高数第九章数项级数-任意项资料

n1
n1
n1
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上定理的作用： 任意项级数
正项级数
定义:若 un 收敛, 则称 un 为绝对收敛;
n1
n1
若 un 发散,而 un 收敛, 则称 un 为条件收敛.
n1
n1
n1
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例6
判别级数
n1
sin n n2
的收敛性.
解
sin n n2
1 n2
,
又
lim
n
un
lim
n
n
n 1
0.
原级数收敛.
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二、绝对收敛与条件收敛
定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
定理 若 un 收敛,则 un 收敛.
n1
n1
证明
令
vn
1 2 (un
un
)
(n 1,2,),
显然 vn 0, 且 vn un , vn收敛,
n1
又 un (2vn un ), un 收敛.
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又因 S2m u1 (u2 u3 ) (u2m2 u2m1 ) u2m
u1
即数列 {S2m } 单调增加有上界,
从而极限
lim
m
S2m
存在．
于是
lim
m
S2m1
lim
m
S2m
lim(
m
S2m1
S2m )
lim
m
u2m
0
所以
lim
m
S2m
1
lim
m
S2m
,
故数列
例3 若数列 { an } 单调递减趋于零，即
a1 a2 an ,
lim
n
an
0,
则级数 an sinnx 和 an cosnx 对任何 x (0,2 )
都收敛.
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解 因为
2sin x ( 1 n cos kx)
sin
x
3x (sin
Leabharlann Baidu
sin
x )
2 2 k1
2
22
即数列
{S2m-1 } 有下界, 从而极限
lim
m
S2m1
存在．
类似地对偶数项子列为 {S2m }, 有
S2m (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2m1 u2m )
(u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2m1 u2m ) (u2m1 u2m2 ) S2m2 即子列 {S2m } 单调增加．
B1 b1, B2 b1 b2 , B3 b1 b2 b3,
Bm b1 b2 b3 bm
m
则，S aibi a1B1 a2 (B2 B1) am (Bm Bm1)
i 1
m1
(ai ai1)Bi am Bm
m
m1 i1
即， aibi (ai ai1)Bi am Bm
{Sn
}
的极限存在，
所以交错级数 (1)n1un 收敛．
n1
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因为有
S2m u1 ,
所以
S
lim
n
Sn
lim
m
S2m
u1
.
即交错级数的和不大于第一项的绝对值 u1 ．
由于 (1)n1un 的余项 n1
| Rn | un1 un2 un3 un4
仍是交错级数，所以有 | Rn | un1 .
如果(1)级数 bn收敛；(2)数列{an}(n 1,2,) n1
为单调、有界的, an K,则 anbn收敛. n1
狄利克雷判别法
如果(1)级数 bn的部分和Bn有界, Bn K (n 1,2,)； n1
(2)数列{an}单调趋于0,则 anbn收敛. n1 中央财经大学
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rn un1.
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证
设交错级数 (1)n1un 的部分和数列为 {Sn }, n1
其奇数项子列为 {S2m-1 }, 偶数项子列为 {S2m }, 于是有 S2m1 u1 u2 u3 u2m2 u2m1
u1 (u2 u3 ) (u2m2 u2m1 )
而 1 收敛, n2
n1
sin n 收敛,
n2
n1
故由定理知原级数绝对收敛.
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例 下列级数都是条件收敛
(1)n1 1
n1
n
(1)n1
1
n1
n
(1)n
1
n2
ln n
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三、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法
定义:阿贝尔变换
m
对于 S aibi a1b1 a2b2 ambm ，设 i 1
证明：由阿贝尔变换
同号
m
m1
S aibi | (ai ai1) || Bi | | amBm |
i1
i1
m1
S M | (ai ai1) | | am | M i 1
m
故 S aibi M ( a1 2 am ) i1
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三、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法
阿贝尔判别法
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第九章 级数
数项级数
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III 任意项级数
一、交错级数及其审敛法
定义: 正、负项相间的级数称为交错级数.
(1)n1un或 (1)nun (其中un 0)
n1
n1
莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件:
(ⅰ)un
un1
(n
1,2,3,)
;(ⅱ)
lim
n
un
0,
则级数收敛,且其和s u1,其余项rn的绝对值
i 1
i 1
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三、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法
阿贝尔引理
如果 (1){ai}(i 1,2,, m)为单调的； (2){Bi}(i 1,2,, m)为有界的, Bi M
m
则 S aibi M ( a1 2 am ) i1
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三、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法
u1 (u2 u3 ) (u2m2 u2m1 ) (u2m u2m1 )
S2m1 即数列 {S2m-1 } 单调减少, 又因
un1 un 0,
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S2m1 (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2m3 u2m2 ) u2m1
(u1 u2 )
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例 下列交错级数都是收敛的：
(1)n1 1
n1
n
(1)n1
1
n1
n
(1)n
1
n2
ln n
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例 5 判别级数 (1)n n 的收敛性.
n2 n 1
解
(
x
x ) 1
2
(1 x) x( x 1)2
0
( x 2)
故函数 x 单调递减, x1
un un1 ,
[sin(n 1)x sin(n 1 )x]
2
2
sin(n
1 )x
2
当
x (0,2 )
时,
x sin
0,
故得到
2
1
1
n
sin(n x)
cos kx
2
2 k1
2sin x
2
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所以级数 cosnx 的部分和数列当 x (0,2 ) 时 有界,由狄利克雷判别法推得级数 an cosnx 收敛. 同理可证级数 an sinnx 也是收敛的.