bx
Bz
Bx
cos
X = (ATPA)-1ATPL
三、相对定向元素计算
❖ 获取已知数据 x0 , y0 , f
❖ 确定相对定向元素的初值 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝0 ,
bx=x1-x2 ❖ 由相对定向元素计算像空间辅助坐标 X1, Y1, Z1 , X2, Y2,
解析法在平面解析几何中的应用
解析法在平面解析几何中的应用解析几何的产生十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需要。
比如，德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利略发现投掷物体试验着抛物线运动的。
这些发现都涉及到圆锥曲线，要研究这些比较复杂的曲线，原先的一套方法显然已经不适应了，这就导致了解析几何的出现。
解析几何的基本内容在解析几何中，首先是建立坐标系。
如上图，取定两条相互垂直的、具有一定方向和度量单位的直线，叫做平面上的一个直角坐标系oxy。
利用坐标系可以把平面内的点和一对实数(x,y)建立起一一对应的关系。
除了直角坐标系外，还有斜坐标系、极坐标系、空间直角坐标系等等。
在空间坐标系中还有球坐标和柱面坐标。
坐标系将几何对象和数、几何关系和函数之间建立了密切的联系，这样就可以对空间形式的研究归结成比较成熟也容易驾驭的数量关系的研究了。
用这种方法研究几何学，通常就叫做解析法。
这种解析法不但对于解析几何是重要的，就是对于几何学的各个分支的研究也是十分重要的。
解析几何的创立，引入了一系列新的数学概念，特别是将变量引入数学，使数学进入了一个新的发展时期，这就是变量数学的时期。
解析几何在数学发展中起了推动作用。
恩格斯对此曾经作过评价“数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变书，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了，……”解析几何的应用解析几何又分作平面解析几何和空间解析几何。
在平面解析几何中，除了研究直线的有关直线的性质外，主要是研究圆锥曲线（圆、椭圆、抛物线、双曲线）的有关性质。
在空间解析几何中，除了研究平面、直线有关性质外，主要研究柱面、锥面、旋转曲面。
椭圆、双曲线、抛物线的有些性质，在生产或生活中被广泛应用。
比如电影放映机的聚光灯泡的反射面是椭圆面，灯丝在一个焦点上，影片门在另一个焦点上；探照灯、聚光灯、太阳灶、雷达天线、卫星的天线、射电望远镜等都是利用抛物线的原理制成的。
解析法测距
解析法测距一、引言测距是在生活和工程实践中常常需要解决的问题之一。
无论是测量两点之间的距离，还是确定目标物体与观测点之间的距离，准确的测距都是至关重要的。
在解析法测距中，我们通过分析不同数据和信息的关系，利用数学和物理的原理来计算距离。
本文将对解析法测距的原理、应用以及相关技术进行全面的探讨。
二、解析法测距的原理解析法测距是一种基于解析几何和三角学原理的测距方法。
其核心思想是通过分析目标物体与观测点之间的几何关系，计算出它们之间的距离。
具体而言，解析法测距可以分为以下几个步骤：2.1 确定观测点和目标物体首先需要确定观测点和目标物体的位置。
观测点是测距的测量点，通常是一个已知位置的点，可以是人的眼睛、测距仪器的接收点等。
目标物体是待测距的物体，可以是建筑物、地标、目标车辆等。
2.2 获取观测数据通过测量、观测或其他手段获取目标物体与观测点之间的数据。
这些数据可以是角度、长度、高度等，具体取决于实际测距的需求和条件。
2.3 建立几何模型根据观测数据建立几何模型，在模型中将观测点、目标物体和其他相关要素表示为几何形状，比如点、直线、平面等。
这个几何模型是解析法测距的基础。
2.4 利用解析几何和三角学计算距离利用解析几何和三角学的原理，通过分析几何模型中的数据和信息关系，计算出目标物体与观测点之间的距离。
具体的计算方法可以根据不同的几何模型和数据类型灵活选择，比如利用角度和长度的关系计算三角形的边长，或者利用平移和旋转变换计算两点之间的距离等。
2.5 校正和修正在测距过程中可能存在误差，需要进行校正和修正。
校正是指通过实验或其他手段对测距结果进行检验，找出并修正测量中的误差。
修正是指通过对数据和模型进行调整，提高测距的准确性和精度。
三、解析法测距的应用解析法测距在各个领域都有广泛的应用，特别是在工程测量、地理测绘和导航定位等领域更是不可或缺的工具。
以下是一些解析法测距的常见应用：3.1 地图绘制和测量在地理测绘和地图绘制中，解析法测距是获取地理空间距离信息的重要方法。
几何解析法
几何解析法几何解析法是一种通过数学几何的方法来解决问题的技术。
它将几何问题转化为代数问题，通过运用代数的性质和技巧来求解。
几何解析法在数学、物理等领域都有广泛的应用，可以帮助我们更好地理解和分析问题。
一、几何解析法的基本原理几何解析法的基本原理是将几何图形中的点用坐标表示，通过坐标的运算和代数的方法来研究几何问题。
在平面几何中，我们可以用直角坐标系来表示一个点的位置，其中x轴和y轴分别代表了水平和垂直的方向。
在空间几何中，我们可以用三维直角坐标系来表示一个点的位置，其中x轴、y轴和z轴分别代表了水平、垂直和深度的方向。
二、几何解析法的应用1. 几何定理的证明：通过几何解析法，我们可以更直观地解释和证明各种几何定理。
例如，我们可以通过坐标的运算来证明平行线的性质，或者证明相似三角形的性质。
2. 图形的性质分析：通过几何解析法，我们可以分析和研究各种图形的性质。
例如，我们可以通过坐标的运算来计算图形的面积、周长和中心点的位置，从而更好地理解和描述图形的特征。
3. 几何问题的求解：通过几何解析法，我们可以求解各种几何问题。
例如，我们可以通过坐标的运算来求解两条直线的交点、两个图形的重叠部分或者一个图形的对称图形。
三、几何解析法的优缺点几何解析法的优点是可以通过代数的方法来求解几何问题，使问题更具有普遍性和一般性。
几何解析法还可以通过坐标的运算和代数的技巧来解决复杂的几何问题，提高问题的求解效率。
然而，几何解析法也有一些缺点。
首先，几何解析法需要使用坐标系和代数运算，对于一些几何问题来说可能会增加一定的复杂性。
其次，几何解析法的应用范围相对有限，对于一些非线性和非平面的几何问题可能无法有效地求解。
四、几何解析法的案例分析为了更好地理解几何解析法的应用，我们可以通过一个案例来进行分析。
假设我们需要求解一个平面上的三角形的面积。
我们可以将三角形的三个顶点用坐标表示，然后通过坐标的运算来计算三角形的面积。
具体的步骤如下：1. 假设三角形的三个顶点分别为A、B和C，它们的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）和（x3，y3）。
解析几何十一种方法
解析几何11种方法解析几何是数学的一个重要分支，它使用代数方法来研究几何对象。
以下是11种解析几何的方法：1.坐标法：这是解析几何中最基本的方法，通过引入坐标系，将几何问题转化为代数问题，进而通过代数运算解决几何问题。
2.参数法：当某些几何量（如距离、角度等）不容易直接求出时，可以引入参数，将问题转化为参数的求解问题。
3.向量法：向量是解析几何中的重要工具，它可以表示点、方向、速度等几何概念，通过向量的运算可以方便地解决许多几何问题。
4.极坐标法：在平面几何中，除了直角坐标系外，还可以使用极坐标系。
通过极坐标，可以方便地表示点和线的方程，并解决相关问题。
5.复数法：复数在解析几何中也有广泛应用，例如在解决圆的方程时，可以通过复数的方法简化计算。
6.三角法：在解析几何中，三角函数是重要的工具，它可以用来表示角度、长度等几何量，并解决相关问题。
7.面积法：在解决几何问题时，有时可以通过计算面积来找到解决方案，例如在解决三角形问题时。
8.解析法：通过解析几何的方法，可以将几何问题转化为代数问题，进而通过代数运算解决几何问题。
9.代数法：代数法是解析几何中的一种重要方法，通过代数运算和代数方程的求解，可以解决许多几何问题。
