广东省2020届高三数学文一轮复习典型题专项训练：圆锥曲线及参考答案
【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线综合题答案
即 (x1, y1 2) (x2 , y2 2), x1 x2 ，
于是 x1 x2
x22 , x1
x2
(1
)
x2
,
(
x1 1
x2
)2
x1 x2
，……………⑤
( 4k )2
3
1 k2
1 k2
将③④代入⑤得 2
2
，
(1 )2
16
整理得
3(1 )2 , 1 1
则 16k 2m2 4 2k 2 1 2m2 4 0 ，即 m2 4k 2 2 0
又 x1
x2
4km 2k 2 1
，
x1 x2
2m 2 2k 2
4 1
9分
∴ y1 y2 kx1 mkx2 m k 2 x1x2 kmx1 x2 m2
…………11 分
(2 x1, y1) 3(2 x2 , y2 )
∴ 2yx1133y(22 x2 )
由
y1
y2
3 y2
y2
2 y2
12t 3t2 1
得
y2
6t 3t2 1
由
y1 y2
(3y2 ) y2
3 y22
9 3t2 1
得
y22
y2
1
消去 y得(1 k 2 )x 2 4kx 3 0,由 0得k 2 3 .
2
2
设 M (x1, y1 ), N (x2 , y2 ) ，则
广东省各地2020高考数学月考联考模拟最新分类汇编8 圆锥曲线2 理
2020广东省各地月考联考模拟最新分类汇编（理）：圆锥曲线（2）【广东省茂名市2020年第二次高考模拟理】2．双曲线的焦距为（）A． B． C． D．【答案】C【广东省六校2020届高三第四次联考理科】12.若双曲线的一条渐近线方程为，则以双曲线的顶点和焦点分别为焦点和顶点的椭圆的离心率为__________.【答案】【广东省惠州市2020届高三一模（四调）考试（理数）】7．已知双曲线的焦点为，点在双曲线上，且，则点到轴的距离为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，由，得，由解得.故选B．【广东省高州市第三中学2020届高考模拟一理】15.已知F1、F2是双曲线=1的焦点，PQ是过焦点F1的弦，那么｜PF2｜+｜QF2｜-｜PQ｜的值是 .【答案】16【解析】因为双曲线方程为=1,所以2a=8.由双曲线的定义得｜PF2｜-｜PF1｜＝2a=8, ①|QF2|-|QF1|=2a=8. ②①+②,得｜PF2｜+｜QF2｜-（｜PF1｜+｜QF1｜）＝16.所以｜PF2｜+｜QF2｜-｜PQ｜＝16.【广东广东省江门市2020年普通高中高三第一次模拟（理）】⒚（本小题满分12分）已知直线经过椭圆：（）的一个顶点和一个焦点．⑴求椭圆的离心率；⑵设是椭圆上动点，求的取值范围，并求取最小值时点的坐标．【答案】⑴依题意，，，所以，……2分，……3分，所以椭圆的离心率……4分．⑵，当且仅当时，……5分，当且仅当是直线与椭圆的交点时，……6分，，所以的取值范围是……7分。
设，由得……9分，由……10分，解得或……11分，所求点为和……12分．【广东省茂名市2020年第二次高考模拟理】20.（本小题满分14分）已知椭圆的左、右焦点分别是、，离心率为，椭圆上的动点到直线的最小距离为2，延长至使得，线段上存在异于的点满足.（1）求椭圆的方程；（2）求点的轨迹的方程；（3）求证：过直线上任意一点必可以作两条直线与的轨迹相切，并且过两切点的直线经过定点.【答案】解：（1）依题意得，……………………………2分解得，∴…………………………3分椭圆的方程为……………………………4分（2）解法1：设点的坐标为.当重合时，点坐标为和点，…………………5分当不重合时，由，得. ………………6分由及椭圆的定义，，…7分所以为线段的垂直平分线，为线段的中点在中，，…………………8分所以有.综上所述，点的轨迹的方程是. …………………9分解法2：设点的坐标为.当重合时，点坐标为和点，…………………5分当不重合时，由，得. …………6分由及椭圆的定义，，…………7分所以为线段的垂直平分线，为线段的中点设点的坐标为，则，因此①…………………8分由,得, ②将①代入②，可得.综上所述，点的轨迹的方程式.③…………9分（3）直线与相离，过直线上任意一点可作圆的两条切线……10分所以所以四点都在以为直径的圆上，………11分其方程④……………………12分为两圆的公共弦，③-④得：的方程为…………13分显然无论为何值，直线经过定点. ……………14分【广东省深圳高级中学2020届高三上学期期末理】20. （本小题满分14分）已知曲线；（1）由曲线上任一点向轴作垂线，垂足为，点分所成的比为。
广东省部分地区2020届高三上学期考试数学理试题分类汇编：圆锥曲线
求证△OPQ 的面积为定值，并求此定值·
11、（肇庆市
2020
届高三第二次统测）已知椭圆
x2 a2
+
y
2
=
b2
1 (a > b > 0) 的短半轴长为
2 ，离心率
为 2． 2
（1）求椭圆的方程；
（2）设 A, B 是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且点 A 在第一象限， AE ⊥ x 轴，垂足为 E ， 连接 BE 并延长交椭圆于点 D ，证明： ∆ABD 是直角三角形．
2 ，过点 F 的直线 l 交椭圆于 A, B 两点，若 AB 中点为 (1,1) ，则直线 l 的斜率为 2
A. 2
B. −2
1
C.
D. − 1
2
2
16、（惠州市 2020
届高三第三次调研）已知双曲线 C1 :
x2 － y2 a2 b2
=1(a
> 0，b
> 0) 的离心率 e
>
2，
左、右焦点分别为 F1、F2 ，其中 F2 也是抛物线 C= 2 : y2 2 px ( p > 0) 的焦点， C1 与 C2 在第一
=
1(a > b > 0) 的左焦点为 F ，上
顶点为 B ，右顶点为 A ，过点 F 作 x 轴垂线，该垂线与直线 AB 交点为 M ，若 AM = 3BM 且
△AFM 的面积为 9 3 ，则 C 的标准方程为 2
A． x2 + y2 = 1 B． x2 + y2 = 1
43
86
C． x2 + y2 = 1 2
12、（珠海市 2020 届高三上学期期末考试）已知 F 为抛物线 C= : y2 2 px( p > 0) 的焦点，过 F 垂 直于 x 轴的直线被 C 截得的弦长为 4 ． （1）求抛物线 C 的方程； （2）过点 (m, 0) ，且斜率为1的直线被抛物线 C 截得的弦为 AB ，若点 F 在以 AB 为直径的圆内， 求 m 的取值范围．
高三数学圆锥曲线综合试题答案及解析
高三数学圆锥曲线综合试题答案及解析1.如图，已知椭圆，双曲线(a＞0，b＞0)，若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A，B两点，且C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则C2的离心率为（）A．5B．C．D．【答案】C【解析】由已知，|OA|＝a＝设OA所在渐近线的方程为y＝kx(k＞0)，于是A点坐标可表示为A(x0，kx)(x＞0)于是，即A()，进而AB的一个三分点坐标为()该点在椭圆C1上，有，即，得k＝2即＝2，于是，所以离心率，选C【考点】圆的方程，椭圆的性质，双曲线的性质，双曲线的渐近线，直线与圆锥曲线的位置关系，双曲线的离心率.2.已知抛物线C：的焦点为F，准线为，P是上一点，Q是直线PF与C得一个焦点，若，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图所示，因为，故，过点作，垂足为M，则轴，所以，所以，由抛物线定义知，，选B．【考点】1、抛物线的定义；2、抛物线的标准方程；3、向量共线．3.已知椭圆C：（）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.（i）证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；（ii）当最小时，求点T的坐标.【答案】(1) ；（2）【解析】（1）因为焦距为4，所以，又，由此可求出的值，从而求得椭圆的方程.（2）椭圆方程化为.设PQ的方程为，代入椭圆方程得：.（ⅰ）设PQ的中点为，求出，只要，即证得OT 平分线段PQ.（ⅱ）可用表示出PQ，TF可得：.再根据取等号的条件，可得T的坐标.试题解答：（1），又.（2）椭圆方程化为.（ⅰ）设PQ的方程为，代入椭圆方程得：.设PQ的中点为，则又TF的方程为，则得，所以，即OT过PQ的中点，即OT平分线段PQ.（ⅱ），又，所以.当时取等号，此时T的坐标为.【考点】1、椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线；3、最值问题.4.已知的三个顶点在抛物线：上，为抛物线的焦点，点为的中点，；（1）若，求点的坐标；（2）求面积的最大值.【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）根据抛物线方程为，写出焦点为，准线方程为，设，由抛物线的定义知，，把代入求得点的坐标，再由求得点的坐标；（2）设直线的方程为，，，，联立方程组，整理得，先求出的中点的坐标，再由，得出，用弦长公式表示，构造函数，用导数法求的面积的最大值.（1）由题意知，焦点为，准线方程为，设，由抛物线的定义知，，得到，代入求得或，所以或，由得或，（2）设直线的方程为，，，，由得，于是，所以，，所以的中点的坐标，由，所以，所以，因为，所以，由，，所以，又因为，点到直线的距离为，所以，记，，令解得，，所以在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，又，所以当时，取得最大值，此时，所以的面积的最大值为.【考点】抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，三角形的面积公式，平面向量的坐标运算.5.如图为椭圆C：的左、右焦点，D，E是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率，的面积为.若点在椭圆C上，则点称为点M的一个“椭圆”，直线与椭圆交于A，B两点，A，B两点的“椭圆”分别为P，Q.（1）求椭圆C的标准方程；（2）问是否存在过左焦点的直线，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）直线方程为或.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、直线的标准方程、圆的标准方程、韦达定理、向量垂直的充要条件等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问，利用椭圆的离心率和三角形面积公式列出表达式，解方程组，得到基本量a和b的值，从而得到椭圆的方程；第二问，直线l过左焦点，所以讨论直线的斜率是否存在，当斜率不存在时，可以直接写出直线方程，令直线与椭圆联立，得到交点坐标，验证以PQ为直径的圆不过坐标原点，当斜率存在时，直线与椭圆联立，消参，利用韦达定理，证明，解出k的值.（1）由题意，，即，，即 2分又得：∴椭圆的标准方程：． 5分(2)①当直线的斜率不存在时，直线的方程为联立，解得或，不妨令，，所以对应的“椭点”坐标，．而所以此时以为直径的圆不过坐标原点． 7分②当直线的斜率存在时，设直线的方程为消去得，设，则这两点的“椭点”坐标分别为由根与系数关系得： 9分若使得以为直径的圆过坐标原点，则而，∴即，即代入，解得：所以直线方程为或． 12分【考点】椭圆的标准方程、直线的标准方程、圆的标准方程、韦达定理、向量垂直的充要条件.6.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)设A，B是椭圆C上的两点，△AOB的面积为.若A、B两点关于x轴对称，E为线段AB 的中点，射线OE交椭圆C于点P.如果＝t，求实数t的值．【答案】（1）＋y2＝1（2）t＝2或t＝【解析】(1)设椭圆C的方程为：(a＞b＞0)，则，解得a＝，b＝1，故椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)由于A、B两点关于x轴对称，可设直线AB的方程为x＝m(－＜x＜，且m≠0)．将x＝m代入椭圆方程得|y|＝，所以S△AOB＝|m| ＝.解得m2＝或m2＝.①又＝t＝t(＋)＝t(2m,0)＝(mt,0)，又点P在椭圆上，所以＝1.②由①②得t2＝4或t2＝.又因为t＞0，所以t＝2或t＝.7.双曲线的左右焦点分别为,且恰为抛物线的焦点,设双曲线与该抛物线的一个交点为,若是以为底边的等腰三角形,则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴焦点为，即，∵，∴，即，∴，则，即，∴．【考点】抛物线的标准方程及几何性质．8.已知双曲线＝1的左支上一点M到右焦点F2的距离为18，N是线段MF2的中点，O是坐标原点，则|ON|等于()A．4B．2C．1D．【答案】A【解析】设双曲线左焦点为F1，由双曲线的定义知，|MF2|－|MF1|＝2a，即18－|MF1|＝10，所以|MF1|＝8．又ON为△MF1F2的中位线，所以|ON|＝|MF1|＝4，所以选A．9.已知F1、F2为双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M，且满足||＝3||，则此双曲线的渐近线方程为________．【答案】y＝±x【解析】由双曲线的性质可推得||＝b，则||＝3b，在△MF1O中，||＝a，||＝c，cos∠F1OM＝－，由余弦定理可知＝－，又c2＝a2＋b2，可得a2＝2b2，即＝，因此渐近线方程为y＝±x．10.如图，已知，，，分别是椭圆的四个顶点，△是一个边长为2的等边三角形，其外接圆为圆．（1）求椭圆及圆的方程；（2）若点是圆劣弧上一动点（点异于端点，），直线分别交线段，椭圆于点，，直线与交于点．（ⅰ）求的最大值；（ⅱ）试问：，两点的横坐标之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．【答案】（1），，（2）（ⅰ），（ⅱ）.【解析】（1）求椭圆标准方程，只需两个独立条件. 由题意知，，，所以，，所以椭圆的方程为，求圆的方程，有两个选择，一是求圆的标准方程，确定圆心与半径，二是求圆的一般方程，只需代入圆上三个点的坐标.本题两个方法皆简单，如易得圆心，，所以圆的方程为（2）（ⅰ）本题关键分析出比值暗示的解题方向，由于点在轴上，所以，因此解题方向为利用斜率分别表示出点与点的横坐标. 