导数单元测试(解析版)

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导数单元测试含答案逐题详解

章末测试一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的)1.在处的导数为（）A. B.2 C.2 D.1 解：=2x,当x=1时=2，故选C 2.下列求导数运算正确的是（） A. B. C. D. 解：A ）.， C ），D ），故选B3. .函数的单调增区间是（）A.(0,+∞)B.(－∞,－1)C.(－1,1)D.(1,+∞)解：令=3-3>0,得-1<x<1，故选C4.函数f(x)=x 有（）个极值点。

A 0B 1C 2D 3解：f(x)=, =有两个零点，故选C 5. 三次函数+5在内是增函数，则（）A.>0B.<0C.=1D.=解:依题意=3a +2>0在恒成立，所以>0，（注意a ），故选A6.与直线平行的曲线的切线方程为（）（A ）（B ）（C ）（D ）解：=3-6x=-3,得x=1,则y=-1,所以切线方程为y+1=-3(x-1)，故选B7. 对于R 上可导的任意函数f （x ），若满足（x －1）≥0，则必有（）A ．f （0）＋f （2）<2f （1） B. f （0）＋f （2）≤2f （1） C.f （0）＋f （2）≥2f （1） D. f （0）＋f （2）>2f （1）解：依题意，当x ≥1时，f '（x ）≥0，函数f （x ）在（1，＋∞）上是增函数；当x <1时，f '2x y =1=x x 2x ∆+'y 'y 2'11)1(x x x +=+='2)(log x 2ln 1x e xx 3'log 3)3(=x x x x sin 2)cos ('2-=2'11)1(xx x -=+3ln 3)3('x x =x x x x x x sin cos 2)cos (2'2-=33x x y -='y 2x 2)1(x -x x x +-232)('x f 1432+-x x x ax x f 2)(3+=),(+∞-∞∈x a a a a 31)('x f 2x ),(+∞-∞∈x a 0≠083=-+y x 1323+-=x x y 43-=x y 23+-=x y 34+-=x y 54-=x y 'y 2x f x '（）（x ）≤0，f （x ）在（－∞，1）上是减函数，故f （x ）当x ＝1时取得最小值，即有f （0）≥f （1），f （2）≥f （1），故选C 8.已知函数f (x )=x 2+sin x , 则y=f ′(x )的大致图象是（）解：f ′(x )=x+cosx,非奇函数也非偶函数，又在上x+cosx ，故选B 9．、函数f （x ）=x 3－3bx +3b 在（0，1）内有极小值，则 A.00 D.b <解：=3-3b, 因为有极小值则b>0,所以当=0得x=或x=-,由三次函数性质可知x=是极小值点，故0<<1，故选A 10.下图是的图像，则正确的判断个数是（1）f(x)在（-5，-3）上是减函数； 2）x=4是极大值点； 3）x=2是极值点；4）f(x)在（-2，2）上先减后增；A 0B 1C 2D 3 解：正确的判断是2）和4），故选C二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。