10.对称法：在解析几何中，有时可以通过观察图形的对称性来找到解决方案，例如在解决关于对称点、对称线的问题时。
11.数形结合法：数形结合是解析几何中的一种重要思想，通过将代数与几何相结合，可以更方便地解决许多问题。
以上就是解析几何的11种方法。
需要注意的是，每种方法都有其适用的范围和局限性，需要根据具体的问题选择合适的方法来解决。
刀具工作角度的计算方法——解析法
在计算刀具工作角度时，可以采用解析法。
解析法基于切削刃的几何形状和位置，通过数学表达式来计算工作角度。
这种方法适用于复杂的刀具形状和几何参数。
以下是一个简单的例子来说明解析法的基本步骤：
定义变量和已知量：例如，已知前角（γ0）、后角（α0）、刃倾角（λs）和切削速度（v）等。
根据切削刃的几何形状和位置，确定切削刃上各点的坐标。
根据已知的工作角度和切削刃上各点的坐标，建立数学模型，计算工作角度。
通过求解数学模型，得到刀具工作角度的结果。
需要注意的是，解析法的精度取决于所采用的数学模型和切削刃几何形状的复杂性。
对于复杂的刀具形状和几何参数，需要采用更精确的数学模型和计算方法。
解析法求解平面汇交力系
解析法求解平面汇交力系1. 引言1.1 导言在工程结构设计中，平面汇交力系是一种常见的受力形式。
当结构系统受到多个力的作用时，这些力可能会在同一平面内交汇，形成所谓的平面汇交力系。
解析法是解决平面汇交力系的一种重要方法，通过将受力结构拆分成若干简单的部件，逐一求解每个部件的受力情况，最终得出整个结构的受力状态。
解析法求解平面汇交力系的过程相对繁琐，但却具有广泛的适用性和准确性。
通过该方法，工程师可以有效地分析和设计各种结构系统，确保其在受到外部力作用时能够正常工作并具有足够的安全性。
本文将通过介绍解析法的基本原理、平面汇交力系的概念、解析法求解平面汇交力系的步骤、以及通过案例分析和优缺点分析，总结出解析法在解决平面汇交力系问题中的优势和局限性。
结合工程实践，展望解析法在未来的发展方向和应用前景。
2. 正文2.1 解析法的基本原理解析法是工程力学中常用的一种方法，用于求解复杂的力系。
它基于平面静力学的基本原理，通过分解力的大小和方向，将复杂的力系简化为若干个简单的力系，从而方便进行计算和分析。
在解析法中，首先需要将给定的力系统进行分解，将力的大小和方向拆分为水平方向和垂直方向的分力。
然后利用平衡条件，即力矩平衡和力的平衡，来求解各个未知力的大小和方向。
通过逐步分解和平衡计算，可以得到整个力系的解析解。
解析法在解决平面汇交力系时尤为重要，因为平面汇交力系涉及多个力的作用，且力的方向和大小不确定。
通过解析法，可以清晰地分析每个力的作用，进而求解系统的平衡条件，从而得到准确的结果。
2.2 平面汇交力系的概念平面汇交力系是指多个力在同一个平面内作用于一个物体上的力系统。
在平面汇交力系中，可以通过解析法来求解各个力的大小、方向和作用点位置，以便准确分析物体的平衡状况和受力情况。
1. 力的合成：在平面汇交力系中，多个力可能同时作用在物体上，这些力的合成可以通过向量的方法来求解，即将各个力按照其大小和方向绘制成向量，在平面上进行几何构图可得到力的合成结果。
浅析解析法在立体几何中的妙用
浅析解析法在立体几何中的妙用立体几何中的三视图可以有两种画法，即轴测图和解析图，这二者之间是相互关联的，只能是其中一个，而不可能有两个。
那么，解析几何为什么不能用轴测图呢？因为轴测图是一个封闭图形，它无法看到立体图形的每一个面，即不能全面反映立体图形的形状特征。
解析几何是在平面几何的基础上发展起来的一门学科，它主要研究平面图形经过旋转、平移、对称变换到平面后的性质。
通过将三视图与投影图相结合，找出各点的位置及线段的长度，这样就可以解决问题了。
如果采用轴测图，必须根据视图画出物体的实际大小再由物体的大小推算出物体的具体位置。
这样虽然我们在立体几何问题中计算简便了，但是我们忽略了一些比较重要的东西，比如三视图不同于轴测图，轴测图的任何一个视图都不能完整的表达出立体图形的特征，这是为什么呢？此外，在解决立体几何问题时，采用轴测图的视图进行分析，那么势必会使线段的数量增加很多，当分析问题的某些条件不符合要求时，其不足之处就更明显了。
比如当一条线段是直线时，用轴测图的视图，线段将变得弯曲，在画线段时必须加粗，而用解析图时，这条线段就不必再用加粗的方式表示了。
有些简单问题也可以直接用解析法分析，但是难度较大的就需要先用轴测图的视图进行分析，然后再利用解析法分析，这样才能最终得出正确答案。
所以，三视图相对于轴测图，是比较符合客观事实的。
4、三视图要正确。
解析三视图的画法，对于平面图形和空间图形来说，都是一致的。
只不过在画法上有些差别，轴测图和解析图是一般来讲不要求标准画法，所以轴测图的各个视图的长度、角度、大小等并没有统一的标准。
平面图形的三视图一般来讲都是正确的。
但解析图的各个视图与轴测图的各个视图要按照正规方法画，尽管轴测图和解析图都有一定的局限性，但是轴测图和解析图的缺陷不是普遍性的。
5、还应注意的是三视图也是相对的，是一个比较大的概念。
因为它不仅仅涉及空间几何，也牵扯到数学、物理等领域。
因此，学习解析几何的关键是抓住其内涵和本质，深刻认识到“解析几何”四个字的内涵，这样才能真正地认识和掌握它。
几何法证明不等式(精选多篇)
几何法证明不等式(精选多篇)几何法证明不等式用解析法证明不等式：^2(a,b∈r，且a≠b)设一个正方形的边为c,有4个直角三角形拼成这个正方形,设三角形的一条直角边为a,另一条直角边为b,(b>a)a=b,刚好构成,若a不等于b时,侧中间会出现一个小正方形,所以小正方形的面积为(b-a)^2,经化简有(b+a)^2=4ab,所以有((a+b)/2)^2=ab,又因为(a^2+b^2)/2>=ab,所以有((a+b)/2)^2可以在直角三角形内解决该问题=^2-(a^2+b^2)/2=/4=-(a-b)^2/4能不能用几何方法证明不等式，举例一下。
比如证明sinx不大于x(x范围是0到兀/2，闭区间)做出一个单位圆，以o为顶点，x轴为角的一条边任取第一象限一个角x，它所对应的弧长就是1*x=x那个角另一条边与圆有一个交点交点到x轴的距离就是sinx因为点到直线，垂线段长度最小，所以sinx小于等于x，当且尽当x=0时，取等已经有的方法：第一数学归纳法2种;反向归纳法(特殊到一般从2^k 过渡到n);重复递归利用结论法;凸函数性质法;能给出其他方法的就给分(a1+a2+...+an)/n≥(a1a2...an)^(1/n)一个是算术，一个是几何。
人类认认识算术才有几何，人类吃饱了就去研究细微的东西，所以明显有后者小于前者的结论，这么简单都不懂，叼佬就是叼佬^_^搞笑归搞笑，我觉得可以这样做，题目结论相当于证(a1+a2+...+an)/n-(a1a2...an)^(1/n)≥0我们记f(a1,a2,……,an)=(a1+a2+...+an)/n-(a1a2...an)^(1/n)这时n 看做固定的。
我们讨论f的极值，它是一个n元函数，它是没有最大值的(这个显然)我们考虑各元偏导都等于0，得到方程组，然后解出a1=a2=……=an再代入f中得0，从而f≥0，里面的具体步骤私下聊，写太麻烦了。
初三平面几何的解析法
初三平面几何的解析法几何学是数学的一个重要分支，主要研究空间和图形的性质以及它们之间的关系。
解析几何是几何学的一种方法，它通过代数方法研究几何问题，使得复杂的几何推理转化为简单的代数计算。
在初三阶段学习平面几何时，解析法可以为我们提供一种更加直观、清晰的思考方式。
本文将介绍初三平面几何的解析法及其应用。
1. 点的坐标表示在解析几何中，我们使用坐标系来表示点的位置。
常见的是二维坐标系，也就是笛卡尔坐标系，其中有一个水平的x轴和一个垂直的y 轴，它们的交点称为原点，通常表示为O。
我们可以用一个有序数对(x, y)来表示一个点的坐标，其中x代表水平方向上的位置，y代表垂直方向上的位置。
例如，点A的坐标为(2, 3)，表示A在x轴上距离原点2个单位，y轴上距离原点3个单位。
2. 直线的方程表示在解析几何中，我们可以用方程表示直线。
常见的直线方程有斜截式和一般式两种形式。