设直线的方程为，与直线的方程联立，解得点，联立，消去并整理得，，解得点,因此当且仅当时，取“=”，所以的最大值为．（ⅱ）求出点的横坐标，分析与点的横坐标的和是否为常数. 直线的方程为，与直线的方程联立，解得点，所以、两点的横坐标之和为．试题解析：（1）由题意知，，，所以，，所以椭圆的方程为， 2分易得圆心，，所以圆的方程为．4分（2）解：设直线的方程为，与直线的方程联立，解得点， 6分联立，消去并整理得，，解得点，9分（ⅰ），当且仅当时，取“=”，所以的最大值为． 12分（ⅱ）直线的方程为，与直线的方程联立，解得点， 14分所以、两点的横坐标之和为．故、两点的横坐标之和为定值，该定值为． 16分【考点】椭圆与圆标准方程，直线与椭圆位置关系11. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆＝1的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F.设过点T(t ，m)的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M(x 1，y 1)、N(x 2，y 2)，其中m>0，y 1>0，y 2<0.(1)设动点P 满足PF 2－PB 2＝4，求点P 的轨迹； (2)设x 1＝2，x 2＝，求点T 的坐标；(3)设t ＝9，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关)． 【答案】（1）x ＝（2）（3）见解析【解析】(1)解：设点P(x ，y)，则F(2，0)、B(3，0)、A(－3，0)．由PF 2－PB 2＝4，得(x －2)2＋y 2－[(x －3)2＋y 2]＝4，化简得x ＝，故所求点P 的轨迹为直线x ＝. (2)解：将x 1＝2，x 2＝分别代入椭圆方程，以及y 1>0，y 2<0得M 、N.直线MTA的方程为，即y ＝x ＋1.直线NTB 的方程为，即y ＝x －.联立方程组，解得所以点T 的坐标为.(3)证明：点T 的坐标为(9，m)，直线MTA 的方程为，即y ＝(x ＋3)．直线NTB 的方程为，即y ＝(x －3)．分别与椭圆＝1联立方程组，同时考虑到x 1≠－3，x 2≠3，解得 M、N(证法1)当x 1≠x 2时，直线MN 的方程为，令y ＝0，解得x＝1，此时必过点D(1，0)；当x 1＝x 2时，直线MN 的方程为x ＝1，与x 轴交点为D(1，0)，所以直线MN 必过x 轴上的一定点D(1，0)． (证法2)若x 1＝x 2，则由及m>0，得m ＝2，此时直线MN 的方程为x ＝1，过点D(1，0)．若x 1≠x 2，则m≠2.直线MD 的斜率k MD ＝，直线ND 的斜率k ND ＝，得k MD ＝k ND ，所以直线MN 过D 点．因此，直线MN 必过x 轴上的点D(1，0)．12.已知F是椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点,点P在椭圆C上,线段PF与圆（x-）2+y2=相切于点Q,且=2,则椭圆C的离心率等于()A．B．C．D．【答案】A【解析】记椭圆的左焦点为F′,圆(x-)2+y2=的圆心为E,连接PF′、QE.∵|EF|=|OF|-|OE|=c-=,=2,∴==,∴PF′∥QE,∴=,且PF′⊥PF.又∵|QE|=(圆的半径长),∴|PF′|=b.据椭圆的定义知:|PF′|+|PF|=2a,∴|PF|=2a-b.∵PF′⊥PF,∴|PF′|2+|PF|2=|F′F|2,∴b2+(2a-b)2=(2c)2,∴2(a2-c2)+b2=2ab,∴3b2=2ab,∴b=,c==a,=,∴椭圆的离心率为.13.设抛物线的焦点为，点，线段的中点在抛物线上.设动直线与抛物线相切于点，且与抛物线的准线相交于点，以为直径的圆记为圆．（1）求的值；（2）试判断圆与轴的位置关系；（3）在坐标平面上是否存在定点，使得圆恒过点？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）（2）见解析（3）存在【解析】（1）判断抛物线的焦点位置，得到焦点坐标，利用中点坐标公式得到FA的中点坐标带入抛物线即可求的P的值.（2）直线与抛物线相切，联立直线与抛物线，判别式为0即可得到k,m之间的关系，可以用k 来替代m，得到P点的坐标，抛物线准线与直线的方程可得到Q点的坐标，利用中点坐标公式可得到PQ中点坐标，通过讨论k的取值范围得到中点到x轴距离与圆半径(PQ为直径)的大小比较即可判断圆与x轴的位置关系.（3）由(2)可以得到PQ的坐标(用k表示)，根据抛物线对称性知点在轴上，设点坐标为，则M点需满足，即向量内积为0，即可得到M点的坐标，M点的坐标如果为常数(不含k)，即存在这样的定点，如若不然，则不存在.试题解析：解：（1）利用抛物线的定义得，故线段的中点的坐标为，代入方程得，解得。
高三数学圆锥曲线综合试题答案及解析
高三数学圆锥曲线综合试题答案及解析1.已知圆经过椭圆的右焦点和上顶点．（1）求椭圆的方程；（2）过原点的射线与椭圆在第一象限的交点为，与圆的交点为，为的中点，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】本题考查直线、圆、椭圆、平面向量、分式函数等基础知识，考查直线与圆锥曲线的位置关系；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合、化归与转化及函数与方程等数学思想．第一问，数形结合，令y=0，x=0即可分别求出c和b的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，设出直线方程和P、Q点坐标，令直线与椭圆联立得到Q点横坐标，利用向量的数量积，将P、Q点坐标代入，得到关于k的表达式，利用导数求函数的最值；法二，将进行转化，变成，再利用配方法求最值.试题解析：（1）在中，令得，即，令，得，即， 2分由，∴椭圆：. 4分（2）法一：依题意射线的斜率存在，设，设 -5分得：，∴. 6分得：，∴， 7分∴. 9分．设，，令，得．又，∴在单调递增，在单调递减. 11分∴当时，，即的最大值为. 13分法二：依题意射线的斜率存在，设，设 5分得：，∴. 6分= 9分.设，则.当且仅当即.法三：设点，，6分= . 7分又，设与联立得： . 9分令. 11分又点在第一象限，∴当时，取最大值. 13分【考点】直线、圆、椭圆、平面向量、分式函数.2.（本小题满分12分）已知曲线上的点到点的距离比它到直线的距离小2.（1）求曲线的方程；（2）曲线在点处的切线与轴交于点.直线分别与直线及轴交于点，以为直径作圆，过点作圆的切线，切点为，试探究：当点在曲线上运动（点与原点不重合）时，线段的长度是否发生变化？证明你的结论.【答案】（1）.（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明见解析.【解析】（1）思路一：设为曲线上任意一点，依题意可知曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，得到曲线的方程为.思路二：设为曲线上任意一点，由，化简即得.（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明如下：由（1）知抛物线的方程为，设，得，应用导数的几何意义，确定切线的斜率，进一步得切线的方程为.由，得.由，得.根据，得圆心，半径，由弦长，半径及圆心到直线的距离之关系，确定.试题解析：解法一：（1）设为曲线上任意一点，依题意，点S到的距离与它到直线的距离相等，所以曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，所以曲线的方程为.（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明如下：由（1）知抛物线的方程为，设，则，由，得切线的斜率，所以切线的方程为，即.由，得.由，得.又，所以圆心，半径，.所以点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变.解法二：（1）设为曲线上任意一点，则，依题意，点只能在直线的上方，所以，所以，化简得，曲线的方程为.（2）同解法一.【考点】抛物线的定义，导数的几何意义，直线方程，直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系.3.已知抛物线C:的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且.(1)求抛物线C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A,B两点，若AB的垂直平分线与C相交于M,N两点，且A,M,B,N四点在同一个圆上，求直线l的方程.【答案】（1）；（2）x-y-1=0或x+y-1=0.【解析】（1）设Q（x0，4），代入由中得x=，在根据抛物线的性质可得，解出p即可（2）设直线l的方程为，（m≠0）代入中得，直线的方程为，将上式代入中，并整理得.A（x1,y1）,B(x2,y2),M(x3,y3),N(x4,y4),根据二次函数根与系数的关系可得y1+y2=4m，y1y2=－4，.然后求出MN的中点为E和AB的中点为D坐标的表达式，计算的表达式,根据求出m即可.试题解析：（1）设Q（x0，4），代入由中得x=，所以，由题设得，解得p=－2（舍去）或p=2.所以C的方程为.（2）依题意知直线l与坐标轴不垂直，故可设直线l的方程为，（m≠0）代入中得，设A（x1,y1）,B(x2,y2),则y1+y2=4m，y1y2=－4，故AB的中点为D（2m2+1,2m），，有直线的斜率为－m，所以直线的方程为，将上式代入中，并整理得.设M(x3,y3),N(x4,y4),则.故MN的中点为E（）.由于MN垂直平分AB，故A,M,B,N四点在同一个圆上等价于,从而,即，化简得m2-1=0，解得m=1或m=－1，所以所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.【考点】1.抛物线的性质和方程；2.直线方程以及直线与曲线的位置关系.4.如图，已知椭圆的右焦点为，点是椭圆上任意一点，圆是以为直径的圆．（1）若圆过原点，求圆的方程；（2）写出一个定圆的方程，使得无论点在椭圆的什么位置，该定圆总与圆相切,请写出你的探究过程．【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）因为是圆的直径，所以当圆过原点时，一定有，由此可确定点的位置并进一步求出圆的标准方程；（2）设圆M的半径为,连结，显然有根据椭圆的标准方程知,所以，从而找到符合条件的定圆.解：（1）解法一：因为圆过原点，所以，所以是椭圆的短轴顶点，的坐标是或，于是点的坐标为或，易求圆的半径为所以圆的方程为或 6分解法二：设，因为圆过原点，所以所以，所以，所以点于是点的坐标为或，易求圆的半径所以圆的方程为或 6分（2）以原点为圆心，5为半径的定圆始终与圆相内切，定圆的方程为 8分探究过程为：设圆的半径为，定圆的半径为，因为，所以当原点为定圆圆心，半径时，定圆始终与圆相内切．（13分）【考点】1、椭圆的定义与标准方程；2、圆的定义与标准方程.5.已知，是双曲线的左，右焦点，若双曲线左支上存在一点与点关于直线对称，则该双曲线的离心率为A．B．C．D．【答案】【解析】即双曲线的一条渐近线方程.过焦点且垂直渐近线的直线方程为：，与联立，解之可得故对称中心的点坐标为（）；由中点坐标公式可得对称点的坐标为，将其代入双曲线的方程可得结合化简可得，故．故选.【考点】双曲线的几何性质，直线方程，两直线的位置关系.6.已知F1、F2为双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M，且满足||＝3||，则此双曲线的渐近线方程为________．【答案】y＝±x【解析】由双曲线的性质可推得||＝b，则||＝3b，在△MF1O中，||＝a，||＝c，cos∠F1OM＝－，由余弦定理可知＝－，又c2＝a2＋b2，可得a2＝2b2，即＝，因此渐近线方程为y＝±x．7.抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是（）A．B．C．D．3【答案】B【解析】设抛物线y=﹣x2上一点为（m，﹣m2），该点到直线4x+3y﹣8=0的距离为，分析可得，当m=时，取得最小值为，故选B．8.已知椭圆和椭圆的离心率相同，且点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆上一点，过点作直线交椭圆于、两点，且恰为弦的中点。
2020届高三数学文科一轮复习_第九章 解析几何课时作业9-8-1
题组一 常识题 1．(教材改编) 过原点的直线 l 被抛物线 x2＝4y 截得的线段 长为 4 2，则直线 l 的斜率为____________． 【解析】 设直线 l 的方程为 y＝kx，将其代入抛物线方程， 得 x2－4kx＝0，所以被截得的线段两端点的坐标分别为(0，0)， (4k，4k2)，所以 （4k）2＋（4k2）2＝4 2，解得 k＝±1.
π
π
所以∠SOT 最大值为 3 .综上所述：∠SOT 的最大值为 3 ，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
取得最大值时直线
l
的斜率为
k1＝±
2 2.
【反思归纳】
跟踪训练 1 已知椭圆 E 的中心在原点，焦点 F1，F2 在 y 轴 上，离心率等于23 2，P 是椭圆 E 上的点．以线段 PF1 为直径的 圆经过 F2，且 9P→F1·P→F2＝1.
y＝4k21x，
x2＝1＋8k421k12，y2＝1＋14k21，
因此|OC|＝ x2＋y2＝
11＋ ＋84kk2121.
由题意可知 sin 12∠SOT＝r＋r|OC|＝1＋1|OrC|，
而|OrC|＝2 3 2·
1＋8k21 1＋1＋k214k211＋8k12＝34 2·
2k21＋1
1＋14＋k212k121 ＋k21，
记直线BT的斜率为k1，且k1＞0，k1≠k.
则|BT|＝1＋8|k41|k21 1＋k12， 故1＋8|k41|k21 1＋k21＝1＋8|k4|k2 1＋k2， 所以 1k＋12＋4kk2141－ 1＋k2＋4kk24＝0. 即(1＋4k2) k21＋k41＝(1＋4k21) k2＋k4， 所以(k2－k21)(1＋k2＋k21－8k2k21)＝0.
