一类不具有连续性和紧性条件的反向混合单调算子方程解的存在性定理
几类混合单调算子方程解存在的唯一性定理
．
Ｓ ｖ ｒ １Ｔ ｐ ｓ ｏ ｉ ｅ ｏ ｏ ｏ ｅ Ｏ ｅ ａ ｏ ｑ ａ ｉｎ ｎ ｎ ｅ ｅ ｓ Ｔ ｅ ｒ ｍ Ｅ ｉ ｔ ｅ ｅ ａ ｙ ｅ ｆ Ｍ ｘ ｄ Ｍ ｎ ｔｎ ｐ ｒ ｔ ｒ Ｅ ｕ ｔ ｓ ａ ｄ Ｕ ｉ ｕ ｎ ｓ ｈ ｏ ｅ ｘ ｏ ｑ ＳＳ
．
类 几
混 △
么 令 Ｌ ＝ ｕ，） ｙ Ａ ，ｎ 则 必 有 ｕ Ｖ － 使 ｘ Ａ（ ｎＬ ： ｕ ， Ｖ， ） 叶∈Ｄ
Ｌ ＝ （ ｘ Ｄ中的解。 ｘＡｘ ） ，在
Ｌ ｎ Ａｕ，） ｖ ｌ （ ，） ｕ １ （ ｎＬ ｎ Ａ ｖｕ 。因此可构造无穷序列： ＋ ＝ ｖ， ＋ ＝ ｎ
注 １若 Ａ ｕ ）Ａ ： （ ｖ ｕ且 Ｌ Ｉ则我们可得增算子 ： ＝， Ａ的不动点定理 注 ２ 若 Ａ（ｖ： ｖ Ｌ Ｉ则我们可得减算子 ： ｕ ）Ａ 且 ＝ ，
，
。
性 ＿ — —
定
理
，
Ｌ ｏ ｕ ｕ …ｓ …ｓ Ｌ ｎ … Ｌ ｌ Ｌ 。 Ａ的不动点定理 ｕ５Ｌ ｌ ｎ ≤Ｌ Ｖ Ｖ ｖ （） ２ 定 理 ２２ 设 Ｅ是 实 Ｂ ｎｃ ａａｈ空 间 ， Ｐ是 Ｅ 中的 ｕ ｕ Ｌ ｎ … …ｓ Ｖ … Ｖ 。 Ｉ ｕ Ｄ ｌ ≤ ≤Ｖ （ 正规锥 存在 ｕ’ ∈Ｅ使得 ｕ ｖＤ ［ ，］混 合单 ３ ） ｏ０ Ｖ ｏ ｏ ＝ｕ ｖ ， ， ｏｏ 由引理知 Ｏ ｍ Ｍ 存在 ， ＜＜ 使得： 调算子 Ａ ： ×Ｅ－ Ｅ － Ｅ满足： － ￣
徐 洁 陈婷 婷 。
Ｘｕ ｉ Ｃｈ ｎ Ｔｉ ｔｎｇ Ｊｅ ｅ ｎｇ ｉ
（． １江西电力职业技术学院， 江西 南昌 ３０ ３ ； ． ３０ ２ ２南昌大学， 江西 南昌 ３０ ３） ３０１
非线性算子方程组解的存在唯一性及其应用
耦合 不动 点． （ｉ） 如 果 面∈Ｄ满 足 ＝ 面 ）则 称 是 Ａ的不 动点 ． ｉ ｉ Ａ（ ， ，
１ 主 要 结 果
定理 ２ １ 设存 在 。 ∈Ｅ使 Ｉ ≤ 。算 子 Ａ， ［。 ］×［。 ］ ． ， ｔ ， ０ Ｂ．Ｍ ， Ｘ Ｉ ， 一Ｅ满足 下列 条件 ：
（ｖ ｉ） （） Ａ ， ， ｏ ＝ ； ｚ ， ） （ ） Ｖｕ ｓＭ三 三 ０ ≤
％；
（ Ⅱ ＋Ｑ（ 一“） （ ， ）Ａ ，。 。 （） ｕ ）其 中 Ｑ， Ｖ） ｏ 。 ≤ 。 ， （。 ） 。 一Ｇ ｔ 。 ， 。一 Ｇ为正有 界线 性算 子．
：
’
（ ＋ ［ （ ， ， ） Ａ “ ）一Ｂ ｕ ， ）＋ｒ ｖ 一ｕ）＋Ｑ 一ｕ ）＋Ｇ 一１ ） ． （ （ （ （ ２ ］ ，
＋Ｑ（ 一ｕ ）一Ｂ 一， １ （ ｌ 一）一Ｔ ｌ＋Ｑ（ Ｉ一 一） ｕ一 一 １ ］
类 似上 面的证 明易证 得 ＋ ＋ ０ 一 ． Ｍ＋ １一Ｍ ： （ ）１ 曰 ｕ ， ）＋ ，＋ Ｉ［ （
一
（ ）１Ａ （ ｌ 一）＋ 一 ＋Ｇ 一 一）一Ｂ（ ｌ １ ，＋ ＿［ （ 一， １ ｌ （ １一 １ ｕ一， ）一Ｔ ｌ＋ｑ（ ｌ—ｕ一） 一 ｕ一 ｖ一 １ ］ ［ ，＋ ） ＋Ｑ＋Ｇ＋ ） （０一ｕ） （ 一（ ］ ０． （． ） ２ ３
一“ ，
第３ ６卷
第 ４期
２１ ０ ０年 ｌ ０月
曲 阜 师 范 大 学 Ｊｕ ａ ｏ Ｑ ｆ Ｎ ｒ ａ ｏｒ ｌ ｆ ｕｕ ｏｍ ｌ ｎ
Ｖｏ ． ６ Ｎｏ． １３ ４ Ｏｃ ．２ ０ ｔ ０１
非线性算子方程组解的存在唯一性及其应 用
邱 忠华
（ 齐鲁 师范学 院数学 系，５０ ３ 山东省济南市） ２０１ ，
海涅定理反证
海涅定理反证引言海涅定理是数学分析中的一个重要定理，也被称为海涅-博雷定理。
它是由德国数学家埃德蒙·海涅和恩斯特·博雷于19世纪提出的。
该定理在数学分析、实分析和复分析等领域有广泛的应用。
本文将详细介绍海涅定理的背景、原理和证明过程，并通过反证法展示其重要性和应用。
背景在数学分析中，函数的连续性是一个重要的概念。
一个函数在某点上连续，意味着在该点的邻域内，函数的值可以无限接近于该点的函数值。
然而，并非所有函数都满足连续性的要求。
因此，数学家们提出了一系列定理和方法来研究函数的连续性和不连续性。
海涅定理的原理海涅定理是关于函数连续性的一个重要定理。
它给出了一个函数在闭区间上连续的充要条件。
具体来说，对于一个实函数f(x)，如果它在闭区间[a, b]上满足以下两个条件：1.函数f(x)在[a, b]上有界，即存在一个常数M，使得对于所有的x∈[a, b]，有|f(x)|≤M；2.函数f(x)在[a, b]上满足达布(Darboux)性质，即对于任意的实数α和β(α<β)，存在一个实数γ，使得对于[a, b]上的任意x，都有f(γ)=γ。
那么，函数f(x)在闭区间[a, b]上连续。
证明过程为了证明海涅定理，我们使用反证法。
假设函数f(x)在闭区间[a, b]上不连续，即存在某点c∈[a, b]，使得函数f(x)在c点不连续。
根据函数的连续性定义，对于任意的ε>0，存在一个δ>0，使得对于[a, b]上的任意x，如果|x-c|<δ，则有|f(x)-f(c)|<ε。
