椅子能在不平的地面放稳吗
2.方桌问题
评注和思考 建模的关键 ~ θ和 f(θ), g(θ)的确定 的确定
假设条件的本质与非本质 考察四脚呈长方形的椅子
1.3
数学建模示例
1.3.1 椅子能在不平的地面上放稳吗 问题分析 通常 ~ 三只脚着地
放稳 ~ 四只脚着地
模 型 假 设
• 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚 四条腿一样长，椅脚与地面点接触， 连线呈正方形; 连线呈正方形 • 地面高度连续变化，可视为数学上的连续 地面高度连续变化， 曲面; 曲面 • 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三 地面相对平坦， 只脚同时着地。此时即认为椅面水平. 只脚同时着地。此时即认为椅面水平
模型求解
给出一种简单、 给出一种简单、粗糙的证明方法
将椅子旋转 对角线AC和 互换 互换。 将椅子旋转900，对角线 和BD互换。 旋转 由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(π/2)=0 , g(π/2)>0. ， π π 令h(θ)= f(θ)–g(θ), 则h(0)>0和h(π/2)<0. 和 π 由 f, g的连续性知 h为连续函数 据连续函数的基本性 为连续函数, 的连续性知 为连续函数 质, 必存在θ0 , 使h(θ0)=0, 即f(θ0) = g(θ0) . 因为f( 所以f( 因为 θ) • g(θ)=0, 所以 θ0) = g(θ0) = 0.
模型构成
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 • 椅子位置 利用正方形(椅脚连线 的对称性 利用正方形 椅脚连线)的对称性 椅脚连线
B´ B A´
对角线与x轴的夹角 用θ(对角线与 轴的夹角 表示椅子位置 对角线与 轴的夹角)表示椅子位置
• 四只脚着地 椅脚与地面距离为零 A θ C 距离是θ的函数 O x 四个距离 两个距离 C´ D´ ´ (四只脚 四只脚) 四只脚 正方形 D 对称性 正方形ABCD 正方形 A,C 两脚与地面距离之和 ~ f(θ) 绕O点旋转 点旋转 B,D 两脚与地面距离之和 ~ g(θ)
数学建模椅子平衡问题 蜗牛爬行问题 船渡河问题
1 椅子能在不平的地面上放稳得问题的拓展.模型假设对椅子和地面应该作一些必要的假设:1.椅子的四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点。
四脚的连线呈长方形。
2.地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断，即地面可视为数学上连续曲面。
3.对于脚的间距和椅腿的长度而言，地面时相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三个脚同时着地。
模型构成中心问题是用数学语言把椅子的四只脚同时着地的条件和结论表示出来。
首先要用变量把椅子的位置，注意到椅脚连线呈长方形。
以中心为对称点，长方形绕中心的旋转正好代表了椅子位置的改变，于是因此可以用旋转角度这一变量表示椅子的位置。
在图中角线B’D’与X轴重合，椅子绕中心点O轴旋转角度θ后。
长方形A’B’C’D’转至ABCD位置。
用θ(对角线与x 轴的夹角)表示椅子位置，椅脚与地面距离为θ的函数.A,C 两脚与地面距离之和 ~ f (θ,),B,D 两脚与地面距离之和 ~ g (θ)地面为连续曲面 F (θ) , g(θ)是连续数.椅子在任意位置至少三只脚着地.对任意θ, f(θ ), g (θ )至少一个为0.已知： f (θ ) , g (θ )是连续函数 ;对任意θ， f (θ• g (θ )=0 ;且 g (0)=0， f (0) > 0.证明：存在θ0，使 f (θ0) = g (θ0) = 0.模型求解证明；设长方形的长为a ,宽为b。
将椅子旋转θ=2arctanb/a，对角线AC取代BD的位置。
由g(0)=0，f(0) > 0 ，知f(2arctanb/a)=0 ,g（2arctanb/a )>0.或,g（2arctanb/a )=0（1）f(2arctanb/a)=0 ,g（2arctanb/a )=0,桌子能放平衡。
（2）f(2arctanb/a)=0 ,g（2arctanb/a )>0令h(θ)= f(θ)–g(θ), 则h(0)>0和h(2arctanb/a)<0.由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性质, 必存在θ0 , 使h(θ0)=0, 即f(θ0) = g(θ0) .因为f(θ) • g(θ)=0, 所以f(θ0) = g(θ0) = 0.第一题一根1米长的水平弹性绳子，存在A端和B端。
数学建模作业1(长方形椅子能否在不平的地面上放稳吗)
数学建模作业1(长方形椅子能否在不平的地
面上放稳吗)
-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
四、模型建立
（显示模型函数的构造过程）
在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来．
首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动．生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换．然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的．于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形．
