湖南省2016届高三数学下学期六校联考试题 文(扫描版)
2016年湖南省六校联考高考数学模拟试卷(理科)(解析版)
2016年湖南省六校联考高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x2﹣6x+5≤0}，B={x|y=}，A∩B=（）A．[1，+∞）B．[1，3]C．（3，5]D．[3，5]2．命题“若x，y都是偶数，则x+y也是偶数”的逆否命题是（）A．若x+y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x+y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x+y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x+y不是偶数，则x与y都不是偶数3．若执行如图的程序框图，输出S的值为6，则判断框中应填入的条件是（）A．k＜32？B．k＜65？C．k＜64？D．k＜31？4．下列函数中在上为减函数的是（）A．y=2cos2x﹣1 B．y=﹣tanxC． D．y=sin2x+cos2x5．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷B的人数为（）A．7 B．9 C．10 D．156．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．6πB．C．3πD．7．若的展开式中的常数项为a，则的值为（）A．6 B．20 C．8 D．248．若函数y=2x图象上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的最大值为（）A．1 B．C．2 D．9．已知数列{a n}的通项公式a n=5﹣n，其前n项和为S n，将数列{a n}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n}的前3项，记{b n}的前n项和为T n，若存在m∈N*，使对任意n∈N*，总有S n＜T n+λ恒成立，则实数λ的取值范围是（）A．λ≥2 B．λ＞3 C．λ≥3 D．λ＞210．已知两个不相等的非零向量，两组向量和均由2个和3个排成一列而成．记，S min表示S所有可能取值中的最小值，则下列正确的是（）A．B．C．若⊥，则S min与||无关D．S有5个不同的值11．设，若对任意的正实数x，y，都存在以a，b，c 为三边长的三角形，则实数p的取值范围是（）A．（1，3）B．（1，2]C．D．以上均不正确12．已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，不同两点P，Q在椭圆C上，且关于x轴对称，设直线AP，BQ的斜率分别为m，n，则当取最小值时，椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13．已知复数，则|z|=．14．在△ABC中，BC=，AC=2，△ABC的面积为4，则AB的长为．15．已知圆x2+y2﹣4x+2y+5﹣a2=0与圆x2+y2﹣（2b﹣10）x﹣2by+2b2﹣10b+16=0相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且满足x+y=x+y，则b=．16．给出下列命题：（1）设f（x）与g（x）是定义在R上的两个函数，若|f（x1）+f（x2）|≥|g（x1）+g（x2）|恒成立，且f（x）为奇函数，则g（x）也是奇函数；（2）若∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|成立，且函数f（x）在R 上递增，则f（x）+g（x）在R上也递增；（3）已知a＞0，a≠1，函数f（x）=，若函数f（x）在[0，2]上的最大值比最小值多，则实数a的取值集合为；（4）存在不同的实数k，使得关于x的方程（x2﹣1）2﹣|x2﹣1|+k=0的根的个数为2个、4个、5个、8个．则所有正确命题的序号为．三、解答题：本大题共5小题，其中有3道选做题选做一道，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}的前n项和为S n，常数λ＞0，且λa1a n=S1+S n对一切正整数n都成立．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设a1＞0，λ=100，当n为何值时，数列的前n项和最大？18．如图，在多面体ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，且△ABC为等边三角形，AE=1，BD=2，CD与平面ABCDE所成角的正弦值为．（1）若F是线段CD的中点，证明：EF⊥平面DBC；（2）求二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值．19．某学校有120名教师，且年龄都在20岁到60岁之间，各年龄段人数按分组，其频率分布直方图如图所示，学校要求每名教师都要参加两项培训，培训结束后进行结业考试．已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如表示，假设两项培训是相互独立的，结业考试成绩也互不影响．年龄分组A项培训成绩优秀人数B项培训成绩优秀人数[20，30）30 18[30，40）36 24[40，50）12 9[50，60] 4 3（1）若用分层抽样法从全校教师中抽取一个容量为40的样本，求从年龄段[20，30）抽取的人数；（2）求全校教师的平均年龄；（3）随机从年龄段[20，30）和[30，40）内各抽取1人，设这两人中两项培训结业考试成绩都优秀的人数为X，求X的概率分布和数学期望．20．已知抛物线方程为x2=2py（p＞0），其焦点为F，点O为坐标原点，过焦点F作斜率为k（k≠0）的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M．（1）求；（2）设直线MF与抛物线交于C，D两点，且四边形ACBD的面积为，求直线AB的斜率k．21．已知函数f（x）=e﹣x（lnx﹣2k）（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f （x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直．（1）求f（x）的单调区间；（2）设，对任意x＞0，证明：（x+1）g（x）＜e x+e x﹣2．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．选修4﹣1：平面几何如图AB是⊙O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．（I）求证：∠DEA=∠DFA；（II）若∠EBA=30°，EF=，EA=2AC，求AF的长．23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．24．函数f（x）=．（1）求函数f（x）的定义域A；（2）设B={x|﹣1＜x＜2}，当实数a、b∈（B∩∁R A）时，证明：|．2016年湖南省六校联考高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x2﹣6x+5≤0}，B={x|y=}，A∩B=（）A．[1，+∞）B．[1，3]C．（3，5]D．[3，5]【考点】交集及其运算．【分析】分别求出集合A、B，从而求出A∩B即可．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣6x+5≤0}={x|1≤x≤5}，B={x|y=}={x|x≥3}，∴A∩B=[3，5]，故选：D．2．命题“若x，y都是偶数，则x+y也是偶数”的逆否命题是（）A．若x+y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x+y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x+y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x+y不是偶数，则x与y都不是偶数【考点】四种命题间的逆否关系．【分析】若命题为“若p则q”，命题的逆否命题为“若非q，则非p”，而x，y都是偶数的否定应为x与y不都是偶数．【解答】解：若命题为“若p则q”，命题的逆否命题为“若非q，则非p”，所以原命题的逆否命题是“若x+y不是偶数，则x与y不都是偶数”故选C3．若执行如图的程序框图，输出S的值为6，则判断框中应填入的条件是（）A．k＜32？B．k＜65？C．k＜64？D．k＜31？【考点】程序框图．【分析】根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S=6，可得判断框内应填入的条件．【解答】解：根据程序框图，运行结果如下：S k 第一次循环log23 3 第二次循环log23•log34 4 第三次循环log23•log34•log45 5第四次循环log23•log34•log45•log56 6第五次循环log23•log34•log45•log56•log67 7第六次循环log23•log34•log45•log56•log67•log78 8第七次循环log23•log34•log45•log56•log67•log78•log89 9…第61次循环log23•log34•log45•log56•…•log6263 63第62次循环log23•log34•log45•log56••…•log6263•log6364=log264=6 64故如果输出S=6，那么只能进行62次循环，故判断框内应填入的条件是k＜64．故选：C．4．下列函数中在上为减函数的是（）A．y=2cos2x﹣1 B．y=﹣tanxC． D．y=sin2x+cos2x【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】根据基本初等函数的图象与性质，对选项中函数的单调性进行分析、判定即可．【解答】解：对于A，y=2cos2x﹣1=cos2x，在上是先减后增，不满足题意；对于B，y=﹣tanx，在（，）和（，）上都是增函数，不满足题意；对于C，y=cos（2x﹣）=sin2x，在上为减函数，满足题意；对于D，y=sin2x+cos2x=sin（2x+），在上先减后增，不满足题意．故选：C．5．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷B的人数为（）A．7 B．9 C．10 D．15【考点】系统抽样方法．【分析】由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n=9+（n﹣1）30=30n﹣21，由451≤30n﹣21≤750 求得正整数n的个数．【解答】解：960÷32=30，故由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为a n=9+（n﹣1）30=30n﹣21．由451≤30n﹣21≤750 解得15.7≤n≤25.7．再由n为正整数可得16≤n≤25，且n∈z，故做问卷B的人数为10，故选：C．6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．6πB．C．3πD．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求解几何体的条件即可得出答案．【解答】解：由三视图判断几何体是底面半径为1，高为6 的圆柱被截掉分开，相等的2 部分，∴V=π×12×6=3π，故选：C7．若的展开式中的常数项为a，则的值为（）A．6 B．20 C．8 D．24【考点】二项式定理的应用．【分析】利用二项式定理求得a=2，再求定积分求得要求式子的结果．【解答】解：根据=（2+x+x2）•（1﹣+﹣）=2﹣+﹣+x﹣3+﹣+x2﹣3x+3﹣，故展开式中的常数项为a=2﹣3+3=2，则=•（3x2﹣1）dx=（x3﹣x）=8﹣2=6，故选：A．8．若函数y=2x图象上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的最大值为（）A．1 B．C．2 D．【考点】简单线性规划．【分析】由题意作图象，从而结合图象可知2m≤1，从而解得．【解答】解：由题意作图象如下，，结合图象可知，函数y=2x图象与y=3﹣x的交点A（1，2），则2m≤1，故m≤；故选：D．9．已知数列{a n}的通项公式a n=5﹣n，其前n项和为S n，将数列{a n}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n}的前3项，记{b n}的前n项和为T n，若存在m∈N*，使对任意n∈N*，总有S n＜T n+λ恒成立，则实数λ的取值范围是（）A．λ≥2 B．λ＞3 C．λ≥3 D．λ＞2【考点】数列的求和．【分析】通过a n=5﹣n可求出T n=8（1﹣）、S n=，利用4≤T n＜8及S n≤10，结合题意可知10＜8+λ，进而计算可得结论．【解答】解：∵a n=5﹣n，∴a1=4，a2=3，a3=2，a4=1，则b1=a1=4，b2=a3=2，b3=a4=1，∴数列{b n}是首项为4、公比为的等比数列，∴T n==8（1﹣），∴4≤T n＜8，又∵S n==，∴当n=4或n=5时，S n取最大值10，∵存在m∈N*，使对任意n∈N*，总有S n＜T n+λ恒成立，∴10＜8+λ，即λ＞2，故选：D．10．已知两个不相等的非零向量，两组向量和均由2个和3个排成一列而成．记，S min表示S所有可能取值中的最小值，则下列正确的是（）A．B．C．若⊥，则S min与||无关D．S有5个不同的值【考点】平面向量数量积的运算．【分析】依题意，可求得S有三种结果，，，，可判断①错误；进一步分析有S1﹣S2=S2﹣S3=≥=，即S中最小为S3，再对A、B、C逐一分析得答案．【解答】解：∵x i，y i（i=1，2，3，4，5）均由2个a和3个b排列而成，∴S可能情况有以下三种：，，，故D错误；∵S1﹣S2=S2﹣S3=≥=，∴S中最小为S3，若，则S min=S3=，∴A，B错误；若⊥，则S min=，与无关，与有关，故C正确．故选：C．11．设，若对任意的正实数x，y，都存在以a，b，c 为三边长的三角形，则实数p的取值范围是（）A．（1，3）B．（1，2]C．D．以上均不正确【考点】基本不等式；简单线性规划．【分析】由基本不等式可得a≥，c≥2，再由三角形任意两边之和大于第三边可得，+2＞，且+＞2，且+2＞，由此求得实数p的取值范围．【解答】解：对于正实数x，y，由于≥=，c=x+y≥2，，且三角形任意两边之和大于第三边，∴+2＞，且+＞2，且+2＞．解得1＜p＜3，故实数p的取值范围是（1，3），故选：A．12．已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，不同两点P，Q在椭圆C上，且关于x轴对称，设直线AP，BQ的斜率分别为m，n，则当取最小值时，椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设P（x0，y0），则Q（x0，﹣y0），=．A（﹣a，0），B（a，0），利用斜率计算公式肯定：mn=，=++=，令=t＞1，则f（t）=+﹣2lnt．利用导数研究其单调性即可得出．【解答】解：设P（x0，y0），则Q（x0，﹣y0），=．A（﹣a，0），B（a，0），则m=，n=，∴mn==，∴=++=，令=t＞1，则f（t）=+﹣2lnt．f′（t）=+1+t﹣=，可知：当t=时，函数f（t）取得最小值=++﹣2ln=2+1﹣ln2．∴=．∴=．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13．已知复数，则|z|=．【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数==i﹣1，则|z|==，故答案为：．14．在△ABC中，BC=，AC=2，△ABC的面积为4，则AB的长为4或．【考点】余弦定理；三角形中的几何计算．【分析】利用三角形的面积公式，求出，可得cosC=±，利用余弦定理可求AB的长．【解答】解：∵BC=，AC=2，△ABC的面积为4，∴4=，∴，∴cosC=±，∴AB2==16，∴AB=4；或AB2==32，∴AB=．∴AB的长为4或．故答案为：4或15．已知圆x2+y2﹣4x+2y+5﹣a2=0与圆x2+y2﹣（2b﹣10）x﹣2by+2b2﹣10b+16=0相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且满足x+y=x+y，则b=．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】把点A、B的坐标分别代人圆O1，化简得2（x1﹣x2）=y1﹣y2；再把点A、B的坐标代人圆O2，整理得b（y2﹣y1）=﹣（b﹣5）（x1﹣x2）；由以上两式联立即可求出b的值．【解答】解：根据题意，把点A（x1，y1），B（x2，y2）分别代人圆O1，得；+﹣4x1+2y1+5﹣a2=0①，+﹣4x2+2y2+5﹣a2=0②，①﹣②并化简得，2（x1﹣x2）=y1﹣y2③；同理，把点A、B的坐标代人圆O2，整理得，b（y2﹣y1）=﹣（b﹣5）（x1﹣x2）④；把③代人④，化简得2b=﹣（b﹣5），解得b=．故答案为：．16．给出下列命题：（1）设f（x）与g（x）是定义在R上的两个函数，若|f（x1）+f（x2）|≥|g（x1）+g（x2）|恒成立，且f（x）为奇函数，则g（x）也是奇函数；（2）若∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|成立，且函数f（x）在R 上递增，则f（x）+g（x）在R上也递增；（3）已知a＞0，a≠1，函数f（x）=，若函数f（x）在[0，2]上的最大值比最小值多，则实数a的取值集合为；（4）存在不同的实数k，使得关于x的方程（x2﹣1）2﹣|x2﹣1|+k=0的根的个数为2个、4个、5个、8个．则所有正确命题的序号为（1）、（2）、（4）．【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】（1）利用|f（x1）+f（x2）|≥|g（x1）+g（x2）|恒成立，设x2=﹣x1，|f（x1）+f（﹣x1）|≥|g（x1）+g（﹣x1）|恒成立，根据f（x）是奇函数，即可得出结论；（2）利用函数单调性的定义，即可得出结论；（3）分0＜a＜1和a＞1时加以讨论，根据指数函数的单调性和一次函数单调性，结合分段函数在区间端点处函数值的大小比较，求出函数在[0，2]上的最大值和最小值，由此根据题意建立关于a的方程，求出满足条件的实数a的值；（4）对k的值分类讨论，将方程根的问题转化成函数图象的问题，画出函数图象，结合图象可得结论．【解答】解：对于（1），∵|f（x1）+f（x2）|≥|g（x1）+g（x2）|恒成立，令x2=﹣x1，则|f（x1）+f（﹣x1）|≥|g（x1）+g（﹣x1）|恒成立，∵f（x）是奇函数，∴|f（x1）﹣f（x1）|≥|g（x1）+g（﹣x1）|恒成立，∴g（x1）+g（﹣x1）=0，∴g（﹣x1）=﹣g（x1），∴g（x）是奇函数，（1）正确；对于（2），设x1＜x2，∵f（x）是R上的增函数，∴f（x1）＜f（x2），∵|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|恒成立，∴f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2）＜f（x2）﹣f（x1），∴h（x1）﹣h（x2）=f（x1）﹣f（x2）+g（x1）﹣g（x2）＜f（x1）﹣f（x2）+f（x2）﹣f（x1），∴h（x1）﹣h（x2）＜0，∴函数h（x）=f（x）+g（x）在R上是增函数，（2）正确；对于（3），①当a＞1时，函数f（x）=在[0，2]上的最大值为f（1）=a，最小值为f（0）=1或f（2）=a﹣2；当a﹣1=时，解得a=，此时f（2）=＞1，满足题意，当a﹣（a﹣2）=0时，2=0不满足题意，∴a=；②当0＜a＜1时，在[0，1]上，f（x）=a x是减函数；在（1，2]上，f（x）=﹣x+a是减函数，∵f（0）=a0=1＞﹣1+a，∴函数的最大值为f（0）=1；而f（2）=﹣2+a＜﹣1+a=f（1），所以函数的最小值为f（2）=﹣2+a，因此，﹣2+a+=1，解得a=∈（0，1）符合题意；综上，实数a的取值集合为{，}，（3）错误；对于（4），关于x的方程（x2﹣1）2﹣|x2﹣1|+k=0可化为（x2﹣1）2﹣（x2﹣1）+k=0（x≥1或x≤﹣1）（Ⅰ）或（x2﹣1）2+（x2﹣1）+k=0（﹣1＜x＜1）（Ⅱ）①当k=时，方程（Ⅰ）有两个不同的实根±，方程（Ⅱ）有两个不同的实根±，即原方程恰有4个不同的实根；②当k=0时，原方程恰有5个不同的实根；③当k=时，方程（Ⅰ）的解为±，±，方程（Ⅱ）的解为±，±，即原方程恰有8个不同的实根；④当k=﹣2时，方程化为（|x2﹣1|+1）（|x2﹣1|﹣2）=0，解得|x2﹣1|=2或|x2﹣1|=﹣1（不合题意，舍去）；所以x2﹣1=±2，解得x2﹣1=2，即x=±，方程有2个实数根；所以存在不同的实数k，使得关于x的方程（x2﹣1）2﹣|x2﹣1|+k=0的根的个数为2个、4个、5个、8个，命题（4）正确；综上，正确的命题是（1）、（2）、（4）．