2013高考数学(理)一轮复习教案：第七篇_不等式第3讲_二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
高三数学一轮复习精品教案1：7.2 一元二次不等式及其解法教学设计
7.2一元二次不等式及其解法一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式 Δ＝b 2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图像一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ＞0)的根 有两相异实根 x 1，x 2(x 1＜x 2)有两相等实根 x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c ＞0 (a ＞0)的解集 {x |x <x 1或x >x 2} {x |x ≠－b 2a} Rax 2＋bx ＋c ＜0 (a ＞0)的解集 {x |x 1＜x ＜x 2} ∅ ∅1．二次项系数中含有参数时，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式．2．当Δ<0时，易混ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集为R 还是∅. 『试一试』1．(2013·苏中三市、宿迁调研)设集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－5x ≥0}，则A ∩(∁R B )＝________.『解析』集合A ＝『－1,3』，B ＝(－∞，0』∪『5，＋∞)．从而∁R B ＝(0,5)，则A ∩(∁R B )＝(0,3』． 『答案』(0,3』2．不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎝⎛⎭⎫－12，13，则a ＋b 的值是________． 『解析』由题意知－12、13是ax 2＋bx ＋2＝0的两根．则a ＝－12，b ＝－2.a ＋b ＝－14.『答案』－143．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 『解析』∵不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，∴Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16.∴a >4或a <－4.『答案』(－∞，－4)∪(4，＋∞)1．由二次函数图像与一元二次不等式的关系得到的两个常用结论(1)不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c >0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c <0，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.2．分类讨论思想解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏． 『练一练』若不等式mx 2＋2mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是________． 『解析』①当m ＝0时，1>0显然成立．②当m ≠0时，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝4m 2－4m <0.得0<m <1，由①②知0≤m <1. 『答案』『0,1)考点一一元二次不等式的解法『典例』 解下列不等式：(1)0＜x 2－x －2≤4； (2)x 2－4ax －5a 2＞0(a ≠0)．『解』 (1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0⇔(2)(1)0(3)(2)0x x x x -+>⎧⎨-+≤⎩⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3. 借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3.(2)由x 2－4ax －5a 2＞0知(x －5a )(x ＋a )＞0.由于a ≠0故分a ＞0与a ＜0讨论． 当a ＜0时，x ＜5a 或x ＞－a ；当a ＞0时，x ＜－a 或x ＞5a .综上，a ＜0时，解集为{}x |x ＜5a 或x ＞－a ；a ＞0时，解集为{}x |x ＞5a 或x ＜－a .『备课札记』 『类题通法』1．解一元二次不等式的一般步骤：(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)，ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)；(2)计算相应的判别式；(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根； (4)根据对应二次函数的图像，写出不等式的解集．2．解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即Δ的符号进行分类，最后在根存在时，根据根的大小进行分类． 『针对训练』 解下列不等式： (1)－3x 2－2x ＋8≥0；(2)ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)．解：(1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0，即(3x －4)(x ＋2)≤0.解得－2 ≤x ≤43，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－2≤x ≤43. (2)原不等式变为(ax －1)(x －1)＜0，因为a ＞0，所以a ⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＜0. 所以当a ＞1时，解为1a ＜x ＜1；当a ＝1时，解集为∅；当0＜a ＜1时，解为1＜x ＜1a.综上，当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1＜x ＜1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a ＞1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a ＜x ＜1. 考点二一元二次不等式恒成立问题一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系.在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换.对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图像与x 轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围.归纳起来常见的命题角度有：1形如f(x )≥0x ∈R 确定参数的范围； 2形如f(x ) ≥0，x ∈『a ，b 』，确定参数范围； 3形如f(x )≥0参数m ∈『a ，b 』确定x 的范围. 角度一 形如f (x )≥0(x ∈R )确定参数的范围1．(2013·重庆高考)设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为________．『解析』根据题意可得(8sin α)2－4×8cos 2α≤0，即2sin 2α－cos 2α≤0，2sin 2α－(1－2sin 2 α)≤0，即－12≤sin α≤12.因为0≤α≤π，故α∈06π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，56ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，. 『答案』06π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，56ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 角度二 形如f (x )≥0，(x ∈『a ，b 』)，确定参数范围2．对任意x ∈『－1,1』，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，求a 的取值范围； 解：函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的对称轴为x ＝－a －42＝4－a2.①当4－a2<－1，即a >6时，f (x )的值恒大于零等价于f (－1)＝1＋(a －4)×(－1)＋4－2a >0，解得a <3，故有a ∈∅；②当－1≤4－a 2≤1，即2≤a ≤6时，只要f ⎝⎛⎭⎫4－a 2＝⎝⎛⎭⎫4－a 22＋(a －4)×4－a 2＋4－2a >0，即a 2<0，故有a ∈∅；③当4－a2>1，即a <2时，只要f (1)＝1＋(a －4)＋4－2a >0，即a <1，故有a <1.综上可知，当a <1时，对任意x ∈『－1,1』，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零． 角度三 形如f (x )≥0(参数m ∈『a ，b 』)确定x 的范围3．对任意a ∈『－1,1』，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，求x 的取值范围．解：由f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，令g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4.由题意知在『－1,1』上，g (a )的值恒大于零，则22(1)(2)(1)440(1)2440g x x x g x x x ⎧-=-⨯-+-+>⎪⎨=-+-+>⎪⎩解得x <1或x >3. 故当x <1或x >3时，对任意的a ∈『－1,1』，函数f (x )的值恒大于零．『备课札记』 『类题通法』恒成立问题及二次不等式恒成立的条件(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．(2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴下方．考点三一元二次不等式的应用『典例』 某小商品2013年的价格为8元/件，年销量是a 件．现经销商计划在2014年将该商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格是4元/件．经测算，该商品价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k .该商品的成本价为3元/件．(1)写出该商品价格下降后，经销商的年收益y 与实际价格x 的函数关系式；(2)设k ＝2a ，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%?『解』 (1)设该商品价格下降后为x 元/件，则由题意可知年销量增加到⎝⎛⎭⎫kx －4＋a 件，故经销商的年收益y ＝⎝⎛⎭⎫kx －4＋a (x －3)，5.5≤x ≤7.5.(2)当k ＝2a 时，依题意有⎝⎛⎭⎫2a x －4＋a (x －3)≥(8－3)a ×(1＋20%)，化简得x 2－11x ＋30x －4≥0，解得x ≥6或4<x ≤5.又5.5≤x ≤7.5，故6≤x ≤7.5，即当实际价格最低定为6元/件时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%.『备课札记』 『类题通法』构建不等式模型解决实际问题不等式的应用问题常常以函数为背景，多是解决实际生活、生产中的最优化问题等，解题时，要仔细审题，认清题目的条件以及要解决的问题，理清题目中各量之间的关系，建立恰当的不等式模型进行求解． 『针对训练』某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围． 解：(1)由题意得y ＝100⎝⎛⎭⎫1－x 10·100⎝⎛⎭⎫1＋850x .因为售价不能低于成本价， 所以100⎝⎛⎭⎫1－x10－80≥0.所以y ＝f (x )＝20(10－x )(50＋8x )，定义域为『0,2』． (2)由题意得20(10－x )(50＋8x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134.所以x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，2.『课堂练通考点』1．(2012·江苏高考)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为『0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________． 『解析』由题意知，因为函数f (x )的值域为『0，＋∞)， 所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝4b －a24＝0，所以4b ＝a 2， 所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22，所以关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为⎝⎛⎭⎫－a 2－c ，－a2＋c ， 即(m ，m ＋6)，故⎩⎨⎧－a2－c ＝m ，－a2＋c ＝m ＋6，两式相减得c ＝3，所以c ＝9.『答案』92．不等式4x －2x ＋2＞0的解集为________．『解析』令2x ＝t ，则不等式变为t 2－4t ＞0.由于t ＞0，故t ＞4，即2x ＞4，解得x ＞2.所以不等式的解集为(2，＋∞)． 『答案』(2，＋∞)3．(2013·南通三模)不等式x ＜2x －1的解集是________．『解析』不等式等价于(2)(1)0x x x+-<，由数轴标根法得x ＜－2或0＜x ＜1，从而不等式的解集为{x |x ＜－2或0＜x ＜1}．『答案』{x |x ＜－2或0＜x ＜1}4．(2013·苏州常镇二调)若关于x 的不等式mx 2＋2x ＋4＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}，则实数m 的值为________．『解析』由关于x 的不等式mx 2＋2x ＋4＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}，得－1,2为方程mx 2＋2x ＋4＝0的两个实数根．得⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，m －2＋4＝0，4m ＋4＋4＝0，所以m ＝－2.『答案』－25．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，－x ，x ≤0，则不等式f (x )<4的解集是________．『解析』不等式f (x )<4等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，x 2＋1<4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，－x <4，即0<x <3或－4<x ≤0.因此，不等式f (x )<4的解集是(－4，3)． 『答案』(－4，3)6．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )·(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝__________，n ＝________.『解析』因为|x ＋2|<3，即－5<x <1，所以A ＝(－5,1)，又A ∩B ≠∅，所以m <1，B ＝(m,2)，由A ∩B ＝(－1，n )得m ＝－1，n ＝1. 『答案』－1 1。
高三理科数学第一轮复习§6.3：二元一次不等式(组)与简单的线性规划
第六章：不等式 §6.3：二元一次不等式（组） 与简单的线性规划
第六章：不等式 §6.3：二元一次不等式（组） 与简单的线性规划
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提示
第六章：不等式 §6.3：二元一次不等式（组） 与简单的线性规划
解析
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解析
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高考数学一轮复习第七章7.1二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件文北师大版
1
m∈(0,2].
√2
,
2
考点2
求目标函数的最值问题 (多考向探究)
考向1 求线性目标函数的最值
2 + -2 ≤ 0,
【例 2】(1)(2020 全国 1,文 13)若 x,y 满足约束条件 --1 ≥ 0, 则 z=x+7y
+ 1 ≥ 0,
的最大值为
.
2 + -2 ≥ 0,
(2)(2020 福建福州模拟,理 13)设 x,y 满足约束条件 -2 + 4 ≥ 0,则 z=x-3y
(1)“直线定界,特殊点定域”,即先作直线,再取特殊点并代入不等式(组).若满足不
等式(组),则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域;否则
就表示直线与特殊点异侧的那部分区域.当不等式中带等号时,边界画为实线,不
带等号时,边界应画为虚线,特殊点常取原点.
(2)也常利用“同号上,异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域:对于
(3)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域.( × )
(4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.( √ )
(5)在目标函数z=ax+by(b≠0)中,z的几何意义是直线ax+by-z=0在y轴上的截
距.( × )
-3 + 6 < 0,
2.不等式组
表示的平面区域是(
- + 2 ≥ 0
.
思考如何利用可行域求非线性目标函数最值?
答案 (1)A
11
(2)
2
解析 (1)作不等式组表示的可行域,如图所示.
由于
又
+1
k= 表示动点
二元一次不等式(组)教案
3.3.1二元一次不等式组与平面区域（一）教学重点理解并能用图形表示二元一次不等式及不等式组的解集，了解什么是边界教学难点理解并能用图形表示二元一次不等式及不等式组的解集教学过程一.复习准备：1.定义：我们把含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式.2.定义：我们把由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组.3.定义：满足二元一次不等式组的x 和y 的取值构成有序数对(,)x y ，所有这样的有序数对(,)x y 构成的集合称为二元一次不等式组的解集.二.新课导入：1.一元一次不等式组的解集可以表示为数轴上的区间，例如，3040x x +>⎧⎨-<⎩的解集为数轴上的一个区间. 那么，在直角坐标系内，二元二次不等式组的解集表示什么图形呢？（教师分析，学生画）2.研究：二元一次不等式6x y -<的解集所表示的图形.分析：平面内所有的点被直线6x y -=分成三类：在直线上；在直线的右下方区域；在直线的左上方区域，重点讨论左上方和右下方区域各用哪个不等式来表示.适时定义边界.3.结论：不等式中仅>或<不包括边界；但含“≤”“≥”包括边界.同侧同号，异侧异号4.教学例题例1：画出不等式44x y +<表示的平面区域.分析：先画边界（用虚线表示），再取点判断区域，即可画出.（教师分析，学生作图） 例2：用平面区域表示不等式组3122y x x y <-+⎧⎨<⎩的解集.（同上） 分析：此解集是由两个不等式的交集构成，即各个不等式表示的平面区域的公共部分.5.练习：1）不等式260x y -+>表示的区域在直线260x y -+=的 .2）画出不等式组36020x y x y -+≥⎧⎨-+<⎩表示的平面区域. 3.3.1二元一次不等式组与平面区域（二）教学重点从实际问题中抽象出二元一次不等式（组），并能用图形表示.教学难点从实际问题中抽象出二元一次不等式（组）. 教学过程一.复习准备：画出二元一次不等式组2312236x yx yx+≤⎧⎪+>-⎨⎪≥⎩所表示的平面区域.（师生同练）二.讲授新课：1.出示例1 要将两种大小不同的钢板截成A，B，C三种规格，每个钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：今需要A，B，C三种规格的成品分别15，18，27块，用数学关系式和图形表示上述要求.教师读题——师生列式——完成数学模型的转化——学生画图2.练习：一个家具厂计划生产两种类型的桌子A和B. 每类桌子都要经过打磨，着色，上漆三道工序. 桌子A需要10min打磨，6min着色，6min上漆；桌子B需要5min打磨，12min着色，9min上漆. 如果一个工人每天打磨和上漆分别至多工作450min，着色每天至多工作480min，请你列出满足生产条件的数学关系式，并在直角坐标系中画出相应的平面区域.3.出示例2一个化肥厂生产甲乙两种混合肥料，生产1车皮甲肥料的主要原料是磷酸盐4t，硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1t，硝酸盐15t.现库存磷酸盐10t，硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料. 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域.教师读题——师生列表——学生列式（老师讲评）——学生画图4.小结：根据实际问题的条件列出约束不等式组与目标函数. 反复的读题，读懂已知条件和问题，边读边摘要，读懂之后可以列出一个表格表达题意. 然后根据题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，完成实际问题向数学模型的转化.三.巩固练习：1.某厂使用两种零件A，B装配两种产品X，Y. 该厂月生产能力X最多2500个，Y最多1200个. A最多为14000个，B最多为12000个. 组装X需要4个A，2个B，组装Y需要6个A，8个B. 列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域.2.某工厂用A，B 两种配件生产甲，乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件并耗时1h, 每生产一件乙产品使用4个B配件并耗时2 h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，工厂每天工作不超过8h. 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域.3.作业: P106习题A组第3题3.3.1简单的线形规划问题（一）教学重点能进行简单的二元线形规划问题教学难点从实际情景中抽象出一些简单的二元线形规划问题，并能加以解决.教学过程一.复习准备：当,x y 满足不等式组1101x y y x ⎧-≤⎪≥⎨⎪≤+⎩时，目标函数t x y =+的最大值是 （答案：5）二.讲授新课：1.出示例题：某工厂用A ，B 两种配件生产甲，乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件耗时2h ，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天工作8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？教师分析——师生共同列出表格——转化成数学模型——列出目标函数——求最值给出定义：目标函数——把要求的最大值的函数线形目标函数——目标函数是关于变量,x y 的一次解析式线形规划——在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题可行解——满足线形约束条件的解(,)x y 叫做可行解可行域——由所有可行解组成的集合结合以上例题给出解释探究：在上述问题中，如果每生产一件甲产品获利3万元，每生产一件乙产品获利2万元，又应当如何安排生产才能获得最大利润？由上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关系吗？2.练习：1) 求2z x y =+的最大值，使,x y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩2)求35z x y =+的最大值和最小值，使,x y 满足约束条件5315153x y y x x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩3.小结：作图求解：作出不等式组所表示的可行域，确定目标函数的最优位置，从而获得最优解. 图解法的实质是数形结合思想的两次运用，第一次是由上步所得线性约束条件，作出可行域，将表示约束条件的不等式组转化成为平面区域这一图形；第二次是将目标函数转化为平行直线系进行探究.. 此步的过程可简述为“可行域——直线系——最优解”三. 作业P106习题A 组第4题3.3.1简单的线形规划问题（二）教学重点能进行简单的二元线形规划问题教学难点从实际情景中抽象出一些简单的二元线形规划问题，列出线性目标函数并求最值并能加以解决.教学过程一.复习准备：什么是目标函数？线形目标函数？线形规划？可行解？可行域？二.讲授新课：1.出示例题：营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg 的碳水化合物，0.06kg 的蛋白质，0.06kg 的脂肪. 1kg 食物A 含有0.105kg 碳水化合物，0.07kg 蛋白质，0.14kg 脂肪，花费28元；而1kg 食物B 含有0.105kg 碳水化合物，0.14kg 蛋白质，0.07kg 脂肪，花费21元. 为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时使用食物A 和食物B 多少？ 教师分析——师生共同列出表格——转化成数学模型——列出目标函数——求最值2.练习：某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100g 含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元，米食每100g 含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应该如何配置盒饭，才能既科学有费用最少？（答案：面食1315百克，米食1415百克） 3.小结：线性规划问题首先要根据实际问题列出表达约束条件的不等式，然后分析目标函数中所求量的几何意义，由数形结合思想求解问题. 利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用，关键在于找出约束条件与目标函数，准确地描可行域，再利用图形直观求得满足题设的最优解.三. 巩固练习：1.（2004年全国卷）设,x y 满足约束条件021x x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，则32z x y =+的最大值是 （答案：5）2.甲，乙，丙三种食物维生素A ，B 含量以及成本如右表：某食物营养研究所想用x 千克甲种食物，y 千克乙种食物，z 千克丙种食物配成100千克混合物，并使混合物至少含有56000单位维生素A 和63000单位维生素B. 试用,x y 表示混合物的成本P （元）；并确定,,x y z 的值，使成本最低，并求最低成本.3.作业：P106 习题A 组第4题。
2013届高考理科数学一轮复习课件7.3二元一次不等式(组)的解与简单的线性规划
思考题 1 (1)(2010·北京)若点 P(m,3)到直线 4x－3y ＋1＝0 的距离为 4，且点 P 在不等式 2x＋y<3 表示的平面 区域内，则 m＝________.