2020年高考理科数学一轮复习题型(4份+大题+详细答案)圆锥曲线及其性质
2020年高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练《抛物线及其性质》【题型一】：抛物线的标准方程 【题型二】：抛物线定义的理解 【题型三】：抛物线定义的应用 【题型四】：与抛物线有关的综合问题 【题型一】：抛物线的标准方程例1.求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： （1）过点(3,2)-；（2）焦点在直线l ：240x y --=上【思路点拨】从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数；从实际分析，一般需结合图形确定开口方向和一次项系数两个条件，否则，应展开相应的讨论【解析】（1）∵点(3,2)-在第二象限，∴抛物线开口方向上或者向左当抛物线开口方向左时，设所求的抛物线方程为22y px =-（0p >）， ∵过点(3,2)-，∴222(3)p =-⋅-，∴23p =，∴243y x =-，当抛物线开口方向上时，设所求的抛物线方程为22x py =（0p >）， ∵过点(3,2)-，∴2322p =⨯，∴94p =，∴292x y =，∴所求的抛物线的方程为243y x =-或292x y =，对应的准线方程分别是13x =，98y =-.（2）令0x =得2y =-，令0y =得4x =，∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,2)- 当焦点为(4,0)时，42p=，∴8p =， 此时抛物线方程216y x =；焦点为(0,2)-时，22p=，∴4p =， 此时抛物线方程为28x y =-∴所求的抛物线的方程为216y x =或28x y =-， 对应的准线方程分别是4x =-，2y =.【总结升华】这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解.求抛物线的标准方程关键是根据图象确定抛物线开口方向，选择适当的方程形式，准确求出焦参数P.举一反三：【变式1】分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. （1）焦点为F(4,0)；（2）准线为1y 2=- ；（3）焦点到原点的距离为1； （4）过点（1，－2）； （5）焦点在直线x-3y+6=0上.【解析】（1）所求抛物线的方程为y 2=16x ； （2）所求抛物线的标准方程为x 2=2y ； （3）所求抛物线的方程y 2=±4x 或x 2=±4y ； （4）所求抛物线的方程为24y x =或212x y =-； （5）所求抛物线的标准方程为y 2=－24x 或x 2=8y.【变式2】已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴负半轴上，过顶点且倾角为43π的弦长为22，求抛物线的方程.【解析】设抛物线方程为22y px =-(0p >)，又弦所在直线方程为y x =-由⎩⎨⎧-=-=x y px y 22，解得两交点坐标(0,0), (2,2)p p - ∴22(2)(2)22p p -+=，解得1p =. ∴抛物线方程为22y x =-. 【题型二】：抛物线定义的理解【例2】已知点(),P x y 在以原点为圆心的单位圆上运动，则点(),Q x y xy +的轨迹是( ) A ．圆 B.抛物线 C.椭圆 D.双曲线 【答案】B【解析】设(),Q u v ，则u x yv xy=+⎧⎨=⎩221x y +=22221u v x y ∴-=+=∴点Q 的轨迹为抛物线.故选B.【变式训练】：【变式1】动圆C 经过点F(1,0),并且与直线x=-1相切，若动圆C 与直线221y x =++总有公共点，则圆C 的面积( )A.有最大值8πB.有最小值2πC.有最小值3πD.有最小值4π 【答案】D【解析】由题意可得：动圆圆心C(a,b)的方程为24y x =.即24b a = 动圆C 与直线221y x =++总有公共点，∴圆心C 到此直线的距离11d r a a ≤=+=+即22112a b a -++≤+又24b a = 化简整理得()()22144210b b -+-+≥解得2b ≥或()642b ≤-+当2b =时，a 取得最小值1，此时圆C 由最小面积4π.故选D.【变式2】抛物线y=4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（ ） A ．1716 B ．1516 C ．78D ．0 【答案】B方法一：由题意抛物线为214x y =，则焦点为1(0,)16F ，准线为：116y =-； 由抛物线上的点M （x 0，y 0）到焦点的距离与到准线的距离相等，得01516y =， 即M 点的纵坐标为1516，故选择B 。
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题圆锥曲线广东卷历年高考题
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题圆锥曲线广东卷历年高考题1. （文理科高考题）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F （0，c ）（c ＞0）到直线l ：xy2=0的距离为223，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点．（1）求抛物线C 的方程；（2）当点P （x0，y0）为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；（3）当点P 在直线l 上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．2. （文科高考题）3. （理科高考题）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：的离心率，且椭圆C 上的点到点Q （0，2）的距离的最大值为3．（1）求椭圆C 的方程；（2）在椭圆C 上，是否存在点M （m ，n ），使得直线l ：mx+ny=1与圆O ：x2+y2=1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由．4. （广东理科高考题）设圆C 与两圆2222(5)4,(5)4x y x y ++=-+=中的一个内切，另一个外切。
（1）求圆C 的圆心轨迹L 的方程; （2）已知点M 3545(,),(5,0)55F ，且P 为L 上动点，求MP FP -的最大值及此时点P 的坐标. 5. （文科高考题）在平面直角坐标系xOy 中，直线:2l x =-交x 轴于点A ，设P 是l 上一点，M 是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP（1）当点P 在l 上运动时，求点M 的轨迹E 的方程； （2）已知T （1，1），设H 是E 上动点,求HO +HT 的最小值，并给出此时点H 的坐标；（3）过点T （1，1）且不平行与y 轴的直线l1与轨迹E 有且只有两个不同的交点，求直线1l 的斜率k 的取值范围。
6. （广东理科高考题）已知双曲线的左、右顶点分别为A1，A2，点P （x1，y1），Q （x1，﹣y1）是双曲线上不同的两个动点．（1）求直线A1P 与A2Q 交点的轨迹E 的方程；（2）若过点H （0，h ）（h ＞1）的两条直线l1和l2与轨迹E 都只有一个交点，且l1⊥l2，求h 的值．7. （广东文科高考题）在平面直角坐标系xOy 中，直线:2l x =-交x 轴于点A ，设P 是l 上一点，M 是线段OP 的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP （1）当点P 在l 上运动时，求点M 的轨迹E 的方程； （2）已知T （1，1），设H 是E 上动点,求HO +HT 的最小值，并给出此时点H 的坐标；l的斜率k的（3）过点T（1，1）且不平行与y轴的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线1取值范围。
精编2020高考数学《圆锥曲线方程》专题训练完整考题(含参考答案)
2019年高中数学单元测试卷圆锥曲线与方程学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．(2006江西理)设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若OA F A ∙＝－4则点A 的坐标是（B ）A ．（2，±） B. (1，±2) C.（1，2）D.(2，)2．(2005江苏)抛物线24x y =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（ ）A ．1617 B ．1615 C ．87 D ．0 3．（2010福建文11）若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP 的最大值为（ ）A ．2 B ．3 C ．6 D ．84．（2007陕西文3）抛物线y x =2的准线方程是( )（A ）014=+x（B ）014=+y （C ）012=+x （D ）012=+y 5．已知F 1、F 2为双曲线C ：x ²-y ²=2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=|2PF 2|，则cos ∠F 1PF 2= (A)14 （B ）35 (C)34 (D)456．已知双曲线C ：22x a -22y b=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为A ．220x -25y =1 B.25x -220y =1 C.280x -220y =1 D.220x -280y =17．1 ．（2012辽宁文）已知P,Q 为抛物线x 2=2y 上两点,点P,Q 的横坐标分别为4,-2,过P,Q 分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A 的纵坐标为（ ）A ．1B ．3C ．-4D ．-8二、填空题 8．点A 、B 是双曲线15422=-y x 右支上的两点，AB 中点到y 轴的距离为4，则AB 的最大值为 .9．过椭圆22154x y +=的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为______________10．若椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，线段21F F 被抛物线bx y 22=的焦点F 分成5﹕3的两段，则此椭圆的离心率为 ．11． 已知21F F 、为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点,若1222=+B F A F ，则AB =___________.12．若双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，，则其渐近线方程为 ▲ ．13．若动圆M 经过点(3,0)A 且与直线:3l x =-相切，则动圆的圆心M 的轨迹方程是________14． 动点P 到点(2,0)F 的距离与它到直线20x +=的距离相等，则P 的轨迹方程为 28y x =。
备战2020年高考数学一轮复习第12单元圆锥曲线单元训练(A卷,理,含解析)(最新整理)
单元训练金卷▪高三▪数学卷（A)第12单元圆锥曲线注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答:每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．2．已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）ABCD．3．抛物线的焦点坐标是（）A．B．C．D．4．如图所示，某瓷器菜盘的外轮廓线是椭圆，根据图中数据可知该椭圆的离心率为( )A．B．CD5．双曲线的一个焦点为，若、、成等比数列，则该双曲线的离率（）ABCD2244x k y k+=yk4k>4k=4k<0k<<y228y x=10,32⎛⎫⎪⎝⎭10,16⎛⎫⎪⎝⎭()0,2(0,4253522221(0,0)x ya ba b-=>>(,0)F ca b ce=6．已知抛物线y 2＝2px （p 0）上的点到准线的最小距离为，则抛物线的焦点坐标为（ ） A ．（）B ．（0，）C ．（2）D ．（0，2) 7．已知椭圆的焦点分别为,，点，在椭圆上，于，，，则椭圆方程为（ )A． B ．C ．D ．8．已知双曲线的左焦点为，以为直径的圆与双曲线的渐近线交于不同原点的两点，若四边形的面积为，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．B ．C ．D ．9的直线过抛物线的焦点，与交于两点,且,则( ）A ．B ．1C ．2D ．410．已知椭圆的左，右焦点分别为，,过作垂直轴的直线交椭圆于两点，点在轴上方．若,的内切圆的面积为，则直线的方程是（ ）A ．B ．C．D ．11．过抛物线的焦点的直线交该抛物线,两点，该抛物线的准线与轴交于点， 若，则的面积为（ ）A BCD ．12．已知直线与双曲线>22221(0)x y a b a b+=>>1F 2F A B12A B F F ⊥2F 4AB =12FF =2213x y +=22132x y +=22196x y +=221129x y +=2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>FOF CO,A B AO B F ()2212a b +Cy =y y x=±2y x =±2:2(0)C y p x p =>C,A B 163AB =p =122222:1(0)x y E a b a b+=>>9π162222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线交于点,双曲线的左、右焦点分别为、,且，则双曲线的离心率为（ ） A ．B ．或3C ．D ．或4第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题,每小题5分．13．焦点在x 轴上，短轴长等于16,离心率等于的椭圆的标准方程为________．14．在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3,4），则该双曲线的渐近线方程是_____． 15．已知以为焦点的抛物线上的两点满足，则的中点到轴的距离为________．16．如图所示，正方形的边长为，椭圆及双曲线均以正方形顶点为焦点且经过线段的中点,则椭圆与双曲线离心率之比为_______．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)求适合下列条件的标准方程： （1）已知椭圆经过点,，求它的标准方程;（2）已知双曲线的离心率，经过点,求它的标准方程．211c o s 4P FF ∠=-53531611161135xOy 2221(0)y x b b-=>F24yx =,A B 3A F F B =AB yAB C D 222122:1(0)x y C a b a b +=>>22222:1(0,0)x y C m n m n-=>>,B D AB E1C 2C18．（12分）抛物线C的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，抛物线C过点A（4，4)，过抛物线C的焦点F作倾斜角等于45°的直线l，直线l交抛物线C于M、N两点．（1）求抛物线C的方程；(2）求线段MN的长．19．（12分）已知椭圆C的焦点为和,长轴长为6，设直线交椭圆C于A、B两点．求：（1)椭圆C的标准方程；（2）弦AB的中点坐标及弦长．1()F2)F2y x=+20．（12分）已知双曲线．（1)求与双曲线有相同的焦点，且过点的双曲线的标准方程． (2)直线：分别交双曲线的两条渐近线于,两点．当时，求实数的值．21．（12分）已知抛物线的焦点F （1，0），O 为坐标原点，A ，B 是抛物线C 上异于O 的两点．221:14y C x -=3O A O B ⋅=（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线AB 过点（8，0)，求证：直线OA ，OB 的斜率之积为定值．22．（12分）已知椭圆的离心率,且椭圆上一点的坐标为．(1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于,两点，且以线段为直径的圆过椭圆的右顶点,求面积的最大值．2222:1(0)x y M a b a b +=>>PM lM A BAB C A B C △单元训练金卷▪高三▪数学卷（A ） 第12单元 圆锥曲线 答 案第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D【解析】由题得，因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以．故选D ． 2．【答案】B【解析】焦点在x 轴时，，，焦点在y轴时，，．故选B ．3．【答案】A 【解析】抛物线的标准方程为，焦点坐标为，故选A ．4．【答案】B【解析】由题,,则，则离心率．故选B ．5．【答案】B【解析】因为成等比数列,所以，，所以, 因为，所以,故选B ．6．【答案】A【解析】抛物线y 2＝2px （p 0）上的点到准线的最小距离为，就是顶点到焦点的距离是，即，则抛物线的焦点坐标为（,0）．故选A ．7．【答案】C2214x y k +=2244x k y k +=y 04k <<ba=22222212b c a e a a -==-=c e a=ab =2222221 12b c a e aa -==-=e =218x y=10,32⎛⎫ ⎪⎝⎭216.4b =220.5a =45b a =35e =,,a b c 222ba ccaa c =⇒-=21e e-=210e e --=1()e∈+∞,e =>32p=【解析】椭圆的焦点分别为，，点A ,B 在椭圆上，于，，,可得，，,解得，，所以所求椭圆方程为，故选C ．8．【答案】C【解析】根据题意，,双曲线的焦点到的一条渐近线，则，所以，所以,所以,所以双曲线的渐近线方程为．9．【答案】C的直线过抛物线的焦点,所以直线方程为，设，由，得，整理得，所以，因此，又,所以,解得，故选C ． 10．【答案】D【解析】设内切圆半径为，则，，，内切圆圆心为，由知, 又,所以方程为，2222 10x y a b a b +=>>（）1F 2F 12A B F F ⊥2F 4AB =12F F =c 22 4b a =222c a b =-3a =b 22196x y +=OA A F ⊥C FCb y xa =±b=AF b =OA a =()2212a b a b =+1b a =C y x=±2:2(0)C y p x p =>2p y x ⎫-⎪⎭()()1122,,,A xy B xy 222p y x y px ⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩2322p x px ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2233504x p x p -+=1253p x x +=1283pA B x x p =++=163AB =81633p =2p =29ππ16r =34r ∴=3,04c ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭3,2A c ⎛⎫- ⎪⎝⎭由内切圆圆心到直线距离为，即,得, 所以方程为故选D 项．11．【答案】A 【解析】的准线l :x ＝﹣1，∵|AF |＝3,∴点A 到准线l ：x ＝﹣1的距离为4，∴1+＝4,∴＝3，∴＝±2,不妨设A （3，2)，∴，∵F （1,0）,∴直线AB的方程为y （x ﹣1），∴,解得,∴，∴, 故选A ． 12．