天津市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练：导数及其应用

天津市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练导数及其应用一、选择、填空题1、若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线()ln 1y x =+的切线，b = ．2、设函数()f x =(21)x e x ax a --+,其中a 1，若存在唯一的整数x 0，使得0()f x 0，则a的取值范围是（ ）3、曲线()23f x x x=+在点()()1,1f 处的切线方程为 . 4、设定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足()()ln xf x f x x x '-=，11()f ee=，则()f x （ ） A ．有极大值，无极小值 B ．有极小值，无极大值 C ．既有极大值，又有极小值 D ．既无极大值，也无极小值5、已知()y f x =为R 上的连续可导函数，且()()0xf x f x '+>，则函数()()1g x xf x =+()0x >的零点个数为__________6、曲线处的切线方程是A 、x ＝1B 、y ＝12C 、x ＋y ＝1D 、x －y ＝1 7、已知定义在R 上的函数()f x 的图象如图，则的解集为8、若过曲线上的点P 的切线的斜率为2，则点P 的坐标是二、解答题1、（2016年天津市高考）（2016年天津高考）设函数3()(1)f x x ax b =---,R x ∈，其中R b a ∈,(I)求)(x f 的单调区间；(II) 若)(x f 存在极值点0x ，且)()(01x f x f =，其中01x x ≠，求证：1023x x +=； （Ⅲ）设0>a ，函数|)(|)(x f x g =，求证：)(x g 在区间]1,1[-上的最大值不小于．．．41.2、（2015年天津市高考）已知函数()n ,nf x x x x R =-∈，其中*n ,n 2N ∈≥. (I)讨论()f x 的单调性；(II)设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；(III)若关于x 的方程()=a(a )f x 为实数有两个正实根12x x ，，求证： 21|-|21ax x n<+-3、（天津市八校2016届高三12月联考）已知函数()2ln pf x px x x=--． (Ⅰ) 若2p =，求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线；(Ⅱ) 若函数)(x f 在其定义域内为增函数，求正实数p 的取值范围； (Ⅲ) 设函数2()eg x x= ，若在[1,]e 上至少存在一点0x ，使得00()()f x g x >成立，求实数p 的取值范围．4、（和平区2016届高三第四次模拟）已知函数()22ln 2,f x x x ax a a R =+-+∈．（Ⅰ）若0a =，求函数()f x 在[]1,e 上的最小值；（Ⅱ）若函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在单调递增区间，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）根据a 的不同取值，讨论函数()f x 的极值点情况．5、（河北区2016届高三总复习质量检测（三）） 已知函数1()()ln f x a x x x=--，其中a ∈R ．（Ⅰ）若1a =，求曲线)(x f y =在点(1(1))f ，处的切线方程； （Ⅱ）若函数()f x 在其定义域内为增函数，求a 的取值范围；（Ⅲ）设函数e()g x x=，若在[1e]，上至少存在一点0x ，使得00()()f x g x ≥成立， 求实数a 的取值范围．6、（河北区2016届高三总复习质量检测（一）） 已知函数2()=(1)ln 1f x a x x -++，()()g x =f x x -，其中a ∈R ．（Ⅰ）当14a =-时，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）当0a >时，求函数()g x 的单调区间；（Ⅲ）当[1)x ∈+∞，时，若=()y f x 图象上的点都在1x y x ⎧⎨⎩≥，≤ 所表示的平面区域内， 求实数a 的取值范围．7、（河东区2016届高三第二次模拟）已知函数x x ae x ae x f xx+--=2212)(． （1）求函数)(x f 在))2(,2(f 处切线方程； （2）讨论函数)(x f 的单调区间；（3）对任意[]1,0,21∈x x ，1)()(12+≤-a x f x f 恒成立，求a 的范围．8、（河西区2016届高三第二次模拟） 已知函数x m x x x f ln 12)(2++-=（R m ∈）. （Ⅰ）当1=m 时，求过点0(P ，)1-且与曲线2)1()(--=x x f y 相切的切线方程； （Ⅱ）求函数)(x f y =的单调递增区间；（Ⅲ）若函数)(x f y =的两个极值点a ，b ，且b a <，记][x 表示不大于x 的最大 整数，试比较)]([)]([sin b f a f 与)])()][(cos([b f a f 的大小.9、（河西区2016届高三下学期总复习质量调查（一））已知函数ax x x f -=2)(（0≠a ），x x g ln )(=，)(x f 图象与x 轴异于原点的交点M 处的切线为1l ，)1(-x g 与x 轴的交点N 处的切线为2l ，并且1l 与2l 平行.