【解析】 由题意可得|4m－59＋1|＝4 ，解得 m＝ 2m＋3<3
由图可知，kBD≤z≤kCD， ∵kBD＝35－ －－ －55＝45，kCD＝2517－－－－55＝2165， ∴z＝xy＋＋55的取值范围是[45，2165]
(5)z＝x2＋y2，则 z为(x，y)与原点(0,0)的距离，结合
不等式的区域，易知 A 点到原点距离最小为 334，最大值
(2)作直线 l：2x＋y＝0，并平移此直线，当平移直线 过可行域内的 A 点时，z 取得最小值；当平移直线过可行 域内的 B 点时，z 取最大值，
解xx＝ －13y＝－4 得 A(1，53)， 解x3－x＋3y5＝y＝－340 得 B(5,3)． ∴zmax＝2×5＋3＝13，zmin＝2×1＋53＝131.
题型一 用二元一次不等式（组）表示平面区域
例1
画出不等式组xx－ ＋yy＋ ≥50≥0 x≤3
表示的平面区域，并
回答下列问题： (1)指出 x，y 的取值范围； (2)平面区域内有多少个整点？ (3)求所围平面区域的面积．
【思路】 (1)数形结合． (2)整点是指横、纵坐标均为整数的点． 【解析】
－x≤y≤x＋5 －2≤x≤3，且x∈Z .
当 x＝3 时，－3≤y≤8，有 12 个整点； 当 x＝2 时，－2≤y≤7，有 10 个整点；
当 x＝1 时，－1≤y≤6，有 8 个整点； 当 x＝0 时，0≤y≤5，有 6 个整点； 当 x＝－1 时，1≤y≤4，有 4 个整点； 当 x＝－2 时，2≤y≤3，有 2 个整点． ∴平面区域内的整点共有 2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．
高考数学第一轮知识点 第3课时 二元一次不等式组与简单的线性规划问题课时复习课件 理
作出可行域如图，让目标函数表示的直线 2.5x＋4y＝z 在可行域上平移，由此可知 z ＝2.5x＋4y 在 B(4,3)处取得最小值． 因此，应当为该儿童预订 4 个单位的午餐和
3 个单位的晚餐，就可满足要求．
【变式训练】 3.某家具厂有方木料 90 m3，五合 板 600 m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生 产每张书桌需要方木料 0.1 m3，五合板 2 m2，生 产每个书橱需要方木料 0.2 m3、五合板 1 m2，出 售一张书桌可获利润 80 元，出售一个书橱可获利 润 120 元． (1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？ (2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？
.D
恰为
AC
的中点，直线
y＝x＋2
将△
ABC 的面积平分．故选 A.
答案： A
【变式训练】 1.(2011·吉林延边州一模)若不
x－y＋5≥0，
等式组y≥a， 0≤x≤3
表示的平面区域是一
个三角形，则 a 的取值范围是( )
A．a＜5
B．a≥8
C．a＜5 或 a≥8
D．5≤a＜8
解析： 作出如图所示的可行域，要使该平面 区域表示三角形，需满足 5≤a＜8.
答案： D
求目标函数的最值 1．求目标函数的最值，必须先准确地作出线 性可行域再作出目标函数对应的直线，据题 意确定取得最优解的点，进而求出目标函数 的最值． 2．线性目标函数 z＝ax＋by 取最大值时的最 优解与 b 的正负有关，当 b>0 时，最优解是将 直线 ax＋by＝0 在 2y－1＝0
得 D(1,0)，
∴kCD＝0，kCA＝1212－＋01＝13，∴z 的范围是0，31；
(3)z＝
高考数学一轮复习教学案：第七章不等式7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
(4) 二元一次不等式所表示区域的确定方法．在直线
__________ 是否满足二元一次不等式，如果满足，则这点 否则 l 的 __________就是所求的区域．
l 的某一侧取一特殊点，检测其 __________ 区域就是所求的区域；
4． 线性规划中的基本概念
名称
定义
目标函数
欲求 __________ 的函数，叫做目标函数
7.3 二元一次不等式 (组 )与简单的线性规划问题
1． 二元一次不等式 (组 )的解集 满足二元一次不等式 (组 )的 x 和 y 的取值构成有序数对 (x， y)，所有这样 的有序数对 (x，
y)构成的集合称为二元 一次不等式 ( 组 )的__________ ．
2． 二元一次不等式表示平面区域
3．下面给出的四个点中，到直线
x－ y＋ 1＝ 0 的距离为
2，且位于 2
x＋ y－ 1<0， x－ y＋ 1>0
表示
的平面区域内的点是 ( )． A． (1,1) C． ( －1，－ 1)
B． (－ 1,1) D． (1，－ 1)
x≥ 0，
4．若 x， y 满足约束条件 x＋ 2y≥ 3， 则 z＝x－ y 的最小值是 ( )． 2x＋y≤ 3，
(2)如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处使目标函数取得最大或最小值，最
优解一般就是多边形的某个顶点． 请做演练巩固提升 2,4
三、线性规划的实际应用 【例 3】 某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共 一个卫兵玩具需 5 分钟， 生产一个骑兵玩具需 7 分钟， 生产一个伞兵玩具需
个根在区间 (1,2)内，求：
(1)点 (a， b)对应的区域的面积；
高三数学一轮复习精品教案1：7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
7.3二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式 表示区域Ax ＋By ＋C ＞0 直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线 Ax ＋By ＋C ≥0 包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2．线性规划中的基本概念名称 意义约束条件 由变量x ，y 组成的不等式(组)线性约束条件由x ，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组) 目标函数 关于x ，y 的函数解析式，如z ＝2x ＋3y 等 线性目标函数 关于x ，y 的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x ，y ) 可行域 所有可行解组成的集合最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为ax ＋by ＋c >0(a >0)．2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有． 『试一试』1．如图所示的平面区域(阴影部分)满足的不等式是______．『答案』x ＋y －1>02．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，x ≤3，则z ＝2x －3y 的最小值是________．『解析』作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z ＝2x －3y 过点C 时，z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，∴z min ＝2×3－3×4＝－6. 『答案』－61．确定二元一次不等式表示平面区域的方法二元一次不等式所表示的平面区域的确定，一般是取不在直线上的点(x 0，y 0)作为测试点来进行判定，满足不等式的则平面区域在测试点所在的直线的一侧，反之在直线的另一侧． 2．求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值的方法将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值．(1)当b >0时，截距z b 取最大值时，z 也取最大值；截距zb 取最小值时，z 也取最小值；(2)当b <0时，截距z b 取最大值时，z 取最小值；截距zb 取最小值时，z 取最大值．『练一练』(2014·南京一模)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y ≥0，x ≤1，则z ＝2x ＋y 的最小值是________．『解析』作出可行域，如图可知当直线y ＝－2x ＋z 经过点(－1,1)时，z 取得最小值－1.『答案』－1考点一二元一次不等式(组)表示平面区域1.由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，y ≥0，y ≤x －1所确定的平面区域的面积等于________.『解析』作出满足不等式组的平面区域，如图阴影部分，可知其面积为2.『答案』22．(2014·苏锡常镇调研)在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，0＜x ≤3，y ＞1x所表示的平面区域内的所有格点(横、纵坐标均为整数的点称为格点)中任取3个点，则该3点恰能作为一个三角形的三个顶点的概率为________．『解析』当x ＝1时，1＜y ≤1，此时无解；当x ＝2时，12＜y ≤2，此时y ＝1,2；当x ＝3时，13＜y ≤3，此时y ＝1,2,3.所以在可行域中共有5个格点，从中任取3个点共计10种方法．若在直线x ＝2上取一点，则在直线x ＝3上三个点中取两个，此时有2×3＝6(种)；若在直线x ＝2上取两点，则直线x ＝3上三个点中取一个，此时有3种，故所求概率为910.『答案』9103．如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为________．『解析』两直线方程分别为x －2y ＋2＝0与x ＋y －1＝0.由(0,0)点在直线x －2y ＋2＝0右下方可知x －2y ＋2≥0，又(0,0)点在直线x ＋y －1＝0左下方可知x ＋y －1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0为所表示的可行域．『答案』⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0『备课札记』『类题通法』二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，测试点常选取原点．考点二求目标函数的最值线性规则问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致.归纳起来常见的命题角度有：1求线性目标函数的最值； 2求非线性目标的最值； 3求线性规划中的参数.角度一 求线性目标函数的最值1．(1)(2014·徐州摸底)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x －y ≤2，0≤y ≤3，则z ＝2x －y 的最大值是________．『解析』在平面直角坐标系中作出满足条件的可行域，如图，即等腰直角三角形ABC ，其中A (5,3)，B (2,0)，C (－1,3)，过原点O 作直线l 0：y ＝2x ，将l 0平移至点A 时，可取最大值，即z max ＝2×5－3＝7.『答案』7(2)(2013·南京、盐城一模)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，则目标函数z ＝2x ＋3y的最大值为________．『解析』画出不等式组表示的可行域(如图阴影部分所示)．由图可知，y ＝－23x ＋z3，过点(4,6)时，z 取得最大值，为26.『答案』26角度二 求非线性目标的最值2．(1)(2014·苏北四市二调)在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤22y －x ≥1下，x －12＋y 2的最小值为________．『解析』画出线性约束条件下的可行域(如图阴影部分)，所求的22(1)x y -+的几何意义就是点(1,0)与阴影部分内的点之间的距离，其最小值为点(1,0)到直线x －2y ＋1＝0的距离，可求得22(1)x y -+的最小值为2212011(2)-⨯++-＝255. 『答案』255(2)(2014·南通一模)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则z ＝y x －xy的取值范围是________．『解析』作出可行域(如图阴影部分)，则区域内的点与原点连线的斜率取值范围是⎣⎡⎦⎤13，2.令t ＝y x ，则z ＝t －1t ，根据函数z ＝t －1t在t ∈⎣⎡⎦⎤13，2上单调递增，得z ∈⎣⎡⎦⎤－83，32.『答案』⎣⎡⎦⎤－83，32 角度三 求线性规划中的参数3．(1)(2013·苏北三市调研)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ＋1，x ＋y ＋k ≤0(k 为常数)，若目标函数z ＝2x ＋y 的最大值是113，则实数k ＝________.『解析』由题意得当k ＜－1时满足题意，此时该不等式组表示的平面区域如下图所示，平移直线2x ＋y ＝0经过点P 时，目标函数z ＝2x ＋y 取得最大值，是113，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，x ＋y ＋k ＝0，得⎩⎨⎧x ＝－k ＋13，y ＝1－2k3，即点P ⎝⎛⎭⎫－k ＋13，1－2k 3， 所以2⎝⎛⎭⎫－k ＋13＋1－2k 3＝113，解得k ＝－3.『答案』－3(2)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋2y －8≤0，x ≤3.若点⎝⎛⎭⎫3，52是使ax －y 取得最小值的唯一的可行解，则实数a 的取值范围为________．『解析』记z ＝ax －y ，注意到当x ＝0时，y ＝－z ，即直线z ＝ax －y 在y 轴上的截距是－z .在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，满足题意的实数a 的取值范围为a <－12.『答案』⎝⎛⎭⎫－∞，－12 『备课札记』 『类题通法』1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．2．常见的目标函数有： (1)截距型：形如z ＝ax ＋by .求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋zb，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2.(3)斜率型：形如z ＝y －bx －a .注意：转化的等价性及几何意义．考点三线性规划的实际应用『典例』 某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为________元．『解析』 设租用A 型车x 辆，B 型车y 辆，目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y ，则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧36x ＋60y ≥900，y －x ≤7，y ＋x ≤21，x ，y ∈N ，作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5,12)时，有最小值z min ＝36 800(元)．『答案』 36 800『备课札记』 『类题通法』求解线性规划应用题的注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件中是否能够取到等号．(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x ，y 的取值范围，特别注意分析x ，y 是否是整数、非负数等．(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式． 『针对训练』某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是________元．『解析』设每天分别生产甲产品x 桶，乙产品y 桶，相应的利润为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0，z ＝300x ＋400y ，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x ＋400y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点A (4,4)时，相应直线在y 轴上的截距达到最大，此时z ＝300x ＋400y 取得最大值，最大值是z ＝300×4＋400×4＝2 800，即该公司可获得的最大利润是2 800元．『答案』2 800『课堂练通考点』1．(2014·扬州期末)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥4，2x ＋y ≤5，则z ＝2x －y 的最大值是________．『解析』由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥4，2x ＋y ≤5，可以画出可行域如下图阴影部分所示，故当直线经过点A (2,1)时，目标函数z ＝2x －y 的最大值为3.『答案』32．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0，表示面积为1的直角三角形区域，则k 的值为________．『解析』注意到直线kx －y ＝0恒过原点，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合题意得直线kx －y ＝0与直线x ＋y －4＝0垂直时满足题意，于是有k ×(－1)＝－1，由此解得k ＝1. 『答案』13．已知O 为坐标原点，A (1,2)，点P 的坐标(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋|y |≤1，x ≥0，则z ＝OA ·OP的最大值为________． 『解析』如图作可行域，z ＝OA ·OP ＝x ＋2y ，显然在B (0,1)处z max ＝2. 『答案』24．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤8，2y －x ≤4，x ≥0，y ≥0，且z ＝5y －x 的最大值为a ，最小值为b ，则a－b 的值是________． 『解析』约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤8，2y －x ≤4，x ≥0，y ≥0表示以(0,0)，(0,2)，(4,4)，(8,0)为顶点的四边形区域，检验四个顶点的坐标可知，当x ＝4，y ＝4时，a ＝z max ＝5×4－4＝16；当x ＝8，y ＝0时，b ＝z min ＝5×0－8＝－8，∴a －b ＝24. 『答案』245．(2013·安徽高考)若非负变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋2y ≤4，则x ＋y 的最大值为________．『解析』画出可行域是如下图所示的四边形OABC 的边界及内部，令z ＝x ＋y ，易知当直线y ＝－x ＋z 经过点C (4,0)时，直线在y 轴上截距最大，目标函数z 取得最大值，即z max ＝4.『答案』46．(2013·北京高考)设D 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，2x －y ≤0，x ＋y －3≤0所表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．『解析』作出可行域，如图中阴影部分所示，则根据图形可知，点B (1,0)到直线2x －y ＝0的距离最小，d ＝|2×1－0|22＋1＝255，故最小距离为255.『答案』255。
