新教材高中数学第8章立体几何初步8.5空间直线、平面的平行课时作业32直线与平面平行课件新人教A版必修二
高中数学第八章立体几何初步8.5.3平面与平面平行同步练习含解析第二册
课时素养评价二十八平面与平面平行（20分钟35分)1.下列四个正方体图形中，A，B，C为正方体所在棱的中点,则能得出平面ABC∥平面DEF的是()【解析】选B。
在B中,如图，连接MN,PN，因为A,B,C为正方体所在棱的中点,所以AB∥MN,AC∥PN,因为MN∥DE，PN∥EF，所以AB∥DE,AC∥EF，所以AB∥平面DEF，AC∥平面DEF，又AB∩AC=A，所以平面ABC∥平面DEF.2.若三条直线a，b，c满足a∥b∥c,且a⊂α，b⊂β，c⊂β,则两个平面α，β的位置关系是（）A。
平行 B.相交C.平行或相交D。
不能确定【解析】选C.由题意可知,b,c在平面β内，但不相交,因为a∥b∥c,所以a所在平面α与平面β不一定只平行，有可能相交.3。
平面α∥平面β,AB，CD是夹在α和β间的两条线段,E,F分别为AB，CD的中点,则EF与α（）A。
平行 B.相交C.垂直D.不能确定【解析】选A。
若AB,CD共面，则EF∥AC，故EF∥α，若AB，CD是异面直线，则连接AD并取AD的中点M,连接EM与FM，则可得出EM∥平面β,且FM∥平面α,又因为平面α∥平面β,所以EM∥平面α，又EM∩FM=M,EM，FM⊂平面EFM,故平面EFM∥平面α，所以EF与α平行。
4.若夹在两个平面间的三条不共面的平行线段相等,则这两个平面的位置关系是.【解析】设α,β为平面，AA′,BB′，CC′为平行线段且相等.因为AA′ BB′，所以四边形AA′B′B为平行四边形。
所以AB∥A′B′,同理BC∥B′C′，所以AB∥β,BC∥β，又因为AB∩BC=B，所以平面α∥平面β.答案:平行5.棱长为2的正方体ABCD —A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，过点E作平面α,使得平面α∥平面AB1C,则平面α在正方体表面上截得的图形的周长为.【解析】如图，F,G，H,I,J分别为棱AD，AA1,A1B1，B1C1,CC1的中点，则HI∥A1C1∥GJ,故G,H,I,J四点共面,同理E,F,G,J四点共面.因为EJ∥AB1，EF∥AC，EF∩EJ=E，EJ∥平面AB1C，EF∥平面AB1C，又EJ∩EF=E,所以平面EFGJ∥平面AB1C,又因为HE的中点为正方体的中心,FI 的中点也是正方体的中心,设正方体中心为O，则HE∩FI=O,所以H，I∈平面EFGJ，所以平面EFGHIJ即为平面α，根据三角形的中位线的性质可得,六边形每条边的长度都等于正方体表面对角线的一半，即每边长都等于=，故六边形的周长为6。
新教材 人教A版高中数学必修第二册 第八章 立体几何初步 知识点汇总及解题规律方法提炼
第八章立体几何初步8．1基本立体图形第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征1．空间几何体的定义及分类(1)定义：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．(2)分类：常见的空间几何体有多面体与旋转体两类．2．空间几何体记作棱柱ABCDEFA′B′C′D′E′F′记作棱锥SABCD按底面多边形的边数分为三棱锥、记作棱台ABCDA′B′C′D′得的棱台分别为三棱台、四棱台、(1)棱柱、棱锥、棱台的关系在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来(以三棱柱、三棱锥、三棱台为例)．(2)各种棱柱之间的关系①棱柱的分类棱柱⎩⎨⎧直棱柱⎩⎨⎧正棱柱（底面为正多边形）一般的直棱柱斜棱柱②常见的几种四棱柱之间的转化关系典型应用1棱柱的结构特征下列关于棱柱的说法：①所有的面都是平行四边形；②每一个面都不会是三角形；③两底面平行，并且各侧棱也平行；④被平面截成的两部分可以都是棱柱．其中正确说法的序号是__________．【解析】①错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；②错误，棱柱的底面可以是三角形；③正确，由棱柱的定义易知；④正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以正确说法的序号是③④.【答案】③④棱柱结构特征的辨析技巧(1)扣定义：判定一个几何体是否是棱柱的关键是棱柱的定义．①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行．(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除．典型应用2棱锥、棱台的结构特征下列关于棱锥、棱台的说法：①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；②棱台的侧面一定不会是平行四边形；③棱锥的侧面只能是三角形；④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．其中正确说法的序号是________．【解析】①错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台．②正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形．③正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形．④正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥．⑤错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．所以正确说法的序号为②③④.【答案】②③④判断棱锥、棱台形状的两种方法(1)举反例法结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2)直接法棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点空间几何体的平面展开图(1)水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的平面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是()A．1 B．9C．快D．乐(2)如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？【解】(1)选B.由题意，将正方体的展开图还原成正方体，“1”与“乐”相对，“2”与“9”相对，“0”与“快”相对，所以下面是“9”．(2)题图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱的特点；题图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥的特点；题图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点，把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．多面体展开图问题的解题策略(1)绘制展开图：绘制多面体的平面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图．(2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推，同一个几何体的平面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个平面展开图．圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征1．圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征(1)圆柱的结构特征(1)圆柱有无数条母线，它们平行且相等．(2)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆，如图1所示．(3)过轴的截面(轴截面)都是全等的矩形，如图2所示．(4)过任意两条母线的截面是矩形，如图3所示．(2)圆锥的结构特征(1)圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等．(2)平行于底面的截面都是圆，如图1所示．(3)过轴的截面是全等的等腰三角形，如图2所示．(4)过任意两条母线的截面是等腰三角形，如图3所示．(3)圆台的结构特征(1)圆台有无数条母线，且长度相等，延长后相交于一点．(2)平行于底面的截面是圆，如图1所示．(3)过轴的截面是全等的等腰梯形，如图2所示．(4)过任意两条母线的截面是等腰梯形，如图3所示．(4)球的结构特征(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面．(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r有如下关系：r＝R2－d2.2．简单组合体(1)概念由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．(2)两种构成形式①由简单几何体拼接而成；②由简单几何体截去或挖去一部分而成．典型应用1圆柱、圆锥、圆台、球的概念(1)给出下列说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体．其中说法正确的是________．(2)给出以下说法：①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长；②球的直径是球面上任意两点间所连线段的长；③用一个平面截一个球，得到的截面可以是一个正方形；④过圆柱轴的平面截圆柱所得截面形状是矩形．其中正确说法的序号是________．【解析】(1)①正确，圆柱的底面是圆面；②正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③不正确，圆台的母线延长相交于一点；④不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．(2)根据球的定义知，①正确；②不正确，因为球的直径必过球心；③不正确，因为球的任何截面都是圆面；④正确．【答案】(1)①②(2)①④(1)判断简单旋转体结构特征的方法①明确由哪个平面图形旋转而成；②明确旋转轴是哪条直线．(2)简单旋转体的轴截面及其应用①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量；②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．典型应用2简单组合体的结构特征如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的()【解析】该几何体自上而下由圆锥、圆台、圆台、圆柱组合而成，故应选A.【答案】A[变条件、变问法]若将本例选项B中的平面图形旋转一周，试说出它形成的几何体的结构特征．解：①是直角三角形，旋转后形成圆锥；②是直角梯形，旋转后形成圆台；③是矩形，旋转后形成圆柱，所以旋转后形成的几何体如图所示．通过观察可知，该几何体是由一个圆锥、一个圆台和一个圆柱自上而下拼接而成的．不规则平面图形旋转形成几何体的结构特征的分析策略(1)分割：首先要对原平面图形适当分割，一般分割成矩形、梯形、三角形或圆(半圆或四分之一圆)等基本图形．(2)定形：然后结合圆柱、圆锥、圆台、球的形成过程进行分析．典型应用3旋转体中的计算问题如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长．【解】设圆台的母线长为l cm，由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为r cm，4r cm.过轴SO作截面，如图所示，则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3 cm.所以SA′SA＝O′A′OA，所以33＋l＝r4r＝14.解得l＝9，即圆台O′O的母线长为9 cm.解决旋转体中计算问题的方法用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的轴截面(经过旋转轴的截面)的几何性质，利用相似三角形中的相似比，列出相关几何变量的方程(组)而解得．[注意]在研究与截面有关的问题时，要注意截面与物体的相对位置的变化．由于相对位置的改变，截面的形状也会随之发生变化．8．2立体图形的直观图1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤(1)建系：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．(2)平行不变：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．(3)长度规则：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．2．空间几何体直观图的画法(1)与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴．(2)直观图中平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面．(3)已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变．(4)成图后，去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线.■名师点拨(1)画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．(2)用斜二测画法画直观图要掌握水平长不变，垂线长减半，直角画45°(或135°)．典型应用1画水平放置的平面图形的直观图画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示．【解】(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．如图①所示．(2)画相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝12OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图②.(3)所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图．如图③.画水平放置的平面图形的直观图的关键及注意事项(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上或边与坐标轴平行，以便于画图．(2)画图时要注意原图和直观图中线段的长度的关系是否发生变化．典型应用2画简单几何体的直观图已知一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为6，高为4，用斜二测画法画出此正四棱台的直观图．【解】(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy ＝45°，∠xOz＝90°.(2)画下底面．以O为中点，在x轴上取线段EF，使得EF＝6，在y轴上取线段GH，使得GH＝3，再过G，H分别作AB綊EF，CD綊EF，且使得AB的中点为G，CD的中点为H，连接AD，BC，这样就得到了正四棱台的下底面ABCD 的直观图．(3)画上底面．在z轴上截取线段OO1＝4，过O1作O1x′∥Ox，O1y′∥Oy，使∠x′O1y′＝45°，建立坐标系x′O1y′，在x′O1y′中仿照(2)的步骤画出上底面A1B1C1D1的直观图．(4)连接AA1、BB1、CC1、DD1，擦去辅助线，得到的图形就是所求的正四棱台的直观图(如图②)．画空间图形的直观图的原则(1)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x 轴、y 轴、z 轴的线段在直观图中应分别画成平行于x ′轴、y ′轴、z ′轴的线段．(2)平行于x 轴、z 轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y 轴的线段长度变为原来的12.典型应用3直观图的还原与计算如图所示，梯形A 1B 1C 1D 1是一平面图形ABCD 的直观图．若A 1D 1∥O ′y ′，A 1B 1∥C 1D 1，A 1B 1＝23C 1D 1＝2，A 1D 1＝O ′D 1＝1.试画出原四边形，并求原图形的面积．【解】 如图，建立直角坐标系xOy ，在x 轴上截取OD ＝O ′D 1＝1，OC ＝O ′C 1＝2.在过点D 与y 轴平行的直线上截取DA ＝2D 1A 1＝2.在过点A 与x 轴平行的直线上截取AB ＝A 1B 1＝2.连接BC ，便得到了原图形(如图)．由作法可知，原四边形ABCD 是直角梯形，上、下底长度分别为AB ＝2，CD ＝3，直角腰长度为AD ＝2.所以面积为S ＝2＋32×2＝5.(1)直观图的还原技巧由直观图还原为平面图的关键是找与x ′轴、y ′轴平行的直线或线段，且平行于x ′轴的线段还原时长度不变，平行于y ′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．(2)直观图与原图面积之间的关系若一个平面多边形的面积为S ，其直观图的面积为S ′，则有S ′＝24S 或S ＝22S ′.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积．柱、锥、台的表面积和体积1．棱柱、棱锥、棱台的表面积多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和．2．棱柱、棱锥、棱台的体积(1)V棱柱＝Sh；(2)V棱锥＝13Sh；V棱台3S′，S分别是棱台的上、下底面面积，h为棱台的高．3．圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积1．柱体、锥体、台体的体积(1)柱体：柱体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝Sh . (2)锥体：锥体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝13Sh .(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S ′、S ，高为h ，则V ＝13()S ′＋SS ′＋S h .2．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系 S 圆柱侧＝2πrl ――→r ′＝r S 圆台侧＝π(r ′＋r )l ――→r ′＝0S 圆锥侧＝πrl . 3．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系V 柱体＝Sh ――→S ′＝S V 台体＝13(S ′＋S ′S ＋S )h ――→S ′＝0V 锥体＝13Sh . 