注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地．把长方形绕它的对称中心O旋转，这可以表示椅子位置的改变。
于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置．为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题．
如下图所示，设椅脚连线为长方形ABCD，以对角线AC所在的直线为x轴，对称中心O为原点，建立平面直角坐标系．椅子绕O点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD转至A1B1C1D1 的位置，这样就可以用旋转角θ（0≤θ≤π）表示出椅子绕点O旋转θ后的位置．
其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来．
我们知道，当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地．由于椅子在不同的位置是θ的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数．
由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是θ。
椅子（四条腿的椅脚连线呈长方形）能在不平的地面上放稳吗？
其次要把椅脚着地用数学符号表示出来。
椅子在不同位置时椅脚与地面的距离不同，当距离为0时，就是椅子四只脚着地，所以这个距离就是椅子位置变量θ的函数。
虽椅子有四只脚，四个距离，但由长方形是中心对称图形可用两个距离函数就行了。
A,C 两脚与地面的距离之和为()f θB,D 两脚与地面的距离之和为()g θ由假设2知道地面为连续曲面所以()f θ，()g θ是连续函数。
由假设3可得对于任意的θ，()f θ，()g θ至少一个为0。
可以假设(0)f =0，(0)g 〉0，而当椅子旋转180度后，对角线AC ，BD 互换，于是()f π〉0，()g π=0。
这样，改变椅子的位置使四只脚着地，就归结为证明如下的数学问题：已知()f θ，()g θ是θ的连续函数， 对任意的θ，()f θ*()g θ=0，而且()(0)0f g π==， (0)0,()0f g π>>。
证明存在0θ，使(0)(0)0f g θθ==。
五、模型求解（显示模型的求解方法、步骤及运算程序、结果）令()()()h f g θθθ=-，则(0)0h <和()0h π>。
由f 和g 的连续性知h 也是连续函数。
根据连续函数的基本性质，比存在0(0)θθπ<<使得(0)0h θ=，即(0)(0)f g θθ=。
最后因为(0)*(0)0f g θθ=，所以(0)(0)0f g θθ==。
文案 编辑词条B 添加义项?文案，原指放书的桌子，后来指在桌子上写字的人。
现在指的是公司或企业中从事文字工作的职位，就是以文字来表现已经制定的创意策略。
文案它不同于设计师用画面或其他手段的表现手法，它是一个与广告创意先后相继的表现的过程、发展的过程、深化的过程，多存在于广告公司，企业宣传，新闻策划等。
基本信息中文名称文案外文名称Copy目录1发展历程2主要工作3分类构成4基本要求5工作范围6文案写法7实际应用折叠编辑本段发展历程汉字"文案"(wén àn)是指古代官衙中掌管档案、负责起草文书的幕友,亦指官署中的公文、书信等;在现代，文案的称呼主要用在商业领域，其意义与中国古代所说的文案是有区别的。
椅子在不平地面放稳问题
椅子在不平地面放稳问题
1、问题提出
有四条腿成长方形的椅子，往往不能一次就平稳的放在不平的地面上，有时甚至放很久也放不稳，只好在某一条腿下面垫一点东西。
因此就产生这样一个问题，四腿椅子是否一定能在地面上放稳？
2、模型假设
假设椅子四条腿一样长，且设地面光滑（即把地面看做一个光滑曲面），旋转椅子时，保持椅子中心不动。
设椅子的四条腿分别是D C B A 、、、四点，取对角线AC 为χ轴，AC 与BD 的交点为原点O 。
用θ表示AC 绕O 点转动后与χ轴的夹角，用ϕ（对每件椅子是常数）表示对角夹角中小于︒90的角，如图2
3、符号说明
设()θg 表示为C A 、两点与地面距离之和，()θf 表示为D B 、两点与地面距离之和。
因为地面光滑，椅子转动时，()θg 、()θf 均为转角的连续函数，而三条腿总能同时着地，则对任意θ，有()()0g =⋅θθf 。
4、建立模型
设0=θ时，()()0000g >=f ，，证明：存在⎪⎭⎫ ⎝
⎛<<2000πθθ，使()()0g 00==θθf 。
5、模型求解
证明：令()()()θθθf g h -=，显然它是连续函数，且()()()0<-=θθθf g h ，将椅子保持中心不动顺时针旋转ϕ（即将AC 换成BD ），可得()()0g 0>=ϕϕ，f 。
因而()()()0>-=ϕϕϕf g h ，由连续函数的介值定理知，必存在⎪⎭⎫ ⎝
⎛<<2000πθθ，
使得()()()0000=-=θθθf g h ，即()()00θθf g =。
又因为()()000=⋅θθg f ，所以()()000==θθf g。
建模1