新高考数学一轮复习第七章不等式3第3讲二元一次不等式组及简单的线性规划问题教学案
第3讲二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式(组)表示区域Ax＋By＋C>0(<0) 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax＋By＋C≥0(≤0)包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x，y)，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．3．线性规划的有关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝x＋2y线性目标函数关于x，y的一次函数解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．( )(2)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域．( )(3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．( )(4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．( )(5)在目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．( )答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×[教材衍化]1．(必修5P91练习T1(1)改编)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则z ＝2x ＋y ＋1的最大值、最小值分别是________，________．解析：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A (－1，－1)，B (2，－1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，画直线l 0：y ＝－2x ，平移l 0过点B 时，z max ＝4，平移l 0过点A 时，z min ＝－2.答案：4 －22．(必修5P91练习T2改编)投资生产A 产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B 产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金 1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为________________．(用x ，y 分别表示生产A ，B 产品的吨数，x 和y 的单位是百吨)解析：用表格列出各数据A B 总数 产品吨数 xy资金 200x 300y 1 400 场地200x100y900x y x y x y 答案：⎩⎪⎨⎪⎧200x ＋300y ≤1 400，200x ＋100y ≤900，x ≥0，y ≥0[易错纠偏](1)不会用代点法判断平面区域；(2)不明确目标函数的最值与等值线截距的关系； (3)不理解目标函数的几何意义； (4)对“最优解有无数个”理解有误．1．点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则t 的取值范围是__________． 解析：因为直线2x －3y ＋6＝0的上方区域可以用不等式2x －3y ＋6＜0表示，所以由点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方得－4－3t ＋6＜0，解得t ＞23.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞2．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的最大值为________．解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作直线x －y ＝0，平移直线经过点A (1，0)时，目标函数z ＝x －y 取得最大值，最大值为1.答案：13．已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，则z＝y －1x ＋3的最大值为________．解析：作出可行域如图中阴影部分所示，问题转化为区域上哪一点与点M (－3，1)连线斜率最大，观察知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，52，使k MA 最大，z max＝k MA ＝52－1－52＋3＝3.答案：34．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，若使得z ＝ax ＋y 取最大值的点(x ，y )有无数个，则a的值为________．解析：先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，当直线z ＝ax ＋y 和直线AB 重合时，z 取得最大值的点(x ，y )有无数个，所以－a ＝k AB ＝1，所以a ＝－1.答案：－1二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32 B.23 C.43D.34(2)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．【解析】 (1)不等式组所表示平面区域如图所示(阴影部分)．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4得A (1，1)，易得B (0，4)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43，|BC |＝4－43＝83.故S △ABC ＝12×83×1＝43.(2)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图所示(阴影部分)．解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，2x ＋y ＝2得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23；解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，2x ＋y ＝2得B (1，0)．若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x ＋y ＝a 中的a 的取值范围是0<a ≤1或a ≥43.【答案】 (1)C (2)(0，1]∪[43，＋∞)二元一次不等式(组)表示的平面区域的确定方法(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是：“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式(组)．若满足不等式(组)，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域；(2)当不等式中带等号时，边界应画为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)大致是( )解析：选 C.(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0，与选项C 符合．故选C.求线性目标函数的最值(范围)(高频考点)线性目标函数的最值(范围)问题是每年高考的热点，属必考内容，题型多为选择题和填空题，难度适中，属中档题．主要命题角度有：(1)求线性目标函数的最值(范围)；(2)已知线性目标函数的最值(范围)求参数值(范围)； (3)求非线性目标函数的最值(范围)． 角度一 求线性目标函数的最值(范围)(2019·高考浙江卷)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4≥0，3x －y －4≤0，x ＋y ≥0，则z ＝3x ＋2y 的最大值是( )A ．－1B ．1C ．10D ．12【解析】 作出可行域如图中阴影部分所示，数形结合可知，当直线z ＝3x ＋2y 过点(2，2)时，z 取得最大值，z max ＝6＋4＝10.故选C.【答案】 C角度二 已知线性目标函数的最值(范围)求参数值(范围)(2020·嘉兴市高考模拟)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －3≤0y －1≥0x －y ＋1≥0，若ax ＋y 的最大值为10，则实数a ＝( )A ．4B ．3C ．2D ．1【解析】 画出满足条件的平面区域，如图所示(阴影部分)：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x －y ＋1＝0， 解得A (3，4)，令z ＝ax ＋y ，因为z 的最大值为10，所以直线在y 轴上的截距的最大值为10，即直线过(0，10)， 所以z ＝ax ＋y 与可行域有交点， 当a ＞0时，直线经过A 时z 取得最大值．即ax ＋y ＝10，将A (3，4)代入得，3a ＋4＝10，解得a ＝2，当a ≤0时，直线经过A 时z 取得最大值，即ax ＋y ＝10，将A (3，4)代入得，3a ＋4＝10，解得a ＝2，与a ≤0矛盾，综上a ＝2.【答案】 C角度三 求非线性目标函数的最值(范围)若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( )A.355 B. 2 C.322D. 5【解析】 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥02x －y －3≤0x －2y ＋3≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A (1，2)、B (2，1)，当两条平行直线间的距离最小时，两平行直线分别过点A 与B ，又两平行直线的斜率为1，直线AB 的斜率为－1，所以线段AB 的长度就是过A 、B 两点的平行直线间的距离，易得|AB |＝2，即两条平行直线间的距离的最小值是2，故选B.【答案】 B(1)利用线性规划求目标函数最值的步骤 ①画出约束条件对应的可行域；②将目标函数视为动直线，并将其平移经过可行域，找到最优解对应的点； ③将最优解代入目标函数，求出最大值或最小值． 常见的目标函数有：(ⅰ)截距型：形如z ＝ax ＋by ；(ⅱ)距离型：形如z ＝（x －a ）2＋（y －b ）2；(ⅲ)斜率型：形如z ＝y －b x －a. (2)含参数的线性规划问题参数的位置可能在目标函数中，也可能在约束条件中，求解步骤为：①注意对参数取值的讨论、将各种情况下的可行域画出来；②在符合题意的可行域里，寻求最优解．[提醒] 求目标函数的最值时，易弄错目标函数的几何意义而求错．如x 2＋y 2是距离的平方，易忽视平方而求错．1．(2020·温州七校联考)实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧xy ≥0|x ＋y |≤1，使z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有2个，则z 1＝ax ＋y ＋1的最小值为( )A ．0B ．－2C ．1D ．－1解析：选A.画出不等式组所表示的可行域如图中阴影所示，因为z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有2个，所以－a ＝1，a ＝－1，所以当x ＝1，y ＝0或x ＝0，y ＝－1时，z ＝ax ＋y＝－x ＋y 有最小值－1，所以ax ＋y ＋1的最小值是0，故选A.2．(2020·温州市高考模拟)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y －x ＋1≥0x ＋y －2≤0x ，y ≥0，则y 的最大值为________，y ＋1x ＋2的取值范围是________． 解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y －x ＋1≥0x ＋y －2≤0x ，y ≥0，对应的平面区域如图(阴影部分)：可知A 的纵坐标取得最大值2. 设z ＝y ＋1x ＋2，则z 的几何意义为区域内的点到定点D (－2，－1)的斜率，由图象知BD 的斜率最小，AD 的斜率最大，则z 的最大为2＋10＋2＝32，最小为0＋11＋2＝13，即13≤z ≤32，则z ＝y ＋1x ＋2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，32.答案：2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，323．(2020·绍兴一中高三期中)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1y ≥2x －1x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝abx＋y (a ＞0，b ＞0)的最大值为35，则a ＋b 的最小值为________．解析：满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1y ≥2x －1x ≥0，y ≥0的区域是一个四边形，如图所示四个顶点分别是(0，0)，(0，1)，⎝⎛⎭⎪⎫12，0，(2，3)，由图易得目标函数在(2，3)取最大值35，即35＝2ab ＋3，所以ab ＝16，所以a ＋b ≥2ab ＝8，当a ＝b ＝4时等号成立， 所以a ＋b 的最小值为8. 答案：8线性规划的实际应用某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．【解析】 由题意，设产品A 生产x 件，产品B 生产y 件，利润z ＝2 100x ＋900y ，线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，y ≥0，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，又由x ∈N ，y ∈N ，可知取得最大值时的最优解为(60，100)， 所以z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)． 【答案】 216 000利用线性规划解决实际问题的步骤(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，主要变量有哪些．由于线性规划应用题中的量较多，为了了解题目中量与量之间的关系，可以借助表格或图形；(2)设元：设问题中起关键作用的(或关联较多的)量为未知量x ，y ，并列出相应的不等式组和目标函数；(3)作图：准确作图，平移找点(最优解)； (4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)； (5)检验：根据结果，检验反馈．某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元解析：选C.设旅行社租用A 型客车x 辆，B 型客车y 辆，租金为z ，则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y －x ≤7，36x ＋60y ≥900，x ，y ∈N .目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y .画出可行域(图中所示阴影中的整点部分)，可知目标函数过点N (5，12)时，有最小值z min ＝36 800(元)．[基础题组练]1．二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤12，2x ＋3y ≥－6，0≤x ≤6所表示的平面区域的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．1213解析：选C.不等式组所表示的平面区域如图阴影部分，四边形ABCD 是平行四边形，由图中数据可知其面积S ＝(4＋2)×6＝36.2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥0，x ＋2y －2≥0，x ≤0，y ≤3，则目标函数z ＝x ＋y 的最大值为( )A.23 B ．1 C.32D ．3解析：选D.作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z ，作出直线y ＝－x ，平移使之经过可行域，观察可知，最优解在B (0，3)处取得，故z max ＝0＋3＝3，选项D 符合．3．(2020·浙江名校联盟联考)已知实数x ，y满足⎩⎪⎨⎪⎧（x －y ）（x ＋2y ）≥0x ≥1，则2x －y ( )A ．有最小值，无最大值B ．有最大值，无最小值C ．有最小值，也有最大值D ．无最小值，也无最大值解析：选A.作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．设2x －y ＝z ，则y ＝2x －z ，z 表示直线在y 轴上的截距的相反数．平移直线y ＝2x －z ，可得当直线过点A 时z 取得最小值，z 没有最大值．故选A.4．(2020·台州高三质检)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥0，y ≥m 表示的平面区域的面积为2，则x ＋y ＋2x ＋1的最小值为( ) A.32 B.43 C ．2D ．4解析：选B.画出不等式组所表示的区域(阴影部分)，由区域面积为2，可得m ＝0.而x ＋y ＋2x ＋1＝1＋y ＋1x ＋1，y ＋1x ＋1表示可行域内任意一点与点(－1，－1)连线的斜率，所以y ＋1x ＋1的最小值为0－（－1）2－（－1）＝13，所以x ＋y ＋2x ＋1的最小值为43.5．(2020·金华十校联考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤a ，x ＋y ≥8，x ≥6且不等式x ＋2y ≤14恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[8，10]B ．[8，9]C ．[6，9]D ．[6，10]解析：选A.不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，显然a ≥8，否则可行域无意义．