典型应用1柱、锥、台的表面积(1)若圆锥的正视图是正三角形，则它的侧面积是底面积的( ) A.2倍 B ．3 倍 C ．2 倍D ．5 倍(2)已知正方体的 8 个顶点中，有 4 个为侧面是等边三角形的三棱锥的顶点，则这个三棱锥与正方体的表面积之比为( )A ．1∶ 2B ．1∶3C ．2∶ 2D ．3∶6(3)已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，母线长为 3 ，圆台的侧面积为 84π，则该圆台较小底面的半径为( )A ．7B ．6C ．5D ．3【解析】 (1)设圆锥的底面半径为 r ，母线长为 l ，则由题意可知，l ＝2r ，于是 S 侧＝πr ·2r ＝2πr 2，S 底＝πr 2，可知选 C.(2)棱锥 B ′ACD ′为适合条件的棱锥，四个面为全等的等边三角形，设正方体的棱长为 1，则 B ′C ＝2，S △B ′AC ＝32.三棱锥的表面积 S 锥＝4×32＝23，又正方体的表面积S正＝6.因此S锥∶S正＝23∶6＝1∶ 3.(3)设圆台较小底面的半径为r，则另一底面的半径为3r.由S侧＝3π(r＋3r)＝84π，解得r＝7.【答案】(1)C (2)B (3)A空间几何体表面积的求法技巧(1)多面体的表面积是各个面的面积之和．(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．典型应用2柱、锥、台的体积如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥．(1)求剩余部分的体积；(2)求三棱锥AA1BD的体积及高．【解】(1)V三棱锥A1ABD＝13S△ABD·A1A＝13×12·AB·AD·A1A＝16a3.故剩余部分的体积V＝V正方体－V三棱锥A1ABD＝a3－16a3＝56a3.(2)V三棱锥AA1BD＝V三棱锥A1ABD＝1 6a 3.设三棱锥AA1BD的高为h，则V三棱锥AA1BD＝13·S△A1BD·h＝13×12×32(2a)2h＝36a2h，故36a2h＝16a3，解得h＝3 3a.求几何体体积的常用方法(1)公式法：直接代入公式求解．(2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等．(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．[提醒]求几何体的体积时，要注意利用好几何体的轴截面(尤其为圆柱、圆锥时)，准确求出几何体的高和底面积．典型应用3组合体的表面积和体积如图在底面半径为2，母线长为 4 的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积．【解】设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面积为S.则R＝OC＝2，AC＝4，AO＝42－22＝2 3.如图所示，易知△AEB∽△AOC，所以AEAO＝EBOC，即323＝r2，所以r＝1，S 底＝2πr 2＝2π，S 侧＝2πr ·h ＝23π. 所以 S ＝S 底＋S 侧＝2π＋23π ＝(2＋23)π.1．[变问法]本例中的条件不变，求圆柱的体积与圆锥的体积之比． 解：由例题解析可知：圆柱的底面半径为 r ＝1，高 h ＝3，所以圆柱的体积 V 1＝πr 2h ＝π×12×3＝3π.圆锥的体积 V 2＝13π×22×23＝833π. 所以圆柱与圆锥的体积比为 3∶8.2．[变问法]本例中的条件不变，求图中圆台的表面积与体积．解：由例题解析可知：圆台的上底面半径 r ＝1，下底面半径 R ＝2，高 h ＝3，母线 l ＝2，所以圆台的表面积 S ＝π(r 2＋R 2＋r ·l ＋Rl )＝π(12＋22＋1×2＋2×2)＝11π.圆台的体积 V ＝13π(r 2＋rR ＋R 2)h ＝13π(12＋2＋22)×3＝733π.3．[变条件、变问法]本例中的“高为3”改为“高为 h ”，试求圆柱侧面积的最大值．解：设圆锥的底面半径为 R ，圆柱的底面半径为 r ， 则 R ＝OC ＝2，AC ＝4， AO ＝42－22＝2 3.如图所示易知△AEB ∽△AOC ， 所以AE AO ＝EB OC ， 即23－h 23＝r2， 所以 h ＝23－3r ，S 圆柱侧＝2πrh ＝2πr (23－3r ) ＝－23πr 2＋43πr ，所以当 r ＝1，h ＝3时，圆柱的侧面积最大，其最大值为 23π.求组合体的表面积与体积的步骤(1)分析结构特征：弄清组合体的组成形式，找准有关简单几何体的关键量．(2)设计计算方法：根据组成形式，设计计算方法，特别要注意“拼接面”面积的处理，利用“切割”“补形”的方法求体积．(3)计算求值：根据设计的计算方法求值．球的体积和表面积1．球的表面积设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2．2．球的体积设球的半径为R，则球的体积V＝43πR3．■名师点拨对球的体积和表面积的几点认识(1)从公式看，球的表面积和体积的大小，只与球的半径相关，给定R都有唯一确定的S和V与之对应，故表面积和体积是关于R的函数．(2)由于球的表面不能展开成平面，所以，球的表面积公式的推导与前面所学的多面体与旋转体的表面积公式的推导方法是不一样的．(3)球的表面积恰好是球的大圆(过球心的平面截球面所得的圆)面积的4倍．典型应用1球的表面积与体积(1)已知球的体积是32π3，则此球的表面积是()A．12πB．16πC.16π3 D.64π3(2)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是()A．17πB．18πC．20πD．28π【解析】(1)设球的半径为R，则由已知得V＝43πR3＝32π3，解得R＝2.所以球的表面积S＝4πR2＝16π.(2)由三视图可得此几何体为一个球切割掉18后剩下的几何体，设球的半径为r，故78×43πr3＝283π，所以r＝2，表面积S＝78×4πr2＋34πr2＝17π，选A.【答案】(1)B(2)A球的体积与表面积的求法及注意事项(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解．(2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了．典型应用2球的截面问题如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器厚度，则球的体积为()A.500π3cm3 B.866π3cm3C.1 372π3cm 3D.2 048π3cm 3【解析】 如图，作出球的一个截面，则MC ＝8－6＝2(cm)， BM ＝12AB ＝12×8＝4(cm)． 设球的半径为R cm ，则 R 2＝OM 2＋MB 2 ＝(R －2)2＋42， 所以R ＝5，所以V 球＝43π×53＝5003π (cm 3)． 【答案】 A球的截面问题的解题技巧(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．(2)解题时要注意借助球半径R ，截面圆半径r ，球心到截面的距离d 构成的直角三角形，即R 2＝d 2＋r 2.典型应用3与球有关的切、接问题 角度一 球的外切正方体问题将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )A.4π3B.2π3C.3π2D.π6【解析】 由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为 2，故半径为 1，其体积是43×π×13＝4π3.【答案】 A角度二球的内接长方体问题一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为________．【解析】长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即2R＝12＋22＋32＝14，所以球的表面积S＝4πR2＝14π.【答案】14π角度三球的内接正四面体问题若棱长为a的正四面体的各个顶点都在半径为R的球面上，求球的表面积．【解】把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为x，则a＝2x，由题意2R＝3x＝3×2a2＝62a，所以S球＝4πR2＝32πa2.角度四球的内接圆锥问题球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为________．【解析】①当圆锥顶点与底面在球心两侧时，如图所示，设球半径为r，则球心到该圆锥底面的距离是r2，于是圆锥的底面半径为r2－⎝⎛⎭⎪⎫r22＝3r2，高为3r 2.该圆锥的体积为13×π×⎝⎛⎭⎪⎫3r22×3r2＝38πr3，球体积为43πr3，所以该圆锥的体积和此球体积的比值为38πr343πr3＝932.②同理，当圆锥顶点与底面在球心同侧时，该圆锥的体积和此球体积的比值为332.【答案】 932或332角度五 球的内接直棱柱问题设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2 B.73πa 2 C.113πa 2D ．5πa 2【解析】 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为 a ．如图，P 为三棱柱上底面的中心，O 为球心，易知 AP ＝23×32a ＝33a ，OP ＝12a ，所以球的半径 R ＝ OA 满足R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝712a 2，故 S 球＝4πR 2＝73πa 2.【答案】 B(1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为 r 1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)．(2)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为 a ，b ，c ，过球心作长方体的对角线，则球的半径为 r 2＝12a 2＋b 2＋c 2，如图(2)．(3)正四面体的外接球正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为：2R＝6 2a.8．4.1平面1．平面(1)平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．平面是向四周无限延展的．(2)平面的画法我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面．当水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向．(3)平面的表示方法我们常用希腊字母α，β，γ等表示平面，如平面α、平面β、平面γ等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称．如图中的平面α，也可以表示为平面ABCD、平面AC或者平面BD．■名师点拨(1)平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进行度量．(2)平面无厚薄、无大小，是无限延展的．2．点、线、面之间的关系及符号表示A是点，l，m是直线，α，β是平面．从集合的角度理解点、线、面之间的关系(1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示．(2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示．(3)直线与平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“⊂”或“⊄”表示．3．平面的性质在画两个相交平面时，如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常把被挡住的部分画成虚线或不画，这样可使画出的图形立体感更强一些．如下图①，图②所示：4．平面性质的三个推论推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．如图(1)．推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面．如图(2)．推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面．如图(3)．典型应用1图形、文字、符号语言的相互转化(1)用符号语言表示下面的语句，并画出图形．平面ABD与平面BDC交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC.(2)将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示．α∩β＝l，A∈l，AB⊂α，AC⊂β.【解】(1)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.用图形表示如图①所示．(2)文字语言叙述为：点A在平面α与平面β的交线l上，直线AB，AC分别在平面α，β内，图形语言表示如图②所示．。
《空间直线、平面的平行》课件及练习
证明：如图所示，连接AD,交平面α于点P,连接PM,PN.
因为CD//α，平面ACD∩α=PM.所以CD//PM,所以在
△ACD中，有
所以 =
.
=
.同理，在△DAB中，有
=
,
总结 利用线面平行的性质定理解题的步骤：
又OE在平面AEC内，PB不在平面AEC内，
∴PB//平面AEC
用判定定理证明直线与平面平行的步骤
（1）找：在平面内找到一条直线或作出一条直线与已知直线平行
（2）证：证明已知直线与该直线平行
（3）结论：由判定定理得出结论
注：第一步“找”是证题关键，其常用方法由：①利用三角形中位线，梯形中位
线性质②利用平行四边形的性质
二、判断下列命题是否正确，正确的在括号内画√，错误的画×
（1）如果直线a//b,那么a平行于经过b的任何平面（×）
（2）如果直线a和平面α满足a//α，那么a与α内的任何直线平行（ × ）
（3）如果直线a,b和平面α满足a//α，b//α，那么a//b.( × )
（4）如果直线a,b和平面α满足a//b,a//α，b
和∠B’A’C”的两边上截取AD,AE和A’D’,A’E’使得
AD=A’D’,AE=A’E’。连接AA’,DD’,EE’,DE,D’E’
∵AD//A’D’且AD=A’D’∴四边形ADD’A’是平行四边形
∴AA’//DD’且AA’=DD’同理可证AA’//EE’且AA’=EE’
∴DD’//EE’且DD’=EE’∴四边形DD’E’E是平行四边形
交于B’C’,所以BC//B’C’.由（1）知，EF//B’C’,所以
新教材高中数学第8章立体几何初步8.5空间直线、平面的平行课时作业31直线与直线平行课件新人教A版必修二
(2)由(1)知四边形 BB1M1M 为平行四边形， ∴B1M1∥BM. 同理可得四边形 CC1M1M 为平行四边形， ∴C1M1∥CM. 由平面几何知识可知， ∠BMC 和∠B1M1C1 都是锐角． ∴∠BMC＝∠B1M1C1.
答案
课时综合练
一、选择题 1．若∠AOB＝∠A1O1B1，且 OA∥O1A1，OA 与 O1A1 的方向相同，则下 列结论中正确的是( ) A．OB∥O1B1，且方向相同 B．OB∥O1B1 C．OB 与 O1B1 不平行 D．OB 与 O1B1 不一定平行
∴EH∥FG.∴当 λ＝μ 时，EH＝FG， ∴四边形 EFGH 是平行四边形．∴A，C 正确，D 错误．当 λ≠μ 时，EH≠FG， ∴四边形 EFGH 是梯形，∴B 正确．
解析
5．如图所示，在四面体 A－BCD 中，M，N，P，Q，E 分别是 AB，BC， CD，AD，AC 的中点，则下列说法不正确的是( )
A．当 λ＝μ 时，四边形 EFGH 是平行四边形 B．当 λ≠μ 时，四边形 EFGH 是梯形 C．当 λ＝μ＝12时，四边形 EFGH 是平行四边形 D．当 λ＝μ≠12时，四边形 EFGH 是梯形
答案 D
答案
解析 如图所示，连接 BD.∵AAEB＝AAHD＝λ，∴EH∥BD，且 EH＝λBD.同 理，FG∥BD，且 FG＝μBD.
解析
2．在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分别是平面 AA1D1D，平面 CC1D1D 的中心，G，H 分别是线段 AB，BC 的中点，则直线 EF 与直线 GH 的位置 关系是( )
A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直
答案 C
答案
解析 连接 AD1，CD1，AC，则 E，F 分别为 AD1，CD1 的中点．由三角 形的中位线定理，知 EF∥AC，同理，GH∥AC，所以 EF∥GH，故选 C.
2020_2021学年新教材高中数学第八章立体几何初步8.5.2直线与平面平行同步课件新人教A版必修
D.直线m与平面α内的一条直线平行
【解析】选C.选项A不符合题意,因为直线m在平面α外也包括直线与平面相交;
选项B与D不符合题意,因为缺少条件m⊄α;选项C中,由直线与平面平行的判定
定理,知直线m与平面α平行,故选项C符合题意.
2.若直线l∥平面α,则过l作一组平面与α相交,记所得的交线分别为a,b,c,…, 那么这些交线的位置关系为( ) A.都平行 B.都相交且一定交于同一点 C.都相交但不一定交于同一点 D.都平行或交于同一点 【解析】选A.因为直线l∥平面α,所以根据直线与平面平行的性质定理 知,l∥a,l∥b,l∥c,…,所以a∥b∥c∥….
【思考】 一条直线与一个平面平行,该直线与此平面内任意直线平行吗?
提示:不是,可能是异面直线.
【基础小测】 1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”) (1)若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α.( ) (2)若l与平面α平行,则l与α内任何一条直线都没有公共点. ( ) (3)平行于同一平面的两条直线平行. ( ) 提示:(1)×.直线也可能与平面相交. (2)√.若有公共点,则平行不成立. (3)×.两条直线可能平行,也可能相交或异面.
【解题策略】 关于线面平行性质定理的应用 (1)如果题目中存在线面平行的条件,寻找或作出交线是前提,也是关键. (2)对应画线问题,要根据线面平行,确定出平行的直线后画出.
【跟踪训练】
已知正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为2,点P是平面AA1D1D的中心,点Q是B1D1上一
点,且PQ∥平面AA1B1B,则线段PQ长为
【补偿训练】 如图,四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形,点E,F分别为棱AB,PD的中点. 求证:AF∥平面PCE.
类型二 直线与平面平行的性质(直观想象、逻辑推理) 【典例】如图,三棱柱ABC -A1B1C1中,P,Q分别为棱AA1,AC的中点.在平面ABC内过 点A作AM∥平面PQB1交BC于点M,并写出作图步骤,但不要求证明.
