3.4(3)相似三角形的判定(三)
相似三角形的判定(三边)
C’
A' B' B' C' A' C' AB BC AC
是否有△ABC∽△A’B’C’？
已知:如图△ABC和△A`B`C`中A`B`:AB=A`C`:AC=B`C`:BC. 求证:△ABC∽△A`B`C` A`
证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A`B`, 过点D作DE∥BC交AC于点E.
如图在正方形网格上有A1 B1C1和A2 B2C2， 它们相似吗？如果相似，求出相似比；如果 不相似，请说明理由。
答案是2:1
练习1: 已知△ABC和 △DEF,根据下列 条件判断它们是否相似.
(1) AB=3， BC=4， AC＝6 否 DE＝6， EF＝8， DF＝9 (2) AB=4， BC=8， AC＝10 是 DE＝20， EF＝16， DF＝8 (3) AB=12， BC=15， AC＝24 否 DE＝16， EF＝20， DF＝30
（注意：大对大，小对小，中对中）
例1：在△ABC和△A′B′C′中，已知：
(1)AB＝6 cm， BC＝8 cm，AC＝10 cm，
A′B′＝18 cm，B′C′＝24 cm，A′C′＝30 cm．
试判定△ABC与A′B′C′是否相似，并说明理由．
(2) AB=12cm， BC=15cm， AC＝24cm A’B’＝16cm，B’C’＝20cm，A’C’＝30cm
AB BC AC 如图已知 ， 试说明∠BAD=∠CAE. AD DE AE
AB BC AC 解 AD DE AE
∴Δ ABC∽Δ ADE B ∴∠BAC=∠DAE ∴∠BAC━∠DAC=∠DAE━∠DAC 即∠BAD=∠CAE
(完整版)相似三角形的判定方法
(一)相似三角形1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例．2、相似三角形对应边的比叫做相似比．①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当它们全等时，才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；（双A型）②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．例2、如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF.判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
完整版相似三角形的判定方法
（一）相似三角形1定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形.①当一个三角形的三个角与另一个（或几个）三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个（或几个）三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例.2、相似三角形对应边的比叫做相似比.①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1 •所以全等三角形是相似三角形的特例•其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例.②相似比具有顺序性.例如△ ABC A B，的对应边的比，即相似比为k，则△ A B' 0△ ABC的相似比「当它们全等时，才有k=k' =1③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出.3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似.①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：•/ DE // BC ,•••△ ABC ADE ;②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理. 它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为预备定理”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到见平行，想比例”，还要想到见平行，想相似（二）相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
例1、已知：如图，/ 仁/ 2=7 3,求证：△ AB（0A ADEA（双A型）例2、如图，E、F分别是△ ABC的边BC上的点，DE // AB,DF // AC , 求证：△ ABC DEF.判定定理2:如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
相似三角形的判定(3)
知识准备
1.比例的性质：
a︰ b = c︰d ad
= bc
a c ad bc ) ( = =
b d
2.比例中项：
= b
a
b b2
c
= ac
此时，b叫做a和c的比例中项
知识准备
6 1.若a, b, c, d成比例,且a=2, b=3, c=4,那么d=_____
2 3 2.若线段a=2, b=6, 那么它们的比例中项c=_____.
复习回顾
•判定三角形相似的方法有几种？
1.平行于三角形一边的直线与其它两边(或延长线)相交, 所构成的三角形与原三角形相似.（预备定理）
2.三边对应成比例，两三角形相似. 3.两边对应边成比例且夹角相等，两三角形相似.
Байду номын сангаас
知识探究
A、6米 C、18米
B、8米 D、24米
随堂训练
2.如图，要使△ABE∽△ACD，只需增加一个条件： A ∠B=∠C _________________.
根据你所增加条件，还可得到： △CEP _________∽_________。 △BDP 若CD⊥AB，BE⊥AC，则图中 6 共有_____对三角形相似。 B
观察：三角尺中的各组对应角之间有何关系？ 这两个三角形相似吗？
你能否由此猜想一种判定两个三角形相似的方法？
两组角对应相等，两三角形相似
知识探究
怎样证明？
A'
两组角对应相等的两个三角形相似。
A D B C B'
E C'
用数学符号表示：
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B'
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
3.4.1相似三角形的判定定理3
B AC 1 ∠C =∠C ′= 90°，且 A AB AC 2 求证：△ ABC∽△ABC.
