最近十年初二数学希望杯第15-24届试题汇总(含答案与提示)

2004年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛初二 (1)2004年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试 (5)2005年第十六届希望杯初二第1试试题 (11)2005年第十六届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (14)2006年第十七届“希望杯”全国数学邀请赛第一试 (19)2006年第十七届“希望杯’’数学邀请赛第二试 (22)2007年第十八届”希望杯“全国数学邀请赛第一试 (28)2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (31)2008年第19届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试试题 (37)2009年第二十届“希望杯”全国数学邀请赛第一试 (40)2009年第20届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (43)2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛第一试 (50)2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (52)第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试 (57)第二十二届”希望杯”全国数学邀请赛初二第2试 (59)第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试 (64)第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试 (72)第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛 (78)第24届“希望杯”全国数学邀请赛初二第二试 (81)2004年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛初二初二第1试一、选择题（每小题4分，共40分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在下面的表格内。

题号12345678910共得分答案1、小伟自制了一个小孔成像演示仪，如图1所示，在一个圆纸筒的两端分别用半透明纸和黑纸封住，并用针在黑纸的中心刺出一个小孔。

小伟将有黑纸的一端正对着竖直放置的“F”形状的光源，则他在半透明纸上观察到的像的形状是（A）（B）（C）（D）F2、代数式的化简结果是（A）（B）（C）（D）3、已知是实数，且，那么（A）31 （B）21 （C）13 （D）13或21或314、已知（＞）是两个任意质数，那么下列四个分数①；②；③；④中，总是最简分数的有（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个5、Given are real numbers, and , then the value ofis（A）4 （B）6 （C）3 （D）4or66、某出版社计划出版一套百科全书，固定成本为8万元，每印制一套需增加成本20元。

如果每套定价100元，卖出后有3成给承销商，出版社要盈利10%，那么该书至少应发行（精确到千位）（A）2千套（B）3千套（C）4千套（D）5千套7、△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C，满足3∠A＞5∠B，3∠C≤∠B，则这个三角形是（A）锐角三角形（B）直角三角形（C）钝角三角形（D）等边三角形8、如图2，正方形ABCD的面积为256，点E在AD上，点F在AB的延长线上，EC⊥FC，△CEF的面积是200，则BF的长是（A）15 （B）12 （C）11 （D）109、如图3，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点E、F分别是对角线AC、BD的中点，则（A）（B）（C）（D）10、表示不大于的最大整数，如[3.15]=3，[－2.7]=－3，[4]=4，则（A）1001 （B）2003 （C）2004 （D）1002二、A组填空题（每小题4分，共40分。

含两个空的小题，每个空2分。

）11、计算：。

12、已知。

13、已知是三个实数，且的平均数是127，的和的三分之一是78，的和的四分之一是52，那么的平均数是。

14、Given in the △ABC,a,b,c are three sides of the triangle, a=3, b=10 and perimeter of the triangle is multiple of 5, then the length of c is 。

（英汉小词典：side：边；perimeter：周长；multiple：倍数）15、某学校有学生2000名，从中随意询问200名，调查收看电视的情况，结果如下表：每周收看电视的时间t（小时）0＜t≤22＜t≤44＜t≤66＜t≤8t＞8人数1547784119则全校每周收看电视不超过6小时的人数约为。