故答案为：（1）（2）、（4）．三、解答题：本大题共5小题，其中有3道选做题选做一道，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}的前n项和为S n，常数λ＞0，且λa1a n=S1+S n对一切正整数n都成立．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设a1＞0，λ=100，当n为何值时，数列的前n项和最大？【考点】数列递推式；数列的函数特性；数列的求和．【分析】（I）由题意，n=1时，由已知可知a1（λa1﹣2）=0，分类讨论：由a1=0，及a1≠0，结合数列的和与项的递推公式可求（II）由a1＞0且λ=100时，令，则，结合数列的单调性可求和的最大项【解答】解（I）当n=1时，∴a1（λa1﹣2）=0=0若取a1=0，则S n=0，a n=S n﹣S n﹣1∴a n=0（n≥1）若a1≠0，则，当n≥2时，2a n=，=a n两式相减可得，2a n﹣2a n﹣1∴a n=2a n，从而可得数列{a n}是等比数列﹣1∴a n=a1•2n﹣1==综上可得，当a1=0时，a n=0，当a1≠0时，（II）当a1＞0且λ=100时，令由（I）可知∴{b n}是单调递减的等差数列，公差为﹣lg2∴b1＞b2＞…＞b6=＞0当n≥7时，∴数列的前6项和最大18．如图，在多面体ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，且△ABC为等边三角形，AE=1，BD=2，CD与平面ABCDE所成角的正弦值为．（1）若F是线段CD的中点，证明：EF⊥平面DBC；（2）求二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）根据线面垂直的判定定理进行证明即可．（2）建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．【解答】（1）证明：取BC的中点为M，连接FM，则可证AM⊥平面BCD，四边形AEFM 为平行四边形，所以EF∥AM，所以EF⊥平面DBC；…（2）解：取AB的中点O，连结OC，OD，则OC⊥平面ABD，∠CDO即是CD与平面ABDE所成角，，设AB=x，则有，得AB=2，取DE的中点为G，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OG为z轴，建立如图空间直角坐标系，则，由（1）知：BF⊥平面DEC，又取平面DEC的一个法向量=（，﹣1，2），设平面BCE的一个法向量=（1，y，z），由，由此得平面BCE的一个法向量=（1，，2），则cos＜，＞====所以二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值为…19．某学校有120名教师，且年龄都在20岁到60岁之间，各年龄段人数按分组，其频率分布直方图如图所示，学校要求每名教师都要参加两项培训，培训结束后进行结业考试．已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如表示，假设两项培训是相互独立的，结业考试成绩也互不影响．年龄分组A项培训成绩优秀人数B项培训成绩优秀人数[20，30）30 18[30，40）36 24[40，50）12 9[50，60] 4 3（1）若用分层抽样法从全校教师中抽取一个容量为40的样本，求从年龄段[20，30）抽取的人数；（2）求全校教师的平均年龄；（3）随机从年龄段[20，30）和[30，40）内各抽取1人，设这两人中两项培训结业考试成绩都优秀的人数为X，求X的概率分布和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由频率分布直方图能求出从年龄段[20，30）抽取的人数．（2）由频率分布直方图能求出全校教师的平均年龄．（3）由题设知X的可能取值为0，1，2．分别求出相应的概率，由此能求出X的概率分布列和数学期望．【解答】解：（1）由频率分布直方图知，0.35×40=14．…（2）由频率分布直方图得：全校教师的平均年龄为：25×0.35+35×0.4+45×0.15+55×0.1=35．…（3）∵在年龄段[20，30）内的教师人数为120×0.35=42（人），从该年龄段任取1人，由表知，此人A项培训结业考试成绩优秀的概率为，B项培训结业考试成绩优秀的概率为，∴此人A、B两项培训结业考试成绩都优秀的概率为，…∵在年龄段[30，40）内的教师人数为120×0.4=48（人），从该年龄段任取1人，由表知，此人A项培训结业考试成绩优秀的概率为，B项培训结业考试成绩优秀的概率为，∴此人A、B两项培训结业考试成绩都优秀的概率为…由题设知X的可能取值为0，1，2．∴，，…∴X的概率分布为X 0 1 2PX的数学期望为…20．已知抛物线方程为x2=2py（p＞0），其焦点为F，点O为坐标原点，过焦点F作斜率为k（k≠0）的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M．（1）求；（2）设直线MF与抛物线交于C，D两点，且四边形ACBD的面积为，求直线AB的斜率k．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）设出直线AB的方程，代入抛物线的方程，运用韦达定理和点满足直线方程，由向量的数量积的坐标表示，化简即可得到所求值；（2）求得切线的斜率和切线的方程，运用弦长公式，可得|AB|，|CD|，求得四边形ABCD 的面积，运用对勾函数的性质，解方程可得k的值．【解答】解：（1）设直线AB方程为，联立直线AB与抛物线方程，得x2﹣2pkx﹣p2=0，则x1+x2=2pk，x1x2=﹣p2，可得=x1x2+y1y2=x1x2=x1x2+（kx1+）（kx2+）=（1+k2）x1x2++（x1+x2）=（1+k2）（﹣p2）++•2pk=﹣p2；（2）由x2=2py，知，可得曲线在A，B两点处的切线的斜率分别为，即有AM的方程为，BM的方程为，解得交点，则，知直线MF与AB相互垂直．由弦长公式知，|AB|=•=•=2p（1+k2），用代k得，，四边形ACBD的面积，依题意，得的最小值为，根据的图象和性质得，k2=3或，即或．21．已知函数f（x）=e﹣x（lnx﹣2k）（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f （x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直．（1）求f（x）的单调区间；（2）设，对任意x＞0，证明：（x+1）g（x）＜e x+e x﹣2．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f（x）的导数，通过解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为证成立，从而证明，设F（x）=1﹣xlnx﹣x，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）因为，由已知得，∴．所以，…设，则，在（0，+∞）上恒成立，即k（x）在（0，+∞）上是减函数，由k（1）=0知，当0＜x＜1时k（x）＞0，从而f'（x）＞0，当x＞1时k（x）＜0，从而f'（x）＜0．综上可知，f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，+∞）…（2）因为x＞0，要证原式成立即证成立，现证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2恒成立，当x≥1时，由（1）知g（x）≤0＜1+e﹣2成立；当0＜x＜1时，e x＞1，且由（1）知g（x）＞0，∴．设F（x）=1﹣xlnx﹣x，x∈（0，1），则F'（x）=﹣（lnx+2），当x∈（0，e﹣2）时，F′（x）＞0，当x∈（e﹣2，1）时，F′（x）＜0，所以当x=e﹣2时，F（x）取得最大值F（e﹣2）=1+e﹣2．所以g（x）＜F（x）≤1+e﹣2，即0＜x＜1时，g（x）＜1+e﹣2．综上所述，对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．①…令G（x）=e x﹣x﹣1（x＞0），则G'（x）=e x﹣1＞0恒成立，所以G（x）在（0，+∞）上递增，G（x）＞G（0）=0恒成立，即e x＞x+1＞0，即．②当x≥1时，有：；当0＜x＜1时，由①②式，，综上所述，x＞0时，成立，故原不等式成立…请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．选修4﹣1：平面几何如图AB是⊙O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．（I）求证：∠DEA=∠DFA；（II）若∠EBA=30°，EF=，EA=2AC，求AF的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）连接AD，BC，证明A，D，E，F四点共圆，可得结论；（Ⅱ）证明△EFA∽△BCA，可得，所以AF×AB=AC×AE，从而可求AF的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接AD，BC．因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB=∠ACB=∠EFA=90°，故A，D，E，F四点共圆，∴∠DEA=∠DFA；（Ⅱ）解：在直角△EFA和直角△BCA中，∠EAF=∠CAB，所以△EFA∽△BCA，所以所以AF×AB=AC×AE设AF=a，则AB=3﹣a，所以a（3﹣a）=，所以a2﹣2a+1=0，解得a=1所以AF的长为1．23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，利用可得直角坐标方程．直线L的参数方程是（t为参数），把t=2y代入+m消去参数t即可得出．（2）把（t为参数），代入方程：x2+y2=2x化为：+m2﹣2m=0，由△＞0，得﹣1＜m＜3．利用|PA|•|PB|=t1t2，即可得出．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2=2x．直线L的参数方程是（t为参数），消去参数t可得．（2）把（t为参数），代入方程：x2+y2=2x化为：+m2﹣2m=0，由△＞0，解得﹣1＜m＜3．∴t1t2=m2﹣2m．∵|PA|•|PB|=1=|t1t2|，∴m2﹣2m=±1，解得，1．又满足△＞0．∴实数m=1，1．24．函数f（x）=．（1）求函数f（x）的定义域A；（2）设B={x|﹣1＜x＜2}，当实数a、b∈（B∩∁R A）时，证明：|．【考点】交、并、补集的混合运算；函数的定义域及其求法．【分析】（1）分类讨论x的范围，根据负数没有平方根，利用绝对值的代数意义求出x的范围，即可确定出A；（2）求出B与A补集的交集，得到a、b满足的集合，把所证等式两边平方，利用作差法验证即可．【解答】（1）解：由题意得：|x+1|+|x+2|﹣5≥0，当x≤﹣2时，得x≤﹣4；当﹣2＜x＜﹣1时，无解；当x≥﹣1时，得x≥1，∴A={x|x≤﹣4或x≥1}；（2）证：∵B={x|﹣1＜x＜2}，∁R A={x|﹣4＜x＜1}，∴B∩∁R A={x|﹣1＜x＜1}，∴a、b∈{x|﹣1＜x＜1}，要证＜|1+|，只需证4（a+b）2＜（4+ab）2，∵4（a+b）2﹣（4+ab）2=4a2+4b2﹣a2b2﹣16=（b2﹣4）（4﹣a2），∵a、b∈{ x|﹣1＜x＜1}，∴（b2﹣4）（4﹣a2）＜0，∴4（a+b）2＜（4+ab）2，∴＜|1+|成立．2016年7月25日。
湖南省六校2014届高三下学期4月联考数学(文)试题
湖南省2014届高三六校联考数学（文）试题本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量120分钟，满分150分一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知P={ -1，0}，Q={y|y= sinθ，θ∈R），则P I Q=A．∅B．{0} C．{ -1，0} D．{-1，0）2．已知i为虚数单位，若x ii-=y+2i，x，y∈R，则复数x+yi=A．2+i B．-2－i C．l－2i D．1+2i 3．“log2a>l og2b”是“2a>2b”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知倾斜角为a的直线l与直线x－2y+2=0平行，则tan 2a的值为A．45B．34C．23D．435．若变量x，y满足120yx yx y≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩，实数z是2x和-4y的等差中项，则z的最大值等于A．1 B．2 C．3 D．46．已知x．y∈R+，a=（x，1），b=（1，y－1），若a⊥b，则11x y+的最小值为A．4 B．9 C．8 D．107．设函数f（x）=()xf xe是定义在R上的函数，其中f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）<f（x）对于x∈R恒成立，则A．f（2）＞e2f（0），f（2 014＞e2 014f（0）B．f（2）＞e2f（0），，（2 014）<e2 014f（0）C．f（2）<e2 f（0），f（2 014）<e2 014f（0）D．f（2）<e2f（0），f（2 014＞e2 014f（0）8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是ABCD ．09．已知双曲线221x y m n-=（m>0，n>0）的离心率为2，有一个焦点与抛物线y 2 =16x 的焦点重合，则mn 的值为 A ．4 B ．12 C ．16 D ．4810．设f （x ）与g （x ）是定义在同一区间[a ，b]上的两个函数，若函数y=f （x ）－g （x ）在x ∈[a ，b]上有两个不同的零点，则称f （x ）和g （x ）在[a ，b]上是“关联函数”，区间[a ，b]称为 “关联区间”．若f （x ）=x 2－3x+4与g （x ）=2x+m 在[0，3]上是“关联函数”，则m 的取值范围是 A ．9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦B ．[-1，0]C ．(],2-∞-D ．9,24⎡⎫--⎪⎢⎣⎭二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．11．在直角坐标系中，参数方程为2(12x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）的直线l ，被以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，极坐标方程为2cos ρθ=的曲线C 所截，则截得的弦长是 ．12．设函数f （x ）=x 2－5x+4（l≤x≤8），若从区间[1，8]内随机选取一个实数x 0，则所选取的实数x 0满足f （x 0）≤0的概率为 ．13．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积是 ． 14．①函数y= sin 2x π⎛⎫-⎪⎝⎭在[0，π]上是减函数； ②点A （1，1）、B （2，7）在直线3x －y=0的两侧； ③数列{a n }为递减的等差数列，a 1+a 5=0，设数列{a n }的前n 项和为S n ，则当n=4时，S n 取得最大值；④定义运算12121221a a b b a b a b =-，则函数f （x ）=23113,x x x +的图象在点（1，13）处的切线方程是6x －3y －5=0． 其中正确命题的序号是 （把所有正确命题的序号都写上）．15．对于实数x ，将满足“0≤y<l 且x －y 为整数”的实数y 称为实数x 的小数部分，用符号x表示。
2016届湖南省长沙市长郡中学高三下学期第六次月考数学(文)试题(解析版)
2016届湖南省长沙市长郡中学高三下学期第六次月考数学（文）试题一、选择题1．若全集U R =，集合{}124xA x =<<，{}10B x x =->，则U A B = ð（ ） A ．{}01x x <≤ B ．{}12x x << C ．{}01x x << D ．{}12x x ≤< 【答案】A 【解析】试题分析：{}{}12402x A x x x =<<=<< ，{}{}101B x x x x =->=>，{}{}{}U 02101A B x x x x x x ∴=<<≤=<≤ ð，故选A ．【考点】集合的交集、补集运算．2．已知a ，R b ∈，i 是虚数单位，若a i -与2bi +互为共轭复数，则()2a bi +=（ ） A ．54i - B ．54i + C ．34i - D ．34i + 【答案】D【解析】试题分析：由已知得，2,1a b ==，即2a b i i +=+，所以22()(2)34,a bi i i +=+=+选D ．【考点】复数的四则运算，复数的概念．3．已知命题021x p x ∀≥≥：，；命题q ：若x y >，则22x y >．则下列命题为真命题的是（ ）A ． p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧⌝D ．p q ⌝∨ 【答案】B【解析】试题分析：命题021x p x ∀≥≥：，为真命题，命题q ：若x y >，则22x y >为假命题，（如03x y ==-，），故q ⌝为真命题，则p q ∧⌝为真命题．故选：B ． 【考点】复合命题的真假．4．在区间[]2,4-上随机地抽取一个实数x ，若x 满足2x m ≤的概率为56，则实数m 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．9 【答案】D【解析】试题分析：如图试卷第2页，总17页区间长度是6，区间[24]-，上随机地取一个数x ，若x 满足2x m ≤的概率为56，所以9m =．故选：D ．【考点】几何概型．5．已知()f x 在R 上是奇函数，且满足()()4f x f x +=，当()0,2x ∈时，()22f x x=，则()7f =（ ） A ．2 B ．2- C ．98- D ． 98【答案】B【解析】试题分析：由题意知()f x 是周期为4的奇函数，故2)1()1()427()7(-=-=-=⨯-=f f f f ．【考点】1．函数的奇偶性；2．周期性．6．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为2的直角三角形，俯视图是半径为1的四分之一圆周和两条半径，则这个几何体的体积为（ ）A．12 B．6 C．4 D．3【答案】A【解析】试题分析：由三视图可知几何体为圆锥的14，圆锥的底面半径为1，母线长为211431212V π=⨯⨯⨯=．故选A ． 【考点】由三视图求面积、体积．7．下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a ，b ，i 的值分别为6，8，0，则输出a 和i 的值分别为（ ）A ．0，4B ．0，3C ．2，4D ．2，3 【答案】C【解析】试题分析：模拟执行程序框图，可得：680a b i ===，，，1i =，不满足a b >，不满足8622a b b i ==-==，，，满足6243a b a i >=-==，，，满足4224a b a i >=-==，，，不满足a b >，满足a b =，输出a 的值为2i ，的值为4．故选：D ．【考点】程序框图．8．设函数()()2f xg x x =+，曲线()y g x =在点()()1,1g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线的斜率为为（ ） A ．4 B ．14- C ．2 D ．12- 【答案】A【解析】试题分析：由题意可知，()()() '12' '2g f x g x x ==+，，所以()()'1'124f g =+=，所以得直线斜率为4． 【考点】导数的几何意义． 9．已知3sin 5ϕ=，且,2πϕπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于2π，则4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ） A ．35-B ．45-C ．35D ．45【答案】B【解析】试题分析：根据函数()()(0)sin f x x ωϕω=+>的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于2π，可得222T ππωω==∴=，．由3sin 5ϕ=，且,2πϕπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得试卷第4页，总17页34arcsin cos 55ϕπϕ=-=-，，∴()3sin 2arcsin )5(f x x π=+-，则334s i n a r c s i n c o s a r c s i n25545f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ =+-=⎪⎝⎭⎝⎝⎭=-⎭-，故选：B ． 