2021年高三理数第一轮复习之第2章 函数(理)：2.9 函数模型及其应用 作业
高三数学一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 2.9 函数模型及其应用课件.ppt
A．10 元
B．20 元
C．30 元
D.430元
14
(2)将进货单价为 80 元的商品按 90 元出售时，能卖出 400 个。若该商品每个涨
价 1 元，其销售量就减少 20 个，为了赚取最大的利润，售价应定为每个( )
A．115 元
B．105 元
C．95 元
D．85 元
解析：(1)设 A 种方式对应的函数解析式为 s＝k1t＋20， B 种方式对应的函数解析式为 s＝k2t， 当 t＝100 时，100k1＋20＝100k2，∴k2－k1＝15。 t＝150 时，150k2－150k1－20＝150×15－20＝10。 选 A。
越来越□5 _慢___
相对平稳
图象的变化
随 x 值增大，图象与 随 x 值增大，图象与□7 随 n 值变化而不
□6 _y___轴接近平行 __x__轴接近平行
同
5
2.几种常见的函数模型
(1)一次函数模型：y＝□8 _a_x_＋__b_，__a_≠__0___；
(2)反比例函数模型：y＝kx(k≠0)；
8
2．抽气机每次抽出容器内空气的 60%，要使容器内剩下的空气少于原来的
0.1%，则至少要抽( )
(参考数据：lg2≈0.301 0，lg3≈0.477 1)
A．15 次
B．14 次
C．9 次
D．8 次
解析：依题意，先建立容器内剩余空气量 y 与抽气次数 x 的函数关系式，即 y＝ (1－0.6)x＝0.4x。要使容器内剩余空气少于原来的 0.1%，则有 y＜0.1%。即 0.4x＜0.001 ＝10－3，两边取常用对数，得 xlg0.4＜－3，即 x(2lg2－1)＜－3，解得 x＞7.5。又 x ∈N*，故 x＝8。
高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 2.9 函数模型及其应用课件 文
12/8/2021
第二十二页，共五十九页。
②当x∈[144,500]时，
yx＝12x＋800x00－200≥2 12x×800x00－200＝200， 当且仅当12x＝800x00，即x＝400时，yx取得最小值200. 因为200<240，所以当每月的处理量为400吨时，才能 使每吨的平均处理成本最低．
第2章 函数、导数(dǎo shù)及其应用
2.9 函数(hánshù)模型及其应用
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第一页，共五十九页。
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第二页，共五十九页。
基础知识过关(guò〃guān)
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第三页，共五十九页。
[知识梳理] 1．七类常见函数模型
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第四页，共五十九页。
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第二十八页，共五十九页。
(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系 式；
(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入 A，B两种产品的生产．
①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？ ②如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该 企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？
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第十五页，共五十九页。
(2)(2017·朝阳区模拟)某商场2017年一月份到十二月份 月销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型：
①f(x)＝p·qx(q>0，q≠1)； ②f(x)＝logpx＋q(p>0，p≠1)； ③f(x)＝x2＋px＋q. 能较准确反映商场月销售额f(x)与月份x关系的函数模 型为___③_____(填写相应函数的序号)，若所选函数满足f(1) ＝10，f(3)＝2，则f(x)＝_x_2_－__8_x_＋__1_7_.
高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用2.9函数模型及其应用课件理
第二章 函数(hánshù)、导数及其应用
第九节 函数模型(móxíng)及其应用
第一页，共33页。
栏
考情分析 1
(fēnxī)
目
基础自主(zìzhǔ) 2
3 考点疑难(yí
nán)突破
导
梳理
航
4 课时跟踪检测
第二页，共33页。
1
考情分析
第三页，共33页。
考点分布
考纲要求
第十三页，共33页。
3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品 x 万件时的生产成本为 C(x)＝12x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是 20 万元，为获取更大 利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件．
解析：利润 L(x)＝20x－C(x)＝－12(x－18)2＋142，当 x＝18 时，L(x)有最大值． 答案：18
第三十页，共33页。
指数函数与对数函数模型的应用技巧 (1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会 合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于 1)的一 类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型． (2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函 数解析式，再借助函数的图象求解最值问题.
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c (a，b，c 为常数，a≠0)
第六页，共33页。
f(x)＝bax＋c 指数函数模型
(a，b，c 为常数，b≠0，a＞0 且 a≠1)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c
(a，b，c 为常数，b≠0，a＞0 且 a≠1)
高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第9节 函数模型及其应用课件 理
第九节 函数 模型及其应用 (hánshù)
12/11/2021
第一页，共五十页。
[考纲传真] 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结 合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增 长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段 函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．
第十七页，共五十页。
课堂题 型 全突破
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第十八页，共五十页。
用函数图象刻画变化过程 1.如图，在不规则图形 ABCD 中，AB 和 CD 是线段，AD 和 BC 是圆弧，直线 l⊥AB 于 E，当 l 从左至右移动(与线 段 AB 有公共点)时，把图形 ABCD 分成两部分，设 AE＝ x，左侧部分面积为 y，则 y 关于 x 的大致图象为( )
所以 L(x)＝－ 353－1x2x＋＋41xx0－03，，x0≥＜8x.＜8，
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第二十八页，共五十页。
(2)当 0＜x＜8 时，L(x)＝－13(x－6)2＋9. 此时，当 x＝6 时，L(x)取得最大值 L(6)＝9 万元， 当 x≥8 时，L(x)＝35－x＋10x0≤35－2 x·1x00＝35－20＝15，此 时，当且仅当 x＝1x00，即 x＝10 时，L(x)取得最大值 15 万元．因为 9＜15，所以当年产量为 10 万件时，小王在这一商品的生产中所获 利润最大，最大利润为 15 万元．
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A
B
C
D
第十九页，共五十页。
解析答案
D [因为左侧部分面积为 y，随 x 的变化而变化，最初面积增加得 快，后来均匀增加，最后缓慢增加，只有 D 选项适合．]
高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第9讲 函数模型及其应用课件
2021/12/11
第十五页，共四十五页。
根据该折线图，下列结论错误的是( ) A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月 D．各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳
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A．消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米 B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽 油最多 C．甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升 汽油 D．某城市机动车最高限速 80 千米/小时．相同条件下， 在该市用丙车比用乙车更省油
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第十一页，共四十五页。
5．[2018·抚顺模拟]某种动物繁殖量 y(只)与时间 x(年) 的关系为 y＝alog3(x＋1)，设这种动物第 2 年有 100 只，则 到第 8 年它们发展到的只数为___2_0_0___．
解析 ∵alog33＝100，∴a＝100，y＝100log39＝200.