（Ⅰ）求)2(f 的值；（Ⅱ）已知实数R t ∈，求x x ln =μ，1[∈x ，]e 的取值范围及函数])([t x xg f y +=， 1[∈x ，]e 的最小值；（Ⅲ）令)(')()(x g x g x F +=，给定1x ，1(2∈x ，)∞+，21x x <，对于两个大于1的 正数α，β，存在实数m 满足21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，并且 使得不等式)()()()(21x F x F F F -<-βα恒成立，求实数m 的取值范围.10、（红桥区2016届高三上学期期末考试）已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++. （Ⅰ）若函数()f x 在1x =处切线的斜率12k =-，求实数a 的值；（Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅲ）若2()1xf x x x '++≥，求a 的取值范围.11、（天津市六校2016届高三上学期期末联考）已知函数x ax x h ln 2)(+-= （Ⅰ）当1=a 时，求)(x h 在))2(,2(h 处的切线方程； （Ⅱ）令)(2)(2x h x a x f +=，已知函数)(x f 有两个极值点21,x x ，且2121>⋅x x ，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若存在]2,221[0+∈x ，使不等式2ln 2)1()1()1ln()(20++-->++a a m a x f 对任意a （取值范围内的值）恒成立，求实数m 的取值范围.12、（天津市十二区县重点高中2016届高三毕业班第一次联考）已知函数1()ln f x x x=-，()g x ax b =+．(Ⅰ)若函数()()()h x f x g x =-在(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； (Ⅱ)若直线()g x ax b =+是函数1()ln f x x x=-图象的切线，求a b +的最小值； (Ⅲ)当0b =时，若()f x 与()g x 的图象有两个交点1122(,),(,)A x y B x y ，试比较12x x 与22e 的大小．（取e 为2.8，取ln 2为0.7，取2为1.4）13、（天津市十二区县重点学校2016届高三下学期毕业班联考（二））已知直线1y e=是函数()x axf x e=的切线（其中 2.71828e =L ）. (I)求实数a 的值；(II)若对任意的(0,2)x ∈，都有2()2mf x x x <-成立，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）若函数()ln ()g x f x b =-的两个零点为12,x x ，证明：1()g x '+2()g x '12()2x x g +'>.14、（武清区2016届高三5月质量调查（三））已知函数()a x e x f x +-=，()2a x e x g x ++=-，R a ∈．（1）求函数()x f 的单调区间；（2）若存在[]2,0∈x ，使得()()0<-x g x f 成立，求a 的取值范围； （3）设()2121,x x x x ≠是函数()x f 的两个零点，求证021<+x x ．15、（天津市和平区2016届高三下学期第二次质量调查）已知函数x xaax x f ln 24)(--=. （Ⅰ）当1=a 时,求曲线)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程； （Ⅱ）若函数)(x f 在其定义域内为增函数,求实数a 的取值范围； （Ⅲ）设函数xex g 6)(=,若在区间],1[e 上至少存在一点0x ,使得)()(00x g x f >成立,求实数a 的取值范围.参考答案一、填空、选择题 1、【解析】 1ln 2-ln 2y x =+的切线为：111ln 1y x x x =⋅++（设切点横坐标为1x ） ()ln 1y x =+的切线为：()22221ln 111x y x x x x =++-++ ∴()122122111ln 1ln 11xx x x x x ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=+-⎪+⎩解得112x = 212x =-∴1ln 11ln 2b x =+=-．2、【答案】D【解析】试题分析：设()g x =(21)x e x -，y ax a =-，由题知存在唯一的整数0x ，使得0()g x 在直线y ax a =-的下方.因为()(21)x g x e x '=+，所以当12x <-时，()g x '＜0，当12x >-时，()g x '＞0，所以当12x =-时，max [()]g x =12-2e -，当0x =时，(0)g =-1，(1)30g e =>，直线y ax a =-恒过（1,0）斜率且a ，故(0)1a g ->=-，且1(1)3g e a a --=-≥--，解得32e≤a ＜1，故选D.考点：导数的综合应用 3、40x y -+=4、【答案】D【解析】()f x 的定义域为(0,)+∞， ∵()()ln xf x f x x x '-=，∴2()()ln xf x f x xx x '-=，∴()ln ()f x x x x '=，∴2()1ln 2f x x c x =+， ∴21()ln 2f x x x cx =+．∵211111()ln 2f c e e e e e =+⨯=，∴12c =． ∴22111()ln ln (ln 1)0222f x x x x '=++=+≥，∴()f x 在(0,)+∞上单调递增，∴()f x 在(0,)+∞上既无极大值也无极小值． 