【新课标-精品卷】2018年最新北师大版高中数学必修一《指数扩充及其运算性质》课时练习及解析
北师大版数学高一-(试题2)3.2指数扩充及其运算性质
B 组一、选择题：1、函数()()()10252f x x x =-+-的定义域是（ ） A 、{}|5,2x x R x x ∈≠≠且 B 、{}|2,x x x R >∈ C 、{}|5,x x x R >∈ D 、{}|255x x x <<>或2、运算44⋅的结果为（ ）A 、16a B 、8a C 、4a D 、2a3、计算()2531433(2)3(4)a b a b a b -----⋅-÷得（ ）A 、232b -B 、232b C 、7332b - D 、7332b4a =；②若a R ∈，则2(1)1a a -+=43x y =+；= ） A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个5、设,a b 为正数，且baa b =，9b a =，则a 的值为（ ）A 、19B C D 6、化简111113216842(12)(12)(12)(12)(12)S -----=+++++的值为（ ）A 、11321(12)2--+B 、1132(12)--+C 、13212-+ D 、1321(12)2-+二、填空题：7、求0212121236253----⨯⨯⨯=- 8、若28xa=，则33x xxxa a a a --+=+ . 9、设,αβ是方程22310x x ++=的两个根，则1()4αβ+= .三、解答题：10、化简下列各式：⑴()()31212332140.1a b ---⎛⎫⨯⎪⎝⎭，()0,0a b >>.11、若0,0x y >>=的值.12、已知111(55),2nn x n N -*=-∈，求(n x 的值.13、已知0a >且1a ≠， ()(),x x x x f x a a g x a a --=-=+， 且()()4f x f y =，()()8g x g y =. 求证：x y =B 组一、选择题：1、D 提示：由题意知，5020x x -≠->且，解得{}|255x x x <<>或.2、C提示：由4444224a a a ⋅=⋅=⋅=3、A 提示：()2525131431423333233(2)3(4)42a b a b a b a b b ---++-----+⨯⋅-÷==. 4、B2=，故不正确；②由210a a -+≠，故正确；0<>≠.5、D 提示：本题可通过验证结果，确定正确答案或将9b a =代入88()199a a a =⇒=.6、A 提示：设1322a -=，则24816(1)(1)(1)(1)(1)S a a a a a =+++++则24816(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)a S a a a a a a -=-+++++ 224816(1)(1)(1)(1)(1)a a a a a =-++++448161(1)(1)(1)(1)2a a a a =-+++==， ∴11321(12)2S --=+二、填空题：7、答案：9提示：由021212119412362116545913559----⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯=⨯=--. 8、答案：578提示：由28xxaa =⇒=33578x xxxa a a a--+==+. 9、答案：8提示：由题意得32αβ+=-，则3211()()844αβ-+===. 三、解答题：10、解析：⑴()()33331222213323322214424250.1100a ba b a b -----⨯⨯⎛⎫⨯=⨯=⎪⎝⎭⨯⨯. ⑵原式1111133333333121112113333333311()()1()1111111a aa a a a a a a a a a a a a a --+--+=--=---+++-+++111211333333(1)(1)(1)a a a a a a =+----+=.11=，得22150-=0=0=，又0,0x y >>=，∴25x y =，501033255y yy y y++==-+.12、解析：由已知得221122111(525)(55)44n n nn x --+=++=+，∴1111111([(55)(55)](5)524nnn n n n n x --+=-++==.12、13、证明：由()()4f x f y =，∴()()4xxyy a aaa ----=∴()()4x yx y x y x y aa a a +-+---+--=……………….①同理，由()()8g x g y =，得()()8x yx y x y x y a a a a +-+---+++=……….②由②-①，得()224x yx y a a ---+=，即()2x y x y a a ---+=，∴12x yx ya a--+=，即2()210x y x y a a ---+=，∴01x ya a -==，∴x y =.。
北师大版高中数学必修一课后训练3.2指数扩充及其运算性质.docx
课后训练基础巩固1．122写成根式形式是()．A．2B．22C．42D．12．若b－3n＝5m(m，n∈N＋)，则b＝()．A．35nm-B．35mn-C．35nm D．35nm3．将322-化为分数指数幂，其形式是()．A．122B．122-C．122-D．122--4．计算122[(2)]--的值为()．A．2B．2-C．22D．22-5．若a＞0，且m，n为整数，则下列各式中正确的是()．A．a m÷a n＝mna B．a m·a n＝a m·nC．(a m)n＝a m＋n D．1÷a n＝a0－n6．在112-⎛⎫- ⎪⎝⎭,122-，1212-⎛⎫⎪⎝⎭，2－1中，最大的数是()．A．112-⎛⎫- ⎪⎝⎭B．122-C ．1212-⎛⎫⎪⎝⎭D ．2－17若102x ＝25，则10－x ＝( )．A ．15 B ．15- C ．150 D ．16258．3325⨯＝( )．A ．103B ．310C ．310D ．379．下列根式，分数指数幂互化中正确的是( )． A ．12()x x -=-(x ＞0) B ．1263y y =(y ＜0) C ．33441xx -⎛⎫= ⎪⎝⎭(x ＞0) D ．133x x -=-(x ＞0)10．计算233(2)a b --·(－3a －1b )÷543(4)a b --得( )．A ．232b -B ．232b C ．7332b - D ．7332b能力提升11．已知13a a+=，则1122a a -+＝( )．A ．2B ．5C ．5-D ．5±12．若256(26)1x x x -+-=，则下列结果正确的是( )． A ．x ＝2 B ．x ＝3C ．x ＝2或x ＝3D ．非上述答案13．如果x ＝1＋2b ，y ＝1＋2－b ，那么y ＝( )．A ．11x x +- B ．1x x - C ．11x x +- D ．1x x -14．计算：a a a ＝________.15．已知2x －2－x ＝2，则8x 的值为________． 16．若5x 2·5x ＝25y ，则y 的最小值是________．17．设函数f 1(x )＝12x ，f 2(x )＝x －1，f 3(x )＝x 2，则f 1(f 2(f 3(2 012)))＝__________. 18．设α，β是方程5x 2＋10x ＋1＝0的两个根，则2α·2β＝__________，(2α)β＝__________.19．若11223x x-+=，求33222232x x x x --+-+-的值．(注：(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3)20．已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a ＞b ＞0，求a ba b-+的值．参考答案1．A 点拨：由m n mnaa =(a ＞0，m ，n ∈N ＋，且n ＞1)知，1222=.2．B 点拨：若b n＝a m(m ，n ∈N ＋，a ＞0，b ＞0)，则m nb a =. 3．B 点拨：13322(22)-=-＝1113133222(22)(2)2-⨯=-=-. 4．C 点拨：1122212112[(2)]2222---====. 5．D 点拨：由整数幂的运算性质可知，a m ÷a n ＝a m ·a －n ＝a m －n ，a m ·a n ＝a m ＋n ，(a m )n ＝a mn,1÷a n ＝a 0÷a n ＝a 0·a －n ＝a －n .6．C 点拨：∵1112122-⎛⎫-==- ⎪⎝⎭-，12121122222-===，11121221(2)222---⎛⎫=== ⎪⎝⎭，1122-=， 又∵122222-<<<，∴111212112222----⎛⎫⎛⎫-<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 7．A 点拨：∵102x ＝25，∴(10x )2＝25. ∴10x ＝5.∴1110105x x-==. 8．B 点拨：由实数指数幂的运算性质(ab )n ＝a n b n 知，333325(25)10⨯=⨯=.9．C 点拨：选项A 中，1122()x x x -=-≠-；在选项B 中，当y ＜0时，26>0y ，而1330y y =<，故1263y y ≠；选项C 中，当x ＞0时，33334144411()x x x x --⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；选项D 中，11333x x x--=-≠.10．A 点拨：原式＝25131423323342a b b -++--+⨯-=-. 11．B 点拨：∵a 和1a 的符号相同，1a a+＝3＞0，∴a ＞0.∴11220a a -+>.又112221()2a a a a+-=++＝3＋2＝5，∴11225a a -+=.12．D 点拨：∵a 0＝1(a ≠0)，∴若2260560,x x x -≠⎧⎨-+=⎩，，则x ＝2；又∵1α＝1(α∈R )，∴若2x －6＝1，则7.2x =综上可知，x ＝2或7.2x =13．D 点拨：由x ＝1＋2b ，得2b ＝x －1，∴2－b ＝11x -. ∴y ＝1＋2－b ＝1111xx x +=--. 14．78a 点拨：a a a11312222()()a a a a a =⋅=⋅7377184442()a a a a a =⋅===.15．7+52 点拨：令t ＝2x (t ＞0)，由2x －2－x ＝2，得12t t-=，即t 2－2t －1＝0.解得12t =+或12t =- (舍去)．∴8x ＝(23)x ＝(2x )3＝t 3＝3(12)752+=+.16．18-点拨：由5x 2·5x ＝25y ，得2255x xy +=，∴x 2＋x ＝2y ，即221111122228y x x x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，∴当12x =-时，y 取得最小值，最小值是18-.17．12012 点拨：f 1(f 2(f 3(2 012)))＝f 1(f 2(2 0122))＝f 1((2 0122)－1)＝[(2 0122)－1]12＝2 012－1＝12012. 18．14 152 点拨：∵α，β是方程5x 2＋10x ＋1＝0的两个根，∴α＋β＝－2，αβ＝15.∴2α·2β＝2α＋β＝2－2＝14，(2α)β＝2αβ＝152.19．解：由11223x x-+=，两边平方，得x ＋x －1＝7，再平方得x 2＋x －2＝47，∴x 2＋x －2－2＝45.由11223x x -+=，两边立方得311322223327x x xx--+++=，∴332218x x -+=. ∴3322315x x-+-=.∴3322223123x x x x --+-=+-.20．解：∵a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，64.a b ab +=⎧⎨=⎩，∵a ＞b ＞0，∴0a ba b ->+. ∵22624211052624a b a b ab a b a b ab ⎛⎫-+--==== ⎪ ⎪++++⎝⎭， ∴1555a b a b-==+.。
2017-2018学年高中数学必修一(北师大版)指数概念的扩充、指数运算的性质课时作业Word版含答案
(1)m2· (m>0)；
(2) (m>0)；
(3) (a>0，b>0)；
(4) (x>0，y>0)．
(4)方法一：从外向里化为分数指数幂．
方法二：从里向外化为分数指数幂．
10．化简求值：
|
11．化简 · 的结果是()
A. B．－
C. D．－
【解析】由题意可知a≤0，则 · ＝(－a) ·a ＝－(－a) ·(－a) ＝－(－a) ＝－ ＝－ .
