《高等数学》习题答案

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高等数学课后习题答案--第一章

《高等数学》习题参考资料第一篇一元函数微积分第一章极限与连续§1 函数习题1.确定下列初等函数的定义域：(1) 21)(2−−+=x x x x f ；(2)4)(2−=x x f ；(3) 21arcsin )(−=x x f ；(4)2)5lg()(x x x f −=；(5) 4lg )5lg()(2−−=x x x f ；(6)x x x f cos sin )(−=。

1．【答案】(1) )},2()2,1()1,(|{:+∞∪−∪−−∞∈=x x D (2) )},2[]2,(|{:+∞∪−−∞∈=x x D (3) ]}3,1[|{:;−∈=x x D (4) )}5,0()0,(|{:∪−∞∈=x x D (5) ]}4,1[|{:∈=x x D (6)+ +∈=+∞−∞=U k k k x x D ππ452,412|:.2. 作出下列函数的图象：（1）|sin |sin )(x x x f −=；(2)|1|2)(−−=x x f ；（3）+−−=,1,1,21)(x x x x f .12,21,1||−<<−<<≤x x x 2 【答案】 (1)2(2)2 (3)3.判断下列函数的奇偶性：（1）x x x f ++−=11)(；（2）xxx f x x +−+−=11lg110110)(；（3）x x a a x f x x sin )(++=−；（4）)1lg()(2x x x f ++=。

3. 【答案】 (1) 偶函数; (2) 偶函数; (3) 偶函数; (4) 奇函数 .4.证明:两个奇函数的乘积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数。

4．【答案】设)(x f ,)(x h 是奇函数, )(x g 是偶函数,)()()(x h x f x f =,)()()(x g x f x G =, 于是)()()(x h x f x F −−=−))())(((x h x f −−=)()()(x F x h x f ==, 因此)(x F 是偶函数.)()()(x g x f x G −−=−)()(x g x f −=)(x G −=, 因此)(x G 是奇函数.5．设函数f 满足：D （f ）关于原点对称，且()xc x bf x af =+1)(，其中a ,b ,c 都是常数，||||b a ≠,试证明f 是奇函数。

高等数学练习题(附答案)

《高等数学》专业年级学号姓名一、判断题.将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分）（）1.收敛的数列必有界.（）2.无穷大量与有界量之积是无穷大量.（）3.闭区间上的间断函数必无界.（）4.单调函数的导函数也是单调函数.（）5.若f (x )在x 0点可导，则f (x )也在x 0点可导.（）6.若连续函数y =f (x )在x 0点不可导，则曲线y =f (x )在(x 0,f (x 0))点没有切线.（）7.若f (x )在[a ,b ]上可积，则f (x )在[a ,b ]上连续.（）8.若z =f (x ,y )在（x 0,y 0）处的两个一阶偏导数存在，则函数z =f (x ,y )在（x 0,y 0）处可微.（）9.微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解.（）10.设偶函数f (x )在区间(-1,1)内具有二阶导数，且f ''(0)=f '(0)+1,则f (0)为f (x )的一个极小值.二、填空题.（每题2分，共20分）1.设f (x -1)=x ，则f (x +1)=.22.若f (x )=2-12+11x1x，则lim +=.x →03.设单调可微函数f (x )的反函数为g (x ),f (1)=3,f '(1)=2,f ''(3)=6则---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------g '(3)=.4.设u =xy +2x,则du =.y35.曲线x =6y -y 在(-2,2)点切线的斜率为.6.设f (x )为可导函数,f '(1)=1,F (x )=f ()+f (x ),则F '(1)=.7.若1x2⎰f (x )0t 2dt =x 2(1+x ),则f (2)=.8.f (x )=x +2x 在[0,4]上的最大值为.9.广义积分⎰+∞0e -2x dx =.2210.设D 为圆形区域x +y ≤1,⎰⎰y D1+x 5dxdy =.三、计算题（每题5分，共40分）111+Λ+).1.计算lim(2+22n →∞n (n +1)(2n )2.求y =(x +1)(x +2)(x +3)ΛΛ(x +10)在（0，+∞）内的导数.23103.求不定积分⎰1x (1-x )dx .4.计算定积分⎰πsin 3x -sin 5xdx .3225.求函数f (x ,y )=x -4x +2xy -y 的极值.6.设平面区域D 是由y =x ,y =x 围成，计算⎰⎰Dsin ydxdy .y7.计算由曲线xy =1,xy =2,y =x ,y =3x 围成的平面图形在第一象限的面积.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------8.求微分方程y '=y -2x的通解.y四、证明题（每题10分，共20分）1.证明：arc tan x=arcsinx 1+x 2(-∞<x <+∞).2.设f (x )在闭区间[a ,b ]上连续，且f (x )>0,F (x )=⎰f (t )dt +⎰x xb1dt f (t )证明：方程F (x )=0在区间(a ,b )内有且仅有一个实根.《高等数学》参考答案一、判断题.将√或×填入相应的括号内（每题2分，共20分）1.√；2.×；3.×；4.×；5.×；6.×；7.×；8.×；9.√；10.√.二、填空题.（每题2分，共20分）21.x +4x +4； 2.1； 3.1/2；4.(y +1/y )dx +(x -x /y )dy ；25.2/3；6. 1；7.336；8.8；9.1/2；10.0.三、计算题（每题5分，共40分）n +1111n +1<++L +<1.解：因为(2n )2n 2(n +1)2(2n )2n 2且lim 由迫敛性定理知：lim(n →∞n +1n +1=0lim ，=0n →∞(2n )2n →∞n 2111++Λ+)=0222n (n +1)(2n )2.解：先求对数ln y =ln(x +1)+2ln(x +2)Λ+10ln(x +10)---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------∴11210y '=++Λ+y x +1x +2x +10∴y '=(x +1)Λ(x +10)(3.解：原式=21210++Λ+)x +1x +2x +10⎰11-xd x =2⎰11-(x )2d x=2arcsin4.解：原式=x +c⎰πsin 3x cos 2xdxπ32=⎰π2020cos x sin xdx -⎰cos x sin xdx232ππ32=⎰sin xd sin x -⎰ππ2sin xd sin x32222-[sin 2x ]π=[sin 2x ]0π552=4/525.解：f x'=3x -8x -2y =0f y'=2x -2y =05π5故⎨⎧x =0⎧x =2或⎨⎩y =0⎩y =2当⎨⎧x =0''(0,0)=-2，f xy ''(0,0)=2''(0,0)=-8，f yy 时f xx⎩y =0---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Θ∆=(-8)⨯(-2)-22>0且A=-8<0∴（0，0）为极大值点且f (0,0)=0当⎨⎧x =2''(2,2)=-2，f xy ''(2,2)=2''(2,2)=4，f yy 时f xxy =2⎩Θ∆=4⨯(-2)-22<0∴无法判断6.解：D=(x ,y )0≤y ≤1,y 2≤x ≤y{}∴⎰⎰D1y sin y 1sin y sin y dxdy =⎰dy ⎰2dx =⎰[x ]y dyy 20y 0y y y =⎰(sin y -y sin y )dy1=[-cos y ]+10⎰1yd cos y 1=1-cos1+[y cos y ]0-⎰cos ydy 01=1-sin17.解：令u =xy ，v =y；则1≤u ≤2，1≤v ≤3x1x uJ =yuxv =2uv y vv-u 2v v =12v u2u v231dv =ln 3∴A =⎰⎰d σ=⎰du ⎰112v D8.解：令y =u ，知(u )'=2u -4x由微分公式知：u =y =e ⎰22dx 2(⎰-4xe ⎰-2dx dx +c )---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------=e 2x (⎰-4xe -2x dx +c )=e 2x (2xe -2x +e -2x +c )四.证明题（每题10分，共20分）1.解：设f (x )=arctan x -arcsinx 1+x 221Θf '(x )=-21+x 1x 1-1+x 221+x -⋅1+x 2x 21+x 2=0∴f (x )=c-∞<x <+∞令x =0Θf (0)=0-0=0∴c =0即：原式成立。