椅子能在不平的地面上放稳吗？把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只要稍挪动几次，就可以四脚着地，放稳了.下面用数学语言证明.一、 模型假设对椅子和地面都要作一些必要的假设：1. 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触可视为一个点，四脚的连线呈正方形.2. 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面.3. 对于椅脚的间距和椅脚的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位臵至少有三只脚同时着地.二、模型建立中心问题是数学语言表示四只脚同时着地的条件、结论.首先用变量表示椅子的位臵，由于椅脚的连线呈正方形，以中心为对称点，正方形绕中心的旋转正好代表了椅子的位臵的改变，于是可以用旋转角度θ这一变量来表示椅子的位臵.其次要把椅脚着地用数学符号表示出来，如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离，当这个距离为0时，表示椅脚着地了.椅子要挪动位臵说明这个距离是位臵变量的函数.由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，记A 、C 两脚与地面距离之和为()θf ，B 、D 两脚与地面距离之和为()θg ，显然()θf 、()0≥θg ，由假设2知f 、g 都是连续函数，再由假设3知()θf 、()θg 至少有一个为0.当0=θ时，不妨设()()0,0>=θθf g ，这样改变椅子的位臵使四只脚同时着地，就归结为如下命题：命题 已知()θf 、()θg 是θ的连续函数，对任意θ，()θf *()θg =0，且()()00,00>=f g ，则存在0θ，使()()000==θθf g .三、模型求解将椅子旋转90︒，对角线AC 和BD 互换，由()()00,00>=f g 可知()()02,02=>ππf g .令()()()θθθf g h -=，则()()00,20h h π<>，由f 、g 的连续性知h 也是连续函数，由零点定理，必存在()2000πθθ<<使()00=θh ，()()00θθf g =，由()()000g f θθ⨯=，所以()()000==θθf g .四、评 注模型巧妙在于用一元变量θ表示椅子的位臵，用θ的两个函数表示椅子四脚与地面的距离.利用正方形的中心对称性及旋转90︒并不是本质的，同学们可以考虑四脚呈长方形的情形.长方形椅子能否在不平的地面上放稳吗？【问题提出】日常生活中有这样的现象：把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍微挪动几次，一般都可以使四只脚同时着地．试从数学的角度加以解释．【模型假设】为了明确问题，对上述现象中的有关因素在符合日常生活的前提下，作出如下假设：（1）椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形．（2）地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断 (没有像台阶那样的情况)，即从数学的角度看，地面是连续曲面．这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件．（3）椅子在任何位臵至少有三只脚同时着地．为保证这一点，要求对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的．因为在地面上与椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰(即使是连续变化的)，此时三只脚是无法同时着地的．【建立模型】在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来．首先，引入合适的变量来表示椅子位臵的挪动．生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换．然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的．于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形．注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地．把长方形绕它的对称中心O 旋转，这可以表示椅子位臵的改变。
椅子能在不平的地面上放稳吗(1)
椅子能在不平的地面上放稳吗？把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只要稍挪动几次，就可以四脚着地，放稳了。
下面用数学语言证明。
一、 模型假设对椅子和地面都要作一些必要的假设：1、 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触可视为一个点，四脚的连线呈正方形。
2、 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面。
3、 对于椅脚的间距和椅脚的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。
二、模型建立中心问题是数学语言表示四只脚同时着地的条件、结论。
首先用变量表示椅子的位置，由于椅脚的连线呈正方形，以中心为对称点，正方形绕中心的旋转正好代表了椅子的位置的改变，于是可以用旋转角度θ这一变量来表示椅子的位置。