【考点】正弦函数的图象．10．已知ABC ∆的三个顶点A ，B ，C 的坐标分别为()0,1，)，()0,2-，O 为坐标原点，动点P 满足1CP = ，则OA OB OP ++的最小值是（ ）A1 B1 C1 D1 【答案】A【解析】试题分析：由1CP = 及()C 0,2-可得P 的轨迹方程为()2221x y ++=，即cos sin 2x y θθ=⎧⎨=-⎩，∴)cos ,sin 1OA OB OP θθ++=-，)()222cos sin 1OA OB OP θθ++=+-()222cos sin 2sin 144θθθθθϕ=+++-+=++≥-（cos 3ϕ=，sin 3ϕ=，∴1OA OB OP ++≥ ．【考点】1．向量模的几何意义；2．点和圆的位置关系．【一题多解】设(),P x y ，由1CP = ，可知()2221x y ++=，所以点P 的轨迹是以()0,2C -为圆心，1为半径的圆上的点，又OA OB OP ++=小值，表示点P 与点()1-之间的距离的最小值，由点和圆的位置关系可知，OA OB OP ++11．11．过双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若2FB FA =，则此双曲线的离心率为（ ）A．2 D 【答案】C【解析】试题分析：如图所示，由已知FA 的斜率为ab-，直线FA 的方程为().a y x c b =--由()a y x c bb y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得2a xc ab y c⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2a a b A c c （，）；由()a y x c b b y xa ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得22222a cx a b abcy b a ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，即22222(,)a c a b c B a b b a --，又FA FB 2=，所以，223,2b a e ===，选C ．【考点】1．直线的斜率、直线的方程；2．双曲线的几何性质． 【一题多解】如图因为2F B F A =，所以A 为线段FB 的中点，∴24∠=∠，又13239∠=∠∠+∠=︒，，所以1242∠=∠+∠=∠=∠．故23903221603ba∠+∠=︒=∠⇒∠︒⇒∠=︒⇒=．∴22()142be e a=+=⇒=．故选：C ．12．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，C S 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为（ ）AD试卷第6页，总17页【答案】A【解析】试题分析：取AB 的中点D ，连接S D E D ，，作S E E C ⊥，则,A B S D A BC D ⊥⊥,所以AB ⊥面SDC ，因为SC 为球O 的直径，且2SC =，所以90SBAC SAC ︒∠=∠=，所以SA SB ==，所以SD =，2CD =在三角形SDC中，222cos 2SD DC SC SDC SD DC +-∠==⋅所以sin SDC ∠=,所以1sin 2SDC S SD DC SDC ∆=⋅⋅⋅∠=,所以棱锥的体积1=3SDC V S AB ∆⋅⋅． 【考点】1．棱锥的体积公式；2．三棱锥的外接球．【思路点睛】求椎体的体积，要适当的选择底面和高。
湖南省东部六校2016届高三联考(12月)数学(理)试题
侧视图正视图俯视图11221=R 绝密★启用前湖南省东部六校2016届高三联考试题理科数学答案总分：150分 时量：120分钟 考试时间：2015年12月8日由株洲市二中高三理科数学备课组命制一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分；每小题只有一个正确答案） 1．已知全集U=R ，集合{}lg(1)A x y x ==-，集合{}225B yy x x ==++，则A B =I（ C ）A ．∅B ．（1，2]C ．[2,)+∞D ．(1,)+∞ 2．已知复数z 满足()3425i z -=，则z =（ D ）A ．34i --B ．34i -+C ．34i -D ．34i +3．设α为锐角，若cos ()6πα+＝45，则sin (2)3πα+的值为（ B ）A ．2512B ．2425C ．2425-D ．1225-4．某车间共有6名工人，他们某日加工零件个数的茎叶图如上图所示，其中茎为十位数，叶为个位数,日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．从该车间6名工人中，任取2人，则至少有1名优秀工人的概率为 ( C ) A.158 B.94 C.35D.915．已知双曲线22221x y a b-= （0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，以1F 、2F 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为 ( C )A ．221169x y -=B ．22134x y -=C ．221916x y -=D ．22143x y -=6．下左图是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率q 的程序框图，则图中空白框内应填入（ D ） A ．M q i = B ．M q N = C ． N q M N =+ D ．Mq M N=+7．一个几何体的三视图如上右图，则该几何体的体积为 ( D ) A ．π B ．π2 C ．π3 D ．π68．若,a b ∈R ，命题p :直线y ax b =+与圆221x y +=相交；命题2q :1a b >-，则p 是q 的 ( A )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知)(x f 是偶函数，它在[)+∞,0上是减函数，若(lg )(2)f x f >，则x 的取值范围是（ C ）A ．1(,1)100 B ．1(0,)(1,)100+∞U C ．1(,100)100D ．()()0,1100,+∞U 10．已知不等式组220,22,22x y x y ⎧+-≥⎪⎪≤⎨⎪≤⎪⎩表示平面区域Ω，过区域Ω中的任意一个点P ，作圆221x y +=的两条切线且切点分别为,A B ，当PAB ∆的面积最小时，cos APB ∠的值为（ B ）A ．78 B ．12 C ．34 D ．3211．如上右图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线与,AB AC 两边分别交于,M N 两点，且,AM x AB AN y AC ==u u u u r u u u r u u u r u u u r,则2x y +的最小值为（ C ）A ．2B ．13 C ．3223+ D ．34 12．设点P 在曲线2x y e =上，点Q 在曲线2ln ln -=x y 上，则|PQ |的最小值为 ( D )A ．1－ln 2 B.2 (1－ln 2) C ．)2ln 1(2+ D.2(1＋ln 2)二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13．如果n x x )13(32-的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31x 的系数是 21 ． 14．函数3sin 3cos y x x =+([0,]2x π∈) 的单调递增区间是 ]3,0[π.15．对于问题：“已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)2,1(-，解关于x 的不等式02>+-c bx ax ”，给出如下一种解法：解：由02>++c bx ax 的解集为)2,1(-，得0)()(2>+-+-c x b x a 的解集为)1,2(-，即关于x 的不等式02>+-c bx ax 的解集为)1,2(-.参考上述解法，若关于x 的不等式0<++++c x bx a x k 的解集为)1,21()31,1(Y --，则关于x 的不等式0111<++++cx bx ax kx 的解集为_____），（），（211-3-Y _______． 16．已知椭圆C 的方程为13422=+y x ，B A 、为椭圆C 的左、右顶点，P 为椭圆C 上不同于B A 、的动点，直线4=x 与直线PB PA 、分别交于N M 、两点，若)0,7(D ，则过N M D 、、三点的圆必过x 轴上不同于点D 的定点，其坐标为 )0,1( ．A MB GN C三、解答题：（本大题分必做题和选做题两部分，满分70分，解答须写出详细的计算步骤、证明过程）（一）必做题：17．（本小题满分12分）株洲市某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登石峰山健身的活动，有N 人参加，现将所有参加人员按年龄情况分为)2520[，，)3025[，，)35,30[，)40,35[，)45,40[，)50,45[，)55,50[等七组,其频率分布直方图如下图所示。
2016届湖南省师大附中、长沙一中、长郡中学、雅礼中学高三四校联考(文)数学试题 word版
湖南省2016届高三四校联考试题数学（文科） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数)3(i i -的共轭复数是（）A.i 31+B.i 31-C.i 31+-D.i 31--2.设R U =，{}12>=x x A ，{}0log 2>=x x B ，则=B C A U （）A ．{}0<x xB ．{}1>x xC ．{}10≤<x xD ．{}10<≤x x 3.计算 107cos 47cos 17cos 47sin +的结果等于（） A.21-B.23C.22D.214.已知向量)1,1(-=，),1(m =，若4)2(=⋅-，则=m （） A.1- B.0 C. D.25.已知抛物线)0(2>=a ax y 的焦点到准线距离为，则=a （） A.4 B.2 C.41 D.216.下列命题是假命题的是（）A ．R ∈∀ϕ，函数)2sin()(ϕ+=x x f 都不是偶函数B ．R ∈∃βα,，使βαβαcos cos )cos(+=+C ．向量)1,2(-=a ，)0,3(-=b ，则a 在b 方向上的投影为2D ．“1≤x ”是“1<x ”的既不充分又不必要条件7.已知双曲线12222=-b y a x 的离心率为332，则双曲线的两渐近线的夹角为（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π8.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若ab C c b a =-+tan )(222，则角C 的值为（） A.6π或65π B.3π或32π C.6π D.32π 9.设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥-1210y x y x y x ，则y x z -=23的最大值为（)A.33B.3C.3D.910.如图所示程序框图，如果输入三个实数c b a ,,，要求输出这三个数中最小的数，那么在空白的判断框中，应填入下面四个选项中的（）A.x c >B.x c <C.b c >D.c b >11.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为3316cm ，它的三视图中的俯视图如图所示，侧视图是一个矩形，则侧视图的面积是（）A.8B.38C.4D.3412.对于函数)(x f ，若R c b a ∈∀,,，)(),(),(c f b f a f 为某三角形的三边长，则称)(x f 为“可构造三角形函数”，已知122)(+-=x x tx f 是“可构造三角形函数”，则实数的取值范围是（）A.]0,1[-B.]0,(-∞C.]1,2[--D.]21,2[--第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.设函数⎩⎨⎧<>=).0)((),0(log )(2x x g x x x f 若)(x f 为奇函数，则)41(-g 的值为_______.14.已知点)0,1(-A ，过点A 可作圆0122=+++mx y x 的两条切线，则m 的取值范围是______.15.已知)2,0(,cos 62sin 5πααα∈=，则=2tanα_____.16.已知函数)(2)(2R x b ax x x f ∈+-=，给出下列命题： ①R a ∈∃，使)(x f 为偶函数；②若)2()0(f f =，则)(x f 的图象关于1=x 对称； ③若02≤-b a ，则)(x f 在区间),[+∞a 上是增函数； ④若022>--b a ，则函数2)()(-=x f x h 有2个零点. 其中正确命题的序号为_______.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和)12(-=n n k S ，且83=a . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n na 的前n 项和n T . 18.（本小题满分12分）如图AB 是⊙O 的直径，点C 是弧AB 上一点，VC 垂直⊙O 所在平面，E D ,分别为VA ，VC 的中点.（1）求证：⊥DE 平面VBC ；（2）若6==CA VC ，⊙O 的半径为5，求点E 到平面BCD 的距离.19.（本小题满分12分）（1）求这40个学生数学成绩的众数和中位数的估计值；（2）若从数学成绩)100,80[内的学生中任意抽取2人，求成绩在)90,80[中至少有一人的概率.20.（本小题满分12分）在平角坐标系xOy 中，椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率21=e ，且过点)3,0(，椭圆C 的长轴的两端点为B A ,，点P 为椭圆上异于B A ,的动点，定直线4=x 与直线PA 、PB 分别交于N M ,两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）在x 轴上是否存在定点经过以MN 为直径的圆，若存在，求定点坐标；若不存在，说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数)0,(ln 2)1()(2>∈∈--=a R a N k x a x x f k且. （1）求)(x f 的极值；（2）若2016=k ，关于x 的方程ax x f 2)(=有唯一解，求a 的值.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，⊙O 是ABC ∆的外接圆，AD 平分BAC ∠交BC 于D ，交ABC ∆的外接圆于E . （1）求证：DCBDAC AB =； （2）若3=AB ，2=AC ，1=BD ，求AD 的长.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的极坐标方程为θρcos 2=，曲线2C 的参数方程为t ty t x (53254⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=为参数). （1）判断1C 与2C 的位置关系；（2）设M 为1C 上的动点，N 为2C 上的动点，求MN 的最小值. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知R b a ∈,，12)(---=x x x f . （1）若0)(>x f ，求实数x 的取值范围；（2）对R b ∈∀，若)(x f b a b a ≥-++恒成立，求a 的取值范围.湖南省2016届高三四校联考试题数学（文科）参考答案1.B 【解析】i i i i i 313)3(2+=-=-，∴i 31+的共轭复数为i 31-，故选B . 2.C 【解析】易知{}0>=x x A ，{}1>=x x B ，则{}10≤<==x x B C A U ，故选C. 3.D 【解析】2130sin )1747sin()17sin (47cos 17cos 47sin )1790cos(47cos 17cos 47sin ==-=-+=++ ，故选D.4.C 【解析】由已知得)2,3(),1()2,2(2m m --=--=-，又)1,1(-=， ∴423)2(=-+=⋅-m a b a ，∴1=m ，故选C.5.D 【解析】抛物线方程化为y a x 12=，∴)41,0(a F ，焦点到准线距离为121=a ，∴21=a ，故选D.6.A 【解析】易知A 错，故选A.7.C 【解析】34222222=+==a b a a c e ，∴222433a b a =+，223a b =∴.两渐近线方程x x a b y 33±=±=，9.D 【解析】令t y x =-2，由约束条件知]2,31[∈t ，故932max ==z ，故选D. 10.B 【解析】易知x c <，故选B.11.B 【解析】设底面边长为x ，则316433==x V ，∴4=x .∴侧视图是长为4，宽为32的矩形，38324=⨯=侧S ，故选B.12.D 【解析】121112112)(++-=+--+=xx x t t x f . ①当01=+t 即1-=t 时，1)(=x f ，此时)(),(),(c f b f a f 都为，能构成一个正三角形的三边长，满足题意.②当01>+t 即1->t 时，)(x f 在R 上单调递增，1)(<<-x f t ，∴1)(),(),(<<-c f b f a f t ，由)()()(c f b f a f >+得21112-≤<-⇒≥-t t .③当01<+t 即1-<t 时，)(x f 在R 上单调递减，t x f -<<)(1，由)()()(c f b f a f >+得22-≥⇒-≥t t ，∴12-<≤-t . 综上：212-≤≤-t ，故选D. 二、填空题13.2 【解析】22log 41log )41()41()41(222=-=-=-=-=--f f g . 14.),2(+∞ 【解析】点)0,1(-A 在圆外，∴011>++m ，∴2->m .又∵14)2(222-=++m y m x 表示圆，∴220142-<>⇒>-m m m 或，∴2>m .15.31 【解析】αααcos 6cos sin 10=，∴53sin =α， 3153541sin cos 12cos 2sin 22sin 22cos 2sin 2tan 2=-=-===αααααααα. 16.①③ 【解析】①当0=a 时，b x x f +=2)(显然是偶函数，故①正确. ②由)2()0(f f =，则b a b +-=44，而b a x a x b x a x x f +-+-+=++-+=+21)22()1(2)1()1(22，ba x a xb ax a x x b x a x x f +-+-+=++-+-=+---=-21)22(2221)1(2)1()1(222，∴)1()1(x f x f -≠+，∴)(x f 的图象不关于1=x 对称，故②错误.③2222)()()(a b a x a b a x x f -+-=-+-=在区间),[+∞a 上是增函数，故③正确. ④2)()(22--+-=a b a x x h 有4个零点，故④错误.17.【解析】（1）当2≥n 时，1112)12()12(---⋅=---=-=n n n n n n k k k S S a ，28223=⇒=⋅=k k a ，∴n n a 2=.当1=n 时，2)12(111=-⋅==k S a ，综上所述，n n a 2=. .................6分 （2）由（1）知，n n n na 2⋅=，则n n n n n T 22)1(2322211321⋅+-+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=-① 143222)1(2322212+⋅+-+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=n n n n n T ②①-②得：132122222+⋅-+⋅⋅⋅+++=-n n n n T ，112)12(2221)21(2++⋅--=⋅---=-n n n n n n n T ，11222++⋅--=-n n n n T ，22)1(1+-=+n n n T . ............12分18.【解析】（1）∵AB 是⊙O 的直径，C 是弧AB 上一点，∴CB AC ⊥. 又∵VC 垂直⊙O 所在平面，∴AC VC ⊥，∴⊥AC 平面VCB . 又∵E D ,分别为VC VA ,的中点，∴AC DE ∥， ∴⊥DE 平面VCB . ..................6分 （2）设点E 到平面BCD 的距离为d ， 由CDE B BCD E V V --=得332183131⨯⨯⨯⨯=⋅∆BCD S d ，∴2232323923821298===⨯⨯⨯=d ， 即点E 到平面BCD 的距离为223. ..............12分 19.