【数学】2014-2015年北京市大兴区魏善庄中学高三(上)期中数学试卷与答案(文科)
北京市2015年高三第一学期期中检测试卷数学(理)含答案解析
1A北京市2015年第一学期期中检测试卷高三数学（理）试卷满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．集合{}2M x|x 4>＝，{}|13N x x =<<，则图中阴影部分所表示的集合是 （ ）A ．{}|23x x -≤<B ．{}|22x x -≤≤C ．{}|12x x <≤D ．{}|23x x ≤<2. 设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是 ( )A. 若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥ B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m n C ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥ D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥ 3. “1m =”是“直线0x y -=和直线0x my +=互相垂直”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．在同一坐标系中画出函数log a y x =，xy a =，y x a =+的图象，可能正确的是 ( )5．在等比数列{}n a 中，若48a =，2q =-，则7a 的值为 （ ）A ．64-B ．64C ．48-D ．486．设,x y ∈R,向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-，且,//a c b c ⊥，则a b += ( )A B C ．D ．107．已知点(,)P x y 的坐标满足条件1,2,220,x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩那么22x y +的取值范围是（ ）A ．[1,4]B ．[1,5]C ．4[,4]5 D ．4[,5]58． 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α， 则sin α的取值范围是 （ ）A ．B ．C ．D ． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 以点（2，1-）为圆心且与直线5x y +=相切的圆的方程是 ．10.周期为2的函数()f x 在[1,1)x ∈-时，242,10,(),01,x x f x x x ⎧-+-≤<=⎨≤<⎩，则3()2f = 。
【数学】2014-2015年北京市海淀区高三(上)期中数学试卷与答案(理科)
2014-2015学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分，每小题只有一个选项符合题意）1．（5分）设集合A={x∈R|x＞1}，B={x∈R|﹣1≤x≤2}，则A∩B=（）A．[﹣1，+∞）B．（1，+∞）C．（1，2]D．[﹣1，1）2．（5分）已知向量=（2，﹣1），=（3，x）．若•=3，则x=（）A．6 B．5 C．4 D．33．（5分）若等比数列{a n}满足a1+a3=5，且公比q=2，则a3+a5=（）A．10 B．13 C．20 D．254．（5分）要得到函数y=sin（2x+）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位5．（5分）设a=（），b=log2，c=log23，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a6．（5分）设a，b∈R，则“ab＞0，且a＞b”是“＜”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=a（x+1）有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．[，+∞）B．（0，+∞）C．C（0，1）D．（0，）8．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，在同一个坐标系中，a n=f（n）及S n=g （n）的部分图象如图所示，则（）A．当n=4时，S n取得最大值B．当n=3时，S n取得最大值C．当n=4时，S n取得最小值D．当n=3时，S n取得最大值二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）设复数z=，则|z|=．10．（5分）已知函数y=2|x+a|的图象关于y轴对称，则实数a的值是．11．（5分）（x+sinx）dx=．12．（5分）为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C（单位：mg/L）随时间t（单位：h）的变化关系为C=，则经过h后池水中药品的浓度达到最大．13．（5分）如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，且BD=2DC．若=m+n （m，n∈R），则m﹣n=．14．（5分）已知函数f（x）=Asin（xω+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的最小正周期为π，设集合M={直线l|l为曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线，x0∈[0，π）]．若集合M中有且只有两条直线互相垂直，则ω=；A=．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）已知函数f（x）=sinx﹣sin（x+）（1）求f（）的值；（2）求f（x）的单调递增区间．16．（13分）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，a1=，且a1，a3，﹣a2成等差数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{a n﹣n}的前n项和S n．17．（13分）如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cos∠B=（1）求△ACD的面积；（2）若BC=2，求AB的长．18．（14分）已知函数f（x）=2alnx﹣x2+1（1）若a=1，求函数f（x）的单调递减区间；（2）若a＞0，求函数f（x）在区间[1，+∞）上的最大值；（3）若f（x）≤0在区间[1，+∞）上恒成立，求a的最大值．19．（13分）已知数列{a n}的前n项和S n=（n=1，2，3，…）（1）求a1的值；（2）求证：（n﹣2）a n+1=（n﹣1）a n（n≥2）；﹣1（3）判断数列{a n}是否为等差数列，并说明理由．20．（14分）设函数f（x）=，L为曲线C：y=f（x）在点（﹣1，）处的切线．（1）求L的方程；（2）当x＜﹣时，证明：除切点（﹣1，）之外，曲线C在直线L的下方；（3）设x1，x2，x3∈R，且满足x1+x2+x3=﹣3，求f（x1）+f（x2）+f（x3）的最大值．2014-2015学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分，每小题只有一个选项符合题意）1．（5分）设集合A={x∈R|x＞1}，B={x∈R|﹣1≤x≤2}，则A∩B=（）A．[﹣1，+∞）B．（1，+∞）C．（1，2]D．[﹣1，1）【解答】解：由题意得，集合A={x∈R|x＞1}，B={x∈R|﹣1≤x≤2}，则A∩B={x∈R|1＜x≤2}=（1，2]，故选：C．2．（5分）已知向量=（2，﹣1），=（3，x）．若•=3，则x=（）A．6 B．5 C．4 D．3【解答】解：∵向量=（2，﹣1），=（3，x）．•=3，∴6﹣x=3，∴x=3．故选：D．3．（5分）若等比数列{a n}满足a1+a3=5，且公比q=2，则a3+a5=（）A．10 B．13 C．20 D．25【解答】解：由等比数列{a n}满足a1+a3=5，且公比q=2，∴a3+a5=a1q2+a3q2=q2（a1+a3）=20，故选：C．4．（5分）要得到函数y=sin（2x+）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【解答】解：由于函数y=sin（2x+）=sin2（x+），∴将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，可得函数y=sin（2x+）的图象，故选：B．5．（5分）设a=（），b=log2，c=log23，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a【解答】解：∵0＜a=（）＜1，b=log2＜0，c=log23＞1，∴c＞a＞b．故选：B．6．（5分）设a，b∈R，则“ab＞0，且a＞b”是“＜”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵a＞b，ab＞0，∴＞，∴＞，即＜；是充分条件，若＜，则﹣＜0，∴＜0，∴或，不是必要条件，故选：A．7．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=a（x+1）有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．[，+∞）B．（0，+∞）C．C（0，1）D．（0，）【解答】解：作出函数f（x）的图象，如右图：作出直线y=a（x+1），则直线恒过（﹣1，0），关于x的方程f（x）=a（x+1）有三个不相等的实数根，即为当直线与曲线y=相交时，与f（x）的图象有三个交点，当直线与曲线y=相切时，设切点为（m，），则y′=，则切线斜率为=a，又a（m+1）=，由此解得，a=（负的舍去），故a的取值范围是（0，）．故选：D．8．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，在同一个坐标系中，a n=f（n）及S n=g （n）的部分图象如图所示，则（）A．当n=4时，S n取得最大值B．当n=3时，S n取得最大值C．当n=4时，S n取得最小值D．当n=3时，S n取得最大值【解答】解：由图象可知可能：①a7=0.7，S7=﹣0.8，a8=﹣0.4，由a7=0.7，a8=﹣0.4，可得d=﹣1.1，a1=7.3．∴S7=＞0，与S7=﹣0.8，矛盾，舍去．②a7=0.7，S7=﹣0.8，S8=﹣0.4．由S7=﹣0.8，S8=﹣0.4，可得a8=0.4，∴=﹣0.4，解得a1=﹣0.5，∴a8=﹣0.5+7d，解得d=≠0.4﹣0.7=﹣0.3，矛盾，舍去．③a7=﹣0.8，S7=0.7，a8=﹣0.4．由a7=﹣0.8，S7=0.7，可得=0.7，解得a1=1，∴﹣0.8=1+6d，解得d=﹣0.3，而﹣0.4﹣（﹣0.8）=0.4，矛盾，舍去．④a7=﹣0.8，S7=0.7，S8=﹣0.4．由a7=﹣0.8，S7=0.7，可得，解得a1=1．∴﹣0.8=1+6d，解得d=﹣0.3，∴a8=﹣0.8﹣0.3=﹣1.1，∴S8=0.7﹣1.1=﹣0.4，满足条件．∴a n=a1+（n﹣1）d=1﹣0.3（n﹣1）=1.3﹣0.3n≥0，解得=4+，因此当n=4时，S n取得最大值．故选：A．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）设复数z=，则|z|=．【解答】解：z==，∴．故答案为：．10．（5分）已知函数y=2|x+a|的图象关于y轴对称，则实数a的值是0．【解答】解：∵函数y=2|x+a|的图象关于y轴对称，∴函数y=2|x+a|为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即2|x+a|=2|﹣x+a|，即|x+a|=|﹣x+a|=|x﹣a|恒成立，故a=0，故答案为：011．（5分）（x+sinx）dx=0．【解答】解：（x+sinx）dx=（﹣cosx）=﹣cosπ﹣[﹣cos （﹣π）]=0故答案为：0．12．（5分）为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C（单位：mg/L）随时间t（单位：h）的变化关系为C=，则经过2h后池水中药品的浓度达到最大．【解答】解：C===5，当且仅当t=2时取等号．因此经过2h后池水中药品的浓度达到最大．故答案为：2．13．（5分）如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，且BD=2DC．若=m+n （m，n∈R），则m﹣n=﹣2．【解答】解：在△ABC中，∵BD=2DC，∴=，又∵=﹣，∴=+=+=+（﹣），∴=﹣，∴=﹣=﹣+；又∵=m+n，∴m=﹣，n=，∴m﹣n=﹣2．故答案为：﹣2．14．（5分）已知函数f（x）=Asin（xω+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的最小正周期为π，设集合M={直线l|l为曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线，x0∈[0，π）]．若集合M中有且只有两条直线互相垂直，则ω=2；A=．【解答】解：∵函数f（x）=Asin（xω+φ）的最小正周期为π，∴，即ω=2．∴f（x）=Asin（2x+φ），f′（x）=2Acos（2x+φ），∵曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线x0∈[0，π）]有且只有两条直线互相垂直，∴f′（x）=2Acos（2x+φ）的最大值为1，即A=．故答案为：．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）已知函数f（x）=sinx﹣sin（x+）（1）求f（）的值；（2）求f（x）的单调递增区间．【解答】解：（Ⅰ）f（）=sin﹣sin（+）=1﹣=．（Ⅱ）f（x）=sinx﹣sin（x+）=sinx﹣（sinxcos）=sinx﹣（sinx+cosx）=sinx﹣cosx=sin（x﹣）函数y=sinx的单调递增区间为[2k，2k]（k∈Z）由2k≤x﹣≤2k，（k∈Z）得：2kπ（k∈Z）所以f（x）的单调递增区间为[2kπ]（k∈Z）．16．（13分）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，a1=，且a1，a3，﹣a2成等差数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{a n﹣n}的前n项和S n．【解答】解：（1）∵a1，a3，﹣a2成等差数列．∴2a3=a1﹣a2，设等比数列{a n}的公比q＞0，则，化为2q2+q﹣1=0，解得q=．∴=．（2）a n﹣n=﹣n．∴其前n项和S n=﹣=﹣．17．（13分）如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cos∠B=（1）求△ACD的面积；（2）若BC=2，求AB的长．【解答】解：（1）因为∠D=2∠B，cos∠B=，所以cosD=cos2B=2cos2B﹣1=﹣．…（3分）因为∠D∈（0，π），所以sinD=．…（5分）因为AD=1，CD=3，所以△ACD的面积S===．…（7分）（2）在△ACD中，AC2=AD2+DC2﹣2AD•DC•cosD=12．所以AC=2．…（9分）因为BC=2，，…（11分）所以=．所以AB=4．…（13分）18．（14分）已知函数f（x）=2alnx﹣x2+1（1）若a=1，求函数f（x）的单调递减区间；（2）若a＞0，求函数f（x）在区间[1，+∞）上的最大值；（3）若f（x）≤0在区间[1，+∞）上恒成立，求a的最大值．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=2lnx﹣x2+1，f′（x）=，（x＞0），令f′（x）＜0．∵x＞0，∴x2﹣1＞0，解得：x＞1，∴函数f（x）的单调递减区间是（1，+∞）；（Ⅱ）f′（x）=，（x＞0），令f′（x）=0，由a＞0，解得x1=，x2=﹣（舍去），①当≤1，即0＜a≤1时，在区间[1，+∞）上f′（x）≤0，函数f（x）是减函数．所以函数f（x）在区间[1，+∞）上的最大值为f（1）=0；②当＞1，即a＞1时，x在[1，+∞）上变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表∴函数f（x）在区间[1，+∞）上的最大值为f（）=alna﹣a+1，综上所述：当0＜a≤1时，函数f（x）在区间[1，+∞）上的最大值为f（1）=0；当a＞1时，函数f（x）在区间[1，+∞）上的最大值为f（）=alna﹣a+1，（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：当0＜a≤1时，f（x）≤f（1）=0在区间[1，+∞）上恒成立；当a＞1时，由于f（x）在区间[1，]上是增函数，∴f（）＞f（1）=0，即在区间[1，+∞）上存在x=使得f（x）＞0．综上所述，a的最大值为1．19．（13分）已知数列{a n}的前n项和S n=（n=1，2，3，…）（1）求a1的值；（n≥2）；（2）求证：（n﹣2）a n+1=（n﹣1）a n﹣1（3）判断数列{a n}是否为等差数列，并说明理由．【解答】（1）解：由S n=，得，解得a1=1；（2）证明：∵S n=，∴．两式作差得：，即（n﹣2）a n+1=（n﹣1）a n﹣1（n≥2）；（3）数列{a n}是等差数列．事实上，由S n=，∴．．由（2）可得，（n≥3）．∴．即（n﹣2）a n﹣2（n﹣2）a n﹣1+（n﹣2）a n﹣2=0．∵n≥3，∴a n﹣2a n﹣1+a n﹣2=0，即a n﹣a n﹣1=a n﹣1﹣a n﹣2（n≥3）．∴数列{a n}是以1为首项，a2﹣1为公差的等差数列．20．（14分）设函数f（x）=，L为曲线C：y=f（x）在点（﹣1，）处的切线．（1）求L的方程；（2）当x＜﹣时，证明：除切点（﹣1，）之外，曲线C在直线L的下方；（3）设x1，x2，x3∈R，且满足x1+x2+x3=﹣3，求f（x1）+f（x2）+f（x3）的最大值．【解答】（1）解：∵f（x）=，∴，∴．∴L的方程为，即；（2）证明：要证除切点（﹣1，）之外，曲线C在直线L的下方，只需证明∀，恒成立．∵5x2+16x+23＞0，∴只需证明∀，5x3+11x2+7x+1＜0恒成立即可．设，则g′（x）=15x2+22x+7=（x+1）（15x+7）．令g′（x）=0，解得x1=﹣1，．当时，g′（x）＞0，g（x）为增函数；当时，g′（x）＜0，g（x）为减函数．∴明∀，5x3+11x2+7x+1＜0恒成立；（3）①当时，由（2）知，，，．三式相加得：．∵x1+x2+x3=﹣3，∴，当且仅当x1=x2=x3=﹣1时取等号．②当x1，x2，x3中至少有一个大于等于时，不妨设，则，∵，，∴．综上所述，当x1=x2=x3=﹣1时，f（x1）+f（x2）+f（x3）取到最大值．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =xxx①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f (p)f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。
北京市大兴区魏善庄中学2015届高三上学期期中考试生物试题 Word版无答案
2014-2015学年度第一学期高三第二次月考试卷2014-11-5一、 选择题1．下列关于糖的叙述，正确的是 A ．葡萄糖和果糖分子均有还原性B ．葡萄糖和麦芽糖可被水解C ．构成纤维素的单体是葡萄糖和果糖D ．乳糖可以被小肠上皮细胞直接吸收2.脂质不具有．．．的生物学功能是 A ．构成遗传物质载体 B ．调节细胞代谢 C ．储存能量 D ．构成生物膜 3、如图表示一个由200个氨基酸构成的蛋白质分子。
下列叙述正确的是A ．该分子中含有198个肽键B ．参与构成该蛋白质分子的氨基酸中至少有200个氨基C ．200个氨基酸缩合成该蛋白质时分子总量减少了3582D ．该蛋白质中至少含有3个—NH 24.油菜种子成熟过程中部分有机物的变化如图2所示，将不同成熟阶段的种子匀浆后检测，结果正确的是5．在下列四种化合物的化学组成中，“○”中所对应的含义最接近的是A 、①和②B 、②和③C 、③和④D 、①和④6．下列关于细胞内物质组成的叙述错误．．的是 A ．铁元素是构成人体血红蛋白分子的重要组分 B ．种子萌发时细胞内结合水与自由水比值下降 C ．氨基酸和脂质均含有碳原子构成的碳骨架 D ．组成噬菌体的遗传物质的单体是核糖核苷酸7.下列关于原核细胞的叙述中，正确的是 A.大肠杆菌比酵母菌物质交换效率低 B.乳酸菌在细胞质中进行无氧呼吸 C.蓝藻细胞以有丝分裂方式进行增殖 D.肺炎双球菌在线粒体内完成有氧呼吸选项取样时间 检测试剂 检测结果 A 第10天 斐林试剂 不显色 B 第20天双缩脲试剂 不显色 C[来源:学科网]第30天 苏丹Ⅲ试剂 橘黄色 D第40天碘液蓝色8.右图中①～④表示某动物细胞的部分细胞器，下列有关叙述中，正确的是A.①可将葡萄糖分解成CO2和H2OB.②在有丝分裂的前期完成自我复制C.③参与细胞分裂末期细胞壁的形成D.④是细胞中的蛋白质合成场所9.下图表示细胞间某种信息交流的方式，有关说法不正确的是A．图中a可能表示某种信号分子，b表示受体B．图中甲可表示分泌细胞，图中乙表示靶细胞C．此图示反映了细胞膜具有细胞间信息交流的功能D．此图示能表明细胞膜可以促进a物质的运输10.下图表示某生物膜结构，图中A、B、C、D、E、F表示某些物质，a、b、c、d表示物质跨膜的运输方式。
高三上学期期中数学试卷
考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（每小题5分，共50分）1. 已知函数$f(x) = ax^2 + bx + c$（$a \neq 0$），若$f(1) = 3$，$f(2) = 8$，$f(3) = 15$，则$a + b + c$的值为：A. 6B. 7C. 8D. 92. 在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_1 = 3$，公差$d = 2$，则$a_{10} + a_{20} + a_{30}$的值为：A. 120B. 150C. 180D. 2103. 已知复数$z = 2 + 3i$，则$|z|^2$的值为：A. 13B. 14C. 15D. 164. 若直线$y = kx + 1$与圆$x^2 + y^2 = 1$相切，则$k$的取值范围为：A. $(-1, 1)$B. $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$C. $(-\infty, 1] \cup [1, +\infty)$D. $[-1, 1]$5. 若等比数列$\{a_n\}$的首项$a_1 = 1$，公比$q = -2$，则$a_3 \cdot a_5\cdot a_7$的值为：A. -8B. -16C. 8D. 166. 若不等式组$\begin{cases} x + y \geq 1 \\ x - y \leq 1 \end{cases}$的解集在坐标系中对应的图形为：A. 一个正方形B. 一个矩形C. 一个三角形D. 一个平行四边形7. 函数$f(x) = x^3 - 3x$在区间$[0, 3]$上的最大值和最小值分别为：A. $-2, -3$B. $-3, -2$C. $2, -3$D. $3, -2$8. 已知椭圆$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则$b^2$的值为：A. 4B. 3C. 2D. 19. 若函数$g(x) = \log_2(x + 1) - \log_2(x - 1)$的定义域为$[1, 3]$，则$g(x)$在定义域内的最大值为：A. 1B. 0C. -1D. 无最大值10. 若直线$y = kx + 1$与直线$y = -\frac{1}{k}x + 1$的交点在第一象限，则$k$的取值范围为：A. $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$B. $(-\infty, 0) \cup (0,1)$ C. $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$ D. $(-1, 0) \cup (0, 1)$二、填空题（每小题5分，共25分）11. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n = 4n^2 - 3n$，则$a_1$的值为______。
2023-2024学年北京市大兴区高三上学期期中考试检测数学试卷含详解
大兴区2023~2024学年度第一学期期中检测高三数学本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}{}111,0,1A x x B =-<≤=-，，则A B = （）A.{}0B.{}1-C.{}1 D.{}0,12.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是()1,1-，则z z ⋅=（）A.1B.C.2D.3.下列函数中，既是偶函数又在区间()0,∞+上单调递增的是（）A.2x y =B.1y x -=C.cos y x= D.ln ||y x =4.设x ∈R ，则“sin 0x =”是“cos 1x =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知向量(10)(01)a b == ，，，，若()()a b a b λμ-⊥+，其中∈R ，λμ，则（）A.1λμ+=-B.1λμ+=C.1λμ⋅=- D.1λμ⋅=6.在平面直角坐标系x O y 中，角α以O x 为始边，点(3,4)P -在角α终边上，则错误的是（）A.4sin 5α=B.7cos 225α=C.1sin cos 5αα+=D.tan22α=7.在ABC 中，π,4,6A AB BC a ∠===，且满足该条件的ABC 有两个，则a 的取值范围是（）A.()0,2 B.(C.()2,4 D.()8.已知12a =，5log 2b =，tan1c =，则（）A .b a c<< B.a c b <<C.a b c<< D.c b a<<9.设函数()e ln x f x x =-的极值点为0x ，且0x M ∈，则M 可以是（）A.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.12,23⎛⎫⎪⎝⎭C.2,13⎛⎫⎪⎝⎭D.()1,210.已知数列{}n a 满足1(1) n n n a a a +=-（n *∈N ），且101a <<．给出下列四个结论：①214a ≤；②12334n n a a a a +++++<；③m n *∀∈N ，，当n m >时，n m a a >；④k *∀∈N ，m *∃∈N ，当n m ≥时，1n a k<．其中所有正确结论的个数为（）A.1B.2C.3D.4第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.2lg2lg25+=______．12.设函数()tan f x x =，则π()4f -=______；若()f x 满足对于定义域内的每一个x 都有()()f x T f x +=，0T >，则T 的最小值是______.13.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，能说明“若{}n a 为递增数列，则*1,N n n n S S +∀∈<”为假命题的一组1a 和公比q的值为1a =_______，q =_______．14.已知等边ABC 的边长为4，E F ，分别是，AB AC 的中点，则EF EA ⋅=_______；若M N ，是线段BC 上的动点，且1MN =，则EM EN ⋅的最小值为_______．15.已知函数1()22.xx a f x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，，，①当0a =时，()f x 的值域为_______；②若关于x 的方程()()f x f x -=恰有2个正实数解，则a 的取值范围是_______．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在ABC 中，2a =，2c b =．（1）若1sin 4B =，求C ∠；（2）若60A ︒∠=，求△ABC 的面积．17.已知等差数列{}n a 满足41a =，65a =.数列{}n b 满足15b a =，13n n bb +=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 前n 项和n S 的最小值为m ，若4a ，m ，k b 构成等比数列，求k 的值．18.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭，且()f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2．（1）求ω的值；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，若()f x a ≥对ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．条件①：()01f =-；条件②：()f x 的最大值为2；条件③：()f x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增．