高中数学导数及其应用多选题单元测试及解析

高中数学导数及其应用多选题单元测试及解析一、导数及其应用多选题1．已知函数()xf x e =，()1ln22x g x =+的图象与直线y m =分别交于A 、B 两点，则（）A ．AB 的最小值为2ln2+B ．m ∃使得曲线()f x 在A 处的切线平行于曲线()g x 在B 处的切线C ．函数()()f x g x m -+至少存在一个零点D ．m ∃使得曲线()f x 在点A 处的切线也是曲线()g x 的切线【答案】ABD 【分析】求出A 、B 两点的坐标，得出AB 关于m 的函数表达式，利用导数求出AB 的最小值，即可判断出A 选项的正误；解方程()12ln 2m f m g e -⎛⎫''= ⎪⎝⎭，可判断出B 选项的正误；利用导数判断函数()()y f x g x m =-+的单调性，结合极值的符号可判断出C 选项的正误；设切线与曲线()y g x =相切于点()(),C n g n ，求出两切线的方程，得出方程组，判断方程组是否有公共解，即可判断出D 选项的正误.进而得出结论. 【详解】令()xf x e m ==，得ln x m =，令()1ln22x g x m =+=，得122m x e -=，则点()ln ,A m m 、122,m B e m -⎛⎫⎪⎝⎭，如下图所示：由图象可知，122ln m AB e m -=-，其中0m >，令()122ln m h m em -=-，则()1212m h m em-'=-，则函数()y h m '=单调递增，且102h ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，当102m <<时，0h m，当12m >时，0h m.所以，函数()122ln m h m e m -=-在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，所以，min 112ln 2ln 222AB h ⎛⎫==-=+⎪⎝⎭，A 选项正确； ()x f x e =，()1ln 22x g x =+，则()x f x e '=，()1g x x'=，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为()ln f m m '=，曲线()y g x =在点B 处的切线斜率为1212122m m g e e --⎛⎫'= ⎪⎝⎭，令()12ln 2m f m g e -⎛⎫''= ⎪⎝⎭，即1212m m e -=，即1221m me -=，则12m =满足方程1221m me -=，所以，m ∃使得曲线()y f x =在A 处的切线平行于曲线()y g x =在B 处的切线，B 选项正确；构造函数()()()1ln22xx F x f x g x m e m =-+=-+-，可得()1x F x e x'=-，函数()1xF x e x '=-在()0,∞+上为增函数，由于120F e ⎛⎫'=< ⎪⎝⎭，()110F e -'=>，则存在1,12t ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()10t F t e t '=-=，可得ln t t =-，当0x t <<时，()0F x '<；当x t >时，()0F x '>.()()min 1111ln ln ln 2ln 22222t t t F x F t e m e t m t m t ∴==-+-=-++-=+++-13ln 2ln 2022m m >+-=++>，所以，函数()()()F x f x g x m =-+没有零点，C 选项错误；设曲线()y f x =在点A 处的切线与曲线()y g x =相切于点()(),C n g n ，则曲线()y f x =在点A 处的切线方程为()ln ln my m ex m -=-，即()1ln y mx m m =+-，同理可得曲线()y g x =在点C 处的切线方程为11ln 22n y x n =+-，所以，()111ln ln 22m nn m m ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，消去n 得()11ln ln 202m m m --++=，令()()11ln ln 22G x x x x =--++，则()111ln ln x G x x x x x-'=--=-，函数()y G x '=在()0,∞+上为减函数，()110G '=>，()12ln 202G '=-<，则存在()1,2s ∈，使得()1ln 0G s s s'=-=，且1s s e =. 当0x s <<时，()0G x '>，当x s >时，()0G x '<.所以，函数()y G x =在()2,+∞上为减函数，()5202G =>，()17820ln 202G =-<，由零点存在定理知，函数()y G x =在()2,+∞上有零点，即方程()11ln ln 202m m m --++=有解. 所以，m ∃使得曲线()y f x =在点A 处的切线也是曲线()y g x =的切线. 故选：ABD. 【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及函数的最值、零点以及切线问题，计算量较大，属于难题.2．已知函数()1ln f x x x x=-+，()()1ln x x x x g --=，则下列结论正确的是（） A ．()g x 存在唯一极值点0x ，且()01,2x ∈ B ．()f x 恰有3个零点C ．当1k <时，函数()g x 与()h x kx =的图象有两个交点D ．若120x x >且()()120f x f x +=，则121=x x 【答案】ACD 【分析】根据导数求得函数()g x '在(0,)+∞上为单调递减函数，结合零点的存在性定，可判定A 正确；利用导数求得函数 ()f x 在(,0)-∞，(0,)+∞单调递减，进而得到函数 ()f x 只有2个零点，可判定B 不正确；由()g x kx =，转化为函数()()1ln x x x ϕ-=和 ()(1)m x k x =-的图象的交点个数，可判定C 正确；由()()120f x f x +=，化简得到 ()121()f x f x =，结合单调性，可判定D 正确. 【详解】由函数()()1ln x x x x g --=，可得 ()1ln ,0g x x x x '=-+>，则()2110g x x x''=--<，所以()g x '在(0,)+∞上为单调递减函数，又由 ()()110,12ln 202g g '=>=-+<，所以函数()g x 在区间(1,2)内只有一个极值点，所以A 正确；由函数()1ln f x x x x=-+，当0x >时，()1ln f x x x x=-+，可得 ()221x x f x x -+-'=，因为22131()024x x x -+-=---<，所以 ()0f x '<，函数()f x 在(0,)+∞单调递减；又由()10f =，所以函数在(0,)+∞上只有一个零点，当0x <时，()1ln()f x x x x =--+，可得 ()221x x f x x -+-'=，因为22131()024x x x -+-=---<，所以 ()0f x '<，函数()f x 在(,0)-∞单调递减；又由()10f -=，所以函数在(,0)-∞上只有一个零点，综上可得函数()1ln f x x x x=-+在定义域内只有2个零点，所以B 不正确；令()g x kx =，即()1ln x x x kx --=，即 ()1ln (1)x x k x -=-，设()()1ln x x x ϕ-=， ()(1)m x k x =-，可得()1ln 1x x x ϕ'=+-，则 ()2110x x xϕ''=+>，所以函数()x ϕ'(0,)+∞单调递增，又由()01ϕ'=，可得当(0,1)x ∈时， ()0x ϕ'<，函数()x ϕ单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，函数 ()x ϕ单调递增，当1x =时，函数()x ϕ取得最小值，最小值为()10ϕ=，又由()(1)m x k x =-，因为1k <，则 10k ->，且过原点的直线，结合图象，即可得到函数()()1ln x x x ϕ-=和 ()(1)m x k x =-的图象有两个交点，所以C 正确；由120x x >，若120,0x x >>时，因为 ()()120f x f x +=，可得()()12222222211111ln ln 1f x f x x x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=--+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()121()f x f x =，因为()f x 在(0,)+∞单调递减，所以 121x x =，即121=x x ，同理可知，若120,0x x <<时，可得121=x x ，所以D 正确. 故选：ACD.【点睛】函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从()f x 中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.3．已知函数()32f x x ax x c =+-+(x ∈R )，则下列结论正确的是（）．A ．函数()f x 一定存在极大值和极小值B ．若函数()f x 在1()x -∞，、2()x ，+∞上是增函数，则2123x x -≥ C ．函数()f x 的图像是中心对称图形D ．函数()f x 的图像在点00())(x f x ，(0x R ∈)处的切线与()f x 的图像必有两个不同的公共点【答案】ABC 【分析】首先求函数的导数2()3210f x x ax =+-='，再根据极值点与导数的关系，判断AB 选项；证明()()2()333a a af x f x f -++--=-，判断选项C ；令0a c ==，求切线与()f x 的交点个数，判断D 选项.【详解】A 选项，2()3210f x x ax =+-='的24120a ∆=+>恒成立，故()0f x '=必有两个不等实根，不妨设为1x 、2x ，且12x x <，令()0f x '>，得1x x <或2x x >，令()0f x '<，得12x x x <<，∴函数()f x 在12()x x ，上单调递减，在1()x -∞，和2()x ，+∞上单调递增， ∴当1x x =时，函数()f x 取得极大值，当2x x =时，函数()f x 取得极小值，A 对， B 选项，令2()3210f x x ax =+-='，则1223ax x +=-，1213x x ⋅=-，易知12x x <，∴213x x -==≥，B对， C 选项，易知两极值点的中点坐标为(())33a a f --，，又23()(1)()333a a a f x x x f -+=-+++-，∴()()2()333a a af x f x f -++--=-， ∴函数()f x 的图像关于点(())33aa f --，成中心对称，C 对，D 选项，令0a c ==得3()f x x x =-，()f x 在(0)0，处切线方程为y x =-，且3y xy x x =-⎧⎨=-⎩有唯一实数解，即()f x 在(0)0，处切线与()f x 图像有唯一公共点，D 错，故选：ABC ．【点睛】方法点睛：解决函数极值、最值综合问题的策略：1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.4．设函数()()()1f x x x x a =--，则下列结论正确的是（） A ．当4a =-时，()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的平均变化率为194B ．当1a =时，函数()f x 的图像与直线427y =有2个交点 C ．当2a =时，()f x 的图像关于点()1,0中心对称D ．若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，则当2a ≥时，()()120f x f x +≤ 【答案】BCD 【分析】运用平均变化率的定义可分析A ，利用导数研究()f x 的单调性和极值，可分析B 选项，证明()()20f x f x +-=可分析C 选项，先得出1x ，2x 为方程()23210x a x a -++=的两个实数根，结合韦达定理可分析D 选项．【详解】对于A ，当4a =-时，()()()14f x x x x =-+，则()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的平均变化率为()()()119123192221412⎛⎫⨯-⨯--⨯-⨯ ⎪⎝⎭=---，故A 错误；对于B ，当1a =时，()()23212f x x x x x x =-=-+，()()()2341311f x x x x x '=-+=--，可得下表：因为327f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10f =，()42227f =>，结合()f x 的单调性可知，方程()427f x =有两个实数解，一个解为13，另一个解在()1,2上，故B 正确；对于C ，当2a =时，()()()()()()()231211111f x x x x x x x x ⎡⎤=--=---=---⎣⎦，则有()()()()()()33211110f x f x x x x x +-=---+---=，故C 正确；对于D ，()()()1f x x x x a =--，()()()()()2121321f x x x a x x a x a x a '=--+--=-++，令()0f x '=，可得方程()23210x a x a -++=，因为()()22412130a a a ∆=-+=-+>，且函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，所以1x ，2x 为方程()23210x a x a -++=的两个实数根，则有()12122132x x a a x x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则()()()()()()1211122211f x f x x x x a x x x a +=--+--()()()()33221212121x x a x x a x x =+-++++()()()()()22212112212121212x x x x x x a x x x x a x x ⎡⎤=+-++++-++⎣⎦()()()22211221212221233a x x x x x x x x a ⎡⎤=+-+-+++⎢⎥⎣⎦ ()()()()()21242212113327a a a x x a a --⎡⎤=+-++=-+⋅⎢⎥⎣⎦因为2a ≥，所以()()120f x f x +≤，故D 正确；故选：BCD ．【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，平均变化率，极值等问题，本题的关键是选项D ，利用根与系数的关系，转化为关于a 的函数，证明不等式.5．阿基米德是伟大的物理学家，更是伟大的数学家，他曾经对高中教材中的抛物线做过系统而深入的研究，定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线C ：2yx 上两个不同点,A B 横坐标分别为1x ，2x ，以,A B 为切点的切线交于P 点.则关于阿基米德三角形PAB 的说法正确的有（）A ．若AB 过抛物线的焦点，则P 点一定在抛物线的准线上B ．若阿基米德三角形PABC ．若阿基米德三角形PAB 为直角三角形，则其面积有最小值14D ．一般情况下，阿基米德三角形PAB 的面积212||4x x S -=【答案】ABC 【分析】设出直线AB 的斜截式方程、点,A B 的坐标，根据导数的几何意义求出切线,PA PB 的方程，进而求出点P 的坐标，将直线AB 的方程和抛物线方程联立，得到一元二次方程以及该方程两根的和、积的关系.A ：把抛物线焦点的坐标代入直线AB 的斜截式方程中，根据抛物线的准线方程进行判断即可；B ：根据正三角形的性质，结合正三角形的面积公式进行判断即可；C ：根据直角三角形的性质，结合直角三角形的面积公式进行判断即可；D ：根据点到直线距离公式、两点间距离公式进行求解判断即可.. 【详解】由题意可知：直线AB 一定存在斜率，所以设直线AB 的方程为：y kx m =+，由题意可知：点221122(,),(,)A x x B x x ，不妨设120x x <<，由2'2yx y x ，所以直线切线,PA PB 的方程分别为：221112222(),2()y x x x x y x x x x -=--=-，两方程联立得：211122222()2()y x x x x y x x x x ⎧-=-⎨-=-⎩，解得：12122x x x y x x +⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以P 点坐标为：1212(,)2x x x x +，直线AB 的方程与抛物线方程联立得：2121220,y kx mx kx m x x k x x m y x=+⎧⇒--=⇒+==-⎨=⎩. A ：抛物线C ：2y x 的焦点坐标为1(0,)4，准线方程为 14y =-，因为AB 过抛物线的焦点，所以14m =，而1214x x m =-=-，显然P 点一定在抛物线的准线上，故本选项说法正确；B ：因为阿基米德三角形PAB 为正三角形，所以有||||PA PB =，= 因为 12x x ≠，所以化简得：12x x =-，此时221111(,),(,)A x x B x x -， P 点坐标为：21(0,)x -，因为阿基米德三角形PAB 为正三角形，所以有||||PA AB =，112x x =-⇒=，因此正三角形PAB，所以正三角形PAB的面积为11sin 6022︒==，故本选项说法正确；C ：阿基米德三角形PAB 为直角三角形，当PA PB ⊥时，所以1212121222121122122114PAPBx x x xx x kk x x x x x x x x ++--⋅=-⇒⋅=-⇒=---，直线AB 的方程为：14y kx =+所以P 点坐标为：1(,)24k -，点 P 到直线AB 的距离为：=||AB ===，因为12121,4x x k x x +==-，所以21AB k =+，因此直角PAB的面积为：2111(1)224k ⨯+=≥，当且仅当0k =时，取等号，显然其面积有最小值14，故本说法正确； D ：因为1212,x x k x x m +==-，所以1||AB x x ===-，点P 到直线AB 的距离为：212== 所以阿基米德三角形PAB的面积32121211224x x S x x -=⋅-=，故本选项说法不正确. 故选：ABC 【点睛】关键点睛：解决本题的关键就是一元二次方程根与系数关系的整体代换应用，本题重点考查了数学运算核心素养的应用.6．设函数3()(,)f x x ax b a b R =++∈，下列条件中，使得()y f x =有且仅有一个零点的是（） A ．1,2a b == B ．3,3a b =-=- C ．0,2a b >< D ．0,0a b <>【答案】ABC 【分析】求导2()3f x x a '=+，分0a ≥和0a <进行讨论，当0a ≥时，可知函数单调递增，有且只有一个零点；当0a <时，讨论函数的单调性，要使函数有一个零点，则需比较函数的极大值与极小值与0的关系，再验证选项即可得解. 【详解】3()f x x ax b =++，求导得2()3f x x a '=+当0a ≥时，()0f x '≥，()f x ∴单调递增，当x →-∞时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞；由零点存在性定理知，函数()f x 有且只有一个零点，故A ，C 满足题意；当0a <时，令()0f x '=，即230x a +=，解得13ax -=-，23a x -= 当x 变化时，()'f x ，()f x 的变化情况如下表：x,3a ⎛⎫--∞- ⎪ ⎪⎝⎭3a-- ,33a a ⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭3a- ,3a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭()'f x+-+()f x极大值极小值故当3ax -=-，函数()f x 取得极大值2333333a a a a a a f a b b ⎛⎫-----=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，当3a x -=，函数()f x 取得极小值2333333a a a a a a f a b b ⎛⎫-----=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭又当x →-∞时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞；要使函数()f x 有且只有一个零点，作草图或则需0303a f a f ⎧⎛--<⎪ ⎪⎝⎨-⎪<⎪⎩，即20332033a a b a a b ⎧-<⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩，即2033a ab -<<，B 选项，3,3a b =-=-，满足上式，故B 符合题意；则需0303a f a f ⎧⎛-->⎪ ⎪⎝⎨-⎪>⎪⎩，即20332033a ab a a b ⎧->⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩，即2033a ab ->>，D 选项，0,0a b <>，不一定满足，故D 不符合题意；故选：ABC 【点睛】思路点睛：本题考查函数的零点问题，如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b <，那么，函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根，考查学生的逻辑推理与运算能力，属于较难题.7．关于函数()sin ,(,)x f e x x x π∈-=+∞+，下列结论正确的有（） A ．()f x 在(0,)+∞上是增函数 B ．()f x 存在唯一极小值点0x C ．()f x 在(,)π-+∞上有一个零点 D ．()f x 在(,)π-+∞上有两个零点【答案】ABD 【分析】根据函数()f x 求得()'f x 与()f x ''，再根据()0f x ''>在(,)π-+∞恒成立，确定()'f x 在(,)π-+∞上单调递增，及(0,)x ∈+∞()0f x '>，且存在唯一实数03(,)42x ππ∈--，使0()=0f x '，从而判断A ，B 选项正确；再据此判断函数()f x 的单调性，从而判断零点个数.【详解】由已知()sin ,(,)x f e x x x π∈-=+∞+得()cos x f x e x '=+，()sin xf x e x ''=-，(,)x π∈-+∞，()0f x ''>恒成立，()'f x 在(,)π-+∞上单调递增，又3423()0,()0,(0)20422f e f e f ππππ--'''-=-<-=>=>(0,)x ∴∈+∞时()(0)0f x f ''>>，且存在唯一实数03(,)42x ππ∈--，使0()=0f x '，即00cos x e x =-，所以()f x 在(0,)+∞上是增函数，且()f x 存在唯一极小值点0x ，故A,B 选项正确. 且()f x 在0(,)x π-单调递减，0(,)x +∞单调递增，又()00f eππ--=+>，000000()sin sin cos )04x f x e x x x x π=+=-=-<，(0)10=>f ，所以()f x 在(,)π-+∞上有两个零点，故D 选项正确，C 选项错误.故选：ABD. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．8．设函数()()1x af x a x a =->的定义域为()0,∞+，已知()f x 有且只有一个零点，下列结论正确的有（） A ．a e =B ．()f x 在区间()1,e 单调递增C ．1x =是()f x 的极大值点D ．()f e 是()f x 的最小值【答案】ACD 【分析】()f x 只有一个零点，转化为方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，即ln ln x ax a=只有一个正根．利用导数研究函数ln ()xh x x=的性质，可得a e =，判断A ，然后用导数研究函数()x e f x e x =-的性质，求出()'f x ，令()0f x '=，利用新函数确定()'f x 只有两个零点1和e ，并证明出()'f x 的正负，得()f x 的单调性，极值最值．判断BCD ．【详解】()f x 只有一个零点，即方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，x a a x =，取对数得ln ln x a a x =，即ln ln x ax a=只有一个正根．设ln ()xh x x =，则21ln ()x h x x-'=，当0x e <<时，()0h x '>，()h x 递增，0x →时，()h x →-∞，x e >时，()0h x '<，()h x 递减，此时()0h x >，max 1()()h x h e e==． ∴要使方程ln ln x ax a =只有一个正根．则ln 1a a e =或ln 0a a<，解得a e =或0a <，又∵1a >，∴a e =．A 正确；()x e f x e x =-，1()x e f x e ex -'=-，1()0x e f x e ex -'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，易知1x =和x e =是此方程的解．设()(1)ln 1p x e x x =--+，1()1e p x x-'=-，当01x e <<-时，()0p x '>，()p x 递增，1x e >-时，()0p x '<，()p x 递减，(1)p e -是极大值，又(1)()0p p e ==，所以()p x 有且只有两个零点，01x <<或x e >时，()0p x <，即(1)ln 1e x x -<-，11e x x e --<，1e x ex e -<，()0f x '>，同理1x e <<时，()0f x '<，所以()f x 在(0,1)和(,)e +∞上递增，在(1,)e 上递减，所以极小值为()0f e =，极大值为(1)f ，又(0)1f =，所以()f e 是最小值．B 错，CD 正确．故选：ACD ．【点睛】关键点点睛：本题考用导数研究函数的零点，极值，单调性．解题关键是确定()'f x 的零点时，利用零点定义解方程，1()0x e f x e ex -'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，易知1x =和x e =是此方程的解．然后证明方程只有这两个解即可．9．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，其导函数()f x '满足()1f x x'<，且()11f =，则下列结论正确的是（） A ．()2f e > B ．10f e ⎛⎫> ⎪⎝⎭C ．()1,x e ∀∈，()2f x <D ．1,1x e ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭， ()120x f x f ⎛⎫+> ⎪⎝⎭-【答案】BCD 【分析】令()()ln F x f x x =-，求导得：'1()()0F x f x x'=-<，可得函数的单调性，再结合(1)1f =，可得(1)1F =，对选项进行一一判断，即可得答案；【详解】令()()ln F x f x x =-，∴'1()()0F x f x x'=-<， ()F x ∴在(0,)+∞单调递减， (1)1f =，(1)(1)1F f ∴==，对A ，()(1)()11()2F e F f e f e <⇒-<⇒<，故A 错误；以B ，111(1)()110eF F f f e e ⎛⎫⎛⎫>⇒+>⇒> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；对C ，(1,)()(1)()ln 1x e F x F f x x ∈∴<⇒-<，()1ln f x x ∴<+，(1.),ln (0,1)x e x ∈∈， 1ln (1,2)x ∴+∈，()2f x ∴<，故C 正确；对D ，111,1,,()x x F x F e x x ⎛⎫⎛⎫∈>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1ln ln f x x f x x ⎛⎫⇒->+ ⎪⎝⎭1()2ln f x f x x ⎛⎫⇒-> ⎪⎝⎭，1,1,ln (1,0)x x e ⎛⎫∈∴∈- ⎪⎝⎭，1()2f x f x ⎛⎫∴->- ⎪⎝⎭1()20f x f x ⎛⎫⇒-+> ⎪⎝⎭，故D 正确；故选：BCD. 【点睛】根据条件构造函数，再利用导数的工具性研究函数的性质，是求解此类抽象函数问题的关键.10．已知函数1()2ln f x x x=+，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =，()()*1N n n a f a n +=∈，则下列有关数列{}n a 的叙述正确的是（）A ．21a a C ．100100S <D ．112n n n a a a +⋅+<【答案】AB 【分析】A ．计算出2a 的值，与1a 比较大小并判断是否正确；B ．利用导数分析()f x 的最小值，由此判断出1n a >是否正确；C ．根据n a 与1的大小关系进行判断；D ．构造函数()()1ln 11h x x x x =+->，分析其单调性和最值，由此确定出1ln 10nn a a +->，将1ln 10n na a +->变形可得112n n a a ++>，再将112n n a a ++>变形可判断结果.【详解】A 选项，3221112ln 2ln 4ln 2222a e =+=+<+=，A 正确；B 选项，因为222121()x f x x x x='-=-，所以当1x >时，()0f x '>，所以()f x 单增，所以()(1)1f x f >=，因为121a =>，所以()11n n a f a +=>，所以1n a >，B 正确； C 选项，因为1n a >，所以100100S >，C 错误；D 选项，令1()ln 1(1)h x x x x =+->，22111()0x h x x x x-='=->，所以()h x 在(1,)+∞单调递增，所以()(1)0h x h >=，所以1ln 10nna a +->，则22ln 20n n a a +->，所以112ln 2n n n a a a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，即112n n a a ++>，所以112n n n a a a ++>，所以D 错误. 故选：AB. 【点睛】易错点睛：本题主要考查导数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项：（1）转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；（2）利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.。

高三数学三角函数与函数导数专题训练(含解析)

三角函数与函数导数单元测试一、选择题1、函数()()m nf x ax x =1-在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则m ，n 的值可能是（A ）1,1m n == (B) 1,2m n == (C) 2,1m n == (D) 3,1m n ==2、已知函数()xf x e x =+，对于曲线()y f x =上横坐标成等差数列的三个点A ，B ，C ，给出以下判断：①△ABC 一定是钝角三角形 ②△ABC 可能是直角三角形③△ABC 可能是等腰三角形 ④△ABC 不可能是等腰三角形其中，正确的判断是A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 3、设)(),(),(x h x g x f 是R 上的任意实值函数．如下定义两个函数()()x g f 和()()x g f •；对任意R x ∈,()()())(x g f x g f = ；()()())(x g x f x g f =•．则下列等式恒成立的是（）A ．()()()()()())(x h g h f x h g f ••=•B ．()()()()()())(x h g h f x h g f •=•C ．()()()()()())(x h g h f x h g f =D ． ()()()()()())(x h g h f x h g f •••=••4、已知函数2()1,()43,x f x e g x x x =-=-+-若有()(),f a g b =则b 的取值范围为 A ．[22,22]-+ B ．(22,22)-+ C ．[1,3] D ．(1,3)5、设直线x t =与函数2(),()ln f x x g x x ==的图像分别交于点,M N ，则当||MN 达到最小时t 的值为（）A ．1 B ．12 C ．52 D ．226、设函数⎩⎨⎧>-≤=-1,log 11,2)(21x x x x f x ，则满足2)(≤x f 的x 的取值范围是A ．1[-，2]B ．[0，2]C ．[1，+∞]D ．[0，+∞]7、函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R ∈x ，2)(>'x f ，则42)(+>x x f 的解集为A ．（1-，1）B ．（1-，+∞）C ．（∞-，1-）D ．（∞-，+∞）8、函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（A ）2 (B) 4 (C) 6 (D)89、函数2sin 2xy x =-的图象大致是10）已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时,3()f x x x =-,则函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）911、设函数()()212log ,0log ,0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是（）．Ａ．()()1001,,-Ｂ．()()11,,-∞-+∞Ｃ．()()101,,-+∞Ｄ．()()101,,-∞-12、设函数()22g x x =-()x ∈R ，()()()()()4,,,,g x x x g x f x g x x x g x ++<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩则()f x 的值域是（）．Ａ．()9,01,4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦Ｂ．[)0,+∞，Ｃ．9,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ Ｄ．()9,02,4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦13、若02πα＜＜，02πβ-＜＜，1cos()43πα+=，3cos()423πβ-=，则cos()2βα+=A ．33B ．33-C ．39D ．69-y0.1xO0.14已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是（A ）,()36k k k Z ππππ⎧⎫-+∈⎨⎬⎩⎭ （B ）,()2k k k Z πππ⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭（C ）2,()63k k k Z ππππ⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭ （D ）,()2k k k Z πππ⎧⎫-∈⎨⎬⎩⎭15）设函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+++(0,||)2πωϕ><的最小正周期为π，且()()f x f x -=则（A ）()y f x =在(0,)2π单调递减（B ）()y f x =在3(,)44ππ单调递减（C ）()y f x =在(0,)2π单调递增（D ）()y f x =在3(,)44ππ单调递增二、填空题16\如图，△ABC 中，AB=AC=2，BC=23，点D 在BC 边上，∠ADC=45°，则AD 的长度等于______。