5、06、B7、A8、（e ，e ）二、解答题1、【解析】（1）()()31f x x ax b=---()()2'31f x x a =--① 0a ≤，单调递增；②0a >，()f x 在,13a ⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭单调递增，在1,133a a ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭单调递减，在1,3a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭单调递增 （2）由()0'0f x =得()2031x a -=∴()()()320000131f x x x x b =----()()200121x x b =----()()()()32000032223132f x x x x b -=----- ()[]200018896x x x b =---+- ()()200=121x x b ---- ()()()00132=f x f x f x ∴-=1023x x ∴+=（3）欲证()g x 在区间[02]，上的最大值不小于14，只需证在区间[02]，上存在12,x x ， 使得121()()2g x g x -≥即可①当3a ≥时，()f x 在[]02，上单调递减 (2)12f a b =-- (0)1f b =--1(0)(2)2242f f a -=->≥递减，成立 当03a <<时，311333a a a f a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭333a a a a a b =--+-233a a a b =-- 113333a a a a f a b ⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭233aa ab =--- ∵(2)12f a b =-- (0)1f b =-- ∴(2)(0)22f f a -=-若304a <≤时，()()102222f f a -=-≥，成立当34a >时，411133332a a a f f a ⎛⎫⎛⎫--+=> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，()g x 在区间[02]，上的最大值不小于14成立 2、试题解析：(I)由()nf x nx x =-，可得，其中*n N ∈且2n ≥， 下面分两种情况讨论：（1）当n 为奇数时：令()0f x '=，解得1x =或1x =-， 当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：x(,1)-∞- (1,1)- (1,)+∞()f x ' -+-()f x所以，()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-内单调递增. (2)当n 为偶数时，当()0f x '>，即1x <时，函数()f x 单调递增； 当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 单调递减.所以，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减. (II)证明：设点P 的坐标为0(,0)x ，则110n x n-=，20()f x n n '=-，曲线()y f x =在点P 处的切线方程为()00()y f x x x '=-，即()00()()g x f x x x '=-，令()()()F x f x g x =-，即()00()()()F x f x f x x x '=--，则0()()()F x f x f x '''=-由于1()n f x nx n -'=-+在()0,+∞上单调递减，故()F x '在()0,+∞上单调递减，又因为0()0F x '=，所以当0(0,)x x ∈时， 0()0F x '>，当0(,)x x ∈+∞时，0()0F x '<，所以()F x 在0(0,)x 内单调递增，在0(,)x +∞内单调递减，所以对任意的正实数x 都有0()()0F x F x ≤=，即对任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤.(III)证明：不妨设12x x ≤，由(II)知()()2()g x n n x x =--，设方程()g x a =的根为2x '，可得202.ax x n n'=+-，当2n ≥时，()g x 在(),-∞+∞上单调递减，又由(II)知222()()(),g x f x a g x '≥==可得22x x '≤.类似的，设曲线()y f x =在原点处的切线方程为()y h x =，可得()h x nx =，当(0,)x ∈+∞，()()0n f x h x x -=-<，即对任意(0,)x ∈+∞，()().f x h x <设方程()h x a =的根为1x '，可得1ax n'=，因为()h x nx =在(),-∞+∞上单调递增，且考点：1.导数的运算；2.导数的几何意义；3.利用导数研究函数性质、证明不等式. 3、(Ⅰ) 2()22ln ,(1)0f x x x f x=--=， 222'()2,'(1)2f x f x x=+-= 则切线为：2(1)y x =-，即220x y --=；(Ⅱ) 22222'()p px x pf x p x x x -+=+-=，220px x p ∴-+≥即221xp x ≥+，对0x ∀>恒成立， 设22()(0)1x h x x x =>+，222222222422'()(1)(1)x x x h x x x +--==++()h x 在(0,1)上增，(1,)+∞减，则max ()(1)1h x h ==(1)1p h ∴≥=，即[1,)p ∈+∞(Ⅲ) 设函数2()()()2ln p ex f x g x px x xϕ+=-=-- ，[1,]x e ∈ 则原问题⇔在[1,]e 上至少存在一点0x ，使得0()0x ϕ>⇔max ()0x ϕ>．