2.1 斜截式方程斜截式方程的一般形式为y = kx + b，其中k是直线的斜率，b是直线与y轴的截距。
我们可以通过两个已知点的坐标来确定直线的斜率，并利用其中一个点的坐标代入方程，求解出直线与y轴的截距b。
2.2 一般式方程一般式方程的一般形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C是常数，且A和B不同时为0。
我们可以通过两个已知点的坐标，利用直线的斜率公式和垂直平分线的性质，得到直线方程的一般式表示。
3. 直线与直线之间的关系3.1 平行当两条直线的斜率相等时，它们是平行的。
我们可以通过斜截式方程或一般式方程计算出直线的斜率，并进行比较。
3.2 垂直当两条直线的斜率的乘积为-1时，它们是垂直的。
我们可以通过斜截式方程或一般式方程计算出直线的斜率，并进行比较。
4. 直线与圆的关系4.1 判断点是否在圆上一个点在圆上，当且仅当点到圆心的距离等于圆的半径。
我们可以计算点到圆心的距离，与圆的半径进行比较。
4.2 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系主要有相离、相切和相交三种情况。
第56讲 解析法证几何题
第56讲 解析法证 几何题解析法是利用代数方法解决几何问题的一种常用方法．其一般的顺序是：建立坐标系，设出各点坐标及各线的方程，然后根据求解或求证要求进行代数推算．它的优点是具有一般性与程序性，几何所有的平面几何问题都可以用解析法获解，但对于有些题目演算太繁．此外，如果建立坐标系或设点坐标时处理不当，也可能增加计算量．建系设点坐标的一般原则是使各点坐标出现尽量多的0，但也不可死搬教条，对于一些“地位平等”的点、线，建系设点坐标时，要保持其原有的“对称性”．A 类例题例1．如图，以直角三角形ABC 的斜边AB 及直角边BC 为边向三角形两侧作正方形ABDE 、CBFG ．求证：DC ⊥F A ．分析 只要证k CD ·k AF ＝－1，故只要求点D 的坐标．证明 以C 为原点，CB 为x 轴正方向建立直角坐标系．设A (0，a)，B(b，0)，D(x，y)．则直线AB的方程为ax＋by－ab＝0．故直线BD的方程为bx－ay－(b·b－a·0)＝0，即bx－ay－b2＝0．ED方程设为ax＋by＋C＝0．由AB、ED距离等于|AB|，得|C＋ab|a2＋b2＝a2＋b2，解得C＝±(a2＋b2)－ab．如图，应舍去负号．所以直线ED方程为ax＋by＋a2＋b2－ab＝0．解得x＝b－a，y＝－b．(只要作DH⊥x轴，由△DBH≌△BAC就可得到这个结果)．即D(b－a，－b)．因为k AF＝b－ab，k CD＝－bb－a，而k AF·k CD＝－1．所以DC⊥F A．例2．自ΔABC的顶点A引BC的垂线，垂足为D，在AD上任取一点H，直线BH交AC于E，CH交AB于F．试证：AD平分ED与DF所成的角．证明建立直角坐标系，设A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，H(0，h)，于是BH：xb＋yh＝1AC：xc＋ya＝1过BH、AC的交点E的直线系为：λ(xb＋yh－1)＋μ(xc＋ya－1)＝0．以(0，0)代入，得λ＋μ＝0．分别取λ＝1，μ＝－1，有x(1b－1c)＋y(1h－1a)＝0．所以，上述直线过原点，这是直线DE．同理，直线DF为x(1c－1b)＋y(1h－1a)＝0．显然直线DE与直线DF的斜率互为相反数，故AD平分ED与DF所成的角．说明写出直线系方程要求其中满足某性质的直线，就利用此性质确定待定系数，这实际上并不失为一种通法．例3．证明：任意四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和再加上对角线中点连线的平方的4倍．证明在直角坐标系中，设四边形四个顶点的坐标为A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，A3(x3，y3)，A4(x4，y4)．由中点公式知对角中点的坐标为B(x1＋x32，y1＋y32)，C(x2＋x42，y2＋y42)．则4(x1＋x32－x2＋x42)2＋(x1－x3)2＋(x2－x4)2x＝(x1＋x3－x2－x4)2＋(x1－x3)2＋(x2－x4)2＝2(x21＋x22＋x23＋x24－x1x2－x2x3－x3x4－x4x1) ＝(x1－x2)2＋(x2－x3)2＋(x3－x4)2＋(x4－x1)2，同理有4(y1＋y32－y2＋y42)2＋(y1－y3)2＋(y2－y4)2＝(y1－y2)2＋(y2－y3)2＋(y3－y4)2＋(y4－y1)2，两式相加得：|A1A2|2＋|A2A3|2＋|A3A4|2＋|A4A1|2＝4|BC|2＋|A1A3|2＋|A2A4|2．说明本题纯几何证法并不容易，而采用解析法，只需要简单的计算便达到目的．另外本例中巧妙地抓住了各点的“对称性”，设了最为一般的形式，简化了计算．情景再现1．如图，⊙O的弦CD平行于直径AB，过C、D的圆的切线交于点P，直线AC、BC分别交直线OP于Q、R．求证：|PQ|＝|PR|．2．自圆M外一点E作圆的切线，切点为F，又作一条割线EAB，交圆M于A、B，连结EF的中点O与B，交圆M于D，ED交圆M于C．x求证：AC ∥EF ．3．CH 是ΔABC 中边AB 上的高，H 为垂足，点K 、P 分别是H 关于边AC 和BC 的对称点．证明：线段KP 与AC ，BC (或它们的延长线)的交点是ΔABC 高线的垂足．B 类例题例4．P 、Q 在ΔABC 的AB 边上，R 在AC 边上，并且P ，Q ，R 将ΔABC 的周长分为三等分．求证：S ΔPQR S ΔABC ＞29．证明 如图，以A 为原点，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系． 设AB ＝c ，BC ＝a ，CA ＝b ，Q (q ，0)，P (p ，0)． 则q －p ＝13(a ＋b ＋c )，AR ＝PQ －AP ＝q －2p ， 从而y R y C ＝ARAC ＝q －2p b．由于2S ΔPQR ＝y R (q －p )，2S ΔABC ＝x B y C ， 所以S ΔPQRS ΔABC ＝y R (q －p )y C x B ＝(q －p )(q －2p )bC ．注意到p ＝q －13(a ＋b ＋c )＜c －13(a ＋b ＋c )， 所以q －2p ＞23(a ＋b ＋c )－c ＞23(a ＋b ＋c )－12(a ＋b ＋c )＝16(a ＋b ＋c )，S ΔPQR S ΔABC ＞29·(a ＋b ＋c )24bc ＞29·(b ＋c )24bc ＞29．说明 本题中29是不可改进的，取b ＝c ，Q 与B 重合，则当a 趋向于0时，p 趋向于13q ，面积比趋向于29． 例5．设H 是锐角三角形ABC 的垂心，由A 向以BC 为直径的圆作切线AP 、AQ ，切点分别为P 、Q ．证明：P 、H 、Q 三点共线．(1996年中国数学奥林匹克) 证明 如图以BC 为x 轴BC 中点O 为原点建立直角坐标系． 设B (－1，0)，C (1，0)，A (x 0，y 0)， 则PQ 方程为x 0x ＋y 0y ＝1．点H 的坐标为H (x 0，y )，满足yx 0＋1·y 0x 0－1＝－1， 即 y ＝1－x 20y 0，显然H 满足PQ 方程，即H 在PQ 上． 从而P 、H 、Q 三点共线．例6．设A 、B 、C 、D 是一条直线上依次排列的四个不同的点，分别以AC 、BD 为直径的两圆相交于X 和Y ，直线XY 交BC于xyZ ．若P 为直线XY 上异于Z 的一点，直线CP 与以AC 为直径的圆相交于C 和M ，直线BP 与以BD 为直径的圆相交于B 和N ．试证：AM 、DN 、XY 三线共点．分析 只要证明AM 与XY 的交点也是DN 与XY 的交点即可，为此只要建立坐标系，计算AM 与XY 的交点坐标．证明 如图，以XY 为弦的任意圆O ，只需证明当P 确定时，S 也确定．