直线二级倒立摆的建模和控制综述
二级倒立摆模糊控制设计
目录绪论 (4)1 倒立摆系统的建模 (5)1.1 倒立摆系统的特性分析 (5)1.2 二级倒立摆系统的数学建模 (5)1.2.1 基于牛顿力学的二级倒立摆系统数学模型建立 (7)1.3 二级倒立摆系统数学模型的线性化处理 (7)2 线性二次型最优控制（LQR）的方案设计 (9)2.1 二级倒立摆性能分析 (9)2.1.1 稳定性分析 (9)2.1.2 能控性能观性分析 (9)2.2 线性二次型最优调节器原理 (10)2.3 加权阵Q和R的选择 (12)3 模糊控制的基本原理 (13)3.1 模糊理论的基本知识 (13)3.1.1 模糊控制概述 (13)3.1.2 模糊集合 (13)3.1.3 模糊规则和模糊推理 (14)3.1.4 反模糊化 (15)3.2 模糊控制系统的设计 (15)3.2.1 模糊控制系统的组成及原理 (15)3.2.2 模糊控制器设计的基本方法与步骤 (17)3.3 二级倒立摆模糊控制器的设计 (18)4 二级倒立摆模糊控制系统的MATLAB仿真 (21)4.1 基于最优调节器的二级倒立摆控制系统的MATLAB仿真 (21)4.2 基于模糊控制器的二级倒立摆控制系统的MATLAB仿真 (24)4.2.1 二级倒立摆模糊控制系统的仿真波形 (24)4.2.2 量化因子和比例因子对模糊控制器性能的影响 (25)4.3 两种控制系统的MATLAB仿真对比研究 (26)结束语 (27)致谢 (28)参考文献 (29)附录 (30)摘要本文以二级倒立摆模型为控制对象，首先阐述了倒立摆系统控制算法的研究发展过程和现状，介绍了倒立摆系统的结构和数学模型，并详细推导了二级倒立摆的数学模型。
其次，本文主要研究倒立摆系统的现代控制方法以及智能控制方法，用LQR 最优控制方法、模糊控制理论设计了控制器，通过MATLAB及SIMULINK仿真两个控制器，分析指出两方法的优缺点，结果表明：智能控制策略不仅能满足非线性系统的控制要求，而且能明显改善控制指标，整个系统具有更好的动态特性。
二级倒立摆系统的最优控制
∞
ut
+
B
+
1 /S
x
C
y
A
R-1BT
P
五、仿真分析
将某二级倒立摆系统模型各参数代入式1-8，得出系数矩阵 设, 写出Matlab程序如下：
A=[0,0,0,1,0,0;0,0,0,0,1,0;0,0,0,0,0,1; 0,-2.57163,0.164291,-16.6674,0.0124145,0.005; 0,29.9499,-15.1957,40.3167,-0.204856,0.17380; 0,29.9499,65.4455,-49.3949,0.463474,-0.59148]; B=[0;0;0;8.64636;-20.9146;25.9146]; C=[1 0 0 0 0 0;0 1 0 0 0 0;0 0 1 0 0 0];D=[0;0;0]; %求开环特征值 r1=eig(A) %加入最优反馈器 q1=100;q2=10;q3=5000;q4=0;q5=0;q6=0; Q=[q1 0 0 0 0 0;0 q2 0 0 0 0;0 0 q3 0 0 0;0 0 0 q4 0 0;0 0 0 0 q5 0;0 0 0 0 0 q6];R=1; %求最优增益矩阵、黎卡提方程的解、闭环特征值 [K,P,r2]=lqr(A,B,Q,R) Ac=[(A-B*K)];Bc=[B];Cc=[C];Dc=[D]; T=0:0.02:20;U=zeros(size(T)); x0=[0;-0.05;0.1;0;0;0]; [Y,X]=lsim(Ac,Bc,Cc,Dc,U,T,x0); %绘制下摆偏离垂直方向的角度变化曲线 figure(1);plot(T,Y(:,1)); xlabel('Time/sec');ylabel('01/rad');grid; %绘制上下摆角度之差的曲线 figure(2);plot(T,Y(:,2)); xlabel('Time/sec');ylabel('02-01/rad');grid; %绘制小车位移曲线 figure(3);plot(T,Y(:,3)) xlabel('Time/sec');ylabel('x(小车)/m');grid;
倒立摆建模与控制
倒⽴摆建模与控制2倒⽴摆系统的模型建⽴2.1 倒⽴摆特性●⾮线性倒⽴摆是⼀个典型的⾮线性复杂系统，实际中可以通过线性化得到系统的近似线性模型，线性化处理后再进⾏控制。
也可以利⽤⾮线性控制理论对其进⾏控制。
●不确定性模型误差以及机械传动间隙，各种阻⼒带来实际系统的不确定性。
实际控制中⼀般通过减少各种误差降低不确定性，如施加预紧⼒减少⽪带或齿轮的传动误差，利⽤滚珠轴承减少摩擦阻⼒等不确定性因素。
●耦合性倒⽴摆的各级摆杆之间，以及和运动模块之间都有很强的耦合关系，在倒⽴摆的控制中⼀般都在平衡点附近进⾏解耦计算，忽略⼀些次要的耦合量。
●开环不稳定性倒⽴摆的平衡状态只有两个，即垂直向上的状态和垂直向下的状态，其中垂直向上为绝对不稳定平衡点，垂直向下为稳定平横点。
●约束限制由于机构的限制，如运动模块的⾏程限制，电机⼒矩限制等。
为了制造⽅便和降低成本，倒⽴摆的结构尺⼨和电机的功率尽量要求最⼩。
⾏程限制对倒⽴摆的摆起影响尤为突出，容易出现⼩车撞边现象[22]。
2.2 ⼀阶倒⽴摆数学模型倒⽴摆系统是典型的运动的刚性系统，可以在惯性坐标系内应⽤经典⼒学理论建⽴系统的动⼒学⽅程。
下⾯分别采⽤⽜顿⼒学⽅法和拉格朗⽇⽅法建⽴直线型⼀级，⼆级倒⽴摆系统的数学模型。
2.2.1 ⼀级倒⽴摆物理模型在忽略了空⽓阻⼒和各种摩擦之后，可将直线型⼀级倒⽴摆系统抽象成⼩车和匀质杆组成的系统，如图2.1所⽰：⽪带轮图2.1 单级倒⽴摆系统物理模型2.2.2 ⼀级倒⽴摆数学模型各符号代表的意义及相关的数值：表2.1 ⼀级倒⽴摆参数表参数参数意义参数值 M ⼩车质量 1.096Kg m 摆杆质量 0.13Kg b ⼩车摩擦系数0.1N/m/sec l 摆杆转动轴⼼到杆质⼼的长度0.25m I 摆杆转动惯量 0.0034Kg*m*mf 加到⼩车上的⼒ x⼩车位置φ摆杆与竖直向上⽅向的夹⾓通过对系统中⼩车和摆杆进⾏受⼒分析，分别可得到以下运动⽅程：2()cos sin F M m x bx ml ml θθθθ=++-+ (2.1) 22()sin cos 2sin (sin cos )I ml mgl mlx ml θθθθθθθθ+-=++ (2.2)22222cos sin cos 2sin sin 2sin cos M m ml x F bx ml ml ml I ml mgl ml θθθθθθθθθθ+-?--=----(2.3) 2.3 ⼆阶倒⽴摆数学模型2.3.1 ⼆级倒⽴摆物理模型如图2.3所⽰为直线型⼆级倒⽴摆物理模型⽪带轮图2.3⼆级倒⽴摆系统的物理模型倒⽴摆装置主要由沿导轨运动的⼩车和固定到⼩车上的两个摆体组成。
二级直线倒立摆系统建模、仿真与实物控制的开题报告
二级直线倒立摆系统建模、仿真与实物控制的开题报告一、选题背景及意义直线倒立摆系统是一种应用广泛的控制系统，它具有复杂的非线性特性，因此对其建模、控制和仿真都具有一定的挑战性。
直线倒立摆系统广泛应用于自动驾驶、飞行器、医疗器械等领域。
本文将研究二级直线倒立摆系统的建模、仿真与实物控制，以提高对该系统的理解和掌握。
通过实验控制实际系统，验证仿真模型的正确性并提高控制策略的可靠性与性能。
二、研究内容1.二级直线倒立摆系统的建模研究系统的动力学特性，建立数学模型，包括机械、电子等方面的模型，并给出系统的描述方程。
2.仿真系统的设计与实现通过MATLAB或Simulink等工具，根据系统的动力学模型进行仿真，分析系统的动态特性，验证模型的正确性。
3.实物系统的设计与实现根据建模结果，设计实物系统，包括硬件和软件，搭建实验环境，并选取合适的控制器，使用反馈控制算法对实验数据进行处理。
4.实物控制系统的测试与优化将实验得到的数据进行分析、处理和优化，比较实物系统和仿真系统的差异并给出改进方案，从而提高系统的动态响应特性和控制性能。
三、研究方法及预期结果本文将采用系统分析、数学建模、仿真分析、控制器设计和优化等方法，通过建模、仿真、实物控制等多个方面去了解直线倒立摆系统。
预期结果是建立二级直线倒立摆系统的模型，完成仿真和实验的设计与实现，控制系统实现稳定的控制策略，并得出实物系统和仿真系统的控制性能优化方案。
四、进度安排第一阶段：文献综述和理论研究，研究直线倒立摆控制系统的基本原理和方法。
（2周）第二阶段：根据文献进行仿真研究，建立稳定的仿真模型。
（2周）第三阶段：设计实物控制系统，搭建实验环境。
（2周）第四阶段：实现控制系统与优化，得出实验数据并进行分析和优化，提高系统的控制性能。
（2周）第五阶段：撰写论文和答辩。
（4周）五、预期成果本文通过对二级直线倒立摆系统的建模、仿真和实物控制的研究，完成了对系统的深入理解和掌握，得出了系统的优化控制方案。
二级倒立摆文献综述毕业设计
文献综述二级倒立摆系统建模与仿真学生：学号：专业：自动化班级：2007.4指导教师：四川理工学院自动化与电子信息学院二O一一年三月第1部分前言1.1倒立摆的发展及背景早在 20世纪 60年代, 人们就开始了对倒立摆系统的研究。
1966年Schaefer和 Cannon应用 Bang2 Bang控制理论, 将一个曲轴稳定于倒置位置。
