矩阵试题2009A卷
三、2009-6-15线性代数A卷
广东工业大学试卷用纸，共3页，第1页广东工业大学试卷用纸，共3页，第2页2、设行列式1534780311113152−−−==A D ，则2=+−+4443424135A A A A .（A ）0（B ）1（C ）－1（D ）－163、设A 、B 是n 阶方阵，下列等式正确的是.（A ）AB=BA （B ）))((22B A B A B A −+=−（C ）22AA =（D ）111)(−−−+=+B A B A 4、设0α是非齐次方程组b AX =的一个解，r ααα,,,21⋯是0=AX 的基础解系，则.(A)01,,,r ααα⋯线性相关。
（B ）01,,,r ααα⋯线性无关。
（C ）01,,,r ααα⋯的线性组合是b AX =的解。
（D ）01,,,r ααα⋯的线性组合是0=AX 的解。
5、n 阶方阵A 与对角阵相似的充要条件是.(A)A 是实对称阵;(B)A 有n 个互异特征值;(C)A 的特征向量两两正交.(D)A 有n 个线性无关的特征向量;三、（10分）设na a a A +++=111111111||21⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯,021≠n a a a ⋯其中.求A .四、（10分）设4阶方阵C B A ，，满足方程11)2(−−=−C A B C E T ，试求矩阵A ，其中123212010*******,0012001200010001B C −−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠五、（10分）讨论λ为何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++λλλλ321321321)1(3)1(0)1(x x x x x x x x x广东工业大学试卷用纸，共3页，第3页(1)有唯一解？(2)无解？(3)有无穷多解？并在此时求出其通解。
六、（10分）已知R 3中的向量组321,,ααα线性无关，向量组112223,b k b αααα=−=+，331b k αα=+线性相关，求k 值。
南京工业大学浦江学院 线性代数 试题(A)卷
.
0 1
故原方程组有无穷多组解时的通解为 X k11 k22 ， k1, k2 为任意常数.―――13 分
2 0 4
七（16
分）解：二次型的矩阵为
A
0 4
6 0
0 2
―――――――――――――4
分
2 0 4
矩阵 A 的特征方程为
fA()
A E
0
4
6
0
(
6)
2(
2)
0 2
一、填空题（每题 3 分，共 15 分）
1 2 1
(1)-2
(2)
1A 2
(3) -1 (4)
1 A* | A|
(5)
0,
2 3
4 6
2 3
二、选择题（每题 3 分，共 15 分）
(1) D (2) A (3) C (4) B (5) A
三、（12 分）解：
a (n 1)b a (n 1)b a (n 1)b a (n 1)b
x2 y2 z2
1． 已知 0 2 3 2 ，则 2 4 5
。
111
111
2． 已知 A2 A 2E ，则 ( A E)1
。
3． 设向量1 (0,1,1)T , 2 (1, k,1)T 分别为属于三阶实对称矩阵 A 的特征值－2，1 的特征
向量，则 k
。
4． 若 A* 表示可逆方阵 A 的伴随矩阵，则 A1
（A） 1 个 (B) 3 个
(C ) 2 个
(D) 4Байду номын сангаас个
4．设三阶方矩 A 的三个特征值分别为 1,2,4, 又矩阵 B A2 A 3E ,则如下正确的是( )
数学微积分试题
2008～2009学年第一学期 一、 填空：（4分*10）1、若n 阶方阵AB 均可逆，AXB=C ，则X = 。
2、设V 是n 元齐次线性方程组AX=0的解空间，A 的秩为r ，则V 的维数为 。
3、设n 阶方阵A 的伴随矩阵为A*，则A*的行列式|A*|= 。
4、设n 阶方阵A 及m 阶方阵B 都可逆，则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100BA 。
5、设A 为3阶方阵，且行列式|A |=3，则|-2A |= 。
6、行列式111222111---+---λλλ中2λ的系数是 。
7、设4阶方阵A 的秩为2，则其伴随矩阵A*的秩为 。
8、设向量组)2,5,4,0(),0,,0,2(),1,1,2,1(321--==-=αααt 的秩为2，则t = 。
9、设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2112A ，E 为单位阵，矩阵B 满足BA=B+2E ，则|B|= 。
10、二次型323121232221321222),,(x x x x x x ax ax ax x x x f +++++=的矩阵为A = ，若二次型f 经正交变换可化为标准型213y f =，则a = 。
二、单项选择题：（3分*5）1、设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=635241,654321,4321C B A ，则下列矩阵运算有意义的是（） （A ）ACB ； （B ）ABC ； （C ）BAC ； （D ）CBA2、若向量组r A ααα ,,:21可由向量组s B βββ ,,:21线性表示，则（ ）（A ）s r ≤； （B ）s r ≥； （C ）A 的秩≤B 的秩；（D ）A 的秩≥B 的秩。