【解析】（1）众数的估计值为最高矩形对应的成绩区间的中点，即众数的估计值为115. ......3分设中位数的估计值为x ，则5.0030.0)110(10020.010010.0005.010=⨯-+⨯+⨯+⨯x ，解得115=x .∴中位数的估计值为115. ......................6分（2）从图中知，成绩在)90,80[的人数为24010005.01=⨯⨯=m （人）， 成绩在)100,90[的人数为44010010.02=⨯⨯=m （人），设成绩在)90,80[的学生记为b a ,，成绩在)100,90[的学生记为f e d c ,,,. 则从成绩在)100,80[内的学生中任取2人组成的基本事件有),)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,(f e f d e d f c e c d c f b e b d b c b f a e a d a c a b a 共15种.其中成绩在)90,80[的学生至少有一人的基本事件有),)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,(f b e b d b c b f a e a d a c a b a 共9种.所以成绩在)90,80[的学生至少有一人的概率为53159==P . .............12分 20.【解析】（1）⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==-==34341222222222b a b a b a a c e ， ∴椭圆C 的方程为13422=+y x . .........................5分 （2）设PA 、PB 的斜率分别为21,k k ，),(00y x P ， 取2,2002001-=+=x y k x y k ，4344434)41(3420202020202021-=--⋅=--=-=x x x x x y k k ， ....................7分由)2(:1+=x k y l PA 知)6,4(1k M ，由)2(:2-=x k y l PB 知)2,4(2k N ， ∴MN 的中点)3,4(21k k G +.∴以MN 为直径的圆的方程为2212212212)3()26(41)3()4(k k k k k k y x -=-=--+-， 令0=y ，∴22212122212126969168k k k k k k k k x x +-=++++-， ∴012168212=++-k k x x ，∴0)43(121682=-⨯++-x x ， 即0782=+-x x ，解得17==x x 或. ∴存在定点)0,7(),0,1(经过以MN 为直径的圆. 21.【解析】（1）xa x x f k 12)1(2)(⋅--='， 当k 为奇数时，022)(>+='xax x f ，∴)(x f 在),0(+∞上单调递增，)(x f 无极值. 当k 为偶数时，xa x a x x a x x a x x f ))((22222)(2-+=-=-='， ∴)(x f 在),0(a 上单调递减，),(+∞a 上单调递增，∴)(x f 有极小值，a a a a a a a f x f ln ln 2)()(-=-==极小值. ..............5分（2）∵2016=k ，则x a x x f ln 2)(2-=， 令ax x a x x g 2ln 2)(2--=，)(2222222)(22a ax x xx a ax x a x a x x g --=--=--='令0)(='x g ，∴02=--a ax x ，∵0>a ，0>x ，∴2420aa a x ++=.当),0(0x x ∈时，0)(<'x g ，∴)(x g 在),0(0x 上单调递减.当),(0+∞∈x x 时，0)(>'x g ，∴)(x g 在),(0+∞x 上单调递增. ..........9分又0)(=x g 有唯一解，∴⎩⎨⎧='=0)(0)(00x g x g ，即⎩⎨⎧=--=--②①,0,02ln 20200020a ax x ax x a x ..............10分②-①得：101ln 20ln 200000=⇒=-+⇒=-+x x x a ax x a . ∴21=a . ....................12分 22.【解析】（1）如图，过D 作AB DM ∥交AC 于M ，连接BE . ∴①MCAM DC BD = 又∵AD 平分BAC ∠，∴CAD BAD ∠=∠，又AB DM ∥，∴ADM BAD ∠=∠，∴ADM CAD ∠=∠.∴MD AM =. ∴②CMAM CM MD AC AB AC CM AB MD ==⇒=， 由①②知DC BD AC AB =. ..................5分（2）∵DC BD DE AD ⋅=⋅， 又32312=⨯=⇒=DC DC BD AC AB ， ∵ABE ADC ∆∆~. ∴AE AC AB AD =，∴AC AB AE AD ⋅=⋅， ∴AC AB DE AD AD ⋅=+⋅)(， ∴316326321232=-=⨯-⨯=⋅-⋅=⋅-⋅=DC BD AC AB DE AD AC AB AD ， ∴334=AD . ........................10分 23.【解析】θρρcos 2:21=C ，∴0222=-+x y x ，所以1C 的普通方程为1)1(22=+-y x ， 342:2-=+y x C ，∴843--=y x ， 所以2C 的普通方程为0843=++y x .圆心)0,1(1C 到0843=++y x 的距离1511583>=+=d ， ∴1C 与2C 相离. .............5分（2）561511min =-=MN . .....................10分 24.【解析】（1）由0)(>x f 得12->-x x ，两边平方得124422+->+-x x x x ， 解得23<x ，即实数x 的取值范围是)23,(-∞. .....................5分 （2）a b a b a b a b a 2=-++≥-++， ∵12)(---=x x x f ，1)(max =x f ， ∴21212112-≤≥⇒≥⇒≥a a a a 或. 所以a 的取值范围为),21[]21,(+∞--∞ . ..................10分。
湖南2016届高三下学期高考模拟三数学文试题Word版含答案
数学（文科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.若复数()()1,z i bi b R =-∈对应的点在直线y x =上，则实数b 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．-1 D ．32.若,,,a b c R a b ∈>，则下列不等式成立的是（ ） A ．1b a < B ．22a b > C ．2211a bc c >++ D ．a c b c > 3. 0002sin 45cos15sin30-的值等于（ ）A ．12B ．22C ．32D ．14.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．83 B ．8 C ．453D ．45 5.已知点(),P x y 的可行域是如图阴影部分（含边界），若目标函数()2,0z x ay a =->取得最小值的最优解有无数个，则a 的取值为（ ）A ．1B ．2C ．6D ．86.如图12,F F 是双曲线221:13y C x -=与椭圆2C 的公共焦点，点A 是12,C C 在第一象限的公共点，若121F F F A =，则2C 的离心率是（ ）A ．13 B ．23 C ．15 D ．257.直线()11y k x =-+与椭圆2219x y m+=恒有交点，则m 的取值范围是（ ） A ．9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B ．()9,99,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭U C ．()9,99,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U D ．9,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭8.如图，位于A 处的海面观测站获悉，在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，并在原地等待营救．在A 处南偏西30°且相距20海里的C 处有一艘救援船，该船接到观测站通告后立即前往B 处求助，则sin ACB ∠=（ ）A ．217 B ．2114 C ．32114D ．2128 9.设命题0:p x R ∃∈，使()20020x x a a R ++=∈，则使得p 为真命题的一个充分不必要条件是（ ）A ．2a >-B ．2a <C ．1a ≤D ． 0a <10.如图，在等腰直角三角形ABO 中，设向量,,1,OA a OB b OA OB C ====u u u v u u u v为边AB 上靠近点A 的四等分点，过点C 作AB 的垂线l ，点P 为垂线l 上任意一点，则()OP b a -=u u u vg （ ）A ．12-B ．12C ．32-D ．3211.已知正项数列{}n a 满足()110n n n a na ++-=，且11a =，不等式12231n n a a a a a a m ++++≥g g L g 对任意*n N ∈恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(],1-∞D ．(),1-∞12.偶函数()f x 满足()()2f x f x =-，且当[]1,0x ∈-时，()cos12xf x π=-，若函数()()()log ,0,1a g x f x x a a =->≠有且仅有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()3,5B ．()2,4C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,53⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上．13.对具有线性相关关系的变量,y x 有一组观测数据()(),1,2,,8i i x y i =L ，其回归直线方程是1ˆˆ3yx a =+，且()1238123828x x x x y y y y ++++=++++=L L ，请估算3x =时，y =____________．14.已知立方体,,F,G,H ABCD A B C D E ''''-分别是棱,.AD BB B C '''，DD '中点，从中任取两点确定的直线中，与平面AB D ''平行的有__________条．15.在数列{}n a 中，若存在一个确定的正整数T ，对任意*n N ∈满足n T n a a +=，则称{}n a 是周期数列，T 叫做它的周期．已知数列{}n x 满足()12211,1,n n n x x a a x x x ++==≤=-，当数列{}n x 的周期为3时，则{}n x 的前2016项的和2016S =___________．16.设函数()322ln f x x ex mx x =-+-，记()()f xg x x=，若函数()g x 至少存在一个零点，则实数m 的取值范围是_____________．三、解答题 ：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分12分）某中学的高三一班中男同学有45名，女同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组．（1）求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；（2）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；（3）在（2）中的实验结束后，第一次做实验的同学得到的试验数据为68，70，71，72，74，第二次做实验的同学得到的实验数据为69，70，70，72，74，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由． 18.（本题满分12分） 已知向量2cos,1,cos ,3cos 22x x a b x π+⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设函数()()f x a b a =-g ． （1）若x R ∀∈，求()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，且()4,f A a ==求ABC ∆的面积S 的最大值． 19.（本题满分12分）在如图所示的几何体中，平面ACE ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 平行四边形，090,//,1ACB EF BC AC BC AE EC ∠=====．（1）求证：AE ⊥平面BCEF ； （2）求三棱锥D ACF -的体积． 20.（本题满分12分）已知圆()22:116A x y ++=，点()1,0B 是圆A 内一个定点，P 是圆A 上任意一点，线段BP 的垂直平分线l 和半径AP 相交于点Q .（1）当点P 在圆A 上运动时，求点Q 的轨迹曲线C 的方程；（2）若直线12,l l 是过点A 且相互垂直的两条直线，其中直线1l 交曲线C 于,E F 两点，直线2l 与圆A 相交于,M N 两点，求四边形MFNE 面积等于14时直线1l 的方程．21. （本小题满分 12分） 已知()ln x af x x e+=-．（1）若1x =是()f x 的极值点，讨论()f x 的单调性； （2）当2a ≥-时，证明：()f x 在定义域内无零点．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知AB 为圆O 的一条直径，以端点B 为圆心的圆交直线AB 于D C ，两点，交圆O 于,E F 两点，过点D 作垂直于AD 的直线，交直线AF 于H 点． （1）求证：,,,B D H F 四点共圆；（2）若2,22AC AF ==BDF ∆外接圆的半径． 23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线 B 是过点()1,1P -，倾斜角为4π的直线，以直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线A 的极坐标方程是22123sin ρθ=+．（1）求曲线A 的普通方程和曲线B 的一个参数方程； （2）曲线A 与曲线B 相交于,M N 两点，求MP NP g 的值．24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()()()2,2f x x g x m x m R =-=-∈． （1）解关于x 的不等式()23f x x ->；（2）若不等式()()f x g x ≥对任意的x R ∈恒成立，求m 的取值范围．参考答案一、选择题1. B 【解析】因为()1z i bi b i =-=+，对应的点为(),1b ，所以1b =，选B ． 2. C 【解析】取1,1a b ==-，排除选项A ，取0,1a b ==-，排除选项B ，取0c =，排除选项D ，显然2101c >+，对不等式a b >的两边同时乘211c +成立，故选C ． 3. C 【解析】()(000000000000000002sin 45cos15sin 302sin 45cos15sin 45152sin 45cos15sin 45cos15cos 45si sin 45cos15cos 45sin15sin 60-=--=--=+==故选C ．4. A 【解析】该几何体是一个四棱锥，其底面是边长为2的等腰三角形，且垂直于底面，由此可得四棱锥的高为2，所以体积83V =，选A ． 5. C 【解析】当0a >时，210,0a a >-<，当221641AC k a a -==⇒=-时，目标函数2z x ay =-在线段AC 上的所有点处都取得最小值，∴6a =，选C ．6. B 【解析】由题意知，1214F F F A ==，∵122F A F A -=，∴22F A =，∴126F A F A +=，∵12=4F F ，∴2C 的离心率是4263=，选B7. B 【解析】()11y k x =-+恒过点()1,1P ，由点()1,1P 在椭圆内或椭圆上得：1119m+≤得98m ≥且9m ≠，选B . 8. A 【解析】在ABC ∆中，040,20,120AB AC ABC ==∠=．由余弦定理，得22202cos1202800BC AB AC AB AC =+-=g g，所以BC =10. A 【解析】以点O 为原点建立直角坐标系，所以()()311,0,0,1,,44A B C ⎛⎫⎪⎝⎭，不妨设P 取点C ，∴()()31311,1,144442OP b a ⎛⎫-=-=-+=- ⎪⎝⎭u u u v g ，故选A ．11. A 【解析】∵()110n n n a na ++-=，∴11n n a n a n +=+，∴1211112n n n a n n n--==-g g L g g . ∴122311111111111111112231122311n n a a a a a a n n n n n ++++=+++=-+-++-=-+++g g L g g g L g L ，∵12231n n a a a a a a m ++++≥gg L g 恒成立，∴11122m ≤-=，故选A . 12. D 【解析】由()()2f x f x =-，可知函数()f x 图像关于1x =对称，又因为()f x 为偶函数，所以函数()f x 图像关于y 轴对称.所以函数()f x 的周期为2，要使函数()()log a g x f x x =-有且仅有三个零点，即函数()y f x =和函数log a y x =图形有且只有3个交点.由数形结合分析可知，0111log 31,53log 51a a a a <<⎧⎪⎪>-⇒<<⎨⎪<-⎪⎩，故D 正确.二、填空题 13.76 【解析】由题意知11,2x y ==，故样本中心为11,2⎛⎫⎪⎝⎭，代入回归直线方程1ˆˆ3y x a =+，得1ˆ6a =．所以3x =时，76y =． 14．6【解析】连接,EH,FG EG ，∵//EH FG ，∴EFGH 四点共面，由//,//,,EG AB EH AD EG EH E AB AD A ''''==I I ，可得平面EFGH 与平面AB D ''平行，所以符合条件的共6条.15. 1344 【解析】∵32111x x x a a =-=-=-，∴()2016672111344S a a =⨯++-=. 16. 21,e e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦【解析】令()2ln 20xg x x ex m x =-+-=，∴()2ln 20xm x ex x x =-++>， 设()2ln 2x h x x ex x =-++，令()()212ln 2,x f x x ex f x x =-+=，∴()221ln xf x x-'=，发现函数()()12,f x f x 在()0,x e ∈上都是单调递增，在[),x e ∈+∞上都是单调递减，∴函数()2ln 2xh x x ex x =-++在()0,x e ∈上单调递增，在[),x e ∈+∞上单调递减，∴当x e =时，()2max1h x e e =+，∴函数有零点需满足()max m h x ≤，即21m e e≤+．三、解答题17.【解析】（1）由题意可知，抽样比416015==，所以某同学被抽到的概率为115. 课外兴趣小组中男同学454360⨯=（人），女同学1（人）……………………………………………2分（2）把3名男同学和1名女同学分别记为123,,,a a a b ，则选取两名同学的基本事件有()()()()()()()()()()()()121312123231323123,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a a a b a a a a a b a a a a a b b a b a b a ，，共12个，其中恰有一名女同学的有6个. 所以选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为61122P ==…………………………7分 （3）由题意可知两名同学做实验得到的数据的平均数及方差分别为：()()()()()()()()()()1222222212222222687071727471,5697070727471,5687170717171727174714,569717071707172717471 3.25x x s s ++++==++++==-+-+-+-+-==-+-+-+-+-==由于2212s s >，因此，第二位同学的实验更稳定…………………………………………12分18.