自从倒立摆系统成为[1]自动控制领域控制实验室的实验和教学工具以来，人们对倒立摆控制的研究既有理论研究又有实验研究。
通过计算机仿真的方法对控制理论和控制方法的进行可行性研究；实验研究主要是解决仿真结果和实时控制之间性能差异的物理不确定性。
早在 1972 年，Stugne 等人采用全维状态观测器来重构了状态，并使用线性控制模拟电路实现了二级倒立摆的控制，倒立摆的线性状态反馈采用极点配置的方法获得。
1978 年，K. furutat 等人成功地应用降维观测器重构了倒立摆系统的状态，使用计算机处理实现了对三级倒立摆的控制。
1984 年，K.furutat 等人又实现了三级倒立摆的稳定控制。
1986 年，Chung 等人对一级倒立摆系统进行了系统辨识，并设计了 PD 反馈控制器和自适应自整定反馈控制器实现了对倒立摆的稳定控制[1]。
1989 年，Anderson 等人运用函数最小化和 LyaPunov 稳定方法成功产生了一个优化反馈控制器。
1994 年，sinha等人，利用 Lyapunov—Floquet 变换得到了三级倒立摆系统的计算机仿真模型[2]。
1995 年，任章等人在一种镇定倒立摆系统的新方法中应用振荡控制理论，在倒立摆支撑点的竖直方向上加入一个零均值的高频振荡信号，改善了倒立摆系统的稳定性。
1996 和 1997 年，翁正新等人利用带观测器的 Hao 状态反馈控制器对二级倒立摆系统在水平和倾斜导轨上进行了仿真控制。
1998年，蒋国飞等人将 BP 神经网络和 Q 学习算法有效结合，实现了倒立摆的无模型学习控制。
直线二级倒立摆建模与matlab仿真LQR
直线二级倒立摆建模与仿真1、直线二级倒立摆建模为进行性线控制器的设计,首先需要对被控制系统进行建模.二级倒立摆系统数学模型的建立基于以下假设：1)每一级摆杆都是刚体；2)在实验过程中同步带长保持不变；3)驱动力与放大器输入成正比，没有延迟直接拖加于小车；4)在实验过程中动摩擦、库仑摩擦等所有摩擦力足够小，可以忽略不计。
图1 二级摆物理模型二级倒立摆的参数定义如下：M 小车质量m1摆杆1的质量m2摆杆2的质量m3质量块的质量l1摆杆1到转动中心的距离l2摆杆2到转动中心的距离θ1摆杆1到转动与竖直方向的夹角θ2摆杆2到转动与竖直方向的夹角F 作用在系统上的外力利用拉格朗日方程推导运动学方程拉格朗日方程为：其中L 为拉格朗日算子，q 为系统的广义坐标，T 为系统的动能，V 为系统的势能其中错误!未找到引用源。
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为系统在第i 个广义坐标上的外力，在二级倒立摆系统中，系统有三个广义坐标，分别为x,θ1,θ2,θ3。
首先计算系统的动能：其中错误!未找到引用源。
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分别为小车的动能，摆杆1的动能，摆杆2的动能和质量块的动能。
小车的动能：错误!未找到引用源。
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分别为摆杆1的平动动能和转动动能。
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分别为摆杆2的平动动能和转动动能。
对于系统，设以下变量： xpend1摆杆1质心横坐标 xpend2摆杆2质心横坐标 yangle1摆杆1质心纵坐标 yangle2摆杆2质心纵坐标 xmass 质量块质心横坐标 ymass 质量块质心纵坐标 又有：(,)(,)(,)L q q T q q V q q =-则有：系统总动能：系统总势能：则有：求解状态方程：可解得：使用MATLAB对得到的系统进行阶跃响应分析，执行命令：A=[0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 1 01;0 0 0 0 0 0;0 86.69 -21.62 0 0 0;0 -40.31 39.45 0 0 0];B=[0;0;0;1;6.64;-0.808];C=[1 0 0 0 0 0;0 1 0 0 0 0;0 0 1 0 0 0];D=[0;0;0];sys=ss(A,B,C,D);t=0:0.001:5;step(sys,t)求取系统的单位阶跃响应曲线：图2 二级摆阶跃响应曲线由图示可知系统小车位置、摆杆1角度和摆杆2角度均发散，需要设计控制器以满足期望要求。
二级倒立摆系统的控制与仿真
二级倒立摆系统的控制与仿真一、引言在计算机参与的具有联系受控对象的控制系统中，有必要对联系控制系统设计数字控制器的必要，一般对于联系的控制对象设计数字控制器的方法有：第一种是应用联系系统理论得到的联系控制规律，再将控制规律离散化，用控制器实现，第二种是将联系的控制对象离散化，用离散控制理论设计控制器参数，数字再设计就是根据连续系统及相应的控制规律如何重新设计对应的离散系统与相应的离散控制规律。
我们采用的是最优等价准则、双线性变换法、平均增益法进行数字再设计。
二、LQR控制器设计(1) 二级倒立摆系统的状态空间模型设线性定常系统为x’=A*x（t）+B*u（t）,y=C*x（t）其初始条件为x（t）=x0;其中：A=[0,1,0,0;40,0,0,0;0,0,0,1;-6,0,0,0];B=[0;-2;0;0.8];C=[1,0,0,0;0,0,1,0](2) 系统的能控性判定n=size(A); Tc=ctrb(A,B); nc=rank(Tc)n=6 6 nc=6从运行结果可知，系统的阶次为6，能控性矩阵的秩也为6，因此系统是能控的。
(3) 系统的能观性判定To=obsv(A,C);no=rank(To)no=6从运行结果可知，能观性矩阵的秩为6，与系统的阶次相等，因此系统是能观测的。
(4) LQR控制设计基于一级倒立摆系统具有能控性和能观性，因此可采用LQR进行控制，经大量反复试验和仿真，选取R=0.2，Q=[1 0 0 0 0 0;0 64 0 0 0 0;0 0 256 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0];F=lqr(A,B,Q,R)得到：F =2.2361 106.6465 -155.4620 5.1719 4.9639 -24.5330三、仿真曲线采用LQR控制方式，设初始状态为x(0)=[1,-1,0,0]’，在相同采样周期T下应用数字再设计方法对一级倒立摆系统进行仿真，其中F(T)分别取为：1. F(T)=F1(T)=F2. F(T)=F2(T)=F[I+(A+BF)T/2]3. F(T)=F3(T)=F[I-(A+BF)/2]-1(1) T=0.013s，øc=e(A+BF)T时系统的极点、状态x1、x2、x3的离散仿真曲线A=[0,0,0,1,0,0;0,0,0,0,1,0;0,0,0,0,0,1;0,0,0,0,0,0;0,77.0642,-21.1927,0,0, 0;0,-38.5321,37.8186,0,0,0];B=[0;0;0;1;5.7012;-0.0728];C=[1,0,0,0,0,0;0,1,0,0,0,0;0,0,1,0,0,0];D=[0;0;0];Q=[1 0 0 0 0 0;0 64 0 0 0 0;0 0 256 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0];R=0.2;F=lqr(A,B,Q,R)T=0.013;[G,H]=c2d(A-B*F,B,T); %%离散一的函数p0=eig(G),x0=[1 -1 0.5 0 0 0]';[y,x t]=dinitial(G,B,C,D,x0);t=0:0.1:(t-1)/10;subplot(3,1,1),x1=[1 0 0 0 0 0]*x'; %%响应曲线plot(t,x1);grid;title('状态变量x1的响应曲线')subplot(3,1,2),x2=[0 1 0 0 0 0]*x';plot(t,x2);grid;title('状态变量x2的响应曲线')subplot(3,1,3),x3=[0 0 1 0 0 0]*x';plot(t,x3);grid;title('状态变量x3的响应曲线')p0 =0.8647 + 0.0473i0.8647 - 0.0473i0.9224 + 0.0618i0.9224 - 0.0618i0.9932 + 0.0066i0.9932 - 0.0066i图1 øc=e(A+BF)T(2) T=0.013s，øc=ø +ΓF1(T)时系统的极点、状态x1、x2、x3的离散仿真曲线A=[0,0,0,1,0,0;0,0,0,0,1,0;0,0,0,0,0,1;0,0,0,0,0,0;0,77.0642,-21.1927,0,0,0;0,-38.5321,37.8186,0,0,0];B=[0;0;0;1;5.7012;-0.0728];C=[1,0,0,0,0,0;0,1,0,0,0,0;0,0,1,0,0,0];D=[0;0;0];Q=[1 0 0 0 0 0;0 64 0 0 0 0;0 0 256 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0];R=0.2;F=lqr(A,B,Q,R)T=0.013;[Ad,B]=c2d(A,B,T); %%离散二的函数Ad=Ad-B*F;p1=eig(Ad)x0=[1 -1 0.5 0 0 0]';[y,x t]=dinitial(Ad,B,C,D,x0);t=0:0.1:(t-1)/10;subplot(3,1,1),x1=[1 0 0 0 0 0]*x'; %%显示程序plot(t,x1);grid;title('状态变量x1的响应曲线')subplot(3,1,2),x2=[0 1 0 0 0 0]*x';plot(t,x2);grid;title('状态变量x2的响应曲线')subplot(3,1,3),x3=[0 0 1 0 0 0]*x';plot(t,x3);grid;title('状态变量x3的响应曲线')p1 =0.8349 + 0.0388i0.8349 - 0.0388i0.9247 + 0.0561i0.9247 - 0.0561i0.9932 + 0.0066i0.9932 - 0.0066i图2 øc=ø +ΓF1(T)(3) T=0.013s，øc=ø+ΓF2(T)时系统的极点、F(T)值和状态x1、x2、x3的离散仿真曲线A=[0,0,0,1,0,0;0,0,0,0,1,0;0,0,0,0,0,1;0,0,0,0,0,0;0,77.0642,-21.1927,0,0, 0;0,-38.5321,37.8186,0,0,0];B=[0;0;0;1;5.7012;-0.0728];C=[1,0,0,0,0,0;0,1,0,0,0,0;0,0,1,0,0,0];D=[0;0;0];Q=[1 0 0 0 0 0;0 64 0 0 0 0;0 0 256 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0];R=0.2;F=lqr(A,B,Q,R)T=0.013;P2=(A-B*F)*T/2; %%离散3的函数F2=F*(eye(size(P2))+P2)[Add,B]=c2d(A,B,T);Ad=[Add-B*F2];p2=eig(Ad)x0=[1 -1 0.5 0 0 0]';[y,x,t]=dinitial(Ad,B,C,D,x0);t=0:0.1:(t-1)/10;subplot(3,1,1),x1=[1 0 0 0 0 0]*x'; %%显示程序plot(t,x1);grid;title('状态变量x1的响应曲线')subplot(3,1,2),x2=[0 1 0 0 0 0]*x';plot(t,x2);grid;title('状态变量x2的响应曲线')subplot(3,1,3),x3=[0 0 1 0 0 0]*x';plot(t,x3);grid;title('状态变量x3的响应曲线')F2 =1.7236 90.8365 -126.5481 4.0012 4.5195 -19.9211 p2 =0.8676 + 0.0465i0.8676 - 0.0465i0.9224 + 0.0627i0.9224 - 0.0627i0.9932 + 0.0066i0.9932 - 0.0066i图3 øc=ø+ΓF2(T)(4) T=0.013s，øc=ø+ΓF3(T)时系统的极点、F(T)值和状态x1、x2、x3的离散仿真曲线A=[0,0,0,1,0,0;0,0,0,0,1,0;0,0,0,0,0,1;0,0,0,0,0,0;0,77.0642,-21.1927,0,0, 0;0,-38.5321,37.8186,0,0,0];B=[0;0;0;1;5.7012;-0.0728];C=[1,0,0,0,0,0;0,1,0,0,0,0;0,0,1,0,0,0];D=[0;0;0];Q=[1 0 0 0 0 0;0 64 0 0 0 0;0 0 256 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0];R=0.2;F=lqr(A,B,Q,R)T=0.013;P3=(A-B*F)*T/2; %%离散4的函数F3=F*(eye(size(P3))-P3)^-1[Add,B]=c2d(A,B,T);Ad=[Add-B*F3];p3=eig(Ad),[y,x,t]=dinitial(Ad,B,C,D,x0);t=0:0.1:(t-1)/10;subplot(3,1,1),x1=[1 0 0 0 0 0]*x'; %%显示程序plot(t,x1);grid;title('状态变量x1的响应曲线')subplot(3,1,2),x2=[0 1 0 0 0 0]*x';plot(t,x2);grid;title('状态变量x2的响应曲线')subplot(3,1,3),x3=[0 0 1 0 0 0]*x';plot(t,x3);grid;title('状态变量x3的响应曲线')F3 =1.7779 92.1683 -129.2365 4.1238 4.5459 -20.3464 p3 =0.8655 + 0.0476i0.8655 - 0.0476i0.9222 + 0.0622i0.9222 - 0.0622i0.9932 + 0.0066i0.9932 - 0.0066i图4 øc=ø+ΓF3(T)由上面的1-4图我们可以知道：F(T)分别取F1(T)，F2(T)，F3(T)构成的闭环离散系统时仿真曲线基本一致，相应情况的闭环极点也基本相同，而取F(T)=F3(T)时，从系统的极点看，用øc=ø+ΓF3(T)代替øc=e(A+BF)T 构成闭环系统的精确度相当好。
二级倒立摆系统的稳定控制研究
参考内容
倒立摆系统作为一种典型的非线性、不稳定系统，具有广泛的应用背景和研 究价值。在实际应用中，倒立摆系统的控制问题一直受到广泛的和研究。为了解 决倒立摆系统的控制问题，越来越多的研究者将模糊控制算法应用于倒立摆系统 中，以实现更好的控制效果。
倒立摆系统模糊控制算法的研究始于20世纪80年代，经过多年的研究和发展， 已经取得了一定的成果。目前，倒立摆系统模糊控制算法的主要研究方向包括模 糊控制器的设计、模糊控制规则的制定、模糊控制器优化等。然而，倒立摆系统 模糊控制算法仍然存在一些问题，如控制精度不高、稳定性不足等。
3、自适应模糊控制算法：这种算法通过不断调整模糊控制器的参数，以适 应倒立摆系统的变化。这种算法的优点是能够自适应倒立摆系统的变化，但需要 在线调整模糊控制器的参数，实现起来较为复杂。
参考内容二
一、背景与意义
倒立摆系统是一种具有高阶次、强耦合、非线性的复杂系统，其建模与控制 方法研究在物理学、工程学、机器人学等领域都具有重要的意义。倒立摆系统可 以模拟多种实际系统的稳定与控制问题，如重载列车稳定性控制、行走机器人姿 态调节等。因此，对倒立摆系统的研究不仅有助于理解复杂系统的行为与控制原 理，还可为实际工程应用提供理论支撑和技术指导。
二、研究现状
国内外学者针对倒立摆系统的建模与控制方法进行了大量研究。在建模方面， 常见的建模方法包括基于状态空间模型的建模、基于传递函数的建模、基于神经 网络的建模等。在控制方法方面，常见的控制策略包括PID控制、鲁棒控制、自 适应控制、模糊控制等。这些研究成果为倒立摆系统的进一步研究提供了重要的 参考。然而，现有研究仍存在一些不足之处，如模型精度不高、控制效果不稳定 等问题，需要进一步加以解决。
六、结论与展望
本次演示对倒立摆系统的建模与控制方法进行了深入研究，取得了以下成果：
二级倒立摆毕业论文
二级直线倒立摆的滑模控制器的设计与仿真摘要直线倒立摆是我国高校控制实验室里的经典设备，对这样一个多变量、高度非线性、强藕合的自然不稳定系统所进行的稳定控制性能研究，既有着重要的理论意义，又有很实际的工程实践指导价值。
滑模变结构控制具有独特的鲁棒性能以及对匹配不确定性和外干扰的完全适应性等特点，本文在掌握滑模变结构控制理论的国内外研究现状的基础上，理论联系实际，将滑模变结构控制理论应用于二级直线倒立摆中，对小车和摆杆进行了稳定控制和实时控制的相关研究。
引入饱和函数对变结构控制器加以改进，结果表明，采用饱和函数的控制律虽能有效地削弱系统抖振，提高了系统的控制品质，但其鲁棒性能不强。
在直线倒立摆控制系统仿真平台上将这两种控制方案编写C-MEX文件S-Function程序，均成功地实现了二级倒立摆系统的变结构实时控制。
分别将指数趋近律的滑模变结构控制、基于饱和函数和连续函数的准滑模变结构控制和模糊趋近律的滑模变结构控制策略应用于二级直线倒立摆系统中。
结果表明，单一的变结构控制器能够对直线倒立摆系统起到稳定控制的作用，但系统会出现强烈的抖振。
即使在此基础上引入饱和函数或连续函数等改进控制器方案，使抖振得到抑制，但系统的控制品质将会有所下降。
而结合模糊控制后的模糊变结构控制策略，不但可以通过削弱抖振改善系统的控制品质，而月还可以维持系统的强鲁棒性。