（WORD）-高等数学课后习题（完整版）及答案

高等数学课后习题(完整版)及答案高等数学课后答案习题1 11设A ( 5) (5 ) B [10 3)写出A BA B A\B及A\(A\B)的表达式解 A B ( 3) (5 )A B [105)A\B ( 10) (5 )A\(A\B) [105)2设A、B是任意两个集合证明对偶律 (A B)C AC BC 证明因为x (A B)C x A B x A或x B x AC或x BC x ACBC所以 (A B)C AC BC3设映射f X Y A X B X 证明(1)f(A B) f(A) f(B)(2)f(A B) f(A) f(B)证明因为y f(A B) x A B使f(x) y(因为x A或x B) y f(A)或y f(B)y f(A) f(B)所以 f(A B) f(A) f(B)(2)因为y f(A B) x A B使f(x) y (因为x A且x B) y f(A)且y f(B) y f(A) f(B)所以 f(A B) f(A) f(B)4设映射f X Y若存在一个映射g Y X使g f IXf g IY其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射即对于每一个x X有IX x x 对于每一个y Y有IY y y证明 f是双射且g是f的逆映射 g f 1证明因为对于任意的y Y有x g(y) X且f(x) f[g(y)] Iy y y即Y中任意元素都是X中某元素的像所以f为X到Y的满射又因为对于任意的x1 x2必有f(x1) f(x2)否则若f(x1) f(x2) g[ f(x1)] g[f(x2)] x1 x2因此f既是单射又是满射即f是双射对于映射g Y X因为对每个y Y有g(y) x X且满足f(x) f[g(y)] Iy y y按逆映射的定义 g是f的逆映射5设映射f X Y A X 证明(1)f 1(f(A)) A(2)当f是单射时有f 1(f(A)) A证明 (1)因为x A f(x) y f(A) f 1(y) x f 1(f(A))所以 f 1(f(A)) A(2)由(1)知f 1(f(A)) A另一方面对于任意的x f 1(f(A)) 存在y f(A)使f1(y) x f(x) y 因为y f(A)且f是单射所以x A这就证明了f 1(f(A)) A因此f 1(f(A)) A6求下列函数的自然定义域(1)y x233 解由3x2 0得x 2函数的定义域为[2, )(2)y 1 1x2解由1x2 0得x 1函数的定义域为( 1) (11) (1 )(3)y 1x x2解由x 0且1x2 0得函数的定义域D [1 0) (0 1](4)y 14x2解由4x2 0得 |x| 2函数的定义域为(2 2)(5)y sinx解由x 0得函数的定义D [0 )(6) y tan(x1)2 解由x1 (k 0 1 2 )得函数的定义域为x k 1 (k 0 1 2 2)(7) y arcsin(x3)解由|x3| 1得函数的定义域D [2 4](8)y x1 x解由3x 0且x 0得函数的定义域D ( 0) (0 3)(9) y ln(x1)解由x1 0得函数的定义域D (1 )(10)y ex解由x 0得函数的定义域D ( 0) (0 )7下列各题中函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？(1)f(x) lg x2 g(x) 2lg x(2) f(x) x g(x) x2(3)f(x) x4x3g(x) xx1(4)f(x) 1 g(x) sec2x tan2x解 (1)不同因为定义域不同(2)不同因为对应法则不同 x 0时 g(x) x(3)相同因为定义域、对应法则均相相同(4)不同因为定义域不同8 |sinx| |x|3设 (x) |x| 0 3 求 ( ) ( ) ( ) (2)并作出函数y (x)644的图形) |sin | 解 ( ) |sin | 1 (446622) |sin( )| (442 (2) 09试证下列函数在指定区间内的单调性(1)y x ( 1) 1x(2)y x ln x (0 )证明 (1)对于任意的x1 x2 ( 1)有1x1 0 1x2 0因为当x1 x2时y1y2 xxx x 0 1x11x2(1x1)(1x2) 所以函数y x在区间( 1)内是单调增加的 1x(2)对于任意的x1 x2 (0 )当x1 x2时有y1y2 (x1lnx1)(x2lnx2) (x1x2)lnx 0 x2所以函数y x ln x在区间(0 )内是单调增加的10设 f(x)为定义在(l l)内的奇函数若f(x)在(0 l)内单调增加证明f(x)在(l 0)内也单调增加证明对于x1 x2 (l 0)且x1 x2有x1x2 (0 l)且x1 x2因为f(x)在(0 l)内单调增加且为奇函数所以f(x2) f(x1)f(x2) f(x1) f(x2) f(x1)这就证明了对于x1 x2 (l 0)有f(x1) f(x2)所以f(x)在(l 0)内也单调增加11设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(l l)上的证明(1)两个偶函数的和是偶函数两个奇函数的和是奇函数(2)两个偶函数的乘积是偶函数两个奇函数的乘积是偶函数偶函数与奇函数的乘积是奇函数证明 (1)设F(x) f(x)g(x)如果f(x)和g(x)都是偶函数则F(x) f(x)g(x) f(x)g(x) F(x)所以F(x)为偶函数即两个偶函数的和是偶函数如果f(x)和g(x)都是奇函数则F(x) f(x)g(x) f(x)g(x) F(x)所以F(x)为奇函数即两个奇函数的和是奇函数(2)设F(x) f(x) g(x)如果f(x)和g(x)都是偶函数则F(x) f(x) g(x) f(x) g(x) F(x)所以F(x)为偶函数即两个偶函数的积是偶函数如果f(x)和g(x)都是奇函数则F(x) f(x) g(x) [f(x)][g(x)] f(x) g(x) F(x)所以F(x)为偶函数即两个奇函数的积是偶函数如果f(x)是偶函数而g(x)是奇函数则F(x) f(x) g(x) f(x)[g(x)] f(x) g(x) F(x)所以F(x)为奇函数即偶函数与奇函数的积是奇函数12下列函数中哪些是偶函数哪些是奇函数哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y x2(1x2)(2)y 3x2x3(3)y 1x2 1x2(4)y x(x1)(x1)(5)y sin x cos x1(6)y ax a x2解 (1)因为f(x) (x)2[1(x)2] x2(1x2) f(x)所以f(x)是偶函数(2)由f(x) 3(x)2(x)3 3x2x3可见f(x)既非奇函数又非偶函数(3)因为1(x)21x2f(x) f(x) 221x1x所以f(x)是偶函数(4)因为f(x) (x)(x1)(x1) x(x1)(x1) f(x)所以f(x)是奇函数(5)由f(x) sin(x)cos(x)1 sin x cos x1可见f(x)既非奇函数又非偶函数(6)因为(x)(x)xxa aa af(x) f(x) 22所以f(x)是偶函数13下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数指出其周期(1)y cos(x2)解是周期函数周期为l 2(2)y cos 4x解是周期函数周期为l 2(3)y 1sin x解是周期函数周期为l 2(4)y xcos x解不是周期函数(5)y sin2x解是周期函数周期为l14求下列函数的反函数(1)y x1解由y x1得x y31所以y x1的反函数为y x31(2)y 1x 1x解由y 1x得x 1y所以y 1x的反函数为y 1x1x1y1x1x(3)y ax b(ad bc 0) cx d解由y ax b得x dy b所以y ax b的反函数为y dx b cx dcy acx dcx a(4) y 2sin3xyarcsin所以y 2sin3x的反函数为y 1arcsinx解由y 2sin 3x 得x 13232(5) y 1ln(x2)x2(6)y 2 1 解由y 1ln(x2)得x ey12所以y 1ln(x2)的反函数为y ex122xx y 所以的反函数为y log2211x 解 y2xy x log由得21y2 115设函数f(x)在数集X上有定义试证函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界证明先证必要性设函数f(x)在X上有界则存在正数M使|f(x)| M即M f(x) M这就证明了f(x)在X上有下界M和上界M再证充分性设函数f(x)在X上有下界K1和上界K2即K1 f(x) K2 取M max{|K1| |K2|}则M K1 f(x)K2 M即 |f(x)| M这就证明了f(x)在X上有界16在下列各题中求由所给函数复合而成的函数并求这函数分别对应于给定自变量值x1和x2的函数值(1) y u2 u sin x解 y sin2x x1 6x2 33y1 sin2 12 1y2 sin2 ()2 324624x1 x2 84 (2) y sin u u 2x解 y sin2x(3)y解 y1 sin(2 ) sin y2 sin(2 sin 1 842422u 1x x1 1 x2 2 y x2 y1 12 y2 22(4) y eu u x2 x1 0 x2 1解 y ex2 y1 e0 1 y2 e1 e 22(5) y u2 u ex x1 1 x2 1解 y e2x y1 e2 1 e2 y2 e2 (1) e217设f(x)的定义域D [0 1]求下列各函数的定义域(1) f(x2)解由0 x2 1得|x| 1所以函数f(x2)的定义域为[1 1](2) f(sinx)解由0 sin x 1得2n x (2n1) (n 0 1 2 )所以函数f(sin x)的定义域为[2n (2n1) ] (n 0 1 2 )(3) f(x a)(a>0)解由0 x a 1得a x 1a所以函数f(x a)的定义域为[a 1a](4) f(x a)f(x a)(a 0)22 解由0 x a 1且0 x a 1得当0 a 1时 a x 1a 当a 1时无解因此当0 a 1时函数的定义域为[a 1a]当a 1时函数无意义2218设的图形解 |x| 1 1 x f(x) 0 |x| 1 g(x) e |x| 1 1 求f[g(x)]和g[f(x)]并作出这两个函数 1 |ex| 1 f[g(x)] 0|ex| 11 |ex| 1 即 1 x 0 f[g(x)] 0 x 0 1 x 0e1 |x| 1 g[f(x)] ef(x) e0 |x| 1e 1 |x| 1 e |x| 1 |x| 1即g[f(x)] 11 |x| 1 e19已知水渠的横断面为等腰梯形斜角 40 (图137)当过水断面ABCD的面积为定值S0周L(L AB BC CD)与水的函数关系式并指明其图137解 AB DC hsin40 0cot40 h所以又从1h[BC(BC2cot40 h)] S0得BC Sh时求湿深h之间定义域 2S2cos40L h hsin40自变量h的取值范围应由不等式组h 0确定定义域为0 h 0cot40S0 cot40 h 0 h20收敛音机每台售价为90元成本为60元厂方为鼓励销售商大量采购决定凡是订购量超过100台以上的每多订购1台售价就降低1分但最低价为每台75元(1)将每台的实际售价p表示为订购量x的函数(2)将厂方所获的利润P表示成订购量x的函数(3)某一商行订购了1000台厂方可获利润多少？解 (1)当0 x 100时 p 90令001(x0100) 9075得x0 1600因此当x 1600时p 75当100 x 1600时p 90(x100) 001 910 01x综合上述结果得到0 x 100 90 p 910.01x 100 x 1600 75 x 1600 30x 0 x 1002100 x 1600 (2)P (p60)x 31x0.01x 15x x 1600(3) P 31 1000001 10002 21000(元)习题1 21观察一般项xn如下的数列{xn}的变化趋势写出它们的极限 (1)xn 1 2n解当n 时(2)xn (1)n1 n1 0 0 xn 1limn 22 解当n 时(3)xn 2 12 nxn (1)n1 0 lim(1)n1 0 n nn解当n 时(4)xn n1 n1xn 21 2 lim(21) 2 n nn2解当n 时(5) xn n(1)n xn n1 12 0 limn1 1n n1n1n 1解当n 时 xn n(1)n没有极限2 cos设数列{xn}的一般项xn nx ? 求出N使当n N时 xn问nlim n与其极限之差的绝对值小于正数当 0001时求出数N解limx 0n n要使|x n0| 只要1 也就是n 1取n|cos|1 0 |xn0| nnN [1]则n N有|xn0|当 0001时 N [1] 10003根据数列极限的定义证明1 0 (1)nlim 2n分析要使|120| 12 只须n2 1即nnn1nn证明因为 0N [3n1 3 (2)nlim1]1 0当n N时有|120| 所以nlim 2分析2n12n13| 1 1要使|3 2n122(2n1)4n4只须证明因为 0N [1]当n N (3)nlim 分析 n2a2 1 n1 即n 14 4n3n1 3时有|3n13| 所以nlim 2n122n12只须2an222222a a naa要使|1| 22nnn a n)n2aN []证明因为 022n alim 1 n n当n N时有|n2a21|n所以(4)nlim0. 999 9 1n个分析要使|099 91|110n 1只须1 10即n 1lg1证明因为 0N [1lg1]当n N时有|099 91| 所以n n个lim0.999 9 1|u| |a|并举例说明如果数列{|xn|}有极限但数证明nlimn4limu an n列{xn}未必有极限u a所以 0N N当n N时有|un a| 从而证明因为nlim n||un||a|| |un a||un| |a|这就证明了nlim|(1)n| 1但lim(1)n 数列{|xn|}有极限但数列{xn}未必有极限例如nlimn不存在y 0证明 5设数列{xn}有界又nlim nn limxnyn 0证明因为数列{xn}有界所以存在M使n Z有|xn| Myn 0所以 0N N当n N时有|yn| 从而当n N时又nlim M有xy 0所以nlim nn|xnyn0| |xnyn| M|yn| M M6对于数列{xn}若x2k1 a(k ) x2k a(k )证明 xn a(n )证明因为x2k1 a(k ) x2k a(k )所以 0K1当2k1 2K11时有| x2k1a| K2当2k 2K2时有|x2k a| 取N max{2K11 2K2}只要n N就有|xn a| 因此xn a (n )习题1 31根据函数极限的定义证明(3x1) 8 (1)limx 3分析因为|(3x1)8| |3x9| 3|x3|所以要使|(3x1)8| 只须|x3| 1 3 证明因为 0 1 当0 |x3| 时有 3|(3x1)8|(3x1) 8所以limx 3(5x2) 12 (2)limx 2分析因为|(5x2)12| |5x10| 5|x2|所以要使|(5x2)12| 只须|x2| 1 5 证明因为 0 1 当0 |x2| 时有 5|(5x2)12|(5x2) 12所以limx 22x4 4(3)xlim 2x 2分析因为x24(4) x24x4 |x2| |x(2)| x2x 2所以要使x24(4) x2只须|x(2)| 证明因为 0 当0 |x(2)| 时有x24(4) x2x24 4lim所以x 2x2314x(4)lim 2 2x1x分析因为所以要使14x32 |12x2| 2|x(1)| 2x1214x32 2x1只须|x(1)| 1 2222 证明因为 0 1 当0 |x(1)| 时有 14x32 2x1 314x所以lim 2 2x1x 22根据函数极限的定义证明1x (1)xlim 1 22x3分析因为所以要使1x31 1x3x3 1 2x322x32|x|3 1x312x2只须1 2|x|即|x| 1证明因为 0X 1当|x| X时有 1x312x3231x 1所以xlim3 2x2sinx 0 (2)xlim x 分析因为所以要使证明sinx0 |sinx| 1 xxxsinx0 只须1 即x 12x x因为 0X 1当x X时有 2sinx0 xsinx 0所以xlim x 3当x 2时 y x2 4问等于多少使当|x2|< 时 |y4|<0001？解由于当x 2时 |x2| 0故可设|x2| 1即1 x 3要使|x24| |x2||x2| 5|x2| 0001只要|x2| 0.001 0.0002 5取 00002则当0 |x2| 时就有|x24| 0 0014当x 时解要使y x21 1 x32问X等于多少使当|x| X时|y1| 001? 只要|x| 43 0.01x211 4 0.01x23x23故X5证明函数f(x) |x|当x 0时极限为零证明因为|f(x)0| ||x|0| |x| |x0|所以要使|f(x)0| 只须|x|因为对 0 使当0 |x0| 时有|f(x)0| ||x|0||x| 0所以limx 06求f(x) x, x (x) |x|当xx 0时的左﹑右极限并说明它们在x 0时的极限是否存在证明因为lim f(x) lim x lim1 1x 0x 0xx 0lim f(x) lim x lim1 1 x 0x 0xx 0x 0limf(x) lim f(x) x 0f(x)存在所以极限limx 0因为|x| lim x 1 x 0x 0xx 0x|x|x 1lim (x) lim limx 0x 0xx 0xlim (x) limx 0 lim (x) lim (x) x 0(x)不存在所以极限limx 07证明若x 及x 时函数f(x)的极限都存在且都等于Af(x) A则xlimf(x) A证明因为xlim x limf(x) A所以 >0X1 0使当x X1时有|f(x)A|X2 0使当x X2时有|f(x)A|f(x) A取X max{X1 X2}则当|x| X时有|f(x)A| 即xlim8根据极限的定义证明函数f(x)当x x0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等证明先证明必要性设f(x) A(x x0)则 >0 0使当0<|x x0|< 时有|f(x)A|<因此当x0 <x<x0和x0<x<x0 时都有|f(x)A|<这说明f(x)当x x0时左右极限都存在并且都等于A再证明充分性设f(x00) f(x00) A则 >01>0使当x0 1<x<x0时有| f(x)A<2>0使当x0<x<x0+ 2时有| f(x)A|<取 min{ 1 2}则当0<|x x0|< 时有x0 1<x<x0及x0<x<x0+ 2 从而有| f(x)A|<即f(x) A(x x0)9试给出x 时函数极限的局部有界性的定理并加以证明解 x 时函数极限的局部有界性的定理如果f(x)当x 时的极限存在则存在X 0及M 0使当|x| X时 |f(x)| M证明设f(x) A(x )则对于 1X 0当|x| X时有|f(x)A| 1所以|f(x)| |f(x)A A| |f(x)A||A| 1|A|这就是说存在X 0及M 0使当|x| X时 |f(x)| M其中M 1|A|习题1 41两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之解不一定(x)2 例如当x 0时 (x) 2x (x) 3x都是无穷小但limx 0(x)3 (x)不 (x)是无穷小2根据定义证明2x9(1)y x当x 3时为无穷小; 3(2)y xsin1当x 0时为无穷小x2x9 |x3|时|y| x 3 证明 (1)当x 3有因为 0当0 |x3| 时2|y| x9 |x3| x 32x9所以当x 3时y x为无穷小 3(2)当x 0时|y| |x||sin1| |x0|因为 0 x|y| |x||sin1| |x0| x所以当x 0时y xsin1为无穷小 x当0 |x0| 时有3根据定义证明函数y 12x为当x 0时的无穷大问x应满足什x么条件能使|y| 104？证明分析|y||x| 1 M212x 21 12 xx|x|2 M即要使|y| M只须|1x|证明因为M 0所以当取1使当0 |x0| 时有12x M xM2x 0时函数y 12x是无穷大 xM 104则 41当0 |x0| 41时|y| 104 10210 2 4求下列极限并说明理由2x1; (1)limx x21x(2)limx 01xxxxx1x2 1所以lim x 01x2x1 2解 (1)因为2x1 21而当x 时1是无穷小所以limx x (2)因为11x2 1x(x 1)而当x 0时x为无穷小5根据函数极限或无穷大定义填写下表解6函数y xcos x在( )内是否有界？这个函数是否为当x 时的无穷大？为什么？