抛物线准线、焦点考题的教学导向之思——从2015年江苏宿迁中考第26题说起
抛物线及其标准方程的教学反思（通用5篇）
抛物线及其标准方程的教学反思（通用5篇）作为一位刚到岗的教师，教学是重要的工作之一，写教学反思能总结我们的教学经验，那么写教学反思需要注意哪些问题呢？以下是小编为大家收集的抛物线及其标准方程的教学反思（通用5篇），仅供参考，希望能够帮助到大家。
抛物线及其标准方程的教学反思1本学期，大学区的活动搞得轰轰烈烈，听课、学习的机会比较多。
在这一大环境下，我校为了促进教师的教学水平，举办了本次青年教师赛教活动。
我觉得这也是一次锻炼和展示自己的机会，所以花了一周时间做课件和准备工作。
希望得到评委老师的点评，知道自己讲课不足的地方。
今天下午我讲的公开课是《抛物线及其标准方程》。
抛物线是学生接触到的第三种圆锥曲线，它相对于椭圆和双曲线要简单一些。
但是作为圆锥曲线它具有和其它圆锥曲线相似的学习过程和方法。
本节的教学重点是抛物线的定义及其标准方程的推导。
通过学生自主建立直角坐标系和对方程式的讨论选择突出重点。
教学难点是抛物线概念的形成及其标准方程的指导。
所以我在设置教案时将学生作为主体，引导学生完成抛物线定义及标准方程的推导，学生的配合也较理想。
本节课在这点上是我比较满意的地方，只是在讲解第三种推导方法时我习惯了板书给学生示范，结果在练习这个环节的时间有些紧张。
本节是解析几何关于圆锥曲线的知识，如果学生能观察到这些动点的关系曲线方程就会迎刃而解，也是解析几何的基本功的一个培训，同时本节课希望促进学生的动手动脑能力，所以本节课在设置上更大程度上让学生观察得到结论。
抛物线及其标准方程的教学反思2首先感谢我的师傅对我过关课得指导和同备课组的教师的指点与帮助。
同时也非常感谢听课的教师课后对我这次过关课的点评，指出我存在的缺点和不足。
从和师傅商量定题，定稿试讲，到站在教室讲授，我有种时间飞逝的感觉，就像“会诊课”、“汇报课”仿佛就在昨天。
从“会诊”到“汇报”到这次的“过关”我们经历了“四课”中的三课每一次的感触都不近相同。
讲“会诊”课的时候，我提前很长时间就开始着手准备了，但自己弄的东西凌乱、没有任何头绪，是师傅及时的为我把住了方向，定下了要讲的内容，反复的推敲承上启下的过渡语言。
挖掘隐含条件明确取值范围——以2017年江苏省南京市中考卷第26题为例
， 值一２，３分别代入 ： ÷ 中，求出相应的
所 以 该 函 数 的 图 像 的 顶 点 坐 标 为 （
， 函数值作 为取 值范围 ，则是一种典型错误 ！考
÷ ）．接下来给出两种思路：
方 法 １：把 ＝ 代 入 ），＝（ ＋１） ，得 ｙ＝
（ ＋１）ｚ：
．
因此 ，不论 ｍ为何值 ，该函数 的 图像 的顶 点都在 函数 ＝（ ＋１） 的图像上．
１．二 次 函 数 ｙ＝（ ＋１） 一５，当 ｍ ≤ｎ，且 ｍｎ＜Ｏ时 ，Ｙ的最 小 值 是 ２ｍ，最 大 值 是 ２ｎ，则
ｍ ＋ｒｔ
—
—
—
—
一
．
２．已知二次函数 ＇， ＋，舭＋ｎ（ｍ，ｎ为常数 ）．
（】）若 ｍ＝－２，ｎ＝－４，求二次函数 的最小值 ；
（２）若 ｎ＝３，该二次 函数 的图像与 直线 ｙ＝１
６８ Ｉ应 考 指 导
初 数 掌 ·应 考 指 导 ／
【思路解析 】（１）计算根 的判别式就 可发现 △≥０，于是选 Ｄ．
（２）先将 二次函 数“一般 式 ”配 方 为“顶点
（ｍ＋１） —来自。 此时如 果 简单地 把 一２≤ｍ≤３的两个 端点
：ｙ＝ ＋（ｍ－１） ＝七 一 ） ＋
虑 到 二次 函数 ：
图像对 称 轴 为 ｍ：一
１，进一步分析如下 ： 当ｍ＝－Ｉ时 ， 有最小值 ０； 当ｍ＜一ｌ时 。ｚ随 ｍ的增 大而减 小 ； 当ｍ＞一１时 ，ｚ随ｍ的增大而增大．
又当ｍ＝一２时 ， ＝ 二三 １＿ ＝ １；当， ：３
方法２：设 ＝ ，尸 ÷ ，将其变形 时 ：４．
为 ｍ＝ ＋１，（，７２＋１） ＝ ，再 把 ｍ＝ ＋１变 形 为
初中数学北师大九年级下册(2023年新编) 二次函数抛物线与直线交点问题教案
直线与抛物线的交点问题探究
【授课班级】9年级A班
【执教者】叶嘉眉
【课程分析】《直线与抛物线的交点问题探究》是义务教育教科书《数学》（北师大版九年级下抛物线章节中的适应学情的阶段专题研究课。
中考中该部分内容是常规常考题型，所以有必要进行系统研究归纳。
同时交点问题的深度研究又对后面有关抛物线中三角形面积等问题打下坚实基础。
本节内容是在学生学习了抛物线基本性质、一次函数相关知识的基础上进行的，它既是对前面所学知识的总结与归纳，同时也是对这些知识的拓展与延伸。
【学情分析】所教A班基础较为薄弱，数学思维较弱，学生对二次函数的理解不深刻，尤其是对函数图像认识较为肤浅，不能有效的将函数图像和数之间结合，对函数与方程的关系理解更不到位，本节教学由浅入深，由特殊到一般的提出问题，由形到数进行转化，引导学生自主探究、合作交流，观察、思考、讨论来解决问题。
【教学目标】
1. 经历探索抛物线与直线的交点问题的过程，体会图像与函数解析式之间的联系。
2、理解图像交点与方程解之间的关系，并能灵活运用解决相关问题，进一步培养数形结合思想。
3、通过培养学生共同观察和讨论，进一步提高合作交流意识。
【学习重点】1、熟练掌握抛物线与直线有两个交点、一个交点、没有交点的判定条件。
2、掌握抛物线与直线交点求解方式。
【学习难点】理解方程和函数之间关系，掌握数形结合思想。
【问题群设置】
1、主问题：直线与抛物线的交点问题
2、问题群
问题一：抛物线与直线的交点个数是由什么决定的？
问题二：抛物线与直线的交点坐标怎么求？
板书设计：直线与抛物线的交点问题探究
1、交点个数（△）
2、求交点（联立方程组）。
高中数学选修2-1《圆锥曲线》教案
4. 待定系数法求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求. 例4 已知抛物线y2=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲曲线方程.分析：因为双曲线以坐标轴为对称轴，实轴在y轴上，所以可设双曲线方ax2-4b2x+a2b2=0•••抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方程ax2-4b 2x+a2b2=0 应有等根.•••△ =1664-4Q4b2=0,即卩a2=2b.(以下由学生完成)由弦长公式得：即a2b2=4b2-a 2.(三)巩固练习用十多分钟时间作一个小测验，检查一下教学效果•练习题用一小黑板给出.1 .△ ABC-边的两个端点是B(0 , 6)和C(0 , -6)，另两边斜率的2. 点P与一定点F(2 , 0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1 : 2,求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？3. 求抛物线y2=2px(p >0)上各点与焦点连线的中点的轨迹方程. 答案：义法)由中点坐标公式得:(四)小结求曲线的轨迹方程一般地有直接法、定义法、相关点法、待定系数法，还有参数法、复数法也是求曲线的轨迹方程的常见方法，这等到讲了参数方程、复数以后再作介绍.五、布置作业1. 两定点的距离为6,点M到这两个定点的距离的平方和为26,求点M的轨迹方程.2. 动点P到点F1(1 , 0)的距离比它到F2(3 , 0)的距离少2,求P点的轨迹.3. 已知圆x2+y2=4上有定点A(2 , 0)，过定点A作弦AB,并延长到点P,使3|AB|=2|AB|，求动点P的轨迹方程.作业答案：1. 以两定点A、B所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，得点M的轨迹方程x2+y2=4 2. v |PF2|-|PF|=2 ，且|F1F2| • P点只能在x轴上且x V 1，轨迹是一条射线六、板书设计教学反思：4斜率之积为4,9程.分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,b,c .引导学生用其他方法来解.另解：设椭圆的标准方程为2 25 31 a b 0，因点一，一在椭圆上,a b2 225 9 则 4a 2 4b 22 2a b 4；10<6例2如图，在圆x 24上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段 PD , D 为垂足•当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么?分析： 点P 在圆x 2 y 2 4上运动，由点 P 移动引起点 M 的运动，则称点 M 是点P 的伴随点，因点M 为线段 PD 的中点，则点 M 的坐标可由点P 来表示，从而能求点 M 的轨迹方程.引申： 设定点2xA 6,2 , P 是椭圆x252y1上动点，求线段 AP 中点M 的轨迹方程.9解法剖析：①（代入法求伴随轨迹）设M x, y , P x 1,y 1 :②（点与伴随点的关系）： M为线段AP 的中点,X i y i2x 6;③（代入已知轨迹求出伴随轨迹）2y 22..X 1 '252y11 , •••点M9x的轨迹方程为一25④伴随轨迹表示的范围.例3如图，设A , B 的坐标分别为 5,0 , 5,0 .直线 AM , BM 相交于点M ，且它们的分析：若设点x, y ,则直线AM,BM 的斜率就可以用含 x, y 的式子表示，由于直线AM ,BM 的斜率之积是4 ，因此，可以求出9x, y 之间的关系式，即得到点M 的轨迹方程.解法剖析：设点M x, y ,则 k AM-^― x 5 , k BMx 5 ；x 5x 5代入点M 的集合有4-，化简即可得点 M 的轨迹方程. 9引申：如图，设△ ABC 的两个顶点 A a,0 , B a,0，顶点C 在移动，且k AC k BC k , 且k 0,试求动点C 的轨迹方程.引申目的有两点：①让学生明白题目涉及问题的一般情形；②当 色也是从椭圆的长轴T 圆的直径T 椭圆的短轴.练习：第45页1、2、3、4、 作业：第53页2、3、k 值在变化时，线段 AB 的角求点M 的轨迹方程.分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究，培养学生的分析问题和解决 问题的能力.思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问 题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能 力.实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力.创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的 一般的思想、方法和途径.♦过程与方法目标(1 )复习与引入过程引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注意通过对 椭圆的标准方程的讨论， 研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的培养.①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先 定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④通过 题，探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率. 〖板书〗§ 2. 1. 2椭圆的简单几何性质.(2) 新课讲授过程(i )通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质. 提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、 从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质.(ii )椭圆的简单几何性质2x一2 0，进一步得：a xax 代x ，且以 y 代y 这三个方面来研究椭圆的标准 y 轴为对称轴，原点为对称中心；即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆 锥曲线的顶点.因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较 短的叫做短轴；c④离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比e 叫做椭圆的离心率(0 e 1 ),a当 e1 时，c a ,,b0.； 椭圆图形越扁(iii )例题讲解与引申、扩展400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.分析：由椭圆的方程化为标准方程，容易求出a,b,c •弓I 导学生用椭圆的长轴、短轴、离心率、 焦点和顶点的定义即可求相关量.确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并掌握利用信息技术探 究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能.♦能力目标(1)(3) (4)大小和位置.要巳8的思考冋①范围：由椭圆的标准方程可得,y 2 b 2b y b ，即椭圆位于直线x② 对称性：由以 x 代x ，以 方程发生变化没有，从而得到椭圆是以③ 顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，y 代y 和 x 轴和 a ，同理可得:b 所围成的矩当 e 0 时，c 0,b a 椭圆越接近于圆例4求椭圆I6x 225y 2/Tn扩展：已知椭圆血5y2 5m m 0的离心率为e—，求m的值.解法剖析：依题意，m0,m 5，但椭圆的焦点位置没有确定, 应分类讨论: ①当焦点在x轴上，即0 m 5时，有a品 b 丽,c 75 ~m，二_—:得m 3；②当焦点在y轴上，即m例5如图,応b 岳c J m 5 , ••• J：5V m一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分.过对对称的截口5时，有a105253BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上, 由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BC F1F2，RB 2.8cm，F1F24.5cm .