16、如图4，等腰梯形ABCD的面积是49平方厘米，AD∥BC，且AC⊥BD，AF⊥BC，则BD= 平方厘米，AF= 平方厘米。

17、方程或。

18、已知是三个互不相同的非零实数，设；的大小关系是。

19、已知均为实数，且；。

20、小明做数学题时，发现按上述规律，第五个等式是；第n个等式是。

三、B组填空题（每小题8分，共40分。

每题两个空，每个空4分。

）21、一个三位自然数，当它分别被2、3、4、5、7除时，余数都是1，那么具有这个性质的最小三位数是；最大三位数是。

22、一个直角三角形的三条边长均为整数，已知它的一条直角边的长为15，那么另一条直角边的长有种可能，其中最大值是。

23、已知都是质数，且＞40，那么满足以上条件的最小质数p＝；。

24、用1、2、3、4、5这五个数字可以组成60个没有重复数字的三位数，那么这60个三位数的和是；这个和除以111，得到的商是。

25、如图5，正方形BCDE和ABFG的边长分别为，连接CE和CG，则图中阴影部分的面积是；CE和CG的大小关系是。

参考答案一、选择题：二、A组填空题：三、B组填空题：2004年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试一、选择题(每小题5分，共50分)1.方程|x+1|+|x-3|=4的整数解有( )(A)2个(B)3个(C)5个(D)无穷多个2.若等式对任意的x(x≠±3)恒成立，则mn=( )(A)8 (B)-8 (C)16 (D)-163.若x＞z，y＞z，则下列各式中一定成立的是( )(A)x+y＞4z (B)x+y＞3z (C)x+y＞2z (D)x+y＞z4.规定[a]表示不超过a的最大整数，当x=-1时，代数式2mx3-3nx+6的值为16，则[m-n]=( )(A)-4 (B)-3 (C)3 (D)45.如图1，在ABCD中，AC与BD相交于O，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，那么图中的全等三角形共有( )(A)5对(B)6对(C)7对(D)8对6.如图2，在直角扇形ABC内，分别以AB和AC为直径作半圆，两条半圆弧相交于点D，整个图形被分成S1，S2，S3，S4四部分，则S2和S4的大小关系是( )(A)S2＜S4 (B)S2=S4(C)S2＞S4 (D)无法确定7.Given m is a real number, and |1-m|=|m|+1，simplify an algebraic expression, then=( )(A)|m|-1 (B)-|m|+1 (C)m-1 (D)-m+1(英汉小词典simplify：化简；algebraic expression：代数式)8.二(1)班共有35名学生，其中的男生和的女生骑自行车上学，那么该班骑自行车上学的学生的人数最少是( )(A)9 (B)10 (C)11 (D)129.李编辑昨天按时间顺序先后收到A、B、C、D、E共5封电子邮件，如果他每次都是首先回复最新收到的一封电子邮件，那么在下列顺序：①BAECD②CEDBA③ACBED④DCABE中，李编辑可能回复的邮件顺序是( )(A)①和②(B)②和③(C)③和④(D)①和④10.有A、B、C三把刻度尺，它们的刻度都是从0到30个单位(单位长度各不相同)，设三把尺子的0刻度和30刻度处到尺子边缘的长度可以忽略不计，现用其中的一把尺子量度另两把尺子的长度.已知用C尺量度，得A尺比B尺长6个单位；用A尺量度，得B尺比C尺长10个单位；则用B尺量度，A尺比C尺( )(A)长15个单位 (B)短15个单位 (C)长5个单位(D)短5个单位二、填空题(每小题5分，共50分)11.若方程|1002x-10022|=10023的根分别是x1和x2，则x1+x2=______.12.分解因式：a4+2a3b+3a2b2+2ab3+b4=______.13.对于任意的自然数n，有f(n)=，则f(1)+f(3)+f(5)+…+f(999)=______.14.x1，x2，x3，x4，x5，x6都是正数，且，，，，，,则x1x2x3x4x5x6=______.15.(Figure 3)In a trapezoid ABCD，AE=DE，CE⊥AD，CE is a bisector to ∠BCD，then the ratio of the area of a quadrilateral ABCE to that of a triangle CDE is _____.