【解析】（1）()2cossin ,13cos 2cos ,1222x x x f x x ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g24cos sin 13cos sin cos 3324x x x x x x π⎛⎫=++-=-+=-+ ⎪⎝⎭…………………………………3分22,242k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，即322,44k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 所以()f x 的单调递增区间为32,2,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦…………………………………………6分 （2）因为()344f A A π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，所以sin 42A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭.又因为()0,A π∈，所以3,444A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故44A ππ-=， 所以2A π=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分于是在ABC ∆中，22210b c a +==，故221152222b c S bc +=≤=g，当且仅当b c == 所以ABC ∆的面积的最大值为52………………………………………………………12分 19.【解析】①∵平面ACE ⊥平面ABCD ，且平面AC E I 平面ABCD AC =，∵,BC AC BC ⊥⊂平面ABCD ，∴BC ⊥平面AEC ……………………………………………………………………………2分AE 平面AEC ，∴BC AE ⊥，……………………………………………3分又2,1AC AE EC ===，∴222AC AE CE =+，∴AE EC ⊥………………………………………………………4分且BC EC C =I ，∴AE ⊥平面BCEF ……………………………………………6分（2）设A C 的中点为G ，连接EG ，∵AE CE =，∴A EG C ⊥………………………………………………7分 ∵平面ACE ⊥平面ABCD ，且平面ACE I 平面ABCD AC =， ∴EG ⊥平面ABCD …………………………………………9分 ∵//,EF BC EF ⊄平面ABCD ，所以点F 到平面ABCD 的距离就等于点E 到平面ABCD 的距离，即点F 到平面ABCD 的距离为EG 的长…………………………………………10分 ∴13D ACF F ACDE ACD ACD V V V S EG ---∆===， ∵111222=12222ACD S AC AD EG AC ∆====g ，，………………………………………11分 ∴12213D ACF V -=⨯=，即三棱锥D ACF -的体积为26…………………………………12分 20.【解析】（1）连接QB ，∵4,AQ QP QP QB +==，∴4AQ QB +=，故点Q 的轨迹是以点,A B 为焦点，24a =为长轴的椭圆，所以22,1,3a c b ===， 点Q 的轨迹曲线C 的方程为：22143x y +=…………………………………………………5分 （2）①当直线1l 的斜率不存在时，则直线1l 的方程为：1x =-，直线2l 的方程为：0y =，故228,3b MN EF a ===，∴183122MFNE S =⨯⨯=，不合题意，故直线1l 的斜率存在．．．．．．．．．．．．．．．6分②当直线1l 的斜率存在时，设直线1l 的方程为：()()()11221,,,,y k x E x y F x y =+， ∴142MFNE S EF MN EF =⨯⨯=. 联立()221143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， ∴()()22223484120k x k x k +++-=， ∴221212228412,3434k k x x x x k k--+==++，……………………………………………………8分 ∴2211234k EF k +==⨯+， ∴22211448121143434MFNEk S EF k k +⎛⎫==⨯=+= ⎪++⎝⎭…………………………………………10分 ∴243k=，∴k =， 此时，直线1l 的方程为)1y x=+或)1y x =+……………………………………12分21.【解析】（1）∵()1x a f x e x+'=-，由1x =是()f x 的极值点，知()0f x '=， 故110a e +-=，∴1a =-，………………………………………………………………2分① 当01x <<时，1011,1x e e x-><=，则()0f x '>，所以()f x 在()0,1内单调递增； ② 当1x >时，10101,1x e e x -<<>=，则()0f x '<，所以()f x 在()1,+∞内单调递减……………5分（2）因为函数()f x 的定义域为()0,+∞，当2a ≥-时，2x a x e e +-≥，∴()2ln ln x a x f x x e x e +-=-≤-………………………………………6分令()()221ln ,x x g x x e g x e x --'=-=-，令()21x h x e x -=-，∴()2210x h x e x-'=--<， ∴()g x '在()0,+∞上递减，又()1110g e -'=->，()01202g e '=-<，……………………………8分 ∴()g x '在()0,+∞上有唯一的零点0x ， ∴02010x e x --=，∴00001ln 2,2x x ex x =-+=-…………………………………………9分 当00x x <<时，则()0g x '>，所以()g x 在()00,x 内单调递增；当0x x >时，则()0g x '<，所以()g x 在()0,x +∞内单调递减.∴()()02000max 01ln 220x g x g x x e x x -==-=-+-<-=…………………………………11分 故当2a ≥-时，()0g x <，故()()0f x g x ≤<，所以当2a ≥-时，()f x 在定义域内无零点…………………………………………………12分22.【解析】（1）因为AB 为圆O 的一条直径，所以BF FH ⊥．又DH BD ⊥，故,,,B D F H 四点在以BH 为直径的圆上.所以，,,,B D F H 四点共圆…………………………………………………………4分（2）由题意得AH 与圆B 相切于点F ，由切割线定理得2AF AC AD =g ，即(22,4AD AD ==g ， 所以()11,12BD AD AC BF BD =-===， 又AFD ADH ∆∆:，则DH AD BF AF =，得DH =. 连接BH （图略），由（1）可知，BH 为BDF ∆外接圆的直径.BH =，故BDF ∆………………………………………………………………10分23.【解析】（1）∵22123sin ρθ=+，∴()223sin 12ρθ+=，即曲线A 的普通方程为：22143x y +=， 曲线B的一个参数方程为：11x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）设12,PM t PN t ==，∴12MP NP t t =g ．把112x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入方程22143x y +=中，得：2231411222⎛⎫⎛⎫-+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得：27502t -=，∴12121077t t t t +=-=-，∴12107MP NP t t ==g ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 24.【解析】（1）由()223223x f x x x x ≥⎧->⇔⎨-->⎩或2223x x x <⎧⎨-->⎩， ∴x ∈∅或13x <-， 故原不等式的解集为1|3x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）由()()f x g x ≥，得22x m x -≥-对任意的x R ∈恒成立， 当0x =时，不等式22x m x -≥-成立；当0x ≠时，问题等价于22x m x-+≤对任意的非零实数恒成立， ∵22221x x x x++-+≥=， ∴1m ≤，即m 的取值范围是(],1-∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分。
湖南省长沙市长郡中学2016届高三下学期第六次月考数学(理)试卷
炎德·英才大联考长郡中学2016届高三月考卷（六）理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数2()1a i iω+=+，其中a 为实数，若ω的实部为2，则ω的虚部为（ ） A ．32- B ．12- C ．12 D ．322.设13log 2a =，2log 3b =，0.31()2c =，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．b c a >>4.一盒中有白、黑、红三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次球时停止取球的概率为 A ．1481 B ．2081 C ．2281 D ．25815.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A C ．0 D ．6.某几何体三视图如图所示，该几何体的体积为（ ） A ．82π- B ．8π- C ．82π-D ．84π-7.已知1sin cos ,(0,)2αααπ+=∈，则1tan 1tan αα-=+（ ）A B ． C ．8.抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，已知点,A B 为抛物线上的两个动点，且满足0120AFB ∠=. 过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则||||MN AB 的最大值为（ ）A B ．1 C ．2 9.两圆222240x y ax a +++-=和2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，若,a R b R ∈∈且0ab ≠，则2211a b +的最小值为（ ） A ．1 B ．3 C ．19 D ．4910.已知()y f x =为R 上的可导函数，当0x ≠时，'()()0f x f x x+>，则关于x 的函数1()()g x f x x=+的零点个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．0 D ．0或211.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为4，点H 在棱1AA 上，且11HA =，在侧面11BCC B 内作边长为1的正方形1EFGC ，P 是侧面11BCC B 内一动点，且点P 到平面11CDD C 距离等于线段PF 的长，则当点P 运动时，2||HP 的最小值是（ ）A ．21B ．22C ．23D ． 2512.函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)f x -为偶函数，当[0,1]x ∈时，12()f x x =，若()()g x f x x b =--有三个零点，则实数b 的取值集合是（ ）A ．11(2,2),44k k k Z -+∈ B ．15(2,2),22k k k Z ++∈ C ．11(4,4),44k k k Z -+∈ D ．19(4,4),22k k k Z ++∈二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知集合2{|20}P y y y =-->，2{|0}Q x x ax b =++≤，若P Q R = ，(2,3]P Q = ，则a b +=.14.若直线1:l y x a =+和直线2:l y x b =+将圆22(1)(2)8x y -+-=分成长度相等的四段弧，则22a b +=.15.数列{}n a 中，11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且对2n ∀≥，都有221nn n na a S S =-，则数列{}n a 的通项公式n a = . 16.已知函数()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，113()(|tan ||tan |tan )222f x x x ααα=++++（α为常数，且22ππα-<<），若对实数x R ∈，都有(3)()f x f x -≤恒成立，则实数a 的取值范围是 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，已知a c -=，sin B C =. （1）求cos A 的值； （2）求cos(2)6A π-的值.18. （本小题满分12分）为调查某社区年轻人的周末生活状况，研究这一社区年轻人在周末的休闲方式与性别的关系，随机调查了该社区年轻人80人，得到下面的数据表：（1）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的年轻男性，设调查的3人在这一时间段以上网为休闲方式的人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望； （2）根据以上数据，能否有99%的把握认为“周末年轻人的休闲方式与性别有关系”？参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：19. （本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，平面AEC ⊥平面ABCD ，090ACB ∠=，//EF BC ，12EF BC =，2AC BC ==，AE EC =. （1）求证：AF CF =；（2）当二面角A EC D --时，求三棱锥A EFC -的体积.20. （本小题满分12分）已知椭圆22:14x C y +=的短轴的端点分别为,A B ，直线,AM BM 分别与椭圆C 交于,E F 两点，其中点1(,)2M m 满足0m ≠，且m ≠（1）求椭圆C 的离心率e ； （2）用m 表示点,E F 的坐标；（3）若BME ∆面积是AMF ∆面积的5倍，求m 的值.21. （本小题满分12分） 已知函数()2ln pf x px x x=--. （1）若2p =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线；（2）若函数()f x 在其定义域内为增函数，求正实数p 的取值范围； （3）设函数2()eg x x=，若在[1,]e 上至少存在一点0x ，使得00()()f x g x >成立，求实数p 的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，圆O 的半径为6，线段AB 与圆O 相交于点,C D ，4AC =，BOD A ∠=∠，OB 与圆O 相交于点E . （1）求BD 长；（2）当CE OD ⊥时，求证：AO AD =.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为4πθ=，曲线C 的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩.（θ为参数）（1）写出直线l 与曲线C 的直角坐标方程；（2）过点M 且平行于直线l 的直线与曲线C 交于,A B 两点，若8||||3MA MB ∙=，求点M 轨迹的直角坐标方程.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()|21||4|f x x x =+--. （1）解不等式()0f x >；（2）若()3|4|f x x m +-≥对一切实数x 均成立，求m 的取值范围.参考答案一、选择题 ADCAA BBAAC BC12.C 【解析】由()f x 为奇函数，且(1)f x -为偶函数知(1)(1)f x f x --=-，令1x x =+，则()(2)(2)(4)f x f x f x f x =--=-+=+，所以()f x 是周期为4的周期函数，又[0,1]x ∈时，12()f x x =，画出()f x 的函数图象如图所示，由()()g x f x x b =--有三个零点，即()f x 的图象与y x b =+的图象有三个交点，由图易得当11(,)44b ∈-时，()f x 与y x b =+在[2,2]-内有三个交点，又()f x 是以4为周期的周期函数，故当11(4,4)44b k k ∈-+，k Z ∈时，()()g x f x x b =--有三个零点，故选C.二、填空题 13. -5 14. 1815. 1,12,2(1)n n a n n n =⎧⎪=⎨-≥⎪+⎩【解析】当2n ≥时，由221n n n na a S S =-，得2112()n n n n nn n S S a S S S S ---=-=-， 所以1221n n S S --=，又122S =，所以2{}n S 是以2为首项，1 为公差的等差数列，21nn S =+，所以21n S n =+， 所以2221n a n n =-∙+，2(1)n a n n =-+， 又11a =不满足上式，所以1,12,2(1)n n a n n n =⎧⎪=⎨-≥⎪+⎩. 16. 42ππα-≤<【解析】当02πα≤<时，tan 0α≥，所以当0x >时，3()tan 2f x x α=+为增函数，三、解答题17.【解析】（1）在三角形ABC 中，由sin sin b cB C=及sin B C =，可得b =，又a c -=，有2a c =，所以222cos 2b c a A bc +-===. （2）在三角形ABC中，由cos A =sin A =，于是21cos 22cos 14A A =-=-，sin 22sin cos A A A ==cos(2)cos 2cos sin 2sin 666A A A πππ-=+=18.【解析】（1）由已知，每个男性周末上网的概率为56，故X ～5(3,)6B ，3315()()()66kk k P x k C -==，0,1,2,3k =，52EX np ==.（2）因为2808.9 6.6359k ==>，故有99%把握认为年轻人的休闲方式与性别有关系.19.【解析】（1）因为090ACB ∠=，平面AEC ⊥平面ABCD ，所以BC ⊥平面AEC ， 又//EF BC ，所以EF ⊥平面AEC ，所以,EF AE EF CE ⊥⊥，又AE EC =，所以CEF ∆∽AEF ∆，∴AF CF =.（2）取AC 的中点O ，因为AE EC =，所以EO AC ⊥，又平面AEC ⊥平面ABCD ， 所以EO ⊥平面ABCD .如图，建立空间直角坐标系，则(1,0,0),(1,0,0),(1,2,0)C A D --，设(0,0,)E m ，∴(1,0,)EC m =-， (1,2,)ED m =--，设平面ECD 的法向量为1(,,1)n x y =，则由1100n EC n ED ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩，即020x m x y m -=⎧⎨-+-=⎩， 得,x m y m ==，∴1(,,1)n m m =.由（1）知EF ⊥平面AEC ，所以平面AEC 的法向量为2(0,1,0)n FE ==，∴121212cos ,||||n n n n n n ∙<>===，∴1m =.所以11111123323A EFC F AEC ACE V V EF S --∆==∙=⨯⨯⨯⨯=.20.【解析】（1）依题意知：2,a c ==e =，（2）∵1(0,1),(0,1),(,)2A B M m -，且0m ≠，∴直线AM 的斜率为112k m =-，直线BM 的斜率为232k m =， ∴直线AM 的方程为112y x m =-+，直线BM 的方程为312y x m=-，由2214112x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，得22(1)40m x mx +-=，∴240,1m x x m ==+，∴22241(,)11m m E m m -++，由2214312x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得22(9)120m x mx +-=，∴2120,9m x x m ==+，∴222129(,)99m m F m m -++.（3）∵1||||sin 2AMF S MA MF AMF ∆=∠，1||||sin 2BME S MB ME BME ∆=∠，AMF BME ∠=∠，5AMF BME S S ∆∆=，∴5||||||||MA MF MB ME =，∴5||||||||MA MB ME MF =， ∴22541219m mm mm m m m =--++， ∵0m ≠，∴22115119m m =-++，即22(3)(1)0m m --=，又∵m ≠，∴230m -≠，∴21m =，∴1m =±为所求. 21．