解函数y xcos x在( )内无界这是因为M 0在( )内总能找到这样的x使得|y(x)| M例如y(2k ) 2k cos2k 2k (k 0 1 2 )当k充分大时就有| y(2k )| M当x 时函数y xcos x不是无穷大这是因为M 0找不到这样一个时刻N使对一切大于N的x都有|y(x)| M例如y(2k (2k )cos(2k ) 0(k 0 1 2 ) 2222 对任何大的N当k充分大时总有x 2k N但|y(x)| 0 M7证明函数y 1sin1在区间(0 1]上无界但这函数不是当x 0+时xx的无穷大证明函数y 1sin1在区间(0 1]上无界这是因为 xx M 0在(0 1]中总可以找到点xk使y(xk) M例如当xk2k 1(k 0 1 2 )2时有y(xk) 2k2当k充分大时 y(xk) M当x 0+ 时函数y 1sin1不是无穷大这是因为 xxM 0对所有的 0总可以找到这样的点xk使0 xk但y(xk) M例如可取xk 12k(k 0 1 2 )当k充分大时 xk 但y(xk) 2k sin2k 0 M习题1 51计算下列极限2xlim5 (1)x 2x3x25 225 9lim解 x 2x3232x(2)3 x x 1解 2()23x3 0 2x x1() 12 x (3)limx 12x1 2x 1解2(x1)2x2x1x1 0 0lim lim limx 1x 1(x1)(x1)x 1x12x2 14x32x2xlim(4)x 02 3x2x3224x2x x4x2x1 1 lim解lim x 03x2xx 03x22 (x h)2x2lim(5)h 0h222(x h)2x2x2hx h xlim lim lim(2x h) 2x解h 0h 0h 0hh(6)xlim(211) xx21lim1 2解xlim(211 2lim x xx xxx2x1(7)xlim 2x2x 1 解 1 121 limlimx 1 2x 2x x1x 22xx2(8)xlim解或 x2x 42x3x12xx 0lim42(分子次数低于分母次数x x3x1112x lim23 0lim4x2 x x3x1x 1xx2极限为零) x6x8 (9)limx 4x5x 4解 2(x2)(x4)limx26x8 lim limx2 42 2x 4x5x4x 4(x1)(x4)x 4x1413(10)xlim(11)(21) 2xx1) lim(21 1 2 2解xlim(11)(21 lim(1 xx2x xx x2(11)nlim(111 1) 242n1(1)n 1lim(111 1) lim 2 n n 2421 2n 解 123 (n1) (12)nlim(n1)n123 (n1) 1limn1 1解nlim lim n 2n n2nn(n1)(n2)(n3)(13)nlim5n(n1)(n2)(n3)1 (分子与分母的次数相同解nlim 55n3极限为最高次项系数之比)或(n1)(n2)(n3)11)(1213 1 lim(1 3n n 5nnn55n(14)lim(1 33 x 11x1xlim解2131x x3 lim(1x)(x2)lim() limx 11x1x3x 1(1x)(x 1(1x)(1x x2)1x x2) limx 21 x 11x x2计算下列极限32x2x(1)x lim 2(x2)2解 (x2)20lim 0因为x 2x2x162x所以limx 22x2 (x2)23 x (2)xlim 2x 1解 2xlim x 2x1(因为分子次数高于分母次数)(2x3x1) (3)xlim解 x lim(2x3x1) (因为分子次数高于分母次数)3计算下列极限(1)limx2sin1 x 0x2解 limx2sin1 0(当x 0时 x是无穷小而sin1是有界变量)x 0xxarctanx (2)xlim xarctanx lim1 arctanx 0(当x 时 1是无穷小解xlim x xxx而arctan x是有界变量)4证明本节定理3中的(2)习题1 51计算下列极限2xlim5 (1)x 2x322x52lim 5 9解 x 2x32 3 2x(2)23 x x 1解 2()23x3 0 x x21()2 12 x (3)limx 12x1 2x 1解2(x1)2x2x1x1 0 0lim lim limx 1x 1(x1)(x1)x 1x12x 1 324x2x x(4)limx 03x22x4x32x2x lim4x22x1 1解 limx 03x22xx 03x22 (x h)2x2lim(5)h 0h222(x h)2x2x2hx h xlim lim lim(2x h) 2x解h 0h 0h 0hh(6)xlim(211) xx21lim1 2解xlim(211 2lim x xx x2xx2(7)xlim解x21 22x x1112x1lim2 lim 1x 2x x1x 222xx x2x x x43x212x x 0解xlim(分子次数低于分母次数 x3x1(8)lim极限为零)或112x lim 0lim4x2 x x3x1x 21124xx2 x6x8 (9)limx 42x5x 4解 2(x2)(x4)xlim26x8 lim limx2 42 2x 4x5x4x 4(x1)(x4)x 4x1413(10)xlim(11)(21) 2xx1) lim(21 1 2 2解xlim(11)(21 lim(1 xx2x xx x2(11)nlim(111 1) 242n1(1)n 1lim(111 1) lim 2 nn n 2421 2n 解 123 (n1) (12)nlim 2(n1)n123 (n1) 1limn1 1解nlim lim n 2n n2n2n2(n1)(n2)(n3)(13)nlim3 5n(n1)(n2)(n3)1 (分子与分母的次数相同解nlim 55n3极限为最高次项系数之比)或(n1)(n2)(n3)11)(1213 1 lim(1 n 5n nnn55n3(14)lim(1 33 x 11x1xlim解2131x x3 lim(1x)(x2)lim() limx 11x1xx 1(1x)(x 1(1x)(1x x)1x x) limx 22 1 x 11x x2计算下列极限 32x2xlim(1)x 2(x2)2解 (x2)20lim3 0因为x 2x2x21632x2x 所以limx 2(x2)2 x2lim(2)x 2x1 x2 解 xlim 2x1(因为分子次数高于分母次数)(2x3x1) (3)xlim解 x lim(2x3x1) (因为分子次数高于分母次数)3计算下列极限(1)limx2sin1 x 0x2解 limx2sin1 0(当x 0时 x是无穷小而sin1是有界变量)x 0xxarctan x (2)xlim xarctanx lim1 arctanx 0(当x 时1是无穷小解 xlim x xxx而arctan x是有界变量)4证明本节定理3中的(2)习题 171当x 0时 2x x2 与x2x3相比哪一个是高阶无穷小？解232x xx x lim 0因为limx 02x xx 02x所以当x 0时 x2x3是高阶无穷小即x2x3 o(2x x2)2当x 1时无穷小1x和(1)1x3 (2)1(1x2)是否同阶？是否等2价？解 3(1x)(1x x2)1x lim lim(1x x2) 3 (1)因为limx 11xx 1x 11x所以当x 1时 1x和1x3是同阶的无穷小但不是等价无穷小1(1x2) 1lim(1x) 1 (2)因为limx 11x2x 1所以当x 1时 1x和1(1x2)是同阶的无穷小而且是等价无穷小 23证明当x 0时有(1) arctan x~x2x(2)secx1~2arctanx lim 证明 (1)因为limx 0y 0xy 1(提示 tany令y arctan x则当x 0时y 0)所以当x 0时 arctanx~x2sin2x2sinxsecx1 2lim1cosx lim lim(2 1 (2)因为limx 02x 0x2cosxx 0x 0x2x2222xsecx1~ 2 所以当x 0时4利用等价无穷小的性质求下列极限tan3x (1)limx 02xsin(xn)(2)limx 0(sinx)m(n m为正整数)tanx sinx (3)limx 0sinx(4)limx 0sinx tanx 2(x1sinx1)tan3x lim3x 3解 (1)limx 0x 02x2x21 n mn sin(xn)x 0 n m lim(2)limx 0(sinx)mx 0xm n m1x2sinx(11)tanx sinx lim lim1cosx lim2 1(3)lim332x 0x 0x 0cosxsinxx 0xcosx2sinxsinx(4)因为sinx tanx tanx(cosx1) 2tanxsin2x~2x x)2 1x3(x 0) 222所以x21 x21x2(x 0) ~1x2)2x213sinx~sinx~x(x 0) sinx1sinx1 1x3sinx tanxlim lim 3x 0(x21sinx1)x 02x x35证明无穷小的等价关系具有下列性质(1) ~ (自反性)(2) 若 ~ 则 ~ (对称性)(3)若 ~ ~ 则 ~ (传递性)证明 (1)lim 1所以 ~1从而lim 1因此 ~ (2) 若 ~ 则lim(3) 若 ~ ~习题18 lim lim lim 1 因此 ~1研究下列函数的连续性并画出函数的图形(1) x2 0 x 1 f(x) 2x 1 x 2解已知多项式函数是连续函数所以函数f(x)在[0 1)和(1 2]内是连续的在x 1处因为f(1) 1并且x 12f(x) lim(2x) 1 limf(x) limx 1lim x 1x 1x 1f(x) 1从而函数f(x)在x 1处是连续的所以limx 1综上所述，函数f(x)在[0 2]上是连续函数x 1 x 1 (2)f(x) 1 |x| 1解只需考察函数在x 1和x 1处的连续性在x 1处因为f(1) 1并且x 1limf(x) lim1 1 f(1) x 1x 1 x 1limf(x) lim x 1 f(1)所以函数在x 1处间断但右连续在x 1处因为f(1) 1并且x 1limf(x) lim x 1 f(1) limf(x) lim1 1 f(1) x 1x 1x 1所以函数在x 1处连续综合上述讨论函数在( 1)和(1 )内连续在x 1处间断但右连续2下列函数在指出的点处间断说明这些间断点属于哪一类如果是可去间断点则补充或改变函数的定义使它连续2x(1)y 21 x 1 x 2 x3x 2解 2(x1)(x1)xy 21 x3x2(x2)(x1)因为函数在x 2和x 1处无定义所以x 2和x 1是函数的间断点2xlimy lim21 因为x 2x 2x3x2所以x 2是函数的第二类间断点(x1)y lim 2所以x 1是函数的第一类间断点并且是可去因为limx 1x 1(x2)间断点在x 1处令y 2则函数在x 1处成为连续的(2)y x x k x k tanx2(k 0 1 2 )2 解函数在点x k (k Z)和x k (k Z)处无定义因而这些点都是函数的间断点因xlim k x (k 0) tanxx 1 tanxlimx k 故x k (k 0)是第二类间断点2 因为limx 0x 0(k Z) tanx所以x 0和x k (k Z) 是第一2类间断点且是可去间断点令y|x 0 1则函数在x 0处成为连续的令x k 时 y 0则函数在x k 处成为连续的2(3)y cos21 x 0 x2xx 解因为函数y cos21在x 0处无定义所以x 0是函数y cos21的间断点又因为limcos21不存在所以x 0是函数的第二类间断点x 0xx 1 x 1 (4)y 3 x x 1 x 1解因为xlim1f(x) lim(x1) 0limf(x) lim(3x) 2x 1x 1x 1所以x 1是函数的第一类不可去间断点 3讨论函数解2n1xf(x) limx的连续性 n 1x2n若有间断点判别其类型x |x| 12n 1xf(x) limx 0 |x| 1 n 1x2nx |x| 1f(x) lim(x) 1 lim f(x) lim x 1x 1x 1x 1lim 在分段点x 1处因为x1所以x 1为函数的第一类不可去间断点在分段点x 1处因为xlim 1f(x) lim x 1 limf(x) lim(x) 1x 1x 1x 1所以x 1为函数的第一类不可去间断点4证明若函数f(x)在点x0连续且f(x0) 0则存在x0的某一邻域U(x0)当x U(x0)时 f(x) 0证明不妨设f(x0)>0因为f(x)在x0连续所以xlimx的局部保号性定理存在x0的某一去心邻域U(x0)f(x) f(x0) 0由极限f(x)>0使当x U(x0)时从而当x U(x0)时 f(x)>0这就是说则存在x0的某一邻域U(x0)当x U(x0)时 f(x) 05试分别举出具有以下性质的函数f(x)的例子 (1)x 0 12无穷间断点1 n 1 是2nf(x)的所有间断点且它们都是解函数f(x) csc( x)csc 在点x 0 1 2 x 1 n 1 处是间断2n的且这些点是函数的无穷间断点(2)f(x)在R上处处不连续但|f(x)|在R上处处连续1 x Q 解函数f(x) 1 x Q在R上处处不连续但|f(x)| 1在R上处处连续(3)f(x)在R上处处有定义但仅在一点连续x x Q 解函数f(x) 在R上处处有定义它只在x 0处连续x x Q习题191求函数f(x) xlimf(x) x 233x2x3的连续区间 2x x6f(x)并求极限limx 0x 3limf(x)及33x2x3 (x3)(x1)(x1)f(x) x(x3)(x2)x x 6 解函数在( )内除点x 2和x 3外是连续的所以函数f(x)的连续区间为( 3)、(3 2)、(2 )在函数的连续点x 0处 limf(x) f(0) 1 x 02在函数的间断点x 2和x 3处limf(x) limx 2(x1)(x1)(x3)(x1)(x1) 8limf(x) limx 3x 3x 2x25(x3)(x2) 2设函数f(x)与g(x)在点x0连续证明函数(x) max{f(x) g(x)} (x) min{f(x) g(x)} 在点x0也连续证明已知xlim x可以验证(x) 1[f(x)g(x)|f(x)g(x)| ]因此2 (x) 1[f(x)g(x)|f(x)g(x)| ]2 (x0) 1[f(x0)g(x0)|f(x0)g(x0)| ]2 (x0) 1[f(x0)g(x0)|f(x0)g(x0)| ] 20f(x) f(x0)limg(x) g(x0) x x0因为lim (x) lim1[f(x)g(x)|f(x)g(x)| ]x x0x x02 1[limf(x)limg(x)|limf(x)limg(x)| ]x x0x x0x x02x x01[f(x0)g(x0)|f(x0)g(x0)| ] (x0) 2所以 (x)在点x0也连续同理可证明 (x)在点x0也连续3求下列极限(1)limx 0x 4x22x5 (sin2x)3 (2)limln(2cos2x) (3)limx 6(4)limx 0x11 xx4x (5)limx 1x 1(6)xlimsinx sina ax a(7)xlim(x2x x2x)解 (1)因为函数f(x) x 0x22x5是初等函数f(x)在点x 0有定义所以 limx22x5 f(0) 22 054 (2)因为函数f(x) (sin 2x)3是初等函数 f(x)在点x 有定义所以lim(sin2x)3 f( (sin2 3 1 44x 46 (3)因为函数f(x) ln(2cos2x)是初等函数 f(x)在点x 有定义所以limln(2cos2x) f( ) ln(2cos2 0 66x(4)limx 0x11 lim(x11)(x11) limxx 0x 0x(x11xx(x11) )11 111112 limx 0(5)limx 1x4x lim(x4xx4x)x 1x1(x1x4x) lim444x4 lim 2x 1x4xx 1(x1x4x) 142cosx asinx alimsinx sina lim(6)x ax ax ax asinx a cosa a 1 cosalimcosx a limx a2x a2222(x2x x2x)(x2x x2x)(x x x x) lim(7)xlim 22 x (x x x x)lim2x2 lim 1 x (x2x x2x)x (11)xx4求下列极限(1)xlim(2)limlnsinx x 0x1ex(11)2 (3)xlim x2x(13tan2x)cotx (4)limx 0x13x( (5)xlim 6x(6)limx 0tanx sinxx sin2x xlime e1lim1x 解 (1) (2) (3) x e0 1 limlnsinx ln(limsinx) ln1 0x 0x 0xxx1lim(1 2x x limx 11x2(1)x e 12(4)lim(13tan2x)cotx limx 02x 0 1(13tan2x)3tan2x3 e3x13x 3 (5)(6x) (16x)36x2因为3(1)3 e lim3 x1 3 xlim x 6x26x23x2 e2所以xlim 6x(tanx sinx)(sin2x1)tanx sinx lim(6)lim22x 0x 0x sinx xx(sinx1)(tanx sinx)2xtanx 2sin(ta nx sinx sinx1) lim limx 0xsin2x(tanx sinx)x 0xsinx22x (x21 limx 02x应当如何选择数a使得f(x)成为在( 5设函数 ex x 0f(x) a x x 0)内的连续函数？解要使函数f(x)在( )内连续只须f(x)在x 0处连续即只须 x 0limf(x) limf(x) f(0) a x 0x 0 x 0f(x) limex 1因为xlim 0x 0limf(x) lim(a x) a所以只须取a 1习题1101证明方程x53x 1至少有一个根介于1和2之间证明设f(x) x53x1则f(x)是闭区间[1 2]上的连续函数因为f(1) 3 f(2) 25 f(1)f(2) 0所以由零点定理在(1 2)内至少有一点(1 2)使f( ) 0即x 是方程x53x 1的介于1和2之间的根因此方程x53x 1至少有一个根介于1和2之间2证明方程x asinx b其中a 0 b 0至少有一个正根并且它不超过a b证明设f(x) asin x b x则f(x)是[0 a b]上的连续函数f(0) b f(a b) a sin (a b)b(a b) a[sin(a b)1] 0若f(a b) 0则说明x a b就是方程x asinx b的一个不超过a b的根若f(a b) 0则f(0)f(a b) 0由零点定理至少存在一点(0 a b)使f( ) 0这说明x 也是方程x=asinx b的一个不超过a b的根总之方程x asinx b至少有一个正根并且它不超过a b 3设函数f(x)对于闭区间[a b]上的任意两点x、y恒有|f(x)f(y)| L|x y|其中L为正常数且f(a) f(b) 0证明至少有一点 (a b)使得f( ) 0证明设x0为(a b)内任意一点因为所以 0 lim|f(x)f(x0)| limL|x x0| 0 x x0x x0x x0 lim|f(x)f(x0)| 0即 x x0limf(x) f(x0)因此f(x)在(a b)内连续同理可证f(x)在点a处左连续在点b处右连续所以f(x)在[a b]上连续因为f(x)在[a b]上连续且f(a) f(b) 0由零点定理至少有一点 (a b)使得f( ) 04若f(x)在[a b]上连续 a x1 x2 xn b则在[x1 xn]上至少有一点使f( ) f(x1)f(x2) f(xn) n证明显然f(x)在[x1 xn]上也连续设M和m分别是f(x)在[x1 xn]上的最大值和最小值因为xi [x1 xn](1 i n)所以有m f(xi) M从而有n m f(x1)f(x2) f(xn) n M m f(x1)f(x2)f(xn) Mn由介值定理推论在[x1 xn]上至少有一点使f( ) f(x)f(x) f(x) nf(x)存在则f(x)必在( 5证明若f(x)在( )内连续且xlim)内有界f(x) A则对于给定的 0存在X 0只要|x| X就有证明令xlim|f(x)A| 即A f(x) A又由于f(x)在闭区间[X X]上连续根据有界性定理存在M 0使|f(x)| M x [X X]取N max{M |A | |A |}则|f(x)| N x ()即f(x)在( )内有界6在什么条件下 (a b)内的连续函数f(x)为一致连续？总习题一1在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内(1)数列{xn}有界是数列{xn}收敛的________条件数列{xn}收敛是数列{xn}有界的________的条件(2)f(x)在x0的某一去心邻域内有界是xlim xx x00f(x)存在的________条件 limf(x)存在是f(x)在x0的某一去心邻域内有界的________条件0 (3) f(x)在x0的某一去心邻域内无界是xlim xx x0f(x) 的________条件 limf(x) 是f(x)在x0的某一去心邻域内无界的________条件(4)f(x)当x x0时的右极限f(x0)及左极限f(x0)都存在且相等是x x0limf(x)存在的________条件解 (1) 必要充分(2) 必要充分(3) 必要充分(4) 充分必要2选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论设f(x) 2x3x2则当x 0时有( )(A)f(x)与x是等价无穷小 (B)f(x)与x同阶但非等价无穷小(C)f(x)是比x高阶的无穷小 (D)f(x)是比x低阶的无穷小解xxxxf(x)232213 lim lim lim 1 因为limx 0xx 0x 0xx 0xxxxt ln3limu ln2ln3 ln2lim(令21 t 31 u)t 0ln(1t)u 0ln(1u)所以f(x)与x同阶但非等价无穷小故应选B3设f(x)的定义域是[0 1]求下列函数的定义域(1) f(ex)(2) f(ln x)(3) f(arctan x)(4) f(cos x)解 (1)由0 ex 1得x 0即函数f(ex)的定义域为( 0](2) 由0 ln x 1得1 x e 即函数f(ln x)的定义域为[1 e](3) 由0 arctan x 1得0 x tan 1即函数f(arctan x)的定义域为[0 tan 1](4) 由0 cos x 1得2n x 2n (n 0 1 2) 22即函数f(cos x)的定义域为[2n , n ] (n 0 12 ) 224设x 0 0 0 x 0 f(x) g(x) 2x x 0x x 0求f[f(x)] g[g(x)] f[g(x)] g[f(x)]0 x 0 解因为f(x) 0所以f[f(x)] f(x) x x 0因为g(x) 0所以g[g(x)] 0因为g(x) 0所以f[g(x)] 00 x 0 因为f(x) 0所以g[f(x)] f 2(x) 2 x x 05利用y sin x的图形作出下列函数的图形(1)y |sin x|(2)y sin|x|(3)y 2sinx 26把半径为R的一圆形铁片自中心处剪去中心角为的一扇形后围成一无底圆锥试将这圆锥的体积表为的函数解设围成的圆锥的底半径为r高为h依题意有R(2 ) 2 r222r R(2 ) 22R2(2 )24 h R r R R2 4 2圆锥的体积为V 13 R2(2 )2 24 R2R324 2(2 )2 4 a2 (0 2 )7根据函数极限的定义证明limx2x 6x 3x3 5证明对于任意给定的 0要使|x2x 6x35| 只需|x3| 取当0 |x3| 时就有|x3| 即|x2x65| 所以limx2x 6x3x 3x3 58求下列极限(1)limx2x 1x 1(x1)2(2)xlim x(x21x)(3)3xlim (2x2x1x1(4)limtanx sinxx 0x3(5)limxxx 0(a b cx3)(a 0 b 0 c 0)(6)lim(sinx)tanx x 2解 (1)因为lim(x1)2所以limx2x 1x 1x2x1 0 x 1(x1)(2)xlim x(x21x) x(x21x)(x21x)xlim (x21 x) x1xlim x21x xlim 1112x2x322x1x1() lim(1 lim(1)22(3)xlim 2x1x x 2x12x 1222(1)(1 2 xlim 2x12x 122(1) lim(1) e xlim x 2x12x 1sinx(11)sinx(1cosx)tanx sinx lim lim(4)limx 0x 0x 0x3x3x3cosxsinx 2sin2x2x (x)2lim 1 limx 0x 02x3cosxx3(提示用等价无穷小换)(a (5)limx 0x b3x cx)x lim(1a b c。