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第三十页，共四十五页。
【变式训练 3】 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能
源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要
建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为
6 万元．该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔
热层厚度 x(单位：cm)满足关系 C(x)＝3x＋k 5(0≤x≤10)，若
Hale Waihona Puke 2021/12/11第二十页，共四十五页。
解析 对于 A 选项，从图中可以看出当乙车的行驶速 度大于 40 km/h 时的燃油效率大于 5 km/L，故乙车消耗 1 升汽油的行驶路程可大于 5 千米，所以 A 错误．对于 B 选 项，由图可知甲车消耗汽油最少．对于 C 选项，甲车以 80 km/h 的速度行驶时的燃油效率为 10 km/L，故行驶 1 小时 的路程为 80 千米，消耗 8 L 汽油，所以 C 错误．对于 D 选 项，当最高限速为 80 km/h 且速度相同时丙车的燃油效率大 于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，所以 D 正 确．
山东2021新高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2.9函数模型及应用学案含解析.doc
第九节函数模型及应用课标要求考情分析1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.1.利用函数图象刻画实际问题及建立函数模型解决实际问题，是高考命题的热点．2．常与函数的图象、单调性、最值以及基本不等式、导数的应用交汇命题，考查建模能力及分析问题和解决问题的能力．3．选择题、填空题、解答题三种题型都有考查，但以解答题为主.知识点一指数、对数、幂函数模型性质比较知识点二几种常见的函数模型(1)“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢．(2)充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键．(3)易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性．1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．( × )(2)函数y ＝2x 的函数值比y ＝x 2的函数值大．( × ) (3)不存在x 0，使ax 0<x n 0<log a x 0.( × )(4)在(0，＋∞)上，随着x 的增大，y ＝a x (a >1)的增长速度会超过并远远大于y ＝x a (a >0)的增长速度．( √ )解析：(1)9折出售的售价为100(1＋10%)×910＝99元．∴每件赔1元，(1)错．(2)中，当x ＝2时，2x ＝x 2＝4.不正确．(3)中，如a ＝x 0＝12，n ＝14，不等式成立，因此(3)错．2．小题热身(1)函数模型y 1＝0.25x ，y 2＝log 2x ＋1，y 3＝1.002x ，随着x 的增大，增长速度的大小关系是y 3>y 1>y 2.(2)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．把平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和S 表示为x 的函数是S ＝800x ＋x8(x ∈N *)．(3)某物体一天中的温度T 是关于时间t 的函数，且T ＝t 3－3t ＋60，时间单位是小时，温度单位是℃，当t ＝0时表示中午12：00，其后t 值为正，则上午8时该物体的温度是8_℃.(4)已知某种动物繁殖量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 3(x ＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到200只．(5)在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v (米/秒)关于燃料的质量M (千克)、火箭(除燃料外)的质量m (千克)的函数关系式是v ＝2 000·ln ⎝⎛⎭⎫1＋Mm .当燃料质量是火箭质量的e 6－1倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．解析：(1)根据指数函数、一次函数、对数函数的增长速度关系可得． (2)由题意知，每件产品的生产准备费用是800x元，仓储费用是⎝⎛⎭⎫x 8×1元，所以每件产品的生产准备费用与仓储费用之和S ＝800x ＋x8.(3)由题意知，上午8时即t ＝－4，因此所求温度T ＝(－4)3－3×(－4)＋60＝8(℃)． (4)由题意知100＝a log 3(2＋1)， ∴a ＝100，∴y ＝100log 3(x ＋1)， 当x ＝8时，y ＝100log 39＝200.(5)由题意可得12 000＝2 000ln ⎝⎛⎭⎫1＋M m ， 则ln ⎝⎛⎭⎫1＋M m ＝6，解得1＋M m ＝e 6，所以Mm ＝e 6－1， 故填e 6－1.考点一 一次函数、二次函数模型的应用【例1】 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不能获利，那么国家每月至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？【解】 (1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为y x ＝12x ＋80 000x －200≥212x ·80 000x －200＝200，当且仅当12x ＝80 000x，即x ＝400时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．(2)设该单位每月获利为S ，则S ＝100x －y ＝100x －⎝⎛⎭⎫12x 2－200x ＋80 000 ＝－12x 2＋300x －80 000＝－12(x －300)2－35 000.因为400≤x ≤600， 所以当x ＝400时， S 有最大值－40 000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能使该单位不亏损． 方法技巧在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解．解决函数应用问题时，最后还要还原到实际问题．1．某商场销售A 型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示：销售单价/元 4 5 6 7 8 9 10 日均销售量/件400360320280240200160)应为( C )A ．4B ．5.5C ．8.5D ．10解析：由题意可设定价为x 元/件，利润为y 元，则y ＝(x －3)[400－40(x －4)]＝40(－x 2＋17x －42)，故当x ＝8.5时，y 有最大值，故选C.2．某种商品进价为4元/件，当日均零售价为6元/件，日均销售100件，当单价每增加1元，日均销量减少10件，试计算该商品在销售过程中，若每天固定成本为20元，则预计单价为多少时，利润最大( B )A ．8元/件B ．10元/件C ．12元/件D ．14元/件解析：设单价为(6＋x )元，日均销售量为100－10x ，则日利润y ＝(6＋x －4)(100－10x )－20＝－10x 2＋80x ＋180＝－10(x －4)2＋340(0<x <10)．