其次要把椅脚着地用数学符号表示出来，如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离，当这个距离为0时，表示椅脚着地了。
椅子要挪动位置说明这个距离是位置变量的函数。
由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，记A 、C 两脚与地面距离之和为()θf ，B 、D 两脚与地面距离之和为()θg ，显然()θf 、()0≥θg ，由假设2知f 、g 都是连续函数，再由假设3知()θf 、()θg 至少有一个为0。
当0=θ时，不妨设()()0,0>=θθf g ，这样改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为如下命题：命题 已知()θf 、()θg 是θ的连续函数，对任意θ，()θf *()θg =0，且()()00,00>=f g ，则存在0θ，使()()000==θθf g 。
三、模型求解将椅子旋转090，对角线AC 和BD 互换，由()()00,00>=f g 可知()()02,02=>ππf g 。
令()()()h f g θθθ=-，则()()02,00<>πh h ，由f 、g的连续性知h 也是连续函数，由零点定理，必存在()2000πθθ<<使()00=θh ，()()00θθf g =，由()()0*00=θθf g ，所以()()000==θθf g 。
长方形椅子能否在不平的地面上放稳吗
长方形椅子能否在不平的地面上放稳?一、问题提出在日常生活中有这样的现象：把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍微挪动几次，一般都可以使四只脚同时着地，课本上已经证明了四条腿正方形连线的椅子能放平，现在建模说明长方形椅子的情况。
二、模型假设首先对椅子和地面做一些必要的假设（同正方形椅子一致）：（1）椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形；（2）地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即从数学的角度看，地面是连续曲面；（3）地面相对平坦，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地；三、模型构成首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动。
生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换。
然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的，于是可将椅子就地旋转，并在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形。
椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，把长方形绕它的对称中心0旋转，这可以表示椅子位置的改变。
于是，旋转角度B这一变量就表示了椅子的位置，所以可以在平面上建立直角坐标系来解决问题。
如下图1所示，设椅脚连线为长方形ABCD ,以对角线AC所在的直线为x轴，对称中心0为原点，建立平面直角坐标系。
椅子绕0点沿逆时针方向旋转角度B后，长方形ABCD 转至A I B I C I D I的位置，这样就可以用旋转角0 （0<92n）表示出椅子绕点0旋转B后的椅子的位置。
图1变量B表示椅子的位置其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来。
由上述假设可知，当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地。
由于椅子在不同的位置是B的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是B的函数。
由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是0的函数。
长方形的椅子能在凹凸不平的地面上放稳吗？
长方形的椅子能在不平的地面上站稳吗？一、问题提出椅子(四条腿的椅脚连线呈长方形)能在不平的地面上放稳吗？把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳,然而只要稍挪动几次，就可以四脚着地，放稳了。
以下用数学语言证明。
二、问题分析该模型看似与数学与数学无关，但我们可以用数学语言给予表述，并用数学工具来证明，经过分析，我们可以一元变量θ表示椅子的位置，用θ的两个函数表示椅子四脚与地面的距离，进而把模型假设和椅子同时着地的结论用简单、精确的数学语言表达出来，构成了这个实际问题的数学模型。