建立适当的坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程.解法剖析：建立适当的直角坐标系，设椭圆的标准方程为1，算出a,b,c的值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于a,b,c的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定.引申：如图所示，“神舟”截人飞船发射升空，进入预定轨道开始巡天飞行，其轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆，近地点A距地面200km，远地点B距地面350km，已知地球的半径R 6371km •建立适当的直角坐标系，求出椭圆的轨迹方程.例6如图，设M x, y与定点F 4,0的距离和它到直线I : 兰的距离的比是常数4点M的轨迹方程./ 2 2 「亠「■25匚亠2MF(x 4 y ,到直线I:x 的距离d x44分析：若设点M x, y，则则容易得点M的轨迹方程.引申：（用《几何画板》探究）若点M x, y与定点F c,0的距离和它到定直线l :c距离比是常数e aac 0 ,则点M 的轨迹方程是椭圆.其中定点F c,0是焦点,2x —相应于F的准线;c由椭圆的对称性, 另一焦点F c,0 ,相应于F的准线l :练习：第52页1、作业：第53页4、教学反思：2、3、4、5、6、75ac4，求52a的c定直线l :类比椭圆：设参量b的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、的几何意义.2 类比：写出焦点在y轴上，中心在原点的双曲线的标准方程召b (iii )例题讲解、引申与补充例1已知双曲线两个焦点分别为F15,0 , F25,0，双曲线上一点绝对值等于6，求双曲线的标准方程.分析：由双曲线的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,b,c的关系有明显P到R , F2距离差的2x2a1 a 0,b 0 . a,b, c.补充：求下列动圆的圆心M 的轨迹方程：① 与O C :2 22 y 2内切，且过点 A 2,0 :②与O C 1 : x 2 y 12 21 和O C2 : x y 4都外切；③与O C i :2 y 9外切，且与O C 2: x 223 y 1内切.解题剖析 半径为r :这表面上看是圆与圆相切的问题， 实际上是双曲线的定义问题•具体解: 设动圆•/ O C 与O M 内切，点A 在O C 外,• MC| r /2 MA,因此有MA 2x 2 •••点 MC 2，•点M 的轨迹是以C 、 A 为焦点的双曲线的左支，即M 的轨迹方程是MC i •••O M 与O c 1、O C 2 均外切，•••|MC 1| r 1, MC 2 r 2,因此有的轨迹是以C 2、C i 为焦点的双曲线的上支，• M 的轨迹方程是4y••• e M MC 2MC 24x 2 3MC i 1 ,与eG 外切，且e M 与e C 2内切，•- MC j4，•点M 的轨迹是以C i 、C 2为焦点的双曲线的右支，• MC 2r 1，因此M 的轨迹方程是例2已知A , B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在 B 地晚2s ，且声速为340m / s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程. 分析：首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及 A , B 两地听到爆炸声的时间差，即可知A , B 两地与爆炸点的距离差为定值•由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程. 扩展：某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告：正西、正北两个观察点同时听 到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚 4s .已知各观察点到该中心的 距离都是1020m •试确定该巨响发生的位置（假定当时声音传播的速度为 340m/s ;相关点均在 同一平面内）• 解法剖析：因正西、正北同时听到巨响，则巨响应发生在西北方向或东南方向，以因正东比正西晚 4s ，则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上. 如图，以接报中心为原点 0，正东、正北方向分别为 x 轴、y 轴方向，建立直角坐标系，设 B 、C 分别是西、东、北观察点，则 A 1020,0 , B 1020,0 , C 0,1020 • 设P x,y 为巨响发生点，•/ A 、C 同时听到巨响，•OP 所在直线为y x ……①，又因B 点比A 点晚4s 听到巨响声，• PB PA 4 340 1360 m •由双曲线定义知，a 680 ,2 2c 1020 ,••• b 340^5 ,••• P点在双曲线方程为X 2y2 1 x 680……②.联立680 5 340①、②求出P点坐标为P 680 ;5,680 ,'5 •即巨响在正西北方向680、、10m处.探究：如图，设A，B的坐标分别为5,0，5,0 •直线AM，BM相交于点M，且它们4的斜率之积为，求点M的轨迹方程，并与§ 2. 1.例3比较，有什么发现？9探究方法：若设点M x,y，则直线AM , BM的斜率就可以用含x, y的式子表示，由于直线AM , BM的斜率之积是4，因此，可以求出x, y之间的关系式，即得到点M的轨迹方程.9练习：第60页1、2、3、作业：第66页1、2、2 . 3. 2双曲线的简单几何性质♦知识与技能目标了解平面解析几何研究的主要问题：(1)根据条件，求出表示曲线的方程；(2 )通过方程，研究曲线的性质.理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；通过例题和探究了解双曲线的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术进一步见识圆锥曲线的统一定义♦过程与方法目标(1 )复习与引入过程引导学生复习得到椭圆的简单的几何性质的方法，在本节课中不仅要注意通过对双曲线的标准方程的讨论，研究双曲线的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的进一步地培养.①由双曲线的标准方程和非负实数的概念能得到双曲线的范围；②由方程的性质得到双曲线的对称性；③由圆锥曲线顶点的统一定义，容易得出双曲线的顶点的坐标及实轴、虚轴的概念；④应用信息技术的《几何画板》探究双曲线的渐近线问题；⑤类比椭圆通过F56的思考问题，探究双曲线的扁平程度量椭圆的离心率. 〖板书〗§ 2. 2. 2双曲线的简单几何性质.(2) 新课讲授过程(i )通过复习和预习，对双曲线的标准方程的讨论来研究双曲线的几何性质.提问：研究双曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对双曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置.要从范围、对称性、顶点、渐近线及其他特征性质来研究曲线的几何性质.(ii )双曲线的简单几何性质2 2①范围：由双曲线的标准方程得， 1 0，进一步得：x a ，或xa .这说b a明双曲线在不等式 x a ，或x a 所表示的区域；② 对称性：由以 x 代x ，以y 代y 和 x 代x ，且以 y 代y 这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心；③ 顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线 的顶点.因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴， 焦点不在的对称轴叫做虚轴；c⑤ 离心率：双曲线的焦距与实轴长的比 e —叫做双曲线的离心率(e 1).a④渐近线：直线ybx 2x 叫做双曲线一 aa 2yb 2 1的渐近线;y 轴上的渐近线是扩展：求与双曲线x 2 162y —1共渐近线，2. 3, 3点的双曲线的标准方及离心率.解法剖析 :双曲线2x16291的渐近4x .①焦点在x 轴上时，设所求的双曲2线为X 216k 2 2 y 9k 2A 2；3, 3点在双曲线上，••• k 21，无解;4②焦点在y 轴上时，设所求的双曲线2x 16k 229：2 1，―A2 3, 3点在双曲线上，• k21，因此，所求双曲线42的标准方程为y9 41，离心率e5.这个要进行分类讨论，但只有一种情形有解，事实上, 3可直接设所求的双曲线的方程为2x162y一 mm R,m 0 .9(iii )例题讲解与引申、扩展例3求双曲线9y2 16x2 144的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程.分析：由双曲线的方程化为标准方程，容易求出a,b,c.引导学生用双曲线的实半轴长、虚半轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在例4双曲线型冷却塔的外形，半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m .试选择适当的坐标系，求出双曲线的方程(各长度量精确到1m).是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图(1),它的最小解法剖析：建立适当的直角坐标系，设双曲线的标准方程为2 2七七 1，算出a,b,c的值;a b此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于 精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定.引申：如图所示，在 P 处堆放着刚购买的草皮，现要把这些草皮沿着道路 PA 或PB 送到呈矩形的足球场 ABCD 中去铺垫，已知|Ap 150m ，|Bp 100m，| BC| 60m ， APB 60o •能否在足球场上画一条 “等距离”线，在“等距离”线的两侧的区域应该选择怎样的线路？说明理由.解题剖析：设M 为“等距离”线上任意一点，则|PA |AM点M 的轨迹方程.♦情感、态度与价值观目标在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教 学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生 创新.必须让学生认同和掌握：双曲线的简单几何性质，能由双曲线的标准方程能直接得到双曲线 的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系 的两个原则，①充分利用图形对称性，②注意图形的特殊性和一般性；必须让学生认同与熟悉：取 近似值的两个原则：①实际问题可以近似计算，也可以不近似计算，②要求近似计算的一定要按要 求进行计算，并按精确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并 掌握利用信息技术探究点的轨迹问题， 培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能.♦能力目标(1) 分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究 ，培养学生的分析问题和解决 问题的能力.(2)思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问 题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能MF I 1 ^2 2 .16 ,16 J X 5y ,到直线l:x 一的距离dx — 15 5分析：若设点M x, y ，则a,b,c 的近似值，原则上在没有注意PB BM ,即BM | |AM | |Ap |Bp 50 （定值），“等距离”线是以A 、B 为焦点的双曲线的左支上的2部分，容易“等距离”线方程为x y1 35 x 625 375025,0 y 60 .理由略.例5如图，设M x, y 与定点F 5,0的距离和它到直线 15的距离的比是常数5，求4则容易得点M 的轨迹方程. 引申：《几何画板》探究点的轨迹：双曲线x, y 与定点 F c,0 的距离和它到定直线2a——的距离 c比是常数0，则点M 的轨迹方程是双曲线. 其中定点F c,02是焦点，定直线l : x —相c应于F 的准线; 另一焦点 F c,0，相应于F 的准线I : xx2力.(3) 实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力.(4)创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的 一般的思想、方法和途径.练习：第66页1、2、3、4、5 作业：第3、4、6补充：3.课题:双曲线第二定义教学目标：1•知识目标：掌握双曲线第二定义与准线的概念，并会简单的应用。
一道抛物线背景中考压轴题的命制与反思
解析 ： （ １ ） 将点 Ｃ （ ２ ， Ｏ ） ， Ｄ（ ０ ， －１ ） 代入 — ＋ｃ 得：
Ｃ ＝ －１
—０
ｒ
１
性质 ， 体现 数 形结 合 与 分类 讨 论 的 思想． 然 而 这样 “ 架
构” 的试题 已经是铺天盖地． 通过调研 笔者 发现 ， 不少 学
校都进行 了这类题 型的模式 化训 练． 所 以如果今年 的 中 考题仍然是 以这类题 型出现 的话 ， 势必会使 得教师 在 以 后 的教学 中采用题 海战术 以应付 中考 ， 同时压轴题 的选
数学 ・ 本刊 专稿
Ａ、 Ｂ两点， 点 Ｃ在 抛 物 线 的准 线 点 位置 ， 图形 和解析 式都 比较 简洁 ， 为后 面的设 问减 少 运 算量打下基础．
．
上， 且Ｂ Ｃ／ ／ ｚ轴． 证 明 直线 ＡＣ经
