八年级数学勾股定理的应用1
北师大版初中数学八年级(上)第一章勾股定理1-3勾股定理的应用教学详案
第一章勾股定理3 勾股定理的应用教学目标1.利用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题.2.通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念，在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.3.在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性.教学重难点重点：构建直角三角形，利用勾股定理及其逆定理解决实际问题.难点：从实际问题中合理抽象出数学模型.教学过程导入新课游乐场有一个圆柱形的大型玩具,如图所示,现要从点A开始环绕圆柱侧面修建梯子,正好到达A点的正上方B点,已知圆柱形玩具的底面周长是12米,高AB为5米,那么梯子的长度是多少米?探究新知一、合作探究【探究1】确定立体物体表面上两点之间的最短距离.【例1】如图，有一个圆柱，它的高等于12 cm，底面圆的周长为18 cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？(1)在你自己做的圆柱上，尝试从点A到点B沿圆柱侧面画几条路线，你觉得哪条路线最短？(2)如图，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，点A到点B的最短路线是什么？你画对了吗？(3)蚂蚁从点A出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？∵AB2 = 122+92，∴AB = 15(cm).答：蚂蚁从点A出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是15 cm.变式训练：如图,长方体的底面边长分别为2 cm和4 cm,高为5 cm.如果一根细线从点P开始经过四个侧面绕一圈到达点Q,那么所用细线最短需要_________cm.答案：13【探究2】应用勾股定理解决实际问题【例2】如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE = 3 m，CD = 1 m，试求滑道AC的长.【解】设滑道AC的长度为x m,则AB的长度为x m,AE的长度为（x-1）m.在Rt△ACE中，∠AEC = 90°，由勾股定理得AE2+CE2 = AC2，即(x-1)2+32 = x2，解得x = 5.故滑道AC的长度为5 m.变式训练：在一次消防演习中,消防员架起一架25米长的云梯,如图所示那样斜靠在一面墙上,梯子底端离墙7米.(1)这架云梯的顶端距地面有多高?(2)如果消防员接到命令,要把云梯的顶端下降4米(云梯长度不变),那么云梯的底部在水平方向应滑动多少米?解：(1)由题图可以看出云梯、墙、地面可围成一个直角三角形,即云梯为斜边,云梯底部到墙的线段为一条直角边,云梯顶端到地面的线段为另一条直角边.根据题意252-72 = 242，所以云梯顶端距地面有24米.(2)当云梯顶端下降4米后,云梯顶部到地面的距离为20米.因为252-202 = 152,且15-7 = 8(米)，所以云梯底部应水平滑动8米.课堂练习1.有一个高为1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，则问这根铁棒应有多长？2.如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它爬的最短距离为____.m=0.33m)的正方形.在水池正中央3.有一个水池，水面是一个边长为10尺(1尺=13有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问：这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？4.如图，台风过后，某小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8 m处，已知旗杆原长16 m，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂的吗？参考答案1.解：如图，由题意得当铁棒在B处：AC = 1.5米，BC = 2米.∵AB2 = AC2+CB2 = 2.52，∴AB = 2.5米.∵油桶外的部分是0.5米，∴AD = 2.5+0.5 = 3(米).当铁棒垂直进入，得出油桶中的长度1.5米+桶外的0.5米= 2米.答：这根铁棒的长度范围是2米到3米.2.253.解：设水池的深度为x尺，则芦苇的长度为（x+1）尺.根据题意得x²+5² =（x+1）².解得x =12.x+1=12+1=13（尺）.答：这个水池的深度和这根芦苇的长度各是12尺和13尺.4.解：设旗杆在离底部x米的位置断裂，由题意得x2+82 = (16-x)2,解得x = 6米.答：旗杆在离底部6米的位置断裂.课堂小结确定立体物体表面上两点之间的最短距离的方法：将其转化为平面上两点间的距离，利用两点之间，线段最短来求解.布置作业习题1.4第1，2，3，4题板书设计3 勾股定理的应用1.确定立体物体表面上两点之间的最短距离例1 如图，有一个圆柱，它的高等于12 cm，底面圆的周长为18 cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？2.应用勾股定理解决实际问题例2 如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE = 3 m，CD = 1 m，试求滑道AC的长.。
八年级数学勾股定理3篇
八年级数学勾股定理3篇《勾股定理》知识点总结1：勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。
(即：a2+b2=c2) 要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：(1)已知直角三角形的两边求第三边(2)已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边(3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：(1)首先确定最大边，不妨设最长边长为：c;(2)验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2=a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形(若c2 a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形;若c2 a2+b2，则△abc为锐角三角形)。
p=3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理;联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
5：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理中考数学|勾股定理知识点规律方法指导1.勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。
2.勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。
3.勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。
勾股定理的应用1
C
B
A
1，你能从点A到点B沿圆柱侧面 画出几条路线，你觉得哪条线路 最短呢？
C
B
A
2，将圆柱侧面开展成一个长方形， 从点A到点B的最短路线是什么？
C
B
C
B
A
A
3.蚂蚁从点A出发，想吃到点B处的食物，它沿 圆柱侧面爬行的最短路程是多少? (圆柱体的底面周长为18cm, 高AC为12cm)
C
B
C
B
3.有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一 只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处 吃食物，它爬行的最短路线长为多少？
B
C A
B
A
分析：由于老鼠是沿着圆柱的 表面爬行的，故需把圆柱展开 成平面图形.根据两点之间线段 最短，可以发现A、B分别在 圆柱侧面展开图的宽1m处和长 24m的中点处，即AB长为最短 路线.(如图)
A
A
4,若蚂蚁先从点A 直接向上爬到点C， 然后再从点C沿底 C 面直径爬到点B， 这样爬的总路程与 沿圆柱侧面爬行的 A 最短路程比较，哪 条最短？
B
李叔叔想要检测雕塑底座正面的边AD 和边BC是否分别垂直于底边AB，但 他随身只带了卷尺， 1.你能替他想办法完成任务吗?