三、模型假设为了明确问题，对上述现象中的有关因素在符合日常生活的前提下，做出如下假设：（1）椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形．（2）地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断 (没有像台阶那样的情况)，即从数学的角度看，地面是连续曲面．（3）椅子在任何位置至少有三只脚同时着地．为保证这一点，要求对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的．因为在地面上与椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰(即使是连续变化的)，此时三只脚是无法同时着地的．四、模型建立在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来.首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动．要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换．然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的．于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形．椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地．把长方形绕它的对称中心O旋转，这可以表示椅子位置的改变。
于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置．为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题．如下图所示，设椅脚连线为长方形ABCD，以对角线AC所在的直线为x轴，对称中心O为原点，建立平面直角坐标系．椅子绕O点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD转至A1B1C1D1的位置，这样就可以用旋转角θ（0≤θ≤π）表示出椅子绕点O旋转θ后的位置．其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来.我们知道，当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地.由于椅子在不同的位置是θ的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数.由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是θ的函数．而由假设(3)可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的θ，其函数值至少有三个同时为0．因此，只需引入两个距离函数即可．考虑到长方形ABCD是中心对称图形，绕其对称中心 O沿逆时针方向旋转180°后，长方形位置不变，但A,C和B,D对换了．因此，记A，B两脚与地面竖直距离是之和为f（θ），C、D两脚与地面的竖直距离之和为g（θ），其中θϵ[0，π],从而将原问题转化成数学问题，数学模型：已知f（θ）和g（θ）是非负的连续函数，对于任意的θ，有f（θ）·g（θ）=0. 证明存在某个θ0 ϵ[0，π]，使得f（θ0）= g（θ0）=0成立.五、模型求解如果f（0）=g（0）=0，那么结论成立。
椅子能在不平的地面上放稳吗
实验1 椅子能在不平的地面上放稳吗“椅子能在不平的地面上放稳吗”是来源于日常生活中一件普通的事实：把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。
不难看出，有二个对象：一是椅子；二是不平的地面（此后，我们把不平的地面简称为地面）。
而其中的关键：地面是不平的。
显然，“椅子往不平的地面上放”不是一个数学上的平面问题。
纵览全节，除在模型假设2把地面“视为数学上的连续曲面”外，通篇看作平面问题；用一元函数来处理的。
那么，这样能合理的构成模型，严密地求得正确的解吗？先从模型假设开始，本示例作了三个假设。
假设1是对第一个对象——椅子所作的。
它将椅脚与地面接触处视为一个点，四脚的连线呈正方形（关于这一点，后面再讨论）。
于是，椅子的四只脚在一个平面上（其实，三只脚就可以确定一个平面了，第四只脚必在此平面上），不妨称其为椅脚平面。
假设2是对第二个对象——地面的数学描述。
地面可视为数学上的连续曲面，并且没有台阶。
不妨假想有一个平面（比如水平面），我们称其为地平面，地面只是在此地平面上下起伏。
假设3是对地面的不平坦程度作进一步假设，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。
在这里值得注意的有二点：其一，“椅子在任何位置”应是指椅子放置在地面上后所处的位置，并非指空间的任何位置；其二，任意二个位置至少有三只脚同时着地时，这二个椅脚平面不能确保在同一平面上，也不能确保在地平面上。
接着来看椅子位置的改变。
文中是以椅脚连线构成的正方形绕此正方形的中心点旋转代表椅子位置的改变。
注意，这里是在这个正方形所在的平面（椅脚平面）中的旋转。
我们不妨假设初始位置时，椅子是放置在地面上的，由假设3此时至少有三只脚同时着地，我们称由这三只脚构成的平面为初始椅脚平面。
椅子绕此椅脚连线构成的正方形的中心点旋转一个角度之后，代表椅脚的正方形的四个点仍在此初始椅脚平面上，但这并不表明已确实把椅子放置在地面上了。
(完整版)数学建模作业1长方形椅子能在不平的地面上放稳吗？
注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地。
把长方形绕它的对称中心O旋转，这可以表示椅子位置的改变。
于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置。
为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题。