现在我们选择一个特殊的ε，令ε=1。
根据函数的不连续性定义，对于任意的δ>0，存在一个x∈[a, b]，使得|x-c|<δ，但是|f(x)-f(c)|≥1。
我们可以构造一个数列{δn}，其中δn=1/n，n∈N。
根据函数的不连续性定义，对于每个δn，都存在一个x∈[a, b]，使得|x-c|<δn，但是|f(x)-f(c)|≥1。
Z-P-S空间中非线性算子方程解的存在性定理
Ｓ ｍ ｅ ｎ ｗ ｉ ｅ ｏ ｎｔｔ ｅ ｒ ｍ ｓ ｉ ＿ － ｐａ ｅ ｏ ｅ ｆｘ ｄ ｐ ｉ ｈ ｏ ｅ ｎ Ｚ－ Ｓ ｓ ｃ Ｐ＿
ＴＡＮＧ Ｃｈａ ， ｏ ＣＨ ＥＮＧ — ｉ 。 ＣＨ ＥＮ Ｌｉｙ ｎｇ ， Ｃｈｕ ｆ ｎ ｎ—ａ ｇ。
文 章 编 号 ：０ ６０ ６ （０ ２０ －１００ １ ０—４ ４ ２ １） ２０ １—４
ＺＰ Ｓ空 间 中非 线 性 算 子 方程 解 的存 在 性 定 理 ——
唐 超 程 丽英 陈春 芳。 ， ，
（． １ 江西 电力 职 业 技 术 学院 公 共 教 育 系 ， 西 南 昌 ３ ０ ３ ；． 西科 技 师 范 大学理 工 江 江 ３０ ８
（ ． ｐ ｒｍｅ ｔｏ ｕ ｌ ｕ ａｉｎ Ｊａ ｇ ｉＶｏ ａｉｎ ｌ＆ Ｔｅ ｈ ｉａ ｏｌｇ ｆＥｌｃｒｃｔ Ｎａ ｃ ａ ｇ ３ ０ ３ Ｃｈｎ ； １ Ｄｅ ａ ｔ ｎ ｆＰ ｂｉ Ｅｄ ｃ ｔ ，ｉｎ ｘ ｃｔｏ ａ ｃ ｏ ｃ ｎｃ ｌＣ ｌ ｅｏ ｅｔｉｉ ｅ ｙ， ｎ ｈ ｎ ３ ０ ２， ｉａ ２ Ｐ ｌｔｃ ｎｃＩ ｓｉ ｔ 。ｉｎ ｘ ｃｅ ｃ ＆ Ｔｅｈ ｏｏ ｙＮｏｍ ａ Ｕｎｖ ｒ ｉ ， ｎ ｈ ｎ ３ ０ ８ Ｃｈ ｎ ； ． ｏ ｙｅｈ ｉ ｎ ｔｔ ｅ Ｊａ ｇ ｉ ｉｎ ｅ ｕ Ｓ ｃ ｎ ｌｇ ｒ ｌ ｉｅ ｓｔ Ｎａ ｃ ａ ｇ ３ ０ ３ ， ｉａ ｙ
３ 南 昌大 学 数 学 系 ， 西 南 昌 ３ ０ ３ ） ． 江 ３ ０ １
摘
要： 自提 出 Ｚ Ｐ Ｓ空 间这 一 概 念 以来 ， 要 探 讨 了 不 动 点 和算 子 方 程 解 两 方 面 的 理 论 ， 立 了许 多 新 的定 理 。 －— 主 建
混合单调算子方程组解的存在唯一性定理_栾世霞
其中 N 为锥 P 的正规常数。此外，对 ∀x0 ∈ [u0 , v0 ]，令 xn+1 = Axn (n = 0, 1, 2, · · · )，则 有 x∗ = lim xn 。
n→∞
推论 3 设 A : [u0 , v0 ] → E 是减算子且存在正的有界线性算子 T1 , T2 , T3 : E → E ，使得谱 半径 r(T1 + T2 + T3 ) < 1，且满足下列条件： (H1 ) A(u) − A(v ) ≤ T1 (v − u), u0 ≤ u ≤ v ≤ v0 ； (H2 ) u0 + T2 (v0 − u0 ) ≤ A(v0 ), A(u0 ) ≤ v0 − T3 (v0 − u0 )。 则算子 A 在 [u0 , v0 ] 中有唯一不动点 x∗ ，而且迭代序列 un+1 = Avn − T2 (vn − un ), (16) v n+1 = Aun + T3 (vn − un ), n = 0, 1, 2, · · · 都收敛于 x∗ ，并有误差估计式 x∗ − un (或 vn ) ≤ N rn v0 − u0 , r(T1 + T2 + T3 ) < r < 1, (17)
第26卷 第2期 2009年04月
工
程
数
学
学
报
CHINESE JOURNAL OF ENGINEERING MATHEMATICS
Vol. 26 No. 2 Apr. 2009
文章编号:1005-3085(2009)02-0373-04
混合单调算子方程组解的存在唯一性定理∗
栾世霞, 孙钦福
(曲阜师范大学数学科学学院，曲阜 273165) 摘 要: 利用锥理论和单调迭代方法，本文在更广泛的条件下得到了一般 Banach 空间中的混合单调算子 方程组解的存在唯一性定理，进一步得到了混合单调、增、减算子新的不动点的存在唯一性定 理。本文结果一方面改进并推广了最近的一些已知结果，另一方面本文所给的条件在实际应用中 更便于检验。最后给出了一个应用，以检验本文所得结果。 中图分类号: 果
一类反向混合单调算子方程解的存在唯一性定理
２１ ０ ２年 ６月
大 学 数 学
ＣＯＬＬＥＧＥ ＡＴ ＨＥＭ ＡＴＩ Ｍ ＣＳ
Ｖｏ ． ８ № ． １２ ， ３
Ｊ ｎ ２ １ ｕ ．０ ２
一
类 反 向混 合 单 调 算 子 方 程 解 的存 在 唯 一 性 定 理
王 宇 翔
（ 同大学 煤炭工程学 院， 西 大同 ０７０） 大 山 ３ ０ ３
１ 基 本 概 念及 引 理
本 文假 定 Ｅ 是实 Ｂ ｎ ｃ ａ ａ ｈ空 间 ， Ｐ是 Ｅ 中正规 锥 ， ≤”是 由 Ｐ导 出 的半序 ． “ 定 义 １ １４ 设 ＤＣＥ． 子 Ａ： ． ［ ］ 算 Ｄ×Ｄ— Ｅ 如 果 Ａ（ ） 于 ｚ减且 关 于 Ｙ增 ， ． ｘ， 关 即对任 何 Ｘ ， Ｙ ∈Ｄ， ｉ ， 若 ｚ ≤ ｚ ， ２ Ｙ ， Ａ（ １Ｙ ）≥ Ａ（ ２Ｙ ）， 称 Ａ 是 反 向混合 单调 的． 一１ ２， １ ２ Ｙ ≤ １则 ｘ ，１ ｘ ，２ 则