导数单元测试题(含答案)

导数单元测试题(含答案)Derivative Unit Test ns (Experimental Class)I。

Multiple Choice ns1.The n of the tangent line to the curve y = -x + 3x at point (1,2) is ()A。

y = 3x-1 B。

y = -3x+5 C。

y = 3x+5 D。

y = 2x2.The maximum value of the n f(x) = x^2ex+1.x∈[-2,1] is ()A。

4e-1 B。

0 C。

e^2 D。

3e^23.If the n f(x) = (3/2)x^3+ax has three different zeros。

then the range of real number a is ()A。

(2,2) B。

2,2 C。

(0,1) D。

(1,)4.If the n f(x) = x^3+6bx^2+3b has a local minimum at (0,1)。

then the range of real number b is ()A。

(0,) B。

(,1) C。

(0,1) D。

(1,)5.If a>2.then the n f(x) = (3x-1)/(3ax^2+1) has exactly (。

) zeros in the interval (0,2).A。

1 B。

3 C。

2 D。

None6.The area of the triangle enclosed by the tangent line of the curve y=e^x at point (2,e) and the coordinate axes is ()A。

e B。

2e^2 C。

e^2 D。

e^2/27.The graph of the n f(x) is shown in the figure below。

导数单元测试(含答案)doc资料

导数单元测试【检测试题】一、选择题1. 设函数y二f(x)可导，则lim丄I x)-f(1)等于( ).I 3A x1A . f '(1)B . 3f'(1) C. — f '(1) D .以上都不对32. 已知函数f(x)=ax2+ c,且f (1)=2,则a的值为( )A.1B. 2C. —1D. 03 . f (x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x), g(x)满足f'(x) = g'(x),则f (x)与g(x)满足( )A f(x) =2g(x)B f(x)-g(x)为常数函数C f(x)=g(x)=0D f(x) g(x)为常数函数4. 三次函数y=ax3在内是增函数，贝U ( )1A. a 0B. a 0C. a=1D. a=—335. 已知函数y = x -3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c=( )(A ) -2 或 2 ( B) -9 或 3 ( C) -1 或 1 ( D) -3 或 16. f'(x0)=0是可导函数y=f(x)在点x=X0处有极值的()A.充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .非充分非必要条件7.曲线f (x) = x3+ x- 2在p0处的切线平行于直线y = 4x- 1，贝U P0点的坐标为( )A (1,0)B (2,8)C (1,0)和(-1,旳D&设函数f(x)在R上可导，其导函数为f'(X)，且函数y=(1_x)f'(x)的图像如题(8)图所示，则下列结论中一定成立的是( )(A )函数f(x)有极大值f (2)和极小值f(1)(B)函数f(X)有极大值f(—2)和极小值f(1)(C) 函数f (x)有极大值f⑵和极小值f ( _2)(D) 函数f(x)有极大值口一2)和极小值彳⑵9.已知函数y = f (x), y二g(x)的导函数的图象如下左图，那么y = f (x) , y二g(x)的图象可能是二、填空题13.函数y =x 3 -x 2 -x 的单调区间为14•已知函数f(x) =x 3 ax 在R 上有两个极值点，则实数 a 的取值范围是15•已知函数f(x)=ax —lnx ，若f(x )A1在区间(1,址)内恒成立，则实数 a 的范围为 ___________________________316. f (x ) = ax — 3x +1 对 x € [ —1,1]总有 f (x ) >0 成立，则 a = ____________ . 三、解答题： 17.如图，一矩形铁皮的长为 8cm,宽为5cm,在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？318•已知函数 f(x)二 ax 3(a 2)x 2 6x-3 2(1)当a 2时，求函数f (x)极小值；2=2x 上两点A(x 1, y 1) > B(x 2, y 2)关于直线y = X ■ m 对称，且x 1 x 2于( )C .11.设点P 在曲线点Q 在曲线y = ln(2x)上，则PQ 最小值为((A)1 -I n2(C) 1 In 2(D)辽(1 In2)12.已知函数f(x) =ax 3-3x 2 • 1，若f (x)存在唯一的零点X o ，且X o > 0，则a 的取值范围为(A . (2, + g)B . (a, -2)C . (1, + g)D . (a, -1)10 .抛物线『即CM(2)试讨论曲线鸟二f(X)与X轴公共点的个数。

完整版)导数测试题(含答案)

完整版)导数测试题(含答案)1.已知函数y=f(x)=x^2+1，则在x=2，Δx=0.1时，Δy的值为0.41.2.函数f(x)=2x^2-1在区间(1,1+Δx)上的平均变化率为4+4Δx。

3.设f′(x)存在，则曲线y=f(x)在点(x，f(x))处的切线与x 轴相交但不垂直。

4.曲线y=-1/x在点(1，-1)处的切线方程为y=x-2.5.在曲线y=x^2上，且在该点处的切线倾斜角为π/4的点为(2,4)。

6.已知函数f(x)=1/x，则f′(-3)=-1/9.7.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是(2,∞)。

8.“函数y=f(x)在一点的导数值为0”是“函数y=f(x)在这点取极值”的充要条件。

9.函数f(x)在开区间(a,b)内的极小值点有2个。

10.函数f(x)=-x^2+4x+7，在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是f(3)和f(5)。

11.函数f(x)=x^3-3x^2-9x+k在区间[-4,4]上的最小值为-71.12.速度为零的时刻是0,1,4秒末。

13.已知函数 $y=f(x)=ax^2+2x$，且 $f'(1)=4$，则 $a=3$。

14.已知函数 $y=ax^2+b$ 在点 $(1,3)$ 处的切线斜率为 $2$，则 $b=a+1$。

15.函数 $y=x e^x$ 的最小值为 $-1/e$。

16.有一长为 $16$ m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是 $64$ $m^2$。

17.(1) $y'=6x+\cos x$；(2) $y'=\dfrac{1}{(1+x)^2}$；(3)$y'=\dfrac{1}{x}-e^x$。

18.(1) 解方程 $x^2+4=x+10$ 得 $x=3$ 或 $x=-2$，故交点为 $(3,13)$ 或 $(-2,0)$；(2) 在交点 $(3,13)$ 处，抛物线的斜率为 $6$，故该点处的切线方程为 $y=6x-5$。

导数高中试题及解析答案

导数高中试题及解析答案1. 计算函数 $ f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x $ 在 $ x = 1 $ 处的导数。

解析：首先，我们需要找到函数 $ f(x) $ 的导数。

根据导数的定义，我们有：\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 2x) \]对每一项分别求导，我们得到：\[ f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 \]现在，将 $ x = 1 $ 代入 $ f'(x) $ 得到：\[ f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 2 = 3 - 6 + 2 = -1 \]答案：函数 $ f(x) $ 在 $ x = 1 $ 处的导数为 $ -1 $。

2. 已知函数 $ g(x) = \sin(x) $，求 $ g'(x) $。

解析：根据三角函数的导数规则，我们知道 $ \sin(x) $ 的导数是$ \cos(x) $。

因此，我们可以直接写出 $ g(x) $ 的导数：\[ g'(x) = \cos(x) \]答案：函数 $ g(x) $ 的导数是 $ \cos(x) $。

3. 计算复合函数 $ h(x) = (x^2 - 1)^4 $ 的导数。

解析：这是一个复合函数，我们可以使用链式法则来求导。

首先，设$ u = x^2 - 1 $，那么 $ h(x) = u^4 $。

对 $ u $ 求导得到：\[ u' = \frac{d}{dx}(x^2 - 1) = 2x \]然后，对 $ h(x) $ 求导：\[ h'(x) = \frac{d}{dx}(u^4) = 4u^3 \cdot u' = 4(x^2 - 1)^3\cdot 2x \]答案：复合函数 $ h(x) $ 的导数是 $ 8x(x^2 - 1)^3 $。

导数考试题型及答案详解

导数考试题型及答案详解一、选择题1. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2的导数是：A. 2x + 3B. x^2 + 2C. 2x + 6D. 3x + 2答案：A2. 若f(x) = sin(x)，则f'(π/4)的值是：A. 1B. √2/2C. -1D. -√2/2答案：B二、填空题1. 求函数g(x) = x^3 - 2x^2 + x的导数，g'(x) = __________。

答案：3x^2 - 4x + 12. 若h(x) = cos(x)，求h'(x) = __________。

答案：-sin(x)三、解答题1. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2的导数，并求f'(2)的值。

解：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。

然后将x = 2代入得到f'(2) = 3 * 2^2 - 12 * 2 + 9 = 12 - 24 + 9 = -3。

2. 已知函数y = ln(x)，求y'。

解：根据对数函数的导数公式，y' = 1/x。

四、证明题1. 证明：若函数f(x) = x^n，其中n为常数，则f'(x) = nx^(n-1)。

证明：根据幂函数的导数公式，对于任意实数n，有f'(x) = n * x^(n-1)。

五、应用题1. 某物体的位移函数为s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 5，求该物体在t = 3时的瞬时速度。

解：首先求位移函数的导数s'(t) = 3t^2 - 12t + 9。

然后将t = 3代入得到s'(3) = 3 * 3^2 - 12 * 3 + 9 = 27 - 36 + 9 = 0。

因此，该物体在t = 3时的瞬时速度为0。

六、综合题1. 已知函数f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 5，求f'(x)，并求曲线y = f(x)在点(1, f(1))处的切线斜率。

导数单元测试题(含答案)

导数单元测试题(含答案)
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高二数学下册(必修三)导数单元测试卷及答案解析