还可以根据相似三角形 的判定定理2，来证明这两 个直角三角形相似.
练习 1.如图,O为△ABC内一点，D、E、F
分别是OA、OB、OC中点. 求证：△ABC∽△DEF.
= 4 BC 2 =(2 BC )2. 由此得出，BC = 2BC .
BC 1 AB AC . 从而 BC 2 AB AC
因此△ AB C ∽△ABC.
(三边对应成比例的两个三角形相似)
说一说
在例2的证明中，还可以根据哪个判定定理说明 △ ABC ∽ △ABC ？
AD AE DE AB AC BC AD AB A B AE DE AB AC BC A ' B ' A ' C ' BC AB AC BC ∴ AE= A'C', DE= B'C',
A
A'
D B' C' B E
C
∴△A'B'C' ≌ △ADE ∴ △A'B'C' ∽ △ABC
证明： E O
A D F
B
C
D, E , F 分别为OA,OB,OC的中点， 1 1 1 DE = AB , EF BC , DF AC . 2 2 2 DE EF DF 1 . AB BC AC 2 △ABC∽△DEF.
练习
AB AC BC 2.如图， = = , AD AE DE
AB AC 1 ∠C =∠C ′= 90°，且 AB AC 2
相似三角形的判定三
相似三角形的判定（三）知识点回顾：1.关于三角形的判定方法(1)定义法：对应角相等、对应边成比例(2)预备定理：平行于三角形一边的直线和它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形和原三角形相似.(3)判定定理1.两角对应相等两三角形相似(4)判定定理2.两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似(5)判定定理3.三边对应成比例的两三角形相似(6)直角三角形判定的方法①以上各种判定方法均适用②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和直角对应成比例，那么这两个直角三角形相似③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似2、判定定理的适用范围(1)已知有一角相等时，可选择判定定理1与判定定理2.(2)有两边对应成比例时，可选择判定定理2与判定定理3.(3)直角三角形判定先考虑判定直角三角形相似的方法.还可以考虑一般三角形相似的方法说明：一般不用定义来判定三角形的相似.3、三角形相似的基本图形：①平行型：如图1，“A”型即公共角对的边平行，“×”型即对顶角对的边平行，都可推出两个三角形相似；②相交线型：如图2，公共角对的边不平行，即相交或延长线相交或对顶角所对边延长相交.图中几种情况只要配上一对角相等，或夹公共角（或对顶角）的两边成比例，就可以判定两个三角形相似.例题讲解 课前练习1.在图3中，若DE ∥BC ，DB ∶DA=9∶4，则ΔABC 与ΔADE 的相似比是______.2.如图4, 在梯形ABCD 中，EF 交DB 、DC 于E 、F,则图中的相似三角形共有_____对；若AE ∶EF=4∶3则ΔAFD 与ΔGFC 的相似比是______.3.如图5，当∠ADC=∠____时，ΔABC ∽ΔACD ；当AD 2=_________时，ΔABC ∽ΔACD.4. ΔABC 的三边长为3、4、5,ΔA /B /C /的最短边为5,若ΔABC ∽ΔA /B /C /,则ΔA /B /C /的面积为____.例1、如图：点G 在平行四边形ABCD 的边DC 的延长线上,AG 交BC 、BD 于点E 、F ，则△AGD ∽ ∽ 。
相似三角形的判定口诀
相似三角形的判定口诀
两角对应相等，两个三角形相似。
两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
三边对应成比例，两个三角形相似。
三边对应平行，两个三角形相似。
斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。
1.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
(简叙为：两角对应相等，两个三角形相似。
)
2.如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
)
3.如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。
(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。
)
4.两三角形三边对应平行，则两三角形相似。
(简叙为：三边对应平行，两个三角形相似。
)
5.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
(简叙为：斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。
)
6.如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似(相似比为1：1)。
(简叙为：全等三角形相似)。
第3课时 相似三角形的判定(3)
一个判定定理
1 两角分别相等的两个三角形相似.
练习
1.如图，当 ∠ADE=∠C（答案不唯一） 时， △ABC∽△AED(填写一个条件).
2.底角相等的两个等腰三角形是否相似？顶角 相等的两个等腰三角形呢？证明你的结论. 解：（1）相似（2）相似 都符合两个角对应相等的两个三角形相似.
知识点2 直角三角形相似判定定理
在△ABC和△BDC中, ∠A=∠DBC，∠C=∠C. ∴△ABC∽△BDC.