222222(2)'()p e px x p e x p x x x ϕ+-++=+-=22210'()0x ep x xϕ-+==> ，则()x ϕ在[1,]x e ∈增，max ()()40x e ϕϕ==-<，舍； 20p < ，12()()2ln ex p x x x x ϕ=---，[1,]x e ∈ ，120,0,ln 0ex x x x ∴-≥>>，则()0x ϕ<，舍； 22(1)2()30'()0p x e x p x x ϕ++->=>，则()x ϕ在[1,]x e ∈增，max ()()40p x e pe e ϕϕ==-->，整理得241e p e >- 综上，24(,)1ep e ∈+∞- 4、解：（Ⅰ）当0a =时，()2ln f x x x =+，其定义域为()0,+∞，()120f x x x'=+>，……2分 所以()f x 在[]1,e 上是增函数，当1x =时，()()min 11f x f ==．故函数()f x 在[]1,e 上的最小值是1．…………………………………………3分（Ⅱ）由题设条件，得()2122122x ax f x x a x x-+'=+-=，设()2221g x x ax =-+，依题意，在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在子区间使不等式()0g x >成立．…………………………………………5分因为函数()2221g x x ax =-+的图象是开口向上的抛物线，所以只需()20g >或102g ⎛⎫>⎪⎝⎭即可．……………………………………………6分（Ⅲ）由（Ⅱ），可知()()22221,221x ax f x g x x ax x-+'==-+． （ⅰ）当0a ≤时，在()0,+∞上()0g x >恒成立，此时()0f x '>，函数()f x 无极值点；………………………………………………10分（ⅱ）当0a >时，若2480a ∆=-≤，即02a <≤时，在()0,+∞上()0g x ≥恒成立，此时()0f x '≥，函数()f x 无极值点；若2480a ∆=->，即2a >时，易知当222222a a a a x --+-<<时，()0g x <，此时()0f x '<；当2202a a x --<<或222a a x +->时，()0g x >，此时()0f x '>．所以当2a >时，222a a x --=是函数()f x 的极大值点，222a a x +-=是函数()f x 的极小值点，………………………………………………………………………13分综上，当2a ≤时，函数()f x 无极值点；当2a >时，222a a x --=是函数()f x 的极大值点，222a a x +-=是函数()f x 的极小值点．………………………………………14分5、解：（Ⅰ）当1a =时，1()ln f x x x x =--，211()1+f x =x x'-， (1)11ln10f =--=，(1)1+111f ='=-，∴曲线)(x f y =在点(1(1))f ，处的切线方程为1y x =-．………… 4分（Ⅱ）∵22211()(1)ax x+af x =a x x x '=-+-，要使函数()f x 在定义域(0)+∞，内为增函数， 只需()0f x '≥在(0)+∞，上恒成立．∴20ax x +a -≥，即21x a x +≥，也即11a x x+≥恒成立．又12x x+≥，∴a 的取值范围为12a ≥． ………… 8分（Ⅲ）∵e()g x x=在[1e]，上是减函数， ∴(e)()(1)g g x g ≤≤，即1()e g x ≤≤．（1）当0a ≤时，211()(1)0f x =a x x'+<-，∴()0f x '<，∴()f x 在[1e]，上是减函数；∴max (())(1)0<1f x f ==，不合题意．（2）当102<a <时，∵[1e]x ∈，，∴10x x-≥．∴111()()ln ()ln 2f x a x x x x x x =----≤．令11()()ln 2F x x x x =--，由（Ⅱ）知，()F x 在[1e]，上是增函数，∴111111()ln (e )lne =(e )1122e 2ex x x ------<≤．∴()1f x <，不合题意．（3）当12a ≥时，由（Ⅱ）知，1()()ln f x a x x x=-- 在[1e]，上是增函数，(1)01f =<，又e()g x x=在[1e]，上是减函数， ∴只需max min (())(())f x g x ≥，又max 1(())(e )lne ef x a =--，即1(e )11ea --≥， 解得22e e 1a -≥．∴a 的取值范围是22e[)e 1+∞-，． ………… 14分6、解：（Ⅰ）当14a =-时，221113()=(1)ln +1ln 4424f x x x x x x -+=+++--()f x 的定义域为(0)+∞，， 111(1)(2)()=222x x f x x x x+-'++=--． …… 2分列表讨论'()f x 和()f x 的变化情况：∴当2x =时，()f x 取得极大值3(2)ln 24f =+. …… 4分 （Ⅱ）当0a >时，22()=(1)ln 1(21)ln 1g x a x x x ax a x x a -++-=-++++．x02（，） 22∞（，+） '()f x＋－()f x极大值()g x 的定义域为(0)+∞，， 212(1)()12(21)12g ()2(21)a x x ax a +x +a x =ax a ++=x x x'=----．…… 6分令()=0g x '，得1x=或12x =a．（1）当102a <<，即112a >时，由()0g x '<，解得112x a<<，由()0g x '>，解得01x <<或12x a>，∴()g x 在1(1)2a，上单调递减，在(01)，，1()2a+∞，上单调递增； ……7分（2）当12a =，即112a =时，在(0)+∞，上，()0g x '≥，∴()g x 在(0)+∞，上单调递增； ……8分（3）当12a >，即1012a<<时， 由()0g x '<，解得112x a<<，由()0g x '>，解得102x a<<或1x >， ∴()g x 在1(1)2a，上单调递减，在1(0)2a，，(1)+∞，上单调递增． ……9分（Ⅲ）∵=()y f x 图象上的点都在1x y x ⎧⎨⎩≥，≤ 所表示的平面区域内， ∴当[1)x ∈+∞，时，()0f x x -≤恒成立， 即当[1)x ∈+∞，时，2()(1)ln 10g x a x x x =-++-≤恒成立． 