【答案】C【解析】设双曲线的左右焦点分别为，且,可得， 即有直线的斜率为,由直线与双曲线的一条渐近线交于点，可得,设直线与x 轴交于点M ，则,即有,化为2233343434c ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=+1223232A F MS =⨯⨯=△)214y x y x =-=⎧⎪⎨⎪⎩1,3B ⎛ ⎝12B F MS =△M A B A F M B F MS S S +=△△△211c o s 4P FF ∠=-21s i n P F ∠2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>222t a n 2M P bP F M M F ac ∠==-,由,可得，解得或,又由,可得,则，所以，故选C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题,每小题5分．13．【答案】【解析】由题可得,解得， 又，解得，所以所求椭圆的标准方程为．14．【答案】【解析】由已知得，解得或，因为，所以．因为，所以双曲线的渐近线方程为．15．【答案】【解析】设,，因为两点满足，,，所以，即，解得，故，的中点到轴得距离为．16【解析】因为正方形的边长为，为中点，所以，，，由椭圆定义可得, c e a=1611e =211c o s 04P F F ∠=-<1611e =22110064x y +=216b =8b =22235c e a a b c ⎧==⎪⎨⎪=+⎩2100a =22110064x y +=y 222431b-=b b 0b >b 1a =y 5311(,)Axy 22(,)Bx y ,A B 3A F F B =11(1,)A F x y =--22(1,)F B x y =-u u r 21122212124413(1)3y x y x x x y y⎧=⎪=⎪⎨-=-⎪⎪-=⎩211222121244433y x y x x x y y⎧=⎪=⎪⎨=-⎪⎪=-⎩2221343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩121312x y =⎧⎨=⎩AB y12523x x +=A B C D 2E AB1EB =EB 21aE D =+根据双曲线定义可得， 所以椭圆与双曲线离心率之比为，．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】(1）;(2）．【解析】（1）已知椭圆经过点,可得焦点在轴,所以,则标准方程．（2）因为离心率，所以，又经过点，所以，解得，或,无解．所以双曲线的标准方程为．18．【答案】（1)y 2＝4x ；（2）8．【解析】（1)依题意设抛物线C 的方程为y 2＝2px ， 将A （4，4)代入得p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x ．（2)F （1，0），直线，联立，得，设A (x 1，y 1），B （x 2，y 2)，则， 根据抛物线的定义可得． 19．【答案】（1）；（2）中点坐标为．21m E D =1C 2C2222B Dm a B D a m =221259x y +=2211616x y -=221259x y+=222591a b a b-==⎧⎪⎨⎪⎩229251a b a b-==⎧⎪⎨⎪⎩2211616x y -=:1l y x =-214y x y x =-⎧⎨=⎩2610x x +=-126xx +=12628MN xxp ++=+==2219x y +=91,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】(1）椭圆的焦点为和，长轴长为， 椭圆的焦点在轴上，，，,椭圆的标准方程为．（2）设，，线段的中点为，由，消去得， ,，，，弦的中点坐标为，．20．【答案】(1）；(2）． 【解析】（1）双曲线的焦点坐标为,，设双曲线的标准方程为，则,解得，∴双曲线的标准方程为．（2)双曲线的渐近线方程为，．设,．由，消去化简得,由,得．∵,，∴，即．C()1F -()2F 6∴xc =3a =1b ∴=∴C2219x y +=()11,A x y ()22,B x y AB ()00,M x y 22992x y y x ⎧+=⎨=+⎩y 21036270x x ++=12185x x ∴+=-122710x x =12925x x x +∴==-00912255y x ∴=+=-=∴AB 91,55⎛⎫- ⎪⎝⎭122763105A B x +-⨯=2214x y -=22221(0,0)x y a b a b-=>>222251631a b a b+=-=⎧⎪⎨⎪⎩2241a b ==⎧⎪⎨⎪⎩2214x y -=2204y x y x m -==+⎧⎪⎨⎪⎩()()222243160Δm m m =--⨯⨯-=>2123m x x =-()()121212223OA OB x x x x x x ⋅=+⋅-=-21．【答案】（1）；(2）详见解析．【解析】（1）抛物线的焦点坐标为,，即抛物线的方程为．（2)证明：①当直线的斜率不存在时,即，可得直线与抛物线交点坐标为,；②当直线的斜率存在时，设方程为，，联立方程组，消去得，则,，，综合①②可知,直线，的斜率之积为定值．22．【答案】（1）；（2)．【解析】（1）由已知，又，则，椭圆方程为,将代入方程得，,故椭圆的方程为．（2）不妨设直线的方程，联立消去，得．()1,012p∴=12O A O Bk k⎛∴⋅=-⎝⎭()248y xy k x==-⎧⎪⎨⎪⎩22416A Bkx xk++=()()()2286488AB A BA BABOA OBAB AB ABk xx x xk x xyyk kxx xx xx-++⎡⎤--⎣⎦∴⋅===222416648641642kkk⎛⎫+-⨯+⎪⎝⎭==-12-2214xy+=1624cea=222a b c=+2a b=222214x yb b+=⎛⎝1b=2a=2214xy+=AB x k y m=+2214xyx ky m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩x()2224240k y kmy m+++-=设，，则有，①又以线段为直径的圆过椭圆的右顶点,∴,由，,得，将，代入上式得，将①代入上式求得或（舍），则直线恒过点．∴，设，则在上单调递增，当时,取得最大值．11(,)Ax y22(,)Bx y12224k my yk-+=+212244my yk-⋅=+ABC0C A C B⋅=11(2,)C A x y=-22(2,)C B x y=-()()1212220x x y y--+=11x k y m=+22x k y m=+()()2212121(2)(2)0k yy km y ym++-++-=65m=2m=l6,05⎛⎫⎪⎝⎭121||2ABCS DCy y=-=△21144t tk⎛⎫=<≤⎪+⎝⎭A B CS△10,4t⎛⎤∈ ⎥⎝⎦14t=ABCS△1624。
【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线综合题答案
【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线综合题答案解几综合题答案1.解：（Ⅰ）由已知得()(,) 11 22OA OB m n mn ?=?=-=-分14m n ∴?= …………4分（Ⅱ）设P 点坐标为（x ，y ）（x ＞0），由OP OA OB =+得(,)()(,)x y m n =+())m n m n =+- …………5分∴)x m ny m n =+=-?? 消去m ，n 可得2243y x mn -=，又因14mn = 8分∴ P 点的轨迹方程为221(0)3y x x -=>它表示以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线2213y x -=的右支…………9分（Ⅲ）设直线l 的方程为2x ty =+，将其代入C 的方程得 223(2)3ty y +-=即 22(31)1290t y ty -++=易知2(31)0t -≠（否则，直线l的斜率为，它与渐近线平行，不符合题意）又22214436(31)36(1)0t t t ?=--=+>设1122(,),(,)M x y N x y ，则121222129,3131t y y y y t t -+==--∵ l 与C 的两个交点,M N 在y 轴的右侧12122121222222(2)(2)2()491224313134031x x ty ty t y y t y y t t t t t t t =++=+++-=?+?+--+=->-∴ 2310t -<，即2103t <<又由 120x x +>同理可得 2103t << …………11分由3ME EN =得1122(2,)3(2,)x y x y --=- ∴121223(2)3x x y y -=-??-=?由122222123231t y y y y y t +=-+=-=--得 22631t y t =-由21222229(3)331y y y y y t =-=-=-得 222331y t =--消去2y 得2222363(31)31t t t =--- 解之得：2115t = ，满足2103t << …………13分故所求直线l 存在，其方程为：15250x y --=或15250x y +-= 2. （I ）由已知()y M ,0，()y x N -, 2分则()()422,,22=-=-?=?y x y x y x MN OP ，即12422=-y x 4分（II ）设()11,y x A ，()22,y x B ，如图，由QB QA ⊥可得()()()()022,2,221212211=+--=-?-=?y y x x y x y x QB QA 5分①若直线x AB ⊥轴，则21x x =，24||||2121-==x y y此时()()()02422221212121=---=+--x x y y x x ，则0128121=+-x x ，解之得，61=x 或21=x但是若21=x ，则直线AB 过Q 点，不可能有QB QA ⊥所以61=x ，此时Q 点到直线AB 的距离为4 7分②若直线AB 斜率存在，设直线AB 的方程为m kx y +=，则=-+=4222y x m kx y ()042412222=+++-m kmx x k 则()()>+--=?≠-0421241601222222m k m k k ，即>+-≠-024012222k m k又124221--=+k km x x ，12422221-+=k m x x 9分∴()()()22121m x x km x x k m kx m kx y y +++=++=124122124124222222222222222--=--+---+=k m k k m m k k m k k k m k∴()()()()2121221122,2,2y y x x y x y x +--=-?-=?()=+++-=21212142y y x x x x 01241248128124222222222=--+--+-+-+k m k k k k km k m 则012822=++k km m ，可得k m 6-=或k m 2-=若k m 2-=，则直线AB 的方程为()2-=x k y ，此直线过点Q ，这与QB QA ⊥矛盾，舍若k m 6-=，则直线AB 的方程为k kx y 6-=，即06=--k y kx 12分此时若0=k ，则直线AB 的方程为0=y ，显然与QB QA ⊥矛盾，故0≠k ∴41141|4|22<+=+-=k k k d 13分由①②可得，4max =d 14分3. 解：① 设1122(,),(,),(,)P x y Q x y R x y112211()(,)[(,)(,)]22OR OP OQ x y x y x y =+?=+121222x x x y y y +?=+?=??..........1’由222x x y y +=?+=，易得右焦点(1,0)F ......................2’ 当直线l x ⊥轴时，直线l 的方程是：1x =，根据对称性可知(1,0)R ........3’ 当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为(1)y k x =-代入E 有2222(21)4220k x k x k +-+-=2880k ?=+>2122421k x x k +=+....................................................5’于是(,):R x y x =21222221x x k k +=+ (1)y k x =-消去参数k 得2220x y x +-=而(1,0)R 也适上式，故R 的轨迹方程是2220x y x +-=..................8’②设椭圆另一个焦点为'F ，在'PF F ?中0'120,|'|2,PFF F F ∠==设||PF m =，则|'|PF m = 由余弦定理得2220)222cos120m m m =+-??m ?=.............10’同理，在'QF F ?，设||QF n =，则|'|QF m = 也由余弦定理得2220)222cos60n n n =+-??n ?=’于是1111||||PF QF m n +=+=+=..........................14’ 4. 解：（I ）设B(x 0，y 0)，A(x 1，y 1)，C(x 2，y 2)∵双曲线1131222=-x y 的离心率为125，∴F 对应的准线方程为512=y ,由双曲线的定义得|,512|125||,125|512|||11-=∴=-y AF y AF …………（12分）又A 在双曲线的上半支，∴y 1≥12，)4().512(125||),512(125||)3().512(125||201分分 -=-=-=∴y CF y BF y AF∵|AF|，|BF|，|CF|构成等差数列，∴2|BF|=|AF|+|CF|，∴26113126)(21022210==-=+=x x y y y y 得代入，∴点B 的坐标为)6,26(.…………………………（6分）（II ）∵在l 上任取一点P （不同于D 点），都存在实数λ，使得(+=λ，∴在∠APC 的角平分线上，………………………………（7分）∵线段AC 的中点为D 点，∴△APC 是等腰三角形，PD 是线段AC 的垂直平分线，………………（8分）∴设直线l 的方程为),2(6212121x x x y y x x y +----=-),(13,11312,11312,)(2621222122221212122212121y y x x x y x y y y x x x y y x x y -=-∴=-=---+---=-∴作差得又,21362121+---=-∴x y y x x y l 的方程为直线………………（11分）故直线l 恒过点（0，225）.…………………………（12分） 5. 解：（I ）设椭圆的标准方程为12222=+by a x ，因B 1F 1B 2F 2是正方形，所以b=c ，又a 2= b 2+ c 2，所以b a 2=，…………①由于椭圆上的左（右）顶点到左（右）焦点的距离最近，所以12-=-c a ，②由①②知1,2===c b a ，∴椭圆的标准方程为：.1222=+y x （II ）当直线的斜率存在，设直线MN 的方程为2+=kx y 解方程组=++=122y x kx y消去.230,034)21(222>>?=+++k kx x k y 得由得设),(),,(2211y x N y x M ，则221214k k x x +-=+……………… ③ .213221k x x +=………………④又因M 在DN 之间，所以DN DM λ=，即212211),2,()2,(x x y x y x λλ=∴-=-，于是λλλλ212212212221)1(,)1(,x x x x x x x x x x =+++=+=，……………⑤ 将③④代入⑤得λλ2222213)1()214(k k k +=++-，整理得.)1(316121,)1(3121162222λλλλ++=+∴+=+k k …………………………8分 .331,34)1(3161,341211,23222<<<+<∴<+<∴>λλλ由此解得kk又.131,10<<∴<<λλ …………………………………………………………10分当直线的斜率不存在时，直线MN 的方程为x 31,0==这时，.31=∴λ ……………………………………………………………………………11分综上所述，λ的取值范围是.1,31??∈λ …………………………………………12分 6. 解：（1）由于2||,221121==F F NF F F ，+===-==∴.,1||1,2||22221221c b a NF caF F c 解得==1222b a ，从而所求椭圆的方程为.1222=+y x （4分）（2）N B A NB NA ,,,∴=λ 三点共线，而点N 的坐标为（－2，0）.设直线AB 的方程为)2(+=x k y ，其中k 为直线AB 的斜率，依条件知k ≠0.由=++=12),2(22y x x k y 消去x 得22)21(22=+-y y k ，即.02412222=+-+y k y kk 根据条件可知??≠<+?-=?.0,0128)4(222k kk k 解得.22||0<<="">设),(),,(2211y x B y x A ，则根据韦达定理，得+=+=+.122,1242221221k k y y k k y y 又由),2(),2(,2211y x y x +=+=λλ得=+=+∴.),2(22121y y x x λλ 从而+=+=+.122,124)1(222222k k y k k y λλ 消去.128)1(222+=+k y λλ得（8分）令3151],31,51[,)1()(212≤<≤∈+=λλλλλλφ任取，则22212121)1()1()()(λλλλλφλφ+-+=-.0)11)((2121>--=λλλλ（10分）]31,51[)(是区间λφ∴上的减函数，从而)51()()31(φλφφ≤≤，即536)(316≤≤λφ， 5361283162≤+≤∴k ，解得.22||0,21626221<<≤≤-≤≤-k k k 适合或因此直线AB 的斜率的取值范围是].2 1,62[]62,21[ -- （12分）7. 解：（Ⅰ）∵0MN AF ?=，1()2ON OA OF =+，∴ MN 垂直平分AF ．又//AM ME ，∴ 点M 在AE 上，∴ ||||||||2AM ME AE m EF m +===，||||MA MF =，∴ ||||2||ME MF m EF +=>， (4)分∴ 点M 的轨迹W 是以E 、F 为焦点的椭圆，且半长轴a m =，半焦距1c =，∴ 22221b a c m =-=-．∴ 点M 的轨迹W 的方程为222211x y m m +=-（1m >）．……………………………6分（Ⅱ）设11(,)Q x y ∵ 0(,)2mP y ，PF FQ λ=，∴ 1011(1),2.m x y y λλ?-=--=? ∴ 1101(1),21.m x y y λλλ?=+-=-??……………………………8分由点P 、Q 均在椭圆W 上，∴ 22220222211,411(1) 1.2(1)y m y m m m λλλ?+=?-+-+=?-?……………………………10分消去0y 并整理，得2211m m m λ-+=-，由221121m m m -+-≤≤及1m >，解得12m <≤．……………………………14分8. 解：（I ）设点P y y P y y M ),,4(),,4(222121、M 、A 三点共线，,4,14,4414,2121211222121211=∴+=+--=+=∴y y y y y y y y y y y y k k DM A M 即即………（2分）.544212221=+?=?∴y y y y OM …………………………………………………（3分）设∠POM =α，则.5cos ||||=??α.5sin ||||,25=??∴=αS ROM 由此可得tanα=1.……………………（5分）又.45,45),,0(??