一元二次不等式的解法(第三课时)

一元二次不等式的解法
（第三课时）
含参数的不等式
复习回顾
∆＝b2-4ac y ∆>0 y
●
三个二次的关系
∆=0 y
●
∆<0
二次函数 y=ax2+bx+c x ● 1 的图像(a>0) o ax2+bx+c=0 的根
x1, 2
x2 x

o
x
b 2a
b 2a
o
x
b 2a
x1 x2

}
归纳小结
借助图像“四看”：
“一看”： 开口方向
“二看”： 判别式的正负
“三看”： 对称轴的位置
“四看”： 区间端点值的正负
题型与解法
（三）一元二次方程根的分布问题
1.已知方程 x 2 2 mx m 12 0 . (1)若方程有两个不等实根,求 m 的取值范围; (2)若方程中一个根比 1 大,另一个根比 1 小,求 m 的取值范围; (3)若方程中的两根均大于 1,求实数 m 的取值范围.
2
a b 0 a 0 或 ax bx c 0 恒 成 立 c 0 0
2
a b 0 a 0 或 ax bx c 0 恒 成 立 c 0 0
2
a b 0 a 0 或 ax bx c 0 恒 成 立 c 0问题
例2.已知不等式 ax bx 2 0 的解集为
2
1 1 ( , ) , 求a-b 的值. 2 3 1 1 解法三：∵不等式 ax 2 bx 2 0 的解集为 ( , ) ,
2 3
( ax bx 2) a ( x
2
1 2
课堂练习
3.（1）不等式ax2+bx+2＞0的解集是
{x|-1/2＜x＜1/3}，则a+b= -14 (a=-12,b=-2) . （2）关于x不等式ax2+bx+c＞0的解集是 {x|x＜-2或x＞1/2}，则关于x的不等式 ax2-bx+c＜0的解集为 {x|-1/2<x<2} . ⑶ 对于任意实数x，ax2+4x-1≥-2x2-a，对 于任意实数恒成立，则实数a的取值范围 为 a≤-3或a≥2 . 4.当m为何值时，方程x2-2mx+2m+3=0 （1）有两个负实数根？ -3/2<m≤-1 （2）有一个正根，一个负根. m<-3/2 （3）两根大于2. 3≤m< 7/2
再见！
例2.已知不等式 ax bx 2 0 的解集为
2
1 1 ( , ) , 求a-b 的值. 2 3 1 1 解法二：∵不等式 ax 2 bx 2 0 的解集为 ( , ) ,
1 1 ∴方程 ax bx 2 0 的两根为 , , 2 3 b 1 1 a 12, 2 3 a , 由韦达定理得 得 b 2. 1 1 2 ( ) ( ) , a b 10. 2 3 a
0 f (0 ) 0
m 6或 m 2 即 m 3 0
x=m/2
∴ m>3.
x1 o
x2
∴ 所求实数m的取值集合为：{m|m>3}.
题型与解法
（三）一元二次方程根的分布问题
例3 分别求使方程x2-mx-m+3=0的两根满足下列条 件的m值的集合： (3)两根都小于1;
1 1 ∴方程 ax bx 2 0 的两根为 , , 2 3 1 1 4 a 2 b 2 0, a 12, ab 得 a 1 b 2 0. b 2. 9 3
2
2 3
10.
题型与解法
（二）逆向问题
课堂小结
1.一元二次方程、一元二次不等式均可用二次 函数图象一统天下，但必须注意前后的等价； 2.一元二次方程根的分布问题； 3.有关一元二次不等式恒成立问题. 4.含参数的一元二次不等式的解法
x=-b/2a
x1
x2
课后作业
1.P87 习题3—2 B组第1题、第2题； 2.课时作业.
本节课到此结束，请同学们 课后再做好复习。谢谢！
题型与解法
（三）含参数的二次不等式 例5 解关于x下列不等式：a2x2 – ax – 2 >0.
例6 解关于x下列不等式：x2 +ax +4 >0.
例7 解关于x下列不等式：ax2 – (a+1)x +1 >0.
题型与解法
归纳小结 （三）含参数的二次不等式 解含参的一元二次不等式ax2+bx+c>0(a∈R), 把讨论对象逐级讨论，逐步解决。
[思路分析] 由不等式 ax 2 bx 2 0 对应的方程
1 1 ax bx 2 0 的两根为 , , 可利用二次方程 2 3
2
求出 a,b.
题型与解法
（二）逆向问题
例2.已知不等式 ax bx 2 0 的解集为
2
1 1 ( , ) , 求a-b 的值. 2 3 1 1 解法一：∵不等式 ax 2 bx 2 0 的解集为 ( , ) ,
)( x
1 3
) ax
2
a 6
x
a 6
,
6 2, a 12, 由待定系数法得 a b 10. a b, b 2. 6 a
题型与解法
（二）逆向问题
2
变式训练2
若不等式 ax bx c 0 的解 集是 { x |
(3)函数 则实数k的取值范围是
f ( x)
kx 6 kx k 8 的定义域为R，
2
(4)不等式x2+ax+4<0的解集不是空集，则实数a的取 值范围 .
(5)若不等式(2x-1)2<ax2 的解集中的整数恰有3个，则 实数a的取值范围是 ( 2 5 , 4 9 ] . (2009天津文16）
ax2+bx+c>0 {x | x x1或x x2 } 的解集
{ x | x R, x
R