D C
A B
2,李叔叔量得边AD长是30cm,边AB 长是40cm，点B,D之间的距离是 50cm,边AD垂直于边AB吗？ 3，小明随身只有一个长度 为20cm的刻度尺，他能有办法 检验边AD是否垂直于边AB吗？ 边BC与边AB呢？
这是测量 B
3 勾股定理的应用举例 (一 )
A
B
C
B 勾a C 弦c 股b
一、 勾股定理： 字母表示：
如果在Rt∆ABC中，
八年级数学(上)第二章 勾股定理与平方根 课时练习：第10课时 勾股定理的应用(1)
八年级数学(上)第二章勾股定理与平方根第10课时勾股定理的应用(一)（附答案）1．下列三角形中，是直角三角形的是( ) A．三边关系满足a+b=c B．三边之比为4：5：6C．其中一边等于另一边的一半D．三边分别为9、40、412．如图，一圆柱高8 cm，底面半径1 cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是( 取3) ( )A．10 cm B．5 cm C D．无法确定3．如图，是某几何体的三视图及相关数据，则判断正确的是( ) A．a>c B．b>c C．4a2+b2=c2D．a2+b2=c24．在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=4，AC=2，则AB=_________；若AB=4，BC=2，则AC=_________．5．如图，为了测量湖两岸A、B间的距离，小兰在C点设桩，使△ABC为直角三角形，∠ABC=90°，并测得BC=12 m，AC=15 m，则A、B两点间的距离是_________m．6．如果消防梯的底端离建筑物7 m，则25 m的消防梯可到达建筑物的高度是_______m．7．学校有一块长方形的花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________步路(假设2步为1 m)，却踩伤了花草．8．某宾馆装修，需在台阶上铺上地毯．已知台阶宽2．8 m，其剖面如图所示，则需要_______m2的地毯才能铺满所有的台阶．9．如图，长10米的梯子AB斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离为8米，若梯子的顶端下滑1米，则底端也右滑1米吗?若是，请说明理由；若不是，则底端应右滑多少米(精确到0．01)?10．小强家有一块三角形菜地，量得两边长分别为40 m、50 m，第三边上的高为30 m．请你帮小强计算这块菜地的面积(精确到0．01)．11．在一个底面直径为5 cm、高为12 cm的圆柱状水杯中，放了一根15 cm长的玻璃棒．问这根玻璃棒露出杯口至少有多长?12．一个正方体的棱长为3 cm，一只小蚂蚁想从A点爬到H点找食吃．已知蚂蚁每秒爬2 cm，则最少需要多少秒(精确到0．01)?13．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过70km ／h．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪的正前方30 m处，过了2 s后，测得小汽车与车速检测仪之间的距离为50 m这辆小汽车超速了吗?参考答案1．D 2．C 3．D4．5．96．247．48．19．69．不是，底端向右滑1．41米10．996．86 m2或203．14 m211．2 cm12．3．3513．超速，小汽车速度为72 km／h，大于70 km／h。
勾股定理的应用八年级数学
勾股定理的应用八年级数学勾股定理是数学中比较基本的一条定理，它可以解决很多有关直角三角形的问题。
在实际应用中，勾股定理有着广泛的应用，下面将介绍勾股定理的应用。
1. 测量地图上的距离当我们看地图时，往往需要测量两个点之间的距离。
在有些情况下，这个距离可能是斜线距离，而非水平或垂直距离，这时候我们就可以用勾股定理来求斜线距离。
我们可以把地图上的两个点看成直角三角形的直角点，然后利用勾股定理求得斜线距离。
2. 建筑设计在建筑设计中，我们往往需要计算建筑物的高度或者长度等。
在有些情况下，我们需要测量无法直接测得的高度或者长度，这时候也可以使用勾股定理来计算。
例如，我们可以通过测量某一楼层地面到天花板的距离以及该楼层到地面的距离，就可以利用勾股定理计算出该建筑物的高度。
3. 计算斜坡的高度和长度4. 求解导弹打靶问题导弹打靶问题是勾股定理应用于瞄准问题的典型案例。
假设导弹从一个点出发，需要打中地面上的目标点，我们可以将导弹的路程看成直角三角形的斜边，然后利用勾股定理计算出导弹需要调整的角度和方向。
5. 计算船舶航行距离在海上航行时，需要计算船舶的航行距离。
假设船舶向东行驶一定距离，然后向南行驶一定距离，这时候我们可以将船舶行驶的距离看成直角三角形的两条直角边，然后利用勾股定理计算出船舶的航行距离和方向。
6. 计算斜面上的物体滑动速度在物理学中，斜面上的物体滑动速度计算是一个重要问题。
假设滑动的物体滑到底部所需要的时间是已知的，我们可以将斜面看成直角三角形，然后利用勾股定理计算出物体下滑的速度和加速度。
综上所述，勾股定理在数学和实际应用中都有着广泛的应用。
随着科技的不断发展，勾股定理也会被应用到更多的领域中，为我们的生活带来更多便利。
八年级数学基础巩固与拓展提优：第二章 第9课时 勾股定理的应用(1)
