12)动能定理

z2 z1
M2
M1
( F dx + F dy + Fdz)
x y z
z
M 1
F = Fy = 0 F = −mg x z
z1
O
mg
z2
W = ∫ −mgdz = mg ( z1 − z2 ) 12
x
第十二章 动能定理 十二章
M2
y
对于质点系，重力作功之和：
W ∑ = ∑mg( z
12 i
i1
− zi2 )
= m ( zC1 − zC2 ) g
m C =∑ i i z mz
质点与质点系的重力作功仅与质点或质心运动的 始末位置高度差有关，与运动轨迹的形状无关 2、弹性力的功 F = kδ v v F = −k ( r −l0 ) er A A v A 2 2 v v v δ1 1 W = ∫ F ⋅ dr = ∫ −k ( r − l0 ) er ⋅ dr 12 A A 1 1 r v 1 r v 1 v v v v er ⋅ dr = ⋅ dr = d ( r ⋅ r ) = dr r 2r
第十二章 动能定理 十二章
2、势能
在势力场中，质点从点 M 运动到任选点 M0，有势 力所作的功称为质点在点 M相对于点 M0 的势能 M0 v v M0 V = ∫ F ⋅ dr =∫ Fdx + Fydy + Fdz x z
M M
(
)
点 M0 的势能等于零，称为零势能点，在势力场中， 势能的大小是相对于零势能点而言的，零势能点可 以任意选取，对于不同的零势能点，在势力场中同 一位置的势能可有不同的数值
第十二章 动能定理 十二章
例题12-3 半径为R的均质圆盘质量m，外缘缠绕细绳一端 固定在墙上，盘心作用一水平力F，已知盘与地面 动摩擦因数f，初始静止，求当质心C移动距离为s 时，圆盘的角速度、角加速度及质心C的加速度
A
C
v F
R
第十二章 动能定理 十二章
例题12-4
鼓轮在力偶M作用下将圆盘由静止沿斜坡上拉， 圆盘作纯滚动，已知鼓轮半径 分布在轮缘；圆盘半径 ，质量 R2
B
C
m1 g
θ
A
m2 g
第十二章 动能定理 十二章
§12-4 功率·功率方程·机械效率
1、功率
单位时间内力所作的功称为功率
dt v v dr v v P = F⋅ = F ⋅ v = Fv t dt
P=
δW
v v δW = F ⋅ dr
功率等于切向力与力作用点速度的乘积 可见功率一定，速度越小则产生的力越大
第十二章 动能定理 十二章
3、理想约束及内力作功
理想约束
v F
O
约束力作功为零的约束
B
v vB
v F 2
v F′
v F
O
v F′
A
B
v F 1
A
v vA
光滑铰链
不可伸长细绳
刚性二力杆
摩擦力一般作负功，纯滚动时的静摩擦力不作 功，因此纯滚动的接触点为理想约束
第十二章 动能定理 十二章
一些内力虽然等值反向，但是作功之和并不为零： 1、相互吸引或排斥的两个质点 2、发动机气缸内气体对缸体的作用力都是内力， 但作功之和不为零，汽车动能增加 3、机器轴承等机构之间摩擦力是内力，作负功 结论：刚体所有内力作功之和等于零，理想 约束的约束力不作功，而质点系的内力作功之 和并不一定等于零
第十二章 动能定理 十二章
对于机械功率： ∑P = P 入 − P 用 − P 用 = i 輸 有 無
dT dt
dT P 入 = P 用+P 用+ 輸 無 有 dt
3、机械效率
有效功率 机械效率
dT P 效 = P 用+ 有 有 dt P效 P效 有 有 η= = <1 P 入 P 用+P 效 輸 無 有
第十二章 动能定理 十二章
对于转动刚体： P = δW = Mz dϕ = Mzω dt dt 转动刚体上力的功率等于该力对转轴的矩 与角速度的乘积
2、功率方程
δ 质点系动能定理微分形式： dT = ∑ Wi
δW dT = ∑ i = ∑P i dt dt
功率方程
质点系动能对时间的一阶导数，等于作用 于质点系的所有力的功率的代数和
{
质点（系）动量定理 质心运动定理 质点（系）动量矩定理 刚体定轴转动微分方程 刚体平面运动微分方程 质点（系）动能定理
动量矩定理
{
v v( e) dp = ∑F i dt v( e) v maC = ∑F i
v v( e) d v L = ∑MO F O i dt v Jzα = ∑Mz ( F)
C 1
ϕ1
第十二章 动能定理 十二章