2019_2020学年新教材高中数学第八章立体几何初步8.5.3平面与平面平行课时作业新人教A版必修第二册
8.5.3 平面与平面平行一、选择题1．如果直线a平行于平面α，则( )A．平面α内有且只有一条直线与a平行B．平面α内有无数条直线与a平行C．平面α内不存在与a垂直的直线D．平面α内有且只有一条与a垂直的直线解析：过直线a可作无数个平面与α相交，这些交线都与a平行，所以在平面α内与直线a平行的直线有无数条，故A不正确，B正确．平面内存在与a异面垂直的直线，且有无数条，故C，D不正确．答案：B2．已知a，b表示两条不同的直线，α，β表示两个不重合的平面，给出下列四个命题：①若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；②若a∥b，a∥α，b∥β，则α∥β；③若α∥β，a⊂α，则a∥β；④若a∥α，a∥β，则α∥β.其中正确的个数为 ( )A．1 B．2C．3 D．4解析：对于①，a∥b或a与b是异面直线，故①错；对于②，也可能是α与β相交，故②错；对于④，同样α与β也可能相交，故④错．只有③对．答案：A3.如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH 分别交BC和AD于G、H，则HG与AB的位置关系是( )A．平行 B．相交C．异面 D．平行和异面解析：∵E、F分别是AA1、BB1的中点，∴EF∥AB.又AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.又AB⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面EFGH＝GH，∴AB∥GH.答案：A4．已知在如图所示的长方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AA1的中点，F为BB1的中点，G为CC1的中点，则在该长方体中，与平面EFG平行的面有( )A．1个B．2个C．3个 D．4个解析：∵长方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AA1的中点，F为BB1的中点，G为CC1的中点，∴EF∥AB，FG∥BC，又EF⊄平面ABCD，FG⊄平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，FG∥平面ABCD，又EF∩FG＝F，∴由平面与平面平行的判定定理得：平面EFG∥平面ABCD.同理，平面EFG∥平面A1B1C1D1.即在该长方体中，与平面EFG平行的平面有2个．答案：B二、填空题5．已知点S是正三角形ABC所在平面外一点，点D，E，F分别是SA，SB，SC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是________．解析：由D，E，F分别是SA，SB，SC的中点，知EF是△SBC的中位线，∴EF∥BC.又∵BC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，∴EF∥平面ABC.同理DE∥平面ABC.又∵EF∩DE＝E，∴平面DEF∥平面ABC.答案：平行6．如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，平面ABB1A1∥平面CDD1C1，且AF∥EC1，则四边形AEC1F 的形状是________．解析：因为AF∥EC1，所以AF，EC1确定一个平面α.平面α∩平面CDD1C1＝C1F，平面α∩平面ABB1A1＝AE，又平面ABB1A1∥平面CDD1C1，所以AE∥C1F，所以四边形AEC1F是平行四边形．答案：平行四边形7．已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，G是A1C1的中点，过点G的截面与侧面ABB1A1平行，若侧面ABB1A1是边长为4的正方形，则截面周长为________．解析：如图，取B1C1的中点M，BC的中点N，AC的中点H，连接GM，MN，HN，GH，则GM∥HN∥AB，MN∥GH∥AA1，所以有GM∥平面ABB1A1，MN∥平面ABB1A1.又GM∩MN＝M，所以平面GMNH∥平面ABB1A1，即平面GMNH为过点G且与平面ABB1A1平行的截面．易得此截面的周长为4＋4＋2＋2＝12.答案：12三、解答题8．在空间四边形ABCD中，E，F，G分别是BC，CD，AC的中点．求证：平面EFG∥平面ABD.证明：因为E，F分别是BC，CD的中点，所以EF∥BD.又BD⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，所以EF∥平面ABD.同理可得EG∥平面ABD.又EF∩EG＝E，EF，EG⊂平面EFG，所以平面EFG∥平面ABD.9．正方形ABCD与正方形ABEF所在的平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP＝DQ，求证：PQ∥平面BCE.证明：证法一(线线平行⇒线面平行) 如图1所示， 作PM ∥AB ，交BE 于M ，作QN ∥AB 交BC 于N ，连接MN . ∵正方形ABCD 和正方形ABEF 有公共边AB ，∴AE ＝BD . 又AP ＝DQ ，∴PE ＝QB ，又PM ∥AB ∥QN ，∴PM AB ＝PE AE ＝QB BD ，QN DC ＝BQBD，∴PM AB ＝QNDC，又AB 綊DC ，∴PM ∥QN 且PM ＝QN ， ∴四边形PMNQ 为平行四边形，∴PQ ∥MN ， 又MN ⊂平面BCE ，PQ ⊄平面BCE ，∴PQ ∥平面CBE .证法二(面面平行⇒线面平行) 如图2，在平面ABEF 内过点P 作PM ∥BE 交AB 于点M ，连接QM ，又PM ⊄平面BCE ，BE ⊂平面BCE ，∴PM ∥平面BCE ，AP PE ＝AM MB.又AE ＝BD ，AP ＝DQ ，∴PE ＝BQ ，∴AP PE ＝DQ BQ ，∴AM MB ＝DQQB，∴MQ ∥AD ，又AD ∥BC ，∴MQ ∥BC ，MQ ⊄平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，∴MQ ∥平面BCE ，又PM ∩MQ ＝M ，∴平面PMQ ∥平面BCE ，又PQ ⊂平面PMQ ，∴PQ ∥平面BCE .[尖子生题库]10.如图所示，四边形EFGH 为空间四边形ABCD 的一个截面，若截面为平行四边形． (1)求证：AB ∥平面EFGH ，CD ∥平面EFGH ；(2)若AB ＝4，CD ＝6，求四边形EFGH 周长的取值范围．解析：(1)证明：∵四边形EFGH 为平行四边形，∴EF ∥HG . ∵HG ⊂平面ABD ，EF ⊄平面ABD ，∴EF ∥平面ABD . ∵EF ⊂平面ABC ，平面ABD ∩平面ABC ＝AB ， ∴EF ∥AB ，AB ⊄平面EFGH ，EF ⊂平面EFGH . ∴AB ∥平面EFGH .同理可证，CD ∥平面EFGH . (2)设EF ＝x (0<x <4)，∵四边形EFGH 为平行四边形， ∴CF CB ＝x 4，则FG 6＝BF BC ＝BC －CF BC ＝1－x 4. ∴FG ＝6－32x .∴四边形EFGH 的周长l ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋6－32x ＝12－x . 又∵0<x <4，∴8<l <12，∴四边形EFGH 周长的取值范围是(8,12)．。
高中数学 第八章 立体几何初步 8.5 空间直线、平面的平行 8.5.2 第1课时 直线与平面平行的
8.5.2 直线与平面平行第1课时直线与平面平行的判定[目标] 1.理解并掌握直线与平面平行的判定定理，明确定理中“平面外”三个字的重要性；2.能利用判定定理证明线面平行问题．[重点] 直线与平面平行的判定定理及应用．[难点] 在应用时在平面内找到直线与已知直线平行．要点整合夯基础知识点直线与平面平行的判定定理[填一填][答一答]1．直线和平面平行的判定定理中如果没有“不在一个平面内”的限制条件，结论还成立吗？为什么？提示：结论不一定成立．因为直线a可能在平面α内．2．如果一条直线与平面内无数条直线平行，那么这条直线与这个平面平行吗？提示：不一定平行，有可能直线在平面内．3．直线a∥直线b，直线a∥平面α，那么直线b与平面α的位置关系是什么？提示：b∥α或b⊂α.典例讲练破题型类型一线面平行判定定理的理解[例1]下列说法中正确的是()A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥αB．若直线a在平面α外，则a∥αC．若直线a∥b，b⊂α，则a∥αD．若直线a∥b，b⊂α，那么直线a平行于平面α内的无数条直线[解析]选项A中，直线l⊂α时，l与α不平行；直线在平面外包括直线与平面平行和直线与平面相交两种情况，所以选项B不正确；选项C中直线a可能在平面α内；选项D正确．故选D.[答案] D正确理解直线与平面平行的判定定理和掌握直线和平面的位置关系是解决此类题目的关键，可以采用直接法，也可以使用排除法.[变式训练1]设b是一条直线，α是一个平面，则由下列条件不能得出b∥α的是(A) A．b与α内一条直线平行B．b与α内所有直线都无公共点C．b与α无公共点D．b不在α内，且与α内的一条直线平行解析：A 中b 可能在α内；B 、C 显然是正确的；D 是线面平行的判定定理，所以选A. 类型二 线面平行的证明[例2] 如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，M ，N 分别为棱AC ，A 1B 1的中点，求证：MN ∥平面BCC 1B 1.[分析] 要证明直线a 与平面α平行的关键是在平面α内找一条直线b ，使a ∥b .考虑是否有已知的平行线，若无已知的平行线，则根据已知条件作出平行线(有中点常作中位线)．[证明] 取BC 的中点P ，连接B 1P 和MP ，因为M ，P 分别为棱AC ，BC 的中点，所以MP ∥AB ，且MP ＝12AB ， 因为ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，所以A 1B 1∥AB ，A 1B 1＝AB ，因为N 为棱A 1B 1的中点，所以B 1N ∥AB ，且B 1N ＝12AB . 所以B 1N ∥PM ，且B 1N ＝PM .所以MNB 1P 是平行四边形，所以MN ∥PB 1，又因为MN ⊄平面BCC 1B 1，PB 1⊂平面BCC 1B 1，所以MN ∥平面BCC 1B 1.判定直线与平面平行有两种方法：一是用定义；二是用判定定理.使用判定定理时关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，一般是遵循先找后作的原则，即现有的平面中没有出现与已知直线平行的直线时，我们再考虑添加辅助线.具体操作中，我们可以利用几何体的特征，合理利用中位线定理，或者构造平行四边形等证明两直线平行.[变式训练2] 如图，S 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别是SA ，BD 上的点，且AM SM ＝DN NB.求证：MN ∥平面SBC .证明：如图，连接AN 并延长交BC 于P ，连接SP .因为AD ∥BC ，所以DN NB ＝AN NP， 又因为AM SM ＝DN NB ，所以AM SM ＝AN NP， 所以MN ∥SP ，又MN ⊄平面SBC ，SP ⊂平面SBC ，所以MN ∥平面SBC .类型三 线面平行判定定理的综合应用[例3] 一木块如图所示，点P 在平面VAC 内，过点P 将木块锯开，使截面平行于直线VB 和AC ，应该怎样画线？[解]在平面VAC内经过P作EF∥AC，且与VC的交点为F，与VA的交点为E.在平面VAB内，经过点E作EH∥VB，与AB交于点H，如图所示．在平面VBC内经过点F作FG∥VB，与BC交于点G.连接GH，则EF、FG、GH、HE为截面与木块各面的交线，即EF、FG、GH、HE就是应画的线．利用直线和平面平行的判定定理来证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线，常利用平行四边形、三角形中位线、基本事实4等.[变式训练3]如图，设P，Q是正方体ABCD-A1B1C1D1的面AA1D1D，面A1B1C1D1的中心，证明：PQ∥平面ABB1A1.证明：连接AB1，因为P，Q分别为AD1，B1D1的中点，所以PQ∥AB1，AB1⊂平面ABB1A1，PQ⊄平面ABB1A1.所以PQ∥平面ABB1A1.课堂达标练经典1．如果直线a平行于平面α，则(B)A．平面α内有且只有一条直线与a平行B．平面α内无数条直线与a平行C．平面α内不存在与a平行的直线D．平面α内的任意直线与直线a都平行2．能保证直线a与平面α平行的条件是(D)A．b⊂α，a∥bB．b⊂α，c∥α，a∥b，a∥cC．b⊂α，A、B∈a，C、D∈b，且AC＝BDD．a⊄α，b⊂α，a∥b3．已知l、m是两条直线，α是平面，若要得到“l∥α”，则需要在条件“m⊂α，l∥m”中另外添加的一个条件是l⊄α.解析：根据直线与平面平行的判定定理，知需要添加的一个条件是“l⊄α”．4．一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块矩形木板绕AB转动，在转动的过程中，AB的对边CD与平面α的位置关系是CD∥α或CD⊂α.解析：在旋转过程中CD∥AB，由直线与平面平行的判定定理得CD∥α，或CD⊂α.5．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是棱AB，AD，DD1，BB1的中点．求证：BC1∥平面EFPQ.证明：如图，连接AD1，由ABCD-A1B1C1D1是正方体，知C1D1綉BA，所以四边形ABC1D1为平行四边形，所以AD1∥BC1，因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1，所以BC1∥FP.又FP⊂平面EFPQ，BC1⊄平面EFPQ，所以BC1∥平面EFPQ.——本课须掌握的问题判断或证明线面平行的常用方法：(1)定义法：证明直线与平面无公共点(不易操作)．(2)判定定理法：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.(3)排除法：证明直线与平面不相交，直线也不在平面内．。
新教材高中数学第八章立体几何初步8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系课件新人教A版必修第二册
位置关系
直线 a 外
直线 a 与平
直线 a 与
面 α 相交
平面 α 平行
公共点
有且只有 _无__数___个__公共点 __一___个___公共点 _没__有___公共点
符号表示
a⊂α
a∩α＝A
a∥α
图形表示
■名师点拨 一般地，直线 a 在平面 α 内时，应把直线 a 画在表示平面 α 的平行 四边形内；直线 a 与平面 α 相交时，应画成直线 a 与平面 α 有且只 有一个公共点，被平面 α 遮住的部分画成虚线或不画；直线 a 与平 面 α 平行时，应画成直线 a 与表示平面 α 的平行四边形的一条边平 行，并画在表示平面α 的平行四边形外．
【解析】 经探究可知直线 A1B 与直线 D1C 在平面 A1BCD1 中，且 没有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”；点 A1、B、B1 在平面 A1BB1 内，而 C 不在平面 A1BB1 内，则直线 A1B 与直线 B1C 异面．同理，直线 AB 与直线 B1C 异面．所以②④应该填“异面”； 直线 D1D 与直线 D1C 相交于 D1 点，所以③应该填“相交”． 【答案】 ①平行 ②异面 ③相交 ④异面
③若直线 a∥b，直线 b⊂α，则 a∥α；
④若直线 a∥b，b⊂α，那么直线 a 就平行于平面 α 内的无数条
直线．