第9课时勾股定理的应用(1)（附答案）【基础巩固】1．已知直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长为_______．2．如图，一透明的直圆柱状的玻璃杯，在内部测得其底部半径为3 cm，高为8 cm，今有一支12 cm的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度至少为_______．3．如图是由边长为1 m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A→B→C所走的路程为_______m(结果保留根号)4．已知一个直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长为 ( )A．4 B．4或34 C．16或34 D．45．如图，AB＝BC＝CD＝DE＝1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE等于 ( )A．1 B C D．26．若三角形的三边长a，b，c满足(a＋b)2＝c2＋2ab，则这个三角形是 ( )A．锐角三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．何类三角形不能确定7．如图，要从电线杆离地面12 m处向地面拉一条长为13 m的钢缆，求地面钢缆固定点A 到电线杆底部B的距离．8．如图，在四边形ABCD中，AB＝2 cm，BC，CD＝5 cm，AD＝4 cm，∠B＝90°．求四边形ABCD的面积．9．如图，在△ABC中，AB＝15，AD＝12，BD＝9，AC＝13．求△ABC的周长和面积．10．如图，某菜农要修建一个育苗棚，棚宽a＝12 m，高b＝5 m，长d＝20 m，请你帮他算一下覆盖在顶上的塑料薄膜的面积．【拓展提优】11．已知a，b，c为三个正整数，如果a＋b＋c＝12，那么以a，b，c为边能组成的三角形是：①等腰三角形；②等边三角形；③直角三角形；④钝角三角形，以上符合条件的正确结论是_______．（只填序号）12．如图，3×3网格中一个四边形ABCD，若小方格正方形的边长为1，则四边形ABCD的周长_______．13．一架2.5 m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯脚距离墙角0.7 m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4 m，那么梯脚移动的距离是 ( )A．1.5 m B．0.9 m C．0.8 m D．0.5m14．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 ( )A． B．25 C． 5 D．3515．一张长方形纸片宽AB＝8 cm，长BC＝10 cm现将纸片折叠，使顶点D落在BC边上的点F处(折痕为AE)，求EC的长．16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，CD＝5 cm，求AB的长．17．[问题情境]勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言．[定理表述]请你根据图①中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）；[尝试证明]以图①中的直角三角形为基础，可以构造出以a ，b 为底，以a ＋b 为高的直角梯形（如图②），请你利用图②，验证勾股定理；[知识拓展]利用图②中的直角梯形，我们可以证明a bc+<．其证明步骤如下： 因为BC ＝a ＋b ，AD ＝_______，又因为在直角梯形ABCD 中，有BC_______AD(填大小关系)，即_______．参考答案【基础巩固】1．5 2．2 3．．D 5．D 6．C 7．5m 8．(629．周长：42 面积：84 10．260m 2【拓展提优】11．①②③ 12．．C 14．B 15．3 cm 16．17．[定理表述]如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2． [尝试证明]略[知识拓展2a b+。
八年级数学上册第十四章勾股定理14.2勾股定理的应用1全国公开课一等奖百校联赛微课赛课特等奖PPT课
1/12
知识回想 ：
勾股定理及其数学语言表示式: 直角三角形两直角边a、b平方和等于斜边
c平方. B
a
c
b
C
A
2/12
知识回想 ：
在△ABC中，∠C=90°.
(1)若b=8，c=10，则a= 6
;
(2)若a=5，b=10，则c = 11.2 ;
ห้องสมุดไป่ตู้
B
(3)若a=2，∠A=30° ，则 b = 3.5 ;
10/12
及时练
1.在Rt△ABC中,∠C=90 ,∠A=30 .则BC:AC:AB= .
2.在Rt△ABC中,∠C=90 , AC=BC.则AC :BC :AB=
. 若AB=8，AC= 4 .
又若CD⊥AB于D,则CD=
.
B D
A
C
11/12
课时小结 谈谈你这节课收获有哪些?会用勾股定理处 理简单应用题；学会结构直角三角形．
B
x x+1
A
9/12
想一想
小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）电视机.小明量了电视机屏幕后， 发觉屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他以为一定是售货员搞错了.你 能解释这是为何吗？
我们通常所说29英寸或74厘 米电视机，是指其荧屏对角线 长度
∵ 582 462 5480
742 5476
荧屏对角线大约为74厘米 ∴售货员没搞错
(2)、(3)两题结果准确到0.1
a
c
b
C
A
3/12
一个门框尺寸如图所表示，一块长3m，宽2.2m薄木板能否从门 框内经过?为何?
连结AC,在Rt△ABC中,依据勾股定理,
八年级数学上册1《勾股定理的应用》课件 2022年北师大版八上数学PPT+
9．一个木工师傅测量了一个等腰三角形木板的腰、底边和高的长，
但他把这三个数据与其他的数据弄混了，请你帮助他找出来为( C )
A．13，12，12
B．12，12，8
C．13，10，12
D．5，8，4
10．如图，王大伯家屋后有一块长12 m，宽8 m的矩形空地，他在以
长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴A处的一棵树上，
思路探究:除了截短法和延长法外,在等腰三角形中,我们通常作底边的中线或高或顶角平分 线,以便使用等腰三角形的性质(三线合一).
第一章 三角形的证明 复习
回顾 思考1
“原名〞 知多少
公理:公认的真命题称为公理(axiom). 证明:除了公理外,其它真命题的正确性都通过推理的方法证实.
推理的过程称为证明. 定理:经过证明的真命题称为定理(theorem). 推论:由一个公理或定理直接推出的定理,叫做这个公理或定理的推论(corollary).推 论可以当作定理使用.