高等数学习题集及答案

D. 无关条件
A. 若 { un} 有界，则 { un} 发散 C. 若 { un} 单调，则 { un} 收敛
B. 若 {un} 有界，则 { un} 收敛 D. 若 { un} 收敛，则 { un} 有界
22. 下面命题错误的是【】
A. 若 { un} 收敛，则 { un} 有界
C. 若 { un} 有界，则 { un} 收敛
A. y arcsin x
B. y arccosx
C. y arctan x
D. y arccot x
7. 已知函数 y arcsin( x 1) ，则函数的定义域是【】
A. ( , )
B. [ 1,1]
C. ( , )
D. [ 2,0]
8. 已知函数 y arcsin( x 1) ，则函数的定义域是【】
A. 连续点
B. 可去间断点
C.跳跃间断点
47. lim xsin 1 的值为【
x0
x
A. 1
B.
】 C. 不存在
D. 0
48. 当 x
时下列函数是无穷小量的是【】
x cos x
A.
sin x
x2
B.
C.
sin x D. (1 1) x
x
x
x
x
x2 1 x 0
49. 设 f ( x)
，则下列结论正确的是【】
C. e 3
】
D. e3
4
A. e
B. 1
2
C. e
D.
4
e
26. x 1是函数 f ( x)
x x3 的【 x2 x 2
】
A. 连续点

高等数学练习题(附答案)

高等数学练习题(附答案)高等数学一、判断题（每题2分，共20分）1.√2.√3.×4.√5.×6.√7.×8.√9.√ 10.√二、填空题（每题2分，共20分）1.f(x+2)=x+12.03.g'(3)=1/64.du=ydx+xdy5.-1/26.5/47.9/48.69.-2 10.π/2三、计算题（每题5分，共40分）1.1/42.y'=(∑(i=1 to 10) i/(x+i))^23.ln|x-1|+ln|x|+C4.2π5.(2,2)6.1-cos(1)7.ln3/28.y=e^x-x-1/2x^2+C一、判断题1.√2.×3.×4.×5.×二、填空题1.22.13.14.15.1三、改写后的文章2.根据函数的定义，f(x)在点x处有定义是指该点的函数值存在，而f(x)在点x处连续是指当x在该点附近时，函数值的变化趋势与x的变化趋势一致。

因此，f(x)在点x处有定义是f(x)在点x处连续的充分条件，但不是必要条件。

3.若y=f(x)在点x不可导，则曲线y=f(x)在(x,f(x))处可能有切线，也可能没有切线。

因此，该说法是错误的。

4.若f(x)在[a,b]上可积，g(x)在[a,b]上不可积，则f(x)+g(x)在[a,b]上可能可积，也可能不可积。

因此，该说法是错误的。

=0和x+y+z=0在空间直角坐标系中分别表示一个坐标轴和一个平面，而不是三个坐标轴和一个点。

因此，该说法是错误的。

四、证明题1.设f(x)=arctanx-arcsin(x/(1+x^2)^(1/2))，则f'(x)=1/(1+x^2)-x/(1+x^2)(1-x^2/(1+x^2))=0.化简可得x^2=1，即x=±1.因此，f(x)在(-∞,1)和(1,+∞)上单调递减，故在(-∞,+∞)上存在唯一实根。

完整)高等数学练习题附答案

完整)高等数学练习题附答案第一章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1.lim (sinx-tanx)/(3xln(1+2x)) = 1/22.lim (2x^2+ax+b)/(x-1) =3.a = 5.b = 123.lim (sin2x+e^(2ax)-1)/(x+1) = 2a4.若f(x)在(-∞,+∞)上连续，则a=05.曲线f(x) = (x-1)/(2x-4x+3)的水平渐近线是y=1/2，铅直渐近线是x=3/26.曲线y=(2x-1)/(x+1)的斜渐近线方程为y=2x-3二、单项选择题（每小题3分，共18分）1.“对任意给定的ε∈(0,1)，总存在整数N，当n≥N时，恒有|x_n-a|≤2ε”是数列{x_n}收敛于a的充分条件但非必要条件2.设g(x)={x+2,x<1.2-x^2,1≤x<2.-x,x≥2}，f(x)={2-x,x<1.x^2,x≥1}，则g(f(x))=2-x^2，x≥13.下列各式中正确的是 lim (1-cosx)/x = 04.设x→0时，e^(tanx-x-1)与x^n是等价无穷小，则正整数n=35.曲线y=(1+e^(-x))/(1-e^(-x^2))没有渐近线6.下列函数在给定区间上无界的是 sin(1/x)，x∈(0,1]三、求下列极限（每小题5分，共35分）1.lim (x^2-x-2)/(4x+1-3) = 3/42.lim x+e^(-x)/(2x-x^2) = 03.lim (1+2+3+。

+n)/(n^2 ln n) = 04.lim x^2sin(1/x) = 01.设函数$f(x)=ax(a>0,a\neq1)$，求$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\ln\left(\frac{f(1)f(2)\cdotsf(n)}{n^2}\right)}$。