3.如图，AD是Rt△ABC的斜边上的高. 若AB=4 cm，BC=10 cm，求BD的长. 解：∵AD⊥BC,∠BAC=90°, ∴∠ADB=∠CAB. ∴△ABD∽△CBA, BD BA ∴ AB CB
BD 4 即 , BD=1.6(cm). 4 10
（2）∵CD⊥AB,∴∠CDB=90°.
∴∠ACB=∠CDB. 在△CBD和△ABC中，
∵∠B=∠B,∠CDB=∠ACB, ∴△CBD∽△ABC.
2.如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点 均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所 在的格点为（ C ）
A.P1 C.P3
B.P2 D.P4
∴CD=4.
课堂小结
两角分别相等的 两个三角形相似. 如果两个直角三角形 满足一个锐角相等，或两 组直角边成比例，那么这 两个直角三角形相似.
拓展延伸 如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的 一个定点，过M点作直线截△ABC，使截得的三 角形与△ABC相似，这样的直线共有（ ） C
A.1条
∴ Rt△ABC∽ Rt△A'B'C'.
练习
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜 边AB上的高.求证： （1）△ACD∽△ABC；（2）△CBD∽△ABC.
相似三角形的判定(三)
已知： 如图， 已知 ： 如图 ， 在 △ ABC中 ， ∠ ACB=90° ， 中 ° CD⊥AB于D. ⊥ 于 求证： 求证：△ABC∽△CBD∽△ACD. C
A
D
B
结论： 结论：
直角三角形被斜边上的高分成的两个直 角三角形和原三角形相似. 角三角形和原三角形相似.
C
A
D
B
C
A
D
B
∵在△ABC中，∠ACB=90°， 中 ° CD⊥AB于D, ⊥ 于 ∴△ABC∽△CBD∽△ACD. ∽ ∽
0
B
C
3.如图， △ABC中，∠ACB=90°， CD⊥AB于 如图， 如图 中 ° ⊥ 于
于点E, 点D, DE⊥AC于点 ⊥ 于点
C
AD CE 求证： 求证： = AC BD
A
E
D
B
4.在Rt△ABC中，CD是斜边 上的高，点F是 △ 是斜边AB上的高 中 是斜边 上的高， 是 CD上一点，BE⊥AF交AF的延长线于点 ， 上一点， ⊥ 交 的延长线于点 的延长线于点E， 上一点 C 2 E 求证： 求证： AD = CDi AC
相似三角形的判定（ 相似三角形的判定（三）
猜想：两个角对应相等的两个三角形相似. 猜想：两个角对应相等的两个三角形相似.
已知：如图， 已知：如图，在△ABC和△A´B´C ´ 和 中，∠A=∠A´ ，∠B=∠B´ . ∠ ∠ 求证：△ABC∽△A´B´C´. 求证： ∽
A A'
B
C B'
C'
相似三角形判定定理3 相似三角形判定定理3： 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个 两个角与另一个三角形的 对应相等，那么这两个三角形相似 相似. 角对应相等，那么这两个三角形相似. 简单说成：两角对应相等 两三角形相似 相似. 简单说成：两角对应相等，两三角形相似. 对应相等，
相似三角形的判定 (3)
(2)如图,设OE交CD于点H.
∵OE⊥CD于点H,∴∠CHE=90°,
∴∠CEH+∠HCE=90°.
∵∠CED=90°,
∴∠CDE+∠DCE=90°. ∴∠CDE=∠CEH. ∵∠OEB=∠OBE,∴∠OBE=∠CDE.
在△CED与△DEB中, ∴△CED∽△DEB.
CED DEB, CDE DBE,
证明:△ABC∽△A′B′C′.
【解题探究】1.要证△ABC∽△A′B′C′,需要证明什么? 提示:需要证:∠A=∠A′或∠B=∠B′. 2.要证明1中的条件,需证明什么?条件是否具备? 提示:需证明:Rt△ADC∽Rt△A′D′C′,这两个直角三角形相似的条 件已经具备:CD∶C′D′=AC∶A′C′.
∴ CE CD ， ∴BD·CE=CD·DE.
DE DB
【规律总结】相似三角形的三类构图 1.类型为平行线型(如图).
2.类型为相交线型(如图).
3.类型为旋转型(如图).