高二数学下册（必修三）导数单元测试卷及答案解析一、单选题（本大题共8小题，共40分）1.（5分）函数f(x)在x =4处的切线方程为y =3x +5，则f(4)+f ′(4)=( )A. 10B. 20C. 30D. 402.（5分）设a 为实数，函数f (x )=x 3+ax 2+(a −2)x 的导函数是f ′(x)，且f ′(x)是偶函数，则曲线y =f (x )在原点处的切线方程为( )A. y =−2xB. y =3xC. y =−3xD. y =−4x3.（5分）若函数f(x)=x 2+lnx 的图像在(a,f(a))处的切线与直线2x +6y −5=0垂直，则a 的值为( )A. 1B. 2或14C. 2D. 1或124.（5分）已知函数f (x )={&ln (x +1),−1<x ⩽14 x 2+14,x >14 ，且关于x 的方程f (x )−kx =0恰有2个实数解，则实数k 的取值范围是( )A. [1,54] B. [54,+∞)C. [4ln 54,1]D. [4ln 54,1]⋃[54,+∞)5.（5分）曲线y =13x 3 在x =1处切线的倾斜角为( )A. 1B. −π4C. π4D.5π46.（5分）若曲线f(x)=x 4−4x 在点A 处的切线平行于x 轴，则点A 的坐标为( )A. (-1,2)B. (1,-3)C. (1,0)D. (1,5)7.（5分）曲线f(x)=e x lnx 在x =1处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )A. e4B. e2C. eD. 2e8.（5分）曲线f(x)=x 2+3x 在点A(1,4)处的切线斜率为( )A. 2B. 5C. 6D. 11二、多选题（本大题共5小题，共25分） 9.（5分）下列命题中是真命题有()A. 若f′(x0)=0，则x0是函数f(x)的极值点B. 函数y=f(x)的切线与函数可以有两个公共点C. 函数y=f(x)在x=1处的切线方程为2x−y=0，则f′(1)=2D. 若函数f(x)的导数f′(x)<1，且f(1)=2，则不等式f(x)>x+1的解集是(−∞,1)10.（5分）若函数y=f(x)的图象上存在两点，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则称函数y=f(x)具有“T性质”.则下列函数中具有“T性质”的是()A. y=xe x B. y=cosx+1 C. y=1x3D. y=ln2log2x11.（5分）已知函数f(x)=x+√2x图象上的一条切线与g(x)=x的图象交于点M，与直线x=0交于点N，则下列结论不正确的有()A. 函数f(x)的最小值为2√2B. 函数的值域为(−∞,−2√24]C. |MN|2的最小值为16−8√2D. 函数f(x)图象上任一点的切线倾斜角的所在范围为[0,π4]12.（5分）已知曲线上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a可能的取值()A. 196B. 3 C. 103D. 9213.（5分）设函数f(x)=x−ln|x|x，则下列选项中正确的是()A. f(x)为奇函数B. 函数y=f(x)−1有两个零点C. 函数y=f(x)+f(2x)的图象关于点(0,2)对称D. 过原点与函数f(x)相切的直线有且只有一条三、填空题（本大题共5小题，共25分）14.（5分）已知倾斜角为45°的直线l与曲线y=lnx−2x+1相切，则直线l的方程是 ______.15.（5分）已知曲线C：y=x3−3x2+2x，直线l过(0,0)与曲线C相切，则直线l的方程是______ ．16.（5分）函数f(x)={1−2x,x⩾012x2+2x,x<0，函数g(x)=k(x−2)，若方程f(x)=g(x)恰有三个实数解，则实数k的取值范围为__________.17.（5分）函数f(x)=√4x+1，则函数f(x)在x=2处切线的斜率为 ______.18.（5分）某物体作直线运动，其位移S与时间t的运动规律为S=t+2√t(t的单位为秒，S的单位为米)，则它在第4秒末的瞬时速度应该为______米/秒．四、解答题（本大题共5小题，共60分）19.（12分）已知函数f(x)=x3+x−16．(1)求曲线y=f(x)在点(2,−6)处的切线方程；(2)直线l为曲线y=f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．20.（12分）在抛物线C：y=ax2(a>0)上取两点A(m1,n1),B(m2,n2)，且m2−m1=4，过点A，B分别作抛物线C的切线，两切线交于点P(1,−3).(1)求抛物线C的方程；(2)设直线l交抛物线C于M，N两点，记直线OM，ON(其中O为坐标原点)的斜率分别为k OM,k ON，且k OM.k ON=−2，若ΔOMN的面积为2√3，求直线l的方程.21.（12分）已知函数f(x)=(x+a)lnx，g(x)=x 2e x.已知曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线2x−y=0平行．(1)求a的值；(2)证明：方程f(x)=g(x)在(1,2)内有且只有一个实根．22.（12分）设f(x)=ae x+1ae x+b(a>0)(I)设曲线y=f(x)在点(2,f(2))的切线方程为y=32x；求a，b的值．(II)求f(x)在[0,+∞)上的最小值．23.（12分）已知曲线y=13x3+43，(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；(3)求斜率为4的曲线的切线方程．参考答案与解析1.【答案】B;【解析】解：∵函数f(x)在x=4处的切线方程为y=3x+5，∴f′(4)=3，又f(4)=3×4+5=17，∴f(4)+f′(4)=17+3=20.故选：B.由已知可得f′(4)，在切线方程中取x=4求得f(4)，则答案可求．此题主要考查对数的几何意义及其应用，是基础题．2.【答案】A;【解析】此题主要考查导数的几何意义，函数的奇偶性，直线的点斜式方程，属于基础题.求导函数f′(x)，由f′(x)是偶函数求出a的值，然后根据导数的几何意义求切线方程.解：由f(x)=x3+ax2+(a−2)x，得，f′(x)=3x2+2ax+(a−2)，又∵f′(x)是偶函数，∴2a=0，即a=0，∴f′(x)=3x2−2，∴曲线y=f(x)在原点处的切线斜率为−2，曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=−2x，故选A.3.【答案】D;【解析】解：函数f(x)=x2+lnx的导数为f′(x)=2x+1x，在(a,f(a))处的切线的斜率为2a+1a，由切线与直线2x+6y−5=0垂直，可得−13(2a+1a)=−1，解得a=1或12，故选：D．求得f(x)的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，再由两直线垂直的条件，解方程可得所求值．此题主要考查导数的运用：求切线的斜率，以及两直线垂直的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4.【答案】C;【解析】此题主要考查了方程的根与函数的图象之间的关系应用及学生的作图能力，同时考查了导数的几何意义的应用，属于中档题．方程f(x)=kx恰有两个不同实数根，等价于y=f(x)与y=kx有2个交点，又k表示直线y= kx的斜率，求出k的取值范围．解：画出函数f(x)图象，可求得函数f(x)=ln(x+1)(−1<x⩽14)图象在点O(0,0)处的切线方程为y=x，过点O(0,0)且与函数f(x)=x2+14(x>14)图象相切的直线方程也为y=x，即得直线y=x为函数f(x)图象的切线，且有两个切点，切点为O(0,0)和A(12,12 )，关于x的方程f(x)−kx=0恰有2个实数解当且仅当直线y=kx函数f(x)图象有两个公共点，由图可知当且仅当k OB⩽k⩽k OA时符合题意，又k OA=1，k OB=ln(14+1)14=4ln54，则求得4ln54⩽k⩽1.故选C.5.【答案】C;【解析】解：∵y =13x 3，∴y ′=x 2，设曲线y =13x 3 在x =1处切线的倾斜角为α，根据导数的几何意义可知，切线的斜率k =y ′|x=1=12=1=tan α， ∴α=π4，即倾斜角为π4．故选C ．欲求在x =1处的切线倾斜角，先根据导数的几何意义可知k =y ′|x=1，再结合正切函数的值求出角α的值即可．该题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的性质可求倾斜角，本题属于容易题．6.【答案】B;【解析】解：f(x)=x 4−4x 的导数为f ′(x)=4x 3−4，设切点为A(m,n)，则n =m 4−4m ，可得切线的斜率为k =4m 3−4=0，解得m =1，n =−3.即A(1,−3)．故选：B ．求得函数的导数，设出切点A(m,n)，代入函数式，求得切线的斜率，令它为0，解得m ，n ，进而得到切点A 的坐标．该题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，设出切点和正确求导是解答该题的关键，属于基础题．7.【答案】B; 【解析】此题主要考查导数的几何意义及三角形面积公式，属于基础题，先求出曲线f(x)=e x lnx 在x =1处的切线方程，再其求与坐标轴的交点即可求得三角形面积;解：f ′(x)=e xlnx +e x x，则f ′(1)=e ，f(1)=0，∴曲线f(x)=e x lnx 在x =1处的切线方程为y =e(x −1)，令x=0，得y=−e，令y=0，得x=1，∴切线与坐标轴围成的三角形面积为S=12×e×1=e2.故选B.8.【答案】B;【解析】解：函数的导数为f′(x)=2x+3，所以函数在A(1,4)处的切线斜率k=f′(1)=2+3=5．故选：B．求曲线在点处得切线的斜率，就是求曲线在该点处得导数值．该题考查了导数的几何意义．导数的几何意义是指函数y=f(x)在点x0处的导数是曲线y= f(x)在点P(x0,y0)处的切线的斜率．它把函数的导数与曲线的切线联系在一起，使导数成为函数知识与解析几何知识交汇的一个重要载体．9.【答案】BCD;【解析】此题主要考查极值的概念，导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，利用单调性求解不等式，属于中档题．由题意结合知识点，逐个选项分析即可.解：选项A，若f′(x0)=0，x0不一定是函数f(x)的极值点，例如函数f(x)=x3，f′(0)=0，但x=0不是极值点，故错误；选项B，函数y=f(x)的切线与函数可以有两个公共点，例如函数f(x)=x3−3x，在x=1处的切线为y=−2与函数还有一个公共点为(−2,−2)，故正确；选项C，因为函数y=f(x)在x=1处的切线方程为2x−y=0，所以f′(1)=2，故正确. 选项D，令g(x)=f(x)−x−1，因为函数f(x)的导数f′(x)<1，则g′(x)=f′(x)−1<0，所以函数g(x)=f(x)−x−1在R上单调递减，又g(1)=f(1)−2=0，由不等式f(x) > x+1得g(x) > 0=g(1)，得x 1，所以不等式f(x) > x+1的解集是(−∞,1)，故正确．故选BCD.10.【答案】AB;【解析】解：由题意，可知若函数y =f(x)具有“T 性质”，则存在两点，使得函数在这两点处的导数值的乘积为−1，对于A ，(xe x )′=1−x e x，满足条件；对于B ，(cosx +1)′=−sinx ，满足条件；对于C ，(1x 3)′=−3x 4<0恒成立，负数乘以负数不可能得到−1，不满足条件；对于D ，(ln2log 2x)′=ln2.1xln2=1x >0恒成立，正数乘以正数不可能得到−1，不满足条件．故选：AB.分别求出四个选项中函数的导函数，看是否满足存在两点，使得函数在这两点处的导数值的乘积为−1即可．此题主要考查导数的几何意义及应用，考查化归与转化思想，关键是熟记基本初等函数的导函数，是中档题．11.【答案】ABD; 【解析】此题主要考查导数的运算和几何意义以及基本不等式求最值，属于中档题. 由题意和导数的运算结合基本不等式，逐个选项验证正误即可. 解：已知f(x)=x +√2x，当x >0时，f(x)=x +√2x⩾2√24，当x <0时，f(x)=x +√2x⩽−2√24，故选项A 、B 不正确;设直线l 与函数f(x)的图象相切于点(x 0,x 02+√2x 0)，函数f(x)的导函数为f ′(x)=1−√2x 2=x 2−√2x 2，则直线l 的方程为y −x 02+√2x 0=x 02−√2x 02(x −x 0)，即y =x 02−√2x 02x +2√2x 0，直线l 与g(x)=x 的交点为M(2x 0,2x 0)，与x =0的交点为N(0,2√2x 0)，所以|MN|2=4x 02+(2x 0−2√2x 0)2=8x 02+8x 02−8√2⩾16−8√2，当且仅当x 02=1时取等号，故选项C 正确; f ′(x)=1−√2x 2=x 2−√2x 2⩽1，可知切线斜率可为负值，即倾斜角可以为钝角，故选项D 不正确.故选ABD.12.【答案】AC;【解析】此题主要考查导数的几何意义和二次方程的实根的分布，考查运算能力，属于中档题．求出导数，由题意可得2x2−2x+a=3有两个不相等的正根，由此列出不等式组即可得到a 的取值范围，进而可得a的可能取值．解：f(x)=23x3−x2+ax−1的导数为f′(x)=2x2−2x+a，由题意可得2x2−2x+a=3有两个不相等的正根，则{Δ=28−8a>0a−32>0，解得3<a<72，故选：AC.13.【答案】BCD;【解析】解：函数f(x)=x−ln|x|x的定义域为{ x|x≠0}，f(−x)+f(x)=1−ln|−x|−x +1−ln|x|x=2≠0，所以f(x)不为奇函数，故A错误；由f(x)=1，可得ln|x|x=0，解得x=±1，故y=f(x)−1有两个零点，故B正确；由f(−x)+f(−2x)+f(x)+f(2x)=[f(−x)+f(x)]+[f(−2x)+f(2x)]=2+2=4，则函数y=f(x)+f(2x)的图象关于点(0,2)对称，故C正确；当x>0时，f(x)=1−lnxx ，f′(x)=−1−lnxx2，设过原点与f(x)相切的切点为(m,n)，则切线的方程为y−n=lnm−1m2(x−m)，即y−1+lnmm =lnm−1m2(x−m)，代入(0,0)，可得1+m=2lnm，设g(m)=2lnm−1−m，g′(m)=2m−1，当0<m<2时，g(m)递增，m>2时，g(m)递减，则g(m)的最大值为g(2)=2ln2−3<0，所以x>0时，不存在过原点的切线；当x<0时，f(x)=1−ln(−x)x ，f′(x)=−1−ln(−x)x2，设过原点与f(x)相切的切点为(s,t)(s<0)，则切线的方程为y−t=ln(−s)−1s2(x−s)，即y−1+ln(−s)s =ln(−s)−1s2(x−s)，代入(0,0)，可得1+s=2ln(−s)，设g(s)=2ln(−s)−1−s，g′(m)=2s−1<0，所以g(s)递减，则g(s)只有一个零点，所以x<0时，只存在一条过原点的切线．综上可得存在一条过原点的切线，故D正确．故选：BCD.由函数的奇偶性和零点、对称性、导数的几何意义，可得结论．此题主要考查导数的运用：求切线的方程，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．14.【答案】x−y+ln2−2=0;【解析】由直线的倾斜角求得直线的斜率，求出原函数的导函数，由导函数值为1求解切点坐标，再由直线方程的点斜式得答案．此题主要考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题．解：直线的倾斜角为45°，则直线的斜率为tan45°=1，由y=lnx−2x +1，得y′=1x+2x2，由y′=1x +2x2=1，解得x=−1(舍去)或x=2.∴切点坐标为(2,ln2)，则直线l的方程为y−ln2=1×(x−2)，即x−y+ln2−2=0.故答案为：x−y+ln2−2=0.15.【答案】y=−x或y=−14x或y=2x;【解析】求出函数的导数，结合直线关系即可得到结论．这道题主要考查函数的切线的求解，根据函数导数的几何意义是解决本题的关键．注意要进行分类讨论．解：函数的导数为f ′(x)=3x 2−6x +2，设切点为(a,b)，则k =f ′(a)=3a 2−6a +2，b =a 3−3a 2+2a ，则切线的方程y −b =(3a 2−6a +2)(x −a)，即y =(3a 2−6a +2)x −2a 3+9a 2−4a ， ∵直线l 过点(0,0)， ∴−2a 3+9a 2−4a =0，即2a 3−9a 2+4a =0，则a(a −4)(2a −1)=0，解得a =0或a =4或a =12，当a =1时，对应的直线方程为y =−x ，当a =12时，对应的直线方程为y =−14x ，当a =0时，对应的直线方程为y =2x ，故答案为：y =−x 或y =−14x 或y =2x16.【答案】(0,4-2√3) ; 【解析】此题主要考查函数的零点与方程的根之间的关系，函数的导数求解切线方程，考查数形结合以及计算能力，是难题．画f(x)={1−2x ,x ⩾012x 2+2x,x <0，的图象，结合直线g(x)=k(x −2)过定点(2,0)，函数g(x)的图象与f(x)=12x 2+2x ，x <0的图象相切时，函数f(x)，g(x)的图象恰有两个交点．设切点为P(x 0,y 0)，由f ˈ(x)=x +2，x <0，求出切线的斜率，利用函数的图象的交点个数与函数的零点个数，推出k 的范围即可．解：依题意，画出f(x)={1−2x,x⩾012x2+2x,x<0的图象如图：因为直线g(x)=k(x−2)过定点(2,0)，由图象可知，当函数g(x)的图象与f(x)=12x2+2x，x<0的图象相切时，函数f(x)，g(x)的图象恰有两个交点．下面利用导数法求该切线的斜率．设切点为P(x0,y0)，由fˈ(x)=x+2，x<0，则k=f′(x0)=x0+2=12x02+2x0x0-2，解得x0=2+2√3(舍去)或x0=2-2√3，则k=4−2√3，要使方程f(x)=g(x)恰有三个实数解，则函数f(x)，g(x)的图象恰有三个交点，结合图象可的实数k的取值范围为(0,4-2√3)，故答案为(0,4-2√3).17.【答案】23;【解析】解：由f(x)=√4x+1，得f′(x)=2(4x+1)−1 2，所以函数f(x)在x=2处切线的斜率k=f′(2)=23.故答案为：23.对f(x)求导，根据导数的几何意义，得到f(x)在x=2处的切线斜率．此题主要考查了利用导数研究函数的切线方程和导数的几何意义，属基础题．18.【答案】32;【解析】解：S=t+2√t，∴S′=1+√t，∴它在4秒末的瞬时速度为1+√4=32，故答案为：32．物理中的瞬时速度常用导数来求，故求出S的导数，代入4求值．该题考查变化的快慢与变化率，解答本题关键是理解导数的物理意义，由此转化为求导数的问题．19.【答案】解：(1)∵f′(x)=(x3+x−16)′=3x2+1，∴在点(2,−6)处的切线的斜率k=f′(2)=3×22+1=13，∴切线的方程为y=13x−32．(2)设切点为(x0,y0)，则直线l的斜率为f′(x0)=3x02+1，∴直线l的方程为y=(3x02+1)(x−x0)+x03+x0−16．又∵直线l过点(0,0)，∴0=(3x02+1)(−x0)+x03+x0−16，整理，得x03=−8，∴x0=−2，∴y0=(−2)3+(−2)−16=−26，直线l的斜率k=3×(−2)2+1=13，∴直线l的方程为y=13x，切点坐标为(−2,−26)．;【解析】(1)先求出函数的导函数，再求出函数在(2,−6)处的导数即斜率，易求切线方程．(2)设切点为(x0,y0)，则直线l的斜率为f′(x0)=3x02+1，从而求得直线l的方程，有条件直线1过原点可求解切点坐标，进而可得直线1的方程．此题主要考查直线的点斜式方程，属基础题型，较为简单．20.【答案】解：(1)由y=ax2(a>0)得y′=2ax(a>0)，则曲线在点A处的切线斜率为2am1，曲线在点A处的切线方程为y−am12=2am1(x−m1)，曲线在点A处的切线过点P(1,−3)，故am12−2am1−3=0①，同理可得曲线y=ax2(a>0)在点B处的切线方程为y−am22=2am2(x−m2)，∴am12−2am1−3=0②，①−②得m1+m2=2，m2−m1=4，∵m2−m1=4，∴m1=−1,m2=3，将m1=−1代入①，可得a=1，故抛物线方程为x2=y;(2)由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+b，与抛物线C的交点为M(x1,x12),N(x2,x22)，联立得{y=kx+bx2=y，得x2−kx−b=0，∴x1+x2=k,x1.x2=−b，∴k OM.k ON=x12x1.x22x2=x1x2=−2，可得b=2，∴直线l经过点(0,2)，∴SΔ=12×|OP|×|x1−x2|=2√3，∴|x1−x2|=2√3，∴k2=4，∴k=±2，经检验k=±2,b=2符合题意，∴直线l的方程为y=2x+2或y=2x−2.;【解析】此题主要考查了直线与抛物线涉及到利用导数求曲线的切线方程、抛物线的几何性质、直线方程的求法等知识，综合性较强.(1)利用导数，可以求出曲线在点A，B处的切线斜率为2am1，2am2，从而求出切线方程，得到关于m1,m2的关系式，可以求出m的值，从而求出切线方程；(2)设直线l的方程为y=kx+b，与抛物线C的交点为M(x1,x12),N(x2,x22)，联立得{y=kx+bx2=y，得x1+x2=k,x1.x2=−b，求出b=2，根据题意列方程求出k的值，从而求出直线方程.21.【答案】（本题满分为12分）解：（1）f′(x)=lnx+ax+1，由题意知，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，则f'（1）=2，所以a+1=2，解得a=1．…（4分）（2）令ˈ(x)=f(x)−g(x)=(x+1)lnx−x 2e x，x∈（1，2），则ˈ(1)=−1e ＜0，ˈ(2)=3ln2−4e2＞0，所以h（1）h（2）＜0，所以函数h（x）在（1，2）内一定有零点，…（8分）可得ˈ′(x)=lnx+x+1x −2x−x2e x(e x)2=lnx+1x+1−−(x−1)2+1e x＞1−1e＞0，∴h（x）在（1，2）上单调递增，所以函数h（x）在（1，2）内有且只有一个零点，即方程f（x）=g（x）在（1，2）内有且只有一个实根．…（12分）;【解析】(1)求得f(x)的导数，可得x=1处切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程即可得到所求值．(2)令ˈ(x)=f(x)−g(x)=(x+1)lnx−x2e x ，x∈(1,2)，由ˈ(1)=−1e<0，ˈ(2)=3ln2−4e2>0，可得函数ˈ(x)在(1,2)内一定有零点，进而证明ˈ′(x)>0，可得ˈ(x)在(1,2)上单调递增，即可得证．此题主要考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，考查函数的零点判定定理，正确求导是解答该题的关键，属于中档题．22.【答案】解：（I ）由题意得，f(x)=ae x +1aex+b ，则f ′(x)=ae x −1ae x，因为在点（2，f （2））的切线方程为y=32x ，所以{(f(2)=3f ′(2)=32)，即{(ae 2+1ae 2+b =3ae 2−1ae 2=32)，解得{(a =2e 2b =12)…（6分）（Ⅱ）设t=e x （t ≥1），则原函数化为：y =at +1at +b ，所以y ′=a −1at 2=a 2t 2−1at 2，令y ′=0，解得t=±1a ，（1）当a ≥1时，则y ′＞0在[1，+∞）上成立，所以函数y =at +1at +b 在[1，+∞）上是增函数，则当t=1（x=0）时，函数f （x ）取到最小值是a +1a +b ；（2）当0＜a ＜1时，y =at +1at +b ≥2+b ，当且仅当at=1（t=e x =1a ＞1，则x=-lna ）时，取等号，此时函数f （x ）取到最小值是b+2，综上可得，当a ≥1时，函数f （x ）的最小值是a +1a +b ；当0＜a ＜1时，函数f （x ）的最小值是b+2．…（12分）; 【解析】(Ⅰ)由求导公式和法则求出f ′(x)，根据导数的几何意义和条件列出方程组，求出a 、b 的值； (Ⅱ)设t =e x (t ⩾1)，代入原函数化简并求出导数，根据临界点和区间对a 进行分类讨论，利用导数与单调性、基本不等式求出函数的最小值．此题主要考查求导公式和法则，导数的几何意义，以及导数与函数单调性、基本不等式求函数的最值问题，属于中档题．23.【答案】解：(1)∵P(2,4)在曲线y =13x 3+43上，且y ′=x 2 ∴在点P(2,4)处的切线的斜率k =y ′|x=2=4；∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y −4=4(x −2)，即4x −y −4=0．(2)设曲线y =13x 3+43与过点P(2,4)的切线相切于点A(x 0,13x 03+43)，则切线的斜率k=y′|x=x=x02，∴切线方程为y−(13x03+43)=x02(x−x0)，即y=x02.x−23x03+43∵点P(2,4)在切线上，∴4=2x02−23x03+43，即x03−3x02+4=0，∴x03+x02−4x02+4=0，∴(x0+1)(x0−2)2=0解得x0=−1或x0=2故所求的切线方程为4x−y−4=0或x−y+2=0．(3)设切点为(x0,y0)则切线的斜率为k=x02=4，x0=±2.切点为(2,4)，(−2,−43)∴切线方程为y−4=4(x−2)和y+43=4(x+2)即4x−y−4=0和12x−3y+20=0．;【解析】该题考查学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程，是一道综合题．学生在解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”；同时解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标解决．(1)根据曲线的解析式求出导函数，把P的横坐标代入导函数中即可求出切线的斜率，根据P的坐标和求出的斜率写出切线的方程即可；(2)设出曲线过点P切线方程的切点坐标，把切点的横坐标代入到(1)求出的导函数中即可表示出切线的斜率，根据切点坐标和表示出的斜率，写出切线的方程，把P的坐标代入切线方程即可得到关于切点横坐标的方程，求出方程的解即可得到切点横坐标的值，分别代入所设的切线方程即可；(3)设出切点坐标，由切线的斜率为4，把切点的横坐标代入导函数中求出的函数值等于4列出关于切点横坐标的方程，求出方程的解即可得到切点的横坐标，代入曲线方程即可求出相应的纵坐标，根据切点坐标和斜率分别写出切线方程即可．。