注：如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．19.已知函数32()1f x x ax =--.（1）若1a =，求()f x 的极值；（2）若()f x 在区间[2,0]-上的最小值为(2)f -，求a 的取值范围；（3）直接写出一个a 值使()f x 在区间[1,0]-上单调递减．20.设函数23()9(3)e ax f x x x =--，曲线()y f x =在点(0(0))f ，处的切线方程为27y =.（1）求a 的值；（2）求证：当(],3x ∈-∞时，()27f x ≥；（3）问存在几个点()00,()P x f x ，使曲线()y f x =在点P 处的切线平行于x 轴？（结论不要求证明）21.设数列12:,,,n A a a a (2)n ≥，如果1202024n a a a <<<< ≤，且i a *∈N ，(1,2,,)i n = ，对于2k ∀≥，11s t r k ∃-≤≤≤≤，使k s t r a a a a =++成立，则称数列A 为E 数列．（1）分别判断数列1,3,5,7和数列2,6,14,22是否是E 数列，并说明理由；（2）若数列A 是E 数列，且2023n a =，求n 的最小值；（3）若数列A 是E 数列，且2024n a =，求n 的最大值．大兴区2023~2024学年度第一学期期中检测高三数学第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}{}111,0,1A x x B =-<≤=-，，则A B = （）A.{}0B.{}1-C.{}1 D.{}0,1【答案】D【分析】利用集合,A B ，即可求出A B ⋂.【详解】由题意，{}{}111,0,1A x x B =-<≤=-，，∴{}0,1A B = ，故选：D.2.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是()1,1-，则z z ⋅=（）A.1B.C.2D.【答案】C【分析】根据复数的几何意义可得1i,z =-结合共轭复数的定义以及复数的乘法运算即可求解.【详解】由题意可得1i,z =-故1i z =+，进而()()1i 1i 2z z ⋅=+-=，故选：C3.下列函数中，既是偶函数又在区间()0,∞+上单调递增的是（）A.2x y =B.1y x -=C.cos y x =D.ln ||y x =【答案】D【分析】分别判断各选项中函数的奇偶性和单调性即可.【详解】指数函数2x y =不是偶函数，A 选项错误；幂函数1y x -=是奇函数，B 选项错误；函数cos y x =是偶函数，但在()0,∞+上不单调，C 选项错误；函数ln y x =是偶函数，()0,x ∞∈+时ln y x =单调递增.故选：D4.设x ∈R ，则“sin 0x =”是“cos 1x =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据同角三角函数平方关系，结合必要不充分性的判断即可求解.【详解】由sin 0x =，则22sin 1cos 0cos 1x x x =-=⇒±=，故充分性不成立，由cos 1x =，则22cos 1sin 1sin 0x x x =-=⇒=，故必要性成立，故“sin 0x =”是“cos 1x =”的必要不充分条件，故选：B5.已知向量(10)(01)a b == ，，，，若()()a b a b λμ-⊥+，其中∈R ，λμ，则（）A.1λμ+=-B.1λμ+=C.1λμ⋅=-D.1λμ⋅=【答案】D【分析】利用向量的线性运算和向量垂直的坐标运算求解.【详解】向量(10)(01)a b ==，，，，()1,a b λλ-=- ，()1,a b μμ+= ，()()a b a b λμ-⊥+ ，()()10a b a b λμλμ-⋅+=-⋅=，即1λμ⋅=.故选：D6.在平面直角坐标系x O y 中，角α以O x 为始边，点(3,4)P -在角α终边上，则错误的是（）A.4sin 5α=B.7cos 225α=C.1sin cos 5αα+= D.tan22α=【答案】B【分析】根据任意角三角函数的定义求sin ,cos ,tan ααα，进而可以判断AC ；利用倍角公式判断B ；利用倍角公式结合象限角的三角函数值的符号判断D 【详解】由题意可知：4344sin ,tan 5533ααα-==-=--，故A 正确；且227cos 2cos sin 25ααα=-=-，故B 错误；431sin cos 555αα⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭，故C 正确；因为22tan42tan 31tan 2ααα==--，整理得22tan 3tan 2022αα--=，解得tan 22α=或1tan 22α=-，且π2π2ππ,2αk k k Z +<<+Î，则ππππ,422αk k k Z +<<+Î，可知k 为奇数时，2α为第三象限角，k 为偶数时，2α为第一象限角，综上所述：tan 02α>，即tan 22α=，故D 正确；故选：B.7.在ABC 中，π,4,6A AB BC a ∠===，且满足该条件的ABC 有两个，则a 的取值范围是（）A.()0,2B.(2,C.()2,4D.()【答案】C【分析】由题意可知，画出A ∠和边长AB ，以B 为圆心，a 为半径作圆与AC 边有两个交点时即可求出a 的取值范围.【详解】根据题意如下图所示：易知当BC AC ⊥时，sin 302BC AB == ，若2a =满足条件的三角形只有一个；由题可知以B 为圆心，a 为半径的圆与AC 边有两个交点时，即图中12,C C 两点满足题意；所以可得BC a AB <<，即24a <<；即a 的取值范围是()2,4.故选：C8.已知12a =，5log 2b =，tan1c =，则（）A.b a c <<B.a c b <<C.a b c <<D.c b a<<【答案】A【分析】根据正切函数的单调性可得1c <，根据对数的性质可得12b <，即可比较.【详解】πtan1tan 14c =>=，551log 2log 2b =<=，所以b ac <<，故选：A9.设函数()e ln x f x x =-的极值点为0x ，且0x M ∈，则M 可以是（）A.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.12,23⎛⎫⎪⎝⎭C.2,13⎛⎫⎪⎝⎭D.()1,2【答案】B【分析】求导，再根据导函数的单调性结合极值点的定义及零点的存在性定理即可得出答案.【详解】()1()e 0xf x x x '=->，因为函数1e ,xy y x ==-在()0,∞+上都是增函数，所以函数1()e xf x x'=-在()0,∞+上是增函数，又213212333e 20,e 023222f f ⎛⎫⎛⎫''=-<=-=->-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以存在唯一实数012,23x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()00f x '=，当00x x <<时，()0f x '<，当0x x >时，()0f x ¢>，所以函数函数()e ln x f x x =-又唯一极值点0x ，且012,23x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，故M 可以是12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：B.10.已知数列{}n a 满足1(1) n n n a a a +=-（n *∈N ），且101a <<．给出下列四个结论：①214a ≤；②12334n n a a a a +++++<；③m n *∀∈N ，，当n m >时，n m a a >；④k *∀∈N ，m *∃∈N ，当n m ≥时，1n a k<．其中所有正确结论的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【分析】根据二次函数的性质即可判定①，由放缩法即可求解②，根据数列的单调性即可判断③④【详解】由于2211111(1) =24a a a a ⎛⎫=---+ ⎪⎝⎭，且101a <<，所以214a ≤，故①正确，21(1) 0n n n n n n a a a a a a +-=--=-≤，由于101a <<，所以0n a <，故1n n a a +<，所以当2n ≥时，214n a a <≤，因此()()1231113111444n n a a a a a n n +++++<+-<+-=，故②正确，由于1n n a a +<，所以数列{}n a 为单调递减数列，所以m n *∀∈N ，，当n m >时，n m a a <；③错误，21(1) =n n n n n a a a a a +=--，故21(1) =n n n n n a a a a a +=--，则111n n na a a +=-，由于01n a <<，则011n a <-<，所以1111n n na a a +=>-，又21nn n a a a +=-，同除以21111n n n n n n n n n a a aa a a a a a ++++=-，所以1111n n n n a a a a ++=-，1112211111,,n n n n a a a a a a a a --=-=- ，相加可得11121111n n n n n a a a a a a a a -+++++=- ，故1111n n a a +->，进而可得111101n a n n a +<<<+，k *∀∈N ，m *∃∈N ，当1m k =+时，又数列{}n a 为单调递减数列，当n m ≥时，111n m a a m k≤<=-．故④正确故选：C【点睛】方法点睛：本题主要考查数列求和的应用，根据数列的递推关系，利用累加法求出数列的通项公式以及，利用裂项法进行求和是解决本题的关键；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于n n n c a b =+，其中{}n a 和{}n b 分别为特殊数列，裂项相消法类似于()11n a n n =+，错位相减法类似于n n n c a b =⋅，其中{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列等.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.2lg2lg25+=______．【答案】2【分析】通过同底对数的运算法则，求得结果.【详解】2lg2lg25lg4lg25lg1002+=+==本题正确结果：2【点睛】本题考查对数的运算，属于基础题.12.设函数()tan f x x =，则π()4f -=______；若()f x 满足对于定义域内的每一个x 都有()()f x T f x +=，0T >，则T 的最小值是______.【答案】①.1-②.π【分析】根据诱导公式直接计算π()4f -，根据最小正周期的概念求解即可；【详解】函数()tan f x x =，则πππ(tan(tan 1444f -=-=-=-，若()f x 满足对于定义域内的每一个x 都有()()f x T f x +=，0T >，则T 为函数()tan f x x =的一个正周期，又函数()tan f x x =的最小正周期为π，所以T 的最小值是π.故答案为：1-；π13.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，能说明“若{}n a 为递增数列，则*1,N n n n S S +∀∈<”为假命题的一组1a 和公比q的值为1a =_______，q =_______．【答案】①.1-②.12（答案不唯一）【分析】由题意，等比数列{}n a 为递增数列，且*1,0N n n a +∈≤∃，取一组符合条件的1a 和公比q 即可.【详解】“若{}n a 为递增数列，则*1,N n n n S S +∀∈<”为假命题，所以若{}n a 为递增数列，则*1,N n n n S S +∃∈≥，1n n S S +≥，则110n n n S S a ++-=≤，等比数列{}n a 为递增数列，且*1,0N n n a +∈≤∃，则11a =-和公比12q =，满足题意.故答案为：1-；1214.已知等边ABC 的边长为4，E F ，分别是，AB AC 的中点，则EF EA ⋅= _______；若M N ，是线段BC 上的动点，且1MN =，则EM EN ⋅的最小值为_______．【答案】①.2②.114##2.75【分析】第一空：通过()EF EA EA AF EA ⋅=+⋅ 展开整理，带入数据计算即可；第二空：设,03BN t t =≤≤，通过()()EM EN EB BM EB BN ⋅=+⋅+ 展开整理，带入数据然后配方求最值.【详解】()22222cos1202EF EA EA AF EA EA AF EA ⋅=+⋅=+⋅=+⨯⨯= ;若M N ，是线段BC 上的动点，且1MN =，不妨设N 点相对M 更靠近B 点，设,03BN t t =≤≤，()()()2EM EN EB BM EB BN EB BM BN EB BM BN ∴⋅=+⋅+=++⋅+⋅ ()()2221cos1201t t t t=+++++ 22111324t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，当12t =时，EM EN ⋅ 取最小值，且为114.故答案为：2；114.15.已知函数1()22.xx a f x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，，，①当0a =时，()f x 的值域为_______；②若关于x 的方程()()f x f x -=恰有2个正实数解，则a 的取值范围是_______．【答案】①.(0)+∞，②.[11)-，【分析】①当0a =时，分别判断两段的值域，取并集得()f x 的值域；②方程()()f x f x -=恰有2个正实数解，则y 轴左边的函数图像翻折到右边，与右边的图像有两个交点，作出图像判断a 的取值范围.【详解】①当0a =时，10()220.xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，，，，0x ≤时，1()2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，函数单调递减，011()2f x ⎛⎫≥ ⎪⎝=⎭；0x >时，()2f x x =，函数单调递增，()0f x >，所以()f x 的值域为(0)∞+，；②函数1()22.xx a f x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，，，关于x 的方程()()f x f x -=恰有2个正实数解，则y 轴左边的函数图像翻折到右边，与y 轴右边的图像有两个交点，分别作出函数12,,22xx y x y y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭的图像，其中函数2y x =与2x y =的图像相交于点()1,2和()2,4结合图像可知方程()()f x f x -=恰有2个正实数解，为1x =和2x =，需要11a -≤<，所以a 的取值范围为[11)-，.故答案为：(0)∞+，；[11)-，.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在ABC 中，2a =，2c b =．（1）若1sin 4B =，求C ∠；（2）若60A ︒∠=，求△ABC 的面积．【答案】（1）30C ︒∠=或150︒（2）233【分析】（1）根据正弦定理得到1sin 2C =即可得到答案；（2）根据余弦定理得到3b =，再根据三角形面积公式求解即可.【小问1详解】因为2c b =，所以由正弦定理sin sin c C b B =，得sin 2sin C B =，因为1sin 4B =，所以1sin 2C =，因为0180C ︒︒＜∠＜，所以30C ︒∠=或150︒【小问2详解】由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得2222(2)22cos60b b b b ︒=+-⨯⨯，解得3b =或233b =-（舍去），由△ABC 的面积1sin 2S bc A =，得212sin 63202S b b =⨯=⨯︒=17.已知等差数列{}n a 满足41a =，65a =.数列{}nb 满足15b a =，13n n b b +=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 前n 项和n S 的最小值为m ，若4a ，m ，k b 构成等比数列，求k 的值．【答案】（1）27n a n =-；（2）4.【分析】（1）根据给定条件，求出等差数列的公差即可得解.（2）由（1）的信息，求出m ，再借助等比数列求解即可.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则113155a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得15a =-，2d =，所以数列{}n a 的通项公式1(1)27n a a n d n =+-=-．【小问2详解】由（1）知，1230a a a <<<，4560a a a <<<< ，从而{}n a 的前n 项和n S 的最小值33253292m S ⨯==-⨯+⨯=-，由4a ，m ，k b 构成等比数列，得2481k m b a ==，由27n a n =-，得53a =，即153b a ==，又13n n b b +=，则数列{}n b 是首项为3，公比3q =的等比数列，即有3k k b =，由381k =，解得4k =，所以k 的值是4.18.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭，且()f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2．（1）求ω的值；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，若()f x a ≥对ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．条件①：()01f =-；条件②：()f x 的最大值为2；条件③：()f x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增．注：如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．【答案】（1）2ω=（2）条件选择见解析，1a ≤【分析】（1）根据题意求出函数()f x 的最小正周期，结合正弦型函数的周期公式可求得ω的值；（2）选①②，根据函数()f x 的最大值求出A 的值，根据()01f =-结合ϕ的取值范围，求出ϕ的值，可得出函数()f x 的解析式；选②③，根据函数()f x 的最大值求出A 的值，分析可知，π26f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，结合ϕ的取值范围，可求出ϕ的值，可得出函数()f x 的解析式；选①③，分析可知，π6f A ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，结合ϕ的取值范围，可求出ϕ的值，再由()01f =-可得出A 的值，即可得出()f x 的解析式；再由ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦结合正弦型函数的基本性质可求出()f x 的最小值，即可得出实数a 的取值范围.【小问1详解】解：因为()f x 的图象的相邻两个对称轴的距离为π2，所以，函数()f x 的最小正周期为π2π2T =⨯=，所以2π2T ω==．【小问2详解】解：选择条件①②．因为()f x 的最大值为2，所以2A =，即()()2sin 2f x x ϕ=+．由()02sin 1f ϕ==-，得1sin 2ϕ=-，又因为2πϕ<，所以π6ϕ=-，所以函数()f x 的解析式为()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．选择条件②③．因为()f x 的最大值为2，所以2A =，因为()f x 的最小正周期为πT =，且在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，又因为区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的长度为πππ3622T ⎛⎫--== ⎪⎝⎭，所以π26f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即πsin 13ϕ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，得()ππ2π32k k ϕ-=-∈Z ，则()π2π6k k ϕ=-∈Z ，又因为2πϕ<，所以π6ϕ=-．所以()f x 的解析式为()π2sin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭．选择条件①③．因为()f x 的最小正周期为πT =，且在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，又因为区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的长度为πππ3622T ⎛⎫--== ⎪⎝⎭，所以ππsin 63f A A ϕ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πsin 13ϕ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，得()ππ2π32k k ϕ-=-∈Z ，则()π2π6k k ϕ=-∈Z ，又因为2πϕ<，所以π6ϕ=-．由()01f =-，得π1sin 162A A ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，所以2A =．所以()f x 的解析式为()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．因为ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ5π2,636x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦所以π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故()[]1,2f x ∈．当π2x =时，()f x 的最小值为1．因为ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()f x a ≥恒成立，则1a ≤，所以a 的取值范围为(],1-∞．19.已知函数32()1f x x ax =--.（1）若1a =，求()f x 的极值；（2）若()f x 在区间[2,0]-上的最小值为(2)f -，求a 的取值范围；（3）直接写出一个a 值使()f x 在区间[1,0]-上单调递减．【答案】（1）极大值为(0)1f =-，极小值为231327⎛⎫=- ⎪⎝⎭f （2）[2,)-+∞（3）2-（答案不唯一，3,2a ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦即可）【分析】（1）求导，利用导数判断原函数单调性和极值；（2）求导，分类讨论两根大小，利用导数判断原函数单调性和最值，列式求解即可；（3）由题意可得32a x ≤在[)1,0-内恒成立，根据恒成立问题分析求解.【小问1详解】当1a =时，32()1f x x x =--，函数()f x 的定义域为R ，则2()32f x x x ='-，令()0f x '=，解得0x =，或23x =，()f x '与()f x 在区间R 内的情况如下：x (,0)-∞020,3⎛⎫ ⎪⎝⎭232,+3⎛⎫∞ ⎪⎝⎭()f x '+0-0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以()f x 的极大值为(0)1f =-，极小值为231327⎛⎫=- ⎪⎝⎭f ．【小问2详解】由题意知，2()32(32)f x x ax x x a '=-=-．令()0f x '=，则0x =，23x a =，①当223a ≤-，即3a ≤-时，()0f x '≤在区间[2,0]-上恒成立，所以()f x 区间[2,0]-上单调递减，所以()f x 的最小值为(0)f ，与已知相矛盾，不符合题意；②当2203a -<<，即30a -<<时，()f x '与()f x 在区间(2,0)-上的变化情况如下：x 22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭a 23a 2a,03⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x '+0-()f x 单调递增极大值单调递减因为()f x 在区间[2,0]-上的最小值为(2)f -，所以(2)(0)f f -≤，即941a ---≤，解得2a ≥-，所以20a -≤<；③当203a ≥，即0a ≥时，()0f x '≥在区间[2,0]-上恒成立，所以()f x 在[2,0]-上单调递增，最小值为(2)f -，满足题意；综上所述：a 的取值范围是[2,)-+∞.【小问3详解】若()f x 在区间[1,0]-上单调递减，则2()320f x x ax '=-≤在[)1,0-内恒成立，可得32a x ≤在[)1,0-内恒成立，即32a ≤-，即a 的取值范围为3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，所以a 的值可以为2-.20.设函数23()9(3)e ax f x x x =--，曲线()y f x =在点(0(0))f ，处的切线方程为27y =.（1）求a 的值；（2）求证：当(],3x ∈-∞时，()27f x ≥；（3）问存在几个点()00,()P x f x ，使曲线()y f x =在点P 处的切线平行于x 轴？（结论不要求证明）【答案】（1）1（2）证明见解析（3）2【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；（2）利用导数求出()f x 在(],3x ∈-∞上的最小值，即可得证；（3）曲线()y f x =在点P 处的切线平行于x 轴，即曲线()y f x =在点P 处的斜率为0，则点P 的个数即函数()y f x '=零点的个数，结合（2）即可得出答案.【小问1详解】因为23()9(3)e ax f x x x =--，所以23()183(3)e (3)e ax ax f x x x x a '=----，因为曲线()y f x =在点(0(0))f ，处的切线方程为27y =，所以所以(0)27270f a =-='，所以1a =；【小问2详解】由（1）知，2()(18e (3))x f x x x '=--，设2()18e (3)x g x x =--，所以()e (3)(1)x g x x x =---'，当3x >或1x <时，()0g x '<，当13x <<时，()0g x '>，所以函数()g x 在()(),1,3,∞∞-+上单调递减，在()1,3上单调递增，所以当(],3x ∈-∞时，()()min 1184e 0g x g ==->，则当0x <时，()0f x '<，当03x <<时，()0f x ¢>，所以函数()f x 在(),0∞-上单调递减，在()0,3上单调递增，所以()()min 027f x f ==，所以当(],3x ∈-∞时，()27f x ≥；【小问3详解】曲线()y f x =在点P 处的切线平行于x 轴，即曲线()y f x =在点P 处的斜率为0，则点P 的个数即函数()y f x '=零点的个数，由题意可知点P 可以是()0,27，当00x ≠时，令2()(18e (3))0x f x x x '=--=，则218e (3)0x x --=由（2）得，2()18e (3)x g x x =--在()(),1,3,∞∞-+上单调递减，在()1,3上单调递增，()()1184e>0,318g g =-=，由当x →-∞时，()g x ∞→+，当x →+∞时，()g x →-∞，所以当3x <时，函数()g x 无零点，当3x >时，()g x 有且仅有一个零点，综上，函数()y f x '=有2个零点，即存在2个点()00,()P x f x ，使曲线()y f x =在点P 处的切线平行于x 轴【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.21.设数列12:,,,n A a a a (2)n ≥，如果1202024n a a a <<<< ≤，且i a *∈N ，(1,2,,)i n = ，对于2k ∀≥，11s t r k ∃-≤≤≤≤，使k s t r a a a a =++成立，则称数列A 为E 数列．（1）分别判断数列1,3,5,7和数列2,6,14,22是否是E 数列，并说明理由；（2）若数列A 是E 数列，且2023n a =，求n 的最小值；（3）若数列A 是E 数列，且2024n a =，求n 的最大值．【答案】（1）1,3,5,7是E 数列，2,6,14,22是E 数列，理由见解析（2）3（3）127【分析】（1）分别验证数列1,3,5,7和数列2,6,14,22中234,,a a a 是否满足E 数列性质即可得出结论；（2）利用反证法证明2n =不成立，取特例可知当3n =存在数列满足E 数列，即可得n 的最小值为3；（3）首先证明若1a 为奇数，则n a 必为奇数，又2024n a =可得1a 为偶数；利用E 数列性质可证明得出18a ≥，解不等式即可求出127n ≤.【小问1详解】①是E 数列．因为21113a a a a =++=，31121135a a a a =++=++=，41131157a a a a =++=++=，所以①是E 数列.②是E 数列．因为21116a a a a =++=，312226614a a a a =++=++=，4123261422a a a a =++=++=，所以②是E 数列．【小问2详解】首先证明n 不能为2．假设2n =，由数列A 为E 数列知，2111132023a a a a a =++==．所以120233a *=∉N ，与已知矛盾，故假设不成立．所以n 不能为2．因为数列A ：2898672023，，满足211113867a a a a a =++==，31222898678672023a a a a =++=++=，此时A 是E 数列，所以n 的最小值为3.【小问3详解】（i ）以下证明：若1a 为奇数，则n a 必为奇数．假设数列A 中存在偶数，设(2)k a k ≥是数列A 中第一个偶数，因为数列A 是E 数列，所以11s t r k ∃-≤≤≤≤，使k s t r a a a a =++．因为s t r a a a ，，均为奇数，所以k a 也为奇数，与k a 为偶数矛盾．所以若1a 为奇数，则n a 必为奇数．因为2024n a =为偶数，所以1a 不能为奇数，只能为偶数．（ii ）以下证明：若1=2a ，则42n a p =+（p *∈N ）．若不然，设k a （2k ≥）为第一个满足42k a p ≠+（p *∈N ）的项，因为数列A 是E 数列，所以11s t r k ∃-≤≤≤≤，使k s t r a a a a =++．因为123424242s t r a p a p a p =+=+=+，，（123p p p *∈，，N ），所以k a ()123412p p p =++++，与42k a p ≠+（p *∈N ）矛盾；所以若1=2a ，则42n a p =+（p *∈N ）．而20244506042n a p ==⨯+≠+（p *∈N ），所以12a ≠．同理，若14a =，则84n a p =+（p *∈N ）．而20248253084n a p ==⨯+≠+（p *∈N ）．所以1a 4≠．同理，若16a =，则126n a p =+3p ='（p p *'∈N ，）．而2024367423n a p '==⨯+≠（p *'∈N ），所以16a ≠．综上18a ≥．（3）当18a ≥时，因为数列A 是E 数列，所以111123288216316(2)16n n n n n a a a a a a a a n ----≥++≥++≥+⨯≥+⨯≥≥+-⨯ ()13216168a n n =+-⨯≥-由题意知，2024168n ≥-，解得127n ≤;所以n 的最大值为127．此时()1681,2,,127n a n n =-= 即为满足条件的E 数列【点睛】关键点点睛：本题关键在于求解第（3）问时，首先证明1a 只能为偶数，再利用数列性质分别验证1a 的最小偶数取值，构造不等式即可得出其最大值.。