第8题图
第9题图
15．(8分)在一棵树的10 m高处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树 20 m的池塘，而另一只爬向树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的距 离相等，问这棵树有多高？ 解：如图，点B为树顶，D处有两只猴子，那么AD＝10 m，C为池塘， 那么AC＝20 m．设BD的长为x m，那么树的高度为(10＋x) m．因为 AC＋AD＝BD＋BC，所以BC＝20＋10－x＝(30－x)m.在△ACB中， ∠A＝90°，所以AC2＋AB2＝BC2.即202＋(10＋x)2＝(30－x)2，解得 x＝5，所以x＋10＝5＋10＝15，即这棵树高为15 m
结论4: 等腰三角形腰上的高线与底边的夹角等于顶 角的一半.
结论5:等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离 之和等于一腰上的高.
八年级数学上册第1章《勾股定理的应用》例题与讲解(北师大版)
3 勾股定理的应用1．长方体(或正方体)面上的两点间的最短距离长方体(或正方体)是立体图形，但它的每个面都是平面．若计算同一个面上的两点之间的距离比较容易，若计算不同面上的两点之间的距离，就必须把它们转化到同一个平面内，即把长方体(或正方体)设法展开成为一个平面，使计算距离的两个点处在同一个平面中，这样就可以利用勾股定理加以解决了．所以立体图形中求两点之间的最短距离，一定要审清题意，弄清楚到底是同一平面中两点间的距离问题还是异面上两点间的距离问题．谈重点 长方体表面上两点间最短距离因为长方体的展开图不止一种情况，故对长方体相邻的两个面展开时，考虑要全面，不要有所遗漏．不过要留意展开时的多种情况，虽然看似很多，但由于长方体的对面是相同的，所以归纳起来只需讨论三种情况——前面和右面展开，前面和上面展开，左面和上面展开，从而比较取其最小值即可．【例1－1】 如图①是一个棱长为3 cm 的正方体，它的6个表面都分别被分成了3×3的小正方形，其边长为1 cm.现在有一只爬行速度为2 cm/s 的蚂蚁，从下底面的A 点沿着正方体的表面爬行到右侧表面上的B 点，小明把蚂蚁爬行的时间记录了下来，是2.5 s ．经过简短的思考，小明先是脸上露出了惊讶的表情，然后又露出了欣赏的目光．你知道小明为什么会佩服这只蚂蚁的举动吗？解：如图②，在Rt △ABD 中，AD ＝4 cm ，BD ＝3 cm.由勾股定理，AB 2＝BD 2＋AD 2＝32＋42＝25，AB ＝5 cm ，∴蚂蚁的爬行距离为5 cm.又知道蚂蚁的爬行速度为2 cm/s ，∴它从点A 沿着正方体的表面爬行到点B 处，需要时间为52＝2.5 s.小明通过思考、判断，发现蚂蚁爬行的时间恰恰就是选择了这种最优的方式，所以他感到惊讶和佩服．【例1－2】如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处(三条棱长如图所示)，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？解：蚂蚁由A点沿长方体的表面爬行到C1点，有三种方式，分别展成平面图形如下：如图①，在Rt△ABC1中，AC21＝AB2＋BC21＝42＋32＝52＝25.故AC1＝5.如图②，在Rt△ACC1中，AC21＝AC2＋CC21＝62＋12＝37.如图③，在Rt△AB1C1中，AC21＝AB21＋B1C21＝52＋22＝29.∵25＜29＜37，∴沿图①的方式爬行路线最短，最短的路线是5.点技巧巧展长方体求解此类问题时只需对长方体进行部分展开，画出局部的展开图，若将长方体全部展开，不仅没有必要反而会扰乱视线．2．圆柱体(或圆锥体)面上的两点间的最短距离圆柱体(或圆锥体)是立体图形，从其表面看两点之间的连线绝大部分是曲线，那么怎样确定哪一条是最短的呢？解决问题的方法是将圆柱(或圆锥)的侧面展开，转化为平面图形，应用勾股定理解决，而不能盲目地凭感觉来确定．【例2】如图①所示，一只蚂蚁在底面半径为20 cm，高为30π cm的圆柱下底的点A处，发现自己正上方圆柱上边缘的B处有一只小昆虫，便决定捕捉这只小昆虫，为了不引起这只小昆虫的注意，它故意不走直线，而绕着圆柱，沿一条螺旋路线，从背后对小昆虫进行突然袭击，结果蚂蚁偷袭成功，得到了一顿美餐．根据上述信息，请问蚂蚁至少爬行多少路程才能捕捉到小昆虫？分析：解此题的关键是把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短和勾股定理作答．解：假设将圆柱体的侧面沿AB剪开铺平如图②，则对角线AB即为蚂蚁爬行的最短路线．在Rt△ACB中，AC＝40π cm，BC＝30π cm.由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝(40π)2＋(30π)2＝(50π)2，∴AB＝50π cm.∴蚂蚁至少爬行50π cm才能捕捉到小昆虫．谈重点圆柱体两点间的最短距离本题文字叙述较多，要求在阅读的基础上提炼有用的信息，具体解题时先将圆柱沿AB剪开，将侧面展开成一矩形，会发现对角线AB即为蚂蚁爬行的最短路线，再运用勾股定理即可求得．3．生活中两点间的最短距离用勾股定理解决实际问题的关键是从实际问题中构建数学模型——直角三角形，再正确利用两点之间线段最短解答．【例3】如图①是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为5 dm,3 dm 和1 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点的最短路程是多少？分析：由于蚂蚁是沿台阶的表面由A爬行到B，故需把三个台阶展开成平面图形(如图②)．