高数第九章数项级数-任意项资料
任意项级数
n
三、小结 正 项 级 数
1. 若 Sn → S,则级数收敛;
任意项级数
审
2. 若 lim un 0, 则级数 un发散.
n
敛
法
3.按基本性质;
4.充要条件 5.比较法 6.比值法 7.根值法
n 1
4.绝对收敛 5.交错级数 (莱布尼茨定理)
n 1 n 1
级数条件收敛． 绝对收敛、条件收敛与收敛 之间有着什么样的关系呢？
定理2
若 un 收敛, 则 un收敛.
n 1 n 1
证明 令 vn 1 (un un ) (n 1, 2,),
2
显然vn 0, 且vn un ， vn收敛,
又 un (2vn un ), un收敛.
n 1
若 un 收敛，则绝对收敛. n 1 结论：级数 un收敛, n 1 若 u 发散，则条件收敛. n n 1
n 1
n 1
n 1
例3
sin n 2 的收敛性. 判别级数 n n 1
解
sin n 1 2 2, n n
§9.3
任意项级数
一、交错级数及其审敛法
定义:如果在任意项级数 u n 中，正负号相间出
n 1
现，这样的任意项级数就叫做交错级数．它的一
n 1 n ( 1) u 或 ( 1) 般形式为： un n n 1 n 1
(其中un 0)
莱布尼茨定理
如果交错级数满足条件:
判别法，判断出正项级数 u n 发散，
n 1
高等数学无穷级数
【例9-6】讨论级数
n2
n
1 ln p
n
的敛散性，其中 p>0.
（2）比较法的应用 现在我们已经知道一些级数的敛散性，主要是等比 级数和p级数，便可以利用这些级数作为比较对象， 判断某些级数的敛散性了。
n1
v
n
收敛；
如果
n1
vn
发散，则 n1un
发散。
（2）比较判别法的极限形式（定理9-3的推论9-2）
n1un 与
n1
vn
是正项级数，并设
n1
v
n从某一
项之后是严格正项的。设
lim un l n vn
（i） (0l) 两个级数有相同的敛散性。
（ii）(l 0)
如果
n1un 发散，则
n1
下面给出三个相对具体或可操作的判别法，除了判
别法自身的意义，还分别与这两类级数密切相关。
3.积分判别法与p级数
n
1
1 np
（1）积分判别法（定理9-2）：
非负函数 f (x) 在
[1,)上单调递减，则
n1
f(n)
与反常积分 1f(x)dx有相同的敛散性。
【例9-5】证明p-级数 n 1n 1p121p n 1p
（2）改变（包括增加和减少）级数中有限项， 不改变级数的敛散性，但可能改变收敛级数和的 值（性质3）。 （3）收敛级数可以任意增加括号，不改变收敛性 与级数和。 可称之为单向结合律，因为： 在有括号收敛的情况下，去括号可能改变敛散性； 由此可知，发散级数加括号也可能改变敛散性。 如果括号中各项符号一样，收敛级数可以去括号！
9.2.正项级数敛散性判别法
数项级数的概念与基本性质
数项级数的概念与基本性质8.1 数项级数的概念与基本性质教学目的：理解级数的概念和基本性质。
教学重点：级数的基本性质，收敛的必要条件，几何级数。
教学难点：有限项相加与无穷项相加的差异。
教学过程：1.导入我们以前研究的加法是将有限个数相加，这种加法易于计算但无法满足应用的需要。
在许多技术问题中，常要求我们将无穷多个数相加，这种加法叫做无穷级数。
无穷级数是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的一种工具。
无穷级数分为常数项级数和函数项级数，常数项级数是函数项级数的特殊情况，是函数项级数的基础。
2.讲授新课2.1 常数项级数的概念定义8.1：设给定数列{an}，我们把形如a1+a2+。
+an+。
=∑an (n=1,2.)的式子称为一个无穷级数，简称级数。
其中第n项an称为级数∑an的通项（或一般项）。
如果级数中的每一项都是常数，我们称此级数为数项级数。
例如，等差数列各项的和a1+(a1+d)+(a1+2d)+。
+[a1+(n-1)d]+。
称为算术级数。
等比数列各项的和XXX.称为等比级数，也称为几何级数。
级数2n-1+。
+1111+。
=∑(2n-1)/(3n) (n=1,2.)称为调和级数。
级数(8.1.1)的前nXXX：XXX，k=1,2.n称Sn为级数∑an的前n项部分和，简称部分和。
2.2 常数项级数收敛与发散定义8.2：若级数(8.1.1)的部分和数列{Sn}的极限存在，即limSn=S (常数)n→∞则称极限S为无穷级数∑an的和。
记作S=∑an=a1+a2+。
+an+。
此时称级数∑an收敛；如果数列{Sn}没有极限，则称级数∑XXX发散，这时级数没有和。
显然，当级数收敛时，其部分和Sn是级数和S的近似值，它们之间的差rn=S-Sn=an+1+an+2+。
叫做级数的余项。
用近似值Sn代替S所产生的误差是这个余项的绝对值，即误差为|rn|。
例1：讨论几何级数∑aq^(n-1)=a+aq+aq^2+。
高数第九章数项级数
n
dx 1 1 1 (1 p1 ) 1 p 1 x p1 n p1
即sn有界,
则P 级数收敛.
