和倍角公式复习
高中三角函数公式(复习必备)
两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((AB)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB 某些数列前n项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+… +n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+… +n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圆半 径 余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角 正切定理: [(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]} 圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0 抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py 直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h 正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h' 圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2 圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l 弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r 锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h 斜棱柱体积 V=S'L 注：其中,S'是直截面面积， L是侧棱长
高中必背数学公式有哪些
高中必背数学公式有哪些高中必背的数学公式(一)两角和公式1、sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA2、cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB3、tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)4、ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)(二)倍角公式1、cos2A=cos2A-sin2A=2cos2A-1=1-2sin2A2、tan2A=2tanA/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgA(三)半角公式1、sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)2、cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)3、tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))4、ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))(四)和差化积1、2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2、2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)3、sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)4、tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB5、ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB(五)几何体表面积和体积公式1、圆柱体：表面积：2πRr+2πRh体积：πR2h(R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高)2、圆锥体：表面积：πR2+πR[(h2+R2)的平方根]体积：πR2h/3(r为圆锥体低圆半径，h为其高)3、正方体：表面积：S=6a2,体积：V=a3(a-边长)4、长方体：表面积：S=2(ab+ac+bc)体积：V=abc(a-长，b-宽，c-高)5、棱柱：体积：V=Sh(S-底面积，h-高)6、棱锥：体积：V=Sh/3(S-底面积，h-高)7、棱台：V=h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/3(S1上底面积，S2下底面积，h-高)8、拟柱体：V=h(S1+S2+4S0)/6(S1-上底面积，S2-下底面积，S0-中截面积，h-高)9、圆柱：S底=πr2，S侧=Ch，S表=Ch+2S底，V=S底h=πr2h(r-底半径，h-高，C—底面周长，S底—底面积，S侧—侧面积，S表—表面积)10、空心圆柱：V=πh(R^2-r^2)(R-外圆半径，r-内圆半径，h-高)11、直圆锥：V=πr^2h/3(r-底半径，h-高)12、圆台：V=πh(R2+Rr+r2)/3(r-上底半径，R-下底半径，h-高)13、球：V=4/3πr^3=πd^3/6(r-半径，d-直径)14、球缺：V=πh(3a2+h2)/6=πh2(3r-h)/3(h-球缺高，r-球半径，a-球缺底半径)15、球台：V=πh[3(r12+r22)+h2]/6(r1球台上底半径，r2-球台下底半径，h-高)16、圆环体：V=2π2Rr2=π2Dd2/4(R-环体半径，D-环体直径，r-环体截面半径，d-环体截面直径)高中必背的圆的公式(一)圆的公式1、圆体积=4/3(pi)(r^3)2、面积=(pi)(r^2)3、周长=2(pi)r4、圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2【(a,b)是圆心坐标】5、圆的一般方程x2+y2+dx+ey+f=0【d2+e2-4f0】(二)椭圆公式1、椭圆周长公式：l=2πb+4(a-b)2、椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴，长为半径的圆周长(2πb)加上四倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的差3、椭圆面积公式：s=πab4、椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率(π)乘该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积高考数学答题的技巧是什么1、首先是精选题目，做到少而精。
和角公式与倍角公式
和角公式与倍角公式考点解析1．cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C α－β)cos(α＋β)＝____________________________ (C α＋β) sin(α－β)＝____________________________ (S α－β) sin(α＋β)＝______________________________ (S α＋β) tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β (T α－β)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T α＋β)前面4个公式对任意的α，β都成立，而后面两个公式成立的条件是α≠k π＋π2，β≠k π＋π2，k ∈Z ，且α＋β≠k π＋π2(T α＋β需满足)，α－β≠k π＋π2(T α－β需满足)k ∈Z 时成立，否则是不成立的．当tan α、tan β或tan(α±β)的值不存在时，不能使用公式T α±β处理有关问题，应改用诱导公式或其它方法来解． 2．二倍角公式sin 2α＝__________________；cos 2α＝________________＝__________＝__________； tan 2α＝______________.3．在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如T α±β可变形为： tan α±tan β＝________________________， tan αtan β＝________________＝________________.基础训练1.化简。
17sin 13cos 17cos 13sin +等于（ ） （A ）1 （B ）21（C ）23（D ）-12.化简ββαββαsin )cos(cos )sin(-+-的结果为（ ）（A ）αsin （B ）αcos （C ）βαcos sin 2 （D ）βαcos cos 2 3.函数x x y cos sin +=的最小正周期为（ ）（A ）π （B ）2π （C ）3π （D ）4π 4.。
倍角公式和半角公式
,
k
+
点击进入相应模块
(k Z)
2
24
降幂扩角公式：
cos2 1 cos 2
2
sin2 1 cos 2
2
升冪缩角公式：
1 cos 2 =2sin2
1 cos 2 =2cos2
点击进入相应模块
做填空游戏：在二倍角公式中
sin 2sin cos
1 tan tan 2 tan
tan2 1 tan2 点击进入相应模块
三、新授内容：
二倍角的正弦、余弦、正切公式：
sin 2 2sin cos
cos 2 cos2 sin2
2 tan tan 2 1 tan2
使等式各部分 均有意义
【变式备选】已知 cos( ) 3 , 3 , 求 cos(2 ) 的值.
4 52
2
4
【解析】cos(2 ) cos2cos sin2sin 2 (cos2 sin2),
4
4
42
Q 3 , 3 7 .
22
cos .2sin
2sin2
2
sin
1 cos sin
2 22
点评：1、左到右证明 2、变角、点变击式进入相应模块
半角公式：
sin 1 cos
2
2
sin2 1 cos
2
2
cos 1 cos cos2 1 cos
1
,
2
两边平方可得sin2α= 3 , 所以(sinα+cosα)2=1+sin2α= 7 ,
三角函数是几年级学的 初中必背三角函数公式
三角函数是几年级学的初中必背三角函数公式初三上册（9年级上册）,介绍锐角三角函数,以及简单的计算然后是高中高一下册（10年级下册）,介绍任意角三角函数,并提供大量三角函数公式和正余弦定理高三时总复习自然会复习到,但高三...初三上册（9年级上册）,介绍锐角三角函数,以及简单的计算然后是高中高一下册（10年级下册）,介绍任意角三角函数,并提供大量三角函数公式和正余弦定理高三时总复习自然会复习到,但高三的课本上没有三角函数初中必背三角函数公式初中必背三角函数公式有：1、半角公式sin(A/2)=±√（（1-cosA)/2)cos(A/2)=±√（（1+cosA)/2)tan(A/2)=±√（（1-cosA)/((1+cosA))2、倍角公式Sin2A=2SinA*CosACos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2)3、积化和差公式sinAsinB=-/2cosAcosB=/2sinAcosB=/2cosAsinB=/24、和差化积公式sinA+sinB=2sincossinA-sinB=2cossincosA+cosB=2coscoscosA-cosB=-2sinsin5、两角和与差公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-cossinBcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB三角函数是高一学的吗三角函数在初中和高中都有学习，初中浅，高中深。
三角函数在研究三角形、圆形等几何形状的性质中具有重要作用，也是研究周期现象的基本数学工具。
在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许其值扩展到任意实值，甚至复值。
常见的三角函数常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
两角和、差及倍角公式课件-2025届高三数学一轮复习
.故选C.
2.已知 , , ∈
,
则下列式子成立的是(
A. − =
C. − =
−
−
， + = , + = ，
)
B. − =
D. − =
√
解析：选D.由题意知, = − , = − ,
− + − = ，所以 − = −.故选C.
)
(
2
（2） + ∘ + ∘ =___.
解析： + ∘ + ∘ = + ∘ + ∘ + ∘
=
× −
× =−
.
定要考虑引入特殊角，把“值”变“角”，以便构造出适合公式的形式.
∘ ∘
1.
− ∘
A.
=(
)
B.
√
∘ ∘
解析：选.
− ∘
=
∘ ∘
∘
C.
∘
=
∘
D.2
∘ + ∘ ,
所以原式=
∘
∘
= .
∘
=
∘
+
∘ =
考点二 三角公式的逆用与变形应用
例2（1） (2022·新高考Ⅱ卷)若
高三数学 和角公式 、倍角公式复习课件 新人教A版
2 2.