(完整版)导数测试题(含答案)

B．(0,3)
C．(1,4)
D．(2，＋∞)
解析：选 D.f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，
令 f′(x)>0，解得 x>2，故选 D. 8．“函数 y＝f(x)在一点的导数值为 0”是“函数 y＝f(x)在这点取极值”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选 B.对于 f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出 f(x)在 x＝0 处取极值，反之成立．故选 B. 9．函数 f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数 f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数 f(x)在开区间(a，b)内的极小值点有( )
B．(2,4)
11
11
C．(4，16) 故选 D.
1
D．(2，4)
6．已知函数 f(x)＝x，则 f′(－3)＝( ) 1
A．4 1
B.9 1
C．－4
D．－9
1
1
解析：选 D.∵f′(x)＝－x2，∴f′(－3)＝－9. 7．函数 f(x)＝(x－3)ex 的单调递增区间是( )
A．(－∞，2)
三、解答题 x
17．求下列函数的导数：(1)y＝3x2＋xcosx； (2)y＝1＋x； (3)y＝lgx－ex.
18．已知抛物线 y＝x2＋4 与直线 y＝x＋10，求： (1)它们的交点； (2)抛物线在交点处的切线方程．
1 19．已知函数 f(x)＝3x3－4x＋4.(1)求函数的极值； (2)求函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值．
解析：令 y′＝(x＋1)ex＝0，得 x＝－1. 当 x<－1 时，y′<0；当 x>－1 时，y′>0.

(完整版)导数单元测试题(含答案)

导数单元测试题〔实验班用〕一、选择题1．曲线323y x x =-+在点(1,2)处的切线方程为( )A .31y x =-B .35y x =-+C .35y x =+D .2y x = 2．函数21()e x f x x +=⋅,[]1,2-∈x 的最大值为( )．A .14e -B . 0C .2eD . 23e 3.假设函数3()3f x x x a 有3个不同的零点，那么实数a 的取值范围是〔〕A.(2,2)B.2,2C.(,1)D.(1,)4.假设函数3()63f x x bxb 在(0,1)内有极小值，那么实数b 的取值范围是〔〕A.1(0,)2B. (,1)C. (0,)D. (0,1)5.假设2a >，那么函数321()13f x x ax 在区间(0,2)上恰好有( )A ．0个零点B ．3个零点C ．2个零点D ．1个零点6．曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为〔〕Ａ．294eＢ．22eＣ．2eＤ．22e7．函数()f x 的图象如下图，以下数值排序正确的选项是( )．A .(3)(2)0(2)(3)32f f f f -''<<<-B .(3)(2)0(3)(2)32f f f f -''<<<-C . (3)(2)0(3)(2)32f f f f -''<<<-D .(3)(2)0(2)(3)32f f f f -''<<<-8设(),()f x g x 分别是R 上的奇函数和偶函数, 当0x时,''()()()()0f x g x f x g x ,且(3)0g ，那么不等式()()0f x g x 解集是( )A ．(3,0)(3,) B ．(3,0)(0,3) C ．(,3)(3,) D ．(,3)(0,3)9．函数ln ln ()a x f x x+=在1,上为减函数，那么实数a 的取值范围是( )A ．a eB ．0a eC ．a eD ．10ea <<10．假设函数)(x f 的导数是)1()(+-='x x x f ，那么函数()(1)g x f x =--的单调减区间是( )A ．(1,0)-B ．(,1),(0,)-∞-+∞C ．(2,1)--D ．(,2),(1,)-∞--+∞ 11．二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，那么(1)'(0)f f 的最小值为〔〕 A ．3 B ．52 C ．2 D ．3212．函数2()ln 22a f x x x x =--存在单调递减区间，那么a 的取值范围是〔〕(A)[1,)-+∞ (B) (1,)-+∞ (C) (,1)-∞- (D) (,1]-∞- 二、填空题13.假设函数2()2ln f x x x =-在其定义域内的一个子区间(1,1)k k -+内不是单调函数，那么实数k 的取值范围是 . 14．点P 在曲线323+-=x x y 上移动，设在点P 处的切线的倾斜角为为α，那么α的取值范围是15．函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ，那么M m -=_________16．函数()f x 的定义域为[]15,-，局部对应值如下表，()f x 的导函数()y f x '=的图象如下图. 以下关于()f x 的命题： ①函数()f x 的极大值点为0，4； ②函数()f x 在[]02,上是减函数；③如果当[]1x ,t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当12a <<时，函数()y f x a =-有4个零点； ⑤函数()y f x a =-的零点个数可能为0，1，2，3，4个．其中正确命题的序号是．三、解答题17．函数)0()(23≠++=a cx bx ax x f ，当1-=x 时()f x 取得极值5，且11)1(-=f ．〔1〕求()f x 的单调区间和极小值；〔2〕证明对任意12,x x )3,3(-∈，不等式32|)()(|21<-x f x f 恒成立． 18．函数)1ln(2)(2++=x ax x f ,其中a 为实数．〔1〕假设()f x 在1=x 处有极值，求a 的值；(2) 假设()f x 在]32[，上是增函数，求a 的取值范围． 19．函数2()ln(1)()f x x ax a x a R =---∈．〔1〕当1=a 时，求函数)(x f 的最值；〔2〕求函数)(x f 的单调区间．20．某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的本钱20元，并且每公斤蘑菇的加工费为x －1 0 4 5 ()f x1221t 元〔t 为常数，且25)t ≤≤，设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x 元〔2540x ≤≤〕，根据市场调查，日销售量q 与e x成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100公斤．〔1〕求该工厂的每日利润y 元与每公斤蘑菇的出厂价x 元的函数关系式；〔2〕假设5=t ，当每公斤蘑菇的出厂价x 为多少元时，该工厂的利润y 最大，求最大值．21．函数1ln ()x f x x+=．〔1〕假设函数在区间1(,)2a a +(0)a >上存在极值，求实数a 的取值范围；〔2〕如果当1≥x 时，不等式()1≥k f x x +恒成立，求实数k 的取值范围．22．设函数2()(1)2ln(1).f x x x =+-+ 〔1〕求函数()f x 的单调区间；〔2〕当11,1xe e时,()f x m 不等式<恒成立，求实数m 的取值范围；〔3〕假设关于x 的方程2()f x x x a =++在0,2上恰有两个相异实根，求实数a 的取值范围．导数单元测试题答案一、选择题 ACAAD DBDAA CB 二、填空题13.312k14.30,,2415.32 16. ①②⑤三、解答题17.解：〔1〕2()32(0)f x ax bx c a '=++≠，由题意得(1)11(1)5(1)0f f f =-⎧⎪-=⎨⎪'-=⎩ ，即115320a b c a b c a b c ++=-⎧⎪-+-=⎨⎪-+=⎩ ，解得139a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，，.因此x x x x f 93)(23--=，2()3693(1)(3)f x x x x x '=--=+-．当 ),3()1,(+∞--∞∈ x 时，'()0f x >；当)3,1(-∈x 时，'()0f x <．所以函数()f x 的单调增区间为)1,(--∞和),3(+∞；单调减区间为)3,1(-. 故函数()f x 在3=x 处取得极小值，()(3)27f x f ==-极小值．〔2〕由〔Ⅰ〕知32()39f x x x x =--在)1,3(--上递增，在)3,1(-上递减，所以max ()(1)5f x f =-=；min ()(3)27f x f =±=-．所以，对任意12,x x )3,3(-∈恒有 12|()()||5(27)|32f x f x -<--=．18．解：〔1〕由得()f x 的定义域为)1(∞+-，. 又2()2,1f x ax x '=++ 因为()f x 在1=x 处有极值，(1)210f a '∴=+=，解之得 1.2a =-〔2〕依题意得()0≥f x '对[23]x ∀∈，恒成立，即 201≥ax x 2++对[23]x ∀∈，恒成立． 221111()24a x x x ∴>=---++ 对[23]x ∀∈，恒成立．211[23]()24x x ∈∴-++，， [12,6],∈-- 41)21(12++-∴x 11[,],612∈-- 112≥a ∴-．19．解：〔1〕函数2()ln(1)()f x x ax a x a =---∈R 的定义域是(1,)+∞．当1a =时，32()12()2111x x f x x x x -'=--=--，所以()f x 在3(1,)2为减函数在3(,)2+∞为增函数，所以函数()f x 的最小值为33()ln 224f =+.〔2〕22()2()211a x x a f x x a x x +-'=--=--， ①假设0a ≤时，那么22()221,()21a x x a f x x +-+=-≤>0在(1,)+∞恒成立，所以()f x 的增区间为(1,)+∞．②假设20,12a a +>>则，故当2(1)2a x +∈，，22()2()01a x x f x x +-'=-≤；当2[,)2a x +∈+∞时，22()2()01a x x f x x +-=-≥．所以当0a >时，()f x 的减区间为2(1,)2a +，()f x 的增区间为2(,)2a ++∞.20．解：〔1〕设日销量3030,100,100e e e则x k k q k ==∴=, ………………2分所以日销量30100e e xq =．30100e (20)(2540)e x x t y x --∴=≤≤．………………7分〔2〕当5=t 时，30100e (25)exx y -=． ………………8分30100e (26)e xx y -'∴=． ………………9分026由得y x '≥≤，026由得,y x '≤≥[2526][2640]在，上单调递增，在，上单调递减.y ∴4max 26,100e 当时x y ∴==．………………11分当每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的利润最大，最大值为4100e 元．……12分 21．解：〔Ⅰ〕因为1ln ()x f x x +=， x >0，那么2ln ()x f x x'=-，当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<．所以()f x 在〔0，1〕上单调递增；在(1,)+∞上单调递减，所以函数()f x 在1x =处取得极大值．因为函数()f x 在区间1(,)2a a +〔其中0a >〕上存在极值，所以1,11,2a a <⎧⎪⎨+>⎪⎩ 解得112a <<．〔Ⅱ〕不等式(),1k f x x +≥即为(1)(1ln ),x x k x ++≥记(1)(1ln )(),x x g x x ++=那么min (), 1.k g x x ≤≥所以2[(1)(1ln )](1)(1ln )()x x x x x g x x '++-++'=2ln x xx-=．令()ln h x x x =-，那么1()1h x x'=-，1x ≥，()0,h x '∴≥[()h x ∴在[1,)+∞上单调递增，min ()(1)10h x h ∴==>，从而()(1)0h x h >≥，所以()0g x '>，故()g x 在[1,)+∞上也单调递增，所以min ()(1)2g x g ==．所以2k ≤．22．解：〔2〕函数的定义域为。