由图可知x ＋2y 在点(6，a －6)处取得最大值2a －6，由2a －6≤14得，a ≤10，故选A.6．(2020·温州适应性测试)在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，若目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则yx －a的最大值是( )A.25 B.23 C.16D.14解析：选A.易知a ≠0，那么目标函数可化为y ＝－1a x ＋1az .要使目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则－1a ＝k AC ＝1，则a ＝－1，故y x －a ＝yx ＋1，其几何意义为可行域内的点(x ，y )与点M (－1，0)的连线的斜率，可知⎝⎛⎭⎪⎫y x ＋1max＝k MC＝25，故选A.7．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4则z ＝－x ＋y 的最小值是________．解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，其中A (1，1)，B ⎝⎛⎭⎪⎫0，43，C (0，4)．经过点A 时，目标函数z 达到最小值． 所以z min ＝－1＋1＝0. 答案：08．(2020·杭州中学高三期中)已知点A (3，3)，O 为坐标原点，点P (x ，y )满足⎩⎨⎧3x －y ≤0x －3y ＋2≥0y ≥0，则满足条件的点P 所形成的平面区域的面积为________，OP →在OA →方向上投影的最大值为________．解析：由已知得到平面区域如图，P 所在区域即为阴影部分，由⎩⎨⎧3x －y ＝0x －3y ＋2＝0得到C (－2，0)，B (1，3)，所以其面积为12×2×3＝ 3.令OP →在OA →方向上投影为z ＝OA →·OP →|OA →|＝3x ＋3y 23＝32x ＋12y ，所以y ＝－3x ＋2z ，过点B时z 最大，所以，OP →在OA →方向上投影的最大值为32＋32＝ 3.答案： 339．给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．解析：画出平面区域D ，如图中阴影部分所示．作出z ＝x ＋y 的基本直线l 0：x ＋y ＝0.经平移可知目标函数z ＝x ＋y 在点A (0，1)处取得最小值，在线段BC 处取得最大值，而集合T表示z ＝x ＋y 取得最大值或最小值时的整点坐标，在取最大值时线段BC 上共有5个整点，分别为(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)，故T 中的点共确定6条不同的直线．答案：610．(2020·温州市高考实战模拟)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥03x ＋4y ≤12，则z ＝2x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y的最大值为________． 解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥03x ＋4y ≤12表示的平面区域如图中阴影部分所示．又z ＝2x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y＝2x －y，令u ＝x －y ，则直线u ＝x －y 在点(4，0)处u 取得最大值，此时z 取得最大值且z max ＝24－0＝16.答案：1611．(2020·杭州市高三模拟)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0x ≤1x －2y ≥0.求：(1)x 的取值范围； (2)|x |＋|y |的取值范围．解：(1)由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0x ≤1x －2y ≥0作出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，0≤x ≤1. (2)当x ≥0，y ≥0时，z ＝|x |＋|y |＝x ＋y 过(1，12)时有最大值为32，过O (0，0)时有最小值0； 当x ≥0，y ≤0时，z ＝|x |＋|y |＝x －y 过(1，－1)时有最大值为2，过O (0，0)时有最小值0.所以|x |＋|y |的取值范围是[0，2]．12．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1，0)处取得最小值，求a 的取值范围． 解：(1)作出可行域如图中阴影部分所示，可求得A (3，4)，B (0，1)，C (1，0)．平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3，4)时z 取最小值－2，过C (1，0)时z 取最大值1.所以z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1，0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故a 的取值范围是(－4，2)．[综合题组练]1．(2020·浙江“七彩阳光”联盟高三联考)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥－2x －y ≤0x ≥－4，若不等式2x －y ＋m 2≥0恒成立，则实数m 的取值范围为( )A ．[－6，6]B ．(－∞，－6]∪[6，＋∞)C ．[－7，7]D ．(－∞，－7]∪[7，＋∞)解析：选D.作出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥－2x －y ≤0x ≥－4所对应的可行域(如图中阴影部分)，令z ＝－2x ＋y ，当直线经过点A (－4，－1)时，z 取得最大值，即z max ＝(－2)×(－4)＋(－1)＝7.所以m 2≥7，即实数m 的取值范围为(－∞，－7]∪[7，＋∞)，故选D.2．(2020·温州校级月考)已知二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4≥0x －y －2≤0x －3y ＋4≥0所表示的平面区域为M .若M 与圆(x －4)2＋(y －1)2＝a (a >0)至少有两个公共点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5B ．(1，5) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，5 D ．(1，5]解析：选C.如图所示(阴影部分)，若使以(4，1)为圆心的圆与平面区域M 至少有两个交点，结合图形，当圆与直线x －y －2＝0相切时，恰有一个公共点，此时a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12，当圆的半径增大到恰好过点C (2，2)时，圆与平面区域M 至少有两个公共点，此时a ＝5，故实数a 的取值范围是12<a ≤5.3．(2020·丽水模拟)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥1，x －y ≤1，y －1≤0，若z ＝x －2y 的最大值与最小值分别为a ，b ，且方程x 2－kx ＋1＝0在区间(b ，a )上有两个不同的实数解，则实数k 的取值范围是____________．解析：作出可行域，如图所示(阴影部分)，则目标函数z ＝x －2y 在点(1，0)处取得最大值1，在点(－1，1)处取得最小值－3，所以a ＝1，b ＝－3，从而可知方程x 2－kx ＋1＝0在区间(－3，1)上有两个不同的实数解．令f (x )＝x 2－kx ＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧f （－3）＞0，f （1）＞0，－3＜k2＜1，Δ＝k 2－4＞0⇒－103＜k ＜－2.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，－2 4．设a ＞0，集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）|⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y －4≤0，x －y ＋2a ≥0，B ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －1)2≤a 2}．若“点P (x ，y )∈A ”是“点P (x ，y )∈B ”的必要不充分条件，则a 的取值范围是____________．解析：由题意知B A ，从而得到圆面的半径≤圆心到相应直线的距离，即⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ≤3，|1＋1－4|2≥a ，|1－1＋2a |2≥a ，解得0＜a ≤ 2.答案：0＜a ≤ 25．甲、乙两工厂根据赛事组委会要求为获奖者订做某工艺品作为奖品，其中一等奖奖品3件，二等奖奖品6件；制作一等奖、二等奖所用原料完全相同，但工艺不同，故价格有所差异．甲厂收费便宜，但原料有限，最多只能制作4件奖品，乙厂原料充足，但收费较贵，其具体收费如下表所示，求组委会订做该工艺品的费用总和最低为多少元．解：设甲厂生产一等奖奖品x 件，二等奖奖品y 件，x ，y ∈N ， 则乙厂生产一等奖奖品(3－x )件，二等奖奖品(6－y )件．则x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，3－x ≥0，6－y ≥0，x ，y ≥0，设费用为z 元，则z ＝500x ＋400y ＋800(3－x )＋600(6－y )＝－300x －200y ＋6 000，作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分(包括边界)所示．由图象知当直线经过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x ＋y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，即A (3，1)，故组委会订做该工艺品的费用总和最低为z min ＝－300×3－200×1＋6 000＝4 900(元)．6．已知正数a ，b ，c 满足：5c －3a ≤b ≤4c －a ，c ln b ≥a ＋c ln c ，求ba的取值范围． 解：条件5c －3a ≤b ≤4c －a ，c ln b ≥a ＋c ln c 可化为：⎩⎪⎨⎪⎧3·a c ＋b c≥5，a c ＋b c≤4，b c ≥e a c .设a c＝x ，b c＝y ，则题目转化为：已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≥5，x ＋y ≤4，y ≥e x，x ＞0，y ＞0，求yx 的取值范围．求目标函数z ＝b a ＝y x的取值范围．作出不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分)，过原点作y ＝e x的切线，切线方程为y ＝e x ，切点P (1，e)在区域内．故当直线y ＝zx 过点P (1，e)时，z min ＝e ；当直线y ＝zx 过点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，72时，z max ＝7，故b a ∈[e ，7]．。
第7章一元一次不等式及不等式期末复习教学案
第七章 一元一次不等式及不等式组期末复习教学案【知识要点】、1.不等式： 式子叫做不等式。
2.表示不等式关系的符号及其意义．（1）“≠”读作“不等于”，它说明两个量之间的关系是不等的，但不能说明两个量谁大谁小； （2）“＞”读作“大于”，它表示其左边的数比右边的数大； （3）“＜”读作“小于”，它表示其左边的数比右边的数小；（4）“≥”读作“大于或等于”，其意义是指左边的数不小于右边的数； （5）“≤”读作“小于或等于”，其意义是指左边的数不大于右边的数；3.（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做 ；（2）不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全集叫做 ； （3）解不等式：求不等式解集的过程叫做 ． 4. 不等式解集的表示方法（1）用不等式表示：不等式的解集是一个范围，这个范围可以用一个最简单的不等式来表示．（2）用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，要注意一是定方向，二是定边界点，大于向右画，小于向左画；无等于号时边界点处画空心圆圈，有等于号时边界点处用实心圆点表示一定要注意不等号“ ＞” ,“ ＜ ”与“ ≥" “≤”在数轴上画法的区别．5.等式的解与不等式的解集的联系与区别．（1）联系： ； （2）区别： ．6.不等式的性质．（重点）不等式的性质 1 ：不等式的两边 ，不等号的方向不变．不等式的性质 2 ：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向 ；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向 ．7.一元一次不等式 （重点）：（1）只含一个未知数，并且未知数的最高次数是1系数不等于0不等式，叫做 ． （2）一元一次不等式的一般形式为：b ax+＞0或b ax +＜0（0≠a ）8. 叫做一元一次不等式组。
叫做这个不等式组的解集。
9.一元一次方程与一次函数、二元一次方程（组）与一次函数的联系．（重点）（1）任何一元一次方程都可以转化为)0,(0≠=+a b a bax 为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线b ax y +=，确定它与x 轴的交点的横坐标的值．（2）二元一次方程与一次函数的联系．若k ，b表示常数且k ≠0，则b kx y =-为二元一次方程，有无数个解，将其变形可得b kx y +=，将 x ，y 看作自变量、因变量，则b kx y +=是一次函数．事实上，以方程b kx y =-的解为坐标的点组成的图象与一次函数b kx y +=的图象相同．（3）二元一次方程组与一次函数的联系．二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 解一可以看作是两个一次函数1111b cx b a y +-=和2222b cx b a y +-=图像的交点．11.一元一次不等式与一次函数的联系． （重点）（1）任何一个一元一次不等式都可以转化为b ax+＞0或b ax+＜0（a ，b为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大（小）于0时，求自变量的取值范围． （2）一次函数b kx y +=与一元一次方程0=+b kx 和一元一次不等式的关系：函数b kx y +=的图象在x 轴上方的点所对应的自变量x 的值，即为不等式b kx+＞0的解集；在x 轴上的点所对应的自变量x 的值，即为方程0=+b kx 的解；在x 轴下方的点所对应的自变量x 的值，即为不等式b kx +＜0的解集．【典型例题】【例1】下列式子中哪些是不等式？（1）x+y=y+x (2)－4>－6 (3)x ≠5 (4)x ＋2>5 (5)3x<y (6)2a －b 解：是不等式的是： （填序号） 【例2】用不等式表示下列关系。
高考数学一轮复习第七章不等式第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件理
(2)对于选项 A，当 m＝－2 时，可行域如图①，直线 y＝2x－z 的截矩可以无限小，z 不存在最大值，不符合题意，故 A 不正确；
对于选项 B，当 m＝－1 时图②，直线 y＝2x－z 的截矩可以无限小，z 不存在最大值，不 符合题意，故 B 不正确；
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(3)
不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当 a＝0 时， 只有 4 个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当 a＝－1 时，正好增加 (－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共 5 个整点．
答案：(1)A (2)B (3)－1
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线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的
双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角函数、概率、解析几何
等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新
颖别致，且主要有以下几个命题角度：
角度一：转化为截距(形如：z＝ax＋by)
[典题 2]
(1)设 x，y 满足约束条件xx＋－y3－y＋7≤1≤0，0， 3x－y－5≥0，
解方程组xx＝－3y＋，5＝0， 得 A 点的坐标为(3,8)，代入 z＝(x＋ 1)2＋y2，得 zmax＝(3＋1)2＋82＝80.
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(2)法一：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所 示．z＝|x＋2y－4|＝|x＋2y5－4|· 5，即其几何含义为阴影区域内的 点到直线 x＋2y－4＝0 的距离的 5倍．
则 z＝2x－y
的最大值为( )
A．10
B．8
C．3
D．2
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x＋y－2≤0， (2)(2015·新课标全国卷Ⅰ)若 x，y 满足约束条件x－2y＋1≤0，
高考数学复习知识点讲解教案第3讲 等式与不等式
> 1，，， >
0，则
0，则
>
<
+
+
+
+
< 1；
> 1.
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1.［教材改编］
设 = + 2， = +
[解析] ∵ − = +
2
2
+ 1 − + 2 =
≥
+ 1，则与的大小关系是_______.
2
− 2 + 1 = − 1
不等式中不成立的是(
)
D
D.
A. + > +
B. >
C. <
>
［思路点拨］（1）利用不等式的性质判断选项A，B，利用平方法判断选项C，
进而判断选项D即可.
[解析] ∵ > > > > 0，∴ + > + ， > ，故A，B中不等式成立；
< 0，可得 < < 0，即能推出 > ；反之，
1
0.所以“
<
1
< 0”是“ > ”的充分不必要条件，故B正确.
对于C，若 > ，则当 = −2， = 1时，满足 > ，但 < ；反之，
若 > ，则当 = 2， = −3时，满足 > ，但 < .
<
（2）传递性: > , > ⇒ > （单向性）.