［ 摘
要 ］ 运 用 锥 与 半 序 理 论 和非 对 称 迭 代 方 法 ，讨 论 Ｂ ｎ ｃ ａ ａｈ空 间 一 类 反 向 混 合 单 调 算 子 方 程 解 的存
在 唯 一 性 ， 出 了迭 代 序 列 收敛 于解 的 误 差 估 计 ，所 得 结 果 改 进 和 推 广 了某 些 已 有结 果 ． 给
定 义 １ ２５ 如 果 ．＿ 于 Ｐ是 单 调 的． ∈ Ｄ 满 足 一Ａ（ ， ）， 称 Ｘ 则 是 Ａ 的一 个不 动 点．
引理 １ １６ 锥 Ｐ 正规 的充要 条 件是 存在 与原 来 的范 数 ｌ ｌ等价 的范 数 Ｉ Ｉ 使 ｌ ｌ 关 ．［ ｌ・ｌ ｌ・Ｉ ， ｌ・Ｉ。
＜
一类单调算子方程解的存在性定理
１ 预 备 知 识
不 动点定 理在研 究各 种类 型 的微 分 和积分 方程 中起着重要 的作 用 ， 文在 前人 工作 的基 础上 ， 本 利用 迭代 的方 法在 正 规锥 中探 讨 了实 Ｂ ｎｃ ａ ａｈ空 间上 的
≤ｙ 恒有 Ｉ Ｉ≤ⅣＩ ＇ 时， ＩＩ Ｉ Ｉ则称锥Ｐ ｙ 是正规锥。
≤ｙ ｔ∈ ［ ， ］ 有 Ａ ｔ ， ０ １ ， （ｘ＋（ １一ｔｙ ） ）≥ ｔｘ＋（ Ａ １一
ｔａ 。 ） ｙ
从 而证 明了 （ ＋ｚ ～： ， ） Ｅ— Ｅ是线 性算 子 。 ） 令 （ ） ： ，）Ｐ ＸＰ— Ｐ如下 ： ，
（ ｙ ：（ ，） ，＋Ｚ （ ，）＋ｌ） ） Ａ（ Ｙ ｘ
的；
Ａ（ ） ，
（． ） １ １
的迭代求解 问题 ， 即研究算子Ａ ，） （ ） 的迭代求不动 ， 点 问题 ， 对算 子 Ａ的连 续性 及 紧 性 没作 任 何 假 我们 设， 只要求 Ａ ， （ ）具 有 凹 凸性 ， 于 （ ． ）类 方 程 对 １１ 解 的研究有 许 多种不 同 的方 法 ， 参 考 ¨ ， 文 在 可 ｊ本
广泛意义的算 子没有作任何 连续性 及紧 ｌ 生要求 的条件 下 ， 利用迭代的方 法对这类仅具有凹 （ 性算子 的不动点进 凸）
行 了研 究 ， 出 了一 些 新 结 果 ． 得 。
关键词 ： 正规锥 ； 凸 ） 凹（ 算子 ； 一型亚混合 单调算 子 ； ｚ 不动点 中图分类号 ： １７ ０ ７ 文献标识码 ： Ａ
２ 主 要 结 果
定 理 ２ １ 设 Ｐ是实 Ｂ ｎ ｃ 间 Ｅ中 的正规 ． ａ ａ ｈ空
非线 性算 子方程
＝
锥， 算子Ａ： ｐ －ｐ是 ｚ ＰＸ － － ￣ 一型亚混合单调算子， 若Ａ 满 足 以下条 件 ：
混合单调算子方程解的存在与唯一性定理
混合单调算子方程解的存在与唯一性定理
1 混合单调算子方程
混合单调算子方程是一种普通微分方程，被应用于研究各种自然现象，体现了它的重要意义。
大多数混合单调算子方程都是常微分方程，两个变量均具有一个决定解的重要性。
关于混合单调算子方程解的存在与唯一性，目前学术界已普遍接受四个基本定理：测试定理、正略定理、总体正略定理和曲线正略定理。
2 测试定理
测试定理指出，如果一个混合单调算子方程的系数满足一定的有界性，那么这个方程就有唯一的解。
测试定理是混合单调算子方程的首要定理，有着重要的学术价值。
3 正略定理
正略定理是混合单调算子方程的次要定理，它宣称混合单调算子方程的解可以分解成低阶的单调算子子方程的解。
这个定理能够显著简化解决这类方程的难度，也为此类方程的应用提供了有力支持。
4 总体正略定理
总体正略定理指出，对于混合单调算子方程，满足测试定理的解都以总体形式存在，而且这类解是唯一的。
5 曲线正略定理
曲线正略定理指出，如果满足测试定理，则混合单调算子方程可以分解成一系列以曲线形式存在的子方程，而且这些子方程的解又是唯一的。
综上所述，混合单调算子方程解的存在性和唯一性有四个基本定理来证实，它们是测试定理、正略定理、总体正略定理和曲线正略定理。
它们揭示了混合单调算子方程解的存在性及其独特性，为此类方程的应用发展和研究奠定了基础。
一类混合单调算子方程解的存在唯一性
ｉｅ ｓ ｍｅ ｃ ｒｅ ｐ ｎ ｉ ｇ ｒ ｓ ｌｓ ｚ ｏ ｏ ｒ ｓ ｏ ｄ ｎ ｅ ｕ ｔ． Ｋｅ ｙ ｗｏｒ ｓ： ｏ ｅ ａ ｄ ｐ ｒｉｌｏ ｄ ｒｎ ；ｍｉｅ ｎ ｔｎ ｐｅａ ｏ ；ｆ ｅ ｏ ｎ ｄ ｃ ｎ ｎ ａ ｔａ ｒ ｅ ｉ ｇ ｘ ｄ ｍｏ ｏｏ ｅ ｏ ｒ ｔｒ ｉ ｄ ｐ ｉｔ ｘ
１ 主 要结 果
定理 ｌ 设 Ｐ是实 Ｂｎｃ 空问 中正规锥， ： ， ａａｈ Ａ Ｄ×Ｊ — 是混合单调算子 ， 且满足下列两个条件 ：
（Ｉ） 存在常数 ０＜ ＜１ 且 “ ＋ ｌ 一 ） ，ｏ ， ｖ，０ ≤ ０ ， ０ Ｏ ≤Ａ（ ）ａ（０ “） ； （
第２ ６卷第 ６期 ２ １ 年 ６ 月 ００
商 丘 师 范 学 院 学 报 Ｊ Ｕ Ｎ Ｌ Ｏ Ｈ Ｎ Ｑ Ｕ Ｔ Ａ Ｈ Ｒ Ｏ Ｌ Ｇ Ｏ Ｒ Ａ ＦＳ Ａ Ｇ Ｉ Ｅ Ｃ Ｅ ＳＣ Ｌ Ｅ Ｅ
Ｖｏ ． ６ ｏ ６ １２ Ｎ ．
Ｊ ｎ ，２ １ ｕｅ ００