解：将台阶展开成平面图形后，可知AC＝5 dm，BC＝3×(3＋1)＝12 dm，∠C ＝90°.在Rt△ABC中，∵AB2＝AC2＋BC2，∴AB2＝52＋122＝132，∴AB＝13 dm.故蚂蚁爬到B点的最短路程是13 dm.4．如何正确利用勾股定理及其逆定理解决生活中的问题利用勾股定理及其逆定理解决生活中的实际问题，重要的是将实际问题转化成数学模型(直角三角形模型)，将实际问题中的“数”转化为定理中的“形”，再转化为“数”．解题的关键是深刻理解题意，并画出符合条件的图形．解决几何体表面上两点之间的最短距离问题的关键是要设法把立体图形转化为平面图形，具体步骤是：(1)把立体图形展成平面图形；(2)确定点的位置；(3)确定直角三角形；(4)分析直角三角形的边长，用勾股定理求解．【例4】如图①，圆柱形玻璃容器的高为18 cm，底面周长为60 cm，在外侧距下底1 cm的点S处有一只蜘蛛，在与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口1 cm的点F处有一只苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛需要爬行的最短距离是__________cm.解析：将圆柱的侧面展开得到它的侧面展开图(如图②)，CD ∥AB ，且AD ＝BC ＝12底面周长，BS ＝DF ＝1 cm.则蜘蛛所走的最短路线的长度即为线段SF 的长度．过S 点作SM ⊥CD ，垂足为M ，由条件知，SM ＝AD ＝12×60＝30 cm ，MC＝SB ＝DF ＝1 cm ，所以MF ＝18－1－1＝16 cm ，在Rt △MFS 中，由勾股定理得SF 2＝162＋302＝342，所以SF ＝34 cm.故蜘蛛需要爬行的最短距离是34 cm.答案：345．勾股定理与方程相结合的应用方程思想是一种重要的数学思想．所谓方程思想是指从分析问题的数量关系入手，将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立起方程(组)，然后通过解方程(组)使问题得到解决的思维方式．而勾股定理反映的直角三角形三边的关系正是构建方程的基础．故勾股定理的许多问题的解决都要跟方程相结合．方程思想是勾股定理中的重要思想．【例5】 如图，有一张直角三角形状纸片ABC ，两直角边AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？解：设CD ＝x cm ，由题意知DE ＝x cm ，BD ＝(8－x ) cm ，AE ＝AC ＝6 cm ，在Rt △ABC 中，由勾股定理得AB ＝AC 2＋BC 2＝10 cm.于是BE ＝10－6＝4 cm.在Rt △BDE 中，由勾股定理得42＋x 2＝(8－x )2，解得x ＝3.故CD 的长为3 cm.。
1.3 勾股定理的应用 北师大版数学八年级上册
1.3 勾股定理的应用
北师大版八年级（初中解决实际问题. 体会把立体图形转化为 平面图形，解决“最短路径”的问题. 2.会根据勾股定理的逆定理解决实际问题. 3.利用数学中的建模思想构造直角三角形解决实际问题.
复习回顾
1. 勾股定理的内容是什么？ A
展开
勾股定理
立体图形
平面图形
直角三角形模型
立体图形上的最短路程 1. 圆柱
立体图形上的最短路程 2. 棱柱（以长方体为例）
立体图形上的最短路程 3. 台阶问题
课堂练习
【教材P14 习题1.4 第1题】
1. 如图，阴影长方形的面积是多少？
解：设直角三角形斜边长（长方形
的长）为x cm，由勾股定理得
B 12cm A 8cm 8cm
解：最短线路如 图所示，最短路 程为 20 cm.
【教材P15 习题1.4 第5题】
5．在我国古代数学著作《九章算术》中记载
了一道有趣的问题，这个问题的大意是：有一
个水池，水面是一个边长为10尺的正方形.在
水 池 正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1
尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端
如图所示，有一个圆柱，它的高等于 12 cm，底面 上圆的周长等于 18 cm. 在圆柱下底面的点 A 有一只蚂 蚁，它想吃到上底面上与点 A 相对的点 B 处的食物，沿 圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
（1）自己做一个圆柱，尝试从点 A 到点 B 沿圆柱侧面 画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？
（2）如图所示，将圆柱侧面剪开展成一个长方形， 从点 A 到点 B 的最短路线是什么？你画对了吗？
恰好到达岸边的水面，请问：这个水池水的深
度和这根芦苇的长度各是多少?
八年级数学上册教学课件《勾股定理的应用》
解:如图所示 在Rt△ABC中,利用勾股定理可得， AB 2=AC2+BC2 =20 2+102 =500
10
10
10
所以AB2=500.
李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺.（1）你能替他想办法完成任务吗？
D
A. B. C. D.
2.如图是医院、公园和超市的平面示意图，超市在医院的南偏东25°的方向，且到医院的距离为300 m，公园到医院的距离为400 m，若公园到超市的距离为500 m，则公园在医院的 ( )A.北偏东75°的方向上 B.北偏东65°的方向上C.北偏东55°的方向上 D.无法确定
B
3.如图，某探险队的A组由驻地O点出发，以12km/h的速度前进，同时，B组也由驻地O出发，以9km/h的速度向另一个方向前进，2h后同时停下来，这时A，B两组相距30km．此时，A，B两组行进的方向成直角吗？请说明理由.