当p 1时, 收敛 P 级数 当p 1时, 发散
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数学分析
例 2 证明级数
n 1
1 是发散的. n( n 1)
证明
1 1 , n( n 1) n 1
un1 N , 当n N时, 有 , un
un1 即 un
(n N )
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数学分析
当 1时, 取 1 ,
使r 1,
uN 2 ruN 1 ,
uN m r
uN 3 ruN 2 r 2 uN 1 ,
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1 (1) sin ; n n 1
数学分析
5.比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法)：
设
n 1
un 1 (常数或 ) n u un 是正项级数,如果 lim n
则 1时级数收敛; 1 时级数发散; 1 时失效.
证明 当为有限数时, 对 0,
n dx 1 设 p 1, 由图可知 p n1 p n x 1 1 1 sn 1 p p p 2 3 n 2 dx n dx o 1 1 p n1 p x x
y
y
1 ( p 1) xp
1
2
3
4
x
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1 1
1 而级数 发散, n 1 n 1
级数
n 1
1 发散. n( n 1)
高等数学-九-无穷级数
第九章无穷级数无穷级数是函数逼近与近似计算的重要工具。
本章主要讨论⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧--⎪⎩⎪⎨⎧---和函数展开收敛性傅立叶级数和函数展开收敛性幂级数函数项级数条件收敛绝对收敛任意项级数莱布尼兹审敛法交错级数根值法比值法比较法正项级数常数项级数级数,,,,,,,基本概念基本性质收敛域和函数§1、数项级数的基本概念与性质一、基本概念定义1（级数）设有无穷数列，称形式和{}∞1n u++++n u u u 21为无穷级数，简称级数，记为，即∑∞=1n n u ,211++++=∑∞=n n nu u u u其中每个数均称为级数的项，数称为级数的一般项或通项，级数的前n 项和n unnk k n u u u u s +++==∑= 211称为级数的部分和数列。
研究级数的基本问题：1、判定级数是否收敛——无穷个数相加是否等于一个有限数（级数的和）；2、当级数收敛时，如何求其和。
判定级数收敛或发散的方法统称为审敛法。
熟练掌握针对各种级数的审敛法是学习的主要内容。
定义2（敛散性）设有级数，其部分和为，则n s ∑∞=1n nu∑∞=1n nu1、级数收敛此时，称s 为级数的和，并记,lim s s n n =⇔∞→∃;1s un n=∑∞=2、级数发散不存在。
∑∞=1n nun n s ∞→⇔lim 显然，收敛级数才有和，发散级数无和；任何级数要不收敛，要不发散，两者不可兼得。
利用敛散性定义可以判定一些级数的敛散性，并求出收敛级数的和。
【例1】判定级数的敛散性。
∑∞=+1)1(1n n n 〖解〗由分项分式),2,1(111)1(1 =+-=+k k k k k 得级数部分和为)1(1431321211+++⋅+⋅+⋅=n n s n )111()4131()3121()211(+-++-+-+-=n n111+-=n s n 故n n s ∞→lim )111(lim +-=∞→n n 1=于是，原级数收敛，且和为1，即.1)1(11=+∑∞=n n n □练习：判定下列级数∑∞=-+1)1(n n n 的敛散性。
9.3任意项级数及敛散性判别法
∞
∑u
∞ n =1
∞
n =1
n
条件收敛
定理： 绝对收敛， 定理：若任意项级数 ∑ u n 绝对收敛，则此级数一 n =1 定收敛. 定收敛 注：收敛级数未必绝对收敛. 收敛级数未必绝对收敛
推论： 发散， 也发散. 推论：若 ∑ u n 发散，则 ∑ un 也发散
n =1 n =1
∞
∞
例3：判别下列级数的敛散性，若收敛是条件收敛 ：判别下列级数的敛散性， 还是绝对收敛. 还是绝对收敛
n =1
的任意项级数，称为交错级数. 的任意项级数，称为交错级数 其中 un > 0, n = 1,2, L 交错级数 注：在后面的学习中，我们主要讨论 * 式的交错级数 在后面的学习中， （）
2、交错级数判别法 、 定理（莱布尼兹判别法）： 定理（莱布尼兹判别法）： 若交错级数 ∑ (−1) u n 满足： 满足：
n −1 1 ⑴ ∑ (−1) np n =1 ∞
sin(n sin(n!) ⑵∑ n2 n =1
∞
1 ln(1 + ) ∞ n n ⑶ ∑ (−1) n n =1
xn 的敛散性. 例4：讨论级数 ∑ s ( s > 0) 的敛散性 ： n =1 n
∞
三、利用级数的收敛性可求数列的极限
方法： 是一个数列， 满足： 方法：设 {u n } 是一个数列，若通项 u n 满足：
u n +1 lim = r < 1 或 lim n un = r < 1 n →∞ n →∞ u n
则级数
∑u
n =1
∞
n
绝对收敛， 绝对收敛，故 lim u n = 0
n →∞
xn =0 例5：证明对任意 x ∈ R ，有 lim ： n →∞ n!