2.求$\lim\limits_{4x\to1}\frac{x^2+e\sin x+6}{1+e^x-\cosx}$。

高等数学习题答案

106 106 106 × 0.05 又每批有产品 x 件,库存数为 2 x 件,库存费为 2 x 元. 6 10 × 0.05 y = 103 x + 2x 设总费用为 ,则 . x x x x [ ]= y = × 0.80 = 20 时,邮资 20 25 ; 18. 解: 当 x 能被 20 整除,即 20 x ⎤ x x y=⎡ + 1⎥ × 0.80 [ ]≠ ⎢ ⎣ 20 ⎦ 20 时,由题意知邮资当 x 不能被 20 整除时 ,即 20 . ⎧x ⎡ x ⎤ x , 0 < x ≤ 2000且 ⎢ ⎥ = ; ⎪ ⎪ 25 ⎣ 20 ⎦ 20 y=⎨ ⎪⎡ x + 1⎤ × 0.80, 0 < x ≤ 2000且 ⎡ x ⎤ ≠ x . ⎢ ⎪ ⎣ 20 ⎥ ⎦ ⎣ 20 ⎥ ⎦ 20 ⎩⎢ 综上所述有 ⎡ x⎤ ⎡ x ⎤ x x + 1⎥ +1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎦ 分别表示不超过 20 , 20 的最大整数. 其中 ⎣ 20 ⎦ , ⎣ 20
3
g ( x) = 3
1− x 1− x y= ( x ≠ −1) 1 + x 的反函数为 1+ x 所以函数 . y −1 y = ln( x + 2) + 1 (2)由得 x =e −2,
y=
所以,函数 y = ln( x + 2) + 1 的反函数为 y = e
2 x +5
x −1
−2
( x ∈ R) .
1 x = (log 3 y − 5) 2 (3)由 y = 3 解得 1 y = (log3 x − 5) 2 x +5 2 所以,函数 y = 3 的反函数为
( x > 0)

《高等数学》练习题及答案解析

《高等数学》练习题及答案解析第一课时一、单选题1、函数4()31f x x =+，则f(1)的值为：（D ）A 、0B 、1C 、3D 、4解析：采用代入法，将x=1代入原函数，可得f(1)的值为：/*4*/2、函数y =的定义域为：（D ）A 、(-∞，-2]B 、[2，+∞)C 、[-∞,+∞]D 、(-∞，-2]U[2，+∞)解析：根据幂函数性质，要使得该函数有意义，该函数的定义域为：/*(-∞，-2]U[2，+∞)*/。

3、下列函数不是周期函数的是：（c ）A 、y=cos(x -2)B 、y=1+sin πxC 、y=xsinxD 、y=2tan3x解析：根据周期函数的定义，可计算得知，/*y=xsinx*/不是周期函数4、指出函数y=lgx 在(0，+∞)的区间内的单调性：（A ）A 、单调递增B 、单调递减C 、没有单调性D 、无法确定解析：根据函数单调性的性质，y=lgx 是以10为底的对数函数，在其定义域内是递增的。

因此是/*单调递增*/。

5、设函数f(x)=lnx ，则f(x)-f(y)=（D ）A 、f(x+y)B 、f(x -y)C 、f(xy)D 、f(x/y)解析：根据对数函数的运算法则，f(x)-f(y)=lnx -lny=ln(x/y)=f(x/y)，因此，f(x)-f(y)的值为：/*f(x/y)*/。

二、判断题1、函数y=sinx 是以2π为周期的函数（A ）A 、正确B 、错误解析：函数y=sinx 是周期函数，以2π为周期。

因此该表述是/*正确*/的2、函数y=cosx 是奇函数（B ）A 、正确B 、错误解析：函数y=cosx 关于Y 轴对称，因此，函数y=cosx 是偶函数，所以原题的表达是/*错误*/的。

3、函数1()f x x =在开区间（0,1）内无界。

（A ）A 、正确B 、错误解析：根据函数的有界性，可知该函数在指定区间内无界。

因此该表述是/*正确*/的三、多选题1、函数的表达法有：（A 、B 、C ）A 、解析法B 、列表法C 、图形法D 、反函数法解析：函数的表达法有：/*解析法、列表法、图形法*/等三种。

高等数学课后习题答案

习题6?21? 求图6?21 中各画斜线部分的面积?(1)解画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 61]2132[)(1022310=-=-=⎰x x dx x x A .(2)解法一画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为1|)()(1010=-=-=⎰x x e ex dx e e A ?解法二画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1? e ]? 所求的面积为1)1(|ln ln 111=--=-==⎰⎰e e dy y y ydy A e e e ?(3)解画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?3? 1]? 所求的面积为 332]2)3[(132=--=⎰-dx x x A ?(4)解画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?1? 3]? 所求的面积为332|)313()32(3132312=-+=-+=--⎰x x x dx x x A ?2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积?(1) 221x y =与x 2?y 2?8(两部分都要计算)?解?34238cos 16402+=-=⎰ππtdt ? 346)22(122-=-=ππS A ? (2)xy 1=与直线y ?x 及x ?2?解?所求的面积为⎰-=-=212ln 23)1(dx x x A ?(3) y ?e x ? y ?e ?x 与直线x ?1?解?所求的面积为 ⎰-+=-=-1021)(ee dx e e A x x ? (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0).解所求的面积为3? 求抛物线y ??x 2?4x ?3及其在点(0? ?3)和(3? 0)处的切线所围成的图形的面积? 解?y ???2 x ?4?过点(0, ?3)处的切线的斜率为4? 切线方程为y ?4(x ?3)?过点(3, 0)处的切线的斜率为?2? 切线方程为y ??2x ?6?两切线的交点为)3 ,23(? 所求的面积为 49]34(62[)]34(34[23023232=-+--+-+-+---=⎰⎰dx x x x x x x A ?4? 求抛物线y 2=2px 及其在点),2(p p 处的法线所围成的图形的面积?解2y ?y ??2p ?在点),2(p p处? 1),2(=='p p y p y ? 法线的斜率k ??1? 法线的方程为)2(px p y --=-? 即y p x -=23? 求得法线与抛物线的两个交点为),2(p p 和)3,29(p p -? 法线与抛物线所围成的图形的面积为233232316)612123()223(p y p y y p dy p y y p A p p pp =--=--=--⎰? 5? 求由下列各曲线?所围成的图形的面积?(1)??2a cos ? ??解?所求的面积为 ⎰⎰==-2022222cos 4)cos 2(21πππθθθθd a d a A ??a 2?(2)x ?a cos 3t , y ?a sin 3t ;解所求的面积为2206204283]sin sin [12a tdt tdt a πππ=-=⎰⎰? (3)?=2a (2+cos ? )解所求的面积为 2202220218)cos cos 44(2)]cos 2(2[21a d a d a A πθθθθθππ=++=+=⎰⎰? 6? 求由摆线x ?a (t ?sin t )? y ?a (1?cos t )的一拱(0?t ?2?)与横轴?所围成的图形的面积?解?所求的面积为π22023)2cos 1cos 21(a dt t t a a =++-=⎰? 7? 求对数螺线??ae ?(??????)及射线???所围成的图形面积?解所求的面积为 )(421)(21222222ππππθππθθθ----===⎰⎰e e a d e a d ae A ? 8? 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积?(1)??3cos ? 及??1?cos ?解曲线??3cos ? 与??1?cos ??交点的极坐标为)3,23(πA ? )3,23(π-B ? 由对称性? 所求的面积为πθθθθπππ45])cos 3(21)cos 1(21[2232302=++=⎰⎰d d A ? (2)θρsin 2=及θρ2cos 2=?解曲线θρsin 2=与θρ2cos 2=的交点M 的极坐标为M )6,22(π? 所求的面积为 2316]2cos 21)sin 2(21[246602-+=+=⎰⎰πθθθθπππd d A ? 9? 求位于曲线y =e x 下方??该曲线过原点的切线的左方以及x 轴上方之间的图形的面积?解设直线y ?kx 与曲线y ?e x 相切于A (x 0? y 0)点? 则有⎪⎩⎪⎨⎧=='==k e x y e y kx y x x 00)(0000?求得x 0?1? y 0?e ? k ?e ?所求面积为21ln 21)ln 1(00020e dy y y y y y e dy y y e e e e e=⋅+-=-⎰⎰? 10? 求由抛物线y 2?4ax 与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值?解设弦的倾角为?? 由图可以看出? 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积为10A A A +=? 显然当时? A 1?0? 当2πα<时? A 1?0? 2πα=因此? 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值为 20300383822a x a dx ax A a a===⎰? 11? 把抛物线y 2?4ax 及直线x ?x 0(x 0?0)所围成的图形绕x 轴旋转? 计算所得旋转体的体积?解所得旋转体的体积为2002002224000x a x a axdx dx y V x x x ππππ====⎰⎰?12? 由y ?x 3? x ?2? y ?0所围成的图形? 分别绕x 轴及y 轴旋转? 计算所得两个旋转体的体积?解绕x 轴旋转所得旋转体的体积为ππππ712871207206202====⎰⎰x dx x dx y V x ?绕y 轴旋转所得旋转体的体积为πππ56453328035=-=y ?13? 把星形线3/23/23/2a y x =+所围成的图形? 绕x 轴旋转? 计算所得旋转体的体积? 解由对称性? 所求旋转体的体积为30234323234210532)33(2a dx x x a x a a a ππ=-+-=⎰?14? 用积分方法证明图中球缺的体积为)3(2H R H V -=π?证明 ⎰⎰---==RHR RHR dy y R dy y x V )()(222ππ)3()31(232H R H y y R RH R -=-=-ππ? 15? 求下列已知曲线所围成的图形? 按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积? (1)2x y =? 2y x =? 绕y 轴?解 ππππ103)5121()(1052102210=-=-=⎰⎰y y dy y ydy V ?(2)ax a y ch=? x ?0? x ?a ? y ?0? 绕x 轴? 解 ⎰⎰⎰===102302202chch )(udu a au x dx ax a dx x y V aaπππ令 )2sh 2(43+=a π? (3)16)5(22=-+y x ? 绕x 轴? 解 ⎰⎰------+=44224422)165()165(dx x dx x V ππ24021601640π⎰=-=dx x ?(4)摆线x ?a (t ?sin t )? y ?a (1?cos t )的一拱? y ?0? 绕直线y ?2a ? 解 ⎰⎰--=ππππa a dx y a dx a V 202202)2()2(232023237sin )cos 1(8ππππa tdt t a a =+-=⎰?16? 求圆盘222a y x ≤+绕x ??b (b >a >0)旋转所成旋转体的体积? 解 ⎰⎰------+=aaaa dy y ab dy y a b V 222222)()(ππ2202228ππb a dy y a b a=-=⎰?17? 设有一截锥体? 其高为h ? 上、下底均为椭圆? 椭圆的轴长分别为2a 、2b 和2A 、2B ? 求这截锥体的体积?解建立坐标系如图? 过y 轴上y 点作垂直于y 轴的平面? 则平面与截锥体的截面为椭圆? 易得其长短半轴分别为y h a A A --? y hb B B --? 截面的面积为π)()(y hb B B y h a A A --⋅--?于是截锥体的体积为])(2[61)()(0bA aB AB ab h dy y h b B B y h a A A V h+++=--⋅--=⎰ππ? 18? 计算底面是半径为R 的圆? 而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积?解设过点x 且垂直于x 轴的截面面积为A (x )? 由已知条件知? 它是边长为x R -2的等边三角形的面积? 其值为 )(3)(22x R x A -=?所以 322334)(3R dx x R V RR=-=⎰-?19? 证明由平面图形0?a ?x ?b ? 0?y ?f (x )绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为 ⎰=badx x xf V )(2π?证明如图? 在x 处取一宽为dx 的小曲边梯形? 小曲边梯形绕y 轴旋转所得的旋转体的体积近似为2?x ?f (x )dx ? 这就是体积元素? 即 dV ?2?x ?f (x )dx ?于是平面图形绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为⎰⎰==bab adx x xf dx x xf V )(2)(2ππ?20? 利用题19和结论? 计算曲线y ?sin x (0?x ??)和x 轴所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积? 解 2002)sin cos (2cos 2sin 2πππππππ=+-=-==⎰⎰x x x x xd xdx x V ?21? 计算曲线y ?ln x 上相应于83≤≤x 的一段弧的长度?解 ⎰⎰⎰+=+='+=8328328321)1(1)(1dx xx dx x dx x y s ?令t x =+21? 即12-=t x ? 则23ln 211111113223232222322+=-+=-=-⋅-=⎰⎰⎰⎰dt t dt dt t t dt t tt t s ? 22? 计算曲线)3(3x x y -=上相应于1?x ?3的一段弧的长度?解 x x x y 31-=? x x y 2121-='? x x y 4121412+-='? )1(2112xx y +='+?所求弧长为3432)232(21)1(213131-=+=+=⎰x x x dx xx s ? 23? 计算半立方抛物线32)1(32-=x y 被抛物线32x y =截得的一段弧的长度?解由⎪⎩⎪⎨⎧=-=3)1(32232x y x y 得两曲线的交点的坐标为)36,2(? )36 ,2(-? 所求弧长为⎰'+=21212dx y s ?因为2)1(22-='x y y ? yx y 2)1(-='? )1(23)1(32)1()1(34242-=--=-='x x x y x y ? 所以]1)25[(98)13(13232)1(2312232121-=--=-+=⎰⎰x d x dx x s ? 24? 计算抛物线y 2?2px 从顶点到这曲线上的一点M (x ? y )的弧长?解 ⎰⎰⎰+=+='+=y y ydy y p p dy p y dy y x s 02202021)(1)(1py p y p y p p y 2222ln22++++=? 25? 计算星形线t a x 3cos =? t a y 3sin =的全长? 解用参数方程的弧长公式?a tdt t 6cos sin 122==⎰π?26? 将绕在圆(半径为a )上的细线放开拉直? 使细线与圆周始终相切? 细线端点画出的轨迹叫做圆的渐伸线? 它的方程为 )sin (cos t t t a x +=? )cos (sin t t t a y -=?计算这曲线上相应于t 从0变到?的一段弧的长度? 解由参数方程弧长公式202ππa tdt a==⎰? 27? 在摆线x ?a (t ?sin t )? y ?a (1?cos t )上求分摆线第一拱成1? 3的点的坐标? 解设t 从0变化到t 0时摆线第一拱上对应的弧长为s (t 0)? 则)2cos 1(42sin 2000t a dt t a t -==⎰? 当t 0?2?时? 得第一拱弧长s (2?)?8a ? 为求分摆线第一拱为1? 3的点为A (x ? y )? 令a t a 2)2cos 1(40=-?解得320π=t ? 因而分点的坐标为? 横坐标a a x )2332()32sin 32(-=-=πππ? 纵坐标a a y 23)32cos1(=-=π?故所求分点的坐标为)23 ,)2332((a a -π? 28? 求对数螺线θρa e =相应于自??0到???的一段弧长?? 解用极坐标的弧长公式?)1(1122-+=+=⎰θϕθθa a e aa d e a ?29? 求曲线???1相应于自43=θ至34=θ的一段弧长? 解按极坐标公式可得所求的弧长23ln 12511344322+=+=⎰θθθd ? 30? 求心形线??a (1?cos ???的全长?? 解用极坐标的弧长公式?a d a82cos 40==⎰πθθ?习题6?31? 由实验知道? 弹簧在拉伸过程中? 需要的力F (单位? N )与伸长量s (单位? cm)成正比? 即F ?ks (k 为比例常数)? 如果把弹簧由原长拉伸6cm? 计算所作的功?解将弹簧一端固定于A ? 另一端在自由长度时的点O 为坐标原点? 建立坐标系? 功元素为dW ?ksds ? 所求功为1821626===⎰s k ksds W k(牛?厘米)? 2? 直径为20cm 、高80cm 的圆柱体内充满压强为10N/cm 2的蒸汽? 设温度保持不变? 要使蒸汽体积缩小一半? 问需要作多少功？解由玻?马定律知?ππ80000)8010(102=⋅⋅==k PV ?设蒸气在圆柱体内变化时底面积不变? 高度减小x 厘米时压强为P (x )牛/厘米2? 则ππ80000)]80)(10[()(2=-⋅x x P ? π-=80800)(x P ? 功元素为dx x P dW )()10(2⋅=π? 所求功为2ln 8008018000080800)10(400402πππππ=-=-⋅⋅=⎰⎰dx dx W (J)? 3? (1)证明? 把质量为m 的物体从地球表面升高到h 处所作的功是hR mgRhW +=? 其中g 是地面上的重力加速度? R 是地球的半径?(2)一颗人造地球卫星的质量为173kg? 在高于地面630km 处进入轨道? 问把这颗卫星从地面送到630的高空处? 克服地球引力要作多少功？已知g ?9?8m/s 2? 地球半径R ?6370km?证明 (1)取地球中心为坐标原点? 把质量为m 的物体升高的功元素为dy y kMm dW 2=? 所求的功为)(2h R R mMhk dy y kMm W hR R+⋅==⎰+?(2)533324111075.910)6306370(106370106301098.51731067.6⨯=⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⋅⨯=-W (kJ)?4? 一物体按规律3ct x =作直线运动? 媒质的阻力与速度的平方成正比? 计算物体由x ?0移至x ?a 时? 克服媒质阻力所作的功? 解因为3ct x =? 所以23)(cx t x v ='=? 阻力4229t kc kv f -=-=? 而32)(cx t =? 所以 34323429)(9)(x kc cx kc x f -=-=? 功元素dW ??f (x )dx ? 所求之功为37320343203432072799)]([a kc dx x kc dx x kc dx x f W a aa ===-=⎰⎰⎰? 5? 用铁锤将一铁钉击入木板? 设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比? 在击第一次时? 将铁钉击入木板1cm? 如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等? 问锤击第二次时? 铁钉又击入多少？解设锤击第二次时铁钉又击入h cm? 因木板对铁钉的阻力f 与铁钉击入木板的深度x (cm)成正比? 即f ?kx ? 功元素dW ?f dx ?kxdx ? 击第一次作功为k kxdx W 21101==⎰?击第二次作功为)2(212112h h k kxdx W h+==⎰+?因为21W W =? 所以有)2(21212h h k k +=?解得12-=h (cm)?6? 设一锥形贮水池? 深15m? 口径20m? 盛满水? 今以唧筒将水吸尽? 问要作多少功？解在水深x 处? 水平截面半径为x r 3210-=? 功元素为dx x x dx r x dW 22)3210(-=⋅=ππ?所求功为?1875(吨米)?57785.7(kJ)?7? 有一闸门? 它的形状和尺寸如图? 水面超过门顶2m? 求闸门上所受的水压力?解建立x 轴? 方向向下? 原点在水面? 水压力元素为xdx dx x dP 221=⋅⋅=?闸门上所受的水压力为 21252252===⎰xxdx P (吨)=205? 8(kN)?8? 洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体? 尺寸如图所示? 当水箱装满水时? 计算水箱的一个端面所受的压力?解建立坐标系如图? 则椭圆的方程为11)43()43(2222=+-y x ? 压力元素为dx x x dx x y x dP 22)43()43(38)(21--⋅=⋅⋅=? 所求压力为ππ169cos 49202==⎰tdx (吨)?17.3(kN)? (提示? 积分中所作的变换为t x sin 4343=-) 9? 有一等腰梯形闸门? 它的两条底边各长10m 和6m? 高为20m? 较长的底边与水面相齐? 计算闸门的一侧所受的水压力?解建立坐标系如图? 直线AB 的方程为 x y 1015-=? 压力元素为dx x x dx x y x dP )5110()(21-⋅=⋅⋅=? 所求压力为1467)5110(200=-⋅=⎰dx x x P (吨)?14388(千牛)? 10? 一底为8cm 、高为6cm 的等腰三角形片? 铅直地沉没在水中? 顶在上? 底在下且与水面平行? 而顶离水面3cm? 试求它每面所受的压力?解建立坐标系如图?腰AC 的方程为x y 32=? 压力元素为 dx x x dx x x dP )3(34322)3(+=⋅⋅⋅+=? 所求压力为168)2331(34)3(34602360=+=+=⎰x x dx x x P (克)?????(牛)? 11? 设有一长度为l 、线密度为?的均匀细直棒? 在与棒的一端垂直距离为a 单位处有一质量为m 的质点M ? 试求这细棒对质点M 的引力?解建立坐标系如图? 在细直棒上取一小段dy ? 引力元素为 dy y a Gm y a dy m G dF 2222+=+⋅=μμ? dF 在x 轴方向和y 轴方向上的分力分别为? dF ry dF y =? 2202222022)(1)(l a a l Gm dy y a y a aGm dy y a Gm r a F l lx +-=++-=+⋅-=⎰⎰μμμ? )11()(12202222022l a a Gm dy y a y a Gm dy y a Gm r y F l ly +-=++=+⋅=⎰⎰μμμ? 12? 设有一半径为R 、中心角为 ??的圆弧形细棒? 其线密度为常数???? 在圆心处有一质量为m 的质点F ? 试求这细棒对质点M 的引力?解根据对称性? F y ?0?θθμθθμd RGm R Rd Gm cos cos )(2=⋅=? 2sin 2cos 220ϕμθθμϕR Gm d R Gm ==⎰? 引力的大小为2sin 2ϕμR Gm ? 方向自M 点起指向圆弧中点? 总习题六 dF r adF x -=1? 一金属棒长3m ? 离棒左端xm 处的线密度为11)(+=x x ρ (kg/m )? 问x 为何值时? [0? x ]一段的质量为全棒质量的一半? 解 x 应满足⎰⎰+=+300112111dt t dt t x? 因为212]12[1100-+=+=+⎰x t dt t x x? 1]12[2111213030=+=+⎰t dt t ? 所以 1212=-+x ?45=x (m)? 2? 求由曲线??a sin ?? ??a (cos ??sin ?)(a >0)所围图形公共部分的面积?解 ⎰++⋅=432222)sin (cos 21)2(21ππθθθπd a a S 24322241)2sin 1(28a d a a -=++=⎰πθθπππ? 3? 设抛物线c bx ax y ++=2通过点(0? 0)? 且当x ?[0? 1]时? y ?0? 试确定a 、b 、c 的值? 使得抛物线c bx ax y ++=2与直线x ?1? y ?0所围图形的面积为94? 且使该图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积最小?解因为抛物线c bx ax y ++=2通过点(0? 0)? 所以c ?0? 从而bx ax y +=2?抛物线bx ax y +=2与直线x ?1? y ?0所围图形的面积为 23)(102b a dx bx ax S +=+=⎰? 令9423=+b a ? 得968a b -=? 该图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为)]968(2)968(315[22a a a a -+-+=π? 令0)]128(181********[=-+-⋅+2=a a a d dV π? 得35-=a ? 于是b ?2? 4? 求由曲线23x y =与直线x ?4? x 轴所围图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积?解所求旋转体的体积为πππ7512722240274023=⋅=⋅=⎰x dx x x V ? 5? 求圆盘1)2(22≤+-y x 绕y 轴旋转而成的旋转体的体积?解 )2(122312⎰--⋅⋅=dx x x V π22224cos )sin 2(4sin 2ππππ=+=-⎰-tdt t t x 令?6? 抛物线221x y =被圆322=+y x 所需截下的有限部分的弧长? 解由⎪⎩⎪⎨⎧==+222213x y y x 解得抛物线与圆的两个交点为)1 ,2(-? )1 ,2(? 于是所求的弧长为)32ln(6++=?7? 半径为r 的球沉入水中? 球的上部与水面相切?球的比重与水相同? 现将球从水中取出? 需作多少功? 解建立坐标系如图? 将球从水中取出时? 球的各点上升的高度均为2r ? 在x 处取一厚度为dx 的薄片? 在将球从水中取出的过程中? 薄片在水下上升的高度为r ?x ? 在水上上升的高度为r ?x ? 在水下对薄片所做的功为零? 在水上对薄片所做的功为dx x r x r g dW ))((22--=π?对球所做的功为g r x d x r x r g W rr 22234))((ππ=--=⎰-? 8? 边长为a 和b 的矩形薄板? 与液面成??角斜沉于液体内? 长边平行于液面而位于深h 处? 设a >b ? 液体的比重为?? 试求薄板每面所受的压力?解在水面上建立x 轴? 使长边与x 轴在同一垂面上? 长边的上端点与原点对应? 长边在x 轴上的投影区间为[0? b cos ?]? 在x 处x 轴到薄板的距离为h ?x tan ?? 压力元素为 dx x h ga dx a x h g dP )tan (cos cos )tan (ααρααρ+=⋅⋅+⋅=? 薄板各面所受到的压力为 )sin 2(21)tan (cos cos 0αρααραb h gab dx x h ga P b +=+=⎰? 9? 设星形线t a x 3cos =? t a y 3sin =上每一点处的线密度的大小等于该点到原点距离的立方? 在原点O 处有一单位质点? 求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力? 解取弧微分ds 为质点? 则其质量为 ds y x ds y x 322322)()(+=+? 其中tdt t a dt t a t a ds cos sin 3])sin [(])cos [(2323='+'=?设所求的引力在x 轴、y 轴上的投影分别为F x 、F y ? 则有 ⎰+⋅++⋅⋅=202222322)()(1πds y x x y x y x G F x 2204253sin cos 3Ga tdt t Ga ==⎰π? ⎰+⋅++⋅⋅=202222322)()(1πds yx y y x y x G F x 2204253sin cos 3Ga tdt t Ga ==⎰π? 所以)53 ,53(22Ga Ga =F ?。

