2019届天津市十二重点中学高三下学期毕业班联考(二)数学(文)试题(解析版)
2019年天津市十二区县高考数学二模试卷(文)含答案解析
2019年天津市十二区县重点高中高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分）1．已知复数z满足z=（i为虚数单位），则z=（）A．B． C．1﹣i D．1+i2．已知直线l：y=kx+b，曲线C：x2+（y﹣1）2=1，则“b=1”是“直线l与曲线C有公共点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．若a=50.2，b=logπ3，c=log5sinπ，则（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞a＞b4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为8，则判断条件是（）A．k＜2 B．k＜4 C．k＜3 D．k≤35．点P为△ABC边AB上任一点，则使S△PBC≤S△ABC的概率是（）A．B．C．D．6．函数f（x）=sin（2x+）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后关于原点对称，则φ的最小值为（）A． B．C．D．7．已知F1，F2分别为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过F1的直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，若|AB|：|BF2|：|AF2|=4：3：5，则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．8．在平行四边形ABCD中，AB=2，BC=1，∠ABC=120°，平面ABCD内有一点P，满足AP=，若=λ+μ（λ，μ∈R），则2λ+μ的最大值为（）A．B．C．D．二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9．某学校小学部有270人，初中部有360人，高中部有300人，为了调查学生身体发育状况的某项指标，若从初中部抽取了12人，则从该校应一共抽取________人进行该项调查．10．甲几何体（上）与乙几何体（下）的组合体的三视图如图所示，甲、乙几何体的体积分别为V1、V2，则V1：V2等于________．11．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，PA是⊙O的切线，PB交AC于点E，交⊙O于点D．若PA=PE，∠ABC=60°，PD=1，PB=9，则EC=________．12．函数的单调递增区间是________．13．已知数列{a n}，a1=1，a2=3，a n+2=a n+1﹣a n，则a2019=________．14．若函数f（x）=x2+2a|x|+a2﹣6的图象与x轴有三个不同的交点，函数g（x）=f（x）﹣b有4个零点，则实数b的取值范围是________．三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知函数f（x）=cosx（cosx+sinx）．（Ⅰ）求f（x）的最小值；（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若f（C）=1且c=，a+b=4，求S△ABC．16．某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A、B若干件，该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，使总预计收益达到最大，最大收益是多少？17．如图，边长为的正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，其中AB∥CD，AB⊥BC，CD=BC=AB=1，AE∩DF=O，M为EC的中点．（Ⅰ）证明：OM∥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角D﹣AB﹣E的正切值；（Ⅲ）求BF与平面ADEF所成角的余弦值．18．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的长轴长为短轴长的倍．（1）求椭圆E的离心率；（2）设椭圆E的焦距为2，直线l与椭圆E交于P，Q两点，且OP⊥OQ，求证：直线l恒与圆x2+y2=相切．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，T n为{b n}的前n项和，求T2n．20．已知函数f（x）=ax﹣1﹣lnx．（a∈R）（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）在x=2处的切线斜率为，不等式f（x）≥bx﹣2对任意x∈（0，+∞）恒成立，求实数b的取值范围；（Ⅲ）证明对于任意n∈N，n≥2有： +++…+＜．2019年天津市十二区县重点高中高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分）1．已知复数z满足z=（i为虚数单位），则z=（）A．B． C．1﹣i D．1+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用分子分母同时乘以分母的共轭复数得答案．【解答】解：z==，故选：A．2．已知直线l：y=kx+b，曲线C：x2+（y﹣1）2=1，则“b=1”是“直线l与曲线C有公共点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】直线l与曲线C有公共点⇔≤1，化为|b﹣1|≤，即可判断出结论．【解答】解：直线l与曲线C有公共点⇔≤1，化为|b﹣1|≤．可知：b=1时，满足上式；反之不成立，取b=也可以．∴“b=1”是“直线l与曲线C有公共点”的充分不必要条件．故选：A．3．若a=50.2，b=logπ3，c=log5sinπ，则（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞a＞b【考点】对数值大小的比较．【分析】分别利用指数式与对数函数的运算性质比较三个数与0和1的大小得答案．【解答】解：∵a=50.2＞50=1，0＜b=logπ3＜logππ=1，c=log5sinπ≤0，∴a＞b＞c．故选：C．4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为8，则判断条件是（）A．k＜2 B．k＜4 C．k＜3 D．k≤3【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，k的值，由题意当s=8，k=3时，由题意应该不满足条件，退出循环，输出s的值为8，即可得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=0，s=1应满足条件，执行循环体，s=1，k=1应满足条件，执行循环体，s=2，k=2应满足条件，执行循环体，s=8，k=3此时，由题意，应该不满足条件，退出循环，输出s的值为8．则判断框内应为：k＜3？故选：C．5．点P为△ABC边AB上任一点，则使S△PBC≤S△ABC的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】首先分析题目求在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，使S△PBC≤S△ABC得到三角形高的关系，利用几何概型求概率．【解答】解：设P到BC的距离为h，∵三角形ABC的面积为S，设BC边上的高为d，因为两个三角形有共同的边BC，所以满足S△PBC≤S△ABC时，h≤d，所以使S△PBC≤S△ABC的概率为=；故选：A．6．函数f（x）=sin（2x+）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后关于原点对称，则φ的最小值为（）A． B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用三角函数的图象平移得到平移后图象的函数解析式，由图象关于原点对称列式求得φ的最小值．【解答】解：∵f（x）=sin（2x+），∴图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度得到y=sin[2（x+φ）+]=sin（2x+2φ+），∵所得的图象关于原点对称，∴2φ+=kπ（k∈Z），φ＞0，则φ的最小正值为．故选：B．7．已知F1，F2分别为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过F1的直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，若|AB|：|BF2|：|AF2|=4：3：5，则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设|AF1|=t，|AB|=4x，根据双曲线的定义算出t=2x，x=a，Rt△ABF2中算出cos∠BAF2==，可得cos∠F2AF1=﹣，在△F2AF1中，利用余弦定理与双曲线的离心率公式加以计算，可得答案．