求 － 的值；
(2)已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a>b>0，
求 的值．
【解析】(1) － ＝ － ＝ .
当x＝ ，y＝ 时，
原式＝ ＝
＝－24 ＝－8 .
(2)因为a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，
所以
因为a>b>0，所以 > ，
2＝
＝ ＝ ，
所以 ＝ ＝ .
【解析】(1)将a ＋a ＝ 两边平方，
得a＋a－1＋2＝5，
则a＋a－1＝3.
(2)由a＋a－1＝3两边平方，
得a2＋a－2＋2＝9，
则a2＋a－2＝7.
(3)设y＝a2－a－2，两边平方，
得y2＝a4＋a－4－2
＝(a2＋a－2)2－4
＝72－4
＝45，
所以y＝±3 ，
即a2－a－2＝±3 .
14．(1)已知x＝ ，y＝ ，
【答案】B
12．若 ＋ ＝0，则(x2017)y＝________.
【解析】因为 ＋ ＝0，
所以 ＋ ＝|x＋1|＋|y＋3|＝0，
所以x＝－1，y＝－3.
北师大版高一数学必修一《指数扩充及其运算性质》评课稿
北师大版高一数学必修一《指数扩充及其运算性质》评课稿一、背景介绍在高中数学必修一课程中，指数运算是一个非常重要的知识点。
本篇评课稿的主题是《指数扩充及其运算性质》，对于这一知识点的学习和理解，对学生的数学思维能力和解题能力的提升具有重要的意义。
北师大版的高一数学必修一教材中给出了一套系统的教学内容和教学方法，我将从几个方面对此进行评价。
二、教学内容分析1. 知识点概述在本节课中，学生将学习指数运算的基础知识和运算规则。
具体来说，教材对指数的定义、指数的性质、指数的运算规则等内容进行了详细的讲解。
通过学习这些基础知识，学生可以理解指数运算的本质，掌握指数运算的方法和技巧。
2. 学习目标•理解指数的定义和性质。
•掌握指数运算的基本规则。
•能够运用指数运算解决实际问题。
3. 教学重点•指数的定义和性质。
•指数运算的基本规则。
4. 教学难点•指数运算的运算规则的理解和运用。
三、教学过程分析1. 教学准备在进行这节课的教学之前，教师需要准备一些教学资源，例如教学课件、习题等。
同时，教师还要研究教学内容，对相关的知识点和难点进行分析和总结，以便于在教学过程中更好地引导学生。
2. 教学引入在教学开始时，教师可以通过提问、示范等方式引入本节课的内容。
例如，可以提问：“你们知道指数是什么吗？它有什么性质？”。
通过此种方式，可以调动学生的思维，激发学习兴趣。
3. 知识点讲解在引入之后，教师需要全面而清晰地讲解指数的定义和性质。
教师可以通过举例、比较等方式帮助学生理解和记忆。
同时，教师还可以引导学生发现指数运算的规律和特点。
4. 练习与巩固在知识点讲解之后，教师要引导学生进行练习和巩固。
这可以通过课堂练习、小组合作等形式实现。
教师可以设计一些简单到复杂的练习题，让学生运用所学知识解决问题。
5. 引导学生思考在练习之后，教师可以引导学生思考一些问题，让学生通过思考和讨论，加深对指数运算的理解。
例如，可以提问：“指数运算与其他运算有什么异同？”“指数运算的规律和性质有什么应用价值？”等。
高中数学 第三章 指数扩充及其运算性质讲解与例题 北师大版必修1
2 指数扩充及其运算性质1．指数概念的扩充 (1)整数指数幂①正整数指数幂：一个数a 的n 次幂等于n 个a 的连乘积， nn a a a a =⋅⋅⋅L 14243个(n ∈N ＋)，a 叫作幂的底数，n 叫作幂的指数，a n读作“a 的n 次幂”．②零指数幂：任何一个不为零的数的0次幂都等于1，即a 0＝1(a ≠0)．③负整数指数幂：一个数的负整数次幂等于这个数的正整数次幂的倒数，即a －n＝1na (a ≠0，n ∈N ＋)．(2)分数指数幂给定正实数a ，对于任意给定的整数m ，n (m ，n 互素)，存在唯一的正实数b ，使得bn＝a m，我们把b 叫作a 的mn次幂，记作=mn b a .它就是分数指数幂．对分数指数幂概念的两点说明： ①分数指数幂m na 不是m n个相同因式a 相乘，它实质上是关于b 的方程b n ＝a m的解． ②为什么分数指数幂的定义中规定b ＞0?剖析：由整数指数幂的规定知，当a ＞0时，对任意整数m ，总有a m＞0.若b ＝0，当n为正整数时，b n ＝0，此时b n ≠a m ；当n 为负整数或零时，b n 无意义，b n ＝a m无意义．若b ＜0，当n 为奇数时，b n＜0，此时b n≠a m；当n 为偶数时，虽然b n＝a m成立，但此时，0＞b ≠m na ＞0.因此规定b ＞0.谈重点 分数指数幂与根式的互化 有时我们把正数的正分数指数幂写成根式形式，即m n m na a =a ＞0，m ，n ∈N ＋，且n＞1)．正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，即1m nm nmna aa-==(a ＞0，m ，n ∈N ＋，且n ＞1)．在这样的规定下，分数指数幂可以看作是根式的一种新的写法，它们表示的意义相同，只是形式上不同而已．另外，我们规定：0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．(3)无理数指数幂当a ＞0，p 是一个无理数时，a p的值就可用两个指数为p 的不足近似值和过剩近似值构成的有理数幂序列无限逼近而得到(这个逼近结果的极限就等于a p )，故a p是一个确定的实数．(4)实数指数幂：规定了分数指数幂的概念后，指数概念就实现了由整数指数幂向有理数指数幂的扩充；规定了无理数指数幂后，指数概念就由有理数指数幂扩充到了实数指数幂．自然地，对于任意的实数α，有1α＝1和a－α＝1aα(a ＞0)． 【例1－1】把下列各式中的b 写成分数指数幂的形式(b ＞0)：(1)b 3＝4；(2)b －2＝5；(3)b m ＝32n(m ，n ∈N ＋)．分析：根据分数指数幂的概念可知，若b n＝a m(a ＞0，b ＞0，m ∈Z ，n ∈Z )，则b ＝m na . 解：(1)b ＝134；(2)b ＝125-；(3)23n mb =. 【例1－2】用分数指数幂表示下列各式： 32x 3a；34()a b -322m n +. 分析：用分数指数幂表示根式时，要紧扣分数指数幂的根式形式m n m naa =a ＞0，m ，n ∈N ＋且n ＞1)．在m na 中指数的分母n 是开方次数，分子m 是被开方数的乘方次数．解：2323x x =；131331a aa -==； 3344()()a b a b -=-；1322223()m n m n +=+. 【例1－3】求下列各式的值：(1)2364；(2)1481-；(3)13125-；(4)238.分析：求m na 的值，可紧扣分数指数幂的概念，即满足b n ＝a m时，m na ＝b (m ，n ∈Z ，a ＞0，b ＞0)；也可将分数指数幂写成根式的形式再求值．解：(方法1)(1)设2364＝x ，则x 3＝642＝4 096，又∵163＝4 096，∴x ＝16，即2364＝16；(2)设1481x -=，则x 4＝81－1＝181， 又∵411381⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴13x =，即141813-=；(3)设13125x -=，则x 3＝125－1＝1125，又∵3115125⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴15x =，即1311255-=；(4)设238x =，则x 3＝82＝64，又∵43＝64，∴x ＝4，即2384=.(方法2)(1)232336464409616===；(2)141441118138181-===； (3)131331111255125125-===； (4)2323388644===. 2．指数运算的性质(1)正整数指数幂的运算性质 ①a m ·a n ＝a m ＋n；②(a m )n ＝a mn；③(ab )n ＝a n b n；④当a ≠0时，有am an ＝⎩⎪⎨⎪⎧a m －n，当m >n 时，1，当m ＝n 时，a －n －m ，当m <n 时；⑤⎝ ⎛⎭⎪⎫a b n ＝anbn (b ≠0)． 其中m ，n ∈N ＋.(2)实数指数幂的运算性质当a ＞0，b ＞0时，对任意实数m ，n 都满足以下三条： ①a m ·a n ＝a m ＋n(两个同底数的幂相乘，底数不变，指数相加)；②(a m )n ＝a mn(幂的乘方，底数不变，指数相乘)；③(ab )n ＝a n b n(两个实数积的幂等于它们幂的积)． 破疑点 指数运算性质的理解1．在实数范围内，性质⎝ ⎛⎭⎪⎫a b n ＝a nbn 可归入性质(ab )n ＝a n b n(其中a ＞0，b ＞0)．这是因为⎝ ⎛⎭⎪⎫a b n ＝(ab －1)n ＝a n ·(b －1)n ＝a n b －n ＝a n b n 可由性质(ab )n ＝a n b n推出．2．在实数范围内，性质am an ＝⎩⎪⎨⎪⎧a m －n，当m >n 时，1，当m ＝n 时，a －n －m ，当m <n 时，可归入性质a m ·a n ＝am ＋n(其中a＞0)．这是因为，当m ＞n 时，a m an ＝a m ·a －n ＝a m ＋(－n )＝a m －n；当m ＝n 时，a m an ＝a m ·a －n ＝a m ＋(－n )＝a m －n ＝a 0＝1；当m ＜n 时，a m a n ＝a m ·a －n ＝a m ＋(－n )＝a m －n ＝a －(n －m )＝1an －m 都可由性质a m ·a n ＝a m ＋n推出．(3)在实数指数幂的运算性质中为何规定a ＞0，b ＞0剖析：这是由分数指数幂的定义决定的，因为我们规定a ＞0时m na ＝na m表示一个根式，负数的分数指数幂的意义并没有定义，指数幂的运算性质不作这样的限制的话，就会出现运算上的错误．例如：－2＝3－8＝1226636(8)(8)(8)642-=-=-==，显然这是错误的．【例2－1】用分数指数幂的形式表示下列各式(式中a ＞0)．(1)2a a ⋅；(2)332a a ⋅；(3)a a .分析：先利用分数指数幂与根式的互化关系将根式化为分数指数幂的形式，再根据指数运算的性质化简．解：(1)115222222a a a a a a +⋅=⋅==；(2)221133323333a a a a aa +⋅=⋅==；(3)1131322224()()a a a a a a =⋅==. 析规律 m nmnaa =的应用此类问题应熟练应用m nmna a =(a ＞0，m ，n ∈N ＋，且n ＞1)．当各式中含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再利用指数运算的性质化简．【例2－2】设a ＞0，将232a a⋅表示成分数指数幂，其结果是( )．A ．12a B ．56a C ．76a D ．32a 5722222266551253236233()a a aa a a a aa aa-======⋅⋅.答案：C【例2－3】求下列各式的值． (1)6323 1.512 (2)10221.531222(0.01)54--⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；243819⨯； (4)3425125)5.