ax2+bx+c<0 的解集
{x | x1 x x2 }

复习回顾
一元二次不等式（a<0） 化成a>0的形式 解相应方程
画出相应函数图像 写出解集
题型与解法
（一）二次不等式的恒成立 例1 已知关于x下列不等式： (a-2)x2 + (a-2)x +1 恒为非负 ∈R都成立 ≥0对任意x ≥ 0恒成立， ≥0的解集为R 试求a的取值范围. 解：令y=(a-2)x2 + (a-2)x +1,
2
1 3
x 2} ，求不等式
cx bx a 0 的解集.
{x | 3 x 1 2 }
题型与解法
（三）一元二次方程根的分布问题 例3 分别求使方程x2-mx-m+3=0的两根满足下列条 件的m值的集合： x=m/2 (1)两根都大于0; (2)一个根大于0,另一个根小于0; (3)两根都小于1. x1
课堂练习
1.下列不等式中，解集为实数集R的是（ D ） (A) ( x 1) 0
2
(B) | x3 8 | 0
(C) | x | 0
(D) x 2 2 x 3 0
2 2
2.当 a 0时, 不等式x ax 12a 0 的解是（C）
(A) x 3a或x 4a (B) 3a x 4a (C) 4a x 3a (D) 3a x 4a
①当a=2时，y=1符合题意； ②当a>2时，则△≤0，有2<a≤6；
③当a<2时，则a的值不存在；
△＝(a-2)2-4(a-2) =(a-2)(a-6)
综上，所求a的取值范围为{a|2≤a≤6}.
题型与解法
（一）二次不等式的恒成立
a b 0 a 0 或 ax bx c 0 恒 成 立 c 0 0
第一级讨论： 二次项系数a，一般分为a>0,a=0,a<0进行讨论； 第二级讨论：
方程根的判别式△，一般分为△>0,△=0, △<0进行讨论； 第三级讨论：
对应方程根的大小，若x1,x2分别是方程ax2+bx+c=0的 两根，一般分为x1>x2, x1=x2 , x1<x2 进行讨论. 若某级已确定，可直接进入下一级讨论.
9 16
(6)设0<b<1+a,若关于x的不等式(x-b)2>(ax)2 的解集 中的整数恰有3个，则( ) (2009天津理10） C A.-1<a<0 B.0<a<1 C.1<a<3 D.3<a<6
题型与解法
（二）逆向问题
例2.已知不等式 ax bx 2 0 的解集为
2
1 1 ( , ) , 求a-b 的值. 2 3
2
题型与解法
（一）二次不等式的恒成立
变式训练1
(1)已知不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3>0恒成立，求 实数m的取值范围.
[1,19)
(2)当x∈[1,2]时，不等式x2-2mx+1≤0恒成立， 则实数m的取值范围是 . 5
[ , ) 4
题型与解法
（一）二次不等式的恒成立
变式训练1 .
x2
解：令f(x)=x2-mx-m+3且图像与x轴相交 则△＝m2-4(-m+3)＝(m+6)(m-2)≥0