只需max (())0g x ≤． ……10分 （1）当0a >时，由（Ⅱ）知，① 当102a <<时，()g x 在1(1)2a ，上单调递减，在1()2a+∞，上单调递增，∴()g x 在[1)+∞，上无最大值，不满足条件； ② 当12a ≥时，()g x 在(1)+∞，上单调递增，∴()g x 在[1)+∞，上无最大值，不满足条件；……11分 （2）当=0a 时，1()x g x =x'--，在(1)+∞，上，()0g x '<， ∴()g x 在[1)+∞，上单调递减，()(1)0g x g =≤成立; ……12分 （3）当0a <时，12(1)()2()a x x a g x =x'--，在(1)+∞，上，()0g x '<，∴()g x 在[1)+∞，上单调递减，()(1)0g x g =≤成立． ……13分综上可知，实数a 的取值范围是0a ≤． ……14分 7、（1）)( 1)(R x x ae x ae x f x x ∈+--='切线斜率1)2(2-='ae f ， 0)2(=f切线方程0)1(2)1(22=----ae y x ae ……4分（2）令0)(='x f ，0)1)(1(=--x ae x 即)0(1ln,143>==a ax x 当(]0,∞-∈a 时，)(x f 在()1,∞-上为增函数，在),1(+∞上为减函数当⎪⎭⎫ ⎝⎛=e a 1,0时， )(x f 在),1(ln),1,(+∞-∞a上为增函数， 在)1ln ,1(a上为减函数当e a 1=时，)(x f 在R 上恒为增函数 当),1(+∞∈e a 时，)(x f 在),1(),1ln ,(+∞-∞a上为增函数，在)1,1(ln a上为减函数 ……10分（3）由已知)()(12x f x f -在[]1,0上的最大值小于等于1+a当]1,(ea -∞∈时， )(x f 在[]1,0上单调递增)()(12x f x f -的最大值为1212)0()1(+≤+-=-a ae a f f 解为⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞--∈,)1(21e a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈∴e e a 1,)1(21 当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈1,1e a 时，)(x f 在)1ln ,0(a上为增函数，在)1,1(lna上为减函数 )()(12x f x f -的最大值为)0()(4f x f -或)1()(4f x f -122221)0()(4244+≤+-+-=-a a x x f x f 即3221424+-≤x x a⎪⎭⎫ ⎝⎛∈1,1e a ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+-3,233221424x x （[]1,04∈x ）恒成立1212221)1()(4244+≤-+-+-=-a ae x x f x f即27221)1(424+-≤-x x e a⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+-27,227221424x x （[]1,04∈x ）恒成立 ⎪⎭⎫⎝⎛∈∴1,1e a 当[)+∞∈,1a 时，)(x f 在[]1,0上单调递减)()(12x f x f -的最大值为1212)1()0(+≤-+-=-a ae a f f 解为⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞--∈,)3(23e a [)+∞∈∴,1a 成立 综上所述⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞--∈,)1(21e a ……14分 8、（Ⅰ）解：当1=m 时，曲线2)1()(--=x x f y x ln =， 设切点坐标为0(x ，)ln 0x ， 由xx f 1)('=，所以斜率01x k =，则切线方程为)(1ln 000x x x x y -=-，因为切线过点0(P ，)1-，所以1ln 10-=--x ，解得10=x ， 所以切线方程为01=--y x .…………3分（Ⅱ）解：函数)(x f 的定义域为0(，)∞+，xmx x x f +-=22)('2，令0)('>x f ，︒1当21≥m 时，0)('≥x f 恒成立， 函数)(x f 的单调递增区间为0(，)∞+；︒2当210<<m 时， 函数)(x f 的单调递增区间为0(，)2211m --，2211(m-+，)∞+； ︒3当0≤m 时，函数)(x f 的单调递增区间为2211(m-+，)∞+. …………7分（Ⅲ）解：xmx x x f +-=22)('2，令0)('=x f ，得0222=+-m x x ，由题意，方程有两个不相等的正数根a ，b ，且b a <，则⎪⎩⎪⎨⎧>>-=∆020)21(4m m ，解得210<<m ， 2211m a --=，2211m b -+=，则1210<<<<b a ， 由0222=+-m b b ，得b b m 222+-=，…………9分所以b m b b b f ln 12)(2++-=++-=122b b b b b ln )22(2+-，21(∈b ，)1，b b b f ln )21(4)('--=，当21(∈b ，)1时，0)('>b f ，即函数)(b f 是21(，)1上的增函数，所以0)(42ln 21<<-b f ，故)(b f 的取值范围是42ln 21(-，)0， …………11分则1)]([-=b f ，同理可求12)(2+-=a a a f a a a ln )22(2+-+，0(∈a ，)21，0ln )21(4)('<--=a a a f ，当21(∈b ，)1时，0)('>b f ，即函数)(a f 是0(，)21上的减函数，所以1)(42ln 21<<-a f ，故)(a f 的取值范围是42ln 21(-，)1， …………12分则1)]([-=a f 或0)]([=a f ， 当1)]([-=a f 时，)]([)]([sinb f a f )])()][(cos([b f a f >；当0)]([=a f 时，)]([)]([sinb f a f )])()][(cos([b f a f <.