=∴∈与故向量απα……………………（6分）（II ）设点M y y Q ),,4(323、B 、Q 三点共线，,QM BQ k k =∴)9(.04,4))(1(,141,441431312331331233232131233分即即即=+++-=++∴+=-+--=+y y y y y y y y y y y y y y y y y y,0444,4,432322121=+++?∴==y y y y y y y y 即即.(*)04)(43232=+++y y y y ……………………………………（10分）)4(4,4442232232232232y x y y y y PQ y y y y y y k PQ-+=-∴+=--=的方程是直线即.4)(,4))((323222322x y y y y y y x y y y y =-+-=+-即……………………（12分）由（*）式，,4)(43232++=-y y y y 代入上式，得).1(4))(4(32-=++x y y y 由此可知直线PQ 过定点E （1，－4）.故存在定一点 E （1，－4），使PE ∥.QF …………………………………………（14分）9. （Ⅰ）解：由题意可知，平面区域D 如图阴影所示．设动点P (x ，y )，则|x ＋y |2?|x －y |2＝1，即|x 2－y 2|＝2．………………………………4分∵P ∈D ．∴x ＋y ＞0，x －y ＞0，即x 2－y 2＞0．∴x 2－y 2＝2(x ＞0)．即曲线C 的方程为x 22－y 22＝1(x ＞0)．…………6分（Ⅱ）解法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴以线段AB 为直径的圆的圆心Q (x 1＋x 22，y 1＋y 22)，∵以线段AB 为直径的圆与y 轴相切，∴半径r ＝12|AB |＝x 1＋x 22．即|AB |＝x 1＋x 2．①……………………………………………………………………8分∵曲线C 的方程为x 22－y 22＝1(x ＞0)，∴F (2，0)为其焦点，相应的准线方程为x ＝1，离心率e ＝2．根据双曲线的定义可得， |AF |x 1－1＝|BF |x 2－1＝2，∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝2(x 1－1)＋2(x 2－1)＝2(x 1＋x 2)－22．②…………………12分由①，②可得，x 1＋x 2＝2(x 1＋x 2)－22．由此可得x 1＋x 2＝4＋22．∴线段AB 的长为4＋22．……………………………………………………………14分（Ⅱ）解法二：∵曲线C 的方程为x 22－y 2＝1(x ＞0)，∴F (2，0)为其焦点，相应的准线为l ：x ＝1，离心率e ＝2．分别过A ，B 作AA '⊥l ，BB '⊥l ，垂足分别为A '，B '．设AB 中点Q ，过Q 点作QQ '⊥y 轴，垂足为Q '．由双曲线的定义可得，|AF ||AA '|＝|BF ||BB '|＝2，∴|AF |＝2|AA '|，|BF |＝2|BB '|．…………………10分 |AB |＝|AF |＋|BF |＝2(|AA '|＋|BB '|) 根据梯形中位线性质可得 |AA '|＋|BB '|＝2(|QQ '|－1)．∴|AB |＝2?2(|QQ '|－1)．①…………………………12分∵以线段AB 为直径的圆与y 轴相切，∴|QQ '|＝12|AB |．②把②代入①得|AB |＝22(12|AB |－1)，解得|AB |＝4＋22．……………………………………………………………………14分（Ⅱ）解法三：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵直线AB 过点F (2，0)，当AB ⊥x 轴时，|AB |＝22，以线段AB 为直径的圆与y 轴相离，不合题意．∴设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)．代入双曲线方程x 2－y 2＝2得，x 2－k 2(x －2)2＝2，即(1－k 2)x 2＋4k 2x －(4k 2＋2)＝0，∵直线与双曲线交于A ，B 两点，∴k ≠±1．∴x 1＋x 2＝4k 2k 2－1，x 1x 2＝4k 2k 2－1．∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)[? ??4k 2k 2－12－4?4k 2＋2k 2－1]……………………………………………………9分∵以线段AB 为直径的圆与y 轴相切，∴圆的半径12|AB |与圆心到y 轴的距离12(x 1＋x 2)相等．即12(1＋k 2)[? ??4k 2k 2－12－4?4k 2＋2k 2－1]＝12(x 1＋x 2)．∴12(1＋k 2)[? ??4k 2k 2－12－4?4k 2＋2k 2－1]＝12?4k 2k 2－1．………………………………………12分化简得k 4 －2k 2－1＝0，解得k 2＝1＋2（k 2＝1－2不合，舍去）．经检验，当k 2＝1＋2时，直线与曲线C 有两个不同的交点。
高三数学文科圆锥曲线大题训练(含答案)
高三数学文科圆锥曲线大题训练1．已知椭圆22:416C x y +=. （1）求椭圆C 的离心率;（2）设椭圆C 与y 轴下半轴的交点为B ,如果直线()10y kx k =+≠交椭圆C 于不同的两点,E F ,且,,B E F 构成以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形,判断直线EF 与圆2212x y +=的位置关系. 1．解:(I)由题意,椭圆C 的标准方程为221164x y +=, 所以2222216,4,12从而a b c a b ===-=,因此4,a c ==故椭圆C的离心率2c e a ==............4分 (II)由221,416y kx x y =+⎧⎨+=⎩得()22148120k x kx ++-=, 由题意可知0∆>. ..............5分设点,E F 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ,EF 的中点M 的坐标为(),M M x y ,则1224214M x x k x k +==-+,1221214M y y y k+==+......................7分 因为BEF ∆是以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形, 所以BM EF ⊥,因此BM 的斜率1BM k k=-. ............... ...........................................8分又点B 的坐标为()0,2-,所以222122381440414M BM M y k k k k x k k++++===---+,..........10分 即()238104k k k k +-=-≠,亦即218k =,所以4k =±,....................12分故EF的方程为440y -+=. ............... ...........................................13分又圆2212x y +=的圆心()0,0O 到直线EF的距离为32d ==>, 所以直线EF 与圆相离.....................14分2．已知椭圆的中心在坐标原点O，长轴长为离心率e =F 的直线l 交椭圆于P ，Q 两点． （1）求椭圆的方程；（2）当直线l 的斜率为1时，求POQ ∆的面积；（3）若以,OP OQ 为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线l 的方程.2．解：（1）由已知，椭圆方程可设为()222210x y a b a b+=>>． --------1分∵长轴长为离心率2e =，∴1,b c a === 所求椭圆方程为2212x y +=． ----------- 4分 （2）因为直线l 过椭圆右焦点()1,0F ，且斜率为1，所以直线l 的方程为1y x =-．设()()1122,,,P x y Q x y ，由 2222,1,x y y x ⎧+=⎨=-⎩ 得 23210y y +-=，解得 1211,3y y =-=．∴ 1212112223POQ S OF y y y y ∆=⋅-=-=． --------------9分（3）当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的方程为1x =，此时POQ ∠小于90，,OP OQ 为邻边的平行四边形不可能是矩形．当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为()1y k x =-．由 ()2222,1,x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 可得()2222124220k x k x k +-+-=．∴22121222422,1212k k x x x x k k-+==++．11(1)y k x =-，22(1)y k x =-212212k y y k -∴=+因为以,OP OQ 为邻边的平行四边形是矩形0OP OQ ⇔⋅=uu u r uuu r .由221212222201212k k OP OQ x x y y k k--⋅=+=+=++uu u r uuu r 得22k =，k ∴=.∴所求直线的方程为1)y x =-． ----------------14分3．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(2,0)A -，离心率为3（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l 过点A ，过O 作l 的平行线交椭圆C 于P ，Q 两点，如果以PQ 为直径的圆与直线l 相切，求l 的方程． 3. 解：（1）依题意，椭圆的焦点在x 轴上，因为2a =，3c a =，所以 c =22243b ac =-=． 所以 椭圆的方程为223144x y +=． …………4分 （2）依题意，直线l 的斜率显然存在且不为0，设l 的斜率为k ，则可设直线l 的方程为(2)y k x =+， 则原点O 到直线l 的距离为d =．设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则 2234y kx x y =⎧⎨+=⎩ 消y 得22(31)4k x +=． 可得P ，(Q ．因为 以PQ 为直径的圆与直线l 相切，所以1||2PQ d =，即||OP d =． 所以 222+=， 解得 1k =±．所以直线l 的方程为20x y -+=或20x y ++=． ………14分4．的椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>与直线2x =相交于,P Q 两点（点P在x 轴上方），且2PQ =．点,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点，且APQ BPQ ∠=∠．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求四边形APBQ 面积的取值范围．4．解：（1）由已知得e =，则12b a =，设椭圆方程为22221(0)4x y b b b +=>由题意可知点(2,1)P 在椭圆上， 所以224114b b+=．解得22b =． 故椭圆C 的标准方程为22182x y +=． ………4分 （2）由题意可知，直线PA ，直线PB 的斜率都存在且不等于0． 因为APQ BPQ ∠=∠，所以PA PB k k =-．设直线PA 的斜率为k ，则直线:1(2)PA y k x -=-（0k ≠）．由2248(12),x y y kx k ⎧+=⎨=+-⎩得222(14)8(12)161640k x k k x k k ++-+--=……(1). 依题意，方程（1）有两个不相等的实数根，即根的判别式0∆>成立. 即()222264(12)4(14)161640k k k k k ∆=--+-->, 化简得216(21)0k +>，解得12k ≠-. 因为2是方程（1）的一个解，所以2216164214A k k x k --⋅=+．所以2288214A k k x k--=+． 当方程（1）根的判别式0∆=时，12k =-，此时直线PA 与椭圆相切. 由题意，可知直线PB 的方程为1(2)y k x -=--．同理，易得22228()8()288214()14B k k k k x k k ----+-==+-+．由于点,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点，APQ BPQ ∠=∠，且能存在四边形APBQ ，则直线PA 的斜率k 需满足12k >. 设四边形APBQ 面积为S ，则 112222APQ BPQ A B S S S PQ x PQ x ∆∆=+=⋅-+⋅- 2222188288221414B A k k k k PQ x x k k --+-=⋅-=-++21614k k =+ 由于12k >，故216161144k S k k k==++. 当12k >时，144k k +>，即110144k k<<+，即04S <<. (此处另解：设t k =，讨论函数1()4f t t t=+在1,2t ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时的取值范围. 222141()4t f t t t -'=-=，则当12t >时，()0f t '>，()f t 单调递增. 则当12t >时，()(4,)f t ∈+∞，即S ∈()0,4.) 所以四边形APBQ 面积S 的取值范围是()0,4. ………14分5．已知椭圆的一个顶点为)1,0(-A ，焦点在x 轴上，若右焦点到直线022=+-y x 的距离为3.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线()0y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点M 、N ，当A M A N =时，求m 的取值范围.5．解: （1）依题意可设椭圆方程为2221x y a+=，………….2分则右焦点F的坐标为)，3=，解得23a =，故所求椭圆的标准方程为2213x y +=. ………………………….5分6．已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线222:12x C y -=的顶点，直线0+=x 与椭圆1C 交于A ，B 两点，且点A 的坐标为(1)，点P 是椭圆1C 上异于点A ,B 的任意一点，点Q 满足0AQ AP ⋅=，0BQ BP ⋅=，且A ，B ，Q 三点不共线. （1）求椭圆1C 的方程； （2）求点Q 的轨迹方程；（3）求ABQ ∆面积的最大值及此时点Q 的坐标.6．（1）解法1： ∵ 双曲线222:12x C y -=的顶点为1(0)F ,20)F , ……1分∴ 椭圆1C 两焦点分别为1(0)F ,20)F .设椭圆1C 方程为12222=+by a x ()0a b >>，∵ 椭圆1C 过点A (1)，∴ 1224a AF AF =+=，得2a =.……2分∴ 2222b a =-=. ………………………3分∴ 椭圆1C 的方程为 22142x y +=. ………………………4分解法2: ∵ 双曲线222:12x C y -=的顶点为1(0)F ,20)F , …………………1分∴ 椭圆1C 两焦点分别为1(0)F ,20)F .设椭圆1C 方程为12222=+by a x ()0a b >>，∵ 椭圆1C 过点A (1)， ∴22211a b +=. ① ………………………2分 . ∵ 222a b =+, ② ………………………3分 由①②解得24a =, 22b =.∴ 椭圆1C 的方程为 22142x y +=. ………………………4分 （2）解法1：设点),(y x Q ，点),(11y x P ，由A (1)及椭圆1C 关于原点对称可得B 1)-，∴(1)AQ x y =-，11(1)AP x y =-，(1)BQ x y =+，11(1)BP x y =+.由 0AQ AP ⋅=, 得 11((1)(1)0x x y y +--=， ……………………5分即 11((1)(1)x x y y =---. ①同理, 由0BQ BP ⋅=, 得 11((1)(1)x x y y =-++. ② ……………6分①⨯②得 222211(2)(2)(1)(1)x x y y --=--. ③ ………………………7分由于点P 在椭圆1C 上, 则2211142x y +=，得221142x y =-, 代入③式得 2222112(1)(2)(1)(1)y x y y ---=--.当2110y -≠时，有2225x y +=，当2110y -=，则点(1)P -或P ,此时点Q对应的坐标分别为1)或(1)- ，其坐标也满足方程2225x y +=. ………………………8分当点P 与点A 重合时，即点P (1)，由②得3y =-，解方程组2225,3,x y y ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 得点Q的坐标为)1-或22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 同理, 当点P 与点B 重合时，可得点Q的坐标为()或22⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭. ∴点Q 的轨迹方程为 2225x y +=,除去四个点)1-,,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭, (),22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. ………………………9分 解法2：设点),(y x Q ，点),(11y x P ，由A (1)及椭圆1C 关于原点对称可得B 1)-， ∵0AQ AP ⋅=，0BQ BP ⋅=， ∴AQ AP ⊥，BQ BP ⊥.1=-(1x ≠，① ……………………5分1=-(1x ≠. ② ……………………6分①⨯② 得 12222111122y y x x --⨯=--. (*) ………………………7分 ∵ 点P 在椭圆1C 上, ∴ 2211142x y +=，得221122x y =-,代入(*)式得2212211112122x y x x --⨯=--，即2211122y x --⨯=-, 化简得 2225x y +=.若点(1)P -或1)P , 此时点Q对应的坐标分别为1)或(1)- ，其坐标也满足方程2225x y +=. ………………………8分当点P 与点A 重合时，即点P (1)，由②得3y =-，解方程组2225,3,x y y ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 得点Q的坐标为)1-或22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.同理, 当点P 与点B 重合时，可得点Q的坐标为()或2⎛⎫⎪⎪⎝⎭. ∴点Q 的轨迹方程为 2225x y +=,除去四个点)1-,,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭, (),22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. ………………………9分 (3) 解法1：点Q (),x y 到直线:AB 0x =.△ABQ的面积为S =分x ==………………………11分而222(2)42y x x =⨯⨯≤+（当且仅当2x =∴S =≤==. ……12分当且仅当2x =时, 等号成立.