以Z 为原点，XY 为y 轴建立平面直角坐标系，设X (0，m )，P (0，y 0)，∠PCA ＝α，其中m 、y 0为定值．于是有x C ＝y 0cotα． 但是－x A ·x C ＝y X2，则x A ＝－m 2y 0tanα．因此，直线AM 的方程为：y ＝cotα(x ＋m 2y 0tanα)．令x ＝0，得y S ＝m 2y 0，即点S 的坐标为(0，m 2y 0)．同理，可得DN 与XY 的交点坐标为(0，m 2y 0)．所以AM 、DN 、XY 三线共点．x情景再现4．在RtΔABC中，AD是斜边上的高，M，N分别是ΔABD与ΔACD的内心，连接MN并延长分别交AB、AC于K、L两点．求证：SΔABC≥2SΔAKL．5．已知△ABC中，∠A＝α，且1|AB|＋1|AC|＝m．求证：BC边过定点．6．设△ABC的重心为G，AG、BG、CG的延长线交△ABC的外接圆于P、Q、R．求证：AGGP＋BGGQ＋CGGR＝3．C类例题例7．以ΔABC的边BC为直径作半圆，与AB、AC分别交于D 和E．过D、E作BC的垂线，垂足分别为F、G．线段DG、EF交于点M．求证：AM⊥BC．(1996年国家队选拔题)分析建立以BC为x轴的坐标系，则只要证明点A、M的横坐标相等即可．证明以BC所在的直线为x轴，半圆圆心O为原点建立直角坐标系．设圆的半径为1，则B(－1，0)，C(1，0)．令∠EBC＝α，∠DCB＝β，则直线BD的方程为y＝cotβ·(x＋1)．同样，直线CE的方程为y＝－cotα·(x－1)，联立这两个方程，解得A点的横坐标x A＝cotα－cotβcotα＋cotβ＝sin(α－β)sin(α＋β)．因为∠EOC＝2∠EBC＝2α，∠DOB＝2β，故E(cos2α，sin2α)，D(－cos2β，sin2β)，G(cos2α，0)，F(－cos2β，0)．于是直线DG的方程为y＝sin2β－(cos2α＋cos2β)·(x－cos2α)，直线EF的方程为y＝sin2α－(cos2α＋cos2β)·(x＋cos2β)．联立这两个方程，解得M点的横坐标x M＝sin2α·cos2β－cos2α·sin2βsin2α＋sin2β＝sin2(α－β)sin(α＋β)cos(α－β)＝sin(α－β)sin(α＋β)＝x A．故AM⊥BC．例8．如图，一条直线l与圆心为O的圆不相交，E是l上一点，OE⊥l，M是l上任意异于E的点，从M作圆O的两条切线分别切圆于A和B，C是MA上的点，使得EC⊥MA，D是MB上的点，使得ED ⊥MB ，直线CD 交OE 于F ．求证：点F 的位置不依赖于M 的位置(1994年IMO 预选题) 分析 若以l 为x 轴，OE 为y 轴建立坐标系，则只要证明F 点的纵坐标与点M 的坐标无关即可．证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设圆O 的半径为r ，OE ＝a ，∠OME ＝α，∠OMA ＝θ，显然有sinθsinα＝ra． y C ＝MC ·sin(α－θ)＝ME ·sin(α－θ)cos(α－θ) ＝a cotα·sin(α－θ)cos(α－θ)，x C ＝－y C ·tan(α－θ)＝－a cotαsin 2(α－θ)． 同理，y D ＝a cotα·sin(α＋θ)cos(α＋θ)，x D ＝－a cotαsin 2(α＋θ)．所以，k CD ＝sin2(α＋θ)－sin2(α－θ)2[sin 2(α－θ)－sin 2(α＋θ)]＝－cot2α．则直线CD 的方程为y －a cotα·sin(α＋θ)cos(α＋θ)＝－cot2α[x ＋a cotαsin 2(α＋θ)]． 令x ＝0，得y F ＝a cotα·sin(α＋θ)[cos(α＋θ)－cot2αsin(α＋θ)] ＝a cotα·sin (α＋θ)sin(α－θ)sin2αxl＝a ·－cos2α＋cos2θ4sin 2θ＝a 2(1－sin 2θsin 2α) ＝a 2－r 22a．由于a 2－r 22a是定值，这就表明F 的位置不依赖于点M 的位置．情景再现7．在筝形ABCD 中，AB ＝AD ，BC ＝CD ，经AC 、BD 交点O 作二直线分别交AD 、BC 、AB 、CD 于点E 、F 、G 、H ，GF 、EH 分别交BD 于点I 、J ．求证：IO ＝OJ ．（1990年冬令营选拔赛题）8．水平直线m 通过圆O 的中心，直线l ⊥m ，l 与m 相交于M ，点M 在圆心的右侧，直线l 上不同的三点A 、B 、C 在圆外，且位于直线m 上方，A 点离M 点最远，C 点离M 点最近，AP 、BQ 、,CR 为圆O 的三条切线，P 、Q,、R 为切点．试证：(1)l 与圆O 相切时，AB ⨯CR ＋BC ⨯AP ＝AC ⨯BQ ；(2)l 与圆O 相交时，AB ⨯CR ＋BC ⨯AP ＜AC ⨯BQ ； (3)l 与圆O 相离时，AB ⨯CR ＋BC ⨯AP ＞AC ⨯BQ ．(1993年全国高中数学联合竞赛)习题561．已知AM 是 ABC 的一条中线，任一条直线交AB 于P ，交AC 于Q ，交AM 于N ．求证：AB AP ，AM AN ，ACAQ成等差数列．2．在四边形ABCD 中，AB 与CD 的垂直平分线相交于P ，BC 和AD 的垂直平分线相交于Q ，M 、N 分别为对角线AC 、BD 中点．求证：PQ ⊥MN ．3．证明，如一个凸八边形的各个角都相等，而所有各邻边边长之比都是有理数，则这个八边形的每组对边一定相等．(1973年奥地利数学竞赛题)4．设△ABC 是锐角三角形，在△ABC 外分别作等腰直角三角形BCD 、ABE 、CAF ，在此三个三角形中，∠BDC 、∠BAE 、∠CF A 是直角．又在四边形BCFE 外作等腰直角三角形EFG ，∠EFG 是直角．求证：⑴GA ＝2AD ；⑵∠GAD ＝135°；(上海市1994年高中数学竞赛) 5．如图△ABC 和△ADE 是两个不全等的等腰直角三角形，现固定△ABC ，而将△ADE 绕A 点在平面上旋转．试证：不论△ADE 旋转到什么位置，线段EC 上必存在点M ，使△BMD 为等腰直角三角形．(1987年全国高中数学联赛)D ECBA6．设A1A2A3A4为⊙O的内接四边形，H1、H2、H3、H4依次为ΔA2A3A4、ΔA3A4A1、ΔA4A1A2、ΔA1A2A3的垂心．求证：H1、H2、H3、H4四点在同一个圆上，并定出该圆的圆心位置．(1992年全国高中数学联赛)7．证明：ΔABC的重心G，外心O，垂心H三点共线，且OG：GH＝1：2．8．已知MN是圆O的一条弦，R是MN的中点，过R作两弦AB 和CD，过A、B、C、D四点的二次曲线交MN于P、Q．求证：R是PQ的中点．本节“情景再现”解答：1．以圆心O为原点，BA为y轴建立坐标系，设点C的坐标为(x0，y0)，且⊙O的半径等于1．可得R点横坐标x R＝x01－y0，Q点横坐标x Q＝x01＋y0，P点横坐标x P＝1x0．所以x R＋x q＝x01－y0＋x01＋y0＝x01－y20＝2x0＝2x P．即点P为QR的中点，所以|PQ|＝|PR|．2．以O 为原点，EF 为x 轴，建立直角坐标系．设E (－x 0，0)，F (x 0，0)．圆M 的半径设为r ，则圆M 的方程为x 2＋y 2－2xx 0－2yr ＋x 02＝0 (1)．过E 的两直线AB 、CD 的方程可设为h 1y ＝x ＋x 0，h 2y ＝x ＋x 0，合为(x －h 1y ＋x 0)(x －h 2y ＋x 0)＝0 (2)．直线BD 、AC 的方程又可设为y ＝kx ，ax ＋by ＋c ＝0．合为(y －kx )(ax ＋by ＋c )＝0 (3)．(1)与(2)所成的曲线系过交点A 、B 、C 、D ，又曲线(3)过点A 、B 、C 、D ，故为该曲线系中的一条．比较(1)与(2)所成的曲线系与(3)中常数项即可知(3)能由(1)、(2)相减得到，此时项中无x 2项．所以(3)中a ＝0，即AC ∥EF ．3．建立如图所示的平面直角坐标系，设A 、B 、C 三点的坐标依次为A (a ，0)，B (b ，0)，C (0，c )．