等差数列求和公式Sn教学文案
等差数列求和 教案
等差数列求和教案教案标题：等差数列求和教学目标：1. 理解等差数列的概念和性质；2. 能够根据等差数列的首项、公差和项数求和；3. 能够应用等差数列求和的方法解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：黑板、白板、彩色粉笔/白板笔、教学PPT等；2. 学生准备：笔、纸。
教学过程：步骤一：导入新知1. 引入：通过提问的方式，复习学生对等差数列的基本概念和性质，例如：什么是等差数列？等差数列的公式是什么？2. 出示一道等差数列求和的例题，并引导学生思考如何解决。
步骤二：探究等差数列求和的方法1. 讲解等差数列求和的公式：Sn = (a1 + an) * n / 2，其中Sn为等差数列的前n 项和，a1为首项，an为末项，n为项数。
2. 通过示例演示公式的应用，解决具体的等差数列求和问题。
3. 强调公式的推导过程，让学生理解公式的本质。
步骤三：练习与巩固1. 提供一系列等差数列求和的练习题，让学生独立完成并相互交流讨论。
2. 针对部分难题，进行讲解和解析，帮助学生理解和掌握等差数列求和的方法。
步骤四：拓展与应用1. 提供一些实际问题，引导学生运用等差数列求和的方法解决，如：小明每天存钱，第一天存1元，以后每天比前一天多存2元，到第n天共存了多少钱？2. 鼓励学生思考如何将实际问题转化为等差数列求和的问题，并给予指导和解答。
步骤五：归纳总结1. 让学生总结等差数列求和的方法和公式，强调重点和难点；2. 鼓励学生提出疑问和问题，进行解答和讨论。
步骤六：作业布置1. 布置一些等差数列求和的作业题，要求学生独立完成并及时交上；2. 提醒学生复习和巩固所学知识。
教学反思：1. 教学中要注重启发式教学，引导学生主动思考和解决问题；2. 在讲解公式推导时，要通过具体例子和图像等方式加深学生对公式的理解；3. 在练习环节，要针对学生的不同水平设置不同难度的题目，以促进学生的巩固与提高。
4. 教学过程中要注重学生的参与和互动，激发学生的学习兴趣。
《等差数列求和》说课稿
《等差数列求和》说课稿一、教材分析：本节课教学内容是高中课程标准实验教科书必修5（北师大版）中第二章的第二节内容．本节课主要研究如何应用倒序相加法求等差数列的前n项和以及该求和公式的应用．等差数列在现实生活中比较常见，因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的一类问题．同时，求数列前n项和也是数列研究的基本问题，通过对公式推导，可以让学生进一步掌握从特殊到一般的研究问题方法二、学情分析在本节课之前学生已经学习了等差数列的通项公式及基本性质，也对高斯算法有所了解，这都为倒序相加法的教学提供了基础；同时学生已有了函数知识，因此在教学中可适当渗透函数思想．高斯的算法与一般的等差数列求和还有一定的距离，如何从首尾配对法引出倒序相加法，这是学生学习的障碍．三、教学目标：1．知识与技能(1)掌握等差数列前n项和公式; (2)掌握等差数列前n项和公式的推导过程; (3)会简单运用等差数列的前n项和公式。
2．过程与方法(1) 通过对等差数列前n项和公式的推导过程,渗透倒序相加求和的数学方法；(2) 通过公式的运用体会方程的思想；(3) 通过运用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力。
3．情感、态度与价值观结合具体模型,将教材知识和实际生活联系起来,使学生感受数学的实用性,有效激四、重点、难点：1、教学重点等差数列的前项和公式及应用2、教学难点从二次函数的角度理解等差数列的前n项和公式五、教法学法本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略．利用数形结合、类比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究，分析、整理出推导公式的不同思路，并通过范例后的变式训练和教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点。
六、教学过程1、创设情景，激发兴趣，引入新课由学生阅读教材（P15高斯的例子）1+2+3+……+100=？通过创设情景引入问题，从一节课的开头就引起学生的兴趣，使学生初步理解倒序相加法求和的基本原理. 使学生感受到利用公式求等差数列的前n 项和得便利. 同时使学生初步熟悉公式的应用.2、归纳抽象，形成概念 教师适时提出问题：根据2)(1n n a a n S += , d n n na S n 2)1(1++= 从方程的角度看，以上式子各有几个未知量？若要把其中某个未知量求出，需要知道几个量。
等差数列求和公式教案
等差数列求和公式教案一、教学目标1.理解等差数列的概念和性质；2.掌握等差数列的通项公式和求和公式；3.能够应用等差数列的公式解决实际问题。
二、教学重点1.等差数列的通项公式和求和公式；2.应用等差数列的公式解决实际问题。
三、教学难点1.等差数列求和公式的推导；2.应用等差数列的公式解决复杂问题。
四、教学内容1. 等差数列的概念和性质等差数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与它的前一项之差相等的数列。
例如：1，3，5，7，9，11，13，15，17，19 就是一个等差数列，公差为2。
等差数列的性质有：1.公差相等；2.任意两项的和等于它们的中间项之和；3.等差数列的前n项和可以表示为n的某个函数。
2. 等差数列的通项公式和求和公式等差数列的通项公式是指根据数列中的位置n，求出该位置上的数的公式。
设等差数列的首项为a1，公差为d，则等差数列的通项公式为：an = a1 + (n - 1) * d等差数列的前n项和公式是指求出等差数列前n项的和的公式。
设等差数列的首项为a1，公差为d，则等差数列的前n项和公式为：Sn = n * (a1 + an) / 2其中，an为等差数列的第n项。
3. 应用等差数列的公式解决实际问题等差数列的公式可以应用于很多实际问题中，例如：1.求和问题：某人每天存钱，第一天存1元，第二天存2元，第三天存3元，以此类推，到第30天时，他一共存了多少钱？解法：这是一个等差数列，首项为1，公差为1，共有30项。
根据等差数列的前n项和公式，可得：Sn = 30 * (1 + 30) / 2 = 465所以，他一共存了465元。