答案：B
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12
3.2cos1s0in°－70s°in20°的值是(
)
1
3
A.2 B. 2
C. 3 D. 2
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13
解析：原式＝2cos30°－sin2700°°－sin20° ＝2cos30°·cos20°＋sisnin7300°°·sin20°－sin20° ＝ c3ocso2s02°0°＝ 3.
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4
理基础 明考向
悟题型 课时作业
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5
研
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6
知识梳理
1．两角和与差的三角函数公式 sin(α±β)＝__s_i_n_α_c_o_s_β_±_c_o_sα_s_i_n_β_____； cos(α±β)＝_c_o_s_α_c_o_s_β_∓_s_in_α_s_i_n_β_；
必考部分
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1
第三章
三角函数、解三角形
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2
第五节 和角公式 、倍角公式
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3
考 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式． 纲 2．会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式． 点 3．会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公 击 式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.
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26
[规律总结] 求三角函数值是高考考查的热点之一，求 解此类问题的关键是：(1)拼凑角；(2)确定角的范围；(3)确 定函数值的正负．
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27
变式训练 1
(2012·江西)若ssiinnαα＋ －ccoossαα＝12，则 tan2α＝(
sin2α＝______2______；
和角公式与倍角公式
§4.5 和角公式与倍角公式1．cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C α－β)cos(α＋β)＝____________________________ (C α＋β) sin(α－β)＝____________________________ (S α－β) sin(α＋β)＝______________________________ (S α＋β) tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β (T α－β)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T α＋β)前面4个公式对任意的α，β都成立，而后面两个公式成立的条件是α≠k π＋π2，β≠k π＋π2，k ∈Z ，且α＋β≠k π＋π2(T α＋β需满足)，α－β≠k π＋π2(T α－β需满足)k ∈Z 时成立，否则是不成立的．当tan α、tan β或tan(α±β)的值不存在时，不能使用公式T α±β处理有关问题，应改用诱导公式或其它方法来解． 2．二倍角公式sin 2α＝__________________；cos 2α＝________________＝__________＝__________； tan 2α＝______________.3．在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如T α±β可变形为：tan α±tan β＝________________________， tan αtan β＝________________＝________________.4．函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝____________或f (α)＝______， 其中φ可由a ，b 的值唯一确定． [难点正本 疑点清源]1．正确理解并掌握和、差角公式间的关系理解并掌握和、差角公式间的关系对掌握公式十分有效．如cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β可用向量推导，cos(α＋β)只需转化为cos[α－(－β)]利用上述公式和诱导公式即可．2．辩证地看待和角与差角为了灵活应用和、差角公式，可以对角进行适当的拆分变换：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换．如α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β),2α＝(β＋α)－(β－α)，α＋β＝2·α＋β2，α＋β2＝⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β等．1．化简：sin 200°cos 140°－cos 160°sin 40°＝___________________________________. 2．已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝－15，则tan αtan β的值为________．3．函数f (x )＝2sin x (sin x ＋cos x )的单调增区间为______________________．4．(2011·辽宁)设sin(π4＋θ)＝13，则sin 2θ等于 ( )A ．－79B ．－19 C.19 D.795．若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α的值为 ( ) A.13 B ．－13 C.79 D ．－79题型一 三角函数式的化简求值问题例1 (1)化简：(1＋sin θ＋cos θ)⎝⎛⎭⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ (0<θ<π)；(2)求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°⎝⎛⎭⎫1tan 5°－tan 5°. 探究提高 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有： ①化为特殊角的三角函数值； ②化为正、负相消的项，消去求值； ③化分子、分母出现公约数进行约分求值．(1)化简：⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan α2－tan α2·⎝⎛⎭⎫1＋tan α·tan α2； (2)求值：[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin 280°. 题型二 三角函数的给角求值与给值求角问题例2 (1)已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin 2α；(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．探究提高 (1)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是⎝⎛⎭⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝⎛⎭⎫－π2，π2，选正弦较好． (2)解这类问题的一般步骤为： ①求角的某一个三角函数值； ②确定角的范围；③根据角的范围写出所求的角．(2011·广东)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6，x ∈R . (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值． 题型三 三角变换的简单应用例3 已知f (x )＝⎝⎛⎭⎫1＋1tan x sin 2x －2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·sin ⎝⎛⎭⎫x －π4. (1)若tan α＝2，求f (α)的值；(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，求f (x )的取值范围．探究提高 (1)将f (x )化简是解题的关键，本题中巧妙运用“1”的代换技巧，将sin 2α，cos 2α化为正切tan α，为第(1)问铺平道路．(2)把形如y ＝a sin x ＋b cos x 化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．(2010·天津)已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R )．(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间[0，π2]上的最大值和最小值；(2)若f (x 0)＝65，x 0∈[π4，π2]，求cos 2x 0的值．6.构造辅助角逆用和角公式解题试题：(12分)已知函数f (x )＝2cos x ·cos ⎝⎛⎭⎫x －π6－3sin 2x ＋sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)当α∈[0，π]时，若f (α)＝1，求α的值．审题视角 (1)在f (x )的表达式中，有平方、有乘积，而且还表现为有不同角，所以要考虑到化同角、降幂等转化方法．(2)当f (x )＝a sin x ＋b cos x 的形式时，可考虑辅助角公式． 规范解答解 (1)因为f (x )＝2cos x cos ⎝⎛⎭⎫x －π6－3sin 2x ＋sin x cos x ＝3cos 2x ＋sin x cos x －3sin 2x ＋sin x cos x [2分] ＝3cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 所以最小正周期T ＝π.[6分] (2)由f (α)＝1，得2sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝1， 又α∈[0，π]，所以2α＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，7π3，[8分] 所以2α＋π3＝5π6或2α＋π3＝13π6，故α＝π4或α＝11π12.[12分]第一步：将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式． 第二步：构造：f (x )＝a 2＋b 2(sin x ·aa 2＋b 2＋ cos x ·ba 2＋b 2)． 第三步：和角公式逆用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ) (其中 φ为辅助角)．第四步：利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质． 第五步：反思回顾．查看关键点、易错点和解题规范．批阅笔记 (1)在本题的解法中，运用了二倍角的正、余弦公式，还引入了辅助角，技巧性较强．值得强调的是：辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中tan φ＝b a )，或a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2 cos(α－φ) (其中tan φ＝ab )，在历年高考中使用频率 是相当高的，几乎年年使用到、考查到，应特别加以关注．(2)本题的易错点是想不到引入辅助角或引入错误．在定义域大于周期的区间上求最值时，辅助角的值一般不用具体确定.方法与技巧 1．巧用公式变形：和差角公式变形：tan x ±tan y ＝tan(x ±y )·(1∓tan x ·tan y )； 倍角公式变形：降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；配方变形：1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22,1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2. 2．利用辅助角公式求最值、单调区间、周期．y ＝a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中tan φ＝ba)有：a 2＋b 2≥|y |.3．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角为：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．4．已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值的技巧：把已知条件的和角进行加减或二倍角后再加减，观察是不是常数角，只要是常数角，就可以从此入手，给这个等式两边求某一函数值，可使所求的复杂问题简单化．5．熟悉三角公式的整体结构，灵活变换．本节要重视公式的推导，既要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形． 失误与防范1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通． 2．在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝22所对应的角α＋β不是唯一的． 