如下图所示，设椅脚连线为长方形ABCD，以对角线AC所在的直线为x轴，对称中心O为原点，建立平面直角坐标系。
椅子绕O点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD转至A1B1C1D1 的位置，这样就可以用旋转角θ（0≤θ≤π）表示出椅子绕点O旋转θ后的位置。
其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来。
我们知道，当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地。
由于椅子在不同的位置是θ的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数。
由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是θ的函数。
而由假设(3)可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的θ，其函数值至少有三个同时为0。
因此，只需引入两个距离函数即可。
考虑到长方形ABCD是中心对称图形，绕其对称中心 O沿逆时针方向旋转180°后，长方形位置不变，但A,C和B,D对换了．因此，记A、B两脚与地面竖直距离之和为f（θ），C、D两脚与地面竖直距离之和为g（θ），其中θ∈[0，π]，从而将原问题数学化。
数学模型：已知f（θ）和g（θ）是θ的非负连续函数，对任意θ，f（θ）•g(θ)＝0，证明：存在θ0∈[0，π]，使得f（θ0）＝g（θ0）＝0成立。
五、模型求解（显示模型的求解方法、步骤及运算程序、结果）如果f（0）＝g（0）＝0，那么结论成立。
如果f（0）与g（0）不同时为零，不妨设f（0）＞0，g（0）＝0。
此时，将长方形ABCD。
在不平的地面放稳椅子
在不平的地面放稳椅子摘要针对在不平的地面将椅子放平稳的问题，文章建立了三个模型来解决该问题。
将椅子的四脚连线看作特殊的四边形进行求解。
对于问题1，正方形是最简单也是最特殊的一种情况，我们用连续函数零点存在定理，证明出一定可以使椅子放稳。
对于问题2，我们采用和问题1相同的方法与过程，证明出可以放稳。
对于问题3，等腰梯形和正方形、长方形有一些区别，它更加一般化，旋转的区间范围更大，在]2,0[ 上进行旋转，也可以找出能放稳的点，方法与问题1、问题2相同。
文章在解决这些特殊化问题后，对一般性结论进行了猜想与论证，并最终得出结论，对一般的四边形，也能使它在不平的地面上放稳。
关键词：椅子；不平地面；放稳；数学模型；连续函数；零点存在1.问题的重述在不平的地面上，椅子通常只有三只脚着地，只需稍挪动几次，就能使四只脚同时着地，即放稳了。
问题1：椅子四脚连线呈正方形；问题2：椅子四脚连线呈长方形；问题3：椅子四脚连线呈等腰梯形。
2.问题的分析当椅子放稳时应为椅子的四条腿同时着地（即椅子的四条腿脚与地面的的距离为零），用连续函数的零点存在定理，找出在某一范围内一定存在的点，能让四条腿同时着地。
3．模型的假设与符号说明3．1 模型的假设（1）假设一：椅子的四条腿一样长，将椅子与地面的接触看作一个点。
（2）假设二：将不平的地面看作连续的曲面，没有间断点。
（3）假设三：椅子在任何位置至少有三脚着地，才能保证椅子能放平稳。
3．2 符号说明符号一：D C B A ,,,为四边形上四点，',',','D C B A 为旋转后四边形上四点。
符号二：O 为四边形的中心。
符号三：θ为旋转角度。
4．模型的准备连续函数零点存在定理：对)(x F ∀，若)(x F 在],[b a 上为连续函数，且0)()(≤⋅b F a F ，则],[b a ∈∃ξ，使得0)(=ξF .5．模型的建立与求解5．1 问题1的模型建立与求解模型建立：1.正方形ABCD 为椅子四脚的连线，2.椅子中心为O 点，3.当椅子绕中心O 点旋转θ度后，椅子从正方形ABCD 变为正方 形''''D C B A ，旋转角度为θ.设椅脚C A ,与地面的距离之和为)(θf ，D B ,两脚与地面距离之和为)(θg ，其中)(θf 、)(θg ≥0。
数学建模作业1长方形椅子能在不平的地面上放稳吗？
注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转 180 度后，椅子仍 在原地。把长方形绕它的对称中心 O 旋转，这可以表示椅子位置的改变。于是，旋转角度 θ 这 一变量就表示了椅子的位置。为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题。
如下图所示，设椅脚连线为长方形 ABCD，以对角线 AC 所在的直线为 x 轴，对称中心 O 为原点， 建立平面直角坐标系。椅子绕 O 点沿时针方向旋转角度 θ 后，长方形 ABCD 转至 A1B1C1D1 的 位置，这样就可以用旋转角 θ （0≤θ ≤π ）表示出椅子绕点 O 旋转 θ 后的位置。
其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来。 我们知道，当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚 不着地。由于椅子在不同的位置是 θ 的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是 θ 的函数。 由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是 θ 的函数。而由假设(3) 可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的 θ ，其函数值至少有 三个同时为 0。因此，只需引入两个距离函数即可。考虑到长方形 ABCD 是中心对称图形，绕其 对称中心 O 沿逆时针方向旋转 180°后，长方形位置不变，但 A,C 和 B,D 对换了．因此，记 A、 B 两脚与地面竖直距离之和为 f（θ ），C、D 两脚与地面竖直距离之和为 g（θ ），其中θ ∈[0， π ]，从而将原问题数学化。