(英汉小词典trapezoid：梯形；bisector：平分线；ratio：比值；quadrilateral：四边形)16.已知a，b，c，d为正整数，且，，则的值是______；的值是______.17.一个直角三角形的三条边的长均为整数，已知它的一条直角边的长是18，那么另一条直角边的长有______种可能，它的最大值是______.18.“神舟”飞船由返回舱、轨道舱和推进舱三个舱组成，已知三个舱中每两个舱的长度和分别为4859mm、5000mm、5741mm，那么这三个舱中长度最大的是_____mm，长度最小的是_____mm.19.若(|x+1|+|x-2|)(|y-2|+|y+1|)(|z-3|+|z+1|)=36，则x+2y+3z的最大值是______，最小值是_____.20.图4是某电台“市民热线”栏目一周内接到的热线电话的统计图，其中有关房产城建的热线电话有30个，那么有关环境保护的电话有_____个；如果每年按52周计算，每周接到的热线电话的数量相同，那么“市民热线”一年内接到的热线电话有______个.三、解答题(每题10分，共30分)21.民航规定：旅客可以免费携带a千克物品，若超过a千克，则要收取一定的费用，当携带物品的质量为b千克(b＞a)时，所交费用为Q=10b-200(单位：元).(1)小明携带了35千克物品，质量大于a千克，他应交多少费用？(2)小王交了100元费用，他携带了多少千克物品？(3)若收费标准以超重部分的质量m(千克)计算，在保证所交费用Q不变的情况下，试用m表示Q.22.如图5，一张矩形纸片ABCD的边长分别为9cm和3cm，把顶点A和C叠合在一起，得到折痕EF.(1)证明四边形AECF是菱形；(2)计算折痕EF的长；(3)求△CEH的面积.23.如图6，用水平线与竖直线将平面分成若干个边长为1的正方形格子，点O、A、B均在正方形格子的顶点(格点)处，其中点O与点A位于同一水平线上，相距a格，点O与点B位于同一竖直线上，相距b格.(1)若a=5，b=4，则△OAB中(包括三条边)共有多少个格点？(2)若a，b互质，则在线段AB上(不包括A、B两点)是否有格点？证明你的结论.(3)若a，b互质，且a＞b＞8，△OAB中(包括三条边)共有67个格点，求a，b的值.参考答案一、1.C 2.D 3.C 4.A 5.C 6.B 7.D 8.D 9.B 10.A二、11.2004 12.(a2+b2+ab)213.5 14.6 15.7:9 16.21；7 17.2；8018.2941；2059 19.15；-6 20.45；7800三、21.(1)Q=35×10-200=150(元)；(2)设小王携带了x千克物品，则10x-200=100，解得x=30.(3)已知最多可以免费携带a千克物品，则10a-200=0，解得a=20.所以m=b-a=b-20，即b=m+20.故所交费用Q=10b-200=10(m+20)-200=10m(元).22.(1)如图1，因为AB∥CD，所以AF∥CE，CF∥HE，根据对称性，知∠CEH=∠AED，因为D、E、C三点共线，所以A、E、H三点共线，所以AE∥CF，所以四边形AECF是平行四边形.又AF=CF，所以四边形AECF是菱形.(2)设AF=x，则CF=x，BF=9-x.在△BCF中，CF2=BF2+BC2，所以x2=(9-x)2+32，解得x=5，即CF=5，BF=4.过E作EM⊥AB交AB于M，则MF=BM-BF=CE-BF=CF-BF=1，EM=3.所以.(3)根据对称性，知△CEH≌△AED，所以S△CEH=S△AED=DE·AD=(AF-MF)·AD=×4×3=6(cm2).23.(1)如图2，a=5，b=4，△OAB中(包括三条边)的格点的个数为1+2+3+4+6=16.(2)若a，b互质，假设线段AB上存在某一点P(恰为格点)，可设点P到点O的水平距离为x，竖直距离为y(x，y 均为整数)，则S△AOB= S△AOP+S△BOP=ay+bx，所以ab=ay+bx，即ab=ay+bx，ay=b(a-x).因为a，b互质，所以a-x是a的倍数，它与a-x＜a矛盾，因此，假设不正确，即线段AB上(除A、B两点外)不存在其它格点.(3)由(2)知，线段AB上(除A、B两点外)不存在其它的格点.以OA、OB为边作一个矩形OACB，则在△CAB中格点的个数与△OAB中格点的个数相同，且只有A、B两点是公共的，而矩形OACB中格点的个数为(a+1)(b+1).因此，(a+1)(b+1)+2=2×67=134，(a+1)(b+1)=132=2×2×3×11.