∴当x ＝4时，y max ＝340.即单价为10元/件，利润最大，故选B.考点二 分段函数模型的应用【例2】 已知美国苹果公司生产某款iPhone 手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元，设苹果公司一年内共生产该款iPhone 手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为R (x )万美元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400－6x ，0<x ≤40，7 400x－40 000x 2，x >40.(1)写出年利润W (万美元)关于年产量x (万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，苹果公司在该款iPhone 手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．【解】 (1)当0<x ≤40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40) ＝－6x 2＋384x －40，当x >40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40) ＝－40 000x－16x ＋7 360.所以，W ＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x 2＋384x －40，0<x ≤40，－40 000x －16x ＋7 360，x >40.(2)①当0<x ≤40时，W ＝－6(x －32)2＋6 104， 所以W max ＝W (32)＝6 104(万美元)； ②当x >40时，W ＝－40 000x －16x ＋7 360，由于40 000x＋16x ≥240 000x×16x ＝1 600， 当且仅当40 000x＝16x ，即x ＝50∈(40，＋∞)时，取等号， 所以W 取最大值为5 760.综合①②知，当x ＝32时，W 取最大值为6 104万美元． 方法技巧(1)分段函数的特征主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，分段函数模型的最值问题，应先求出每一段上的最值，然后比较大小.(2)构造分段函数时，要力求准确，简洁，做到分段合理，保证不重不漏.为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝⎩⎨⎧13x 3－80x 2＋5 040x ，x ∈[120，144)，12x 2－200x ＋80 000，x ∈[144，500]，且每处理1吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿．(1)当x ∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？解：(1)当x ∈[200,300]时，设该项目获利为S 元，则S ＝200x －⎝⎛⎭⎫12x 2－200x ＋80 000＝－12x 2＋400x －80 000＝－12(x －400)2，所以当x ∈[200,300]时，S <0，因此该项目不会获利．当x ＝300时，S 取得最大值－5 000，所以国家每月至少补贴5 000元才能使该项目不亏损．(2)由题意，可知二氧化碳的每吨处理成本为 yx ＝⎩⎨⎧13x 2－80x ＋5 040，x ∈[120，144)，12x ＋80 000x －200，x ∈[144，500]，当x ∈[120,144)时，y x ＝13x 2－80x ＋5 040＝13(x －120)2＋240，所以当x ＝120时，yx 取得最小值240.当x ∈[144,500]时，y x ＝12x ＋80 000x －200≥212x ×80 000x －200＝200，当且仅当12x ＝80 000x. 即x ＝400时，yx 取得最小值200，所以该项目每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．考点三 指数函数、对数函数模型的应用【例3】 已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t (单位：分钟)的变化规律是θ＝m ·2t＋21－t (t ≥0，并且m >0)．(1)如果m ＝2，求经过多长时间，物体的温度为5摄氏度； (2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m 的取值范围． 【解】 (1)若m ＝2，则θ＝2·2t ＋21－t ＝2⎝⎛⎭⎫2t ＋12t ，当θ＝5时，2t ＋12t ＝52，令2t ＝x (x ≥1)，则x ＋1x ＝52，即2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12(舍去)，此时t ＝1.所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度． (2)物体的温度总不低于2摄氏度，即θ≥2恒成立， 即m ·2t ＋22t ≥2恒成立．亦即m ≥2⎝⎛⎭⎫12t －122t 恒成立．令12t ＝y ，则0<y ≤1， ∴m ≥2(y －y 2)恒成立，由于y －y 2≤14，∴m ≥12.因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 方法技巧(1)指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决；(2)应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型；(3)y ＝a (1＋x )n 通常利用指数运算与对数函数的性质求解.1．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金的投入．若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)( D )A ．2017年B ．2018年C ．2019年D ．2020年解析：设经过x 年后全年投入的研发资金开始超过200万元，由题意可得130(1＋0.12)x＝200，则x ＝log 1.122013，即x ＝lg20－lg13lg1.12＝1＋lg2－1－lg1.3lg1.12≈0.30－0.110.05≈4，2 016＋4＝2 020，故选D.2．我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同的要求．音量大小的单位是分贝(dB)，对一个强度为I 的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10lg II 0(其中I 0是人耳能听到声音的最低声波强度)，则70 dB 的声音的声波强度I 1是60 dB 的声音的声波强度I 2的( C )A.76倍 B ．1076倍C ．10倍D ．ln 76倍解析：由η＝10lg I I 0得I ＝I 010η10，所以I 1＝I 0107，I 2＝I 0106，所以I 1I 2＝10，所以70 dB 的声音的声波强度I 1是60 dB 的声音的声波强度I 2的10倍，故选C.。
2021届高考数学一轮复习课件：第二章函数及其应用2.9函数模型及其应用
2.(必修1P69习题2-3AT7改编)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某
企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)= 1 x2+2x+20(万元).一万件
2
售价为20万元,为获取更大利润,该企业一个月应生产该商品数量为______万件.