关键词：变结构控制；抖振；模糊趋近律；倒立摆系统；实时控制Two linear inverted pendulum sliding controller design andsimulationABSTRACThe linear inverted pendulum is a classical equipment of university's control laboratory in our country, research the stability control performance which such as multivariable, highly nonlinear, strong coupling and natural unstable systems, not only has the important theoretical significance, but also has a very practical guidance value to the engineering practice.The sliding mode variable structure control has excellent robustness and complete adaptability to the uncertainties and external disturbance, On the basis of the current research of the developed sliding mode variable structure control theory at home and abroad, linking theory with practice, sliding mode variable structure control theory is presented to double linear inverted pendulum, stability control and real-time control research about the car and the pendulum have done in this paper.The sliding mode variable structure control based on sign function is presented to deal with the single inverted pendulum system, the violent chatting problem have appeared in the simulation results. Introducing saturation function to improve controller, the results show that it can effectively reduce the system chattering and improve the control quality of system based on reaching law of by saturation function, but the robustness isn't strong. On the simulation platform of linear inverted pendulum system,it successfully realized the variable structure real-time control of the single inverted pendulum based on the C一MEX S一Function programs of two control scheme.The double linear inverted pendulum system is balanced by the sliding mode variable structure control based on exponential velocity reaching law,the sliding mode variable structure control based on reaching law of by saturation function and continuous function,and the sliding mode variable structure control based on fuzzy reaching law results show that a single variable structure controller although able to accomplish the stability control the linear pendulum, but the system has strong chattering. Even in this basis through the saturation function and continuous function to improve controller can reduce the chattering, but the quality of control system will bining the fuzzy logic control in variable structure control strategy, not only can through reduce chattering to improve the control quality of system,and still can keep the strong robustness of system.Key words: Variable structure control; Chattering; Fuzzy reaching law;Inverted pendulum system; Real-time control目录摘要 (I)ABSTRACT (II)第1章绪论 (1)1. 1倒立摆控制的研究现状 (1)1.1.1倒立摆的起摆控制研究 (1)1. 1. 2倒立摆的稳定控制研究 (1)1.2变结构控制 (2)1. 2. 1变结构控制理论的起源与研究热点 (2)1.2.2滑模变结构控制理论的应用 (4)1.3课题研究目的及意义 (5)1.4研究的具体内容 (6)1.4.1倒立摆系统变结构控制研究实施的具体方案 (6)1.4.2论文主要内容 (6)第2章滑模变结构控制方法 (8)2.1 滑模变结构控制系统简介 (8)2.1.1滑模变结构控制系统的定义 (8)2.1.2滑动模态的到达条件 (9)2.2 滑模变结构系统的不变性 (9)2.3滑模变结构控制器综合设计方法 (11)2.4抖振的研究 (11)第3章二级直线倒立摆的滑模变结构控制 (14)3.1 二级直线倒立摆系统的硬件组成及工作原理 (14)3.2 二级直线倒立摆系统建模 (15)3.3二级直线倒立摆系统的变结构控制仿真 (17)第4章模糊趋近律的滑模变结构控制研究 (26)4.1模糊控制基础理论 (26)4.1.1模糊控制器的工作原理 (26)4.1.2模糊控制器的设计 (27)4.2模糊滑模变结构控制简介 (30)4.3基于模糊趋近律的二级倒立摆变结构控制 (30)4.3.1趋近律性质分析 (30)4.3.2基于模糊控制律的变结构控制器设计 (31)4.3.3仿真结果及分析 (33)第5 章总结 (36)参考文献 (37)谢辞 (39)第1章绪论1. 1倒立摆控制的研究现状研究倒立摆控制最早始于美国麻省理工学院，那是20世纪50年代，研究者根据火箭发射中的助推器工作原理设计出了一级倒立摆。
直线二级倒立摆控制课程设计指导书
直线两级倒立摆控制课程设计指导书一、课程设计目的学习直线两级倒立摆的数学建模方法，运用现代控制理论知识设计控制器，应用Matlab进行仿真并与实际系统运行结果进行对比分析。
通过本次课程设计，建立理论知识与实体对象之间的联系，加深和巩固所学的控制理论知识，增加工程实践能力。
二、课程设计内容1、应用动力学知识建立直线两级倒立摆的数学模型（微分方程的形式），并转变成状态空间的表达形式。
2、运用现代控制理论知识，按设计要求设计状态反馈控制器。
3、应用Matlab的Simulink建立控制系统的仿真模型，得出仿真结果。
4、将仿真设计所得的状态反馈设计参数应用于实际控制系统中，观察实际控制结果，对比仿真结果与实际输出结果，修正设计值，使之满足设计要求。
三、课程设计参数与要求1、控制对象示意图图1 直线两级倒立摆系统模型图2、对象的参数l摆杆1转动中心到杆质心的距离0.09m M 小车质量1.32 Kg1l摆杆2转动中心到杆质心的距离0.27m m1 摆杆1的质量0.04 Kg2m2 摆杆1的质量0.132 Kg F 作用在系统上的外力m3 质量块的质量0.208 Kg X 小车的位移θ1摆杆1与垂直向上方向的夹角θ2摆杆2与垂直向上方向的夹角注：θ1、θ2取逆时针方向为正方向3、控制要求（系统开始运动到稳定运行时，以及接受扰动时）※小车位置X 和摆杆角度的稳定时间小于5 秒；※小车位置X的波动幅度小于0.3m；※摆杆角度θ1、θ2的波动幅度小于5度※稳态误差小于2% 。
四、课程设计所需提交的内容1、系统建模的详细推导过程和状态反馈控制器的设计过程。
2、给出整个控制系统的Simulink仿真结构图。
3、计算系统引入状态反馈前和引入状态反馈后的极点，并用Matlab绘图功能绘制极点图。
4、应用Matlab绘图功能分别绘制系统在零输入状态（初始状态不为零）、扰动输入（扰动量持续时间≤0.5s）时的系统响应曲线图（只需X、θ1、θ2的响应曲线，在每一输入状态下，此三个量的响应曲线在同一图中体现），并给出给响应曲线的动态响应指标值。
二级倒立摆
ux
(5)