由22225,x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得2,x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或 2.x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩………………………13分∴△ABQ, 此时,点Q的坐标为2⎫⎪⎪⎝⎭或2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.…14分 解法2：由于AB ==故当点Q 到直线AB 的距离最大时，△ABQ 的面积最大． (10)分 设与直线AB 平行的直线为0x m ++=， 由220,25,x m x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩消去x ，得225250y c ++-=， 由()223220250m m ∆=--=，解得2m =±． (11)分 若m =2y =-，x =；若m =2y =，x =． …12分故当点Q 的坐标为22⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭或22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭时，△ABQ 的面积最大，其值为122S AB ==． ………………………14分 7．如图，B A ,分别是椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左右顶点，F 为其右焦点，2是AF 与FB 的等差中项，3是AF 与FB 的等比中项．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点P 是椭圆C 上异于B A ,的动点，直线l 过点A 且垂直于x 轴，若过F 作直线FQ 垂直于AP ，并交直线l 于点Q ．证明：B P Q ,,三点共线．7．【解析】： （1）解：F （1，0），|AF|=a+c ，|BF|=a ﹣c ．由2是|AF|与|FB|的等差中项，是|AF|与|FB|的等比中项． ∴，解得a=2，c=1，∴b 2=a 2﹣c 2=3． ∴椭圆C 的方程为=1．（2）证明：直线l 的方程为：x=﹣2，直线AP 的方程为：y=k （x+2）（k≠0），联立，化为（3+4k 2）x 2+16k 2x+16k 2﹣12=0，∴，∴x P =，∴y P =k （x P +2）=，∵QF ⊥AP ，∴k PF =﹣． 直线QF 的方程为：y=﹣，把x=﹣2代入上述方程可得y Q =， ∴Q．∴k PQ ==，k BQ =．∴k PQ =k BQ ，∴B ，P ，Q 三点共线．8．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为，且经过点()0,1．圆22221:C x y a b +=+.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l ():0y kx m k =+≠与椭圆C 有且只有一个公共点M ，且l 与圆1C 相交于,A B 两点，问AM BM +=0是否成立？请说明理由．8．解析：（1）解：∵ 椭圆2222:1x y C a b+=过点()0,1，∴ 21b =.∵222c a b c a ==+， ∴24a =． ∴椭圆C 的方程为2214x y +=. ……………4分 （2）解法1：由（1）知，圆1C 的方程为225x y +=，其圆心为原点O . ……………5分 ∵直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点M ，∴方程组22,14y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ （*） 有且只有一组解．由（*）得()222148440k x kmx m +++-=． …………6分 从而()()()2228414440km km∆=-+-=,化简得2214m k =+．①………7分()228414214M km kmx k k =-=-++，22241414M M k m m y kx m m k k =+=-+=++. ……9分 ∴ 点M 的坐标为224,1414kmm k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭. ……………10分 由于0k ≠，结合①式知0m ≠，∴OMk k ⨯=2211414414m k k km k +⨯=-≠--+. …………11分 ∴ OM 与AB 不垂直. ……12分 ∴ 点M 不是线段AB 的中点. ………13分 ∴AM BM +=0不成立. ………14分解法2：由（1）知，圆1C 的方程为225x y +=，其圆心为原点O . ………5分 ∵直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点M ，∴方程组22,14y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ （*） 有且只有一组解．由（*）得()222148440k x kmx m +++-=． ………6分 从而()()()2228414440km km∆=-+-=,化简得2214m k =+．① ………7分()228414214M km kmx k k =-=-++， ………………8分 由于0k ≠，结合①式知0m ≠，设()()1122,,,A x y B x y ,线段AB 的中点为(),N N N x y , 由22,5,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y ,得()2221250k x kmx m +++-=.…………9分 ∴ 12221N x x kmx k+==-+. …………10分 若N M x x =,得224114km kmk k -=-++ ,化简得30=,矛盾. ………11分 ∴ 点N 与点M 不重合. ………12分 ∴ 点M 不是线段AB 的中点. …………13分 ∴ AM BM +=0不成立. ………14分9．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，若过点F 且斜率为1的直线与抛物线相交于,M N 两点,且8MN =． （1）求抛物线C 的方程；（2）设直线l 为抛物线C 的切线，且l ∥MN ,P 为l 上一点，求PM PN ⋅的最小值． 9．【解析】（1）由题可知(,0)2p F ，则该直线方程为：2py x =-，………1分 代入22(0)y px p =>得：22304p x px -+=，设1122(,),(,)M x y N x y ，则有123x x p +=…3分∵8MN =，∴128x x p ++=，即38p p +=，解得p =2∴抛物线的方程为：24y x =．………5分 （2）设l 方程为y x b =+，代入24y x =，得22(24)0x b x b +-+=，因为l 为抛物线C 的切线，∴0∆=，解得1b =，∴:l 1y x =+ ………7分 由（1）可知：126x x +=，121x x =设(,1)P m m +，则1122(,(1)),(,(1))PM x m y m PN x m y m =--+=--+所以1212()()[(1)][(1)]PM PN x m x m y m y m ⋅=--+-+-+2212121212()(1)()(1)x x m x x m y y m y y m =-+++-++++126x x +=，121x x =，21212()1616y y x x ==，124y y =-， 2212124()y y x x -=-，∴12121244x x y y y y -+==-221644(1)(1)PM PN m m m m ⋅=-+--+++ ………10分222[43]2[(2)7]14m m m =--=--≥-当且仅当2m =时，即点P 的坐标为(2,3)时，PM PN ⋅的最小值为14-．………12分 10．已知动圆C 过定点）（2,0M ，且在x 轴上截得弦长为4．设该动圆圆心的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 方程；（2）点A 为直线l ：20x y --=上任意一点，过A 作曲线C 的切线，切点分别为P 、 Q ，APQ ∆面积的最小值及此时点A 的坐标. 10．解析：（1）设动圆圆心坐标为(,)C x y ，根据题意得=， （2分）化简得24x y =. （2分） （2）解法一：设直线PQ 的方程为y kx b =+，由24x y y kx bìï=ïíï=+ïî消去y 得2440x kx b --=设1122(,),(,)P x y Q x y ，则121244x x k x x bì+=ïïíï=-ïî，且21616k b D =+ （2分）以点P 为切点的切线的斜率为1112y x ¢=，其切线方程为1111()2y y x x x -=- 即2111124y x x x =- 同理过点Q 的切线的方程为2221124y x x x =- 设两条切线的交点为(,)A A A x y 在直线20x y --=上，12x x ¹Q ，解得1212224A A x x x k x x y b ì+ïï==ïïïíïï==-ïïïî，即(2,)A k b - 则：220k b +-=，即22b k =- （2分） 代入222161616323216(1)160k b k k k D =+=+-=-+>12||||PQ x x \=-=(2,)A k b -到直线PQ的距离为d =（2分）3322224(22)4[(1)1]k k k =-+=-+\当1k =时，APQ S D 最小，其最小值为4，此时点A 的坐标为(2,0). （4分） 解法二：设00(,)A x y 在直线20x y --=上，点1122(,),(,)P x y Q x y 在抛物线24x y = 上，则以点P 为切点的切线的斜率为1112y x ¢=，其切线方程为1111()2y y x x x -=- 即1112y x x y =- 同理以点Q 为切点的方程为2212y x x y =- （2分） 设两条切线的均过点00(,)A x y ，则010101011212y x x y y x x y ìïï=-ïïíïï=-ïïïî，\点,P Q 的坐标均满足方程0012y xx y =-，即直线PQ 的方程为：0012y x x y =- （2分）代入抛物线方程24x y =消去y 可得：200240x x x y -+=00(,)A x y 到直线PQ的距离为d = （2分）33222200011(48)[(2)4]22x x x =-+=-+所以当02x =时，APQ S D 最小，其最小值为4，此时点A 的坐标为(2,0). （4分）11．已知点)1,2(A 在抛物线:E 2x ay =上，直线1:l 1y kx =+（R k ∈，且0k ≠）与抛物线E 相交于C B ,两点，直线AC AB ,分别交直线2:l 1y =-于点S ，T ． （1）求a 的值；（2）若S T =1l 的方程；（3）试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由．11．（1）解：∵点()2,1A 在抛物线2:E x ay =上， ∴4a =. ……1分 第（2）、（3）问提供以下两种解法：解法1：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意，2211224,4x y x y ==， 由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，解得1,2422k x k ±==±.∴12124,4x x k x x +==-. ……………2分直线AB 的斜率2111111124224ABx y x k x x --+===--， 故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-. ……………3分 令1y =-，得1822x x =-+，∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………4分同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭ ()()()121212121288248x x x xx x x x x x kk---===+++. ……………6分∵ST =，∴12x x -=. 由()221212124x x x x x x -=+-，得22201616k k =+，解得2k =, 或2k =-, …………… 7分∴直线1l 的方程为21y x =+，或21y x =-+. ……………9分 （3）设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=-⎪++++⎝⎭ ()()()1212444444222248k k x x x x kk++=-=-=-+++. ……………10分而2ST=()()()2221212122221614k x x x x x x k k k +-+-==， ……………11分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. 展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………12分 令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………13分 ∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 解法2：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. ………2分由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=， 即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-. ∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+. ∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ………3分 同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-，则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………4分∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242kk k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ………5分又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--， 化简得122kk k =. ……………6分 ()12121222222k k ST k k k k -⎛⎫⎛⎫=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， …………7分∵ST =，∴()12122k k k k -=.∴()()2212125k k k k -=.由()()()2221212121212454k k k k k k k k k k +=-+=+，得()225124k k k +=+，解得2k =±. ……8分 ∴直线1l 的方程为21y x =+，或21y x =-+. …… 9分（3）设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点， 则0SP TP ⋅=， ………10分得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， …11分整理得，()224410x x y k+-++=. …12分 令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……13分 ∴ 以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. …14分12．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，（1）求椭圆C 的方程；（2）B A ,为椭圆C 上满足AOB ∆E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P ，设OP tOE =，求实数t 的值.12．【解】(I)设椭圆C 的方程为)0(12222>>=+b a by a x由题意可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+=2222222b a c e c b a ，解得：1,2===c b a因此：椭圆C 的方程为1222=+y x (II)（1）当B A ,两点关于x 轴对称时，设直线AB 的方程为m x =，由题意可得：)2,0()0,2( -∈m将x m =代入椭圆方程1222=+y x ，得22||2m y -= 所以：4622||2=-=∆m m S AOB ，解得：232=m 或212=m ① 又)0,()0,2(21)(21mt m t OB OA t OE t OP ==+==因为P 为椭圆C 上一点，所以12)(2=mt ② 由①②得：42=t 或342=t ，又知0>t ，于是2=t 或332=t （2）当B A ,两点关于x 轴不对称时，设直线AB 的方程为h kx y +=，由⎪⎩⎪⎨⎧+==+h kx y y x 1222得：0124)21(222=-+++h khx x k 设),(),,(2211y x B y x A ，由判别式0>∆可得：2221h k >+此时：2212122212212122)(,2122,214k hh x x k y y k h x x k kh x x +=++=++-=+-=+， 所以222221221221211224)(1||k h k kx x x x kAB +-++=-++=因为点O 到直线AB 的距离21||kh d +=所以：222221||212112221||21kh k h k k d AB S AOB+⨯+-+⨯+⨯⨯==∆ 46||21212222=+-+=h k h k ③令221k n +=，代入③整理得：016163422=+-h n h n解得：24h n =或234h n =，即：22421h k =+或223421h k =+④又)21,212(),(21)(21222121k htk kht y y x x t t t ++-=++=+==因为P 为椭圆C 上一点，所以1])21()212(21[22222=+++-kh k kh t ，即121222=+t k h ⑤ 将④代入⑤得：42=t 或342=t ，又知0>t ，于是2=t 或332=t ，经检验，符合题意综上所述：2=t 或332=t13．已知点()2,1P 在抛物线()21:20C x py p =>上，直线l 过点()0,2Q 且与抛物线1C 交于A 、B 两点。
2020高考圆锥曲线试题带答案
1. 如果方程 x2 y2 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是 （ 4m m3
A． 3 m 4
B． m 7 2
C． 3 m 7 2
D． 7 m 4 2
2．如图，F1，F2 是双曲线
C：
x2 a2
y2 b2
1(a＞0，b＞0)的左、右焦
4
2
4
1
A.
B.
C.
D.
5
3
7
2
7.若直线 y kx 2 与双曲线 x2 y2 6 的右支交于不同的两点, 则实数 k 的取值范围是
（ D）
A.( 15 , 15 ) 33
B.(0, 15 ) 3
C.( 15 , 0) 3
D.( 15 , 1) 3
8. 已知直线 l1, l2 是经过椭圆
F2
'( 0 , 6 )
,
设所求双曲线的标准方程为 y 2 a2
x2 b2
1(a
0, b
0) ,
由题意知半焦距 c =6,
2a 4 5 a 2 5 ∴ b 4 ,
故所求双曲线的标准方程为 y 2 x 2 1 . 20 16
考点: （1）椭圆的标准方程; （2）双曲线的标准方程.