【解析】已知函数()2ln pf x px x x=--. （1）2()22ln f x x x x=--，(1)0f =， '222()2f x x x=+-，'(1)2f =， 则切线为：2(1)y x =-，即220x y --=.（2）2'2222()p px x pf x p x x x-+=+-=， 由()f x 在定义域(0,)+∞内为增函数，所以'()0f x ≥在(0,)+∞上恒成立， ∴220px x p -+≥即221xp x ≥+，对0x ∀>恒成立，设22()(0)1x h x x x =>+，222'222222422()(1)(1)x x x h x x x +--==++， 易知，()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，则max ()(1)1h x h ==， ∴(1)1p h ≥=，即[1,)p ∈+∞.（3）设函数2()()()2ln p e x f x g x px x xϕ+=-=--，[1,]x e ∈， 则原问题⇔在[1,]e 上至少存在一点0x ，使得0max ()0()0x g x ϕ>⇔>.2'22222(2)()p e px x p e x p x x x ϕ+-++=+-=， 01当0p =时，'222()0x e x x ϕ-+=>，则()x ϕ在[1,]x e ∈上单调递增，max ()()40x e ϕϕ==-<，舍；02当0p <时，12()()2ln e x p x x x xϕ=---， ∵[1,]x e ∈，∴10x x -≥，20e x>，ln 0x >，则()0x ϕ<，舍； 03当0p >时，2'2(1)2()()0p x e x x x ϕ++-=>， 则()x ϕ在[1,]x e ∈上单调递增，max ()()40p x e pe e ϕϕ==-->，整理得241e p e >-， 综上，24(,)1e p e ∈+∞-. 22．【解析】（1）∵OC OD =，∴OCD ODC ∠=∠，∴OCA ODB ∠=∠. ∵BOD A ∠=∠，∴OBD ∆∽AOC ∆，∴BD OD OC AC =， ∵6,4OC OD AC ===，∴664BD =，∴9BD =. （2）∵,OC OE CE OD =⊥，∴COD BOD A ∠=∠=∠.∴00180180AOD A ODC COD OCD ADO ∠=-∠-∠=-∠-∠=∠. ∴AD AO =.23．【解析】（1）直线:l y x =，曲线22:12x C y +=.（2）设点00(,)M x y 及过点M的直线为010:x x l y y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.由直线1l 与曲线C相交可得：222000032202t x y ++++-=，8||||3MA MB ∙=2200228||332x y +-⇒=，即：220026x y +=，2226x y +=表示一椭圆，取y x m =+代入2212x y +=，得：2234220x mx m ++-=，由0∆≥得m ≤≤，故点M 的轨迹是椭圆2226x y +=夹在平行直线y x =±之间的两段弧.24．【解析】（1）当4x ≥时，()21(4)50f x x x x =+--=+>， 得5x >-，所以4x ≥成立； 当142x -≤<时，()214330f x x x x =++-=->，得1x >，所以14x <<成立； 当12x <-时，()50f x x =-->，得5x <-，所以5x <-成立.综上，原不等式的解集为{|15}x x x ><-或.（2）令()()3|4||21|2|4||21(28)|9F x f x x x x x x =+-=++-≥+--=， 当142x -≤≤时等号成立.即有()F x 的最小值为9，所以9m ≤.即m 的取值范围为(,9]-∞.。
精品：湖南省2016届高三下学期六校联考理科综合化学试题(解析版)
（湖南师大附中、长沙市一中、岳阳市一中、株洲市二中、常德市一中、湘潭市一中）可能用到的相对原子质量：H-1 C -12 O-16 CI-35.5 Sr-88第I 卷选择题（共126 分）一、选择题（本题共13小题，每小题6分，共78分。
在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）7.设N A表示阿伏加德罗常数的数值，下列说法正确的是（）A．在常温常压下，2.24LSO2与O2混合气体中所含氧原子数为0.2N AB．50mL12mol/L盐酸与足量MnO2共热，转移的电子数为0.3N AC．氢氧燃料电池正极消耗22.4L（标准状况）气体时，电路中通过的电子数目为2N AD．标准状况下，20gD2O分子中所含中子数为10N A【答案】D考点：考查阿伏加德罗常数的计算的知识。
8.下列叙述正确的是（）A．锅炉水垢中的CaSO4经饱和碳酸钠溶液浸泡可转化为CaCO3B．常温下，在含有Ag+和Cl-的溶液中，Ag＋和Cl-浓度之积是个常数C．当醋酸达到电离平衡后，改变某条件电离平衡向正反应方向移动，则溶液的导电能力一定变强D．将浓度为0.1 mol/L的HF溶液加水不断稀释，溶液中c(F-）/c(H+) 始终保持增大【答案】A【解析】试题分析：A．由于溶度积常数Ksp(CaSO4)< Ksp(CaCO3)，而且在溶液中存在沉淀溶解平衡：CaSO4(s)Ca2+(aq)+SO42-(aq)，所以锅炉水垢中的CaSO4经饱和碳酸钠溶液浸泡可发生沉淀的转化，形成CaCO3，正确；B．常温下，在饱和溶液中Ag＋和Cl-浓度之积是个常数，这个常数就是AgCl的溶度积常数，错误；C．当醋酸达到电离平衡后，若加水稀释，使醋酸电离平衡向正反应方向移动，则由于溶液中离子浓度降低，所以溶液的导电能力减弱，错误；D．HF是弱酸，在溶液中存在电离平衡：HF H++F-，将浓度为0.1 mol/L的HF溶液加水不断稀释，溶液中c(F-）、c(H+)都减小，由于溶液中酸电离产生的氢离子的浓度减小，酸对水电离的抑制作用减弱，使水电离程度增大所以溶液中c(F-）/c(H+)减小，错误。
2016届湖南省2016届高三普通高等学校招生全国统一考前演练数学试卷(文科)(二)(解析版)
2016年湖南省高三普通高等学校招生全国统一考前演练数学试卷（文科）（二）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合M={（x，y）|x=0}，N={（x，y）|y=x+2}，则M∩N=（）A．{0} B．{（0，2）} C．{2} D．{（2，0）}2．已知复数z的实部为2，虚部为1，则（2﹣i）z=（）A．4+i B．4﹣i C．5 D．43．已知sin（3π﹣α）=，则cos2α等于（）A．B．﹣C．D．﹣4．在边长为1的等边△ABC中，设=（）A．B．C．D．5．从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则b≥a 的概率是（）A．B．C．D．6．已知函数f（x）=在区间（﹣∞，+∞）是增函数，则常数a的取值范围是（）A．1≤a≤2 B．a＜1或a≥2 C．1＜a≤2 D．a＜1或a＞27．如图是一个算法的程序框图，当输入x的值为3时，输出y的结果恰好是，则？处的关系式可以是（）A．y=x2 B．y=3﹣x C．y=3x D．y=x8．某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是（）A．2日和5日B．5日和6日C．6日和11日D．2日和11日9．曲线y=2cos（x+）cos（x﹣）和直线y=在y轴右侧的交点的横坐标按从小到大的顺序依次记为P1，P2，P3，…，则|P3P7|=（）A．πB．2πC．4πD．6π10．已知函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，且在[1，+∞）上单调递减，f（0）=0，则f（x+1）＞0的解集为（）A．（1，+∞）B．（﹣1，1）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）11．已知某几何体的三视图如图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为（）A．B．C．D．12．已知抛物线C的方程为y2=8x，设抛物线C的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为﹣，那么||=（）A．2 B．4 C．6 D．8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2016届湖南省高三六校联考试题(理科)数学试题 word版
湖南省2016届高三六校联考试题数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{2|650,|,A x x x B x y A B =-+≤=== （ ）A ．[)1,+∞B ．[]1,3C ．(]3,5D ．[]3,52.命题“若,x y 都是偶数，则x y +也是偶数”的逆否命题是（ ） A ．若x y +不是偶数，则x 与y 都不是偶数 B ．若x y +是偶数，则x 与y 不都是偶数 C ．若x y +是偶数，则x 与y 都不是偶数 D ．若x y +不是偶数，则x 与y 不都是偶数3.若执行右边的程序框图，输出S 的值为6，则判断框中应填入的条件是（ ）A ．32?k <B ．65?k <C ．64?k <D ．31?k < 4.下列函数中在3(,)44ππ上为减函数的是（ ） A ．22cos 1y x =- B ．tan y x =- C ．cos(2)2y x π=-D ．sin 2cos 2y x x =+5.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间[]1,450的人做问卷A ，编号落入区间[]451,750的人做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽到的人中，做问卷B 的人数为（ ） A ．15 B ．7 C ．9 D ．106.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为：A ．3πB ．103π C ．6π D ．83π7.若231(2)(1)x x x++-的展开式中的常数项为a ，则20(31)a x dx -⎰的值为（ ）A ．6B ．20C ．8D ．249.已知数列{}n a 的通项公式5n a n =-，其前n 项和为n S ，将数列{}n a 的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{}n b 的前3项，记{}n b 的前n 项和为n T ，若存在*m N ∈，使对任意*n N ∈，总有n n S T λ<+恒成立，则实数λ的取值范围是（ ） A ．2λ≥ B ．3λ> C ．3λ≥ D ．2λ>10.已知两个不相等的非零向量,a b ，两组向量12345,,,,x x x x x 和12345,,,,y y y y y 均由2个a 和3个b 排成一列而成．记1122334455min ,S x y x y x y x y x y S =++++ 表示S 所有可能取值中的最小值，则下列正确的是（ ） A ．22min 22S a a b b =++ B ．22min 23S a b =+ C ．若a b ⊥，则min S 与a 无关 D ．S 有5个不同的值11.设a b c x y ===+，若对任意的正实数,x y ，都存在以,,a b c 为三边长的三角形，则实数p 的取值范围是（ ） A ．(1,3) B ．(]1,2 C ．17(,)22D ．以上均不正确12.已知,A B 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点，不同两点,P Q 在椭圆C上，且关于x 轴对称，设直线,AP BQ 的斜率分别为,m n ，则当21ln ln 2b a m n a b mn++++取最小值时，椭圆C 的离心率为（ ）A B C ．12D 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上． 13.已知复数21iz i=-，则z =________．14.在ABC ∆中，2,BC AC ABC ==∆的面积为4，则AB 的长为_________． 15.已知圆2224250x y x y a +-++-=与圆222(210)2210160x y b x by b b +---+-+=相交于1122(,),(,)A x y B x y 两点，且满足22221122x y x y +=+，则b =________． 16.给出下列命题：（1）设()f x 与()g x 是定义在R 上的两个函数，若1212()()()()f x f x g x g x +≥+恒成立，且()f x 为奇函数，则()g x 也是奇函数；（2）若12,x x R ∀∈，都有1212()()()()f x f x g x g x ->-成立，且函数()f x 在R 上递增，则()()f x g x +在R 上也递增；（3）已知0,1a a >≠，函数,1(),1x a x f x a x x ⎧≤=⎨->⎩，若函数()f x 在[]0,2上的最大值比最小值多52，则实数a 的取值集合为12⎧⎫⎨⎬⎩⎭； （4）存在不同的实数k ，使得关于x 的方程222(1)10x x k ---+=的根的个数为2个、4个、5个、8个．则所有正确命题的序号为________．三、解答题 ：本大题共8小题，其中有3道选做题选做一道，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，常数0λ>，且11n n a a S S λ=+对一切正整数n 都成立． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设10,100a λ>=，当n 为何值时，数列1lg n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和最大？ 18.（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDE 中，DB ⊥平面ABC ，//AE DB ，且ABC ∆为等边三角形，1,2AE BD ==，CD 与平面ABCDE （1）若F 是线段CD 的中点，证明：EF ⊥平面DBC ； （2）求二面角D EC B --的平面角的余弦值．19.（本小题满分12分）某学校有120名教师，且年龄都在20岁到60岁之间，各年龄段人数按[)[)[)[)20,3030,4040,5050,60、、、分组，其频率分布直方图如图所示，学校要求每名教师都要参加A B 、两项培训，培训结束后进行结业考试．已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如下表示，假设两项培训是相互独立的，结业考试成绩也互不影响．（1）若用分层抽样法从全校教师中抽取一个容量为40的样本，求从年龄段[)20,30抽取的人数；（2）求全校教师的平均年龄；（3）随机从年龄段[)20,30和[)30,40内各抽取1人，设这两人中A B 、两项培训结业考试成绩都优秀的人数为X ，求X 的概率分布和数学期望． 20.（本小题满分12分）已知抛物线方程为22(0)x py p =>，其焦点为F ，点O 为坐标原点，过焦点F 作斜率为(0)k k ≠的直线与抛物线交于,A B 两点，过,A B 两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M ．（1）求OA OB； （2）设直线MF 与抛物线交于,C D 两点，且四边形ACBD 的面积为2323p ，求直线AB 的斜率k ．21.（本小题满分12分）已知函数()(ln 2)xf x e x k -=-（k 为常数， 2.71828e = 是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与y 轴垂直．（1）求()f x 的单调区间； （2）设1(ln 1)()xx x g x e-+=，对任意0x >，证明：2(1)()x x x g x e e -+<+． 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）如图，AB 是O 的直径，弦BD CA 、的延长线相交于点E ，EF 垂直于BA 的延长线于点F ．（1）求证：DEA DFA ∠=∠；（2）若030EBA ∠=，2EF EA AC ==，求AF 的长． 23.（本小题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是12x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（为参数）． （1）求曲线C 的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）设点(,0)P m ，若直线与曲线C 交于,A B 两点，且1PA PB = ，求实数m 的值． 24.（本小题满分10分）函数()f x ．（1）求函数()f x 的定义域A ；（2）设{}|12B x x =-<<，当实数()R a b B C A ∈ 、时，证明：124a b ab+<+．参考答案一．选择题9.D 【解析】由题意知1234,2,1b b b === ，设等比数列n b 的公比为q ，则12q =， ∴4(1)181(),12m m m m q T T q -⎡⎤==-⎢⎥-⎣⎦为递增数列，得48m T ≤<． 又(9)2n n nS -=，故max 45()10n S S S ===，若存在*m N ∈，使对任意*n N ∈，总有n m S T λ<+，则108λ<+，得2λ>，故选D ．10.C 【解析】S 可能的取值有3种情况：2222222212,S a a b b b S a a b a b b b =++++=++++，23S ab a b a b a b b=++++．2213232()0,()0S S a b S S a b -=->-=->，所以321S S S <<，若2min 4S b a b =+，若a b ⊥，则min S 与a 无关，故选C ．11．A 【解析】因,x y 为正实数，则c a >，要使,,a b c 为三边的三角形存在，则a b c a c b +>⎧⎨+>⎩，即c a b a c -<<+p -<<，令x yt y x=+，则2t ≥，取故实数p 的取值范围是(1,3)，故选A ．12．D 【解析】设点00(,)P x y 则2200221x y a b +=，∴22b mn a =，从而2222212ln ln ln 22b a b a a b m n a b mn a b b a++++=+++，设22b x a=，令1()ln (01)2f x x x x =+<<，则max 2211(),()()22x f x f x f x -'==即2212b a =，2b a a b +≥，当且仅当2b a a b =即2212b a =取等号，取等号的条件一致，此时222112b e a =-=，∴e =．故选D ．二、填空题 1314．4或【解析】1242ABCS C ∆=⨯⨯=，得sin C =∴cos C =AB =， ∴4AB =或．15．53 【解析】相交弦AB 所在直线方程为22(214)(22)5210160b x b y a b b -+++--+-=，设其中一圆的圆心为(2,1)C -．∵OA OB =，∴OC AB ⊥，∴1OC AB k k =- ，得53b =．16.（1）（2）（3）【解析】（1）为真，令21x x x =-=即可；（2）为真，不妨设12x x >，则1212()()()()f x f x g x g x ->-即211212()()()()()()f x f x g x g x f x f x -<-<-即1122()()()()f x g x f x g x +>+．（3）为假，作图后如果定势思维很容易漏掉72，加大可得正确答案17,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭（4）为真，方程与函数图象结合，关于的方程若一正一负，正大于1，此时有2根；若一零一1，此时有5根；若判别式=0，此时有4根；若两个均为正，则有8个根． 17. 【解析】（1）取1n =，得21111122,(2)0a S a a a λλ==-=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分若10a =，则10S =，当2n ≥时，10n n n a S S -=-=，所以0n a =；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分若10a ≠，则12a λ=．当2n ≥时，11222,2n n n n a S a S λλ--=+=+，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分上述两个式子相减得：12nn a a -=，所以数列{}n a 是等比数列．