解：(1)111326362323 1.51223(32)2⎛⎫=⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭＝1111133632233232-⨯⨯⨯⨯⨯＝1111113323623-+++⨯＝2×3＝6；(2)10221.531222(0.01)54--⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝1322191144100-⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＝3123221411211149104310⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯-=+⨯-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦＝116994349716100060003000+-==；242444443338193333⨯=⨯=⨯214147144463336433(3)333+====(4)323344(25125)5(55)5=＝22313113324244(55)55555----⨯=⨯-⨯＝213155551243424124555555---=-=.析规律 含根式的式子如何化简 对于含有根式的式子化简问题，常把根式化成分数指数幂的形式；熟练掌握指数的运算性质并灵活应用．3．利用指数运算性质化简或求值的方法(1)在进行指数幂和根式的混合运算时，一般要先将根式化为分数指数幂，然后根据指数幂的运算性质进行运算．当化简式含有多重根号时，要遵循由内向外的原则，逐层脱去根号． (2)进行指数运算时，一般化负指数为正指数幂，化根式为分数指数幂，化小数为分数． 几个幂相乘时，要特别注意几个幂底数的关系，能统一底数的要统一底数，再利用指数运算性质化简．(3)运算结果不强求一致，若题目给出的是分数指数幂的形式，结果一般也用分数指数幂形式；若题目给出的是根式形式，结果一般也用根式形式；若题目给出的是指数与根式的混合形式，最后结果一般保留分数指数幂的形式．值得注意的是，结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含负指数幂，能合并同类项的必须合并．【例3】化简或求值．(1)1 1.521234491(0.000 1)(27)649---⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；(2)(0.25)－0.5＋13127-⎛⎫⎪⎝⎭－6250.25； (3)20.5320710372(0.1)23π92748--⎛⎫⎛⎫++-+⎪⎪⎝⎭⎝⎭； (4)8615543552()(0,0)a b a b a b --⋅≠≠；933337132a a a a ⋅a ＞0)；(6)2213223428-+-⋅⋅.解：(1)原式＝13222122433471(0.1)(3)83---⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦＝1312718314(0.1)3=109278377---⎛⎫⎛⎫+-++-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)原式＝11124324(0.5)(33)(5)--+--＝2＋3－5＝0；(3)原式＝1212223232312251643754373(10)391027483348-----⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+=++-+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦＝5937100310031648++-+=； (4)原式＝86434343115555555522()()a b a b ab a b -----⋅⋅÷=⋅⋅⋅＝44335555a b-+-＝a 0b 0＝1； (5)原式＝1713931333222()()a a a a ⋅÷⋅＝7131031266322()()a a a a a a⋅÷⋅=÷＝104322332a aaa--==； (6)原式＝222132233(2)2(2)-+-⋅⋅＝2223222222+--⋅⋅＝22232232228++--==.4．给值求值问题已知代数式的值求其他代数式的值，通常又简称为“知值求值”，解决此类题目要从整体上把握已知的代数式和所求的代数式的特点与联系，然后采取“整体．．代换．．”或“求值后代换”两种方法求值．要注意正确地变形，像平方、立方等一些公式的应用问题，还要注意开方时的取值符号问题．例如，已知11223a a-+=，求下列各式的值：(1)a ＋a －1；(2)a 2＋a －2；(3)33221122a a a a----.显然，从已知条件中解出a 的值，然后再代入求值，这种方法是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件11223a a -+=的联系，进而整体代入求值．将11223a a -+=两边平方，得a ＋a －1＋2＝9，即a ＋a －1＝7.再将上式平方，有a 2＋a －2＋2＝49，即a 2＋a －2＝47.由于3311332222()()a a a a---=-，所以有331111122222211112222()()a a a a a a a aa a a a-------++⋅=--＝a＋a－1＋1＝8.【例4－1】已知2x＋2－x＝5，求(1)4x＋4－x；(2)8x＋8－x.解：(1)4x＋4－x＝(22)x＋(22)－x＝(2x)2＋(2－x)2＝(2x)2＋2×2x×2－x＋(2－x)2－2＝(2x＋2－x)2－2＝52－2＝23.(2)8x＋8－x＝(23)x＋(23)－x＝(2x)3＋(2－x)3＝(2x＋2－x)[(2x)2－2x×2－x＋(2－x)2]＝(2x＋2－x)(4x＋4－x－1)＝5×(23－1)＝110.析规律平方法在求值中的应用遇到式子中含有指数互为相反数的数，通常用平方法进行解决，平方后观察条件和结论的关系，变形求解即可．本题中用到了两个公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)．【例4－2】已知x＋y＝12，xy＝9，且x＜y，求11221122x yx y-+的值．分析：观察已知代数式和所求代数式的特点可知，212x x⎛⎫=⎪⎝⎭，212y y⎛⎫=⎪⎝⎭.于是联想到用完全平方公式，把公式11221122x yx y-+的分子、分母同乘以分母的有理化因式后，分式的分子就变成了用x＋y，xy表示的代数式．解：∵x＋y＝12，xy＝9，∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108.又∵x＜y，∴x－y＝-∴111122222111111222222()()()x y x yx y x y x y--=++-＝1122()2()93x y xyx y+-==--.。
2018版高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.2 指数扩充及其运算性质学业分层测评 北师大版必
3.2 指数扩充及其运算性质(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题【答案】 B2. 下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是( )【答案】 C3. 如果x ＝1＋2b，y ＝1＋2－b，那么用x 表示y 为( ) A.x ＋1x －1 B.x ＋1x C.x －1x ＋1D.x x －1【解析】 由x ＝1＋2b ，得2b ＝x －1，由y ＝1＋2－b＝1＋12b ，得y ＝1＋1x －1＝x x －1.【答案】 D2【答案】 A 5. 化简－1a的结果是( )A.1a－aB ．－1a－aC ．a －aD ．－a －a【解析】 由式子可知a <0，原式＝－a a 2＝1|a |－a ＝－1a－a . 【答案】 B 二、填空题6. 将3a ·a用分数指数幂表示为________． 【解析】【答案】 21a7. 212-＋－02＋12－1－－5·328-＝________.【解析】 原式＝12＋12＋2＋1－22＝22－3.【答案】 22－38. 如果a ＝3，b ＝384，那么＝________.3三、解答题【解】 (1)原式＝10. 已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a >b >0，求a －ba ＋b的值. 【导学号：04100044】【解】 ∵a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，ab ＝4.∵a >b >0，∴a >b >0，∴a －ba ＋b>0. ∵⎝⎛⎭⎪⎫a －b a ＋b 2＝a ＋b －2ab a ＋b ＋2ab ＝6－246＋24＝210＝15，4∴a －ba ＋b＝15＝55. [能力提升]1. 设a >0，将a 2a ·3a 2表示成分数指数幂的形式，其结果是( )A ．21a B ．65aC ．67aD ．23a【答案】 C2. 3a ·6－a 等于( ) A ．－－a B ．－aC.－aD.a【答案】 A【答案】64334. (1)已知2x＋2－x＝3，求8x ＋8－x的值；【解】(1)8x＋8－x＝(2x)3＋(2－x)3＝(2x＋2－x)[(2x)2－2x·2－x＋(2－x)2]＝3[(2x＋2－x)2－3·2x·2－x]＝3×(32－3)＝18.(2)∵a≠0，a－27b≠0，5。
【新课标-精品卷】2018年最新北师大版高中数学必修一《指数运算的性质》基础强化训练及解析