其中真命题的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 因为直线 l 虽与平面 α 内无数条直线平行，但 l 有可 能在平面 α 内，所以 l 不一定平行于 α，所以①是假命题． 因为直线 a 在平面 α 外包括两种情况：a∥α 和 a 与 α 相交，所 以 a 和 α 不一定平行，所以②是假命题． 因为直线 a∥b，b⊂α，则只能说明 a 和 b 无公共点，但 a 可能 在平面 α 内，所以 a 不一定平行于 α，所以③是假命题． 因为 a∥b，b⊂α，所以 a⊂α 或 a∥α，所以 a 可以与平面 α 内 的无数条直线平行，所以④是真命题． 综上，真命题的个数为 1. 【答案】 A
新教材高中数学第8章立体几何初步8.4空间点、直线、平面之间的位置关系课时作业30空间点、直线、平面之间的
新教材高中数学第8章立体几何初步8.4空间点、直线、平面之间的位置关系课时作业30空间点、直线、平面之间的位置关系新人教A版必修第二册课时作业30 空间点、直线、平面之间的位置关系知识点一空间中直线与直线的位置关系1.下列说法中正确的个数是( )①两条直线无公共点，则这两条直线平行；②两直线若不是异面直线，则必相交或平行；③过平面外一点与平面内一点的连线所在的直线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线；④和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线．A．0 B．1C．2 D．3答案 B解析对于①，空间两直线无公共点，则可能平行，也可能异面，因此①不正确；对于②，空间两条不重合的直线的位置关系只有三种：平行、相交或异面，故②正确；对于③，过平面外一点与平面内一点的连线所在的直线，与平面内过该点的直线是相交直线，故③不正确；对于④，如图所示，直线AB，AC分别与两异面直线a，b都相交，但AB，AC却是相交直线，故④不正确．2．设三条不同的直线l1，l2，l3，满足l1⊥l3，l2⊥l3，则l1与l2( )A．是异面直线B．是相交直线C．是平行直线D．可能是相交，或平行，或异面直线答案 D解析构造长方体，令l3为一侧棱，可知选D.知识点二空间中直线与平面的位置关系3.直线l与平面α不平行，则( )A．l与α相交B．l⊂αC．l与α相交或l⊂αD．以上结论都不对答案 C解析直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交．因为直线l与平面α不平行，所以l与α相交或l⊂α.4．若一条直线上有两点在已知平面外，则下列结论正确的是( )A．直线上所有的点都在平面外B．直线上有无数多个点都在平面外C．直线上有无数多个点都在平面内D．直线上至少有一个点在平面内答案 B解析一条直线上有两点在已知平面外，则直线与平面平行或相交．相交时有且只有一个点在平面内，故A，C错误；直线与平面平行时，直线上没有一个点在平面内，故D错误.知识点三空间中平面与平面的位置关系5.已知平面α∥平面β，若P，Q是α，β之间的两个点，则( )A．过P，Q的平面一定与α，β都相交B．过P，Q有且仅有一个平面与α，β都平行C．过P，Q的平面不一定与α，β都平行D．过P，Q可作无数个平面与α，β都平行答案 C解析当过P，Q的直线与α，β相交时，过P，Q的平面一定与平面α，β都相交，排除B，D；当过P，Q的直线与α，β都平行时，可以作唯一的一个平面与α，β都平行，排除A，故选C.6．若三个平面两两相交，有三条交线，则下列命题中正确的是( )A．三条交线为异面直线B．三条交线两两平行C．三条交线交于一点D．三条交线两两平行或交于一点答案 D解析三个平面两两相交，有三条交线，三条交线两两平行或交于一点．如三棱柱的三个侧面两两相交，交线是三棱柱的三条侧棱，这三条侧棱是相互平行的；但有时三条交线交于一点，如长方体的三个相邻的表面两两相交，交线交于一点，此点就是长方体的顶点.知识点四空间中线、面位置关系的应用7．如图，平面α，β，γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b、a与β的关系并证明你的结论．解a∥b，a∥β.证明如下：由α∩γ＝a知a⊂α且a⊂γ，由β∩γ＝b知b⊂β且b⊂γ.∵α∥β，a⊂α，b⊂β，∴a，b无公共点．又∵a⊂γ且b⊂γ，∴a∥b.∵α∥β，∴α与β无公共点，又a⊂α，∴a与β无公共点，∴a∥β.一、选择题1．如果一条直线与两条异面直线中的一条相交，那么它与另一条直线之间的位置关系是( )A．平行B．相交C．异面D．可能平行、可能相交、可能异面答案 D解析可以利用长方体的棱所在的直线找到平行、相交、异面的情况．2．a，b是两条异面直线，A是不在直线a，b上的点，则下列结论成立的是( ) A．过A有且只有一个平面同时平行于直线a，bB．过A至少有一个平面同时平行于直线a，bC．过A有无数个平面同时平行于直线a，bD．过A且同时平行于直线a，b的平面可能不存在答案 D解析如图所示，作a1∥a，a1与b相交构成平面α，如果点A在平面α内，则此时过点A且平行于异面直线a，b的平面不存在．故选D.3．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则a与b的位置关系是( )A．平行 B．相交C．异面 D．以上都有可能答案 D解析如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1∥平面ABCD，A1D1∥平面ABCD，有A1B1∩A1D1＝A1；又D1C1∥平面ABCD，有A1B1∥D1C1；取BB1和CC1的中点M，N，连接MN，则MN∥平面ABCD，有A1B1与MN异面．故选D.4．下列说法中，正确的个数是( )①若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行；②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点；③若直线a在平面α内，直线b不在平面α内，则a与b没有公共点；④若直线a与平面α交于点A，则a⊄α.A．0 B．1 C．2 D．3答案 C解析①不正确，因为l∥α，所以直线l与平面α没有公共点，则l与平面α内的直线可能平行，也可能异面；②正确；③不正确，a与b也可能相交，有一个公共点；④正确，直线与平面只有一个交点，则直线与平面相交，直线不在平面内．5．平面α与平面β平行，且a⊂α，下列四种说法：①a与β内的所有直线都平行；②a与β内无数条直线平行；③a与β内的任意一条直线都不垂直；④a与β无公共点．其中正确的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析如图所示，a∥b，显然a，c是异面直线，①错误；a与β内所有与b平行的直线平行，故②正确；若c⊥b，则c⊥a，故③不正确；∵α∥β，∴α与β无公共点，又a⊂α，∴a与β无公共点，④正确．二、填空题6．在四棱锥P－ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有________对．答案8解析以底边所在直线为准进行考察，因为四边形ABCD是平面图形，4条边在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线，所以共有4×2＝8(对)异面直线．7．已知直线a，平面α，β，且a∥α，a∥β，则平面α，β的位置关系是________．答案平行或相交解析借助长方体模型即得．8．下列命题中正确的是________(填序号)．①若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；②若两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条一定与该平面相交；③若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面．答案③解析若直线l与平面α相交，则l与平面α内过交点的直线不是异面直线，故①不正确；若两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条可能与该平面平行或相交或在平面内，故②不正确；若直线l与平面α平行，则l与平面α无公共点，所以l与平面α内的直线也无公共点，即平行或异面，故③正确．三、解答题9．判断正误，若为假命题，画出反例图形．(1)若两个平面有无数个公共点，则两个平面重合；(2)若一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行；(3)若两个平面相交，则分别在两个平面内的两条直线也相交；(4)若两个平面平行，则分别在两个平面内的两条直线也平行．解(1)假命题，如图①.(2)假命题，如图②.(3)假命题，如图③.(4)假命题，如图④.10．已知空间四边形ABCD，AB≠AC，AE是△ABC中BC边上的高，DF是△BCD中BC边上的中线，求证：AE和DF是异面直线．证明假设AE和DF不是异面直线，则AE和DF共面，设过AE，DF的平面为β，若E，F重合，则E为BC的中点，∴AB＝AC，与AB≠AC相矛盾．若E，F不重合，∵B∈EF，C∈EF，而EF⊂β，∴B∈β，C∈β，又A∈β，D∈β，∴A，B，C，D四点共面，这与题设ABCD为空间四边形矛盾，综上可知，假设不成立，∴AE与DF为异面直线．。
人教版高中数学新教材必修第8章-立体几何初步-教辅教案
②球心到截面的距离 d 与球半径 R 及截
面圆的半径 r 满足 d =
R2 -r2 ;
③球体被经过球心的平面截得的圆叫做
大圆, 被 不 经 过 球 心 的 平 面 截 得 的 圆 叫 做
小圆.
8. 2 立体图形的直观图
1. 直观图
对于立体图形,直观图是 最 常 用 的 描 述
方式. 在前面介绍各个基本立体图形时,使用
高)
正棱台
1
S 正棱台侧 = ( c′+c) h′
2
( c′、 c 为 上、 下 底 面
周长,h′为斜高)
S 表 = S 侧 + S 上底
+S 下底
2. 常见旋转体的侧面积和表面积
几何体
侧面积公式
表面积公式
圆柱
S 圆柱侧 = 2πrl ( r 为 底
S 圆柱表 = 2πr 2
圆锥
圆台
面半径,l 为母线长)
是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边
都相互平行,由这些面所围成的多面体叫做
棱柱.
两个互相平行的平面叫 做 棱 柱 的 底 面,
简称底. 除底面外的各面叫做棱柱的侧面. 相
邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱. 侧棱与底
面的公共点叫做棱柱的顶点.
127
5AAeP
一般用 表 示 底 面 各 顶 点 的 字 母 表 示 棱
成的多面体叫做棱锥. 其中,多边形面叫做棱
锥的底面;有公共顶点的各个三角形面叫做
棱锥的侧面;各侧面的公共顶点叫做棱锥的
顶点;相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.
2. 棱锥的分类与表示
底面是三角形、四边形、五边形……的棱
锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……其中
(新教材适用)高中数学第8章立体几何初步8.5空间直线平面的平行8.5.1直线与直线平行课后习题
8.5.1直线与直线平行课后训练巩固提升1.一条直线与两条平行直线中的一条相交,则它与另一条直线的位置关系是()A.相交或异面B.平行C.异面D.相交答案:A2.如图,在三棱锥ABCD中,E,F,G,H分别是棱AC,CD,BD,AB的中点,且AD=BC,那么四边形EFGH是()A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形答案:C3.若∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,OA与O1A1的方向相同,则下列结论正确的是()A.OB∥O1B1,且方向相同B.OB∥O1B1C.OB与O1B1不平行D.OB与O1B1不一定平行解析:如图(1),∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,OA与O1A1的方向相同,但OB与O1B1不平行,故A,B不正确;如图(2),∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,OA与O1A1的方向相同,此时OB∥O1B1,故C不正确,D正确.图(1)图(2)答案:D4.(多选题)如图所示,在四面体ABCD中,M,N,P,Q,E分别是AB,BC,CD,AD,AC的中点,则下列说法正确的是()A.四边形MNPQ是菱形B.∠QME=∠DBCC.△BCD∽△MEQD.四边形MNPQ为矩形解析:由题意知,MN∥AC,且MN=AC,PQ∥AC,且PQ=AC,所以MN PQ,所以四边形MNPQ是平行四边形,但没有充分理由推证其为菱形或矩形,故AD不正确;由等角定理知,∠QME=∠DBC,∠MQE=∠BDC,故BC正确.答案:BC5.在空间四边形ABCD中,N,M分别是BC,AD的中点,则2MN与AB+CD的大小关系是. 答案:2MN<AB+CD6.如图,P是△ABC所在平面外一点,D,E分别是△PAB和△PBC的重心.求证:DE∥AC.证明:连接PD,PE并延长分别交AB,BC于点M,N,如图所示.因为D,E分别是△PAB,△PBC的重心,所以M,N分别是AB,BC的中点,连接MN,则MN∥AC.在△PMN 中,因为,所以DE∥MN,所以DE∥AC.7.如图,长方体ABCDA1B1C1D1,平面A1C1内有一点P,经过点P作棱BC的平行线,应该怎样画?并说明理由.解:如图,在平面A1C1内过点P作直线EF∥B1C1,交A1B1于点E,交C1D1于点F,则直线EF即为所求.理由如下:因为EF∥B1C1,BC∥B1C1,所以EF∥BC.8.如图,在四面体ABCD中,E,F,G,H分别是所在棱上的点,且AE∶EB=AH∶HD=m,CF∶FB=CG∶GD=n.(1)证明:E,F,G,H四点共面;(2)当m,n满足什么条件时,四边形EFGH是平行四边形?(1)证明:∵AE∶EB=AH∶HD,∴EH∥BD.∵CF∶FB=CG∶GD,∴FG∥BD,∴EH∥FG,∴E,F,G,H四点共面.(2)解:当且仅当EH FG时,四边形EFGH为平行四边形.(1)中已证EH∥FG.,∴EH=BD.同理FG=BD.由EH=FG,得m=n.故当m=n时,四边形EFGH为平行四边形.9.如图,△ABC和△A'B'C'的对应顶点的连线AA',BB',CC'交于同一点O,且(1)证明:AB∥A'B',AC∥A'C',BC∥B'C'.(2)求的值.(1)证明:∵AA'与BB'相交于点O,且,∴AB∥A'B'.同理AC∥A'C',BC∥B'C'.(2)解:∵AB∥A'B',AC∥A'C',且AB和A'B',AC和A'C'的方向分别相反,∴∠BAC=∠B'A'C'.同理∠ABC=∠A'B'C',因此△ABC∽△A'B'C'.又,s。
高中数学第八章立体几何初步8.5.1直线与直线平行直线与平面平行练习含解析新人教A版必修第二册