第九章 级数
142第九章 级 数无穷级数包括常数项级数与函数项级数两部分，可以利用它求出某些函数、积分和微分方程的近似值，还可以利用它来表示很多重要的非初等函数。
基本内容：基本概念：常数项级数、正项级数、函数项级数、幂级数、傅立叶级数；基本运算：判断级数的敛散性；求幂级数的收敛半径与收敛区间；求泰勒级数与幂级数展开式； 基本理论：极限的理论；本章重点：无穷级数收敛与发散的概念；正项级数的比值判别法；级数的绝对收敛和收敛的关系；幂级数的收敛半径与收敛区间；泰勒级数；函数的幂级数展开式；傅立叶级数。
课标导航1．理解常数项级数收敛、发散及级数求和；2．掌握收敛级数的基本条件，了解正项级数收敛的充分必要条件； 3．掌握-p 级数、几何级数、条件级数收敛与发散的条件； 4．熟练掌握正项级数的比较、比值和根式敛散法；了解交错级数的敛散法以及绝对收敛和条件敛散的概念；5．了解函数项级数及其收敛域、掌握幂级数的收敛半径和收敛域的求法，并会求较简单的幂级数的和函数；6．了解函数在某点处的泰勒级数以及函数展开成幂级数的概念，会用间接法将函数展开成幂级数； 一、知识梳理与链接 （一）.基本概念 1．数项级数【定义】如果给定一个数列 ,,,,21n u u u 则由这些数列构成的表达式∑+∞==++++121n n n u u u u 叫做（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数。
其中：级数的第n 项n u 叫做级数的通项或一般项，级数的前n 项和叫做级数的部分和，记为n s .即n n u u u s +++= 21；如果级数部分和数列n s 极限存在，则称该级数收敛，其极限值叫做级数的和，记为s ，否则称该级数发散；级数和与部分和的差称为该级数的余项，记为n r .2．正项级数、交错级数级数中的各项均由正数或零组成，则称该级数为正项级数；级数中的各项是由正负交错组成，则称该级数为交错级数。
3．绝对收敛与条件收敛如果级数∑+∞=1n n u 各项的绝对值所构成的正项级数∑+∞=1n n u 收敛，则称级数∑+∞=1n n u 绝对收敛；如果级数∑+∞=1n n u 收敛，而级数∑+∞=1n n u 发散，则称级数∑+∞=1n n u 条件收敛。
高数第9章函数项级数、幂级数
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说明: 虽然函数序列 s n ( x ) x 在( 0, 1 )内处处
n
收敛于 s( x ) 0 , 但 sn ( x )在( 0, 1 )内各点处收 敛于零的“快慢”程度是不一致的．
从左图可以看出:
y
y sn ( x ) x n
n1
(1,1)
注意：对于任意正数r 1， 这级数在[0, r ] 上一致收敛． o
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第九章 函数项级数
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I 函数项级数的一致收敛
一、函数项级数的概念
设 u1 ( x ), u2 ( x ),, un ( x ),是定义在 I R 上的函数, 则 un ( x ) u1 ( x ) u2 ( x ) un ( x )
( x )在[ a , b ]上一致收敛， u ( x )，并且级数 u n n
n 1
则级数 un ( x )在[ a , b ]上也一致收敛，且可逐
n 1
项求导，即
( x ) u s( x ) u1 ( x ) u ( x) 2 n
(5)
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所以原级数不可以逐项求导．
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四、一致收敛性简便的判别法：
定理 （魏尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法）
n 1
如果函数项级数 un ( x ) 在区间 I 上满足条件:
(1) (2)
当 x x 0 时，有 s( x ) s( x0 ) .
(3)
s( x ) 在点 x0 处连续， x0 在 [ a , b ] 上是任意 所以 而
无穷级数整理
无穷级数整理一、数项级数〔一〕数项级数的根本性质1.收敛的必要条件：收敛级数的一般项必趋于0.2.收敛的充要条件〔柯西收敛原理〕：对任意给定的正数ε，总存在N 使得对于任何两个N 大于的正整数m 和n ，总有ε<-n m S S .〔即局部和数列收敛〕3.收敛级数具有线性性〔即收敛级数进展线性运算得到的级数仍然收敛〕，而一个收敛级数和一个发散级数的和与差必发散.4.对收敛级数的项任意加括号所成级数仍然收敛，且其和不变.5.在一个数项级数内去掉或添上有限项不会影响敛散性. 〔二〕数项级数的性质及敛散性判断 1.正项级数的敛散性判断方法〔1〕正项级数根本定理：如果正项级数的局部和数列有上界，则正项级数收敛. 〔2〕比拟判别法〔放缩法〕：假设两个正项级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv之间自*项以后成立着关系：存在常数0>c ，使),2,1( =≤n cv u n n ，则 〔i 〕当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；〔ii 〕当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.推论：设两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，且自*项以后有nn n n v v u u 11++≤，则 〔i 〕当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；〔ii 〕当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.〔3〕比拟判别法的极限形式〔比阶法〕：给定两个正项级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv，假设0lim>=∞→l v u nnn ，则这两个级数敛散性一样.〔注：可以利用无穷小阶的理论和等价无穷小的内容〕另外，假设0=l ，则当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；假设∞=l ，则当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.