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 综上，若10a =，则0n a =；若10a ≠，则2nn a λ=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）当10a >，且100λ=时，令1lgn nb a =，所以2lg 2n b n =-，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分所以，{}n b 为单调递减的等差数列（公差为lg 2-）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分则12366100100lg lglg10264b b b b >>>==>=， 当7n ≥时，77100100lglg lg102128n b b ≤==<=， 故数列1lg n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前6项的和最大．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 18．【解析】（1）证明：取BC 的中点为M ，连接FM ，则可证AM ⊥平面BCD ，四边形AEFM为平行四边形，所以//EFAM ，所以EF ⊥平面DBC ；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）解：取AB 的中点O ，连结,OC OD ，则OC⊥平面ABD ，CDO ∠即是CD 与平面ABDE所成角，OC CD =AB x ==2AB =，取DE 的中点为G ，以O 为原点，OC 为x 轴，OB 为y 轴，OG 为z 轴，建立如图空间直角坐标系，则1(0,1,0),(0,1,2),(0,1,1),,1)2C B D E F -，由（1）知：BF ⊥平面DEC ，又1,1)2BF =- ，取平面DEC的一个法向量1,2)n =-，又(1,1),(CE CB =-=，设平面BCE 的一个法向量(1,,)m y z =，由0,0m CE m CB ==，由此得平面BCE的一个法向量m =，面积cos ,m n m n m n == D EC B --的平面角的余弦值为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19．【解析】（1）由频率分布直方图知，0.354014⨯=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分（2）250.35350.4450.15550.135⨯+⨯+⨯+⨯=． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（3）∵在年龄段[)20,30内的教师人数为1200.3542⨯=（人），从该年龄段任取1人，由表知，此人A 项培训结业考试成绩优秀的概率为305427=； B 项培训结业考试成绩优秀的概率为183427=， ∴此人A 、B 两项培训结业考试成绩都优秀的概率为53157749⨯=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ∵在年龄段[)30,40内的教师人数为1200.448⨯=（人），从该年龄段任取1人，由表知，此人A 项培训结业考试成绩优秀的概率为363484=；B 项培训结业考试成绩优秀的概率为241482=， ∴此人A 、B 两项培训结业考试成绩都优秀的概率为313428⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 由题设知X 的可能取值为0，1，2． ∴15385153153177(0)(1)(1),(1)(1)(1)498196498498392P X P X ==--===⨯-+-⨯=， 15345(2)498392P X ==⨯=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ∴X 的概率分布为X 的数字期望为8517745267012196392392392EX =⨯+⨯+⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分20.【解析】（1）设直线AB 方程为1122,(,),(,)2p y kx A x y B x y =+， 联立直线AB 与抛物线方程222x py p y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，得2220x px p --=， 则122122x x pk x x p +=⎧⎨=-⎩ ，∴2121234OA OB x x y y p =+=- ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）由22x py =，知x y p'=， ∴直线在,A B 两点处的切线的斜率分别为12,x x p p， ∴AM 的方程为111()x y y x x p -=-，BM 的方程为222()x y y x x p-=-， 解得交点(,)2p M pk -．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ∴1MF k k=-，知直线MF 与AB 相互垂直． 22(1)p k =+， 用1k -代k 得，212(1)CD p k=+，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分四边形ACBD 的面积22221322(2)3S p k p k =++=，依题意，得221k k +的最小值为103， 根据1()(0)f x x x x =+>的图象和性质得，23k =或213k =，即k =或k =．．．．12分 21.【解析】（1）因为1ln 2()x x k x f x e -+'=，由已知得12(1)0k f e +'==，∴12k =-． 所以1ln 1()xx x f x e --'=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 设1()ln 1k x x x =--，则211()0k x x x'=--<，在(0,)+∞上恒成立，即()k x 在(0,)+∞上是减函数，由(1)0k =知，当01x <<时()0k x >，从而()0f x '>，当1x >时()0k x <，从而()0f x '<．综上可知，()f x 的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1,)+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）因为0x >，要证原式成立即证2()11x g x e e x -+<+成立， 现证明：对任意20,()1x g x e -><+恒成立，当1x ≥时，由（1）知2()01g x e -≤<+成立；当01x <<时，1x e >，且由（1）知()0g x >，∴1ln ()1ln x x x x g x x x x e--=<--． 设()1ln ,(0,1)F x x x x x =--∈，则()(ln 2)F x x '=-+，当2(0,)x e -∈时，()0F x '>，当2(,1)x e -∈时，()0F x '<，所以当2x e -=时，()F x 取得最大值22()1F e e --=+． 所以2()()1g x F x e -<≤+，即01x <<时，2()1g x e -<+． 综上所述，对任意20,()1x g x e -><+．①．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分令()1(0)x G x e x x =-->，则()10x G x e '=->恒成立，所以()G x 在(0,)+∞上递增，()(0)0G x G >=恒成立，即10x e x >+>，即1101x e x <<+． ② 当1x ≥时，有2()101x g x e e x -+≤<+；当01x <<时，由①②式，2()11x g x e e x -+<+， 综上所述，0x >时，2()11x g x e e x -+<+成立，故原不等式成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分22.【解析】（1）连结AD ，因为AB 为圆的直径，所以090ADB ∠=，又EF AB ⊥， 090EFA ∠=，则A D E F 、、、四点共圆，∴DEA DFA ∠=∠；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）连结BC ，在直角EFA ∆和直角BCA ∆中，EAF CAB ∠=∠，所以EFA ∆、BCA ∆，所以AF AE AC AB=，即AF AB AC AE = ， 设AF a =，则3AB a =-，所以2211(3)(3)22a a AE a -==+，所以2210a a -+=，解得1a =，所以AF 的长为1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分23.【解析】（1）曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，化为22cos ρρθ=，可得直角坐标方程：222x y x +=．直线的参数方程是12x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（为参数），消去参数可得x m =+．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）把12x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（为参数）代入方程：222x y x +=化为：2220t t m m ++-=，由0∆>，解得 13m -<<，∴2122t t m m =-． ∵121PA PB t t == ，∴221mm -=±，解得1m =±或1m =．又满足0∆>．∴实数1m =或1m =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分24．【解析】（1）解：1250x x +++-≥，当2x ≤-时，得4x ≤-；当21x -<<-时，得4x ≤，故无解；当1x ≥-时，得1x ≥． ∴{}|41A x x x =≤-≥或．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）证明：{}|11R B C A x x =-<< ，∴{}|11a b x x ∈-<<、， 要证124a b ab +<+，只需证224()(4)a b ab +<+， ∵222222224()(4)4416(4)(4)a b ab a b a b b a +-+=+--=--， ∵{}|11a b x x ∈-<<、，∴22(4)(4)0b a --<，∴224()(4)a b ab +<+， ∴124a b ab +<+成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分。
湖南省届高三六校联考试题.docx
湖南省2016届高三六校联考试题数学（文科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}{}1,2,3,3,4,5M N ==，则集合{}1,2可以表示为（ ） A ．M N I B ．()U C M N I C ．()U M C N I D ．()()U U C M C N I2.已知,a b R ∈，i 是虚数单位，若3a i bi +=-，则1a bii+=-（ ） A ．2i - B ．2i + C ．12i - D ．1i +3.下列各组命题中，满足“‘p q ∨’为真、‘p q ∧’为假、‘q ⌝’为真”的是（ ） A ．:0;:0p q =∅∈∅B ．:2p x >是1x >成立的充分不必要条件；{}:1,1,0,210q x x ∀∈-+>C ．:2(0,0);:p a b ab a b q +≥>>不等式x x >的解集是(,0)-∞D ．1:p y x=在定义域内是增函数；:()x xq f x e e -=+是偶函数 4.已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b e ===，且(2)a b c -⊥，则实数k =（ ） A ．152 B ．3 C ．92D ．06.已知2是函数2log (),2()2,2xx m x f x x +≥⎧=⎨<⎩的一个零点，则[](4)f f 的值是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．2log 37.已知x y 、满足101010x y x x y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，目标函数2z y x =-的最大值为m ，则2sin()2y mx π=+的最小正击期是（ ）A ．3πB ．23πC ．πD ．2π8.阅读如图所示的程序框图，若输出的结果20152016S =，则整数m 的值为（ ）A ．2017B ．2016C ．2015D ．20149.如图所示是一个几何体的三视图，若该几何体的外接球的表面积是6π，则正视图中三角形的高x 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．210.已知函数()sin()(0,)2f x A x πωϕωϕ=+><的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）A ．(0)1f =-B ．()f x 关于直线6x π=-对称C ．()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,1- D ．()f x 的增区间为,,63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦11.圆心在曲线2(0)y x x=>上，且与直线:210l x y ++=相切的面积最小的圆的方程为（ ）A ．22(2)(1)5x y -+-=B ．22(1)(2)5x y -+-= C ．22(1)(2)25x y -+-= D ．22(2)(1)25x y -+-=12.已知函数11,2()2(2),2x x f x f x x ⎧--<=⎨-≥⎩，12()2x g x -=，设方程()()f x g x =的根从小到大依次为*12,,,,n x x x n N ∈L L ，则数列{}()f x 的前n 项和为（ ）A ．122n +-B ．21n -C ．2n D ．21n -第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13.如图是某学校一名篮球运动员在10场比赛中所得分数的茎叶图，若这10场比赛复仇的众数为16，则这10场比赛得分的中位数为 ________．14.函数3()2f x x x =-在点(1,(1))f 处的切线为l ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且点1(2,)n n S n ++ 在直线l 上，则数列{}n a 的通项n a =_________．15.若以双曲线2221(0)2x y b b -=>的左、右焦点12,F F 和点2)M 为顶点的三角形为直角三角形，则24y bx =的焦点坐标为 ________．16.给定两个平面向量OA u u u v 和OB uuu v ，它们的夹角为120°，且OA OB =u u u v u u u v ，点C 在以O 为圆心OA u u u v为半径的圆弧AB 上，若OC xOA yOB =+u u u v u u u v u u u v （其中,x y R ∈），则满足3x y +≥的概率为________．三、解答题 ：本大题共8小题，其中有3道选做题选做一道，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且222b c a bc +-=． （1）求角A 的大小；（2）设函数2()sin 2cos ,2,()212xf x x a f B =+==+时，求b ． 18.（本小题满分12分）某组同学将高中学生课外阅读情况作为一个研究性课题，他们随机调查了100名同学，其中55个女同学，45个男同学，下图是根据调查结果绘制的周课外阅读时间的频率分布直方图，将周阅读时间不低于4小时的同学称为“阅读爱好者”，已知“阅读爱好者”中有10个女同学． 非阅读爱好者 阅读爱好者 合计男 女 合计（1）根据已知条件完成22⨯列联表，并据此资料你能否有95%的把握认为是否为“阅读爱好者”与性别有关？（2）将周阅读时间不低于5小时的同学称为“读书迷”，已知“读书迷”中有2名女同学，若从“读书迷”中任意选取2人，求至少有1名女同学的概率．附22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，19.（本小题满分12分）如右图，平行四边形ABCD 中，0,,60AB BD DE BC A ⊥⊥∠=，将,ABD DCE ∆∆分别沿,BD DE 折起，使//AB CE ．（1）求证：AB BE ⊥；（2）若四棱锥D ABEC -的体积为332，求CE 长并求点C 到面ADE 的距离． 20.（本小题满分12分）在圆221x y +=上任取一个动点P ，作PQ x ⊥轴于,Q M 满足2QM QP =u u u u v u u u v，当P 在圆上运动时，M 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）曲线C 与x 轴正半轴、y 轴正半轴分别交于A 、B ，直线(0)y kx k =>与曲线C 交于E 、F ，当四边形AEBF 面积最大时，求k 的值． 21.（本小题满分12分）已知定义在(0,)e 上的函数()ln x af x x x-=-． （1）求此函数的单调区间；（2）若过点(1,1)A -有且仅有一条直线与函数()y f x =的图象相切，求a 的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）如图，AB 为圆的直径，过C 作ABC ∆的外接圆的切线,,CD BD CD BD ⊥与外接圆交于点E ．（1）求证：2BC AB BD =g ； （2）若2,3CD BE ==，求AB 长． 23.（本小题满分10分）已知直线l 经过点(1,1)P ，倾斜角6πα=，圆2cos :2sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．（1）写出圆C 的普通方程和直线l 的参数方程；（2）设直线l 与圆C 相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积． 24.（本小题满分10分） 设函数()f x x a =-．（1）当2a =时，解不等式()51f x x ≥-+； （2）若()1f x ≤的解集为[]0,2，11(0,0)2a m n m n+=>>，求证：24m n +≥． 参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B B C D A B C D CAB1.C 【解析】1，2两个元素属于M ，故应取M 与其它集合的交集，又不属于N ，故其在N 的补集内，选C ．2.B 【解析】∵3a i bi +=-，∴3,1a b ==-，则3211a bi ii i i+-==+--，故选B ． 3．B 【解析】由题，应选p 为真、q 为假的选项．A 中p 、q 都为假；D 中p 为假、q 为真；C 中p 、q 都为真；B 中p 为真，q 为假，故选B ． 4．C 【解析】5．D 【解析】由题：2111(4)(6)a a a +=+ ，解得 ：19988,9(8)202a S ⨯=-=⨯-+⨯= ，选D ． 6．A 【解析】由题2log (2)0m += ，∴1m =-；[]2log 32(4)(log 3)23f f f ===，选A ．7．B 【解析】题中不等式组表示的是一个三角形区域ABC ，其中(1,2),(0,1),(1,0)A B C ，目标函数2z y x =-在A 取得最大值，最大值为3，故2sin()2y mx π=+的最小正周期是23π，选B ． 8．C 【解析】该框图为求和：1111111111223(1)22311n S n n n n n =+++=-+-++-=⨯⨯+++L L ，结果为20152016，说明输出时S 中的2015n =，进入下一步运算后2016n =，故2015m =．9．D 【解析】可以把该几何体补形成一个长方体，三棱长分别为2，2，x，其体对角线即其外接球的直径为：22224x x++=+，外接球的表面积为222444()6xS Rπππ+==⨯=，解得：2x=，选D．10．C 【解析】由图，()2sin(2)6f x xπ=-．11．A 【解析】设圆心2(,)xx，圆心到直线l的距离为：22444121155512x xxx xxd+++++==≥=+g，当2x=时，最小距离为5，故所求圆的方程为22(2)(1)5x y-+-=，选A．12．