带入参数值，系统的状态方程为：
x 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 0 0 x 0 0 86.69 21.62 1 0 40.31 39.45 2 x 1 0 0 0 0 y 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 x 0 0 1 0 1 2 0 u 0 x 1 6.64 0 1 0 2 0.08
通过如下公式可以求得综合误差E和综合误差率EC 表达式：
K1 K 2 Kr 0 K2 K2 K2 E EC f1 ( x) K r 0 0 0 K2 0 0 0.1 0.53 1 0 0 0.63 0.06 0 0 K1 K
二级倒立摆自动起 摆[标清版].mp4
20
x 1 0 0 2 u 0 0 x 0 0 1 2
模糊控制器的设计
二级倒立摆系统有6个状态变量，直接进行模糊控制器设计， 模糊控制规则会很多，而过多的控制规则，会使控制器的设计 和系统的实时性都难以达到要求，所以需要对状态变量进行适 当的处理，以减少模糊控制器输入变量，同时又能更好的控制 倒立摆系统。 根据各个状态变量的特点和作用，引入两个综合变量E和 EC,其中E表示综合误差(小车的位移 x 、上摆的摆角 1、下摆的 、上摆的角速 摆角 2)，EC表示综合误差变化率（小车的速度 x ）。 、下摆的角速度 x1 度 2 1
二级倒立摆的 LQG 最优控制研究
１ 系统 建 模
直线 二级 倒立 摆 系统 的模 型结 构 如图 １ 所 示 。图 １中 ， ， 一 为 小车 位移 （ 右 为正 方 向 ） ； ， 分 别 为 下 摆 杆、 上摆 杆 与垂 直方 向的夹 角 （ 顺 时针 为正方 向） 。 为使研 究对 象的 模 型不 过 于 复 杂 ， 简 化 数 学模 型
二级 倒 立摆 的 Ｌ ＱＧ 最优 控 制 研 究 与 电 气工 程 学 院 。 山东 青岛 ２ ６ ６ ５ ９ ０ ）
摘 要 ： 为 实 现 二级 倒 立摆 系统 的稳 摆 控 制 ，应 用 了 线 性 二 次 高 斯 最 优 控 制 。 根 据 Ｌ Ｑ Ｇ 的 分 离 原 理 ． 首 先 利 用 最 优 控制 设 计 控制 律 ，得 到状 态 反馈 ； 由于 系统 状 态 不 能 完全 测 得 ， 而 且 系统 也 不 可避 免地 会 受 到 噪 声 的 影 响 ， 在 详 细 给 出相 应 参 数取 值 规 则 的 基 础 上 ，采 用 了卡 尔 曼滤 波 对 系统 输 出做 出最 优 估 计 。 最 后 的 仿 真 结 果 表 明 ． 设 计 的 控制 器 能 够 较好 地 对 二 级倒 立摆 进 行 稳定 控制 ，且 具 有 抑 制 噪 声 和 抗 干 扰 能 力 。
第 ｌ 期（ 总第 １ ８ ２期 ）
２ Ｏ Ｉ ４年 Ｏ ２月
机 械 工 程 与 自 动 化
ＭＥ ＣＩ ｛ ＡＮＩ ＣＡＬ ＥＮＧＩ ＮＥＥ Ｒｌ ＮＧ ＆ ＡＵＴ（ ） Ｍ ＡＴｌ （ ） Ｎ
Ｎｏ．１ Ｆｅ ｂ．
文章编号 ： ｌ ６ ７ ２ — ６ ４ １ ３ （ ２ ０ １ ４ ） ０ ｌ 一 ０ １ ５ ０ — ０ ３
二级倒立摆的多模型自适应控制
二级倒立摆的多模型自适应控制作者：齐宏宇张立舒赵中侠乔光波来源：《山东工业技术》2015年第14期摘要：倒立摆是机器人控制、航空技术研究的典型对象，为教学和科研提供主要平台。
通常二级倒立摆建模是将系统进行线性化处理，忽略了两个摆角的角度对系统的影响。
但实际上，二级倒立摆是一个非线性系统，角度会对整个系统的稳定性产生直接的影响。
当两摆角的角度发生变化时，多模自适应控制器会根据二级倒立摆的运动状态自动切换，使得二级倒立摆的实际运动状态与此时的反馈增益矩阵K相对应。
从二级倒立摆的实际运动状态出发，将二级倒立摆系统的输入空间划分成9个局部子空间，通过模糊T-S来选取与子空间相对应的状态方程，使系统的运动状态更加逼近于它的动态性能。
使用多模型自适应控制器实现二级倒立摆系统的仿真和实时控制比LQR控制更加精准。
采用较少的规则就能成功解决Mamdani型模糊因变量过多而产生的“规则爆炸问题”。
关键词：二级倒立摆；多模型控制；自适应控制；模糊T-S1 引言现阶段一级倒立摆的控制算法已基本成熟，而二级倒立摆的控制算法较复杂，通常学校实验平台中只有线性控制算法，为了丰富实验平台对二级倒立摆进行了二次开发，也为学生们提供一个更加广阔的学习平台和更加丰富的实验素材。
本文将非线性系统划分成9个局部线性模型来逼近二级倒立摆实际运动状态，采用多模自适应控制器与模糊T-S相结合的方法成功解决了二级倒立摆系统因多变量的存在而产生的“规则爆炸”问题，并实现了二级倒立摆系统的仿真和实时控制。
2 二级倒立摆的数学模型采用深圳市元创兴科技有限公司生产的直线二级倒立摆作为研究对象，二级倒立摆的工作原理图如图1所示：伺服电机自带光电码盘，用来检测小车的位移信号和速度信号，并反馈给伺服驱动器和运动控制卡；光电码盘2和光电码盘3分别检测摆杆1和摆杆2的角度和角速度信号，并反馈给运动控制卡；脉冲信号通过伺服驱动器将弱电信号转化成强电信号并传送给伺服电机，同时运动控制卡将读取的实时数据并转化成相应的控制量，驱动电机带动小车运动。
直线二级倒立摆系统MATLAB模型的建立与仿真
直线二级倒立摆系统模型的建立与仿真1 引言倒立摆是一个高阶次、非线性、快速、多变量、强藕合、不稳定的系统。
在控制理论发展过程中，倒立摆常常被做为典型的被控对象来验证某一理论的正确性，以及在实际应用中的可行性，通过对倒立摆引入一个适当的控制方法使之成为一个稳定系统，来检验控制方法对不稳定性、非线性和快速性系统的处理能力。
该控制方法在军工、航天、机器人等领域和一般工业过程中都有广泛应用。
本文主要讨论二级倒立摆系统模型的建立和仿真。
2二级倒立摆系统数学模型直线二级倒立摆系统是由直线运动模块和两级倒立摆组件组成。
主要包括导轨、小车和各级摆杆、编码器等元件。
由驱动电机给小车施加一个控制力，迫使小车在导轨上左右移动。
而小车的位移和各级摆杆角度由编码器测得。
倒立摆的控制目标是使倒立摆的摆杆能在有限长的导轨上快速的达到竖直向上的稳定状态，以实现系统的动态平衡，并且小车位移和摆杆角度的振荡幅度较小，系统具有一定的抗干扰能力。
系统简化后的直线二级倒立摆系统物理结构图如图2.1所示。
图1.二级倒立摆系统模型系统模型建立所用的各参数如下：应用Lagrange 方程建立的数学模型为012221221211121221222212212222cos (,)cos()cos cos()1121111121111m +m +m (m l +m L )cos m l H (m l +m L )cos J m l m L m l L m l m l L J m l θθθθθθθθθθ⎡⎤⎢⎥=++-⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦.1011...1221212122.11222cos (,,,)0(0(112222222f m l +m L sin m l H f f m l L sin f m l L sin f f θθθθθθθθθθθθθ⎡⎤-•⎢⎥⎢⎥=--•+⎢⎥⎢⎥-•+-⎢⎥⎣⎦111（）-)-) 312(,)h θθ= [0 11211()sin m l m L g θ+ 212sin m l g θ] T0h =[1 0 0]T()1121212121312022(,)(,,,),x x H H h h u θθθθθθθθθθθθ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦3 倒立摆PID控制器系统PID控制是比例积分微分控制的简称。
直线二级倒立摆的建模和控制
西南科技大学自动化专业方向设计报告设计名称：直线二级倒立摆的建模和镇定控制姓名：学号:班级：指导教师：起止日期：方向设计任务书学生班级：学生姓名：学号：设计名称：起止日期：指导教师：方向设计学生日志直线二级倒立摆的建模与镇定控制摘要（150-250字）倒立摆是一个典型的多变量、非线性、强耦合、欠驱动的自然不稳定系统，对倒立摆系统的控制研究，能反映控制过程中的镇定、非线性和随动等问题，因此常用于各种控制算法的研究。
而且对倒立摆系统的研究还有重要的工程背景，对机器人行走、火箭的姿态调整等都有重要的现实意义。
本文以直线二级倒立摆系统为模型，阐释了直线二级倒立摆的建模方法和镇定控制算法。
其次介绍了直线二级倒立摆系统的结构和参数，应用拉格朗日方程建模方法详细推导了二级倒立摆的数学模型，并对系统的性能进行分析。
接下来，本文重点研究了最优控制算法在直线二级倒立摆镇定控制中的应用；在介绍倒立摆系统的最优控制算法的基础上，设计了系统的最优控制器，分析得出控制参数的选择规律；并且在Simulink上完成仿真实验,观察控制系统性能。