知识点二
直角三角形相似的判定
【示范题2】已知:Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠ACB=∠A′C′B′ =90°,CD,C′D′分别是两个三角形斜边上的高,且CD∶C′D′= AC∶A′C′.
1.有一个锐角相等的两个直角三角形相似.
2.两组直角边成比例的两个直角三角形相似.
3.斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似.
【自主解答】(1)∵OB=OE,∴∠OEB=∠OBE.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴OB=OD.
∴OD=OE,∴∠OED=∠ODE.
在△BED中,∠OEB+∠OBE+∠ODE+∠OED=180°,
∴2(∠OEB+∠OED)=180°,
4.4.3相似三角形的判定定理3教案
3.增加课堂互动，鼓励学生提问和分享解题思路，以提高他们的逻辑思维和表达能力。
4.对于学习困难的学生，制定个性化的辅导计划，确保他们能够跟上课程进度。
-针对难点，教师应采用以下教学方法：
-使用动态几何软件或实物模型，帮助学生直观感受相似三角形的形成过程。
-设计阶梯式问题，引导学生逐步理解判定定理3的每个要素。
-通过小组讨论和同伴互助，让学生在互动中解决难点问题。
-提供多层次的练习题，让学生在不同的难度级别上反复练习，逐步突破难点。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
然而，我也意识到教学过程中存在的一些不足。例如，对于一些理解能力较弱的学生，我可能需要提供更多的个别辅导和额外的练习机会。此外，我也应该考虑引入更多的直观教具或多媒体资源，来帮助那些对几何图形感知能力较弱的学生。
在未来的教学中，我计划在以下几个方面进行改进：
1.强化学生对定理条件的记忆，通过反复练习和复习，确保他们能够熟练掌握。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“相似三角形判定定理3在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-着重讲解如何从给定的信息中识别出符合判定定理3的条件，并运用这一条件判断三角形是否相似。
-通过典型例题和练习题，强化学生对定理3的记忆和应用能力。
-举例：给定三角形ABC和三角形DEF，如果∠A=∠D，∠B=∠E，且AB/DE=AC/DF，则证明三角形ABC与三角形DEF相似。
24.4(3)相似三角形的判定定理3
B
A1 D A
E
C
△ADE∽△ABC △ADE≌△A1B1C1 △ABC∽△A1B1C1
B1 C1ห้องสมุดไป่ตู้
辅助线写法
• 相似三角形判定定理3: • 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成 比例,那么这两个三角形相似.(简称:三边对应成比例,两三 角形相似) • 数学语言表达:
AB BC CA A1 B1 B1C1 C1 A1 ABC ~ A1 B1C1
• 例题:已知:如图,D、E、F分别是△ABC的边BC、 A CA、AB的中点. • 求证： △DEF∽ △ABC E
F C B D
AB BC AC 如图已知 ， AD DE AE
试说明∠BAD=∠CAE.
B
A E
D
C
如图在正方形网格上有A1 B1C1和A2 B2C2， 它们相似吗？如果相似，写出证明过程， 并求出相似比；如果不相似，请说明理由。
24.4(3)相似三角形的判定定理3
复习相似三角形的判定定理
定理1:两角对应相等,两三角形相似 定理2:两边对应成比例且夹角相等,两 三角形相似
A B C
A’
B’
C’
AB BC CA 问题 : 在ABC与A1B1C1中, 如果 , A1B1 B1C1 C1 A1 那么ABC与A1B1C1相似吗 ? 为什么?
要作两个形状相同的三角 形框架,其中一个三角形 的三边的长分别为4、5、 6,另一个三角形框架的一 边长为2,怎样选料可使这 两个三角形相似?
A A1
B1 B C
C1
例1:根据下列条件，判断△ABC与△A’B’C’是否相似， 并说明理由． (1)∠A=1200,AB=7cm,AC=14cm.
相似三角形的判定方法
（一）相似三角形1、定义:对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．①当一个三角形的三个角与另一个（或几个）三角形的三个角对应相等,且三条对应边的比相等时,这两个（或几个）三角形叫做相似三角形,即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例．2、相似三角形对应边的比叫做相似比．①全等三角形一定是相似三角形,其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k,则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当它们全等时,才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念,后继学习时出现的频率较高,其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线,截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言:∵DE∥BC,∴△ABC∽△ADE；(双A型）②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例"，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.可简单说成:两角对应相等,两三角形相似.例1、已知：如图,∠1=∠2=∠3，求证:△ABC∽△ADE．例2、如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF 。
相似三角形的判定(3)
2. 能够运用三角形相似的条件解决简单的问题。
过程与方法：经历两个三角形相似的探索过程，体验用类比、实验操作、分析归纳得出数学结论的过程
情感、态度与价值观：通过画图、度量等操作，培养学生获得数学猜想的经验，激发学生探索知识的兴趣，体验数学活动充满着探索性和创造性．
又∵A’B’:AB=B’C’:BC=A’C’:CA
∴DE:BC=B’C’:BC,EA:CA=A’C’:CA.