由a＞b＞8，得a+1=12，b+1=11，即a=11，b=10.2005年第十六届希望杯初二第1试试题班级__________学号__________姓名______________得分______________一、选择题（每小题4分，共40分） 1．3028864215144321－＋－＋－＋－＋－＋－＋－ 等于（ ）（A ）41 （B ）－41 （C ）21 （D ）－21 2．已知x ＝3是不等式mx ＋2＜1－4m 的一个解，如果m 是整数，那么m 的最大值是 （A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）2- 3．一个两位数的个位数字和十位数字交换位置后，所得的数比原来的数大9，这样的两位数中，质数有 （ ） （A ）1个 （B ）3个（C ）5个（D ）6个4．有三组数x 1，x 2，x 3；y 1，y 2，y 3；z 1，z 2，z 3，它们的平均数分别是a ，b ，c ，那么x 1＋y 1－z 1，x 2＋y 2－z 2，x 3＋y 3－z 3的平均数是 （ ）（A ）3c b a ＋＋ （B ）3cb a －＋ （C ）a ＋b －c （D ）3(a ＋b －c ) 5．已知A ＝121221121214333－＋＋＋＋＋＋ ，则A 与1的大小关系是 （A ）A ＞1 （B ）A ＝1 （C ）A ＜1 （D ）无法确定的6．Given in the △ABC ,a ,b ,c are three sides of the triangle ,and cb a 123＋＝,then ∠A is （ ）（A ）acute angle （B ）right angle （C ）obtuse angle （D ）acute angle or obtuse angle（英汉词曲 acute angle ：锐角；obtuse angle ：钝角）7．如图，点D 是△ABC 的边BC 上一点，如果AB ＝AD ＝2，AC ＝4，且BD ∶DC ＝2∶3，则△ABC 是 （） （A ）锐角三角形 （B ）直角三角形 （C ）钝角三角形 （D ）锐角三角形或直角三角形8．已知a ＜b ＜c ＜0，则c b a ＋，ac b ＋，b a c＋的大小关系是 （ ）（A ）c b a ＋＜a c b ＋＜b a c ＋ （B ）c b a ＋＜b a c ＋＜ac b＋（C ）a c b ＋＜c b a ＋＜b a c ＋ （D ）b a c ＋＜a c b ＋＜cb a＋9．某人月初用x 元人民币投资股票，由于行情较好，他的资金每月都增加31，即使他每月末都取出1000元用于日常开销，他的资金仍然在三个月后增长了一倍，那么x 的值是（ ）（A ）9000 （B ）10000 （C ）11000（D ）1110010．判断下列命题的真假：甲：在边长为1的正三角形中（包括边界）的任意四个点，必有两点的距离不大于21；乙：在边长为1，一个内角为60°的菱形中（包括边界）的任意六个点，必有两点的距离不大于21．那么正确的结论是 （ ） （A ）甲真乙真 （B ）甲真乙假 （C ）甲假乙真 （D ）甲假乙假 二、A 组填空题（每小题4分，共40分．含两个空的小题，每空2分．）B D11．计算：(37)1998×2000200020002000357153＋＋＝______________． 12．分解因式：ab (a ＋b )2－(a ＋b )2＋1＝____________．13．已知质数p 与q 满足3p ＋7q ＝41，则(p ＋1)(q －1)＝_____________．14．如图，将直径AB ＝1的半圆形纸片平放在桌面上，然后让它绕直径的一个端点旋转到某个位置，这时它扫过的面积为85，则AB 旋转的角度为__________． 15．如图，从一个边长为a 的正方形纸片ABCD 中剪去一个宽为b 的长方形CDEF ，再从剩下的纸片中沿平行短边的方向剪去一个边长为c 的正方形BFHG ，若长方形CDEF 与AGHE 的面积比是3：2，那么ab＝___________；正方形BFHG 与正方形ABCD 的面积比是__________．16．已知a 是整数，x ，y 是方程x 2－xy －ax ＋ay ＋1＝0的整数解，则x －y ＝______或______． 17．A 、B 、C 三种服装的进价分别是30元、40元、50元，售价分别是35元、m 元、60元，经核算，三种服装的总利润相同，且A 、B 两种服装的销售量之和是C 服装销售量的4倍，则m ＝___________；A 、B 、C三种服装的销售量之比是________． 