3、设A 设3阶方阵，将A 的第1列与第2列交换得B ，在把B 的第2列加到第3列得C ，则满足AQ=C 的可逆矩阵Q 为（ ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101001010)(A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100101010)(B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110001010)(C ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001110)(D4、设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是（ ） ;,,)(133221αααααα---A ;,,)(133221αααααα+++B;2,2,2)(133221αααααα---C .2,2,2)(133221αααααα+++D5、设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若03=A ，则（ ）A E A -)(不可逆，A E +不可逆； A EB -)(不可逆，A E +可逆； A EC -)(可逆，A E +可逆； A ED -)(可逆，AE +不可逆.三、（8分）设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100021012A ，矩阵B 满足E BA ABA +=*2*，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 为单位矩阵，求矩阵B 。
2009年10月全国自考线性代数试题及答案
2009年10月高等教育自学考试《线性代数》试题自考考试网更新：2010-8-11 编辑：陈兵全国2009年10月高等教育自学考试线性代数试题课程代码：02198说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，r（A）表示矩阵A的秩.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.已知行列式=0，则数a =（）A.-3B.-2C.2D.32.下列矩阵中不是初等矩阵的为（）A. B.C. D.3.已知2阶矩阵A = 的行列式|A|=-1，则（A*）-1=（）A. B.C. D.4.设n阶矩阵A、B、C满足ABC=E，则C -1=（）A.ABB.BAC.A-1B-1D.B-1A-15.设A为2阶矩阵，若|3A|=3，则|2A|=（）A. B.1C. D.26.向量组，，…，（s≥2）的秩不为零的充分必要条件是（）A. ，，…，中没有线性相关的部分组B. ，，…，中至少有一个非零向量C. ，，…，全是非零向量D. ，，…，全是零向量7.设A为m×n矩阵，则n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是（）A.r（A）=nB.r（A）=mC.r（A）<nD.r（A）<m8.已知3阶矩阵A的特征值为-1，0，1，则下列矩阵中可逆的是（）A.AB.E-AC.-E-AD.2E-A9.设矩阵A= ，则二次型xTAx的规范形为（）A. B.C. D.10.4元二次型f（x1,x2,x3,x4）=2x1x2+2x1x4+2x2x3+2x3x4的秩为（）A.1B.2C.3D.4二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
11.已知行列式=1,则=______________.12已知矩阵方程XA=B，其中A= ，B= ，则X=___________.13.已知矩阵A=（1，2，-1），B=（2，-1，1），且C=ATB，则C2=__________.14.设矩阵A= ，则=_____________.15.设向量组=（1，0，0）T，=（0，1，0）T，且，则向量组的秩为____________.16.已知向量组=（1，2，3，）T，=（2，2，2）T, =（3，2，a）T线性相关，则数a=________.17.已知向量=（3，k,2）T与=（1，1，k）T正交，则数k=_______.18.已知3元非齐次线性方程组的增广矩阵为，若该方程组无解，则a的取值为_________.19.已知3阶矩阵A的特征值分别为1，2，3，则|E+A|=_______.20.已知3元二次型f（x1,x2,x3）=（1-a）+ +（a+3）正定，则数a的最大取值范围是_______.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.计算行列式D= 的值.22.设矩阵A= ，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+E，求|B|.23.已知线性方程互组（1）讨论当a为何值时，方程组无解、有惟一解、有无穷多个解；（2）当方程组有无穷多个解时，求出其通解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）.24.设向量组=（1，4，1，0）T，=（2，1，-1，-3）T，=（1，0，-3，-1）T，=（0，2，-6，3）T，求该向量组的秩及一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示.25.已知矩阵A= 与B= 相似，求数a,b的值.26.已知二次型f（x1,x2,x3）=2x1x2+2x1x3+2x2x3，求一正交变换x=Py,将此二次型化为标准形.四、证明题（本大题6分）27.设矩阵A满足A2=E，且A的特征值全为1，证明A=E.。
上海交通大学矩阵理论试卷张跃辉
二．（本题 15 分）
设V {a cos bsin,其中a,b为任意实数}是实二维线性空间。对任意 f , g V ,定义：
(f
, g)
f
(0)g(0)
f
(
)g(
) 。证明：(
f
, g)是V
上的内积，并求 h( )
3cos(
7) 4sin(
9) 的长度。
1、取定一组基，求该线性变换在该基下的矩阵A； 2、求与A相关的四个子空间N (A), R(A), R(AT )和N (AT )； 3、求线性变换T 的值域的基与维数； 4、求线性变换T 的核的基与维数。
6
七.证明题(6 分)
设 A ∈ Cn×n 证明A 是正定矩阵当且仅当存在一个正定矩阵B,使得A = B2.
(B) Hermite 矩阵的集合，对于矩阵的通常加法和实数与矩阵的通常乘法；
(C) 平面上全体向量的集合，对于通常的加法和如下定义的数乘运算k · x = x0，k是实数, x0 是某一取定向量.