论文模版07
（空一行,中、英大标题与Abstract 、Key words ，表序与表题，图序和图题共6处加黑）一类非紧减算子方程解的存在性（空一行）（黑体,小2号加黑，居中，在标题后回车换行）摘□要 （空一行）（4号黑体居中, 1个空格为4号黑体下1个字的空隙，在摘要后回车换行）□□利用锥与半序理论无需考虑任何紧性或连续性条件,研究了一类具有凹(凸)性的减算子方程Ax x =解的存在性.所得结果改进和推广了凹(凸)减算子方程的某些相应结果.（5号宋体，单倍行距）（空一行）关键词（空一行）（4号黑体居中，在关键词后回车换行）□□凹(凸)算子；减算子；Mann 迭代；解（5号宋体，最后无标点）（空一行） The existence of the solutions of some noncompactdecreasing operator equations（空一行）〔3号Times New Roman 居中，单倍行距,加黑；标题开头第1个字母大写，其余字母小写，标题后回车换行〕Abstract（空一行）（4号Times New Roman 居中,加黑，在标题后回车换行）□□By using the cone and partial ordering theory without regarding any continuity and compactness conditions, In this paper it studies the existence of the solution of the concave (convex) decreasing operator Equation Ax x =.The results presented here improve and generalize some corresponding results for concave (convex) decreasing operator equations.（5号Times New Roman ，单倍行距）（空一行） Key words（空一行）（4号Times New Roman 居中,加黑，在标题后回车换行，字母k 大写，其余字母小写）□□concave(convex) operator ；decreasing operator ；Mann ，succession ；solution （5号Times New Roman ）注意:1. 中文标题、摘要、关键词以及相应的英文标题、摘要、关键词这两大项内容,一页写不完时，可以写多页，但是，这部分内容要占整页.如写半页，占一页；如写一页半，占两页.2. 每个空格均占本行中字体设置下的1个字的空隙.3. 中、英文大标题、摘要、关键词，表序与表题，图序和图题共6处加黑，其余不加黑。
一类单调二元算子方程组解的存在唯一性定理
易 知 Ｐ 是 Ｅ ×Ｅ 中的一个 锥 ， 引入 的半序 为 ：（ ， ≤ （ ， ｚ 它 ｙ ） ｚ ｙ ）当且 仅 当 ｚ ≤ ｚ ， Ｙ ．那么 有 ， ｚＹ ≥ 。
若 Ｐ正规 ， Ｐ正规 ， 则 且正 规 常数相 等．关于 不动 点 、 体锥 、 Ｐ正规 以及 混合单 调算 子 、 向混 合单 调算 子 的 反
ｏ一 ０
， 一 Ｇ（ １ 一 ） ｖ ， １
ｏ— ｙ
一 Ｇ（ 一ｌ ～ ） “ ， １
Ｆ（
则 由 假 定 有
１一 Ｆ（ ｏ ｏ ｕ ， ）一 Ｆ（ ，ｙ Ｏ ）≥ ｃ 口 ）＞ ０一 ｏ Ｆ（ ，
１ Ｆ（ｏ ｚ ）一 Ｆ（ ， ） 卢一 ０ 一 ｖ ，ｌ ｏ 卢 ≤
设 Ｐ是 实 的 Ｂ ｎ ｃ ａ ａ ｈ空 间 Ｅ 中的一个 正规 锥．在 Ｅ 中引入半 序 ， 乘积 空 间 Ｅ×Ｅ是 Ｂ ｎ ｃ 间 ， 中 ａ ａｈ空 其
的范数 取为 ｌ（ ）ｌ ｍａ ｛【 ，Ｉ ｝ ｌ ｚ， ｌ— ｘ Ｉ １ ｌ ｌ ，Ｖ （ ）∈ Ｅ×Ｅ ｚＩ Ｉ Ｙ ， ．令
唯 一 性 及 迭 代 逼 近序 列 ．
关
键
词 ：二 元 算 子 方 程 组 ； ；（ 向 ） 合 单 凋 算 子 ； 调迭 代 锥 反 混 单
文 献标 识 码 ：Ａ
中 图分 类 号 ：Ｏ ７ ． １ １ ７ ９
近年来 ， 于非 线性算 子 方程组 关
ｆ ｚ， ）一 Ｆ（
１ ）≥ ｃ ，ｙ）＞ ０一 。 ｏ 。 ， Ｇ（ １一 Ｇ（ ｏ 。 ＝ ｕ ， ）＝ ＝Ｇ（ ，ｙ Ｏ ）≤ ｙ— ｏ
乱 １一 Ｆ（ ，ｙ Ｏ ）≥ ｃ （ ）＝ １ Ｆ ， ＝ ＝
hahn-banach.定理 -回复
hahn-banach.定理-回复【Hahn-Banach定理】是数学分析中的一项重要定理，它在泛函分析中起到了关键的作用。
该定理是由德国数学家Hans Hahn和波兰数学家Stefan Banach独立发现的，因此被称为Hahn-Banach定理。
Hahn-Banach定理为泛函分析的研究提供了基础，广泛应用于许多领域，如函数分析、泛函微积分和最优化等。
本文将一步一步回答关于Hahn-Banach定理的问题，以便更好地理解它的含义和应用。
首先，我们需要明确Hahn-Banach定理的基本概念和背景知识。