2.求项数问题：一个等差数列的首项为3，公差为4，如果它的第n项为35，求n是多少？解法：根据等差数列的通项公式，可得：an = a1 + (n - 1) * d35 = 3 + (n - 1) * 4n = 9所以，该等差数列的第9项为35。
五、教学方法1.讲解法：通过讲解等差数列的概念、性质、通项公式和求和公式，让学生掌握等差数列的基本知识；2.案例法：通过实际问题的案例，让学生应用等差数列的公式解决问题，提高学生的实际应用能力；3.练习法：通过大量的练习题，让学生巩固等差数列的公式和应用能力。
《等差数列求和公式》教案
《等差数列求和公式》教案教案：等差数列求和公式一、教学目标：1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式和部分和公式；2.能够根据所给的等差数列求出其前n项的和。
二、教学重点：1.等差数列的通项公式和部分和公式的掌握；2.能够根据实际问题应用等差数列的求和公式。
三、教学难点：1.等差数列部分和公式的推导；2.将实际问题转化为等差数列的求和问题。
四、教学过程：1.情境导入（5分钟）教师展示一段视频：小明每天放学回家都会经过一家自动贩卖机，他每天都会从自动贩卖机里买一瓶饮料。
他发现，每天他付的饮料价格比前一天多2元。
请大家思考一下，小明连续买了n天的饮料，他总共花费了多少钱呢？2.理解等差数列的概念（10分钟）教师引导学生思考，并给予提示，帮助学生定义等差数列：等差数列：指一个数列中，从第二项起，每一项与前一项的差都相等。
这个相等的差叫做公差。
学生根据提示得出答案并讨论。
3.推导等差数列的通项公式（15分钟）教师通过提问引导学生思考，帮助学生推导出等差数列的通项公式：设等差数列的首项为a1，公差为d，第n项为an；由等差数列的定义可知：a2=a1+da3=a2+d=a1+2da4=a3+d=a1+3d……an = a1 + (n-1)d4.理解等差数列的部分和公式（15分钟）教师通过引导学生思考推导出等差数列的部分和公式：等差数列的前n项和Sn = a1 + a2 + a3 + … + an又a1 + an = a2 + an-1 = a3 + an-2 = … = an-1 + a2 = an +a1由此可以得出：2Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + … + (an + a1)Sn = (a1 + an) × n/25.运用等差数列求和公式解题（30分钟）教师给学生提供一些实际问题，引导学生运用等差数列求和公式解决问题。
例如：小明连续买了n天的饮料，第一天他支付了2元，第二天支付了4元，第三天支付了6元，以此类推，请计算小明总共支付的饮料费用。
等差数列求和公式讲解
等差数列求和公式讲解等差数列求和公式，这可是数学中的一个重要知识点啊！咱们先来说说啥是等差数列。
比如说，1，3，5，7，9 这样的数列，每一项跟前一项的差值都一样，这个差值就叫公差。
那求和公式是啥呢？就是“和 = （首项 + 末项）×项数÷ 2”。
我给您举个例子来说明这个公式怎么用。
有一天我去逛超市，看到货架上摆着一排巧克力，第一块巧克力 2 元，往后每块都比前一块多 1 元，一直到第 10 块。
这时候咱们就可以用等差数列求和来算算这 10块巧克力总共值多少钱。
首项就是第一块巧克力的价格 2 元，末项就是第 10 块巧克力的价格 2 + （10 - 1）× 1 = 11 元，项数就是 10 。
那总价就是（2 + 11）× 10 ÷ 2 = 65 元。
咱们再深入理解一下这个公式。
为啥要乘以项数再除以 2 呢？您想想，把这个数列的第一项和最后一项相加，第二项和倒数第二项相加，第三项和倒数第三项相加……是不是每一组的和都一样呀？而且正好能组成项数的一半那么多组。
所以就得乘以项数再除以 2 啦。
在解题的时候，一定要看清楚题目给的条件，找准首项、末项和项数。
比如说，有个数列 5，8，11，14，……一直到第 20 项，让咱们求总和。
首项是 5，公差是 3，那末项就是 5 + （20 - 1）× 3 = 62 。
然后就能用求和公式算出总和啦。
再比如，有一道题说一个等差数列的前 5 项和是 75，首项是 5，公差是 4，让咱们求末项。
咱们先用求和公式反推出（首项 + 末项）的值，也就是 75 × 2 ÷ 5 = 30 。
首项是 5 ，那末项就是 30 - 5 = 25 。
学习等差数列求和公式，就像是掌握了一把解题的神奇钥匙。
在面对各种各样的题目时，只要咱们能灵活运用这个公式，就能轻松找到答案。
您可别觉得这公式难，多做几道题，多琢磨琢磨，您就能发现其中的乐趣和窍门。
等差数列求和公式教学大纲
等差数列求和公式教学大纲等差数列求和公式教学大纲引言：等差数列是数学中一个重要的概念，它在数学和实际生活中都有广泛的应用。
在学习等差数列时，求和公式是一个重要的工具，可以用来简化计算过程。
本文将介绍等差数列求和公式的教学大纲，帮助学生更好地理解和运用这一概念。
一、等差数列的定义和性质：1. 等差数列的定义：等差数列是指数列中任意两个相邻项之差都相等的数列。
2. 等差数列的通项公式：设等差数列的首项为a，公差为d，第n项为an，则通项公式为an = a + (n-1)d。
3. 等差数列的性质：等差数列的首项、末项、项数、公差之间存在一定的关系，可以通过这些关系来求解问题。
二、等差数列求和公式的推导：1. 首先，我们先来推导等差数列求和公式的一般形式。
2. 假设等差数列的首项为a，末项为l，项数为n，则有l = a + (n-1)d。
3. 将等差数列按照首项和末项的大小排列，可以得到等差数列的和为S = (a + l) * n / 2。
4. 将l代入上式，可以得到S = (a + a + (n-1)d) * n / 2。
5. 化简上式，得到S = (2a + (n-1)d) * n / 2。
6. 继续化简，得到S = (2a + (n-1)d) * n / 2 = (2an + (n-1)dn) / 2 = (an + an + (n-1)dn) / 2 = (an + l) * n / 2。
7. 因此，等差数列的和公式为S = (an + l) * n / 2。
三、等差数列求和公式的应用：1. 计算等差数列的和：通过等差数列求和公式，可以简化计算过程，快速求得等差数列的和。
2. 解决实际问题：等差数列的求和公式在实际生活中也有广泛的应用。
例如，可以用来计算连续多天的温度变化总和，或者计算连续多天的销售额总和等。