高中数学选择性必修二第五章一元函数的导数及其应用单元检测A(含答案)

2020-2021年高二数学选择性必修二尖子生同步培优题典第五章一元函数的导数及其应用单元检测A 解析版学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知函数()y f x =在0x x =处的导数为1，则()()000lim2x f x x f x x∆→+∆-=∆（）A ．0B ．12C ．1D ．2【答案】B 【解析】【分析】由已知结合导数的定义即可直接求解. 【详解】解：因为函数()y f x =在0x x =处的导数为1，则()()()()()0000000111limlim 2222x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆.故选：B . 【点睛】本题考查导数的概念，涉及极限的性质，属于基础题．2．设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x '=的图象为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】【分析】根据原函数图像，由导函数与原函数图像之间关系，逐项判断，即可得出结果. 【详解】由图可知，函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，所以()0y f x ='<在(,0)-∞上恒成立，排除选项B 和D ；函数()f x 在(0,)+∞上先递减后递增再递减，所以()y f x '=在(0,)+∞上应为负、正、负的趋势，即选项A 错误，C 正确；故选：C ．【点睛】本题主要考查导数与原函数图像之间关系的判定，属于基础题型.3．函数2cos y x x =+在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是（）A ．13π+B ．4πC ．6π+D ．2π【答案】C【分析】利用导数分析函数2cos y x x =+在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性，进而可求得函数2cos y x x =+在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值. 【详解】对于函数2cos y x x =+，12sin y x '=-.当06x π<<时，12sin 0y x '=->；当62x ππ<<时，12sin 0y x '=-<.所以，函数2cos y x x =+在区间0,6π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在区间,62ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减.所以，max 2cos666y πππ=+=+故选：C. 【点睛】利用导数求解函数在区间上的最值时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数()y f x =在[],a b 内所有使()0f x '=的点，再计算函数()y f x =在区间内所有使()0f x '=的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．4．若函数2()ln 2f x x ax =+-在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是（） A ．(,2]-∞-B ．1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．12,8⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(2,)-+∞【答案】D 【解析】先将函数2()ln 2f x x ax =+-在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭内存在单调递增区间，转化为1()20f x ax x '=+>在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭上有解，再转化为min 212()a x >-，进而可求出结果.【详解】因为2()ln 2f x x ax =+-在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭内存在单调递增区间，所以1()20f x ax x '=+>在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭上成立，即212a x >-在区间1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上有解，因此，只需212412a >-=-⎛⎫⎪⎝⎭，解得2a >-.故选D 【点睛】本题主要考查由导数在某区间内的单调性求参数的问题，只需对函数求导，利用导数的方法研究函数单调性即可，属于常考题型. 5．曲线2yx x 在点(1,0)处的切线方程是（）A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．10x y --=D ．10x y +-=【答案】D 【解析】【分析】求导得到12y x '=-，再根据切线方程的公式计算得到答案.曲线为2yx x ，所以12y x '=-；当1x =时，121y '=-=-，曲线2yx x 在点(1,0)处的切线方程为1(1)y x =-⨯-，即10x y +-=，故选：D . 【点睛】本题考查了切线方程，属于简单题.6．已知函数()f x 的导函数()()()1f x a x x a '=+-，若()f x 在x a =处取得极大值，则实数a 的取值范围是（） A ．()1,0- B ．()2,+∞C ．()0,1D ．(),3-∞-【答案】A 【解析】【分析】分四种情况讨论，分别判断x a =两边导函数值的符号，判断()f x 在x a =处是否取得极大值，即可筛选出a 的取值范围. 【详解】由()f x 在x a =处取得极大值可知，当x a <时，()0f x '>；当x a >时，()0f x '<，其等价于①存在(),,b x b a ∀∈，使得(1)()0a x x a +->，且②存在(),,c x a c ∀∈，使得(1)()0a x x a +-<；若0a >时，(1)()0a x x a +->的解集为(,1)(,)a -∞-⋃+∞，不满足②即不存在(,)x a c ∈，使得(1)()0a x x a +-<，故0a >时()f x 在x a =不是极大值；若10a -<<时，(1)()0a x x a +->的解集为(1,)a -，(1)()0a x x a +-<的解集为(,1)(,)a -∞-⋃+∞，满足①②，故10a -<<时，()f x 在x a =处取得极大值；若1a =-，(1)()a x x a +-恒小于等于0，不满足①，故1a =-时，()f x 在x a =取不到极大值；若1a <-时，(1)()0a x x a +->的解集为(,1)a -，不满足②，故1a <-时，()f x 在x a =处取不到极大值.综上，a 的取值范围是()1,0-. 故选：A. 【点睛】求函数()f x 极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数()f x '；(3) 解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根；(4)检查()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么()f x 在0x 处取极小值. 7．已知函数()cos xf x e x =+，设()10.3a f -=，()0.32b f -=，()2log0.2c f =，则（）A ．c b a <时，()sin 0xf x e x '=->，可得()y f x =在()0,∞+单调递增，又()1100.33,43-=∈，()0.320,1-∈，()22log 0.2log 52,3=∈，根据函数的单调性可得出答案. 【详解】由()()cos xf x e x f x -=+=，则()f x 是偶函数，当0x >时，()sin 0xf x e x '=->，所以()y f x =在()0,∞+单调递增，由()1100.33,43-=∈，()0.320,1-∈，()22log 0.2log 52,3=∈，则10.320.3log 0.22-->>，所以()()()10.320.3log0.22f f f -->>又()()22log 0.2log 0.2c f f ==，所以b c a << 故选：D 【点睛】本题考查利用单调性比较函数值大小，考查利用导数分析函数单调性，考查指数、对数的的大小的比较，属于中档题.8．已知偶函数()y f x =对于任意的[0,)2x π∈满足'()cos ()sin 0f x x f x x +>（其中'()f x 是函数()f x 的导函数），则下列不等式中成立的是（）A ()()34f ππ--D ．()()63f ππ<【答案】D 【解析】试题分析：令,因,故由题设可得,即函数在上单调递增且是偶函数.又因,故,即,所以()3()63f f ππ<,故应选D.考点：导数在研究函数的单调性方面的运用.【易错点晴】本题将导数的知识和函数的单调性及不等式的解法等知识有机地结合起来,综合考查学生的数学思想和数学方法及运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时,先将巧妙地构造函数,再运用求导法则求得,故由题设可得,即函数在上单调递增且是偶函数.再运用检验的方法逐一验证四个答案的真伪,从而使得问题获解.二、多选题9．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x '>-，则下列式子成立的是（） A ．()()20192020f ef C ．()f x 是R 上的增函数D ．若0t >，则有()()tf x e f x t <+【答案】AD 【解析】【分析】根据已知不等式，结合选项构造函数，利用导数的性质、特例法逐一判断即可. 【详解】由()()f x f x '>-，得()()0xxe f x e f x '+>，即()0x e f x '⎡⎤>⎣⎦，所以函数()xe f x 为增函数，故()()2019202020192020ef e f <，所以()()20192020f ef <，故A 正确，B 不正确；函数()xe f x 为增函数时，()f x 不一定为增函数，如122xxxe e ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是增函数，但12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，所以C 不正确；因为函数()xe f x 为增函数，所以0t >时，有()()xx te f x ef x t +<+，故有()()tf x e f x t <+成立，所以D 正确.故选：AD. 【点睛】本题考查了导数的性质，考查了构造法的应用，考查了数学运算能力. 10．若直线12y x b =+是函数()f x 图像的一条切线，则函数()f x 可以是（） A ．1()f x x=B ．4()f x x =C ．()sin f x x =D ．()x f x e =【答案】BCD 【解析】【分析】求得已知直线的斜率k ，对选项中的函数分别求导，可令导数为k ，解方程即可判断结论【详解】解：直线12y x b =+的斜率为12k =，由1()f x x =的导数为'21()f x x=-，即切线的斜率小于0，故A 不正确；由4()f x x =的导数为'3()4f x x =，而3142x =，解得12x =，故B 正确；由()sin f x x =的导数为'()cos f x x =，而1cos 2x =有解，故C 正确；由()x f x e =的导数为'()xf x e =，而12xe =，解得ln2x =-，故D 正确，故选：BCD 【点睛】此题考查导数的几何意义，正确求导是解题的关键，考查运算能力，属于基础题11．已知函数()y f x =的导函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（）A ．1-是函数()f x 的极小值点B ．3-是函数()f x 的极小值点C ．函数()f x 在区间()3,1-上单调递增 D ．函数()f x 在0x =处切线的斜率小于零【答案】BC 【解析】【分析】根据导函数图象，求得函数单调性，结合极值点定义，即可容易判断选择. 【详解】由图象得3x <-时，()0f x '<，3x >-时，()0f x '，故()f x 在(,3)-∞-单调递减，在(3,)-+∞单调递增，故3x =-是函数()f x 的极小值点. 对选项D ：显然()00f '>，故D 错误. 故选：BC ．【点睛】本题考查由导数涵图象研究函数性质，属基础题.12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ＞时，()1xx f x e -=.则下列结论正确的是（）. A ．当0x <时，()()1xf x ex =-+B ．函数()f x 在R 上有且仅有三个零点C ．若关于x 的方程()f x m =有解，则实数m 的取值范围是()()22f m f -≤≤D ．12,x x ∀∈R ，()()212f x f x -< 【答案】BD 【解析】【分析】根据函数的性质结合图象，逐项判断，即可得到本题答案. 【详解】令0x <，则0x ->，所以1()(1)()xxx f x e x f x e----==-+=-，得()(1)x f x e x =+，所以选项A 错误；观察在0x <时的图象，令()(1)(2)0xxxf x e x e e x '=++=+=，得2x =-，可知()f x 在(,2)-∞-上单调递减，在(2,0)-上递增，且在(,1)-∞-上，()0f x <，在(1,0)-上，()0f x >，由此可判断在(,0)-∞仅有一个零点，由函数的对称性可知()f x 在(0,)+∞上也有一个零点，又因为(0)0f =，故该函数有三个零点，所以选项B 正确；由图可知，若关于x 的方程()f x m =有解，则11m -<<，所以选项C 错误；由图可知，()f x 的值域为(1,1)-，所以对12,x x ∀∈R ，()()212f x f x -<恒成立，所以选项D 正确. 故选：BD【点睛】本题主要考查函数的性质和导数在研究函数中的应用，体现了数形结合的数学思想，综合性较强.三、填空题13．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足关系式()()321xf x x f x e '=-++，则()1f '的值等于__________. 【答案】3e - 【解析】【分析】先对()()321xf x x f x e '=-++求导，再将1x =代入即可求解.【详解】由题意可得()()2321xf x x f e ''=-++，令1x =得()()1321f f e ''=-++，即()13f e '=-. 故答案为：3e - 【点睛】本题主要考查了导数的运算，属于基础题.14．生活经验告诉我们，当水注进容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图像，A 对应________，B 对应________，C 对应________，D对应________，【答案】(4) (1) (3) (2) 【解析】【分析】【详解】A 容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，根据导数的几何意义可知，函数图象切线斜率变化故先慢后快，A 与(4)对应；B 容器为球形，水高度变化为快—慢—快，根据导数的几何意义可知， B 应与(1)对应；,C D 容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线形，但C 容器细，D 容器粗，故水高度的变化为：C 容器快，C 与(3)对应，D 容器慢，D 与(2)对应.故答案为(4)；(1)；(3)；(2)．15．经过原点(0,0)作函数32()3f x x x =+图像的切线，则切线方程为__________．【答案】y=0或9x+4y=0 【解析】【分析】分原点（0，0）是切点与原点（0，0）不是切点讨论，利用导数得出切线的斜率，写出切线方程即可．【详解】解：∵f ′（x ）＝3x 2+6x ，①若原点（0，0）是切点，则切线的斜率为f ′（0）＝0，则切线方程为y ＝0； ②若原点（0，0）不是切点，设切点为P （x 0，y 0），则切线的斜率为()200036f x x x +'=，因此切线方程为()()()3220000336y x x x x x x -+=+-，因为切线经过原点（0，0），∴()()23200000336x x x x x -+=-+，∵x 0≠0，解得032x =-． ∴切线方程为94y x =-，化为9x +4y ＝0． ∴切线方程为y ＝0或9x +4y ＝0．故答案为y ＝0或9x +4y ＝0．【点评】本题考查导数的几何意义：切点处的导数值是切线的斜率.解题时一定注意“在点处的切线”与“过点的切线”的区别．16．已知一个圆柱的轴截面是周长为12米的长方形，则满足这个条件的圆柱的最大体积是______立方米.【答案】8π 【解析】【分析】设圆柱的高为h ，底面圆的半径为r ，可得()2212r h +=，03r <<，圆柱的体积2πV r h=⋅()2π62r r =⋅-，构造函数()()2π62f r r r =⋅-，03r <<，求导并判断单调性，可求出最大值，即可求出答案. 【详解】设圆柱的高为h ，底面圆的半径为r ，则()2212r h +=，即62h r =-，由620,0h r r =->>，可得03r <<，圆柱的体积2πV S h r h =⋅=⋅底，将62h r =-代入，可得()2π62V r r =⋅-，构造函数()()2π62f r r r =⋅-，03r <<，求导得()()2π63f r r r '=-，则()0,2r ∈时，0fr，函数()f r 单调递增；()2,3r ∈时，0f r，函数()f r 单调递减，所以()f r 的最大值为()()22π26228πf =⨯⋅-⨯=.即2r 时，该圆柱的体积最大，最大体积是8π立方米.故答案为：8π. 【点睛】本题考查柱体体积的计算，考查利用导函数求最大值，考查学生的计算求解能力，属于中档题.四、解答题17．已知()32133=+-f x x ax x （a R ∈）在3x =-处取得极值. （1）求实数a 的值；（2）求()f x 的单调区间；（3）求()f x 在区间[]3,3-上的最大值和最小值.【答案】（1）1；（2）增区间为(),3-∞-，()1,+∞，减区间为()3,1-；（3）最大值为9，最小值为53-. 【解析】【分析】（1）求导()223=+-'f x x ax ，由已知得(3)0f '-=，解得a 的值，再代入检验可得结论.（2）由（1）得()32133f x x x x =+-，求导()223f x x x '=+-，分析导函数取得正负的区间可得原函数的单调区间.（3）由（2）得出的函数()f x 的单调性可求得函数()f x 的极值，从而求得函数的最值. 【详解】（1）()223=+-'f x x ax ，由于()f x 在3x =-处取得极值，故(3)0f '-=，解得1a =，经检验，当1a =时，()f x 在3x =-处取得极值，故1a =.（2）由（1）得()32133f x x x x =+-，()223f x x x '=+-，由()0f x '>得1x >或3x <-；由()0f x '<得31x -<<.故()f x 的单调增区间为(),3-∞-，()1,+∞，单减区间为()3,1-.（3）由（2）得函数()f x 的极大值为()39f -=，得函数()f x 的极小值为()513f =-，又()39f =，所以函数()f x 在区间[]3,3-上的最大值为9，最小值为53-. 【点睛】本题考查运用导函数研究函数的极值、单调性、最值，属于中档题. 18．设函数329()62f x x x x a =-+-．（1）求函数的单调区间．（2）若方程()0f x =有且仅有三个实根，求实数a 的取值范围．【答案】（1）增区间（-∞,1）和（2，+∞），减区间为（1，2）;（2） 522a << 【解析】试题分析：（1），解或的解集；（2）先求极值点，判断单调性，然后根据图形，判定轴于图像有三个交点时的位置，从而列不等式.试题解析：（1），当时，或.当时，.（2）由（1）知，函数在（-∞,1）为增，为减函数，为增函数，根据函数的图像特征，判断轴应在极值之间，(1)0{(2)0f f ><由得, 522a <<考点：1.导数的应用；2.函数的图像；3.函数的零点.19．已知函数()sin f x x =，()cos xg x e x =.（Ⅰ）函数()()()g x h x f x =，分析()h x 在()0,π上的单调性.（Ⅱ）若函数()()()H x g x xf x =-.（i ）当,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π时，求()H x 的最小值；（ii ）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()H x 零点的个数. 【答案】（Ⅰ）()h x 在()0,π上单调递减；（Ⅱ）（i ）-2π；（ii ）有且只有一个零点.【解析】【分析】（Ⅰ）求出2(sin cos 1)()sin x e x x h x x-'=，根据导数与函数单调性之间的关系即可求解. （Ⅱ）求出()cos sin cos sin xxH x e x e x x x x '=---，（i ）判断()H x '的符号得到函数的单调区间，根据函数的单调性即可求出最值；（ii ）利用导数判断函数()H x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，再利用零点存在性定理即可求解. 【详解】（Ⅰ）cos ()sin x e xh x x=，则2(sin cos 1)()sin x e x x h x x-'=，当()0,x π∈时，1sin cos 1sin 2102x x x -=-<，所以()0h x '<，所以()h x 在()0,π上单调递减.（Ⅱ）()cos sin xH x e x x x =-，则()cos sin cos sin x xH x e x e x x x x '=---.（i ）()()()cos 1sin xxH x e x x e x '=--+，当,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π时，()cos 0x e x x -≥，()1sin 0x e x +≤，所以()0H x '≥，()H x 在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()H x 的最小值为22H ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. （ii ）()(cos sin )sin cos xH x e x x x x x '=---.因为,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，cos sin x x ≤，sin 0x >，cos 0x x ≥，所以()0H x '<，函数()H x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，又40424H e πππ⎛⎫⎛⎫=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，022H ππ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，因此，函数()H x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个零点.【点睛】本题考查导数的运算法则，及导数在研究函数单调性、最值以及函数零点中的应用，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.20．如图，公园内直线道路旁有一半径为10米的半圆形荒地（圆心O 在道路上，AB 为直径），现要在荒地的基础上改造出一处景观.在半圆上取一点C ，道路上B 点的右边取一点D ，使OC 垂直于CD ，且OD 的长不超过20米.在扇形区域AOC 内种植花卉，三角形区域OCD 内铺设草皮.已知种植花卉的费用每平方米为200元，铺设草皮的费用每平方米为100元.（1）设COD x ∠=（单位：弧度），将总费用y 表示为x 的函数式，并指出x 的取值范围；（2）当x 为何值时，总费用最低？并求出最低费用.【答案】（1）()5000tan 22y x x π=+-，03x π<≤；（2）当4x π=时，改造景观的费用最低，最低费用为()50007500π+元. 【解析】【分析】（1）分别计算扇形AOC 和三角形COD △的面积，再计算总费用，根据OD 的长不超过20米得到定义域，得到答案.（2）求导得到()2212cos cos xf x x-'=，根据导数正负得到函数的单调性，再计算最值得到答案. 【详解】（1）因为扇形AOC 的半径为10m ，()rad AOC x π∠=-，且OD 的长不超过20米，当20m OD =时，3x π=，故03x π<≤.所以扇形AOC 的面积：()()210502AOCx S x ππ-⋅==-扇，03x π<≤.在Rt COD 中，10OC =，10tan CD x =，所以COD △的面积150tan 2COD S OC CD x =⋅⋅=△，从而()1002005000tan 22COD AOC y S S x x π=+=+-△扇，03x π<≤；2（）设()tan 22f x x x π=+-，03x π<≤，则()sin 22cos x f x x x π=--，()22222cos sin 12cos 2cos cos x x xf x x x+-'=-=，令()0f x '=，解得4x π=，从而当04x π<<时，()0f x '<，当43x ππ<≤，()0f x '>，因此()f x 在区间0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间,43ππ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，当4x π=时，()f x 取得最小值，3121422f ππππ⎛⎫=+-=+⎪⎝⎭，所以y 的最小值为()50007500π+元.【点睛】本题考查了三角函数的应用，扇形面积，利用导数求函数的最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21．已知函数()()22ln ,0x f x x a R a a=-∈≠. （1）求函数()f x 的极值；（2）若函数()f x 有两个零点1212,()x x x x <，且4a =，证明：124x x +>.【答案】（1）答案详见解析；（2）证明详见解析.【解析】【分析】（1）求出()f x '，分两种情况讨论a 的范围，分别令()0f x '>求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()0f x '<求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间，根据单调性可得函数的极值；（2）1x ；2x 为函数()f x 零点，可得1202x x <<<，要证124x x +>，只需证214x x >-；()()111142ln 242ln 4f x x x x -=-+--，构造函数利用单调性可得结论.【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+；()22222x x a f x a x ax-'=-=. 当0a <时，()0f x '<，()f x 在()0,∞+上是减函数，所以()f x 在()0,∞+上无极值；当0a >时，若(x ∈，()0f x '<，()f x 在(上是减函数.当)x ∈+∞，()0f x '>，()f x 在)+∞上是增函数，故当x =()f x 在()0,∞+上的极小值为11ln f a =-=-，无极大值.（2）当4a =时，()22ln 4x f x x =-，由（1）知，()f x 在()0,2上是减函数，在()2,+∞上是增函数，2x =是极值点，又1x ，2x 为函数()f x 零点，所以1202x x <<<，要证124x x +>，只需证214x x >-. ∵()()()2111442ln 44x f x x --=-- ()2111242ln 44x x x =-+--，又 ∵()21112ln 04x f x x =-=，∴()()111142ln 242ln 4f x x x x -=-+--，令()()2ln 242ln 4(02)h x x x x x =-+--<<，则()()()222222044x h x x x x x -'=-+=>--， ∴()h x 在()0,2上是增函数，∴()()20h x h <=，∴()()1240f x f x -<=，∴124x x -<，即124x x +>得证.【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，22．已知函数()e cos 2x f x x =+-(其中0x ≥)，()f x '为()f x 的导数.（1）求导数()f x '的最小值；（2）若不等式()f x ax ≥恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）1；（2）1a ≤.【解析】【分析】（1）先求导数，再构造()e sin xg x x =-，利用导数和函数的单调性确定函数的最值．（2）令()e cos 2xh x x ax =+--，通过求导分类讨论，根据导数和最值的关系即求．【详解】（1）()e sin x f x x '=-，令()e sin xg x x =-，当0x ≥时，则()e cos 1cos 0xg x x x '=-≥-≥. 故0x ≥时，()0g x '≥，()g x 为增函数，故()()min 01g x g ==，即导数()f x '的最小值为1.（2）令()e cos 2x h x x ax =+--，()e sin xh x x a '=--，当1a ≤时，若0x ≥，则由（1）可知，()10h x a '≥-≥，所以()h x 为增函数，故()()00h x h ≥=恒成立，即1a ≤．当1a >时，由（1）可知()e sin x h x x a '=--在[)0,+∞上为增函数，且()010h a '=-<，()()()ln(2)2sin ln(2)2sin ln(2)0h a a a a a '+=+-+-=-+>，故存在唯一()00x ∈+∞,，使得()00h x '=．则当()00,x x ∈时，()0h x '<，()h x 为减函数，所以()()00h x h <=，此时与()0h x ≥恒成立矛盾．综上所述，1a ≤．【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数解决恒成立问题，解题关键是构造函数()e cos 2xh x x ax =+--,通过求()min 0h x ≥进而得解，考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．。