关键词：倒立摆；建模；LQR；镇定控制Modeling and Balance Control of the Linear DoubleInverted PendulumAbstract：Inverted pendulum is a typical multivariable, nonliner, closed coupled and quick movement natural instable system.The process of control research can reflect many key problems in control theory, such as the problem of tranquilization, non linearity, following and so on. So the inverted pendulum is commonly used for the study of many kinds of control theory. The research of inverted pendulum also has important background of engineering, and has practical significance for the Robot walk and Rocket-profile adjustment.In this paper, taking the linear double inverted pendulum system as the control model, reaching of the control system based on lagrange equation and optimal control algorithm. First of all, giving out the research significance and situation of the inverted pendulum system,and introducing the linear double inverted pendulum modeling methods and stabilization control theory. Secondly, introducing the structure and parameters of the inverted pendulum system. Researching of the inverted pendulum mathematical model based on lagrange equation, and giving a detailed derivation, then having stability analysis of the system. Next, this paper studied the inverted pendulum system’s optimal control algorithm,and designed the LQR controller based on it,then coming to the law of selection of control parameters. Finishing the simulation in the Simulink software,observing the performance of the control system.Key words: inverted pendulum, modeling, LQR, balance control一、设计目的和意义二、控制要求对直线二级倒立摆模型的物理特性做分析，然后利用拉格朗日方程建模方法建立倒立摆的数学模型。
直线二级倒立摆的控制问题的研究和matlab仿真说明书本科毕设论文
直线二级倒立摆的控制问题的研究和matlab仿真摘要倒立摆系统是一个典型的多变量、非线性、强耦合和快速运动的高阶不稳定系统，它是检验各种新型控制理论和方法有效性的典型装置。
近年来，许多学者对倒立摆系统进行广泛地研究。
本文研究了直线二级倒立摆的控制问题。
首先阐述了倒立摆系统控制的研究发展过程和现状，接着介绍了倒立摆系统的结构并详细推导了二级倒立摆的数学模型。
本文分别用极点配置、LQR最优控制设计了不同的控制器，通过比较和MATLAB仿真，验证了所设计的控制器的有效性、稳定性和抗干扰性。
关键词: 倒立摆；极点配置；最优控制； MATLAB；仿真ABSTRACTInverted pendulum is a typical multi-variable, non-linear, strong coupling and rapid movement of high-end system instability, It is testing various new control theory and methods of the effectiveness of the typical devices. In recent years, many scholars of the inverted pendulum extensive study.In this paper, a straight two inverted pendulum control problem.First on the inverted pendulum control of the development process and the status quo, then introduced the inverted pendulum system and the detailed structure of the two inverted pendulum is derived a mathematical model. In this paper, with pole placement, LQR optimal control design a different controller, By comparing and MATLAB simulation, verified the effectiveness ,stability and anti-jamming of the controller.Key words：Inverted pendulum；Pole Assignment；Optimal Control；MATLAB；Simulation目录摘要 (1)ABSTRACT (2)第一章绪论 (5)1.1 控制理论的发展 (5)1.2 倒立摆系统简介及其研究意义 (5)1.3 倒立摆研究的发展现状及其主要控制方法 (7)1.4 本人所做工作 (8)第二章直线二级倒立摆数学模型的建立 (10)2.1 倒立摆系统的物理结构及特性分析 (10)2.2 系统的数学建模 (11)2.2.1 两种数学建模方法的比较 (11)2.2.2 系统数学建模参数的设定 (12)2.2.3 直线二级倒立摆的拉格朗日方程建模 (13)2.2.4 二级倒立摆系统数学模型的线性化 (17)2.3 系统参数的设定 (19)2.4 倒立摆系统的初步运动分析 (20)第三章直线二级倒立摆控制方案的设计 (22)3.1极点配置控制方案的设计 (22)3.1.1 极点配置理论 (22)3.1.2 极点配置算法 (23)3.2 线性二次型最优控制(LQR)方案的设计 (24)3.2.1 线性二次型最优控制原理 (24)3.2.2 Q, R阵的选择 (26)第四章控制系统的MATLAB仿真 (27)4.1 仿真软件的介绍 (27)4.1.1 MATLAB简介 (27)4.1.2 MATLAB7.0简介 (28)4.1.3 Simulink 6.0仿真工具箱简介 (29)4.2 无干扰控制系统的仿真 (30)4.2.1 极点配置控制方案的仿真 (32)4.2.2 线性二次型最优控制(LQR)方案的仿真 (36)4.3 干扰条件下控制系统的仿真 (40)4.3.1 极点配置控制方案的仿真 (42)4.3.2 线性二次型最优控制(LQR)方案的仿真 (45)结论 (50)致谢 (52)参考文献 (53)第一章绪论1.1 控制理论的发展控制理论发展至今已有100多年的历史，随着现代科学技术的发展，它的应用也越来越广泛。
二级倒立摆的数学模型推导
二级倒立摆的数学模型推导一、二级倒立摆系统的结构二级倒立摆系统的结构如图1如示，机械部分主要有小车、下摆、上摆、导轨、皮带轮、传动皮带等，控制对象由小车、下摆、上摆组成，电气部分由电机、晶体管直流功率放大器、传感器以及保护电路组成。
图1 二级倒立摆结构示意图二、二级倒立摆的数学模型 （一）假设条件为了简化二级倒立摆的数学模型，作如下假设：1． 小车与导轨间的摩擦力与小车速度成正比；电机摩擦转矩与电机转矩成正比；上、下摆连接处摩擦力矩与二摆相对角速度成正比；下摆与小车连接处摩擦力矩与下摆相对角速度成正比。
2． 整个对象系统除皮带外视为刚体。
3． 皮带伸长忽略不计且传递作用力的延迟忽略不计。
4． 电路系统的传递延迟及功率放大器的非线性忽略不计。
5． 电机电感忽略不计。
6． 检测电位器设为线性的，即设检测信号分别为与r 、1θ、21θθ-成正比的电信号，且假设标定完全准确。