3．在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值．§4.5 和角公式与倍角公式(时间：60分钟)A 组 专项基础训练题组一、选择题1．已知sin α＝23，则cos(π－2α)等于( )A ．－53 B ．－19 C.19 D.532．(2011·福建)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( )A.22 B.33C. 2D. 3 3．(2011·浙江)若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2等于( ) A.33 B ．－33 C.539 D ．－69二、填空题4．(2011·江苏)已知tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2，则tan xtan 2x 的值为________． 5．函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x 的最小值是________．6． sin α＝35，cos β＝35，其中α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则α＋β＝________. 三、解答题7．已知A 、B 均为钝角且sin A ＝55，sin B ＝1010，求A ＋B 的值． 8．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π2上的最大值与最小值．B 组 专项能力提升题组一、选择题1．已知锐角α满足cos 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α等于( )A.12 B ．－12 C.22 D ．－222．若将函数y ＝A cos ⎝⎛⎭⎫x －π6·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6 (A >0，ω>0)的图象向左平移π6个单位后得到的图象关于原点对称，则ω的值可能为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 3．在△ABC 中，若tan A ＋tan B ＋3＝3tan A ·tan B ，且sin A cos A ＝34，则△ABC ( ) A ．等腰三角形 B ．等腰或直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形 二、填空题4．化简：sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x ＝___________________________________________. 5.3tan 12°－3(4cos 212°－2)sin 12°＝________.6．已知cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1213，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝________. 三、解答题7．已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，(1)求tan 2α的值； (2)求β.8．设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin 2x . (1)求函数f (x )的最大值；(2)设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角,若cos B ＝13，f ⎝⎛⎭⎫C 2＝－14，且C 为锐角，求sin A .答案 要点梳理1．cos αcos β－sin αsin β sin αcos β－cos αsin β sin αcos β＋cos αsin β2．2sin αcos α cos 2α－sin 2α 2cos 2α－1 1－2sin 2α2tan α1－tan 2α3．tan(α±β)(1∓tan αtan β) 1－tan α＋tan βtan (α＋β)tan α－tan βtan (α－β)－14.a 2＋b 2sin(α＋φ) a 2＋b 2cos(α－φ)基础自测 1.32 2.7133.⎣⎡⎦⎤－π8＋k π，3π8＋k π (k ∈Z ) 4．A 5.D 题型分类·深度剖析 例1 解 (1)原式＝⎝⎛⎭⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2⎝⎛⎭⎫sin θ2－cos θ24cos2θ2＝cos θ2⎝⎛⎭⎫sin 2θ2－cos 2θ2⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2·cos θ⎪⎪⎪⎪cos θ2.因为0<θ<π，所以0<θ2<π2，所以cos θ2>0，所以原式＝－cos θ.(2)原式＝2cos 210°2×2sin 10°cos 10°－sin 10°⎝⎛⎭⎫cos 5°sin 5°－sin 5°cos 5° ＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5° ＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 10°12sin 10°.＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin (30°－10°)2sin 10°＝cos 10°－2⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°2sin 10°＝3sin 10°2sin 10°＝32.变式训练1 (1)2sin α(2) 6例2 解 (1)∵π2<β<α<3π4，∴0<α－β<π4，π<α＋β<3π2，∴sin(α－β)＝513，cos(α＋β)＝－45，∴sin 2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝－35×1213＋⎝⎛⎭⎫－45×513＝－5665.(2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β] ＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171＋12×17＝13>0，∴0<α<π2，又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝⎛⎭⎫132＝34>0，∴0<2α<π2， ∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1.∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4. 变式训练2 (1)2 (2)1665例3 解 (1)f (x )＝(sin 2x ＋sin x cos x )＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝12＋12(sin 2x －cos 2x )＋cos 2x ＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12. 由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45.cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35. 所以，f (α)＝12(sin 2α＋cos 2α)＋12＝35.(2)由(1)得f (x )＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12. 由x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，得5π12≤2x ＋π4≤54π. ∴－22≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤1,0≤f (x )≤2＋12， 所以f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2＋12. 变式训练3 (1)最小正周期为π， 最大值为2，最小值为－1 (2)3－4310课时规范训练 A 组1．B 2.D 3.C 4.49 5.1－2 6.π27．解 ∵A 、B 均为钝角且 sin A ＝55，sin B ＝1010， ∴cos A ＝－ 1－sin 2A ＝－25＝－2 55，cos B ＝－1－sin 2B ＝－310＝－3 1010，∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝－2 55×⎝⎛⎭⎫－3 1010－55×1010＝22，又∵π2<A <π，π2<B <π，∴π<A ＋B <2π，∴A ＋B ＝7π4.8．解 由题意，得f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋(sin x －cos x )(sin x ＋cos x )＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，又x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，π2， 所以2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π3，5π6. 又f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减， 所以当x ＝π3时，f (x )取得最大值1. 又f ⎝⎛⎭⎫－π12＝－32<f ⎝⎛⎭⎫π2＝12， 所以当x ＝－π12时，f (x )取得最小值－32. 故函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π2上的最大值与最小值分别为1与－32. B 组1．A 2.D 3.C 4.2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋2 5．－43 6.10137．解 (1)由cos α＝17，0<α<π2， 得sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫172＝437，∴tan α＝sin αcos α＝437×71＝4 3. 于是tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－(43)2＝－8347. (2)由0<β<α<π2，得0<α－β<π2. 又∵cos(α－β)＝1314， ∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝1－⎝⎛⎭⎫13142＝3314.由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12.∴β＝π3. 8．解 (1)f (x )＝cos 2x cos π3－sin 2x sin π3＋1－cos 2x 2＝12cos 2x －32sin 2x ＋12－12cos 2x ＝12－32sin 2x . 所以，当2x ＝－π2＋2k π，k ∈Z ， 即x ＝－π4＋k π (k ∈Z )时， f (x )取得最大值，f (x )max ＝1＋32. (2)由f ⎝⎛⎭⎫C 2＝－14，即12－32sin C ＝－14， 解得sin C ＝32，又C 为锐角，所以C ＝π3. 由cos B ＝13求得sin B ＝223. 因此sin A ＝sin [π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C＝223×12＋13×32＝22＋36.。
专题7：和(差)角公式、倍角公式
专题7：和（差）角公式、倍角公式一、 和（差）角公式【知识点】1．基本公式()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=±cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±= 2．公式的变式()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-1tan tan αβ-＝)tan(tan tan βαβα++ 3．常见的角的变换：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝2βα+＋2βα-；α＝(α＋β)－β ＝(α－β)＋β 2βα+＝(α－2β)－(2α－β)；)4()4(x x ++-ππ＝2π 4.重要结论（1）辅助角公式：sin cos )a x b x x ϕ+=+ （注： tan b a ϕ=） sin cos αα+=_______ _ _ sin cos αα-=sin αα=____ __ ___ +cos x x =（2）+=(1tan )(1tan )4παβαβ++=，二、倍角公式：【知识点】sin 22sin cos x x x = 2222cos 2cos sin 2cos 112sin x x x x x =-=-=- 22tan tan 2tan x x x=1sin cos sin 22x x x = 21cos 22cos x x += 21cos 22sin x x -=sin 2x=cos 2x=tan 2x=2(sin cos )12sin cos x x x x ±=±=1sin 2x ±【练习】 （1）求值、化简1.若sin α＝35，,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则5cos()4πα+＝( B )A ．－7210 B ．－210 C.210 D.72102.已知35sin()cos cos()sin αβααβα---=，那么2cos β的值为 （ A ） A ．725 B 、1825 C 、725- D 、1825- 3.化简：sin(α＋β)－2sinαcosβ2sinαsinβ＋cos(α＋β) = t a n ()αβ-4.设1tan 3α=,tan()2βα-=-,则tan β=_______________.5．若1tan1tan AA +=-tan()4A π+=__________________.6.ο= .7.=( )A ．sin 4cos4+B ．sin 4cos4--C ．sin 4D ．cos 48.若[0,2α∈π]sin cos αα=+，则α的取值范围是() A ．(0,)2πB ．(,)2ππC ．(,)23ππ D ．(,2)23ππ（2）综合题1. 函数2sin()cos()36y x x ππ=--+的最小值为2.已知函数()(1)cos ,02f x x x x π=≤<，求函数的最大值。