(完整版)数学建模作业1(长方形椅子能否在不平的地面上放稳吗)
其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来．
我们知道，当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地．由于椅子在不同的位置是θ的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数．
由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是θ的函数．而由假设(3)可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的θ，其函数值至少有三个同时为0．因此，只需引入两个距离函数即可．考虑到长方形ABCD是中心对称图形，绕其对称中心 O沿逆时针方向旋转180°后，长方形位置不变，但A,C 和B,D对换了．因此，记
A、B两脚与地面竖直距离之和为f（θ），C、D两脚与地面竖直距离之和为g（θ），其中θ∈[0，π]，从而将原问题数学化。
数学模型：已知f（θ）和g（θ）是θ的非负连续函数，对任意θ，f（θ）•g(θ)＝0，证明：存在θ0∈[0，π]，使得f（θ0）＝g （θ0）＝0成立。
《高等数学》应用实例
《高等数学》应用18例一、椅子能在不平的地面上放稳吗？二、磁盘的最大存储量三、有趣的Fibonacci数列四、分形几何中的Koch雪花五、工人上班何时效率最高？六、石油的消耗量七、捕鱼成本的计算八、飞出火星九、萃取问题十、最优化的产出水平十一、蚂蚁逃跑问题十二、资金配置问题十三、家庭教育基金问题十四、分针与时针重合问题十五、证明e是无理数十六、湖泊的污染问题十七、减肥问题十八、冷却定律和破案一、椅子能在不平的地面上放稳吗？要回答这个问题，我们先要做一些合理的假设：（1）椅子的四条腿长度相等，椅脚与地面接触处视为一个点，四脚的连线是一个正方形；（2）地面是一个连续曲面，没有象台阶那样的情况；（3）地面是相对平坦的，即在任何位置至少有三只脚着地；在以上假设下，问题就是四只脚A、B、C、D能否同时着地？为此我们以四脚的中心为原点建立坐标系（如图），再以原点为中心旋转椅子，用θ表示旋转的角度，并引入函数f(θ)表示A、C两腿与地面的距离之和，函数g(θ) 表示B、D两腿与地面的距离之和,且不妨假设f(θ)、g(θ)都是连续函数，又因在任何位置至少有三只脚着地，所以对任何θ，有f(θ)g(θ)=0。
于是，椅子能在不平的地面上放稳的问题就转化为：是否存在θ0，使f(θ0)=g(θ0)=0？回答是肯定的，下面是其证明。
不妨假设开始时f(0)>0,g(0)=0，现将椅子旋转900(π/2)，对角线AC与BD互换，由f(0)>0,g(0)=0可知f(π/2)=0,g(π/2)>0。
令h(θ)= f(θ)-g(θ)，则h(0)>0，而h(π/2)<0，根据连续函数的介值定理知，必存在θ0(0<θ0<π/2)，使f(θ0)-g(θ0)=0。
最后，因为f(θ0)g(θ0)=0，所以f(θ0)=g(θ0)=0。
这种通过对实际问题先作合理的假设，最后转化成一个纯粹的数学问题并求解的方法就是数学建模。
数学建模作业1 长方形椅子能在不平的地面上放稳吗？
注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地。
把长方形绕它的对称中心O旋转，这可以表示椅子位置的改变。
于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置。
为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题。
如下图所示，设椅脚连线为长方形ABCD，以对角线AC所在的直线为x轴，对称中心O为原点，建立平面直角坐标系。
椅子绕O点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD转至A1B1C1D1 的位置，这样就可以用旋转角θ（0≤θ≤π）表示出椅子绕点O旋转θ后的位置。
其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来。
我们知道，当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地。
由于椅子在不同的位置是θ的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数。
由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是θ的函数。
而由假设(3)可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的θ，其函数值至少有三个同时为0。
因此，只需引入两个距离函数即可。
考虑到长方形ABCD是中心对称图形，绕其对称中心 O沿逆时针方向旋转180°后，长方形位置不变，但A,C和B,D对换了．因此，记A、B两脚与地面竖直距离之和为f（θ），C、D两脚与地面竖直距离之和为g（θ），其中θ∈[0，π]，从而将原问题数学化。