(D) 投影矩阵的集合，对于矩阵的通常加法和实数与矩阵的通常乘法；
3.线性变换为正交变换的必要而非充分条件的是( ) (A) 保持向量的长度不变; (B) 将标准正交基变为标准正交基；
7
八、证明题(6 分)
设A为n阶矩阵，证明：A非奇异的充分必要条件是存在常数项不等于0的多项式g(λ)使 得g(A) = 0。
8
附
录
上海交通大学 2009-2010 学年第一学期《矩阵理论》试卷
姓名
学号
矩阵理论分班号
成绩
本试卷共四道大题, 总分 100 分. 其中 A∗ 表示矩阵 A 的共轭转置.
考研数学2009真题及分析
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1~8小题，每小题8分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。
（1）当0x 时，()sin fxxax 与2()ln(1)gxxbx 等价无穷小，则（）（A ）11,6ab （B ）11,6ab （C ）11,6ab （D ）11,6ab 【解析与点评】考点：无穷小量比阶的概念与极限运算法则。
参见水木艾迪考研数学春季基础班教材《考研数学通用辅导讲义》（秦华大学出版社）例 4.67，强化班教材《大学数学强化 299》16、17 等例题。
【答案】A22220000sinsin1cossin limlimlimlim ln(1)()36xxxx xaxxaxaxaax xbxxbxbxbx230sin lim166.x aaxa b b axa 36ab 意味选项B ，C 错误。
再由201cos lim 3x aax bx存在，故有1cos0(0)aaxx ，故a=1，D 错误，所以选A 。
（2）如图，正方形{(,)|||1,||1}xyxy 被其对角线划分为四个区域，(1,2,3,4),cos KKKD DkIyxdxdy，则14max{}KK I =（）【解析与点评】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。
对称性与轮换对称性在几分钟的应用是水木艾迪考研数学重点打造的技巧之一。
参见水木艾迪考研数学春季班教材《考研数学通用辅导讲义----微积分》例 12.3、12.14、12.16、12.17，强化班教材《大学数学同步强化 299》117 题，以及《考研数学三十六技》例 18-4。
24,DD 关于x 轴对称，而cos yx 即被积函数是关于y 的奇函数，所以2413;,IIDD 两区域关于y 轴对称，cos()cos yxyx即被积函数是关于x 的偶函数，由积分的保号性，13{(,)|,01}{(,)|,01}2cos0,2cos0xyyxxxyyxx IyxdxdyIyxdxdy，所以正确答案为A 。
线性代数试题(济南大学2008～2009学年第二学期课程考试试卷(A卷))
济南大学2008～2009学年第二学期课程考试试卷（A 卷）一、选择题（每小题3分，共15分）1．D 2333231232221131211==a a a a a a a a a ，则333132312321222113111211322322322a a a a a a a a a a a a ---的值为 [ C ] (A ) 4; (B ) 6; (C ) 8; (D ) 10.2. 设n 阶方阵A ，B ，C ，满足ABC=E ，则必有 [ D ](A ) ACB=E ; (B ) CBA=E ; (C ) BAC=E ; (D ) BCA=E .二、填空题（每空3分，共24分）1. 行列式225144196151214111=_________.2. 设矩阵A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1102,230311⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=B 则=B A T .6. 4阶行列式D 某一行的所有元素都相等且它们对应的余子式也相等，则D = 0 . 三、（本题满分10分）计算4阶行列式 b b a a -+-+1111111111111111.四、（本题满分12分）设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛400021012，矩阵B 满足：AB=A+2B ，求矩阵B .五、（本题满分14分）试求b 为何值时, 线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=---=++=+++bx x x x x x x x x x x x x x 43214324324321223121220有解,并求其通解.一、选择题（每小题3分，共18分） 1．若622211211=a a a a ，则120020221221112--a a a a 的值为 [ A ] (A ) 12-; (B )12; (C ) 18; (D ) 0.3. 设n 元齐次线性方程组=Ax 0的系数矩阵的秩为r ，则方程组=Ax 0有非零解的充分必要条件是 [ D ] (A ) n r =； (B ) n r ≥； (C ) n r >； (D ) n r <. 5. 设n 阶方阵A ，B ，C 满足ABC=E ，则必有 [ B ](A ) ACB=E ; (B ) BCA =E ; (C ) BAC=E ; (D ) CBA =E .二、填空题（每空3分，共24分）1. 行列式222111c b a c b a=_________. 2. 设A ，B 均为3阶方阵,且A =2,21=B ，则12-A B T =_____ __.4. 非齐次线性方程组b Ax =有解的充分必要条件是 . 56. 设n 阶矩阵A 满足=-+E A A 102320，则1)2(--E A = .三、（本题满分10分）计算4阶行列式aa a a a a a a aa a a 0000. 四、（本题满分12分）设AX +B =X ，其中A =，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101111010B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3-5021-1，求矩阵X .五、（本题满分14分）试求a 为何值时, 线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=++322321321321a x x ax x ax x ax x x有唯一解、无解、有无穷多解？