高数练习册答案（完整版）

1 高等数学1C 习题解答习题一一．单项选择题1、A 2、D 3、C 二．填空题1、22)1(133-+-x x x 2、（－9，1）三．计算题1、（1）解函数要有意义，必须满足îíì³-¹0102x x 即îíì££-¹110x x 定义域为]1,0()0,1(È-（2）解函数要有意义，必须满足ïïîïïíì££-¹³-111003x xx 解得1-£x 或31££x 3．（1）解由1-=x e y 得1ln +=y x 交换x 、y 得反函数为1ln +=x y （2）解由11+-=x x y 得y yx -+=11交换x 、y 得反函数为xx y -+=114．（1）解只有t=0时，能；t 取其它值时，因为112>+t ，x arcsin 无定义（2）解不能，因为11££-x ，此时121-=x y 无意义5．解（1）12arccos 2-====x w wv vu ey u(2) 令22y y y +=则11ln 21+=+==x u u v vy xw em m x v v u ey wu2)sin(32==+===6．解ïîïíì-£+£<-+->-=1101)1(0)]([22x x x x x x x f g 7．解设cbx ax x f ++=2)(所以ïîïíì==++=++41242c c b a c b a 解得25214-===b a c习题二习题二一．单项选择题一．单项选择题1、A 2、B 3、D 二．填空题二．填空题1、>1 2、单调增加、单调增加三．计算题三．计算题1、（1）解）解因为)(sin )sin()(x f x x x x x f ==--=- 所以函数是偶函数所以函数是偶函数（2）解）解因为)()1ln(11ln )1ln()(222x f x x xx x x x f -=-+-=-+=++=-所以函数是奇函数所以函数是奇函数（3）解）解 )(0)1(000)1(010001)(x f x x x x x x x x x x x f -=ïîïíì>+-=<--=ïîïíì<---=->-+-=- 所以函数是奇函数所以函数是奇函数2．解．解因为因为 x x y 2cos 2121sin 2-== 而x 2cos 的周期为p ，所以x y 2sin =是周期函数，周期为p3．解．解由h r V 231p = 得23rvh p =表面积：表面积： )0(919221226224222222³++=++=+×+=r r v r r r rv r r r r h r s p p p p p p p 四证明证明 )()1()1(11)(x f e e e e e e x f x x xxxx-=+-=+-=--- 习题三习题三一．单项选择题一．单项选择题1、C 2、C 3、B 4、C 二．填空题二．填空题1、1 2、a 3、³4、2，0 5、1 三．判断正误三．判断正误1、对；、对；2、对；、对；3、错、错四．（1）证明证明令12+=n nx ne <=<+=-n nn n nx n11022只要e 1>n ，取]1[e=N当N n >时，恒有e <-0n x所以01lim2=+¥®n nn（2）证明）证明因为)0()(lim>=+¥®A A x f x ，对取定的2A=e ，存在M>0，当x>M 时，有时，有2)()(AA x f A x f <-<-故当x>M 时，2)(Ax f >习题四习题四一．单项选择题一．单项选择题1、B 2、B 3、B 4、D 二．填空题二．填空题1、ae 2、0，6 3、6 4、2，－2 三．判断正误三．判断正误 1、错；、错； 2、错；、错； 3、错；、错；四．计算题四．计算题 1、原式＝2112lim )1)(1()1)(2(lim 11=+--=+---®®x x x x x x x x 2、原式＝01111lim 11lim =++=+++¥®+¥®xxxx x x 3、原式＝2311lim )1)(1()1)(1(lim 32313231=+++=-+++-®®xx x x x x x x x x 4、原式＝31)32(131)32(31lim )32(13233lim 1111=-×+=-++¥®++++¥®n n n n n nn nn 5、原式＝]21)121121(21)5131(21)311[(lim ×+--++×-+×-+¥®n n n 21)2112121(lim =×+-=¥®n n 6、、原式＝23232223)12)(1(21lim 3)21(3lim n n n n n n n n n n -++=-+++¥®+¥® 2132123lim 22=+=¥®nn n n 7、因为、因为 0lim =-+¥®xx e 1s i n £x 所以所以 0s i nl i m =-+¥®x e xx习题五习题五一、1.B ， 2.A, 3. B 二、1.sin tan x x x << 2．０．０三、1. （1）0sin 77lim tan 55x x x ®=解：（2）0lim sin0x x x p ®=解：这是有界函数乘无穷小量，故（3）000sin 5sin 5115sin 55lim lim lim 1sin 3sin 3sin 31133x x x xxx x x x x x x x x x®®®---===-+++解：（4）00sin 1lim lim sin 1()x x x x x x ++®®+=解：原式解：原式==后一项是无穷小量乘有界函数2．（1）22222222222lim(1)lim[(1)]lim(1)1n nn n n e e nn n´+®¥®¥®¥=+=++==原式（2）()1()1111lim(1)lim 1x x x x x x e ---·-®¥®¥éùæö-=-=êúç÷èøêúëû原式原式== （3）22322(3)3332233lim(1)lim(1)22x x xx e x x -++-·---®¥®¥éù-=-=êú++êúëû原式＝ (4)13330lim(13)xx x e ·®=+=原式(中间思维过程同前) （5）222222lim ln()lim ln(1)lim ln(1)lim ln(1)1nnn n n n n n n nn n n·®¥®¥®¥®¥+==+=+=+=原式四．四．1.证明：证明：22222111......2n n n n n n n n n ppppp<+++<+++++22limlim 1,,.n n n nn n n p p®¥®¥==++而故由夹逼准则知原式成立 2.证明：证明：只要证明原数列单调有界就可以达到目的只要证明原数列单调有界就可以达到目的()()2211112,110,0,.n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x ++++=-+-=-=-->->> n 即而0<x <1,<1,故故即故数列单调递增且有界故数列单调递增且有界,,极限存在极限存在..22212(21)11(1)1lim 1n nnnn n n n x x x x x x x +®¥=-+=--++=--<\=习题六习题六一、1．B ，2．B ，3．B ，4．B ，5。

高等数学习题集[附答案及解析]

第一章函数与极限§1 函数必作习题P16－18 4 (5) (6) (8)，6，8，9，11，16，17必交习题一、一列火车以初速度0v ，等加速度a 出站，当速度达到1v 后，火车按等速运动前进；从出站经过T 时间后，又以等减速度a 2进站，直至停止。

(1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式；(2) 作出函数)(t v v =的图形。

二、证明函数12+=x x y 在),(+∞-∞内是有界的。

三、判断下列函数的奇偶性： (1)x x x f 1sin)(2= ；(2)1212)(+-=x x x f ；(3))1ln()(2++=x x x f 。

四、证明：若)(x f 为奇函数，且在0=x 有定义，则0)0(=f 。

§2 初等函数必作习题P31－33 1，8，9，10，16，17必交习题一、设)(x f 的定义域是]1,0[，求下列函数的定义域：(1))(x e f ；(2))(ln x f ；(3))(arcsin x f ；(4))(cos x f 。

二、(1)设)1ln()(2x x x f +=，求)(x ef -；(2)设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f ；(3)设xx f -=11)(，求)]([x f f ，})(1{x f f 。

)1,0(≠≠x x三、设)(x f 是x 的二次函数，且1)0(=f ，x x f x f 2)()1(=-+，求)(x f 。

四、设⎩⎨⎧>+≤-=0,20,2)(x x x x x f ，⎩⎨⎧>-≤=0,0,)(2x x x x x g ，求)]([x g f 。

P42 3 (3) (4)，4，5，6必交习题一、写出下列数列的前五项 (1)3sin 31n n x n =；(2)n n n n x n ++++++=22212111Λ；(3)nx n x n n n)1(1211122-=+++=-，Λ。