2014-2015年北京市大兴区魏善庄中学九年级上学期期中数学试卷及答案
2014-2015学年北京市大兴区魏善庄中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题．1．（3分）一元二次方程x2=9x的解是（）A．x1=9，x2=0 B．x1=3，x2=﹣3 C．x=9 D．x=32．（3分）下列方程中两实数根互为倒数有（）①x2﹣2x﹣1=0；②2x2﹣7x+2=0；③x2﹣x+1=0．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个3．（3分）下列命题是真命题的是（）A．四条边都相等的四边形是矩形B．菱形的对角线相等C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形4．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2+10x+16=0的两个根，则x1+x2的值是（）A．﹣10 B．10 C．﹣16 D．165．（3分）如果两个相似多边形面积的比为1：5，则它们的相似比为（）A．1：25 B．1：5 C．1：2.5 D．1：6．（3分）两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4cm，如果它们的周长和为84cm，那么较大多边形的周长为（）A．36cm B．42cm C．48cm D．54cm7．（3分）如图所示，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC 中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN的长是（）A．2 B．3 C．4 D．58．（3分）某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是（）A．100（1+x）2=81 B．100（1﹣x）2=81 C．100（1﹣x%）2=81 D．100x2=81二、填空题．9．（3分）菱形两条对角线长分别是16cm和12cm，则它的周长，面积是．10．（3分）顺次连接一个四边形的各边中点，得到的四边形是矩形，那么原四边形可能是（填一种即可）11．（3分）如图所示，△ABC中，D、E分别AB、AC上的点，要使△ADE∽△ACB，需添加一个条件是．（只要写一个条件）12．（3分）同时抛掷两枚均匀的硬币，则两枚硬币正面都向上的概率是．13．（3分）已知a，b，c，d是成比例线段，且b=3cm，c=5cm，d=6cm，则a= cm．14．（3分）如图，将△ABC沿射线BC方向平移得到△DEF，边DE与AC相交于点G，如果BC=3cm，△ABC的面积为9cm2，△EGC的面积等于4cm2，那么BE= cm．三、作图题（不写作法）15．已知△ABC和一点O，以点O为位似中心，作△DEF，使它与△ABC位似，且相似比是2：1．四、解答题16．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根．17．如图6，有两个可以自由转动的转盘A、B，转盘A被均匀分成4等份，每份标上1、2、3、4四个数字；转盘B被均匀分成6等份，每份标上1、2、3、4、5、6六个数字．有人为甲乙两人设计了一个游戏，其规则如下：（1）同时转动转盘A与B；（2）转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字作乘积，如果所得的积是偶数，那么甲胜；如果所得的积是奇数，那么乙胜．你认为这样的规则是否公平？请你说明理由．18．某商场将进价为30元的台灯按40元出售，平均每月能售出600盏．调查表明，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量减少10盏．为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？这时应进台灯多少盏？19．如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．20．如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，D、E分别是AB、AC上的动点，在边AC上取一点E，使A、D、E三点组成的三角形与△ABC相似．（1）当AD=2时，求AE的长；（2）当AD=3时，求AE的长；（3）通过上面两题的解答，你发现了什么？21．如图，E为正方形ABCD对角线BD上的一点，且BE=BC=1．（1）求∠DCE的度数；（2）点P在EC上，作PM⊥BD于M，PN⊥BC于N，求PM+PN的值．2014-2015学年北京市大兴区魏善庄中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题．1．（3分）一元二次方程x2=9x的解是（）A．x1=9，x2=0 B．x1=3，x2=﹣3 C．x=9 D．x=3【解答】解：x2=9x，x2﹣9x=0，x（x﹣9）=0，x1=0，x2=9．故选：A．2．（3分）下列方程中两实数根互为倒数有（）①x2﹣2x﹣1=0；②2x2﹣7x+2=0；③x2﹣x+1=0．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：设方程的两根为a，b，①ab=﹣1，不合题意；②ab==1，符合题意；③b2﹣4ac=1﹣4＜0，没有实数根，所以不符合题意．故选：B．3．（3分）下列命题是真命题的是（）A．四条边都相等的四边形是矩形B．菱形的对角线相等C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形【解答】解：A、四条边都相等的四边形是菱形，故错误，是假命题；B、菱形的对角线垂直平分但不相等，故错误，是假命题；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误，是假命题；D、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故正确，是真命题，故选：D．4．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2+10x+16=0的两个根，则x1+x2的值是（）A．﹣10 B．10 C．﹣16 D．16【解答】解：∵x1，x2一元二次方程x2+10x+16=0两个根，∴x1+x2=﹣10．故选：A．5．（3分）如果两个相似多边形面积的比为1：5，则它们的相似比为（）A．1：25 B．1：5 C．1：2.5 D．1：【解答】解：∵两个相似多边形面积的比为1：5，∴它们的相似比为1：．故选：D．6．（3分）两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4cm，如果它们的周长和为84cm，那么较大多边形的周长为（）A．36cm B．42cm C．48cm D．54cm【解答】解：设较大多边形的周长为x，则较小多边形的周长：x=3：4，∴较小多边形的周长为x，∵它们的周长和为84cm，∴x+x=84，解得x=48cm故选：C．7．（3分）如图所示，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC 中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN的长是（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：由折叠可得DN=EN，设CN=x，则EN=8﹣x，∵CN2+CE2=EN2，∴x2+42=（8﹣x）2，解得x=3．故选：B．8．（3分）某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是（）A．100（1+x）2=81 B．100（1﹣x）2=81 C．100（1﹣x%）2=81 D．100x2=81【解答】解：设两次降价的百分率均是x，由题意得：x满足方程为100（1﹣x）2=81．故选：B．二、填空题．9．（3分）菱形两条对角线长分别是16cm和12cm，则它的周长40cm，面积是96cm2．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，AC=16cm，BD=12cm，=AC•BD=×16×12=96（cm2），AC⊥BD，OA=AC=8cm，∴S菱形ABCDOB=BD=6cm，∴AB==10cm，∴它的周长为：40cm．故答案为：40cm，96cm2．10．（3分）顺次连接一个四边形的各边中点，得到的四边形是矩形，那么原四边形可能是对角线垂直（填一种即可）【解答】解：AC⊥BD，E，F，G，H是AB，BC，CD，DA的中点，∵EH∥BD，FG∥BD，∴EH∥FG，同理；EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形．∵AC⊥BD，∴EH⊥EF，∴四边形EFGH是矩形．所以顺次连接对角线垂直的四边形的各边中点是矩形．故答案是：对角线垂直．11．（3分）如图所示，△ABC中，D、E分别AB、AC上的点，要使△ADE∽△ACB，需添加一个条件是此题答案不唯一，如∠ADE=∠ACB或∠AED=∠ABC或=等．（只要写一个条件）【解答】解：∵∠A是公共角，∴要使△ADE∽△ACB，可添加：∠ADE=∠ACB或∠AED=∠ABC或=等．故答案为：此题答案不唯一，如∠ADE=∠ACB或∠AED=∠ABC或=等．12．（3分）同时抛掷两枚均匀的硬币，则两枚硬币正面都向上的概率是．【解答】解：由树状图可知共有2×2=4种可能，两枚硬币正面都向上的有1种，所以概率是．13．（3分）已知a，b，c，d是成比例线段，且b=3cm，c=5cm，d=6cm，则a= 2.5cm．【解答】解：∵线段a、b、c、d是成比例线段，∴=，∵b=3cm，c=5cm，d=6cm，∴=，∴a=2.5（cm）．故答案为2.5．14．（3分）如图，将△ABC沿射线BC方向平移得到△DEF，边DE与AC相交于点G，如果BC=3cm，△ABC的面积为9cm2，△EGC的面积等于4cm2，那么BE= 1cm．【解答】解：∵AB∥DE，∴△ABC∽△GEC，∴=（）2=，∴EC=2cm，∴BE=BC﹣EC=3﹣2=1cm．故答案是：1三、作图题（不写作法）15．已知△ABC和一点O，以点O为位似中心，作△DEF，使它与△ABC位似，且相似比是2：1．【解答】解：如图所示，△DEF为所求的三角形．四、解答题16．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根．【解答】解：设方程的另一个根为x，则由根与系数的关系得：x+1=﹣a，x•1=a﹣2，解得：x=﹣，a=，即a=，方程的另一个根为﹣．17．如图6，有两个可以自由转动的转盘A、B，转盘A被均匀分成4等份，每份标上1、2、3、4四个数字；转盘B被均匀分成6等份，每份标上1、2、3、4、5、6六个数字．有人为甲乙两人设计了一个游戏，其规则如下：（1）同时转动转盘A与B；（2）转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字作乘积，如果所得的积是偶数，那么甲胜；如果所得的积是奇数，那么乙胜．你认为这样的规则是否公平？请你说明理由．【解答】解：不公平．画树状图得：∵共有24种等可能的结果，所得的积是偶数的有18种情况，是奇数的有6种情况，∴P（甲获胜）==，P（乙获胜）==，∴不公平．18．某商场将进价为30元的台灯按40元出售，平均每月能售出600盏．调查表明，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量减少10盏．为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？这时应进台灯多少盏？【解答】解：设这种台灯的售价定为x元，由题意得[600﹣10（x﹣40）]（x﹣30）=10000，整理，得x2﹣130x+4000=0，解得：x1=50，x2=80．当x=50时，600﹣10（x﹣40）=600﹣10×（50﹣40）=500（个）；当x=80时，600﹣10（x﹣40）=600﹣10×（80﹣40）=200（个）．答：台灯的定价定为50元，这时应进台灯500个；台灯的定价定为80元，这时应进台灯200个．19．如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．【解答】（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，∴四边形AEBD是平行四边形，∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴平行四边形AEBD是矩形；（2）当∠BAC=90°时，理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，∴AD=BD=CD，∵由（1）得四边形AEBD是矩形，∴矩形AEBD是正方形．20．如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，D、E分别是AB、AC上的动点，在边AC 上取一点E，使A、D、E三点组成的三角形与△ABC相似．（1）当AD=2时，求AE的长；（2）当AD=3时，求AE的长；（3）通过上面两题的解答，你发现了什么？【解答】解：（1）分为两种情况：①如图1，∵∠A=∠A，∴当=时，△ADE和△ABC相似，∴代入得：=，解得：AE=；②如图2，∵∠A=∠A，∴当=时，△ADE和△ACB相似，∴代入得：=，解得：AE=，综合上述：AE的长为或；（2）∵AD=3=AC，∴∠ADC=∠ACD，∴要使△ADE和△ABC相似，只有一种情况：=，∴代入得：=，解得：AE=；（3）答案不唯一，当AD≤时，AE的长有两种情形．21．如图，E为正方形ABCD对角线BD上的一点，且BE=BC=1．（1）求∠DCE的度数；（2）点P在EC上，作PM⊥BD于M，PN⊥BC于N，求PM+PN的值．【解答】解：（1）在正方形ABCD中，∠BCD=90°，∠DBC=45°，∵BE=BC，∴AB=BE，∴∠BCE=∠BEC=（180°﹣∠DBC）=67.5°，∴∠DCE=∠DCB﹣∠BCE=90°﹣67.5°=22.5°，（2）连接BP，作EF⊥BC于F，则∠EFB=90°，∵∠EBF=45°，∴△BEF是等腰直角三角形，∵BE=BC=1，∴BF=EF=，∵PM⊥BD，PN⊥BC，∴S△BPE +S△BPC=S△BEC，即BE•PM+BC•PN=BC•EF，∵BE=BC，∴PM+PN=EF=；。
北京市十四中高三数学上学期期中试卷理(含解析)
2014-2015学年北京十四中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知集合S=R，A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x||x﹣2|＜2}，那么集合∁R（A∩B）等于（）A． {x|0＜x≤3} B． {x|﹣1≤x＜2} C．{x|x≤0，或x＞3} D． {x|x＜﹣1，或x≥2}考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：通过解二次不等式化简集合A，通过解绝对值不等式化简集合B，利用交集的定义求出两个集合的交集，再利用补集的定义求出补集．解答：解：A={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}B={x||x﹣2|＜2}={x|0＜x＜4}∴A∩B={x|0＜x≤3}∴∁R（A∩B）={x|x≤0或x＞3}故选C．点评：本题考查二次不等式的解法、绝对值不等式的解法、利用交集补集的定义求集合的交集补集．2．（5分）下列说法错误的是（）A．“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件B．若p且q为假命题，则p、q均为假命题C．命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题是：“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”D．命题p：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”，则¬p：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析： A，|x|＞1⇒x＞1或x＜﹣1，可判断A；B，若p且q为假命题，则p、q至少有一个为假命题，可判断B；C，写出命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题，可判断C；D，写出命题p：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定，可判断D．解答：解：对于A，由于|x|＞1⇒x＞1或x＜﹣1，故“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件，A正确；对于B，若p且q为假命题，则p、q至少有一个为假命题，故B错误；对于C，命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题是：“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”，故C 正确；对于A，命题p：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”，则￢p：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”，故D 正确．综上所述，只有B错误，故选：B．点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查对充分必要条件概念的理解与应用，考查复合命题的真假判断与“全称量词”与“存在量词”的应用，属于中档题．3．（5分）若向量、满足+=（2，﹣1），=（1，2），则向量与的夹角等于（） A．135° B．120° C．60° D．45°考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量的坐标运算和向量的模的公式以及向量的数量积的坐标表示，结合向量的夹角公式，计算即可得到．解答：解：向量、满足+=（2，﹣1），=（1，2），则=（1，﹣3），=1﹣6=﹣5，||=，||=，即有cos＜＞===﹣，由于0°≤＜＞≤180°，则有向量与的夹角等于135°．故选A．点评：本题考查向量的数量积的定义和坐标表示，主要考查向量的夹角公式和夹角的求法，属于基础题．4．（5分）（2014秋•西城区校级期中）下列函数中，周期为1的奇函数是（）A． y=1﹣2sin2πx B． y=sinπxcosπx C． y=tan x D． y=sin（2πx+）考点：三角函数的周期性及其求法；函数奇偶性的判断．专题：三角函数的图像与性质．分析：对A先根据二倍角公式化简为y=cos2πx为偶函数，排除；对于D验证不是奇函数可排除；对于C求周期不等于1排除；故可得答案．解答：解：A，y=1﹣2sin2πx=1﹣（1﹣cos2πx）=cos2πx，由于f（﹣x）=cos（﹣2πx）=cos2πx=f（x），故为偶函数，不符合；B，对于y=sinπxcosπx=sin2πx，为奇函数，且T==1，满足条件．C，由正切函数的周期公式可得T=2，不符合；D，对于函数y=sin （2πx+），f（﹣x）=sin（﹣2πx+）≠﹣sin（2πx+），不是奇函数，排除．故选：B．点评：本题主要考查三角函数的奇偶性和最小正周期的求法，一般先将函数化简为y=Asin （wx+ρ）的形式，再由最小正周期的求法T=、奇偶性的性质、单调性的判断解题，属于基础题．5．（5分）（2014秋•通化期中）若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x）且x∈[0，1]时，f（x）=x，则方程f（x）=log3|x|的零点个数是（）A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 6个考点：抽象函数及其应用．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：方程f（x）=log3|x|的零点个数即函数y=f（x）与函数y=log3|x|的交点的个数，作图得到答案．解答：解：方程f（x）=log3|x|的零点个数即函数y=f（x）与函数y=log3|x|的交点的个数，作函数y=f（x）与函数y=log3|x|的图象如下，则由图象可知，有四个不同的交点，故选C．点评：本题考查了方程的根与函数图象的交点的关系及函数图象的作法，属于中档题．6．（5分）（2015•遵义校级二模）设函数f（x）=x m+ax的导函数f′（x）=2x+1，则数列{}（n∈N*）的前n项和是（）A． B． C． D．考点：数列的求和；导数的运算．专题：计算题．分析：函数f（x）=x m+ax的导函数f′（x）=2x+1，先求原函数的导数，两个导数进行比较即可求出m，a，然后利用裂项法求出的前n项和，即可．解答：解：f′（x）=mx m﹣1+a=2x+1，∴a=1，m=2，∴f（x）=x（x+1），==﹣，用裂项法求和得S n=．故选A点评：本题考查数列的求和运算，导数的运算法则，数列求和时注意裂项法的应用，是好题，常考题，基础题．7．（5分）已知△ABC中，∠A=30°，AB，BC分别是，的等差中项与等比中项，则△ABC的面积等于（）A． B． C．或 D．或考点：正弦定理；等差数列的性质；等比数列的性质．专题：计算题；数形结合．分析：由题意，根据等差数列及等边数列的性质分别求出AB与BC的值，再由A的度数，求出sinA的值，利用正弦定理求出sinC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出C的度数，根据A和C的度数，利用内角和定理求出B的度数，根据B的度数判断出三角形的形状为直角三角形或等腰三角形，分别求出三角形的面积即可．解答：解：∵AB，BC分别是，的等差中项与等比中项，∴AB=，BC=1，又A=30°，根据正弦定理=得：sinC=，∵C为三角形的内角，∴C=60°或120°，当C=60°时，由A=30°，得到B=90°，即三角形为直角三角形，则△ABC的面积为××1=；当C=120°时，由A=30°，得到B=30°，即三角形为等腰三角形，过C作出AB边上的高CD，交AB于点D，在Rt△ACD中，AC=BC=1，A=30°，∴CD=，则△ABC的面积为××=，综上，△ABC的面积为或．故选C点评：此题考查了等差数列、等比数列的性质，正弦定理以及特殊角的三角函数值，利用数形结合及分类讨论的思想，由C的度数有两解，得到三角形的形状有两种，故求出的三角形面积有两解，不要漏解．8．（5分）对于下列命题：①已知i是虚数单位，函数f（x）=在R上连续，则实数a=2．②五本书排成一排，若A、B、C三本书左右顺序一定（不一定相邻），那么不同排法有A33•A33③如图，⊙O中的弦AB与直径CD相交于点p，M为DC延长线上一点，MN为⊙O的切线，N为切点，若AP=8，PB=6，PD=4，MC=6，则MN的长为2④在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=﹣1交点的极坐标为（，）⑤设n=4cosxdx，则二项式（x﹣）n的展开式的常数项为6其中假命题的序号是（）A．②⑤ B．②③ C．② D．①④考点：命题的真假判断与应用．专题：坐标系和参数方程．分析：①利用•i=f（0），计算即可；②采用插空法，依次插入即可；③通过相交弦定理可得半径，利用勾股定理计算即可；④利用平方关系可得ρ=，代回原式可得θ=π，进而可得结论；⑤通过定积分的性质可得n=4，代入计算即可．解答：解：①•i==﹣1，f（0）=a0﹣a=1﹣a，∵函数f（x）=在R上连续，∴﹣1=1﹣a，即a=2，故正确；②采用插空法，当A、B、C三本书左右顺序一定时（不一定相邻），插入第4本书，有4中方法，再插入第5本书，有5中方法，∴不同排法有4×5=20种，故不正确；③由相交弦定理可得：CP===12，∴圆O的半径为：==8，∵MN为⊙O的切线，∴OM2=ON2+MN2，∴MN2=OM2﹣ON2=（OC+CM）2﹣ON2=（8+6）2﹣82=132，∴MN==2，故正确；④∵ρ=2sinθ，ρcosθ=﹣1，∴sinθ=，cosθ=﹣，∴sin2θ+cos2θ=（）2+（）2=1，整理得：，解得：ρ=，∴sinθ=，cosθ=﹣，又∵0≤θ＜2π，∴θ=π，∴交点的极坐标为（，），故正确；⑤∵n=4cosxdx=4dsinx=4，∴（x﹣）4的展开式的常数项为=6，故正确；综上所述，只有②是假命题，故选：C．点评：本题是一道综合题，考查复数、排列组合、平面几何、极坐标、定积分与展开式等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．二、填空题：（本大题每小题5分，满分30分）9．（5分）若sin（π﹣α）=，且α的终边过点P（x，2），则x= ；tan（π+α）= ．考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由sin（π﹣α）=，可得cosα=﹣，根据α的终边过点P（x，2），求出x，再求tan（π+α）=tanα=．解答：解：∵sin（π﹣α）=，∴cosα=﹣，∵α的终边过点P（x，2），∴=﹣，x＜0，∴x=，∴tan（π+α）=tanα=，故答案为：，．点评：本题考查任意角的三角函数的定义，考查诱导公式，考查学生的计算能力，比较基础．10．（5分）已知数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，a4=，S4=12．则数列{a n}的通项公式a n= ﹣n ；n= 5 时，S n最大．考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意易得公差d和首项的方程组，解方程组可得通项公式，可得{a n}的前5项均为正数，从第6项开始为负数，易得答案．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，则a4=a1+3d=，S4=4a1+d=12，解得a1=，d=﹣1∴通项公式a n=﹣n；令≤0可得n≥，∴等差数列{a n}的前5项均为正数，从第6项开始为负数，∴当n=5时，S n最大．故答案为：﹣n；5点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．11．（5分）函数y=Asinωxcosφ+Acosωxsinφ+2（A＞0，ω＞0，0＜φ＜2π）的图象如图，则ω= 3 ，φ= ．