结论：通过学习等差数列求和公式的教学大纲，学生可以更好地理解等差数列的概念和性质，掌握等差数列求和的方法和技巧。
等差数列求和详细教案
等差数列求和详细教案一、教学目标1. 知识目标：掌握等差数列的概念及公式，掌握等差数列求和公式的推导过程和应用方法。
2. 技能目标：能够应用等差数列求和公式解决实际问题，培养学生分析和解决问题的能力。
3. 情感目标：通过学习和实践，提高学生的数学能力和自信心，培养学生发现规律和思考的能力。
二、教学重难点1. 重点：等差数列的概念、公式和性质。
2. 难点：等差数列求和公式的推导和应用。
三、教学内容及时间安排1. 等差数列的概念及公式（20分钟）a. 等差数列的定义和性质；b. 公差的定义和计算方法；c. 等差数列通项公式；d. 常用的等差数列公式，如前n项和、通项和、中项等。
2. 等差数列求和公式的推导（30分钟）a. 初步推导：前n项和Sn(n≥1)的个数是n项，每项的平均值为(a1+an)/2，因此Sn=n(a1+an)/2；b. 深入推导：将Sn表示为n项的和，通过把每一项和其对应的项相加，得到Sn=n(a1+an)/2。
3. 等差数列求和公式的应用（30分钟）a. 常见的求和类型：求前n项和、通项和、中项等；b. 实际问题的应用：如阶梯状收入、等差数列补缺等。
4. 练习与讲评（40分钟）a. 练习：课后练习题；b. 讲评：分析解题思路，提高解决问题的能力。
五、教学资源黑板、彩色粉笔、PPT、课件、练习题六、教学过程一、引入（5分钟）教师通过引入生活中的实际问题，如等差数列补缺，引起学生的兴趣。
引导学生自主思考，回顾巩固等差数列的基本概念和公式。
二、讲解等差数列的概念及公式（20分钟）1. 等差数列的定义和性质定义：如果一个数列从第二项开始，每一项与它的前一项之差都相等，那么这个数列就是等差数列。
性质：等差数列各项的和等于项数乘以首项与末项的平均数。
2. 公差的定义和计算方法定义：等差数列中相邻两项之间的差叫做公差。
计算方法：公差等于任意两项之差。
3. 等差数列的通项公式通项公式：an=a1+(n-1)d其中，an表示等差数列的第n项，a1表示首项，d表示公差。
《等差数列求和公式》教案
《等差数列求和公式》教案等差数列求和公式教案一、教学目标1. 理解等差数列的概念及性质；2. 掌握等差数列前n项和的求法；3. 运用等差数列求和公式解决实际问题。
二、教学内容1. 等差数列的定义与性质；2. 等差数列前n项和的求法；3. 等差数列求和公式的推导；4. 实际问题的应用。
三、教学过程步骤一：引入通过提问的方式，激发学生对等差数列求和的兴趣。
例如，你有没有注意到日常生活中有哪些常见的等差数列呢？请举例说明。
步骤二：概念解释详细解释等差数列的定义，即指每一项与它的前一项之差都相等。
并介绍等差数列的性质，如公差、首项和通项公式。
步骤三：前n项和的求法1. 引导学生通过列出几个等差数列的前几项来发现规律；2. 提示学生观察等差数列前n项的和与首项、末项相关的特点；3. 教导学生通过计算等差数列前n项的和来掌握具体的求和方法。
步骤四：等差数列求和公式的推导1. 提供正推法与逆推法两种方法，让学生体会不同方法的可行性；2. 通过具体例子，引导学生观察、总结出等差数列求和公式的一般形式；3. 对等差数列求和公式的推导进行解释，使学生理解推导的过程。
步骤五：应用实际问题引导学生将等差数列求和公式应用到实际问题中。
例如，小明每天走路去学校，第一天走了2000米，之后每天多走100米，一共走了10天，问小明这10天内走了多少米？四、教学方法1. 探究式教学：通过观察、总结规律的方式引导学生自主研究；2. 讲解与实践相结合：通过具体例子的讲解，加深学生对知识点的理解；3. 个案辅导：根据学生的不同问题，进行个别指导。
五、教学评估1. 教师观察法：根据学生的课堂表现和问题解答情况，评估学生的理解情况；2. 书面测试：进行等差数列求和的计算和问题解答等形式的书面测试。
六、教学延伸1. 引导学生运用等差数列求和公式解决更复杂的问题；2. 提供更多例题和练，加强学生对等差数列求和公式的运用能力。
七、教学资源1. 教学课件：包含等差数列的定义、性质和求和公式推导等内容；2. 计算器。
等差数列的通项与求和公式教案
等差数列的通项与求和公式教案一、引言等差数列是数学中常见而重要的数列之一。
在学习等差数列时，了解其通项与求和公式是十分关键的。
本教案旨在帮助学生全面理解等差数列的通项与求和公式，并能够熟练运用于实际问题中。
二、基本概念1. 等差数列：数列中任意两个连续的项之差都相等，这个公差称为等差数列的公差，通常用d表示。
2. 通项：等差数列中第n项的公式，我们称其为通项，通常用an 表示。
3. 求和：等差数列前n项和的公式，我们称其为求和公式，通常用Sn表示。
三、等差数列的通项公式要找到等差数列的通项公式，我们首先要知道数列的首项和公差。
我们可以通过观察数列中的规律或者已知的条件来确定首项和公差。
1. 已知首项和公差的情况下：设首项为a1，公差为d，则等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d2. 已知任意两项的情况下：设第m项为am，第n项为an，等差数列的通项公式为：an = am+ (n - m)d四、等差数列的求和公式针对等差数列的前n项和，我们可以通过求和公式进行计算，而无需逐项相加。
1. 等差数列的前n项和公式：设等差数列的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，则有：Sn = (n/2) * (a1 + an)= (n/2) * (2a1 + (n - 1)d)= (n/2) * (a1 + a1 + (n - 1)d)= (n/2) * (2a1 + (n - 1)d)2. 根据求和公式，我们可以计算等差数列的前n项和。
五、案例分析下面通过一个具体的案例来帮助学生理解等差数列的通项与求和公式的应用。
案例：某商场每天销售的商品数量呈等差数列，第一天销售10件，公差为5，求第30天的销售数量以及前30天的销售总量。
解析：根据已知条件，可得首项a1为10，公差d为5。
根据通项公式，我们可以计算得到第30天的销售数量为：a30 = a1 + (n-1)d= 10 + (30-1) * 5= 155根据求和公式，我们可以计算出前30天的销售总量：S30 = (n/2) * (a1 + an)= (30/2) * (10 + 155)= 30 * 165= 4950六、总结等差数列的通项与求和公式在数学中有着广泛的应用。