【解析】利润L(x)=20x-C(x)=-1 (x-18)2+142,
【典例】牧场中羊群的最大蓄养量为m只,为保证羊群的生长空间,实际蓄养量 不能达到最大蓄养量,必须留出适当的空闲量.已知羊群的年增长量y只和实际 蓄养量x只与空闲率的乘积成正比,比例系数为k(k>0). (1)写出y关于x的函数关系式,并指出这个函数的定义域. (2)求羊群年增长量的最大值. (3)当羊群的年增长量达到最大值时,求k的取值范围.
【易错点索引】
序号 1 2 3 4 5
易错警示 忽略图象的横纵坐标的意义
忽略图象的变化趋势 忽略函数的表示方法(列表)
忽略自变量的取值 忽略基本不等式成立的条件
典题索引 考点一、T1 考点一、T2、4 考点二、T3 考点三、角度1 考点三、角度2
【教材·基础自测】 1.(必修1P67例4改编)某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示, 则下列说法中错误的是( )
A.收入最高值与收入最低值的比是3∶1 B.结余最高的月份是7月 C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同 D.前6个月的平均收入为40万元
【解析】选D.由题图可知,收入最高值为90万元,收入最低值为30万元,其比是 3∶1,故A正确;由题图可知,7月份的结余最高,为80-20=60(万元),故B正确;由题 图可知,1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同,故C正确;由 题图可知,前6个月的平均收入为 1 ×(40+60+30+30+50+60)=45(万元),故D错误.
2021年高考数学一轮复习 第二章 第9讲 函数模型及其应用资料(艺术班)
2021年高考数学一轮复习第二章第9讲函数模型及其应用资料（艺术班）一、必记2个知识点1．几种常见的函数模型2．三种函数模型性质比较二、必明1．易忽视实际问题的自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域．2．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．三、必会1个方法解决实际应用问题的一般步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：考点一一次函数与二次函数模型1.某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t (分钟)与电话费s (元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差( )A ．10元B ．20元C ．30元 D.403元 解析：选A 依题意可设s A (t )＝20＋kt ，s B (t )＝mt ， 又s A (100)＝s B (100)，∴100k ＋20＝100m ，得k －m ＝－0.2，于是s A (150)－s B (150)＝20＋150k －150m ＝20＋150×(－0.2)＝－10， 即两种方式电话费相差10元，选A.2．(xx·北京西城区抽检)将进货单价为80元的商品按90元出售时，能卖出400个．若该商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了赚取最大的利润，售价应定为每个( )A ．115元B ．105元C ．95元D ．85元解析：选C 设售价定为(90＋x )元，卖出商品后获得利润为：y ＝(90＋x －80)(400－20x )＝20(10＋x )(20－x )＝20(－x 2＋10x ＋200)＝－20(x 2－10x －200)＝－20[(x －5)2－225]，∴当x ＝5时，y 取得最大值，即售价应定为：90＋5＝95(元)，选C.3．为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为：y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？解：设该单位每月获利为S ，则S ＝100x －y ＝100x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80 000＝－12x 2＋300x －80 000＝－12(x －300)2－35 000，因为400≤x ≤600，所以当x ＝400时，S 有最大值－40 000. 故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能不亏损． [类题通法]求解一次函数与二次函数模型问题的关注点(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错； (2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；(3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．考点二分段函数模型[典例] 大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式．(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)．[解] (1)由题意：当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003，故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x ≤20，200－x3，20<x ≤200.(2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，0≤x ≤20，x 200－x3，20<x ≤200.当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20<x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )≤13⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋200－x 22＝10 0003. 当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立． 所以当x ＝100时，f (x )在区间(20,200]上取得最大值． 综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值f (x )max ＝10 0003≈3 333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时．[类题通法]应用分段函数模型的关注点(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．(2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏． (3)分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者)． [针对训练]某公司研制出了一种新产品，试制了一批样品分别在国内和国外上市销售，并且价格根据销售情况不断进行调整，结果40天内全部销完．公司对销售及销售利润进行了调研，结果如图所示，其中图①(一条折线)、图②(一条抛物线段)分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系，图③是每件样品的销售利润与上市时间的关系．(1)分别写出国外市场的日销售量f (t )与上市时间t 的关系及国内市场的日销售量g (t )与上市时间t 的关系；(2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于6 300万元？若有，请说明是上市后的第几天；若没有，请说明理由．解：(1)图①是两条线段，由一次函数及待定系数法，得f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0≤t ≤30，－6t ＋240，30<t ≤40.图②是一个二次函数的部分图像，故g (t )＝－320t 2＋6t (0≤t ≤40)．(2)每件样品的销售利润h (t )与上市时间t 的关系为h (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，0≤t ≤20，60，20<t ≤40.故国外和国内的日销售利润之和F (t )与上市时间t 的关系为F (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋8t ，0≤t ≤20，60⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋8t ，20<t ≤30，60⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋240，30<t ≤40.