并在无穷多解时求其通解.一、填空题（每小题3分，共18分）2. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100020101A ，则(A +3E )-1 (A 2-9E )=.3. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200031021A ，则A -1=.二、选择题（每小题3分，共18分）1. 若矩阵A 有一个r 阶子式不为零，则下列结论正确的是 [ ](A ) R (A )<r ； (B ) R (A )≤ r ； (C ) R (A )>r ； (D ) R (A )≥ r .2. 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则下列结论一定成立的是 [ D ](A ) AB = BA ； (B ) 存在可逆矩阵P ，使P -1 AP =B ； (C ) 存在可逆矩阵C ，使C T AP =B ； (D ) 存在可逆矩阵P 和Q ，使P -AQ =B . 5. 矩阵方程AX =B 有解的充分必要条件是 [ C ](A ) R (A )= R (B )； (B ) R (B )=R (A , B )； (C ) R (A )=R (A , B )； (D ) R (A )<R (A , B ).6. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=133312321131131211232221333231232221131211,a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a B A ,,101010001,10000101021⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=P P 则[ D ](A ) B =P 1AP 2； (B ) B =P 2AP 1； (C ) B =A P 1P 2； (D ) B =P 1P 2A .三、计算题（第1、2题每小题10分，第3小题12分，共32分）1. 计算行列式3321322132113211111b a a a a b a a a a b a a a a +++.2. 求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+++000224214324321x x x x x x x x x x 的全部解.3. 已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2001,1121B P 满足P -1AP=B ，计算： (1) |-A 5|； (2) A 3.济南大学2011～2012学年第二学期课程考试试卷（A 卷）课 程 线 性 代 数 考试时间 2012 年 7 月 2 日一、填空题（每小题3分，满分27分）1、设行列式==11110342226111304z y xzy x，则行列式_________. 4、设矩阵A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1100120000120025，则A -1=________________. 6、三元线性方程x 1+ x 2+ x 3=1的全部解是_______________.三、计算题（每小题9分，满分18分）（1）D =cc b b a a ------1100110011001.（2）设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛161020101,而X 满足AX +E =A 2+X ，求X .四、应用题（每小题10分，满分20分）（2）设A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1-11020011-λλλ, b =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛11-a ，已知非齐次线性方程组Ax=b 存在两个不同的解，求（I ）a ，λ的值；（II ）Ax =b 的通解.。
矩阵试题及答案
矩阵试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 矩阵的秩是指：A. 矩阵中非零元素的个数B. 矩阵中最大的线性无关行（列）向量组的个数C. 矩阵的行数D. 矩阵的列数答案：B2. 若矩阵A与矩阵B相等，则下列说法正确的是：A. A和B的行列式相等B. A和B的迹相等C. A和B的行列式和迹都相等D. A和B的行列式和迹都不相等答案：C3. 矩阵的转置是指：A. 将矩阵的行变成列B. 将矩阵的列变成行C. 将矩阵的行和列互换D. 将矩阵的元素取相反数答案：C4. 对于任意矩阵A，下列说法正确的是：A. A的行列式等于A的转置的行列式B. A的行列式等于A的逆矩阵的行列式C. A的行列式等于A的逆矩阵的转置的行列式D. 以上说法都不正确答案：A5. 若矩阵A是可逆矩阵，则下列说法正确的是：A. A的行列式不为0B. A的行列式为1C. A的行列式为-1D. A的行列式可以是任意非零值答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 若矩阵A的行列式为-2，则矩阵A的逆矩阵的行列式为____。
答案：1/22. 设矩阵A为2x2矩阵，且A的行列式为3，则矩阵A的转置的行列式为____。
答案：33. 若矩阵A的秩为2，则矩阵A的行向量组的____。
答案：线性无关4. 设矩阵A为3x3矩阵，且A的行列式为0，则矩阵A是____。
答案：奇异矩阵三、解答题（每题10分，共30分）1. 已知矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{bmatrix}\]，求矩阵A的行列式。
答案：\(\begin{vmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{vmatrix} = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2\)2. 设矩阵B=\[\begin{bmatrix}2 & 0\\0 & 2\end{bmatrix}\]，求矩阵B的逆矩阵。