过原 点 ｏ． （ 三） 命制试题 的策略 与方法 命题 之 初 的 主要 思 路 是避 开 近 年来 在抛 物线 背 景 下 的 常 见 题 型， 如 动 点 问题 、 面积 或 周 长 的 最
ＢＯ＝ ＢＮ — ｎ。
‘
图 ２
、
ห้องสมุดไป่ตู้
试 题 呈 现
．
’ Ｂ Ｎ／ ／ Ｏ Ｅ． ． ‘ ． ＡＡ Ｇ Ｏｏ ｏ ＡＡＨＢ．
ＡＯ
一
题 目： （ ２ ０ １ ３年 广 西 南 宁卷 第 ２ ６题 ） 如图 １ ， 抛 物 线 一日 ＋ｃ （ ｎ ≠０ ） 经过 Ｃ （ ２ ， ０ ） 、 Ｄ（ ０ ， ～１ ） 两点， 并 与
综 上所述 ， 无论 尼取何 值 ，
于同一个 常数． 二、 试 题命制的过程 （ 一） 命制试题 的最初动机
加强数学活动教学 积累基本活动经验——2009年江苏省数学中考试卷第26题对教与学的启发
图 １
图 ２
题 目 （ ） 察 与 发 现． 明将 三 角 形 纸 片 １观 小
Ａ Ｃ（ Ｂ＞ Ｃ 沿过 点 Ａ的直线折 叠 ， Ｂ Ａ Ａ） 使得 Ａ Ｃ落 在Ａ Ｂ边 上 ， 折痕 为 Ａ 展 开纸 片 （ 图 １ ； 次折 Ｄ， 如 ）再 叠该三角形纸片， 使点 Ａ和点 Ｄ重合 ， 折痕为 ，
知识 ， 部分 学生 的计 算 能 力较 弱 ， 致 对 常见 数 据 导 的处理 也出 现差 错． 第 （ ） 题 中 ， 有 学 生 搞 在 ２小 还
错年份 ， 也有对“ 资金 的提高和降低 ” 的处理简单 化而导 致方程错 误 ， 即使方 程列 出后解答 错误也 较
多． （ ） 第 ３ 小题 由于学 生对 百 分率 理解 不 正 确而 导 致失 分 本 题 平 均 得 分 为 ６ ６ ． ８分 ， 度 系 数 为 难
Ｏ６． ． ９
、
定理 的再认 ， 而是立足 于数学的本质 ， 立足于能力 的提高 ； 引导 学生 自觉运 用 所 学知 识 进 行 多 角度 、
全 方位 的思考 ， 增强 发现 问题 、 决 问题 的能力． 解 善 于 灵活运 用 各种有效 教学 的方法 和策 略 ， 注学 生 关 学 习 的过程 ， 提高 学 生 学 习 的效率 ， 重学 生 自主 注 探索、 自主发 展能 力 的 提 升 和发 展 ， 以应对 各 种 新
的关系， 常编拟有效 的应用性试题 ， 善于引导学生 学会 阅读 、 学会 提炼 ， 过 建 立恰 当 的数 学模 型 来 通 解 决 问题 ， 而 让 学 生 学 会 用 数 学 的 眼 光 观 察 社 从
会 ， 现生 活数学 化 、 学生 活化． 实 数 （） ４ 读懂 数学语 言 ， 促进符 号化 的学 习． 数学语 言 区别 于 日常语 言 ， 读懂 数 学语 言对 于 理解数学概念与本质 ， 提高发现问题 、 解决问题 的
“生态课堂”视角下的高中数学概念课的教学思考
“生态课堂”视角下的高中数学概念课的教学思考作者：***来源：《数学教学通讯·高中版》2021年第07期[摘要] 21世纪以来，基础教育改革的浪潮席卷全国. 新课程改革背景下的课堂教学不再是学生被动接受知识的活动. 华东师范大学叶澜教授提出了“从生命的高度用动态的观点看待课堂教学，课堂应呈现生命态，是发展生成的，具有创生性”的要求. 将生态理念引入课堂教学实践，把课堂还给学生，可以让课堂焕发出生命的活力. 本文以笔者一堂“送培送教”课《抛物线及其标准方程》为例，谈谈“生态课堂”视角下的高中数学概念课如何进行有效的教学设计.[关键词] 生态课堂;概念课设计;有效教学[⇩] 生态课堂的基本内涵特级教师詹明道在《走向数学生态课堂》中说道：“数学生态课堂是以生命教育与教育生态观为基础，以实现生命发展为价值追求，让师生在本真、自然、和谐的环境里富有个性地、自主地实现课程、师生、知识、社会多元多向多层次的互动，不断地开发潜能，开启智慧，创造自我，改善和发展生命，取得数学素养和生命质量整体提升的课堂. ”[⇩] 数学生态概念课的初步探索波利亚指出“学习最好的途径是自己去发现”. 中学数学是由概念、命题和推理组成的逻辑体系. 概念、命题和推理是逻辑思维的三大基本形式. 其中概念是逻辑思维的细胞，是反映现实世界空间形式和数量关系本质属性的思维过程. 数学概念的发展历程是一个自然生长的过程. 因此，笔者认为，“生态课堂”视角下的概念课教学，应注重创设实际情境，提供活动体验过程，引导学生在问题驱动下思考，在合作探究中感悟，在合作讨论中思辨，通过直观感知、数学抽象进行知识建构，从而促进自身主动发展. 具体课堂实施過程可围绕以下环节展开：（一）导疑——情境导入，提出疑问，创设数学生态课堂的“软环境”在高中数学学习中，最重要的就是学生的学习兴趣，只有对数学学习充满兴趣，学生才能自觉主动地学习. 在已有生活经验和知识储备的基础上创设贴合生活、富有悬念、生动活泼的教学情境，有利于激发学生探究欲望和学习好奇心，有利于学生问题意识的形成. 因此在导疑这个环节中，让学生明确学习本课的三维目标后，笔者出示了以下问题：【创设情境，提出问题】1. 出示生活中一些熟悉的抛物线，观察赵州桥桥拱的形状是什么曲线. 通过赵州桥的“陷阱”，激化学生的认知冲突，激发学生的探索欲望，并由此提出问题.2. 提出问题1：具备什么几何特征的曲线才可以称做抛物线呢？你能写出它的方程形式吗？设计意图：通过学生回答和图片展示，使学生对抛物线有感性认识，引发学生思考，让学生体会到“抛物线在生活中有广泛的应用”，激发学生学习抛物线的兴趣.（二）引探——自主学习，探究问题，凸显数学生态课堂的“生本性”【活动探究，描绘图形】学生动手，在图1中，按步骤找出相应点并描绘图形轮廓.图形说明：F是定点，l是定直线，KF⊥l，在直线l上依次取出点H（i=1，2，…，6），过H作l的垂线，如图1.作图步骤：1. 连接HiF（i=1，2，…，6）;2. 作HiF的中垂线交相应的垂线l于点M，并用光滑的曲线将M点连接起来.学生作图完成后，用几何画板展示成图过程.设计意图：培养学生的动手能力，从作图中直观感受动点到定点、定直线之间的关系.【特征分析，尝试定义】问题2：（1）曲线是由哪个点运动产生的？（2）点M运动过程中，哪些几何图形没有发生变化？（3）怎么用等量关系刻画点M的运动？（4）MH位置始终在变化，但它与直线始终保持怎样的位置关系？（5）|MH|实际上就是动点M到定直线l的________？由学生尝试概括抛物线的“定义”：我们把平面内与一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹叫做抛物线.（三）释疑——主动展示，阐释疑点，凸显数学生态课堂的“生动性”生态课堂的“生动性”是指教学方法的多样化，体现学习方式的多样性与主体性、协作性与交流性、体验性与感悟性. 在这个环节中，教师应紧扣凸显学习目标的共性问题，鼓励学生阐释问题，教师适当点拨. 学生获得新知识的同时，通过优化内容、巧妙设疑、激发想象等方式，不断激发学生提出高质量的问题，从而让学生的一切表现因精彩而使课堂变得生动.【问题探究，完善定义】问题3：（1）如果改变定点F和定直线l的距离，即改变KF的大小，抛物线会发生什么变化呢？（2）如果KF继续变小至0，即定点F在定直线l上，这个时候形成的曲线是什么图形？完善抛物线的定义：（动画演示）我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线，定点F到和定直线l的距离用字母p来表示，即p=KF.【类比探究，推导方程】1. 小组讨论，拟订方案问题4：（1）求曲线方程的基本步骤是什么？建系—设点—列式—代入—化简—证明.设计意图：回忆前面所学知识，做好知识准备.（2）求抛物线的方程，关键是建立适当的坐标系问题. 借鉴椭圆、双曲线的建系方案，如何选择合适的坐标系会更好呢？学生容易提出如下三种方案（预案）：方案一：以l所在的直线为y轴，以K为原点建立直角坐标系（其优点是“好想”）;方案二：以KF所在直线为x轴，以F為原点建立直角坐标系（其优点是“好算”）;方案三：以KF所在直线为x轴，以中点为原点建立直角坐标系（其优点是结果简洁）.2. 分工合作，推导方程学生在以上三种方案下得出三个不同的方程：方案一：y2=2px-p2（p>0）;方案二：y2=2px+p2（p>0）;方案三：y2=2px（p>0）.设计意图：让学生亲身经历抛物线方程的推导过程，加强学生对坐标法的认识，培养学生主动学习、合作学习的精神，有利于难点的突破.3. 师生共议，确定标准对比研究，确定标准方程：y2=2px（p>0）.特征：开口向右，焦点坐标为F，0，准线方程为x=-.4. 类比探究，完成建构问题5：由前面学过的知识，我们知道椭圆和双曲线的标准方程的两种形式实际上是由焦点的位置确定的. 那么根据抛物线的焦点可能所处的位置，能否写出其他形式的标准方程呢？设计意图：用类比的方法，鼓励学生进行发散思维，培养知识迁移的能力.问题6：（1）四种标准方程的左边和右边次数是怎样的？（2）如何由方程确定抛物线的焦点位置及开口方向？设计意图：培养学生观察、类比、概括的能力，突出抛物线方程和焦点、准线的内在联系，有利于学生知识的掌握.5. 回顾小结，思考提升一个定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线.两种思想：数形结合思想;分类讨论思想.三项注意：①定义的前提条件：直线l不经过定点F;②p的几何意义是焦点到准线的距离;③求抛物线焦点坐标、准线方程、标准方程时应“先定位，再定量”.四种形式：抛物线的标准方程有四种形式.设计意图：培养学生梳理知识点，总结知识内容，建构知识体系的能力.（四）精练——当堂训练，提升能力，凸显数学生态课堂评价的“生命性”生命性是生态课堂的前提. 师生共同获得欢乐，学生收获信心，让生命自由成长是生态课堂追求的终极目标. 因此在精练这个环节，教师应更多关注学生的个体差异和不同的学习需求. 通过例题讲解示范，方法总结提炼，合理分层训练，进行及时反馈和自我评价，让学生在运用新知识解决实际问题的同时能加以融会贯通，从中收获成功的喜悦，享受学习的乐趣.【例题解析】例1：（1）已知抛物线的标准方程是y=x2，求它的焦点坐标和准线方程;（2）已知抛物线的焦点坐标是F（-2，0），求它的标准方程和准线方程.例2：已知抛物线的焦点在x轴正半轴上，焦点到准线的距离是，求抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程.学生总结思路：第1步：将抛物线方程化为标准形式;第2步：求出的值;第3步：确定焦点位置，画出草图;第4步：求出焦点坐标和准线方程.设计意图：题目的设计由易到难，层层深入. 通过对解题方法的总结，使学生形成解题技能，提高解题能力.【巩固练习】1. 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：（1）y=-4x2;（2）y2=4x.思路：先将抛物线方程化成标准形式，数形结合求出焦点坐标和准线方程.2. 根据下列条件求抛物线的标准方程：（1）焦点F（-1，0）;（2）准线：y=2.思路：先定型，再定量. 由焦点位置或准线方程确定抛物线的形式，然后求出p的值.设计意图：当堂检测，反馈效果，总结方法，提升解题能力，感受成功的喜悦.【拓展提升】3. 求顶点在原点，经过点P（4，2），且焦点在坐标轴上的抛物线的标准方程.设计意图：满足层次较高学生的学习要求，渗透数形结合的思想和分类讨论的思想.[⇩] 数学生态概念课教学的反思数学概念的形成是在一定背景下探索，自然生长和再创造的过程，最终以定义的形式揭露其本质特征. 正确理解数学概念并能加以运用，首先必须明确这个数学概念的内涵——所有对象的共同本质属性，及其外延——所有对象的范围. 核心素养导向下的新高考，不再是对单一知识点的强化记忆和简单运用，而更多关注知识的基础性、综合性、应用性和创新性，关注知识的交汇和迁移，光靠机械模仿训练，生搬硬套公式，高考注定失败. 可如今一些数学课堂，教师满堂灌，忽视概念教学，靠刷题的现象屡见不鲜. 由于学生没有对概念的本质和外延有足够的理解、把握，知其然不知其所以然，遇到新情景题、变式题，就束手无策. 因此在高中概念课教学中，数学教师应遵循学生数学学习的认知发展规律，注重知识的预设和生成，深入挖掘知识的内涵与联系，还原数学概念自然生长的过程，让学生在知识的获取过程中感到一切都来得那么自然和原生态.。
新教材高中数学苏教版选择性必修一 精品突破 学生版 抛物线的几何性质(重点)
3.3.2抛物线的几何性质（重点）一、单选题1．已知抛物线24y x =的焦点为F ，点(),4P m -在抛物线上，则PF 的长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 2．已知抛物线的方程为28y x =，若过点()2,0Q -的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（ ）A ．[]1,1-B ．[)(]1,00,1-C ．(][),11,-∞-⋃+∞D ．()(),11,-∞-⋃+∞3．若抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，过焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，且||4AB =，则弦AB 的中点到y 轴的距离为（ ）A ．32B ．2C ．3D ．4 4．已知抛物线2y mx =（0m >）的焦点为F ，过点F 且倾斜角为30°的直线交抛物线于A ，B 两点，若6AB =，则焦点F 的坐标为（ ）A ．90,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．90,8⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．90,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭5．已知弦AB 经过抛物线()220y px p =>的焦点F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，则下列说法中错误的是（ ）A ．当AB 与x 轴垂直时，AB 最小B ．112AF BF p+= C ．以弦AB 为直径的圆与直线2p x =-相离 D ．212y y p =-6．设直线12:l y x =，直线2l 经过点(2,1)P ，抛物线2:4C y x =，已知直线12,l l 与抛物线C 共有三个交点，则满足条件的直线2l 的条数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．已知O 为坐标原点，F 为抛物线2:C y =的焦点，P 为C 上一点，若||PF =则POF 的面积为（ ）A ．