第八章8.5 8.5.1 8.5.2A级——基础过关练1．如图，在三棱锥S-ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则()A．EF与BC相交B．EF∥BCC．EF与BC异面D．以上均有可能【答案】B【解析】因为平面SBC∩平面ABC＝BC，又因为EF∥平面ABC，所以EF∥BC．2．如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是()A．共面B．平行C．异面D．平行或异面【答案】D【解析】空间中两直线的位置关系有：①相交；②平行；③异面．两条直线平行和两条直线异面都满足两条直线没有公共点，故a与b的位置关系是平行或异面．3．如图，已知S为四边形ABCD外一点，G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则()A．GH∥SAB．GH∥SDC．GH∥SCD．以上均有可能【答案】B【解析】因为GH∥平面SCD，GH⊂平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，所以GH∥SD，显然GH与SA，SC均不平行．故选B．4．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有() A．0条B．1条C．0条或1条D．无数条【答案】C【解析】过直线a与n条直线的交点作平面β，设平面β与α交于直线b，则a∥b.若所给n条直线中有1条是与b重合的，则此直线与直线a平行，若没有与b重合的，则与直线a平行的直线有0条．5．梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α的位置关系是________．【答案】平行【解析】因为AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，由线面平行的判定定理可得CD∥α.6．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是________．①在空间，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c.【答案】②④【解析】①错，可以异面；②正确，基本事实4；③错误，和另一条可以异面；④正确，由平行直线的传递性可知．7．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BD和B1D1分别是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线.(1)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相同；(2)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相反．【答案】(1)∠D1B1C1(2)∠B1D1A1【解析】(1)因为B1D1∥BD，B1C1∥BC且方向相同，所以∠DBC的两边与∠D1B1C1的两边分别平行且方向相同．(2)B1D1∥BD，D1A1∥BC且方向相反，所以∠DBC的两边与∠B1D1A1的两边分别平行且方向相反．8．如图，已知在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．求证：(1)四边形MNA 1C 1是梯形； (2)∠DNM ＝∠D 1A 1C 1. 证明：(1)如图，连接AC ．因为在△ACD 中，M ，N 分别是CD ，AD 的中点，所以MN 是△ACD 的中位线． 所以MN ∥AC ，MN ＝12AC ．由正方体的性质得AC ∥A 1C 1， AC ＝A 1C 1.所以MN ∥A 1C 1，且MN ＝12A 1C 1，即MN ≠A 1C 1.所以四边形MNA 1C 1是梯形． (2)由(1)可知MN ∥A 1C 1.又因为ND ∥A 1D 1，所以∠DNM 与∠D 1A 1C 1相等或互补． 而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均为锐角， 所以∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.9．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BC ，C 1D 1的中点，求证：EF ∥平面BDD 1B 1.证明：如图，取D 1B 1的中点O ，连接OF ，OB ．因为OF 12B1C1，BE12B1C1，所以OF BE.所以四边形OFEB是平行四边形．所以EF∥BO.因为EF⊄平面BDD1B1，BO⊂平面BDD1B1，所以EF∥平面BDD1B1.B级——能力提升练10．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EH∥FG，则EH与BD的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．不确定【答案】A【解析】因为EH∥FG，FG⊂平面BCD，EH⊄平面BCD，所以EH∥平面BCD．因为EH⊂平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EH∥BD．11．过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有()A．3条B．4条C．5条D．6条【答案】D【解析】记AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，E1F1，EE1，FF1，E1F，EF1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共有6条．12．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下列结论中正确的是()A．E，F，G，H一定是各边的中点B．G，H一定是CD，DA的中点C ．BE ∶EA ＝BF ∶FC ，且DH ∶HA ＝DG ∶GCD ．AE ∶EB ＝AH ∶HD ，且BF ∶FC ＝DG ∶GC【答案】D 【解析】由于BD ∥平面EFGH ，由线面平行的性质定理，有BD ∥EH ，BD ∥FG ，则AE ∶EB ＝AH ∶HD ，且BF ∶FC ＝DG ∶GC ．13．(多选)如图所示，在四面体ABCD 中，M ，N ，P ，Q ，E 分别是AB ，BC ，CD ，AD ，AC 的中点，则下列说法正确的是( )A ．M ，N ，P ，Q 四点共面B ．∠QME ＝∠CBDC ．△BCD ∽△MEQ D ．四边形MNPQ 为矩形【答案】ABC 【解析】由条件易得MQ ∥BD ，ME ∥BC ，QE ∥CD ，NP ∥BD ，所以MQ ∥NP .对于A ，由MQ ∥NP ，得M ，N ，P ，Q 四点共面，故A 正确；对于B ，根据等角定理，得∠QME ＝∠DBC ，故B 正确；对于C ，由等角定理知∠QME ＝∠DBC ，∠MEQ ＝∠BCD ，则△BCD ∽△MEQ ，故C 正确；对于D ，没有充分理由推证四边形MNPQ 为矩形，故D 不正确．14．如图所示，E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 各边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，若BD ＝2，AC ＝4，则四边形EFGH 的周长为________．【答案】6 【解析】因为E ，H 分别是空间四边形ABCD 中的边AB ，DA 的中点，所以EH ∥BD ，且EH ＝12BD ．同理FG ∥BD ，且FG ＝12BD ．所以EH ＝FG ＝12BD ＝1.同理EF ＝GH ＝12AC ＝2，所以四边形EFGH 的周长为6. 15．如图，在空间四边形ABCD 中，E ，H 分别是AB ，AD 的中点，F ，G 分别是CB ，CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23，若BD ＝6 cm ，梯形EFGH 的面积为28 cm 2，求平行线EH ，FG间的距离．解：在△BCD 中，因为CF CB ＝CG CD ＝23，所以GF ∥BD ，FG BD ＝23.因为BD ＝6 cm ，所以FG ＝4 cm.在△ABD 中，因为点E ，H 分别是AB ，AD 的中点，所以EH ＝12BD ＝3(cm)．设EH ，FG 间的距离为d cm ，则12×(4＋3)·d ＝28，所以d ＝8.所以EH 和FG 间的距离为8 cm.16．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，∠ACB ＝90°，EF ∥AB ，FG ∥BC ，EG ∥AC ，AB ＝2EF ，M 是线段AD 的中点，求证：GM ∥平面ABFE .证明：因为EF ∥AB ，FG ∥BC ，EG ∥AC ，∠ACB ＝90°， 所以△ABC ∽△EFG ，∠EGF ＝90°.由于AB ＝2EF ，因此BC ＝2FG .如图，连接AF .由于FG ∥BC ，FG ＝12BC ，在▱ABCD 中，M 是线段AD 的中点，则AM ∥BC ，且AM ＝12BC ．因此FG ∥AM 且FG ＝AM .所以四边形AFGM 为平行四边形． 因此GM ∥F A ．又F A ⊂平面ABFE ，GM ⊄平面ABFE ， 所以GM ∥平面ABFE .C 级——探索创新练17．如图，在四面体P ABC 中，PC ⊥AB ，P A ⊥BC ，点D ，E ，F ，G 分别是棱AP ，AC ，BC ，PB 的中点．(1)求证：DE ∥平面BCP ； (2)求证：四边形DEFG 为矩形；(3)是否存在点Q ，到四面体P ABC 六条棱的中点的距离相等？说明理由． (1)证明：∵D ，E 分别为AP ，AC 的中点，∴DE ∥PC ． ∵DE ⊄平面BCP ，PC ⊂平面BCP ， ∴DE ∥平面BCP .(2)解：∵D ，E ，F ，G 分别为AP ，AC ，BC ，PB 的中点， ∴DE ∥PC ∥FG ，DG ∥AB ∥EF . ∴四边形DEFG 为平行四边形．∵PC ⊥AB ，∴DE ⊥DG ，∴四边形DEFG 为矩形．(3)解：存在点Q 满足条件，理由如下：连接DF ，EG ，设Q 为EG 的中点，由(2)知DF ∩EG ＝Q ，且QD ＝QE ＝QF ＝QG ＝12EG ，分别取PC ，AB 的中点M ，N ，连接ME ，EN ，NG ，MG ，MN ，与(2)同理，可证四边形MENG 为矩形，其对角线交点为EG 的中点Q ，且QM ＝QN ＝12EG ，∴Q 为满足条件的点．。
新教材高中数学第八章立体几何初步8.5空间直线平面的平行8.5.1直线与直线平行课时作业含解析人教A版必修二
课时作业28 直线与直线平行时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．两等角的一组对应边平行，则( D )A．另一组对应边平行B．另一组对应边不平行C．另一组对应边不可能垂直D．以上都不对解析：另一组对应边可能平行，也可能不平行，也可能垂直．注意和等角定理(若两个角的对应边平行，则这两个角相等或互补)的区别．2．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G分别为棱A1C1，B1C1，B1B的中点，则∠EFG 与∠ABC1( B )A．相等B．互补C．相等或互补D．不确定解析：由于E，F，G分别为A1C1，B1C1，BB1的中点，所以EF∥A1B1∥AB，FG∥BC1，所以∠EFG与∠ABC1的两组对边分别平行，一组对应边方向相同，一组对应边方向相反，故∠EFG 与∠ABC1互补．3．已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30°，则∠PQR等于( B )A．30° B．30°或150°C．150° D．大小无法确定解析：∠ABC的两边与∠PQR的两边分别平行，但方向不能确定是否相同，∴∠PQR＝30°或150°.4．(多选)下列命题中，正确的结论有( BCD )A．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等B．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等C．如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补D．如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行解析：由等角定理得B、C正确，A错误，由基本事实4得D正确．5．如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有( B )A．3条 B．4条C．5条 D．6条解析：由于E、F分别是B1O、C1O的中点，故EF∥B1C1，因为和棱B1C1平行的棱还有3条：AD、BC、A1D1，所以共有4条．6．如图，在三棱锥PABC中，E，F，G，H，I，J分别为线段PA，PB，PC，AB，BC，CA 的中点，则下列说法正确的是( C )A．PH∥BGB．IE∥CPC．FH∥GJD．GI∥JH解析：由题意结合三角形中位线的性质，可得FH∥PA，GJ∥PA，由基本事实4可得FH ∥GJ.二、填空题7．已知空间两个角α，β，且α与β的两边对应平行，α＝60°，则β为60°或120°.解析：根据“等角定理”可知，α与β相等或互补，故β为60°或120°.8．若AB∥A′B′，AC∥A′C′，则下列结论：①∠BAC＝∠B′A′C′；②∠ABC＋∠A′B′C′＝180°；③∠ACB＝∠A′C′B′或∠ACB＋∠A′C′B′＝180°.一定成立的是③.解析：∵AB∥A′B′，AC∥A′C′，∴∠ACB＝∠A′C′B′或∠ACB＋∠A′C′B′＝180°.9．已知棱长为a的正方体ABCDA′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点，则MN 与A′C′的位置关系是平行．解析：因为AN＝DN，DM＝MC，所以MN ∥AC ，因为AC ∥A ′C ′， 所以MN ∥A ′C ′. 三、解答题10．如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是棱CC 1，BB 1，DD 1的中点．求证：(1)GB ∥D 1F ； (2)∠BGC ＝∠FD 1E .证明：(1)因为E ，F ，G 分别是正方体的棱CC 1，BB 1，DD 1的中点，所以CE 綉GD 1，BF 綉GD 1，所以四边形CED 1G 与四边形BFD 1G 均为平行四边形，所以GC ∥D 1E ，GB ∥D 1F .(2)因为∠BGC 与∠FD 1E 两边的方向都相同，所以∠BGC ＝∠FD 1E .11．如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E 、F 分别为BC 和AD 的中点，将平面DCEF 沿EF 翻折起来，使CD 到C ′D ′的位置，G 、H 分别为AD ′和BC ′的中点，求证：四边形EFGH 为平行四边形．证明：∵梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E 、F 分别为BC 、AD 的中点， ∴EF ∥AB 且EF ＝12(AB ＋CD )．又C ′D ′∥EF ，EF ∥AB ，∴C ′D ′∥AB . ∵G 、H 分别为AD ′、BC ′的中点，∴GH ∥AB 且GH ＝12(AB ＋C ′D ′)＝12(AB ＋CD )，∴GH 綉EF ，∴四边形EFGH 为平行四边形．——能力提升类——12．下列结论中正确的是( B )①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行； ②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线的一条相交，那么它也和另一条相交； ④空间四条直线a ，b ，c ，d ，如果a ∥b ，c ∥d ，且a ∥d ，那么b ∥c .A ．①②③B ．②④C ．③④D ．②③解析：①错，可以异面；②正确，基本事实4；③错误，和另一条可以异面；④正确，由平行直线的传递性可知．13．在空间四边形ABCD 中，如图所示，AE AB ＝AH AD ，CF CB ＝CGCD，则EH 与FG 的位置关系是平行．解析：如图，连接BD ，在△ABD 中，AE AB ＝AH AD，则EH ∥BD ，同理可得FG ∥BD ，∴EH ∥FG .14．已知点E ，E ′分别是正方体ABCD A ′B ′C ′D ′的棱AD ，A ′D ′的中点，则四边形BB ′E ′E 的形状为平行四边形，∠BEC 与∠B ′E ′C ′的大小相等．(填相等或互补)解析：如图所示，因为点E ，E ′分别是AD ，A ′D ′的中点，所以AE ∥A ′E ′，且AE ＝A ′E ′.所以四边形AEE ′A ′是平行四边形．所以AA′∥EE′，且AA′＝EE′.又因为AA′∥BB′，且AA′＝BB′.所以EE′∥BB′，且EE′＝BB′.所以四边形BB′E′E是平行四边形．所以BE∥B′E′，同理可证CE∥C′E′.又因为∠BEC与∠B′E′C′的两边方向相同，所以∠BEC＝∠B′E′C′.15．在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别是CC1、B1C1、C1D1的中点．求证：∠NMP＝∠BA1D.证明：如图，连接CB1、CD1，∵CD綉A1B1，∴四边形A1B1CD是平行四边形．∴A1D∥B1C.∵M、N分别是CC1、B1C1的中点，∴MN∥B1C，∴MN∥A1D.∵BC綉A1D1，∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥CD1.∵M、P分别是CC1、C1D1的中点，∴MP∥CD1，∴MP∥A1B，∵∠NMP和∠BA1D的两边分别平行且方向都相反，∴∠NMP＝∠BA1D.。