例题12-1
细线一端固定在墙上，另一端绕在圆轮C上， 轮沿斜面下滑S距离，计算轮子所受外力的功
S
C
C
θ
第十二章 动能定理 十二章
§12-2 质点和质点系的动能
1、质点的动能
1 2 动能 T = mv 2 v v 动量 P = mv
标量 矢量 机械运动两种 不同的度量
M
O
，质量 R 1
，均匀 m 1
，求质心C经 m 2
过路程s时的速度和加速度
C
θ
第十二章 动能定理 十二章
例题12-5 均质直杆AB长为 l ，质量 m ，上端靠在光滑的 1 墙上，下端与均质圆轮铰接，圆轮半径R，质量 为 m ，在粗糙水平面上作纯滚动，初始系统静止， 2 夹角 ，求此瞬时A的加速度 θ =45o
ϕ2
ds = Rdϕ
O 1
δW = Fds = FRdϕ = Mzdϕ t t
W = ∫ Mzdϕ 12
ϕ1
θ
v F t
v r
O
A
4、平面运动刚体上力系的功 将力系向刚体的质心简化为一个力和一个力偶 v v 力系所作元功为： δW = F′ ⋅ dr + MCdϕ R C C2 v ϕ2 v W = ∫ F′ ⋅ dr + ∫ MCdϕ 12 R C
A 0
第十二章 动能定理 十二章
3、机械能守恒定律
质点系在某瞬时的动能与势能的代数和称为机械能 根据动能定理： T −T =W 2 1 12 如果系统运动只有势力作功： W =V −V 12 1 2
T +V = T +V 1 1 2 2
质点系仅在有势力作用下运动时，其机械 能保持不变。此类质点系称为保守系统 摩擦力是非保守力，非保守系统的机械能不守恒
第十二章 动能定理 十二章
O 1
v r i
m i
v vi
ω
O
v
3、平面运动刚体的动能 若P为瞬心，C为质心
v vC
C
ω
v
1 T = JPω2 2 JP = JC + md2
d
P
1 1 1 2 2 2 2 T = JC + md ω = JCω + m( dω) 2 2 2 1 1 2 T = JCω + mvC2 2 2
第十二章 动能定理 十二章
几种常见的势能 1、重力场中的势能
V = ∫ −m gdz = m ( z − z0 ) g
z0 z
2、弹性力场的势能
k 2 k 2 2 V = (δ −δ0 ) = δ 2 2 δ0 = 0
3、万有引力场的势能
v v A0 fmm v v V = ∫ F ⋅ dr =∫ − 1 2 er ⋅ dr r →∞ A A 1 r2 r 1 1 fmm 1 fmm 1 2 = ∫ − 2 dr = fmm − = − 1 2 1 2 r r r r r 1
0 s
第十二章 动能定理 十二章
v v 元功也可以写成矢量形式：δW = F ⋅ dr M2 v v W = ∫ F ⋅ dr
M1
在直角坐标系中的投影式： v v v v v v v v F = Fi + Fy j + Fk dr = dxi + dyj + dzk x z
W =∫ 12
几种常见力作功的计算 1、重力的功
v v dv 质点运动微分方程： m = F dt v dv v v v m ⋅ dr = F ⋅ dr dt v v v v mv ⋅ dv = F ⋅ dr
v v dr = vdt
动能定理（微分）
1 2 d mv =δW 2
质点动能的增量等于作用在质点上力的元功
第十二章 动能定理 十二章
2、质点系的动能
1 T = ∑ mvi2 i 2 刚体作为特殊的质点系，其动能应按照具体的运
动形式分类计算
第十二章 动能定理 十二章
1、平移刚体的动能
1 1 2 1 2 T = ∑ mvi = vC ∑m = mvC2 i i 2 2 2
2、定轴转动刚体的动能
z
1 1 2 T = ∑ mvi = ∑ mr2ω2 i i i 2 2 1 2 = ω ∑mr2 i i 2 1 mr2 = Jz = Jzω2 ∑ ii 2
F
F 3 F 2 F 1
O
δ1 δ2 δ3 δ
1 ∆A = ( F + F )(δ2 −δ1 ) 12 1 2 2 F = kδi i k = (δ2 +δ1 )(δ2 −δ1 ) 2 k 2 = (δ2 −δ12 ) =W 12 2
第十二章 动能定理 十二章
3、定轴转动刚体上作用力的功
z
v F
F = F cosθ t
第十二章 动能定理 十二章
v F
v δ dr