考点：二倍角的正弦；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据两角和的正弦公式化简解析式，由图象和周期公式求出ω的值，再把点（，2）代入解析式，根据正弦函数值求出φ的值．解答：解：由题意得，y=Asinωxcosφ+Acosωxsinφ+2=Asin（ωx+φ）+2，由图得，T==，得T=，∴ω=3，∵函数的图象过点（，2），∴Asin（ω×+φ）+2=2，则sin（ω×+φ）=0，∴3×+φ=kπ（k∈Z），解得φ=kπ﹣（k∈Z），∵0＜φ＜2π，∴φ=，故答案为：3；．点评：本题考查两角和的正弦公式，三角函数的周期公式，以及读图能力，属于中档题．12．（5分）（2015•天津模拟）函数y=log a（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则+的最小值为8 ．考点：基本不等式．专题：计算题；压轴题．分析：由题意可得定点A（﹣2，﹣1），2m+n=1，把要求的式子化为 4++，利用基本不等式求得结果．解答：解：由题意可得定点A（﹣2，﹣1），又点A在直线mx+ny+1=0上，∴2m+n=1，则+=+=4++≥4+2=8，当且仅当时，等号成立，故答案为：8．点评：本题考查基本不等式的应用，函数图象过定点问题，把要求的式子化为 4++，是解题的关键．13．（5分）（2014•和平区四模）如图，在正方形ABCD中，已知AB=2，M为BC的中点，若N 为正方形内（含边界）任意一点，则的最大值是 6 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；压轴题；数形结合．分析：在平面内建立合适的坐标系，将向量的数量积用坐标表示，再利用线性规划解决问题．解答：解：以A为坐标原点，以AD方向为x轴正方向，以AB方向为y轴负方向建立坐标系，则=（1，﹣2）设N点坐标为（x，y），则=（x，y），则0≤x≤2，﹣2≤y≤0令Z==x﹣2y，将A，B，C，D四点坐标依次代入得：Z A=0，Z B=4，Z C=6，Z D=2故Z=的最大值为6故答案为：6点评：向量的主要功能就是数形结合，将几何问题转化为代数问题，但关键是建立合适的坐标系，将向量用坐标表示，再将数量积运算转化为方程或函数问题．14．（5分）已知函数（a是常数且a＞0）．对于下列命题：①函数f（x）的最小值是﹣1；②函数f（x）在R上是单调函数；③若f（x）＞0在上恒成立，则a的取值范围是a＞1；④对任意x1＜0，x2＜0且x1≠x2，恒有．其中正确命题的序号是①③④．考点：函数的最值及其几何意义；函数单调性的判断与证明；函数恒成立问题．专题：综合题．分析：①由图只需说明在点x=0处函数f（x）的最小值是﹣1；②只需说明函数f（x）在R上的单调性即可；③只需说明f（x）＞0在上恒成立，则当x=时，函数取得最小值，从而求得a的取值范围是a＞1；④已知函数在（﹣∝，0）上的图象在[0，+∞）上是下凹的，所以任取两点连线应在图象的上方，故D正确．解答：解：①由图只需说明在点x=0处函数f（x）的最小值是﹣1；故正确；②由图象说明函函数f（x）在R上不是单调函数；故错；③只需说明f（x）＞0在上恒成立，则当x=时，函数取得最小值，求得a的取值范围是a＞1；故正确；④已知函数函数在（﹣∝，0）上的图象在[0，+∞）上是下凹的，所以任取两点连线应在图象的上方，即f（）＜，故正确．故答案为：①③④．点评：利用函数的图象研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值是常用的方法，解答本题的关键是图象法．三、解答题（本大题共6小题，共80分.）15．（13分）（2012•新泰市校级模拟）在数列{a n}中，a1=3，a n=﹣a n﹣1﹣2n+1（n≥2且n∈N*）．（1）求a2，a3的值；（2）证明：数列{a n+n}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（3）求数列{a n}的前n项和S n．考点：数列的求和；等比关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据a1=3，a n=﹣a n﹣1﹣2n+1（n≥2且n∈N*），对n进行赋值，可求出a2，a3的值；（2）直接利用等比数列的定义进行证明，然后利用等比数列性质求其通项公式即可；（3）先求出数列{a n}的通项公式，然后利用分组求和法进行求和即可．解答：解：（1）∵a1=3，a n=﹣a n﹣1﹣2n+1（n≥2，n∈N*），∴a2=﹣a1﹣4+1=﹣6，a3=﹣a2﹣6+1=1．（2）∵===﹣1，∴数列{a n+n}是首项为a1+1=4，公比为﹣1的等比数列．∴a n+n=4•（﹣1）n﹣1，即a n=4•（﹣1）n﹣1﹣n，∴{a n}的通项公式为a n=4•（﹣1）n﹣1﹣n（n∈N*）．（3）∵{a n}的通项公式为a n=4•（﹣1）n﹣1﹣n（n∈N*），所以S n=a k=[4•（﹣1）k﹣1﹣k]=[4•（﹣1）k﹣1﹣=4×﹣=2[1﹣（﹣1）n]﹣（n2+n）=﹣﹣2（﹣1）n．点评：本题主要考查了数列的通项公式，以及等比数列的判定和数列的求和，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．16．（13分）盒内含有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球，规定取出1个红色球得1分，取出一个白球得0分，取出一个黑球得﹣1分，现从盒内一次性取3个球．（1）求取出的三个球得分之和恰为1分的概率（2）设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ分布列和数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（1）分别求出“取出1个红色球，2个白色球”、“取出2个红色球，1个黑色球”的概率，从而求出3个球得分之和恰为1分的概率；（2）ξ可能的取值为0，1，2，3，分别求出其概率，可得ξ分布列和数学期望．解答：解：（1）记“取出1个红色球，2个白色球”为事件A，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件B，则P（A+B）=P（A）+P（B）=+=（2）ξ可能的取值为0，1，2，3．P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3Pξ的数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×=1．点评：本题考查离散型随机变量的期望与方差，互斥事件与对立事件的定义，考查学生的计算能力，属于中档题．17．（13分）已知向量=（sinx，cosx），=（cosx，﹣2cosx），﹣．（Ⅰ）若∥，求x；（Ⅱ）设f（x）=•，求f（x）的单调减区间；（Ⅲ）函数f（x）经过平移后所得的图象对应的函数是否能成为奇函数？如果是，说出平移方案；如果否，说明理由．考点：平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：（I）利用两个向量共线的性质求得 tan2x=﹣1，再由﹣＜x＜求得x的值．（II）利用两个向量的数量积公式化简 f（x）的解析式为sin（2x﹣）﹣1，令2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，即可求得函数的减区间．（Ⅲ）将函数f（x）的图象向上平移1个单位，再向左平移（ k∈N）个单位，或向右平移（ k∈N）个单位即可．解答：解：（I）若，则 sinx（sinx﹣2cosx）=cos2x，…（1分）即﹣sin2x=cos2x，∴tan2x=﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣（2分）又∵﹣＜x＜，∴﹣＜2 x＜π，∴2x=﹣，或 2x=，即 x=﹣或 x=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（II）∴f（x）==2sinxcosx﹣2cos2x=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）﹣1，…（7分）令 2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，解得kπ+≤x≤kπ+．又，∴f（x）的单调减区间时（﹣，﹣）、（，）．…（11分）（Ⅲ）能，将函数f（x）的图象向上平移1个单位，再向左平移（ k∈N）个单位，或向右平移（ k∈N）个单位，即得函数 g（x）=sin2x的图象，而 g（x）为奇函数．…（13分）点评：本题主要考查两个向量共线的性质、两个向量的数量积公式，两角和差的正弦公式，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，属于中档题．18．（13分）已知函数f（x）=ln（x+2）﹣x2+bx+c（Ⅰ）若函数f（x）在点x=1处的切线与直线3x+7y+2=0垂直，且f（﹣1）=0，求函数f（x）在区间[0，3]上的最小值；（Ⅱ）若f（x）在区间[0，1]上为单调减函数，求b的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数单调性的性质．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求导函数，利用函数f（x）在点x=1处的切线与直线3x+7y+2=0垂直，求得b 的值，利用f（﹣1）=0，求得c的值，可得函数解析式，再确定函数f（x）在区间[0，3]上的单调性，即可求得f（x）在区间[0，3]上的最小值；（Ⅱ）f（x）是减函数等价于≤0，即恒成立，求出右边函数的最小值，即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）求导函数，可得∵函数f（x）在点x=1处的切线与直线3x+7y+2=0垂直，∴f′（1）=，∴，∴b=4又f（﹣1）=ln（2﹣1）﹣1﹣4+c=0，∴c=5∴f（x）=ln（x+2）﹣x2+4x﹣5，∴由=0得x=∴当x∈[0，]时，f′（x）≥0，f（x）单调递增当x∈[，3]时，f′（x）≤0，f（x）单调递减又f（0）=ln2+5，f（3）=ln5+8，所以f（x）在[0，3]最小值为ln2+5；（Ⅱ）因为f（x）是减函数，所以≤0，即恒成立令t=，则t′=2+，∴t=，在[0，1]上单调递增∴t min=﹣所以当b≤﹣时，f（x）在区间[0，1]上单调递减．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查函数的单调性，考查分离参数法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（14分）（2011•淮南一模）设函数f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）．（1）若在定义域内存在x0，而使得不等式f（x0）﹣m≤0能成立，求实数m的最小值；（2）若函数g（x）=f（x）﹣x2﹣x﹣a在区间（0，2]上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性．分析：（1）依题意得，求m的最小值，就是求f（x）的最小值，利用导数研究函数的单调性，可以得到f（x）在（﹣1，0）上为减函数，f（x）在（0，+∞）为增函数，即f（x）的最小值为f（0）=1，所以m的最小值为1（2）解出g（x）=x+1﹣2ln（x+1）﹣a，原题设即方程1+x﹣2ln（1+x）=a在区间[0，2]上恰有两个相异实根，令h（x）=1+x﹣2ln（1+x），这时只需解出h（x）在[0，2]上的值域，画出图象，可以得出a的取值范围．解答：解：（1）要使得不等式f（x0）﹣m≤0能成立，只需m≥f（x）max．求导得f′（x）=2（1+x）﹣2，定义域为（﹣1，+∞），∵当x∈（﹣1，0）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在区间（﹣1，0）上是减函数；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．∴f（x）mix=f（0）=1，∴m≥1．故实数m的最小值为1．（2）由f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）得：g（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）﹣（x2+x+a）=x+1﹣2ln（x+1）﹣a原题设即方程1+x﹣2ln（1+x）=a在区间[0，2]上恰有两个相异实根．设h（x）=（1+x）﹣2ln（1+x）．∵h′（x）=1﹣，列表如下：∵h（0）﹣h（2）=1﹣（3﹣2ln3）=2（ln3﹣1）＞2（lne﹣1）=0，∴h（0）＞h（2）．从而有h（x）max=1，h（x）min=2﹣2ln2画出函数h（x）在区间[0，2]上的草图（如图）易知要使方程h（x）=a在区间（0，2]上恰有两个相异实根，只需：2﹣2ln2＜a≤3﹣2ln3，即：a∈（2﹣2ln2，3﹣2ln3]．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，本题比较新颖的地方是，求解（2）中的a的取值范围，经过等价变换，只需求h（x）=（1+x）﹣2ln（1+x）的值域，再根据图象，解出a的取值范围．在教学中，多加强训练和指导，以便掌握其要领．20．（14分）已知f（x）是定义在R上的函数，f（1）=1，且∀x1，x2∈R，总有f（x1+x2）=f （x1）+f（x2）+1恒成立．（Ⅰ）记g（x）=f（x）+1，求证：g（x）是奇函数；（Ⅱ）对∀n∈N*，有a n=，b n=f（）+1，记c n=，求{c n}的前n项和S n；（Ⅲ）求F（n）=a n+1+a n+2+…+a2n（n≥2，n∈N）的最小值．考点：数列的应用；函数单调性的判断与证明；抽象函数及其应用；数列的求和．专题：函数的性质及应用；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）令x1=x2=0得f（0）=﹣1，再令x1=x，x2=﹣x，得g（x）=f（x）+1是奇函数．（2）令x1=n，x2=1，得f（n）=2n﹣1，从而c n=，计算即可．（3）通过计算可知F（n+1）＞F（n），又n≥2，从而得出结果．解答：解：（1）证明：f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，令x1=x2=0得f（0）=﹣1，再令x1=x，x2=﹣x，得f（0）=f（x）+f（﹣x）+1．故f（﹣x）+1=﹣[f（x）+1]，从而g（x）=f（x）+1是奇函数；（2）令x1=n，x2=1，得f（n+1）=f（n）+2，故f（n）=2n﹣1，从而，，又c n=，S n=①=②由①﹣②得S n=；（3）∵F（n+1）﹣F（n）=a2n+1+a2n+2﹣a n+1=∴F（n+1）＞F（n）．又n≥2，故F（n）的最小值为．点评：本题考查抽象函数的奇偶性，以及数列的求和，需要一定的计算能力，属于中档题．。
北京市十四中高三数学上学期期中试卷 理(含解析)
2014-2015学年北京十四中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知集合S=R，A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x||x﹣2|＜2}，那么集合∁R（A∩B）等于（）A． {x|0＜x≤3} B． {x|﹣1≤x＜2} C．{x|x≤0，或x＞3} D． {x|x＜﹣1，或x≥2}考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：通过解二次不等式化简集合A，通过解绝对值不等式化简集合B，利用交集的定义求出两个集合的交集，再利用补集的定义求出补集．解答：解：A={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}B={x||x﹣2|＜2}={x|0＜x＜4}∴A∩B={x|0＜x≤3}∴∁R（A∩B）={x|x≤0或x＞3}故选C．点评：本题考查二次不等式的解法、绝对值不等式的解法、利用交集补集的定义求集合的交集补集．2．（5分）下列说法错误的是（）A．“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件B．若p且q为假命题，则p、q均为假命题C．命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题是：“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”D．命题p：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”，则¬p：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析： A，|x|＞1⇒x＞1或x＜﹣1，可判断A；B，若p且q为假命题，则p、q至少有一个为假命题，可判断B；C，写出命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题，可判断C；D，写出命题p：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定，可判断D．解答：解：对于A，由于|x|＞1⇒x＞1或x＜﹣1，故“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件，A正确；对于B，若p且q为假命题，则p、q至少有一个为假命题，故B错误；对于C，命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题是：“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”，故C 正确；对于A，命题p：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”，则￢p：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”，故D 正确．综上所述，只有B错误，故选：B．点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查对充分必要条件概念的理解与应用，考查复合命题的真假判断与“全称量词”与“存在量词”的应用，属于中档题．3．（5分）若向量、满足+=（2，﹣1），=（1，2），则向量与的夹角等于（） A．135° B．120° C．60° D．45°考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量的坐标运算和向量的模的公式以及向量的数量积的坐标表示，结合向量的夹角公式，计算即可得到．解答：解：向量、满足+=（2，﹣1），=（1，2），则=（1，﹣3），=1﹣6=﹣5，||=，||=，即有cos＜＞===﹣，由于0°≤＜＞≤180°，则有向量与的夹角等于135°．故选A．点评：本题考查向量的数量积的定义和坐标表示，主要考查向量的夹角公式和夹角的求法，属于基础题．4．（5分）（2014秋•西城区校级期中）下列函数中，周期为1的奇函数是（） A． y=1﹣2sin2πx B．y=sinπxcosπx C． y=tan x D． y=sin（2πx+）考点：三角函数的周期性及其求法；函数奇偶性的判断．专题：三角函数的图像与性质．分析：对A先根据二倍角公式化简为y=cos2πx为偶函数，排除；对于D验证不是奇函数可排除；对于C求周期不等于1排除；故可得答案．解答：解：A，y=1﹣2sin2πx=1﹣（1﹣cos2πx）=cos2πx，由于f（﹣x）=cos（﹣2πx）=cos2πx=f（x），故为偶函数，不符合；B，对于y=sinπxcosπx=sin2πx，为奇函数，且T==1，满足条件．C，由正切函数的周期公式可得T=2，不符合；D，对于函数y=sin （2πx+），f（﹣x）=sin（﹣2πx+）≠﹣sin（2πx+），不是奇函数，排除．故选：B．点评：本题主要考查三角函数的奇偶性和最小正周期的求法，一般先将函数化简为y=Asin （wx+ρ）的形式，再由最小正周期的求法T=、奇偶性的性质、单调性的判断解题，属于基础题．5．（5分）（2014秋•通化期中）若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x）且x∈[0，1]时，f（x）=x，则方程f（x）=log3|x|的零点个数是（）A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 6个考点：抽象函数及其应用．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：方程f（x）=log3|x|的零点个数即函数y=f（x）与函数y=log3|x|的交点的个数，作图得到答案．解答：解：方程f（x）=log3|x|的零点个数即函数y=f（x）与函数y=log3|x|的交点的个数，作函数y=f（x）与函数y=log3|x|的图象如下，则由图象可知，有四个不同的交点，故选C．点评：本题考查了方程的根与函数图象的交点的关系及函数图象的作法，属于中档题．6．（5分）（2015•遵义校级二模）设函数f（x）=x m+ax的导函数f′（x）=2x+1，则数列{}（n∈N*）的前n项和是（）A． B． C． D．考点：数列的求和；导数的运算．专题：计算题．分析：函数f（x）=x m+ax的导函数f′（x）=2x+1，先求原函数的导数，两个导数进行比较即可求出m，a，然后利用裂项法求出的前n项和，即可．解答：解：f′（x）=mx m﹣1+a=2x+1，∴a=1，m=2，∴f（x）=x（x+1），==﹣，用裂项法求和得S n=．故选A点评：本题考查数列的求和运算，导数的运算法则，数列求和时注意裂项法的应用，是好题，常考题，基础题．7．（5分）已知△ABC中，∠A=30°，AB，BC分别是，的等差中项与等比中项，则△ABC的面积等于（）A． B． C．或 D．或考点：正弦定理；等差数列的性质；等比数列的性质．专题：计算题；数形结合．分析：由题意，根据等差数列及等边数列的性质分别求出AB与BC的值，再由A的度数，求出sinA的值，利用正弦定理求出sinC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出C的度数，根据A和C的度数，利用内角和定理求出B的度数，根据B的度数判断出三角形的形状为直角三角形或等腰三角形，分别求出三角形的面积即可．解答：解：∵AB，BC分别是，的等差中项与等比中项，∴AB=，BC=1，又A=30°，根据正弦定理=得：sinC=，∵C为三角形的内角，∴C=60°或120°，当C=60°时，由A=30°，得到B=90°，即三角形为直角三角形，则△ABC的面积为××1=；当C=120°时，由A=30°，得到B=30°，即三角形为等腰三角形，过C作出AB边上的高CD，交AB于点D，在Rt△ACD中，AC=BC=1，A=30°，∴CD=，则△ABC的面积为××=，综上，△ABC的面积为或．故选C点评：此题考查了等差数列、等比数列的性质，正弦定理以及特殊角的三角函数值，利用数形结合及分类讨论的思想，由C的度数有两解，得到三角形的形状有两种，故求出的三角形面积有两解，不要漏解．8．（5分）对于下列命题：①已知i是虚数单位，函数f（x）=在R上连续，则实数a=2．②五本书排成一排，若A、B、C三本书左右顺序一定（不一定相邻），那么不同排法有A33•A33③如图，⊙O中的弦AB与直径CD相交于点p，M为DC延长线上一点，MN为⊙O的切线，N为切点，若AP=8，PB=6，PD=4，MC=6，则MN的长为2④在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，曲线ρ=2sinθ 与ρcosθ=﹣1交点的极坐标为（，）⑤设n=4cosxdx，则二项式（x﹣）n的展开式的常数项为6其中假命题的序号是（）A．②⑤ B．②③ C．② D．①④考点：命题的真假判断与应用．专题：坐标系和参数方程．分析：①利用•i=f（0），计算即可；②采用插空法，依次插入即可；③通过相交弦定理可得半径，利用勾股定理计算即可；④利用平方关系可得ρ=，代回原式可得θ=π，进而可得结论；⑤通过定积分的性质可得n=4，代入计算即可．解答：解：①•i==﹣1，f（0）=a0﹣a=1﹣a，∵函数f（x）=在R上连续，∴﹣1=1﹣a，即a=2，故正确；②采用插空法，当A、B、C三本书左右顺序一定时（不一定相邻），插入第4本书，有4中方法，再插入第5本书，有5中方法，∴不同排法有4×5=20种，故不正确；③由相交弦定理可得：CP===12，∴圆O的半径为：==8，∵MN为⊙O的切线，∴OM2=ON2+MN2，∴MN2=OM2﹣ON2=（OC+CM）2﹣ON2=（8+6）2﹣82=132，∴MN==2，故正确；④∵ρ=2sinθ，ρcosθ=﹣1，∴sinθ=，cosθ=﹣，∴sin2θ+cos2θ=（）2+（）2=1，整理得：，解得：ρ=，∴sinθ=，cosθ=﹣，又∵0≤θ＜2π，∴θ=π，∴交点的极坐标为（，），故正确；⑤∵n=4cosxdx=4dsinx=4，∴（x﹣）4的展开式的常数项为=6，故正确；综上所述，只有②是假命题，故选：C．点评：本题是一道综合题，考查复数、排列组合、平面几何、极坐标、定积分与展开式等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．二、填空题：（本大题每小题5分，满分30分）9．（5分）若sin（π﹣α）=，且α的终边过点P（x，2），则x= ；tan（π+α）= ．考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由sin（π﹣α）=，可得cosα=﹣，根据α的终边过点P（x，2），求出x，再求tan（π+α）=tanα=．解答：解：∵sin（π﹣α）=，∴cosα=﹣，∵α的终边过点P（x，2），∴=﹣，x＜0，∴x=，∴tan（π+α）=tanα=，故答案为：，．点评：本题考查任意角的三角函数的定义，考查诱导公式，考查学生的计算能力，比较基础．10．（5分）已知数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，a4=，S4=12．则数列{a n}的通项公式a n= ﹣n ；n= 5 时，S n最大．考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意易得公差d和首项的方程组，解方程组可得通项公式，可得{a n}的前5项均为正数，从第6项开始为负数，易得答案．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，则a4=a1+3d=，S4=4a1+d=12，解得a1=，d=﹣1∴通项公式a n=﹣n；令≤0可得n≥，∴等差数列{a n}的前5项均为正数，从第6项开始为负数，∴当n=5时，S n最大．故答案为：﹣n；5点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．11．（5分）函数y=Asinωxcosφ+Acosωxsinφ+2（A＞0，ω＞0，0＜φ＜2π）的图象如图，则ω= 3 ，φ=．考点：二倍角的正弦；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据两角和的正弦公式化简解析式，由图象和周期公式求出ω的值，再把点（，2）代入解析式，根据正弦函数值求出φ的值．解答：解：由题意得，y=Asinωxcosφ+Acosωxsinφ+2=Asin（ωx+φ）+2，由图得，T==，得T=，∴ω=3，∵函数的图象过点（，2），∴Asin（ω×+φ）+2=2，则sin（ω×+φ）=0，∴3×+φ=kπ（k∈Z），解得φ=kπ﹣（k∈Z），∵0＜φ＜2π，∴φ=，故答案为：3；．点评：本题考查两角和的正弦公式，三角函数的周期公式，以及读图能力，属于中档题．12．（5分）（2015•天津模拟）函数y=log a（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则+的最小值为8 ．考点：基本不等式．专题：计算题；压轴题．分析：由题意可得定点A（﹣2，﹣1），2m+n=1，把要求的式子化为 4++，利用基本不等式求得结果．解答：解：由题意可得定点A（﹣2，﹣1），又点A在直线mx+ny+1=0上，∴2m+n=1，则+=+=4++≥4+2=8，当且仅当时，等号成立，故答案为：8．点评：本题考查基本不等式的应用，函数图象过定点问题，把要求的式子化为 4++，是解题的关键．13．（5分）（2014•和平区四模）如图，在正方形ABCD中，已知AB=2，M为BC的中点，若N 为正方形内（含边界）任意一点，则的最大值是 6 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；压轴题；数形结合．分析：在平面内建立合适的坐标系，将向量的数量积用坐标表示，再利用线性规划解决问题．解答：解：以A为坐标原点，以AD方向为x轴正方向，以AB方向为y轴负方向建立坐标系，则=（1，﹣2）设N点坐标为（x，y），则=（x，y），则0≤x≤2，﹣2≤y≤0令Z==x﹣2y，将A，B，C，D四点坐标依次代入得：Z A=0，Z B=4，Z C=6，Z D=2故Z=的最大值为6故答案为：6点评：向量的主要功能就是数形结合，将几何问题转化为代数问题，但关键是建立合适的坐标系，将向量用坐标表示，再将数量积运算转化为方程或函数问题．14．（5分）已知函数（a是常数且a＞0）．对于下列命题：①函数f（x）的最小值是﹣1；②函数f（x）在R上是单调函数；③若f（x）＞0在上恒成立，则a的取值范围是a＞1；④对任意x1＜0，x2＜0且x1≠x2，恒有．其中正确命题的序号是①③④．考点：函数的最值及其几何意义；函数单调性的判断与证明；函数恒成立问题．