高等数学课后习题答案

习题十二1．写出下列级数的一般项：(1)1111357++++；(2)22242462468x x ++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅；(3)35793579a a a a -+-+；解：(1)121n U n =-；(2)()2!!2nn xU n =；(3)()211121n n n a U n ++=-+；2．求下列级数的和：(1)()()()1111n x n x n x n ∞=+-+++∑；(2)1n ∞=∑；(3)23111555+++；解：(1)()()()()()()()111111211n u x n x n x n x n x n x n x n =+-+++⎛⎫-=⎪+-++++⎝⎭从而()()()()()()()()()()()()()()11111211212231111111211n Sx x x x x xx x x n xn x n x n x x x n x n ⎛-+-=+++++++⎝⎫++-⎪+-++++⎭⎛⎫-= ⎪++++⎝⎭因此()1lim 21n n S x x →∞=+，故级数的和为()121x x + (2)因为n U =-从而(11n S n =-+-+-++-+=-=+-所以lim 1nn S →∞=1(3)因为21115551115511511145n nn n S =+++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦=-⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦从而1lim 4n n S →∞=，即级数的和为14．3．判定下列级数的敛散性：(1)1n ∞=-∑；(2) ()()11111661111165451n n+++++⋅⋅⋅-+；(3)()23133222213333nn n--+-++-；(4)1155n +++++；解：(1) (11n S n =++++=从而lim n n S →∞=+∞，故级数发散．(2) 1111111115661111165451111551n S n n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪-+⎝⎭⎛⎫=- ⎪+⎝⎭从而1lim 5n n S →∞=，故原级数收敛，其和为15． (3)此级数为23q =-的等比级数，且|q |<1，故级数收敛． (4)∵n U =lim 10n n U →∞=≠，故级数发散．4．利用柯西审敛原理判别下列级数的敛散性：(1) ()111n n n +∞=-∑；(2) 1cos 2nn nx∞=∑；(3)1111313233n n n n ∞=⎛⎫+- ⎪+++⎝⎭∑．解：(1)当P 为偶数时，()()()()122341111112311111231111112112311n n n pn n n n p U U U n n n n pn n n n pn p n p n n pn n n +++++++++++----=++++++++-+--=++++⎛⎫⎛⎫-=----- ⎪ ⎪+-+-++++⎝⎭⎝⎭<+当P 为奇数时，()()()()1223411111123111112311111112311n n n pn n n n p U U U n n n n pn n n n pn p n p n n n n +++++++++++----=++++++++-+-+=++++⎛⎫⎛⎫-=---- ⎪ ⎪+-++++⎝⎭⎝⎭<+因而，对于任何自然数P ，都有12111n n n p U U U n n ++++++<<+，∀ε>0，取11N ε⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，则当n >N 时，对任何自然数P 恒有12n n n p U U U ε++++++<成立，由柯西审敛原理知，级数()111n n n +∞=-∑收敛．(2)对于任意自然数P ，都有()()()1212121cos cos cos 12222111222111221121112212n n n pn n n p n n n p n p n p n U U U x n p x xn n ++++++++++++++++=+++≤+++⎛⎫- ⎪⎝⎭=-⎛⎫=- ⎪⎝⎭<于是， ∀ε>0(0<ε<1)，∃N =21log ε⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当n >N 时，对任意的自然数P 都有12n n n p U U U ε++++++<成立，由柯西审敛原理知，该级数收敛．(3)取P =n ，则()()()()()121111113113123133213223231131132161112n n n pU U U n n n n n n n n n n ++++++⎛⎫=+-+++- ⎪++++++⋅+⋅+⋅+⎝⎭≥++++⋅+≥+>从而取0112ε=，则对任意的n ∈N ，都存在P =n 所得120n n n p U U U ε++++++>，由柯西审敛原理知，原级数发散．5．用比较审敛法判别下列级数的敛散性．(1)()()111465735n n ++++⋅⋅++；(2)22212131112131n n +++++++++++(3)1πsin 3nn ∞=∑；(4)1n ∞=；(5)()1101nn a a ∞=>+∑；(6)()1121nn ∞=-∑．解：(1)∵()()21135n U nn n =<++而211n n∞=∑收敛，由比较审敛法知1nn U∞=∑收敛．(2)∵221111n n n U n n n n++=≥=++而11n n ∞=∑发散，由比较审敛法知，原级数发散．(3)∵ππsinsin 33lim lim ππ1π33n nn n n n →∞→∞=⋅=而1π3nn ∞=∑收敛，故1πsin 3n n ∞=∑也收敛． (4)∵321n U n=<=而3121n n∞=∑收敛，故1n ∞=收敛．(5)当a >1时，111n n n U a a =<+，而11n n a ∞=∑收敛，故111n n a ∞=+∑也收敛．当a =1时，11lim lim 022n n n U →∞→∞==≠，级数发散．当0<a <1时，1lim lim 101n nn n U a →∞→∞==≠+，级数发散．综上所述，当a >1时，原级数收敛，当0<a ≤1时，原级数发散．(6)由021lim ln 2x x x →-=知121limln 211nx n →∞-=<而11n n ∞=∑发散，由比较审敛法知()1121n n ∞=-∑发散．6．用比值判别法判别下列级数的敛散性：(1)213nn n ∞=∑； (2)1!31nn n ∞=+∑；(3)232333331222322nn n +++++⋅⋅⋅⋅；(1) 12!n nn n n ∞=⋅∑解：(1)23n nn U =，()2112311lim lim 133n n n n n n U n U n ++→∞→∞+=⋅=<，由比值审敛法知，级数收敛．(2)()()111!311lim lim 31!31lim 131n n n n n nn n n U n U n n ++→∞→∞+→∞++=⋅++=⋅++=+∞所以原级数发散．(3)()()11132lim lim 2313lim 21312n n n n nn n nn U n U n n n +++→∞→∞→∞⋅=⋅⋅+=+=>所以原级数发散．(4)()()1112!1lim lim 2!1lim 21122lim 1e 11n n n n nn n nnn n n U n n U n n n n n +++→∞→∞→∞→∞⋅+=⋅⋅+⎛⎫= ⎪+⎝⎭==<⎛⎫+ ⎪⎝⎭故原级数收敛．7．用根值判别法判别下列级数的敛散性：(1) 1531nn n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑； (2)()[]11ln 1nn n ∞=+∑；(3)21131n n n n -∞=⎛⎫ ⎪-⎝⎭∑；(4)1nn n b a ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑，其中a n →a （n →∞），a n ，b ，a 均为正数．解：(1)55lim1313n n n n →∞==>+，故原级数发散．(2)()1lim01ln 1n n n →∞==<+，故原级数收敛．(3)121lim lim 1931nn n n n -→∞⎛⎫==< ⎪-⎝⎭，故原级数收敛．(4) lim n n n b b a a →∞==，当b <a 时，b a <1，原级数收敛；当b >a 时，ba >1，原级数发散；当b =a 时，ba=1，无法判定其敛散性．8．判定下列级数是否收敛？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？(1)1-+； (2)()()1111ln 1n n n ∞-=-+∑；(3) 234111*********5353⋅-⋅+⋅-⋅+；(4)()21121!n n n n ∞-=-∑；(5)()()1111n n R n αα∞-=∈-∑；(6) ()11111123nn nn ∞=⎛⎫-++++ ⎪⎝⎭∑．解：(1)()11n n U -=-1nn U ∞=∑>0n =，由莱布尼茨判别法级数收敛，又11121nn n Un∞∞===∑∑是P <1的P 级数，所以1nn U∞=∑发散，故原级数条件收敛．(2)()()111ln 1n n U n -=-+，()()1111ln 1n n n ∞---+∑为交错级数，且()()11ln ln 12n n >++，()1limln 1n n →∞=+，由莱布尼茨判别法知原级数收敛，但由于()11ln 11n U n n =≥++所以，1nn U∞=∑发散，所以原级数条件收敛．(3)()11153n n n U -=-⋅民，显然1111115353n nn n n n U ∞∞∞=====⋅∑∑∑，而113nn ∞=∑是收敛的等比级数，故1nn U∞=∑收敛，所以原级数绝对收敛．(4)因为2112lim lim 1n n n n n U U n ++→∞→∞==+∞+．故可得1n nU U +>，得lim 0n n U →∞≠，∴lim 0n n U →∞≠，原级数发散．(5)当α>1时，由级数11n n α∞=∑收敛得原级数绝对收敛．当0<α≤1时，交错级数()1111n n n α∞-=-∑满足条件：()111n n αα>+；1lim0n n α→∞=，由莱布尼茨判别法知级数收敛，但这时()111111n n n nn αα∞∞-===-∑∑发散，所以原级数条件收敛．当α≤0时，lim 0n n U →∞≠，所以原级数发散．(6)由于11111123n n n ⎛⎫⋅>++++ ⎪⎝⎭而11n n ∞=∑发散，由此较审敛法知级数()11111123nn nn ∞=⎛⎫-⋅++++ ⎪⎝⎭∑发散．记1111123n U n n ⎛⎫=⋅++++ ⎪⎝⎭，则()()()()()()1222111111123111111112311111111231110n n U U n n n n n n n n n n n n n n +⎛⎫⎛⎫-=-++++- ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭+⎛⎫=-++++ ⎪⎝⎭++⎛⎫⎛⎫-=++++ ⎪ ⎪⎝⎭+++⎝⎭>即1n n U U +>又01111lim lim 12311d n n n n U n n x n x →∞→∞⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭=⎰由0111lim d lim 01t t t t x t x →+∞→+∞==⎰知lim 0n n U →∞=，由莱布尼茨判别法，原级数()11111123nn nn ∞=⎛⎫-⋅++++ ⎪⎝⎭∑收敛，而且是条件收敛．9．判别下列函数项级数在所示区间上的一致收敛性．(1)()1!1nn x n ∞=-∑，x ∈[-3,3]；(2)21nn x n ∞=∑，x ∈[0,1]；(3) 1sin 3nn nx∞=∑，x ∈(-∞,+∞)；(4) 1!nxn e n -∞=∑，|x |<5；(5)1n ∞=，x ∈(-∞,+∞)解：(1)∵()()3!!11nnx n n ≤--，x ∈[-3,3]，而由比值审敛法可知()13!1nn n ∞=-∑收敛，所以原级数在 [-3,3]上一致收敛．(2)∵221nx nn ≤，x ∈[0,1]，而211n n∞=∑收敛，所以原级数在[0,1]上一致收敛．(3)∵1sin 33n n nx ≤，x ∈(-∞,+∞)，而113nn ∞=∑是收敛的等比级数，所以原级数在(-∞,+∞)上一致收敛．(4)因为5!!nnx ee n n -≤，x ∈(-5,5)，由比值审敛法可知51!n n e n ∞=∑收敛，故原级数在(-5,5)上一致收敛．(5)531n≤，x ∈(-∞,+∞)，而5131n n∞=∑是收敛的P -级数，所以原级数在(-∞,+∞)上一致收敛．10．若在区间Ⅰ上，对任何自然数n ．都有|U n (x )|≤V n (x )，则当()1nn Vx ∞=∑在Ⅰ上一致收敛时，级数()1nn Ux ∞=∑在这区间Ⅰ上也一致收敛．证：由()1nn Vx ∞=∑在Ⅰ上一致收敛知， ∀ε>0，∃N (ε)>0，使得当n >N 时，∀x ∈Ⅰ有 |V n +1(x )+V n +2(x )+…+V n +p (x )|<ε，于是，∀ε>0，∃N (ε)>0，使得当n >N 时，∀x ∈Ⅰ有|U n +1(x )+U n +2(x )+…+U n +p (x )|≤V n +1(x )+V n +2(x )+…+V n +p (x ) ≤|V n +1(x )+V n +2(x )+…+V n +p (x )|<ε，因此，级数()1nn Ux ∞=∑在区间Ⅰ上处处收敛，由x 的任意性和与x 的无关性，可知()1nn Ux ∞=∑在Ⅰ上一致收敛．11．求下列幂级数的收敛半径及收敛域：(1)x +2x 2+3x 3+…+nx n+…；(2)1!nn x n n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑；(3)21121n n x n -∞=-∑； (4)()2112n n x n n ∞=-⋅∑；解：(1)因为11limlim 1n n n n a n a n ρ+→∞→∞+===，所以收敛半径11R ρ==收敛区间为(-1,1)，而当x =±1时，级数变为()11nn n∞=-∑，由lim(1)0nx nn →-≠知级数1(1)nn n∞=-∑发散，所以级数的收敛域为(-1,1)．(2)因为()()1111!11lim lim lim lim e 1!11nn n n n n n n n na n n n a n n n n ρ-+-+→∞→∞→∞→∞⎡⎤+⎛⎫⎛⎫==⋅===+ ⎪⎢⎥ ⎪+⎝⎭+⎝⎭⎣⎦所以收敛半径1eR ρ==，收敛区间为(-e,e)．当x =e 时，级数变为1e n nn n n ∞=∑；应用洛必达法则求得()10e e1lim 2x x x x →-+=-，故有111lim 12n n n a n a +→∞⎛⎫-=-<⎪⎝⎭由拉阿伯判别法知，级数发散；易知x =-e 时，级数也发散，故收敛域为(-e,e)．(3)级数缺少偶次幂项．根据比值审敛法求收敛半径．211212221lim lim 2121lim 21n n n n n nn U x n U n x n x n x ++-→∞→∞→∞-=⋅+-=⋅+= 所以当x 2<1即|x |<1时，级数收敛，x 2>1即|x |>1时，级数发散，故收敛半径R =1．当x =1时，级数变为1121n n ∞=-∑，当x =-1时，级数变为1121n n ∞=--∑，由1121lim 012n n n →∞-=>知，1121n n ∞=-∑发散，从而1121n n ∞=--∑也发散，故原级数的收敛域为(-1,1)．(4)令t =x -1，则级数变为212nn t n n ∞=⋅∑，因为()()2122lim lim 1211n n n n a n n a n n ρ+→∞→∞⋅===⋅++所以收敛半径为R =1．收敛区间为 -1<x -1<1 即0<x <2.当t =1时，级数3112n n ∞=∑收敛，当t =-1时，级数()31112nn n ∞=-⋅∑为交错级数，由莱布尼茨判别法知其收敛．所以，原级数收敛域为 0≤x ≤2，即[0,2]12．利用幂级数的性质，求下列级数的和函数：(1)21n n nx∞+=∑；(2) 22021n n x n +∞=+∑；解：(1)由()321lim n n n x n x nx ++→∞+=知，当|x |=<1时，原级数收敛，而当|x |=1时，21n n nx∞+=∑的通项不趋于0，从而发散，故级数的收敛域为(-1,1)．记()23111n n n n S nxxnxx ∞∞+-====∑∑易知11n n nx∞-=∑的收敛域为(-1,1)，记()111n n S nx x ∞-==∑则()1011xn n x S x x x ∞===-∑⎰于是()()12111x S x x x '⎛⎫== ⎪-⎝⎭-，所以()()()3211x S x x x =<-(2)由2422221lim 23n n n x n x n x ++→∞+=⋅+知，原级数当|x |<1时收敛，而当|x |=1时，原级数发散，故原级数的收敛域为(-1,1)，记()2221002121n n n n x x S x x n n ++∞∞====++∑∑，易知级数2121n n x n +∞=+∑收敛域为(-1,1)，记()211021n n x S x n +∞==+∑，则()212011n n S x x x ∞='==-∑，故()1011d ln 21xx S x x x +'=-⎰即()()1111ln 021xS S x x +-=-，()100S =，所以()()()11ln 121x xS xS x x x x +==<-13．将下列函数展开成x 的幂级数，并求展开式成立的区间：(1)f (x )=ln(2+x )； (2)f (x )=cos 2x ；(3)f (x )=(1+x )ln(1+x )；(4)()2f x =；(5)()23xf x x =+； (6)()()1e e 2x xf x -=-；(7)f (x )=e xcos x ；(8)()()212f x x =-．解：(1)()()ln ln 2ln 2ln 11222x x f x x ⎛⎫⎛⎫===++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由于()()0ln 111nnn x x n ∞==+-+∑，(-1<x ≤1) 故()()110ln 11221n nn n x x n +∞+=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭+∑，(-2≤x ≤2) 因此()()()110ln ln 22121n nn n x x n +∞+==++-+∑，(-2≤x ≤2)(2)()21cos 2cos 2x f x x +==由()()20cos 1!2nnn x x n ∞==-∑，(-∞<x <+∞) 得()()()()()220042cos 211!!22n n n nn n n x x x n n ∞∞==⋅==--∑∑所以()()22011()cos cos 222114122!2n nn n f x x x x n ∞===+⋅=+-∑，(-∞<x <+∞)(3)f (x )=(1+x )ln(1+x )由()()()1ln 111n nn x x n +∞==+-+∑，(-1≤x ≤1)所以()()()()()()()()()()()()()11200111111111111111111111111111n nn n n nn n n n n nn n n n n n n n n n x f x x n x x n n x x x n n n n x xn n x xn n +∞=++∞∞==++∞∞+==+∞+=-∞+==+-+=+--++=++--+++--=+⋅+-=++∑∑∑∑∑∑∑ (-1≤x ≤1)(4)()22f x x ==()()()21!!2111!!2n nn n x n ∞=-=+-∑(-1≤x ≤1)故()()()()221!!2111!!2nn n n x f x x n ∞=⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭∑()()()()2211!!211!!2n n n n x xn ∞+=-=+-∑ (-1≤x ≤1)(5)()()()(220211131313313nn n n nn n x f x x x x x x ∞=+∞+==⋅+⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭=-<∑∑(6)由0e !nxn x n ∞==∑，x ∈(-∞,+∞) 得()01e!n n xn x n ∞-=⋅-=∑，x ∈(-∞,+∞)所以()()()()()()0002101e e 2112!!1112!,!21x x n n n n n n n n n n f x x x n n x n x x n -∞∞==∞=+∞==-⎛⎫-=- ⎪⎝⎭=⋅⎡⎤--⎣⎦=∈-∞+∞+∑∑∑∑(7)因为e cos x x 为()()1e cos sin x x i e x i x +=+的实部，而()()[]()10002011!1!ππcos sin !44ππ2cos sin !44n xi n nn n nn n n n n ex i n x i n x i n x n n i n ∞+=∞=∞=∞==+=+⎤⎫=+⎪⎥⎭⎦⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭∑∑∑∑取上式的实部．得20π2cos4cos !nx nn n e x x n ∞==⋅∑(-∞<x <+∞)(8)由于()1211n n nx x ∞-==-∑ |x |<1而()211412f x x =⋅⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()111001422n n n n n n x x f n x --∞∞+==⋅⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭∑∑(|x |<2)14．将()2132f x x x =++展开成(x +4)的幂级数．解：21113212x x x x =-++++ 而()()()011113411431314413334713nn nn n x x x x x x x ∞=∞+==+-++=-⋅+-+⎛+⎫⎛⎫=-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+=--<<∑∑又()()()0101122411421214412224622nn nn n x x x x x x x ∞=∞+==+-++=-+-+⎛+⎫⎛⎫=-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+=--<<-∑∑ 所以()()()()()2110011013244321146223n nn n n n n n n n f x x x x x x x ∞∞++==∞++==++++=-+⎛⎫=-+-<<- ⎪⎝⎭∑∑∑15．将函数()f x =(x -1)的幂级数．解：因为()()()()()211111111!2!!m nm m m m m m n x x x x x n ---+=++++++-<<所以()()[]()()()3221133333331121222222211111!2!!nf x x n x x x n ==+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+++++---(-1<x -1<1)即()()()()()()()()()()()()()2323133131313251111111222!23!2!3152111022!nnn nn n f x x x x x n n x x n ∞=⋅⋅⋅⋅⋅⋅--+--=+++++----⋅⋅⋅⋅⋅⋅--=+-<<⋅∑16．利用函数的幂级数展开式，求下列各数的近似值：(1)ln3（误差不超过0.0001）； (2)cos20（误差不超过0.0001）解：(1)35211ln 213521n x x x x x xn -+⎛⎫=+++++ ⎪--⎝⎭，x ∈(-1,1) 令131x x +=-，可得()11,12x =∈-，故()35211111112ln3ln 212325222112n n -+⎡⎤+++++==⎢⎥⋅⋅⋅-⎣⎦-又()()()()()()()()()()2123212121232521242122112222123222212112222123252111222212112211413221n n n n n n n n n n n r n n n n n n n n n n +++++++++-⎡⎤++=⎢⎥⋅⋅++⎣⎦⎡⎤⋅⋅++=+++⎢⎥⋅⋅+++⎣⎦⎛⎫<+++ ⎪⎝⎭+=⋅+-=+故5810.000123112r <≈⨯⨯61010.000033132r <≈⨯⨯．因而取n =6则35111111ln 32 1.098623252112⎛⎫=≈++++⎪⋅⋅⋅⎝⎭(2)()()2420ππππ909090cos 2cos 11902!4!!2nn n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==-+-++-∵24π906102!-⎛⎫ ⎪⎝⎭≈⨯；48π90104!-⎛⎫⎪⎝⎭≈故2π90cos2110.00060.99942!⎛⎫⎪⎝⎭≈-≈-≈17．利用被积函数的幂级数展开式，求定积分0.5arctan d xx x ⎰（误差不超过0.001）的近似值．解：由于()3521arctan 13521n n x x x x x n +=-+-++-+，（-1≤x ≤1）故()2420.50.5000.5357357arctan d d 113521925491111111292252492nx x x x x xx n x x x x ⎡⎤=-+-++-⎢⎥+⎣⎦⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭=-⋅+⋅-⋅+⎰⎰而3110.013992⋅≈，5110.0013252⋅≈，7110.0002492⋅≈．因此0.5350arctan 11111d 0.487292252x x x ≈-⋅+⋅≈⎰18．判别下列级数的敛散性：(1)111n nnn nn n +∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑； (2)21cos 32n n nx n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑；(3)()1ln 213nn n n ∞=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑．解：(1)∵122111n nnnn n nn n n n n n n +⎛⎫>= ⎪+⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭而()22211221lim lim 10111nnn n n n n n n --++→∞→∞⎡⎤⎛⎫-⎛⎫==≠+⎢⎥ ⎪ ⎪+⎝⎭+⎝⎭⎣⎦故级数2211nn nn∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑发散，由比较审敛法知原级数发散．(2)∵2cos 3022n nnx n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭<≤由比值审敛法知级数12nn n ∞=∑收敛，由比较审敛法知，原级数21cos 32nn nx n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑收敛．(3)∵()()ln ln 220313nn n n n ++<<⎛⎫+ ⎪⎝⎭由()()()()11ln 33lim lim 3ln 21ln 3lim3ln 2113nn n n n nn U n U n n n ++→∞→∞→∞+=⋅++=+=<知级数()1ln 23nn n ∞=+∑收敛，由比较审敛法知，原级数()1ln 213nn n n ∞=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛．19．若2lim n n n U →∞存在，证明：级数1nn U∞=∑收敛．证：∵2lim nn n U →∞存在，∴∃M >0，使|n 2U n |≤M ，即n 2|U n |≤M ，|U n |≤2M n而21n Mn ∞=∑收敛，故1n n U ∞=∑绝对收敛．20．证明，若21nn U ∞=∑收敛，则1nn U n∞=∑绝对收敛．证：∵222211111222n n n nU U n U U n n n+=⋅≤=+⋅而由21nn U ∞=∑收敛，211n n ∞=∑收敛，知22111122n n U n ∞=⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭∑收敛，故1n n U n ∞=∑收敛，因而1nn U n∞=∑绝对收敛．21．若级数1nn a∞=∑与1nn b∞=∑都绝对收敛，则函数项级数()1cos sin nn n anx b nx ∞=+∑在R 上一致收敛．证：U n (x )=a n cos nx +b n sin nx ，∀x ∈R 有()cos sin cos sin n n n n n n nU a nx b nx a nx b nx a b x =+≤+≤+由于1nn a∞=∑与1nn b∞=∑都绝对收敛，故级数()1nnn ab ∞=+∑收敛．由魏尔斯特拉斯判别法知，函数项级数()1cos sin nn n anx b nx ∞=+∑在R 上一致收敛．22．计算下列级数的收敛半径及收敛域：(1) 111nn n x n ∞=⎛⎫+ ⎪+⎝⎭∑；(2)()1πsin12n n n x ∞=+∑；(3) ()2112nn n x n ∞=-⋅∑解：(1)111lim1lim 211lim lim lim 22e e n n nn nn nnn n n a a n n n n ρ+→∞+→∞→∞→∞→∞-=⎛⎫+=⋅ ⎪+⎝⎭++⎛⎫=⋅⋅ ⎪++⎝⎭=⋅=∴13R ρ==，又当x =时，级数变为()111311333n nnn n n n n n ∞∞==⎛⎫⎛⎛++=±± ⎪ ++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑，因为3lim 033nn n n →∞⎛⎫+=≠ ⎪+⎝⎭所以当3x =±，级数发散，故原级数的收敛半径3R =，收敛域(-3,3)．(2)111ππsin122limlim lim ππ2sin 22n n n n n n nnn a a ρ+++→∞→∞→∞====故12R ρ==，又∵πsinπ2limsin 2lim ππ0π22n n n n n n →∞→∞⋅==≠．所以当(x +1)=±2时，级数()1πsin 12n n n x ∞=+∑发散，从而原级数的收敛域为-2<x +1<2，即-3<x <1，即(-3,1)(3)()212121lim lim 221n n n n n n a n a n ρ++→∞→∞⋅===⋅+ ∴2R =，收敛区间-2<x -1<2，即-1<x <3．当x =-1时，级数变为()2111nn n ∞=-∑，其绝对收敛，当x =3时，级数变为211n n ∞=∑，收敛．因此原级数的收敛域为[-1,3]．23．将函数()0arctan d xtF t x t =⎰展开成x 的幂级数．解：由于()210arctan 121n nn t t n +∞==-+∑ 所以()()()()()20002212000arctan d d 121d 112121n xx n n n n xnnn n t t F t tx t n t x t n n ∞=+∞∞====-+==--++∑⎰⎰∑∑⎰（|x |≤1）24．判别下列级数在指定区间上的一致收敛性：(1)()113n nn x ∞=-+∑，x ∈[-3,+∞)；(2)1nn nx ∞=∑，x ∈(2,+∞)；(3)()()222211n nx x n n ∞=⎡⎤+++⎣⎦∑，x ∈(-∞,+∞)；解：(1)考虑n ≥2时，当x ≥-3时，有()1111133333nn n n nx x --=<<+-+ 而1113n n ∞-=∑收敛，由魏尔斯特拉斯判别法知，级数()113n n n x ∞=-+∑在[-3,+∞)上一致收敛．(2)当x >2时，有2n nn nx =<由1112lim 122n n n n n +→∞+=<知级数12n n n ∞=∑收敛，由魏尔斯特拉斯判别法知，级数1n n n x ∞=∑在(2,+∞)上一致收敛．(3)∀x ∈R 有()()()22224322111n n n x n n n x n n n ≤<=⎡⎤+⋅+++⎣⎦而311n n ∞=∑收敛，由魏尔斯特拉斯判别法知，级数()()222211n n x x n n ∞=⎡⎤+++⎣⎦∑在(-∞,+∞)上一致收敛．25．求下列级数的和函数：(1)()211121n n n x n ∞-=--∑； (2)21021n n x n +∞=+∑； (3)()11!1n n nxn ∞-=-∑； (4)()11nn x n n ∞=+∑．解：(1)可求得原级数的收敛半径R =1，且当|x |=1时，级数()111121n n n ∞-=--∑是收敛的交错级数，故收敛域为[-1,1]记()()()()22111111112121n n n n n n x x S x xS x x n n -∞∞--=====----∑∑则S 1(0)=0,()()122121111n n n S x x x ∞--='==-+∑所以()()11201d arctan 01xS S x xx x -==+⎰即S 1(x )=arctan x ，所以S (x )=x arctan x ，x ∈[-1,1]．(2)可求得原级数的收敛半径R =1，且当|x |=1时，原级数发散．记()21021n n x S x n +∞==+∑则()22011n n S x x x ∞='==-∑ ()200111d d ln 121x x x S x x x x x +'==--⎰⎰，即()()11ln 021x S S x x +-=-，S (0)=0所以()11ln21xS x x +=-，(|x |<1)(3)由()11!lim lim 0!1n n n n n a n nan +→∞→∞+==-知收敛域为(-∞,+∞)．记()()11!1n n n S x x n ∞-==-∑则()()()111d e !!11nn xxn n x x S x x x x n n -∞∞=====--∑∑⎰，所以()()()e 1e x x S x x x '==+，(-∞<x <+∞)(4)由()()()112lim 111n n n n n →∞++=+知收敛半径R =1，当x =1时，级数变为()111n n n ∞=+∑，由()2111n n n <+知级数收敛，当x =-1时，级数变为()()111n n n n ∞=-+∑是收敛的交错级数，故收敛域为[-1,1]．记()()11nn x S x n n ∞==+∑则S (0)=0，()()111n n x xS x n n +∞==+∑， ()[]1111n n x xS x x ∞-=''==-∑ （x ≠1）所以()[]()0d ln 1xxS x x x ''=--⎰即()[]()ln 1xS x x '=--()[]()()()00d ln 1d 1ln 1xxxS x x x x x x x '=--=--+⎰⎰即()()()1ln 1xSx x x x =--+当x ≠0时，()()111ln 1S x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，又当x =1时，可求得S (1)=1 （∵()1lim lim 111n n S x n →∞→∞⎛⎫=-= ⎪+⎝⎭）综上所述()()[)()0,01,1111ln 1,1,00,1x S x x x x x =⎧⎪==⎪⎨⎛⎫⎪+--∈- ⎪⎪⎝⎭⎩26．设f (x )是周期为2π的周期函数，它在(-π,π]上的表达式为()32π0,0π.x f x x x -<≤⎧=⎨<≤⎩试问f (x )的傅里叶级数在x =-π处收敛于何值？解：所给函数满足狄利克雷定理的条件，x =-π是它的间断点，在x =-π处，f (x )的傅里叶级数收敛于()()[]()33ππ11π22π222f f -+-+-=+=+27．写出函数()21π00πx f x x x --≤≤⎧=⎨<≤⎩的傅里叶级数的和函数．解：f (x )满足狄利克雷定理的条件，根据狄利克雷定理，在连续点处级数收敛于f (x )，在间断点x =0，x =±π处，分别收敛于()()00122f f -++=-，()()2πππ122f f -++-=，()()2πππ122f f -+-+--=，综上所述和函数．()221π00π102π1π2x x x S x x x --<<⎧⎪<<⎪⎪=-=⎨⎪⎪-=±⎪⎩28．写出下列以2π为周期的周期函数的傅里叶级数，其中f (x )在[-π,π)上的表达式为：(1)()π0π,4ππ0;4x f x x ⎧≤<⎪⎪=⎨⎪--≤<⎪⎩(2)()()2πx π=-≤≤f x x ；(3)()ππ,π,22ππ,,22ππ,π;22⎧--≤<-⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪≤<⎪⎩x f x x x x (4)()()cosππ2=-≤≤x f x x .解：(1)函数f (x )满足狄利克雷定理的条件，x =n π，n ∈z 是其间断点，在间断占处f (x )的傅里叶级数收敛于()()ππ0044022f f +-⎛⎫+- ⎪+⎝⎭==，在x ≠n π，有 ()π0π-ππ011π1πcos d cos d cos d 0ππ4π4n a f x nx x nx x nx x -⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ ()π0π-ππ011π1πsin d sin d sin d ππ4π40,2,4,6,,1,1,3,5,.n b f x nx x nx x nx xn n n-⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭=⎧⎪=⎨=⎪⎩⎰⎰⎰于是f (x )的傅里叶级数展开式为()()11sin 2121n f x n x n ∞==--∑(x ≠n π)(2)函数f (x )在(-∞,+∞)上连续，故其傅里叶级数在(-∞,+∞)上收敛于f (x )，注意到f (x )为偶函数，从而f (x )cos nx 为偶函数，f (x )sin nx 为奇函数，于是()π-π1sin d 0πn b f x nx x ==⎰，2π20-π12πd π3a x x ==⎰， ()()ππ22-π0124cos d cos d 1ππnn a f x nx x x nx x n===-⋅⎰⎰ (n =1,2,…)所以，f (x )的傅里叶级数展开式为：()()221π41cos 3nn f x nxn ∞==+-⋅∑ (-∞<x <∞)(3)函数在x =(2n +1)π (n ∈z )处间断，在间断点处，级数收敛于0，当x ≠(2n +1)π时，由f (x )为奇函数，有a n =0,（n =0,1,2,…）()()()πππ2π002222πsin d sin d sin d ππ212π1sin 1,2,π2n nb f x nx x x nx x nx x n n n n ⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦=--+=⎰⎰⎰所以()()12112π1sin sin π2n n n f x nxn n ∞+=⎡⎤=-⋅+⎢⎥⎣⎦∑ (x ≠(2n +1)π,n ∈z ) (4)因为()cos2xf x =作为以2π为周期的函数时，处处连续，故其傅里叶级数收敛于f (x )，注意到f (x )为偶函数，有b n =0(n =1,2,…)，()()π0π12π2π2111cos cos d π2211sin sin 12211π224110,1,2,π41n n x n x x n x n x n n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥=+⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭⎰所以f (x )的傅里叶级数展开式为：()()12124cos 1ππ41n n nxf x n ∞+==+--∑ x ∈[-π,π]29.将下列函数f (x )展开为傅里叶级数：(1)()()πππ42xf x x =--<<(2)()()sin 02πf x xx =≤≤解：(1)()ππ0-ππ11ππcos d d ππ422x a f x nx x x -⎛⎫==-=⎪⎝⎭⎰⎰ []()ππππ-π-πππ1π11cos d cos d x cos d π4242π1sin 001,2,4n x a nx x nx x nx x nx n n --⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=-==⎰⎰⎰ ()ππππ-π-π1π11sin d sin d xsin d π4242π11n n x b nx x nx x nx x n -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=-⋅⎰⎰⎰故()()1πsin 14n n nxf x n ∞==+-∑ (-π<x <π) (2)所给函数拓广为周期函数时处处连续，因此其傅里叶级数在[0,2π]上收敛于f (x )，注意到f (x )为偶函数，有b n =0,()ππ0πππ011cos0d sin d ππ24sin d ππa f x x x x x x x --====⎰⎰⎰()()()()()π022ππ1sin 1sin 1d π211π10,1,3,5,4,2,4,6,π1nn x n x x n n n n =+--⎡⎤⎣⎦-⎡⎤=+-⎣⎦-=⎧⎪-=⎨=⎪-⎩⎰所以()()2124cos2ππ41n nx f x n ∞=-=+-∑(0≤x ≤2π)30.设f (x )=x +1(0≤x ≤π)，试分别将f (x )展开为正弦级数和余弦级数. 解：将f (x )作奇延拓，则有a n =0 (n =0,1,2,…)()()()()ππ0022sin d 1sin d ππ111π2πn nb f x nx x x nx x n ==+--+=⋅⎰⎰从而()()()1111π2sin πnn f x nx n ∞=--+=∑(0<x <π)若将f (x )作偶延拓，则有b n =0 (n =1,2,…)()()ππ00222cos d 1cos d ππ0,2,4,64,1,3,5,πn a f x nx x x nx x n n n ==+=⎧⎪=-⎨=⎪⎩⎰⎰ ()()ππ0π012d 1d π2ππa f x x x x -==+=+⎰⎰从而()()()21cos 21π242π21n n xf x n ∞=-+=--∑(0≤x ≤π)31.将f (x )=2+|x | (-1≤x ≤1)展开成以2为周期的傅里叶级数，并由此求级数211n n∞=∑的和.解：f (x )在(-∞,+∞)内连续，其傅里叶级数处处收敛，由f (x )是偶函数，故b n =0,(n =1,2,…)()()1101d 22d 5a f x x x x -==+=⎰⎰()()()1112cos d 22cos d 0,2,4,64,1,3,5,πn a f x nx x x nx xn n n -==+=⎧⎪-=⎨=⎪⎩⎰⎰所以()()()221cos 21π542π21n n xf x n ∞=-=--∑，x ∈[-1,1]取x =0得，()2211π821n n ∞==-∑，故()()22222111111111π48212n n n n n n n n ∞∞∞∞=====+=+-∑∑∑∑所以211π6n n ∞==∑ 32.将函数f (x )=x -1(0≤x ≤2)展开成周期为4的余弦级数.解：将f (x )作偶延拓，作周期延拓后函数在(-∞,+∞)上连续,则有b n =0 (n =1,2,3,…)()()220201d 1d 02a f x x x x -==-=⎰⎰ ()()()222022221ππcos d 1cos d 2224[11]π0,2,4,6,8,1,3,5,πn nn x n xa f x x x xn n n n -==-=--=⎧⎪=⎨-=⎪⎩⎰⎰故()()()22121π81cosπ221n n x f x n ∞=-=-⋅-∑(0≤x ≤2)33.设()()011,0,2cos π1222,1,2n n x x a f x s x a n xx x ∞=⎧≤≤⎪⎪==+⎨⎪-<<⎪⎩∑，-∞<x <+∞，其中()102cos πd n a f x n x x=⎰，求52s ⎛⎫- ⎪⎝⎭.解：先对f (x )作偶延拓到[-1,1]，再以2为周期延拓到(-∞,+∞)将f (x )展开成余弦级数而得到 s (x )，延拓后f (x )在52x =-处间断，所以515511122222221131224s f f ff +-+-⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-=-+-⎢⎥⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎛⎫=+= ⎪⎝⎭34.设函数f (x )=x 2(0≤x <1)，而()1sin πn n s x b n x∞==∑，-∞<x <+∞，其中()12sin πd n b f x n x x=⎰(n =1,2,3,…)，求12s ⎛⎫- ⎪⎝⎭.解：先对f (x )作奇延拓到,[-1,1]，再以2为周期延拓到(-∞,+∞)，并将f (x )展开成正弦级数得到s (x )，延拓后f (x )在12x =-处连续，故.211112224s f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 35.将下列各周期函数展开成为傅里叶级数，它们在一个周期内的表达式分别为：(1)f (x )=1-x 21122x ⎛⎫-≤< ⎪⎝⎭； (2)()21,30,1,0 3.x x f x x +-≤<⎧=⎨≤<⎩ 解：（1） f (x )在(-∞,+∞)上连续，故其傅里叶级数在每一点都收敛于f (x )，由于f (x )为偶函数，有b n =0 (n =1,2,3,…)()()112221002112d 41d 6a f x x x x -==-=⎰⎰，()()()()112221021222cos2n πd 41cos2n πd 11,2,πn n a f x x x x x xn n -+==--==⎰⎰所以()()12211111cos 2π12πn n f x n xn +∞=-=+∑ (-∞<x <+∞)(2) ()()303033011d 21d d 133a f x x x x x --⎡⎤==++=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰，()()()()330330221πcos d 331π1π21cos d cos d 3333611,1,2,3,πn nn x a f x xn x n x x x xn n --==++⎡⎤=--=⎣⎦⎰⎰⎰ ()()()()33033011πsin d 331π1π21sin d sin d 333361,1,2,πn n n x b f x xn x n x x x xn n --+==++=-=⎰⎰⎰而函数f (x )在x =3(2k +1)，k =0,±1,±2,…处间断，故()()()122116π6π11cos 1sin 2π3π3n n n n x n x f x n n ∞+=⎧⎫⎡⎤=-+--+-⎨⎬⎣⎦⎩⎭∑(x ≠3(2k +1)，k =0,±1,±2,…)36.把宽为τ，高为h ，周期为T 的矩形波（如图所示）展开成傅里叶级数的复数形式.解：根据图形写出函数关系式()0,22,220,22T t u t h t T t ττττ⎧-≤<-⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪≤≤⎪⎩()()22022111d d d 2Tl T l h c u t t u t t h t l T T Tτττ---====⎰⎰⎰()()π2π222π2π22222π2211e d ed 212πe d e d 2ππsin e 2ππn T n i t li t lTT n l n n i t i t T T n i t T c u t t u t tlTh T n h t i t T T n i T h h n n i n T τττττττ----------==-⎛⎫⎛⎫==⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎡⎤=-= ⎪⎣⎦⎝⎭⎰⎰⎰⎰故该矩形波的傅里叶级数的复数形式为()2π1πsin eπn i t Tn n h h n u t T n Tττ∞-=-∞≠=+∑(-∞<t <+∞，且3,22t ττ≠±±，…)37.设f (x )是周期为2的周期函数，它在[-1,1]上的表达式为f (x )=e -x，试将f (x )展成傅里叶级数的复数形式.解：函数f (x )在x ≠2k +1，k =0,±1,±2处连续.()()()[]()()()π1π111π11211e d e e d 221e 21πe e 1121π1πsinh111πn i x l x in x ln l x n i n n c f x x xl n i n in in ------+--===-+-=⋅⋅-+-=⋅⋅-+⎰⎰故f (x )的傅里叶级数的复数形式为()()()()π21π1sinh1e 1πn in xn in f x n ∞=-∞⋅--=+∑ (x ≠2k +1，k =0,±1,±2,…)38.求矩形脉冲函数(),00,A t T f t ≤≤⎧=⎨⎩其他的傅氏变换。