高中数学第八章立体几何初步之空间直线、平面的平行(精炼)(必修第二册)(教师版含解析)
8.5 空间直线、平面的平行(精炼)【题组一线面平行】1．(2021·全国高一课时练习)如图所示，已知正方体1111ABCD A B C D-中，E，F分别是它们所在线段的中点，则满足1//A F平面1BD E的图形为( )A．①B．①②C．②D．①②③【答案】C【解析】①中，平移1A F至1D F'，知1D F'与面1BD E只有一个交点1D，则1A F与面1BD E不平行；②中，在正方体1111ABCD A B C D-中，E，F分别是它们所在线段的中点，则易知11//A F D E，而1⊄A F平面1BD E，1D E⊂平面1BD E，故1//A F平面1BD E；③中，同①平移1A F至1D F'，知1D F'与面1BD E只有一个交点1D，则1A F与面1BD E不平行；故选：C．2．(2021·全国高一课时练习)已知正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是它们所在线段的中点，则满足1//A F 平面1BD E 的图形个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】②中，11//A F D E ，而1⊄A F 平面1BD E ，1D E ⊂平面1BD E ，故1//A F 平面1BD E ； ①中，平移1A F 至1D F '，知1D F '与面1BD E 只有一个交点1D ，则1A F 与面1BD E 不平行；③中，同样平移1A F 至1D F '，知1D F '与面1BD E 只有一个交点1D ，则1A F 与面1BD E 不平行；故选：B．3．(2020·济南大学城实验高级中学高一期中)如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知E ，F ，G 分别是线段A 1C 1上的点，且A 1E ＝EF ＝FG ＝GC 1.则下列直线与平面A 1BD 平行的是( )A ．CEB ．CFC ．CGD ．CC 1【答案】B【解析】如图，连接AC ，使AC 交BD 于点O ，连接A 1O ，CF ，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，由于111//,2A F AC A F AC =， 又OC ＝12AC ，可得：11//,A F OC A F OC =，即四边形A 1OCF 为平行四边形， 可得：A 1O ∥CF ，又A 1O ⊂平面A 1BD ，CF ⊄平面A 1BD ， 可得CF ∥平面A 1BD ， 故选：B.4．(2021·全国高一)下列四个正方体图形中，A B 、为正方体的两个顶点，M N P 、、分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是( )A．①③B．①④C．①③④D．②④【答案】B【解析】对于①，如图，依题意M、N、P分别为其所在棱的中点，结合正方体的性质可知////,//BC AD MN BD NP，由于BC⊄平面MNP，MN⊂平面MNP，所以//BC平面MNP；由于BD⊄平面MNP，NP⊂平面MNP，所以//BD平面MNP；由于BC BD B=，所以平面//ACBD平面MNP，所以//AB平面MNP，所以①正确.对于②，如图，设BC与DE相交于O，依题意M、N、P分别为其所在棱的中点，结合正方体的性质可知//AB ON，因为ON与平面MNP相交，所以AB与平面MNP不平行，所以②错误.对于③，如图，设C是AD的中点，因为M是BD的中点，所以//AB CM，而CM与平面MNP相交，所以AB与平面MNP不平行，所以③错误.对于④，如图，依题意M 、N 、P分别为其所在棱的中点，结合正方体的性质可知////AB CD NP，AB⊄平面MNP，NP⊂平面MNP，所以//AB平面MNP，所以④正确.综上所述，正确的序号有①④.故选：B.5．(2020·济南大学城实验高级中学高一期中)如图，在下列四个正方体中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB不平行与平面MNQ的是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】对于A选项，如下图所示，连接CD，在正方体中，//AD BC且AD BC=，所以，四边形ABCD为平行四边形，则//AB CD，N、Q分别为DE、CE的中点，则//NQ CD，//AB NQ∴，AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，//AB∴平面MNQ；对于B选项，连接CD，如下图所示：在正方体中，//AD BC且AD BC=，所以，四边形ABCD为平行四边形，则//AB CD，M、Q分别为DE、CE的中点，则//MQ CD，//AB MQ∴，AB⊄平面MNQ，MQ平面MNQ，//AB∴平面MNQ；对于C选项，连接CD，如下图所示：在正方体中，//AD BC且AD BC=，所以，四边形ABCD为平行四边形，则//AB CD，M 、Q 分别为DE 、CE 的中点，则//MQ CD ，//AB MQ ∴，AB ⊄平面MNQ ，MQ 平面MNQ ，//AB ∴平面MNQ ；对于D 选项，如下图所示，连接BE 交MN 于点F ，连接QF ，连接CD 交BE 于点O ，若//AB 平面MNQ ，AB 平面ABE ，平面ABE 平面MNQ FQ =，则//FQ AB ，则EF EQBE AE=， 由于四边形BCED 为正方形，对角线交于点O ，则O 为BE 的中点，M 、N 分别为DE 、CE 的中点，则//MN CD ，且MNBE F =，则12EF EN EO CE ==，1124EF OE BE ∴==， 则14EF BE =，又12EQ AE =，则EF EQBE AE≠，所以，AB 与平面MNQ 不平行； 故选：D.6．(2020·苏州新草桥中学高一期中)如图所示，在三棱柱ABC 111A B C 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，11A B ，11A C 的中点，求证：(1)B ，C ，H ，G 四点共面； (2)1A E ∥平面BCHG .【答案】(1)证明见详解；(2)证明见详解；【解析】(1)∵G，H分别是11A B，11A C的中点，∴11//GH B C，而11//B C BC，∴//GH BC，即B，C，H，G四点共面.(2)∵E，G分别是AB，11A B的中点，∴1,AG EB平行且相等，所以四边形1A EBG为平行四边形，即1//A E GB，又1A E⊄面BCHG，GB⊂面BCHG，∴1//A E面BCHG，7．(2020·湖南岳阳市·岳阳一中高一月考)如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥BD，BC=3，BD=4，直线AD与平面BCD所成的角为45°，点E，F分别是AC，AD的中点．(1)求证：EF∥平面BCD；(2)求三棱锥A﹣BCD的体积．【答案】(1)证明见解析；(2)8【解析】(1)∵点E，F分别是AC，AD的中点，∴EF∥CD，又∵EF⊄平面BCD，CD⊂平面BCD，∴//EF平面BCD；(2)∵AB⊥平面BCD，∴∠ADB为直线AD与平面BCD所成的角，45,4ADB AB BD∴∠=︒∴==，∵BC ⊥BD ，162BCDBC SBD ∴=⨯⨯=, ∴三棱锥A﹣BCD 的体积183BCDV s AB =⋅=．8．(2020·云南高一期末)如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，60BAD ∠=︒，2PD AD AB ===，4CD =，E 为PC 的中点．(1)证明：//BE 平面PAD ； (2)求三棱锥C BDE -的体积． 【答案】(1)证明见解析；(2)233. 【解析】(1)设F 为PD 的中点，连结EF ，FA ， ∵EF 为PDC △的中位线，∴//EF CD ，且122EF CD ==， 又//AB CD ，2AB =，∴//AB EF ，且AB EF =， ∴四边形ABEF 是平行四边形，∴//BE AF ， 又AF ⊂平面PAD ，BE ⊄平面PAD ， ∴//BE 平面PAD ． (2)∵E 是PC 的中点， ∴三棱锥12C BDE E BCD P BCD V V V ---==， 又AD AB =，60BAD ∠=︒，∴ABD △是等边三角形， ∴2BD AB AD ===，D 到AB 的距离为3sin 60232AD ⋅︒=⨯=， 又4CD =，∴143232BCD S =⨯⨯=△， ∵PD ⊥平面ABCD ， ∴1143232333P BCD BCD V S PD -=⋅=⨯⨯=△，∴三棱锥C BDE-的体积12323C BDE P BCDV V--==．9．(2020·四川绵阳市·高一期末)如图，在四棱柱1111ABCD A B C D-中，底面ABCD是平行四边形，1AA⊥平面ABCD，3AD BD==，32AB=，E是1CD的中点.(1)证明：1//AD平面BDE；(2)若14AA=，求三棱锥1D BDE-的体积.【答案】(1)证明见解析；(2)3.【解析】(1)证明：连接AC交BD于点O，连接EO.∵底面ABCD是平行四边形，∴点O为AC的中点.∵点E是棱1CD的中点，∴EO为1ACD△的中位线，∴1//EO AD，又EO⊂平面BDE，1AD⊄平面BDE，∴1AD∥平面BDE.(2)∵E 是棱1CD 的中点，∴点E 到平面BCD 的距离等于点1D 到平面BCD 的距离的一半，∴点E 到平面BCD 的距离1114222d DD ==⨯=， ∴三棱锥1D BDE -的体积111133D BCDE BCD BCD BCD V V V S DD S d --=-=⨯-⨯△△，()113BCD S DD d =-△ ()113342332=⨯⨯⨯⨯-= 即三棱锥1D BDE -的体积为3. 【题组二 面面平行】1．(2020·浙江杭州市·高一期末)已知直线a 与平面,,αβγ，能使//αβ的充分条件是( ) ①,αγβγ⊥⊥ ②//,//αγβγ ③//,//a a αβ ④,a a αβ⊥⊥ A ．①② B ．②③C ．①④D ．②④【答案】D【解析】对①，若,αγβγ⊥⊥，垂直于同一个平面的两个平面可以相交，故①错误； 对②，若//,//αγβγ，则//αβ，平面的平行具有传递性，故②正确； 对③，若//,//a a αβ，平行于同一直线的两平面可以相交，故③错误； 对④，,a a αβ⊥⊥，垂直于同一直线的两平面平行，故④正确. 综上：②④正确， 故选：D.2．(2020·全国高一课时练习)如图，在下列四个正方体中，P ，R ，Q ，M ，N ，G ，H 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与PRQ 所在平面平行的是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可知经过P、Q、R三点的平面即为平面PGRHNQ，如下图所示：对,B C选项：可知N在经过P、Q、R三点的平面上，所以B、C错误；对A：MC1与QN是相交直线，所以A不正确；对D：因为11A C//RH，，1BC//QN，1111,A C BC C⋂=又容易知,RH QN也相交，111,AC BC平面11A C B；,RH QN⊂平面PGRHNQ，故平面11A C B//平面PGRHNQ故选：D.3．(2020·江苏苏州市·常熟中学高一月考)已知m，n为两条不重合直线，α，β为两个不重合平面，下列条件中，一定能推出//αβ的是( )A．//m n，mα⊂，nβ⊂B．//m n，mα⊥，nβ⊥C．m n⊥，//mα，//nβD．m n⊥，mα⊥，nβ⊥【答案】B【解析】只有一对直线平行，不能得出两平面平行，A错，由//m n，mα⊥可得nα⊥，再由线面垂直的性质可得//αβ，B正确；C中两平面,αβ，没有任何关系，不能得出平行，C错；由m n⊥，mα⊥，nβ⊥可以得出αβ⊥，不能得出平行，D错．故选：B．【题组三平行的综合运用】1(2020·全国高一课时练习)(多选题)在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断：其中推断正确的序号是( )A．FG∥平面AA1D1D；B．EF∥平面BC1D1；C．FG∥平面BC1D1；D．平面EFG∥平面BC1D1【答案】AC【解析】在正方体1111ABCD A B C D-中，E，F，G分别是11A B，11B C，1BB的中点，1//FG BC∴，11//BC AD，1//FG AD∴，FG⊂平面11AA D D，1AD⊂平面11AA D D，//FG∴平面11AA D D，故A正确；11//EF A C，11A C与平面11BC D相交，EF∴与平面11BC D相交，故B错误；E，F，G分别是11A B，11B C，1BB的中点，1//FG BC∴，FG⊂平面11BC D，1BC⊂平面11BC D，//FG∴平面11BC D，故C正确；EF与平面11BC D相交，∴平面EFG与平面11BC D相交，故D错误．故选：AC．2．(2020·全国高一单元测试)(多选)如图是一几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形E,F,G,H分别为,,,PA PD PC PB的中点.在此几何体中,给出下列结论,其中正确的结论是( )A．平面//EFGH平面ABCD B．直线//PA平面BDGC．直线//EF平面PBC D．直线//EF平面BDG【答案】ABC【解析】作出立体图形如图所示.连接,,,E F G H四点构成平面EFGH.对于A，因为E,F分别是,PA PD的中点,所以//EF AD.又EF⊄平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以//EF平面ABCD.同理, //EH平面ABCD.又EF EH E=,EF⊂平面EFGH,EH⊂平面EFGH，所以平面//EFGH平面ABCD，故A正确；对于B，连接,,,AC BD DG BG，设AC的中点为M，则M也是BD的中点，所以//MG PA，又MG⊂平面BDG,PA⊄平面BDG，所以//PA平面BDG，故B正确；对于C，由A中的分析知//EF AD，//AD BC，所以//EF BC，因为EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以直线//EF平面PBC，故C正确；对于D，根据C中的分析可知//EF BC再结合图形可得，BC BD B=，则直线EF与平面BDG不平行，故D错误.故选：ABC3．(2021·全国高一课时练习)如图，在正方体1111ABCD A B C D-中，点E，F，G分别是11A B，11B C，1BB的中点，给出下列5个推断：①//FG平面11AA D D；②//EF平面11BC D；③//FG平面11BC D；④平面//EFG平面11BC D；⑤平面//EFG平面11A C B.其中推断正确的序号是_________.【答案】①③⑤【解析】对于①，可知在正方体1111ABCD A B C D-中，平面11//BB C C平面11AA D D，且FG⊂平面11BB C C，∴//FG平面11AA D D，故①正确；对于②，E，F是11A B，11B C的中点，11//EF AC∴，11A C与平面11BC D相交，故EF与平面11BC D 不平行，故②错误；对于③，F，G是11B C，1BB的中点，1//FG BC∴，FG⊄平面11BC D，1BC⊂平面11BC D，∴//FG平面11BC D，故③正确；对于④，由②得EF与平面11BC D不平行，则平面EFG与平面11BC D不平行，故④错误；对于⑤，由①得11//EF A C，EF⊄平面11A C B，11A C⊂平面11A C B，//EF∴平面11A C B，由③得//FG 1BC，FG⊄平面11A C B，1BC⊂平面11A C B，//FG∴平面11A C B，EF FG F=，∴平面//EFG平面11A C B，故⑤正确.