专题：综合题．分析：①由图只需说明在点x=0处函数f（x）的最小值是﹣1；②只需说明函数f（x）在R上的单调性即可；③只需说明f（x）＞0在上恒成立，则当x=时，函数取得最小值，从而求得a的取值范围是a＞1；④已知函数在（﹣∝，0）上的图象在[0，+∞）上是下凹的，所以任取两点连线应在图象的上方，故D正确．解答：解：①由图只需说明在点x=0处函数f（x）的最小值是﹣1；故正确；②由图象说明函函数f（x）在R上不是单调函数；故错；③只需说明f（x）＞0在上恒成立，则当x=时，函数取得最小值，求得a的取值范围是a＞1；故正确；④已知函数函数在（﹣∝，0）上的图象在[0，+∞）上是下凹的，所以任取两点连线应在图象的上方，即f（）＜，故正确．故答案为：①③④．点评：利用函数的图象研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值是常用的方法，解答本题的关键是图象法．三、解答题（本大题共6小题，共80分.）15．（13分）（2012•新泰市校级模拟）在数列{a n}中，a1=3，a n=﹣a n﹣1﹣2n+1（n≥2且n∈N*）．（1）求a2，a3的值；（2）证明：数列{a n+n}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（3）求数列{a n}的前n项和S n．考点：数列的求和；等比关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据a1=3，a n=﹣a n﹣1﹣2n+1（n≥2且n∈N*），对n进行赋值，可求出a2，a3的值；（2）直接利用等比数列的定义进行证明，然后利用等比数列性质求其通项公式即可；（3）先求出数列{a n}的通项公式，然后利用分组求和法进行求和即可．解答：解：（1）∵a1=3，a n=﹣a n﹣1﹣2n+1（n≥2，n∈N*），∴a2=﹣a1﹣4+1=﹣6，a3=﹣a2﹣6+1=1．（2）∵===﹣1，∴数列{a n+n}是首项为a1+1=4，公比为﹣1的等比数列．∴a n+n=4•（﹣1）n﹣1，即a n=4•（﹣1）n﹣1﹣n，∴{a n}的通项公式为a n=4•（﹣1）n﹣1﹣n（n∈N*）．（3）∵{a n}的通项公式为a n=4•（﹣1）n﹣1﹣n（n∈N*），所以S n=a k=[4•（﹣1）k﹣1﹣k]=[4•（﹣1）k﹣1﹣=4×﹣=2[1﹣（﹣1）n]﹣（n2+n）=﹣﹣2（﹣1）n．点评：本题主要考查了数列的通项公式，以及等比数列的判定和数列的求和，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．16．（13分）盒内含有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球，规定取出1个红色球得1分，取出一个白球得0分，取出一个黑球得﹣1分，现从盒内一次性取3个球．（1）求取出的三个球得分之和恰为1分的概率（2）设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ分布列和数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（1）分别求出“取出1个红色球，2个白色球”、“取出2个红色球，1个黑色球”的概率，从而求出3个球得分之和恰为1分的概率；（2）ξ可能的取值为0，1，2，3，分别求出其概率，可得ξ分布列和数学期望．解答：解：（1）记“取出1个红色球，2个白色球”为事件A，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件B，则P（A+B）=P（A）+P（B）=+=（2）ξ可能的取值为0，1，2，3．P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3Pξ的数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×=1．点评：本题考查离散型随机变量的期望与方差，互斥事件与对立事件的定义，考查学生的计算能力，属于中档题．17．（13分）已知向量=（sinx，cosx），=（cosx，﹣2cosx），﹣．（Ⅰ）若∥，求x；（Ⅱ）设f（x）=•，求f（x）的单调减区间；（Ⅲ）函数f（x）经过平移后所得的图象对应的函数是否能成为奇函数？如果是，说出平移方案；如果否，说明理由．考点：平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：（I）利用两个向量共线的性质求得 tan2x=﹣1，再由﹣＜x＜求得x的值．（II）利用两个向量的数量积公式化简 f（x）的解析式为sin（2x﹣）﹣1，令2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，即可求得函数的减区间．（Ⅲ）将函数f（x）的图象向上平移1个单位，再向左平移（ k∈N）个单位，或向右平移（ k∈N）个单位即可．解答：解：（I）若，则 sinx（sinx﹣2cosx）=cos2x，…（1分）即﹣sin2x=cos2x，∴tan2x=﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣（2分）又∵﹣＜x＜，∴﹣＜2 x＜π，∴2x=﹣，或 2x=，即 x=﹣或 x=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（II）∴f（x）==2sinxcosx﹣2cos2x=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）﹣1，…（7分）令2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，解得kπ+≤x≤kπ+．又，∴f（x）的单调减区间时（﹣，﹣）、（，）．…（11分）（Ⅲ）能，将函数f（x）的图象向上平移1个单位，再向左平移（ k∈N）个单位，或向右平移（ k∈N）个单位，即得函数 g（x）=sin2x的图象，而 g（x）为奇函数．…（13分）点评：本题主要考查两个向量共线的性质、两个向量的数量积公式，两角和差的正弦公式，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，属于中档题．18．（13分）已知函数f（x）=ln（x+2）﹣x2+bx+c（Ⅰ）若函数f（x）在点x=1处的切线与直线3x+7y+2=0垂直，且f（﹣1）=0，求函数f（x）在区间[0，3]上的最小值；（Ⅱ）若f（x）在区间[0，1]上为单调减函数，求b的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数单调性的性质．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求导函数，利用函数f（x）在点x=1处的切线与直线3x+7y+2=0垂直，求得b 的值，利用f（﹣1）=0，求得c的值，可得函数解析式，再确定函数f（x）在区间[0，3]上的单调性，即可求得f（x）在区间[0，3]上的最小值；（Ⅱ）f（x）是减函数等价于≤0，即恒成立，求出右边函数的最小值，即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）求导函数，可得∵函数f（x）在点x=1处的切线与直线3x+7y+2=0垂直，∴f′（1）=，∴，∴b=4又f（﹣1）=ln（2﹣1）﹣1﹣4+c=0，∴c=5∴f（x）=ln（x+2）﹣x2+4x﹣5，∴由=0得x=∴当x∈[0，]时，f′（x）≥0，f（x）单调递增当x∈[，3]时，f′（x）≤0，f（x）单调递减又f（0）=ln2+5，f（3）=ln5+8，所以f（x）在[0，3]最小值为ln2+5；（Ⅱ）因为f（x）是减函数，所以≤0，即恒成立令t=，则t′=2+，∴t=，在[0，1]上单调递增∴t min=﹣所以当b≤﹣时，f（x）在区间[0，1]上单调递减．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查函数的单调性，考查分离参数法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（14分）（2011•淮南一模）设函数f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）．（1）若在定义域内存在x0，而使得不等式f（x0）﹣m≤0能成立，求实数m的最小值；（2）若函数g（x）=f（x）﹣x2﹣x﹣a在区间（0，2]上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性．分析：（1）依题意得，求m的最小值，就是求f（x）的最小值，利用导数研究函数的单调性，可以得到f（x）在（﹣1，0）上为减函数，f（x）在（0，+∞）为增函数，即f（x）的最小值为f（0）=1，所以m的最小值为1（2）解出g（x）=x+1﹣2ln（x+1）﹣a，原题设即方程1+x﹣2ln（1+x）=a在区间[0，2]上恰有两个相异实根，令h（x）=1+x﹣2ln（1+x），这时只需解出h（x）在[0，2]上的值域，画出图象，可以得出a的取值范围．解答：解：（1）要使得不等式f（x0）﹣m≤0能成立，只需m≥f（x）max．求导得f′（x）=2（1+x）﹣2，定义域为（﹣1，+∞），∵当x∈（﹣1，0）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在区间（﹣1，0）上是减函数；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．∴f（x）mix=f（0）=1，∴m≥1．故实数m的最小值为1．（2）由f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）得：g（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）﹣（x2+x+a）=x+1﹣2ln（x+1）﹣a原题设即方程1+x﹣2ln（1+x）=a在区间[0，2]上恰有两个相异实根．设h（x）=（1+x）﹣2ln（1+x）．∵h′（x）=1﹣，列表如下：∵h（0）﹣h（2）=1﹣（3﹣2ln3）=2（ln3﹣1）＞2（lne﹣1）=0，∴h（0）＞h（2）．从而有h（x）max=1，h（x）min=2﹣2ln2画出函数h（x）在区间[0，2]上的草图（如图）易知要使方程h（x）=a在区间（0，2]上恰有两个相异实根，只需：2﹣2ln2＜a≤3﹣2ln3，即：a∈（2﹣2ln2，3﹣2ln3]．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，本题比较新颖的地方是，求解（2）中的a的取值范围，经过等价变换，只需求h（x）=（1+x）﹣2ln（1+x）的值域，再根据图象，解出a的取值范围．在教学中，多加强训练和指导，以便掌握其要领．20．（14分）已知f（x）是定义在R上的函数，f（1）=1，且∀x1，x2∈R，总有f（x1+x2）=f （x1）+f（x2）+1恒成立．（Ⅰ）记g（x）=f（x）+1，求证：g（x）是奇函数；（Ⅱ）对∀n∈N*，有a n=，b n=f（）+1，记c n=，求{c n}的前n项和S n；（Ⅲ）求F（n）=a n+1+a n+2+…+a2n（n≥2，n∈N）的最小值．考点：数列的应用；函数单调性的判断与证明；抽象函数及其应用；数列的求和．专题：函数的性质及应用；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）令x1=x2=0得f（0）=﹣1，再令x1=x，x2=﹣x，得g（x）=f（x）+1是奇函数．（2）令x1=n，x2=1，得f（n）=2n﹣1，从而c n=，计算即可．（3）通过计算可知F（n+1）＞F（n），又n≥2，从而得出结果．解答：解：（1）证明：f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，令x1=x2=0得f（0）=﹣1，再令x1=x，x2=﹣x，得f（0）=f（x）+f（﹣x）+1．故f（﹣x）+1=﹣[f（x）+1]，从而g（x）=f（x）+1是奇函数；（2）令x1=n，x2=1，得f（n+1）=f（n）+2，故f（n）=2n﹣1，从而，，又c n=，S n=①=②由①﹣②得S n=；（3）∵F（n+1）﹣F（n）=a2n+1+a2n+2﹣a n+1=∴F（n+1）＞F（n）．又n≥2，故F（n）的最小值为．点评：本题考查抽象函数的奇偶性，以及数列的求和，需要一定的计算能力，属于中档题．。
北京市2025届高三上学期期中考试数学试题含答案
2024北京高三（上）期中数学（答案在最后）本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，只收答题纸，不收试卷.一、单选题（本大题共10小题，共40分）1.设集合{}22M x x =<，{}13N x x =-≤≤，则M N ⋃=（）A.{1x x -≤< B.{}12x x -≤<C.{}3x x <≤ D.{}23x x -<≤【答案】C 【解析】【分析】解不等式求集合M ，进而根据并集运算求解.【详解】因为22x <，解得x <<，即{|M x x =<<，且{}13N x x =-≤≤，所以{}3M N xx =<≤∣ ．故选：C ．2.曲线3113y x =+在点()3,8--处的切线斜率为（）A.9 B.5C.8- D.10【答案】A 【解析】【分析】求导，根据导数的几何意义可得解.【详解】由已知3113y x =+，则2y x '=，当3x =-时，()239y '=-=，即切线斜率9k =，故选：A.3.在复平面内，复数z 1，z 2对应的点分别是()()2,1,1,3--，则21z z 的模是（）A .5B.C.2D.【答案】D【解析】【分析】由复数的除法运算及模长公式即可求解.【详解】由题意知，12i z =-，213i z =-，所以()()()()2113i 2i 13i 55i 1i 2i 2i 2i 5z z -+--====---+所以21z z ==，故选：D.4.已知直线6x π=是函数()sin (08)6f x x πωω⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭图像的一条对称轴，则ω的值为（）A.3B.4C.2D.1【答案】C 【解析】【分析】根据正弦函数图象的对称性可得,Z 662k k πππωπ⋅+=+∈，由此可得答案.【详解】依题意得()sin()1666f πππω=⋅+=±，所以,Z 662k k πππωπ⋅+=+∈，即62,Z k k ω=+∈，又08ω<<，所以2ω=.故选：C.5.若0.5.43200.4,0.5,log 4a b c ===，则a b c ，，的大小关系是（）A.a b c<< B.b c a<< C.c b a << D.c a b<<【答案】D 【解析】【分析】利用指数函数和幂函数的单调性比较大小可得答案.【详解】322log 40.45===c ，因为0.4x y =在R 上为减函数，所以10.50.40.40.40.4=<=<c a ，因为0.4y x =在()0,x ∈+∞上为增函数，所以0.40.40.50.4>=b ，所以a b <，所以c a b <<，故选：D.6.在ABC V 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点．则EB =（）A.3144AB AC -B.3344AB AC -C.3144AB AC +D.3344AB AC +【答案】A 【解析】【分析】根据平面向量的线性运算即可求解.【详解】因为ABC V 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，所以()1113122244EB EA AB AD AB AB AC AB AB AC =+=-+=-⨯++=-，故选：A ．7.在长方体1111ABCD A B C D -的八个顶点任两点连线中，随机取一直线，则该直线与平面11AB D 平行的概率为A.314B.514C.328D.528【答案】C 【解析】【分析】由题意结合排列组合公式和古典概型计算公式即可求得满足题意的概率值.【详解】八个顶点任两点连线共有28C 28=条，其中直线与平面11AB D 平行的有BD ，1BC ， 共有3条，所以该直线与平面11AB D 平行的概率为328P =.故选：C .8.已知,a b 都大于零且不等于1，则“log 1a b >”是“(1)(1)0a b -->”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】log 1ab >等价于1b a >>或01b a <<<，(1)(1)0a b -->等价于11a b >⎧⎨>⎩或0101a b <<⎧⎨<<⎩，然后可判断出答案.【详解】由log 1a b >可得log log a a b a >，所以可得1a b a >⎧⎨>⎩或01a b a <<⎧⎨<⎩，即1b a >>或01b a <<<(1)(1)0a b -->等价于11a b >⎧⎨>⎩或0101a b <<⎧⎨<<⎩所以“log 1a b >”是“(1)(1)0a b -->”的充分不必要条件故选;：A9.已知函数()22,,x x x mf x x x m⎧-≥=⎨<⎩在R 上单调递增，则实数m 的取值范围是（）A.1m ≥B.3m ≥C.13m ≤≤D.1m ≤或3m ≥【答案】B 【解析】【分析】根据二次函数的单调性及断点处左侧的函数值不大于右侧函数值得到不等式，解得即可.【详解】因为()22211y x x x =-=--在[)1,+∞上单调递增，y x =在R 上单调递增，又()22,,x x x mf x x x m ⎧-≥=⎨<⎩在R 上单调递增，所以212m m m m ≥⎧⎨≤-⎩，解得3m ≥，即实数m 的取值范围是3m ≥.故选：B10.核酸检测分析是用荧光定量PCR 法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR 扩增进程中成指数级增加的靶标DNA 实时监测，在PCR 扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA 的数量n X 与扩增次数n 满足()0lg lg 1lg n X n p X =++，其中p 为扩增效率，n X 为DNA 的初始数量．已知某被测标本DNA 扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该样本的扩增效率p 约为（）（参考数据：0.210 1.585≈，0.2100.631-≈）A.36.9% B.41.5%C.58.5%D.63.4%【答案】C 【解析】【分析】由题意，0100n X X =代入解方程即可.【详解】由题意可知，()00lg10010lg 1lg X p X =++，即002lg 10lg(1)lg X p X +=++，所以0.2110 1.585p +=≈，解得0.585p =.故选：C二、填空题（本大题共5小题，共25分）11.函数y =______.【答案】()0,2【解析】【分析】由函数特征得到不等式，求出定义域.【详解】由题意得240x x >⎧⎨->⎩，解得02x <<，故定义域为()0,2.故答案为：()0,212.已知等差数列{}n a 的前n 项和为13,1,18n S a S ==，则6S =______.【答案】81【解析】【分析】运用等差数列的性质公式计算即可.【详解】根据题意，知道131,18a S ==，则231417a a a a +==+，则416a =，若公差为d ，所以41315a a d -==，则5d =.故1234561,6,11,16,,21,26.a a a a a a ======则6161116212681S =+++++=.故答案为：8113.在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，()226b a c =+-，23B π=，则ABC V 的面积是______________.【答案】332【解析】【分析】利用余弦定理求出ac 的值，再利用三角形的面积公式可求得ABC V 的面积.【详解】由余弦定理可得222222cos b a c ac B a c ac =+-=++，222a c b ac ∴+-=-，()2222626b a c a c ac =+-=++- ，可得222260a c b ac +-+-=，则260ac ac --=，解得6ac =，因此，ABC V的面积是11sin 62222ABC S ac B ==⨯⨯=△.故答案为：2.【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.14.已知函数()()22log 2,014,03x x x a x f x x ⎧++≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩的值域是R ，则实数a 的最大值是______．【答案】8【解析】【分析】根据条件可得()f x 在[)0+∞，上的最小值小于或等于3，判断其单调性列出不等式得出a 的范围．【详解】当0x <时，1()43)(,3xf x ⎛⎫=- ∈-∞⎪⎝⎭．因为()f x 的值域为R ，则当0x ≥时，min ()3f x ≤．当0x ≥时，222(1)1y x x a x a =++=++-，故()f x 在[)0+∞，上单调递增，min ()=(0)3f x f ∴≤，即2log 3a ≤，解得08a <≤，即a 的最大值为8．故答案为：8．15.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA =AB =4．E ，F ，H 分别是棱PB ，BC ，PD 的中点，对于平面EFH 截四棱锥P ABCD -所得的截面多边形，有以下三个结论：①截面面积等于；②截面是一个五边形；③直线PC 与截面所在平面EFH 无公共点．其中，所有正确结论的序号是_____．【答案】②③【解析】【分析】根据给定条件，作出平面EFH 截四棱锥P ABCD -所得的截面多边形，再逐一判断各个命题作答.【详解】在四棱锥P ABCD -中，PA =AB =4，取CD 中点，连接FG ，GH ，BD ，AC ，如图，因底面ABCD 为正方形，,,E F H 分别是棱,,PB BC PD 的中点，则////EH BD FG ，////EF PC GH ，EFGH 是平行四边形，令FG AC J ⋂=，有14CJ AC =，在PA 上取点I ，使14PI PA =，连接,,EI HI JI ，则////JI PC EF ，点J ∈平面EFH ，有JI ⊂平面EFH ，点I ∈平面EFH ，,EI HI ⊂平面EFH ，因此五边形EFGHI 是平面EFH 截四棱锥P ABCD -所得的截面多边形，②正确；因EF ⊂平面EFH ，PC ⊄平面EFH ，而//EF PC ，则//PC 平面EFH ，直线PC 与截面所在平面EFH 无公共点，③正确；PA ⊥底面ABCD ，FG ⊂平面ABCD ，有PA FG ⊥，而BD AC ⊥，//BD FG ，则AC FG ⊥，又PA AC A = ，,PA AC ⊂平面PAC ，因此FG ⊥平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，于是得FG PC ⊥，有FG EF ⊥，而122FG BD ==，22112322EF PC PA AC ==+，矩形EFGH 面积等于6EF FG ⋅=，3334JI PC ==，而JI EH ⊥，则IE H 边EH 上的高等于3JI EF -=1362IEH S EH == ，所以截面五边形EFGHI 面积为56.故答案为：②③【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.三、解答题（共6题，共85分）16.已知函数()()22sin cos 2cos f x x x x =+-，（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最大值和最小值【答案】（1）最小正周期π，单调递减区间3π7ππ,π88k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；（2，最小值-1．【解析】【分析】（1）先根据二倍角公式与配角公式将函数化为基本三角函数，再根据正弦函数性质求最小正周期和单调递减区间；（2）先根据π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，确定正弦函数自变量取值范围，再根据正弦函数性质求最值.【小问1详解】()()()222πsin cos 2cos 12sin cos 2cos 1sin 21cos 224f x x x x x x x x x x ⎛⎫=+-=+-=+-+=- ⎪⎝⎭,∴最小正周期2ππ2T ==，由ππ3π22π,2π422x k k ⎡⎤-∈++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z 得单调递减区间为3π7ππ,π88x k k ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；【小问2详解】由π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得ππ3π2,444x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故当ππ242x -=时，()f x ；当ππ244x -=-时，()f x 的最小值为-1.17.在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且___________.在下面的三个条件中任选一个补充到上面的问题中，并给出解答.①22cos a b c B -=，②1sin cos 62C C π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，③(,)m a c b a =-- ，(,)n a c b =+ ，m n ⊥.（1）求角C ；（2）若c =，求ABC V 周长的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）3π（2）【解析】【分析】（1）选①由正弦定理结合和角公式得出角C ；选②由和角公式结合辅助角公式得出角C ；由数量积公式结合余弦定理得出角C ；（2）由余弦定理结合基本不等式得出ABC V 周长的取值范围.【小问1详解】选①由正弦定理及22cos a b c B -=，2sin sin 2sin cos A B C B -=，又sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，2sin cos sin B C B∴=sin 0B ≠ ，1cos 2C ∴=，又(0,)C π∈，3C π∴=.选②由1sin cos 62C C π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，311sin cos cos 222C C C +=+，即311sin cos 222C C -=，1sin 62C π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭.(0,)C π∈ ，5,666C πππ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭，66C ππ∴-=，3C π∴=.选③(,)m a c b a =-- ，(,)n a c b =+ .m n ⊥.()()()0a c a c b a b ∴-⋅++-⋅=.化简得222a b c ab +-=，2221cos 22a b c C ab +-==.又(0,)C π∈ ，3C π∴=.【小问2详解】由余弦定理得2222222cos ()3c a b ab C a b ab a b ab =+-=+-=+-，又2a b+³Q 2()4a b ab +∴≤当且仅当a b =时等号成立.2233()3()4ab a b a b ∴=+-≤+，0a b ∴<+≤，当且仅当a b ==.a b c ∴++≤=又a b c +>，2a b c c ∴++>=ABC ∴周长的取值范围为.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，22PD DC AD ===，E 是PC 的中点．（1）求证：PA ∥平面EDB ；（2）求平面EDB 与平面PAD 夹角的余弦值；（3）在棱PB 上是否存在一点F ，使直线EF 与平面EDB 所成角的正弦值为3，若存在，求出求线段BF 的长；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）66（3）存在；BF 的长为32或94【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，用空间向量数量积公式求解二面角；（3）假设棱PB 存在一点F 使得BF BP λ= ，且EF EB BF =+uu u r uur uu u r，即可求出EF ，利用向量的夹角公式列出关于λ的方程求解即可.