解：因为出发2小时，A组行了12×2=24(km)， B组行了9×2=18(km)， 又因为A，B两组相距30km， 且有242+182=302， 所以A，B两组行进的方向成直角．
以小组为单位,研究蚂蚁在圆柱体的A点沿侧面爬行到B点的问题.
讨论 1.蚂蚁怎样沿圆柱体侧面从A点爬行到B点？ 2.有最短路径吗？若有，哪条最短？你是怎样找到的？
B
A
我要从A点沿侧面爬行到B点，怎么爬呢？大家快帮我想想呀！
利用勾股定理解答最短路径问题
想一想 蚂蚁走哪一条路线最近？
在Rt△ABC中，AC===5,在△ACD中，AC2+CD2=52+122=169=AD2，所以△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°.所以S四边形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD=6+30=36.
八年级上册数学勾股定理的应用
《八年级上册数学勾股定理的应用》同学们，咱们一起来看看八年级上册数学里勾股定理的应用吧！
比如说，要知道一个直角三角形的两条直角边分别是 3 和4，那斜边是多长呢？这时候就可以用勾股定理啦，斜边的平方等于两条直角边的平方和，所以斜边就是5 。
再比如，盖房子的时候，工人师傅要确定一个墙角是不是直角，就可以量一下三条边的长度，看看是不是满足勾股定理。
我记得有一次做数学题，有一道就是用勾股定理求梯子能到达的高度，想了好久才做出来，可开心啦！
同学们，多做几道题，就能熟练运用勾股定理啦！
《八年级上册数学勾股定理的应用》同学们，今天咱们接着讲讲勾股定理的应用。
如果知道一个直角三角形的斜边是 5 ，一条直角边是 3 ，那另一条直角边是多少呢？还是用勾股定理就能算出来，是 4 哟。
还有在航海中，如果知道两个地点之间的距离和角度，也能用勾股定理求出实际的路程。
有个同学在生活中也用到了勾股定理，他想知道自己的书桌是不是直角的，量了量就知道啦。
同学们，勾股定理用处可大啦，要好好学哟！
《八年级上册数学勾股定理的应用》同学们，八年级上册数学勾股定理的应用还有很多好玩的呢。
比如测量大树的高度，通过影子和角度，就能用勾股定理算出来。
还有在设计三角形的图案时，要保证是直角三角形，就得用勾股定理来验证。
我之前参加数学竞赛，有一道题就是用勾股定理解决实际问题，当时紧张得不行，最后做出来了，觉得自己特别棒！
同学们，相信你们也能在生活和学习中灵活运用勾股定理！。
八年级-人教版-数学-下册-第3课时 勾股定理的应用(1)
在实际生活中遇到的某些不可直接测量距离的问 题，可以通过构造直角三角形模型，然后经过计算得 出所求距离．
勾股定理的应用
将实际问题转化为直角三角形 模型
若没有直角三角形，可以通过 作辅助线构造直角三角形
2 尺，OA＝OB，求 OC 长为几尺．请你解答这个问题．
解：OA＝OB＝OC＋0.5，
A
C
B
在 Rt△OBC 中，根据勾股定理，
OB2＝OC2＋BC2，
即 (OC＋0.5)2＝OC2＋22，
OC＝3.75．
O
所以 OC 长为 3.75 尺．
应用勾股定理解决实际问题，关键是将实际问题转化为直 角三角形模型．
在 Rt△AOB中，根据勾股定理， OB2＝AB2－OA2＝2.62－2.42＝1．OB＝1． 在 Rt△COD中，根据勾股定理， OD2＝CD2－OC2＝2.62－(2.4－0.5)2＝3.15． OD＝ 3.15 ≈1.77， BD＝OD－OB≈1.77－1＝0.77． 所以梯子的顶端沿墙下滑 0.5 m 时，梯子底端 并不是也外移 0.5 m，而是外移约 0.77 m．
例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长 3 m，宽 2.2 m 的长方形薄木板能否从门框内 通过？为什么？
（1）木板能横着或竖着从门框通过吗？ 不能．
（2）这个门框能通过的最大长度是多少？ 门框对角线 AC 的长度．
（3）怎样判定这块木板能否通过木框？ 求出 AC ，再与木板的宽比较．
解：在 Rt△ABC 中，根据勾股定理， AC2＝AB2＋BC2＝12＋22＝5． AC＝ 5 ≈2.24． 因为 AC 大于木板的宽 2.2 m，所以木板能 从门框内通过．
应用勾股定理解决实际问题时，应重视对实际问 题题意的正确理解，对结论要进行仔细验证．
八年级数学上3勾股定理的应用
(3)提示：利用勾股数， 做出直角三角形进行检验.
例 如图所示的是一个滑梯示意图,若将滑道 AC水平放置,则刚好与AB一样长.已知滑梯的 高度CE=3 m,CD=1 m,试求滑道AC的长.
解:设滑道AC的长度为x m,则AB的长度为x m,AE 的长度为(x-1) m.
形,连接AC,∴EB=4 m,EC=8 m,AE=AB-EB=10-4=6(m),
在Rt△AEC中,AC2
=AE2+CE2=62+82=102,∴AC=10 m.故选B.
2.如图所示,将一根长24 cm的筷子放入底面 直径为5 cm,高为12 cm的圆柱形水杯中,设 筷子露在杯子外面的长度为h cm,则h的最小 值是 ( C ) A.12 cm B.13 cm
在Rt△ACE中,∠AEC=90°,由勾股定理得 AE2+CE2=AC2,即(x-1)2+32=x2,解得x=5. 故滑道AC的长度为5 m.