因此DE=B’C’,EA=A’C’.
∴△ADE≌△A’B’C’
∴△ABC∽△A’B’C’
【活动三】知识应用
例1：在△ABC和△A′B′C′中，已知：
(1)AB＝6 cm，BC＝8 cm，AC＝10 cm，
思想小结：
类比思想 、分类讨论思想
师：提出问题：这节ຫໍສະໝຸດ 你有什么收获？生：1、相似三角形的判定（3）
2、灵活使用三角形的判定（3）说明两个三角形相似
3、类比思想 分类讨论思想
【活动六】作业
1.整理三角形相似的判定方法。
2.课堂作业：习题23.2第3 、14题
3.基础训练：基础练习23.2（四）
师：不经历风雨，怎么见彩虹
生：计算，看边是不是对应成比例
师：分析，看看两个三角形是否相似
生：∴ΔABC∽ΔADE
∴∠BAC=∠DAE
∴∠BAC━∠DAC=∠DAE━∠DAC
即∠BAD=∠CAE
师：分析，看看两个三角形是否相似
生：答案是2:1
【活动四】课堂巩固练习
练习：要画两个相似的三角形,其中一个三角形的三边的长分别为8、10、12,另一个三角形的一边长为4。求另一个三角形的其余两边的长。你画的三角形唯一吗?
04 相似三角形的判定(三)
4． 相似三角形的判定（三）预习归纳如果两个三角形的两组 对应边 的比相等，并且 相应的夹角 相等，那么这两个三角形相似．例题讲解【例】如图，AB ＝8，∠A ＝50°，A B ''＝4，A C ''＝3，当AC ＝ 6 ，∠A '＝ 50° 时，△ABC ∽△A B C '''．A'C'BC基础题训练1．如图，BD 平分∠ABC ，AB ＝4，BC ＝6，当BDABD ∽△DBC ． 2．如图，AD ·AB ＝AE ·AC ，若AD ＝3，AC ＝6，DE ＝4，则BC ＝ 8 ．3．如图，当AC ＝ 25 时，△ACB ∽△DCE ，当AC ＝ 81 时，△ACB ∽△ECD ． 4．如图，要使△ACD ∽△ABC ，则它们必须具备的条件是（ D ） A ．AC AB CD BC = B ．CD BC AD AC =C ．CD 2＝AD ·BD D ．AC 2＝AD ·AB 5．（1）△ABC 和△A B C '''中，∠A ＝40°，AB ＝8，AC ＝15，∠A '＝40°，A B ''＝16，A C ''＝30，△ABC 与△A B C '''是否相似？请说明理由．（2）△ABC 和△A B C '''中，∠B ＝50°，AB ＝4，AC ＝3．2，∠B '＝50°，A B ''＝2，A C ''＝1．6，△ABC 与△A B C '''是否相似？请说明理由． 解：（1）△ABC ∽△A B C '''．（2）△ABC 与△A B C '''不一定相似．6．如图，已知AC 和BD 相交于点E ，CE ·AE ＝BE ·DE，求证：△ABE ∽△DCE ．ACD证：略．7．（2015·南京）如图，△ABC 中，CD 是边AB 上的高，且AD CDCD BD=． （1）求证：△ACD ∽△CBD ；第1题图BCA第2题图 B CEDB第3题图 第4题图（2）求∠ACB 的大小．AB CD（1）证明：∵CD 是边AB 上的高，∴∠ADC ＝∠CDB ＝90°，∵AD CDCD BD=，∴△ACD ∽△CBD ； （2）解：∵△ACD ∽△CBD ，∴∠A ＝∠BCD ，在△ACD 中，∠ADC ＝90°，∴∠A ＋∠ACD ＝90°，∴∠BCD ＋∠ACD ＝90°，即∠ACB ＝90°．8. 如图，∠ABC ＝∠BDC ＝90°，AC ＝5，BC ＝4，当BD 的值为多少时，△ABC 与△BCD 相似?8.解：125或165中档训练题9.如图，△ABC 中，∠A ＝60°，BD ⊥AC ，垂足为点D ，CE ⊥AB ，A 垂足为E ，求证:（1）△ABC ∽△ADE ； （2）BC ＝2DE9.证明：证12AD AE AB AC ==，又∵∠A 公共，∴△ADE ∽△ABC 。
相似三角形的判定(三边)(上课)
A D B C
.已知如图， ∠ABD=∠C AD=2 AC=8，求AB 已知如图， 已知如图 ∠ ， 解： ∵ ∠ A= ∠ A ∠ABD=∠C ∠ ∴ △ABD ∽ △ACB ∴ AB : AC=AD : AB ∴ AB2 = AD · AC ∵ AD=2 AC=8 ∴ AB =4
A
D
B
C
、如图：在Rt △ ABC中， ∠ABC=900，BD⊥AC于D 如图： 中 ⊥ 于 18 若 AB=6 AD=2 则AC= BD= BC= 4 √2 12√2