和角公式.倍角公式
和角公式.倍角公式4.3和角公式、倍角公式【考点预测】两角和与差的正弦、余弦、正切公式的考查，经常以选择题与填空题的形式出现, 还常在解答题中与三角变换结合起来考查，在考查三角函数知识的同时，又考查函数思想和分类讨论思想解决问题的能力.【基础知识】1. 和（差）角公式cos(α±β) =_________________sin(α±β) =_________________tan(α±β) =_________________2. 倍角公式cos 2α=__________=__________=____________sin 2α=_________________tan 2α=_________________3. 降幂公式sin 2α=______________，cos 2α=______________4. 注意凑角的技巧α=(α+β)-β; 2α=(α+β)+(α-β) ; 2α+β=(α+β)+α等.5. 公式的变形应用(1)tanα±tan β=tan(α±β) 〃(1 tan αtan β)(2)tanα〃tan β=1-【考点剖析】考点一给值求值例1（2019年四川文）设sin 2αtan α+tan βtan α-tan β=-1. tan(α-β) tan(α+β) π=-sin α, α∈(, π) , 则tan 2α的值是________. 2【变式训练】1.(2019年重庆理5) 设tan α, tan β是方程x 2-3x +2=0的两个根，则tan(α+β) 的值为（）A. -3B. -1C. 1D. 3错误！未指定书签。
2.(2019年江西文）若sin α2=cos α=（） D ．错误！A ．-2 3 B ．- C ．错误！未找到引用源。
13未找到引用源。
3. 错误！未指定书签。
（2019年上海文科）若cos x cos y +sin x sin y =1, 则cos (2x -2y )=________. 3考点二给值求角例2. 已知α, β都是锐角,且sin α=【变式训练】已知cos α=, sin β=, 求α+β. 510113π,cos(α-β)=, 且0※考点三凑角的运用鲍老师[1**********]A. B. - C. D. -3399【变式训练】ππ⎫4⎫（2019年江苏卷11）设α为锐角，若cos α+⎫=，则sin(2α+) 的值为．6⎫512⎫【专题训练】★1. （2019年福建理1）计算sin43cos13-sin13 cos43 的值等于（）1C.D. 224π★2．(2019年宁夏文10) 若sin a = -，α是第三象限的角，则sin(a +) =（） 54 A. - B.C. -D. 10101010tan x π★3. (2019年江苏卷7) 已知tan(x +) =2,则的值为__________ tan 2x 4★4. （2019年福建文2）计算1-2sin 22.5 的结果等于( ) A.1 B.C.D. 3222★5. （2019年辽宁文6）已知sin α-cos α=，α∈(0，π) ，则sin 2α=( ) A.C.D. 1 22sin 47 -sin17 cos30★6. (2019年重庆文5) =（） cos1711A. B. -C. D. 2 23★7. (2019年全国卷文4) 已知α为第二象限角，sin α=，则sin 2α=（） 5 24121224A. - B. - C. D. 25252525π1★★8. (2019年辽宁理7) 设sin （+θ）=，则sin 2θ=（） 437117A. - B. - C. D. 9999π⎫⎫1f x =2sin x -9．(2019年广东文16) 已知函数()★★ ⎫，x∈R ． 6⎫⎫3（1）求f (0)的值； A. -1 B. -（2）设α, β∈⎫0, π⎫106⎫π⎫⎫, f 3α+=, f 3β+2π=, 求sin (α+β)的值．() ⎫⎫2⎫135⎫2⎫⎫鲍老师[1**********]。
高三数学 和角公式 、倍角公式复习课件 新人教A版
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要点点拨
1．两角和与差的三角函数公式的理解 (1)正弦公式概括为“正余，余正符号同”． “符号同”指的是前面是两角和，则后面中间为“＋” 号；前面是两角差，则后面中间为“－”号． (2)余弦公式概括为“余余，正正符号异”．
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19
(3)二倍角公式实际就是由两角和公式中令 β＝α 所 得．特别地，对于余弦：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝ 1－2sin2α，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即 为“降幂公式”，在考题中常有体现．
解法二：由已知，得 tan2θ－4tanθ＋1＝0， 解得 tanθ＝2± 3，
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sin2θ＝si2ns2iθn＋θccoossθ2θ＝1＋2tatannθ2θ，把 tanθ＝2＋ 3代入， 得 sin2θ＝1＋222＋＋ 332＝2422＋ ＋ 33＝12，把 tanθ＝2－ 3代入， 得 sin2θ＝1＋222－－ 332＝2422－ － 33＝12.
又∵cos(π4－α)＝35，
∴sin(π4－α)＝－45.
∵0<β<π4，∴34π<34π＋β<π.
又∵sin(34π＋β)＝153，
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∴cos(34π＋β)＝－1123. ∴cos(α－β)＝cos(β－α)＝－cos[π＋(β－α)] ＝－cos[(34π＋β)＋(π4－α)] ＝－cos(34π＋β)cos(π4－α)＋sin(34π＋β)sin(π4－α) ＝－(－1123)×35＋153×(－45) ＝3665－2605＝1665.
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理基础 明考向
悟题型 课时作业
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研
高中数学复习：两角和、差及倍角公式
π
4
（θ＋ ）＝ ，则
6
5
sin
π
（2θ－ ）＝（
6
）
目录
高中总复习·数学（提升版）
解析：法一
＝－ cos
sin
π
（2θ－ ）＝－
6
π
（2θ＋ ）＝－
3
cos
cos
π
π
［ ＋（2θ－ ）］
2
6
π
［2（θ＋ ）］＝－［2
6
cos 2（θ＋
π
4
7
2
）－1］＝－［2×（ ） －1］＝－ ，故选A.
6
5
25
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目录
高中总复习·数学（提升版）
2. 已知 sin
3
π
π
α＝ ，α∈（ ，π），则tan（ －α）＝（
5
2
4
）
A. －7
D. 7
解析： 因为 sin
1−
3
π
α＝ ，α∈（ ，π），所以
5
2
3
4
2
（ ） ＝－ ，tan
5
5
cos α＝－
sin
3
π
α＝
＝－ ，所以tan（ －α）＝
＝
1
2
＋13
1 1
1− ×
2 3
＝1，所以tan（π－2α）＝－1.
目录
高中总复习·数学（提升版）
解题技法
1. 三角函数公式求值中变角的解题思路
（1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知
角”的和或差的形式；
（2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知
高考数学总复习 4.3和角公式、倍角公式与半角公式配套文档 理 新人教b版
§4.3 和角公式、倍角公式与半角公式1． 两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C α－β) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β (C α＋β) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β (S α－β) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β (S α＋β) tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β (T α－β)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β (T α＋β)2． 二倍角公式sin 2α＝2sin_αcos_α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3． 半角公式sin α2＝±1－cos α2；cos α2＝± 1＋cos α2； tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.根号前的正负号，由角α2所在象限确定．4． 函数f (x )＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中tan φ＝ba)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)(其中tan φ＝ab)．1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( √ )(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立． ( √ ) (3)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．( × )(4)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( × ) (5)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( √ ) (6)当α＋β＝π4时，(1＋tan α)(1＋tan β)＝2.( √ ) 2． (2013·浙江)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α等于( )A.43B.34 C ．－34 D ．－43 答案 C解析 ∵sin α＋2cos α＝102， ∴sin 2α＋4sin α·cos α＋4cos 2α＝52.化简得：4sin 2α＝－3cos 2α， ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34.故选C.3． (2012·江西)若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α等于( )A ．－34 B.34 C ．－43 D.43答案 B解析 由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，等式左边分子、分母同除cos α得，tan α＋1tan α－1＝12，解得tan α＝－3，则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34.4． (2012·江苏)设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________． 答案17250解析 ∵α为锐角且cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6－π4 ＝sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6cos π4－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6sin π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6－22⎣⎡⎦⎤2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－1 ＝2×35×45－22⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫452－1 ＝12225－7250＝17250. 5． (2013·课标全国Ⅱ)设θ为第二象限角，若tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝________. 答案 －105解析 ∵tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12，∴tan θ＝－13， 即⎩⎪⎨⎪⎧3sin θ＝－cos θ，sin 2θ＋cos 2θ＝1， 解得sin θ＝1010，cos θ＝－31010. ∴sin θ＋cos θ＝－105.题型一 三角函数式的化简与给角求值例1 (1)化简：(1＋sin θ＋cos θ)(sin θ2－cos θ2)2＋2cos θ(0<θ<π)；(2)求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°(1tan 5°－tan 5°)．思维启迪 (1)分母为根式，可以利用二倍角公式去根号，然后寻求分子分母的共同点进行约分；(2)切化弦、通分．解 (1)由θ∈(0，π)，得0<θ2<π2，∴cos θ2>0.因此2＋2cos θ＝4cos 2θ2＝2cos θ2.