2009-2010学年第一学期线性代数A期末试卷A卷及参考答案
2.（6 分）设 n 阶方阵 A 满足 A2 + 9 A + 7 E = 0, ，求证 A − 2 E 可逆且求其逆．
⎛ 0 1 0 ⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞ ⎛ 1 −4 3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3、 （8 分）解矩阵方程 ⎜ 1 0 0 ⎟ X ⎜ 0 0 1 ⎟ = ⎜ 2 0 −1 ⎟ ． ⎜ 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 1 0 ⎟ ⎜ 1 −2 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
浙江科技学院 2009-2010 学年第一学期线性代数A考试试卷A卷 一、填空题（每小题 4 分，共 20 分）
1. 已知 4 阶行列式 D 的第二行元素分别为 1、2、3、4，与它们对应的余子式依次 为 4、 −3 、2、 −1 ，则 D =__________ . 2. 设 A 是三阶方阵, A* 是其伴随矩阵, | A |=
第 3 页
⎛1 0 0 ⎞ ⎛ 1 2 1⎞ ⎜ ⎟ ⎟ −1 5.（8 分）解： A= (α 1 , α 2 , α 3 )= ⎜ 1 2 3 ⎟ ， B= ( β1 , β 2 , β 3 )= ⎜ ⎜- 1 1 3 ⎟， P = A B ， ⎜1 3 4 ⎟ ⎜ 0 1 - 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 1 ⎞ ⎛ 1 ⎜ ⎟ 由 ( A, B ) ⎯⎯ →( E , A B ), 求得P = A B = ⎜ 5 1 −14 ⎟ ⎜ −4 −1 10 ⎟ ⎝ ⎠
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⎛ 1 0 5 ⎜ ⎜ 令 P = ( p1 , p2 , p3 ) = ⎜ −2 0 5 ⎜ 1 ⎜ 0 ⎝ 2 ⎞ 5⎟ 1 ⎟ ，则 P 为正交矩阵， 5⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎠
从而 x = Py 为正交变换，使 f = − y12 + 2 y2 2 + 4 y32 四、证明题（6 分） 证：设 k1α1 + k 2α 2 + k3α 3 + k 4 (α 5 − α 4 ) = 0, 由 R(I)=R(II)=3， 得 α 4 可由 α 1 ,α 2 ,α 3 惟一线性表示， 设为 α 4 = l1α1 + l2α 2 + l3α 3 , 代入得 (k1 − l1 k 4 )α 1 + (k 2 − l 2 k 4 )α 2 + (k 3 − l3 k 4 )α 3 + k 4α 5 = 0, 因为 α1 , α 2 , α 3 , α 5 线性无关, 所以 k1 − l1 k 4 = k 2 − l 2 k 4 = k 3 − l 3 k 4 = k 4 = 0, 从而 k1 = k 2 = k 3 = k 4 = 0 ,得证。
昆明理工大学09级线性代数试题A+标准答案+评分标准
昆明理工大学2009级试卷（A卷）学院 专业班级 姓名 学号 任课教师姓名 课序号 考试座位号密 封 线 内不 得 答 题考试科目：线性代数考试日期：2010年6月24日命题教师：命题小组题一二三四五六七总分号评分阅卷人一、填空题（每小题3分，共30分）1、设，则 .2、设，为二阶单位阵，且满足则 .3、设,则 .4、方阵满足，则 .5、若矩阵与等价，且，则 .6、已知向量组，，的秩为2，则 .7、向量空间的维数为，则中任意个向量必线性 .8、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，且已知它的两个解为，则对应齐次方程的通解为 .9、两向量正交的条件是 .10、已知三阶方阵的特征值为1,2,3,则 .二、（10分）求行列式的值.三、(10分) 设，且满足，求矩阵.学院 专业班级 姓名 学号 任课教师姓名 课序号 考试座位号密 封 线 内不 得 答 题四、(16分)设线性方程组，问取何值时,（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷解，并求其通解.五、（15分）设（1）写出的列向量组；（2）判断的线性相关性；（3）求的秩和一个最大无关组.六、（15分）已知二次型学院 专业班级 姓名 学号 任课教师姓名 课序号 考试座位号密 封 线 内不 得 答 题（1）写出所对应的矩阵；（2）求的特征值和特征向量；（3）求一个正交变换将化为标准形.七、（4分）设为正交阵，且，证明是的特征值.昆明理工大学2009级线性代数A卷参考答案及评分标准一填空题（每小题3分，共30分）1. 2. 3. 4. 5.3 6.7.线性相关 8.为任意常数 9. 10.18二（10分）解。
5分。
10分三（10分）解因。
4分而可逆。
7分故。
10分解方程的系数行列式。
5分(1) 当，时，方程组有唯一的解。
7分(2) 当时，原方程组的增广矩阵无解。
10分(3) 当时。
13分方程组有无穷解通解。
16分解（1）的列向量组。
5分(2)故向量组线性相关。
线性代数02198自考2009年~2012年真题试题及答案(新)
2009年7月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数试题课程代码：02198试卷说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵；A *表示A 的伴随矩阵；R （A ）表示矩阵A 的秩；|A |表示A 的行列式；E 表示单位矩阵。