2B ．C ．D ．48．已知抛物线()2 20y px p =>的准线与圆()()22:129C x y ++-=相切，则p = A ．2 B ．4 C ．8 D ．169．设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，抛物线C 上的两点A ，B 位于x 轴的两侧，且5OA OB ⋅=（O 为坐标原点），若ABO 与AFO 的面积分别为1S 和2S ，121344S S +的最小值为（ ）A B ．C D ．10．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，Q 为C 上一点，M 为C 的准线l 上一点且//QM x 轴.若O 为坐标原点，P 在x 轴上，且在点F 的右侧，4OP =，QF QP =，120MQP ∠=︒，则准线l 的方程为（ ）A ．165x =- B ．25x =- C ．45x =- D ．85x =- 11．已知F 为抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，A 为C 上任意一点，且点A 到点(3,0)B 距离的最小值为F 交C 于P ，Q 两点，且||8PQ =，则线段PQ 中点的横坐标为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．612．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为A ，抛物线E 的顶点为坐标原点，焦点为2F ，若直线1F A 与抛物线E 交于P ，Q 两点，且4PA QA a +=，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12 B C D二、多选题13．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，则下列结论正确的有（ ）A ．抛物线C 上一点M 到焦点F 的距离为4，则点M 的横坐标为3B ．过焦点F 的直线被抛物线所截的弦长最短为4C ．过点（0，2）与抛物线C 有且只有一个公共点的直线有2条D ．过点（2，0）的直线1与抛物线C 交于不同的两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 1y 2＝﹣814．（多选题）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F 、准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点()11,P x y 、()22,Q x y ，点P 在l 上的射影为1P ，则 （ ）A ．若126x x +=，则8PQ =B ．以PQ 为直径的圆与准线l 相切C ．设()0,1M ，则1PM PP +D ．过点()0,1M 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多有2条15．在平面直角坐标系xOy 中，已知F 为抛物线2y x =的焦点，点()()1122,,,A x y B x y 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=，则（ ）A ．126x x =B ．直线AB 过点(2,0)C ．ABO 的面积最小值是D ．ABO 与AFO 面积之和的最小值是316．已知点11,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，O 为坐标原点，A ，B 为曲线C ：212y x =上的两点，F 为其焦点.下列说法正确的是（ ）A ．点F 的坐标为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．PAF △C ．若P 为线段AB 的中点，则直线AB 的斜率为－2D ．若直线AB 过点F ，且PO 是AF 与BF 等比中项，则10AB =三、填空题17．过定点()0,1P 且与抛物线22y x =只有一个公共点的直线方程为______．18．已知双曲线2214y x -=的两条渐近线分别与抛物线22(0)y px p =>的准线交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若△AOB 的面积为1，则p 的值为______．19．如图，已知点F 为抛物线2:4C y x =的焦点过点F 且斜率存在的直线交抛物线C 于A ，B 两点，点D 为准线l 与x 轴的交点，则DAB 的面积S 的取值范围为______．20．已知圆C : ()2234x y -+=，点M 在抛物线T ：24y x =上运动，过点M 引直线1l ，2l 与圆C 相切，切点分别为P ，Q ，则PQ 的取值范围为__________.四、解答题21．已知顶点在原点，焦点在y 轴上的抛物线过点()2,1P ．(1)求抛物线的标准方程；(2)过点P 作直线l 与抛物线有且只有一个公共点，求直线l 的方程；(3)过点()1,1Q 作直线交抛物线于A 、B 两点，使得Q 恰好平分线段AB ，求直线AB 的方程． 22．已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在坐标轴上且经过点()1,2A ．(1)求抛物线C 的方程；(2)若点()1,2B -和点M 在抛物线C 上，且点M 到焦点的距离是3，求ABM 的面积．23．已知抛物线214C y x =：，圆()22234C x y -+=：，F 是抛物线的焦点，过点F 的直线与抛物线C 1交于A 、B 两点，与圆C 2交于点D ，点D 是线段AB 的中点．(1)求抛物线的准线方程；(2)求△OAB 的面积．24．世界上单口径最大、灵敏度最高的射电望远镜“中国天眼”——500m 口径抛物面射电望远镜，反射面的主体是一个抛物面（抛物线绕其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面），其边缘距离底部的落差约为156.25米，是由我国天文学家南仁东先生于1994年提出构想，历时22年建成的．它的一个轴截面是一个开口向上的抛物线C 的一部分，放入如图所示的平面直角坐标系内．(1)求C 的方程；(2)一束平行于y 轴的脉冲信号射到C 上的P 点，反射信号经过C 的焦点F 后，再由C 上点Q 反射出平行脉冲信号，试确定点P 的坐标，使得从入射点P 到反射点Q 的路程最短．25．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 到双曲线2213x y -=的渐近线的距离为1． (1)求抛物线C 的方程；(2)若抛物线C 上一点P 到F 的距离是4，求P 的坐标；(3)若不过原点O 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，且OA ⊥OB ，求证：直线l 过定点． 26．如图，已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）上一点M （2，m ）到焦点F 的距离为3，直线l 与抛物线交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，且y 1＞0，y 2＜0，OA •OB =12（O 为坐标原点）．(1)求抛物线的方程；(2)求证：直线l 过定点．27．已知抛物线2:2(0)C y px p =>上一点()0,2P x 到焦点F 的距离0||2PF x =．(1)求C 的方程；(2)点M 、N 在C 上，且PM PN ⊥，PD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得||DQ 为定值．28．如图，抛物线E ：y 2＝2px 的焦点为F ，四边形DFMN 为正方形，点M 在抛物线E 上，过焦点F 的直线l 交抛物线E 于A ，B 两点，交直线ND 于点C .(1)若B 为线段AC 的中点，求直线l 的斜率；(2)若正方形DFMN 的边长为1，直线MA ，MB ，MC 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则是否存在实数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？若存在，求出λ；若不存在，请说明理由．29．如图，设曲线ξ：y 2＝x ﹣1过抛物线Γ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F ，直线l 1过F 与Γ从下到上依次交于A ，B ，与ξ交于F ，P ，直线l 2过F 与Γ从下到上依次交于C ，D ，与ξ交于Q ，F ，直线l 1，l 2的斜率乘积为﹣2．(1)求P ，Q 两点的纵坐标之积；(2)设△ACF ，△PQF ，△BDF 的面积分别为S 1，S 2，S 3，求1322S S S ⋅的值． 30．在平面直角坐标系xOy 中，一动圆经过点1,0A 且与直线1x =-相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线K ，P 是曲线K 上一点.(1)求曲线K 的方程；(2)过点A 且斜率为k 的直线l 与曲线K 交于B ､C 两点，若l OP ∥且直线OP 与直线1x =交于Q 点.求AB AC OP OQ⋅⋅的值； (3)若点D ､E 在y 轴上，PDE △的内切圆的方程为()2224x y -+=，求PDE △面积的最小值.。
《抛物线及其标准方程》教学反思
《抛物线及其标准方程》教学反思《抛物线及其标准方程》教学反思作为一名到岗不久的老师，课堂教学是重要的工作之一，写教学反思能总结教学过程中的很多讲课技巧，怎样写教学反思才更能起到其作用呢？下面是小编为大家收集的《抛物线及其标准方程》教学反思，仅供参考，欢迎大家阅读。
《抛物线及其标准方程》教学反思1周四我讲了《抛物线及其标准方程》一课，讲完这节课后，积极主动地请教各听课老师，聆听他们的意见，还有第三节课后李校长、王校长、程主任、房主任的点评，虽然没有针对我的课进行点评，但我还是觉得受益颇深，我心想领导们指点的这些，好多也是我课堂上很应该注意和改进的，下面就将本节课的反思总结一下：这节课的备课我感受最深的就是老师们对我的帮助，在备这节课前，我请教了臧老师、徐老师、韩老师，她们对我上好这节课提出好多实实在在的宝贵意见，让我从自己备课这个小圈子里扩展到我力所不能及的大圈子里面，因为年纪轻、教学经验不足，好多不到之处请老师一指点之后恍然大悟，上课自然顺彻很多，很感谢老师们的帮助和指点。
这节课我用课件讲的抛物线，其实比较重要的一点是能用几何画板来比较形象的演示抛物线的生成过程，学生好接受、我也好表达，然后学生们自己在下面建系、做题，我用投影仪展示，一可以让学生很好的参与课堂，再就是不用再在黑板上写一遍，能减少不必要的时间耗费，增加课堂容量，再一个就是小组讨论，先学生们一起学后教，一开始小组成员有一半会的，通过同学的讲解小组的每个同学就都会了，这样老师也安心，不用怕有学生不会，学生也开心，因为他学会了知识。
最后老师和学生们一起进行总结，点出来重点、本质。
在这里的不足就是在小组讨论之前，我没有给同学们充分的自己思考的时间而是很快的进入了小组讨论，应该让学生有自主学习的时间，然后小组讨论，先学后教。
班级授课，共同成长。
对于小组，现在我完全是依靠组员的自觉和小组长的责任心，听了王校长的指点，我认识到我的不足，我应该经常性的评优秀小组，让小组代言人代表本组的水平，让他们有集体荣誉感，能很好的带动学生们的积极性。
二次函数压轴：焦点与准线,动点面积,含参二次函数(原卷版)--2024年中考数学
二次函数压轴：焦点与准线，动点面积，含参二次函数【题型1】焦点与准线例题12－1例题12—2湘潭市·中考真题广东深圳·中考真题四川自贡·中考真题宜宾·中考真题山东滨州·中考真题2023·湖北鄂州中考真题2022·湖北鄂州中考真题【题型2】焦半径倒数和为定值广西南宁·中考真题【题型3】焦点弦为直径的圆与准线相切2023·湖南怀化中考真题湖南张家界·中考真题【题型4】动点运动时间与面积之间的函数图像判断2023·黑龙江齐齐哈尔中考真题2023·辽宁鞍山中考真题2023·黑龙江绥化中考真题2023·江苏南通中考真题2023·辽宁锦州中考真题2023·辽宁盘锦中考真题【题型5】求运动时间与面积之间的函数表达式2023·广东广州中考真题2022·吉林中考真题广东深圳·中考真题2023·辽宁大连中考真题2022·四川绵阳中考真题【题型6】解答题压轴题纯含参二次函数问题2023年浙江省绍兴市中考真题2023年浙江省嘉兴（舟山）市中考真题2023年浙江省丽水市中考真题2023年江苏省南通市中考真题2023年江苏省淮安市中考真题2022•北京中考真题2022•安顺中考真题2022•长沙中考真题2022•广州中考真题2022•贵阳中考真题2022•天津中考真题2022•嘉兴中考真题2022•杭州中考真题2022•连云港中考真题二次函数的焦点与准线我们已经知道二次函数的图像是抛物线，一种特别的曲线，其本身还具有这样的性质：抛物线上的任意一点到平面中某个定点和某条定直线的距离始终相等．这个点称为抛物线的焦点，这条直线称为抛物线的准线，本文将讨论一些与抛物线的焦点和准线相关的问题．焦点和准线属于高中内容，高中内容下放也是中考中所常见的．我们知道，二次函数的图像是抛物线，它也可以这样定义：若一个动点M (x ，y )到定点(0,)2p A 的距离与它到定直线2py =−的距离相等，则动点M 形成的图形就叫抛物线22(0).x py p =>结论1：对于抛物线2,y ax =焦点坐标为10,4a，准线为直线1.4y a=− 焦点一般用字母F 表示．而且实际题目中二次项系数很多时候是1,4只是为了焦点坐标便于计算． 至于形如2y ax bx c ++的抛物线可化为顶点式2(),y a x h k =−+然后通过由2y ax =平移来确定焦点和准线．结论2：如下图，FM ⊥FN ．证明：设NPF α∠=，MQF β∠=，则180αβ+°，∴1190909022PFN QFMαβ°°°∠+∠=−+−=， ∴FM ⊥FN ．结论3：取PQ 中点E ，作EH ⊥x 轴交x 轴于H 点，则PH ⊥QH ．证明：倍长中线证两次全等．结论4：记MN 与y 轴交于点G ，11112PN OM PF QF FG+=+=．【题型1】焦点与准线例题12－1值．例题12—22．