常用度量： ①等比级数：∑∞=0n nq，当1<q 时收敛，当1≥q 时发散；②p -级数：∑∞=11n pn，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散(1=p 时称调和级数)；③广义p -级数：()∑∞=2ln 1n pn n ，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散.④交织p -级数：∑∞=--111)1(n p n n，当1>p 时绝对收敛，当10≤<p 时条件收敛. 〔4〕达朗贝尔判别法的极限形式〔商值法〕：对于正项级数∑∞=1n n u ，当1lim1<=+∞→r u u nn n 时级数∑∞=1n n u 收敛；当1lim1>=+∞→r u u n n n 时级数∑∞=1n n u 发散；当1=r 或1=r 时需进一步判断. 〔5〕柯西判别法的极限形式〔根值法〕：对于正项级数∑∞=1n nu，设n n n u r ∞→=lim ，则1<r 时此级数必为收敛，1>r 时发散，而当1=r 时需进一步判断. 〔6〕柯西积分判别法：设∑∞=1n nu为正项级数，非负的连续函数)(x f 在区间),[+∞a 上单调下降，且自*项以后成立着关系：n n u u f =)(，则级数∑∞=1n n u 与积分⎰+∞)(dx x f 同敛散.2.任意项级数的理论与性质〔1〕绝对收敛与条件收敛：①绝对收敛级数必为收敛级数，反之不然； ②对于级数∑∞=1n nu，将它的所有正项保存而将负项换为0，组成一个正项级数∑∞=1n nv，其中2nn n u u v +=；将它的所有负项变号而将正项换为0，也组成一个正项级数∑∞=1n nw，其中2nn n u u w -=，则假设级数∑∞=1n nu绝对收敛，则级数∑∞=1n nv和∑∞=1n nw都收敛；假设级数∑∞=1n nu条件收敛，则级数∑∞=1n nv和∑∞=1n nw都发散.③绝对收敛级数的更序级数〔将其项重新排列后得到的级数〕仍绝对收敛，且其和一样. ④假设级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv都绝对收敛，它们的和分别为U 和V ，则它们各项之积按照任何方式排列所构成的级数也绝对收敛，且和为UV .特别地，在上述条件下，它们的柯西乘积⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=11n n n n v u 也绝对收敛，且和也为UV . 注：⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑∞=∞=∞=111n n n n n n v u c ，这里121121v u v u v u v u c n n n n n ++++=-- .〔2〕交织级数的敛散性判断〔莱布尼兹判别法〕:假设交织级数∑∞=--11)1(n n n u 满足0lim =∞→n n u ，且{}n u 单调减少〔即1+≥n n u u 〕，则∑∞=--11)1(n n n u 收敛，其和不超过第一项，且余和的符号与第一项符号一样，余和的值不超过余和第一项的绝对值.二、函数项级数〔一〕幂级数1.幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域 〔1〕柯西-阿达马定理：幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在R x x <-0内绝对收敛，在Rx x >-0内发散，其中R 为幂级数的收敛半径. 〔2〕阿贝尔第一定理：假设幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处收敛，则它必在00x x x -<-ξ内绝对收敛；又假设∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处发散，则它必在00x x x ->-ξ也发散.推论1：假设幂级数∑∞=0n n nx a在)0(≠=ξξx 处收敛，则它必在ξ<x 内绝对收敛；又假设幂级数∑∞=0n n nx a在)0(≠=ξξx 处发散，则它必在ξ>x 时发散.推论2：假设幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处条件收敛，则其收敛半径0x R -=ξ，假设又有0>n a ，则可以确定此幂级数的收敛域.〔3〕收敛域的求法：令1)()(lim 1<+∞→x a x a nn n 解出收敛区间再单独讨论端点处的敛散性，取并集.2.幂级数的运算性质〔1〕幂级数进展加减运算时，收敛域取交集，满足各项相加；进展乘法运算时，有：∑∑∑∑∞==-∞=∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛0000n n n i i n i n n n n n n x b a x b x a ，收敛域仍取交集. 〔2〕幂级数的和函数)(x S 在收敛域内处处连续，且假设幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在R x x -=0处收敛，则)(x S 在[)R x R x +-00,内连续；又假设幂级数∑∞=-00)(n n n x x a 在R x x +=0处收敛，则)(x S 在(]R x R x +-00,内连续.〔3〕幂级数的和函数)(x S 在收敛域内可以逐项微分和逐项积分，收敛半径不变. 3.函数的幂级数展开以及幂级数的求和 〔1〕常用的幂级数展开：① +++++=nxx n x x e !1!2112∑∞==0!n n n x ，*∈(-∞, +∞).②=11x -1+*+*2+···+*n+··· =∑∞=0n n x ，*∈(-1, 1). 从而，∑∞=-=+0)(11n nx x ，∑∞=-=+022)1(11n n n x x . ③∑∞=+++-=++-+-+-=0121253)!12()1()!12()1(!51!31sin n n nn n n x n x x x x x ，*∈(-∞, +∞).④∑∞=-=+-+-+-=02242)!2()1()!2()1(!41!211cos n n n n n n x n x x x x ，*∈(-∞, +∞). ⑤∑∞=-+-=++-+-+-=+11132)1(11)1(3121)1ln(n n n n n n x x n x x x x ，*∈(-1, 1].