又(1＋sin θ＋cos θ)(sin θ2－cos θ2)＝(2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2)(sin θ2－cos θ2)＝2cos θ2(sin 2θ2－cos 2θ2)＝－2cos θ2cos θ.故原式＝－2cos θ2cos θ2cosθ2＝－cos θ.(2)原式＝2cos 210°2×2sin 10°cos 10°－sin 10°(cos 5°sin 5°－sin 5°cos 5°)＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5° ＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 10°12sin 10°＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin (30°－10°)2sin 10°＝cos 10°－2(12cos 10°－32sin 10°)2sin 10°＝3sin 10°2sin 10°＝32.思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有： ①化为特殊角的三角函数值； ②化为正、负相消的项，消去求值； ③化分子、分母出现公约数进行约分求值．(1)在△ABC 中，已知三个内角A ，B ，C 成等差数列，则tan A 2＋tan C2＋3tan A 2tan C2的值为________．(2)2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是( )A.12B.32 C.3 D. 2 答案 (1)3 (2)C解析 (1)因为三个内角A ，B ，C 成等差数列，且A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋C ＝2π3，A ＋C 2＝π3，tan A ＋C 2＝3，所以tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C2＝tan ⎝⎛⎭⎫A 2＋C 2⎝⎛⎭⎫1－tan A 2tan C 2＋3tan A 2tan C 2 ＝3⎝⎛⎭⎫1－tan A 2tan C 2＋3tan A 2tan C2＝ 3. (2)原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°sin 70°＝2(cos 30°·cos 20°＋sin 30°·sin 20°)－sin 20°sin 70°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.题型二 三角函数的给值求值、给值求角例2 (1)已知0<β<π2<α<π，且cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)的值； (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．思维启迪 (1)拆分角：α＋β2＝⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β，利用平方关系分别求各角的正弦、余弦． (2)2α－β＝α＋(α－β)；α＝(α－β)＋β. 解 (1)∵0<β<π2<α<π，∴－π4<α2－β<π2，π4<α－β2<π，∴cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝53， sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2＝459，∴cosα＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝⎝⎛⎭⎫－19×53＋459×23＝7527， ∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729. (2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171＋12×17＝13>0，∴0<α<π2，又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝⎛⎭⎫132＝34>0， ∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1.∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4. 思维升华 (1)解题中注意变角，如本题中α＋β2＝(α－β2)－(α2－β)；(2)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是⎝⎛⎭⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝⎛⎭⎫－π2，π2，选正弦较好．(1)若0<α<π2，－π2<β<0，cos(π4＋α)＝13，cos(π4－β2)＝33，则cos(α＋β2)等于( )A.33 B ．－33 C.539 D ．－69(2)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于 ( )A.5π12B.π3C.π4D.π6 答案 (1)C (2)C解析 (1)cos(α＋β2)＝cos[(π4＋α)－(π4－β2)]＝cos(π4＋α)cos(π4－β2)＋sin(π4＋α)sin(π4－β2)，∵0<α<π2，则π4<π4＋α<3π4，∴sin(π4＋α)＝223. 又－π2<β<0，则π4<π4－β2<π2，则sin(π4－β2)＝63.故cos(α＋β2)＝cos[π4＋α－(π4－β2)]＝cos(π4＋α)cos(π4－β2)＋sin(π4＋α)sin(π4－β2)＝13×33＋223×63＝539，故选C. (2)∵α、β均为锐角，∴－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－1010，∴cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55，∴cos α＝255， ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55×31010－255×(－1010)＝22. ∴β＝π4.题型三 三角变换的简单应用例3 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －3π4，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0<α<β≤π2，求证：[f (β)]2－2＝0.思维启迪 (1)可将f (x )化成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式； (2)据已知条件确定β，再代入f (x )求值． (1)解 ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4－2π＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4－π2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.(2)证明 由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝45，cos βcos α－sin βsin α＝－45，两式相加得2cos βcos α＝0，∵0<α<β≤π2，∴β＝π2，∴[f (β)]2－2＝4sin 2π4－2＝0.思维升华 三角变换和三角函数性质相结合是高考的一个热点，解题时要注意观察角、式子间的联系，利用整体思想解题．(1)函数f (x )＝3sin x ＋cos(π3＋x )的最大值为( )A ．2 B. 3 C ．1 D.12(2)函数f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x 的最小正周期是________．答案 (1)C (2)π解析 (1)f (x )＝3sin x ＋cos π3·cos x －sin π3·sin x＝12cos x ＋32sin x ＝sin(x ＋π6)．∴f (x )max ＝1. (2)f (x )＝22sin 2x －22cos 2x －2(1－cos 2x ) ＝22sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin(2x ＋π4)－2， ∴T ＝2π2＝π.高考中的三角变换问题典例：(20分)(1)若tan 2θ＝－22，π<2θ<2π，则2cos 2θ2－sin θ－12sin (θ＋π4)＝________.(2)已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，则α＋β等于( )A.3π4B.π4或3π4C.π4D ．2k π＋π4(k ∈Z )(3)(2012·大纲全国)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α等于( ) A ．－53 B ．－59 C.59 D.53(4)(2012·重庆)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°等于( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.32思维启迪 (1)注意和差公式的逆用及变形；(2)可求α＋β的某一三角函数值，结合α＋β的范围求角．(3)可以利用sin 2α＋cos 2α＝1寻求sin α±cos α与sin αcos α的联系；(4)利用和角公式将已知式子中的角向特殊角转化．解析 (1)原式＝cos θ－sin θsin θ＋cos θ＝1－tan θ1＋tan θ，又tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－22，即2tan 2θ－tan θ－2＝0， 解得tan θ＝－12或tan θ＝ 2.∵π<2θ<2π，∴π2<θ<π.∴tan θ＝－12，故所求＝1＋121－12＝3＋2 2.(2)由sin α＝55，cos β＝31010且α，β为锐角，可知cos α＝255，sin β＝1010，故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22，又0<α＋β<π，故α＋β＝π4.解析 (3)由sin α＋cos α＝33两边平方得1＋2sin αcos α＝13，∴2sin αcos α＝－23.∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α＝(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝153. 由⎩⎨⎧sin α＋cos α＝33，sin α－cos α＝153，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝3＋156，cos α＝3－156.∴cos 2α＝2cos 2α－1＝－53. (4)利用两角和的正弦公式化简． 原式＝sin (30°＋17°)－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°cos 17°＝sin 30°＝12.答案 (1)3＋22 (2)C (3)A (4)C温馨提醒 三角变换中的求值问题要注意利用式子的特征，灵活应用公式；对于求角问题，一定要结合角的范围求解．方法与技巧1． 巧用公式变形：和差角公式变形：tan x ±tan y ＝tan(x ±y )·(1∓tan x ·tan y )；倍角公式变形：降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2， 配方变形：1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22,1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2. 2． 利用辅助角公式求最值、单调区间、周期．由y ＝a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中tan φ＝ba)有a 2＋b 2≥|y |.3． 重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形． 失误与防范1． 运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通． 2． 在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝22所对应的角α＋β不是唯一的． 3． 在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1． 若θ∈[π4，π2]，sin 2θ＝378，则sin θ等于( )A.35B.45C.74D.34 答案 D解析 由sin 2θ＝387和sin 2θ＋cos 2θ＝1得(sin θ＋cos θ)2＝378＋1＝(3＋74)2，又θ∈[π4，π2]，∴sin θ＋cos θ＝3＋74.同理，sin θ－cos θ＝3－74，∴sin θ＝34. 2． 已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.1318 B.1322 C.322 D.16答案 C 解析 因为α＋π4＋β－π4＝α＋β，所以α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4，所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝322.3． (2013·重庆)4cos 50°－tan 40°等于 ( ) A. 2 B.2＋32 C.3 D ．22－1答案 C解析 4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2sin (50°＋30°)－sin 40°cos 40° ＝3sin 50°＋cos 50°－sin 40°cos 40°＝3sin 50°cos 40°＝ 3.4． 