故答案为：①③⑤.4．(2020·全国高一课时练习)如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D-中，M是11A B的中点，点P是侧面11CDD C上的动点，且MP∥截面1AB C，则线段MP长度的取值范围是( ).A．[2,6]B．[6,22]C．[6,23]D．[6,3]【答案】B【解析】取CD的中点为N,1CC的中点为R,11B C的中点为H,作图如下:由图可知,11//,MB NC MB NC=,所以四边形1MNCB为平行四边形,所以1//MN B C,因为1111//,//MH A C A C AC , 所以//MH AC, 因为1,MNMH M ACB C C ==,故平面MNRH//平面1AB C , 因为MP ∥截面1AB C ,所以MP ⊂平面MNRH ,线段MP 扫过的图形为MNR ∆, 由2AB =知,22,2MN NR ==,在1Rt MC R ∆中,22211MR C R C M =+,即()222156MR =+=,所以6MR =，所以222MN NR MR =+,即MRN ∠为直角,故线段MP 长度的取值范围为[],MR MN ,即6,22⎡⎤⎣⎦,故选:B5．(2020·全国高一课时练习)如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E F 、分别是棱BC ，1CC 的中点，P 是侧面11BCC B 内一点，若1A P//平面AEF ，则线段1A P 长度的取值范围是( )A ．325(,)42B ．325[,]42C ．5[1,]2D ．5[0,]2【答案】B【解析】如下图所示，分别取棱111,BB B C 的中点M 、N ，连MN ，1BC ，∵,,,M N E F 分别为所在棱的中点，则11,MN BC EF BC ，∴MN ∥EF ，又MN ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ， ∴MN ∥平面AEF ． ∵11,AA NE AA NE =，∴四边形1AENA 为平行四边形， ∴1A N AE ∥，又1A N ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ， ∴1A N ∥平面AEF ， 又1A NMN N =，∴平面1A MN ∥平面AEF ．∵P 是侧面11BCC B 内一点，且1A P ∥平面AEF ， ∴点P 必在线段MN 上．在11Rt A B M ∆中，2221111151()22A M AB B M =+=+=．同理，在11Rt A B N ∆中，可得152A N =， ∴1A MN ∆为等腰三角形．当点P 为MN 中点O 时，1A P MN ⊥，此时1A P 最短；点P 位于M 、N 处时，1A P 最长． ∵2222115232()()244AO A M OM =-=-=，1152A M A N ==．∴线段1A P 长度的取值范围是325[,]42． 故选B ．6．(2021·全国高一课时练习)在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是BC ，CC 1，C 1D 1，A 1A 的中点．求证： (1)BF //HD 1； (2)EG //平面BB 1D 1D ．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析．【解析】证明：(1)如图所示，取BB 1的中点M ，连接MH ，MC 1，易证四边形HMC 1D 1是平行四边形，所以HD 1∥MC 1．又因为在平面BCC 1B 1中，BM //FC 1，BM =FC 1 所以四边形BMC 1F 为平行四边形， 所以MC 1∥BF ， 所以BF ∥HD 1．(2)取BD 的中点O ，连接EO ，D 1O ，则OE ∥DC 且OE ＝12DC ， 又D 1G ∥DC 且D 1G ＝12DC ，所以OE //D 1G ，OE =D 1G所以四边形OEGD 1是平行四边形， 所以GE ∥D 1O ．又D 1O ⊂平面BB 1D 1D ，GE ⊄平面BB 1D 1D ， 所以EG ∥平面BB 1D 1D ．7．(2020·全国高一课时练习)如图，三棱柱111ABC A B C -中，D ，E ，F 分别为棱AB ，BC ，11C B 中点.(1)求证：//AC 平面1B DE ； (2)求证：//AF 平面1B DE .【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】(1)在ABC 中，D ，E 分别为棱AB ，BC 中点. 所以//DE AC ，因为DE ⊂平面1B DE ，AC ⊄平面1B DE ， 所以//AC 平面1B DE .(2)在三棱柱111ABC A B C -中，11BC BC ∥， 因为E ，F 分别为BC ，11C B 中点， 所以1CE B F ∥，所以1B ECF 是平行四边形， 所以1//FC B E ，因为⊄FC 平面1B ED ，1B E ⊂平面1B ED ， 所以//FC 平面1B DE ，又因为//AC 平面1B DE ，AC CF C ⋂=， 所以平面//ACF 平面1B DE ， 所以//AF 平面1B DE .8．(2020·全国高一课时练习)已知正方体1111ABCD A B C D-中，P､Q分别为对角线BD､1CD上的点，且123CQ BPQD PD==．(1)求证：//PQ平面11A D DA；(2)若R是AB上的点，ARAB的值为多少时，能使平面//PQR平面11A D DA请给出证明．【答案】(1)证明见解析；(2)ARAB的值为35，证明见解析．【解析】(1)连结CP并延长与DA的延长线交于M点，因为四边形ABCD为正方形，所以//BC AD，故~PBC PDM△△，所以23CP BPPM PD==，又因为123CQ BPQD PD==，所以123CQ CPQD PM==，所以1//PQ MD．又1MD ⊂平面11A D DA ，PQ ⊄平面11A D DA ，故//PQ 平面11A D DA ．(2)当ARAB 的值为35时，能使平面//PQR 平面11A D DA ．证明：因为35AR AB =， 即有23BR RA =， 故BR BP RA PD =． 所以//PR DA ．又DA ⊂平面11A D DA ，PR ⊄平面11A D DA ，所以//PR 平面11A D DA ，又PQ PR P ⋂=，//PQ 平面11A D DA ．所以平面//PQR 平面11A D DA ．【题组四 线面、面面平行的性质】1．(2021·全国高一课时练习)如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形，点E 是棱PD 上一点，3PE ED =，若PF PC λ=且满足//BF 平面ACE ，则λ=______．【答案】23【解析】如图，连接BD ，交AC 于点O ，连接OE ，则BO OD =，在线段PE 取一点G 使得GE ED =，则23PG PE =. 连接,BG FG ，则//BG OE ， 又因为OE ⊆平面AEC ，BG ⊄平面AEC ，所以//BG 平面AEC .因为//BF 平面ACE 且满足BG BF B ⋂=，故平面//BGF 平面AEC . 因为平面PCD 平面BGF GF =，平面PCD 平面AEC EC =，则//GF EC .所以23PF PG PC PE ==，即23λ=为所求. 故答案为：23. 2．(2021·陕西省黄陵县中学高一期末)如图，梯形ABCD 中，//BC AD ，E 是PD 的中点，过BC 和点E 的平面与PA 交于点F .求证：//BC EF .【答案】证明见解析【解析】∵//BC AD ，BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，∴//BC 平面PAD ，∵BC ⊂平面BCEF ，平面BCEF 平面PAD EF =，∴//BC EF 3．(2021·六盘山高级中学高一期末)如图所示，在四棱锥P-ABCD 中，BC//平面PAD ，12BC AD =，E 是PD 的中点.(1)求证：BC//AD ；(2)求证：CE//平面PAB .【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】证明：()1在四棱锥P ABCD -中，//BC 平面PAD ，BC ⊂平面ABCD ，平面ABCD 平面PAD AD =， //BC AD ∴，()2取PA 的中点F ，连接EF ，BF ，E 是PD 的中点，//EF AD ∴，12EF AD =， 又由()1可得//BC AD ，且12BC AD =， //BC EF ∴，BC EF =，∴四边形BCEF 是平行四边形，//EC FB ∴，EC ⊄平面PAB ，FB ⊂平面PAB ，//EC∴平面PAB.4．(2020·六盘山高级中学高一月考)如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，求证：//AB EF.【答案】证明见解析【解析】因为四边形ABCD是矩形，所以//AB CD.因为AB⊄平面CDEF，CD⊂平面CDEF，所以//AB平面CDEF.因为AB平面ABFE，平面ABFE平面CDEF EF=，所以//AB EF.5．(2020·浙江杭州市·高一期末)如图：S是平行四边形ABCD平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且AM DNSM NB=，求证：//MN平面SBC【答案】证明见解析.【解析】过点N 作//NG AD ，交AB 于G ，连接MG ，可得D BG AG BN N =， 又因为AM DN SM NB =，所以SM BG AM AG=， 所以//MG SB ，又因为MG 不在平面SBC 内，SB ⊆平面SBC ，所以//MG 平面SBC ，又//BC AD ，所以//BC NG ，NG 不在平面SBC 内，GH ⊆平面SBC ， //NG 平面SBC ，⋂=MG NG G ，所以平面//SBC 平面MNG ，因为MN ⊆平面MNG ，所以//MN 平面SBC。
2019_2020学年新教材高中数学第八章立体几何初步8.5.2直线与平面平行课时作业新人教A版必修第二册
8.5.2 直线与平面平行一、选择题1．下列命题正确的是( )A．一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行B．平行于同一个平面的两条直线平行C．与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面D．平面外两条平行直线中的一条与这个平面平行，则另一条也与这个平面平行解析：对于A，平面内还存在直线与这条直线异面，错误；对于B，这两条直线还可以相交、异面，错误；对于C，这条直线还可能在其中一个平面内，错误．故选D.答案：D2．若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是( )A．一定平行B．一定相交C．平行或相交 D．以上都不对解析：当每个平面内的两条直线都是相交直线时，可推出两个平面一定平行，否则，两个平面有可能相交．答案：C3．如图，△ABC的边BC在平面α内，EF是△ABC的中位线，则( )A．EF与平面α平行B．EF与平面α不平行C．EF与平面α可能平行D．EF与平面α可能相交解析：∵EF∥BC，BC⊂α，EF⊄α，∴EF∥平面α.答案：A4．如图，四棱锥P－ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则( ) A．MN∥PDB．MN∥PAC ．MN ∥ADD ．以上均有可能解析：四棱锥P －ABCD 中，M ，N 分别为AC ，PC 上的点，且MN ∥平面PAD ，因为MN ⊂平面PAC ，平面PAC ∩平面PAD ＝PA ，由直线与平面平行的性质定理可得，MN ∥PA .答案：B二、填空题5．如果直线a ，b 相交，直线a ∥平面α，则直线b 与平面α的位置关系是________． 解析：根据线面位置关系的定义，可知直线b 与平面α的位置关系是相交或平行． 答案：相交或平行6．若空间四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 的长分别是8,12，过AB 的中点E 作平行于BD 、AC 的截面四边形的周长为________．解析：截面四边形为平行四边形，则l ＝2×(4＋6)＝20.答案：207．在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是棱AD 上一点，AP ＝a 3，过P ，M ，N 的平面与棱CD 交于Q ，则PQ ＝________. 解析：由线面平行的性质知MN ∥PQ ∥AC ，所以PQ AC ＝23，又AC ＝2a ，所以PQ ＝223a . 答案：223a 三、解答题8．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是AB 的中点．证明：BC 1∥平面A 1CD .证明：如图，连接AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点．又D是AB的中点，连接DF，则DF∥BC1.因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.9．已知E，F，G，H为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且EH∥FG.求证：EH∥BD.证明：因为EH∥FG，EH⊄平面BCD，FG⊂平面BCD，所以EH∥平面BCD，又因为EH⊂平面ABD，平面BCD∩平面ABD＝BD，所以EH∥BD.[尖子生题库]10．如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，E为PC的中点，PF＝2FD，求证：BE∥平面AFC.证明：如图，连接BD，交AC于点O，取PF的中点G，连接EG，ED，ED交CF于点M，连接MO.在△PCF中，E，G分别为PC，PF的中点，则EG∥FC.在△EDG中，MF∥EG，且F为DG的中点，则M为ED的中点．在△BED中，O，M分别为BD，ED的中点，则BE∥MO.又MO⊂平面AFC，BE⊄平面AFC，所以BE∥平面AFC.。
新教材高中数学第8章立体几何初步85空间直线平面的平行课时作业32直线与平面平行新人教A版必修第