2017-2018学年（新课标）北师大版高中数学必修一双基限时练(十六) 指数运算的性质基 础 强 化1．已知a >0，b >0，m ，n ∈R ，以下运算正确的是( ) A. a m ·a n ＝a mn B. (a m )n ＝a m ＋nC. a m b n ＝(ab )m ＋nD. ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a m ＝b m a m答案 D 2．化简－a ·3a 的结果是( )A. 5－a 2B. －6－a 5C.6－a 5D. －6a 5解析 由题意得a ≤0，故原式＝(－a )12·a 13＝－(－a )12(－a )13＝－(－a )56＝－6－a 5.答案 B3．下列各式运算错误的是( ) A. (－a 2b )2·(－ab 2)3＝－a 7b 8 B. (－a 2b 3)3÷(－ab 2)3＝a 3b 3 C. (－a 3)2·(－b 2)3＝a 6b 6 D. [(a 3)2·(－b 2)3]3＝－a 18b 18 答案 C4．下列结论中正确的个数是( )①当a <0时，(a 2)32＝a 3； ②na n ＝|a |；③函数y ＝(x －2)12－(3x －7)0的定义域是[2，＋∞)；④622＝32.A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个解析 对于①，∵a <0，∴a 3<0，而(a 2)32>0，故①不对；对于②，当n 为奇数时显然不对；对于③函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，3x －7≠0，即⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫73，＋∞，故③也不对；对于④显然正确，故答案为B.答案 B5．设2x ＝8y ＋1,9y ＝3x －9，则x ＋y 的值为( ) A. 18 B. 21 C. 24 D. 27答案 D6．已知a －1a＝3(a >0)，则a 2＋a ＋a －2＋a －1的值等于( )A ．13－11B ．11－13C ．13＋11D ．11＋13解析 由a －1a＝3，得⎝⎛⎭⎪⎫a －1a 2＝9，因此a 2＋1a2－2＝9，故a 2＋a －2＝11. 又(a ＋a －1)2＝a 2＋a －2＋2＝11＋2＝13，且a >0，所以a ＋a －1＝13.于是a 2＋a ＋a －2＋a －1＝11＋13.答案 D7．化简a 3a －4－b 5b的结果是________．解析a 3a －4－b 5b ＝a 3a 2＋4－b 5b 4＝a ＋4－b . 答案a ＋4－b能 力 提 升8．设α，β是方程5x 2＋10x ＋1＝0的两根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________.解析 ∵α，β是方程的两根，故α＋β＝－105＝－2，αβ＝15，故2α·2β＝2α＋β＝2－2＝14.(2α)β＝2αβ＝215 .答案 14 2159．解析答案 26310．计算下列各式：考 题 速 递13．已知m －x ＝5＋2，则m 2x －1＋m－2x m －3x ＋m 3x 的值为________．解析 ∵m －x ＝5＋2，∴m 2x －1＋m－2x m －3x ＋m 3x＝(m x )2－m x m －x ＋(m －x )2(m x ＋m －x )[(m x )2－m x m －x ＋(m －x )2] ＝1m x ＋m －x＝115＋2＋5＋2＝510. 答案 510。
【精品推荐】高中数学北师大版必修一课后训练3.2指数扩充及其运算性质 Word版含答案
课后训练基础巩固1．122写成根式形式是( )． ABC D2．若b 3n ＝5m (m ，n ∈N ＋)，则b ＝( )． A ．35n m - B ．35m n-C ．35n mD ．35n m3化为分数指数幂，其形式是( )． A ．122 B ．122- C ．122- D ．122--4．计算122[(]-的值为()． AB ．C ．2 D ．2- 5．若a ＞0，且m ，n 为整数，则下列各式中正确的是( )．A ．a m÷a n＝mna B ．a m ·a n ＝a m ·nC ．(a m )n ＝a m ＋nD ．1÷a n ＝a 0－n6．在112-⎛⎫- ⎪⎝⎭,122-，1212-⎛⎫⎪⎝⎭，2－1中，最大的数是( )． A ．112-⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．122-C ．1212-⎛⎫⎪⎝⎭D ．2－17若102x ＝25，则10－x ＝( )．A ．15 B ．15-C ．150D ．16258．⨯( )． A ．103 B．C ．310 D．9．下列根式，分数指数幂互化中正确的是( )． A ．12()x =-(x ＞0) B13y =(y ＜0) C ．34x-=x ＞0) D ．13x -=x ＞0)10．计算233(2)a b --·(－3a －1b )÷543(4)a b --得( )．A ．232b -B ．232bC ．7332b - D ．7332b能力提升11．已知13a a+=，则1122a a -+＝( )．A ．2 BC． D．12．若256(26)1x x x -+-=，则下列结果正确的是( )． A ．x ＝2 B ．x ＝3C ．x ＝2或x ＝3D ．非上述答案13．如果x ＝1＋2b ，y ＝1＋2－b ，那么y ＝( )．A ．11x x +- B ．1x x - C ．11x x +- D ．1x x -14________.15．已知2－2＝2，则8x 的值为________． 16．若5x 2·5x ＝25y ，则y 的最小值是________．17．设函数f 1(x )＝12x ，f 2(x )＝x －1，f 3(x )＝x 2，则f 1(f 2(f 3(2 012)))＝__________. 18．设α，β是方程5x 2＋10x ＋1＝0的两个根，则2α·2β＝__________，(2α)β＝__________.19．若11223x x-+=，求33222232x x x x --+-+-的值．(注：(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3) 20．已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a ＞b ＞0的值．参考答案1．A 点拨：由m na=a ＞0，m ，n ∈N ＋，且n ＞1)知，122=2．B 点拨：若b n＝a m(m ，n ∈N ＋，a ＞0，b ＞0)，则m nb a =. 3．B13(=-＝1113133222(22)(2)2-⨯=-=-. 4．C点拨：11222121[(]22--====5．D 点拨：由整数幂的运算性质可知，a m ÷a n ＝a m ·a －n ＝a m －n ，a m ·a n ＝a m ＋n ，(a m )n ＝a mn,1÷a n ＝a 0÷a n ＝a 0·a －n ＝a －n .6．C 点拨：∵1112122-⎛⎫-==- ⎪⎝⎭-，1212122-===11121221(2)22---⎛⎫=== ⎪⎝⎭1122-=，又∵1222-<<<，∴111212112222----⎛⎫⎛⎫-<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 7．A 点拨：∵102x ＝25，∴(10x )2＝25. ∴10x ＝5.∴1110105xx-==. 8．B 点拨：由实数指数幂的运算性质(ab )n ＝a n b n知，(2=⨯=9．C 点拨：选项A中，1122()x x =-≠-；在选项B 中，当y ＜0，而130y =<13y ≠；选项C 中，当x ＞033341441()x x x --⎛⎫=== ⎪⎝⎭；选项D中，1133x x-=-≠.10．A 点拨：原式＝25131423323342a b b -++--+⨯-=-. 11．B 点拨：∵a 和1a 的符号相同，1a a+＝3＞0，∴a ＞0.∴11220a a -+>.又112221()2a a a a+-=++＝3＋2＝5，∴1122a a -+=12．D 点拨：∵a 0＝1(a ≠0)，∴若2260560,x x x -≠⎧⎨-+=⎩，，则x ＝2；又∵1α＝1(α∈R )，∴若2x －6＝1，则7.2x =综上可知，x ＝2或7.2x =13．D 点拨：由x ＝1＋2b ，得2b ＝x －1，∴2－b ＝11x -. ∴y ＝1＋2－b ＝1111x x x +=--. 14．78a==771842()a a ====.15．点拨：令t ＝2x (t ＞0)，由2x －2－x ＝2，得12t t-=，即t 2－2t －1＝0.解得1t =或1t = (舍去)．∴8x ＝(23)x ＝(2x )3＝t 3＝3(17=+16．18-点拨：由5x 2·5x ＝25y ，得2255x xy +=，∴x 2＋x ＝2y ，即221111122228y x x x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，∴当12x =-时，y 取得最小值，最小值是18-.17．12012 点拨：f 1(f 2(f 3(2 012)))＝f 1(f 2(2 0122))＝f 1((2 0122)－1)＝[(2 0122)－1]12＝2 012－1＝12012. 18．14 152 点拨：∵α，β是方程5x 2＋10x ＋1＝0的两个根，∴α＋β＝－2，αβ＝15.∴2α·2β＝2α＋β＝2－2＝14，(2α)β＝2αβ＝152.19．解：由11223x x-+=，两边平方，得x ＋x －1＝7，再平方得x 2＋x －2＝47，∴x 2＋x －2－2＝45.由11223x x -+=，两边立方得311322223327x x xx--+++=，∴332218x x -+=. ∴3322315x x-+-=.∴3322223123x x x x --+-=+-.20．解：∵a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，64.a b ab +=⎧⎨=⎩，∵a ＞b ＞00>.∵221105====，5==。
新课标最新北师大版2018-2019学年高中数学必修一《指数函数及其性质》习题课及解析
北师大版高中数学必修一习题课课时目标 1.提高学生对指数与指数幂的运算能力.2.进一步加深对指数函数及其性质的理解.3.提高对指数函数及其性质的应用能力．1．下列函数中，指数函数的个数是( )①y ＝2·3x ；②y ＝3x ＋1；③y ＝3x ；④y ＝x 3. A ．0 B ．1 C ．2 D ．32．设f(x)为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)＝2x＋2x ＋b(b 为常数)，则f(－1)等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．33．对于每一个实数x ，f(x)是y ＝2x与y ＝－x ＋1这两个函数中的较小者，则f(x)的最大值是( ) A ．1 B ．0C ．－1D ．无最大值4．将22化成指数式为________．5．已知a ＝40.2，b ＝80.1，c ＝(12)－0.5，则a ，b ，c 的大小顺序为________．6．已知12x ＋12x -＝3，求x ＋1x的值．一、选择题 1．()1222-⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值为( ) A.2B ．－2C.22D ．－222．化简3(a －b )3＋(a －2b )2的结果是( ) A ．3b －2aB ．2a －3b C ．b 或2a －3b D ．b3．若0<x<1，则2x ，(12)x ，(0.2)x之间的大小关系是( )A ．2x <(0.2)x <(12)xB ．2x <(12)x <(0.2)xC ．(12)x <(0.2)x <2xD ．(0.2)x<(12)x <2x4．若函数则f(－3)的值为( )A.18B.12 C ．2 D ．85．函数f(x)＝a x －b的图像如图所示，其中a ，b 均为常数，则下列结论正确的是( ) A ．a>1，b>0 B ．a>1，b<0 C ．0<a<1，b>0 D ．0<a<1，b<06．函数f(x)＝4x＋12x 的图像( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题 7．计算：130.064-－(－14)0＋160.75＋120.01＝________________.8．已知10m＝4,10n＝9，则3210m n -＝________.9．