选修1-1第三章导数测试题(含详解)1

高中数学（文科）选修1-1第三章导数单元测试题一、选择题(本大题共10小题.每题只有一个正确答案,请把正确答案的选项填在括号内) 1.已知f (x )在x =x 0处可导,则0lim x x →[][]0202)()(x x x f x f --等于A.f ′(x 0)B.f (x 0)C.f (x 0)·f ′(x 0)D.2f (x 0)·f ′(x 0)2.物体运动的方程为s =41t 4－3,则t =5的瞬时速度为A.5B.25C.125D.6253. (2006.安徽高考.理7）若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++=4.对于函数f (x )=x 3－3x 2,给出命题:①f (x )是增函数；②f (x )为减函数,无极值；③f (x )是增函数的区间为(－∞,0)∪(2,+∞),是减函数的区间为(0,2)；④f (0)是极大值,f (2)=－4是极小值.其中正确的命题有 A.1个 B.2个 C.3个D.4个5.若曲线y =x 2－1与y =1－x 3在x =x 0处的切线互相垂直,则x 0等于A.6363B.－6363C.32D.32或06.已知函数f (x )=x 3－3x 2－9x ,x ∈(－2,2),则f (x ) A.极大值为5,极小值为－27 B.极大值为5,极小值为－11 C.极大值为5,无极小值D.极小值为－27,无极大值7. （2006.江西高考.理5）对于R 上可导的任意函数f （x ），若满足（x －1）f x '（）≥0，则必有（） A 、f （0）＋f （2）<2f （1） B. f （0）＋f （2）≤2f （1） C. f （0）＋f （2）≥2f （1） D. f （0）＋f （2）>2f （1） 8.函数f (x )=x (1－x 2)在［0,1］上的最大值为A.932 B.922C.923 D.839.已知f (x )=xx x cos sin sin +,则f ′(4π)等于A.21 B.221C.21 D.－2110.已知函数f (1)=x 2+2xf ′(1),则f (－1)与f (1)的大小关系是 A.f (－1)=f (1) B.f (－1)<f (1) C.f (－1)>f (1)D.无法确定二、填空题(本大题共4小题.把答案填在题中横线上)11.曲线y =x 3+3x 2+6x －10的切线中,斜率最小的切线方程为__________.12.已知函数y =x 3+ax 2+bx +27在x =－1处有极大值,在x =3处有极小值,则a =__________,b =__________.13.函数f (x )=x 3－x 的单调增区间为__________.14. （2006·全国高考I ·理16）设函数())()cos 0f x ϕϕπ=+<<。

[原创]数学选修1-1《导数及其应用》单元测试卷(含答案).doc

高二数学选修1-1《导数及其应用》单元测试卷班级：姓名：座号：成绩：一、选择题（共7个小题,每小题6分）1、一个物体的运动方程为21s t t =-+,其中s 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是 ( )A ．5米/秒B ．6米/秒C ．7米/秒D ．8米/秒2、函数()3f x x x =+的单调递增区间是 ( )A ．()0,+∞B ．(),1-∞C ．(),-∞+∞D ．()1,+∞3、已知()3232f x ax x =++且()14f '-=,则实数a 的值等于 ( )A ．193B ．163C ．133D ．1034、函数()()22f x x π=的导数是 ( )A ．()4f x x π'=B ．()24f x x π'=C ．()28f x x π'=D ．()16f x x π'=5、“函数()00f x '=”是“可导函数()f x 在点0x x =处取到极值”的条件。