我们知道，二次函数的图像是抛物线，它也可以这样定义：若一个动点M (x ，y )到定点(0,)2p A 的距离与它到定直线2py =−的距离相等，则动点M 形成的图形就叫抛物线22(0).x py p =>(1)已知动点M (x ，y )到定点A (0，4)的距离与到定直线y ＝－4的距离相等，请写出动点M 形成的抛物线的解析式．(2)若点D 的坐标是(1，8)，在(1)中求得的抛物线上是否存在点P ，使得PA ＋PD 最短?若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．湘潭市·中考真题3．如图，点P 为抛物线214y x =上一动点 (1)若抛物线214y x =是由抛物线21(2)14y x =+−通过图像平移得到的，请写出平移的过程；(2)若直线l 经过y 轴上一点N ，且平行于x 轴，点N 的坐标为(0，－1)，过点P 作PM l⊥于M ．①问题探究：如图一，在对称轴．上是否存在一定点F ，使得PM ＝PF 恒成立?若存在，求出点F 的坐标：若不存在，请说明理由．广东深圳·中考真题4．如图1，抛物线y =ax 2+bx +3（a ≠0）与x 轴交于A （-3，0）和B （1，0），与y 轴交于点C ，顶点（1）求解抛物线解析式；（2）如图2，过抛物线上任意一点M （m ，n ）向直线l 四川自贡·中考真题5．如图，已知直线AB 与抛物线2:2C y ax x c =++相交于点A (－1，0)和点B (2，3)两点 (1)求抛物线C 函数表达式；(2)在抛物线C 的对称轴上是否存在定点F ，使抛物线C 上任意一点P 到点F 的距离等于到直线y =宜宾·中考真题6．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线的顶点坐标为(2，0)，且经过点(4，1)，如图，直线14y x =与抛物线交于A 、B 两点，直线l 为y ＝－1． (1)求抛物线的解析式；(2)知00(,)F x y 为平面内一定点，M (m ，n )为抛物线上一动点，且点M 到直线l 的距离与 点M 到点F 的距离总是相等，求定点F 的坐标．山东滨州·中考真题2023·湖北鄂州中考真题2022·湖北鄂州中考真题的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y【题型2】焦半径倒数和为定值广西南宁·中考真题10．如图，抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y＝kx交于A、B 两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N．【题型3】焦点弦为直径的圆与准线相切2023·湖南怀化中考真题湖南张家界·中考真题12．如图，已知二次函数21(0,y ax a =+≠a 为实数)的图像过点A (－2，2)，一次函数y ＝kx ＋b (k≠0，k 、b 为实数)的图像1经过点B (0，2)． (1)求a 值并写出二次函数表达式； (2)求b 值；(3)设直线1与二次函数图像交于M ，N 两点，过M 作MC 垂直x 轴于点C ，试证明： MB ＝MC ；(4)在(3)的条件下，请判断以线段MN 为直径的圆与x 轴的位置关系，并说明理由．【题型4】动点运动时间与面积之间的函数图像判断2023·黑龙江齐齐哈尔中考真题13．如图，在正方形ABCD 中，4AB =，动点M ，N 分别从点A ，B 同时出发，沿射线AB ，射线BC的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接DM ，MN ，ND ．设点M 运动的路程为()04x x ≤≤，DMN 的面积为S ，下列图像中能反映S 与x 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．2023·辽宁鞍山中考真题运动过程中MN 分别交矩形的对角线,AC BD 于点E ，F ，以EF 为边在MN 左侧作正方形EFGH ，设正方形EFGH 与AOB 重叠部分的面积为S ，直线MN 的运动时间为t s ，则下列图象能大致反映S 与t 之间函数关系的是（ ）A．B．C．D．2023·黑龙江绥化中考真题15．如图，在菱形ABCD中，60∠=°，4AAB=，动点M，N同时从A点出发，点M以每秒2个−−向终点C运动；点N以每秒1个单位长度沿线段AD向终点D运动，单位长度沿折线A B C的面积为y个平当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为x秒，AMN．．．．2023·江苏南通中考真题16．如图，ABC 中，90C ∠=°，15AC =，20BC =．点D 从点A 出发沿折线A C B −−运动到点B停止，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ．设点D 运动的路径长为x ，BDE △的面积为y ，若y 与x 的对应关系如图所示，则a b −的值为（ ）A ．54B ．52C ．50D ．482023·辽宁锦州中考真题17．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，3AC =，4BC =，在DEF 中，5DEDF ==，8EF =，BC 与EF 在同一条直线上，点C 与点E 重合．ABC 以每秒1个单位长度的速度沿线段EF 所在直线向右匀速运动，当点B 运动到点F 时，ABC 停止运动．设运动时间为t 秒，ABC 与DEFA ．B ．C ．D ．2023·辽宁盘锦中考真题18．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点A 在y 轴的正半轴上，顶点B 、C 在x 轴的正半作MN y ∥轴，与菱形的另一边交于点N ，连接PM ，PN ，设点M 的横坐标为x ，PMN 的面积为y ，则下列图象能正确反映y 与x 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．2023·广东广州中考真题19．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，10AB =，6AC =，点M 是边AC 上一动点，点D ，E 分别是AB ，MB 的中点，当 2.4AM =时，DE 的长是 ．若点N 在边BC 上，且CN AM =，点F ，G 分别是MN ，AN 的中点，当 2.4AM >时，四边形DEFG 面积S 的取值范围是 ．2022·吉林中考真题20．如图，在ABC 中，90ACB ∠=°，30A ∠=°，6cm =AB ．动点P 从点A 出发，以2cm/s 的速度沿边AB 向终点B 匀速运动．以PA 为一边作120APQ ∠=°，另一边PQ 与折线AC CB −相交于点Q ，以PQ 为边作菱形PQMN ，点N 在线段PB 上．设点P 的运动时间为(s)x ，菱形PQMN 与ABC 重叠部分图形的面积为2()cm y ．(1)当点Q 在边AC 上时，PQ 的长为 cm ；（用含x 的代数式表示） (2)当点M 落在边BC 上时，求x 的值；(3)求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．广东深圳·中考真题为D ．（1）求解抛物线解析式；（2）连接AD ，CD ，BC ，将△OBC 沿着x 轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到O B C ′′′∆，点O 、B 、C 的对应点分别为点O ′，B ′，C ′，设平移时间为t 秒，当点O'与点A 重合时停止移动．记O B C ′′′∆与四边形AOCD 的重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与时间t 的函数解析式；2023·辽宁大连中考真题22．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线y x =与直线BC 相交于点A ，(),0P t 为线段OB 上一动点（不与点B 重合），过点P 作PD x ⊥轴交直线BC 于点D ．OAB 与DPB 的重叠面积为S ．S 关于t 的函数图象如图2所示．(1)OB 的长为_______________；OAB 的面积为_______________． (2)求S 关于t 的函数解析式，并直接写出自变量t 的取值范围．2022·四川绵阳中考真题沿着A →D →B 的路线匀速运动，点F 沿着A →B →D 的路线匀速运动，当点E ，F 相遇时停止运【题型6】解答题压轴题纯含参二次函数问题2023年浙江省绍兴市中考真题24．已知二次函数2y x bx c =−++． (1)当4,3b c ==时， ①求该函数图象的顶点坐标． ②当13x −≤≤时，求y 的取值范围．(2)当0x ≤时，y 的最大值为2；当0x >时，y 的最大值为3，求二次函数的表达式．2023年浙江省嘉兴（舟山）市中考真题25．在二次函数223(0)y x tx t =−+>中， (1)若它的图象过点(2,1)，则t 的值为多少？ (2)当03x ≤≤时，y 的最小值为2−，求出t 的值：(3)如果(2,),(4,),(,)A m a B b C m a −都在这个二次函数的图象上，且3a b <<，求m 的取值范围．26．已知点(),0m −和()3,0m 在二次函数23,(y ax bx a b ++是常数，0)a ≠的图像上． (1)当1m =−时，求a 和b 的值；(2)若二次函数的图像经过点(),3A n 且点A 不在坐标轴上，当21m −<<−时，求n 的取值范围； (3)求证：240b a +=．2023年江苏省南通市中考真题27．定义：平面直角坐标系xOy 中，点(),P a b ，点(),Q c d ，若c ka =，d kb =−，其中k 为常数，且2023年江苏省淮安市中考真题2022·北京中考真题29．在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝t．（1）当c＝2，m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；（2）点（x0，m）（x0≠1）在抛物线上．若m＜n＜c，求t的取值范围及x0的取值范围．2022·安顺中考真题30．在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如：点（1，1），（12，12），（−√2，−√2），……都是和谐点．（1）判断函数y＝2x+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；（2）若二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（52，52）．①求a，c的值；②若1≤x≤m时，函数y＝ax2+6x+c+14（a≠0）的最小值为﹣1，最大值为3，求实数m的取值范围．2022·长沙中考真题31．若关于x的函数y，当t−12≤x≤t+12时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数h=MM−NN2，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”．（1）①若函数y＝4044x，当t＝1时，求函数y的“共同体函数”h的值；②若函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式；（2）若函数y=2xx（x≥1），求函数y的“共同体函数”h的最大值；（3）若函数y＝﹣x2+4x+k，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“h 的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．2022·广州中考真题32．已知直线l：y＝kx+b经过点（0，7）和点（1，6）．（1）求直线l的解析式；（2）若点P（m，n）在直线l上，以P为顶点的抛物线G过点（0，﹣3），且开口向下．①求m的取值范围；②设抛物线G与直线l的另一个交点为Q，当点Q向左平移1个单位长度后得到的点Q′也在G上时，求G在4mm5≤x≤4mm5+1的图象的最高点的坐标．2022·贵阳中考真题33．已知二次函数y＝ax2+4ax+b．（1）求二次函数图象的顶点坐标（用含a，b的代数式表示）；（2）在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB＝6，且图象过（1，c），（3，d），（﹣1，e），（﹣3，f）四点，判断c，d，e，f的大小，并说明理由；（3）点M（m，n）是二次函数图象上的一个动点，当﹣2≤m≤1时，n的取值范围是﹣1≤n≤1，求二次函数的表达式．2022·天津中考真题34．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的顶点为P，与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B．（Ⅰ）若b＝﹣2，c＝﹣3，①求点P的坐标；②直线x＝m（m是常数，1＜m＜3）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，当MG取得最大值时，求点M，G的坐标；（Ⅱ）若3b＝2c，直线x＝2与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当PF+FE+EN的最小值为5时，求点E，F的坐标．2022·嘉兴中考真题35．已知抛物线L1：y＝a（x+1）2﹣4（a≠0）经过点A（1，0）．（1）求抛物线L1的函数表达式．（2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O 的对称点在抛物线L1上，求m的值．（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，若点B（1，y1），C（3，y2）在抛物线L3上，且y1＞y2，求n的取值范围．2022·杭州中考真题36．设二次函数y1＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴．（2）若函数y1的表达式可以写成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．（3）设一次函数y2＝x﹣m（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y1＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值．2022·连云港中考真题37．已知二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4，其中m＞2．（1）当该函数的图象经过原点O（0，0），求此时函数图象的顶点A的坐标；（2）求证：二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的顶点在第三象限；（3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线y＝﹣x﹣2上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B，求△AOB面积的最大值．。