函数y ＝1－3x(x ∈[－1,2])的值域是________． 三、解答题10．比较下列各组中两个数的大小：(1)0.63.5和0.63.7；(2)(2)－1.2和(2)－1.4； (3)1332⎛⎫ ⎪⎝⎭和2332⎛⎫ ⎪⎝⎭；(4)π－2和(13)－1.3.11．函数f(x)＝a x(a>0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a 2，求a 的值．能力提升12．已知f(x)＝a a 2－1(a x －a －x)(a>0且a ≠1)，讨论f(x)的单调性．13．根据函数y ＝|2x －1|的图像，判断当实数m 为何值时，方程|2x－1|＝m 无解？有一解？有两解？习题课双基演练1．B [只有③中y ＝3x是指数函数．]2．A [因f(x)为定义在R 上的奇函数，所以f(0)＝0， 即1＋b ＝0，b ＝－1.所以f(－1)＝－f(1)＝－(2＋2－1)＝－3.]3．A [当x ≤0时，f(x)＝2x； 当x>0时，f(x)＝－x ＋1. 显然，其最大值是1.] 4．342 解析22＝122×11222⎛⎫ ⎪⎝⎭＝122×142＝342.5．b<a<c解析 a ＝20.4，b ＝20.3，c ＝20.5.又指数函数y ＝2x在R 上是增函数， ∴b<a<c. 6．解 由12x ＋12x -＝3得(12x ＋12x-)2＝9，即x ＋21122x-＋x －1＝9，则x ＋x －1＝7，即x ＋1x＝7.作业设计 1．C [原式＝122-＝12＝22.] 2．C [原式＝(a －b)＋|a －2b|＝⎩⎪⎨⎪⎧b ， a ≤2b ，2a －3b ， a>2b.]3．D [当0<x<1时，2x>1，(12)x <1，对于(12)x ，(0.2)x不妨令x ＝12，则有0.5>0.2.]4．A [f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)＝f(1＋2)＝f(3)＝2－3＝18.]5．D [f(x)＝a x －b 的图像是由y ＝a x的图像左右平移|b|个单位得到的，由图像可知f(x)在R 上是递减函数，所以0<a<1，由y ＝a x 过点(0,1)得知y ＝a x的图像向左平移|b|个单位得f(x)的图像，所以b<0.]6．D [∵f(－x)＝4－x ＋12－x ＝1＋4x 2x ＝f(x)，∴f(x)是偶函数，图像关于y 轴对称．] 7.485 解析 原式＝()1330.4-－1＋()3442＋()1220.1＝0.4－1－1＋23＋0.1＝52－1＋8＋110＝485.8.83 解析 因为10m＝4,10n＝9，所以3210m n -＝103m －n＝103m ÷10n ＝43÷9＝83.9．[－8，23]解析 因为y ＝3x 是R 上的单调增函数，所以当x ∈[－1,2]时，3x ∈[3－1,32]，即－3x∈[－9，－13]，所以y ＝1－3x∈[－8，23]．10．解 (1)考察函数y ＝0.6x .因为0<0.6<1，所以函数y ＝0.6x在实数集R 上是单调减函数．又因为3.5<3.7，所以0.63.5>0.63.7.(2)考察函数y ＝(2)x.因为2>1，所以函数y ＝(2)x在实数集R 上是单调增函数． 又因为－1.2>－1.4，所以(2)－1.2>(2)－1.4.(3)考察函数y ＝(32)x .因为32>1，所以函数y ＝(32)x 在实数集R 上是单调增函数．又因为13<23，所以1332⎛⎫⎪⎝⎭<2332⎛⎫ ⎪⎝⎭. (4)∵π－2＝(1π)2<1，(13)－1.3＝31.3>1，∴π－2<(13)－1.3.11．解 (1)若a>1，则f(x)在[1,2]上递增，∴a 2－a ＝a 2，即a ＝32或a ＝0(舍去)．(2)若0<a<1，则f(x)在[1,2]上递减，∴a －a 2＝a 2，即a ＝12或a ＝0(舍去)．综上所述，所求a 的值为12或32.12．解 ∵f(x)＝a a 2－1(a x－1ax )，∴函数定义域为R ，设x 1，x 2∈(－∞，＋∞)且x 1<x 2，f(x 1)－f(x 2)＝a a 2－1(1x a －11x a －2xa ＋21x a )＝a a 2－1(1x a －2xa ＋21x a －11x a )＝a a 2－1(1x a －2x a ＋1212x x x x a a a a ) ＝a a 2－1(1x a －2xa )(1＋121x x a a ) ∵1＋121x x a a>0，∴当a>1时，1x a <2x a ，a a 2－1>0， ∴f(x 1)－f(x 2)<0，f(x 1)<f(x 2)，f(x)为增函数，当0<a<1时，1x a >2xa ，a a 2－1<0，∴f(x 1)－f(x 2)<0，f(x 1)<f(x 2)，∴f(x)为增函数． 综上，f(x)在R 上为增函数． 13.解 函数y ＝|2x －1|的图像可由指数函数y ＝2x的图像先向下平移一个单位长度，然后再作x 轴下方的部分关于x 轴的对称图形，如图所示．函数y ＝m 的图像是与x 轴平行的直线，观察两图像的关系可知：当m<0时，两函数图像没有公共点，此时方程|2x－1|＝m 无解；当m ＝0或m ≥1时，两函数图像只有一个公共点，此时方程|2x－1|＝m 有一解；当0<m<1时，两函数图像有两个公共点，此时方程|2x－1|＝m 有两解．。
2017-2018学年高中数学北师大版必修一教师用书 2018版
§2 指数扩充及其运算性质 2．1 指数概念的扩充2．2 指数运算的性质1. 理解分数指数幂的概念，会进行分数指数幂与根式的互化．(重点)2. 了解无理数指数幂的概念，了解无理数指数幂可以用实数指数幂逼近的思想方法．(易混点)3. 掌握指数的运算性质，能熟练地进行指数的运算．(重难点)教材整理 1 分数指数幂阅读教材P 64～P 66的有关内容，完成下列问题． 1. 定义给定正实数a ，对于任意给定的正整数m ，n (m ，n 互素)，存在唯一的正实数b ，使得b n ＝a m ，把b 叫作a 的mn次幂，记作b ＝nm a，它就是分数指数幂．2. 几个结论(1)正分数指数幂的根式形式：nm a＝na m(a >0)．(2)负分数指数幂的意义：nm a＝nma1(a >0，m ，n ∈N ＋，且n >1)． (3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)322表示23个2相乘．( )(2)nm a＝ma n(a >0，m ，n ∈N ＋，且n >1)．( ) (3) nma-＝1na m(a >0，m ，n ∈N ＋，且n >1)．( )【答案】 (1)× (2)× (3)√ 教材整理 2 指数运算的性质阅读教材P 66～P 67的有关内容，完成下列问题． 若a >0，b >0，对任意实数m ，n 指数运算有以下性质： (1)a m·a n＝am ＋n；(2)(a m )n ＝n m a -；(3)(ab )n ＝a n b n；(4)当a ≠0时，有am an ＝⎩⎪⎨⎪⎧a m －nm >n ，1m ＝n ，a －n －m m <n ；(5)⎝ ⎛⎭⎪⎫a b n ＝anbn (b ≠0)．1064.0-＋160.75＋125.0-＝________.【解析】 原式＝31-[(0.4)3]＋43[(24)]＋21[(0.5)2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25－1＋23＋12＝52＋8＋12＝11. 【答案】 11(1)3a ·4a ；(2)a a a ；(3)3a 2·a 3；(4)(3a )2·ab 3.【精彩点拨】 利用根式与分数指数幂的转化式子：nm a＝na m和nm a＝nm a1＝1na m进行转化，注意其中字母a 要使式子有意义．【尝试解答】 (1)原式＝1a·41a＝127a；(2)原式＝21a·41a·81a＝87a；(3)原式＝32a·23a＝613a；(4)原式＝(1a)2·1a ·23b＝7a3b.根式与分数指数幂互化的关键与技巧：关键：解决根式与分数指数幂的相互转化问题的关键在于灵活应用a >0，m ，n ∈N＋，且n 技巧：当表达式中的根号较多时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂的形式写出来，然后再利用相关的运算性质进行化简.1. 用分数指数幂表示下列各式． (1)3a ·6－a (a <0)； (2)3ab2ab3(a ，b >0)；(3) 324)32(b (b <0)；(4)13x5x 22(x ≠0)．【解】 (1)原式＝31a·1)(a -＝31)(a --·1)(a -＝21)(a -- (a <0)；(2)原式＝＝(25a·7b)13＝65a 67b(a ，b >0)；(3)原式＝ (b <0)；(4)原式＝.计算下列各式．【精彩点拨】 (1)将负分数指数化为正分数指数，将小数指数化为分数指数； (2)将根式化为分数指数幂．意运算顺序问题.2. 计算或化简．探究 1 已知21a＋21-a＝3，求a ＋a －1的值．【提示】 (21a＋21-a)2＝9，∴a ＋a －1＝7.探究 2 在探究1的条件下，求a 2＋a －2的值． 【提示】 (a ＋a －1)2＝49，∴a 2＋a －2＝47.已知32a ＋b ＝1，求9a×3b3a 的值． 【精彩点拨】 应先化成同底数幂的形式．解决此类问题的思路步骤如下：3. 若x >0，y >0，且x －xy －2y ＝0，求2x －xyy ＋2xy的值.【导学号：04100042】【解】 ∵x －xy －2y ＝0，x >0，y >0， ∴(x )2－xy －2(y )2＝0， ∴(x ＋y )(x －2y )＝0， 由x >0，y >0得x ＋y >0， ∴x －2y ＝0，∴x ＝4y ， ∴2x －xy y ＋2xy ＝8y －2y y ＋4y ＝65.1. 下列各式正确的是( ) A ．(3a )3＝aB ．(47)4＝－7C ．(5a )5＝|a | D.6a 6＝a【解析】 (47)4＝7，(3a )3＝a ，(5a )5＝a ，6a 6＝|a |，故选A. 【答案】 A2. 计算51)2431(的结果等于( )A.19B.13 C ．±13D ．－13【解析】51)2431(＝＝13. 【答案】 B3. (1)3a 5＝________. (2)32-a＝________.【解析】 (1)3a 5＝35a.(2) 2-a＝321a＝13a2. 【答案】 (1)5a(2)13a 24. 3227－2116-－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2－32)278(-＝________.【导学号：04100043】【答案】5 25. 化简：．【解】原式＝。
2018版高中数学北师大版必修一学案：第三章 2 指数扩充及其运算性质
学习目标 1.理解分数指数幂的含义，学会根式与分数指数幂之间的相互转化.2.了解无理数指数幂，理解实数指数幂的运算性质.3.能用实数指数幂运算性质化简、求值．
知识点一 分数指数幂
思考 由a 2＝22(a >0)易得a ＝2＝222，由此你有什么猜想？
梳理 分数指数幂
(1)定义：给定__________a ，对于任意给定的整数m ，n (m ，n 互素)，存在唯一的__________b ，使得____________，我们把b 叫作a 的____________，记作b ＝__________.