【解答】解：设|AF1|=t，|AB|=4x，则|BF2|=3x，|AF2|=5x，根据双曲线的定义，得|AF2|﹣|AF1|=|BF1|﹣|BF2|=2a，即5x﹣t=（4x+t）﹣3x=2a，解得t=2x，x=a，即|AF1|=a，|AF2|=a，∵|AB|：|BF2|：|AF2|=4：3：5，得△ABF2是以B为直角的Rt△，∴cos∠BAF2==，可得cos∠F2AF1=﹣，△F2AF1中，|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2﹣2|AF1|•|AF2|cos∠F2AF1=a2+a2﹣2×a×a×（﹣）=20a2，可得|F1F2|=2a，即c=a，因此，该双曲线的离心率e==．故选：D．8．在平行四边形ABCD中，AB=2，BC=1，∠ABC=120°，平面ABCD内有一点P，满足AP=，若=λ+μ（λ，μ∈R），则2λ+μ的最大值为（）A．B．C．D．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】可作出图形，根据题意可知λ，μ＞0，根据条件对两边平方，进行数量积的运算便可得到5=4λ2+2λμ+μ2=（2λ+μ）2﹣2λμ，由基本不等式即可得出2λ+μ的范围，从而便可得出2λ+μ的最大值．【解答】解：如图，依题意知，λ＞0，μ＞0；根据条件，5==4λ2+2λμ+μ2==；∴；∴；∴2λ+μ的最大值为．故选B．二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9．某学校小学部有270人，初中部有360人，高中部有300人，为了调查学生身体发育状况的某项指标，若从初中部抽取了12人，则从该校应一共抽取31人进行该项调查．【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．【解答】解：解：由分层抽样的定义得该校共抽取：=31，故答案为：31；10．甲几何体（上）与乙几何体（下）的组合体的三视图如图所示，甲、乙几何体的体积分别为V1、V2，则V1：V2等于1：3．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，上面是一个球，下面是一个圆锥．利用体积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，上面是一个球，下面是一个圆锥．∴V1==，V2==4π．∴V1：V2=1：3．故答案为：1：3．11．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，PA是⊙O的切线，PB交AC于点E，交⊙O于点D．若PA=PE，∠ABC=60°，PD=1，PB=9，则EC=4．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】利用切割线定理结合题中所给数据，得PA=3，由弦切角定理结合有一个角为60°的等腰三角形是正三角形，得到PE=AE=3，最后由相交弦定理可得BE•DE=AE•CE，从而求出EC的长．【解答】解：∵PA是圆O的切线，∴PA2=PD•PB=9，可得PA=3．∵∠PAC是弦切角，夹弧ADC，∴∠PAC=∠ABC=60°，∵△APE中，PE=PA，∴△APE是正三角形，可得PE=AE=PA=3．∴BE=PB﹣PE=6，DE=PE﹣PD=2∵圆O中，弦AC、BD相交于E，∴BE•DE=AE•CE，可得6×2=3EC，∴EC=4，故答案为：4．12．函数的单调递增区间是（2，3）．【考点】复合函数的单调性．【分析】由函数，知﹣x2+4x﹣3＞0，由t=﹣x2+4x﹣3是开口向下，对称轴为x=2的抛物线，利用复合函数的单调性的性质能求出函数的单调递增区间．【解答】解：∵函数，∴﹣x2+4x﹣3＞0，解得1＜x＜3，∵t=﹣x2+4x﹣3是开口向下，对称轴为x=2的抛物线，∴由复合函数的单调性的性质知函数的单调递增区间是（2，3）．故答案为：（2，3）．13．已知数列{a n}，a1=1，a2=3，a n+2=a n+1﹣a n，则a2019=﹣2．【考点】数列递推式．【分析】由于数列{a n}，a1=1，a2=3，a n+2=a n+1﹣a n，可得a n+6=a n．即可得出．【解答】解：∵数列{a n}，a1=1，a2=3，a n+2=a n+1﹣a n，∴a3=a2﹣a1=2，同理可得：a4=﹣1，a5=﹣3，a6=﹣2，a7=1，a8=3，…，∴a n+6=a n．则a2019=a335×6+6=a6=﹣2，故答案为：﹣2．14．若函数f（x）=x2+2a|x|+a2﹣6的图象与x轴有三个不同的交点，函数g（x）=f（x）﹣b有4个零点，则实数b的取值范围是（﹣6，0）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据函数f（x）是偶函数，结合函数与x轴交点个数得到f（0）=0，根据函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点问题进行求解即可．【解答】解：∵函数f（x）是偶函数，∴f（x）=x2+2a|x|+a2﹣6的图象与x轴有三个不同的交点，则必有f（0）=0，即a2﹣6=0，即a2=6，即a=±，当a=时，f（x）=x2+2|x|，此时函数f（x）只有1个零点，不满足条件．当a=﹣时，f（x）=x2﹣2|x|，此时函数f（x）有3个零点，满足条件，此时f（x）=x2﹣2|x|=（|x|﹣）2﹣6，∴f（x）≥﹣6，由g（x）=f（x）﹣b=0得b=f（x），作出函数f（x）的图象如图：要使函数g（x）=f（x）﹣b有4个零点，则﹣6＜b＜0，故答案为：（﹣6，0）三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知函数f（x）=cosx（cosx+sinx）．（Ⅰ）求f（x）的最小值；（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若f（C）=1且c=，a+b=4，求S△ABC．【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．【分析】（I）利用倍角公式、和差公式、正弦函数的单调性值域即可得出．（II）利用三角函数求值、余弦定理、三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）==．当时，f（x）取最小值为．（Ⅱ），∴．在△ABC中，∵C∈（0，π），，∴，又c2=a2+b2﹣2abcosC，（a+b）2﹣3ab=7．∴ab=3．∴．16．某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A、B若干件，该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，使总预计收益达到最大，最大收益是多少？【考点】简单线性规划．【分析】设搭载A产品x件，B产品y件，则预计收益z=1000x+1200y．由图表列出关于x，y的不等式组，画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：设搭载A产品x件，B产品y件，则预计收益z=1000x+1200y．则有．作出可行域如图：作直线l：1000x+1200y=0，即直线x+1.2y=0．把直线l向右上方平移到l1的位置，直线l1经过可行域上的点B，此时z=1000x+1200y取得最大值．由，解得点M的坐标为（3，6）．∴当x=3，y=6时，z max=3×1000+6×1200=10200（百元）．答：搭载A产品3件，B产品6件，才能使总预计收益达到最大，最大预计收益为10200百元．故答案为：10200百元．17．如图，边长为的正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，其中AB∥CD，AB⊥BC，CD=BC=AB=1，AE∩DF=O，M为EC的中点．（Ⅰ）证明：OM∥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角D﹣AB﹣E的正切值；（Ⅲ）求BF与平面ADEF所成角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）推导出OM∥AC，由此能证明OM||平面ABCD．（Ⅱ）取AB中点H，连接DH，则∠EHD为二面角D﹣AB﹣E的平面角，由此能求出二面角D﹣AB﹣E的正切值．（Ⅲ）推导出BD⊥DA，从而BD⊥平面ADEF，由此得到∠BFD的余弦值即为所求．【解答】证明：（Ⅰ）∵O，M分别为EA，EC的中点，∴OM∥AC…．∵OM⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD…．∴OM||平面ABCD …．解：（Ⅱ）取AB中点H，连接DH，EH∵DA=DB∴DH⊥AB，…．又EA=EB∴EH⊥AB…．∴∠EHD为二面角D﹣AB﹣E的平面角…．又DH=1，∴，∴二面角D﹣AB﹣E的正切值为．…．（Ⅲ）∵DC=BC=1，∠BCD=90°，∴∵．∴BD⊥DA…．∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面ADEF…．∴∠BFD的余弦值即为所求…在，∴…．∴…．18．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的长轴长为短轴长的倍．