Hahn-Banach定理属于泛函分析中的线性算子理论，它主要涉及线性泛函和线性空间的问题。
线性泛函是指将一个线性空间中的向量映射到实数或复数的函数，而线性空间是指满足线性性质的集合。
在泛函分析中，我们通常研究的对象是线性空间上的线性泛函。
接下来，我们来介绍Hahn-Banach定理的主要内容。
Hahn-Banach定理可以分为几个不同的版本，但它们的核心思想相同。
这些版本包括有界线性泛函版本、单返回线性泛函版本和凸分离定理版本。
在本文中，我们重点讨论有界线性泛函版本。
有界线性泛函版本的Hahn-Banach定理主要有两个重要结果。
首先是有界线性泛函的延拓性质，即给定一个定义在一个线性子空间上的有界线性泛函，我们可以将它延拓为整个线性空间上的有界线性泛函。
延拓是指在保持泛函的线性性质和有界性质的同时，将定义域扩展到整个空间。
其次是分离性质，即给定两个不交的凸集合，我们可以通过一个有界线性泛函将它们分离开。
凸集合是指对于集合中的任意两点，连接这两点的线段上的所有点也都属于该集合。
分离是指通过一个线性泛函，将两个凸集合分离开来，即一个集合在泛函值小于等于某个常数时，而另一个集合在泛函值大于等于该常数时。
我们继续解答下一个问题，即为什么Hahn-Banach定理具有重要性。
Hahn-Banach定理为泛函分析提供了一个重要的工具，它解决了许多关键问题，如线性泛函的延拓、凸分离和存在性等。
一类混合单调算子方程解的Mann迭代序列的收敛性
假设 ＝ｋ 时式（） １ 成立， 即有
Ｉ
≤
一
Ｉ，
从而 有
收 稿 日期 ：２ ０ ．８２ ０ ７０ 。１
作者简介 ：雷丽（９ ９） １６ － ，女，河南商丘人 ，商丘耿业技术学院 讲师
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第 ６期
雷丽：一类混合单调算子方程解的 Ｍａｎ ｎ 迭代序列的收敛性
其 中 Ｈ ＝Ｋ ＋ ＋ ， ，为恒 等算 子， ，
对任 给的， Ｍ） ＜ ， （ ＋ ＜ １
： （ ＜ ＋ ＜ （ 见［第 定 ，） ，Ｈ） ａ ｆ ｌ参 ６ 五章 理３ 可知存 ， ｌ ］ ４ 在 使
中的相 应 结果 ．
以 总 设 为 Ｂａ空 ， 为 中 规 （ｊ ＞， 得 下 假 实 ａｃ 间 尸 正 锥即Ⅳ ０使 ０ ｎｈ
区间． 称二元算子 ： ｘ ＤＤ
蕴 ｌ， 为 正 含 ｌ ｖＮ 其规 Ｘｌ
，
常数） 表示 Ｅ中的零元素，Ｅ中半序 由锥 Ｐ导出１ ， ， ７ 设 ，ｏ 且 ＜Ｖ，用 Ｄ＝ １ ｖ∈ ｏ
１ ７ ２５
（ ） （一 一， （ ） Ｋ（一 ￣１ 一 。 一 ＜ ｖ ｌ ） 一 ） ｋ一ｋ ， －
再 由 Ａ的混合单调性知
，
Ａｕ ． （ ， ． （ ，一 ≤ （ ， Ａｖ． 一， （一 ） ｕ 一 Ａｖ ． Ａｖ ） （一 ． ， Ａ ） ｋ ） ｋ 一 ｋ， ）
（ １ ）
都 敛 ， 有 差 计 －＊ Ｊ ” －。 收 于 且 误 估 （）Ｘ ｖ ＋ ） Ｉ ｊ （ － ｊ Ｘ
证明 １ ）用数学归纳法验证
ｏ
（ ２ ）
＿ ，＝１ ， ｌ？ ， …，事实上， ＝ｌ 由条件（ ） ， ２ ， 时， ？ Ｉ知
Banach空间中一类非单调算子方程解的存在性定理
（） ２
证 令 Ｂ 一６ ＋ （ 一ｂ Ａ：， ＥＤ． 任给 ， １ ） ｒ 对 ＥＤ， 当 ≤ 时 ， 由条 件 ｉ ） 知
Ｂ —Ｂｒ＝６ ＋（ —６ Ａ 一［ （ —６ Ａ ］ （ ： １ ） ６ ＋ １ ） 一６ — ） １ ｂ （ ） ＋（ － ） Ａ —Ａ
定义 ２ 算 子 Ａ： ＤＣＥ－ Ｅ称 为增算 子 ， － － － ￣ 如果 对 于任意 ， Ｙ∈Ｄ， 且 ≤ ， 含 Ａｒ 蕴 ≤Ａ ． 定义 ３ 算 子 Ａ： ＤＣＥ－Ｅ称 为减 算 子 ， － － － ￣ 如果 对 于任意 ３， ∈Ｄ， ７Ｙ 且 ≤Ｙ 蕴 含 Ａ ≤ Ａ ． ，
≥ ６ — ） （ —６ ６ — ） （ — １ 一 （ ＋ １ ）（ ／６ ） ．
所 以 Ｂｒ ｙ 即 Ｂ： — Ｅ为增算 子． ： ≤Ｂ ， Ｄ 由条 件 ｉ 知 ｉ ）
Ｂ —Ｂ ｕ ｕ—ｂ ＋ （ —６ Ａｕ ｂ ＋ （ —６Ａ“ 一６ ＂ “ ＋ （ —６ （ —Ａ“ ｙ １ ） —Ｅｕ １ ） ］ （ － ） １ ）Ａｕ Ｕ ）
程 的某 些 已 知结 果 ．
［ 键 词 ］ 锥 与 半 序 ； 算 子 ； 算 子 ； 动 点 关 增 减 不 ［ 中图 分 类 号 ］ ０１ ７９ ７．１ ［ 献标识码］Ａ 文 ［ 文章 编 号 ］ １ ７—４ ４ ２ ０ ） ３０ ６—４ ６ ２１５ （０ ８ ０—０ ７０
关 于增 （ ） 减 算子 的不 动点 理论 已有 许多 研究 。 卜引， 一般 对算 子 和锥 附加 的条件 均 比较 强 ． 文对 但 本
ｉ ｉ ）存在 正有 界线性 算 子 Ｋ： — Ｅ， Ｅ 使得 Ａ —Ａ“ ≤Ｋ（ － “ ，Ｕ ≤“ ≤ ； ２ ７ ） 。 ≤ ｉ）存 在正 有界 线性 算子 Ｌ， ： — Ｅ， ｉ ｉ Ｍ Ｅ 使得
一类非线性泛函积分方程单调可积解的存在性