(2)意义
知识点二 无理数指数幂
思考 无理数是无限不循环小数，课本中是如何用有理数指数幂来研究无理数指数幂的？
梳理 无理数指数幂
无理数指数幂a α(a >0，α是无理数) 是一个确定的正实数．至此，指数幂a α的指数取值范围扩充为R .
知识点三 实数指数幂的运算性质
思考1 在实数指数幂a x 中，为什么要规定a >0?
梳理 一般地，在研究实数指数幂的运算性质时，约定底数为大于零的实数．
思考2 初中，我们知道a ≠0，m <n 时有a m a n ＝a －(n －m )(其中m ，n 为正整数)．那么，当a >0，m ，n 为任意实数时，上式还成立吗？
梳理 一般地，当a >0，b >0时，有：
(1)a m ·a n ＝a m ＋n ；
(2)(a m )n ＝a mn ；
(3)(ab )n ＝a n b n ，其中m ，n ∈R .
知识点四 实数指数幂的化简
思考 如何化简(a －1b －1b a )23 ？。
北师大版数学高一必修1 第三章2指数扩充及其运算性质
§2 指数扩充及其运算性质知识点一：分数指数幂1．下列各式中错误的是A ．255233 ＝3 B ．1-31()27＝3 C ．123642=(2) D ．231(-)8＝142．在(－12)－1, 1-22，1-21()2，2－1中，最大的数是 A ．(－12)－1 B ．1-22 C ．1-21()2D ．2－13．(－2)4＋(－2)－3＋(－12)－3－(－12)3的值是A.314 B ．8 C ．－24 D ．－84．2－(2k ＋1)－2－(2k －1)＋2－2k 等于A ．2－2kB ．2－(2k －1)C ．－2－(2k ＋1) D ．25．计算：(1) 238；(2) 121(6)4；(3) 3-41()81.知识点二：根式与分数指数幂 6．把根式a a 化成分数指数幂是 A ．32(-a) B ．－32(-a)C ．32-a D ．32a7．下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是 A ．－x ＝12-(x) (x ≠0) B ．1-3x ＝－3xC ．3-4()x y ＝4(y x )3(x ，y ≠0)D.6y 2＝13y (y ＜0)8．当2－x 有意义时，化简x 2－4x ＋4－x 2－6x ＋9的结果为A ．2x －5B ．－2x －1C ．－1D ．5－2x9．当a ，b ∈R 时，下列各式总能成立的是 A ．(6a －6b)6＝a －b B.8(a 2＋b 2)8＝a 2＋b 2 C.4a 4－4b 4＝a －b D.10(a ＋b )10＝a ＋b 10．(易错题)求下列各式的值：(1)(2) 1-3(8a(a ＞0，b ＞0)．知识点三：指数运算的性质11．若a ＝2，b ＝3，c ＝－2，则(a c )b 的值是 A.116 B.136 C.164 D.125612．1-22]的值为A. 2 B ．－ 2 C.22 D ．－2213．如果x ＞y ＞0，那么x y y xy y x x 等于A ．(x －y)y xB ．(x －y)xyC ．(x y )y －xD ．(x y)x －y14．(1)计算：1-30.027－(－17)－2＋34256－3－1＋(2－1)0＝__________.(2)设α、β是方程2x 2＋3x ＋1＝0的两个根，则(14)α＋β＝__________.15．已知11-22a +a ＝4. (1)求a ＋a －1的值；(2)求a 2＋a －2的值．16．(1)解下列方程：①1-3x ＝18；②x ＝149.(2)若10x ＝3,10y ＝4，求1x-y 210的值．能力点一：分数指数幂及运算 17．下列各式成立的是A.3m 2＋n 2＝23(m+n) B ．(ba )2＝1122a bC.6(－3)2＝13(-3) D.34＝13218．下列结论中，正确的个数是①当a ＜0时，322(a )＝a 3 ②na n ＝|a|(n ＞1且n ∈N ＋) ③函数y ＝12(x-2)－(3x －7)0的定义域是(2，＋∞) ④若100a ＝5，10b ＝2，则2a ＋b ＝1A ．0B ．1C ．2D ．3 19.以下各式中错误的是A ．211--5315a aa ＝1(a ＞0)B ．2-2-93(a b )⋅＝a －4·b(a ，b ＞0)C ．122111--333424(-2x y )(3x y )(-4x y )＝24y(x ，y ＞0)20．如果a 3＝3，a 10＝384，则a 3[11073()a a ]n 等于A ．3nB ．2·3nC ．3·2nD ．2n21．已知a ＝12(11-2 010-2 010n n )(n ∈N ＋)，则(a 2＋1＋a)n 的值是A ．(－1)n 2 010B ．(－1)n 2 010－1C ．－2 010－1 D ．2 010 22．计算：(1)(235)0＋2－2×1-21(2)4－(0.01)0.5；(2)(279)0.5＋0.1－2＋2-310(2)27－3π0＋3748.23．已知11-22x +x ＝3，求33222232x x x x --+-+-的值．能力点二：指数的运算性质及应用(化简) 24．化简3(a －b )3＋(a －2b )2的结果是 A ．3b －2a B ．2a －3b C ．b 或2a －3b D ．b 25．下列式子中，错误的是 A ．133(27a )÷0.3a －1＝10a 2B ．2233(a -b )÷11113333(a +b )=a -b C ．[(22＋3)2122]＝－1 D.4a·3a 2a ＝24a 1126．化简(63a 9)4·(36a 9)4的结果是A ．a 16B ．a 8C ．a 4D ．a 2 27．下列各式成立的有③x －2＝(4x －2)(4x ＋2)(x ≥0) ④3x 4－3x 2－6＝(3x 2＋2)(3x 2－3)A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个29．化简下列各式：30．化简(1＋1-322)(1＋1-162)(1＋1-82)(1＋1-42)·(1＋1-22)等于A.12(1－1-322)－1B ．(1－1-322)－1 C ．1－1-322D.12(1－1-322)31．化简下列各式：(3)a＋2a－1＋a－2a－1(a≥1)．答案与解析基础巩固1．A 2.C 3.B 4.C5．解：(1)238＝233(2)＝2332⨯＝22＝4.(2)1112222 1255 (6)=()=[()] 442＝1225()2⨯＝52.(3)3-41()81＝3-44(3)＝33＝27.6．D7．C∵－x＝－12x(x≠0)，∴A错；∵1-3131xx=＝13x，∴B错；∵333--1444 ()=[()]=() x y y y x x-＝4(yx)3(x，y≠0)，∴C对；∵6y2＝1133|y|=-y(y＜0)，∴D 错． 8．C 由2－x 有意义得x ≤2. ∴原式＝(x －2)2－(x －3)2＝|x －2|－|x －3|＝2－x －(3－x)＝－1.故选C.9．B 取a ＝0，b ＝1，A 不成立； 取a ＝0，b ＝－1，C 不成立； 取a ＝－1，b ＝－1，D 不成立， ∵a 2＋b 2≥0， ∴B 正确．(2)原式＝52111--63344(8a ?·)ab a b - ＝52111-1-63344(8a )ab+-+⋅＝551--0633(8a)a b ＝5511---306633(8a a )=(2a )⋅＝2－1＝12.点评：对于根式运算，一般是把根式统一化成分数指数幂的形式，利用分数指数幂的运算性质进行计算，这是根式运算的常用方法．当根式含有多重根号时，要搞清被开方数及根指数，由里向外(如(2)题)或由外及里(如(1)题)用分数指数幂写出，然后再利用性质运算．对计算结果不强求统一用什么形式表示，但结果一定不能同时含有根号和分数指数，也不能既含有分母，又含有负指数，否则会误认为题没解完，化简不彻底或结果不正确而判错．11．C 12.C13．C ∵x y y xy y x x ＝－x y －x y y －x ＝(x y )y －x ，故选C.14．(1)19 (2)8 (1)原式＝13()3(0.3)⨯－72＋344(4)－13＋1＝103－49＋64－13＋1＝19. (2)由一元二次方程根与系数的关系，得α＋β＝－32，∴(14)α＋β＝33---2221()=(2)4＝23＝8. 15．解：(1)∵11-22a +a ＝4，∴两边平方，得a ＋a －1＋2＝42＝16. ∴a ＋a －1＝14.(2)由(1)知，a －1＋a ＝14，两边平方，得a 2＋a －2＋2＝196， ∴a 2＋a －2＝194.16．解：(1)①∵1-3x ＝18，∴(1-3x)3＝(18)3.∴x －1＝(18)3＝8－3.∴x ＝83＝512. ②∵x ＝149，∴(x)2＝(149)2＝129.∴x ＝122(3)＝3. (2)∵10x ＝3,10y ＝4， ∴1x-y 210＝10x ÷1y 210＝10x ÷1y 2(10)＝3÷124＝3÷1222⨯＝32. 能力提升17．D18．B ①中，当a ＜0时，322(a )＝[122(a )]3＝(－a)3＝－a 3，∴①不正确． ②中，na n ＝|a|成立，需n ＞0，且n 为偶数．∴②不正确．③中，有⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，3x －7≠0，即x ≥2，且x ≠73，故该函数的定义域为[2，73)∪(73，＋∞)．∴③不正确．④中，∵100a ＝5,10b ＝2， ∴102a ＝5,102a ×10b ＝5×2＝10. ∴2a ＋b ＝1.∴④正确．19．B 由分数指数幂的运算法则，知A 、C 、D 正确，B 错．20．C 原式＝3·[17384()3]n ＝3·[17(128)]n ＝3·(1772⨯)n ＝3·2n . 21．D 由已知得a 2＋1＝14(22 010n ＋22 010n -－2)＋1＝14(22 010n ＋22 010n -＋2) ＝14(12 010n＋12 010n -)2. ∴a 2＋1＋a ＝12(12 010n ＋12 010n -)＋12(12 010n －12 010n -)＝12 010n .∴(a 2＋1＋a)n ＝(12 010n )n＝2 010.22．解：(1)原式＝1＋14×124()9－121()100＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝1225()9＋(110)－2＋2-364()27－3×1＋3748 ＝53＋100＋916－3＋3748＝100. 