（二）系统参数说明推导中各符号的意义如下：0M ：小车、皮带、电机转子、皮带轮归算到小车运动上的等效质量； 1M ：下摆质量； 2M ：上摆质量；1J ：下摆转动惯量； 2J ：上摆转动惯量；r ：小车位移；1θ：下摆角位移；2θ：上摆角位移；1L ：下摆全长（轴心到轴心）； 1l ：下摆质心与小车——下摆连接轴心距离； 2l ：上摆质心与上摆——下摆连接轴心距离；'0F ：小车与导轨间摩擦力，电机机械摩擦转矩，皮带轮摩擦转矩归算到小车运动上的等效摩擦系数，由下式定义等效摩擦力：'00f F r =⋅1F ：下摆与小车摩擦力矩的等效摩擦系数，由下式定义等效摩擦力矩：111T F θ=⋅2F ：上、下摆间摩擦力矩的等效摩擦系数，由下式定义等效摩擦力矩：2221()T F θθ=⋅-P ：电机提供的控制力；U ：电机外加电压即功率放大器输出电压； E ：电机反电势； I ：电机电流；R ：电机等效电阻；i R ：功率放大器等效输出电阻；d ：皮带轮直径；θ：电机转速（/rad s ）；n 电机转速(转/分)；K ：功率放大器电压增益 ；e K ：电势系数； t K ：转矩系数；e ：功率放大器的输入电压；参阅相关资料后，对各参数的取如下值：0M =1.328kg ，1M =0.220kg ，2M =0.187kg ，1J =0.004962kg m ⋅，2J =0.004822kg m ⋅，1L =0.490m ，1l =0.304m ，2l =0.226m ，'0F =22.947kg/s ，1F =0.00705/kg m s ⋅，2F =0.00264/kg m s ⋅，R =8.550Ω，i R =1.252Ω，d =0.130m ，K =8.000，t K =0.946/N m A ⋅（三）数学模型推导 此处少图3-2（P7）图3-2中，'i i f f =(1,2)i =小车在y 方向上无运动，小车受导轨垂直方向力示标出，推导中iy f ，ir f (1,2)i =分别表示i f 在y ，r 方向的分力。
直线二级倒立摆建模和控制综述
直线二级倒立摆的建模和控制综述西南科技大学自动化专业方向设计报告设计名称：直线二级倒立摆的建模和镇定控制姓名：学号:班级：指导教师：起止日期：1方向设计任务书学生班级：学生姓名：学号：设计名称：起止日期：指导教师：设计要求：（1）成立直线二级倒立摆系统的数学模型，并在垂直向上方向上（工作点邻近）获取线性化模型；（2）理解lqr（线性二次调理器）的基来源理，会利用matlab供给的lqr函数获取直线二级倒立摆线性化模型的lqr控制器；（3）利用matlab的simulink仿真环境，搭建倒立摆的控制系统，获取并剖析仿真结果；（4）撰写设计报告，达成辩论。
方向设计学诞辰记时间设计内容直线二级倒立摆的建模与镇定控制纲要（150-250字）倒立摆是一个典型的多变量、非线性、强耦合、欠驱动的自然不稳固系统，对倒立摆系统的控制研究，能反应控制过程中的镇定、非线性和随动等问题，所以常用于各样控制算法的研究。
并且对倒立摆系统的研究还有重要的工程背景，对机器人行走、火箭的姿态调整等都有重要的现实意义。
本文以直线二级倒立摆系统为模型，阐释了直线二级倒立摆的建模方法和镇定控制算法。
其次介绍了直线二级倒立摆系统的构造和参数，应用拉格朗日方程建模方法详尽推导了二级倒立摆的数学模型，并对系统的性能进行剖析。
接下来，本文要点研究了最优控制算法在直线二级倒立摆镇定控制中的应用；在介绍倒立摆系统的最优控制算法的基础上，设计了系统的最优控制器，剖析得出控制参数的选择规律；并且在 Simulink上达成仿真切验,察看控制系统性能。
要点词：倒立摆；建模；LQR；镇定控制Modeling and Balance Control of the Linear DoubleInverted PendulumAbstract：Invertedpendulumisatypicalmultivariable,nonliner,closedcoupledandquickmovement natural instable system.The process of control research can reflect many key problems incontroltheory,suchas theproblemoftranquilization,nonlinearity,followingand soon.Sotheinverted pendulum is commonly used for the study of many kinds of control theory. The research ofinverted pendulum also has important background of engineering, and has practical significance forthe Robot walk and Rocket-profile adjustment.In this paper, taking the linear double inverted pendulum system as the control model, reachingof the control system based on lagrange equation and optimal control algorithm. First of all, givingouttheresearchsignificanceand situationoftheinvertedpendulumsystem,and introducingthelineardoubleinvertedpendulummodelingmethodsandstabilizationcontroltheory.Secondly,introducingthestructureandparametersoftheinvertedpendulumsystem.Researchingoftheinverted pendulum mathematical model based on lagrange equation, and giving a detailed derivation,then having stability analysis of the system. Next, this paper studied the inverted pendulum system’soptimal control algorithm,and designedthe LQR controller based on it,then coming to the law ofselectionofcontrolthesimulationintheSimulinksoftware,observingtheperformance of the control system.Key words:inverted pendulum, modeling, LQR, balance control4一、设计目的和意义二、控制要求对直线二级倒立摆模型的物理特征做剖析，而后利用拉格朗日方程建模方法成立倒立摆的数学模型。
直线二级倒立摆文档
(19)
对于一级摆杆，将式(15)、(16)和(17)带入式(4)得
(22)
b m1l1 m2 L sin 1 1 Q 1 , 2 ,1 , 2 0 b1 b2 b 0 m2l2 L sin 2 1 1 2
m2l2 sin 2 2 b m2l2 L sin 2 1 2 2 b2
对于一级摆杆，将式(15)、(16)和(17)带入式(3)得
(18)
m l L cos I1 m1l12 m2 L2 m1l1 m2 Lcos 1 x 1 2 2 2 1 2 b m l L sin m l m L g sin b1 b2 1 2 2 2 2 1 2 2 11 2 1
θ2
Y轴
θ1
二级摆杆
一级摆杆 F X轴 小 X
图. 2 由于 Lagrange 方程是以能量观点建立起来的运动方程式，列出系统的运动方程式只需 从两个方面去分析，一个是表征系统运动的动力学量，系统的动能，另一个是表征主动力作 用的动力学量，广义力。故对于复杂系统的数学建模常采用 Lagrange 方程来求解系统的动 力学方程，其具有概念清晰、具有一般性和可以简化建模过程等优点。 对于同时受到保守力和损耗力作用的直线二级倒立摆系统的 Lagrange 方程为：
(21)
其中
M m1 m2 P1 , 2 m1l1 m2 L cos 1 m2l2 cos 2
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西南科技大学自动化专业方向设计报告设计名称：直线二级倒立摆的建模和镇定控制姓名：学号:班级：指导教师：起止日期：方向设计任务书学生班级：学生姓名：学号：设计名称：起止日期：指导教师：方向设计学生日志直线二级倒立摆的建模与镇定控制摘要（150-250字）倒立摆是一个典型的多变量、非线性、强耦合、欠驱动的自然不稳定系统，对倒立摆系统的控制研究，能反映控制过程中的镇定、非线性和随动等问题，因此常用于各种控制算法的研究。
而且对倒立摆系统的研究还有重要的工程背景，对机器人行走、火箭的姿态调整等都有重要的现实意义。
本文以直线二级倒立摆系统为模型，阐释了直线二级倒立摆的建模方法和镇定控制算法。
其次介绍了直线二级倒立摆系统的结构和参数，应用拉格朗日方程建模方法详细推导了二级倒立摆的数学模型，并对系统的性能进行分析。
接下来，本文重点研究了最优控制算法在直线二级倒立摆镇定控制中的应用；在介绍倒立摆系统的最优控制算法的基础上，设计了系统的最优控制器，分析得出控制参数的选择规律；并且在Simulink上完成仿真实验,观察控制系统性能。