则P 点和K 点的坐标分别为：P (2bc 2b 2＋c 2，2b 2c b 2＋c 2)，K (2ac 2a 2＋c 2，2a 2ca 2＋c 2)．于是KP 所在的直线方程是c (a ＋b )x ＋(ab －c 2)y－2abc ＝0 ①，另一方面，BC 所在直线的方程是cx ＋by －bc ＝0 ②，BC 边上的高所在的直线方程是bx －cy －ab ＝0 ③，由于②×a ＋③×c ＝①，于是KP 经过BC 边上高线的垂足，同理，KP 与经过AC 边上高线的垂足．4．分别以AC 、AB 所在直线为x 轴和y 轴建立直角坐标系，并设|AC |＝a ，|AB |＝b ，|OD |＝xc ，则c ＝aba 2＋b2．设ΔACD 、ΔABD 的内切圆半径分别为r 1，r 2，则N ，M 的坐标分别为N (c －r 1，r 1)，M (r 2，c －r 2)．于是直线MN 的斜率为k MN ＝c －r 2－r 1r 2－c ＋r 1＝－1．这说明ΔAKL 为等腰直角三角形，直线MN 的方程为y －r 1＝－(x －c ＋r 1)，其横、纵截距均为c ，所以2S ΔAKL＝c 2＝a 2b 2a 2＋b 2≤a 2b 22ab＝ab2＝S ΔABC ．5．以A 为原点，AB 为x 轴正方向建立直角坐标系．设|AB |＝p ，|AC |＝q ．则1p ＋1q ＝m ，q ＝pmp －1，点B (p ，0)，C (q cos α，q sin α)．直线BC 的方程为yq sin α＝x －p q cos α－p．整理得p (my －sin α)＋[x sin α－(1＋cos α)y ]＝0，即无论p 为何值时，直线BC 经过两条定直线my －sin ＝0与x sin α－(1＋cos α)y ＝0的交点．(两条直线斜率不等，故必有交点)，即直线BC 过定点．6．以外接⊙O 的圆心O 为原点，平行于BC 的直线为x 轴建立坐标系．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则C (－x G (x 13，y 1＋2y 23)．设外接圆半径为r ．则＝x 22＋y 22＝r 2．由相交弦定理，知AG GP ＝|AG |2r 2－|OG |2，同理BG GQ ＝|BG |2r 2－|OG |2，CG GR ＝|CG |r 2－|OG |2；|AG |2＋|BG |2＋|CG |2＝(x 1－x 13)2＋(x 2－x 13)2＋(x 2＋x 13)2＋(y 1－y 1＋2y 23)2＋2(y 2－y 1＋2y 23)2＝23[x 12＋(y 1－y 2)2]＋2x 22＝43(r 2＋x 22－y 1y 2)，r 2－|OG |2＝r 2－[x 209＋(y 1＋2y 2)29]＝49(2r 2－y 22－y 1y 2)．注意到x 22＋y 22＝r 2，就得AG GP ＋BG GQ ＋CGGR＝|AG |2＋|BG |2＋|CG |2r 2－|OG |2＝3．7．如图，以O 为原点，OD 为x 轴正方向建立直角坐标系，设A (0，a )，D (d ，0)，C (0，c )，则B (－d ，0)．直线AB 方程为：x －d＋ya －1＝0；设GH 方程：ky －x ＝0． (因为求I 点坐标时要取y ＝0，故把系数k 置 于y 前)．于是GF 方程为x －d ＋ya －1＋λ(ky－x )＝0 ①，BC 方程为x －d ＋yc －1＝0，设EF 方程为hy －x ＝0．于是GF 方程又可表 示为x －d＋yc －1＋μ(hy －x )＝0 ②． ①与②是同一个方程，比较系数得λ＝μ，1a ＋λk ＝1c＋μh ．则λ＝1h －k (1a －1c )．在①中，令y ＝0得I 点的横坐标x I ＝d1＋d λ；同理，点J 的横坐标为x J ＝－d 1－d λ'，其中λ'＝1k －h (1a－1c )，于是x I＝－x j ．即IO ＝OJ ．从而得证．8．证略．本节“习题56”解答：1．以BC所在直线为x轴，高AD所在直线为y轴建立直角坐标系．设A(0，a)，B(m－b，0)，C(m＋b，0)，直线PQ方程：y＝kx＋q．设ABAP＝λ，则AP+PBAP＝λ，BPP A＝λ－1．所以P点坐标为x＝m－bλ，y＝(λ－1)aλ，故(λ－1)a＝k(m－b)＋qλ，则λ＝k(m－b)+aa－q ，即ABAP＝k(m－b)+aa－q，同理，AMAN＝km+aa－q，ACAQ＝k(m+b)+a a－q ．则ABAP＋ACAQ＝2AMAN．这说明ABAP，AMAN，ACAQ成等差数列．2．提示：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，利用式子的对称性即可证得结论．3．此八边形的每个内角都等于135︒．不妨设每边的长都是有理数．依次设其八边长为有理数a，b，c，d，e，f，g，h．把这个八边形放入坐标系中，使长为a的边的一个顶点为原点，这边在x轴上，于是a＋b cos45︒＋d cos135︒－e＋f cos225︒＋h cos315︒＝0，整理得a＋e＋22(b－d－f＋h)＝0；b cos45︒＋c＋d cos(－45︒)＋f cos135︒－g＋h cos225︒＝0，整理得c＋g＋E22(b＋d－f－h)＝0．所以a＝e，b－d－f＋h＝0；c＝g，b＋d－f－h＝0．则b－f＝0，g－h＝0．从而凸八边形的每组对边相等．4．以A为原点建立直角坐标系，设B、C对应的复数为z B，z C．则点E对应复数z E＝－iz B，点D对应复数z D＝12(1＋i)(z B－z C)＋z C＝12[(1＋i)z B＋(1－i)z C]，点F对应复数z F＝12(1＋i)z C．向量→FE＝z E－z F＝－iz B－12(1＋i)z C．z G＝z F－i→FE＝12(1＋i)z C－i[－iz B－12(1＋i)z C]＝－z B＋12(1＋i)2z C＝－z B＋iz C．则z G＝(－1＋i)z D＝2(cos135︒＋i sin135︒)z D．则GA＝2AD；∠GAD＝135°．5．以A为原点，AC为x轴正方向建立复平面．设C表示复数c，点E表示复数e(c、e∈R)．则点B表示复数b＝12c＋12ci，点D表示复数d＝12e－12ei．把△ADE绕点A旋转角θ得到△AD'E'，则点E'表示复数e'＝e(cosθ＋i sinθ)．点D'表示复数d'＝d(cosθ＋i sinθ)表示E'C中点M的复数m＝12(c＋e')．则表示向量→MB的复数：z1＝b－12(c＋e')＝12c＋12ci－12c－12e(cosθ＋i sinθ)＝－12e cosθ＋12(c－e sinθ)i．表示向量→MD '的复数：z 2＝d '－m ＝(12e －12ei )(cos θ＋i sin θ)－12c －12e (cos θ＋i sin θ)＝12(e sin θ－c )－12ie cos θ．显然：z 2＝z 1i ．于是|MB |＝|MD '|，且∠BMD '＝90°．即△BMD '为等腰直角三角形．故证．6．以O 为坐标原点，⊙O 的半径为长度单位建立直角坐标系，设OA 1、OA 2、OA 3、OA 4与OX 正方向所成的角分别为α、β、γ、δ，则点A 1、A 2、A 3、A 4的坐标依次是(cos α，sin α)、(cos β，sin β)、(cos γ，sin γ)、(cos δ，sin δ)．显然，⊿A 2A 3A 4、⊿A 3A 4A 1、⊿A 4A 1A 2、⊿A 1A 2A 3的外心都是点O ，而它们的重心依次是(13(cos β＋cos γ＋cos δ)，13(sin β＋sin γ＋sin δ))、(13(cos γ＋cos δ＋cos α)，13(sin α＋sin δ＋sin γ))、(13(cos δ＋cos α＋cos β)，13(sin δ＋sin α＋sin β))、(13(cos α＋cos β＋cos γ)，13(sin α＋sin β＋sin γ))．