【小问1详解】连接AC ，交BD 于点O ，连接OE ，点E 是PC 的中点，点O 是AC 的中点，所以PA ∥OE ,OE ⊂平面EDB ,PA ⊄平面EDB ，所以PA ∥平面EDB ；【小问2详解】如图，以向量DA ，DC ，DP为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系，即()0,0,0D ，()1,2,0B ，()0,1,1E ，则()()1,2,0,0,1,1DB DE ==，设平面EDB 的法向量(),,m x y z = ，则20DB m x y DE m y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1y =-得2,1x z ==，所以平面EDB 的法向量()2,1,1m =-，平面PAD 的一个法向量为()0,1,0n =，设平面EDB 和平面PAD 的夹角为θ，则6cos cos ,66m n m n m n θ⋅====，所以平面EDB 和平面PAD 的夹角的余弦值为66；【小问3详解】由（2）知()0,0,0D ，()1,2,0B ，()0,1,1E ，()0,0,2P ，()1,1,1EB =- ，()1,2,2BP =-- ，(),2,2(01)BF BP λλλλλ==--<<，()()()1,1,1,2,21,12,12EF EB BF λλλλλλ=+=-+--=---+，由（2）知平面EDB 的法向量()2,1,1m =-，设直线EF 与平面EDB 的夹角为α，则6sin cos ,,013EF m αλ===<<整理得281030λλ-+=，解得12λ=或3,4λ=故当12λ=时，32BF =；当34λ=时，94BF =则BF 的长为32或94．19.某市A ，B 两所中学的学生组队参加信息联赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生.B 中学推荐了3名男生、4名女生.两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队参赛.（1）求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率；（2）设X 表示A 中学参赛的男生人数，求X 的分布列和数学期望；（3）已知3名男生的比赛成绩分别为76，80，84，3名女生的比赛成绩分别为77，a ()*a ∈N，81，若3名男生的比赛成绩的方差大于3名女生的比赛成绩的方差，写出a 的取值范围（不要求过程）.【答案】（1）99100（2）分布列见解析，期望为32（3）{|738},5N a a a *<∈<【解析】【分析】（1）A 中学至少有1名学生入选代表队的对立事件是A 中没有学生入选代表队，那3名男生和3名女生都是B 中学的学生，计算概率后，求对立事件的概率即可；（2）6名男队员中有A ，B 中学各3人，所以选3人来自A 中学的人数X 可能取值为0，1，2，3，根据超几何分布计算其概率，列出分布列，求期望；（3）根据平均数与方差的计算公式，结合题意即可得出a 的取值范围.【小问1详解】由题意知，参加集训的男、女生各有6名.参赛学生全部从B 中学中抽取（等价于A 中学没有学生入选代表队）的概率为33343366C C 1C C 100=.因此，A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为1991100100-=.【小问2详解】根据题意得，X 的可能取值为0，1，2，3.则()()031233333366,0C C C C 1901C 20C 2P X P X ⋅⋅======，()213336C C 92C 20P X ⋅===，()330363C C 13.C 20P X ⋅===所以X 的分布列为：X 0123P120920920120因此，X 的数学期望()199130123202020202E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.【小问3详解】3名男生的比赛成绩分别为76，80，84，平均值为80，方差为2224)043233-++=(，3名女生的比赛成绩为77，a ()*a ∈N，81，平均值为1583a +，所以222158158158327781333a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫>-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()()()()()()222222329732158857347985a a a a a a ⨯>-+-+-=-+-+-，代入检验，可知a 最小为74，最大84，故7385a <<，N a *∈即a 的取值范围{|738},5N a a a *<∈<.20.已知函数()211ln22f x a x x =--+（a ∈R 且0a ≠）.（Ⅰ）当a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）若0a >，讨论函数()f x 的单调性与单调区间；（Ⅲ）若()y f x =有两个极值点1x 、2x ，证明：()()129ln f x f x a +<-.【答案】（Ⅰ）10x y +--=；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）求出()1f 和()1f '的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（Ⅱ）求得()2x af x x-+-'=，由20x a -+-=，分0∆>和0∆≤两种情况讨论，分析()f x '的符号变化，可得出函数()y f x =的单调递增区间和递减区间；（Ⅲ）由题意可知，方程()0f x '=有两正根1x 、2x ，利用韦达定理得出12x x +=，12x x a =且()0,3a ∈，将所证不等式转化为ln ln 20a a a a --+>，构造函数()ln ln 2x x g x x x =--+，利用导数证明出当()0,3x ∈时，()0g x >即可.【详解】由题可知：函数()f x 的定义域为 t h（Ⅰ）因为a =时，()21122f x x x =--+，所以()f x x x'=--，那么()11f '=-，()1f =，所以曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为：()1y x -=--，即10x y +-=；（Ⅱ）因为()2a x af x x x x-+-'=--=，由20x a -+-=可得：①当1240a ∆=->，()0,3a ∈，时，有1x =+，2x =120x x >>，()20,x x ∈和()1,x x ∈+∞时()0f x '<，即函数()y f x =在(和)+∞上为减函数；()21,x x x ∈时，()0f x '>，即函数()y f x =在上为增函数；②当3a ≥时，0∆≤，()0f x '≤恒成立，所以函数()y f x =在 t h 为减函数.综上可知：当0<<3a 时，函数()y f x =在(和)+∞上为减函数，在上为增函数；当3a ≥时，函数()y f x =在 t h 上为减函数；（Ⅲ）因为()y f x =有两个极值点1x 、2x ，则()20x af x x-+-'==有两个正根1x 、2x ，则有1240a ∆=->，且12x x +=，120x x a =>，即()0,3a ∈，所以()())()()22121212121ln 1ln 72f x f x x x a x x x x a a a +=+--++=-++若要()()129ln f x f x a +<-，即要ln ln 20a a a a --+>，构造函数()ln ln 2x x g x x x =--+，则()1ln g x x x'=-，易知()y g x '=在()0,3上为增函数，且()110g '=-<，()12ln 202g '=->，所以存在()01,2x ∈使()00g x '=即001ln x x =，且当()01,x x ∈时()0g x '<，函数()y g x =单调递减；当()0,2x x ∈时，()0g x '>，函数()y g x =单调递增.所以函数()y g x =在()1,2上有最小值为()00000001ln ln 23g x x x x x x x ⎛⎫=-++=-+ ⎪⎝⎭，又因为()01,2x ∈则00152,2x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以()00g x >在()01,2x ∈上恒成立，即()()129ln f x f x a +<-成立.【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程、利用导数求解含参函数的单调区间以及利用导数证明不等式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.21.设n 为正整数，集合(){}{}12|,,,,0,1,1,2,,.n n i A a a a a i n αα==∈= 对于()12,,,n n a a a A α=∈ ，设集合(){}01,,1,2,,i t i P a t t n a a i n t +=∈≤≤-==⋯-N .（1）若()()0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,0αβ==，写出集合()(),P P αβ；（2）若()12,,,n n a a a A α=∈ ，且(),s t P α∈满足s t <，令()12,,,n s n s a a a A α--∈'= ，求证：()t s P α-∈'；（3）若()12,,,n n a a a A α=∈ ，且(){}1212,,,,3m m P s s s s s s m α=<<<≥ （），求证：()1221,2,,2k k k s s s k m ++≥+=- .【答案】（1）(){}(){}0,3,5,0,5,8,10P P αβ==；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意，即可直接写出(),()P P αβ；（2）由i s i a a +=可得j t j t s a a ++-=，结合j t j a a +=可得,1,2,,j t s j a a j n t +-==- ，即可证明；（3）若()t P α'∈且2t n s <-则2,1,2,,2i t i a a i n s t +==-- ，进而2()s t P α+∈，由（2）可知1()k k k s s P α+-∈，分类讨论12()k k k s s n s +-<-、12()k k k s s n s +-≥-时12k k s s +-与2k s +的大小关系，即可证明.【小问1详解】(){0,3,5},(){0,5,8,10}P P αβ==；【小问2详解】因为()s P α∈，所以,1,2,,i s i a a i n s +==- ，当1j n t ≤≤-时，1j t s n t t s n s <+-≤-+-=-，所以j t s s j t s a a +-++-=，即j t j t s a a ++-=，1,2,,j n t =- ，又因为()t P α∈，所以,1,2,,j t j a a j n t +==- ，所以,1,2,,j t s j a a j n t +-==- ，所以()t s P α'-∈；【小问3详解】对任意()s P α∈，令12(,,,)n s n s a a a A α--'=∈ ，若()t P α'∈且2t n s <-，则,1,2,,i t i a a i n s t +==-- ，所以2,1,2,,2i t i a a i n s t +==-- ，因为()s P α∈，所以1,1,2,,j j a a j n s +==- ，所以22,1,2,,2i i t i t s a a a i n s t +++===-- ，所以2()s t P α+∈.对1,()(1,2,,2)k k s s P k m α+∈=- ，因为1k k s s +<，由（2）可知，令12(,,,)k k n s a a a α-= ，则1()k k k s s P α+-∈.若12()k k k s s n s +-<-，因为()k s P α∈，所以12()()k k k s s s P α++-∈，即12()k k s s P α+-∈，又因为11112()k k k k k k s s s s s s ++++-=+->，所以122k k k s s s ++-≥.若12()k k k s s n s +-≥-，则122()k k k m k s s s n s s +++-≥>≥，所以122k k k s s s ++->.综上，122k k k s s s ++-≥即122(1,2,,2)k k k s s s k m ++≥+=- .【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新定义、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是集合相关知识..。
北京市大兴区普通校2014-2015学年高二上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案
北京市大兴区普通校高二联盟考试2014-2015学年度第一学期期中数学（理）一、选择题（每小题4分，共32分）1. 已知向量(1,,3)x =-a ，(2,4,)y =-b ，且a ∥b ，那么x y +等于（ ）A ．4-B ．2-C ． 2D ． 4 2.正四棱锥的每条棱长均为2，则该四棱锥的侧面积为（ ） A. 42 B. 42+4 C.43 D.43+43.一个球的外切正方体的全面积等于6cm 2，则此球的体积为 （ ）A.334cm πB. 386cm π C. 361cm π D. 366cm π 4.如图，在平行六面体1111ABCD A BC D -中， 已知＝a ，＝b ，1＝c ，则用向量a ，b ，c 可表示向量1BD 等于 ( ) A ．a ＋b ＋c B ．a －b ＋c C ．a ＋b －cD ．－a ＋b ＋c5.已知α，β是平面，m ，n 是直线.下列说法中不正确的是 （ ） A ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α B ．若m ∥α，α∩β=n ，则m ∥n C ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥βD ．若m ⊥α，β⊂m ，则α⊥β6．一个体积为正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为( )A ．36B ．8C ．38D ．12 7.空间四边形ABCD中，若AB AD AC CB CD BD =====，则AC 与BD 所成角为（ ）A 、030B 、045C 、060D 、090俯视图8．如图，点O 为正方体1111ABCD A B C D -的中心，点E 为面11B BCC 的中心，点F 为11B C 的中点，则空间四边形1D OEF 在该正方体的面上的正投影可能是( )A ．①③④B ．②③④C ．①②④D ．①②③ 二、填空题（每小题4分，共28分）9. 正方体1111ABCD A BC D -中,平面D 1B 1A 和平面C 1DB 的位置关系是-----------10. 一个长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是2,3,6，则长方体的 体积是__.11.点(,2,1)P x 到(1,1,2),(2,1,1)Q R 的距离相等，则x 的值为_____.12. 将圆心角为1200，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，圆锥的表面积为______________ 13.空间坐标系oxyz 中,点A 在x 轴上,点)2,0,1(B ,且5||=AB ,则点A 坐标为__14.一个几何体的三视图如图所示：则该几何体的外接球表面积为__________15.正方体1111D C B A ABCD -中,1=AB 则111D AB A 到面的距离为_________三、解答题（每小题12分，共60分）16.四边形ABCD 为直角梯形，2,4,//===CD BC AB CD AB ,BC AB ⊥,现将该梯形绕AB 旋转一周形成封闭几何体，求该几何体的表面积及体积。
2015届北京市大兴区高三上学期期末考试文科数学试卷(带解析)
绝密★启用前2015届北京市大兴区高三上学期期末考试文科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：155分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、设双曲线，抛物线的焦点均在轴上，的中心与的顶点均为原点，从每条曲线上至少取一个点，将其坐标记录如下： 1则在和上点的个数分别是（A ）1，4 （B ）2，3 （C ）4，1 （D ）3，32、已知为的边的中点，所在平面内有一个点，满足，则的值为A ．B ．C ．D ．3、已知直线平面，直线平面，有下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中，正确命题的序号是 A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④4、已知等比数列的公比，，，则前5项和等于A ．B ．C ．D ．5、下列函数中，在上为减函数的是A ．B ．C ．D ．6、在中，，，，则A 等于A ．B ．C ．D ．或7、集合，集合，则等于A ．B ．C ．D ．8、如图，在复平面内，复数和对应的点分别是和，则等于A ．B ．C ．D ．第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）9、定义在上的奇函数满足，且在上，则；若方程在上恰有4个根，则实数的取值范围是 .10、已知圆：，在圆M 上随机取一点P ，则P 到直线的距离大于的概率为 .11、已知向量，，其中，若，则________.12、若实数满足，则的最小值为 .13、函数的最小正周期是 .14、已知，则.三、解答题（题型注释）15、定义函数，其中，，． （Ⅰ）设函数，求的定义域；（Ⅱ）设函数的图像为曲线，若存在实数使得曲线在处有斜率为的切线，求实数的取值范围；（Ⅲ）当且时，试比较与的大小（只写出结论）．16、已知椭圆的一个顶点是，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知矩形的四条边都与椭圆相切，设直线AB 方程为，求矩形面积的最小值与最大值.17、如图, 已知边长为2的的菱形与菱形全等，且,平面平面，点为的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：； （Ⅲ）求三棱锥的体积.18、某校高三年级共有300人参加数学期中考试，从中随机抽取4名男生和4名女生的试卷，获得某一道题的样本，该题得分的茎叶图如图。
北京魏善庄中学高三数学理月考试题含解析
北京魏善庄中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 用数学归纳法证明时，由的假设到证明时，等式左边应添加的式子是（）A、B、 C、D、参考答案：B略2. 已知i是虚数单位，则复数的虚部是A．－1 B．1 C．－i D．i参考答案：A由题得=所以的虚部是-1.故选A.3. 要得到函数的图象，只要将函数的图象（）A．向左平移单位B．向右平移单位C．向右平移单位D．向左平移单位参考答案：C略4. 抛物线y2=16x的焦点为F，点A在y轴上，且满足||=||，抛物线的准线与x轴的交点是B，则?=（）A．﹣4 B．4 C．0 D．﹣4或4参考答案：C【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点坐标，由条件可得A的坐标，再由抛物线的准线可得B的坐标，得到向量FA，AB的坐标，由数量积的坐标表示，计算即可得到所求值．【解答】解：抛物线y2=16x的焦点为F（4，0），||=||，可得A（0，±4），又B（﹣4，0），即有=（﹣4，4），=（﹣4，﹣4）或=（﹣4，﹣4），=（﹣4，4）则有?=16﹣16=0，故选：C．5. 已知函数与直线相交，若在轴右侧的交点自左向右依次记为，，，……，则等于（）参考答案：A略6. 设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），P（ξ＞1）=p，则P（﹣1＜ξ＜0）等于（）A． p B．1﹣p C．1﹣2p D．﹣p参考答案：D【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量ξ服从标准正态分布N（0，1），得到正态曲线关于ξ=0对称，利用P（ξ＞1）=p，即可求出P（﹣1＜ξ＜0）．【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（0，1），∴正态曲线关于ξ=0对称，∵P（ξ＞1）=p，∴P（ξ＜﹣1）=p，∴P（﹣1＜ξ＜0）=﹣p．故选：D．7. 已知集合P=,,则( )A．(0,2),(1,1) B．{1,2} C．{(0,2),(1,1)} D．参考答案：8. 已知点F为双曲线：的右焦点，点P是双曲线右支上的一点，O为坐标原点，若，，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．参考答案：B设左焦点为由题意可得=||=2c，=120°，即有|P|2=|P|2+||2﹣2|P|?||cos=4c2+4c2﹣2?4c2?（﹣）=12c2，即有|P|=2c，由双曲线的定义可得|P|﹣|PF|=2a，即为2c﹣2c=2a，即有c=a，可得e==．故答案为：．9. 函数y=x3－3x的极大值为m,极小值为n,则m+n为A．0 B．1 C．2 D．4参考答案：A10. 圆x2+y2－2x－8y+13=0的圆心到直线ax+y－1=0的距离为1，则a=（A）（B）（C）（D）2参考答案：A圆x2+y2－2x－8y+13=0化为标准方程为：(x－1)2+(y－4)2=4，故圆心为(1,4)，，解得，故选A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知幂函数在(0,+∞)是增函数，则实数m 的值是．参考答案：1∵幂函数在是增函数∴，解得：故答案为：112. 在的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则该二项展开式中的常数项等于_____.参考答案：112【分析】由题意可得，再利用二项展开式的通项公式，求得二项展开式常数项的值．【详解】的二项展开式的中，只有第5项的二项式系数最大，，通项公式为，令，求得，可得二项展开式常数项等于，故答案为112．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．13.在△ABC中，若，，则的值为__________.参考答案：答案:14. 的展开式中，的系数为。
2023-2024学年北京市大兴区高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市大兴区高三（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合A ＝{x |﹣1＜x ≤1}，B ＝{﹣1，0，1}，则A ∩B ＝（ ） A ．{0}B ．{﹣1}C ．{1}D ．{0，1}2．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是（1，﹣1），则z ⋅z =（ ） A ．1B ．√2C ．2D ．2√23．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ） A ．y ＝2xB ．y ＝x ﹣1C ．y ＝cos xD ．y ＝ln |x |4．设x ∈R ，则“sin x ＝1”是“cos x ＝0”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知向量a →=(1，0)，b →=(0，1)，若（a →−λb →）⊥（a →+μb →），其中λ，μ∈R ，则（ ） A ．λ+μ＝﹣1B ．λ+μ＝1C ．λ•μ＝﹣1D ．λ•μ＝16．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，点P （﹣3，4）在角α终边上，则错误的是（ ） A ．sinα=45B ．cos2α=725C ．sinα+cosα=15D ．tan α2=27．在△ABC 中，∠A =π6，AB =4，BC =a ，且满足该条件的△ABC 有两个，则a 的取值范围是（ ） A ．（0，2）B ．(2，2√3)C ．（2，4）D ．(2√3，4)8．已知a =12，b ＝log 52，c ＝tan1，则（ ） A ．b ＜a ＜cB ．a ＜c ＜bC ．a ＜b ＜cD ．c ＜b ＜a9．设函数f （x ）＝e x ﹣lnx 的极值点为x 0，且x 0∈M ，则M 可以是（ ） A ．(0，12)B ．(12，23)C ．(23，1)D ．（1，2）10．已知数列{a n }满足a n +1＝a n （1﹣a n ）（n ∈N *），且0＜a 1＜1．给出下列四个结论： ①a 2≤14；②a 1+a 2+a 3+⋯+a n ＜n+34； ③∀m ，n ∈N *，当n ＞m 时，a n ＞a m ； ④∀k ∈N *，∃m ∈N *，当n ≥m 时，a n ＜1k ．其中所有正确结论的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
北京市大兴区魏善庄中学2015届高三(上)期中生物试卷Word版含解析
2014-2015学年北京市大兴区魏善庄中学高三（上）期中生物试卷一、选择题3．（3分）（2013•宜春模拟）如图表示一个由200个氨基酸构成的蛋白质分子．下列叙述正确的是（）4．（3分）（2014•广东）油菜种子成熟过程中部分有机物的变化如图所示，将不同成熟阶段的5．（3分）（2009•广东模拟）在如图所示四种化合物的化学组成中，“○”中所对应的含义最接近的是（）8．（3分）（2014•咸阳模拟）图中①～④表示某动物细胞的部分细胞器，下列有关叙述中，正确的是（）9．（3分）（2013秋•朝阳区期中）如图表示细胞间某种信息交流的方式，有关说法不正确的是（）10．（3分）（2014秋•大兴区校级期中）如图表示某生物膜结构，图中A、B、C、D、E、F 表示某些物质，a、b、c、d表示物质跨膜的运输方式．下列说法错误的是（）．若是根毛细胞的细胞膜，通过中耕松土可促进a过程若是线粒体膜，b和c过程运输的气体分别是O2、CO211．（3分）（2014•威海一模）如图为细胞核结构模式图，下列有关叙述不正确的是（）12．（3分）（2013秋•荆州区校级期末）如图为某种高等植物的细胞结构示意图，下列说法正确的是（）13．（3分）（2014•北京）比较生物膜和人工膜（双层磷脂）对多种物质的通透性，结果如图，据此不能得出的推论是（）14．（3分）（2015•黑龙江模拟）将某植物花冠切成大小和形状相同的细条，分为a、b、c、d、e和f组（每组的细条数相等），取上述6组细条分别置于不同浓度的蔗糖溶液中，浸泡相同时间后测量各组花冠细条的长度，结果如图所示．假如蔗糖溶液与花冠细胞之间只有水分交换，则（）15．（3分）（2012•安徽）蛙的神经元内、外Na+浓度分别是15mmol/L和120mmol/L，在膜电位由内负外正转变为内正外负过程中有Na+流入细胞，膜电位恢复过程中有Na+排出细胞．下16．（3分）（2015•平川区校级一模）A TP是细胞中重要的高能磷酸化合物，下列有关ATP的17．（3分）（2009•宁夏）如图表示酶活性与温度的关系，下列叙述正确的是（）18．（3分）（2012•嘉定区一模）A、B两种酶用同一种蛋白酶处理，酶活性与处理时间的关系如图所示．下列分析错误的是（）19．（3分）（2011•海南）细胞内糖分解代谢过程如图，下列叙述错误的是（）20．（3分）（2014•天津）如图是细胞中糖类合成与分解过程示意图．下列叙述正确的是（）（CH2O）+O2CO2+H2O+能量．21．（3分）（2013•崇明县一模）如图是探究酵母菌呼吸方式的装置，下列相关叙述错误的是（）22．（3分）（2014•旌阳区校级模拟）如图表示叶绿体中色素吸收光能的情况．据图判断，以下说法不正确的是（）23．（3分）（2015•菏泽一模）科学家将离体叶绿体浸泡在pH=4的酸性溶液中不能产生A TP （图1），当叶绿体基质和类囊体均达到pH=4时（图2），将其转移到pH=8的碱性溶液中（图3）发现A TP合成．下列叙述不合理的是（）24．（3分）（2010•崇明县二模）为了研究光合作用，生物小组的同学把菠菜叶磨碎，分离出细胞质基质和全部叶绿体．然后又把部分叶绿体磨碎分离出叶绿素和叶绿体基质，分别装在四支试管内，并进行光照．问ABCD中哪一支试管能检测到光合作用的光反应过程？（）25．（3分）（2015•安徽三模）图①～④表示不同条件下，植物叶肉细胞的CO2转移途径．某小组在密闭玻璃温室中进行植物栽培实验，他们对室内空气中的CO2含量进行24小时监测，并根据数据绘制了如图所示的曲线．下列分析正确的是（）（忽略土壤微生物代谢活动产生的CO2量）26．（3分）（2014秋•福建校级期中）以测定的CO2吸收量与释放量为指标，研究温度对某绿色植物光合作用与呼吸作用的影响，结果如图所示．下列分析正确的是（）27．（3分）（2013•甘州区校级模拟）将一新鲜叶片放在特殊的装置内，给予不同强度的光照28．（3分）（2015•历下区校级一模）如图为植物光合作用强度随光照强度变化的坐标图，下列叙述中错误的是（）29．（3分）（2013秋•常德期末）将一个细胞中的磷脂成分全部提取出来，并将其在空气一水界面上铺成单分子层，结果测得单分子层的表面积约为原细胞表面积的两倍．则该细胞最可30．（3分）（2014•浦东新区二模）利用溴甲酚紫指示剂检测金鱼藻生活环境中气体含量变化的实验操作如下，相关叙述不正确的是（）二、简答题31．（7分）（2012秋•东城区期末）蛋白质是生命活动的主要承担者．如图为某些蛋白质在细胞内合成的模式图，其中①～⑤表示细胞结构或物质．请分析并回答：（1）物质①为，它的合成需在细胞核中的催化下进行．图中①与②结合后进行的生理过程称为．（2）若合成的是分泌蛋白，还需经过结构（填图中序号）的加工和分类形成小囊泡，并最终以的方式分泌到细胞外．（3）若上述分泌蛋白为人体激素，可随血液到达全身各处，与靶细胞膜表面的结合，进而影响细胞的功能和代谢．这是⑤完成功能的分子基础．