等差数列前n项和的公式教案
等差数列前n项和的公式教案一、引言等差数列是数学中常见且重要的概念之一。
在解决与等差数列相关的问题时，求等差数列前n项和是一个常见的计算需求。
本文将介绍等差数列前n项和的公式，以及如何应用该公式解决相关问题。
二、等差数列的定义等差数列是指在数列中，任意两个相邻的项之差都相等的数列。
通常用字母a表示首项，d表示公差，n表示项数，则等差数列的通项公式为an = a + (n - 1)d。
三、等差数列前n项和的公式推导要求等差数列前n项和，可以利用数列的求和公式。
设等差数列的首项为a，公差为d，前n项和为Sn。
根据数列的性质，可将Sn表示为：Sn = a + (a + d) + (a + 2d) + ... + (a + (n-1)d)或将Sn表示为：Sn = (a + (n-1)d) + (a + (n-2)d) + ... + (a + d) + a（1）接下来，我们将(1)式两边相加，得到：2Sn = (2a + (n-1)d) + (2a + (n-1)d) + ... + (2a + (n-1)d)即：2Sn = n(2a + (n-1)d)（2）通过(2)式，我们可以得到等差数列前n项和的公式：Sn = n/2(2a + (n-1)d)（3）四、等差数列前n项和公式的应用根据等差数列前n项和的公式(3)，我们可以应用于各种与等差数列有关的问题中。
下面，我们通过几个具体的例子来说明公式的应用。
例子1：已知等差数列的首项a为3，公差d为4，求前10项的和Sn。
解：根据公式(3)，代入a=3，d=4，n=10，我们可以得到：Sn = 10/2(2×3 + (10-1)×4)= 5[6 + 36]= 5×42= 210所以，前10项的和Sn为210。
例子2：已知等差数列的首项a为1，公差d为2，求前20项的和Sn。
解：根据公式(3)，代入a=1，d=2，n=20，我们可以得到：Sn = 20/2(2×1 + (20-1)×2)= 10[2 + 38]= 10×40= 400所以，前20项的和Sn为400。
等差数列求和教案
一、教案简介本教案主要介绍了等差数列求和的基本概念、方法及其应用。
通过本章的学习，使学生掌握等差数列求和公式，能够熟练运用等差数列求和的方法解决实际问题。
二、教学目标1. 理解等差数列求和的概念；2. 掌握等差数列求和公式；3. 学会运用等差数列求和的方法解决实际问题；4. 培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
三、教学内容1. 等差数列求和的概念；2. 等差数列求和公式的推导；3. 等差数列求和的方法及步骤；4. 等差数列求和的应用。
四、教学重点与难点1. 等差数列求和公式的记忆与运用；2. 理解等差数列求和的方法及步骤；3. 解决实际问题时，找出等差数列的规律。
五、教学方法与手段1. 采用讲解、示范、练习、讨论相结合的方法；2. 利用多媒体课件，直观展示等差数列求和的过程；3. 设置丰富的练习题，巩固所学知识。
一、等差数列求和的概念等差数列求和是指将一个等差数列的所有项相加，得到一个数值。
例如，对于等差数列2, 5, 8, 11, 14，其求和为2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40。
二、等差数列求和公式的推导设等差数列的首项为a1，末项为an，公差为d，项数为n，则等差数列求和公式为：S = n/2 (a1 + an)或S = n/2 (2a1 + (n 1)d)三、等差数列求和的方法及步骤1. 确定等差数列的首项a1、末项an、公差d和项数n；2. 运用求和公式计算等差数列的和S；3. 检查计算结果，确保无误。
四、等差数列求和的应用1. 计算等差数列的和；2. 解决实际问题，如求解等差数列的前n项和；3. 找出等差数列的规律，提高计算速度和准确性。
希望这份教案能对您的教学有所帮助。
如有需要，请随时向我提问，我会尽力为您提供支持。
六、教学过程1. 引入新课：通过讲解等差数列的概念，引导学生思考等差数列的求和问题；2. 讲解等差数列求和公式：详细解释公式中的各个参数，并通过示例进行演示；3. 课堂练习：布置一些简单的等差数列求和问题，让学生独立解决；4. 应用拓展：结合实际问题，让学生运用等差数列求和公式解决问题；5. 总结归纳：对本节课的内容进行总结，强调重点和难点。
等差数列的求和公式与应用
等差数列的求和公式与应用等差数列是指数列中的相邻两项之差恒定的数列。
对于等差数列的求和，有一种常用的公式可以帮助我们快速求解。
本文将介绍等差数列的求和公式及其应用。
1. 等差数列的求和公式设等差数列的首项为a，公差为d，项数为n。
等差数列的求和公式如下：Sn = (n/2) * (2a + (n-1)d)其中，Sn表示等差数列的前n项和。
2. 推导等差数列的求和公式为了推导等差数列的求和公式，我们可以先将等差数列从前往后和从后往前相加，可以得到以下结果：S = a + (a+d) + (a+2d) + ... + [a+(n-2)d] + [a+(n-1)d] （式1）S = [a+(n-1)d] + [a+(n-2)d] + ... + (a+2d) + (a+d) + a （式2）将式1和式2相加，每一对括号内的数和相加后，得到：2S = (n * a + n * (n-1) * d)化简后得到：S = (n/2) * (2a + (n-1)d)3. 等差数列求和公式的应用等差数列的求和公式在数学中有着广泛的应用。
3.1 等差数列的项数求解已知等差数列的首项、公差和前n项和，我们可以利用求和公式来求解等差数列的项数n。
将已知的值代入求和公式，解方程即可得到项数n的值。
3.2 等差数列的前n项和求解已知等差数列的首项、公差和项数，我们可以利用求和公式来求解等差数列的前n项和。
将已知的值代入求和公式，利用代数运算求得前n项和的值。
3.3 应用于数学问题的解答等差数列的求和公式在解决数学问题时也起到了重要的作用。
通过建立等差数列的求和方程，我们可以利用已知条件来求解未知数，解决各类数学问题。
例如，求某个等差数列中的特定项数，或者求等差数列的某几项和等于某个给定值等等。
4. 等差数列求和公式示例为了帮助更好地理解等差数列的求和公式和应用，以下是一个具体的例子：例：求等差数列3, 6, 9, 12, 15的前4项和。
《等差数列求和公式》详细教案