18、已知x ＝b a b a －＋，y ＝ba ba ＋－（a ≠±b ），且19x 2＋143xy ＋19y 2＝2005，则x ＋y ＝__________或__________． 19、己知一个两位整数ab 的五次方是一个六位数，且最高位的数字与个位数字都是3，那么ab ＝____________；中间的四个数字之和是__________． 20、In figure 4,five points A 、B 、C 、D 、E are located on a line . Whenthe ten distances betweenpairsarelistedfromsmallesttolargest ,thelistreads :2,4,5,7,8,k ,13,15,17,19. Then the value of k is ___________． 三、B 组填空题（每小题8分，共40分．每小题两个空，每空4分．）21、在公式y ＝kx ＋b （k ，b 为常数）中，当－3≤x ≤1时，1≤y ≤9，则2k －b 的值为________或_________．22、己知方程x ＋x 1＝c ＋c 1（c 是常数，c ≠0）的解是c 或c1，那么方程x ＋641－x ＝a a a 2132＋＋（a 是常数，且a ≠0）的解是__________或__________．23、已知△ABC 的某两个内角的比是4∶7且AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ，BE 平分∠ABC 交AC 于E ，则∠EBD 的大小是__________或__________．24、已知正△ABC 的面积是1，P 是平面上一点，并且△PAB 、△PBC 、△PCA 的面积相等，那么满足条件的点P 共有________个；△P AB 的面积是_________．25．某靶场有红、绿靶标共100个，其中红靶标的数量不到绿靶标数量的31．若打中一个红靶标得10分，打中一个绿靶标得8.5分，小明打中了全部绿靶标和部分红靶标，在计算他所得的总分时，发现总分与红靶标的总数无关（包括打中的和没有打中的），则靶场有红靶标________个，打中的红靶标的个数为_________．BD EHG2005年第十六届“希望杯”全国数学邀请赛第二试初二 第2试2005年4月17日 上午8∶30至10∶30一、选择题（每小题5分，共50分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内.1、若a ，b 均为正整数，m=ab (a ＋b )，则（ ）A ．m 一定是奇数B ．m 一定是偶数C ．只有当a ，b 均为偶数时，m 是偶数D ．只有当a ，b 一个为偶数，另一个为奇数时，m 是偶数 2、设0<<a b ，ab b a 2522=+，则ba ba -+等于（ ） A ．31 B ．－31C ．－3D ．33、Given a ，b ，c are positive integers ，and a ，b are prime numbers ，20053=++a b a c，then the value of c b a ++ is （ ）A ．14B ．13C ．12D ． 11(英汉词典 positive integers ：正整数. prime numbers ：质数)_4、购买铅笔7支，作业本3个，圆珠笔1支共需3元；购买铅笔10支，作业本4个，圆珠笔1支共需4元，则购买铅笔11支，作业本5个，圆珠笔2支共需（ ）A ．4.5元B ．5元C ．6元D ．6.5元 5、计算机将信息转换成二进制数来处理.二进制是“逢二进一”，如二进制数(1101)2转换成十进制数是1×23＋1×22＋0×21＋1×20=13，那么二进制数212005)111111( 个转换成十进制数是（ ）A ．22004＋1B ．22005C ．22005－1D ．22005＋16、已知△ABC 的三个内角的比是m ∶(m ＋1) ∶(m ＋2)，其中是m 大于1的正整数，那么△ABC 是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形7、已知△ABC 的三条高的比是3∶4∶5，且三条边的长均为整数，则△ABC 的边长可能是（ ）A ．10B ．12C ．14D ．16 8、已知两位数ab 能被3整除，它的十位数字与个位数字的乘积等于它的个位数字，且它的任意次幂的个位数字等于它的个位数字。