（1）求椭圆E的离心率；（2）设椭圆E的焦距为2，直线l与椭圆E交于P，Q两点，且OP⊥OQ，求证：直线l恒与圆x2+y2=相切．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可得a=b，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值；（2）求得椭圆的a，b，可得椭圆方程，讨论直线的斜率不存在，设出方程x=m，代入椭圆方程求得P，Q的坐标，由仇恨值的条件，可得m，求得圆心到直线的距离可得结论；再设直线y=kx+n，代入椭圆方程，运用韦达定理，由两直线垂直的条件，可得x1x2+y1y2=0，化简整理，可得4t2=3+3k2，再求圆心到直线的距离，即可得到直线恒与圆相切．【解答】解：（1）由题意可得2a=2b，即a=b，c===a，可得e==；（2）证明：由题意可得c=，由（1）可得a=，b=1，椭圆的方程为+y2=1，当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为x=m，代入椭圆方程，可得y=±，由OP⊥OQ，可得m2﹣（1﹣）=0，解得m=±，由圆心（0，0）到直线x=m 的距离为，即有直线l 与圆x 2+y 2=相切；当直线的斜率存在时，设l ：y=kx +t ，代入椭圆方程x 2+3y 2=3，可得（1+3k 2）x 2+6ktx +3t 2﹣3=0，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），可得x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，y 1y 2=（kx 1+t ）（kx 2+t ）=k 2x 1x 2+kt （x 1+x 2）+t 2，由题意OP ⊥OQ ，可得x 1x 2+y 1y 2=0，即为（1+k 2）x 1x 2+kt （x 1+x 2）+t 2=0，即（1+k 2）•+kt （﹣）+t 2=0，化简可得4t 2=3+3k 2，由圆心（0，0）到直线y=kx +t 的距离为d===，即为半径．则直线l 恒与圆x 2+y 2=相切．19．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =2a n ﹣2．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =，T n 为{b n }的前n 项和，求T 2n ．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出；（2）当n 为奇数时，b n ==；当n 为偶数时，b n ==．分别利用“裂项求和”、“错位相减法”即可得出．【解答】解：（1）∵S n =2a n ﹣2，∴n=1时，a 1=2a 1﹣2，解得a 1=2．当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=2a n ﹣2﹣（2a n ﹣1﹣2），化为a n =2a n ﹣1．∴数列{a n }是等比数列，公比为2．∴a n =2n ，b n =（2）当n 为奇数时，b n ==；当n 为偶数时，b n ==．设数列{}的前k 项和为A k ，则A k =+…+==．设数列{}的前k 项和为B k ，则B k =，=，∴=2=2，∴B k =（﹣）=﹣．∴T 2n =+﹣．20．已知函数f （x ）=ax ﹣1﹣lnx ．（a ∈R ）（Ⅰ）讨论函数f （x ）的单调性；（Ⅱ）若函数f （x ）在x=2处的切线斜率为，不等式f （x ）≥bx ﹣2对任意x ∈（0，+∞）恒成立，求实数b 的取值范围；（Ⅲ）证明对于任意n ∈N ，n ≥2有： +++…+＜．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出函数的导数，得到a=1，分离参数得到，令，根据函数的单调性求出g （x ）的最小值，从而求出b 的范围即可；（Ⅲ）当n ≥2时，得到lnn 2＜n 2﹣1，根据放缩法证明即可．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f （x ）的定义域为（0，+∞），…当a ≤0时，ax ﹣1＜0，从而f'（x ）＜0，故函数f （x ）在（0，+∞）上单调递减 …当a ＞0时，若，则ax ﹣1＜0，从而f'（x ）＜0，…若，则ax﹣1＞0，从而f'（x）＞0，…故函数f（x）在上单调递减，在上单调递增；…（Ⅱ）求导数：，∴，解得a=1．…所以f（x）≥bx﹣2，即x﹣1﹣lnx≥bx﹣2，由于x＞0，即．…令，则，当0＜x＜e2时，g'（x）＜0；当x＞e2时，g'（x）＞0∴g（x）在（0，e2）上单调递减，在（e2，+∞）上单调递增；…故，所以实数b的取值范围为…（3）证明：由当a=1，x＞1时，，f（x）为增函数，∵f（1）=0∴f（x）=x﹣1﹣lnx＞0即lnx＜x﹣1…∴当n≥2时，lnn2＜n2﹣1，…∴…=∴（n∈N*，n≥2）．…2019年9月7日。
2019届天津市十二重点中学高三下学期毕业班联考(二)英语试卷(解析版)
2019年天津市十二所重点中学高三毕业班联考（二）英语试卷本试卷共分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分130分；考试时间为100分钟。
本试卷共10页。
第I卷选择题（共95分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号用铅笔涂写在答题卡上。
2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案，不能答在试卷上。
第一部分：英语知识运用（共两节；满分45分）第一节：单项填空（共15小题；每小题1分，满分15分）1.—I’m tired out. I can’t run any further, Tom.—________! Mike. I’m sure you can do it.A. Come onB. No hurryC. No problemD. Well done【答案】A【解析】【详解】考查情景交际。
A. Come on 加油；B. No hurry不必着急；C. No problem没问题；D. Well done 干得好。
句意：——我累坏了，我跑不动了，汤姆。
——加把劲！迈克，我相信你能做到。
根据答语可知，此处是在鼓励对方，表示“加油、加把劲”，故A项正确。
2.The young man who was expected to his father’s company, made an unusual decision that he would start his own business.A. hand overB. think overC. go overD. take over【答案】D【解析】【详解】考查动词短语辨析。
A. hand over移交；B. think over仔细考虑；C. go over复习；D. take over接管。
句意：那个有望接管他父亲公司的年轻人做了一个不同寻常的决定，他决定自己创业。
2019届天津市部分区高三高考二模数学(文)试题(解析版)
（1）因为表中所有应聘人数为 ，被录用的人数为 .
所以从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为 .
（2）（i）记应聘 岗位的男性为 ， ， ，应聘 岗位的女性为 ， ， ，
从应聘 岗位的6人中随机选择2人，共有15种结果，分别为：
， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ，
（Ⅱ）分离参数，构造函数 ，利用导数研究函数的单调性，即可容易判断.
【详解】
（Ⅰ）当 时， ，故可得 ，
令 ，解得 ，
故 在区间 单调递减，在区间 单调递增.
（Ⅱ）因为
故当 时， ，即 一定是函数 的一个零点.
又当 时，令 ，分离参数可得：
，令 ，故可得 ，
令 ，解得 ，
故 在区间 上单调递增，在区间 和 单调递减.
【答案】A
【解析】根据点在双曲线上，则点的坐标满足曲线方程，结合向量数量积的坐标运算，即可容易求得.
【详解】
因为点 在双曲线上，故可得 ，
又因为 ，
故可得 ，
将 代入不等式可得 ，解得 .
故选：A.
【点睛】
本题考查双曲线的范围问题，属基础题.
8．如图，AB，CD是半径为1的圆O的两条直径， ，则 的值是（）
16．某区在2019年教师招聘考试中，参加 、 、 、 四个岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：
岗位
男性应聘人数
男性录用人数
男性录用比例
女性应聘人数
女性录用人数
ห้องสมุดไป่ตู้女性录用比例
269
167
62%
40
24
60%
217
69
32%
天津市十二校联考2019届高三二模数学(文)试题及答案
,
−
7 6
C． (−, −1)
第Ⅱ卷 (非选择题，共 110 分)
D． (7，+)
二.填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题 卷中相应的横线上.
9 ． 已 知 a R ， i 为 虚 数 单 位 ， 复 数 z1 = 1− 2i, z2 = a + 2i ， 若
PO 2
………………11 分
直线 PA 与面 PBD 所 成角为 30o.