第 ３期
曲 阜 师 范 大 学 学 报
Ｊｕ ａ ｏ Ｑ ｆ Ｎ ｒ ｌ Ｕ ｉ ｒ ｔ ｏ ｒ ｌ ｆ ｕｕ ｏｍａ ｎ ｎｖ ｓ ｙ ｅ ｉ
Ｖｏ ． ７ Ｎｏ． １３ ３
２１ ０ １年 ７月
Ｊ ｌ ０ １ ｕｙ２ １
一
类非 线性泛 函积分方程 单调可积解的存在性
（ ＝０ Ｘ） 铮 ∈ ． （．） ２ １
在 Ｌ ［ ，］中， ｌ １ ０ 文献［ ］给出了函数 （ ）的一简易公式 ４ Ｘ
卢 ） （ ＝
｛ ｌ（ ｌ ：ｃ ］ｒＤ 】． Ｓ １ Ｄ ，（） ） Ｈ ｐ ）ｄ ｔ ｅ ）
．
（２ ２） ．
定义 ２ ２ ． 算子 尸：—Ｅ 若对任一序列 ｛ ｝ Ｅ ， 弱收敛到 ， ｛ ｝ 有 弱收敛 到 ， 则称算子 Ｐ在 Ｅ中 是 弱序列 连 续 的． 定 义 ２ ３６（ ． 【 迭加 算 子 ） 设 厂 ［ ，］× Ｒ 尺 满 足 Ｃ ｒｔｅｄｒ 件 ， ：０ １ 一 ａａ ｏｏｙ条 ｈ 即对 几 乎所 有 的 ｔｆ ｔ ）是 ， （， 的连续函数 ， 对每个 ， ｔ ） ｔ ， 是 的可测 函数 ， 由 则 生成的迭加算子 Ｆ定义为
方 程单 调可积解的存在性 ，推广 了有关文献 的结 果．
关键 词 ： 积分方程； 弱非紧性测度； 弱序列连续 ；ａ ｔ ｏｏ 条件 Ｃｒｈ ｄｒ ａｅ ｙ
中 图分类 号 ：１５５ Ｏ７．
文献标 识码 ： Ａ
文章 编 号 ：０１ ３７２１）３ ０１ １０－ ３（０１０－ １ ５ ０
１ 引 言
张 峰①， 毕 玉洁②， 赵 增勤①
（ 曲阜师 范大学数学科学学 院， ７ １５ 曲阜市 ； ① ２３ ６ ， ②青岛华夏职业教育 中心中专部 ， ６ ０ ， ２ ５０ 山东省青 岛市 ） ６
《2024年内部具有不连续性Sturm-Liouville算子的研究》范文
《内部具有不连续性Sturm-Liouville算子的研究》篇一一、引言在数学物理及其应用领域中，Sturm-Liouville算子是一类具有特殊形式的偏微分算子。
当这种算子的内部结构包含不连续性时，问题的解决难度就会增加，使得其在更广泛的实际问题中的应用变得更加有趣且富有挑战性。
本文旨在深入研究内部具有不连续性的Sturm-Liouville算子，通过数学理论的分析与证明，理解其特性和求解方法，并进一步探索其在各个领域的应用。
二、不连续的Sturm-Liouville算子的基本定义和特性在传统Sturm-Liouville理论的基础上，我们将重点分析不连续的Sturm-Liouville算子的基本定义和特性。
通过深入分析这类算子的谱、特征函数和基函数的性质，我们将探讨其在描述各种物理系统时的特有表达形式和潜在的规律。
三、内部不连续性的数学建模和描述针对具有内部不连续性的Sturm-Liouville算子，我们提出了一种新的数学建模和描述方法。
我们将以算子的系数、边界条件和特征函数的性质为基础，通过分析这些元素的组合关系和相互影响，以更精确的方式描述这种不连续性。
此外，我们还将探讨如何利用这种模型来理解和预测算子的行为。
四、求解方法和算法设计针对具有内部不连续性的Sturm-Liouville算子，我们将设计并实现一种有效的求解方法和算法。
我们将利用现代数值计算技术，如有限差分法、有限元法等，来求解这类问题。
同时，我们还将探讨如何利用这些算法来提高求解的精度和效率。
五、应用领域研究我们将研究具有内部不连续性的Sturm-Liouville算子在各个领域的应用。
包括但不限于量子力学、分子光谱学、材料科学等。
我们将通过具体的例子来展示这种算子在这些领域中的具体应用和可能的解决方案。
同时，我们还将分析这些应用可能带来的挑战和机会。
六、结论本文通过对内部具有不连续性的Sturm-Liouville算子的深入研究，揭示了其特性和求解方法。
反向混合单调算子新的不动点定理
反向混合单调算子新的不动点定理
反向混合单调算子新的不动点定理是一种定理，用于分析混合单调算子在多变量函数中的不动点。
该定理表明，如果一个多变量函数上存在单调算子，那么该函数上就存在不动点。
反向混合单调算子新的不动点定理比传统的不动点定理更具有普遍性，因为它不仅考虑了单过程的单调算子，也考虑了混合过程的多个算子。
另外，这种定理更加实用，因为它可以应用于多变量函数中的不动点，而不必考虑每个变量的单调性。
混合单调算子不动点存在唯一性定理及其应用