数学模型：已知f（θ）和g（θ）是θ的非负连续函数，对任意θ，f（θ）•g(θ)＝0，证明：存在θ0∈[0，π]，使得f（θ0）＝g（θ0）＝0成立。
五、模型求解（显示模型的求解方法、步骤及运算程序、结果）如果f（0）＝g（0）＝0，那么结论成立。
如果f（0）与g（0）不同时为零，不妨设f（0）＞0，g（0）＝0。
此时，将长方形ABCD。
椅子摆放问题
问题：椅子能在不平的地面放稳吗？
模型假设对椅子和地面应该做出一些假设：
1．椅子四条腿一样长，椅子与地面接触可视为一个点，四角的连接呈长方形。
2．地面的高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可以视为数学上的连续平面。
3．对于椅子腿的间距和椅子腿的长度而言地面是相对平坦的，使椅子腿在任何地方都有三个腿同时着地。
分析：
当椅子放稳时应为椅子的四条腿同时着地（即椅子的四条腿脚与地面的的距离为零）
如图建立直角坐标系，A、B、C、D为椅子的四条腿脚与地面的接触点。
表示在椅子不稳的情况下将椅子绕0点旋转角度后椅子的位置，不同的则表示椅子不同的位置。
问题:
是否存在一使得椅子的四条腿与地面的距离为零。
与假设三:记为椅子旋转角度时A、C两点（腿）到地面的距离之和记为椅子旋转角度时B、D两点（腿）到地面的距离之和对，=0
有假设二和都是在区间上的连续函数（地面是连续变化的）
由假设三不妨设：=0时有这样改变椅子的位置就可以使椅
子四只脚同时着地。
归结出数学命题：
已知和是的连续函数。
对，=0 且
证明存在，使得
模型求解：
如图（2）为将椅子旋转（两对角线之夹角）角度后，对角线BD覆盖到原先对角线AC 的位置上，而AC 则旋转出一新的位置。
由可知
令则有
的连续性可知也是连续函数，根据连续函数的基本性质
比存在使得
即有
肯定存在一位置可以使得四条腿同时着地放稳椅子，即椅子可以在不平的地方放。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
椅子能在不平的地面放稳吗？
问题提出
把一张椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，然而只需稍为转动一定角度，就可以使四只脚同时着地，即放稳了。
怎样用数学模型来描述和证明这个实际问题呢？
模型假设
为了能用数学语言描述，对椅子和地面需作一些必要的假设。
1. 椅子四只脚一样长，椅脚与地面接触处视为一个点。
四只脚的连线呈正方形。
（对椅子的假设）
2. 地面的高度是连续变化的，即可视为数学上的连续曲面。
（对地面的假设）
3. 地面是较平坦的，使椅子在任何时候都同时有三只脚同时着地。
（对两者关系的假设）
模型建立
主要问题是如何用数学语言把椅子四只脚同时着地的条件表达出来。
1.引入函数
以正方形的中心为原点建立坐标系，用θ表示椅子转动的角度，从而确定椅子的位置。
椅脚着地，即椅脚与地面距离为0，这就是椅子与地面的数量关系。
因此，我们可用θ的函数表示椅脚与地面距离，因为图形具有对称性，故不必用4个函数，而只用2个函数即可。
设f(θ) 表示椅脚A 与C 两脚到地面距离之和；
g(θ) 表示椅脚B 与D 两脚到地面距离之和.
2.函数的性质
（1） 由假设2，函数f(θ)与g(θ)是θ的非负连续函数，0≤θ≤2π; （2） 由假设3，对任意θ∈[0，2π]，f(θ)g(θ)=0，不妨设f(0)>0,g(0)=0； （3） 当把椅子转动π/2时，则AC 与BD 互换了位置，由假设1，
’
f(π/2)=g(0) ，g(π/2)= f(0).
3.把问题化作数学命题
椅子四只脚同时着地等价于存在一点θ0，使f(θ0)=g(θ0)=0.
因此，原问题等价于以下命题：
命题已知函数f(θ)与g(θ)是θ的非负连续函数，0≤θ≤2π，且满足：（1）f(0)>0,g(0)=0；
（2）对任意θ∈[0，2π]，f(θ)g(θ)=0；
（3）f(π/2)=g(0) ，g(π/2)= f(0).
则必存在一点θ0∈[0，2π]，使f(θ0)=g(θ0)=0.
模型求证
命题已知函数f(θ)与g(θ)是θ的非负连续函数，0≤θ≤2π，且满足：（1）f(0)>0,g(0)=0；
（2）对任意θ∈[0，2π]，f(θ)g(θ)=0；
（3）f(π/2)=g(0) ，g(π/2)= f(0).
则必存在一点θ0∈[0，2π]，使f(θ0)=g(θ0)=0.
求证：
∵ f(0)>0,g(0)=0 ∴ f(π/2)=g(0)=0, g(π/2)= f(0)>0
令h(θ)=f(θ)-g(θ), 则在[0，π/2]上连续且
h(θ)=f(0)-g(0) >0, h(π/2)=f(π/2)-g(π/2)<0
由连续函数介值定理可知，必存在一点0<θ0<π/2使h(θ0)=0
即f(θ0)=g(θ0)，∵f(θ0)与g(θ0)至少有一个为0，∴f(θ0)=g(θ0)=0
模型的解的意义是
在满足三点假设的前提下，我们证明了通过转动椅子，必定可把它放稳，而且转动的角度不需超过90度（顺时针或逆时针）。
思考
1.若把假设中的“四只脚的连线呈正方形”改为“四只脚的连线呈长方形”，你认为结论成立吗？
2. 若把假设中的“四只脚的连线呈正方形”改为“四只脚共圆”，则结果中有如何？
答案：
1.若把假设中的“四只脚的连线呈正方形”改为“四只脚的连线呈长方形”，则结果中的π/2改为π，结论仍然成立。
2. 若把假设中的“四只脚的连线呈正方形”改为“四只脚共圆”，则结果中的π/2改为2π，结论仍然成立。