从而，⊿A 2A 3A 4、⊿A 3A 4A 1、⊿A 4A 1A 2、⊿A 1A 2A 3的垂心依次是H 1(cos β＋cos γ＋cos δ，sin β＋sin γ＋sin δ)、H 2(cos γ＋cos δ＋cos α，sin α＋sin δ＋sin γ)、H 3(cos δ＋cos α＋cos β，sin δ＋sin α＋sin β)、H 4(cos α＋cos β＋cos γ，sin α＋sin β＋sin γ)．而H 1、H 2、H 3、H 4点与点O 1(cos α＋cos β＋cos γ＋cos δ，sin α＋sin β＋sin γ＋sin δ)的距离都等于1，即H 1、H 2、H 3、H 4四点在以O 1为圆心，1为半径的圆上．证毕．7．以ΔABC 的外心O 为坐标原点，不妨设ΔABC 的外接圆半径为1，设A (cosα，sinα)，B (cosβ，sinβ)，C (cosγ，sinγ)，则重心G 的坐标为G (cosα＋cosβ＋cosγ3，sinα＋sinβ＋sinγ3)．设H '(cosα＋cosβ＋cosγ，sinα＋sinβ＋sinγ)．则k AH '＝sinβ＋sinγcosβ＋cosγ＝tan β－γ2，k BC ＝sinβ－sinγcosβ－cosγ＝－cot β－γ2．则可得k AH '·k BC ＝－1，则AH '⊥BC ．同理，BH '⊥CA ，CH '⊥AB ．因此，H '(cosα＋cosβ＋cosγ，sinα＋sinβ＋sinγ)为ΔABC 的垂心H ．观察O 、G 、H 的坐标可知，G 、O 、H 三点共线，且OG ：GH ＝1：2．8．以R 为原点，MN 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设圆心O 的坐标为(0，a )，圆半径为r ，则圆的方程为x 2＋(y －a )2＝r 2 ①，设AB 、CD 的方程分别为y ＝k 1x 和y ＝k 2x ．将它们合成为(y －k 1x )(y－k 2x )＝0 ②，于是过①与②的四个交点A 、B 、C 、D 的曲线系方程为(y －k 1x )(y －k 2x )＋λ[x 2＋(y －a )2－r 2]＝0 ③，令③中y ＝0，得(λ＋k 1k 2)x 2＋λ(a 2－r 2)＝0 ④．④的两个根是二次曲线与MN 交点P 、Q 的横坐标，因为x P ＋x Q ＝0，即R 是PQ 的中点．从而得证．说明：本例实质上是平面几何中蝴蝶定理得推广．平面几何中许多x命题都可以通过解析法获证．第21 页共21 页。
解析法和几何法
解析法和几何法是两种不同的数学方法，它们各自有独特的应用范围和优势。
解析法主要利用公式和方程式进行计算和解决问题。
这种方法在物理学、工程学等领域得到广泛应用，特别是在处理复杂的数值问题时，解析法可以提供清晰、精确的解决方案。
例如，在解析几何中，平面解析几何通过建立平面直角坐标系和方程之间的对应关系，运用解析式来研究几何问题。
几何法则主要依赖于形状、大小、位置等空间特性，通过画图、推理等方式来研究和解决问题。
它更侧重于直观地理解和揭示图形的性质和关系。
例如，在立体几何中，平行与垂直的证明是常见的问题类型。
此外，几何法也常用于解决一些复杂的纯数学问题，如椭圆的不常见性质的证明。
值得注意的是，解析法和几何法并不是孤立存在的，它们往往需要相互结合使用。
例如，在解析几何中，解析方法和纯几何方法的结合可以解决一些复杂的问题。
总的来说，解析法和几何法各有特点和优势，选择哪种方法取决于具体的问题和个人的理解习惯。
探讨综合法和分析法在初中几何解题中的应用
探讨综合法和分析法在初中几何解题中的应用戴燕红(江苏省天一中学㊀２１４１０１)摘㊀要:初中几何解题是初中学习的重要内容ꎬ掌握必要的几何解题方法非常重要.本文就综合法与分析法在初中几何中的应用进行探讨.综合法与分析法并不是孤立存在的ꎬ在初中几何试题求证过程中ꎬ两种方法的运用是密不可分的ꎬ学生通过分析法对几何试题进行分析ꎬ运用综合法对试题进行罗列求证ꎬ最终完成几何试题的求证.关键词:综合法ꎻ解析法ꎻ初中几何解题中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)２３－０００７－０２㊀㊀几何解题需要清醒的头脑与沉稳的心情ꎬ不要一看到几何证明题目凭着自己的直觉就开始着手解题ꎬ首先需要运用分析法细致㊁全面地分析几何题目的解题思路ꎬ然后再运用综合法对几何题目整体把控ꎬ开始证明.分析法讲的是以所要证明的几何题目结论为出发点ꎬ向前一步步寻找使其成立的充分条件ꎬ直到找到一个符合题目的条件.综合法讲的是在几何题目证明当中ꎬ通过已知条件开始证明ꎬ解题过程环环相扣ꎬ最终得到几何题目所要证明的结论成立ꎬ简而言之就是通过已知去看可知ꎬ步步接近未知的证明方法.综合法是初中几何试题常用的解题方法.㊀㊀一㊁综合法和分析法在初中几何解题中的应用例１㊀如图１所示ꎬ三角形ＡＢＣ是一个等腰直角三角形ꎬＣＦ是直角øＡＣＢ的角平分线ꎬＢＦ是外角øＡＢＥ的角平分线ꎬＣＦ与ＢＦ这两条角平分线相交于点Ｆꎬ探求øＢＦＣ与øＢＡＣ之间的数量关系.解㊀根据已知条件ꎬøＡＣＢ＝９０ʎꎬＣＦ是øＡＣＢ的角平分线ꎬ所以øＣＡＢ＝øＢＣＦ＝１/２øＢＣＡ＝４５ʎ.因为ＢＦ是外角øＡＢＥ的角平分线ꎬ所以øＡＢＦ＝１/２øＥＢＡ＝１/２(１８０ʎ－øＣＢＡ)＝１/２(１８０ʎ－４５ʎ)＝６７.５ʎ.所以øＦＢＣ＝６７.５ʎ＋４５ʎ＝１１２.５ʎꎬ所以øＢＦＣ＝１８０ʎ－øＦＢＣ－øＢＣＦ＝１８０ʎ－１１２.５ʎ－４５＝２２.５ʎ.又因为øＣＡＢ＝４５ʎꎬ所以øＢＦＣ＝１/２øＢＡＣ.例２㊀如图２所示ꎬ在等腰ＲｔәＡＢＣ中ꎬøＡＣＢ＝９０ʎꎬ点Ｅ是әＡＢＣ之外的一点ꎬ并且øＡＥＣ＝４５ʎꎬ求证线段ＡＥʅＢＥ.首先运用分析法探索几何题目的解题路线:若证明线段ＡＥʅＢＥꎬ已知øＡＥＣ＝４５ʎꎬ需要证明øＢＥＣ＝４５ʎ.分析到这里ꎬ解题遇到第一个瓶颈ꎬ没有更多的已知条件可用ꎬ我们需要考虑借助辅助线来增加已知条件ꎬ通常会首先考虑具有特殊性的４５ʎ角.继续分析:作线段ＢＭʅＥＣ并相交于点Ｍꎬ须证明线段ＢＭ＝ＥＭꎬ线段ＢＭ处在әＢＭＣ当中ꎬ通过看图直觉发现并没有与其全等的三角形ꎬ因此还需要增加一条辅助线构建一个与三角形ＢＭＣ全等的三角形.已知ＡＣ＝ＢＣꎬ作线段ＡＮʅＥＣ相交于点Ｎꎬ得出ＡＮ＝ＥＮꎬ进而可以运用角角边的全等三角形定理证明әＣＢＭ全等于әＡＣＮꎬ进一步得到线段ＢＭ＝ＣＮ.因为线段ＣＭ＝ＡＥ＝ＥＮꎬ所以线段ＣＮ＝ＥＭꎬ所以线段ＢＭ＝ＥＭꎬ所以øＢＥＣ＝４５ʎ.进而得出所需要求证的结论ꎬ线段ＡＥʅＢＥ.㊀㊀二㊁激发学生几何学习兴趣ꎬ促进综合法和分析法在初中几何解题中的应用㊀㊀兴趣是最好的老师ꎬ学生自身对几何学习产生兴趣直接促进综合法和分析法在初中几何解题中的应用.首先ꎬ教师可以举出几何学习中具有代表性㊁通俗易懂的背景材料.举例来讲ꎬ教师在传授学生 平行线 这一概念的时候ꎬ教师可以先让学生们观察铁轨的图片㊁长方形黑板的左右边缘㊁直尺的上下边缘等ꎬ引导学生发现以上例子具有哪些共同点.学生在观察㊁分辨之后ꎬ老师可以让学生举手发言ꎬ同时通过举手数量来初步衡量学生们的观察情况ꎬ然后教师顺理成章地将本节课 平行线 的概念引出来ꎬ学生们就更容易理解 平行线 这一抽象的概念了.其次ꎬ可以通过就具体的实验来调动学生学习几何的积极性ꎬ恰到好处地使用几何教学工具就显得尤为重要ꎬ老师指导学生自己动手开展几何实验ꎬ引导学生主动探索几何的奥秘ꎬ由此一来ꎬ不仅在几何情景课堂创设方面收获意想不到的良好效果ꎬ同时还有助于培养初中学生的学习能力.比如ꎬ在学习证明三角形全等㊁角与角之间的关系时ꎬ教师可以向学生们发出疑问ꎬ两个三角形三个角的度数都一样就是全等三角形吗?学生们几乎都回答是ꎬ然后老师拿出两个角度相同但边长不等的两个三角形卡片ꎬ让学生们动手将两个三角形重合ꎬ学生们在亲自动手实践之后发现ꎬ两个三角形卡片大小不一致ꎬ根本不能说是全等三角形.学生们会继续思考ꎬ具备怎样的条件才能是全等三角形?进而对初中几何的学习兴趣愈加浓厚.在初中数学学习当中ꎬ几何部分的学习对于初中生来讲非常重要ꎬ也是很多学生认为较难的学习内容ꎬ很多几何图形较为抽象ꎬ需要学生在脑海中建立立体模型ꎬ所以ꎬ在初中几何学习中ꎬ教师要逐步降低几何题目的解题难度ꎬ对学生看到几何题目后的解题思路与寻找解题路径能力方面进行强化ꎬ可以借助图形㊁添加辅助线等来找到解题思路ꎬ帮助学生正确运用综合法和分析法ꎬ帮助学生很快解决几何试题的求证ꎬ提高学生几何解题能力.