18.(本小题满分 13 分）
解：
(I)由已知得
3d
= q2
−1
q = d +1
解得
q d
=1 =0
（舍）
q d
13．
2；
14． 1, 10
3
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．
15．（本小题满分 13 分） 解：(I)由频率分布直方图可知户外运动不小于 16 小时人数的频率为：
(0.1+ 0.06) 2 = 0.32 ，
Q 0.32500=160 人，本月户外运动时间不小于 16 小时的人数为 160 人 . ……3 分
由(I)可知 BD ⊥ 面 PAC Q BD 面 PBD 面 PBD ⊥ 面 PAC = PO
AH ⊥ 面 PBD ， PH 为斜线 PA 在面 PBD 内的射影,
APH 为线 PA 与面 PBD 所成角, 在 RtPAO 中， sin APH = sin APO = AO = 1
C． 60
D．120
5．已知点 (m, 9) 在幂函数
f
(x)
=
(m − 2)xn 的图象上，设 a
天津市十二重点中学2019届高三下学期毕业班联考(一)数学(文)试题(解析版)
天津市十二重点中学2019届高三下学期毕业班联考（一）数学（文）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．第I卷（选择题，共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案，不能答在试卷上。
参考公式：锥体的体积公式. 其中表示锥体的底面积,表示锥体的高.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。
1.已知集合集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由补集的定义求得集合的补集，再利用交集的定义求解即可.【详解】或，又因为,，故选C.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足不属于集合且属于集合的元素的集合.2.设则“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用指数函数的性质化简；利用分式不等式的解法化简，根据包含关系以及充分条件与必要条件的定义求解即可.【详解】，或，能推出或，或不能推出，“”是“”的充分而不必要条件，故选A.【点睛】高中数学的每个知识点都可以结合充分条件与必要条件考查，要正确解答这类问题，除了熟练掌握各个知识点外，还要注意以下几点：（1）要看清，还是；（2）“小范围”可以推出“大范围”；（3）或成立，不能推出成立，也不能推出成立，且成立，即能推出成立，又能推出成立；（4）一定看清楚题文中的条件是大前提还是小前提.3.阅读下边的程序框图，若输入的值为，则输出的值为（）A. B. 0 C. D.【答案】C【解析】【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的的值. 【详解】执行程序框图，输入，第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，，退出循环，输出，故选C.【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.4.设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出约束条件表示的可行域，如图，由，将变形为，平移直线，由图可知当直经过点时，直线在轴上的截距最大，最大值，故选B.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5.已知定义在上的函数满足，且函数在上是减函数，若，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化简，根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出，的取值范围，结合的单调性与奇偶性即可得结果.【详解】，是偶函数，，，，，，，又因为在上递减，，，即，故选A.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，以及指数函数与对数函数的性质，属于综合题.在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．6.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线与双曲线交于两点，且的面积为（为原点），则双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出抛物线焦点坐标即得椭圆焦点坐标，可得，由的面积为可得，联立两式求得的值，从而可得结果.【详解】，即焦点为，即焦点为，，①又的面积为，时，，，，得，②由①②得，，双曲线的方程为,故选D.【点睛】本题主要考查抛物线的方程与性质以及双曲线的方程与性质，属于中档题. 求解双曲线方程的题型一般步骤：（1）判断焦点位置；（2）设方程；（3）列方程组求参数；（4）得结论.7.将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据的图象变换规律，求得的解析式，再利用正弦函数的图象与性质列不等式，求得的取值范围【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，可得的图象；再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，因为函数在区间上有且仅有一个零点，，，故选B.【点睛】本题主要考查的图象与性质以及变换规律，正弦函数的零点，意在考查综合应用所学知识，解答问题的能力，属于中档题.8.已知函数，若方程有且只有三个不相等的实数解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】有且只有三个不相等的实数根，等价于与图象有三个交点，画出与图象，利用数形结合可得结果.【详解】有且只有三个不相等的实数根，等价于与图象有三个交点，画出与图象如图，与相切时，过时，，根据图象可知，时，两图象有三个交点，若方程有且只有三个不相等的实数解，则实数的取值范围是，故选A.【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质、考查了函数与方程思想、数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．第Ⅱ卷 (非选择题，共110分)二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上.9.设，若是实数，则____________．【答案】2【解析】【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，利用虚部为零可得结果.【详解】是实数，，得，故答案为2.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.10.已知函数，是函数的导函数，若,则的值为_____________．【答案】3【解析】【分析】求出，将代入即可得结果.【详解】，，，得，故答案为3.【点睛】本题主要考查导数的运算法则以及初等函数的求导公式，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.11.如图，在四棱锥中，四边形是边长为的正方形，且，已知四棱锥的表面积是，则它的体积为________．【答案】【解析】【分析】先判断四棱锥是正四棱锥，由表面积求出斜高，由勾股定理求得棱锥的高，再利用棱锥的体积公式可得结果.【详解】四边形是边长为的正方形，且，是正四棱锥，设中点为，与交与，则平面，连接，则是四棱锥的高，因为四棱锥的表面积是，，即，，，故答案为.【点睛】本题主要考查正棱锥的性质与应用，考查了锥体的表面积与体积，属于中档题. 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：（1）求简单几何体的体积时若所给的几何体为柱体锥体或台体，则可直接利用公式求解；(2)求组合体的体积时若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解.12.已知圆的圆心在第四象限，直线过圆心，且点在圆上，直线与圆交于两点，若为等腰直角三角形，则圆的方程为________．【答案】【解析】【分析】可设圆心，，圆的半径为，由为等腰直角三角形，可得到直线的距离为，利用点到直线的距离公式与两点的距离公式列方程求出的值，从而可得结果.【详解】圆心在，且圆心在第四象限，可设圆心，，圆的半径为，为等腰直角三角形，到直线的距离为，，且，解得，圆心，所以圆的方程为，故答案为.【点睛】本题主要考查圆的方程和性质，属于难题.求圆的方程常见思路与方法有:①直接设出动点坐标，根据题意列出关于的方程即可；②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；③待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可.13.已知，函数的值域为，则的最小值为________．【答案】【解析】【分析】由函数的值域为，可得，化为，利用基本不等式可得结果.【详解】的值域为，，，，，当，即是等号成立，所以的最小值为，故答案为.【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，以及基本不等式的应用，属于中档题. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.14.在梯形中，，，，若, ，点为边上的动点 ,则的取值范围为_______.，【答案】【解析】【分析】设在上的射影为，先证明是矩形，为正三角形，，可得，以为轴，建立坐标系，设，可得，利用配方法可得结果.【详解】设在上的射影为，则，，，又因为，所以是矩形，是等腰三角形，又，为正三角形，，可得，以为轴，建立坐标系，因为，则，设，则，，当时，有最小值；当或时，有最大值1，的取值范围是，故答案为.【点睛】平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.某高中高一，高二，高三的模联社团的人数分别为35，28，21，现采用分层抽样的方法从中抽取部分学生参加模联会议，已知在高二年级和高三年级中共抽取7名同学.（Ⅰ）应从高一年级选出参加会议的学生多少名？（Ⅱ）设高二，高三年级抽出的7名同学分别用表示，现从中随机抽取名同学承担文件翻译工作.（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设为事件“抽取的两名同学来自同一年级”，求事件发生的概率.【答案】（Ⅰ）5名；（Ⅱ）（i）见解析；（ii） .【解析】【分析】(I)设高一参加会议的同学名，由可得结果；(II)（i）由分层抽样方法知，高二抽取人，高三抽取人，设高二的4人分别表示为,高三的3人分别表示为，利用列举法可得结果；（ii）由（i）知，7名同学抽取两名共有21种情况，其中抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为9，由古典概型概率公式可得结果.【详解】(I)设高一参加会议的同学名，由已知得：，解得高一参加会议的同学5名；(II)（i）由已知，高二抽取人，高三抽取人，设高二的4人分别表示为,高三的3人分别表示为则从7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为：共21种.（ii）抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为共9种，事件发生的概率为.【点睛】本题主要考查分层抽样与古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.16.在中，分别为三个内角的对边，且.（1）求角的大小；（2）若求和的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）化为，由余弦定理可得，从而可得结果；（2）由余弦定理求得，再由正弦定理求得，根据二倍角的正弦、余弦公式，结合两角差的正弦公式可得结果.【详解】（1）由已知，得：，由余弦定理，得：，，即，又,所以.（2），又，，,，.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理的应用以及二倍角公式的应用，属于中档题. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．17.如图，在多面体中，为等边三角形，,点为边的中点.（Ⅰ）求证:平面；（Ⅱ）求证:平面平面；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）.【解析】【分析】(I)取中点,连结,利用三角形中位线定理可证明是平行四边形，可得，由线面平行的判定定理可得结果；（Ⅱ）先证明，，可得平面，从而可得平面，由面面垂直的判定定理可得结果；（Ⅲ）取中点,连结，直线与平面所成角等于直线与平面所成角,过作,垂足为,连接，为直线与平面所成角，利用直角三角形的性质可得结果.【详解】(I)取中点,连结，是平行四边形，平面，平面,平面.(II) ，又平面平面，又为等边三角形，为边的中点，平面由(I)可知，平面，平面平面平面。