高考数学一轮复习第7章不等式3第3讲二元一次不等式组及简单的线性规划问题教案理
第3讲二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题1．二元一次不等式(组)表示的平面区域满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x，y)，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．3．线性规划的有关概念判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．( )(2)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域．( )(3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．( )(4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．( )(5)在目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( )答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×(教材习题改编)不等式x －2y ＋6＜0表示的区域在直线x －2y ＋6＝0的( ) A ．右上方 B ．右下方 C ．左上方D ．左下方解析：选C.画出x －2y ＋6＜0的图象如图所示，可知该 区域在直线x －2y ＋6＝0的左上方．故选C.(2017·高考天津卷)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥0，x ＋2y －2≥0，x ≤0，y ≤3，则目标函数z ＝x ＋y 的最大值为( ) A.23 B ．1 C.32D ．3解析：选D.作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z ，作出直线y ＝－x ，平移使之经过可行域，观察可知，最优解在B (0，3)处取得，故z max ＝0＋3＝3，选项D 符合．.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域的面积为________．解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC 的面积即所求．求出点A ，B ，C 的坐标分别为A (1，2)，B (2，2)，C (3，0)，则△ABC 的面积为S ＝12×(2－1)×2＝1.答案：1(2017·高考全国卷Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值为________．解析：画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线y ＝32x －z2过点A 时，在y 轴上的截距最大，此时z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1，2x ＋y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.所以z min ＝－5. 答案：－5二元一次不等式(组)表示的平面区域[典例引领](1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32 B.23 C.43D.34(2)若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( ) A.355B. 2C.322D. 5【解析】 (1)不等式组所表示平面区域如图所示．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4得A (1，1)，易得B (0，4)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43，|BC |＝4－43＝83.故S △ABC ＝12×83×1＝43.(2)画出平面区域表示的可行域如图阴影部分所示．易求得A (1，2)，B (2，1)．因为k AB ＝－1，所以|AB |即为所求的最小距离，|AB |＝（1－2）2＋（2－1）2＝ 2. 【答案】 (1)C (2)B若本例(1)中平面区域为D ，且直线y ＝a (x ＋1)与D 有公共点，求实数a 的取值范围． 解：由例题(1)解析知，不等式组表示的可行域如图，因为直线y ＝a (x ＋1)恒过定点C (－1，0)，由图并结合题意易知k AC ＝12，k BC ＝4，所以要使直线y ＝a (x ＋1)与平面区域D 有公共点，则12≤a ≤4.二元一次不等式(组)表示的平面区域的确定方法(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是：“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式(组)．若满足不等式(组)，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域；(2)当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．[通关练习]1．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)大致是( )解析：选C.(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0，与选项C 符合．故选C.2．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )A ．a <5B ．a ≥7C ．5≤a <7D ．a <5或a ≥7解析：选C.如图，当直线y ＝a 位于直线y ＝5和y ＝7之间(不含y ＝7)时满足条件，故选C.求线性目标函数的最值(范围)(高频考点)线性目标函数的最值(范围)问题是每年高考的热点，题型多为选择题和填空题，难度为中档题．高考对线性目标函数最值(范围)问题的考查有以下三个命题角度： (1)求线性目标函数的最值(范围)；(2)已知线性目标函数的最值(范围)求参数值(范围)； (3)求非线性目标函数的最值(范围)．[典例引领]角度一 求线性目标函数的最值(范围)(2017·高考全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( ) A ．－15 B ．－9 C ．1D ．9【解析】 法一：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0对应的可行域，如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A (0，1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，当直线z ＝2x ＋y 过点B (－6，－3)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－6)－3＝－15，选择A.法二：易求可行域顶点A (0，1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，分别代入目标函数，求出对应的z 的值依次为1，－15，9，故最小值为－15. 【答案】 A角度二 已知线性目标函数的最值(范围)求参数值(范围)(2018·惠州市第三次调研考试)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0x ＋y ≤2y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a 等于( ) A ．3 B ．2 C ．－2D ．－3【解析】 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0x ＋y ≤2y ≥0表示的平面区域如图阴影部分所示．易知A (2，0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0x ＋y ＝2，得B (1，1)．由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z ，所以当a ＝－2或a ＝－3时，z ＝ax ＋y 在点O (0，0)处取得最大值，最大值为z max ＝0，不满足题意，排除C ，D ；当a ＝2或a ＝3时，z ＝ax ＋y 在点A (2，0)处取得最大值，所以2a ＝4，所以a ＝2，故选B. 【答案】 B角度三 求非线性目标函数的最值(范围)(2018·成都市第一次诊断性检测)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4≤0x －2y －2≤0，x －1≥0则y －1x的最小值为________．【解析】 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，因为y －1x表示平面区域内的点与定点P (0，1)连线的斜率．由图知，点P 与点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12连线的斜率最小，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫y －1x min＝k PA ＝－12－11－0＝－32.【答案】 －32线性规划两类问题的解决方法(1)求不含参数的目标函数的最值：画出可行域后，要根据目标函数的几何意义求解，常见的目标函数有：①截距型：形如z ＝ax ＋by ；②距离型：形如z ＝（x －a ）2＋（y －b ）2；③斜率型：形如z ＝y －b x －a.(2)含参数的线性规划问题：参数的位置可能在目标函数中，也可能在约束条件中，求解步骤为：①注意对参数取值的讨论、将各种情况下的可行域画出来；②在符合题意的可行域里，寻求最优解．[提醒] 求目标函数的最值时，易弄错目标函数的几何意义而求错．如x 2＋y 2是距离的平方，易忽视平方而求错．[通关练习]1．(2017·高考全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0x ≥0y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( ) A ．[－3，0] B ．[－3，2] C ．[0，2]D ．[0，3]解析：选B.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线l 0：y ＝x ，平移直线l 0，当直线z ＝x －y 过点A (2，0)时，z 取得最大值2，当直线z ＝x －y 过点B (0，3)时，z 取得最小值－3，所以z ＝x －y 的取值范围是[－3，2]，故选B.2．(2018·惠州市第三次调研考试)已知实数x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＋5≥0x ＋y －1≤0，x ＋a ≥0若z ＝x ＋2y 的最小值为－4，则实数a ＝( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8解析：选B.作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线z ＝x ＋2y 经过点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，a －53时，z 取得最小值－4，所以－a ＋2·a －53＝－4，解得a ＝2.3．(2018·太原市模拟试题)已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＋3≥02x －y ＋2≤0，x ＋2y －4≤0则z ＝x 2＋y 2的取值范围为( ) A ．[1，13]B ．[1，4]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，4 解析：选C.不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由此得z ＝x 2＋y 2的最小值为点O 到直线BC ：2x －y ＋2＝0的距离的平方，z min ＝45，最大值为点O 与点A (－2，3)的距离的平方，z max ＝|OA |2＝13.线性规划的实际应用[典例引领](2016·高考全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．【解析】 由题意，设产品A 生产x 件，产品B 生产y 件，利润z ＝2 100x ＋900y ，线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，y ≥0，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，又由x ∈N ，y ∈N ，可知取得最大值时的最优解为(60，100)，所以z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．【答案】216 000利用线性规划解决实际问题的五步曲某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( ) A ．31 200元 B ．36 000元 C ．36 800元D ．38 400元解析：选C.设租用A 型车x 辆，B 型车y 辆，目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y ，则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧36x ＋60y ≥900，x ＋y ≤21，y －x ≤7，x ，y ∈N ，作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5，12)时，有最小值z min ＝36 800(元)．利用线性规划求目标函数最值的步骤(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线l ；(2)平移——将直线l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置，有时需要进行直线l 和可行域边界的斜率的大小比较；(3)求值——解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．求z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值的方法将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－ab x ＋z b ，通过求直线的截距z b的最值间接求出z 的最值．(1)当b >0时，截距zb 取最大值时，z 也取最大值；截距z b取最小值时，z 也取最小值； (2)当b <0时，截距z b取最大值时，z 取最小值；截距z b取最小值时，z 取最大值．易错防范(1)画出平面区域，避免失误的重要方法就是首先将二元一次不等式化为ax ＋by ＋c >0(a >0)的形式；(2)线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．1．(2018·长春模拟)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2<0表示的平面区域是( )解析：选B.x －3y ＋6≥0表示直线x －3y ＋6＝0以及该直线下方的区域，x －y ＋2<0表示直线x －y ＋2＝0上方的区域，故选B.2．二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤12，2x ＋3y ≥－6，0≤x ≤6所表示的平面区域的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．1213解析：选C.不等式组所表示的平面区域如图阴影部分，四边形ABCD 是平行四边形，由图中数据可知其面积S ＝(4＋2)×6＝36.3．(2018·合肥市第一次教学质量检测)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0x －y ≤0x ＋y －6≤0，则x －2y的最大值为( ) A ．－9B ．－3C ．－1D ．3解析：选C.画出可行域，如图中阴影部分所示，令z ＝x －2y ，可知z ＝x －2y 在点(1，1)处取得最大值－1，故选C.4．(2018·河南郑州模拟)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ＋2，x ＋y ≤6，x ≥1，则z ＝2|x －2|＋|y |的最小值是( ) A ．6 B ．5 C ．4D ．3解析：选C.画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ＋2，x ＋y ≤6，x ≥1表示的可行域，如图阴影部分，其中A (2，4)，B (1，5)，C (1，3)，所以x ∈[1，2]，y ∈[3，5]．所以z ＝2|x －2|＋|y |＝－2x ＋y ＋4，当直线y ＝2x －4＋z 过点A (2，4)时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 有最小值，所以z min ＝－2×2＋4＋4＝4，故选C.5．(2018·河南郑州一中押题卷二)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧3x －y ＋3≥0，3x ＋y －3≤0，y ≥0，则当y ＋1x ＋3取最大值时，x ＋y 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．－ 3D. 3解析：选D.作出可行域如图中阴影部分所示，y ＋1x ＋3的几何意义是过定点M (－3，－1)与可行域内的点(x ，y )的直线的斜率，由图可知，当直线过点A (0，3)时，斜率取得最大值，此时x ，y 的值分别为0，3，所以x ＋y ＝ 3.故选D.6．(2017·高考全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________．解析：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l ：3x －4y ＝0，平移直线l ，当直线z ＝3x －4y 经过点A (1，1)时，z 取得最小值，最小值为3－4＝－1.答案：－17．(2018·广东茂名模拟)已知点A (1，2)，点P (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，x ＋3y －3≥0，O 为坐标原点，则z ＝OA →·OP →的最大值为________．解析：由题意知z ＝OA →·OP →＝x ＋2y ，作出可行域如图阴影部分，作直线l 0：y ＝－12x ，当l 0移到过A (1，2)的l 的位置时，z 取得最大值，即z max ＝1＋2×2＝5.答案：58．(2018·西安市八校联考)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0x ＋y ≥0y ≤a，若z ＝x ＋2y 的最大值为3，则a的值是________．解析：依题意得a >0，在平面直角坐标系内大致画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≥0，y ≤a表示的平面区域，结合图形可知，直线z ＝x ＋2y 经过直线y ＝a 与直线x －y ＝0的交点，即点(a ，a )时，z ＝x ＋2y 取得最大值3，因此a ＋2a ＝3，a ＝1. 答案：19.已知D 是以点A (4，1)，B (－1，－6)，C (－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．如图所示． (1)写出表示区域D 的不等式组；(2)设点B (－1，－6)，C (－3，2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求a 的取值范围．解：(1)直线AB 、AC 、BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0，4x ＋y ＋10＝0.原点(0，0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a ][4×(－3)－3×2－a ]<0， 即(14－a )(－18－a )<0， 得a 的取值范围是－18<a <14.10．变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z ＝yx，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的最大值．解：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.作出(x ，y )的可行域如图阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋5y －25＝0， 解得A ⎝⎛⎭⎪⎫1，225.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1，1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5，2)．(1)因为z ＝y x ＝y －0x －0，所以z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率，观察图形可知z min＝k OB ＝25.(2)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3，2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3，2)的距离中，d max ＝（－3－5）2＋（2－2）2＝8，故z 的最大值为64.1．(2018·河南安阳模拟)已知z ＝2x ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥a ，且z 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是( ) A.211 B.14 C ．4D.112解析：选B.作出不等式组对应的平面区域如图：由z ＝2x ＋y 得y ＝－2x ＋z ， 平移直线y ＝－2x ，由图可知当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，直线的纵截距最大， 此时z 最大，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝x 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1， 即A (1，1)，z max ＝2×1＋1＝3，当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时，直线的纵截距最小，此时z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝x 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝a ， 即B (a ，a )，z min ＝2×a ＋a ＝3a ， 因为z 的最大值是最小值的4倍， 所以3＝4×3a ，即a ＝14，故选B.2．(2018·石家庄市教学质量检测(二))若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0x －y ≤0x 2＋y 2≤4，则z ＝y －2x ＋3的最小值为( ) A ．－2 B ．－23C ．－125D.2－47解析：选C.作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，因为目标函数z ＝y －2x ＋3表示区域内的点与点P (－3，2)连线的斜率．由图知当区域内的点与点P 的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为y －2＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＋2＝0，则有|3k ＋2|k 2＋1＝2，解得k ＝－125或k ＝0(舍去)，所以z min ＝－125，故选C.3．(2018·陕西省高三教学质量检测试题(一))点(x ，y )满足不等式|x |＋|y |≤1，Z ＝(x －2)2＋(y －2)2，则Z 的最小值为________．解析：|x |＋|y |≤1所确定的平面区域如图中阴影部分所示，目标函数Z ＝(x －2)2＋(y －2)2的几何意义是点(x ，y )到点P (2，2)距离的平方，由图可知Z 的最小值为点P (2，2)到直线x ＋y ＝1距离的平方，即为⎝⎛⎭⎪⎫2＋2－122＝92.答案：924．(2018·山西五校联考)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y －1≥0，x －y ＋2≥0，x ＋4y －8≤0表示的平面区域为Ω，直线x ＝a (a >1)将平面区域Ω分成面积之比为1∶4的两部分，则目标函数z ＝ax ＋y 的最大值为________． 解析：如图，平面区域Ω为△ABC 及其内部，作直线x ＝a (1<a <4)交BC 、AC 分别于点E 、F .由题意可知S △EFC ＝15S △ABC ，则12(4－a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a ＋2－1＝15×12×5×1＝12，可得a ＝2，所以目标函数z ＝ax ＋y 即为z ＝2x ＋y ，易知z ＝2x ＋y 在点C (4，1)处取得最大值，则z max ＝9.答案：95．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1，0)处取得最小值，求a 的取值范围． 解：(1)作出可行域如图，可求得A (3，4)，B (0，1)，C (1，0)．平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3，4)时z 取最小值－2，过C (1，0)时z 取最大值1.所以z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1，0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故a 的取值范围是(－4，2)．6．(2017·高考天津卷)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．(1)用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？解：(1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，x ≤2y ，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ≤60，x ＋y ≥6，x －2y ≤0，x ≥0，y ≥0，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：(2)设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y .考虑z ＝60x ＋25y ，将它变形为y ＝－125x ＋z 25，这是斜率为－125，随z 变化的一族平行直线.z 25为直线在y 轴上的截距，当z25取得最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截距z25最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，得点M 的坐标为(6，3)．所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