加强师生之间的沟通与交流ꎬ重点监督学生几何试题解题思路能力的掌握程度以及几何图形绘图能力.在学生掌握基础知识的同时ꎬ重点指导学生综合法和解析法在初中几何解题中的应用情况.㊀㊀参考文献:[１]查书平.浅析综合法和解析法在初中几何解题中的应用[Ｊ].数学学习与研究ꎬ２０１９(１５):１４２.[２]黄德诚.浅谈 双垂直模型中的射影定理 在初中几何解题中的应用[Ｊ].科学咨询(教育科研)ꎬ２０１８(１１):８５.[３]毕明东.基于解题能力培养的初中几何教学探析[Ｊ].成才之路ꎬ２０１８(０３):６１.[责任编辑:李㊀璟]初中数学课堂激发学生学习兴趣的有效途径党大庆(陕西省咸阳师范学院附属中学㊀７１２０００)摘㊀要:学生对于数学的学习兴趣是学生接受知识ꎬ提升自己数学素养的基础ꎬ教师在实际教学过程中ꎬ应针对性地采用科学且合理的教学方式与手段ꎬ通过激发学习兴趣的方式ꎬ让学生将兴趣转化为学习动力.文章主要分析与介绍激发学习兴趣对于初中数学课堂教学的重要价值与意义ꎬ并且针对当前初中数学教学存在的不足提出强化与激发学生学习兴趣的策略措施ꎬ期望可有效解决当前初中数学课堂教学中存在的部分问题.关键词:初中ꎻ数学课堂ꎻ学习兴趣中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)２３－０００８－０２㊀㊀初中阶段的学生虽然已经具备一定的认知与理解能力ꎬ但是其各方面的发展整体而言并不完善.因此ꎬ教师在实际的教学过程中应采取科学合理的教学方法ꎬ达到高质量的教学目的.激发学生学习兴趣对于学生的发展有着重要价值与意义ꎬ兴趣是最好的动力ꎬ只有将学生的内在动力激发出来ꎬ才能让学生在实际学习过程中更加的集中与专注ꎬ充分提升学习的效率和质量.㊀㊀一㊁激发学生学习兴趣的重要价值与意义激发学习兴趣一直以来都是提升教学效率与教学质量的重要手段ꎬ教育界一直在致力于探索如何激发学生学习兴趣的有效途径.虽然ꎬ取得了一定的成果ꎬ但是大多停留在理论阶段ꎬ在实际的教学应用过程中还存在部分问题.激发学生学习趣对于教师教学㊁学生学习均有着极其重要的价值与意义ꎬ具体内容如下:１.提供学习动力激发学生学习兴趣对于初中数学教学有着积极的正面意义ꎬ兴趣可作为学生学习数学知识的动力来源之一ꎬ让学生在实际学习的过程中充分将自身的优势发挥出来ꎬ从而达到提升学习效率的目的.初中生正处于快速吸。
3-5用解析法做机构的运动分析
对时间求导得速度方程：
l2 sinθ2 ω2 － l3 sinθ3 ω3 ＝ω1 l1 sinθ1 l2 cosθ2 ω2 － l3 cosθ3 ω3 ＝－ω1 l1 cosθ1
写成矩阵形式：
- l2 sinθ2 l3 sinθ3 l2 cosθ2 - l3 cosθ3
ω2 ω3
＝ω1
l1 sinθ1 -l1 cosθ1
α2 α3 ＝-
(8)
- l2 ω2 cosθ2 - l 2 ω2 sinθ2
l3 ω3 cosθ3 l3 ω3 sinθ3
ω2 ω3
+ω1
l1 ω1 sinθ1 l1 ω1 cosθ1
求解式（8）可得α2 ，α3。
速度方程的一般表达式： [A]{ω} =ω1{B}
其中[A]－－机构从动件的位置参数矩阵；
θ3 Dx
改写成直角坐标的形式：
l2 cosθ2 － l3 cosθ3 ＝ l4 －l1 cosθ1 l2 sinθ2 － l3 sinθ3 ＝－ l1 sinθ1
解此方程即 可得θ2、θ3
2.速度分析 将上述位置方程：
l2 cosθ2 － l3 cosθ3 ＝ l4 －l1 cosθ1 l2 sinθ2 － l3 sinθ3 ＝－ l1 sinθ1
联立上两式可求得两个未知角速度ω2、 ω3 。
ω3 = ω1 l1 sin (θ1 －θ2 ) /[ l3 sin (θ3 －θ2 ) ] ω2 = - ω1 l1 sin (θ1 －θ3 ) /[ l2sin (θ2－θ3 ) ]
（三）、加速度分析
速度方程:
l11ei1 l22ei2 l33ei3 (5)
α3 =ω12 l1 cos (θ1 - θ2 ) + ω22 l2 -ω32 l3 cos (θ3 - θ2 ) /[ l3 sin (θ3 －θ2 ) ]
欧拉—萨伐里方程的解析法推导和拐点圆的配置
欧拉-萨伐里方程的解析法推导和拐点圆的配置1. 引言欧拉-萨伐里方程和拐点圆在数学领域都是重要的概念和工具。
欧拉-萨伐里方程以数学家欧拉和萨伐里的名字命名，是描述刚体在转动过程中的运动规律的微分方程。
而拐点圆则是在曲线的拐点处通过切线的圆，具有独特的几何性质。
本文将从解析法推导欧拉-萨伐里方程入手，深入探讨其数学原理和应用，同时探讨拐点圆在数学上的配置及其几何意义。
2. 欧拉-萨伐里方程的解析法推导欧拉-萨伐里方程描述了刚体在转动过程中的角速度和角动量之间的关系。
在解析法推导欧拉-萨伐里方程时，我们首先考虑刚体在三维空间中的转动运动。
根据刚体转动的运动学和动力学原理，可以得到刚体的转动方程。
经过推导和变换，可以得到欧拉-萨伐里方程的一般形式，即：其中，L是刚体的角动量，I是刚体的转动惯量，ω是刚体的角速度，M是刚体所受外力矩。
这个方程描述了刚体转动过程中角动量和角速度的关系，是刚体运动的重要基本规律。
3. 欧拉-萨伐里方程的应用欧拉-萨伐里方程在物理、工程和航天领域有着广泛的应用。
通过欧拉-萨伐里方程，我们可以分析和计算刚体在转动过程中的运动规律，包括角速度、角加速度和角动量的变化。
这些信息对于设计和控制飞行器、卫星和机械装置等都具有重要意义。
欧拉-萨伐里方程也为研究刚体动力学和探索宇宙中的天体运动提供了重要的数学工具和方法。
4. 拐点圆的配置及几何意义拐点圆是在曲线的拐点处通过切线的圆。
在数学上，拐点圆具有重要的几何性质和意义。
拐点圆的半径和圆心位置可以用曲线的高阶导数来表示，这为研究曲线的曲率和凹凸性提供了一种新的方法。
拐点圆可以帮助我们研究曲线在拐点处的局部形状和特性，对于研究曲线的拐点和转折点具有重要意义。
5. 总结与展望在本文中，我们通过解析法推导了欧拉-萨伐里方程，并探讨了其在物理和工程中的应用。
我们也对拐点圆在数学上的配置及其几何意义进行了讨论。
希望本文对读者理解欧拉-萨伐里方程和拐点圆有所帮助，并在相关领域的研究和应用中发挥重要作用。
射影几何中共点线线共点问题证明方法探析
射影几何中共点线线共点问题证明方法探
析
投射影几何中共点线线共点问题证明方法探析投射影几何是从平面到平面的空间几何变换，其中包括共点线线共点问题。
共点线线共点问题要求在一个投射影几何中，两条直线和两个点，两条直线分别经过这两个点，而这两个点在另一个投射影几何中也要满足同样的条件。
证明投射影几何中共点线线共点问题的方法有很多，基本上可以概括为三种：解析法、笛卡尔投射法和量纲投射法。
1、解析法：解析法是使用解析几何的方法来证明投射影
几何中共点线线共点问题的最常用方法。
具体方法是，首先在投射影几何中确定直线和点的位置，然后使用解析几何的方法来证明这两个点分别在这两条直线上。
2、笛卡尔投射法：笛卡尔投射法是一种把投射影几何的
问题转换为笛卡尔几何的方法。
具体方法是，首先在投射影几何中确定直线和点的位置，然后使用笛卡尔几何的方法来证明这两个点分别在这两条直线上。
3、量纲投射法：量纲投射法是一种把投射影几何的问题
转换为量纲几何的方法。
具体方法是，首先在投射影几何中确定直线和点的位置，然后使用量纲几何的方法来证明这两个点分别在这两条直线上。
上述三种方法基本上可以满足投射影几何中共点线线共点问题的证明需求。
当然，投射影几何中共点线线共点问题的证明还有其他方法，比如可以使用投射影几何的几何变换，将问题变换到笛卡尔几何中再证明，也可以使用参数变换的方法来证明。
总之，投射影几何中共点线线共点问题的证明方法有很多，可以根据具体问题情况来选择合适的方法。
不论使用哪种方法，都要正确理解相关知识，以及各种几何变换的原理，才能正确地解决投射影几何中共点线线共点问题。
二元一次函数求最小值