⑥ ++--++-++=+n x n n x x x !)1()1(!2)1(1)1(2ααααααα，*∈(-1, 1).⑦1202123)12()!(4)!2(12!)!2(!)!12(321arcsin +∞=+∑+=++-+++=n n n n x n n n n x n n x x x ，*∈[-1, 1].⑧120123121)1(121)1(31arctan +∞=++-=++-++-=∑n n n n n x n x n x x x ，*∈[-1,1]. 〔2〕常用的求和经历规律：①级数符号里的局部x 可以提到级数外；②系数中常数的幂中假设含有n ，可以与x 的幂合并，如将n c 和n x 合并为ncx )(； ③对∑∞=0n nnx a求导可消去n a 分母因式里的n ,对∑∞=0n n n x a 积分可消去n a 分子因式里的1+n ；④系数分母含!n 可考虑x e 的展开，含)!2(n 或)!12(+n 等可考虑正余弦函数的展开； ⑤有些和函数满足特定的微分方程，可以考虑通过求导发现这个微分方程并求解. 〔二〕傅里叶级数1.狄利克雷收敛定理〔本定理为套话，不需真正验证，条件在命题人手下必然成立〕 假设)(x f 以l 2为周期，且在[-l , l ]上满足： ①连续或只有有限个第一类连续点； ②只有有限个极值点；则)(x f 诱导出的傅里叶级数在[-l , l ]上处处收敛. 2.傅里叶级数)(x S 与)(x f 的关系： 3.以l 2为周期的函数的傅里叶展开展开：〔1〕在[-l , l ]上展开：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰⎰---l ln l l n l l dx l x n x f l b dx l x n x f l a dx x f l a ππsin )(1cos )(1)(10；〔2〕正弦级数与余弦级数：①奇函数〔或在非对称区间上作奇延拓〕展开成正弦级数：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===⎰l n n dxl x n x f l b a a 00sin )(200π；②偶函数〔或在非对称区间上作偶延拓〕展开成余弦级数：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰0cos )(2)(2000n l n l b dx l x n x f l a dx x f l a π；4.一些在展开时常用的积分： 〔1〕;0cos ;1)1(sin 010=+-=⎰⎰+ππnxdx nnxdx n〔2〕2sin 1cos ;1sin 2020πππn n nxdx n nxdx ==⎰⎰；〔3〕2022010)1(2cos 1)1(cos ;)1(sin n nxdx x n nxdx x n nxdx x n n n -=--=-=⎰⎰⎰+πππππ；； 〔4〕C nx n nx a e na nxdx e axax +-+=⎰)cos sin (1sin 22； C nx a nx n e na nxdx e ax ax+++=⎰)cos sin (1cos 22； 〔5〕C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21sin sin ；C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21cos cos .注：①求多项式与三角函数乘积的积分时可采用列表法，注意代入端点后可能有些项为0； ②展开时求积分要特别注意函数的奇偶性及区间端点和连续点的特殊性； ③对于π≠l 的情形，事先令x lt π=对求积分通常是有帮助的.。
无穷级数知识点汇总
无穷级数知识点汇总一、数项级数（一）数项级数的基本性质1.收敛的必要条件：收敛级数的一般项必趋于0.2.收敛的充要条件（柯西收敛原理）：对任意给定的正数ε，总存在N 使得对于任何两个N 大于的正整数m 和n ，总有ε<-n m S S .（即部分和数列收敛）3.收敛级数具有线性性（即收敛级数进行线性运算得到的级数仍然收敛），而一个收敛级数和一个发散级数的和与差必发散.4.对收敛级数的项任意加括号所成级数仍然收敛，且其和不变.5.在一个数项级数内去掉或添上有限项不会影响敛散性. （二）数项级数的性质及敛散性判断 1.正项级数的敛散性判断方法（1）正项级数基本定理：如果正项级数的部分和数列有上界，则正项级数收敛. （2）比较判别法（放缩法）：若两个正项级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv之间自某项以后成立着关系：存在常数0>c ，使),2,1( =≤n cv u n n ，那么 （i ）当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；（ii ）当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.推论：设两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，且自某项以后有nn n n v v u u 11++≤，那么 （i ）当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；（ii ）当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.（3）比较判别法的极限形式（比阶法）：给定两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，若0lim >=∞→l v u nnn ，那么这两个级数敛散性相同.（注：可以利用无穷小阶的理论和等价无穷小的内容） 另外，若0=l ，则当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；若∞=l ，则当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.常用度量： ①等比级数：∑∞=0n nq，当1<q 时收敛，当1≥q 时发散；②p -级数：∑∞=11n p n ，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散(1=p 时称调和级数)； ③广义p -级数：()∑∞=2ln 1n pn n ，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散.