高三数学一轮复习精品教案3：7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
第3课时 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组． 3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．『梳理自测』一、二元一次不等式表示的平面区域1、如图所示，阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －2y ＋2≥0B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0x －2y ＋2≤0C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －2y ＋2≤0D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0x －2y ＋2≥0 『答案』A◆此题主要考查了以下内容：(1)一般地，二元一次不等式Ax ＋By ＋C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不含边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax ＋By ＋C ≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．(2)由于对直线Ax ＋By ＋C ＝0同一侧的所有点(x ，y )，把它的坐标(x ，y )代入Ax ＋By ＋C 所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x 0，y 0)，由Ax 0＋By 0＋C 的符号即可判断Ax ＋By ＋C ＞0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0哪一侧的平面区域． 二、线性规划1．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y≤2，x ＋y≥1，x －y≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．12B ．11C ．3D ．－12．已知变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥1y≤2x －y≤0，则z ＝x ＋y 的最小值为________，最大值为________．3．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y≥－1，x ＋y≤3，x≥0，y≥0，则z ＝x －2y 的取值范围为________．『答案』1.B 2.2 4 3.『－3，3』 ◆以上题目主要考查了以下内容： 线性规划相关概念名称 意义约束条件 由变量x ，y 组成的一次不等式 线性约束条件 由x ，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数 欲求最大值或最小值的函数 线性目标函数 关于x ，y 的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解 可行域 所有可行解组成的集合 最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题『指点迷津』1．一种方法确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法． (1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线．(2)特殊点定域，由于对在直线A x ＋B y ＋C ＝0同侧的点，实数A x ＋B y ＋C 的值的符号都相同，故为确定A x ＋B y ＋C 的值的符号，可采用特殊点法，如取原点(0，1)、(1，0)等点． 2．两个注意 (1)注意边界的虚实(2)求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b 通过求直线的截距z b 的最值间接求出z 的最值．要注意：当b ＞0时，截距zb取最大值时，z 也取最大值；截距z b 取最小值时，z 也取最小值；当b ＜0时，截距zb 取最大值时，z 取最小值；截距zb 取最小值时，z 取最大值．3．四个步骤利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是： (1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解； (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．考向一 二元一次不等式(组)表示的区域(2013·高考北京卷)设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＞0，x ＋m ＜0，y －m ＞0表示的平面区域内存在点P(x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，则m 的取值范围是( )A .⎝⎛⎭⎫－∞，43B .⎝⎛⎭⎫－∞，13C .⎝⎛⎭⎫－∞，－23D .⎝⎛⎭⎫－∞，－53 『审题视点』 作出可行域图，使直线x －2y ＝2穿过区域时求m 的变化范围． 『典例精讲』 当m ≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，因此m ＜0.如下图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．要使可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需可行域边界点(－m ，m )在直线y ＝12x －1的下方即可，即m ＜－12m －1，解得m ＜－23.『答案』 C『类题通法』 (1)不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．(2)根据平面区域，判断其形状，求相应的边界点坐标，相关长度等，利用相对位置求参数．1．(2014·北京市海淀区高三调研)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥1x ＋y －4≤0kx －y≤0表示面积为1的直角三角形区域，则k 的值为( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1『解析』选D .注意到直线kx －y ＝0恒过原点，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合题意得直线kx －y ＝0与直线x ＋y －4＝0垂直时满足题意，于是有k ×(－1)＝－1，由此解得k ＝1，选D .考向二 简单的线性规划问题(2014·夏银川高三模拟)已知⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，求：(1)z ＝x ＋2y －4的最大值； (2)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值； (3)z ＝2y ＋1x ＋1的范围． 『审题视点』 (1)转化为直线平移问题； (2)区域内的点到(0，5)的距离；(3)区域内的点与点⎝⎛⎭⎫－1，－12连线的斜率． 『典例精讲』 作出可行域如图，并求出交点的坐标A(1，3)、B(3，1)、C(7，9)．(1)易知可行域内各点均在直线x ＋2y －4＝0的上方，故将C(7，9)代入z ＝x ＋2y －4得最大值为21.(2)z ＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到定点M (0，5)的距离的平方，过M 作直线AC 的垂线，易知垂足N 在线段AC 上，故z 的最小值是|MN |2＝92.(3)z ＝2·y －⎝⎛⎭⎫－12x －（－1）表示可行域内任一点(x ，y )与定点Q ⎝⎛⎭⎫－1，－12连线的斜率的两倍，因为k QA ＝74，K QB ＝38，所以z 的范围为⎣⎡⎦⎤34，72. 『类题通法』 与二元一次不等式(组)表示的平面区域有关的范围、最值、距离等问题的求解一般是结合给定代数式的几何意义来完成．常见代数式的几何意义有：(1)x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0，0)的距离；(2)（x －a ）2＋（y －b ）2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离；(3)yx 表示点(x ，y )与原点(0，0)连线的斜率值；(4)y －bx －a表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率值．2．(1)(2013·高考全国新课标卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，x≤3，则z ＝2x －3y 的最小值是( )A ．－7B ．－6C ．－5D ．－3(2)(2013·高考江西卷)若点(x ，y )位于曲线y ＝|x －1|与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为________．『解析』(1)本题可先画出可行域，然后根据图象确定出最小值点进行解答． 作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z ＝2x －3y 过点C 时，z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4， ∴z min ＝2×3－3×4＝－6，故选B .(2)如下图，阴影部分为封闭区域．作直线2x －y ＝0，并向左上平移，过点A 时，2x －y 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，y ＝|x －1|（x ＜1），得A(－1，2)，∴(2x －y)min ＝2×(－1)－2＝－4.『答案』(1)B (2)－4考向三 线性规划的实际应用某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( ) A ．31 200元 B ．36 000元 C ．36 800元 D ．38 400元『审题视点』 把车辆数、人数作为约束条件，把租金数作为目标函数，用线性规划求最小值．『典例精讲』 先根据题意列出约束条件和目标函数，通过平移目标函数加以解决．设租用A 型车x 辆，B 型车y 辆，目标函数为z ＝1600x ＋2400y ，则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧36x ＋60y≥900，x ＋y≤21，y －x≤7，x ，y ∈N ，作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5，12)时，有最小值z min ＝36 800(元)．『答案』 C『类题通法』 1.线性规划的实际应用问题的解法：线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题． 2．求解步骤(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线l ；(2)平移——将l 平行移动，以确定最优解的对应点A 的位置；(3)求值——解方程组求出A 点的坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值．3．(2012·高考四川卷)某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )A ．1 800元B ．2 400元C ．2 800元D ．3 100元『解析』选C .设生产甲产品x 桶，乙产品y 桶，每天利润为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y≤12，2x ＋y≤12，x≥0，y≥0，z ＝300x ＋400y .作出可行域，如图阴影部分所示，作直线300x ＋400y ＝0，向右上平移过点A时，z ＝300x ＋400y 取最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝12，2x ＋y ＝12，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，∴A(4，4)，∴z max ＝300×4＋400×4＝2 800.目标函数的直线位置不准确致误(2013·高考广东卷)给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y≥4，x ＋y≤4，x≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D|x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．『正解』画出平面区域D (图中阴影部分)，z ＝x ＋y 取得最小值时的最优整数解为(0，1)，取得最大值时的最优整数解为(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)．点(0，1)与(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)中的任何一个点都可以构成一条直线，共有5条，又(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)都在直线x ＋y ＝4上，故T 中的点共确定6条不同的直线．『答案』 6『易错点』 目标函数z ＝x ＋y 和约束条件边界，线x ＋y ＝4平行，z 取最大值的最优解不只是(0，4)．有的错认为z 取最大值的最优解只是边界或端点位置．有的把z ＝x ＋y 的直线错画成与y ＝x 平行的直线．『警示』 利用线性规划求目标函数，z ＝ax ＋by 的最值时，务必要分清直线z ＝ax ＋by 与各边界线的相对位置．1．(2013·高考全国新课标)已知a ＞0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，x ＋y≤3，y≥a （x －3）.，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )A .14B .12C ．1D ．2 『解析』选B .本题可先画出可行域，然后根据图形确定出最小值点进行解答．作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝a （x －3），得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ，∴z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝12，故选B .2．(2013·高考四川卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤8，2y －x≤4，x≥0，y≥0，且z ＝5y －x 的最大值为a ，最小值为b ，则a －b 的值是( )A ．48B ．30C ．24D ．16『解析』选C .先将不等式2y －x ≤4转化为x －2y ≥－4，画出不等式组表示的平面区域，并找出目标函数y ＝x 5＋z5的最优解，进而求得a ，b 的值．∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤8，2y －x≤4，x≥0，y≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤8，x －2y≥－4，x≥0，y≥0，由线性约束条件得可行域为如图所示的阴影部分，由z ＝5y －x ，得y ＝x 5＋z5.由图知目标函数y ＝x 5＋z5，过点A(8，0)时，z min ＝5y －x ＝5×0－8＝－8，即b ＝－8.目标函数y ＝x 5＋z5过点B(4，4)时，z max ＝5y －x ＝5×4－4＝16，即a ＝16.∴a －b ＝16－(－8)＝24，故选C .3．(2013·高考山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－12『解析』选C .画出图形，数形结合得出答案．如下图所示，⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的平面区域为图中的阴影部分．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，3x ＋y －8＝0，得A(3，－1)．当M 点与A 重合时，OM 的斜率最小，k OM ＝－13.4．(2013·高考北京卷)设D 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，2x －y≤0，x ＋y －3≤0表示的平面区域，区域D 上的点与点(1，0)之间的距离的最小值为________．『解析』作出不等式组表示的可行域，利用数形结合思想求解．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，2x －y≤0，x ＋y －3≤0表示的区域D 如图阴影部分所示．由图知点P(1，0)与平面区域D 上的点的最短距离为点P(1，0)到直线y ＝2x 的距离d ＝|2×1－0×1|12＋22＝255.『答案』255。
高三数学一轮复习精品教案2：7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
第3课时二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考纲传真1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.1．二元一次不等式表示平面区域在平面直角坐标系中，平面内所有的点被直线Ax＋By＋C＝0分成三类：(1)满足Ax＋By＋C＝0的点；(2)满足Ax＋By＋C>0的点；(3)满足Ax＋By＋C<0的点．2．二元一次不等式表示平面区域的判断方法直线l：Ax＋By＋C＝0把坐标平面内不在直线l上的点分为两部分，当点在直线l的同一侧时，点的坐标使式子Ax＋By＋C的值具有相同的符号，当点在直线l的两侧时，点的坐标使Ax＋By＋C的值具有相反的符号．3．线性规划中的基本概念名称意义线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题1．(人教A 版教材习题改编)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0x －y ＋2<0表示的平面区域是( )『解析』 x －3y ＋6≥0表示直线x －3y ＋6＝0及左下方部分，x －y ＋2<0表示直线x －y ＋2＝0右上方部分．故不等式组表示的平面区域为选项B 所示部分． 『答案』 B2．如果点(1，b )在两条平行直线6x －8y ＋1＝0和3x －4y ＋5＝0之间，则b 应取的整数值为( )A ．2B ．1C ．3D ．0『解析』 由题意知(6－8b ＋1)(3－4b ＋5)＜0，即(b －78)(b －2)＜0，∴78＜b ＜2，∴b 应取的整数为1. 『答案』 B3．(2012·广东高考)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．12B ．11C ．3D ．－1『解析』 可行域如图中阴影部分所示．先画出直线l 0：y ＝－3x ，平移直线l 0，当直线过A 点时z ＝3x ＋y 的值最大，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2.∴A 点坐标为(3，2)．∴z 最大＝3×3＋2＝11. 『答案』 B4．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤0，x －y －4≤0表示的平面区域的面积是________．『解析』 不等式组表示的区域如图中的阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1x ＋y ＝0得A (1，－1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1x －y －4＝0得B (1，－3)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0x －y －4＝0得C (2，－2)， ∴|AB |＝2，∴S △ABC ＝12×2×1＝1.『答案』 15．(2012·山东高考改编)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是______．『解析』 作不等式组表示的可行域，如图所示，作直线l 0：3x －y ＝0，并上下平移．当直线过点A 、B 时，z 分别取得最大值、最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，2x ＋y －4＝0，得A (2，0)．由⎩⎪⎨⎪⎧4x －y ＋1＝0，2x ＋y －4＝0.得点B (12，3)，∴z max ＝3×2－0＝6，z min ＝3×12－3＝－32.故z 的取值范围是『－32，6』．『答案』 『－32，6』二元一次不等式(组)表示的平面区域若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，求k 的值．『审题视点』 画出不等式组表示的平面区域，直线y ＝kx ＋43过定点(0，43)，利用面积相等确定直线经过的区域边界上的点，然后代入求k 值． 『尝试解答』 由图可知，线性规划区域为△ABC 边界及内部．y ＝kx ＋43恰过A ⎝⎛⎭⎫0，43，y ＝kx ＋43将区域平均分成面积相等两部分， ∴直线y ＝kx ＋43一定过线段BC 的中点D ，易求C (0，4)，B (1，1)，∴线段BC 的中点D 的坐标为(12，52)．因此52＝k ×12＋43，k ＝73.,1．解答本题的关键是根据直线y ＝kx ＋43过定点(0，43)，利用面积相等确定直线所经过的边界上的点．2．