要做两个形状相同的三角形框架, 要做两个形状相同的三角形框架,其中一个三角 形框架的三边的长分别为4、 、 , 形框架的三边的长分别为 、5、6,另一个三角形 框架的一边长为2, 框架的一边长为 ,请你想一想应该怎样选择材料 可使这两个三角形相似？你选的材料唯一吗？ 可使这两个三角形相似？你选的材料唯一吗？
在△ＡＢＣ中，AB=9，AC=12，BC=18， ＡＢＣ中 ， ， ， D为AC上的一点，DC=8，在AB上取一点 ， 上的一点， 上取一点E， 为 上的一点 ， 上取一点 得到△ ，，若图中两个三角形相似时 得到△ＡDE，，若图中两个三角形相似时， ，，若图中两个三角形相似时， 长为： 则DE长为： 长为 。 A
已知：如图， 已知：如图，在△ABC和△A´B´C ´中， ABC和 A B A C' B C' ' ' ' ' = = A B A C B C 求证：△ABC∽△A´B´C´. 求证： ABC∽△
证明: 证明:在△ABC的边AB上，截取AD= A´B´. ABC的边AB上 截取AD= 的边AB
A A' B C B' C'
相似三角形的判定(三边)
AB BC AC 1
演示
相似三角形判定： 三边对应成比例的两个三角形相似.
判定方法：如果一个三角形的三条边
与另一个三角形的三条边对应成比例，那 么这两个三角形相似。
A
D 数学表达式：
在△ABC和△DEF中，
B
C
E
F
∵ AB BC CA DE EF FD
∴△ABC∽△DEF
例题欣赏
（2）判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论.
A
E D
B
C
已知零件的外径为25cm，要求它的厚度x， 需先求出它的内孔直径AB，现用一个交叉卡钳 （AC和BD的长相等）去量（如图）， 若OA：OC=OB：OD=3，CD=7cm。求此零件的厚度x。
注意审题，题中没有平行条件
如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①△ABC ②△BCD；③△BDE；④△BFG；⑤△FGH；⑥△EKF。 其中②~⑥中与三角形①相似的三角形是_____________
求证：∠ABD＝∠CBE
D
B
证明：∵AB：BD=BC：BE=CA：ED
∴ △ABC∽△DBE
E
∴∠ABC＝∠DBE
∵∠ABD- ∠DBC ＝∠DBE- ∠DBC
∴ ∠ABD＝∠CBE
A C
2、已知△ABC的三边长分为 2 ， 6 ，2， △A′B′C′的两边长分别是1和 3 ，如果 △ABC与△A′B′C′相似，那么△A′B′C′的
注意：6可以是最长边，也可以是最短边，还 可以是最短与最长之间的边。由此：有三种情况
试一试：
（1）在Δ ABC与Δ A′B′C′中，若 AB=3，
BC=4， AC=5， A′B′=6， B′C′=8， A′C′=10， Δ ABC与Δ A′B′C′相似吗？
相似三角形的判定(三)
27.2.1相似三角形的判定（三） 学习目标:(1) 初步掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”的判定方法，以及“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的判定方法． (2) 能够运用三角形相似的条件解决简单的问题． 一.知识链接(1) 两个三角形全等有哪些判定方法？(2) 我们学习过哪些判定三角形相似的方法？ (3) 相似三角形与全等三角形有怎样的关系？ 二 、探索新知探讨问题： 1、如图，如果要判定△ABC 与△A ’B ’C ’相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？2、可否用类似于判定三角形全等的SSS 方法，能否通过一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应的比相等，来判定两个三角形相似呢？3、问题：怎样证明这个命题是正确的呢？ 探求证明方法．（已知、求证、证明）如图，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，A C CAC B BC B A AB ''=''=''， 求证△ABC ∽△A ′B ′C ′ 证明 ：4 【归纳】 三角形相似的判定方法1如果两个三角形的三组对应边的比相等， 那么这两个三角形相似．