二元一次函数求最小值摘要：一、引言二、二元一次函数的定义和性质三、求解二元一次函数最小值的方法1.解析法2.几何法四、案例分析1.解析法应用2.几何法应用五、总结正文：一、引言二元一次函数在数学中有着广泛的应用，求解其最小值是数学优化问题的重要内容。
本文将介绍二元一次函数的定义和性质，以及求解其最小值的方法。
二、二元一次函数的定义和性质二元一次函数是指形如f(x, y)=ax+by+c 的函数，其中a、b、c 为常数，且a 和b 不同时为0。
它的图像是两条直线的组合，其性质取决于a 和b 的符号。
当a 和b 同号时，函数图像开口向上或向下，当a 和b 异号时，函数图像开口向上或向下。
三、求解二元一次函数最小值的方法1.解析法解析法是通过求导数来找到函数的最小值。
对于二元一次函数，我们可以分别对x 和y 求偏导数，令其等于0，解得临界点，然后通过判断函数在这些临界点的函数值，找到最小值。
2.几何法几何法是通过观察函数图像，找到最小值所在的点。
对于二元一次函数，我们可以通过判断函数图像与坐标轴的交点，找到最小值所在的区域，然后通过判断函数在这个区域内的极值点，找到最小值。
四、案例分析1.解析法应用假设我们有一个二元一次函数f(x, y)=2x-3y-1，我们可以对其分别对x 和y 求偏导数，得到f/x=2，f/y=-3。
令f/x=0，f/y=0，解得临界点为(1.5, 2)。
通过判断函数在这一点的函数值，我们可以得到最小值为-3。
2.几何法应用同样假设我们有一个二元一次函数f(x, y)=2x-3y-1，我们可以通过观察函数图像与坐标轴的交点，得到函数图像在第一象限的交点为(1, -1)。
通过判断函数在这个区域内的极值点，我们可以得到最小值为-3。
五、总结通过解析法和几何法，我们都可以求解二元一次函数的最小值。
解析法需要求导数，而几何法需要观察函数图像，二者都可以得到相同的结果。
方向余弦方向导数
方向余弦方向导数一、引言方向余弦方向导数是微分几何中的一个重要概念，它用于描述函数在某个方向上的变化率。
该概念在物理学、工程学以及计算机科学等领域都有广泛的应用。
本文将详细介绍方向余弦方向导数的定义、性质以及计算方法，以及它在实际问题中的应用。
二、方向余弦的定义方向余弦是一个向量与坐标轴之间的夹角的余弦值。
在三维空间中，一个向量可以表示为三个分量的有序组合，即：v⃗=(v1,v2,v3)其中，v1,v2,v3分别表示向量v⃗在x,y,z方向上的分量。
方向余弦的定义如下：cos(θ)=v i |v⃗|其中，θ表示该向量与某个坐标轴的夹角，|v⃗|表示向量v⃗的模。
三、方向导数的定义方向导数是函数在某个方向上的变化率。
对于函数f(x,y)，它在某个方向上的方向导数的定义如下：D u⃗⃗f(x,y)=limℎ→0f(x+ℎu1,y+ℎu2)−f(x,y)ℎ其中，u⃗⃗=(u1,u2)表示方向向量，ℎ表示步长。
四、方向余弦方向导数的定义方向余弦方向导数结合了方向余弦和方向导数的概念，它表示函数在某个方向上的变化率相对于该方向的分量的比例。
对于函数f(x,y)，它在某个方向上的方向余弦方向导数的定义如下：Dθf(x,y)=cos(θ)∂f(x,y)∂x+sin(θ)∂f(x,y)∂y其中，θ表示该方向与x 轴正向的夹角，∂f (x,y )∂x ,∂f (x,y )∂y 分别表示函数f (x,y )对x,y 的偏导数。
五、方向余弦方向导数的性质1. 方向余弦方向导数与方向无关：方向余弦方向导数与方向向量无关，只与方向角度有关。
即对于同一个方向上的不同方向向量，它们的方向余弦方向导数相等。
2. 方向余弦方向导数的范围：方向余弦的取值范围为[−1,1]，因此方向余弦方向导数也位于[−1,1]之间。
3. 方向余弦方向导数的最大值和最小值：在某些特殊情况下，方向余弦方向导数可以达到最大值或最小值。
当函数在某个方向上的变化率最大或最小时，它的方向余弦方向导数可能达到最大值或最小值。
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解析法在几何中的应用
*名：***
学号：201001071465
专业：物理学
指导教师：***
解析法在几何的应用
周瑞勇
大庆师范学院物理与电气信息工程学院
摘要：通过分析几何问题中的各要素之间的关系，用最简练的语言或形式化的符号来表达他们的关系，得出解决问题所需的表达式，然后设计程序求解问题的方法称为解析法。
关键词：几何问题，表达关系，表达式，求解问题
一前言
几何学的历史深远悠久，欧几里得总结前人的成果，所著的《几何原本》。
一直是几何学的坚固基石，至今我国中学教学的几何课本仍未脱离他的衣钵。
长期的教学实践证明，采用欧式体系学习几何是培养学生逻辑思维能力的行之有效的方法。
但是，事物都有两重性。
实践同样证明，过多强调它的作为也是不适当的。
初等几何的构思之难，使人们为此不知耗费了多少精力，往往为寻求一条神奇、奥秘的辅助线而冥思苦索。
开辟新的途径，已是势在必行。
近些年来，用解析法、向量法、复数法、三角法证明几何问题，受到越来越多的数学工作者的重视。
由于平面几何的内容，只研究直线和园的问题，所以我们完全可以用解析法来研究几何问题。
解析法不仅具有几何的直观性，而且也还有证明方法的一般性。
综合几何叙述较简，但构思困难，而解析法思路清晰，过程简捷，可以作为证明几何问题中一种辅助方法，两者课去唱补短，想得益彰。
二解析法概述
几何数学主要是从几何图形这个侧面去研究客观事物的，其基本元素是点，代数学则主要是从数量关系这个侧面来研究客观事物，其基本元素是数。
笛卡尔综合了前人的成果，创立了坐标概念，把代数学和几何学结合起来，于是产生了以研究点的位置和一对有序实数的关系、方程和曲线以及有研究连续运动而产生
的一般的变量概念为主要内容的新的数学分支——解析几何学。
平面几何是研究平面图形性质的科学。
组成平面图形的元素是点、线（包括曲线）。
平面解析几何采用了坐标系，用代数方法来研究平面几何图形。
所以。
平面几何和平面解析几何是紧密联系的。
我们通过坐标系，把几何问题转化为用代数的方法来论证。
这种方法称为解析法。
三用解析法的几何证明
证线段的相等：用解析法证线段相等，首先求出有观点的坐标，运用两点间距离公式。
此外还可以利用点到直线的距离公式，直线内分线段比公式（证其比值为1），以及利用中心对称或轴对称的点的坐标来证明。
证角的相等：利用直线斜率的定义，分别求出夹这两个角的边的斜率，利用两条直线夹角公式得到这两个角的正切值相等，在判定这个角是在某一个单调区间内则它们相等。
证两直线平行或垂直：先求出有关点的坐标，证这两条直线的斜率相等；若斜率不存在时，证这两直线于y抽平行；若有一条直线重合于坐标轴，证另一条直线有两点纵坐标或横坐标相等。
证不等问题：用两点间距离公式，两条直线夹角公式把它转化为证明不等式问题，从而运用不等式的性质来证明。
证点共线或线共点：建立经过任意两点的直线方程，然后验证其余点都适合这个方程；或运用两点之间距离公式或直线内外分段成比例公式证其满足梅氏定理的逆定理。
证点共圆或园共点：求出有关各点，利用两点间距离公式证诸点到某一点的距离相等；或先建立经过三点的园的方程，然后证其余点适合圆的方程。
证比例式或等积式：运用两点间距离公式求出线段的长度，再证它们的比相等或求出它们的乘积加以比较。
证定值问题：先写出固定点的坐标系建立有关的固定直线（或圆）的方程，并运用两点距离公式和两直线夹角公式，求出欲证的线段（定长）或直线（定向、定位）与固定图形的元素加以比较，从而说明是定值。
四解析法的几何计算
长度计算：适当建立坐标系求出有关点的坐标以后，常运用两点间公式、点到直线的距离、切线长公式；在求两线段的比时常运用直线内外分线段比公式。
角度的计算：求出用有关点的坐标，利用斜率定义、两条直线夹角公式得到欲求角度的正切值，再利用正切函数在某一区间的单调性求出角的度数。
面积的计算：运用有三点坐标做确定的上三角形的面积公式及四点坐标所确定的四边形面积公式。
五结论
我们可以运用解析法，同时要善于使用平面直角坐标系、极坐标系、斜坐标系、空间直角坐标系中的有关公式和方程来解决解决问题。
参考文献：
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