当0≤t ≤20时，F (t )＝3t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋8t ＝－920t 3＋24t 2，∴F ′(t )＝－2720t 2＋48t ＝t ⎝⎛⎭⎪⎫48－2720t ≥0，∴F (t )在[0,20]上是增函数，∴F (t )在此区间上的最大值为F (20)＝6 000<6 300.当20<t ≤30时，F (t )＝60⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋8t .由F (t )＝6 300，得3t 2－160t ＋2 100＝0，解得t ＝703(舍去)或t ＝30. 当30<t ≤40时，F (t )＝60⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋240. 由F (t )在 (30,40]上是减函数，得F (t )<F (30)＝6 300.故国外和国内的日销售利润之和可以恰好等于6 300万元，为上市后的第30天．考点三指数函数模型[典例] 半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)今后最多还能砍伐多少年？[解] (1)设每年降低的百分比为x(0<x<1)．则a(1－x)10＝12a，即(1－x)10＝12，解得x＝1－⎝⎛⎭⎪⎫12110.(2)设经过m年剩余面积为原来的22，则a(1－x)m＝22a，即⎝⎛⎭⎪⎫12＝⎝⎛⎭⎪⎫12，m10＝12，解得m＝5.故到今年为止，已砍伐了5年．(3)设从今年开始，以后砍了n年，则n年后剩余面积为22a(1－x)n.令22a(1－x)n≥14a，即(1－x)n≥24，⎝⎛⎭⎪⎫12≥⎝⎛⎭⎪⎫12，n10≤32，解得n≤15.故今后最多还能砍伐15年．[类题通法]应用指数函数模型应注意的问题(1)指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决．(2)应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型．(3)y＝a(1＋x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解．提醒：解指数不等式时，一定要化为同底，且注意对应函数的单调性．[针对训练](xx·长春联合测试)某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( ) A．略有盈利 B．略有亏损C．没有盈利也没有亏损 D．无法判断盈亏情况解析：选B 设该股民购这支股票的价格为a，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n，经历n 次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a<a，故该股民这支股票略有亏损．课后作业[练一练](xx·陕西高考)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________(m)．解析：设矩形花园的宽为y m，则x40＝40－y40，即y＝40－x，矩形花园的面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，当x＝20 m时，面积最大．答案：20[试一试]据调查，苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元，若普通车存车数为x 辆次，存车费总收入为y 元，则y 关于x 的函数关系是( )A ．y ＝0.1x ＋800(0≤x ≤4 000)B ．y ＝0.1x ＋1 200(0≤x ≤4 000)C ．y ＝－0.1x ＋800(0≤x ≤4 000)D ．y ＝－0.1x ＋1 200(0≤x ≤4 000) 解析：选D y ＝0.2x ＋(4000－x )×0.3＝－0.1x ＋1 200.(0≤x ≤4 000) 做一做1．(xx·南昌质检)往外埠投寄平信，每封信不超过20 g ，付邮费0.80元，超过20 g 而不超过40 g ，付邮费1.60元，依此类推，每增加20 g 需增加邮费0.80元(信的质量在100 g 以内)．如果某人所寄一封信的质量为72.5 g ，则他应付邮费( )A ．3.20元B ．2.90元C ．2.80元D ．2.40元 解析：选A 由题意得20×3<72.5<20×4，则应付邮费0.80×4＝3.20(元)．故选A. 2．(xx·广州模拟)在某个物理实验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据，如下表：则对x ，y A ．y ＝2x B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －2D ．y ＝log 2x解析：选D 根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B 、C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意．故选D.3．一种产品的成本原为a 元，在今后的m 年内，计划使成本平均每年比上一年降低p %，成本y 是关于经过年数x (0<x ≤m )的函数，其关系式y ＝f (x )可写成__________________．解析：依题意有y ＝a (1－p %)x(0<x ≤m )．答案：y ＝a (1－p %)x(0<x ≤m )4．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y ＝x 25－48x ＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解：(1)每吨平均成本为y x (万元)．则y x ＝x 5＋8 000x －48≥2x 5·8 000x－48＝32， 当且仅当x 5＝8 000x，即x ＝200时取等号．∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低，最低为32万元．(2)设可获得总利润为R (x )万元，则R (x )＝40x －y ＝40x －x 25＋48x －8 000＝－x 25＋88x －8 000＝－15(x －220)2＋1 680(0≤x ≤210)．∵R (x )在[0,210]上是增函数，∴x ＝210时，R (x )有最大值为－15(210－220)2＋1 680＝1 660.∴年产量为210吨时，可获得最大利润，最大利润是1 660万元．5．设甲、乙两地的距离为a (a ＞0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y 和其所用的时间x 的函数图像为( )解析：选D 注意到y 为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，用定性分析法不难得到答案为D.6．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是( )A ．y ＝100xB ．y ＝50x 2－50x ＋100 C ．y ＝50×2xD ．y ＝100log 2x ＋100解析：选C 根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型．7．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是( )A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③解析：选A 由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的12，所以0点到3点不出水，3点到4点也可能一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是①.8某种新药服用x 小时后血液中的残留量为y 毫克，如图所示为函数y ＝f (x )的图像，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为( )A ．上午10：00B ．中午12：00C ．下午4：00D ．下午6：00解析：选C 当x ∈[0,4]时，设y ＝k 1x ，把(4,320)代入，得k 1＝80，∴y ＝80x .当x ∈[4,20]时，设y ＝k 2x ＋b .把(4,320)，(20,0)代入得⎩⎪⎨⎪⎧4k 2＋b ＝320，20k 2＋b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝－20，b ＝400.