《等差数列求和公式》详细教案第一章：等差数列的概念1.1 等差数列的定义解释等差数列的定义，即数列中每一项与它前一项的差是一个常数。
通过示例来让学生理解等差数列的特点。
1.2 等差数列的性质介绍等差数列的性质，包括：1) 任何两个连续项的差是常数。
2) 等差数列中任意一项都可以用首项和公差表示。
第二章：等差数列的通项公式2.1 通项公式的推导引导学生通过观察等差数列的性质，推导出通项公式。
解释通项公式中各项的物理意义。
2.2 应用通项公式求等差数列的项教授如何使用通项公式来求等差数列中任意一项的值。
提供练习题，让学生巩固通项公式的应用。
第三章：等差数列的前n项和公式3.1 前n项和的定义解释等差数列的前n项和是指数列中前n项的和。
强调前n项和公式的意义和应用。
3.2 等差数列的前n项和公式的推导通过数学推导，引导学生得出等差数列的前n项和公式。
解释公式中各项的物理意义。
第四章：应用前n项和公式求等差数列的和3.1 应用前n项和公式求等差数列的和教授如何使用前n项和公式来求等差数列的和。
提供练习题，让学生巩固前n项和公式的应用。
3.2 拓展练习提供一些拓展练习题，让学生更好地理解和应用等差数列的前n项和公式。
第五章：总结与复习5.1 总结对本节课的内容进行总结，回顾等差数列的概念、通项公式和前n项和公式的推导过程。
强调等差数列的性质和公式的应用。
5.2 复习练习提供一些复习练习题，让学生巩固本节课所学的知识和技能。
第六章：等差数列的图形表示6.1 等差数列的图形特征介绍等差数列的图形表示方法，包括数列项的连线和数列曲线的特点。
强调图形表示在理解等差数列性质方面的重要性。
6.2 等差数列前n项和的图形表示解释如何通过图形来表示等差数列的前n项和。
提供练习题，让学生通过图形来求解等差数列的和。
第七章：等差数列的实际应用7.1 等差数列在实际问题中的应用通过实际问题引入等差数列的应用，如计算存款利息、统计数据等。
等差数列求和公式教学设计
等差数列求和公式教学设计简介本文档旨在设计一篇关于等差数列求和公式教学的教案。
通过本教案的实施，学生将能够理解并正确应用等差数列求和公式，提高其数学解题能力。
本教案适用于中学阶段，针对九年级学生。
教学目标- 学生能够理解等差数列的定义和性质。
- 学生能够熟练运用等差数列求和公式进行计算。
- 学生能够应用等差数列求和公式解决实际问题。
教学内容1. 等差数列的定义和性质- 等差数列的定义和基本术语（首项、公差）- 等差数列的通项公式和前n项和公式的推导2. 等差数列求和公式的应用- 熟练掌握等差数列求和公式的计算方法- 学生通过练题加深对等差数列求和公式的理解和应用3. 实际问题的应用- 通过生活中的实际问题，引导学生将等差数列求和公式应用于实际解决问题的场景- 学生通过解决实际问题，提升对等差数列求和公式的应用能力教学方法1. 讲授法：教师通过讲解等差数列的定义和性质，引导学生理解等差数列的概念。
同时，教师通过推导等差数列求和公式，帮助学生理解公式的来由和计算方法。
2. 练法：教师设计一系列练题，让学生在课堂上进行练，以巩固对等差数列求和公式的掌握。
3. 情景模拟法：教师设计一些实际问题，让学生应用等差数列求和公式解决问题。
通过实际问题的解决，培养学生的实际应用能力。
教学步骤1. 导入：教师简要介绍等差数列的概念，并引入等差数列求和公式的话题。
2. 讲解：教师讲解等差数列的定义和性质，并推导等差数列求和公式。
3. 示例：教师通过示例演示如何应用等差数列求和公式进行计算。
4. 练：教师设计一些练题，让学生在课堂上进行练，并进行讲解和答疑。
5. 实际问题应用：教师设计一些实际问题，让学生应用等差数列求和公式解决问题，并进行讲解和讨论。
6. 总结：教师总结本节课的内容，并强调等差数列求和公式的重要性和实际应用。
教学评估1. 练评估：通过课堂上的练题，检查学生对等差数列求和公式的掌握情况。
2. 实际问题评估：通过学生对实际问题的解决，评估其应用等差数列求和公式解决问题的能力。
等差数列的求和教案
等差数列的求和教案一、引言等差数列是数学中常见且重要的概念，在数列中起着重要作用。
学生应该掌握等差数列的定义和性质，并能够运用求和公式解决相关问题。
本教案旨在引导学生了解等差数列的求和方法。
二、知识概述1. 等差数列的定义：等差数列是指数列中相邻的两个数之差都相等。
设数列的首项为 a₁，公差为 d，那么等差数列的一般形式为： a₁, a₁ + d, a₁ + 2d, ..., a₁ + (n-1)d其中 n 表示数列的项数。
2. 等差数列的求和公式：设等差数列的首项为 a₁，末项为 aₙ，项数为 n，则等差数列的和 S 可以表示为：S = n/2 * (a₁ + aₙ)三、教学步骤1. 引入知识点：提问：什么是等差数列？有什么特点？学生回答：等差数列是数列中相邻的两个数之差都相等的数列。
特点是公差恒定。
教师解释：非常好！我们在数列中可以通过观察发现相邻的两个数之差恒定，这就是等差数列的特点。
2. 讲解求和公式：教师解释：在解决等差数列的求和问题时，可以运用求和公式。
请看下面的公式：S = n/2 * (a₁ + aₙ)学生提问：公式中的 n、a₁、aₙ 代表什么意思？教师回答：n 表示数列的项数，a₁表示数列的首项，aₙ 表示数列的末项。
3. 实例演练：教师出示一个等差数列的例子，如：1, 4, 7, 10, ..., 100。
求这个数列的前 10 项的和。
学生思考并计算，得出答案：550。
教师解释：我们可以利用求和公式来解决这个问题。
首项 a₁为 1，末项 aₙ 为 28，项数 n 为 10。
S = 10/2 * (1 + 28) = 5504. 练习题：教师提供多个等差数列的求和练习题，让学生独立计算并解答。
a) 3, 8, 13, 18, ..., 98。
求前 10 项的和。
b) 20, 16, 12, 8, ..., -28。
求前 9 项的和。
c) 7, 11, 15, 19, ..., 79。
《等差数列前n项和的性质》课件教学文案
2．若一个等差数列{an}的前3项和为34，最后3项的和为146， 且所有项的和为390，则这个数列有( )
A．13项
B．12项
C．11项
D．10项
解析： a1＋a2＋a3＋an－2＋an－1＋an＝34＋146＝180， 所以 3(a1＋an)＝180，即 a1＋an＝60. 由 Sn＝390，知na12＋an＝390， 所以n×260＝390，解得 n＝13.故选 A. 答案： A
故此数列的前 110 项之和为－110.