④交错p -级数：∑∞=--111)1(n pn n ，当1>p 时绝对收敛，当10≤<p 时条件收敛. （4）达朗贝尔判别法的极限形式（商值法）：对于正项级数∑∞=1n n u ，当1lim1<=+∞→r u u nn n 时级数∑∞=1n n u 收敛；当1lim1>=+∞→r u u nn n 时级数∑∞=1n n u 发散；当1=r 或1=r 时需进一步判断. （5）柯西判别法的极限形式（根值法）：对于正项级数∑∞=1n nu，设n n n u r ∞→=lim ，那么1<r 时此级数必为收敛，1>r 时发散，而当1=r 时需进一步判断. （6）柯西积分判别法：设∑∞=1n nu为正项级数，非负的连续函数)(x f 在区间),[+∞a 上单调下降，且自某项以后成立着关系：n n u u f =)(，则级数∑∞=1n n u 与积分⎰+∞)(dx x f 同敛散.2.任意项级数的理论与性质（1）绝对收敛与条件收敛：①绝对收敛级数必为收敛级数，反之不然； ②对于级数∑∞=1n nu，将它的所有正项保留而将负项换为0，组成一个正项级数∑∞=1n nv，其中2nn n u u v +=；将它的所有负项变号而将正项换为0，也组成一个正项级数∑∞=1n nw，其中2nn n u u w -=，那么若级数∑∞=1n nu绝对收敛，则级数∑∞=1n nv和∑∞=1n nw都收敛；若级数∑∞=1n nu条件收敛，则级数∑∞=1n nv和∑∞=1n nw都发散.③绝对收敛级数的更序级数（将其项重新排列后得到的级数）仍绝对收敛，且其和相同. ④若级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv都绝对收敛，它们的和分别为U 和V ，则它们各项之积按照任何方式排列所构成的级数也绝对收敛，且和为UV .特别地，在上述条件下，它们的柯西乘积⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=11n n n n v u 也绝对收敛，且和也为UV . 注：⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑∞=∞=∞=111n n n n n n v u c ，这里121121v u v u v u v u c n n n n n ++++=-- .（2）交错级数的敛散性判断（莱布尼兹判别法）:若交错级数∑∞=--11)1(n n n u 满足0lim =∞→n n u ，且{}n u 单调减少（即1+≥n n u u ），则∑∞=--11)1(n n n u 收敛，其和不超过第一项，且余和的符号与第一项符号相同，余和的值不超过余和第一项的绝对值.二、函数项级数（一）幂级数1.幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域 （1）柯西-阿达马定理：幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在R x x <-0内绝对收敛，在Rx x >-0内发散，其中R 为幂级数的收敛半径. （2）阿贝尔第一定理：若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处收敛，则它必在00x x x -<-ξ内绝对收敛；又若∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处发散，则它必在00x x x ->-ξ也发散.推论1：若幂级数∑∞=0n n nx a在)0(≠=ξξx 处收敛，则它必在ξ<x 内绝对收敛；又若幂级数∑∞=0n n nx a在)0(≠=ξξx 处发散，则它必在ξ>x 时发散.推论2：若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处条件收敛，则其收敛半径0x R -=ξ，若又有0>n a ，则可以确定此幂级数的收敛域.（3）收敛域的求法：令1)()(lim1<+∞→x a x a nn n 解出收敛区间再单独讨论端点处的敛散性，取并集.2.幂级数的运算性质（1）幂级数进行加减运算时，收敛域取交集，满足各项相加；进行乘法运算时，有：∑∑∑∑∞==-∞=∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛0000n n n i i n i n n n n n n x b a x b x a ，收敛域仍取交集. （2）幂级数的和函数)(x S 在收敛域内处处连续，且若幂级数∑∞=-00)(n nn x x a在R x x -=0处收敛，则)(x S 在[)R x R x +-00,内连续；又若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在R x x +=0处收敛，则)(x S 在(]R x R x +-00,内连续.（3）幂级数的和函数)(x S 在收敛域内可以逐项微分和逐项积分，收敛半径不变. 3.函数的幂级数展开以及幂级数的求和 （1）常用的幂级数展开：① +++++=nxx n x x e !1!2112∑∞==0!n n n x ，x ∈(-∞, +∞).②=11x -1+x +x 2+···+x n +··· =∑∞=0n n x ，x ∈(-1, 1). 从而，∑∞=-=+0)(11n nx x ，∑∞=-=+022)1(11n n n x x . ③∑∞=+++-=++-+-+-=0121253)!12()1()!12()1(!51!31sin n n nn n n x n x x x x x ，x ∈(-∞, +∞).④∑∞=-=+-+-+-=02242)!2()1()!2()1(!41!211cos n n n n n n x n x x x x ，x ∈(-∞, +∞). ⑤∑∞=-+-=++-+-+-=+11132)1(11)1(3121)1ln(n n n n n n x x n x x x x ，x ∈(-1, 1]. ⑥ ++--++-++=+n x n n x x x !)1()1(!2)1(1)1(2ααααααα，x ∈(-1, 1).⑦1202123)12()!(4)!2(12!)!2(!)!12(321arcsin +∞=+∑+=++-+++=n n n n x n n n n x n n x x x ，x ∈[-1, 1]. ⑧120123121)1(121)1(31arctan +∞=++-=++-++-=∑n n n n n x n x n x x x ，x ∈[-1, 1].