混合单调算子不动点存在唯一性定理及其应用许绍元【摘要】研究一类具有某种凹凸性的混合单调算子,不要求紧性与连续性,利用半序方法和单调迭代技巧,得到了混合单调算子的若干新不动点定理,改进了混合单调算子某些相应结果.【期刊名称】《吉首大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(032)001【总页数】3页(P11-13)【关键词】锥与半序;混合单调算子;不动点【作者】许绍元【作者单位】赣南师范学院数学与计算机科学学院,江西,赣州,341000【正文语种】中文【中图分类】O177.91混合单调算子是一类十分重要的非线性算子,广泛存在于非线性微分方程和积分方程的研究中,见文献[1-7].设E是实Banach空间,θ是E的零元,P是E中的锥,≤是由锥P导出的半序,即对任意x,y∈E,x≤y当且仅当yx∈P.关于锥与半序的理论见文献[1].设D⊂E,若算子A(x,y):D×D→E关于x是增的,关于y是减的,即对任意xi,yi∈D(i=1,2),x1≤x2,y2≤y1,蕴涵A(x1,y1)≤A(x2,y2),则称A为混合单调的[2].若存在x∈D,使A(x,x)=x,则称x为A在D中的不动点.设e>θ,记Pe={x∈E|∃λ,μ>0,使得λe≤x≤μe}.定理1设P是实Banach空间E中的正规锥,A:Pe×Pe→Pe是混合单调算子.若对任意x∈Pe,存在函数φ:(0,1)→(0,1]使得对∀t∈(0,1),x∈Pe,有:(ⅰ)t<φ(t)2;(ⅱ)A(tx,t-1x)≥φ(t)A(x,x),A(t-1x,tx)≤[φ(x)]-1A(x,x);(ⅲ)φ=φ(t)在关于t∈(0,1)左下半连续并且满足那么算子A在Pe中有唯一不动点x＊,且对∀x0,y0∈Pe,序列xn=A(xn-1,yn-1),yn=A(yn-1,xn-1),都有xn→x＊,yn→x＊(n→∞).于是,根据A的混合单调性,由归纳法有根据(ⅱ)和A的混合单调性有显然,对∀t∈(0,1)有t<φ(t)2.故由定理1即知推论1结论成立.注1当0≤α<时,推论1去掉了文献[3]中定理3.1上下解条件“∃u0,v0∈,u0≤v0使得u0≤A(u0,v0),A(v0, u0)≤v0”以及条件“A(θ,v0)≥εA(v0,u0)”,因此推论1改进了文献[3]定理3.1的结果.下面利用文中的主要结果研究一类无界域上的非线性积方程.考虑下列非线性积分方程:注2文献[3]中定理3.1的方法依赖于上下解,从而不能得到结论1.故文中有关结果是文献[3]的有益补充.【相关文献】[1] GUO Da-jun,LA KSHM IKANTHAM V.Nonlinear Problem s in Abstract Cones[M].Boston and New York:Academic Press.Inc.,1988.[2] GUO Da-jun,LA KSHM IKANTHAM V.Coup led Fixed Points of Nonlinear Operators w ith App lications[J].Nonlinear Analysis,TMA.,1987,11(5):623-637.[3] 吴焱生,李国祯.混合单调算子不动点存在唯一性定理及其应用[J].数学学报,2003,46(1):161-166.[4] 许绍元,曾超益,朱传喜.φ凹-(-ψ)凸混合单调算子不动点存在惟一性及其应用[J].数学学报,2005,48(6):1 055 -1 064.[5] 张庆政.一类非紧算子与不动点的存在唯一性[J].数学研究与评论,1999,19(3):617-620.[6] 赵增勤.半序线性空间混合单调映射不动点存在唯一性[J].系统科学与数学,1994,19(2):217-224.[7] 张志涛.混合单调算子的不动点定理及其应用[J].数学学报,1998,41(6):1 121-1 126.。
erdos-palfy-szegedy 定理
Erdos-Palfy-Szegedy 定理
Erdős–Pálfy–Szegedy定理是组合数学中的一个重要结论，它描述了一类有限交换群的结构。
具体来说，设G是一个有限交换群，如果G中任意两个元素的阶差都不超过2，则G必定是一个可解群。
其中，一个群被称为可解群，如果它能够被分解成一系列循环群的直和。
这个定理的证明比较复杂，涉及到了群论、代数学和组合数学等多个领域的知识。
下面简要介绍一下证明的思路。
首先，利用反证法可以证明，如果G不是可解群，那么G中必定存在一个不可约的正规子群N。
然后，利用G中任意两个元素的阶差都不超过2的条件，可以证明N中任意两个元素的阶差也不超过2。
接下来，利用一个引理可以证明N中存在一个元素x，使得N的任意一个元素都可以表示成x的幂次的形式。
最后，利用这个元素x，可以将G分解成一系列循环群的直和，从而证明G是可解群。
Erdős–Pálfy–Szegedy定理的证明非常复杂，需要一定的数学背景和专业知识才能理解。
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作者简介 ： 庆芳 （ ９３一） 女 ， 李 １７ ， 河南郑 州人 ， 讲师 ， 研究方 向 ： 非线性泛 函分析及其应用
３ ２
２１ ００年
李 庆芳 ： 一类 不具 有连 续性 和 紧性条 件 的反 向混合 单调 算 子方 程 解的存 在性 定理
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第 ５期
２ ）存 在 正有 界线 性算 子 ： Ｅ ＋ Ｅ× ＿Ｅ且其 谱半 径 ｒＬ （ ）＜１使得 对 任意 的 ， ， Ｙ∈Ｄ， ， ≤）有
定义 １ … 称 二元 算子 Ａ： ＿Ｅ为混合 单 调算 子 ， 果 Ａ（ Ｙ 对 每 一个 固定 的 Ｙ ＤｘＤ 如 ， ） ∈Ｄ关 于 是增