二元一次不等式(组)表示平面区域的判定方法：(1)同号上，异号下．当B (Ax ＋By ＋C )>0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方，当B (Ax ＋By ＋C )<0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的下方．(2)直线定界、特殊点定域．应注意是否包括边界，若不包括边界，则应将边界画成虚线；若直线不过原点，特殊点常选取原点．(2012·福建高考)若函数y ＝2x 图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A.12 B ．1 C.32D ．2『解析』 在同一直角坐标系中作出函数y ＝2x的图象及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0所表示的平面区域，如图阴影部分所示．由下图可知，当m ≤1时，函数y ＝2x 的图象上存在点(x ，y )满足约束条件，故m 的最大值为1.『答案』 B求目标函数的最值(2012·安徽高考改编)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3.(1)求z ＝x －y 的最小值和最大值； (2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围．『审题视点』 明确目标函数z 的几何意义，数形结合找最优解，代入求值． 『尝试解答』 作约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3.满足的可行域，如下图所示为△ABC 及其内部．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3，2x ＋y ＝3.得A (1，1)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，2x ＋y ＝3，得点B (0，3)． (1)由z ＝x －y ，得y ＝x －z .平移直线x －y ＝0，则当其过点B (0，3)时，截距－z 最大；当过点A (1，1)时，截距－z 最小，即z 最大．∴z min ＝0－3＝－3；z max ＝1－1＝0. (2)过O (0，0)作直线x ＋2y ＝3的垂线l 交于点N .观察可行域知，可行域内的点B 、N 到原点的距离分别达到最大与最小． 又|ON |＝|0＋0－3|12＋22＝355，|OB |＝3.∴z 的取值范围是『355，3』．1．本题求解的关键在于：(1)准确作出可行域；(2)明确目标函数的几何意义．2．(1)线性目标函数z＝ax＋by的几何意义与直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距有关，当b＞0时，直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距越大，z值越大；当b＜0时，情况相反．(2)常见的非线性目标函数的几何意义：y－bx－a表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率；（x－a）2＋（y－b）2表示点(x，y)与点(a，b)的距离．(2012·课标全国卷)已知正三角形ABC的顶点A(1，1)，B(1，3)，顶点C 在第一象限，若点(x，y)在△ABC内部，则z＝－x＋y的取值范围是() A．(1－3，2) B．(0，2) C．(3－1，2) D．(0，1＋3)『解析』如下图，根据题意得C(1＋3，2)．作直线－x＋y＝0，并向左上或右下平移，过点B(1，3)和C(1＋3，2)时，z＝－x＋y取范围的边界值，即－(1＋3)＋2<z<－1＋3，∴z＝－x＋y的取值范围是(1－3，2)．『答案』A一种方法确定二元一次不等式表示的平面区域的方法是“直线定界，特殊点定域”．(1)直线定界：即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线．(2)特殊点定域：当C≠0时，常把原点作为测试点；当C＝0时，常选点(1，0)或者(0，1)作为测试点．一个程序利用线性规划求最值的步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解； (4)求最值：将最优解代入目标函数求最值． 两个防范1.画平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．2．求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，利用其几何意义，通过求y ＝－a b x ＋zb 的截距z b 的最值间接求出z 的最值．要注意：当b ＞0时，截距zb 取最大值时，z 也取最大值；截距zb取最小值时，z 也取最小值．当b ＜0时，结论与b ＞0的情形恰好相反．从近两年的高考试题来看，二元一次不等式(组)表示的平面区域，求线性目标函数的最值是高考命题的热点，难度中等偏下，主要考查可行域的画法、目标函数最值的求法、由最优解(可行域)情况确定参数的范围，以及数形结合的思想．求解的常见错误是忽视题目的约束条件与目标函数的几何意义导致错误．。
2013届高三数学(理)一轮复习方案课件【人教A版】第34讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
)
3 3 B.－2，2
D．[－1,1]
第34讲 │ 要点探究
x＋y－1≤0， (3)已知 x－y＋1>0， y≥－1， 小值为( )
且u＝x2＋y2－4x－4y＋8，则u的最
3 2 9 A. B. 2 2 2 1 C. D. 2 2
第34讲 │ 要点探究
→· → ＝－x＋y，实际上就是在线性约束条 [思路] (1)由于OA OM x＋y≥2， 件 x≤1， y≤2 值； y y x 1 (2)令t＝ x ，则 x － y ＝t－ t ，只要求出t的取值范围，再根据 1 函数f(t)＝t－ t 的性质即可求出其取值范围；
0≤x≤2， 式组 x＋y－2≥0， kx－y＋2≥0 为( ) A．1 B．－3 C．1或－3 D．0
第34讲 │ 要点探究
x≥0， y≥0， (2)若不等式组 y＋x≤s， y＋2x≤4 形，则实数s的取值范围是( )
表示的平面区域是一个三角
A．0<s≤2或s≥4 B．0<s≤2 C．s≥4 D．s≤2或s≥4
Ax ＋By＋C<0(Ax＋By＋C>0) 半平面内的点，其坐标适合 __________________________ ．
(3)可在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧任取一点，一般取
符号 来判断Ax＋By＋ 特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C的______
C>0(或Ax＋By＋C<0)所表示的区域．
第34讲 │ 知识梳理
(4)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域， 是
公共部分 ． 各个不等式所表示的平面区域的____________
2．线性规划的有关概念
第34讲 │ 知识梳理
高考数学一轮复习 第七章 不等式7.2一元二次不等式及
7.2 一元二次不等式及其解法考纲要求1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系． 3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．1．一元二次不等式的解法一元一次不等式ax ＞b (a ≠0)的解集为 (1)当a ＞0时，解集为__________． (2)当a ＜0时，解集为__________．2．一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二次方程的关系如下表：判别式Δ＝b 2－4ac Δ＞0Δ＝0 Δ＜0 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的根有两相异实根 x 1，x 2(x 1＜x 2) 有两相等实根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根 ax 2＋bx ＋c ＞0 (a ＞0)的解集 __________ __________ __________ ax 2＋bx ＋c ＜0 (a ＞0)的解集______________________________3．用程序框图来描述一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的求解的算法过程为：1．不等式x 2＞x 的解集是( )． A ．(－∞，0)B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞) 2．(2012重庆高考，文2)不等式x －1x ＋2＜0的解集为( )．A ．(1，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)3．若a ＜0，则关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2＞0的解是( )． A ．x ＞5a 或x ＜－a B ．x ＞－a 或x ＜5a C ．5a ＜x ＜－a D ．－a ＜x ＜5a4．若关于x 的不等式－12x 2＋2x ＞mx 的解集是{x |0＜x ＜2}，则实数m 的值是__________．一、一元二次不等式的解法 【例1】 解下列不等式：(1)2x 2＋4x ＋3＞0；(2)－3x 2－2x ＋8≥0；(3)12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )． 方法提炼1．解一元二次不等式的一般步骤：(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)，ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)；(2)计算相应的判别式；(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根； (4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集． 2．对于解含有参数的二次不等式，一般讨论的顺序是：(1)讨论二次项系数是否为0，这决定此不等式是否为二次不等式； (2)当二次项系数不为0时，讨论判别式是否大于0；(3)当判别式大于0时，讨论二次项系数是否大于0，这决定所求不等式的不等号的方向；(4)判断二次不等式两根的大小．提醒：当a ＝0时，ax ＞b 不是一元一次不等式；当a ＝0，b ≥0时，它的解集为∅；当a ＝0，b ＜0时，它的解集为R .请做演练巩固提升2 二、分式不等式的解法【例2】 (2012江西高考)不等式x 2－9x －2＞0的解集是__________．方法提炼对于形如f xg x ＞0(＜0)可等价转化为f (x )g (x )＞0(＜0)来解决；对于f xg x ≥0(≤0)可等价转化为⎩⎪⎨⎪⎧f x ·g x ≥0≤0，gx ≠0.当然对于高次不等式可用“穿根法”解决．请做演练巩固提升1三、一元二次不等式的实际应用【例3】 某产品按质量可分成6种不同的档次，若工时不变，每天可生产最低档次的产品40件，如果每提高一个档次，每件利润可增加1元，但每天要少生产2件产品．(1)若最低档次的产品每件利润为16元，则生产哪种档次的产品所得到的利润最大？ (2)若最低档次的产品每件利润为22元，则生产哪种档次的产品所得到的利润最大？ 方法提炼解不等式应用题的步骤请做演练巩固提升5与一元二次不等式有关的恒成立问题【典例】 (12分)设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )＜0恒成立，求m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．分析：(1)对于x ∈R ，f (x )＜0恒成立，可转化为函数f (x )的图象总是在x 轴下方，可讨论m 的取值，利用判别式求解．(2)含参数的一元二次不等式在某区间内的恒成立问题，常有两种处理方法：方法一是利用二次函数区间上的最值来处理；方法二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理．一般方法二比较简单．规范解答：(1)要使mx 2－mx －1＜0恒成立， 若m ＝0，显然－1＜0；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒－4＜m ＜0. 综上有－4＜m ≤0.(4分)(2)要使f (x )＜－m ＋5在[1,3]上恒成立，即 m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立．(6分) 有以下两种方法：方法一：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m ＞0时，g (x )在[1,3]上是增函数，(8分) 所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6＜0，所以m ＜67，则0＜m ＜67；(10分)当m ＝0时，－6＜0恒成立；当m ＜0时，g (x )在[1,3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6＜0. 所以m ＜6，所以m ＜0.综上所述：m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <67.(12分) 方法二：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0，又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1.(8分)因为函数y＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可．(10分)所以，m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <67.(12分) 答题指导：1.与一元二次不等式有关的恒成立问题，可通过二次函数求最值，也可通过分离参数，再求最值．2．解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．3．对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．4．本题考生易错点：忽略对m ＝0的讨论．这是由思维定势所造成的．1．不等式x －2x ＋1≤0的解集为( )． A ．{x |－1≤x ≤2} B ．{x |－1＜x ≤2} C ．{x |－1≤x ＜2} D ．{x |－1＜x ＜2}2．已知不等式x 2－x ≤0的解集为M ，且集合N ＝{x |－1＜x ＜1}，则M ∩N 为( )．A ．[0,1)B ．(0,1)C ．[0,1]D ．(－1,0]3．条件p ：x －52－x≥0，条件q ：x 2－7x ＋10＜0，则p 是q 的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4＜0恒成立，则m 的取值范围是__________． 5．某种商品，现在定价p 元，每月卖出n 件，设定价上涨x 成，每月卖出数量减少y 成，每月售货总金额变成现在的z 倍．(1)用x 和y 表示z ；(2)设x 与y 满足y ＝kx (0＜k ＜1)，利用k 表示当每月售货总金额最大时x 的值；(3)若y ＝23x ，求使每月售货总金额有所增加的x 值的范围．参考答案基础梳理自测知识梳理1．(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >b a (2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <ba2．{x |x ＜x 1或x ＞x 2} {x |x ≠x 1} {x |x ∈R } {x |x 1＜x ＜x 2} ∅ ∅3．Δ≥0？ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a ∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－b2a ，＋∞ (－∞，x 2)∪(x 1，＋∞) (－∞，＋∞)基础自测1．D 解析：x 2＞x ⇒x (x －1)＞0⇒x ＞1或x ＜0.2．C 解析：不等式x －1x ＋2＜0，解不等式得其解集为(－2,1)，故选C.3．B 解析：由x 2－4ax －5a 2＞0，得(x －5a )(x ＋a )＞0， ∵a ＜0，∴x ＜5a 或x ＞－a .4．1 解析：由－12x 2＋2x ＞mx ，得x 2－4x ＋2mx ＜0，即x [x －(4－2m )]＜0，∵不等式的解集为{x |0＜x ＜2}， ∴4－2m ＝2.∴m ＝1. 考点探究突破【例1】解：(1)∵Δ＝42－4×2×3＜0，∴方程2x 2＋4x ＋3＝0没有实根．二次函数y ＝2x 2＋4x ＋3的图象开口向上，与x 轴没有交点，即2x 2＋4x ＋3＞0恒成立，∴不等式2x 2＋4x ＋3＞0的解集为R .(2)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0， ∵Δ＝100＞0，∴方程3x 2＋2x －8＝0的两根为－2，43.结合二次函数y ＝3x 2＋2x －8的图象可知，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－2≤x ≤43. (3)由12x 2－ax －a 2＞0⇔(4x ＋a )(3x －a )＞0⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 3＞0， ①a ＞0时，－a 4＜a3，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <－a 4或x >a 3； ②a ＝0时，x 2＞0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； ③a ＜0时，－a 4＞a3，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <a 3或x >－a 4. 【例2】(－3,2)∪(3，＋∞) 解析：不等式x 2－9x －2＞0可化为(x －2)(x －3)(x ＋3)＞0，由穿根法(如图)得，所求不等式的解集为(－3,2)∪(3，＋∞)．【例3】解：(1)设生产第x 档次产品时，所获利润最大，则生产第x 档次产品时，每件利润为[16＋(x －1)×1]元，生产第x 档次产品时，每天生产[40－2(x －1)]件， 所以生产第x 档次产品时，每天所获利润为： y ＝[40－2(x －1)][16＋(x －1)]＝－2(x －3)2＋648.当x ＝3时，y 最大，即生产第三档次产品利润最大． (2)若最低档次产品每件利润为22元， 则生产第x 档次产品时，每天所获利润为： y ＝[40－2(x －1)][22＋(x －1)]＝－2x 2＋882.因为x ∈[1,6]，且x ∈N ，所以当x ＝1时，y 最大，即生产第一档次产品利润最大． 演练巩固提升1．B 解析：原不等式⇔⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)(x ＋1)≤0，x ＋1≠0⇔－1＜x ≤2.2．A 解析：由x 2－x ≤0，得0≤x ≤1，所以M ∩N 为[0,1)．选A. 3．B 解析：条件p ：(x －5)(x －2)≤0且x ≠2⇔2＜x ≤5； 条件q ：2＜x ＜5.显然：p q ，q ⇒p .故选B.4．(－∞，－5] 解析：设f (x )＝x 2＋mx ＋4，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0，f (2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧5＋m ≤0，8＋2m ≤0.∴m ≤－5.5．解：(1)按现在的定价上涨x 成时，上涨后的定价为p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 10元，每月卖出数量为n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 10件， 每月售货总金额是npz 元，因而npz ＝p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 10·n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 10，所以z ＝(10＋x )(10－y )100.(2)在y ＝kx 的条件下，z ＝(10＋x )(10－kx )100，整理可得z ＝1100·⎩⎨⎧⎭⎬⎫100＋25(1－k )2k－k ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －5(1－k )k2，由于0＜k ＜1，所以5(1－k )k＞0，所以使z 值最大的x 值是x ＝5(1－k )k.(3)当y ＝23x 时，z ＝(10＋x )⎝⎛⎭⎪⎫10－23x 100，要使每月售货总金额有所增加，即z ＞1，应有(10＋x )⎝⎛⎭⎪⎫10－23x ＞100， 即x (x －5)＜0， 所以0＜x ＜5.所以x 的取值范围是(0,5)．。
高三数学一轮复习精品教案3：7.2 一元二次不等式及其解法教学设计