方法二：设 Sn＝an2＋bn，∵S10＝100，S100＝10，
∴110020a2＋a＋101b0＝0b1＝0010 ⇒ab＝ ＝－ 1110111010
，
∴Sn＝－11010n2＋11101n，
∴S110＝－11010×1102＋11101×110＝－110.
已知数列{an}为等差数列，其前12项和354，在前12项中， 偶数项之和与奇数项之和的比为32∶27，求这个数列的通项公 式．
利用等差数列前n项和公式列方程组求解或根据等差数列的 奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等差数列求解．
[规范作答] 方法一：由等差数列的性质可知奇数项 a1， a3，a5，…，a11 与偶数项 a2，a4，a6，…，a12 仍然成等差数 列，2 分
设{an}的首项为 a1，公差为 d，则 S 偶＝a2×6＋6×2 5×2d＝6a1＋36d，4 分 S 奇＝a1×6＋6×2 5×2d＝6a1＋30d，6 分
12a1＋66d＝354， ∴66aa11＋＋3360dd＝3227，
解得ad1＝＝52.， 10 分
∴an＝a1＋(n－1)d＝5n－3.12 分 方法二：设奇数项与偶数项的和分别为 S 奇，S 偶，
等差数列求和 高思竞赛数学课本
等差数列求和高思竞赛数学课本
等差数列求和是数学中一个重要的概念，在有关应用领域中经常被用到。
通过扩大和简化数学计算，它为金融、物理和其他科学研究领域带来了巨大帮助。
本文将从概念、原理、应用三方面介绍等差数列求和，并结合高思数学课本，详细介绍等差数列求和在高思竞赛数学课本中的运用。
等差数列求和的概念是指将等差数列的前n项的和求出来，其公式为Sn=n(a1+an)/2，其中a1和an分别表示数列的第一项和最后一项，n表示数列的项数。
等差数列求和的原理可以归结为三个基本定理：第一个定理：如果一个数列是等差的，那么它的前n项和为Sn=n(a1+an)/2。
第二个定理：如果一个数列的第n项为正无穷，则它的前n项和也为正无穷，即Sn=正无穷。
第三个定理：如果一个数列的前n项和为正无穷，则它的第n项也为正无穷，即an=正无穷。
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《等差数列求和公式》教案
等差数列求和公式一、教材分析：数列在生产实际中的应用范围很广，而且是培养学生发现、认识、分析、综合等能力的重要题材，同时也是学生进一步学习数学的必备的基础知识。
二、学生分析：数列在对于我们的学生来说是难点，因为学生对于这部分仅有初中学的简单函数作为基础，所以新课的引入非常重要三、教学目标：1．与技能目标：掌握等差数列前n项和公式，能较熟练应用等差数列前n 项和公式求和。
2．过程与方法目标：培养学生观察、归纳能力，应用数学公式的能力及渗透函数、方程的思想。
3．情感、态度与价值观目标：体验从特殊到一般，又到特殊的认识事物的规律，培养学生勇于创新的科学精神。
四、教学重点与难点：等差数列前n项和公式是重点。
获得等差数列前n项和公式推导的思路是难点。
课堂系统部分：五、教学过程1．问题呈现泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。
陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。
传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图），问题1：你知道这个图案一共花了多少宝石吗？2：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？也就是联想到“首尾配对”摆出几何图形,,如何将图与高斯的逆序相加结合起来,让,将两个三角形拼成平行四边形.获得算法：设计说明：•源于历史，富有人文气息. 21(121)212s+⨯=• 图中算数，激发学习兴趣.这一个问题旨在让学生初步形成数形结合的思想,这是在高中数学学习中非常重要的思想方法.借助图形理解逆序相加,也为后面公式的推导打下基础.2．探究发现：问题3： 由前面的例子，不难用逆序相加法推出3．公式应用例题1：20XX 年北京奥运会的体育馆已初步建成，其中有一块地的方砖成扇形铺开，有人数了第一排的方砖个数为10个，最后一排的方砖个数为2008个，而且一共有36排，问这一块地的方砖有多少块？本例提供了许多数据，学生可以从题目条件发现，只告知了首项、尾项和项数，于是从这一方向出发，可知使用公式1，达到学生熟悉公式的要素与结构的教学目的。
等差数列前n项和自学案
等差数列前n 项和自学案一个数列的和就是将一个数列的各项依次用「+」号连接。
例如：1，5，25，125，625为一个数列，而1+5+25+125+625就是一个数列的和。
因此，一个等差数列的和就是将一个等差数列的各项依次用「+」号连接。
例如：1+4+7+10为一个等差数列的和。
如果一个等差数列共有n 项，其首项为a 1，末项为a n ，公差为d ，则这个等差数列的和通常以S n 表示，即S n = a 1+a 2+a 3+…+a n 。
由S n = a 1+(a 1+d )+(a 1+2d )+…+[a 1+(n -1)d ]○1 将○1式等号右边各项的顺序重新排列成为 S n = [a 1+(n -1)d ]+…+(a 1+2d )+(a 1+d )+a 1，○2 再将○1、○2两式相加，即可得到： 2S n = [2a 1+(n -1)d ]+[2a 1+(n -1)d ]+…+[2a 1+(n -1)d ]2S n = n [2a 1+(n -1)d ] ⇒ S n =[]2)1(21d n a n -+ ⇒ S n =2)(1n a a n + 如果已经知道等差数列的首项，公差和项数，就可用下列的公式来求等差数列的和：S n =[]2)1(21d n a n -+ 当然，如果已经知道等差数列的首项，末项和项数，就可用下列的公式来求等差数列的和：S n =2)(1n a a n + 【范例1】(1) 已知一等差数列的首项为3且公差5，求前20项的和。
(2) 求等差数列-16+(-13)+(-10)+…+第十五项的和。
(3) 求等差数列18+21+24+…+45的和。