∴y ＝400－20x .∴y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧80x ，0≤x ≤4，400－20x ，4<x ≤20.由y ≥240，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，80x ≥240，或⎩⎪⎨⎪⎧4<x ≤20，400－20x ≥240.解得3≤x ≤4或4<x ≤8，∴3≤x ≤8.故第二次服药最迟应在当日下午4：00.故选C.9.一高为H ，满缸水量为V 的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞 ，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为h 时的水的体积为v ，则函数v ＝f (h )的大致图像可能是图中的________．解析：当h ＝0时，v ＝0可排除①、③；由于鱼缸中间粗两头细，∴当h 在H2附近时，体积变化较快；h 小于H 2时，增加越来越快；h 大于H2时，增加越来越慢．答案：② 10.如图，书的一页的面积为600 cm 2，设计要求书面上方空出2 cm 的边，下、左、右方都空出1 cm 的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为________．解析：设长为a cm ，宽为b cm ，则ab ＝600 cm ，则中间文字部分的面积S ＝(a －2－1)(b －2)＝606－(2a ＋3b )≤606－26×600＝486，当且仅当2a ＝3b ，即a ＝30，b ＝20时，S 最大＝486 cm 2.答案：30 cm,20 cm11．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值是________．解析：七月份的销售额为500(1＋x %)，八月份的销售额为500(1＋x %)2，则一月份到十月份的销售总额是3 860＋500＋2 [500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]，根据题意有3 860＋500＋2[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]≥7 000，即25(1＋x %)＋25(1＋x %)2≥66，令t ＝1＋x %，则25t 2＋25t －66≥0， 解得t ≥65或者t ≤－115(舍去)，故1＋x %≥65，解得x ≥20.答案：2012．(xx·昆明质检)某地近年来持续干旱，为倡导节约用水，该地采用了“阶梯水价”计费方法，具体方法：每户每月用水量不超过4吨的每吨2元；超过4吨而不超过6吨的，超出4吨的部分每吨4元；超过6吨的，超出6吨的部分每吨6元．(1)写出每户每月用水量x (吨)与支付费用y (元)的函数关系； (2)该地一家庭记录了去年12个月的月用水量(x ∈N *)如下表：月用水量x (吨)3 4 5 6 7 频数13332请你计算该家庭去年支付水费的月平均费用(精确到1元)；(3)今年干旱形势仍然严峻，该地政府号召市民节约用水，如果每个月水费不超过12元的家庭称为“节约用水家庭”，随机抽取了该地100户的月用水量作出如下统计表：据此估计该地“节约用水家庭”的比例．解：(1)y 关于x 的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤4，4x －8，4<x ≤6，6x －20，x >6.(2)由(1)知：当x ＝3时，y ＝6；当x ＝4时，y ＝8；当x ＝5时，y ＝12； 当x ＝6时，y ＝16；当x ＝7时，y ＝22.所以该家庭去年支付水费的月平均费用为 112(6×1＋8×3＋12×3＋16×3＋22×2)≈13(元)． (3)由(1)和题意知：当y ≤12时，x ≤5， 所以“节约用水家庭”的频率为77100＝77%，据此估计该地“节约用水家庭”的比例为77%. 14．已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t (单位：分钟)的变化规律是θ＝m ·2t＋21－t(t ≥0，并且m >0)．(1)如果m ＝2，求经过多长时间，物体的温度为5摄氏度； (2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m 的取值范围．解：(1)若m ＝2，则θ＝2·2t＋21－t＝2⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋12t ，当θ＝5时，2t＋12t ＝52，令2t ＝x (x ≥1)，则x ＋1x ＝52即2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12(舍去)，此时t ＝1.所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度．(2)物体的温度总不低于2摄氏度，即θ≥2恒成立，亦m ·2t＋22t ≥2恒成立，亦即m ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －122t 恒成立．令12t ＝y ，则0<y ≤1，∴m ≥2(y －y 2)恒成立，由于y －y 2≤14，∴m ≥12. 因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.15．(xx·威海高三期末)对于函数f (x )，如果存在锐角θ，使得f (x )的图像绕坐标原点逆时针旋转角θ，所得曲线仍是一函数，则称函数f (x )具备角θ的旋转性，下列函数具备角π4的旋转性的是( )A ．y ＝xB ．y ＝ln xC ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x D ．y ＝x 2解析：选C 函数f (x )的图像绕坐标原点逆时针旋转角π4，相当于x 轴、y 轴绕坐标原点顺时针旋转角π4，问题转化为直线y ＝x ＋k 与函数f (x )的图像不能有两个交点，结合图像可知y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与直线y ＝x ＋k 没有两个交点，故选C.!921872 5570 啰sAw37500 927C 鉼;I40263 9D47 鵇21957 55C5 嗅28654 6FEE 濮31780 7C24 簤)。
2.9 函数模型及其应用 2021年高考数学复习优化一轮用书文数
考点1
考点2
考点3
考点4
-34-
2.实际问题中往往涉及一些最值问题,我们可以利用二次函数的 最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值.
1.解应用题的关键是审题,不仅要明白、理解问题讲的是什么,还 要特别注意一些关键的字眼(如“几年后”与“第几年”),学生常常由 于读题不谨慎而漏读和错读,导致题目不会做或函数解析式写错.
(3)指数型函数模型,一般用于解决变化较快,短时间内变化量较
大的实际问题. ( √ )
(4)已知f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈ (4,+∞)时,恒有
h(x)<f(x)<g(x). ( √ )
(5)“指数爆炸”是指数型函数y=a·bx+c(a>0,b>1)增长速度越来越
快的形象比喻. ( √ )
x年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)x. 所以该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式是 y=100×(1+1.2%)x.
考点1
考点2
考点3
考点4
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(2)10年后该城市人口总数为100×(1+1.2%)10≈112.7(万). 所以10年后该城市人口总数约为112.7万. (3)设x年后该城市人口将达到120万人,即100(1+1.2%)x≥120,
-11-
考点1
考点2
考点3
考点4
解:由题意知S(t)=g(t)f(t),
解题心得在现实生活中,很多问题涉及的两个变量之间的关系是 二次函数关系,如面积问题、利润问题、产量问题等.构建二次函 数模型,利用二次函数的图象与单调性解决.
考点1
考点2
2021新高考2版数学一轮课件：第二章 第九节 函数模型及其应用
解析 (1)由已知得192=eb,①
48=e22k+b=e22k·eb,②
将①代入②得e22k= 1 ,则e11k= 1 ,
4
2
当x=33时,y=e33k+b=e33k·eb=
1 2
3
×192=24,所以该食品在33
℃的保鲜时间是24小
时.故选C.