32．（7分）（2014•江苏）生物膜系统在细胞的生命活动中发挥着极其重要的作用．图1～3表示3种生物膜结构及其所发生的部分生理过程．请回答下列问题：（1）图1表示的生理过程是，其主要的生理意义在于．（2）图2中存在3种信号分子，但只有1种信号分子能与其受体蛋白结合，这说明；若与受体蛋白结合的是促甲状腺激素释放激素，那么靶器官是．（3）图3中ATP参与的主要生理过程是．（4）叶肉细胞与人体肝脏细胞都具有图（填图序号）中的膜结构．（5）图1～3中生物膜的功能不同，从生物膜的组成成分分析，其主要原因是．（6）图1～3说明生物膜具有的功能有（写出3项）．33．（9分）（2012•福建）大菱鲆是我国重要的海水经济鱼类．研究性学习小组尝试对大菱鲆消化道中蛋白酶的活性进行研究．（1）查询资料得知，18℃时，在不同PH条件下大菱鲆消化道各部位蛋白酶活性如图1．由图可知，在各自最适pH下．三种蛋白酶催化效率最高的是．（2）资料表明大菱鲆人工养殖温度常年在15一18℃之问．学习小组假设：大菱鲆蛋白酶的最适温度在15﹣18℃间．他们设置15℃、16℃、17℃、18℃的实验温度，探究三种酶的最适温度．①探究实验中以干酪素为底物．干酪素化学本质是，可用试剂鉴定．②胃蛋白酶实验组和幽门盲囊蛋白酶实验组的pH应分别控制在．③为了控制实验温度，装有酶底物的试管应置于中以保持恒温．单位时间内_可以表示蛋白酶催化效率的高低．④实验结果如图2，据此能否确认该假设成立？．理由是（3）研究还发现大菱鲆消化道淀粉酶和脂肪酶含量少、活性低．所以人工养殖投放的饲料成分中要注意降低的比例，以减少对海洋的污染．34．（7分）（2013秋•海淀区期中）某研究小组利用伊乐藻进行了光合作用影响因素的研究．实）该实验研究的自变量是和．（2）伊乐藻产生的氧气来自于的分解，该反应在上进行的．（3）根据实验数据分析，当水体pH为3时，三组伊乐藻的净产氧量均呈现负值，从细胞代谢角度分析，说明．伊乐藻最适宜生长在的环境中．（4）当水体的pH为10时，与pH为8相比，净产氧量明显减少，主要原因是水中减少，直接导致暗反应（碳反应）速率降低，影响了产氧速率．35．（5分）（2011秋•朝阳区期末）图甲数字表示不同的代谢过程．图乙表示某植物在密闭空间中测得的24小时内CO2浓度变化曲线．请分析回答下列问题：（1）图甲中②过程，在图乙的时间段发生．（2）图乙cd段CO2浓度迅速下降的原因是．（3）图乙b点植物进行的代谢活动为图甲的．（填写图中数字）（4）图乙24小时中植物在段积累有机物．（填写图中字母）（5）多数植物适宜光合作用的温度为20℃﹣30℃．研究人员以此植物为材料，利用同一植株通过单细胞克隆获得HA、HB、HD三个株系，从中筛选耐高温优良品种．表l为不同温度对不同株系光合作用速率的影响．①由表l推测，在适宜光合作用的温度条件下，株系光合速率最高．②在实验条件下，_株系保持较平稳状态且光合速率较高，说明其耐高温性较好．③能够通过同一植株进行单细胞克隆获得HA、HB、HD三个不同的株系，原因是被培养的细胞一直处于状态，因此容易受到培养条件和外界压力（如射线等）的影响而产生．④研究人员欲通过基因工程对耐高温品系进一步改良．某种限制性核酸内切酶的识别序列和切点是↓GATC，现有含目的基因的DNA片段，如图所示．请在方框内画出被此限制性核酸内切酶切割后所形成含目的基因的片段．36．（2014秋•大兴区校级期中）如图为处于不同分裂时期的某动物细胞中部分染色体示意图，图中均有性染色体X．请据图回答下列问题．（1）细胞中具有同源染色体的是图；等位基因的分离发生在图．（2）该动物体内有可能同时出现这三种细胞的器官是．图中含有X染色体数目最多的是．若配子中出现了两条X染色体，原因可是减数第次分裂过程出现了异常．2014-2015学年北京市大兴区魏善庄中学高三（上）期中生物试卷参考答案与试题解析一、选择题3．（3分）（2013•宜春模拟）如图表示一个由200个氨基酸构成的蛋白质分子．下列叙述正确的是（）4．（3分）（2014•广东）油菜种子成熟过程中部分有机物的变化如图所示，将不同成熟阶段的5．（3分）（2009•广东模拟）在如图所示四种化合物的化学组成中，“○”中所对应的含义最接近的是（）8．（3分）（2014•咸阳模拟）图中①～④表示某动物细胞的部分细胞器，下列有关叙述中，正确的是（）9．（3分）（2013秋•朝阳区期中）如图表示细胞间某种信息交流的方式，有关说法不正确的是（）10．（3分）（2014秋•大兴区校级期中）如图表示某生物膜结构，图中A、B、C、D、E、F 表示某些物质，a、b、c、d表示物质跨膜的运输方式．下列说法错误的是（）若是根毛细胞的细胞膜，通过中耕松土可促进a过程若是线粒体膜，b和c过程运输的气体分别是O2、CO211．（3分）（2014•威海一模）如图为细胞核结构模式图，下列有关叙述不正确的是（）12．（3分）（2013秋•荆州区校级期末）如图为某种高等植物的细胞结构示意图，下列说法正确的是（）13．（3分）（2014•北京）比较生物膜和人工膜（双层磷脂）对多种物质的通透性，结果如图，据此不能得出的推论是（）14．（3分）（2015•黑龙江模拟）将某植物花冠切成大小和形状相同的细条，分为a、b、c、d、e和f组（每组的细条数相等），取上述6组细条分别置于不同浓度的蔗糖溶液中，浸泡相同时间后测量各组花冠细条的长度，结果如图所示．假如蔗糖溶液与花冠细胞之间只有水分交换，则（）15．（3分）（2012•安徽）蛙的神经元内、外Na+浓度分别是15mmol/L和120mmol/L，在膜电位由内负外正转变为内正外负过程中有Na+流入细胞，膜电位恢复过程中有Na+排出细胞．下16．（3分）（2015•平川区校级一模）A TP是细胞中重要的高能磷酸化合物，下列有关ATP的17．（3分）（2009•宁夏）如图表示酶活性与温度的关系，下列叙述正确的是（）18．（3分）（2012•嘉定区一模）A、B两种酶用同一种蛋白酶处理，酶活性与处理时间的关系如图所示．下列分析错误的是（）19．（3分）（2011•海南）细胞内糖分解代谢过程如图，下列叙述错误的是（）20．（3分）（2014•天津）如图是细胞中糖类合成与分解过程示意图．下列叙述正确的是（）（CH2O）+O2CO2+H2O+能量．21．（3分）（2013•崇明县一模）如图是探究酵母菌呼吸方式的装置，下列相关叙述错误的是（）22．（3分）（2014•旌阳区校级模拟）如图表示叶绿体中色素吸收光能的情况．据图判断，以下说法不正确的是（）23．（3分）（2015•菏泽一模）科学家将离体叶绿体浸泡在pH=4的酸性溶液中不能产生A TP （图1），当叶绿体基质和类囊体均达到pH=4时（图2），将其转移到pH=8的碱性溶液中（图3）发现A TP合成．下列叙述不合理的是（）24．（3分）（2010•崇明县二模）为了研究光合作用，生物小组的同学把菠菜叶磨碎，分离出细胞质基质和全部叶绿体．然后又把部分叶绿体磨碎分离出叶绿素和叶绿体基质，分别装在四支试管内，并进行光照．问ABCD中哪一支试管能检测到光合作用的光反应过程？（）25．（3分）（2015•安徽三模）图①～④表示不同条件下，植物叶肉细胞的CO2转移途径．某小组在密闭玻璃温室中进行植物栽培实验，他们对室内空气中的CO2含量进行24小时监测，并根据数据绘制了如图所示的曲线．下列分析正确的是（）（忽略土壤微生物代谢活动产生的CO2量）26．（3分）（2014秋•福建校级期中）以测定的CO2吸收量与释放量为指标，研究温度对某绿色植物光合作用与呼吸作用的影响，结果如图所示．下列分析正确的是（）27．（3分）（2013•甘州区校级模拟）将一新鲜叶片放在特殊的装置内，给予不同强度的光照28．（3分）（2015•历下区校级一模）如图为植物光合作用强度随光照强度变化的坐标图，下列叙述中错误的是（）29．（3分）（2013秋•常德期末）将一个细胞中的磷脂成分全部提取出来，并将其在空气一水界面上铺成单分子层，结果测得单分子层的表面积约为原细胞表面积的两倍．则该细胞最可30．（3分）（2014•浦东新区二模）利用溴甲酚紫指示剂检测金鱼藻生活环境中气体含量变化的实验操作如下，相关叙述不正确的是（）二、简答题31．（7分）（2012秋•东城区期末）蛋白质是生命活动的主要承担者．如图为某些蛋白质在细胞内合成的模式图，其中①～⑤表示细胞结构或物质．请分析并回答：（1）物质①为mRNA，它的合成需在细胞核中RNA聚合酶的催化下进行．图中①与②结合后进行的生理过程称为翻译．（2）若合成的是分泌蛋白，还需经过结构③④（填图中序号）的加工和分类形成小囊泡，并最终以胞吐的方式分泌到细胞外．（3）若上述分泌蛋白为人体激素，可随血液到达全身各处，与靶细胞膜表面的受体结合，进而影响细胞的功能和代谢．这是⑤完成信息交流功能的分子基础．32．（7分）（2014•江苏）生物膜系统在细胞的生命活动中发挥着极其重要的作用．图1～3表示3种生物膜结构及其所发生的部分生理过程．请回答下列问题：（1）图1表示的生理过程是有氧呼吸第三阶段，其主要的生理意义在于为生命活动供能．（2）图2中存在3种信号分子，但只有1种信号分子能与其受体蛋白结合，这说明受体蛋白具有特异性；若与受体蛋白结合的是促甲状腺激素释放激素，那么靶器官是垂体．（3）图3中ATP参与的主要生理过程是暗反应．（4）叶肉细胞与人体肝脏细胞都具有图1、2（填图序号）中的膜结构．（5）图1～3中生物膜的功能不同，从生物膜的组成成分分析，其主要原因是含有的蛋白质不同．（6）图1～3说明生物膜具有的功能有跨膜运输、信息交流、能量转换等（写出3项）．33．（9分）（2012•福建）大菱鲆是我国重要的海水经济鱼类．研究性学习小组尝试对大菱鲆消化道中蛋白酶的活性进行研究．（1）查询资料得知，18℃时，在不同PH条件下大菱鲆消化道各部位蛋白酶活性如图1．由图可知，在各自最适pH下．三种蛋白酶催化效率最高的是幽门盲囊蛋白酶．（2）资料表明大菱鲆人工养殖温度常年在15一18℃之问．学习小组假设：大菱鲆蛋白酶的最适温度在15﹣18℃间．他们设置15℃、16℃、17℃、18℃的实验温度，探究三种酶的最适温度．①探究实验中以干酪素为底物．干酪素化学本质是蛋白质，可用双缩脲试剂鉴定．②胃蛋白酶实验组和幽门盲囊蛋白酶实验组的pH应分别控制在2和8．③为了控制实验温度，装有酶底物的试管应置于水浴中以保持恒温．单位时间内_底物消耗量（产物生成量）可以表示蛋白酶催化效率的高低．④实验结果如图2，据此能否确认该假设成立？不能．理由是图可知酶活性随温度提高逐步升高，酶活性峰值未出现（3）研究还发现大菱鲆消化道淀粉酶和脂肪酶含量少、活性低．所以人工养殖投放的饲料成分中要注意降低淀粉、脂肪的比例，以减少对海洋的污染．34．（7分）（2013秋•海淀区期中）某研究小组利用伊乐藻进行了光合作用影响因素的研究．实）该实验研究的自变量是pH和伊乐藻生物量．（2）伊乐藻产生的氧气来自于水的分解，该反应在类囊体膜（或“叶绿体基粒”）上进行的．（3）根据实验数据分析，当水体pH为3时，三组伊乐藻的净产氧量均呈现负值，从细胞代谢角度分析，说明三组伊乐藻的呼吸作用强度均大于光合作用强度（或“三组伊乐藻的光合作用强度均小于呼吸作用强度”）．伊乐藻最适宜生长在pH5左右的环境中．（4）当水体的pH为10时，与pH为8相比，净产氧量明显减少，主要原因是水中CO2减少，直接导致暗反应（碳反应）速率降低，影响了产氧速率．35．（5分）（2011秋•朝阳区期末）图甲数字表示不同的代谢过程．图乙表示某植物在密闭空间中测得的24小时内CO2浓度变化曲线．请分析回答下列问题：（1）图甲中②过程，在图乙的7：00﹣19：00时间段发生．（2）图乙cd段CO2浓度迅速下降的原因是cd段光照强，光合作用强，消耗大量的二氧化碳，所以二氧化碳浓度急剧下降．（3）图乙b点植物进行的代谢活动为图甲的③④．（填写图中数字）（4）图乙24小时中植物在cd段积累有机物．（填写图中字母）（5）多数植物适宜光合作用的温度为20℃﹣30℃．研究人员以此植物为材料，利用同一植株通过单细胞克隆获得HA、HB、HD三个株系，从中筛选耐高温优良品种．表l为不同温度对不同株系光合作用速率的影响．推测，在适宜光合作用的温度条件下，HA株系光合速率最高．②在实验条件下，HB_株系保持较平稳状态且光合速率较高，说明其耐高温性较好．③能够通过同一植株进行单细胞克隆获得HA、HB、HD三个不同的株系，原因是被培养的细胞一直处于分生（分裂）状态，因此容易受到培养条件和外界压力（如射线等）的影响而产生突变．④研究人员欲通过基因工程对耐高温品系进一步改良．某种限制性核酸内切酶的识别序列和切点是↓GATC，现有含目的基因的DNA片段，如图所示．请在方框内画出被此限制性核酸内切酶切割后所形成含目的基因的片段．④36．（2014秋•大兴区校级期中）如图为处于不同分裂时期的某动物细胞中部分染色体示意图，图中均有性染色体X．请据图回答下列问题．（1）细胞中具有同源染色体的是图甲和乙；等位基因的分离发生在图乙．（2）该动物体内有可能同时出现这三种细胞的器官是卵巢．图中含有X染色体数目最多的是甲．若配子中出现了两条X染色体，原因可是减数第一或二次分裂过程出现了异常．。
北京市2015届高三上学期期中考试模拟卷(理)
北京市2015届高三上学期期中考试模拟卷2014.11数学（理）（满分150分，考试时长120分钟）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.若全集U={x∈R|x2≤4}, 则集合A={x∈R||x+1|≤1}的补集∁UA为（）A.{x∈R|0<x<2}B.{x∈R|0≤x<2}C.{x∈R|0≤x≤2}D.{x∈R|0<x≤2}2. cos380sin980-cos520sin1880的值为（）A．B．C．D．3.已知为等比数列，Sn是它的前n项和. 若，且a4与a7的等差中项为，则等于（）A．29 B．31 C．33 D．354.已知表示不超过实数的最大整数，为取整函数，是函数的零点，则等于（）A．1 B．2 C．3 D．45.已知向量=(λ+1,1), =(λ+2,2), 若(+)⊥(-), 则λ=（）A．-6 B．-5 C．-4 D．-36.设函数，其中，则导数的取值范围是（）A． B．C．D．7.已知函数若数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．8.函数满足：（i）x∈R，，（ii）x∈[-1，1]，．给出如下四个结论：①函数在区间[1，2]单调递减；②函数在点（）处的切线方程为4x+4y－5=0；③若数列满足，则其前n项和；④若有实根，则a的取值范围是0≤a≤1．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9.若，则的最小值为10.将函数的图像向右平移个长度单位后，所得图像经过点，则实数的最小值是_____________________.11.已知，若满足不等式组, 则的取值范围是__________.12.已知是边长为4的正三角形，D、P是内部两点，且满足，则的面积为_________13.给出下列命题：∈，使；① ∃x R② 若、是第一象限角，则“>”是“cos<cos”的充分不必要条件；③ 函数是偶函数；④ A、B、C为锐角的三个内角，则.其中正确命题的序号是___________．（把正确命题的序号都填上）14.对于两个图形，我们将图形上的任意一点与图形上的任意一点间的距离中的最小值，叫做图形与图形的距离. 若两个函数图像的距离小于1，陈这两个函数互为“可及函数”. 给出下列几对函数，其中互为“可及函数” 的是_________. （写出所有正确命题的编号）①；②，；③，；④，；⑤，.三、解答题: 本大题共6小题，共80分。
北京市大兴区魏善庄中学2015届高三上学期期中考试化学试卷(无答案).pdf
B 加热试管中的氯化铵固体
C 将烧瓶中的浓氨水加热
D 将分液漏斗中的浓氨水滴入装有生石灰的烧瓶中
9.某同学用滤纸折成一个纸蝴蝶并喷洒一种溶液（保持湿润），挂在铁架台上。另取一只盛某种溶液的烧杯，放在
纸蝴蝶的下方（如右图）。过一会，发现纸蝴蝶变为红色。下表的组合中，能够实现上述变化的是（ ）
一、单选题：(46分)
1.下列气体中，不会造成空气污染的是（ ）
A N2
B NO
C NO2
D SO2
2.下列气体中，不能用排空气法收集的是（ ）
A H2 B CO2 C NO D O2
3.下列变化中，不属于化学变化的是（ ）
A SO2使品红溶液褪色 B 氯水使有色布条褪色C 活性炭使红墨水褪色 D 漂白粉使某些染料褪色
（1 ）工业合成氨气利用的反应是
；
（2 ）工业上用氨气制取NO的化学方程式：
某小组计划在中学实验室模拟上述反应过程的某些环节，请你协助他们解决以下问题：
（3）实验室用氯化铵和
反应，制取少量的氨气 ，该过程的化学应方程式为 ：
（1）铁锅的锈蚀应属于? ，腐蚀的原因是? 。
（2）铁锅锈蚀的电极反应式为：负极? ；正极? 。正负极反应产物会继续发生反应，反应的离子方程式和化学方
程式为? 。
26、（14分 ）为了验证浓H2SO4 氧成才CO2，选用下图所用仪器（内涵物质）组装成实验装置：
如按气流由左向右流向，连接上图装置的正确顺序是（填个接口字母）
（ ?）
A.正极反应式：Ag + Cl－－e－=AgCl?
B. 每生成1 mol Na2Mn5O10 转移2 mol电子
C.Na＋不断向“水”电池的负极移动
北京市大兴区2024届高三上学期期中检测 数学试题(含解析)
大兴区2023~2024学年度第一学期期中检测高三数学本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}{}111,0,1A x x B =-<≤=-，，则A B = （）A.{}0B.{}1-C.{}1 D.{}0,1【答案】D 【解析】【分析】利用集合,A B ，即可求出A B ⋂.【详解】由题意，{}{}111,0,1A x x B =-<≤=-，，∴{}0,1A B = ，故选：D.2.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是()1,1-，则z z ⋅=（）A.1B.C.2D.【答案】C 【解析】【分析】根据复数的几何意义可得1i,z =-结合共轭复数的定义以及复数的乘法运算即可求解.【详解】由题意可得1i,z =-故1i z =+，进而()()1i 1i 2z z ⋅=+-=，故选：C3.下列函数中，既是偶函数又在区间()0,∞+上单调递增的是（）A.2x y =B.1y x -=C.cos y x =D.ln ||y x =【答案】D 【解析】【分析】分别判断各选项中函数的奇偶性和单调性即可.【详解】指数函数2x y =不是偶函数，A 选项错误；幂函数1y x -=是奇函数，B 选项错误；函数cos y x =是偶函数，但在()0,∞+上不单调，C 选项错误；函数ln y x =是偶函数，()0,x ∞∈+时ln y x =单调递增.故选：D4.设x ∈R ，则“sin 0x =”是“cos 1x =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据同角三角函数平方关系，结合必要不充分性的判断即可求解.【详解】由sin 0x =，则22sin 1cos 0cos 1x x x =-=⇒±=，故充分性不成立，由cos 1x =，则22cos 1sin 1sin 0x x x =-=⇒=，故必要性成立，故“sin 0x =”是“cos 1x =”的必要不充分条件，故选：B5.已知向量(10)(01)a b == ，，，，若()()a b a b λμ-⊥+，其中∈R ，λμ，则（）A.1λμ+=-B.1λμ+=C.1λμ⋅=-D.1λμ⋅=【答案】D 【解析】【分析】利用向量的线性运算和向量垂直的坐标运算求解.【详解】向量(10)(01)a b ==，，，，()1,a b λλ-=- ，()1,a b μμ+= ，()()a b a b λμ-⊥+ ，()()10a b a b λμλμ-⋅+=-⋅=，即1λμ⋅=.故选：D6.在平面直角坐标系x O y 中，角α以O x 为始边，点(3,4)P -在角α终边上，则错误的是（）A.4sin 5α=B.7cos 225α=C.1sin cos 5αα+= D.tan22α=【答案】B 【解析】【分析】根据任意角三角函数的定义求sin ,cos ,tan ααα，进而可以判断AC ；利用倍角公式判断B ；利用倍角公式结合象限角的三角函数值的符号判断D 【详解】由题意可知：4344sin ,tan 5533ααα-==-=--，故A 正确；且227cos 2cos sin 25ααα=-=-，故B 错误；431sin cos 555αα⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭，故C 正确；因为22tan42tan 31tan 2ααα==--，整理得22tan 3tan 2022αα--=，解得tan 22α=或1tan 22α=-，且π2π2ππ,2αk k k Z +<<+Î，则ππππ,422αk k k Z +<<+Î，可知k 为奇数时，2α为第三象限角，k 为偶数时，2α为第一象限角，综上所述：tan 02α>，即tan 22α=，故D 正确；故选：B.7.在ABC 中，π,4,6A AB BC a ∠===，且满足该条件的ABC 有两个，则a 的取值范围是（）A.()0,2 B.(C.()2,4 D.()【答案】C【分析】由题意可知，画出A ∠和边长AB ，以B 为圆心，a 为半径作圆与AC 边有两个交点时即可求出a 的取值范围.【详解】根据题意如下图所示：易知当BC AC ⊥时，sin 302BC AB == ，若2a =满足条件的三角形只有一个；由题可知以B 为圆心，a 为半径的圆与AC 边有两个交点时，即图中12,C C 两点满足题意；所以可得BC a AB <<，即24a <<；即a 的取值范围是()2,4.故选：C 8.已知12a =，5log 2b =，tan1c =，则（）A.b a c <<B.a c b <<C.a b c <<D.c b a<<【答案】A 【解析】【分析】根据正切函数的单调性可得1c <，根据对数的性质可得12b <，即可比较.【详解】πtan1tan 14c =>=，551log 2log 2b =<=，所以b ac <<，故选：A9.设函数()e ln x f x x =-的极值点为0x ，且0x M ∈，则M 可以是（）A.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.12,23⎛⎫⎪⎝⎭C.2,13⎛⎫⎪⎝⎭D.()1,2【答案】B【分析】求导，再根据导函数的单调性结合极值点的定义及零点的存在性定理即可得出答案.【详解】()1()e 0xf x x x '=->，因为函数1e ,xy y x ==-在()0,∞+上都是增函数，所以函数1()e xf x x'=-在()0,∞+上是增函数，又213212333e 20,e 023222f f ⎛⎫⎛⎫''=-<=-=->-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以存在唯一实数012,23x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()00f x '=，当00x x <<时，()0f x '<，当0x x >时，()0f x ¢>，所以函数函数()e ln x f x x =-又唯一极值点0x ，且012,23x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，故M 可以是12,23⎛⎫⎪⎝⎭.故选：B.10.已知数列{}n a 满足1(1) n n n a a a +=-（n *∈N ），且101a <<．给出下列四个结论：①214a ≤；②12334n n a a a a +++++<；③m n *∀∈N ，，当n m >时，n m a a >；④k *∀∈N ，m *∃∈N ，当n m ≥时，1n a k<．其中所有正确结论的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】根据二次函数的性质即可判定①，由放缩法即可求解②，根据数列的单调性即可判断③④【详解】由于2211111(1) =24a a a a ⎛⎫=---+ ⎪⎝⎭，且101a <<，所以214a ≤，故①正确，21(1) 0n n n n n n a a a a a a +-=--=-≤，由于101a <<，所以0n a <，故1n n a a +<，所以当2n ≥时，214n a a <≤，因此()()1231113111444n n a a a a a n n +++++<+-<+-=，故②正确，由于1n n a a +<，所以数列{}n a 为单调递减数列，所以m n *∀∈N ，，当n m >时，n m a a <；③错误，21(1) =n n n n na a a a a +=--，故21(1) =n n n n na a a a a +=--，则111n n na a a +=-，由于01n a <<，则011n a <-<，所以1111n n na a a +=>-，又21nn n a a a +=-，同除以21111n n n n n n n n n a a a a a a a a a ++++=-，所以1111n n n n a a a a ++=-，1112211111,,n n n n a a a a a a a a --=-=- ，相加可得11121111n n n n n a a a a a a a a -+++++=- ，故1111n n a a +->，进而可得111101n a n n a +<<<+，k *∀∈N ，m *∃∈N ，当1m k =+时，又数列{}n a 为单调递减数列，当n m ≥时，111n m a a m k≤<=-．故④正确故选：C【点睛】方法点睛：本题主要考查数列求和的应用，根据数列的递推关系，利用累加法求出数列的通项公式以及，利用裂项法进行求和是解决本题的关键；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于n n n c a b =+，其中{}na 和{}nb 分别为特殊数列，裂项相消法类似于()11n a n n =+，错位相减法类似于n n n c a b =⋅，其中{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列等.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.2lg2lg25+=______．【答案】2【解析】【分析】通过同底对数的运算法则，求得结果.【详解】2lg2lg25lg4lg25lg1002+=+==本题正确结果：2【点睛】本题考查对数的运算，属于基础题.12.设函数()tan f x x =，则π()4f -=______；若()f x 满足对于定义域内的每一个x 都有()()f x T f x +=，0T >，则T 的最小值是______.【答案】①.1-②.π【解析】【分析】根据诱导公式直接计算π()4f -，根据最小正周期的概念求解即可；【详解】函数()tan f x x =，则πππ(tan(tan 1444f -=-=-=-，若()f x 满足对于定义域内的每一个x 都有()()f x T f x +=，0T >，则T 为函数()tan f x x =的一个正周期，又函数()tan f x x =的最小正周期为π，所以T 的最小值是π.故答案为：1-；π13.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，能说明“若{}n a 为递增数列，则*1,N n n n S S +∀∈<”为假命题的一组1a 和公比q 的值为1a =_______，q =_______．【答案】①.1-②.12（答案不唯一）【解析】【分析】由题意，等比数列{}n a 为递增数列，且*1,0N n n a +∈≤∃，取一组符合条件的1a 和公比q 即可.【详解】“若{}n a 为递增数列，则*1,N n n n S S +∀∈<”为假命题，所以若{}n a 为递增数列，则*1,N n n n S S +∃∈≥，1n n S S +≥，则110n n n S S a ++-=≤，等比数列{}n a 为递增数列，且*1,0N n n a +∈≤∃，则11a =-和公比12q =，满足题意.故答案为：1-；1214.已知等边ABC 的边长为4，E F ，分别是，AB AC 的中点，则EF EA ⋅=_______；若M N ，是线段BC上的动点，且1MN =，则EM EN ⋅的最小值为_______．【答案】①.2②.114##2.75【解析】【分析】第一空：通过()EF EA EA AF EA ⋅=+⋅展开整理，带入数据计算即可；第二空：设,03BN t t =≤≤，通过()()EM EN EB BM EB BN ⋅=+⋅+展开整理，带入数据然后配方求最值.【详解】()22222cos1202EF EA EA AF EA EA AF EA ⋅=+⋅=+⋅=+⨯⨯=;若M N ，是线段BC 上的动点，且1MN =，不妨设N 点相对M 更靠近B 点，设,03BN t t =≤≤，()()()2EM EN EB BM EB BN EB BM BN EB BM BN∴⋅=+⋅+=++⋅+⋅ ()()2221cos1201t t t t=+++++ 22111324t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，当12t =时，EM EN ⋅ 取最小值，且为114.故答案为：2；114.15.已知函数1()22.xx a f x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，，，①当0a =时，()f x 的值域为_______；②若关于x 的方程()()f x f x -=恰有2个正实数解，则a 的取值范围是_______．【答案】①.(0)+∞，②.[11)-，【解析】【分析】①当0a =时，分别判断两段的值域，取并集得()f x 的值域；②方程()()f x f x -=恰有2个正实数解，则y 轴左边的函数图像翻折到右边，与右边的图像有两个交点，作出图像判断a 的取值范围.