23．解：由已知两边平方，得x 1＋x －1＋2＝9，即x ＋x －1＝7.＝3(7－1)－372－4＝1545＝13.24．C 原式＝a －b ＋|a －2b|＝b 或2a －3b. 25．C ∵[(22＋3)2(22－3)2]12 ＝{[(22＋3)(22－3)]2}12＝122[(8-9)] ＝12[(-1)2]＝1＞0.26．C 原式＝9191443663[(a )][(a )] ＝a 2·a 2＝a 4.27．A ∵2133x+4x +4x ＝(13x )3＋4(13x)2＋413x ＝13x [(13x)2＋2·213x ＋22]＝13x (13x ＋2)2，∴①成立；∵x －y ＝(13x)3－(13y )3＝(13x －13y )( 23x ＋13x ·13y ＋23y )，∴②成立；∵x －2＝(4x)2－(2)2＝(4x ＋2)(4x －2)(x ≥0)，∴③成立； ∵3x 4－3x 2－6＝(3x 2)2－3x 2－6＝(3x 2＋2)(3x 2－3)， ∴④成立，故选A. 28．解：(1)原式＝1211-3342-6x y++＝－61334x y .29．解：(1)原式＝245·5·21-+1-33x ·111226y -+＝24x 0 16y ＝2416y . (2)原式＝－18·211326a +-·115236b +-＝－18a 1·b 0＝－18a.拓展探究(3)原式＝(a －1)＋2a －1＋1＋(a －1)－2a －1＋1 ＝(a －1＋1)2＋(a －1－1)2 ＝|a －1＋1|＋|a －1－1| ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＋1＋a －1－1，a ≥2a －1＋1－(a －1－1)，1≤a<2 ＝⎩⎪⎨⎪⎧2a －1，a ≥2，2，1≤a<2.。
数学高一(北师大)必修1试题 3.2指数扩充及其运算性质
3.2指数扩充及其运算性质一、选择题1．若(1－2x )－56 有意义，则x 的取值范围是( )A ．x ∈RB ．x ≠12C ．x >12D ．x <12[答案] D[解析] (1－2x ) －56 ＝16(1－2x )5，要使(1－2x ) －56 有意义，则需1－2x >0，即x <12.2．下列各式中成立的是( ) A ．(mn )7＝n 7m 17B ．12(－3)4＝3－3 C.4x 3＋y 3＝(x ＋y ) 34D ．39＝33[答案] D[解析] (mn )7＝(mn －1)7＝m 7n －7，A 错；12(－3)4＝1234＝33，B 错；(x 3＋y 3) 14 ≠(x ＋y ) 34 ，C 错．3．已知x 12 ＋x －12 ＝5，则x 2＋1x的值为( )A ．5B ．23C ．25D ．27[答案] B[解析] x 2＋1x ＝x ＋1x＝x ＋x －1＝(x 12 ＋x －12 )2－2＝52－2＝23.故选B. 二、填空题4．0.25×(－12)－4－4÷20－(116)－12 ＝________.[分析] 本小题考查分数指数幂的运算，利用运算性质，运用法则即可求解． [答案] －4[解析] 原式＝14×(－12)－4－4÷1－1(116)12＝14×(12)－4－4－(16) 12 ＝4－4－4＝－4.5．若a ＝5b 3(a >0，b >0)，则b ＝________(用a 的分数指数幂表示)．[答案] a 53[解析] 由于a ＝5b 3＝b 35 ，所以a 5＝b 3，因此b ＝a 53 .一、选择题1．下列命题中，正确命题的个数是( ) ①na n ＝a②若a ∈R ，则(a 2－a ＋1)0＝0 ③3x 4＋y 3＝x 43＋y④3－5＝6(－5)2 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] A[解析] ①中当a ＜0，n 为偶数时，na n ≠a ，故①错；③中3x 4＋y 3＝(x 4＋y 3)13≠x 43＋y ，故③错；④中3－5＜0，6(－5)2＞0，故④错；②中a ∈R ，a 2－a ＋1＞0，∴(a 2－a ＋1)0＝1，故②错，故选A.2．(36a 9)4·(63a 9)4的结果是( )A ．a 16B ．a 8C ．a 4D ．a 2[答案] C[解析] (36a 9)4·(63a 9)4＝(3a 32)4·(6a 3)4＝(a 12 )4·(a 12 )4＝a 4.二、填空题3．设函数f 1(x )＝x 12 ，f 2(x )＝x －1，f 3(x )＝x 2，则f 1(f 2(f 3(2014)))＝________.[答案]12014[解析] f 1(f 2(f 3(2014)))＝f 1(f 2(20142))＝f 1((20142)－1)＝((20142)－1) 12 ＝2014－1＝12014.4．若2－x 有意义，则x 2－4x ＋4－|3－x |化简后的结果是________． [答案] －1 [解析] ∵2－x 有意义，∴2－x ≥0.∴x ≤2. ∴x 2－4x ＋4－|3－x |＝|x －2|－|3－x |＝(2－x )－(3－x )＝－1. 三、解答题5．已知x 12 ＋x －12 ＝3，求的值．[解析] ∵x 12 ＋x －12 ＝3， ∴两边平方，得(x 12 ＋x －12 )2＝9，∴x ＋x －1＝7.对x ＋x －1＝7两边平方，得x 2＋x －2＝47.将x 12 ＋x －12 ＝3两边立方，得 x 32 ＋x －32 ＋3(x 12 ＋x －12 )＝27.即x 32 ＋x 32 ＝18.∴原式＝47－218－3＝4515＝3.6．已知a 、b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a >b >0，求a －ba ＋b的值． [解析] ∵a 、b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6ab ＝4. (a －b a ＋b )2＝a ＋b －2ab a ＋b ＋2ab ＝6－246＋24＝15， ∵a >b >0，∴a >b ， ∴a －b a ＋b＝15＝55.。
北师大版高中数学必修一同步练习检测指数扩充及其运算性质
3-2指数扩充及其运算性质 基 础 巩 固一、选择题 1．若有意义，则x 的取值范围是( )A ．x ∈RB ．x ≠12C ．x >12D ．x <12[答案] D[解析]＝16－2x5，要使有意义，则需1－2x >0，即x <12.2．以下化简结果错误的是( )[答案] D[解析]故选项D 错误．A ．5B ．23C ．25D ．27 [答案] B[解析] x 2＋1x ＝x ＋1x＝x ＋x －1故选B.4．要使4a －2＋(a －4)0有意义，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥2 B ．2≤a <4或a >4 C ．a ≠2 D ．a ≠4 [答案] B[解析] 要使原式有意义，需满足：⎩⎨⎧a －2≥0a －4≠0，解得2≤a <4或a >4.[答案] A [解析]6．(36a 9)4·(63a 9)4的结果是( )A ．a 16B ．a 8C ．a 4D ．a 2 [答案] C[解析] (36a 9)4·(63a 9)4＝)4·(6a 3)4二、填空题7．(2012·临淄高一检测)0.25×(－12)－4－4÷20－＝________.[分析] 本小题考查分数指数幂的运算，利用运算性质，运用法则即可求解． [答案] －4[解析]＝14×(12)－4－4－＝4－4－4＝－4.8．(2012·郑州模拟)设函数f 1(x )＝x 12，f 2(x )＝x －1，f 3(x )＝x 2，则f 1(f 2(f 3(2012)))＝________.[答案]12012[解析] f 1(f 2(f 3(2012)))＝f 1(f 2(20122))＝f 1((20122)－1)＝((20122)－1)12＝2012－1＝12012. 三、解答题9．(1)已知3a 2＋b ＝1，求9a·3b3a的值．[解析] (1)9a ·3b 3a＝32a ·3b 3a 2＝32a ＋b ÷3a2∵32a ＋b ＝1，∴9a·3b3a＝3.能 力 提 升一、选择题[答案] A[解析] 利用平方差公式易求选A.2．下列结论中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 [答案] B[解析] 取a ＝－2，可验证①不正确；当a <0，n 为奇数时，②不正确；y ＝(x －2) 12 －(3x －7)0的定义域应是[2，73)∪(73，＋∞)，③不正确；④由100a ＝5得102a ＝5.(1) 又10b ＝2.(2) (1)×(2)得102a ＋b ＝10. ∴2a ＋b ＝1，此命题正确． 二、填空题3．若2－x 有意义，则x 2－4x ＋4－|3－x |化简后的结果是________． [答案] －1[解析] ∵2－x 有意义，∴2－x ≥0. ∴x ≤2.∴x 2－4x ＋4－|3－x |＝|x －2|－|3－x |＝(2－x )－(3－x )＝－1.[答案] －23[解析]三、解答题 5．化简下列各式：(2)a 3b 2·3ab 24a b43ba(a ＞b ，b ＞0)．[分析] 在指数式运算中，一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式．[解析][点评] 这种混合运算的题型，运算的关键是化简顺序：先乘方、再乘除，最后做加减，步步紧扣运算法则，同时应注意将系数和字母分开计算．6．已知a ＝－827，b ＝1771，求的值．[解析] ∵a ≠0，7．已知a 、b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a >b >0，求a －ba ＋b的值．[解析] ∵a 、b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根， ∴⎩⎨⎧a ＋b ＝6ab ＝4.(a －b a ＋b )2＝a ＋b －2ab a ＋b ＋2ab ＝6－246＋24＝15， ∵a >b >0，∴a >b ， ∴a －ba ＋b＝15＝55.。
2017-2018学年高中数学北师大1学案：第三章3.2指数扩充及其运算性质含解析