(2)设第n(n∈N*)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元.
2
因为400≤x≤600,所以当x=400时,S有最大值-40 000.故该单位不获利,需要国
家每月至少补贴40 000元,才能不亏损.
考点二 指数函数模型
典例3 某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监 测,服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所 示的曲线.
解析 (1)由题意可知,当这种鸟类静止时,它的速度为0 m/s,此时耗氧量为30
个单位,则a+blog3
30 10
=0,即a+b=0;
当耗氧量为90个单位时,速度为1
m/s,则a+blog3
90 10
=1,
整理得a+2b=1.
解方程组aa
b2b01, ,得 ba
-1, 1.
(2)由(1)知,v=a+blog3
y
-0.99
0.01
0.98
2.00
则对x,y最适合的拟合函数是 ( D )
A.y=2x C.y=2x-2
B.y=x2-1 D.y=log2x
3.前两年某商品的价格每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格 与原来价格比较,变化的情况是 ( A ) A.减少7.84% B.增加7.84% C.减少9.5% D.不增不减
2.9函数模型及其应用-2021届高三数学一轮复习考点突破课件(共32张PPT)
(2)设第 t 周时每件销售利润为 L(t)，
10＋2t＋0.125（t－8）2－12，t∈[0，5]，t∈N， 则 L(t)＝20＋0.125（t－8）2－12，t∈（5，10]，t∈N，
40－2t＋0.125（t－8）2－12，t∈（10，16]，t∈N， 0.125t2＋6，t∈[0，5]，t∈N， ＝0.125（t－8）2＋8，t∈（5，10]，t∈N， 0.125t2－4t＋36，t∈（10，16]，t∈N.
超过 4 000 元的按全稿酬的 11%纳税.若某人一次纳税 420 元，则
这个人此次的稿费为 ( )
A.3 000 元
B.3 800 元
C.3 818 元
D.5 600 元
解：由题意可建立纳税额 y(元)关于稿费 x(元)的函数解析式为
0，x≤800， y＝0.14（x－800），800<x≤4 000，
(1)试求 p＝f(t)的函数关系式； (2)老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳？请说明理 由.
解：(1)当 t∈(0，14]时，设 p＝f(t)＝c(t－12)2＋82(c<0)，
将点(14，81)代入得 c＝－14，t∈(0，14]时，p＝f(t)＝－14(t－12)2
＋82；当 t∈(14，40]时，将点(14，81)代入 y＝loga(t－5)＋83， 得 a＝13，
随 x 值增大， 图象与____轴
接近平行
y＝xn(n＞0)
单调____函数 相对平稳
随 n 值变 化而不同
2.函数建模
(1)函数模型应用的两个方面
①利用已知函数模型解决问题；
②建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有
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2021年高三理数第一轮复习之第2章函数（理）：2.9函数模型及其应用基础巩固组1.(2019陕西铜川一中期中)某品牌电视新品投放市场后第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好地反映销售y(单位:台)与投放市场的月数x之间关系的是()A.y=100xB.y=50x2-50x+100C.y=50×2xD.y=100log2x+1002.(2019江苏启东中学模拟)某位股民购进某只股票,在接下来的交易时间内,他的这只股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%),又经历了n次跌停(每次下跌10%),则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A.略有盈利B.略有亏损C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况3.(2019山西朔州一中期末)设某公司原有员工100人从事产品A的生产,平均每人每年创造产值t万元(t为正常数).公司决定从原有员工中分流x(0<x<100,x∈N*)人去进行新开发的产品B的生产.分流1后,继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少,则最多能分流的人数是()A.15B.16C.17D.184.(2019长春外国语学校模拟)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=e kx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是()A.16小时B.20小时C.24小时D.28小时5.(2019湖北黄石一中月考)“好酒也怕巷子深”,许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的.已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R=a√A(a为常数),广告效应为D=a√A-A.那么精明的商人为了取得最大广告效应,投入的广告费应为(用常数a表示).6.企业投入100万元购入一套设备,该设备每年的运转费用是0.5万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为2万元,由于设备老化,以后每年的维护费都比上一年增加2万元.为使该设备年平均费用最低,该企业年后需要更新设备.7.(2019上海杨浦区高三一模)上海某工厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品,每一小时可获得的)元,其中1≤x≤10.利润是(5x+1-3x(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于30元,求x的取值范围;(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问:该厂应选取何种生产速度?并求最大利润.28.(2019河南八市联考二,20)如图,将宽和长都分别为x,y(x<y)的两个矩形部分重叠放在一起后形成的正十字形面积为√5.(注:正十字形指的是原来的两个矩形的顶点都在同一个圆上,且两矩形长所在的直线互相垂直的图形)(1)求y关于x的函数解析式;(2)当x,y取何值时,该正十字形的外接圆面积最小,并求出其最小值.34综合提升组9.(2019全国2,理4)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆,我国航天事业取得又一重大成就,实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”,鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 2点的轨道运行.L 2点是平衡点,位于地月连线的延长线上.