B 【解析】函数11,2()2(2),2x xf xf x x⎧--<=⎨-≥⎩的图象如图所示，1x=时，()1,3f x x==时，()2,5f x x==时，()4f x=，所以方程12()2xf x-=的根从小到大依次为1，3，5，…，数列{}()nf x从小到大依次为1，2，4，…，组成以1为首项，2为公比的等比数列，所以数列{}()nf x的前n项和为21nnS=-，故选B．二、填空题13．15 【解析】得分的众数为16，故6x=，中位数为1416152+=．14．21n-【解析】函数3()2f x x x=-在点(1,(1))f处的切线为:2l y x=-，∴1122,22n nn nS n S n+++=-=--，∴12(1)2nn S n -=---，∴1122(2(1)2)21(2),1n n nn n n a S S n n n n +-=-=------=-≥=时，2111212121a S ==--==-，∴*n N ∈时，21n n a =-．15．(1,0)【解析】显然点M为直角顶点，所以1212OM F F c ===，∴1b =． 16．12【解析】不妨设1oA =u u v，以O 为原点，OA 为x 轴正半轴，建立直角坐标系，则1(1,0),(,)22A B -， 设(cos ,sin )C θθ，则11(cos ,sin )(1,0)(()22x y x y y θθ=+-=-，所以cos x y θθθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，cos 2sin()6x y πθθθ+==+≥得,62ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故满足x y +≥的概率为126223πππ-=．三、解答题17．【解析】（1）在ABC ∆中，因为222b c a bc +-=，由余弦定理可得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分∵0A π<< ∴3A π=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）2()sin 2cossin cos 1)124x f x x x x x π=+=++=++，())114f B B π=++=，∴4B π=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分∵sin sin a b A B =，即：002sin 60sin 45b=，∴2b⨯==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分18．【解析】（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“阅读爱好者”有25人，从而22⨯列联表如下：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分由22⨯列联表中数据代入公式计算，得：222()100(30104515)1003.030()()()()7525455533n ad bcKa b c d a c b d-⨯⨯-⨯===≈++++⨯⨯⨯因为3.030 3.841<，所以，没有95%的把握认为是否为“阅读爱好者”与性别有关．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）由频率分布直方图知：“读书迷”为5人，记他们为1，2，3，4，5，其中1，2为女同学，从“读书迷”中任意选取2人，有以下10种情况：(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(3,4)、(3,5)、(4,5)．至少有1名女同学的情况数是7种，故至少有1名女同学的概率为710．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分19．【解析】（1）证明：折叠前后都有：,AB BD CE DE⊥⊥，因为：//AB CE，∴AB DE⊥，∴AB⊥面BDE，∴AB BE⊥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）设EC x=，则2,,3AB DC x DE BE x====，∵1(2)332D ABECxx xV-+⨯=⨯==1x=故1CE=；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分∴2,3,AB DC DE BE AE=====∵C ADE D AEC V V --=，即：1111313133133,323213h h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= 故点C 到面ADE 的距离为313．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20．【解析】（1）设00(,),(,)M x y P x y ，则002x x y y =⎧⎨=⎩，得：0012x xy y =⎧⎪⎨=⎪⎩，而00(,)P x y 在圆221x y +=上，即2201x y +=，故：2214y x +=，此即曲线C 的方程．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）设1122(,),(,)E x kx F x kx ，其中12x x <，将y kx =代入椭圆的方程2214y x +=整理得：22(4)4k x +=， 故2124x x k =-=+，①又点,E F 到直线AB 的距离分别为21112222(24)55(4)x kx k k h k +-+++==+222222224)21555(4)x kx k h AB k +-+===+=+，所以四边形AEBF 的面积为1211()22S AB h h=+=====≤当24(0)k k=>，即当2k=时，上式取等号，所以当四边形AEBF面积最大时，2k=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分21．【解析】（1）由题意2()x af xx-'=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分当a e≥时，函数()f x在(0,)e上是减函数，当0a e<<时，此时函数()f x在(0,)a上是减函数，在(,)a e上是增函数，当0a≤时，函数()f x在(0,)e上是增函数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）设切点0002(,ln),()x a x aT x x f xx x--'-=，∴切线的斜率00200ln11ATx axx a xk kx x--+-==-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分即：0000200()(1)ln1x a x a xxx x----+=，即：020021ln10a axx x++--=，所以过点(1,1)A-有且仅有一条直线与函数()y f x=的图象相切等价于方程020021ln10a axx x++--=在定义域(0,)e上有且只有一个解；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分令221()ln1a ag x xx x+=+--，则()g x在(0,)e上有且只有一个零点；设231212()0a ag xx x x+'=-+=，得123(2)(1)0,1,2x a xx x ax--===．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分①当21e a>>时，min2211(2)ln21ln20244a ag g a a aa a a+==+--=+>，而111()ln84161ln830444g a a a=++--=-+<，由零点存在性原理，此时()g x在(0,2)a上有且只有一个零点，在[)2,a e上没有零点，符合条件；同理，当2a e≥时，符合条件；②当21a =时，23(1)()0x g x x -'=≥，()g x 在(0,)e 为增函数，1(1)02g a ==>，而111()ln 84161ln 830444g a a a =++--=-+<，（没有此处说明应扣1分） 此时()g x 在(0,)e 上有且只有一个零点，符合条件；③当021a <<时，min (1)0g g a ==>， 而242()ln 41ln 30222aa a g a a a=++--=-+<，（没有此处说明应扣1分） 此时()g x 在(0,1)上有且只有一个零点，在[)1,e 上没有零点，符合条件；④当0a =时，1()ln 1g x x x =+-，令21()0x g x x-'==， min (1)0,()g g g x ==在(0,)e 上有且只有一个零点1，符合条件；⑤当0a <时，min 11(1)0,()ln 83044g g a g a ==<=-+>， ()g x 在(0,1)上有且只有一个零点， 而当2221(21)()ln 10a a e a e g e e e e e +-+=+--=≤，即：21e a e ≤--时， ()g x 在(1,)e 上没有零点；此时()g x 在(0,)e 上有且只有一个零点，符合条件； 当2(21)()0e a e g e e -+=>，即：021e a e -<<-时， ()g x 在(0,1)和(1,)e 上各有一个零点；不符合条件；综上：0a ≥或21e a e ≤--．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 22．【解析】（1）证明：∵AB 为圆的直径，∴090ACB ∠=，∵BD CD ⊥，∴090BDC BCA ∠==∠，∵CD 为切线，由弦切角定理，∴BCD A ∠=∠，∴BAC BCD ∆∆:，∴AB BC BC BD=，∴2BC AB BD =g ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）解：∵CD 为切线，由切割线定理，∴2DC DE DB =g ，设DE x =，∴22(3)x x =+g，解得：1x =，∴4,BD BC ==∴25BC AB BD==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 23．【解析】（1）圆C 的普通方程为224x y +=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 直线l的参数方程是1112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5分（2）因为点,A B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为1t 和2t ，则点,A B的坐标分别为112211(1,1),(1,1)2222A tB t ++++， 把直线l 的参数方程代入圆的方程224x y +=整理得到21)20t t +-=，①因为1t 和2t 是方程①的解，从而122t t =-， 所以1222PA PB t t ==-=g ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分24．【解析】（1）当2a =时，不等式为215x x -++≥，不等式的解集为(][),23,-∞-+∞U ；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）()1f x ≤即1x a -≤，解得11a x a -≤≤+，而()1f x ≤的解集是[]0,2，∴1012a a -=⎧⎨+=⎩，解得1a =，所以111(0,0)2m n m n +=>>， 所以112(2)()42m n m n m n+=++≥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分。
湖南六校2016年高一数学下学期期中联考试卷带答案
湖南六校2016年高一数学下学期期中联考试卷（带答案）湖南省东部六校2016年上期期中高一联考数学试卷总分：150分时量：120分钟日期：2016年5月5日由株洲二中浏阳市一中湘潭县一中醴陵市一中株洲市八中攸县一中联合命题一、选择题（共12小题；共60分）1.下列说法正确的是()A.第二象限的角比第一象限的角大B.若，则C.三角形的内角是第一象限角或第二象限角D.不论用角度制还是弧度制度量一个角，它们与扇形所对应的半径的大小无关2.的值等于()A.B.C.D.3.已知，，则()A.B.C.D.4.函数的最小值和最小正周期分别是()A.B.C.D.5.中，，，，则()A.B.C.D.6.若的内角满足，则()A.B.C.D.7.如图所示，向量，，，，，在一条直线上，且，则A.B.C.D.8.在中，，，，则边上的高等于()A.B.C.D.9.为了得到函数的图象，可以将函数的图象()A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度10.中，已知，，，如果有两组解，则的取值范围()A.B.C.D.11.设为内一点，为的边上一点，且满足，，则()A.B.C.D.12.已知，则()A.B.C.D.二、填空题（共4小题；共20分）13.已知向量，不共线，，为实数，则当时，有．14.方程的解的个数是．15.将函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图象，则．16.如图，在扇形中，，为弧上的一个动点．若，则的取值范围是．三、解答题（共6小题；共70分）17.（本小题满分10分）已知函数．(1)求的最小正周期；(2)求在区间上的最小值．18.（本小题满分12分）已知．(1)求的值；(2)求的值19.（本小题满分12分）已知，，与的夹角为．(1)若，求；(2)若与垂直，求．20.（本小题满分12分）如图，某市准备在道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段，该曲线段是函数(，)，的图象，且图象的最高点为；赛道的中间部分为直线跑道，且，；赛道的后一部分是以为圆心的一段圆弧．(1)求的值和的大小；(2)若要在圆弧赛道所对应的扇形区域内建一个矩形草坪，矩形的一边在道路上，一个顶点在半径上，另外一个顶点在圆弧上，且，求当矩形草坪的面积取最大值时的值．21.（本小题满分12分）在中，角所对边分别为，已知(1)若，当周长取最大值时，求的面积；(2)设，求的取值范围．22.（本小题满分12分）已知，两点的坐标分别为、，其中(1)求的表达式；(2)若(为坐标原点)，求的值；(3)若，求函数的最小值．湖南省东部六校2016年上期期中高一联考试卷总分：150分时量：120分钟日期：2016年5月日由株洲二中浏阳市一中湘潭县一中醴陵市一中株洲市八中攸县一中联合命题命题人：黄杏芳审题人：孙晓清选择题：1.D2.D3.D4.A5.C6.D7.A8.B9.B10.C11.B12.A填空题：13.14.15.16.解答题：17.(1)（本小题满分10分）由题意得，所以的最小正周期为．（5分）(2)因为，所以．当，即时，取得最小值．所以在区间上的最小值为．（10分）18.（本小题满分12分）(1)(6分)(2)（12分）19.(1)（本小题满分12分）因为，所以，所以．（5分）(2)因为所以，得，所以，所以．又因为，所以．（12分）20.（本小题满分12分）(1)由条件得，．，，曲线段的解析式为．当时，．又，，．(6分)(2)由(1)可知．又点在圆弧上，．又，，矩形草坪的面积为（10分），，当，即时，取得最大值．（12分）21.（本小题满分12分）(1)化简得则所以又因为所以．（3分）由正弦定理．所以周长（6分）因为所以．当即时，周长取最大值由此可以得到为等边三角形，所以（8分）(2)．因为所以当时，的最大值所以的取值范围为．（12分）22.（本小题满分12分）(1)因为，所以（3分）(2)由已知，得则因为，所以于是．（7分）(3)由(1)，得（9分）由，得．当时，的最小值为，此时．当时，的最小值为，此时，当时，的最小值为，此时．综上，（12分）。
湖南省长沙市长郡中学2016届高三下学期第六次月考(文)数学试题 含答案
长郡中学2016届高三月考试卷（六）数学（文科) 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。
1.若全集U R =，集合{}124xx A =<<，{}10x x B =->，则UAB =（ )A ．{}01x x <≤B ．{}12x x <<C ．{}01x x <<D ．{}12x x ≤<2。
已知a ，R b ∈，i 是虚数单位,若a i -与2bi +互为共轭复数,则()2a bi +=（ )A ．54i -B ．54i +C ．34i -D ．34i +4。
在区间[]2,4-上随机地抽取一个实数x ，若x 满足2x m ≤的概率为56,则实数m 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．95.已知()f x 在R 上是奇函数，且满足()()4f x f x +=，当()0,2x ∈时，()22f x x =，则()7f =（ ） A ．2 B ．2- C ．98-D ．986。
一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为2的直角三角形,俯视图是半径为1的四分之一圆周和两条半径，则这个几何体的体积为( ） A ．312π B ．36π C ．34πD ．33π7.下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a ，b ，i 的值分别为6,8，0，则输出a 和i 的值分别为(）A ．0,4B ．0，3C ．2,4D ．2，38。
设函数()()2f xg x x =+，曲线()y g x =在点()()1,1g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线的斜率为为（ )A ．4B ．14- C ．2 D ．12-9。
已知3sin 5ϕ=，且,2πϕπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于2π，则4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．35- B ．45- C ．35D ．4510.已知C ∆AB 的三个顶点A ，B ，C 的坐标分别为()0,1，)，()0,2-，O为坐标原点，动点P 满足C 1P =，则OA +OB +OP 的最小值是( ）A1B 1C 1D 111.过双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线,垂足为点A ,与另一条渐近线交于点B ，若F 2F B =A ，则此双曲线的离心率为( ） AB C ．2 D 12.已知三棱锥C S -AB 的所有顶点都在球O 的球面上，C ∆AB 是边长为1的正三角形，C S 为球O 的直径，且C 2S =，则此棱锥的体积为（ ) A ．6B ．6C ．3D ．2第Ⅱ卷(共90分）二、填空题（每题5分，满分20分,将答案填在答题纸上)13.某中学高中一年级、二年级、三年级的学生人数比为5:4:3,现要用分层抽样的方法抽取一个容量为240的样本，则所抽取的二年级学生的人数是 ．14。
…湖南省四县(市区)2016届高三下学期3月联考数学(文)试卷
湖南省四县（市区）2016届高三3月联考文科数学试题时量 120分钟 总分 150分考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对条形码上的准考证号、姓名、考试科目与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答的答案无效。
3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷一：选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合{}{}22,0,2,|20A B x x x =-=--≤，则AB =A ．{}0B ．{}2C ．{}2,0-D ．{}02，2．已知向量()()2,1,,6a b x ==-，若a b ⊥，则a b +=A ．5B ．C ．6D ．503．已知i 为虚数单位，则21ii-=+A B ．52C D 4．某书法社团有男生30名，女生20名，从中抽取一个5人的样本，恰好抽到了2名男生和3名女生．(1)该抽样一定不是系统抽样；(2)该抽样可能是随机抽样；(3)该抽样不可能是分层抽样；(4)男生被抽到的概率大于女生被抽到的概率．其中说法正确的为 A ．(1)(2)(3) B ．(2)(3) C ．(3)(4) D ．(1)(4)5．若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线x y =对称，则圆C 的标准方程为 A ．22(1)1x y -+= B ．22(1)1x y ++= C ．22(1)1x y +-= D ．22(1)1x y ++=6．如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，F E ,是线段11D B 上的两个动点，且A ．BF AC ⊥；B ．三棱锥BEF A -的体积为定值；C ．//EF 平面ABCDD ．面直线AE 、BF 所成的角为定值。