天津市十二重点中学2019届高三下学期毕业班联考(一)数学(文)试卷Word版含解析
天津市十二重点中学2019届高三下学期毕业班联考（一）数学（文）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．第I卷（选择题，共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案，不能答在试卷上。
参考公式：锥体的体积公式. 其中表示锥体的底面积,表示锥体的高.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。
1.已知集合集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由补集的定义求得集合的补集，再利用交集的定义求解即可.【详解】或，又因为,，故选 C.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足不属于集合且属于集合的元素的集合.2.设则“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用指数函数的性质化简；利用分式不等式的解法化简，根据包含关系以及充分条件与必要条件的定义求解即可.【详解】，或，能推出或，或不能推出，“”是“”的充分而不必要条件，故选 A.【点睛】高中数学的每个知识点都可以结合充分条件与必要条件考查，要正确解答这类问题，除了熟练掌握各个知识点外，还要注意以下几点：（1）要看清，还是；（2）“小范围”可以推出“大范围”；（3）或成立，不能推出成立，也不能推出成立，且成立，即能推出成立，又能推出成立；（4）一定看清楚题文中的条件是大前提还是小前提.3.阅读下边的程序框图，若输入的值为，则输出的值为（）A. B. 0 C. D.【答案】C【解析】【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的的值.【详解】执行程序框图，输入，第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，，退出循环，输出，故选 C.【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.4.设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出约束条件表示的可行域，如图，由，将变形为，平移直线，由图可知当直经过点时，直线在轴上的截距最大，最大值，故选 B.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5.已知定义在上的函数满足，且函数在上是减函数，若，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化简，根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出，的取值范围，结合的单调性与奇偶性即可得结果.【详解】，是偶函数，，，，，，，又因为在上递减，，，即，故选 A.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，以及指数函数与对数函数的性质，属于综合题. 在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．6.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线与双曲线交于两点，且的面积为（为原点），则双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出抛物线焦点坐标即得椭圆焦点坐标，可得，由的面积为可得，联立两式求得的值，从而可得结果.【详解】，即焦点为，即焦点为，，①又的面积为，时，,，，得，②由①②得，，双曲线的方程为,故选 D.【点睛】本题主要考查抛物线的方程与性质以及双曲线的方程与性质，属于中档题. 求解双曲线方程的题型一般步骤：（1）判断焦点位置；（2）设方程；（3）列方程组求参数；（4）得结论.7.将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据的图象变换规律，求得的解析式，再利用正弦函数的图象与性质列不等式，求得的取值范围【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，可得的图象；再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，因为函数在区间上有且仅有一个零点，，，故选 B.【点睛】本题主要考查的图象与性质以及变换规律，正弦函数的零点，意在考查综合应用所学知识，解答问题的能力，属于中档题.8.已知函数，若方程有且只有三个不相等的实数解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】有且只有三个不相等的实数根，等价于与图象有三个交点，画出与图象，利用数形结合可得结果.【详解】有且只有三个不相等的实数根，等价于与图象有三个交点，画出与图象如图，与相切时，过时，，根据图象可知，时，两图象有三个交点，若方程有且只有三个不相等的实数解，则实数的取值范围是，故选 A.【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质、考查了函数与方程思想、数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．第Ⅱ卷 (非选择题，共110分)二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上.9.设，若是实数，则____________．【答案】2【解析】【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，利用虚部为零可得结果.【详解】是实数，，得，故答案为 2.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.10.已知函数，是函数的导函数，若,则的值为_____________．【答案】3【解析】【分析】求出，将代入即可得结果.【详解】，，，得，故答案为 3.【点睛】本题主要考查导数的运算法则以及初等函数的求导公式，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.11.如图，在四棱锥中，四边形是边长为的正方形，且，已知四棱锥的表面积是，则它的体积为________．【答案】【解析】【分析】先判断四棱锥是正四棱锥，由表面积求出斜高，由勾股定理求得棱锥的高，再利用棱锥的体积公式可得结果.【详解】四边形是边长为的正方形，且，是正四棱锥，设中点为，与交与，则平面，连接，则是四棱锥的高，因为四棱锥的表面积是，，即，，，故答案为.【点睛】本题主要考查正棱锥的性质与应用，考查了锥体的表面积与体积，属于中档题. 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：（1）求简单几何体的体积时若所给的几何体为柱体锥体或台体，则可直接利用公式求解；(2)求组合体的体积时若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解.12.已知圆的圆心在第四象限，直线过圆心，且点在圆上，直线与圆交于两点，若为等腰直角三角形，则圆的方程为________．【答案】【解析】【分析】可设圆心，，圆的半径为，由为等腰直角三角形，可得到直线的距离为，利用点到直线的距离公式与两点的距离公式列方程求出的值，从而可得结果. 【详解】圆心在，且圆心在第四象限，可设圆心，，圆的半径为，为等腰直角三角形，到直线的距离为，，且，解得，圆心，所以圆的方程为，故答案为.【点睛】本题主要考查圆的方程和性质，属于难题.求圆的方程常见思路与方法有:①直接设出动点坐标，根据题意列出关于的方程即可；②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；③待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可.13.已知，函数的值域为，则的最小值为________．【答案】【解析】【分析】由函数的值域为，可得，化为，利用基本不等式可得结果.【详解】的值域为，，，，，当，即是等号成立，所以的最小值为，故答案为.【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，以及基本不等式的应用，属于中档题. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.14.在梯形中，，，，若, ，点为边上的动点 ,则的取值范围为_______.，【答案】【解析】【分析】设在上的射影为，先证明是矩形，为正三角形，，可得，以为轴，建立坐标系，设，可得，利用配方法可得结果.【详解】设在上的射影为，则，，，又因为，所以是矩形，是等腰三角形，又，为正三角形，，可得，以为轴，建立坐标系，因为，则，设，则，，当时，有最小值；当或时，有最大值1，的取值范围是，故答案为.【点睛】平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.某高中高一，高二，高三的模联社团的人数分别为35，28，21，现采用分层抽样的方法从中抽取部分学生参加模联会议，已知在高二年级和高三年级中共抽取7名同学.（Ⅰ）应从高一年级选出参加会议的学生多少名？（Ⅱ）设高二，高三年级抽出的7名同学分别用表示，现从中随机抽取名同学承担文件翻译工作.（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设为事件“抽取的两名同学来自同一年级”，求事件发生的概率.【答案】（Ⅰ）5名；（Ⅱ）（i）见解析；（ii） .【解析】【分析】(I)设高一参加会议的同学名，由可得结果；(II) （i）由分层抽样方法知，高二抽取人，高三抽取人，设高二的4人分别表示为,高三的3人分别表示为，利用列举法可得结果；（ii）由（i）知，7名同学抽取两名共有21种情况，其中抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为9，由古典概型概率公式可得结果.【详解】(I)设高一参加会议的同学名，由已知得：，解得高一参加会议的同学5名；(II)（i）由已知，高二抽取人，高三抽取人，设高二的4人分别表示为,高三的3人分别表示为则从7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为：共21种.（ii）抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为共9种，事件发生的概率为.【点睛】本题主要考查分层抽样与古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次…．…这样才能避免多写、漏写现象的发生.16.在中，分别为三个内角的对边，且.（1）求角的大小；（2）若求和的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）化为，由余弦定理可得，从而可得结果；（2）由余弦定理求得，再由正弦定理求得，根据二倍角的正弦、余弦公式，结合两角差的正弦公式可得结果.【详解】（1）由已知，得：，由余弦定理，得：，，即，又,所以.（2），又，，,，.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理的应用以及二倍角公式的应用，属于中档题. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．17.如图，在多面体中，为等边三角形，,点为边的中点.（Ⅰ）求证:平面；（Ⅱ）求证:平面平面；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）.【解析】【分析】(I)取中点,连结,利用三角形中位线定理可证明是平行四边形，可得，由线面平行的判定定理可得结果；（Ⅱ）先证明，，可得平面，从而可得平面，由面面垂直的判定定理可得结果；（Ⅲ）取中点,连结，直线与平面所成角等于直线与平面所成角,过作,垂足为,连接，为直线与平面所成角，利用直角三角形的性质可得结果.【详解】(I)取中点,连结，是平行四边形，平面，平面,平面.(II) ，又平面平面，又为等边三角形，为边的中点，平面由(I)可知，平面，平面平面平面。