高等数学教材习题答案

高等数学教材习题答案第一章：函数与极限1. 习题一答案：1）a) f(-3) = -2b) f(2) = 4c) f(0) = 12）a) g(-1) = -1b) g(0) = 0c) g(2) = 93) f(g(1)) = f(1) = 32. 习题二答案：a) 导数不存在的点：x = -1, 1, 2b) 间断点：x = 0, 1c) f(x)在(-∞, -1) ∪ (-1, 0) ∪ (0,1) ∪ (1, 2) ∪ (2, +∞)上连续3. 习题三答案：a) 极限存在，为1b) 极限存在，为2c) 极限不存在第二章：导数与微分1. 习题一答案：a) f'(x) = 3x^2 + 4x + 5b) f'(x) = 4x^3 + 2x^2 - 8xc) f'(x) = -cos(x)2. 习题二答案：a) f'(x) = -2sin(2x)b) f'(x) = -4x^-5 + 3x^-4c) f'(x) = -5e^(-5x)3. 习题三答案：a) f'(x) = 2x + 1b) f'(x) = 4x^3 + 3x^2 - 2xc) f'(x) = 2cos(x)第三章：微分中值定理与导数应用1. 习题一答案：a) -∞ < x < -1 或者 -1 < x < 1 或者 x > 1b) -∞ < x < 0 或者 x > 0c) -∞ < x < 1 或者 x > 12. 习题二答案：a) 在c = 2的时候，函数在区间[-1, 1]上满足罗尔定理的条件b) 在c = -1的时候，函数在区间[-2, 2]上满足罗尔定理的条件c) 在c = 1的时候，函数在区间[-5, 5]上满足罗尔定理的条件3. 习题三答案：a) 在x = 2附近存在驻点b) 在x = -1附近存在极小值点c) 在x = 0附近存在极大值点第四章：不定积分1. 习题一答案：a) F(x) = x^3 + 4x^2 + 3x + 1 + Cb) F(x) = 4x^3 + 3x^2 + 2x + 1 + Cc) F(x) = -3x + cos(x) + C2. 习题二答案：a) F(x) = -cos(2x) + Cb) F(x) = -6x^-4 + x^-3 + 2x + Cc) F(x) = e^(-5x) + C3. 习题三答案：a) F(x) = x^2 + x + 1 + Cb) F(x) = x^4 + x^3 - x^2 + Cc) F(x) = 2sin(x) + C注意：以上只是题目习题的答案示例，实际上数学题目答案有多种可能性，需要根据具体问题进行求解验证。

大学高等数学习题及答案

高等数学（A）1习题1-11.求下列函数的自然定义域：(3)y =1-1-x 2x⎧1-x 2≥0⎧-1≤x ≤1解：由⎨，所以函数的定义域为：[-1,0)⋃(0,1]⇒⎨⎩x ≠0⎩x ≠0(7)y =arcsin(x -3)解：由-1≤x -3≤1⇒2≤x ≤4，所以函数的定义域为：[2,4]1(8)y =3-x +arctanx⎧3-x ≥0⎧x ≤3解：由⎨x ≠0⇒⎨x ≠0，所以函数的定义域为：(-∞,0)⋃(0,3]⎩⎩9.求下列函数的反函数：（1）y =3x +1解：由y 3=x +1⇒x =y 3-1，所以反函数为：y =x 3-11-xy =（2）1+x解：由y (1+x )=1-x ⇒x =1-x 1-yy =1+x1+y ，所以反函数为：习题1-21.下列各题中，哪些数列收敛？哪些数列发散？1(2){(-1)n }n 收敛.且极限为0.⎧n -1⎫(4)⎨⎬n +1⎩⎭收敛，且极限为12n -1(6){3n }2n -12n 1n收敛.且因为：3n =(3)-(3)，知极限为0.习题1-3x |x |当x →0时的左、右极限，并说明它们在x →0时的极限4.求f (x )=,φ(x )=x x 是否存在.解：x →0lim -f (x )=lim -x →0x →0x x=lim -1=1,lim +f (x )=lim +=lim +1=1x →0x →0x x →0x x →0∴lim f (x )=1|x |-x |x |x=lim -lim(-1)=-1,lim φ(x )=lim =lim =lim +1=1x →0x →0x x →0x x →0-x →0+x →0+x x →0+x x →0∴lim φ(x )不存在.lim -φ(x )=lim -x →0习题1-44.求下列极限并说明理由.（1）lim x →∞2x +1x2x +1112x +1=2+,而lim =0,由定理1可知：lim =2.解：x x →∞x →∞x x x 1-x 2(2)lim x →∞1-x1-x 2(1-x )(1+x )1-x 2=1+x ，而lim x =0,由定理1可知：lim =1解：1-x =x →0x →01-x1-x 习题1-51.计算下列极限.x 2-32（2）x lim →3x +1解：lim x →x -3x →30===023x +1lim(x 2+1)4x →32lim(x 2-3)x 2-2x +1（3）lim x →1x 2-1x 2-2x +1(x -1)2x -1lim =lim =lim =0解：x →1x 2-1x →1(x +1)(x -1)x →1x +14x 3-2x 2+x （4）lim x →03x 2+2x 解：lim 4x -2x +x 4x -2x +1=lim =x →0x →03x 2+2x 3x +2322lim(4x 2-2x +1)x →0lim(3x +2)x →0=1=02x 2-1（7）lim x →∞2x 2-x -11)2x -11x →∞x lim =lim ==解：x →∞2x 2-x -1x →∞111122--2lim(2--2)x x x →∞x x 21-1x 2lim(1-x 2-6x +8（9）lim x →4x 2-5x +4x 2-6x +8(x -4)(x -2)(x -2)2lim =lim =lim 解：x →4x 2-5x +4x →4(x -4)(x -1)x →4(x -1)=3习题1-61.计算下列极限：1-cos2x lim （5）x →0x sin x 1-cos2x 2sin 2x sin xlim =lim =2lim =2⋅1=2解：x →0x sin x x →0x sin x x →0x 2.计算下列极限.-x )（1）lim(1x →0-1lim(1-x )=lim[(1+(-x ))]=e 解：x →0x →01x1-x -11x+2x )（2）lim(1x →02lim(1+2x )=lim[(1+2x )]=e 解：x →0x →01x12x 21x习题1-75.利用等价无穷小的性质，求下列极限：tan3xlim （1）x →02x tan3x ~3x ,∴lim 解：当x →0时，（3）lim x →0tan3x 3x 33=lim =lim =x →0x →02x x →022x 2tan x -sin xsin 3x 1x ⋅x 2tan x -sin x tan x (1-cos x )2=lim 1=1lim =lim =lim 333x →0x →0x →0x →02sin xsin x x 2解：1(x →0,tan x ~x ,1-cos x ~x 2,sin 3x ~x 3)2习题1-83.下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于哪一类，如果是可去间断点，那么补充或改变函数的定义使它连续：x 2-1（1）y =x 2-3x +2，x =1,x =2解：在x =1点，lim y =lim x →1(x -1)(x +1)(x +1)=lim =-2x →1(x -1)(x -2)x →1(x -2)故x =1点为第一类中的可去间断点.如果补充f (1)=-2,则f (x )在x =2点连续。

《高等数学》习题答案 (6)

练习一练习 1-11．求下列函数的定义域. (1) 22x x y -+=； (2) )21arcsin(+=x y ； (3) xxy sin =； (4) )4)(1lg()3)(2(1x x x x y -+++-=．2．下列各题中，函数)(x f 与)(x g 是否相同？为什么？ (1) x x f =)(, 2)(x x g =；(2) 2ln )(u x f =, u x g ln 2)(=； (3) 1)(=x f , x x x g 22cos sin )(+=； (4) 2)(π=x f , x x x g arccos arcsin )(+=．3. 求下列函数值.（1）设x x f arcsin )(=,求)0(f , )1(-f , )23(f ,)22(-f ．（2）设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3||,03|||,sin |)(ππϕx x x x , 求)4(πϕ,)6(πϕ-,)3(-ϕ． 4. 设)(x f 的定义域为)1,0(, 求)(2x f 、 )(sin x f 、 )1(xf 的定义域.5. (1)设1)(2+=x x f , 求)1(2+x f , ))(1(x f f . （2)设21)1(x x xf ++=，0>x ，求)(x f .（3）设2)1(x x f =-, 求)1(+x f .（4）设⎩⎨⎧≤<≤≤=+21,310,)1(3x x x x x ϕ ，求)(x ϕ.6．设21)(x e x f -=,x x g sin )(=，求)]([x f g .7．设⎩⎨⎧>≤=0,0,0)(x x x x ϕ, ⎩⎨⎧>-≤=0,0,0)(2x x x x ψ，求)]([x ϕϕ )]([x ψϕ．8. 将下列函数分解成若干个简单函数.(1) 3)34(+=x y ； (2) )sin 1tan(x e y +=； (3) )12(cos23+=x y ；(4) xx y -+=11ln； (5) 22)1(arcsin x y -= 。

《高等数学》习题答案 (16)

练习三练习 3—11．讨论下面问题（１）举例说明罗尔定理中导数的零点不一定唯一．（２）拉格朗日定理和罗尔定理有何区别？它们之间有什么关系？（３）举例说明，拉格朗日定理中的条件只是充分条件而不是必要条件（举一个少一条件结论不成立的例子，再举一个不满足条件但结论成立的例子）．２．验证x x x f -=3)(在区间]3,0[上满足罗尔定理的条件，并求出定理中的ξ．３．函数25)(23-+-=x x x x f 在]0,1[-上是否满足拉格朗日定理条件，若满足，求出定理中的ξ．４．函数2)(x x f =与1)(3-=x x g 在]2,1[上是否满足柯西定理条件，若满足，求出定理中的ξ．５．设函数)2)(1)(2)(1()(++--=x x x x x x f ，证明0)(='x f 的根全为实数，并指出它们所在的区间．６．设)(x f 在],0[π上可导，证明存在一点ξ),0(π∈，使得0cos )(sin )(=+'ξξξξf f ．７．用拉格朗日定理证明，若)(x f 在),0[∞+上连续，且当0>x 时，0)(>'x f 而0)0(=f ，则当0>x 时，0)(>x f ．８．设)(x f 在),(b a 内可导，且C x f ≡')(，其中C 为常数，证明D Cx x f +=)(．９．证明下列不等式（１）|||sin sin |b a b a -≤-；（２）当1≥x 时，ex e x≥；（３）当b a <<0时，221arctan arctan 1a ab a b b a b +-<-<+-；（４）当0>x 时，x x xx<+<+)1ln(1；（５）当1,0><<n b a 时，)()(11a b nb a b a b nan n n n -<-<---．练习 3—2１．在某种变化趋势下，下列几种类型的极限哪些是未定式？哪些不是未定式？∞∞∞∞,1,0,1,0,0,0100．２．若)()(limx g x f x ''∞→不存在（∞除外），则)()(lim x g x f x ∞→也不存在，对吗？为什么？３．试说明下列函数不能用洛必达法则求极限．（1）x x xx x sin sin lim+-∞→ ；（2）xx x x sin 1sinlim20→；（3）)2sin1ln(sin )1(lim21x x x x π+-→；（4）xx xx x e e e e --∞→-+lim ．４．利用洛必达法则求极限（1）0lim →x bx axsin tan ； (2) a x →lim)0(>--a ax x a a x ；(3) 0lim→x x x x x x sin cos --； (4) 0lim →x x xx 3sin arcsin -． (5) ∞→x lima x x ln ； (6) 2lim π→x 8sec 6tan +-x x ； (7) +→0lim x xx2tan ln 7tan ln ； (8) +→1lim x )1ln(ln -⋅x x ；(9) 1lim →x )1ln 1(--x xx ； (10) 1lim →x 11-x x ； (11) +∞→x lim xx 1)arctan 2(-π； (12) +→0lim x x x ；(13) -→2lim πx xx 2sin )(tan ； (14) 1lim →x 2tanx xπ．)0()()1(32)1ln(132→+-+-+-=+-x x o nx x x x x n nn ．练习 3—31．设0)(x x x f =在的邻近有连续的二阶导数，证明)()(2)()(lim020000x f hx f h x f h x f h ''=--++→． 2．按)4(-x 的乘幂展开多项式435234+-+-x x x x ． 3．求函数x y =在40=x 的三阶泰勒展开式．4．求函数x y tan =的二阶麦克劳林公式． 5．求函数23)(2610++-=x x x x f 在10=x 处的泰勒展开式的前三项，并计算)03.1(f的近似值．练习 3—4１．下面命题正确吗？为什么？（１）若0>x 时，)()(x g x f '>'，则0>x 时，)()(x g x f >；（２）若)0()0(g f >，且当0>x 时，)()(x g x f '>'，则当0>x 时，)()(x g x f >；（３）若0)(=b f ，0)(<'x f )(b x a <<，则)(0)(b x a x f <<>；（４）若)()(b g b f =，)()(x g x f '<' )(b x a <<，则)()(x g x f >．2．确定下列函数的单调区间．（1）7186223---=x x x y ；（2）)0(82>+=x xx y ；（3）x e x y -=；（4） 212xxy +=；（5）)20(sin 2π≤≤-=x x x y ；（6）xx y 2)(ln =；（7）x x y ln 22-=；（8）)0())(2(2>--=a x a a x y ．3．证明下列不等式．（１）当0>x 时，221)1ln(1x x x x +>+++；（２）当20π<<x 时，x x x 2tan sin >+；（３）当1,1>>x a 时，)1(11-<--x ax x a a；（４）当0>x 时，1ln ≥-x x ；（５）当0≥x 时，xxx +≥+1arctan )1ln(；（６）当0>x 时，6sin 3x x x ->．4．证明方程x x =sin 只有一个实根．5．若在),(∞+-∞上0)0(,0)(<>''f x f ，证明xx f x F )()(=在区间)0,(-∞和),0(∞+上单调增加．练习 3 — 51．下面命题正确吗？为什么？（１）极值点一定是函数的驻点，驻点也一定是极值点；（２）若)(1x f 和)(2x f 分别是函数)(x f 在),(b a 上的极大值和极小值，则)()(21x f x f >；（３）若0)(0='x f ，0)(0=''x f ，则)(0x f 在0x 处没有极值． 2．求下列函数的极值．（1）2332x x y -=；（2）242x x y +-=；（3）)1ln(x x y +-=；（4）xx y ln =；（5）x x y -+=1；（6）144322++++=x x x x y ；（7）x e y xcos =；（8）xxee y -+=2；（9）xx y 1=；（10）32)1(2--=x y ；（11）x x y tan +=；（12）)20(cos sin 33π<<+=x xx y ．3．设函数x bx x a x f ++=2ln )(在2,121==x x 取得极值，试定出b a ,的值，问此时)(x f 在21,x x 是取极大值，还是极小值？4．试证：如果函数d cx bx ax y +++=23满足条件032<-ac b ，则该函数无极值．5．试问a 为何值时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值．练习３—６１．求下列函数在给定区间上的最大值和最小值．（１）]2,2[523123-+-=x x y ；（２）]4,0[2x x y +=；（３）),(32∞+-∞=x y ；（４）]2,1[)1ln(2-+=x y ；（５）),0(ln ∞+=xx y ；（６）]1,21[12-+=xx y ；（７）]4,0[11+-=x x y ；（８）),(22∞+-∞=-xe x y ．２．从一块边长为a 的正方形铁皮的各角上截去相等的方块，把四边折起来做成一个无盖的方盒，为了使这个方盒的容积最大，问应该截去多少？３．一块半径为R 的圆扇形铁皮，做一个锥形漏斗，问圆心角ϕ取多大时，做成的漏斗容积最大？４．用围墙围成面积为216平方米的一块矩形土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大的尺寸，才能使所用建筑材料最省？5．求内接与椭圆12222=+by a x 而面积最大的矩形的各边长．6．求内接与半径为R 的球内且体积最大的圆柱体的高．７．轮船甲位于轮船乙以东75海里处，以每小时12海里的速度向西行驶，而轮船乙以每小时6海里的速度向北行驶，问经过多少时间两船相距最近？８．对物体的长度进行了n 次测量，得n 个数,,21x x ．．．n x ,．现在要确定一个量x 使得它与测得的数值之差的平方和为最小，x 应是多少？９．生产某种商品x 个单位的利润是200001.05000)(x x x L -+=（单位：元）．问生产多少个单位商品时，获得的利润最大，最大利润是多少？练习３—７１．求下列函数的拐点及凸凹间．（１）32x x y -=；（２）3553x x y -=；（３）xe x y ++=4)1(；（４）)1ln(3+=x y ；（５）x e y arccot =；（６）3x y =．２．试证明曲线112+-=x x y 有三个拐点位于同一直线上．３．a 及b 为何值时，点)3,1(是曲线23bx ax y +=的拐点？４．试确定22)3(-=x k y 中k 的值，使曲线的拐点处的法线通过原点．５．求下列曲线的渐近线．（１）x y ln =；（２）xe y 11+=；（３）23)1(-=x x y ；（４）2)21(1x x y -+=．６．作出下列函数的图形．（１）2332x x y -=；（２）xe x y -=2；（３）22-=x x y ；（４）x x y arccot 2-=．练习３—８１．某产品生产x 单位的总成本C 为x 的函数2120011100)(x x C C +==，求（１）生产900单位时的总成本和平均单位成本；（２）生产900到1000单位时总成本的平均变化率；（３）生产900和1000单位时的边际成本；２．设某商品的需求函数为4145QP -=，总成本函数为Q C 30200+=，试求（１）当100=Q 时，总收益、平均收益和边际收益；（２）当100=Q 时，总利润、平均利润和边际利润；３．求函数xe y 4120=和ax y =（a 为常数）的弹性函数．４．设某商品需求函数为4P e Q -=，求需求弹性函数及5,4,3===P P P 时的需求弹性．。