[知识拓展] 1.解决两点距离问题:正确画出图形,已知直角三 角形两边长,利用勾股定理求第三边长.
2.解决航海问题:理解方向角等概念,根据题意画 出图形,利用勾股定理或其逆定理解题.
3.解决实际问题中两线段是否垂直的问题:以已 知两线段为边构造一个三角形,根据三边的长度, 利用勾股定理的逆定理解题.
4.解决折叠问题:正确画出折叠前、后的图形, 运用勾股定理及方程思想解题.
5.解决梯子问题:梯子架到墙上,梯子、墙、地 面可构成直角三角形,利用勾股定理等知识解题.
6.解决侧面展开问题:将立体图形的侧面展开成 平面图形,利用勾股定理解决表面距离最短的 问题.
第一章 勾股定理
古代趣题
折竹抵地(源自《九章 算术》):
八年级上勾股定理的应用
考点四：利用勾股定理证明平方关系
专题二 勾股定理逆定理的应用
考点一：勾股数的应用
名师点拨：①熟记常见勾股数：“3，4，5”、“6，8，10”、“5，12，13”、“8，15，17”、“7，24，25”、“20，21，29”、“9，40，
41”
②勾股数的整数倍仍然是勾股数，分数倍数仍然符号2 + 2 = 2 等量关系
2 −1 2 +1
2
2
③构造勾股数的重要方法：n是大于1的奇数，则, 2 , 2 是勾股数；Байду номын сангаас是大于2的偶数，则, 4 − 1, 4 + 1, 是勾
股数；
考点二：判断三角形的形状
专题三：勾股定理的实际问题
• 考点一：树折断问题
• 考点二：梯子滑落问题
• 考点三：台风问题
考点四：方位角问题
②求直角三角形的面积，可将ab看作一个整体，利用完全平方式变形式解决）
考点三：解直角三角形
名师点拨：①已知两边和两边的夹角为一个特殊角，可求第三边；
②已知两个特殊角和两个特殊角的夹边，可求另外两边；
③在直角三角形中，已知两边，可直接求第三边，或者，应先设未知数，再用勾股定理；
如以上方法行不通时，应通过转化把条件集中在同一个三角形中，再利用勾股定理；
专题一：勾股定理的基本应用
考点一：求线段长（名师点拨：①利用勾股定理求直角边长或斜边长；②勾股定理是求线段长的主要方法；如图
形中没有直角条件，则可通过作垂线构造直角三角形；如果不能直接用勾股定理，则可引入未知数，建立方程求解；）
考点二：求面积
名师点拨：①可利用勾股定理求三角形、四边形、扇形、弓形的面积
名师点拨：可巧用特殊方位角构造直角三角形求解
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G
F
B
D A C
（1）蜘蛛急于想捉住苍蝇，沿着长方体的表面 向上爬，它要从点A爬到点B处，有无数条路线， 它们有长有短，蜘蛛究竟应该沿着怎样的路线 爬上去，所走的路程会最短。你能帮蜘蛛找到 最短路径吗？ （2）若蜘蛛爬行的速度是每秒10厘米，问蜘蛛 沿长方体表面至少爬行几秒钟，才能迅速地抓 到苍蝇？ H B
在R t △ABC中，根据勾股定 理FC2=FB2＋BC2
D
E C
则有x2=(9－x)2＋32 解得x=5 A 同理可得DE=4 ∴GF=1 ∴以EF为边的正方形的面积 =EG2＋GF2=32＋12=10
G
F
B
11、假期中，王强和同学到某海岛上去玩 探宝游戏，按照探宝图，他们登陆后先往 东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后 又往西走3千米，在折向北走到6千米处往 东一拐，仅走1千米就找到宝藏，问登陆 点A 到宝藏埋藏点B的距离是多少千米？
A E
C
BE2=BC2+EC2 x2=62＋ (10－x)2 解得x=6.8 ∴EC=10－6.8=3.2cm
10、如图,把长方形纸片ABCD折叠,使顶 点A与顶点C重合在一起,EF为折痕。若 AB=9,BC=3,试求以折痕EF为边长的正 方形面积。
解：由已知AF=FC 设AF=x，则FB=9－x
解：过B点向南作垂线， 连结AB，可得Rt△ABC 由题意可知：AC=6千米， BC=8千米 根据勾股定理 AB2=AC2＋BC2 ＝62＋82＝100 ∴AB=10千米 A
1
6
B
3
2 8
C
探索与提高：
如图所示，现在已测得长方体木块的长 3厘米，宽4厘米，高24厘米。一只蜘蛛潜 伏在木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这 个长方体上和蜘蛛相对的顶点B处。
41 (2)若a=9,b=40,则c=______. 2.在 ABC中, C=90°,若 AC=6,CB=8,则ABC面积为 24 斜边为上的高为______. 4.8 _____,
3．若等腰三角形中相等的两边长 为10cm,第三边长为16 cm,那么第 三边上的高为 ( D) A. 12 cm B. 10 cm C. 8 cm D. 6 cm
G
F
D A C
H
B1
F
B3
G
B2
A
C
D
1、通过这节课的学习活动你有哪些收获？ 2、对这节课的学习，你还有什么想法吗？
试一试： 在我国古代数学著作 《九章算术》中记载了一道 有趣的问题，这个问题的意 思是：有一个水池，水面是 一个边长为10尺的正方形，在 水池的中央有一根新生的芦 苇，它高出水面1尺，如果把 这根芦苇垂直拉向岸边，它 的顶端恰好到达岸边的水面， 请问这个水池的深度和这根 芦苇的长度各是多少？
A A