高中数学_抛物线的标准方程和简单几何性质教学设计学情分析教材分析课后反思
§2.4抛物线及其标准方程一：教学目标:1.知识与技能：（1）理解抛物线的定义，画出图形，并掌握其标准方程；（2）利用定义求标准方程，焦点，准线；（3）掌握简单运用。
2. 过程与方法：（1）根据抛物线特征选择不同解决方法；（2）从具体情境中抽象出抛物线模型；（3）用数学的思维和方法解决生活中与抛物线相关的问题。
3. 情感态度与价值观：在学习抛物线中，体会数形结合处理问题的好处。
二、学习者特征分析：1.学生有一定的圆锥曲线的基础，在此前学习过圆，椭圆的知识；2.清楚初中二次函数的图像是抛物线；3.有很强的求知欲望，思维活跃。
三：教学策略选择与设计1.采用启发式教学；创设情境，引导学生发现问题，运用类比，归纳的数学方法解决问题，是学生有被动接受转向主动学习；2.通过类比椭圆的学习体系及运用的方法，进而学习抛物线体系；3.适当的例题讲解，一方面巩固所学知识，另一方面培养自主思考解决问题能力。
教学重点：抛物线定义及如何建立适当坐标系，完成标准方程的推导过程。
教学难点：抛物线标准方程的推导过程。
四、教学资源与工具设计1. 一个多媒体教室；2. 课前制作的ppt；3.学生人手一本北师大版高中数学选修2-1；4.事先准备好的纸板、直尺、三角板、细线、胶带。
五、教学过程1.创设情境，引出课题利用PPT给出嫦娥一号飞船的运行轨迹图，引起注意，同时简单复习上节椭圆的相关知识。
今天我们一起深入来研究抛物线。
2.动手实验，概括定义师：初中，我们从函数的角度学习过抛物线，这一节课我们会冲破限界从另一个角度来认识抛物线。
下面请大家一起动手做一做：（同桌一组）把一根直尺固定在纸板上面，把一块三角板地一条直角边紧靠在支持的边缘，取一根直线，它的长度与另一直角边相等，细绳的一端固定在顶点A 处，另一端固定在纸板上点F 处。
用笔尖扣紧绳子，靠住三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，画出抛物线。
（走下讲台，及时对学生给予适当指导）师：思考一下，这个过程中有什么不变量？生：点P 到F 的距离和点P 到直尺的距离相等。
全国名校高考专题训练8圆锥曲线填空题(数学)
全国名校高考专题训练08圆锥曲线二、填空题1、(江苏省启东中学高三综合测试二)已知抛物线ｙ2＝a (x +1)的准线方程是x = -3,那么抛物线的焦点坐标是______. 答案：(1，0)2、(江苏省启东中学高三综合测试三)已知动圆P 与定圆C ：(x+2)2+y 2=1相外切，又与定直线L ：x=1相切，那么动圆的圆心P 的轨迹方程是： 。
答案：y 2=－8x3、(安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)已知P 为双曲线191622=-y x 的右支上一点，P 到左焦点距离为12，则P 到右准线距离为______； 答案：5164、(北京市东城区2008年高三综合练习一）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为F 1，F 2，若在双曲线的右支上存在一点P ，使得|PF 1|=3|PF 2|，则双曲线的离心率e 的取值范围为 . 答案：1＜e ≤25、(北京市东城区2008年高三综合练习二)已知椭圆12222=+by a x 的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一点，且∠PF 1F 2=30°，∠PF 2F 1=60°，则椭圆的离心率e = . 答案：3－16、(北京市丰台区2008年4月高三统一练习一)过双曲线M ：2221y x b-=的左顶点A 作斜率为1的直线l ,若l 与双曲线M 的两条渐近线相交于B 、C 两点 , 且AB BC =, 则双曲线M 的离心率为_____________. 答案：107、(北京市海淀区2008年高三统一练习一)若双曲线19222=-y ax ()0a >的一条渐近线方程为023=-y x ，则a=__________. 答案：28、(北京市十一学校2008届高三数学练习题)已知双曲线]2,2[),(12222∈∈=-+e R b a by a x 的离心率，则一条渐近线与实轴所构成的角的取值范围是_________．答案：[π4,π3].2ca≤≤，∴2224c a ≤≤，即22224a b a -≤≤，∴2213b a ≤≤，得1b a ≤≤，∴43ππθ≤≤ 9、(北京市西城区2008年4月高三抽样测试)已知两点(10)A ，，(0)B b ，，若抛物线24y x=上存在点C 使ABC ∆为等边三角形，则b ＝_________ . 答案：5或－1310、(北京市宣武区2008年高三综合练习一)长为3的线段AB 的端点A 、B 分别在x 、y 轴上移动，动点C （x ，y ）满足2=，则动点C 的轨迹方程是 . 答案：14122=+y x 11、(北京市宣武区2008年高三综合练习二)设抛物线y x 122=的焦点为F ，经过点P （2，1）的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，又知点P 恰为AB 的中点，则=+BF AF .答案：812、(四川省成都市2008届高中毕业班摸底测试)与双曲线116922=-y x 有共同的渐近线，且焦点在y 轴上的双曲线的离心率为答案：45 13、(东北区三省四市2008年第一次联合考试)过抛物线x y 42=的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，则BFAF 11+＝ 。
数学苏教版选修2-1教案：2.4.2 抛物线的几何性质 Word版含解析
2．4.2抛物线的几何性质(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)探究抛物线的简单几何性质，初步学习利用方程研究曲线性质的方法．(2) 掌握抛物线的简单几何性质，理解抛物线方程与抛物线曲线间互逆推导的逻辑关系及利用数形结合解决实际问题．2．过程与方法(1)通过抛物线的方程研究抛物线的简单几何性质，使学生经历知识产生与形成的过程，培养学生观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力．(2)通过掌握抛物线的简单几何性质及应用过程，培养学生对研究方法的思想渗透及运用数形结合思想解决问题的能力．3．情感、态度与价值观通过数与形的辩证统一，对学生进行辩证唯物主义教育，通过对抛物线对称美的感受，激发学生对美好事物的追求．●重点难点重点：掌握抛物线的几何性质，使学生能根据给出的条件求出抛物线的标准方程和一些实际应用．难点：抛物线各个知识点的灵活应用．(教师用书独具)●教学建议本节课以启发式教学为主，综合运用演示法、讲授法、讨论法、有指导的发现法及练习法等教学方法．先通过多媒体动画演示，创设问题情境，在抛物线简单几何性质的教学过程中，通过多媒体演示，有指导的发现问题，然后进行讨论、探究、总结、运用，最后通过练习加以巩固提高．根据本节课特点，结合教法和学生的实际，在多媒体辅助教学的基础上，主要采用“复习——类比——探索——应用”的探究式学习方法，增加学生参与的机会，使学生在掌握知识形成技能的同时，培养逻辑推理、理性思维的能力及科学的学习方法，增强自信心．●教学流程通过复习和预习，知道如何通过对抛物线的标准方程的讨论来研究它的几何性质．提问：双曲线有哪些几何性质，获取的途径有哪些？⇒从范围、对称性、顶点及离心率等研究抛物线的几何性质．既要数形结合直观感知，又要根据标准方程严格推证．⇒采用类比教学的方法，由焦点在x轴上的情形得出焦点在y轴上的情形，总结四种情形下的抛物线的几何性质．注意抛物线与双曲线的性质对比．⇒通过例1及变式训练，使学生掌握由几何性质求标准方程的方法，首先根据几何性质恰当设出标准方程，然后求出待定系数．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握抛物线的焦点弦长的求解公式，体会抛物线定义的应用，并且通过与一般弦长公式比较，体会焦点弦长公式的优势．⇒通过例3及变式训练，使学生掌握与抛物线有关的最值问题的求法，体会函数思想、转化思想的应用，注意抛物线定义的解题功能，注意抛物线范围的应用．⇒通过易错易误辨析，使学生避免错用判别式而判错抛物线与直线交点个数问题，体会等价转化思想的应用．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能力.太阳能是最清洁的能源．太阳能灶是日常生活中应用太阳能的典型例子．太阳能灶接受面是抛物线一部分绕其对称轴旋转一周形成的曲面．它的原理是太阳光线(平行光束)射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都经过抛物线的焦点，这就是太阳能灶把光能转化为热能的理论依据．1．抛物线有几个焦点？【提示】一个．2．抛物线的顶点与椭圆有什么不同？【提示】椭圆有四个顶点，抛物线只有一个顶点．3．抛物线有对称中心吗？【提示】没有．4．抛物线有对称轴吗？若有对称轴，有几条？【提示】有；1条．已知拋物线的焦点F在x轴上，直线l 过F 且垂直于x 轴，l 与拋物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于4，求此拋物线的标准方程．【思路探究】求A 、B 两点的坐标→求出弦长AB →写出△OAB 的面积，利用面积列方程解p 【自主解答】 由题意，设拋物线方程为y 2＝ax (a ≠0)． 焦点F (a 4，0)，直线l ：x ＝a4，∴A 、B 两点的坐标分别为(a 4，a 2)，(a 4，－a2)，∴AB ＝|a |，∵△OAB 的面积为4， ∴12·|a4|·|a |＝4，∴a ＝±42， ∴拋物线的方程为y 2＝±42x .1．本例中，由于焦点F 有两个位置，故有两个标准方程．2．利用几何性质求抛物线的标准方程，仍是先定位，再定量，利用待定系数法求解．已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴重合于椭圆x 29＋y 216＝1短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为5，求抛物线的方程．【解】 ∵椭圆x 29＋y 216＝1的焦点在y 轴上，∴椭圆x 29＋y 216＝1短轴所在的直线为x 轴．∴抛物线的对称轴为x 轴．∴设抛物线的方程为y 2＝mx (m ≠0)． ∴|m4|＝5，∴m ＝±20. ∴所求抛物线的方程为y 2＝20x 或y 2＝－20x .已知抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A 、B 两点，且AB ＝52p ，求AB 所在直线的方程．【思路探究】思路一 联立消元→韦达定理→弦长公式→列方程→求斜率k →求方程 思路二 联立消元→韦达定理→焦点弦公式→列方程→求斜率k →求方程【自主解答】 法一 焦点F (p 2，0)，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，若AB ⊥Ox ，则AB ＝2p <52p .所以直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －p 2)，k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －p 2)y 2＝2px ，消去x ，整理得ky 2－2py －kp 2＝0.由韦达定理得，y 1＋y 2＝2pk，y 1y 2＝－p 2.∴AB ＝ (x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝ (1＋1k 2)·(y 1－y 2)2＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝2p (1＋1k 2)＝52p ，解得k ＝±2.∴AB 所在直线方程为y ＝2(x －p 2)或y ＝－2(x －p2)．法二 如图所示，抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p2，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，设A 、B 到准线的距离分别为d A ，d B ， 由抛物线的定义知，AF ＝d A ＝x 1＋p 2，BF ＝d B ＝x 2＋p2，于是AB ＝x 1＋x 2＋p ＝52p ，x 1＋x 2＝32p .当x 1＝x 2时，AB ＝2p <52p ，所以直线AB 与Ox 不垂直．设直线AB 的方程为y ＝k (x －p2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －p 2)y 2＝2px ，得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋14k 2p 2＝0，x 1＋x 2＝p (k 2＋2)k 2＝32p ，解得k ＝±2，所以直线AB 的方程为y ＝2(x －p 2)或y ＝－2(x －p 2)．1．通过两种方法的比较可知，在求焦点弦长时，利用焦点弦长公式较一般弦长公式要简便．2．若焦点在y 轴正半轴上，则焦点弦长公式应改为：AB ＝y 1＋y 2＋p ，应注意相应地变化．