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设A ，B ，C 为同阶方阵，下面矩阵的运算中不成立．．．的是（ ） A ．（A +B ）T =A T +B T B ．|AB |=|A ||B | C ．A （B +C ）=BA +CA D ．（AB ）T =B T A T 2．已知333231232221131211a a a a a a a a a =3，那么333231232221131211222222a a a a a a a a a ---=（ ） A ．-24 B ．-12 C ．-6D ．123．若矩阵A 可逆，则下列等式成立的是（ ）A ．A =||1A A *B ．|A |=0C ．（A 2）-1=（A -1）2D ．（3A ）-1=3A -14．若A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-251213，B =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-123214，C =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--213120，则下列矩阵运算的结果为3×2的矩阵的是（ ） A ．ABC B ．AC T B T C ．CBAD ．C T B T A T5．设有向量组A ：4321,,,αααα，其中α1，α2，α3线性无关，则（）A ．α1，α3线性无关B ．α1，α2，α3，α4线性无关C ．α1，α2，α3，α4线性相关D ．α2，α3，α4线性无关6．若四阶方阵的秩为3，则（ ） A ．A 为可逆阵B ．齐次方程组Ax =0有非零解C ．齐次方程组Ax =0只有零解D ．非齐次方程组Ax =b 必有解7．已知方阵A 与对角阵B =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---200020002相似，则A 2=（ ）A ．-64EB ．-EC ．4ED ．64E8．下列矩阵是正交矩阵的是（ ） A ．⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--100010001B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11001110121 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--θθθθcos sin sin cos D ．⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--336102233660336122 9．二次型f =x T Ax (A 为实对称阵)正定的充要条件是（ ） A ．A 可逆B ．|A |>0C ．A 的特征值之和大于0D ．A 的特征值全部大于010．设矩阵A =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--4202000k k 正定，则（ ）A ．k ＞0B ．k ≥0C ．k ＞1D ．k ≥1二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
线性代数 考试试题(A)
2009 ~2010学年秋季学期 线性代数（B ）课程考试试题（2010.1）一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分，请将合适的答案填在每题的空中）1．已知为阶方阵，且A 32A =−，则2A −= ；2．已知矩阵，则的秩A =101021000⎛⎞⎜⎟⎜⎜⎟⎝⎠⎟A R A =() ； 3．设为阶方阵，满足，则A n 2A A E −=1A −= ；4．设12,ξξ是元非齐次线性方程组n Ax b =的两个解，且的秩，则 A ()R A 1=−n 的通解Ax b =x = ；5．设是阶方阵，A n 0A ≠，*A 是的伴随矩阵．若有特征值A A λ，则必有一个特()12*A −征值是 ．二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）1．阶方阵3A =33()ij a ×，的行列式A A =3−，ij A 是A 中元素的代数余子式，则ij a 2111112121313()++a A a A a A 2112112221323()+++a A a A a A 2113112321333()+++a A a A a A =【 】 ； (A) -3； (B) 2； (C) 9； (D) 0．2． 已知线性方程组0,2352.+=⎧⎪−+=⎨⎪+=⎩x y x y ,x y a有解，则【 】；=a (A) ； (B) ； (C) ； (D) 0． 21−33．设是4阶方阵，且的行列式A A 0A =，则中【 】； A (A) 必有一列元素全为0； (B) 必有两列元素成比例；(C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合； (D) 任意列向量是其余列向量的线性组合．⎟⎟⎟⎜⎟⎝⎠4． 设相似于对角阵⎜122212221⎛⎞⎜=⎜⎜⎟⎝⎠A 15−⎛⎞⎜⎟=λ【 】； λ，则(A) ； (B) 2； (C) 3； (D) 0．1−5． 若二次型()2221231231223,,22f x x x x x x x x ax x =++++是正定二次型，则的取值范围是【 】．．a(A) 2−<<a (B)<<a 22； (C) 2−<<a ； (D) 22<<−a ．三、（本题满分14分）1．已知4阶行列式1111201212112101−−−=D ，求1121314122A A A A +++；2． 计算阶行列式1n +12112111231231111n n n nb a a a a b a a D a a a b a a a a −−+=""#####""．四、 (本题满分14分)设阶方阵和n A B 满足条件：A B AB +=．(1) 证明：是可逆矩阵，其中A E −E 是阶单位矩阵；n (2) 已知矩阵，求矩阵． 130210002B −⎛⎞⎜=⎜⎜⎟⎝⎠⎟⎟,.A 五、(本题满分14分) 当a 、b 为何值时，线性方程组()123423423412340,221,32321x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=⎧⎪++=⎪⎨−+−−=⎪⎪+++=−⎩ 有唯一解，无解，有无穷多组解，并求出有无穷多组解时的通解．六、(本题满分10分) 设0η是非齐次线性方程组Ax b =的一个解，123,,ξξξ是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，证明：Ax =0(1) 0123,,,ηξξξ线性无关；(2) 0102030,,,ηξηξηξη+++线性无关．七、（本题满分12分） 二次型22212312312(,,)2f x x x x x x x x =+++经正交变换x Py =变为标准形，求出该正交变换． 23222y y +八、(本题满分6分) 设,ξξ12是元非齐次线性方程组n Ax b =的两个解，为阶方阵，证明：A n (1) 存在一个非零向量与的每一个行向量都正交； A (2) 0A =．。