则点 P 的轨迹方程为___ y 4(x 2) _____.
三 解答题 1. (12 分)已知椭圆的两个焦点分别是 (2, 0), (2, 0) , 并且经过点 ( 5 , 3) , 求它的标准方程.
22
16.由椭圆定义知 2a
5 2
2
2
广东省部分地区2020届高三上学期考试数学文试题分类汇编：圆锥曲线
:
x2 4
−
y2
= 1，双曲线 C2
:
x2 a2
−
y2 b2
=
1(a > b > 0)
的左、右焦点分别为 F1、F2 ，双曲线 C1 与 C2 的离心率相同，点 M 在双曲线 C2 的一条渐近线上，
且 OM ⊥ MF2 ， O 为坐标原点，若 S△OMF2 = 16 ，则双曲线 C2 的实轴长是( )
B 两点。 （1）当 AB 取得最小值为 16 时，求 p 的值。
3 （2）在（1）的条件下，过点 P(3, 4) 作两条直线 PM、PN 分别交抛物线 C 于 M、N
（M、N 不同于点 P）两点，且 ∠MPN 的平分线与 x 轴平行， 求证：直线 MN 的斜率为定值。
9、（广东省六校 2020 届高三第二次联考）在直角坐标系 xoy 中，动点 P 与定点 F (1, 0) 的距离和它 到定直线 x = 4 的距离之比是 1 ，设动点 P 的轨迹为 E ．
点（一 2 3 ，0）到 C 的渐近线的距离为
14、（肇庆市 2020 届高三第二次统测）抛物线方程为 x2 = 4 y ，动点 P 的坐标为 (1, t ) ，若过 P 点可
以作直线与抛物线交于 A, B 两点，且点 P 是线段 AB 的中点，则直线 AB 的斜率为
A． 1 2
B． − 1 2
C． 2
求证△OPQ 的面积为定值，并求此定值·
12、（肇庆市
2020
届高三第二次统测）已知椭圆
x2 a2
+
by22=
1 (a > b > 0) 的短半轴长为
2 ，离心率
2
为．
2
（1）求椭圆的方程；
广东省2020届高三数学理一轮复习典型题专项训练：圆锥曲线
广东省2020届高三数学一轮复习典型题专项训练圆锥曲线一、选择、填空题1、（广州市2018高三一模）如图，在梯形ABCD 中，已知2AB CD =，25AE AC =uu u r uuu r ，双曲线 过C ，D ，E 三点，且以A ，B 为焦点，则双曲线的离心率为A ．7B ．22C ．3D ．102、（珠海市2019届高三9月摸底考试）设12F F 、是双曲线2222(10):0x y C a ba b -=>>，的左右焦点，A 为左顶点，点P 为双曲线C 右支上一点， 12||10F F =，212PF F F ⊥，216||3PF =， O 为坐标原点，则OA OP ⋅=uu r uu u rA.293- B. 163 C. 15 D. 15- 3、（华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考）设1F 、2F 分别是椭圆22221y x a b+=（0a b >>）的左、右焦点，若在直线2a x c=上存在点P ，使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是 A.2(0]2， B.3(0]3， C.2[1)2， D.3[1)3， 4、（深圳市宝安区2019届高三9月调研）已知,,A F P 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的左顶点、右焦点以及右支上的动点,若2PFA PAF ∠=∠恒成立，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C. 2 D. 13+5、（深圳市宝安区2019届高三9月调研）过双曲线2222:1(,0)x y E a b a b-=>的右焦点，且斜率为2的直线与E 的右支有两个不同的公共点，则双曲线离心率的取值范围是________．6、（佛山市2019届高三教学质量检测（二））已知F 为双曲线)0(1:2222>>=-b a by a x C 的右焦点，A 、B 是双曲线C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，BF AF ⊥，且AF 的中点在双曲线C 上，则C 的离心率为（ ）A ．15-B ．213+C ．215+ D ．13+ 7、（佛山市2019届高三教学质量检测（二））已知抛物线)0(22>=p py x 的焦点为F ，准线为l ，点),4(0y P 在抛物线上，K 为l 与y 轴的交点，且PF PK 2=，则0y = 。
2020年高考文科数学一轮复习大题篇—圆锥曲线综合问题
2020年高考文科数学一轮复习大题篇—圆锥曲线综合问题【归类解析】题型一 范围问题【解题指导】 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围.(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.【例】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 23－y 2＝1的离心率互为倒数，且直线x －y －2＝0经过椭圆的右顶点.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设不过原点O 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，且直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列，求△OMN 面积的取值范围.【解】 (1)∵双曲线的离心率为233， ∴椭圆的离心率e ＝c a ＝32. 又∵直线x －y －2＝0经过椭圆的右顶点，∴右顶点为点(2,0)，即a ＝2，c ＝3，b ＝1，∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1. (2)由题意可设直线的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1， 消去y ，并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0，则x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－11＋4k 2， 于是y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2.又直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列，故y 1x 1·y 2x 2＝k 2x 1x 2＋km x 1＋x 2＋m 2x 1x 2＝k 2， 则－8k 2m 21＋4k 2＋m 2＝0. 由m ≠0得k 2＝14，解得k ＝±12. 又由Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)>0，得0<m 2<2，显然m 2≠1(否则x 1x 2＝0，x 1，x 2中至少有一个为0，直线OM ，ON 中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾).设原点O 到直线的距离为d ，则S △OMN ＝12|MN |d ＝12·1＋k 2·|x 1－x 2|·|m |1＋k 2故由m 的取值范围可得△OMN 面积的取值范围为(0,1).【训练】如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足P A ，PB 的中点均在C 上.(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴； (2)若P 是半椭圆x 2＋y 24＝1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围. (1)【证明】 设P (x 0，y 0)，A ⎝⎛⎭⎫14y 21，y 1，B ⎝⎛⎭⎫14y 22，y 2. 因为P A ，PB 的中点在抛物线上，所以y 1，y 2为方程⎝⎛⎭⎫y ＋y 022＝4·14y 2＋x 02，即y 2－2y 0y ＋8x 0－y 20＝0的两个不同的实根.所以y 1＋y 2＝2y 0，所以PM 垂直于y 轴.(2)【解】 由(1)可知⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2y 0，y 1y 2＝8x 0－y 20，所以|PM |＝18(y 21＋y 22)－x 0＝34y 20－3x 0， |y 1－y 2|＝22y 20－4x 0. 所以△P AB 的面积S △P AB ＝12|PM |·|y 1－y 2|)322004y x -.因为x 20＋y 204＝1(－1≤x 0<0)， 所以y 20－4x 0＝－4x 20－4x 0＋4∈[4,5]，所以△P AB 面积的取值范围是⎣⎡⎦⎤62，15104. 题型二 最值问题1 利用三角函数有界性求最值【解题指导】 处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.【例】过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是坐标原点，则|AF |·|BF |的最小值是【解】 设直线AB 的倾斜角为θ，可得|AF |＝21－cos θ，|BF |＝21＋cos θ， 则|AF |·|BF |＝21－cos θ×21＋cos θ＝4sin 2θ≥4. 2 数形结合利用几何性质求最值【例】在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点.若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，求实数c 的最大值为。
精编2020高考数学《圆锥曲线方程》专题训练完整考题(含参考答案)
2019年高中数学单元测试卷圆锥曲线与方程学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．（2005广东卷）若焦点在轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为12，则m=( )（Ｂ）32（Ｃ）83（Ｄ）232．（2009山东卷文)设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F ,且和y 轴交于点A ,若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ).A.24y x =±B.28y x =± C. 24y x = D. 28y x =二、填空题3．已知F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，过点F 2与双曲线的一条渐过线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，则点M 在以线段F 1F 2为直径的圆上，则双曲线离心率为＿＿＿4．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x －y －1＝0，x －y ＋1＝0与椭圆分别相交于点A ，B ，C ，D ，则AF ＋BF ＋CF ＋DF ＝ ▲ ． 5．在平面直角坐标系xOy 中，焦点为F (5，0)的抛物线的标准方程是 ▲ ．6．已知过椭圆的左焦点F 1且倾斜角为60°的直线交椭圆于A 、B 两点，若F 1A ＝2F 1B ，则椭圆的离心率为________．7． 椭圆1422=+y x 的长轴长等于 ▲ . 8．已知P 点在圆x 2+(y -2)2=1上移动，Q 点在椭圆2219x y +=上移动,试求|PQ |的最大值。
9．已知椭圆的方程为19222=+y a x ，它的两个焦点为F 1、F 2，若| F 1F 2|=8， 弦AB 过F 1 ，则△ABF 2的周长为 ▲10．点(3,1)P -在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左准线上，过点P 沿斜率52-的直线入射的光线,经直线2y =-反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为 ▲ 11．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽__________米.12．已知椭圆()012222>>=+b a by a x 与双曲线()0,012222>>=-n m n y m x 有相同的焦点，()0,c -和()0,c -，若c 是a 、m 的等比中项，2n 是22m 与2c 的等差中项，则椭圆的离心率是__ ____。
2020届高三数学文一轮复习专题突破训练：圆锥曲线 Word版含解析
2020届高三数学文一轮复习专题突破训练圆锥曲线一、选择、填空题1、（2019年高考）过双曲线C ：22221x y a a-=0,0a b >>（）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ,则C 的离心率为 .2、（2019年高考）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线()220x py p =>的焦点为F ，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且F A c =，则双曲线的渐近线方程为 。
3、（2019年高考）抛物线C 1：y ＝12p x 2(p>0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M.若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )A.316B.38C.2 33D.4 33 4、（滨州市2019高三一模）抛物线22(0)y px p =>上一点(1,)(0)M m m >到其焦点的距离为5，双曲线221x y a-=的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则双曲线的离心率为 5、（德州市2019届高三一模）已知抛物线28y x =与双曲线2221x y x-=的一个交点为M ，F 为抛物线的焦点，若｜MF ｜＝5，则该双曲线的渐近线方程为A 、5x ±3y ＝0B 、3x ±5y ＝0C 、4x ±5y ＝0D 、5x ±4y ＝06、（菏泽市2019届高三一模）设双曲线221x y m n+=的离心率为2，且一个焦点与抛物线28x y =的交点相同，则此双曲线的方程为（ ）A ．2213x y -=B ．221412x y -=C ．2213x y -= D ．221124x y -= 7、（济宁市2019届高三一模）已知抛物线218y x =与双曲线()22210y x a a -=>有共同的焦点F ，O 为坐标原点，P 在x 轴上方且在双曲线上，则OP FP ⋅uu u r uu r的最小值为A. 3B. 3-C.74D.348、（莱州市2019届高三一模）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，它的一个焦点在抛物线28y x =的准线上，则该双曲线的方程为 9、（青岛市2019届高三二模）已知双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，过F 作斜率为﹣1的直线交双曲线的渐近线于点P ，点P 在第一象限，O 为坐标原点，若△OFP 的面积为，则该双曲线的离心率为．10、（日照市2019届高三一模）已知抛物线()220y px p =>上一点()()1,0M m m >到其焦点的距离为5，双曲线221x y a-=的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值是 A.19B.125C.15D.1311、（山东省实验中学2019届高三一模）已知双曲线，则一条渐近线与实轴所成角的取值范围是12、（泰安市2019届高三二模）设抛物线上的一点P 到x 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离为5 ．13、（潍坊市2019届高三二模）抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点为F ，点O 是坐标原点，M 是抛物线C 的一点，且|MF|=4|OF|，△MFO 的面积为34，则抛物线的方程为 14、已知圆22104x y mx ++-=与抛物线214y x =的准线相切，则m=(A)± (D)15、已知双曲线22221x y a b-=的一个焦点与圆22100x y x +-=的圆心重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的标准方程为A.221520x y -=B.2212520x y -=C.221205x y -=D. 2212025x y -=二、解答题1、（2019年高考）平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：2222+=1(>>0)x y b bαα，且点12）在椭圆C 上. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆E ：2222+=144x y a b，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线=+y kx m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q. （i ）求||||OQ OP 的值； (ii)求ABQ ∆面积的最大值.2、（2019年高考）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，直线y x=被椭圆C 截得的线段长为5. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C 交于,A B 两点（,A B 不是椭圆C 的顶点），点D 在椭圆C 上，且AD AB ⊥，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于,M N 两点.（i ）设直线,BD AM 的斜率分别为12,k k .证明存在常数λ使得12k k λ=，并求出λ的值； （ii ）求OMN 面积的最大值.3、（2019年高考）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，离心率为22.(1)求椭圆C 的方程；(2)A ，B 为椭圆C 上满足△AOB 的面积为64的任意两点，E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P.设OP →＝tOE →，求实数t 的值．4、（滨州市2019届高三一模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别是12,F F ，且2F 的坐标为()1,0，离心率为12。
广东省2019届高三一轮复习典型题专项训练：圆锥曲线(理数)