斜率为12的直线经过抛物线x 2＝8y 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB的长．【解】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则对于抛物线x 2＝8y ，焦点弦长AB ＝p ＋(y 1＋y 2)＝4＋(y 1＋y 2)．因为抛物线x 2＝8y 的焦点为(0,2)，且直线AB 的斜率为12，所以直线AB 的方程为y ＝12x＋2，代入抛物线方程x2＝8y，得y2－6y＋4＝0，从而y1＋y2＝6，所以AB＝10.即线段AB的长为10.已知P是抛物线y2＝4x上任意一点，点A(a,0)，试求当P A最小时P点的坐标．【思路探究】设P(x，y)→表示|P A|→分类讨论求取得最小值时P点的坐标【自主解答】设P(x，y)，则P A＝(x－a)2＋y2＝(x－a)2＋4x＝[x－(a－2)]2＋4a－4.∵x≥0，a∈R，∴需分类讨论如下：(1)当a－2≤0即a≤2时，P A的最小值为|a|，此时P(0，0)．(2)当a－2＞0即a＞2时，则x＝a－2，P A取得最小值为2a－1，此时P(a－2，±2a－2)．综上所述，P A最小时，P点的坐标为：a≤2时，P(0,0)；a＞2时，P(a－2，±2a－2)．1．本例常犯的一种错误是，忽略抛物线上点的坐标的取值范围x ≥0，不进行分类讨论，直接认为x ＝a －2时取得最小值．2．与抛物线有关的最值问题，一般转化为函数最值问题求解．求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离．【解】 法一 设抛物线y ＝x 2上一点P (x 0，y 0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为d ，则d ＝|x 0－y 0－2|2＝|x 20－x 0＋2|2＝12|(x 0－12)2＋74|.当x 0＝12时，d min ＝728.法二 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2x －y ＋m ＝0消去y 得x 2－x －m ＝0令Δ＝1＋4m ＝0得m ＝－14，∴切线方程为x －y －14＝0，∴最短距离为d ＝|－2＋14|2＝78 2.错用Δ判别式而致错求过定点P (0,1)且与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点的直线方程．【错解】 由题意设直线的方程为y ＝kx ＋1.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝2x消去y 得k 2x 2＋2(k －1)x ＋1＝0.∵直线与抛物线只有一个公共点， ∴Δ＝4(k －1)2－4k 2＝0，∴k ＝12.∴所求直线的方程为y ＝12x ＋1.【错因分析】 本题错解的原因有两个：一是忽略直线斜率不存在的情况，只考虑斜率存在的直线；二是方程消元后，认定它为二次方程．事实上，二次项系数为零的一次方程的解也符合题意．【防范措施】 当直线和抛物线只有一个公共点时，应该有两种情况：一是直线和抛物线相切；二是直线与抛物线的对称轴平行，容易忽略的是第二种情况，还有第一种情况中应考虑斜率不存在的情形．【正解】 若直线的斜率不存在，则过点P (0,1)的直线方程为x ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y 2＝2x 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，∴直线x ＝0与抛物线只有一个公共点．若直线的斜率存在，则由题意设直线的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝2x 消去y 得k 2x 2＋2(k －1)x ＋1＝0. 当k ＝0时，有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝1，即直线y ＝1与抛物线只有一个公共点．当k ≠0时，有Δ＝4(k －1)2－4k 2＝0，∴k ＝12，即方程为y ＝12x ＋1的直线与抛物线只有一个公共点．综上所述，所求直线的方程为x ＝0或y ＝1或y ＝12x ＋1.1．由抛物线的几何性质求抛物线的标准方程，应当先定位，再定量，恰当地设出标准形式，利用待定系数法求解．2．当抛物线方程为y 2＝2px (p >0)时，其焦点弦长公式为AB ＝x 1＋x 2＋p ，替代一般弦长公式计算更为简洁，对其它标准方程，可以得出相应焦点弦弦长公式．3．抛物线的最值问题一般转化为函数最值问题，若是涉及到抛物线上的点坐标，应注意范围的限制．1．顶点是坐标原点，焦点是(0,2)的抛物线的方程是______． 【解析】 ∵p2＝2，∴p ＝4，∴抛物线方程为x 2＝8y .【答案】 x 2＝8y图2－4－32．过抛物线x 2＝－4y 的焦点作直线垂直于y 轴，交抛物线于A ，B 两点，O 为抛物线的顶点，则△OAB 的面积是________．【解析】 F (0，－1)，将y ＝－1代入得x A ＝2，∴AB ＝4， ∴S △OAB ＝12×4×1＝2.【答案】 23．设拋物线的顶点坐标为(0,1)，准线方程为y ＝－1，则它的焦点坐标为________．【解析】 设准线与y 轴交点为K (0，－1)，顶点为A (0,1)，焦点为F (0，y 0)， 由拋物线性质可知：线段FK 中点为A ，∴y 0－12＝1，∴y 0＝3， ∴焦点为F (0,3)． 【答案】 (0,3)4．斜率为1的直线经过拋物线y 2＝4x 的焦点，与拋物线相交于两点A 、B ，求线段AB 的长．【解】 由题意知抛物线焦点为F (1,0)，k AB ＝1，所以AB 的方程为y ＝x －1代入y 2＝4x 得(x －1)2＝4x ，即x 2－6x ＋1＝0，Δ＝32>0，∴设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6，AB ＝AF ＋FB ＝x 1＋x 2＋2＝8，∴线段AB 长为8.一、填空题1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是________． 【解析】 ∵p2＝2，∴p ＝4，∴抛物线标准方程为y 2＝8x .【答案】 y 2＝8x2．经过抛物线y 2＝2px (p >0)的所有焦点弦中，弦长的最小值为________． 【解析】 通径长为2p .【答案】 2p3．(2013·烟台高二检测)过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线与抛物线相交于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝8，则PQ 的值为________．【解析】 PQ ＝x 1＋x 2＋2＝10. 【答案】 104．(2013·四川高考改编)抛物线y 2＝4x的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是________．【解析】 由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)， 双曲线的渐近线方程为3x －y ＝0或3x ＋y ＝0， 则焦点到渐近线的距离d 1＝|3×1－0|(3)2＋(－1)2＝32或d 2＝|3×1＋0|(3)2＋12＝32. 【答案】325．已知等边三角形AOB 的顶点A ，B 在抛物线y 2＝6x 上，O 是坐标原点，则△AOB 的边长为________．【解析】 设△AOB 边长为a ，则A (32a ，a 2)，∴a 24＝6×32a .∴a ＝12 3. 【答案】 12 36．过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F 作一条直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别为m 、n ，则1m ＋1n＝________.【解析】 由焦点弦性质知1PF ＋1FQ ＝2p ，抛物线的标准方程为x 2＝1a y (a >0)，∴2p ＝1a，p ＝12a， ∴1PF ＋1FQ ＝4a ，即1m ＋1n ＝4a . 【答案】 4a7．(2013·南通高二检测)已知弦AB 过拋物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，则以AB 为直径的圆与拋物线的准线的位置关系是________．【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点为M (x 0，y 0)，如图，则AB ＝AF ＋BF ＝x 1＋x 2＋p .设A ，B ，M 到准线l ：x ＝－p 2距离分别为d 1，d 2，d ，则有d 1＝x 1＋p 2，d 2＝x 2＋p 2，d ＝d 1＋d 22＝x 1＋x 2＋p 2＝AB2，∴以AB 为直径的圆与拋物线的准线相切． 【答案】 相切8．(2012·陕西高考)如图2－4－4所示是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽________米．图2－4－4【解析】设水面与拱桥的一个交点为A，如图所示，建立平面直角坐标系，则A的坐标为(2，－2)．设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则22＝－2p×(－2)，得p＝1.设水位下降1米后水面与拱桥的交点坐标为(x0，－3)，则x20＝6，解得x0＝±6，所以水面宽为26米．【答案】2 6二、解答题9．(2013·哈师大附中高二检测)设抛物线顶点在原点，焦点在y轴负半轴上，M为抛物线上任一点，若点M到直线l：3x＋4y－14＝0的距离的最小值为1，求此抛物线的标准方程．【解】 设与l 平行的切线方程为3x ＋4y ＋m ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2py 3x ＋4y ＋m ＝0得2x 2－3px －pm ＝0. ∴Δ＝0即m ＝－98p . 又d ＝|14－98p |5＝1，∴p ＝8或p ＝1529(舍)， ∴抛物线的标准方程为x 2＝－16y .10．过点(0,4)，斜率为－1的直线与拋物线y 2＝2px (p ＞0)交于两点A ，B ，如果OA ⊥OB (O 为原点)求拋物线的标准方程及焦点坐标．【解】 直线方程为y ＝－x ＋4.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋4，y 2＝2px ，消去y 得x 2－2(p ＋4)x ＋16＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2(p ＋4)，x 1x 2＝16，Δ＝4(p ＋4)2－64＞0.所以y 1y 2＝(－x 1＋4)(－x 2＋4)＝－8p .由已知OA ⊥OB 得x 1x 2＋y 1y 2＝0，从而16－8p ＝0，解得p ＝2.所以，拋物线的标准方程为y 2＝4x ，焦点坐标为(1,0)．图2－4－511．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A 、B 两点．(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA →·OB →的值；(2)如果OA →·OB →＝－4，证明：直线l 必过一定点，并求出该定点．【解】 (1)设l ：my ＝x －1与y 2＝4x 联立，得y 2－4my －4＝0，∴y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＋1＝－3.(2)证明：设l ：my ＝x ＋n 与y 2＝4x 联立，得y 2－4my ＋4n ＝0，∴y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4n .由OA →·OB →＝－4＝(m 2＋1)y 1y 2－mn (y 1＋y 2)＋n 2＝n 2＋4n ，解得n ＝－2，∴l ：my ＝x －2过定点(2,0)．(教师用书独具)某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长．【思路探究】建立符合题设条件的平面直角坐标系，设出对应的抛物线方程，选取点的坐标代入，求得抛物线的方程．【自主解答】如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．由题意知，点P(10，－4)在抛物线上，∴100＝－2p×(－4)，2p＝25，即抛物线方程为x2＝－25y.∵每4米需用一根支柱支撑，∴支柱横坐标分别为－6，－2,2,6.由图知，AB是最长的支柱之一，设点B的坐标为(2，y B)，代入抛物线方程x2＝－25y，得y B＝－4，25＝3.84，∴AB＝4－425即最长支柱的长为3.84米．1．本例解题的实质是利用抛物线方程求点的坐标，建立坐标系的方法也不尽相同．2．抛物线的实际应用问题，一般可根据图形建立平面直角坐标系，设出抛物线的标准方程，依据题意得到抛物线上一点的坐标，从而可求出抛物线的标准方程，进而使问题获解．一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m，求使卡车通过的a的最小整数值．【解】 以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y 轴建立直角坐标系，则点B 的坐标为(a 2，－a 4)，如图所示． 设隧道所在抛物线方程为x 2＝my ，则(a 2)2＝m ·(－a 4)，∴m ＝－a . 即抛物线方程为x 2＝－ay .将(0.8，y )代入抛物线方程，得0.82＝－ay ，即y ＝－0.82a. 欲使卡车通过隧道，应有y －(－a 4)>3， 即a 4－0.82a>3.由于a >0， 得上述不等式的近似解为a >12.21.∴a 应取13.。
浅谈中考试题有关抛物线焦点准线类题目的求解
2020年3月10日理科考试研究•数学版• 29 •圆,它们相交于点E,CE 的延长线交AB 于点F.(1) 求证-.AF = FB-(2) 求4E 的长.证明(1)因为正方形MCD中丄AB,DA 为圆D 的半径，所 以E4是圆D 的切线.所以 FA 2 = FE • FC.同理可证FB 2 = FE • FC.所以 FA 2 =FBl 即 FA = FB.因为厶AKG+ 厶BGA =90。