几何语言：∵A C CAC B BC B A AB ''=''='' ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′5 、探讨：可否用类似于判定三角形全等的SAS 方法，能否通过两个三角形的两组对应边的比相等和它们对应的夹角相等，来判定两个三角形相似呢？ （画图，自主展开探究活动）6 【归纳】 三角形相似的判定方法2两个三角形的两组对应边的比相等，且它们的夹角相等，那么这两个三角形相似．几何语言：∵ ∴△ABC ∽△A ′B ′C例2、已知：如图，在四边形ABCD 中，∠B=∠ACD ，AB=6，BC=4，AC=5，CD=217，求AD 的长．解：课堂练习1．如果在△ABC 中∠B=30°，AB=5㎝，AC=4㎝，在△A ’B ’C ’中，∠B ’=30°A ’B ’=10㎝，A ’C ’=8㎝，这两个三角形一定相似吗？试着画一画、看一看？2．如图，△ABC 中，点D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，求证：△ABC ∽△DEF ．拓展：1．如图，AB •AC=AD •AE ，且∠1=∠2，求证：△ABC ∽△AED ．2．已知：如图，P 为△ABC 中线AD 上的一点，且BD 2=PD •AD ， 求证：△ADC ∽△CDP ．C'。
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3.4 (3)相似三角形的判定（三） 学习目标：1.经历探索“三边对应成比例的两个三角形相似”的过程，
2能运用上述判定方法判定两个三角形相似。
学习过程：
一、 创设情境、引入新课 1．复习提问：
(1) 两个三角形全等有哪些判定方法？
(2) 我们学习过哪些判定三角形相似的方法？
二、 合作探究
由三角形全等的SSS 判定方法，我们会想如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢?
验证得相似三角形的判定（三）：
如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似． 可简单说成：三边对应成比例，两三角形相似。
几何格式: ∵AB A ′B ′ ＝AC A ′C ′ ＝BC B ′C ′
∴△ABC ∽△A ′B ′C ′ 小结：到目前为止，你学习了哪些三角形相似判定方法？
例题讲解
例1图中的两个三角形是否相似？如果相似写出证明过程。
例2.下列三角形中相似的是：_______相似，_______相似，________相似．
例3、如图，△ABC 中，点D 、E 、F 分别是AB 、
BC 、CA 的中点，求证：△ABC ∽△DEF ．
例4.如图，试用“SSS ” 判断4×4方格中的两个三角形是否相似,并说明理由.
练习 A B C A ′
B ′
C ′A B C
D E
F
1、如图，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC 相似的是(
)
2、在△ABC 和△DEF 中，若AB ＝4，BC ＝3，AC ＝6；DE ＝2.4，EF ＝1.2，FD ＝1.6， 则这两个三角形能否相似的结论是____________，理由是___________________ ．
3、在△ABC 中，AB:BC:CA=2:3:4，在△A 1B 1C 1中，A 1B 1=4，C 1A 1=8，
当B 1C 1=______时，△ABC ∽△A 1B 1C 1。
4．∆ABC 中AB=4 ,BC=5 ,AC=6 ,若DE=8 ,则当EF=____，FD=____时，∆ABC ∽∆DEF.
5.△ABC 的三边长分别为2、2、10，△A 1B 1C 1的两边长分别为2和5，
当△A 1B 1C 1的第三边长为 时，△AB C ∽△A 1B 1C 1。
6、如图，已知：DE
BC AE AC AD AB ==.求证：∠1=∠3，
7．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，CD ＝6，AC ＝4，DA ＝8．
问AC 平分∠BAD 吗？为什么？
8如图，四边形ABCD 、CDEF 、EFGH 都是正方形.
(1)⊿ACF 与⊿ACG 相似吗？说说你的理由. (2)求∠1+∠2的度数.
A B C
D。