【详解】①当0a =时，10()220.xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，，，，0x ≤时，1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，函数单调递减，011()2f x ⎛⎫≥ ⎪⎝=⎭；0x >时，()2f x x =，函数单调递增，()0f x >，所以()f x 的值域为(0)∞+，；②函数1()22.xx a f x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，，，关于x 的方程()()f x f x -=恰有2个正实数解，则y 轴左边的函数图像翻折到右边，与y 轴右边的图像有两个交点，分别作出函数12,,22xx y x y y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭的图像，其中函数2y x =与2x y =的图像相交于点()1,2和()2,4结合图像可知方程()()f x f x -=恰有2个正实数解，为1x =和2x =，需要11a -≤<，所以a 的取值范围为[11)-，.故答案为：(0)∞+，；[11)-，.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在ABC 中，2a =，2c b =．（1）若1sin 4B =，求C ∠；（2）若60A ︒∠=，求△ABC 的面积．【答案】（1）30C ︒∠=或150︒（2）233【解析】【分析】（1）根据正弦定理得到1sin 2C =即可得到答案；（2）根据余弦定理得到3b =，再根据三角形面积公式求解即可.【小问1详解】因为2c b =，所以由正弦定理sin sin c C b B=，得sin 2sin CB =，因为1sin 4B =，所以1sin 2C =，因为0180C ︒︒＜∠＜，所以30C ︒∠=或150︒【小问2详解】由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得2222(2)22cos60b b b b ︒=+-⨯⨯，解得3b =或3b =-（舍去），由△ABC 的面积1sin 2S bc A =，得2132sin 6322302S b b =⨯=⨯︒=17.已知等差数列{}n a 满足41a =，65a =.数列{}n b 满足15b a =，13n n bb +=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 前n 项和n S 的最小值为m ，若4a ，m ，k b 构成等比数列，求k 的值．【答案】（1）27n a n =-；（2）4.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出等差数列的公差即可得解.（2）由（1）的信息，求出m ，再借助等比数列求解即可.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则113155a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得15a =-，2d =，所以数列{}n a 的通项公式1(1)27n a a n d n =+-=-．【小问2详解】由（1）知，1230a a a <<<，4560a a a <<<< ，从而{}n a 的前n 项和n S 的最小值33253292m S ⨯==-⨯+⨯=-，由4a ，m ，k b 构成等比数列，得2481k m b a ==，由27n a n =-，得53a =，即153b a ==，又13n n b b +=，则数列{}n b 是首项为3，公比3q =的等比数列，即有3k k b =，由381k =，解得4k =，所以k 的值是4.18.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭，且()f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2．（1）求ω的值；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，若()f x a ≥对ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．条件①：()01f =-；条件②：()f x 的最大值为2；条件③：()f x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增．注：如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．【答案】（1）2ω=（2）条件选择见解析，1a ≤【解析】【分析】（1）根据题意求出函数()f x 的最小正周期，结合正弦型函数的周期公式可求得ω的值；（2）选①②，根据函数()f x 的最大值求出A 的值，根据()01f =-结合ϕ的取值范围，求出ϕ的值，可得出函数()f x 的解析式；选②③，根据函数()f x 的最大值求出A 的值，分析可知，π26f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，结合ϕ的取值范围，可求出ϕ的值，可得出函数()f x 的解析式；选①③，分析可知，π6f A ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，结合ϕ的取值范围，可求出ϕ的值，再由()01f =-可得出A 的值，即可得出()f x 的解析式；再由ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦结合正弦型函数的基本性质可求出()f x 的最小值，即可得出实数a 的取值范围.【小问1详解】解：因为()f x 的图象的相邻两个对称轴的距离为π2，所以，函数()f x 的最小正周期为π2π2T =⨯=，所以2π2T ω==．【小问2详解】解：选择条件①②．因为()f x 的最大值为2，所以2A =，即()()2sin 2f x x ϕ=+．由()02sin 1f ϕ==-，得1sin 2ϕ=-，又因为2πϕ<，所以π6ϕ=-，所以函数()f x 的解析式为()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．选择条件②③．因为()f x 的最大值为2，所以2A =，因为()f x 的最小正周期为πT =，且在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，又因为区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的长度为πππ3622T ⎛⎫--== ⎪⎝⎭，所以π26f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即πsin 13ϕ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，得()ππ2π32k k ϕ-=-∈Z ，则()π2π6k k ϕ=-∈Z ，又因为2πϕ<，所以π6ϕ=-．所以()f x 的解析式为()π2sin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭．选择条件①③．因为()f x 的最小正周期为πT =，且在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，又因为区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的长度为πππ3622T ⎛⎫--== ⎪⎝⎭，所以ππsin 63f A A ϕ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πsin 13ϕ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，得()ππ2π32k k ϕ-=-∈Z ，则()π2π6k k ϕ=-∈Z ，又因为2πϕ<，所以π6ϕ=-．由()01f =-，得π1sin 162A A ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，所以2A =．所以()f x 的解析式为()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．因为ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ5π2,636x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦所以π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故()[]1,2f x ∈．当π2x =时，()f x 的最小值为1．因为ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()f x a ≥恒成立，则1a ≤，所以a 的取值范围为(],1-∞．19.已知函数32()1f x x ax =--.（1）若1a =，求()f x 的极值；（2）若()f x 在区间[2,0]-上的最小值为(2)f -，求a 的取值范围；（3）直接写出一个a 值使()f x 在区间[1,0]-上单调递减．【答案】（1）极大值为(0)1f =-，极小值为231327⎛⎫=- ⎪⎝⎭f （2）[2,)-+∞（3）2-（答案不唯一，3,2a ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦即可）【解析】【分析】（1）求导，利用导数判断原函数单调性和极值；（2）求导，分类讨论两根大小，利用导数判断原函数单调性和最值，列式求解即可；（3）由题意可得32a x ≤在[)1,0-内恒成立，根据恒成立问题分析求解.【小问1详解】当1a =时，32()1f x x x =--，函数()f x 的定义域为R ，则2()32f x x x ='-，令()0f x '=，解得0x =，或23x =，()f x '与()f x 在区间R 内的情况如下：x (,0)-∞020,3⎛⎫ ⎪⎝⎭232,+3⎛⎫∞ ⎪⎝⎭()f x '+0-0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以()f x 的极大值为(0)1f =-，极小值为231327⎛⎫=- ⎪⎝⎭f ．【小问2详解】由题意知，2()32(32)f x x ax x x a '=-=-．令()0f x '=，则0x =，23x a =，①当223a ≤-，即3a ≤-时，()0f x '≤在区间[2,0]-上恒成立，所以()f x 区间[2,0]-上单调递减，所以()f x 的最小值为(0)f ，与已知相矛盾，不符合题意；②当2203a -<<，即30a -<<时，()f x '与()f x 在区间(2,0)-上的变化情况如下：x 22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭a 23a 2a,03⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x '+0-()f x 单调递增极大值单调递减因为()f x 在区间[2,0]-上的最小值为(2)f -，所以(2)(0)f f -≤，即941a ---≤，解得2a ≥-，所以20a -≤<；③当203a ≥，即0a ≥时，()0f x '≥在区间[2,0]-上恒成立，所以()f x 在[2,0]-上单调递增，最小值为(2)f -，满足题意；综上所述：a 的取值范围是[2,)-+∞.【小问3详解】若()f x 在区间[1,0]-上单调递减，则2()320f x x ax '=-≤在[)1,0-内恒成立，可得32a x ≤在[)1,0-内恒成立，即32a ≤-，即a 的取值范围为3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，所以a 的值可以为2-.20.设函数23()9(3)e ax f x x x =--，曲线()y f x =在点(0(0))f ，处的切线方程为27y =.（1）求a 的值；（2）求证：当(],3x ∈-∞时，()27f x ≥；（3）问存在几个点()00,()P x f x ，使曲线()y f x =在点P 处的切线平行于x 轴？（结论不要求证明）【答案】（1）1（2）证明见解析（3）2【解析】【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；（2）利用导数求出()f x 在(],3x ∈-∞上的最小值，即可得证；（3）曲线()y f x =在点P 处的切线平行于x 轴，即曲线()y f x =在点P 处的斜率为0，则点P 的个数即函数()y f x '=零点的个数，结合（2）即可得出答案.【小问1详解】因为23()9(3)e ax f x x x =--，所以23()183(3)e (3)e ax axf x x x x a '=----，因为曲线()y f x =在点(0(0))f ，处的切线方程为27y =，所以所以(0)27270f a =-='，所以1a =；【小问2详解】由（1）知，2()(18e (3))x f x x x '=--，设2()18e (3)x g x x =--，所以()e (3)(1)x g x x x =---'，当3x >或1x <时，()0g x '<，当13x <<时，()0g x '>，所以函数()g x 在()(),1,3,∞∞-+上单调递减，在()1,3上单调递增，所以当(],3x ∈-∞时，()()min 1184e 0g x g ==->，则当0x <时，()0f x '<，当03x <<时，()0f x ¢>，所以函数()f x 在(),0∞-上单调递减，在()0,3上单调递增，所以()()min 027f x f ==，所以当(],3x ∈-∞时，()27f x ≥；【小问3详解】曲线()y f x =在点P 处的切线平行于x 轴，即曲线()y f x =在点P 处的斜率为0，则点P 的个数即函数()y f x '=零点的个数，由题意可知点P 可以是()0,27，当00x ≠时，令2()(18e (3))0x f x x x '=--=，则218e (3)0x x --=由（2）得，2()18e (3)x g x x =--在()(),1,3,∞∞-+上单调递减，在()1,3上单调递增，()()1184e>0,318g g =-=，由当x →-∞时，()g x ∞→+，当x →+∞时，()g x →-∞，所以当3x <时，函数()g x 无零点，当3x >时，()g x 有且仅有一个零点，综上，函数()y f x '=有2个零点，即存在2个点()00,()P x f x ，使曲线()y f x =在点P 处的切线平行于x 轴【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.21.设数列12:,,,n A a a a (2)n ≥，如果1202024n a a a <<<< ≤，且i a *∈N ，(1,2,,)i n = ，对于2k ∀≥，11s t r k ∃-≤≤≤≤，使k s t r a a a a =++成立，则称数列A 为E 数列．（1）分别判断数列1,3,5,7和数列2,6,14,22是否是E 数列，并说明理由；（2）若数列A 是E 数列，且2023n a =，求n 的最小值；（3）若数列A 是E 数列，且2024n a =，求n 的最大值．【答案】（1）1,3,5,7是E 数列，2,6,14,22是E 数列，理由见解析（2）3（3）127【解析】【分析】（1）分别验证数列1,3,5,7和数列2,6,14,22中234,,a a a 是否满足E 数列性质即可得出结论；（2）利用反证法证明2n =不成立，取特例可知当3n =存在数列满足E 数列，即可得n 的最小值为3；（3）首先证明若1a 为奇数，则n a 必为奇数，又2024n a =可得1a 为偶数；利用E 数列性质可证明得出18a ≥，解不等式即可求出127n ≤.【小问1详解】①是E 数列．因为21113a a a a =++=，31121135a a a a =++=++=，41131157a a a a =++=++=，所以①是E 数列.②是E 数列．因为21116a a a a =++=，312226614a a a a =++=++=，4123261422a a a a =++=++=，所以②是E 数列．【小问2详解】首先证明n 不能为2．假设2n =，由数列A 为E 数列知，2111132023a a a a a =++==．所以120233a *=∉N ，与已知矛盾，故假设不成立．所以n 不能为2．因为数列A ：2898672023，，满足211113867a a a a a =++==，31222898678672023a a a a =++=++=，此时A 是E 数列，所以n 的最小值为3.【小问3详解】（i ）以下证明：若1a 为奇数，则n a 必为奇数．假设数列A 中存在偶数，设(2)k a k ≥是数列A 中第一个偶数，因为数列A 是E 数列，所以11s t r k ∃-≤≤≤≤，使k s t r a a a a =++．因为s t r a a a ，，均为奇数，所以k a 也为奇数，与k a 为偶数矛盾．所以若1a 为奇数，则n a 必为奇数．因为2024n a =为偶数，所以1a 不能为奇数，只能为偶数．（ii ）以下证明：若1=2a ，则42n a p =+（p *∈N ）．若不然，设k a （2k ≥）为第一个满足42k a p ≠+（p *∈N ）的项，因为数列A 是E 数列，所以11s t r k ∃-≤≤≤≤，使k s t r a a a a =++．因为123424242s t r a p a p a p =+=+=+，，（123p p p *∈，，N ），所以k a ()123412p p p =++++，与42k a p ≠+（p *∈N ）矛盾；所以若1=2a ，则42n a p =+（p *∈N ）．而20244506042n a p ==⨯+≠+（p *∈N ），所以12a ≠．同理，若14a =，则84n a p =+（p *∈N ）．而20248253084n a p ==⨯+≠+（p *∈N ）．所以1a 4≠．同理，若16a =，则126n a p =+3p ='（p p *'∈N ，）．而2024367423n a p '==⨯+≠（p *'∈N ），所以16a ≠．综上18a ≥．（3）当18a ≥时，因为数列A 是E 数列，所以111123288216316(2)16n n n n n a a a a a a a a n ----≥++≥++≥+⨯≥+⨯≥≥+-⨯ ()13216168a n n =+-⨯≥-由题意知，2024168n ≥-，解得127n ≤;所以n 的最大值为127．此时()1681,2,,127n a n n =-= 即为满足条件的E 数列【点睛】关键点点睛：本题关键在于求解第（3）问时，首先证明1a 只能为偶数，再利用数列性质分别验证1a 的最小偶数取值，构造不等式即可得出其最大值.。
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2014-2015学年北京市大兴区魏善庄中学高三（上）期中数学试卷（文科）一.选择1．（3分）已知集合A={x|x＞1}，B={x|x2＜4}，那么A∩B=（）A．（﹣2，2）B．（﹣1，2）C．（1，2） D．（1，4）2．（3分）若a=log23，b=log32，，则下列结论正确的是（）A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a3．（3分）已知，则sin2α等于（）A．B．C．D．4．（3分）在等比数列{a n}中，a2=6，a3=﹣18，则a1+a2+a3+a4=（）A．26 B．40 C．54 D．805．（3分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（）A．B．y=e|x|C．y=﹣x2+3 D．y=cosx6．（3分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且，则a5（）A．﹣16 B．16 C．31 D．327．（3分）向量的模为4，向量，若，则向量与的夹角的大小是（）A． B． C．D．8．（3分）函数y=3x﹣x3，在[﹣1，2]上的最大、最小值分别为（）A．f（﹣1），f（0）B．f（1），f（2）C．f（﹣1），f（2）D．f（2），f（﹣1）二.填空题9．（3分）设向量=（cosθ，1），=（1，3cosθ），且∥，则cos2θ=．10．（3分）在△ABC中，已知a=2，b=3，，则△ABC的面积是．11．（3分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象如图所示，则ω=，φ=．12．（3分）若，，则t anθ=．13．（3分）f′（x）是的导函数，则f′（﹣1）的值是．14．（3分）已知函数则f（x）的零点是；f （x）的值域是．三.解答题15．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA=，cosB=．（Ⅰ）求cos（A+B）的值；（Ⅱ）设a=，求△ABC的面积．16．在等差数列{a n}中，a2+a7=﹣23，a3+a8=﹣29．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n+b n}是首项为1，公比为c的等比数列，求{b n}的前n项和S n．17．已知函数f（x）=sinx+sin（x﹣）．（Ⅰ）求f（x）的周期；（2）求f（x）的单调递增区间及最值．18．已知函数f（x）=x3+ax2+bx﹣1在x=1处有极值﹣1．（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）求函数g（x）=ax+lnx的单调区间．2014-2015学年北京市大兴区魏善庄中学高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择1．（3分）已知集合A={x|x＞1}，B={x|x2＜4}，那么A∩B=（）A．（﹣2，2）B．（﹣1，2）C．（1，2） D．（1，4）【解答】解：∵集合A={x|x＞1}，B={x|x2＜4}={x|﹣2＜x＜2}，∴A∩B={x|1＜x＜2}．故选：C．2．（3分）若a=log23，b=log32，，则下列结论正确的是（）A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a【解答】解：∵a=log23＞log22=1，0=log31＜b=log32＜log33=1，＜log41=0，∴c＜b＜a故选：D．3．（3分）已知，则sin2α等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵tan（α﹣）==，∴tanα=2，则sin2α====．故选：C．4．（3分）在等比数列{a n}中，a2=6，a3=﹣18，则a1+a2+a3+a4=（）A．26 B．40 C．54 D．80【解答】解：∵等比数列{a n}中，a2=6，a3=﹣18，∴=﹣3，=﹣2∴a 1+a2+a3+a4=﹣2+6﹣18+54=40故选：B．5．（3分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（）A．B．y=e|x|C．y=﹣x2+3 D．y=cosx【解答】解：对于y=﹣函数的定义域为{x|x≠0}，f（﹣x）=﹣f（x），则该函数为奇函数，A不合题意对于y=e|x|函数的定义域为x∈R，将x用﹣x代替函数的解析式不变，所以y=e|x|是偶函数，但函数y=e|x|在（0，+∞）上单调单调递增，B符合题意对于y=﹣x2+3函数的定义域为x∈R，将x用﹣x代替函数的解析式不变，所以y=﹣x2+3是偶函数，但函数y=﹣x2+3在（0，+∞）上单调单调递减，C不合题意对于y=cosx函数的定义域为x∈R，将x用﹣x代替函数的解析式不变，所以y=cosx是偶函数，但函数y=cosx在（0，+∞）上不单调，D不合题意故选：B．6．（3分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且，则a5（）A．﹣16 B．16 C．31 D．32【解答】解：当n=1时，a1=S1=2a1﹣1，∴a1=1．当n＞1时，S n=2a n﹣1，∴S n﹣1=2a n﹣1﹣1，∴S n﹣S n=2a n﹣2a n﹣1，﹣1∴a n=2a n﹣2a n﹣1，∴a n=2a n﹣1，∴=2，∴{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，∴a n=2n﹣1，n∈N*．∴a5=25﹣1=16．故选：B．7．（3分）向量的模为4，向量，若，则向量与的夹角的大小是（）A． B． C．D．【解答】解：由于，所以=0，+=0，∴=﹣=﹣4又∵==4×2×解得=，∴=，故选：B．8．（3分）函数y=3x﹣x3，在[﹣1，2]上的最大、最小值分别为（）A．f（﹣1），f（0）B．f（1），f（2）C．f（﹣1），f（2）D．f（2），f（﹣1）【解答】解：∵y′=3﹣3x2，令y′＞0，解得：﹣1＜x＜1，令y′＜0，解得：x＞1或x＜﹣1，∴函数f（x）在[﹣1，1）递增，在（1，2]递减，∴f（x）max=f（1）=2，∵f（﹣1）=﹣2，f（2）=﹣2，∴f（1）最大，f（﹣1）=f（2）最小，故选：B．二.填空题9．（3分）设向量=（cosθ，1），=（1，3cosθ），且∥，则cos2θ=．【解答】解：∵向量，且，则有cosθ•3cosθ﹣1=0，∴cos2θ=，故cos2θ=2cos2θ﹣1=﹣，故答案为．10．（3分）在△ABC中，已知a=2，b=3，，则△ABC的面积是．【解答】解：∵在△ABC中，已知a=2，b=3，，由余弦定理可得7=4+9﹣12cosC，解得cosC=，∴C=．故△ABC的面积是=，故答案为．11．（3分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象如图所示，则ω=2，φ=．【解答】解：根据函数的图象T=π，所以，当x=时函数值为0，由于0＜φ＜，所以φ=，函数的解析式为：f（x）=故答案为：ω=2，φ=．12．（3分）若，，则tanθ=．【解答】解：∵，∴cosθ＜0又∵，∴cosθ=﹣=﹣，可得tanθ==﹣故答案为﹣13．（3分）f′（x）是的导函数，则f′（﹣1）的值是3．【解答】解：f′（x）=x2+2，把x=﹣1代入f′（x）得：f′（﹣1）=1+2=3故答案为：314．（3分）已知函数则f（x）的零点是﹣1和0；f（x）的值域是．【解答】解：∵函数，由解得x=0．由解得x=﹣1．综上可得f（x）的零点为﹣1和0．由函数f（x）的解析式可得，当x=﹣时，函数有最小值为﹣，当x=9时，函数有最大值为3，故答案为﹣1和0，．三.解答题15．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA=，cosB=．（Ⅰ）求cos（A+B）的值；（Ⅱ）设a=，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵A，B，C为△ABC的内角，且，，，∴，．…（4分）∴cos（A+B）=AcosB+cosAsinB==…（6分）（Ⅱ）由（I）知，A+B=45°∴C=135°，…（7分）∵，由正弦定理得．…（10分）=．…（12分）∴S△ABC16．在等差数列{a n}中，a2+a7=﹣23，a3+a8=﹣29．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n+b n}是首项为1，公比为c的等比数列，求{b n}的前n项和S n．【解答】（Ⅰ）解：设等差数列{a n}的公差是d．依题意a3+a8﹣（a2+a7）=2d=﹣6，从而d=﹣3．所以a2+a7=2a1+7d=﹣23，解得a1=﹣1．所以数列{a n}的通项公式为a n=﹣3n+2．（Ⅱ）解：由数列{a n+b n}是首项为1，公比为c的等比数列，得，即，所以．所以=．从而当c=1时，；当c≠1时，．17．已知函数f（x）=sinx+sin（x﹣）．（Ⅰ）求f（x）的周期；（2）求f（x）的单调递增区间及最值．【解答】解：（1）化简可得f（x）=sinx+sin（x﹣）=sinx+sinx﹣cosx=sinx﹣cosx=（sinx﹣cosx）=sin（x﹣）∴f（x）的周期T=2π；（2）由2kπ﹣≤x﹣≤2kπ+可得2kπ﹣≤x≤2kπ+，∴f（x）的单调递增区间为[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）由振幅的意义可知函数的最大值为，最小值为﹣18．已知函数f（x）=x3+ax2+bx﹣1在x=1处有极值﹣1．（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）求函数g（x）=ax+lnx的单调区间．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=x3+ax2+bx﹣1求导，得f'（x）=3x2+2ax+b…（2分）由题意，解得a=﹣2，b=1…（6分）（Ⅱ）函数g（x）=ax+lnx的定义域是{x|x＞0}，…（9分）…（11分）解且{x|x＞0}，得，所以函数g（x）在区间上单调递增；…（12分）解得，所以函数g（x）在区间上单调递减．…（13分）赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔第11⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p = x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-xxx第12页（共12页）(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O -=f(p)f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。