【解】 (1) ∵ 首项a 1 = 3，公差d = 5，项数n = 20∴ []120202(201)2a d S +-==[]25)120(3220-+⨯=1010 (2) ∵ 首项a 1=16，公差d =-13-(-16)=3∴ 15S =[]1152(151)2a d +-=[]23)115()16(215⨯-+-⨯=75 (3) 假设此数列共有n 项。
《等差数列求和公式》教案#(精选.)
等差数列求和公式教学目标1．知识目标(1)掌握等差数列前n 项和公式，理解公式的推导方法；(2)能较熟练应用等差数列前n 项和公式求和。
2．能力目标经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思和逻辑推理的能力。
3．情感目标通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功。
学生已学等差数列的通项公式，对等差数列已有一定的认知。
教学重点、难点1．等差数列前n 项和公式是重点。
2．获得等差数列前n 项和公式推导的思路是难点。
教学过程复习回顾：1．等差数列的定义；2．等差数列的通项公式。
新课引入：问题一：介绍德国著名数学家高斯，相传高斯在10岁那年他的算术老师给他出了一道算术题：1+2+3+…+100=？。
结果高斯很快就算出了答案，你知道高斯是怎么很快的算出结果的吗？请同学起来回答，如何进行首尾配对求和：123...100n S =++++=(1100)(299)...(5051)+++++=10011002+⋅（）=5050.师：非常好！这位同学和数学家高斯一样聪明！这里高斯的配对法就是采用的“首尾配对法”。
师：这里1,2,3，…，100这是一个什么数列？生：等差数列。
师：这里123...100++++就是在求一个等差数列的和的问题。
引出课题：7.2.2等差数列求和。
一、数列的前n 项和意义一般地，设有数列123,,,,,n a a a a …,我们把123n a a a a ++++叫做数列{}n a 的前n 项和，记作n S ．即123n n S a a a a =++++． 问题二：（课件出示印度泰姬陵的图片），介绍传说中的泰姬陵陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共21层。
你知道镶饰这个图案一共花了多少宝石吗？学生回答：即求2112321S =++++。
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等差数列求和公式Sn=n(a1+an)/2 或Sn=a1*n+n(n-1)d/2 注：an=a1+(n-1)d 转换过程：Sn=n(a1+an)/2=n{a1+[a1+(n-1)d]}/2=n[2a1+(n-1)d]/2=[2na1+n(n-1)d]/2 应该是对于任一N均成立吧（一定）,那么Sn-Sn-1=[n(a1+an)-(n-1)(a1+an-1)]/2=[a1+n*an-(n-1)*an-1]/2= an化简得(n-1)an-1-(n-2)an=a1,这对于任一N均成立当n取n-1时式子变为,(n-3)an-1-(n-2)an-2=a1=(n-2)an-(n-1)an-1得2(n-2)an-1=(n-2)*(an+an-2)当n大于2时得2an-1=an+an-2 显然证得它是等差数列和＝（首项＋末项）×项数÷2项数＝（末项-首项）÷公差＋1首项=2和÷项数-末项末项=2和÷项数-首项末项=首项+（项数-1）×公差性质：等差数列求是求数列中所有项的和若m、n、p、q∈N①若m＋n=p＋q，则am+an=ap+aq②若m+n=2q，则am+an=2aq二、例题例1 用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？分析∵要求的数去除30、60、75都能整除，∴要求的数是30、60、75的公约数。
又∵要求符合条件的最大的数，∴就是求30、60、75的最大公约数。
解：∵（30，60，75）=5×3=15这个数最大是15。
例2 一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？分析由题意可知，要求的数是3、4、5的公倍数，且是最小的公倍数。
解：∵［3，4，5］=3×4×5=60，∴用3、4、5除都能整除的最小的数是60。
例3 有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米.现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？分析∵要截成相等的小段，且无剩余，∴每段长度必是120、180和300的公约数。
又∵每段要尽可能长，∴要求的每段长度就是120、180和300的最大公约数.（120，180，300）=30×2=60∴每小段最长60厘米。
120÷60+180÷60+300÷60=2＋3＋5=10（段）答：每段最长60厘米，一共可以截成10段。
例4 加工某种机器零件，要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？分析要使加工生产均衡，各道工序生产的零件总数应是3、10和5的公倍数.要求三道工序“至少”要多少工人，要先求3、10和5的最小公倍数。
［3，10，5］=5×3×2=30∴各道工序均应加130个零件。
30÷3=10（人）30÷10=3（人）30÷5=6（人）答：第一道工序至少要分配10人，第二道工序至少要分配3人，第三道工序至少要分配6人。
例5 一次会餐供有三种饮料.餐后统计，三种饮料共用了65瓶；平均每2个人饮用一瓶A饮料，每3人饮用一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料.问参加会餐的人数是多少人？分析由题意可知，参加会餐人数应是2、3、4的公倍数。
解：∵[2，3，4]=12∴参加会餐人数应是12的倍数。
又∵12÷2+12÷3+12÷4=6+4+3=13（瓶），∴可见12个人要用6瓶A饮料，4瓶B饮料，3瓶C饮料，共用13瓶饮料。
又∵65÷13=5，∴参加会餐的总人数应是12的5倍，12×5=60（人）。
答：参加会餐的总人数是60人。
例3 某年的十月里有5个星期六，4个星期日，问这年的10月1日是星期几？解：十月份共有31天，每周共有7天，∵31=7×4+3，∴根据题意可知：有5天的星期数必然是星期四、星期五和星期六。