昆明理工大学2009级硕士研究生《矩阵论》考试卷
昆明理工大学2009级硕士研究生《矩阵论》考试卷姓名： 专业： 学号： 评分： （总分：100分） 一．填空（每空3分，共30分）1.设A 是n 阶Householder 矩阵，则cos ()A π2=2.设x →=()n 2 1 x , ... ,x ,x TnC ∈，则x →1= ，x→2= ，x→∞=3.已知A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛011-021-010，则A 的Jordan 标准型为J=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4.设A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛6.07.03.01.0，判定矩阵级数∑∞=0K K A 收敛的依据是 ，其和为5.设A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛12122121，则A ()2,1=6.已知A ∈C n m ⨯，B ∈C m n ⨯，C ∈C m m ⨯，则方程AXB=C 有解的充要条件是7.给定欧式空间R 2的基e 1=()0,1 T ,e 2=()1,0 T ，设α=()1,1 T，子空间L=L ()α,则正交投影矩阵P L =(注意：以上填空题答案标明题号答在答题纸上，答在试卷上的不给予评分。
)推导与计算二．（10分）证明：C n n ⨯中的矩阵范数∞∙m 与∙F相容。
三．（15分）已知A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛542452-22-8，b →()t =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛t9t9e e，①.求e tA ；②.用矩阵函数法求解微分方程()dtd t x→=A()t x →+()t b →满足条件()0x →=()1,1,0T的解。
四．（10分）用Householder 变换法求A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1522634369143的QR 分解。
五．（10分）用Gerschgorin 定理隔离A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛01821021320的特征值。
问A 的特征值是否是实数？说明理由。
六．（15分）已知A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛3541-1-3-2-111-01，b →=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1-33，①.求A 的满秩分解； ②.求A +；③.用广义矩阵方法判断方程是否有解，如有解则求出其通解。
太原理工大学2009矩阵论试题
太原理工大学2002级攻读硕士学位研究生《矩阵分析》试卷1、选择题：（10分）（1）设T 是nn C⨯上的线性变换，A nn C⨯∈, 则下列集合不构成子空间的为（ ）(A){}n n C X AX X ⨯∈=,0; (B){}n n C X X X ⨯∈=,0;(C){}n n C X TX X ⨯∈=,0; (D){}n n C X Y TX Y ⨯∈=,;（2）设T 是线性空间V 上的线性变换，V x x x n ∈,,,21 ，则下列不正确的是（ ） (A) θθ=)(T ; (B) T(∑=ni ix1)=)(1∑=ni ix T ;(C) 若n x x x ,,,21 线性相关，则)(),(),(21n x T x T x T 线性相关。
(D) 若n x x x ,,,21 线性无关，则)(),(),(21n x T x T x T 线性无关。
（3）设V 为酉空间，,,,,C V z y x ∈∈∀λ则有（ ） (A) (x , y )=(y , x ) (B) (x , λy )=λ(x , y ) (C),0≠x 但0),(=x x (D) ),(),(y x z y x =++),(z x （4）设A 为酉矩阵，则下列等式不正确的是（ ） (A) 1=A (B) E AAH= (C)H A A =-1 (D)E A A H =（5）给定λ—矩阵n n ij a A ⨯=))(()(λλ，则)(λA 可逆的充要条件是（ ） (A) )(λA 满秩 (B) 0)(≠λA (C) )(λA 与E 相似 (D) )(λA 与E 等价 2、填空题（20分）（1）设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=021320012A ， 则=1A , =2A ，∞A = ，F A = ;（2）已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=100031141A ，则A 的约当标准形是 ;（3）已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0201A ，则存在可逆阵=P ，使⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-00011AP P ， 此时=Ae ;（4）已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=t t t t t A cos sin sin cos )(, =→)(lim 0t A t , [])(1t A dtd -= , 则⎰=20)(πdt t A .3、简答题：（10分）（1）设V V V ⊂21,的子空间，写出1V 与2V 的和是直和的四个等价说法。
矩阵分析试题A参考答案及评分标准样本
重庆邮电大学 级研究生(矩阵分析)考卷( A 卷)参考答案及评分细则一 、 已知 1(1,2,1,0)T α=, 2(1,1,1,1)T α=-, 1(2,1,0,1)T β=-, 2(1,1,3,7)T β=-求12{,}span αα与12{,}span ββ的和与交的基和维数。