［核心必知］1．分数指数幂（1)定义：给定正实数a，对于任意给定的整数m，n(m，n互素),存在唯一的正实数b，使得b n＝a m,把b叫作a的错误!次幂，记作b＝a 错误!，它就是分数指数幂．（2)几个结论:①正分数指数幂的根式形式:a错误!＝错误!(a>0)．②负分数指数幂的意义:a－错误!＝错误!（a〉0，m，n∈N＋，且n>1)．③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义．2．指数幂的运算性质若a>0，b〉0，对任意实数m，n，指数运算有以下性质：(1)a m·a n＝a m＋n；（2）（a m）n＝a m·n；(3)(ab)m＝a m b m.［问题思考]1．若b2＝53，则b＝532,b叫作5的错误!次幂吗？提示:不一定,当b＞0时，可以；当b＜0时，b不叫作5的错误!次幂．2．为什么分数指数幂中规定整数m ，n 互素?提示:如果没有这个规定将导致幂的运算结果出现矛盾．例如：a 错误!中，底数a ∈R ,当a ＜0时，a 错误!＜0，而如果把a 错误!写成a 错误!，有两种运算：一是a 错误!＝(a 错误!)2就必须a ≥0；二是a 错误!＝（a 2）错误!，在a ＜0时，a 错误!的结果大于0，与a 13＜0相矛盾．所以规定整数m 、n 互素．3．分数指数幂a 错误!可以理解为错误!个a 相乘,对吗？提示：分数指数幂a 错误!不可理解为错误!个a 相乘，它是根式的一种新的写法,规定：a 错误!＝(错误!）m＝na m (a >0，n 、m ∈N ＋，且错误!为既约分数），a －错误!＝错误!＝错误!＝错误!（a 〉0，n 、m ∈N ＋，且错误!为既约分数)．讲一讲 1．用分数指数幂表示下列各式．（1)错误!（a ＞0）； (2）错误!；（3)(错误!）－错误!(b ＞0)．此类问题应熟练应用a m n＝错误!(a＞0，m，n∈N＋，且n＞1)．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再根据性质进行化简．练一练1．用分数指数幂表示下列各式．(1）8错误!；（2)a2·错误!；（3) 错误!（a＞0)；(4)错误!（a＞0）．解：(1)8错误!＝23·2错误!＝23＋错误!＝2错误!.（2）原式＝a2·a错误!＝a2＋错误!＝a错误!.(3)原式＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝a错误!.(4）原式＝错误!＝a2－错误!－错误!＝a错误!.讲一讲2．计算或化简．（1)a3b2(2ab－1)3;（2）（0.064）－错误!－错误!0＋［(－2)3］－错误!＋16－0.75＋错误!错误!;(3）错误!0.5＋0。
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2017-2018学年（新课标）北师大版高中数学必修一
第三章 指数函数和对数函数 §1 正整数指数函数 §2 指数扩充及其运算性质
课时目标 1.了解指数函数模型的实际背景，体会引入有理数指数幂的必要性.2.理解有理数指数幂的含义，知道实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
1．正整数指数函数
函数y ＝a x (a>0，a ≠1，x ∈N ＋)叫作________指数函数；形如y ＝ka x (k ∈R ，a >0，且a ≠1)的函数称为________函数． 2．分数指数幂
(1)分数指数幂的定义：给定正实数a ，对于任意给定的整数m ，n (m ，n 互素)，存在
唯一的正实数b ，使得b n
＝a m
，我们把b 叫作a 的m
n
次幂，记作b ＝m
n a ；
(2)正分数指数幂写成根式形式：m n
a ＝n
a m (a >0)；
(3)规定正数的负分数指数幂的意义是：m n
a -＝__________________(a >0，m 、n ∈N ＋，且n >1)；
(4)0的正分数指数幂等于____，0的负分数指数幂__________． 3．有理数指数幂的运算性质 (1)a m a n ＝________(a >0)； (2)(a m )n ＝________(a >0)；
(3)(ab )n ＝________(a >0，b >0)．
一、选择题
1．下列说法中：①16的4次方根是2；②
4
16的运算结果是±2；③当n 为大于1的
奇数时，n a 对任意a ∈R 都有意义；④当n 为大于1的偶数时，n
a 只有当a ≥0时才
有意义．其中正确的是( ) A ．①③④B ．②③④ C ．②③D ．③④
2．若2<a <3，化简(2－a )2＋4
(3－a )4的结果是( )
A ．5－2a
B ．2a －5
C ．1
D ．－1 3．在(－1
2
)－1、12
2
-、12
12-
⎛⎫
⎪⎝⎭
、2－1
中，最大的是( )
A ．(－1
2
)－1B ．1
22-
C ．12
12-
⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．2－1
4．化简3
a a 的结果是( )
A ．a
B ．12a
C ．a 2
D ．13
a
5．下列各式成立的是( ) A.3m 2＋n 2＝()
23
m n +B ．(b
a
)2＝12a 1
2b
C.6
(－3)2
＝()13
3- D.
34＝13
2
6．下列结论中，正确的个数是( ) ①当a <0时，()
322
a
＝a 3；
②n
a n ＝|a |(n >0)；
③函数y ＝()12
2x -－(3x －7)0的定义域是(2，＋∞)； ④若100a ＝5,10b ＝2，则2a ＋b ＝1. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
题 号 1 2 3 4 5 6 答 案
二、填空题 7.
614－3338
＋30.125的值为________． 8．若a >0，且a x
＝3，a y
＝5，则22
y
x a
+
＝________.
9．若x >0，则(214
x ＋323)(214x －32
3)－412
x -·(x －12
x )＝________.
三、解答题 10．(1)化简：3
xy 2·xy －1·xy ·(xy )－1(xy ≠0)；
(2)计算：12
2
-＋(－4)02＋12－1
－(1－5)0·2
38.
11．设－3<x <3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值．
能力提升 12．化简：4133
2233
3
842a a b b ab a
-++÷(1－2
3b
a
)×
3
a .
13．若x >0，y >0，且x －xy －2y ＝0，求2x －xy
y ＋2xy
的值．
第三章 指数函数和对数函数
§1 正整数指数函数 §2 指数扩充及其运算性质
知识梳理
1．正整数 指数型 2.(3)
1m n
a
(4)0 没有意义
3．(1)a m ＋n
(2)a mn
(3)a n b n
作业设计
1．D [①错，∵(±2)4＝16， ∴16的4次方根是±2；
②错，416＝2，而±4
16＝±2.] 2．C [原式＝|2－a|＋|3－a|， ∵2<a<3，∴原式＝a －2＋3－a ＝1.] 3．C [∵(－1
2)－1＝－2,12
2
-＝
22，1
2
12-
⎛⎫ ⎪⎝⎭
＝2，2－1＝1
2
，
∵2>
22>1
2
>－2， ∴12
12-⎛⎫
⎪⎝⎭
>1
22->2－1>(－12)－1.]
4．B [原式＝1
3
2
aa ＝33
2a ＝12
a .]
5．D [被开方数是和的形式，运算错误，A 选项错；(b a )2＝b 2
a
2，
B 选项错；6
(－3)2
>0，()13
3-<0，C 选项错．故选D .]
6．B [①中，当a<0时，
()
322
a ＝[
()
122a ]3
＝(－a)3＝－a 3，
∴①不正确；
②中，若a ＝－2，n ＝3，
则3
(－2)3＝－2≠|－2|，∴②不正确；
③中，有⎩⎪⎨
⎪⎧
x －2≥0，
3x －7≠0，
即x ≥2且x ≠7
3
，
故定义域为[2，73)∪(7
3
，＋∞)，∴③不正确；
④中，∵100a ＝5,10b ＝2，
∴102a ＝5,10b ＝2,102a ×10b ＝10，即102a ＋b ＝10. ∴2a ＋b ＝1.④正确．]
7.32
解析 原式＝(52)2－3(32)3＋3(12
)3 ＝52－32＋12＝32. 8．9 5 解析 22
y x a
+
＝(a x )2
·()
12
y a
＝32
·12
5＝9 5.
9．－23
解析 原式＝412
x －33
－412
x ＋4＝－23.
10．解 (1)原式＝()
113
2
12
xy xy
-⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
·()12xy ·(xy)－1
＝13
x ·23y
16
x
16
y
-
·12
x
-
·12
y
-
＝13x ·13
x
-
＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
1， x>0－1， x<0.
(2)原式＝
1
2＋1
2
＋2＋1－22 ＝22－3.
11．解 原式＝(x －1)2－(x ＋3)2 ＝|x －1|－|x ＋3|， ∵－3<x<3，
∴当－3<x<1时，
原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2； 当1≤x<3时，
原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4.
∴原式＝⎩⎪⎨
⎪⎧
－2x －2 (－3<x<1)
－4 (1≤x<3)
.
12．解 原式＝
()
13
21123
3
3
3
842a
a b b a b a
-++÷
1133
13
2a b a
-×13
a
＝
()
13
21123
3
3
3
842a
a b b a b a -++·
13
113
3
2a
a b -·1
3
a
＝
()3
3
1
13
3
82a a b a b -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
＝
a (a －8
b )a －8b
＝a.
13．解 ∵x －xy －2y ＝0，x>0，y>0， ∴(x)2－xy －2(y)2＝0， ∴(x ＋y)(x －2y)＝0， 由x>0，y>0得x ＋y>0，
∴x－2y＝0，∴x＝4y，
∴2x－xy
y＋2xy
＝
8y－2y
y＋4y
＝
6
5
.。