7.2 一元二次不等式及其解法(见学生用书第108页)考纲传真1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.1．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}{x|x≠x1}Rax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集{x |x 1<x <x 2}∅∅2.用程序框图表示一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的求解过程1．(人教A 版教材习题改编)不等式2x 2－x －1＞0的解集是( )A ．(－12，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－12)∪(1，＋∞)『解析』 ∵2x 2－x －1＝(x －1)(2x ＋1)＞0，∴x ＞1或x ＜－12.故原不等式的解集为(－∞，－12)∪(1，＋∞)．『答案』 D2．不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A ．{x |－12＜x ≤1}B ．{x |x ≥1或x ＜－12}C ．{x |－12≤x ≤1}D ．{x |x ≥1或x ≤－12}『解析』 原不等式等价于(x －1)(2x ＋1)＜0或x －1＝0.∴原不等式的解集为(－12，1』．『答案』 A 3．函数y ＝16－x －x 2的定义域是________．『解析』 要使函数有意义，只需6－x －x 2＞0，∴x 2＋x －6＜0， ∴－3＜x ＜2，∴f (x )的定义域为{x |－3＜x ＜2}． 『答案』 {x |－3＜x ＜2}4．(2012·福建高考)已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________．『解析』 ∵x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，∴Δ＝a 2－4×2a <0，∴0<a <8. 『答案』 (0，8)5．一元二次不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是(－12，13)，则a ＋b 的值是________．『解析』 由已知得方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12，13.则⎩⎨⎧－b a ＝－12＋132a ＝（－12）×13解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14. 『答案』 －14(见学生用书第109页)一元二次不等式的解法(2012·北京高考改编)设f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2，若∀x ∈R ，f (x )＜0或g (x )＜0，求实数m 的取值范围．『审题视点』 (1)区间『1，＋∞)是f (x )＜0解集的子集，(2)由于含有参数m ，需进行分类讨论．『尝试解答』 ∵g (x )＝2x －2＜0，得x ＜1.又∀x ∈R ，f (x )＜0或g (x )＜0，∴『1，＋∞)是f (x )＜0的解集的子集，由f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)＜0知，必有m ＜0，① 当m ＜0时，f (x )＜0，得(x －2m )(x ＋m ＋3)＞0，因此只需f (x )＝0的两根小于1.∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＜1，－（m ＋3）＜1.解之得－4＜m ＜12，②由①、②知－4＜m ＜0.所以，满足条件的实数m 的取值范围是(－4，0)．,1．本题求解的关键有三点：(1)条件的转化，当x ≥1时，f (x )＜0恒成立；(2)隐含条件m ＜0的挖掘；(3)抓住f (x )特征(已因式分解)，转化判定两根小于1，避免对参数进行讨论． 2．解含参数的一元二次不等式的步骤：(1)二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．(2013·九江调研)若将例1的函数f (x )的解析式改为“f (x )＝x 2－2x －4ln x ”，求不等式f ′(x )＞0的解集．『解』 由f (x )＝x 2－2x －4ln x ，定义域为(0，＋∞)， ∴f ′(x )＝2x －2－4x ＝2（x 2－x －2）x，x ＞0，由f ′(x )＞0且x ＞0，得x 2－x －2＞0且x ＞0，即(x －2)(x ＋1)＞0且x ＞0， 解之得x ＞2，∴不等式f ′(x )＞0的解集为{x |x ＞2}.不等式恒成立问题设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围； (2)若对于x ∈『1，3』，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．『审题视点』 本题(1)可讨论m 的取值，利用判别式来解决．对于(2)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般方法二比较简单． 『尝试解答』 (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立，若m ＝0，显然－1<0；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0Δ＝m 2＋4m <0⇒－4<m <0.所以m 的取值范围为{m |－4<m ≤0}．(2)要使f (x )<－m ＋5在『1，3』上恒成立，只需mx 2－mx ＋m ＜6恒成立(x ∈『1，3』)， 又因x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34＞0，所以m <6x 2－x ＋1.令y ＝6x 2－x ＋1＝6（x －12）2＋34，由t ＝(x －12)2＋34在『1，3』上是增函数，∴y ＝6x 2－x ＋1在『1，3』上是减函数因此函数的最小值y min ＝67.所以，m 的取值范围是{m |m <67}．,1．对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．2．解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．若x ∈『－1，＋∞)时，x 2－2ax ＋2≥a 恒成立，试求a 的取值范围．『解』 法一 令f (x )＝x 2－2ax ＋2，x ∈『－1，＋∞)， f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a .(1)当a ∈(－∞，－1)时，结合图象知，f (x )在『－1，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3.要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ，即2a ＋3≥a ，解得－3≤a <－1；(2)当a ∈『－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2，由2－a 2≥a ，解得－2≤a ≤1，∴－1≤a ≤1. 综上所述，所求a 的取值范围为－3≤a ≤1.法二 由已知得x 2－2ax ＋2－a ≥0在『－1，＋∞)上恒成立，令f (x )＝x 2－2ax ＋2－a ， 即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，a <－1，f （－1）≥0.解得－3≤a ≤1.故a 的取值范围为{a |－3≤a ≤1}.一元二次不等式的实际应用(2013·济南调研)行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s (m)与汽车的车速v (km/h)满足下列关系：s ＝nv 100＋v 2400(n 为常数，且n ∈N )，做了两次刹车试验，有关试验数据如下图所示，其中⎩⎪⎨⎪⎧6＜s 1＜8，14＜s 2＜17.(1)求n 的值；(2)要使刹车距离不超过12.6 m ，则行驶的最大速度是多少？『审题视点』 (1)由图象信息，将v ＝40，v ＝70时，代入求s 1，s 2，得关于n 的不等式组；(2)解关于v 的不等式，求最大值． 『尝试解答』 (1)由试验数据知，s 1＝25n ＋4，s 2＝710n ＋494，∴⎩⎨⎧6＜25n ＋4＜8，14＜710n ＋494＜17，解之得⎩⎪⎨⎪⎧5＜n ＜10，52＜n ＜9514.又n ∈N ，∴取n ＝6. (2)由(1)知，s ＝3v 50＋v 2400，v ≥0.依题意，s ＝3v 50＋v 2400≤12.6，即v 2＋24v －5 040≤0，解之得－84≤v ≤60.注意到v ≥0，所以0≤v ≤60.故行驶的最大速度为60 km/h.,1．(1)求解本题的关键是文字语言、图形语言，符号语言之间的合理转化．(2)避免忽视v ≥0的限制条件，及3v 50＋v 2400≤12.6中的等号．2．解不等式的实际应用中，常以函数模型为载体，解题时要理清题意，准确找出其中的不等关系，引进数学符号恰当表示，最后用不等式的解回答实际问题．某种商品，现在定价p 元，每月卖出n 件，设定价上涨x 成，每月卖出数量减少y 成，每月售货总金额变成现在的z 倍． (1)用x 和y 表示z ；(2)若y ＝23x ，求使每月售货总金额有所增加的x 值的范围．『解』 (1)按现在的定价上涨x 成时，上涨后的定价为p (1＋x10)元，每月卖出数量为n (1－y 10)件，每月售货总金额是npz 元，因而npz ＝p (1＋x 10)·n (1－y10)，所以z ＝（10＋x ）（10－y ）100. (2)当y ＝23x 时，z ＝（10＋x ）（10－23x ）100， 要使每月售货总金额有所增加，即z >1，应有(10＋x )·(10－23x )>100，即x (x －5)<0，所以0<x <5，所以，要使每月售货总金额有所增加，则x 的取值范围是(0，5)．一个过程解一元二次不等式的一般过程是：一看(看二次项系数的符号)，二算(计算判别式，判断方程根的情况)，三写(写出不等式的解集)．两点联想对于不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(≥0)或ax 2＋bx ＋c ＜0(≤0)(a ≠0)的求解，善于联想：(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴的交点，(2)方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，运用好“三个二次”间的关系．三个防范1.二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数是否为零的情况．2．解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．3．不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述．(见学生用书第110页)从近两年的高考试题来看，一元二次不等式的解法，含字母参数的不等式的求解，三个“二次”间的联系及综合应用是高考的热点，而且常与函数、导数等知识交汇命题，考查应用分类讨论、数形结合、转化思想解决问题的能力．思想方法之十一 数形结合解决不等式恒成立问题(2012·浙江高考改编)设a ∈R ，若x ＞0时均有『(a －1)x －1』(x 2－ax －1)≥0，求实数a 的取值范围．『规范解答』 (1)当a ≤1时，对x ＞0，恒有(a －1)x －1＜0，∴原不等式化为对x ＞0，恒有x 2－ax －1≤0，(*)由于二次函数y ＝x 2－ax －1的图象开口向上， ∴(*)式不恒成立，即a ≤1时，原不等式不会恒成立．(2)当a ＞1时，令f (x )＝(a －1)x －1，g (x )＝x 2－ax －1，两函数图象都过定点P (0，－1)． ∵f (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递增，且与x 轴的交点为M (1a －1，0)．∴当x ∈(0，1a －1)时，f (x )＜0；当x ＞1a －1时，f (x )＞0.又∵二次函数g (x )＝x 2－ax －1的对称轴为x ＝a2＞0，因此只需g (x )＝x 2－ax －1与x 轴的右交点与点M (1a －1，0)重合，如图所示，则命题成立．∴点M (1a －1，0)在g (x )的图象上，则(1a －1)2－aa －1－1＝0.整理得2a 2－3a ＝0(a ＞1)，∴a ＝32，综合(1)、(2)知，满足条件的实数a ＝32.易错提示：(1)找不到解题的切入点，难以将不等式转化为函数问题，或忽视对参数a 的讨论，解答不完整．(2)难以发现f (x )，g (x )的图象特征，难以将x ＞0分成两个区间，在各自的区间上两函数恒正或恒负，无法判定出不等式恒成立的条件是“两函数图象与x 轴正半轴的交点重合”．防范措施：(1)注意参数取值对不等式的影响，分类讨论，并恰当构造函数是解决问题的前提．(2)抓住所构造函数的图象与性质是解决此类问题的关键，这里特别是函数的单调性、函数的零点，转化为f (x )，g (x )在区间(0，1a －1)，(1a －1，＋∞)上恒负或恒正，借助几何直观，找到两函数零点的关系．1．(2012·天津高考)设x ∈R ，则“x >12”是“2x 2＋x －1>0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 『解析』 不等式2x 2＋x －1>0的解集为{x |x >12或x <－1}，故由x >12⇒2x 2＋x －1>0，但2x 2＋x －1>0D ⇒/x >12，故选A.『答案』 A2．(2012·江苏高考)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为『0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．『解析』 由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝(x ＋a 2)2＋b －a 24.∵f (x )的值域为『0，＋∞)，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24.∴f (x )＝(x ＋a2)2.又∵f (x )<c ，∴(x ＋a 2)2<c ，即－a 2－c <x <－a2＋c .∴⎩⎨⎧－a2－c ＝m ， ①－a2＋c ＝m ＋6. ②②－①，得2c ＝6，∴c ＝9. 『答案』 9。
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第3讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题2013年高考预测1．考查二元一次不等式组表示的区域面积和目标函数最值(或取值范围)．2．考查约束条件、目标函数中的参变量的取值范围．【复习指导】1．掌握确定平面区域的方法(线定界、点定域)．2．理解目标函数的几何意义，掌握解决线性规划问题的方法(图解法)，注意线性规划问题与其他知识的综合．基础梳理1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，直线l：ax＋by＋c＝0把直角坐标平面分成了三个部分：①直线l上的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＝0；②直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＞0；③直线l另一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＜0.所以，只需在直线l的某一侧的平面区域内，任取一特殊点(x0，y0)，从ax0＋by0＋c值的正负，即可判断不等式表示的平面区域．(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．2．线性规划相关概念一种方法确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．(1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线．(2)特殊点定域，即在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别地，当C ≠0时，常把原点作为测试点；当C ＝0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点． 一个步骤利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是： (1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解； (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值． 两个防范(1)画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．(2)求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋zb ，通过求直线的截距z b 的最值间接求出z 的最值．要注意：当b ＞0时，截距z b 取最大值时，z 也取最大值；截距zb 取最小值时，z 也取最小值；当b ＜0时，截距z b 取最大值时，z 取最小值；截距zb取最小值时，z 取最大值．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)如图所示的平面区域(阴影部分)，用不等式表示为( )．A ．2x －y －3＜0B ．2x －y －3＞0C ．2x －y －3≤0D ．2x －y －3≥0解析 将原点(0,0)代入2x －y －3得2×0－0－3＝－3＜0，所以不等式为2x －y －3＞0. 答案 B2．下列各点中，不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的点是( )． A ．(0,0) B ．(－1,1) C ．(－1,3) D ．(2，－3)解析 逐一代入得点(－1,3)不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内． 答案 C3．如图所示，阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示的是( )．A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －2y ＋2≥0 B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0x －2y ＋2≤0 C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －2y ＋2≤0D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0x －2y ＋2≥0解析 两条直线方程为：x ＋y －1＝0，x －2y ＋2＝0. 将原点(0,0)代入x ＋y －1得－1＜0， 代入x －2y ＋2得2＞0，即点(0,0)在x －2y ＋2≥0的内部， 在x ＋y －1≤0的外部，故所求二元一次不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0.答案 A4．(2011·安徽)设变量x ，y 满足|x |＋|y |≤1，则x ＋2y 的最大值和最小值分别为( )．A ．1，－1B ．2，－2C ．1，－2D ．2，－1解析 法一 特殊值验证：当y ＝1，x ＝0时，x ＋2y ＝2，排除A ，C ；当y ＝－1，x ＝0时，x ＋2y ＝－2，排除D ，故选B.法二 直接求解：如图，先画出不等式|x |＋|y |≤1表示的平面区域，易知当直线x ＋2y ＝u 经过点B ，D 时分别对应u 的最大值和最小值，所以u max ＝2，u min ＝－2. 答案 B5．完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成．请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x 人，瓦工y 人，请工人的约束条件是________． 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋40y ≤2 000x ∈N ＋y ∈N ＋考向一 二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】►(2011·湖北)直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有( )．A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个[审题视点] 准确画出不等式组所表示的平面区域，比较直线2x ＋y －10＝0与4x ＋3y －20＝0的斜率即可判断．解析 由不等式组画出平面区域如图(阴影部分)． 直线2x ＋y －10＝0恰过点A (5,0)，且斜率k ＝－2＜k AB ＝－43，即直线2x ＋y －10＝0与平面区域仅有一个公共点A (5,0)．答案B不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．【训练1】 已知关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0所表示的平面区域的面积为4，则k 的值为( )．A ．1B ．－3C ．1或－3D ．解析 其中平面区域kx －y ＋2≥0是含有坐标原点的半平面．直线kx －y ＋2＝0又过定点(0,2)，这样就可以根据平面区域的面积为4，确定一个封闭的区域，作出平面区域即可求解．平面区域如图所示，根据区域面积为4，得A (2,4)，代入直线方程，得k ＝1. 答案 A考向二 求线性目标函数的最值【例2】►(2011·广东)已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤ 2y给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)则z ＝OM →·O A →的最大值为( )． A ．3 B ．4 C ．3 2 D ．4 2[审题视点] 作出平行域D ，然后解出目标函数z 的表达式，用截距法求z 的最大值．解析 画出区域D ，如图中阴影部分所示，而z ＝OM →·O A →＝2x ＋y ，∴y ＝－2x ＋z ，令l 0：y ＝－2x ，将l 0平移到过点(2，2)时，截距z 有最大值，故z max ＝2×2＋2＝4. 答案 B求目标函数的最大值或最小值，必须先求出准确的可行域，令目标函数等于0，将其对应的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是最优解． 【训练2】 已知变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a ＞0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是( )． A.⎝⎛⎭⎫－∞，－12 B.⎝⎛⎭⎫－12，0 C.⎝⎛⎭⎫0，12 D.⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析 画出x 、y 满足条件的可行域如图所示，要使目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y ＝－ax ＋z 的斜率应小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，即－a ＜－12，∴a ＞12.答案 D考向三 求非线性目标函数的最值【例3】►变量x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z ＝yx ，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围．[审题视点] 利用目标函数所表示的几何意义求解．解 由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.作出(x ，y )的可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ⎝⎛⎭⎫1，225. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)． (1)∵z ＝y x ＝y －0x －0.∴z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率．观察图形可知z min ＝k OB ＝25.(2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29.∴2≤z ≤29.求目标函数的最值，必须先准确地作出线性约束条件表示的可行域，再根据目标函数的几何意义确定取得最优解的点，进而求出目标函数的最值． 【训练3】 如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，2y －1≥0上，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，那么|PQ |的最小值为( )．A.32B.45－1 C ．22－1 D.2－1解析如图，当P 取点⎝⎛⎭⎫0，12，Q 取点(0，－1)时，|PQ |有最小值为32. 答案 A考向四 线性规划的实际应用【例4】►某企业生产A ，B 两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表：已知生产每吨A动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业如何安排生产，才能获得最大利润？ [审题视点] 题目的设问是“该企业如何安排生产，才能获得最大利润”，这个利润是由两种产品的利润所决定的，因此A ，B 两种产品的生产数量决定着该企业的总利润，这里两种产品的生产数量是问题的主要变量，故可以设出A ，B 两种产品的生产数量，列不等式组和建立目标函数． 解 设生产A ，B 两种产品分别为x 吨，y 吨，利润为z 万元，依题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋10y ≤300，9x ＋4y ≤360，4x ＋5y ≤200，x ≥0，y ≥0.目标函数为z ＝7x ＋12y . 作出可行域，如图阴影所示．当直线7x ＋12y ＝0向右上方平行移动时，经过M (20,24)时z 取最大值． ∴该企业生产A ，B 两种产品分别为20吨和24吨时，才能获得最大利润．线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题．【训练4】 (2011·四川)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z ＝( )． A ．4 650元 B ．4 700元 C ．4 900元D ．5 000元解析 设派用甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，获得的利润为z 元，z ＝450x ＋350y ，由题意，x 、y 满足关系式⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤12，2x ＋y ≤19，10x ＋6y ≥72，0≤x ≤8，0≤y ≤7，作出相应的平面区域，z ＝450x ＋350y ＝50(9x ＋7y )，在由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝12，2x ＋y ＝19确定的交点(7,5)处取得最大值4 900元．答案 C难点突破16——高考中线性规划问题近几年新课标高考对线性规划问题的考查主要是以选择题或填空题的形式出现，线性约束条件下的线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值． 【示例1】► (2011·山东)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0，x －y －2≤0，x ≥0，则目标函数z ＝2x ＋3y ＋1的最大值为( )．A ．11B ．10C ．9 D.172【示例2】► (2010·浙江)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －my ＋1≥0，且z ＝x ＋y 的最大值为9，则实数m等于( )．A ．－2B ．－1C ．1D ．2。