( 10分) 解: 因为12{,}span αα+12{,}span ββ=1212{,,,}span ααββ (2分)由于秩1212{,,,}ααββ=3, 且121,,ααβ是向量组1212,,,ααββ的一个极大相信无关组, 因此和空间的维数是3, 基为121,,ααβ。
(2分) 设{}1212{,},span span ξααββ∈于是由交空间定义可知11221122k k l l ξααββ=+=+ 此即121211212111011030117k k l l -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭解之得1122122,4,3(k l k l l l l =-==-为任意数） (2分) 于是11222[5,2,3,4]T k k l ξαα=+=-, 1122l l ξββ=+（很显然）因此交空间的维数为1, 基为T [-5,2，3，4] (2分)二、 证明: Jordan 块 10()0100a J a a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似于矩阵 0000a a a εε⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 这里0ε≠为任意实数。
( 10分) 证明: 由于容易求出两个λ-矩阵的不变因子均为31,1,()a λ-, 从而这两个λ-矩阵相似,于是矩阵10()0100a J a a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与0000a a a εε⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似.三、 求矩阵101120403A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的(1)Jordan 标准型; ( 2) 变换矩阵P ; ( 3) 计算100A 。
（完整版）矩阵练习（带答案详解）
（完整版）矩阵练习（带答案详解）一、填空题：1.若A ，B 为同阶方阵，则22))((B A B A B A -=-+的充分必要条件是BAAB =。
2. 若n 阶方阵A ，B ，C 满足I ABC =,I 为n 阶单位矩阵，则1 -C＝AB。
3. 设A ，B 都是n 阶可逆矩阵，若=00A B C ,则1-C ＝--0011B A 。
4. 设A ＝?--1112，则1-A ＝2111。
5. 设???? ??--=111111A ，--=432211B .则=+B A 2--731733。
6.设=300020001A ，则1-A ＝310002100017．设矩阵 1 -1 3 2 0,2 0 10 1A B == ? ?，T A 为A 的转置，则B A T=-160222.8.=110213021A ，B 为秩等于2的三阶方阵，则AB 的秩等于 2 .二、判断题（每小题2分，共12分）1. 设B A 、均为n 阶方阵，则 kk k B A AB =)(（k 为正整数）。
……………（× ）2. 设,,A B C 为n 阶方阵，若ABC I =，则111CB A ---=。
……………………………（× ）3. 设B A 、为n 阶方阵，若AB 不可逆，则,A B 都不可逆。
……………………… ( × )4. 设B A 、为n 阶方阵，且0AB =，其中0A ≠，则0B =。
……………………… (× )5. 设C B A 、、都是n 阶矩阵，且I CA I AB ==,，则C B=。
……………………（√ ）6. 若A 是n 阶对角矩阵，B 为n 阶矩阵，且AC AB =，则B 也是n 阶对角矩阵。
…（× ）7. 两个矩阵A 与B ，如果秩（A ）等于秩（B ），那么A 与B 等价。
…………（× ）8. 矩阵 A 的秩与它的转置矩阵T A 的秩相等。
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北京交通大学
2009-2010学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(A)
专业 班级 学号 姓名
一． （12分）3][x R 表示由次数小于3的多项式组成的线性空间。
在3][x R 中取两个基：2123: 1,1,1I x x x ααα==+=++
；222123: 1,,1II x x x x x βββ=+=+=++。
（1）求基I 到基II 的过度矩阵；（2） 求2123x x α=++在基I 下的坐
标。
二． （16分）设3[]R x 是由次数小于3的所有实系数多项式组成的线性空
间，3[]R x 中的线性映射T 满足：对任意 20123()[]f x a a x a x R x
=++∈， 21202012()()()(2
)Tf x a a a a x a a a x =++++++，
（1）求T 的核()N T 基和维数；（2）求值域()R T 的基和维数；（3）求3
[]R x 的一个基使得T 在该基下的矩阵表示为对角矩阵。
三． （12分）设11121121A i i i i -⎛⎫ ⎪=++ ⎪ ⎪-⎝⎭，111x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，i = 。
计算11, , , Ax Ax A A ∞∞。
四．（8分）求矩阵
1122
2112
0112
A
--
⎛⎫
⎪
=--
⎪
⎪
-
⎝⎭
的满秩分解。
五．（12分）求矩阵
122
330
006
A
⎛⎫
⎪
= ⎪
⎪
⎝⎭
的三角正交分解A RU
=，其中U
是酉矩阵，R是正线下三角矩阵。
六．（20分）证明题：
1．设A是n阶正规矩阵，证明A是酉矩阵的充要条件是A的特征值的绝对值等于1。
2．设A半正定Hermite矩阵且A O
≠，证明：||1
E A
+>。
3．设A是正规矩阵，证明：
2
(||) max j
j
Aλ
=，其中
j
λ是A的第j个特征值。
七．（20分）设
126
103
112
A
⎛⎫
⎪
= ⎪
⎪
⎝⎭。
（1）求E A
λ-的Smith标准形；（2）
写出A的最小多项式，A的初等因子和Jordan标准形；（3）求矩阵函数()
f A，并计算tA e，||tA e。