设地球质量为M 1,月球质量为M 2,地月距离为R ,L 2点到月球的距离为r ,根据牛顿运动定律和万有引力定律,r 满足方程:M 1(R+r )2+M 2r 2=(R+r )M1R 3. 设α=rR ,由于α的值很小,因此在近似计算中3α3+3α4+α5(1+α)2≈3α3,则r 的近似值为( )A.√M2M1RB.√M22M1RC.√3M 2M 13R D.√M 23M 13R 10.(2019湖南娄底一中期中)大学毕业生小赵想开一家服装专卖店,经过预算,该门面需要装修费为20 000元,每天需要房租、水电等费用100元,受经营信誉度、销售季节等因素的影响,专卖店销售总收益R 与门面经营天数x 的关系是R (x )={400x -12x 2,0≤x ≤400,80 000,x >400,则总利润最大时,该门面经营的天数是 .11.(2019云南曲靖一中月考)已知某服装厂生产某种品牌的衣服,销售量q(x)(单位:百件)关于每件衣服的利润x(单位:元)的函数解析式为q(x)={1260x+1,0<x≤20,90-3√5√x,20<x≤180,求该服装厂所获得的最大效益是多少元?创新应用组12.(2019全国1,理4)56古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是√5-12√5-12≈0.618,称为黄金分割比例,著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是√5-12.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是( ) A.165 cm B.175 cm C.185 cmD.190 cm13.(2019湖南湘潭三模,7)某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元,每年最大规模的种植是8万斤,每种植一斤藕,成本增加0.5元,如果销售额函数是f (x )=-18x 3+916ax 2+12x (x 是莲藕种植量,单位:万斤;销售额的单位:万元,a 是常数),若种植2万斤,利润是2.5万元,则要使利润最大,每年种植莲藕( ) A.8万斤 B.6万斤 C.3万斤 D.5万斤参考答案2.9函数模型及其应用1.C根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知,应为指数型函数模型,代入数据验证即可,故选C.2.B设该股民购进这只股票的价格为a元,则经历n次涨停后的价格为a(1+10%)n=a×1.1n元,经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1-10%)n=a×1.1n×0.9n=a×(1.1×0.9)n=0.99n·a<a,故该股民这只股票略有亏损.3.B由题意,分流前每年创造的产值为100t(万元),分流x人后,每年创造的产值为(100-x)(1+1.2x%)t,则{0<x<100,x∈N*,(100-x)(1+1.2x%)t≥100t,解得0<x≤503.因为x∈N*,所以x的最大值为16.4.C由题意得192=e b,①48=e22k+b=e22k·e b,②将①代入②得e22k=14,则e11k=12,当x=33时,y=e33k+b=e33k·e b=(12)3×192=24,所以该食品在33 ℃的保鲜时间是24小时.故选C.5.14a2令t=√A(t≥0),则A=t2,78所以D=at-t2=-(t -12a)2+14a 2.所以当t=12a ,即A=14a 2时,D 取得最大值.6.10 由题意可知x 年的维护费用为2+4+…+2x=x (x+1),所以x 年的平均费用y=100+0.5x+x (x+1)x=x+100x +1.5,由基本不等式得y=x+100x +1.5≥2√x ·100x+1.5=21.5,当且仅当x=100x,即x=10时取等号,所以该企业10年后需要更新设备.7.解 (1)根据题意,2(5x +1-3x )≥30,得5x-14-3x≥0,解得x ≥3或x ≤-15. 又1≤x ≤10,可得3≤x ≤10. (2)设利润为y 元,则y=900x 5x+1-3x=900-3(1x -16)2+6112,故x=6时,y max =4 575.8.解 (1)由题意可得2xy-x 2=√5,则y=x 2+√52x .∵y>x ,∴x 2+√52x>x ,解得0<x<√54.∴y 关于x 的解析式为y=x 2+√52x(0<x<√54).(2)设正十字形的外接圆的直径为d , 由图可知d 2=x 2+y 2=x2+(x 2+√52x)2=5x 24+54x 2+√52≥52+√52,当且仅当x=1,y=√5+12时,正十字形的外接圆直径d 最小,最小为√5+√5=√10+2√5,则半径最小值为√10+2√54,9∴正十字形的外接圆面积最小值为π×(√10+2√54)2=5+√58π. 9.D 由α=rR ,得r=αR.∵M 1(R+r )2+M2r 2=(R+r )M 1R 3, ∴M 1R 2(1+α)2+M 2α2R 2=(1+α)M 1R 2,即M 2M 1=α2(1+α)3-1(1+α)2=α5+3α4+3α3(1+α)2≈3α3,解得α≈√M 23M13.∴r=αR ≈√M23M 13R. 10.300 由题意,总利润y={400x -12x 2-100x -20 000,0≤x ≤400,60 000-100x ,x >400,当0≤x ≤400时,y=-12(x-300)2+25 000,所以当x=300时,y max =25 000;当x>400时,y=60 000-100x<20 000.综上,当x=300天时,总利润最大. 11.解 设该服装厂所获效益为f (x )元,则f (x )=100xq (x )={126 000xx+1,<x ≤20,100x (90-3√5√x ),20<x ≤180.当0<x ≤20时,f (x )=126 000x x+1=126 000-126 000x+1,f (x )在区间(0,20]上单调递增,所以当x=20时,f (x )有最大值120 000.当20<x ≤180时,f (x )=9 000x-300√5·x √x ,则f'(x )=9 000-450√5·√x ,令f'(x )=0,得x=80.当20<x<80时,f'(x )>0,f (x )单调递增,当80<x≤180时,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以当x=80时,f(x)有极大值,也是最大值240 000.由于120 000<240 000.故该服装厂所获得的最大效益是240 000元.12.B设人体脖子下端至肚脐的长度为x cm,则26x ≈√5-12,得x≈42.07,又其腿长为105 cm,所以其身高约为42.07+105+26=173.07(cm),接近175 cm.故选B.13.B设销售利润为g(x),得g(x)=-18x3+916ax2+12x-1-12x=-18x3+916ax2-1,当x=2时,g(2)=-18×23+916a×22-1=2.5,解得a=2.∴g(x)=-18x3+98x2-1,g'(x)=-38x2+94x=-38x(x-6),∴函数g(x)在(0,6)上单调递增,在(6,8)上单调递减.∴x=6时,函数g(x)取得极大值即最大值,故选B.10。