( )A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要6、已知曲线24x y =的一条切线的斜率为12,则切点的横坐标为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．47、设()0sin f x x =,()()10f x f x '=,()()21f x f x '=,,()()1n n f x f x +'=,n ∈N ,则()2005f x = ( )A ．sin xB ．sin x -C ．cos xD ．cos x -二、填空题（共3个小题,每小题6分）8、曲线31y x x =++在点()1,3处的切线方程是．9、已知直线10x y --=与抛物线2y ax =相切,则a = ．10、三次函数()3f x ax x =+在(),-∞+∞内是增函数,则a 的取值范围是．三、解答题（共2个小题,每题20分）11、已知函数()32f x x ax bx c =+++,当1x =-时,取得极大值7；当3x =时,取得极小值．试求a 、b 、c 的值及这个极小值．12、设函数3()3(0)f x x ax b a =-+>.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切,求,a b 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值点.高二数学选修1-1《导数及其应用》单元测试卷参考答案1-5 ACDCB 6-7 AC 8. 410x y --= 9. 1410. 0a > 11、解：()32f x x ax bx c =+++,∴()232f x x ax b '=++由题意知,1-和3是方程2320x ax b ++=的两个实数根 ∴2133133a b ⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=-⨯⎪⎩,解得：39a b =-⎧⎨=-⎩()17f -=∴()()()()3211319157f c c -=--⨯--⨯-+=+=∴2c =∴极小值()32333393225f =-⨯-⨯+=-12、（Ⅰ）()'233f x x a =-,∵曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切,∴()()()'203404,24.86828f a a b a b f ⎧=-=⎧=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=-+==⎪⎩⎪⎩⎩（Ⅱ）∵3()3(0)f x x ax b a =-+>,由()'0f x x =⇒=当(,x ∈-∞时,()'0f x >,函数()f x 单调递增,当(x ∈时,()'0f x <,函数()f x 单调递减,当)x ∈+∞时,()'0f x >,函数()f x 单调递增,∴此时x =()f x 的极大值点,x =()f x 的极小值点.知识改变命运。

高中数学第一章导数及其应用单元同步测试(含解析)新

【名师一号】2014-2015学年高中数学第一章导数及其应用单元同步测试（含解析）新人教A 版选修2-2(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设函数y ＝f (x )在(a ，b )上可导，则f (x )在(a ，b )上为增函数是f ′(x )>0的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析 y ＝f (x )在(a ，b )上f ′(x )>0⇒y ＝f (x )在(a ，b )上是增函数，反之，y ＝f (x )在(a ，b )上是增函数⇒f ′(x )≥0⇒f ′(x )>0.答案 A2．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程是2x ＋y －1＝0，则( ) A ．f ′(x 0)>0 B ．f ′(x 0)<0 C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在解析曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率为f ′(x 0)＝－2<0. 答案 B3．曲线y ＝13x 3－2在点(－1，－53)处切线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．150°解析 ∵y ′＝x 2，k ＝tan α＝y ′|x ＝－1＝(－1)2＝1， ∴α＝45°. 答案 B4．曲线f (x )＝x 3＋x －2的一条切线平行于直线y ＝4x －1，则切点P 0的坐标为( ) A ．(0，－1)或(1,0) B ．(1,0)或(－1，－4) C ．(－1，－4)或(0，－2)D ．(1,0)或(2,8)解析设P 0(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4， ∴x 20＝1，∴x 0＝1，或x 0＝－1. ∴P 0的坐标为(1,0)或(－1，－4)．答案 B5．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝sin 2xB ．y ＝x 3－xC ．y ＝x e xD ．y ＝－x ＋ln(1＋x )解析对于C ，有y ′＝(x e x)′＝e x＋x e x＝e x(x ＋1)>0. 答案 C6．下列积分值为2的是( ) A.⎠⎛05(2x －4)d xB .⎠⎛0πcos x d xC .⎠⎛131xd xD .⎠⎛0πsin x d x解析 ⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x ⎪⎪⎪π0＝－cos π＋cos 0＝2.答案 D7．函数f(x)在其定义域内可导，y ＝f(x)的图象如右图所示，则导函数y ＝f′(x)的图象为( )解析由y＝f(x)的图象知，有两个极值点，则y＝f′(x)的图象与x轴应有两个交点，又由增减性知，应选D项．答案D8．已知函数f(x)＝x3－3x2－9x，x∈(－2,2)，则f(x)有( )A．极大值5，极小值为－27B．极大值5，极小值为－11C．极大值5，无极小值D．极小值－27，无极大值解析f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)．当x<－1时，f′(x)>0，当－1<x<3时，f′(x)<0.∴x＝－1是f(x)的极大值点．且极大值为f(－1)＝5，在(－2,2)内无极小值．答案C9．已知f(x)为三次函数，当x＝1时f(x)有极大值4，当x＝3时f(x)有极小值0，且函数f(x)过原点，则此函数是( )A．f(x)＝x3－2x2＋3x B．f(x)＝x3－6x2＋xC．f(x)＝x3＋6x2＋9x D．f(x)＝x3－6x2＋9x解析设f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)，则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝3a(x－1)(x－3)＝3ax2－12ax＋9a.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝a ＋b ＋c ＝4，f 3＝27a ＋9b ＋3c ＝0，c ＝9a.解得a ＝1，b ＝－6，c ＝9. 所以f(x)＝x 3－6x 2＋9x. 答案 D10．由抛物线y ＝x 2－x ，直线x ＝－1及x 轴围成的图形的面积为( )A .23B ．1C .43D .53解析如图所示，阴影部分的面积为S 1＝⎠⎛0－1(x 2－x)d x＝(13x 3－12x 2)⎪⎪⎪ 0－1＝56. S 2＝⎪⎪⎪ ⎠⎛01(x 2－x)d x⎪⎪⎪ ＝－(13x 3－12x 2)⎪⎪⎪ 10＝16，故所求的面积为S ＝S 1＋S 2＝1. 答案 B11．函数f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx 在x ＝1a处有极值，则ac ＋2b 的值为( )A ．－3B ．0C ．1D ．3解析 f′(x)＝3ax 2＋2bx ＋c ，依题意知，3a×(1a )2＋2b×1a ＋c ＝0，即3a ＋2ba ＋c ＝0， ∴2b＋ac ＝－3. 答案 A12．设函数f(x)满足x 2f′(x)＋2xf(x)＝e x x ，f(2)＝e 28，则x>0时， f(x)( )A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值解析由题意知，f′(x)＝e xx3－2f xx＝e x －2x 2f xx3.令g(x)＝e x －2x 2f(x)，则g′(x)＝e x－2x 2f′(x)－4xf(x)＝e x－2[x 2f′(x)＋2xf(x)]＝e x－2e xx ＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x .由g′(x)＝0，得x ＝2.当x ＝2时，g(x)有极小值g(2)＝e 2－2×22f(2)＝e 2－8·e 28＝0.∴g(x)≥0.当x>0时，f′(x)＝g xx 3≥0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f(x)既无极大值也无极小值．答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．函数f(x)在R 上可导，且f ′(0)＝2.∀x ，y ∈R ，若函数f (x ＋y )＝f (x )f (y )成立，则f (0)＝________.解析令y ＝0，则有f (x )＝f (x )f (0)． ∵f ′(0)＝2，∴f (x )不恒为0，∴f (0)＝1. 答案 114．解析答案π2－115．若函数f(x)＝13x 3－f′(1)·x 2＋2x ＋5，则f′(2)＝________.解析 ∵f′(x)＝x 2－2f′(1)x＋2， ∴f′(1)＝1－2f′(1)＋2. ∴f′(1)＝1. ∴f′(x)＝x 2－2x ＋2. ∴f′(2)＝22－2×2＋2＝2. 答案 216．一物体以初速度v ＝9.8t ＋6.5米/秒的速度自由落下，且下落后第二个4 s 内经过的路程是________．解析 ⎠⎛48(9.8t ＋6.5)d t ＝(4.9t 2＋6.5t)⎪⎪⎪84＝4.9×64＋6.5×8－4.9×16－6.5×4 ＝313.6＋52－78.4－26 ＝261.2. 答案 261.2米三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知函数f(x)＝13x 3－4x ＋m 在区间(－∞，＋∞)上有极大值283.(1)求实数m 的值；(2)求函数f(x)在区间(－∞，＋∞)的极小值．解 f′(x)＝x 2－4＝(x ＋2)(x －2)．令f′(x)＝0，得x ＝－2，或x ＝2. 故f(x)的增区间(－∞，－2)和(2，＋∞)，减区间为(－2,2)．(1)当x ＝－2，f(x)取得极大值，故f(－2)＝－83＋8＋m ＝283，∴m＝4.(2)由(1)得f(x)＝13x 3－4x ＋4，又当x ＝2时，f(x)有极小值f(2)＝－43.18．(12分)用总长为14.8米的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制的容器的底面的长比宽多0.5米，那么高为多少时容器的容器最大？并求出它的最大容积．解设容器底面宽为x m ，则长为(x ＋0.5)m ，高为(3.2－2x)m .由⎩⎪⎨⎪⎧3.2－2x>0，x>0，解得0<x<1.6，设容器的容积为y m 3，则有y ＝x(x ＋0.5)(3.2－2x)＝－2x 3＋2.2x 2＋1.6x ， y′＝－6x 2＋4.4x ＋1.6，令y′＝0，即－6x 2＋4.4x ＋1.6＝0，解得x ＝1，或x ＝－415(舍去)．∵在定义域(0,1.6)内只有一个点x ＝1使y′＝0，且x ＝1是极大值点， ∴当x ＝1时，y 取得最大值为1.8. 此时容器的高为3.2－2＝1.2 m .因此，容器高为1.2 m 时容器的容积最大，最大容积为1.8 m 3. 19．(12分)设函数f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax(a ∈R )． (1)当a ＝1时，求证：f (x )为R 上的单调递增函数； (2)当x ∈[1,3]时，若f (x )的最小值为4，求实数a 的值．解 (1)证明：当a ＝1时，f (x )＝2x 3－6x 2＋6x ，则f ′(x )＝6x 2－12x ＋6＝6(x －1)2≥0， ∴f (x )为R 上的单调增函数．(2)f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －1)(x －a )．①当a ≤1时，f (x )在区间[1,3]上是单调增函数，此时在[1,3]上的最小值为f (1)＝3a －1，∴3a －1＝4，∴a ＝53>1(舍去)；②当1<a <3时，f (x )在(1，a )上是减函数，在区间(a,3)上是增函数，故在[1,3]上的最小值为f (a )＝2a 3－3(a ＋1)a 2＋6a 2＝4.化简得(a ＋1)(a －2)2＝0，∴a ＝－1<1(舍去)，或a ＝2；③当a ≥3时，f (x )在区间(1，a )上是减函数，故f (3)为最小值， ∴54－27(a ＋1)＋18a ＝4，解得a ＝229<3(舍去)．综上可知，a ＝2.20．(12分)设函数f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)，且方程f ′(x )－9x ＝0的两根分别为1,4.(1)当a ＝3，且曲线y ＝f (x )过原点时，求f (x )的解析式； (2)若f (x )在(－∞，＋∞)内无极值点，求a 的取值范围．解由f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d ，得f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ，∵f ′(x )－9x ＝ax 2＋2bx ＋c －9x ＝0的两根分别为1,4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋c －9＝0，16a ＋8b ＋c －36＝0，(*)(1)当a ＝3时，由(*)得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋c －6＝0，8b ＋c ＋12＝0，解得b ＝－3，c ＝12.又∵曲线y ＝f (x )过原点，∴d ＝0. 故f (x )＝x 3－3x 2＋12x .(2)由于a >0，所以“f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，＋∞)内无极值点”，等价于“f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”．由(*)式得2b ＝9－5a ，c ＝4a . 又Δ＝(2b )2－4ac ＝9(a －1)(a －9)，解⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝9a －1a －9≤0，得a ∈[1,9]，即a 的取值范围是[1,9]．21．(12分)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2的图象经过点M (1,4)，曲线在点M 处的切线恰好与直线x ＋9y ＝0垂直．(1)求实数a ，b 的值；(2)若函数f (x )在区间[m ，m ＋1]上单调递增，求m 的取值范围．解 (1)∵f (x )＝ax 3＋bx 2的图象经过点M (1,4)， ∴a ＋b ＝4.①又f ′(x )＝3ax 2＋2bx ，则f ′(1)＝3a ＋2b ，由条件f ′(1)(－19)＝－1，得3a ＋2b ＝9.②由①，②解得a ＝1，b ＝3.(2)f (x )＝x 3＋3x 2，f ′(x )＝3x 2＋6x ，令f ′(x )＝3x 2＋6x ≥0，得x ≥0，或x ≤－2，若函数f (x )在区间[m ，m ＋1]上单调递增，则 [m ，m ＋1]⊆(－∞，－2]∪[0，＋∞)， ∴m ≥0，或m ＋1≤－2，即m ≥0，或m ≤－3， ∴m 的取值范围是(－∞，－3]∪[0，＋∞)． 22．(12分)已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1. (1)若xf ′(x )≤x 2＋ax ＋1，求a 的取值范围； (2)证明：(x －1)f (x )≥0. 解 (1)f ′(x )＝x ＋1x ＋ln x －1＝ln x ＋1x， xf ′(x )＝x ln x ＋1，题设xf ′(x )≤x 2＋ax ＋1等价于ln x －x ≤a . 令g (x )＝ln x －x ，则g ′(x )＝1x－1.当0<x <1时，g ′(x )>0；当x ≥1时，g ′(x )≤0，x ＝1是g (x )的最大值点， g (x )≤g (1)＝－1.综上，a 的取值范围是[－1，＋∞)． (2)由(1)知，g (x )≤g (1)＝－1，即g (x )＋1≤0，即ln x －x ＋1≤0，当0<x <1时，f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1＝x ln x ＋(ln x －x ＋1)≤0；当x ≥1时，f (x )＝ln x ＋(x ln x －x ＋1)＝ln x ＋x (ln x ＋1x－1)＝ln x －x (ln 1x －1x＋1)≥0.所以(x－1)f(x)≥0.。

导数的概念及意义(精练)(解析版)

3x
=(
)
A．2
B．1
2
C．
3
D．6
【答案】C
【解析】∵函数 f（x）在 x＝1 处存在导数，
∴ lim x0
f
1x
3x
f
1
1 lim 3 x0
f
1x
x
f
1
1 3
2
f′（1）=
3
．故选 C．
6．（2020·贵州威宁·高二期末（理））已知 f x 是 f x 的导函数，且 f 1 4 ，则 lim f (1) f (1 2x)
C．3
D．9
【答案】D
【解析】 lim m0
f
x0
3m
m
f
x0
3 lim 3m0
f
x0
3m
3m
f
x0
3
f x0 9
.故选：D.
4．（2020·伊美区第二中学高二期末（文））设
f
(x) 在 x
x0
处可导，则
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
（
）
A． f (x0 )
的是（）
1/8
A． 1, 2
B．2, 3
C．3, 4
D．4, 7
【答案】C
【解析】函数 f x 在区间上的平均变化率为 y ，
x
由函数图象可得，在区间4, 7 上， y 0 即函数 f x 在区间 4, 7 上的平均变化率小于 0；
x
在区间 1, 2
、 2, 3
、3, 4 上时，
y x
0
位是小时，那么物体在 4 小时末的瞬时速度是（）

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