…………14分9、（Ⅰ）解：)(x f y =的图象与x 轴异于原点的交点为a M (，)0，a x x f -=2)('，)1ln()1(-=-=x x g y 的图象与x 轴的交点2(N ，)0，11)1('-=-x x g ， 由题意可得21l l k k =，即12=-a a ，所以1=a ， …………2分 所以x x x f -=2)(，222)2(2=-=f .…………3分（Ⅱ）当1[∈x ，]e 时，01ln )('>+=x x μ，所以)(x μ在1[，]e 上单调递增，所以e e x ==)()(max μμ，0)1()(min ==μμx ， 即 )(x μ的取值范围是0[，]e .…………5分])([t x xg f y +=)ln ()]ln([2t x x t x x +-+=)12()ln (2-+=t x x t t x x -+2)ln (，令x x u ln =，在1[∈x ，]e 时，01ln '>+=x u ， 所以x x u ln =在1[，]e 上单调递增，e u ≤≤0，u t u y )12(2-+=t t -+2图象的对称轴为221tu -=，抛物线开口向上， ①当0221≤-t即21≥t 时，t t y y u -===20min ，②当e t ≥-221即221e t -≤时，t t e t e y -+-+=22min )12(， ③当e t <-<2210即21221<<-t e 时，2221min )221(t y y t u -==-=41221)12(2-=-+--+t t t t .…………8分（Ⅲ）解：)(')()(x g x g x F +=xx 1ln +=， 0111)('22≥-=-=xx x x x F ，1≥x ，所以)(x F 在区间1(，)∞+上单调递增， 所以当1≥x 时，0)1()(>≥F x F .①当0(∈m ，)1时，有21)1(x m mx -+=α111)1(x x m mx =-+>，21)1(x m mx -+=α222)1(x x m mx =-+<，得1(x ∈α，)2x ，同理1(x ∈β，)2x ，由)(x F 的单调性知)()()(021x F F x F <<<α，)()()(021x F F x F <<<β， 从而)()()()(21x F x F F F -<-βα，符合题设.②当0≤m 时，有21)1(x m mx -+=α222)1(x x m mx =-+≥，21)1(mx x m +-=β111)1(x mx x m =+-≤，由)(x F 的单调性知)()(01x F F ≤<β)()(2αF x F ≤<， 所以)()()()(21x F x F F F -≥-βα，与题设不符.③当1≥m 时，同理可得1x ≤α，2x ≥β，得)()()()(21x F x F F F -≥-βα，与题设不符. 综上所述，得0(∈m ，)1.…………14分10、（Ⅰ）因为221()ax a f x x++'=，311(1)12a f +'==- 解得：12a =-.---------------------------------------------------------------------------------3分（Ⅱ）()f x 的定义域为(0,+∞), 221()ax a f x x++'=，当a ≥0时，()f x '＞0，故f (x )在(0,+∞)单调增加；----------------------------5分 当a ≤－1时，()f x '＜0, 故f (x )在(0,+∞)单调减少；----------------------------6分 当－1＜a ＜0时，令()f x '＝0,解得x =12a a+-. 当x ∈(0,12a a+-)时, ()f x '＞0；单调增， x ∈(12a a+-，+∞)时，()f x '＜0, 单调减--------------------------------------------10分 （Ⅲ）22()211xf x ax a x x '=++++≥，得：2221x xa x ++≥ ------------------------------------------------11分令22(),(0)21x xg x x x +=>+则2222222(21)(21)4()221()(21)(21)x x x x x x x g x x x ++-+-++'==++，当1302x +<<时，()g x 单调递增， 当132x +>时，()g x 单调递减， 所以，max 1313()()24g x g ++==， -----------------------------------------------13分 故134a +≥---------------------------------------------14分11、（1）xa x h 12)('+-= 1=a 时x x x h ln 2)(+-= x x h 12)('+-= 2ln 4)2(+-=h 23)2('-=h )(x h 在))2(,2(g 处的切线方程为0142ln 223=--+y x …3分（2）)0(1212)(2>+-=+-='x xax ax x a ax x f0120)(2=+-⇔='ax ax x f ，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>==+>-=∆211204421212a x x x x a a ，所以21<<a ．