（2）常用的求和经验规律：①级数符号里的部分x 可以提到级数外；②系数中常数的幂中若含有n ，可以与x 的幂合并，如将n c 和n x 合并为ncx )(； ③对∑∞=0n nnx a求导可消去n a 分母因式里的n ,对∑∞=0n n n x a 积分可消去n a 分子因式里的1+n ；④系数分母含!n 可考虑x e 的展开，含)!2(n 或)!12(+n 等可考虑正余弦函数的展开； ⑤有些和函数满足特定的微分方程，可以考虑通过求导发现这个微分方程并求解. （二）傅里叶级数1.狄利克雷收敛定理（本定理为套话，不需真正验证，条件在命题人手下必然成立） 若)(x f 以l 2为周期，且在[-l , l ]上满足： ①连续或只有有限个第一类间断点； ②只有有限个极值点；则)(x f 诱导出的傅里叶级数在[-l , l ]上处处收敛. 2. 傅里叶级数)(x S 与)(x f 的关系：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-++--++=.2)0()0(2)0()0()()(为边界点，为间断点；，为连续点；，x l f l f x x f x f x x f x S3.以l 2为周期的函数的傅里叶展开展开：∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=10sin cos 2)(~)(n n n l x n b l x n a a x S x f ππ（1）在[-l , l ]上展开：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰⎰---l ln l l n l l dx l x n x f l b dx l x n x f l a dx x f l a ππsin )(1cos )(1)(10；（2）正弦级数与余弦级数：①奇函数（或在非对称区间上作奇延拓）展开成正弦级数：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===⎰l n n dxl x n x f l b a a 00sin )(200π；②偶函数（或在非对称区间上作偶延拓）展开成余弦级数：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰0cos )(2)(2000n l n l b dx l x n x f l a dx x f l a π；4.一些在展开时常用的积分： （1）;0cos ;1)1(sin 010=+-=⎰⎰+ππnxdx nnxdx n（2）2sin 1cos ;1sin 2020πππn n nxdx n nxdx ==⎰⎰；（3）2022010)1(2cos 1)1(cos ;)1(sin n nxdx x n nxdx x n nxdx x n n n -=--=-=⎰⎰⎰+πππππ；； （4）C nx n nx a e n a nxdx e axax +-+=⎰)cos sin (1sin 22； C nx a nx n e na nxdx e ax ax +++=⎰)cos sin (1cos 22； （5）C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21sin sin ；C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21cos cos .注：①求多项式与三角函数乘积的积分时可采用列表法，注意代入端点后可能有些项为0； ②展开时求积分要特别注意函数的奇偶性及区间端点和间断点的特殊性； ③对于π≠l 的情形，事先令x lt π=对求积分通常是有帮助的.。
高数第九章数项级数-任意项
x 故函数 单调递减, un un1 , x 1 n 0. 又 lim un lim 原级数收敛. n n n 1
中央财经大学
数学分析
二、绝对收敛与条件收敛
定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
定理 若
u
n 1
n
收敛,则
u
n 1
n
收敛.
1 证明 令 vn ( un un ) ( n 1,2,), 2 且 vn un , v n收敛, 显然 vn 0,
(1)
n 1
n1
1 n 1 n
(1)
n 1
n1
1 ( 1) ln n n 2
n
中央财经大学
数学分析
( 1) n n 例 5 判别级数 的收敛性. n1 n 2
解
x (1 x ) 0 ( x 2) ( ) 2 x 1 2 x ( x 1)
中央财经大学
数学分析
三、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法
阿贝尔判别法
如果(1)级数 bn收敛； (2)数列{an }( n 1,2,)
n 1
为单调、有界的 , an K , 则 anbn收敛.
狄利克雷判别法
n 1
n 1
如果(1)级数 bn的部分和Bn有界, Bn K (n 1,2,)； (2)数列{an }单调趋于0, 则 anbn收敛.
m m m
lim S 2 m 1 lim S 2 m , 故数列 {Sn } 的极限存在， 所以 m m
所以交错级数 ( 1)
n 1
n 1
un 收敛．
任意项级数的概念
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任意项级数学习课件
二.任意常数项级数
可借助于正项级数的敛散性的判别法来研究它了.
绝对收敛;
例如级数
是条件收敛的.
是绝对收敛的;
它的每一项取绝对值后组成的级数——正项级数,便
考察
收敛, 则称级数
则称级数
若级数
发散, 而级数
条件收敛.
定理12 若级数 收敛, 则级数 必定收敛.
即绝对收敛的级数必收敛.
证 设
收敛.
收敛.
注1 所有正项级数的收敛都是绝对收敛.
注2 一切判别正项级数的敛散性的判别法都可用来判定任意常数项级数是否绝对收敛, 从而收敛.
而不能断定它必为发散,
(2) 若用比值法和根值法判别级数 , 得出级数
注意:
定理13 若任意项级数 满足条件
①首先判断它是否绝对收敛
②再看它是否为交错级数;
是否收敛);
(即用正项级数的判
别法,判别
若是交错级数，就用
莱布尼兹判别法判别
是否收敛;
③若前面方法失效,就考虑用其它方法;
例15 判定下列级数的敛散性:
由比较判别法的极限形式知
故原级数绝对收敛.
发散.
收敛.
从而原级数不绝对收敛；
则原级数条法)
若交错级数
满足条件:
则交错级数收敛, 且其和
证 因为
则序列 单増.
则序列
余项
则无论n是奇数还是偶数均有
于是交错级数
收敛, 且其和
也是交错级数, 同样满足定理给
出的两个条件.从而
例14 判定下列交错级数的敛散性.
收敛.