关键词：倒立摆；建模；LQR；镇定控制Modeling and Balance Control of the Linear DoubleInverted PendulumAbstract：Inverted pendulum is a typical multivariable, nonliner, closed coupled and quick movement natural instable system.The process of control research can reflect many key problems in control theory, such as the problem of tranquilization, non linearity, following and so on. So the inverted pendulum is commonly used for the study of many kinds of control theory. The research of inverted pendulum also has important background of engineering, and has practical significance for the Robot walk and Rocket-profile adjustment.In this paper, taking the linear double inverted pendulum system as the control model, reaching of the control system based on lagrange equation and optimal control algorithm. First of all, giving out the research significance and situation of the inverted pendulum system,and introducing the linear double inverted pendulum modeling methods and stabilization control theory. Secondly, introducing the structure and parameters of the inverted pendulum system. Researching of the inverted pendulum mathematical model based on lagrange equation, and giving a detailed derivation, then having stability analysis of the system. Next, this paper studied the inverted pendulum system’s optimal control algorithm,and designed the LQR controller based on it,then coming to the law of selection of control parameters. Finishing the simulation in the Simulink software,observing the performance of the control system.Key words: inverted pendulum, modeling, LQR, balance control一、设计目的和意义二、控制要求对直线二级倒立摆模型的物理特性做分析，然后利用拉格朗日方程建模方法建立倒立摆的数学模型。
利用线性二次最优控制理论设计倒立摆的LQR镇定控制器，在Matlab和Simulink 中完成倒立摆的镇定控制仿真，得出倒立摆LQR控制器设计规律。
三、设计方案论证牛顿力学建模方法：根据传统的牛顿力学分析，建立二级摆动力学方程，最后经过求解方程建立系统的数学模型。
特点：分析通俗易懂，但需要求解大量微分方程，计算复杂；对于二级以上倒立摆建模很少使用。
拉格朗日建模方法：基于广义力和广义坐标的系统能量法，需要求出系统的动能和势能，建立Lagrange方程。
特点：理论较难，但建模简单，可以编程求解方程。
四、系统设计倒立摆系统是由导轨、小车和各级摆杆组成，本文研究的直线二级倒立摆的物理结构如图1-1所示。
小车依靠直流电机施加的控制力，可以在导轨上左右移动，其位移和摆杆角度信息由传感器测得，目标是使倒立摆在有限长的导轨上竖立稳定，达到动态平衡。
图1-1直线二级倒立摆的物理结构其中，双摆系统由摆杆1、摆杆2、质量块1、小车和基座组成。
摆杆1与摆杆2由质量块1连接，摆杆1与基座都由带滚动轴承的旋转轴自由相连。
小车装在滑动轴上，通过电机带动皮带使小车移动。
为了测量摆杆的转角，转轴上安装有增量式角度编码器，内杆与小车连接处的角度编码器的质量可直接考虑为小车质量的一部分，故图中只表注了内外杆连接处的编码器质量块1。
两个摆杆不带动力源，两摆杆的运动控制只能通过小车的移动来实现。
计算机从运动控制卡中读取实时数据，确定控制决策，并由运动控制卡来实现该控制决策，产生相应的控制量，使电机转动，带动小车运动，保持摆杆的平衡。
当把摆杆提起到平衡位置附近后放开，若小车不动，摆杆会由于重力倒下来。
当小车在水平方向上移动时，摆杆受到一个转动力矩，这个力矩使摆杆朝与小车运动方向相反的方向运行，通过规律性的改变小车的受力方向使得摆杆在竖直方向上左右摆动，从而实现摆杆在竖直方向上的动态平衡。
直线二级倒立摆系统的物理参数如表2.1所示。
表2.1直线二级倒立摆的物理参数1.基于Lagrange 方程方法建立二级摆的数学模型为了对二级摆的性能做具体的研究，需要建立倒立摆的数学模型。
系统建模方法可以分为两种：机理建模和实验建模。
实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入－输出关系。
机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入、状态关系。
对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。
但是忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内进行机理建模。
对于小车系统的机理建模，一般有牛顿力学建模方法和分析力学中的拉格朗日方程建模方法两种途径。
牛顿力学建模法分析复杂，且要计算大量的微分方程组，而拉格朗日建模方法分析简单，可以编程求解方程。
因此本文采用拉格朗日方程建模方法建立倒立摆的数学模型，应用mathematica 软件编程求解拉格朗日方程，简化对微分方程的求解。
grange 方程建模的基本原理Lagrange 方程属于分析力学的范畴，是基于广义坐标和广义能量的方法。
Lagrange 方程是由虚功原理推导出来的，指受理想约束的完整力学系中广义力做功为零。
在分析力学中，质点系的虚功可以表示如下：1NQi i i W F q δδ==⋅∑其中，Qi F 称为对应于第i 个广义坐标i q 的广义主动力，i q δ是广义坐标i q 的广义虚位移。
因为i q δ可以是虚线位移，也可以是虚角位移，因此Qi F 可以有力或力矩的量纲，这体现了广义力的广义性。
广义力一般分为保守力和非保守力，保守力是做功与路径无关的力，非保守力是做功与路径有关的力。
虚功原理解决的是受理想约束的完整力学系统处于静平衡状态的问题，当系统在运动时，通过达朗伯定理引入惯性力，将系统运动时的问题转化为静力学问题。
此时系统受主动力、约束力和惯性力处于静平衡状态，应用虚功原理，得到达朗伯-拉格朗日方程。
应用达朗伯-拉格朗日方程可以推导出基于广义坐标和广义能量的Lagrange 方程，本节中我们只对Lagrange 方程进行应用，因此舍去其详细的推导过程。
下面对Lagrange 方程的三种基本形式做介绍。
（1）基本的第二类拉格朗日方程为：（2）主动力是保守力的拉格朗日方程为：（3）主动力包括保守力和非保守力的拉格朗日方程为：其中为拉格朗日算子，q 为系统的广义坐标，T 为系统的动能，V 为系统的势能，i Q 为广义坐标i q 对应的广义力。
对一个系统进行Lagrange 方程建模时的步骤为：首先明确对象，一般取整个系统为研究对象。
对整个系统进行受力分析，分析主动力，当出现非理想约束力时，将其视为主动力；选择恰当形式的拉格朗日方程。
然后对系统的运动性能进行分析，恰当系统中独立的广义坐标。
进而求取系统的动能和势能，得到系统的拉格朗日函数，求偏导和全导，代入拉格朗日方程，获N 个运动微分方程。
最后对N 个微分方程进行线性化，求出系统的数学模型。
3.二级倒立摆系统建模应用Lagrange 方程对二级摆系统进行建模时，对二级摆系统进行受力分析。
由于二级摆系统受推力和摩擦力作用，其中推力属于保守力，摩擦力属于非保守力。
因此选用主动力包括保守力和非保守力的拉格朗日方程。
1,2,i i id L LQ i n dt q q ∂∂-==∂∂•••对二级摆系统的运动特性进行分析，确定广义坐标。
在二级倒立摆系统中，系统有三个广义坐标，分别为12,,x θθ。