…6分（3）由0122=+-ax ax ，解得aa a a x a a a a x -+=--=2221,， ∵21<<a ，∴2211112+<-+=a x ． 而)(x f 在),(2+∞x 上单调递增，∴)(x f 在]2,221[+上单调递增． …7分∴在]2,221[+上，2ln 2)2()(max +-==a f x f ．…8分所以，“存在]2,221[0+∈x ，使不等式2ln 2)1()1()1ln()(20++-->++a a m a x f 恒成立”等价于“不等式2ln 2)1()1()1ln(2ln 22++-->+++-a a m a a 恒成立”，即，不等式012ln )1ln(2>+-+--+m a m a a 对任意的a （21<<a ）恒成立． …9分 令12ln )1ln()(2+-+--+=m a m a a a g ，则0)1(=g ．1221211)(2+---=--+='a a m a m a m a a a g ． …10分①当0≥m 时，0122)(2<+---='a a m a m a a g ，)(a g 在)2,1(上递减．0)1()(=<g a g ，不合题意．②当0<m 时，1)211(2)(+++-='a m a m a a g ． 若)211(1m +-<，记)211,2min(mt --=，则)(a g 在),1(t 上递减．在此区间上有0)1()(=<g a g ，不合题意． 因此有⎪⎩⎪⎨⎧≤--<12110m m ，解得41-≤m ， 所以，实数m 的取值范围为]41,(--∞．…14分12、解：(Ⅰ) ()()()h x f x g x =- 1ln ,x ax b x =---,则211()h x a x x'=+-， ……1分 ∵()()()h x f x g x =-在(0,)+∞上单调递增，∴对0x ∀>，都有211()0h x a x x'=+-≥， ……2分 即对0x ∀>，都有211a x x ≤+，∵2110x x+>，∴0a ≤，故实数a 的取值范围是(,0]-∞． ……4分 (Ⅱ) 设切点0001(,ln )x x x -，则切线方程为002000111(ln )()()y x x x x x x --=+-， 即00220000011111()()(ln )y x x x x x x x x =+-++-，亦即02000112()(ln 1)y x x x x x =++--， ……5分 令010t x =>，由题意得202000112,ln 1ln 21a t t b x t t x x x =+=+=--=---， …6分 令2()ln 1a b t t t t ϕ+==-+--，则1(21)(1)()21t t t t t tϕ+-'=-+-=， ……7分当(0,1)t ∈时 ，()0t ϕ'<，()t ϕ在(0,1)上单调递减； 当(1,)t ∈+∞时，()0t ϕ'>，()t ϕ在(1,)+∞上单调递增，∴()(1)1a b t ϕϕ+=≥=-，故a b +的最小值为1-． ……9分 (Ⅲ)由题意知1111ln x ax x -=，2221ln x ax x -=， 两式相加得12121212ln ()x x x x a x x x x +-=+，两式相减得21221112ln()x x x a x x x x x --=-， ……10分即212112ln1x x a x x x x +=-，∴21211212122112ln 1ln ()()x x x x x x x x x x x x x x +-=++-， 即1212212122112()ln ln x x x x x x x x x x x x ++-=-， ……11分 不妨令120x x <<，记211x t x =>，令2(1)()ln (1)1t F t t t t -=->+，则2(1)()0(1)t F t t t -'=>+， ……12分 ∴2(1)()ln 1t F t t t -=-+在(1,)+∞上单调递增，则2(1)()ln (1)01t F t t F t -=->=+， ∴2(1)ln 1t t t ->+，则2211122()ln x x x x x x ->+，∴1212212122112()ln ln 2x x x x x x x x x x x x ++-=>-， 又1212121212121212121242()44ln ln ln 2ln x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-<-=-=-， ∴121242ln 2x x x x ->，即12122ln 1x x x x ->， ……13分 令2()ln G x x x =-，则0x >时，212()0G x x x '=+>，∴()G x 在(0,)+∞上单调递增， 又212ln 2ln 210.85122e e e -=+-≈<， ∴12121222()ln 1ln 22G x x x x e x x e =->>-，则122x x e >，即2122x x e >． ……14分13、解：(Ⅰ)由题意得(1)()x a x f x e -'=，设切点（0,1x e） 所以0()0f x '=，得01x =. 