由于任意常数项级数各项的符号不一定同号,因而正项级数的敛散性的判别法对它来说是不适用的.但当我们
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u1 (u2 u3 ) (u2m2 u2m1 ) (u2m u2m1 )
S2m1 即数列 {S2m-1 } 单调减少, 又因
un1 un 0,
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S2m1 (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2m3 u2m2 ) u2m1
(u1 u2 )
[sin(n 1)x sin(n 1 )x]
2
2
sin(n
1 )x
2
当
x (0,2 )
时,
x sin
0,
故得到
2
1
1
n
sin(n x)
cos kx
2
2 k1
2sin x
2
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所以级数 cosnx 的部分和数列当 x (0,2 ) 时 有界,由狄利克雷判别法推得级数 an cosnx 收敛. 同理可证级数 an sinnx 也是收敛的.
证明：由阿贝尔变换
同号
m
m1
S aibi | (ai ai1) || Bi | | amBm |
i1
i1
m1
S M | (ai ai1) | | am | M i 1
m
故 S aibi M ( a1 2 am ) i1
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三、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法
阿贝尔判别法
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第九章 级数
数项级数
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III 任意项级数
一、交错级数及其审敛法
定义: 正、负项相间的级数称为交错级数.
(1)n1un或 (1)nun (其中un 0)
n1
n1
莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件:
(ⅰ)un
un1
(n
1,2,3,)
;(ⅱ)
lim
n
un
0,
则级数收敛,且其和s u1,其余项rn的绝对值
rn un1.
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证
设交错级数 (1)n1un 的部分和数列为 {Sn }, n1
其奇数项子列为 {S2m-1 }, 偶数项子列为 {S2m }, 于是有 S2m1 u1 u2 u3 u2m2 u2m1
u1 (u2 u3 ) (u2m2 u2m1 )
B1 b1, B2 b1 b2 , B3 b1 b2 b3,
Bm b1 b2 b3 bm
m
则，S aibi a1B1 a2 (B2 B1) am (Bm Bm1)
i 1
m1
(ai ai1)Bi am Bm
m
m1 i1
即， aibi (ai ai1)Bi am Bm
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例 下列交错级数都是收敛的：
(1)n1 1
n1
n
(1)n1
1
n1
n
(1)n
1
n2
ln n
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例 5 判别级数 (1)n n 的收敛性.
n2 n 1
解
(
x
x ) 1
2
(1 x) x( x 1)2
0
( x 2)
故函数 x 单调递减, x1
un un1 ,
n1
n1
n1
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上定理的作用： 任意项级数
正项级数
定义:若 un 收敛, 则称 un 为绝对收敛;
n1
n1
若 un 发散,而 un 收敛, 则称 un 为条件收敛.
n1
n1
n1
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例6
判别级数
n1
sin n n2
的收敛性.
解
sin n n2
1 n2
,
而 1 收敛, n2
n1
sin n 收敛,
n2
n1
故由定理知原级数绝对收敛.
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例 下列级数都是条件收敛
(1)n1 1
n1
n
(1)n1
1
n1
n
(1)n
1
n2
ln n
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三、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法
定义:阿贝尔变换
m
对于 S aibi a1b1 a2b2 ambm ，设 i 1
如果(1)级数 bn收敛；(2)数列{an}(n 1,2,) n1
为单调、有界的, an K,则 anbn收敛. n1
狄利克雷判别法
如果(1)级数 bn的部分和Bn有界, Bn K (n 1,2,)； n1
(2)数列{an}单调趋于0,则 anbn收敛. n1 中央财经大学
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又
lim
n
un
lim
n
n
n 1
0.
原级数收敛.
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二、绝对收敛与条件收敛
定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
定理 若 un 收敛,则 un 收敛.
n1
n1
证明
令
vn
1 2 (un
un)Βιβλιοθήκη (n 1,2,),显然 vn 0, 且 vn un , vn收敛,
n1
又 un (2vn un ), un 收敛.
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又因 S2m u1 (u2 u3 ) (u2m2 u2m1 ) u2m
u1
即数列 {S2m } 单调增加有上界,
从而极限
lim
m
S2m
存在．
于是
lim
m
S2m1
lim
m
S2m
lim(
m
S2m1
S2m )
lim
m
u2m
0
所以
lim
m
S2m
1
lim
m
S2m
,
故数列
即数列
{S2m-1 } 有下界, 从而极限
lim
m
S2m1
存在．
类似地对偶数项子列为 {S2m }, 有
S2m (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2m1 u2m )
(u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2m1 u2m ) (u2m1 u2m2 ) S2m2 即子列 {S2m } 单调增加．
i 1
i 1
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三、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法
阿贝尔引理
如果 (1){ai}(i 1,2,, m)为单调的； (2){Bi}(i 1,2,, m)为有界的, Bi M
m
则 S aibi M ( a1 2 am ) i1
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三、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法
例3 若数列 { an } 单调递减趋于零，即
a1 a2 an ,
lim
n
an
0,
则级数 an sinnx 和 an cosnx 对任何 x (0,2 )
都收敛.
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解 因为
2sin x ( 1 n cos kx)
sin
x
3x (sin
sin
x )
2 2 k1
2
22
{Sn
}
的极限存在，
所以交错级数 (1)n1un 收敛．
n1
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因为有
S2m u1 ,
所以
S
lim
n
Sn
lim
m
S2m
u1
.
即交错级数的和不大于第一项的绝对值 u1 ．
由于 (1)n1un 的余项 n1
| Rn | un1 un2 un3 un4
仍是交错级数，所以有 | Rn | un1 .