【k12高考数学模拟】2019届天津市十二重点中学高三下学期毕业班联考(二)数学(文)试题(解析版)
2019届天津市十二重点中学高三下学期毕业班联考（二）数学（文）试题一、单选题1．设集合，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先解不等式得集合N，再根据交集定义得结果.【详解】因为,所以，选B.【点睛】本题考查分式不等式以及交集定义，考查基本求解能力，属基础题.2．设变量x, y满足约束条件则目标函数的最大值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先作可行域，再根据目标函数几何意义，结合图象确定最优解，解得结果.【详解】作可行域，则直线过点A时取最大值25，选A.【点睛】本题考查线性规划求最值，考查基本求解能力，属基础题.3．设，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】先解不等式，再根据解集关系确定充要关系.【详解】因为，所以,因为，所以,因为，所以“”是“”的必要而不充分条件，选B.【点睛】本题考查解不等式以及充要关系，考查基本分析判断与求解能力，属基础题.4．阅读如图的程序框图，输出的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】第一次循环后第二次循环后第三次循环后不满足.故本题选5．已知点在幂函数的图象上，设则的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先根据幂函数定义求，再代入点坐标得，最后根据幂函数奇偶性与单调性判断大小.【详解】由为幂函数得,因为点在幂函数上，所以,即，因为又,所以，选A.【点睛】本题考查幂函数定义以及奇偶性与单调性，考查基本分析判断与求解能力，属基础题.6．设双曲线的左焦点为,离心率是，是双曲线渐近线上的点，且(为原点)，若，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】先根据离心率得渐近线方程，再根据，用c表示OM,MF，最后根据面积得结果.【详解】因为离心率是，所以，即渐近线方程为，不妨设M在上，则由得，因此，双曲线的方程为，选D.【点睛】本题考查双曲线渐近线、离心率以及标准方程，考查基本分析求解能力，属基础题.7．已知函数的最小正周期为，且的图象过点，则方程所有解的和为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先根据周期以及点坐标求，再解三角方程得结果.【详解】因为函数的最小正周期为，所以因为的图象过点，所以，因为所以,由得，即,因为，所以,和为,选A.【点睛】本题考查三角函数周期、解析式与零点，考查基本分析求解能力，属基础题.8．已知函数，，若函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先分离变量，再结合图象确定满足条件，即得结果【详解】显然，所以得,因为，作图得由图得当时，函数至多有两个不同的零点，当时，，，选B.【点睛】本题考查函数图象与零点，考查综合分析求解能力，属较难题.二、填空题9．已知，为虚数单位，复数，若是纯虚数，则的值为________.【答案】4【解析】先根据复数除法法则化简，再根据纯虚数概念得结果.【详解】因为是纯虚数，所以.【点睛】本题考查复数除法法则以及纯虚数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.10．已知函数，为的导函数，则的值为______________.【答案】e【解析】先求导数，再求的值.【详解】因为，所以【点睛】本题考查导数运算法则，考查基本分析求解能力，属基础题.11．已知圆锥的高为3，底面半径长为4，若球的表面积与此圆锥侧面积相等，则该球的体积为__________．【答案】【解析】先求圆锥侧面积，再求球半径，即得球体积.【详解】因为圆锥侧面积为，因此【点睛】本题考查圆锥侧面积、球表面积与体积，考查基本分析求解能力，属基础题.12．已知圆的圆心在轴上，且圆与轴相切，过点的直线与圆相切于点，，则圆的方程为________.【答案】【解析】先设圆标准方程，再根据切线长公式列方程，解得结果.【详解】由题意设圆的方程为,因为，所以,即,解得，因此圆的方程为.【点睛】本题考查圆标准方程以及切线长公式，考查基本分析求解能力，属基础题.13．若,且则的最大值为______________.【答案】【解析】先平方，再消元，最后利用基本不等式求最值.【详解】当时，，，所以最大值为1，当时，因为，当且仅当时取等号，所以，即最大值为，综上的最大值为【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.14．在梯形中，∥，，是线段上的动点，若，则的取值范围是______.【答案】【解析】设,用表示,化简条件得，最后根据函数性质求范围. 【详解】设,则.所以【点睛】本题考查向量数量积以及向量表示，考查基本分析求解能力，属中档题.三、解答题15．某社区有居民人，为了迎接第十一个“全民健身日”的到来，居委会从中随机抽取了名居民，统计了他们本月参加户外运动时间（单位：小时）的数据，并将数据进行整理，分为组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）试估计该社区所有居民中，本月户外运动时间不小于小时的人数；（Ⅱ）已知这名居民中恰有名女性的户外运动时间在，现从户外运动时间在的样本对应的居民中随机抽取人，求至少抽到名女性的概率.【答案】(I)160人；(II)【解析】（Ⅰ）先根据频率分布直方图求对应区间频率，再求结果，（Ⅱ）先确定样本人数，再利用枚举法确定总事件数与所求事件包含事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.【详解】(I)由频率分布直方图可知户外运动不小于16小时人数的频率为：，人，本月户外运动时间不小于16小时的人数为160人.(II) 的样本内共有居民人，2名女性，4名男性，设四名男性分别表示为,两名女性分别表示为则从6名居民中随机抽取2名的所有可能结果为：，，，，共15种.设事件为“抽取的2名居民至少有一名女性”，则中所含的结果为：共9种事件发生的概率为.【点睛】本题考查频率分布直方图以及古典概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题.16．在中，角所对的边分别为，已知（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的值．【答案】(I) ；(II)【解析】（Ⅰ）先根据正弦定理化边为角，化简后再根据正弦定理化角为边，即得结果，（Ⅱ）先根据余弦定理得，再利用同角三角函数平方关系、二倍角公式以及两角差正弦公式得结果.【详解】(I)由正弦定理得：，得：，即.(II) ,,, ,【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理以及同角三角函数平方关系、二倍角公式以及两角差正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.17．如图所示，在四棱锥中，平面，，是线段的中垂线，，为线段上的点．（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）若为的中点，求异面直线与所成角的正切值；（Ⅲ）求直线与平面所成角的大小．【答案】(I)见解析；(II)；(III)【解析】（Ⅰ）根据线面垂直得线线垂直，再根据线线垂直得线面垂直，最后根据面面垂直判定定理得结论，（Ⅱ）先根据三角形中位线性质得线线平行，即得异面直线所成角的角或补角，再根据直角三角形求结果，（Ⅲ）作,根据线面垂直判定定理得面，即得线面角，最后根据直角三角形求结果.【详解】（Ⅰ）面,面又，面又面面面(II) 连结,分别为边的中点，为异面直线与所成角或其补角在中，所以异面直线与所成角的正切值为.(III) 连结，作交于点,由(I)可知面面面面=面面=面，为斜线在面内的射影,为线与面所成角, 在中，直线与面所成角为.【点睛】本题考查线面垂直、面面垂直判定与性质定理以及异面直线所成角、线面角的求法，考查基本论证与求解能力，属中档题.18．设是等比数列，是递增的等差数列，的前项和为，，，，.（Ⅰ）求与的通项公式；（Ⅱ）设，数列的前n项和为，求满足成立的的最大值.【答案】(I)；(II)14【解析】（Ⅰ）根据条件列公差与公比的方程组，解得结果代入等差数列与等比数列通项公式即可，（Ⅱ）先对裂项变形，再根据裂项相消法求，最后代入不等式化简得结果.【详解】(I)由已知得解得（舍）.(II)因为所以因此解得即满足条件的最大值为14 .【点睛】本题考查等差数列与等比数列通项公式以及裂项相消法求和，考查基本分析与求解能力，属中档题.19．设椭圆的左焦点为，下顶点为，上顶点为，是等边三角形.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设直线，过点且斜率为的直线与椭圆交于点异于点，线段的垂直平分线与直线交于点，与直线交于点，若.(ⅰ)求的值；(ⅱ)已知点，点在椭圆上，若四边形为平行四边形，求椭圆的方程.【答案】(I)；(II)(ⅰ)1，（ii）【解析】（Ⅰ）根据几何条件得，再求离心率，（Ⅱ）(ⅰ) 设直线方程，解得A,C坐标，即得Q坐标，根据直线交点得P点坐标，根据弦长公式得，代入条件解得的值；(ⅱ)先用b表示A,C坐标，根据平行四边形得N坐标，代入椭圆方程得结果.【详解】(I) 由题意可知，，..（II）(ⅰ)设椭圆方程为,联立得解得：因为为中点，，因为所在的直线方程为令解得=，解得或(舍)直线的斜率为1.（ii）,设四边形为平行四边形，,即,又点在椭圆上，解得，该椭圆方程为：【点睛】本题考查椭圆离心率、椭圆方程以及直线与椭圆位置关系，考查综合分析与求解能力，属中档题. 20．设函数，，已知有三个互不相等的零点，且.（Ⅰ）若.(ⅰ)讨论的单调区间；(ⅱ)对任意的，都有成立，求的取值范围；（Ⅱ）若且，设函数在，处的切线分别为直线，，是直线，的交点，求的取值范围.【答案】(I)(ⅰ)见解析，(ⅱ)；(II)【解析】（Ⅰ）(ⅰ)先化简条件得，再求导数，根据导函数零点大小分类讨论，结合导函数符号确定单调性，(ⅱ)根据单调性确定函数最大值，再解不等式得结果，（Ⅱ）先化简，再求导数得切线斜率，根据点斜式得切线方程，求直线交点得，再根据零点条件确定自变量取值范围，利用导数求其单调性，根据单调性确定取值范围.【详解】(I) (ⅰ)，,,当时，在，单调递增，在单调递减当时，在，单调递增，在单调递减(ⅱ)由(ⅰ)知当时，在，单调递增，在单调递减当时，在，单调递增，在单调递减不成立，综上（II）令则或，令，则有两个零点为且又对称轴为，且，设的斜率分别为与的直线方程联立求得：令，在恒成立，在上单调递减，而【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性、不等式恒成立以及函数值域，考查综合分析与求解能力，属较难题.。
天津市12所重点中学2019届高三下学期第一次联考数学文科试题及答案解析
的最小值为________．
14.在梯形 ABCD 中，AB//CD，AB = 2CD = 2，∠BAD = ，若BA ⋅ BD = 2, CE = ED，点 F 为边 BC 上的动 点 ,则FE ⋅ FA的取值范围为_______.， 三.解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.某高中高一，高二，高三的模联社团的人数分别为 35，28，21，现采用分层抽样的方法从中抽取部分学生 参加模联会议，已知在高二年级和高三年级中共抽取 7 名同学. （Ⅰ）应从高一年级选出参加会议的学生多少名？ （Ⅱ）设高二，高三年级抽出的 7 名同学分别用 A,B,C,D,E,F,G 表示，现从中随机抽取 2 名同学承担文件翻译 工作. （i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； （ii）设 M 为事件“抽取的两名同学来自同一年级”，求事件 M 发生的概率.