若tan α＋1tan α＝103，α∈(π4，π2)，则sin(2α＋π4)的值为( )A ．－210 B.210 C.3210 D.7210答案 A解析 由tan α＋1tan α＝103得sinαcos α＋cos αsin α＝103，∴1sin αcos α＝103，∴sin 2α＝35.∵α∈(π4，π2)，∴2α∈(π2，π)，∴cos 2α＝－45.∴sin(2α＋π4)＝sin 2αcos π4＋cos 2αsin π4＝22×(35－45)＝－210.5． 在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A ·tan B ，则C 等于( )A.π3B.2π3C.π6D.π4答案 A解析 由已知可得tan A ＋tan B ＝3(tan A ·tan B －1)，∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－3， 又0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝23π，∴C ＝π3. 二、填空题6． 若sin(π2＋θ)＝35，则cos 2θ＝________. 答案 －725解析 ∵sin(π2＋θ)＝cos θ＝35， ∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×(35)2－1＝－725. 7． 若α＝20°，β＝25°，则(1＋tan α)(1＋tan β)的值为________．答案 2解析 由tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝tan 45°＝1可得 tan α＋tan β＋tan αtan β＝1，所以(1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2.8. 3tan 12°－3(4cos 212°－2)sin 12°＝________. 答案 －4 3解析 原式＝3sin 12°cos 12°－32(2cos 212°－1)sin 12° ＝23⎝⎛⎭⎫12sin 12°－32cos 12°cos 12°2cos 24°sin 12°＝23sin (－48°)2cos 24°sin 12°cos 12°＝－23sin 48°sin 24°cos 24° ＝－23sin 48°12sin 48°＝－4 3. 三、解答题9． 已知tan α＝－13，cos β＝55，α∈(π2，π)，β∈(0，π2)，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值． 解 由cos β＝55，β∈(0，π2)，得sin β＝255，tan β＝2.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21＋23＝1. ∵α∈(π2，π)，β∈(0，π2)，∴π2<α＋β<3π2，∴α＋β＝5π4.10．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos β的值．解 (1)因为sin α2＋cos α2＝62， 两边同时平方，得sin α＝12.又π2<α<π，所以cos α＝－32.(2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－32×45＋12×⎝⎛⎭⎫－35＝－43＋310.B 组 专项能力提升(时间：30分钟)1． 已知tan(α＋π4)＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos (α－π4)等于( ) A ．－255 B ．－3510 C ．－31010 D.255答案 A解析 由tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13. 又－π2<α<0，所以sin α＝－1010. 故2sin 2α＋sin 2αcos (α－π4)＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α＝－255. 2． 定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab c d ＝ad －bc ，若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β等于 ( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π3答案 D解析 依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314， 又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2， 故cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝1314， 而cos α＝17，∴sin α＝437， 于是sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝437×1314－17×3314＝32， 故β＝π3，选D. 3． 设x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则函数y ＝2sin 2x ＋1sin 2x的最小值为________． 答案 3 解析 方法一 因为y ＝2sin 2x ＋1sin 2x ＝2－cos 2x sin 2x， 所以令k ＝2－cos 2x sin 2x.又x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以k 就是单位圆x 2＋y 2＝1的左半圆上的动点P (－sin 2x ，cos 2x )与定点Q (0,2)所成直线的斜率．又k min ＝tan 60°＝3，所以函数y ＝2sin 2x ＋1sin 2x的最小值为 3. 方法二 y ＝2sin 2x ＋1sin 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x 2sin x cos x＝3tan 2x ＋12tan x ＝32tan x ＋12tan x. ∵x ∈(0，π2)，∴tan x >0. ∴32tan x ＋12tan x≥232tan x ·12tan x ＝ 3. (当tan x ＝33，即x ＝π6时取等号) 即函数的最小值为 3.4． 已知tan(π＋α)＝－13，tan(α＋β)＝sin 2(π2－α)＋4cos 2α10cos 2α－sin 2α. (1)求tan(α＋β)的值；(2)求tan β的值．解 (1)∵tan(π＋α)＝－13，∴tan α＝－13. ∵tan(α＋β)＝sin 2(π2－α)＋4cos 2α10cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋4cos 2α10cos 2α－sin 2α＝2sin αcos α＋4cos 2α10cos 2α－2sin αcos α＝2cos α(sin α＋2cos α)2cos α(5cos α－sin α)＝sin α＋2cos α5cos α－sin α＝tan α＋25－tan α＝－13＋25－(－13)＝516. (2)tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝516＋131－516×13＝3143. 5． 已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π. (1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫5α＋53π＝－65，f ⎝⎛⎭⎫5β－56π ＝1617，求cos(α＋β)的值． 解 (1)由T ＝2πω＝10π得ω＝15.(2)由⎩⎨⎧f ⎝⎛⎭⎫5α＋53π＝－65，f ⎝⎛⎭⎫5β－56π＝1617得⎩⎨⎧ 2cos ⎣⎡⎦⎤15⎝⎛⎭⎫5α＋53π＋π6＝－65，2cos ⎣⎡⎦⎤15⎝⎛⎭⎫5β－56π＋π6＝1617，整理得⎩⎨⎧ sin α＝35，cos β＝817. ∵α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴cos α＝1－sin 2α＝45，sin β＝1－cos 2β＝1517. ∴cos(α＋β)＝cos αcos β －sin αsin β ＝45×817－35×1517＝－1385.。
高一三角函数倍角和差 综合复习
高一三角函数-倍角和差 复习1．两角和与差的三角函数公式2．二倍角公式= =3.半角公式 ， ， 4、辅助角公式当0,0>>b a 时，ααcos sin b a ±= （其中ϕtan = ） 注释：1．三角函数公式的记忆和应用是学好三角函数的关键所在，要在理解、掌握公式的来龙去脉的基础上记忆、领会公式.对公式的应用，本无定法，贵在得法，体现一个“活”字．三角公式中充满了辩证法，非同角公式中的“和与差”、“倍与半”、“弦与切”、“升与降”既是相对的概念，又可求异求同，相辅相成．2．公式的正用、逆用和变形用，是公式的三种主要使用方法，特别是变形使用有时恰是解题思维的关键，如公式：)tan tan 1)(tan(tan tan B A B A B A -+=+， )sin(cos sin 22ϕ++=±x b a x b x a 及升幂降幂公式的应用.3．在三角变换中，“一致代换”法是一种重要的方法，即在恒等变换中，化“异角”、“异名”、“异次”为“同角”、“同名”、“同次”的方法，它主要包括：在三角函数式中，(1)如果只含同角三角函数，一般应从变化函数名称人手，尽量化为同名函数，常用“化弦”法或“化切”法；(2)如果含有异角，一般应从变化角入尽量化不同角为同角，变复角为单角；(3)如果含有异次幂，一般利用升幂或降幂公式化异次幂为同次幂．4．审题中，要善于观察已知式和欲求式的差异，注意角之间的关系如：ββαα-+=)(，)()(2βαβαα-++=等，整体思想是三角变换中常用的思想． 5．在化简三角函数式时，所化简的函数式若函数名称不同，而且角度各异，则应合理选用公式从消除差异人手，必要时也可引入辅助角或换元来转化解决． 题型设计1、化简三角函数式化简的一般要求:三角函数种数尽量少；项数尽量少；次数尽量低；尽量使分母不含三角函数式；尽量使被开方数不含三角函数式；能求出值的sin()αβ±=cos()αβ±=tan()αβ±=sin 2α=cos 2α=tan 2α=2cos 12sin 2αα-=2cos 12cos 2αα+=αααcos 1cos 12tan 2+-=αααααsin cos 1cos 1sin 2tan -=+=尽量求出值.依据三角函数式的结构特点，常采用的变换方法有异角化同角、异名化同名、异次化同次、高次降低次.2、求值常见的三类求值问题(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合三角公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系.(3)“给值求角”：实质上是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角3、进行三角化简与求值的几种解题思路(1)角的变换：观察各角之间的和、差、倍、半关系，减少角的种类，化异角为同角．(2)函数名的变换：观察、比较题设与结论之间，等号的左右两边的函数名称的差异，化异名为同名.(3)常数的变换：常用的有4tan cos sin 122παα=+=,3tan 3π= (4)次数的变化：常用的方式是升次降次，主要公式是二倍角的余弦公式及其逆向使用.(5)结构的变化：对条件、结论的结构实行调整，或重新分组，或移项，或变除为乘，或求差等.典型例题：例1、求下列各式的值;50tan 10tan 350tan 10tan )1(o o o ++;70sin 20sin 10cos 2)2(- ).120tan 3(10cos 70tan )3(-⋅o o规律及方法：1．不查表求含非特殊角的三角函数式的值，一般有三条基本途径．(1)利用和、差、倍、半公式，进行角度重组，化为特殊角后求值；(2)依靠分式的基本性质，将分子、分母中无法求值的部分因式约去后求值，如上例中第(2)小题约去了:20cos(3)利用公式，使之裂项，在消去无法求值的部分项后达到求值的目的.2．要注意公式的变形运用和逆向运用，注意公式+A tan =+-+=x b x a B A B A B cos sin ),tan tan 1)(tan(tan )sin(2φ++x b a 的运用．3．在三角变换中，切割化弦是常用的转化方法．练习：若βα,是锐角，135)cos(,53sin =+=βαα，则βsin 等于（ ） 21.6524.6563.6533.D C B A 练习：已知,43)sin(,52)sin(=-=+βαβα则=βαtan tan例2、已知,71tan ,21)tan(-==-ββα且),,0(πβα∈求βα-2的值，规律及方法：1．本题解答中给出的“整体思维”、“整体代换”的方法值得重视，当然也可以先求αtan 和α2tan ，再求).2tan(βα-2．给值求角，关键是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．练习：设),2,0(πα∈若,53sin =α则=+)4cos(2πα( ) 57.A 51.B 57.-C 51.-D 练习：已知γβα、、都是锐角，且,81tan ,51tan ,21tan ===γβα则=++γβα 例3、已知,2572cos ,1027)4sin(==-απα求αsin 及αtan().3π+规律及方法：1．求解三角函数求值问题，必须明确求值的目的，解题时应在认准目标的前提下，从结构式的特点去分析，以寻找到合理、简捷的方法，切忌不分青红皂白地盲目运用所学公式．2.注意倍角公式αααα22sin 212cos ,1cos 22cos -=-=的变形公式：①升幂公式αααα22sin 22cos 1,cos 22cos 1=-=+②降幂公式 22cos 1cos ,22cos 1sin 22αααα+=-= 本题主要考查三角函数的倍角公式，两角和的公式等基础知识和基本运算能力，在解题中要注意角的取值范围．练习：已知,54)cos(,54)cos(=+-=-βαβα且),2,23(),,2(ππβαππβα∈+∈- 求βα2cos 2cos 、的值．例4、在ABC ∆中，3t a n t a n 3t a n t a n =⋅++C B C B ，B A B A tan tan 1tan 3tan 3⋅=++试判断ABC ∆的形状.规律及方法：1．本题充分利用两角和的正切公式，结合三角形内角和定理，达到求解目的．2．题中同时出现βαtan tan 及βαtan +lan （或),tan tan βα-常常可考虑利用两角和与差的正切公式求解，例5、（全国高考题）已知α为第二象限角且53sin =α，β为第一象限角且135cos =β.求)2tan(βα-的值规律及方法：本题主要考查两角和与差的三角公式、倍角公式等基础知识，考查基本运算能力，灵活运用这些公式是解决此类题目的关键．练习：A 是锐角,求的值；练习: 已知3sin β＝sin （2α＋β）且tan α＝1，求tan （α＋β例6、已知关于x 的二次方程0)2()32(2=-+-+⋅a x a x a 的两根为βαtan ,tan .(1)若,427-=a 求)tan(βα-的值； (2)证明：)tan(βα+的值不小于43-.规律及方法：以任意实数x 为自变量的三角函数的值若存在，则必为实数，所以方程的根若以三角函数形式给出，千万不可忘记考虑判别式大于或等于零的隐含条件．通常这一隐含条件就是解题的突破口.,02sin )152(sin 5,2=++-∆A A ABC 中A 2tan。