2021-4-29 20XX年复习资料教学复习资料班级：科目：课时作业32 直线与平面平行知识点一直线与平面平行的判定1.设b是一条直线，α是一个平面，则由下列条件不能得出b∥α的是( )A．b与α内一条直线平行B．b与α内所有直线都无公共点C．b与α无公共点D．b不在α内，且与α内的一条直线平行答案 A解析A中b可能在α内；B，C显然是正确的，D是线面平行的判定定理，所以选A.2．圆台的一个底面内的任意一条直径与另一个底面的位置关系是( )A．平行B．相交C．在平面内D．不确定答案 A解析圆台的一个底面内的任意一条直径与另一个底面无公共点，则它们平行．3．点E，F，G，H分别是四面体A－BCD的棱AB，BC，CD，DA的中点，则这个四面体的六条棱中，与平面EFGH平行的条数是( )A．0 B．1 C．2 D．3答案 C解析如图，由线面平行的判定定理可知，BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH.4．如图，在五面体FE－ABCD中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是________．答案平行解析∵M，N分别是BF，BC的中点，∴MN∥CF.又四边形CDEF为矩形，∴CF∥DE，∴MN∥DE.又MN⊄平面ADE，DE⊂平面ADE，∴MN∥平面ADE.知识点二直线与平面平行的性质5.下列说法正确的是( )A．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则直线a∥直线bB．若直线a∥平面α，直线a与直线b相交，则直线b与平面α相交C．若直线a∥平面α，直线a∥直线b，则直线b∥平面αD．若直线a∥平面α，则直线a与平面α内的任意一条直线都无公共点答案 D解析A中，直线a与直线b也可能异面、相交，所以不正确；B中，直线b也可能与平面α平行，所以不正确；C中，直线b也可能在平面α内，所以不正确；根据直线与平面平行的定义可知D正确．6．直线a∥平面α，平面α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的( )A．至少有一条B．至多有一条C．有且只有一条D．不可能有答案 B解析设这n条直线的交点为P，则P点不在直线a上，那么直线a和点P确定一个平面β，则点P既在平面α内又在平面β内，设平面α和平面β的交线为直线b，则直线b过点P，又直线a∥平面α，则a∥b，这样作出的直线b有且只有一条，那么直线b可能在这n条直线中，也可能不在，即这n条直线中与a平行的至多有一条．7．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH 分别交BC和AD于G，H，则GH与AB的位置关系是( )A．平行 B．相交C．异面 D．平行或异面答案 A解析由长方体性质知：EF∥平面ABCD.∵EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH，又EF∥AB，∴GH∥AB，∴选A.8．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，过MN作一平面交底面三角形ABC的边BC，AC于点E，F，则( )A．MF∥NEB．四边形MNEF为梯形C．四边形MNEF为平行四边形D．A1B1∥NE答案 B解析在▱AA1B1B中，∵AM＝2MA1，BN＝2NB1，∴AM∥BN，且AM＝BN，∴四边形ABNM为平行四边形，∴MN＝AB，MN∥AB.又MN⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，∴MN∥平面ABC.又MN⊂平面MNEF，平面MNEF∩平面ABC＝EF，∴MN∥EF，∴EF∥AB.在△ABC中，EF≠AB，∴EF≠MN，∴四边形MNEF为梯形．9．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，点M，N分别为线段A1B，AC1的中点．求证：MN ∥平面BB1C1C.证明如图，连接A1C.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C为平行四边形．又因为N为线段AC1的中点，所以A1C与AC1相交于点N，即A1C经过点N，且N为线段A1C的中点．因为M为线段A1B的中点，所以MN∥BC.又因为MN⊄平面BB1C1C，BC⊂平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.一、选择题1．a，b为不同直线，α为平面，则下列说法：①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b⊂α，则a∥b；③若a∥b，a∥α，则b∥α；④若a∥α，b∥α，则a∥b.其中正确的是( )A．①④B．①③C．②D．都不正确答案 D解析①中可以为a⊂α，不正确；②a∥α，b⊂α，a，b可以异面，a∥b不正确；③b可以在α内，因此b∥α不正确；④a，b可以相交、平行或异面，不正确．故选D.2．如图，已知S为四边形ABCD所在平面外一点，G，H分别为SB，BD上的点．若GH ∥平面SCD，则( )A．GH∥SAB．GH∥SDC．GH∥SCD．以上均有可能答案 B解析因为GH∥平面SCD，GH⊂平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，所以GH∥SD.显然GH与SA，SC均不平行．故选B.3．在三棱锥A－BCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，则直线AC与平面DEF的位置关系是( )A．平行B．相交C．直线AC在平面DEF内D．不能确定答案 A解析∵AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，∴EF∥AC.又EF⊂平面DEF，AC⊄平面DEF，∴AC∥平面DEF .4．下面四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形是( )A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④ 答案 A解析 ①正确，取MP 的中点O ，连接NO ，则NO ∥AB ，可得到直线AB 与平面MNP 平行；②正确，因为MP ∥AB ，可得到直线AB 与平面MNP 平行；③连接底面两条对角线交于点O ，连接OP ，很显然AB ∥OP ，而直线OP 不在平面MNP 内，所以直线AB 与平面MNP 是相交关系，不是平行关系；④直线AB 与平面MNP 是相交关系，不是平行关系．故选A.5．如图，四棱锥S －ABCD 中所有的棱长都等于2，E 是SA 的中点，过C ，D ，E 三点的平面与SB 交于点F ，则四边形DEFC 的周长为( )A ．2＋ 3B ．3＋ 3C ．3＋2 3D ．2＋2 3答案 C解析 ∵AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝2， ∴四边形ABCD 为菱形，∴CD ∥AB .又CD ⊄平面SAB ，AB ⊂平面SAB ，∴CD ∥平面SAB . 又CD ⊂平面CDEF ，平面CDEF ∩平面SAB ＝EF ， ∴CD ∥EF .∴EF ∥AB .又E 为SA 的中点，∴EF ＝12AB ＝1.又△SAD 和△SBC 都是等边三角形， ∴DE ＝CF ＝2×sin60°＝3，∴四边形DEFC 的周长为CD ＋DE ＋EF ＋FC ＝2＋3＋1＋3＝3＋2 3. 二、填空题6．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是A 1D 1的中点，则直线MD 与平面A 1ACC 1的位置关系是________．直线MD 与平面BCC 1B 1的位置关系是________．答案 相交 平行解析 ∵M 是A 1D 1的中点，∴直线DM 与直线AA 1相交，∴DM 与平面A 1ACC 1有一个公共点，∴DM 与平面A 1ACC 1相交．取B 1C 1中点M 1，连接MM 1，M 1C .∵MM 1∥C 1D 1，C 1D 1∥CD ，∴MM 1∥CD .∵MM 1＝C 1D 1，C 1D 1＝CD ，∴MM 1＝CD .∴四边形DMM 1C 为平行四边形，∴DM ∥CM 1，又DM ⊄平面BCC 1B 1，CM 1⊂平面BCC 1B 1，∴DM ∥平面BCC 1B 1.7．如图所示，直线a ∥平面α，点B ，C ，D ∈a ，点A 与a 在α的异侧，线段AB ，AC ，AD 交α于点E ，F ，G .若BD ＝4，CF ＝4，AF ＝5，则EG 等于________．答案209解析 ∵a ∥α，EG ＝α∩平面ABD ，∴a ∥EG ，又点B ，C ，D ∈a ， ∴BD ∥EG . ∴EF BC ＝FG CD ＝AF AC ＝EF ＋FG BC ＋CD ＝EG BD ＝AFAF ＋FC，∴EG ＝AF ·BD AF ＋FC ＝5×45＋4＝209. 8．如图所示的一个四棱锥，各条棱都相等，VB ⊥AC ，点P 是棱VA 的中点，过点P 将四棱锥锯开，使截面平行于棱VB 和AC .若四棱锥的棱长为a ，则截面面积为________．答案a 24解析 如图，在平面VAC 内过点P 作直线PD ∥AC ，交VC 于D ；在平面VBA 内过点P 作直线PF ∥VB ，交AB 于F ；在平面VBC 内过点D 作直线DE ∥PF ，交BC 于E .连接EF .∵PF ∥DE ，∴P ，D ，E ，F 四点共面， 且平面PDEF 与直线VB ，AC 平行．又VB ⊥AC ，易知四边形PDEF 为边长为12a 的正方形，故其面积为a24.三、解答题9．如图，在底面是正三角形的三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点．判断直线A 1B 与平面ADC 1的关系．解 A 1B ∥平面ADC 1.证明如下：如图，连接A 1C 交AC 1于F ， 则F 为A 1C 的中点． 连接FD .因为D 是BC 的中点， 所以DF ∥A 1B .又DF ⊂平面ADC 1，A 1B ⊄平面ADC 1，所以A 1B ∥平面ADC 1.10．如图所示，四边形EFGH 为空间四面体A －BCD 的一个截面，若截面为平行四边形．(1)求证：AB ∥平面EFGH ，CD ∥平面EFGH ；(2)若AB ＝4，CD ＝6，求四边形EFGH 周长的取值范围． 解 (1)证明：∵四边形EFGH 为平行四边形， ∴EF ∥HG .∵HG ⊂平面ABD ，EF ⊄平面ABD ， ∴EF ∥平面ABD . ∵EF ⊂平面ABC ，平面ABD ∩平面ABC ＝AB ，∴EF ∥AB . 又EF ⊂平面EFGH ，AB ⊄平面EFGH . ∴AB ∥平面EFGH . 同理可证CD ∥平面EFGH .(2)设EF ＝x (0<x <4)，由(1)知，CF CB ＝x4.则FG 6＝BF BC＝BC －CF BC ＝1－x4. 从而FG ＝6－32x .∴四边形EFGH 的周长l ＝2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋6－32x ＝12－x . 又0<x <4，则有8<l <12，即四边形EFGH 周长的取值范围是(8,12)．结束语同学们，相信梦想是价值的源泉，相信成功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念。
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课时综合练
一、选择题
1．a，b 为不同直线，α 为平面，则下列说法：
①若 a∥b，b⊂α，则 a∥α；②若 a∥α，b⊂α，则 a∥b；
③若 a∥b，a∥α，则 b∥α；④若 a∥α，b∥α，则 a∥b.
其中正确的是( )
A．①④
B．①③
C．②
D．都不正确
答案 D
答案
解析 ①中可以为 a⊂α，不正确；②a∥α，b⊂α，a，b 可以异面，a∥b 不正确；③b 可以在 α 内，因此 b∥α 不正确；④a，b 可以相交、平行或异面， 不正确．故选 D.
答案 D
答案
解析 A 中，直线 a 与直线 b 也可能异面、相交，所以不正确；B 中， 直线 b 也可能与平面 α 平行，所以不正确；C 中，直线 b 也可能在平面 α 内， 所以不正确；根据直线与平面平行的定义可知 D 正确．
解析
6．直线 a∥平面 α，平面 α 内有 n 条直线交于一点，那么这 n 条直线中 与直线 a 平行的( )
A．至少有一条 B．至多有一条 C．有且只有一条 D．不可能有
答案 B
答案
解析 设这 n 条直线的交点为 P，则 P 点不在直线 a 上，那么直线 a 和 点 P 确定一个平面 β，则点 P 既在平面 α 内又在平面 β 内，设平面 α 和平面 β 的交线为直线 b，则直线 b 过点 P，又直线 a∥平面 α，则 a∥b，这样作出 的直线 b 有且只有一条，那么直线 b 可能在这 n 条直线中，也可能不在，即 这 n 条直线中与 a 平行的至多有一条．
解析
9．如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，点 M，N 分别为线段 A1B，AC1 的中点．求证：MN∥平面 BB1C1C.
证明 如图，连接 A1C.
在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，侧面 AA1C1C 为平行四边形． 又因为 N 为线段 AC1 的中点， 所以 A1C 与 AC1 相交于点 N，即 A1C 经过点 N，且 N 为线段 A1C 的中点． 因为 M 为线段 A1B 的中点，所以 MN∥BC. 又因为 MN⊄平面 BB1C1C，BC⊂平面 BB1C1C， 所以 MN∥平面 BB1C1C.
解析
8．如图，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，过 MN 作一平面交底面三角形 ABC 的边 BC，AC 于点 E，F，则( )
A．MF∥NE B．四边形 MNEF 为梯形 C．四边形 MNEF 为平行四边形 D．A1B1∥NE 答案 B
答案
解析 在▱AA1B1B 中，∵AM＝2MA1，BN＝2NB1， ∴AM∥BN，且 AM＝BN，∴四边形 ABNM 为平行四边形， ∴MN＝AB，MN∥AB.又 MN⊄平面 ABC，AB⊂平面 ABC， ∴MN∥平面 ABC.又 MN⊂平面 MNEF，平面 MNEF∩平面 ABC＝EF， ∴MN∥EF，∴EF∥AB.在△ABC 中，EF≠AB，∴EF≠MN，∴四边形 MNEF 为梯形．
答案 A
答案
解析 A 中 b 可能在 α 内；B，C 显然是正确的，D 是线面平行的判定定 理，所以选 A.
解析
2．圆台的一个底面内的任意一条直径与另一个底面的位置关系是
()
A．平行
B．相交
C．在平面内 D．不确定
答案 A
解析 圆台的一个底面内的任意一条直径与另一个底面无公共点，则它 们平行．
答案
解析
7．如图，长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分别是棱 AA1 和 BB1 的中 点，过 EF 的平面 EFGH 分别交 BC 和 AD 于 G，H，则 GH 与 AB 的位置关 系是( )
A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面 答案 A
答案
解析 由长方体性质知：EF∥平面 ABCD. ∵EF⊂平面 EFGH，平面 EFGH∩平面 ABCD＝GH， ∴EF∥GH，又 EF∥AB，∴GH∥AB，∴选 A.
课时作业32 直线与平面平 行
知识对点练
知识点一 直线与平面平行的判定 1.设 b 是一条直线，α 是一个平面，则由下列条件不能得出 b∥α 的是 () A．b 与 α 内一条直线平行 B．b 与 α 内所有直线都无公共点 C．b 与 α 无公共点 D．b 不在 α 内，且与 α 内的一条直线平行
解析
3．在三棱锥 A－BCD 中，E，F 分别是 AB 和 BC 上的点，若 AE∶EB
＝CF∶FB＝2∶5，则直线 AC 与平面 DEF 的位置关系是( )
解析
3．点 E，F，G，H 分别是四面体 A－BCD 的棱 AB，BC，CD，DA 的 中点，则这个四面体的六条棱中，与平面 EFGH 平行的条数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3 答案 C
答案
解析 如图，由线面平行的判定定理可知，BD∥平面 EFGH，AC∥平面 EFGH.
解析Biblioteka 4．如图，在五面体 FE－ABCD 中，四边形 CDEF 为矩形，M，N 分别 是 BF，BC 的中点，则 MN 与平面 ADE 的位置关系是________．
解析
2．如图，已知 S 为四边形 ABCD 所在平面外一点，G，H 分别为 SB， BD 上的点．若 GH∥平面 SCD，则( )
A．GH∥SA B．GH∥SD C．GH∥SC D．以上均有可能 答案 B
答案
解析 因为 GH∥平面 SCD，GH⊂平面 SBD，平面 SBD∩平面 SCD＝SD， 所以 GH∥SD.显然 GH 与 SA，SC 均不平行．故选 B.
答案 平行
答案
解析 ∵M，N 分别是 BF，BC 的中点，∴MN∥CF.又四边形 CDEF 为 矩形，∴CF∥DE，∴MN∥DE.又 MN⊄平面 ADE，DE⊂平面 ADE，∴MN∥ 平面 ADE.
解析
知识点二 直线与平面平行的性质 5.下列说法正确的是( ) A．若直线 a∥平面 α，直线 b∥平面 α，则直线 a∥直线 b B．若直线 a∥平面 α，直线 a 与直线 b 相交，则直线 b 与平面 α 相交 C．若直线 a∥平面 α，直线 a∥直线 b，则直线 b∥平面 α D．若直线 a∥平面 α，则直线 a 与平面 α 内的任意一条直线都无公共 点