19.已知函数 f(x) = 2x3 − ax2 + 1(a ∈ R)． （1）当 a = 6 时，直线 y =− 6x + m 与 f(x)相切，求 m 的值； （2）若函数 f(x)在(0, + ∞)内有且只有一个零点，求此时函数 f(x)的单调区间； （3）当 a > 0 时，若函数 f(x)在[ − 1,1]上的最大值和最小值的和为 1，求实数 a 的值．
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一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。 1.已知集合 A = {x|x2 − 1 < 0}, 集合 B = { − 2, − 1,0,1}，则(CR A) ∩ B =（ A. { − 2} B. {0} 【答案】C 【解析】 【分析】 先由补集的定义求得集合 A 的补集，再利用交集的定义求解即可. 【详解】∵ A = {x|x2 − 1 < 0} = x| − 1 < x < 1, ∴ ∁ R A = x|x ≥ 1 或x ≤− 1， 又因为 B = − 2, − 1,0,1, ∁ R A ∩ B = − 2, − 1,1，故选 C. 【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系 转化为元素间的关系，本题实质求满足不属于集合 A 且属于集合 B 的元素的集合. 2.设 x ∈ R, 则“2x <
天津市十二重点中学2019届高三下学期毕业班联考(二)英语试卷(带解析)
2019年天津市十二所重点中学高三毕业班联考（二）英语试卷本试卷共分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分130分；考试时间为100分钟。
本试卷共10页。
第I卷选择题（共95分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号用铅笔涂写在答题卡上。
2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案，不能答在试卷上。
第一部分：英语知识运用（共两节；满分45分）第一节：单项填空（共15小题；每小题1分，满分15分）1.—I’m tired out. I can’t run any further, Tom.—________! Mike. I’m sure you can do it.A. Come onB. No hurryC. No problemD. Well done【答案】A【解析】【详解】考查情景交际。
A. Come on 加油；B. No hurry不必着急；C. No problem没问题；D. Well done 干得好。
句意：——我累坏了，我跑不动了，汤姆。
——加把劲！迈克，我相信你能做到。
根据答语可知，此处是在鼓励对方，表示“加油、加把劲”，故A项正确。
2.The young man who was expected to his father’s company, made an unusual decision that he would start his own business.A. hand overB. think overC. go overD. take over【答案】D【解析】【详解】考查动词短语辨析。
A. hand over移交；B. think over仔细考虑；C. go over复习；D. take over接管。
句意：那个有望接管他父亲公司的年轻人做了一个不同寻常的决定，他决定自己创业。
天津市十二重点中学2019届高三下学期毕业班联考(二)英语试卷附答案解析
2019年天津市十二所重点中学高三毕业班联考（二）英语试卷本试卷共分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分130分；考试时间为100分钟。
本试卷共10页。
第I卷选择题（共95分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号用铅笔涂写在答题卡上。
2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案，不能答在试卷上。
第一部分：英语知识运用（共两节；满分45分）第一节：单项填空（共15小题；每小题1分，满分15分）1.—I’m tired out. I can’t run any further, Tom.—________! Mike. I’m sure you can do it.A. Come onB. No hurryC. No problemD. Well done【答案】A【解析】【详解】考查情景交际。
A. Come on 加油；B. No hurry不必着急；C. No problem没问题；D. Well done干得好。
句意：——我累坏了，我跑不动了，汤姆。
——加把劲！迈克，我相信你能做到。
根据答语可知，此处是在鼓励对方，表示“加油、加把劲”，故A项正确。
2.The young man who was expected to his father’s company, made an unusual decision that he would start his own business.A. hand overB. think overC. go overD. take over【答案】D【解析】【详解】考查动词短语辨析。
A. hand over移交；B. think over仔细考虑；C. go over复习；D. take over 接管。
句意：那个有望接管他父亲公司的年轻人做了一个不同寻常的决定，他决定自己创业。
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2019届天津市十二重点中学高三下学期毕业班联考（二）数学（文）试题一、单选题1．设集合，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先解不等式得集合N，再根据交集定义得结果.【详解】因为,所以，选B.【点睛】本题考查分式不等式以及交集定义，考查基本求解能力，属基础题.2．设变量x, y满足约束条件则目标函数的最大值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先作可行域，再根据目标函数几何意义，结合图象确定最优解，解得结果. 【详解】作可行域，则直线过点A时取最大值25，选A.【点睛】本题考查线性规划求最值，考查基本求解能力，属基础题.3．设，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】先解不等式，再根据解集关系确定充要关系.【详解】因为，所以,因为，所以,因为，所以“”是“”的必要而不充分条件，选B.【点睛】本题考查解不等式以及充要关系，考查基本分析判断与求解能力，属基础题.4．阅读如图的程序框图，输出的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】第一次循环后第二次循环后第三次循环后不满足.故本题选5．已知点在幂函数的图象上，设则的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先根据幂函数定义求，再代入点坐标得，最后根据幂函数奇偶性与单调性判断大小.【详解】由为幂函数得,因为点在幂函数上，所以,即，因为又,所以，选A.【点睛】本题考查幂函数定义以及奇偶性与单调性，考查基本分析判断与求解能力，属基础题. 6．设双曲线的左焦点为,离心率是，是双曲线渐近线上的点，且(为原点)，若，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】先根据离心率得渐近线方程，再根据，用c表示OM,MF，最后根据面积得结果.【详解】因为离心率是，所以，即渐近线方程为，不妨设M在上，则由得，因此，双曲线的方程为，选D.【点睛】本题考查双曲线渐近线、离心率以及标准方程，考查基本分析求解能力，属基础题. 7．已知函数的最小正周期为，且的图象过点，则方程所有解的和为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先根据周期以及点坐标求，再解三角方程得结果.