高中新人教B版数学4复习学案：和角公式与倍角公式
和角公式与倍角公式考纲要求：1、会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2、能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．3、能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系． 知识梳理：1、两角和与差的三角函数公式sin(α±β）＝ ；cos(α±β)＝ ； tan （α±β)＝ sin 2α＝ ；cos 2α＝ ＝ ＝ ； tan 2α＝ . 其公式变形为：sin 2α＝ ；cos 2α＝ . 诊断练习：1、cos79°cos34°＋sin79°sin34°＝( ）A ．21B ．1C ．22D ．23 2．化简:cos(－）·cos－sin （－)sin 的值是（ )A ．cosB ．sinC ．cosD ．sin3。
a ＝sin70°sin30°＋cos70°cos30°，b ＝cos71°cos30°＋sin71°sin30°，则a ，b 的大小关系是________．4、化简求值:sin130cos170＋cos130sin170= cos700cos200＋sin700sin200= sin(α＋β）cos α－cos(α＋β)sin α= sin(α－β)cos α＋cos （α－β)sin α=(s inα－cos α)2 cos 4α－sin 4α sinxcosx 易错点透析：1、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值。
2、已知54sin =α，⎪⎭⎫⎝⎛∈π,2πα，135cos -=β,是第三象限角，求cos(－）的值。
3、已知sin(30°＋）＝53，60°＜＜150°．则cos ＝________．巩固练习： 1、已知sin(－）cos－cos （－)sin＝53，且为第三象限角，则cos 等于（ ）A ．54B ．54- C ．53D ．53-2、已知54cos -=α，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈π,2πα,则=⎪⎭⎫⎝⎛-α4πcos （ )A ．102 B ．102-C ．1027- D ．10273、△ABC 中，已知31tan =A ,21tan =B ，则∠C 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．135°4、已知31cos sin =+αα,则sin2等于________．5、tan70°＋tan50°－3tan50°·tan70°=6、已知()ββαβααcos 1411cos ,71cos 求均为锐角且，，，-=+=小结:作业:2、3、4、8、9、10。
和角公式与倍角公式
§4.5和角公式与倍角公式1．cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(Cα－β)cos(α＋β)＝____________________________ (Cα＋β)sin(α－β)＝____________________________ (Sα－β)sin(α＋β)＝______________________________ (Sα＋β)tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β(Tα－β)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(Tα＋β)前面4个公式对任意的α，β都成立，而后面两个公式成立的条件是α≠kπ＋π2，β≠kπ＋π2，k∈Z，且α＋β≠kπ＋π2(Tα＋β需满足)，α－β≠kπ＋π2(Tα－β需满足)k∈Z时成立，否则是不成立的．当tan α、tan β或tan(α±β)的值不存在时，不能使用公式Tα±β处理有关问题，应改用诱导公式或其它方法来解．2．二倍角公式sin 2α＝__________________；cos 2α＝________________＝__________＝__________；tan 2α＝______________.3．在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如Tα±β可变形为：tan α±tan β＝________________________，tan αtan β＝________________＝________________.4．函数f(α)＝a cos α＋b sin α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝____________或f(α)＝______，其中φ可由a ，b 的值唯一确定． [难点正本 疑点清源]1．正确理解并掌握和、差角公式间的关系理解并掌握和、差角公式间的关系对掌握公式十分有效．如cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β可用向量推导，cos(α＋β)只需转化为cos[α－(－β)]利用上述公式和诱导公式即可． 2．辩证地看待和角与差角为了灵活应用和、差角公式，可以对角进行适当的拆分变换：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换．如α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β),2α＝(β＋α)－(β－α)，α＋β＝2·α＋β2，α＋β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β等．1．化简：sin200°cos140°－cos160°sin 40°＝___________________________________.2．已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝－15，则tan αtan β的值为________．3．函数f (x )＝2sin x (sin x ＋cos x )的单调增区间为______________________． 4．(2011·XX)设sin(π4＋θ)＝13，则sin 2θ等于( )A ．－79B ．－19C.19 D.795．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α的值为( )A.13 B ．－13C.79 D ．－79题型一 三角函数式的化简求值问题例1 (1)化简：(1＋sin θ＋cos θ)⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ (0<θ<π)；(2)求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°⎝⎛⎭⎪⎫1tan 5°－tan 5°. 探究提高 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有： ①化为特殊角的三角函数值； ②化为正、负相消的项，消去求值； ③化分子、分母出现公约数进行约分求值．(1)化简：⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan α2－tan α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋tan α·tan α2； (2)求值：[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin 280°. 题型二 三角函数的给角求值与给值求角问题例2 (1)已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin 2α；(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．探究提高 (1)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的X 围是(0，π)，选余弦较好；若角的X围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好．(2)解这类问题的一般步骤为： ①求角的某一个三角函数值； ②确定角的X 围；③根据角的X 围写出所求的角．(2011·XX)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6，x ∈R .(1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值； (2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值．题型三 三角变换的简单应用例3 已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan x sin 2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.(1)若tan α＝2，求f (α)的值；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，求f (x )的取值X 围．探究提高 (1)将f (x )化简是解题的关键，本题中巧妙运用“1”的代换技巧，将sin 2α，cos 2α化为正切tan α，为第(1)问铺平道路．(2)把形如y ＝a sin x ＋b cos x 化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．(2010·XX)已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R )．(1)求函数f (x )的最小正周期与在区间[0，π2]上的最大值和最小值；(2)若f (x 0)＝65，x 0∈[π4，π2]，求cos 2x 0的值．6.构造辅助角逆用和角公式解题试题：(12分)已知函数f (x )＝2cos x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6－3sin 2x ＋sin x cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)当α∈[0，π]时，若f (α)＝1，求α的值．审题视角 (1)在f (x )的表达式中，有平方、有乘积，而且还表现为有不同角，所以要考虑到化同角、降幂等转化方法．(2)当f (x )＝a sin x ＋b cos x 的形式时，可考虑辅助角公式． 规X 解答解 (1)因为f (x )＝2cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6－3sin 2x ＋sin x cos x＝3cos 2x ＋sin x cos x －3sin 2x ＋sin x cos x [2分] ＝3cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以最小正周期T ＝π.[6分](2)由f (α)＝1，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝1，又α∈[0，π]，所以2α＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π3，[8分]所以2α＋π3＝5π6或2α＋π3＝13π6，故α＝π4或α＝11π12.[12分]第一步：将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式． 第二步：构造：f (x )＝a 2＋b 2(sin x ·a a 2＋b 2＋cos x ·b a 2＋b2)．第三步：和角公式逆用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ) (其中φ为辅助角)．第四步：利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质． 第五步：反思回顾．查看关键点、易错点和解题规X ．批阅笔记 (1)在本题的解法中，运用了二倍角的正、余弦公式，还引入了辅助角，技巧性较强．值得强调的是：辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中tan φ＝b a )，或a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2cos(α－φ) (其中tan φ＝a b)，在历年高考中使用频率是相当高的，几乎年年使用到、考查到，应特别加以关注．(2)本题的易错点是想不到引入辅助角或引入错误．在定义域大于周期的区间上求最值时，辅助角的值一般不用具体确定. 方法与技巧 1．