，厶BKC=厶AKG,所以厶BKC +厶EC A =90°.所以厶COK = 90°.在△ EBC 中,点、H,M 分别是EB,BC 中点.所以 HM//EC.同理可得LM//BG.所以厶 HML = Z COK = 90°.所以HM 丄厶5正方形与圆相结合的问题这类试题一般都是利用正方形性质和圆的有关 定理，如切割线定理等得出相关结论.例7如图7所示,正方形ABCD 中,AB=2,以点D 为圆心，以/1。
长为半径画弧，又以BC 为直径画半(2)因为AF?=FE • FC,所以签=FCAF'解又因为乙AFE=厶CFA,所以△ AFE7CFA.所以等=AECA'因为 AB = 2, AF = 1, CA = 2血,CF 二 ^FB 2 +CB 2 =75.所以AE =笋.参考文献：[1] 刘涛•一图一课让问题自然生长[J].试题与研究，2019(32):44 -45.[2] 杨再发.一道“希望杯”赛题的四种解法[J].数理天地(初中版),2019(09):34-35.(收稿日期：2019-10-03)肉谈中考试题有关抛杨线焦支准线类题目的求鮮谈义(普陀区沈家门第一初级中学浙江舟山316130)摘要：抛物线知识不仅在初中学习，在高中还会进一步学习.在中考命题中，经常会衔接高中相关知识，特别是高 中要学习的焦点准线.本文先探索出焦点准线知识，然后再结合中考试题，分析如何运用这条性质解决抛物线焦点准线类题目.关键词：焦点；准线；距离抛物线上任意一点到一个定点的距离等于它到 一条定直线的距离，其中这个定点称为抛物线的焦点，这条定直线称为抛物线的准线•1性质探索如图1,抛物线y = 护，点/1(0,1),点B(0,-1),过点B 作与％轴平行的直线m ,点P 为抛物线上任意一点，连接刃,再过点P 作直线m 垂线，垂足 为点H,探索円与PH 大小关系，并加以证明•分析若取点P(0,0),显然PA=PB = 1； 若取点P(2,l),易计算出PA=PH=2；作者简介:谈义(1974 -),男，江西瑞昌人，本科，中学高级教师，研究方向：初中数学教学.•30•理科考试研究•数学版2020年3月10日图1若取点P(1,#),根据两点之间距离公式，必= /1-0)2+(1一寺)2=手.又因为阳=1+|=|,所以刊=PH.故猜测PA=PH.设点P(%,),pA =^AD1+PD2=Jx1+(*护-1尸=*2+1,ph= */+i,所以pa=PH.抛物线上任意一点P到点的距离等于它到直线m的距离，这里A为焦点，直线m为准线.对于任意一条抛物线，如果能快速求出它的焦点与准线，那么就可以判断出它是否为焦点准线类题目.2抛物线焦点与准线的求法如图2,抛物线y=ax,点P为抛物线上任意一点，若/1(0,m),直线2为过点B(0,n)且平行乂轴的直线,PH丄直线2于点H,且PA=PH,求点A,B坐标(用a表示).图2分析若点P在原点，因为PA=PH,所以01= OB，故n=-m.设点P(x,ax2),因为P4=阳，故PA2=PH1,即x2+(ax-m)$=(ax+m)2,解得m=—.4a所以A(0,^-),B(0,-7-).若抛物线y-ax+bx+c(aH0)，则焦点与顶点横坐标相同，纵坐标比顶点纵坐标多即卑二尤+4a4a14ac-62+1亠“ Q上山亠一仏 /b4ac-戸+1、矿4a，故焦点坐标为-亦,—)•准线与抛物线对称轴交点横坐标与顶点相同,纵坐标比顶点少占即1^!_右=4“十_1,故准线与对称轴交点坐标为(-彩,仏；「1).3性质应用一次或多次运用抛物线上点到焦点的距离等于它到准线距离这一性质，结合其它数学知识，可推出以下一些结论，从而实现抛物线焦点准线类题目问题的求解.3.1最短距离在抛物线上找一点，使这个点到两已知点(其中一已知点为抛物线焦点)距离之和最小.如图3,抛物线y=ax2,若虫(0,言),B(x y,y t),在抛物线上找点P使/M+PB最小，求点P坐标.分析点虫为抛物线焦点，抛物线上点P到焦点的距离等于它到准线距离，图3中点C(0,--L),即4aPA=PE,所以PA+PB=PE+PB.PE+PB取得最小值时就是当点P,E,B在一条直线上时,其中点E为垂足•故只需过点B作抛物线准线的垂线，与抛物线交点即为要求的点P.点、P横坐标与点B横坐标相同，把点P横坐标代入抛物线解析式可求得点P纵坐标.图33.2直角三角形过焦点的直线与抛物线交于B,C两点，分别过B,C两点作准线的垂线,垂足分别为点E,F,将这两个垂足分别与焦点连接起来，组成的△/lEF为直角三角形.取BC中点M,过点M作MG垂直抛物线准线,2020年3月10日理科考试研究•数学版•31•垂足为点G,若将B,C两点与点G连接起来,组成的△BGC也是直角三角形.分析根据抛物线上任一点到焦点距离等于它到准线距离可知BA=BE,CA=CF.又因为BE//CF,所以/LABE+ 厶ACF=180°.又因为△&<£；,ACAF内角和为180。
一道“伪抛物线”考题的思路解析与命题导向
思路简析 ： （ １ ） Ａ（ １ ８ ， ０ ） ， ｎ （ ｏ ， 一 １ ０ ） ．
因为无论从数学的本质追求简洁比如美籍华人数学家丘成桐先生就曾指出好的数学是简洁的还是从好的题目应该追求简洁呈现自然生长渐次展开易进难出等特点章建跃语而且对于一道综合题题干能否充满活力也应该成为一种命题追教育纵横2015新课程理念下数学练习设计的有效性探索筅江苏省无锡市侨谊实验中学传统数学教学比较注重教师对于知识的特定固有化训练并不太注重学生情感态度和价值观在教学中的体现
② 当ＡＰ Ｑ Ｆ ￣ Ｊ 等腰三角形时 ， 求 出 的值
ｙ
＼
Ｐ Ａ ／ Ｆ
意： 这里 的运算量 较大 ， 而且 线段 、 的平 方不宜 匆 忙展开 ， 将影响后面所列一元二次方程 的简化求解 ）
＼ 一
豳 中 擞 ・ ７初 中 版
另外根据运动规则， 可知０ ＜ ｆ ＜ ；． 接着分三种情况
轴 的交 点为Ｂ ． 过 点 作 Ｂ Ｃ ／ ／ ｘ 轴， 交 抛 物线 于 点 Ｃ ， 连 接
令 ｙ 一１ ０ ， 得 １ ８ 王 － 姜 ９ 一 １ ０ ＝ 一 １ ０ ， 解得 ’ ： ８ 或 ’ ： ０ ， …’ 所以
ｃ （ ８ ， 一 １ ０ ） ， 所 以Ｂ ｃ ＝ ８ ． 如 图２ ， 过点Ｑ 作Ｑ Ｃ 上 轴 于点Ｇ
１ ０ ， 并结合ｔ 的取值 范围取舍即可． 解后反思 ： 排 除无关信息 或线条 的干扰 ， 可以将 “ 模
一道中考题的破题思路
道 中考题的破题思路
朱宜新
０ 江苏宿迁泗阳县实验初级中学
国国 如图１抛物线ｙ ＋ ｃ ， ＋经
过 点 （，５和 （２４． １－ ） 一 ，）
交 轴于点Ｐ 求线段ＭＮ ， 的长（ 用含ｍ
的代 数式 表示 ） ．
＝
（） １求这条抛物线的解析式． （） ２ 设此抛物线与直线， 相交 ， 于点Ａ和点Ｂ （ 在点Ａ 点 的右侧 ） ， 平 行于， 的直线 ｍ（＜ ＜ ／ ＋ ） ， 轴 ＝ ０ ｍ 、了 １与
形为基础 ， 可以构造出以ｎｂ ， 为底 ， 叶６ 为高的直角梯形（ 如图８ ． ］ 请你利用
图 ８验 证勾股 定理 ．
Ｑ １ ＋ 、 了 ＋ ＋ 、了 ＋ ＋ 、 了 ＝ Ｒ＝ ４ ４ ／ ６７ ／ ７ ２ ／
２＋ ３ ／ ． ７ １、丁
３以 “ ． 美国总统詹姆士・ 加菲尔
德构 图” 问题情 景的 创新设 计 为
因为点 在 抛物 线上移
动， 又叩 为定值 ， 要使 △０ 面积 最 ．
大 ， 需 点 到 Ｏ 只 Ｂ的 距 离最 大 ， 即过
点 作直 线 Ｂ 平行 线 ． 的 当直 线与抛
４ ｏ 丢ｃ －ｃ Ｄ ￣・ （ ）
６
：
所 以ｙ （ ２ ＿ ｍ４ 设 直 线Ｂ ＝ ｍ＋ ４ Ｍ交
３ 。ＡＱ Ｇ ０， Ｈ 为等边三角形． ｔ Ｂ 在Ｒ ＡＡ Ｃ 中，因为Ａ ＝ ， Ｂ Ｃ ３ 。 Ｂ ４ Ａ ＝０ ，所 以 Ｂ ＝ ， ＝ ｘ ３． ｔ Ａ Ｍ中． Ｃ ２ＡＣ ２ ／ 在Ｒ Ａ Ｈ 因
为ＡＨ＝ ＝ ＡＣ ２ 。所 ￣ＭＨ＝ Ｘ ３ ＡＭ：
Ｓｔｓ ． ｃｓ△ ， ｒａ＋Ｒ ＋ Ａ 所以÷（ ａＥｓ Ｅ Ｊｌ肋 Ｒ ０ ＋
江苏省宿迁市沭阳县潼阳中学高中数学教案： 抛物线的几何性质苏教版选修
教学案
科目: 数学 主备人： 备课日期：
课 题
第 １ 课时
计划上课日期：
教学目标
知识与技能 掌握抛物线的几何性质，能应用抛物线的几何性质解决问题．
过程与方法 情感态度 与价值观
教学重难点
抛物线的几何性质．
教学流程\内容\板书
关键点拨
加工润色
一、复习回顾
抛物线的标准方程有哪些？ 二、自主探究
探究１ 类比椭圆、双曲线的几何性质，抛物线又会有怎样的几何性质？ 根据抛物线)0(22
>=p px y 的图象研究抛物线的几何性质．
１．范围．
当x 的值 时，y 也 ，这说明此抛物线向右上方和右下方无限延伸． ２．对称性．
从图象上看：抛物线关于 轴对称；。
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将ｙ ＋ 。 代入ｙ ＝
得卅。 ＝
解得 ＝ ２ 。 ± 、 ／ 。 （ 正
值舍 去 ） ， 则 点 的坐标 为（ ２ ａ 一 ２ 、 ／ 。 ， ３ ａ 一 ２ 、 ／ ｎ ） ． 又
（ １ ） 若ａ ＝ ｌ ， 求ｍ 和ｂ 的值 ；
Ｉ
￣Ｆ （ ２ ａ ＋ ２ 、 ／ ｏ ， ３ ａ ＋ ２ 、 ／ 口 ） ， 利 用 中点坐标公 式 得 到
２ ０ １ ５ 年１ ０ 月
新颖
抛物线准线 、 焦 点考题的教学导向之思
— —
从２ ０ １ ５ 年 江 苏宿 迁 中考 第２ ６ 题说 起
⑧江 苏 省 海 门 市 东 洲 国 际 学 校 许 玉 萍
自从２ ０ １ ０ 年 江苏 某市在 中考 最后 一题 引入抛 物线
的准 线 、 焦点 问题结构 以来 ， 每年全 国各 地都有一 些地
颖试题
线 为 —ａ ， 即直线Ａ Ｂ ． 于是 ， “ 考题 １ ” 的深层结 构如图２ 所
２ ０ １ ５ 年１ ０ 月
三、 关 于 教 学 导 向的 思 考
一 － － －、
．
示．
１ ． 简 单 下放 高 中知 识 点 的 考 查 方 式 值 得 商 榷
由于抛物线 的准线 、焦点 的性 质是高 中学 段 的 内
／ ｏ Ｉ ｒ １
义简述 如下 ： 平面 内与一个定点聊 一 条直线Ｚ 的距离相 等 的点 的轨迹 叫做抛物线． 点 Ｌ ｌ 做抛物线 的焦 点 ， 直线ｆ 叫做抛 物线 的准线 ．比如 抛物 线 ｙ ＝ ＋ ｂ ｘ ＋ ｃ 的焦 点 为
／ Ａ Ｂ
图 １
思 路简述 ： （ １ ） 由ａ ＝ ｌ ， 根据 正方 形 的性质 及 已知条 件 得 出ｃ （ ２ ， １ ） ． 将ｃ 点 的坐标代 入ｙ ： ２ ， 求 出ｍ＝ １ 则
，
ｆ ～ ｂ ， — ４ ａ ｃ ： － ｂ ２ 一 ｝ － Ｉ ） ， ８ ｔ ￣ｙ ＝ ＿ ４ ａ ｃ － ｂ ￣ － Ｉ ． 不 妨 验 证 一 下 ，
、 二ｕ 叶 “ 斗０
“ 考题 １ ” 中， 点Ｄ（ Ｏ ， ｎ ） 是抛 物线ｙ ： 懈 的焦点吧 ！它 的准
初 中 版中 ？ 擞・ ？
（ ２ ） 求 的值 ；
ｒ 上
（ ３ ）判 断 以Ｆ Ｍ为直径 的圆与Ａ Ｂ 所在直线 的位置关 系， 并说 明理 由．
Ｉ
发 现ｄ ＝ ｒ ， 根据直线与 圆的位置关 系可得 以Ｆ Ｍ为直径 的 圆与Ａ Ｂ 所在直线相切． “ 结构 ” 反思： 现在我 们来反 思第 三 问的深层 结 构． 首先把高 中数学 中提及 的抛 物线的准线 、 焦点 的相关定
＿
／Ｉ Ｃ
－ ‘ ．
容 ，所 以在 中考试 卷 中出现 以此 为结构 的考题 应视 为
： ： ｛ ， ： ： ： ．
ｌ １ － ～ Ｌ ． ，
／
Ａ
图２
曰
“ 超标” 考题． 然 而像 上面 提及 的两道 考题 都属 于“ 擦 边 球” 类型 ， 它们 并没有直接考查 相关 知识点 ， 然 而如果备 考师生补充过类 似的知识 ， 则对 不同考生来说 可能会 造 成一种 不公平 现象 ， 他们在惜 时如金的 中考考 场上耗时 费力最 后获得他 人早就熟 知的性质． 顺便指 出 ， 像考 题 １ 中的思路 突破 时 ， 如果熟悉 “ 中点公式 ” 也有助 于快速突
一
２ ｂ ＋ Ⅱ ） 代入ｙ ＝ ＿ １ 。 ， 整 理得６ ２ － ２ ａ ｂ 一 ｛ Ｚ ２ ＝ ｏ ． 把０ 看作常数 ， 利
、
从 一 道 中 考题 的 求 解 说 起
用求根 公式得 出６ ： （ １ ± 、 ／ ） ｏ （ 负值舍去 ） ， 那么 ： １ ＋
、 ／ ．
考题 １ ： （ ２ ０ １ ５ 年江 苏宿 迁 中考卷 ， 第２ ６ 题） 如 图１ ， 在
平 面直角坐标 系中 ， 正方形Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 和正方形Ｄ Ｅ Ｆ Ｇ 的边长 分别 为２ ０ 和２ ６ ， 点Ａ、 、 Ｇ 在Ｙ 轴上 ， 坐标原 点０ 为Ａ Ｄ的 中 点， 抛物线 ＇ ， ＝ ： 过Ｃ 、 Ｆ Ｎ点 ， 连 接肋 并延 长交抛物 线于
点
（ ３ ） 先利用待定系数法求出直线Ｆ Ｄ 的解 析式 为ｙ ＋
破思路 ， 而这也是 高中阶段 的一个知识点．
２ ． 解 题 教 学 中 引入 “ 准 线、 焦 点” 是 可 行 的
种 意义上 的不公平 现象． 本文从 ２ ０ １ ５ 年江 苏宿迁 中考
÷， 则抛物线的解析式为ｙ ＝ ＿ １ ， 再将点 勺 坐标（ ２ ６ ，
ｅ ４ ａ 斗ｒ 上
把 关题说 起 ， 列 举另外 两道 相关 的 中考题 ， 最后 就这 类 考题 的教学 导 向做一些反思 ， 供研讨．
以Ｆ Ｍ为 直径 的圆 的圆心Ｄ 的坐标 为（ ２ ａ ， ３ ａ ） ． 再 求 出０ 到直线Ａ Ｂ（ ｙ ＝ － ａ ） 的距 离ｄ ＝ ３ ａ 一 （ 一 。 ） ＝ ， 则 以Ｆ Ｍ为直径 的圆的半径为 ： ｒ ＝ Ｏ ＝ Ｖ（ ２ ａ ＋ ２ 、 ／２ ｃ 一 ２ ０ ） ＋ （ ３ ａ ＋ ２ 、 ／２ ０ — ３ ａ ） ＝ ４ ａ ，
区在 最后一道 题上设计 与之结 构相近 的把关题． 对 于这
抛 物 线 的 解 析 式 为 ÷ ・ 再 将 ￣ Ｆ （ ２ ｂ ， ２ ６ ＋ １ ） 代 人
１ ｚ
一
，
即可求出ｂ ＝ １ ＋ 、 ／ ．
类考 题 ， 如果复 习备考 期 间有 意识 地准备 的话 ， 考生在
考场上将 获得居高 临下 的结构洞察 ， 从 而与那些没 有补 （ ２ ） 由正方形Ａ Ｂ Ｃ Ｄ的边 长为２ ｎ ， 坐标原 点０ 为Ａ Ｄ的
充过类 似性 质 的考生造成解 源自效率上 的差距 ， 这也 是另 一
中点 ， 得出Ｃ （ ２ ａ ， ｎ ） ． 将Ｃ 点 的 坐标 代 入 ｙ ＝ ， 求 出ｍ＝