【详解】因为函数的最小正周期为，所以因为的图象过点，所以，因为所以,由得，即,因为，所以,和为,选A.【点睛】本题考查三角函数周期、解析式与零点，考查基本分析求解能力，属基础题.8．已知函数，，若函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先分离变量，再结合图象确定满足条件，即得结果【详解】显然，所以得,因为，作图得由图得当时，函数至多有两个不同的零点，当时，，，选B.【点睛】本题考查函数图象与零点，考查综合分析求解能力，属较难题.二、填空题9．已知，为虚数单位，复数，若是纯虚数，则的值为________.【答案】4【解析】先根据复数除法法则化简，再根据纯虚数概念得结果.【详解】因为是纯虚数，所以.【点睛】本题考查复数除法法则以及纯虚数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.10．已知函数，为的导函数，则的值为______________.【答案】e【解析】先求导数，再求的值.【详解】因为，所以【点睛】本题考查导数运算法则，考查基本分析求解能力，属基础题.11．已知圆锥的高为3，底面半径长为4，若球的表面积与此圆锥侧面积相等，则该球的体积为__________．【答案】【解析】先求圆锥侧面积，再求球半径，即得球体积.【详解】因为圆锥侧面积为，因此【点睛】本题考查圆锥侧面积、球表面积与体积，考查基本分析求解能力，属基础题.12．已知圆的圆心在轴上，且圆与轴相切，过点的直线与圆相切于点，，则圆的方程为________.【答案】【解析】先设圆标准方程，再根据切线长公式列方程，解得结果.【详解】由题意设圆的方程为,因为，所以,即,解得，因此圆的方程为.【点睛】本题考查圆标准方程以及切线长公式，考查基本分析求解能力，属基础题.13．若,且则的最大值为______________.【答案】【解析】先平方，再消元，最后利用基本不等式求最值.【详解】当时，，，所以最大值为1，当时，因为，当且仅当时取等号，所以，即最大值为，综上的最大值为【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.14．在梯形中，∥，，是线段上的动点，若，则的取值范围是______.【答案】【解析】设,用表示,化简条件得，最后根据函数性质求范围.【详解】设,则.所以【点睛】本题考查向量数量积以及向量表示，考查基本分析求解能力，属中档题.三、解答题15．某社区有居民人，为了迎接第十一个“全民健身日”的到来，居委会从中随机抽取了名居民，统计了他们本月参加户外运动时间（单位：小时）的数据，并将数据进行整理，分为组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）试估计该社区所有居民中，本月户外运动时间不小于小时的人数；（Ⅱ）已知这名居民中恰有名女性的户外运动时间在，现从户外运动时间在的样本对应的居民中随机抽取人，求至少抽到名女性的概率.【答案】(I)160人；(II)【解析】（Ⅰ）先根据频率分布直方图求对应区间频率，再求结果，（Ⅱ）先确定样本人数，再利用枚举法确定总事件数与所求事件包含事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.【详解】(I)由频率分布直方图可知户外运动不小于16小时人数的频率为：，人，本月户外运动时间不小于16小时的人数为160人.(II) 的样本内共有居民人，2名女性，4名男性，设四名男性分别表示为,两名女性分别表示为则从6名居民中随机抽取2名的所有可能结果为：，，，，共15种.设事件为“抽取的2名居民至少有一名女性”，则中所含的结果为：共9种事件发生的概率为.【点睛】本题考查频率分布直方图以及古典概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题. 16．在中，角所对的边分别为，已知（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的值．【答案】(I) ；(II)【解析】（Ⅰ）先根据正弦定理化边为角，化简后再根据正弦定理化角为边，即得结果，（Ⅱ）先根据余弦定理得，再利用同角三角函数平方关系、二倍角公式以及两角差正弦公式得结果.【详解】(I)由正弦定理得：，得：，即.(II) ,,, ,【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理以及同角三角函数平方关系、二倍角公式以及两角差正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.17．如图所示，在四棱锥中，平面，，是线段的中垂线，，为线段上的点．（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）若为的中点，求异面直线与所成角的正切值；（Ⅲ）求直线与平面所成角的大小．【答案】(I)见解析；(II)；(III)【解析】（Ⅰ）根据线面垂直得线线垂直，再根据线线垂直得线面垂直，最后根据面面垂直判定定理得结论，（Ⅱ）先根据三角形中位线性质得线线平行，即得异面直线所成角的角或补角，再根据直角三角形求结果，（Ⅲ）作,根据线面垂直判定定理得面，即得线面角，最后根据直角三角形求结果.【详解】（Ⅰ）面,面又，面又面面面(II) 连结,分别为边的中点，为异面直线与所成角或其补角在中，所以异面直线与所成角的正切值为.(III) 连结，作交于点,由(I)可知面面面面=面面=面，为斜线在面内的射影,为线与面所成角, 在中，直线与面所成角为.【点睛】本题考查线面垂直、面面垂直判定与性质定理以及异面直线所成角、线面角的求法，考查基本论证与求解能力，属中档题.18．设是等比数列，是递增的等差数列，的前项和为，，，，.（Ⅰ）求与的通项公式；（Ⅱ）设，数列的前n项和为，求满足成立的的最大值.【答案】(I)；(II)14【解析】（Ⅰ）根据条件列公差与公比的方程组，解得结果代入等差数列与等比数列通项公式即可，（Ⅱ）先对裂项变形，再根据裂项相消法求，最后代入不等式化简得结果.【详解】(I)由已知得解得（舍）.(II)因为所以因此解得即满足条件的最大值为14 .【点睛】本题考查等差数列与等比数列通项公式以及裂项相消法求和，考查基本分析与求解能力，属中档题.19．设椭圆的左焦点为，下顶点为，上顶点为，是等边三角形.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设直线，过点且斜率为的直线与椭圆交于点异于点，线段的垂直平分线与直线交于点，与直线交于点，若.(ⅰ)求的值；(ⅱ)已知点，点在椭圆上，若四边形为平行四边形，求椭圆的方程.【答案】(I)；(II)(ⅰ)1，（ii）【解析】（Ⅰ）根据几何条件得，再求离心率，（Ⅱ）(ⅰ) 设直线方程，解得A,C 坐标，即得Q坐标，根据直线交点得P点坐标，根据弦长公式得，代入条件解得的值；(ⅱ)先用b表示A,C坐标，根据平行四边形得N坐标，代入椭圆方程得结果.【详解】(I) 由题意可知，，..（II）(ⅰ)设椭圆方程为,联立得解得：因为为中点，，因为所在的直线方程为令解得=，解得或(舍)直线的斜率为1.（ii）,设四边形为平行四边形，,即,又点在椭圆上，解得，该椭圆方程为：【点睛】本题考查椭圆离心率、椭圆方程以及直线与椭圆位置关系，考查综合分析与求解能力，属中档题.20．设函数，，已知有三个互不相等的零点，且.（Ⅰ）若.(ⅰ)讨论的单调区间；(ⅱ)对任意的，都有成立，求的取值范围；（Ⅱ）若且，设函数在，处的切线分别为直线，，是直线，的交点，求的取值范围.【答案】(I)(ⅰ)见解析，(ⅱ)；(II)【解析】（Ⅰ）(ⅰ)先化简条件得，再求导数，根据导函数零点大小分类讨论，结合导函数符号确定单调性，(ⅱ)根据单调性确定函数最大值，再解不等式得结果，（Ⅱ）先化简，再求导数得切线斜率，根据点斜式得切线方程，求直线交点得，再根据零点条件确定自变量取值范围，利用导数求其单调性，根据单调性确定取值范围.【详解】(I) (ⅰ)，,,当时，在，单调递增，在单调递减当时，在，单调递增，在单调递减(ⅱ)由(ⅰ)知当时，在，单调递增，在单调递减当时，在，单调递增，在单调递减不成立，综上（II）令则或，令，则有两个零点为且又对称轴为，且，设的斜率分别为与的直线方程联立求得：令，在恒成立，在上单调递减，而【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性、不等式恒成立以及函数值域，考查综合分析与求解能力，属较难题.。