则1a e e= ，1a ∴= ……………3分 (Ⅱ)由（1）知2()2x x m f x e x x =<-对任意(0,2)x ∈都成立， 220x x ->Q ，即232x x x m e->对任意(0,2)x ∈都成立， ………5分 令232()xx x h x e -=， ………6分 (1)(4)()0,1x x x x h x x e--'===(0,1),()0x h x '∴∈> ；(1,2),()0x h x '∴∈<()h x ∴在(0,1)上单增，()1,2上单减， ………7分max 1()(1),h x h e ∴== 1()(1),h x h e∴≤= ………8分 1m e∴> …………9分 (Ⅲ)证明：由题意知函数()ln g x x x b =--，所以1()1g x x'=-， 因为12,x x 是函数()g x 的两个零点，所以1122ln ln x b x x b x +=⎧⎨+=⎩，相减得2211ln x x x x -=， ………10分 不妨令211x t x =>，则21x tx =，则11ln tx x t -=，所以11ln 1x t t =-，2ln 1t x t t =-， ………11分要证1()g x '+2()g x '12()2x x g +'> 只要证12121121x x x x +>++ 只要证112(1)1ln ln (1)ln t t t t t t t t---+>++ ………12分 即证12(1)ln 01t t t t t ---->+ 令12(1)()ln 1t t t t t t ϕ-=---+ 432222211441()1(1)(1)t t t t t t t t t t ϕ+-++'=+--=++ 令432()41m t t t t t =+-++ 32()4381m t t t t '=+-+2()12680m t t t ''=+->对1t >恒成立()m t '∴在()1,+∞上单增()(1)0m t m ''∴>=()m t ∴在()1,+∞上单增，()(1)0m t m ∴>=即()0t ϕ'>()t ϕ∴在()1,+∞上单增 ()(1)0t ϕϕ∴>=,即原不等式成立.……………14分14、（1）()1-='x e x f …………………1分令()0>'x f ，得0>x ，则()x f 的单调递增区间为()∞+,0；…………………2分令()0<'x f ，得0<x ，则()x f 的单调递减区间为()0,∞-.…………………3分（2）记()()()x g x f x F -=，则()x F 22a a x e e x x -+--=-，()2-+='-x x e e x F ………………………4分 ∵022222=-=-⨯≥-+--x x x x e e e e ，∴()0≥'x F ， ∴函数()x F 为()∞+∞-,上的增函数，…………5分 ∴当[]2,0∈x 时，()x F 的最小值为()20a a F -=………………………6分 ∵存在[]2,0∈x ，使得()()0<-x g x f 成立，∴()0min <x F ………………………7分 即02<-a a ，解得1>a 或0<a 即为所求. ………………………8分（3）由（1）可知，0=x 是函数()x f 的极小值点，也是最小值点，即最小值为()a f =0， 显然只有0<a 时，函数()x f 有两个零点，设21x x <，易知， 0,021><x x ．………9分 ∵)()()()(2221x f x f x f x f --=--()()22222222x e e a x e a x e x x x x --=++-+-=--，………………………10分 令)0(2)(≥--=-x x e e x h x x ，由（2）可知)(x h 在[)∞+,0上单调递增，…………11分 ∴)(x h 0)0(=≥h ，又∵210x x <<，∴0)(2>x h ，即02222>---x e e x x …………12分 ∴)()(21x f x f ->，又∵0,021<-<x x ，………………………13分 且由（1）知)(x f 在()0,∞-上单调递减，∴21x x -<，∴021<+x x ．………14分15、（Ⅰ）解: 当1=a 时,x xx x f ln 214)(--=,31ln 214)1(=--=f , …………………（1 分） xx x f 214)('2-+=, ………………………（2 分） 曲线)(x f 在点))1(,1(f 处的斜率为3)1('=f , ………………………（3 分） 故曲线)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程为)1(33-=-x y , 即x y 3=.………………………（4 分） （Ⅱ）解: 2222424)('x a x ax x x a a x f +-=-+=. ………………………（5 分） 令a x ax x h +-=24)(2,要使)(x f 在定义域),0(+∞内是增函数, 只需)(x h ≥0在区间),0(+∞内恒成立. ………………………（6 分）依题意0>a ,此时a x ax x h +-=24)(2的图象为开口向上的抛物线,)41()41(4)(2aa a x a x h -+-=, 其对称轴方程为1(0,)4x a=∈+∞,a a x h 41)(min -=, 则只需aa 41-≥0,即a ≥21时,)(x h ≥0,)('x f ≥0, …………………（8 分） 所以)(x f 定义域内为增函数,实数a 的取值范围是),21[+∞. ………（9 分） （Ⅲ）解: 构造函数)()()(x g x f x -=ϕ,],1[e x ∈,依题意0)(max >x ϕ, ……………（10分） 由（Ⅱ）可知a ≥21时,)()()(x g x f x -=ϕ为单调递增函数, 即xe x x x a x 6ln 2)14()(---=ϕ在],1[e 上单调递增, …………………（12分） 08)14()()(max >--==e e a e x ϕϕ,则2124814822>=>->e ee e e a , 此时,0)()()(>-=e g ef e ϕ,即)()(eg e f >成立. 当a ≤1482-e e 时,因为],1[e x ∈,014>-x x , 故当x 值取定后,)(x ϕ可视为以a 为变量的单调递增函数, 则)(x ϕ≤x e x x x e e 6ln 2)14(1482----,],1[e x ∈, 故)(x ϕ≤06ln 2)14(1482=----e e e e e e e , 即)(x f ≤)(x g ,不满足条件. 所以实数a 的取值范围是),148(2+∞-e e . ………………………（14分）。