的 ， 每一 个 固定 的 ∈ 对 Ｄ关 于 Ｙ是 减 的． 定义 ２ 称 二元算 子 ： × — Ｅ为反 向混 合单 调算 子 ， ： Ｄ Ｄ 若 １ ）对 每 个 固定 的 ∈ Ｂ “ 在 Ｄ 上关 于 Ｍ是单调 递 减 的 ， Ｖｕ ｕ ∈Ｄ， Ｂ（ ≤Ｂ（ ＂ ，ｏ Ｄ， （ ，） 即 ＜ ： 有 ｕ ，） “ ，） ／ ／ ，
１ 预 备 知 识
本文总假设 Ｅ为具有正规锥 Ｐ的半序实 Ｂ ｎｃ 空间， 表示 中的零元素 ， ａａｈ ０ Ⅳ为 Ｐ的正规常数 ， 关于锥 和半序理论参见文献 ［ ］ 设 ／ ， ∈ ８ ． ｄ Ｅ且 ｕ ＜ ， Ｄ＝［ ， ］ ， 。 。 。 用 表示 Ｅ中的序区间． 。
１ ）存 在
∈ ［ ，］０≤ Ａ（０／） Ａ ０口）≤ （ ） ０ ； ０１ ， ，０ ， （ ， ／ ， ０ １一 （０一 ）
（） １
・
收稿 日期 ：０ ０— ６—１ ２１ ０ １ 基金项 目： 河南 省教委科研基 金资助项 目（ ０８ ０ ８０ ４ ２ ０ １４ ３０ ）
一
类 不 具 有 连 续 性 和 紧 性 条 件 的 反 向混 合 单 调
算 子 方 程解 的存 在 性定 理
李庆 芳
（ 河南化工职业学院 公共 课教学部 ， 河南 郑州 ４０ ４ ） ５ ０２
摘 要 ： 半序 空 间 中， 究 了不具 有连 续性和 紧 性条件 的 一类反 向混合 单调 算子 方程解 的存在 与惟 一 在 研 性 ， 给 出迭代 序 列收敛 于解 的误 差估计 ， 并 所得 结果 是某 些 已有结 果 的本 质 改进和推 广．
关 键词 ： 正规锥 ； 向混合 单调 算子 ； 反 算子 方程 ； 方程 解 中图分 类号 ： ７ ． １ ０ １７ ９ 文献标 识码 ： Ａ
混 合 单 调 算 子 和 反 向混 合 单 调 算 子是 两 类 重 要 的算 子 ， 于 Ｂ ｎ ｃ 关 ａ ａ ｈ空 间 中非 线 性 混 合 单 调 算 子
（） ３
有 误差 估计 『 ’一Ⅱ （ ｌ 或 ）ｌ Ｎ Ｊ Ｉ≤ ｙ ｆ 。一Ｍ Ｊ 。ｌ，
（） ４
式 中 ＝ ＋ｒ ． （ ）
证明 运用 归纳 法易 证
０ ≤ ｕ１≤ ２ ≤ … ≤ Ｍ ≤ … ≤ ｎ ≤ … ≤ ２ ≤ １≤ ０，
（） ５
≤ ≤ ０；
２ ）对 每 个 固定 的 ＨＥＤ， ｕ 在 Ｄ上关 于 是单调 递增 的 ， Ｖ ＜ ＥＤ， Ｂ（ ，。 ≤ ， ） Ｂ（ ，） 即 有 ｕ ） （ ，０
≤ Ⅱ≤ ０ ．
２ 主 要 结 果
定 理 １ 设 Ｐ是实 Ｂｎｃ ａａｈ空间 Ｅ中正规锥 ， Ｄ×Ｄ Ａ： Ｊ—Ｅ是反 向混合 单调算 子 ， 且满 足 ：
用 的 对 称 迭 代 法 所 无 能 为 力 的 问题 ， 论 了反 向混 合 单 调 算 子 方 程 Ａ（ ）＋Ⅱ 解 的 存 在 惟 一 性 ， 讨 ， 。＝
并 给 出 了迭 代 序 列 收敛 于 解 的误 差 估 计 ， 进 和 推 广 了 已有 文 献 中 的相 应 结 果 ． 改
第３ ２卷 第 ５期
Ｖｏ ． ２ １３ Ｎｏ． ５
菏 泽
学 院
学 报
２１ ０ ０年 ９月
Ｓ ｐ． ｅ ２ ０ ０１
Ｊ ｕ ａ ｆＨｅｅ Ｕ ｉｅｓ ｙ ｏ ｒ ｌ ｚ ｎｖ ｒｉ ｎ ｏ ｔ
文 章 编 号 ：６ ３— １３ ２ １ ）５— ０ ２— ４ １７ ２ ０ （０ ０ ０ ０ ３ ０
方 程 Ａ（ ）＝ 的 迭 代 求 解 问题 ， 有 许 多 研 究 ， 得 到 了 一 批 好 的 结 果 ， 对 于 反 向混 合 单 调 ， 已 卜 并 但 算 子方 程 Ａ ， （ ）＋Ⅱ 解 的 存 在 性 问 题 却 涉 及 甚 少 ． 文 利 用 了非 对 称 迭 代 法 解 决 了半 序 空 间 中惯 。： 本
Ａ（ Ｙ ，）一Ａ（ ， Ｙ ）≤ （ ） Ｙ一 ．
（） ２
则 当 ０＜ ＋ｒＬ （ ）＜１时 ， 程 Ａ ， 。 在 ［。 ］ 方 （ ）＋ ＝ ，。 中有惟 一解 ， 且对 迭代 序列
Ⅱ＋ １＝Ａ（ ， ）＋ｕ ， ｌ＝Ａ（ ， ）＋ （ 一Ⅱ ）＋ ，ｎ＝０ １ ２ ３， ０ ＋ ０ ， ， ， …
事 实上 ， ｎ＝１时 ， 当 由式 （ ） （ ） Ａ是 反 向混 合单 调算 子 ， １ 、２ 及 我们有
Ⅱ １＝ Ａ ，０ （ｏ ）＋Ｈ ０≥ ０＋Ⅱ ， ｏ
１＝Ａ（ ０ ）＋ （０一 ）＋ “ ，０ ０ ０≤ （ ） ０ （ 一ｕ ）＋Ｍ ０ １一 （０一 ）＋ ｏ ０＝ ， １ １ 一 ＝Ａ（ ０ ）一Ａ（０ ）＋ 一Ｍ ） ， Ⅱ ≤ ≤移 ≤ ０ｉ （ ） 立． ｕ ，０ Ｖ ，０ （０ ｏ ≥ 且 ０ １ １ ， ５ 假设 凡＝ 后时 ， （ ） 式 ５ 也成 立 ， 即 一 ≤Ｍ ≤ ≤ 一 ， 当 ｎ＝ １ 。则 ＋１时 ， 有 Ⅱ ＝ （ 一 ，七１ ＾ Ａ １ 一）＋Ⅱ ≤Ａ（＾ ）＋ ｏ ， ０＝ ＋ ≤ ， ）＋ ０ ｌ （ ≤ Ａ（ ）＋ 一 ）＋ ＝ ＋ ≤Ａ（ 一 ， １ （ 一 一“一 ）＋ ０ ， “， （ ０ ｌ ； １ 一 ）＋ １ １ ＝