巧用公式变形：和差角公式变形：tan x ±tan y ＝tan(x ±y )·(1∓tan x ·tan y )； 倍角公式变形：降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；配方变形：1±sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2±co s α22,1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2. 2．利用辅助角公式求最值、单调区间、周期．y ＝a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中tan φ＝ba)有：a 2＋b 2≥|y |.3．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角为：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．4．已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值的技巧：把已知条件的和角进行加减或二倍角后再加减，观察是不是常数角，只要是常数角，就可以从此入手，给这个等式两边求某一函数值，可使所求的复杂问题简单化．5．熟悉三角公式的整体结构，灵活变换．本节要重视公式的推导，既要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉与倍角或半角的都可以利用倍角公式与其变形． 失误与防X1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通． 2．在(0，π)X 围内，sin(α＋β)＝22所对应的角α＋β不是唯一的． 3．在三角求值时，往往要估计角的X 围后再求值．§4.5 和角公式与倍角公式(时间：60分钟)A 组 专项基础训练题组一、选择题1．已知sin α＝23，则cos(π－2α)等于( )A ．－53B ．－19C.19 D.532．(2011·XX)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( )A.22 B.33C. 2D. 3 3．(2011·XX)若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2等于( )A.33 B ．－33C.539D ．－69二、填空题4．(2011·XX)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，则tan x tan 2x 的值为________．5．函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x 的最小值是________．6． sin α＝35，cos β＝35，其中α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则α＋β＝________.三、解答题7．已知A 、B 均为钝角且sin A ＝55，sin B ＝1010，求A ＋B 的值． 8．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2上的最大值与最小值．B 组 专项能力提升题组一、选择题1．已知锐角α满足cos 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α等于( )A.12 B ．－12 C.22D ．－222．若将函数y ＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6 (A >0，ω>0)的图象向左平移π6个单位后得到的图象关于原点对称，则ω的值可能为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．53．在△ABC 中，若tan A ＋tan B ＋3＝3tan A ·tan B ，且sin A cos A ＝34，则△ABC ( )A ．等腰三角形B ．等腰或直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形 二、填空题 4．化简：sin 2x＋2sinx cos x ＋3cos 2x ＝___________________________________________.5.3tan 12°－34cos 212°－2sin 12°＝________.6．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1213，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝________.三、解答题7．已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，(1)求tan 2α的值； (2)求β.8．设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin 2x .(1)求函数f (x )的最大值；(2)设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角,若cos B ＝13，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＝－14，且C 为锐角，求sin A .答案 要点梳理1．cos αcos β－sin αsin β sin αcos β－cos αsin β sin αcos β＋cos αsin β2．2sin αcos α cos 2α－sin 2α 2cos 2α－1 1－2sin 2α2tan α1－tan 2α3．tan(α±β)(1∓tan αtan β) 1－tan α＋tan βtan α＋βtan α－tan βtan α－β－14.a 2＋b 2sin(α＋φ) a 2＋b 2cos(α－φ)基础自测1.322.7133.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8＋k π，3π8＋k π (k ∈Z ) 4．A5.D题型分类·深度剖析 例1 解 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ24cos2θ2＝cos θ2⎝⎛⎭⎪⎫sin 2θ2－cos 2θ2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2·cos θ⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2.因为0<θ<π，所以0<θ2<π2，所以cos θ2>0，所以原式＝－cos θ.(2)原式＝2cos 210°2×2sin 10°cos 10°－sin 10°⎝⎛⎭⎪⎫cos 5°sin 5°－sin 5°cos 5°＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5° ＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 10°12sin 10°.＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin 30°－10°2sin 10°＝cos 10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°2sin 10°＝3sin 10°2sin 10°＝32. 变式训练1 (1)2sin α(2) 6例2 解 (1)∵π2<β<α<3π4，∴0<α－β<π4，π<α＋β<3π2，∴sin(α－β)＝513，cos(α＋β)＝－45，∴sin 2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝－35×1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×513＝－5665.(2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan α－β＋tan β1－tan α－βtan β＝12－171＋12×17＝13>0，∴0<α<π2， 又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132 ＝34>0，∴0<2α<π2， ∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1.∵tan β＝－17<0， ∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4. 变式训练2(1)2(2)1665例3 解 (1)f (x )＝(sin 2x ＋sin x cos x )＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 ＝12＋12(sin 2x －cos 2x )＋cos 2x ＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12. 由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45.cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35. 所以，f (α)＝12(sin 2α＋cos 2α)＋12＝35. (2)由(1)得f (x )＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12. 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，得5π12≤2x ＋π4≤54π. ∴－22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤1,0≤f (x )≤2＋12， 所以f (x )的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2＋12. 变式训练3 (1)最小正周期为π，最大值为2，最小值为－1(2)3－4310课时规X 训练A 组1．B 2.D 3.C 4.49 5.1－ 2 6.π27．解 ∵A 、B 均为钝角且sin A ＝55，sin B ＝1010， ∴cos A ＝－ 1－sin 2A ＝－25＝－2 55， cos B ＝－ 1－sin 2B ＝－310＝－3 1010， ∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B＝－2 55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－3 1010－55×1010＝22， 又∵π2<A <π，π2<B <π，∴π<A ＋B <2π，∴A ＋B ＝7π4. 8．解 由题意，得 f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4· sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋(sin x －cos x )(sin x ＋cos x ) ＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2， 所以2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，5π6. 又f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减， 所以当x ＝π3时，f (x )取得最大值1. 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝－32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12， 所以当x ＝－π12时，f (x )取得最小值－32. 故函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2上的最大值与最小值分别为1与－32. B 组1．A 2.D 3.C 4.2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋2 5．－4 3 6.10137．解 (1)由cos α＝17，0<α<π2， 得sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437，∴tan α＝sin αcos α＝437×71＝4 3. 于是tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－432＝－8347. (2)由0<β<α<π2，得0<α－β<π2. 又∵cos(α－β)＝1314， ∴sin(α－β)＝1－cos 2α－β＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13142＝3314. 由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12.∴β＝π3. 8．解 (1)f (x )＝cos 2x cos π3－sin 2x sin π3＋1－cos 2x 2＝12cos 2x －32sin 2x ＋12－12cos 2x ＝12－32sin 2x . 所以，当2x ＝－π2＋2k π，k ∈Z ， 即x ＝－π4＋k π (k ∈Z )时， f (x )取得最大值，f (x )max ＝1＋32. (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＝－14，即12－32sin C ＝－14， 解得sin C ＝32，又C 为锐角，所以C ＝π3.由cos B ＝13求得sin B ＝223. 因此sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C ) ＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝223×12＋13×32＝22＋36.。