∴这年的10月1日是星期四。
例4 3月18日是星期日，从3月17日作为第一天开始往回数（即3月16日（第二天），15日（第三天），…）的第1993天是星期几？解：每周有7天，1993÷7=284（周）…5（天），从星期日往回数5天是星期二，所以第1993天必是星期二.面我们讲到除法中被除数和除数的整除问题.除此之外，例如：16÷3=5…1，即16=5×3+1.此时，被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数的除法。
一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b，使得a=b×q+r。
当r=0时，我们称a能被b整除。
当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）.用带余除式又可以表示为a÷b=q…r，0≤r＜b。
例1 一个两位数去除251，得到的余数是41.求这个两位数。
分析这是一道带余除法题，且要求的数是大于41的两位数.解题可从带余除式入手分析。
解：∵被除数÷除数=商…余数，即被除数=除数×商+余数，∴251=除数×商+41，251-41=除数×商，∴210=除数×商。
∵210=2×3×5×7，∴210的两位数的约数有10、14、15、21、30、35、42、70，其中42和70大于余数41.所以除数是4 2或70.即要求的两位数是42或70。
例2 用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16.被除数、除数、商数与余数的和是933，求被除数和除数各是多少？解：∵被除数=除数×商+余数，即被除数=除数×40+16。
由题意可知：被除数+除数=933-40-16=877，∴（除数×40+16）+除数=877，∴除数×41=877-16，除数=861÷41，除数=21，∴被除数=21×40+16=856。
答：被除数是856，除数是21。
例3 某年的十月里有5个星期六，4个星期日，问这年的10月1日是星期几？解：十月份共有31天，每周共有7天，∵31=7×4+3，∴根据题意可知：有5天的星期数必然是星期四、星期五和星期六。
∴这年的10月1日是星期四。
例4 3月18日是星期日，从3月17日作为第一天开始往回数（即3月16日（第二天），15日（第三天），…）的第1993天是星期几？解：每周有7天，1993÷7=284（周）…5（天），从星期日往回数5天是星期二，所以第1993天必是星期二.例5 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合此条件的最小数。
这是一道古算题.它早在《孙子算经》中记有：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”关于这道题的解法，在明朝就流传着一首解题之歌：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知.”意思是，用除以3的余数乘以70，用除以5的余数乘以21，用除以7的余数乘以15，再把三个乘积相加.如果这三个数的和大于105，那么就减去105，直至小于105为止.这样就可以得到满足条件的解.其解法如下：方法1：2×70+3×21+2×15=233233-105×2=23符合条件的最小自然数是23。
例5 的解答方法不仅就这一种，还可以这样解：方法2：[3，7]+2=2323除以5恰好余3。
所以，符合条件的最小自然数是23。
方法2的思路是什么呢？让我们再来看下面两道例题。
例6 一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合条件的最小的自然数。
分析“除以5余3”即“加2后被5整除”，同样“除以6余4”即“加2后被6整除”。
解：[5，6]-2=28，即28适合前两个条件。
想：28+[5，6]×？之后能满足“7除余1”的条件？28+[5，6]×4=148，148=21×7+1，又148＜210=[5，6，7]所以，适合条件的最小的自然数是148。
例7 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，求符合条件的最小自然数。
解：想：2+3×？之后能满足“5除余3”的条件？2+3×2=8。
再想：8+[3，5]×？之后能满足“7除余4”的条件？8+[3，5]×3=53。
∴符合条件的最小的自然数是53。
归纳以上两例题的解法为：逐步满足条件法.当找到满足某个条件的数后，为了再满足另一个条件，需做数的调整，调整时注意要加上已满足条件中除数的倍数。
解这类题目还有其他方法，将会在有关“同余”部分讲到。
例8 一个布袋中装有小球若干个.如果每次取3个，最后剩1个；如果每次取5个或7个，最后都剩2个.布袋中至少有小球多少个？解：2+[5，7]×1=37（个）∵37除以3余1，除以5余2，除以7余2，∴布袋中至少有小球37个。
例9 69、90和125被某个正整数N除时，余数相同，试求N的最大值。
分析在解答此题之前，我们先来看下面的例子：15除以2余1，19除以2余1，即15和19被2除余数相同（余数都是1）。
但是19-15能被2整除.由此我们可以得到这样的结论：如果两个整数a和b，均被自然数m除，余数相同，那么这两个整数之差（大-小）一定能被m整除。
反之，如果两个整数之差恰被m整除，那么这两个整数被m除的余数一定相同。
例9可做如下解答：∵三个整数被N除余数相同，∴N｜（90-69），即N｜21，N｜（125-90），即N｜35，精品文档∴N是21和35的公约数。
∵要求N的最大值，∴N是21和35的最大公约数。
∵21和35的最大公约数是7，∴N最大是7。
习题四1.用一个自然数去除另一个自然数，不完全商是8，余数是16.被除数、除数、商、余数这四个数的和为463，求除数。
2.某数除以3余1，除以4余2，除以5余3，除以6余4，这个数最小是多少？3.某数除以8余3，除以9余4，除以12余7，在1000以内这样的数有哪几个？4.用卡车运货，每次运9袋余1袋，每次运8袋余3袋，每次运7袋余2袋.这批货至少有多少袋？5.57、96、148被某自然数除，余数相同，且不为零.求284被这个自然数除的余数.精品文档。