解：台阶的展开图如图：连结AB 在Rt△ABC中根据勾股定理 AB2=BC2＋AC2 ＝552＋482＝5329
∴AB=73cm
B
C
B
8、如图，小颍同学折叠一个直角三角形 的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知 AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？
D B 解：连结BE
由已知可知：DE是AB的中垂线， ∴AE=BE 设AE=xcm，则EC=(10－x)cm 在Rt△ABC 中，根据勾股定理：
D
C B
A
微信红包群 / 微信红包群
yrg24zua
娢打了个冷颤，也许是因为冷，也许是被风吹开窗户的声音惊醒了。总之，她不得不醒，不情愿的揉揉眼睛起身，准备关上窗户继续睡觉。她 迷迷糊糊走到窗前，看到了散发着微弱亮光的几片花瓣，以为自己眼花了，再向窗外看去，只剩下了惊恐——整整一树的樱花，繁茂的坠在枝 头，犹如上千只汇聚在一起的萤火虫，随风轻摇之际，偶尔洒下点点荧光，下落之时，便渐渐微弱下来，荧光散尽时，就无法看清它们到底落 在在了何处。“我去……”慕容凌娢赶紧关上了窗户，还不忘把那几片落在窗台上的樱花瓣给吹出去。(古风一言)你是谁朝思暮想的少年，在 绝城的荒途中碾转成歌.第095章 无科学所言她迷迷糊糊走到窗前，看到了散发着微弱亮光的几片花瓣，以为自己眼花了，再向窗外看去，只剩 下了惊恐——整整一树的樱花，繁茂的坠在枝头，犹如上千只汇聚在一起的萤火虫，随风轻摇之际，偶尔洒下点点荧光，下落之时，便渐渐微 弱下来，荧光散尽时，就无法看清它们到底落在在了何处。“我去……”慕容凌娢赶紧关上了窗户，还不忘把那几片落在窗台上的樱花瓣给吹 出去。如果在某部国产鬼片里看到了这种场景，慕容凌娢一定会感叹特效真好，景色真美，随便拍照截屏几张都能当壁纸的。然鹅，这不是电 影，她能想到的最科学的解释就是——这树上有一种奇特的寄生虫，依附在花瓣上，当花瓣掉落时，只能寻找新的寄主才得以存活……想到这 儿，慕容凌娢才突然发觉，这樱花树……好像一直都开着花。就算是被白雪覆盖之时，也能露出点点艳丽的粉红。这不科学啊，莫非本身就是 稀有品种……慕容凌娢就站在窗户边，思绪再次跑偏了。她联想到校园里那棵一年四季都火红的枫树，往届学生都说这枫叶是被所有学生狗的 心血染红的，可学校偏偏说它是棵很珍贵的树，在它的介绍牌上标明了各种信息，牌子最下方还写着“珍贵树木，损坏赔偿”，旁边还一本正 经的留着举报电话。然后……这个牌子被钉子深深钉在了树干上。纠结了半天，慕容凌娢终于开脱了。什么科学不科学的，这个BUG的时代有科 学可言吗？搞得跟我稀里糊涂穿越就很科学是的……不管了，天大地大睡觉最大，好不容易来到了这个无聊的时代，最不缺的就是睡觉时间， 要是这种机会都不好好把握，那真是白穿越了。一觉睡到天亮，慕容凌娢再次被茉莉那根毛茸茸的尾巴弄醒了。“你是不是搞了什么大事情？” 茉莉一脸严肃的提问，搞得慕容凌娢以为自己在做梦。“没有……啊。”慕容凌娢有点懵逼。“那你去跟百蝶解释吧，总之她炸毛了，你去安 抚一下……”茉莉这谎话自己都扯不下去了。“我相信百蝶一定必须要我安抚，我最多是个出气筒。”“那也得去！”茉莉提高生音叫道， “这锅太大，我可
= DE2- BE2 = (DE+BE)· ( DE- BE) = (DE+CE)· ( DE- BE) =BD· CD
5、已知：数7和24，请你再写一个整数， 使这些数恰好是一个直角三角形三边的长， 25 则这个数可以是——
6、一个直角三角形的三边长是不大于１ 24 ０的三个连续偶数，则它的周长是—— ——
回顾与思考
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勾股定理
1、直角三角形的边、角之间分别存在着什么关系？
2、请你举一个生活中的实例，并应用勾股定理解决它。
课堂练习： 一判断题. 1.ABC的两边AB=5,AC=12, 则BC=13 ( )
2. ABC的a=6,b=8,则c=10 ( )
二填空题 1.在 ABC中,C=90°, (1)若c=10,a:b=3:4,则 a=____,b=___. 6 8
4如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB延长线上， A 求证：AD2-AB2=BD· CD 证明：过A作AE⊥BC于E D 在Rt △ADE中， AD2=AE2+DE2
∵AB=AC，∴BE=CE
B
E
C
在Rt △ABE中， AB2=AE2+BE2 ∴ AD2-AB2=(AE2+DE2)-(AE2+BE2)
7 .观察下列表格：
猜想
列举 3、4、5 5、12、13 7、24、25
……
32=4+5 52=12+13
72=24+25
……
13、b、c
132=b+c
请你结合该表格及相关知识，求出b、c的值. 即b= 84 ，c= 85
9、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高 分别等于５５cm，１０cm和６cm，A和B是这个台阶 的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃 可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着 台阶面爬到B点，最短线路是多少？