广东省2019届高三一轮复习典型题专项训练：圆锥曲线圆锥曲线一、选择、填空题1、（2018全国I 卷高考题）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过点()20-，且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅=（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 2、（2017全国I 卷高考题）已知F 为抛物线C ：24y x =的交点，过F 作两条互相垂直1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，AB DE +的最小值为（） A ．16 B ．14 C ．12 D ．103、（2016全国I 卷高考题） 已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（ ）A.)3,1(-B.)3,1(-C.)3,0(D.)3,0(4、（广州市2018高三一模）如图，在梯形ABCD 中，已知2AB CD =，25AE AC =uu u r uuu r，双曲线过，，E 三点，且以A ，B 为焦点，则双曲线的离心率为A B ．C ．3 D5、（广州市2018高三二模）若双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的渐近线与圆()2221x y -+=相切，则C 的渐近线方程为A ．13y x =± B ．3y x =± C ．y = D ．3y x =± 6、（广州市2018高三上期末调研）在直角坐标系xOy 中，设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，P 为双曲线C 的右支上一点，且△OPF 为正三角形，则双曲线C 的离心率为A B C ．1+ D ．2+7、（广州市海珠区2018届高三综合测试（一））已知B A ,为抛物线x y 22=上两点，且A 与B 的纵坐标之和为4，则直线AB 的斜率为A ．21B ．21- C ．2- D ．28、（惠州市2018届高三4月模拟考试）ABC ∆中，23B π∠=，A 、B 是双曲线E 的左、右焦点，点C 在E 上，且AB BC =，则E 的离心率为（ ）.(A)1 (B) 1 (C)12 (D) 129、（惠州市2018届高三第三次调研）设,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右顶点，若在椭圆上存在异于,A B 的点P ,使得0PO PB ⋅=,其中O 为坐标原点，则椭圆的离心率e 的取值范围是 ．10、（惠州市2018届高三第一次调研）已知12,F F 分别是双曲线22221(,0)y x a b a b-=>的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段12F F 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．(1, 2)B ．(2, +∞)C ．(1,D ．)+∞11、（揭阳市2018届高三学业水平（期末）考试）已知抛物线x y 42=，过其焦点F 的直线与抛物线相交于A 、B 两点，且|AB |=10，以线段AB 为直径的圆与y 轴相交于M 、N 两点，则|MN |= （A ）3 （B ）4 （C ）6 （D ）812、（汕头市2018届高三第一次（3月）模拟）已知双曲线22221x y a b-=)0,0(>>b a 的右焦点为(,0)F c ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B 、C 两点，过B 、C 分别作AC 、AB 的垂线，两垂线交于点D ，若D 到直线BC 的距离小于a c +， 则双曲线的渐近线斜率的取值范围是A ．()()+∞-∞-,11,B ．()()1,00,1 -C ．()()+∞-∞-,22,D ． ()()2,00,2 -13、（韶关市2018届高三调研）已知抛物线2:2(0)C x py p =>,F 为其焦点，M 在抛物线上，现有点(0,)2pA -则MF MA的最小值为（ ）A.12B.2C.D.14、（深圳市2018届高三第二次（4月）调研）已知点(1,)P m 在椭圆2214x y +=的外部，则直线2y mx =+221x y +=的位置关系为（ ）A ．相离B ．相交C ．相切D ．相交或相切 15、（深圳市宝安区2018届高三9月调研）设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若 |AF |=2|BF |，则线段AB 的长为． A ．8B ．92C ．16D ．16316、（珠海市2018届高三9月摸底考试）已知抛物线 C ：y 2=4x ，过点 P，0) 作直线 l与 C 交于 A B 两点，直线 l 的斜率为 k ，则 k 的取值范围是A ．2(,0)(0,)22-B ．[22-C ．(22-D ．2[,0)(0,]22- 17、（2018全国I 卷高考题）已知双曲线2213x C y -=：，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若OMN △为直角三角形，则MN =（ ）A ．32B ．3C ．D ．418、（2017全国I 卷高考题）已知双曲线2222:x y C a b -，（0a >，0b >）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若60MAN ∠=︒，则C 的离心率为_______．19、（广州市2018高三二模）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，直线y =与C相交于,A B 两点，且AF BF ⊥，则C 的离心率为A ．12-B 1C ．12D 1二、解答题1、（2018全国I 卷高考题）设椭圆2212x C y +=：的右焦点为F ，过F 的直线与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为()20，．⑴当与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；⑵设O 为坐标原点，证明：OMA OMB =∠∠．2、（2017全国I 卷高考题）已知椭圆C ：22221x y a b +=()0a b >>，四点()111P ，，()201P ，，31P ⎛- ⎝⎭，41P ⎛ ⎝⎭中恰有三点在椭圆C 上． （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A 、B 两点，若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 过定点．3、（2016全国I 卷高考题）设圆015222=-++x y x 的圆心为A ，直线l 过点)0,1(B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E（1）证明：EB EA +为定值，并写出点E 的轨迹方程（2）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围4、（广州市2018高三一模）已知圆(2216x y +=的圆心为M ，点P 是圆M 上的动点，点)N ，点G 在线段MP 上，且满足()()GN GP GN GP +⊥-uuu r uu u r uuu r uu u r．（1）求点G 的轨迹C 的方程；（2）过点()4,0T 作斜率不为0的直线l 与（1）中的轨迹C 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ，连接BD 交x 轴于点Q ，求△ABQ 面积的最大值．5、（广州市2018高三二模）已知O 为坐标原点，点()0,2R ，F 是抛物线()2:20C x py p =>的焦点，3RF OF =．（1）求抛物线C 的方程；（2）过点R 的直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点，与直线2y =-交于点M ，抛物线C在点A ,B 处的切线分别记为12,l l ，1l 与2l 交于点N ，若△MON 是等腰三角形，求直线l 的方程.6、（广州市2018高三上期末调研）如图，在直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221y x a b+=()0a b >>的上焦点为1F ，椭圆C 的离心率为12 ，且过点⎛ ⎝⎭． （1）求椭圆C 的方程；（2）设过椭圆C 的上顶点A 的直线l 与椭圆C 交于点B （B 不在y 轴上），垂直于l 的直线与l交于点M ，与x 轴交于点H ，若110F B F H ∙=，且MO MA =，求直线l 的方程．7、（广州市海珠区2018届高三综合测试（一））已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为, 且过点()2,1A ．(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 若不经过点A 的直线:l y kx m =+与C 交于,P Q 两点,且直线AP 与直线AQ 的斜率之和为0，证明：直线PQ 的斜率为定值．8、（惠州市2018届高三4月模拟考试）已知()1F ，)2F 是椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的焦点，点P ⎛ ⎝⎭是椭圆E 上一点。
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广东省2020届高三数学文一轮复习典型题专项训练圆锥曲线一、选择、填空题1、（广州市2018届高三3月综合测试（一））椭圆22194x y +=上一动点P 到定点()1,0M 的距离的最小值为 A ．2B ．455C ．1D ．2、（深圳实验、珠海一中等六校2019届高三第一次联考）2,)0,0(12222离心率为的左焦点为已知双曲线F b a by a x >>=-，若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ）1..22=-y x A 122.22=-y x B 144.22=-y x C 188.22=-y x D3、（深圳市宝安区2019届高三9月调研）已知,,A F P 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的左顶点、右焦点以及右支上的动点,若2PFA PAF ∠=∠恒成立，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C. 2 D. 13+4、（仲元中学等七校2019届高三第一次（8月）联考）双曲线的一条渐近线截圆为弧长之比是1:2的两部分，则双曲线的离心率为（ ）A.B. 2C.D.5、（广州市2019届高三3月综合测试（一））已知双曲线222:1y C x b-=的一条渐近线过点(),4b ，则C 的离心率为 A.52 B.32C.5D.3 6、（广州市2019届高三12月调研）已知双曲线C 的中心为坐标原点，离心率为3，点()22,2P -在C 上，则C 的方程为A ．22142x y -=B ．221714x y -=C ．22124x y -=D ．221147y x -=7、（惠州市2019届高三4月模拟）已知圆225x y +=与抛物线()220y px p =>交于A 、B 两点，与抛物线的准线交于C 、D 两点，若四边形ABCD 是矩形，则p 等于（ ） A ．1 B ．5 C ．2 D ．4 8、（江门市 2019届普通高中高三调研）已知双曲线的一个顶点为，一个焦点为，过作垂直于实轴的直线交双曲线于、，是坐标原点，若、、成等比数列，则双曲线的离心率 ．9、（惠州市2019届高三第三次调研）已知双曲线C ：222210,0)x y a b a b-=>>(的一条渐近线方程为13y x =-，则双曲线C 的离心率等于（ ）A ．2 B ．223C ．10D ．10310、（揭阳市2019届高三学业水平考试）若点(2,22)A 在抛物线2:2C y px =上，记抛物线C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为A ．24B ．423C ．22D ．22311、（雷州市2019届高三上学期期末）已知双曲线C ： 2222=1x y a b-0()0a b ＞，＞的离心率为52 ，则C 的渐近线方程为 A ．1y=4x ±B ．1y=3x ±C ．1y=2x ± D ．y=x ±12、（汕头市2019年普通高考第一次模拟）已知圆O :x 2+ y 2= 4 ( O 为坐标原点)经过椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的短轴端点和两个焦点， 则椭圆C 的标准方程为 A ．22142x y += B ．22184x y += C ．221164x y += D ．2213216x y += 13、（深圳实验、珠海一中等六校2019届高三第二次联考）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，左右焦点分别为12,F F ，点A 在双曲线C 上，若12AF F V 的周长为10a ，则12AF F V 的面积为（ ）A. 2215aB. 215a C. 230a D. 215a14、（湛江市2019届高三调研）双曲线1422=-y x 的焦点到渐近线的距离为 A ．2 B ．2C ．1D ．315、（肇庆市2019届高三第二次（1月）统一检测）已知双曲线C 的中心为坐标原点，一条渐近线方程为2y x =，点()22,2P -在C 上，则C 的方程为A ．22124x y -=B ．221714x y -=C ．22142x y -=D ．221147y x -= 16、（中山一中等七校2019届高三第二次（11月）联考）如图，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的上顶点、左顶点、左焦点分别为B 、A 、F ，中心为O ，其离心率为12，则:ABF BFO S S =V VA ．1:1B ．1:2C ．(23):2-D ．3:2xy OA FB17、（珠海市2019届高三上学期期末）双曲线22221y x a b-=的一条渐近线方程为3y x =，则双曲线的离心率为A ．2B ．103 C ．3 D ．10918、（佛山市2019届高三教学质量检测（一））已知抛物线C ：y 2＝4x 和直线l ：x ﹣y +1＝0，F 是C 的焦点，P 是l 上一点过P 作抛物线C 的一条切线与y 轴交于Q ，则△PQF 外接圆面积的最小值为（ ） A ．2π B ．22π C ．2π D ．2π 19、（广州市2019届高三3月综合测试（一））已知F 为抛物线2:6C y x =的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且3AF BF =，则AB =A.6B.8C.10D.1220、（广州市2019届高三12月调研）已知椭圆Γ： 22221(0)x y a b a b+=>>的长轴是短轴的2倍，过右焦点F 且斜率为(0)k k >的直线与Γ相交于A ，B 两点．若3AF FB =，则k = A. 1 B. 2 C. 3 D. 221、（汕头市2019年普通高考第一次模拟）设双曲线22196x y -=的左、右焦点分别为 F 1、F 2， 过 F 1 的直线l 交双曲线左支于 A 、 B 两点， 则| AF 2 | + | BF 2 |的最小值等于 ___________22、（佛山市2019届高三教学质量检测（一））已知双曲线22212x y a -=（a ＞0）的离心率为3a ，则该双曲线的渐近线为 ．参考答案：一、选择、填空题1、B2、D3、C4、B5、C6、B7、C8、9、D 10、C11、C 12、B 13、B 14、C 15、B 16、A 17、B 18、A 19、B 20、D 21、答案：16解析：由双曲线的定义，可知：｜AF 2｜－｜AF 1｜＝2a ，｜BF 2｜－｜BF 1｜＝2a ，22、2y x =±二、解答题1、（广州市2018届高三3月综合测试（一））已知两个定点()1,0M 和()2,0N ，动点P 满足2PN PM =．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）若A ，B 为（1）中轨迹C 上两个不同的点，O 为坐标原点．设直线OA ，OB ，AB 的斜率分别为1k ，2k ，k ．当123k k =时，求k 的取值范围．2、（深圳实验、珠海一中等六校2019届高三第一次联考）已知椭圆2222:1(0)x y D a b a b+=>>的离心率为22e =，点(2,1)-在椭圆D 上．（Ⅰ）求椭圆D 的方程； （Ⅱ）过椭圆内一点(0,)P t 的直线l 的斜率为k ，且与椭圆C 交于,M N 两点，设直线OM ，ON（O 为坐标原点）的斜率分别为12,k k ，若对任意k ，存在实数λ，使得12k k k λ+=， 求实数λ的取值范围．3、（深圳市宝安区2019届高三9月调研）如图，已知1F ，2F 分别为椭圆1C ：22221(0)y x a b a b+=>>的上、下焦点，1F 是抛物线2C ：24x y =的焦点，点M 是1C 与2C 在第二象限的交点，且15||3MF =． （1）求椭圆1C 的方程；（2）与圆22(1)1x y ++=相切的直线l ：()y k x t =+（其中0k t ⋅≠）交椭圆1C 于点A ，B ，若椭圆1C 上一点P 满足OA OB OP λ+=，求实数2λ的取值范围．4、（仲元中学等七校2019届高三第一次（8月）联考）已知，是椭圆：的左、右焦点，恰好与抛物线的焦点重合，过椭圆的左焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3． （1）求椭圆的方程；（2）已知点，过斜率为的直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值．5、（广州市2019届高三3月综合测试（一））已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点为()1,0F ，点226,33P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在C 上。
（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线:l y x m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，问y 轴上是否存在点M ，使得△ABM 是以M 为直角顶点的等腰直角三角形?若在在，求点M 的坐标:若不存在，说明理由。
6、（广州市2019届高三12月调研）已知动圆C 过定点(1,0)F ，且与定直线1x =-相切． （1）求动圆圆心C 的轨迹E 的方程；（2）过点()2,0M -的任一条直线l 与轨迹E 交于不同的两点,P Q ，试探究在x 轴上是否存在定点N （异于点M ），使得QNM PNM π∠+∠=？若存在，求点N 的坐标；若不存在，说明理由．7、（惠州市2019届高三4月模拟）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为12，点31,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点F 作互相垂直的两条直线1l 、2l ，其中直线1l 交椭圆于P 、Q 两点，直线2l 交直线4x =于M 点，求证：直线OM 平分线段PQ ．8、（江门市 2019届普通高中高三调研）过抛物线：的焦点的直线交抛物线于两点、，线段的中点为．（Ⅰ）求动点的轨迹的方程； （Ⅱ）经过坐标原点的直线与轨迹交于、两点，与抛物线交于点（），若，求直线的方程．9、（惠州市2019届高三第三次调研）已知椭圆E 的一个顶点为(0,1)A ，焦点在x 轴上，若椭圆的右焦点到直线220x y -+=的距离是3.（1）求椭圆E 的方程；（2）设过点A 的直线l 与该椭圆交于另一点B ，当弦AB 的长度最大时，求直线l 的方程.10、（揭阳市2019届高三学业水平考试）设椭圆()222210x y a b a b+=>>的右顶点为A ，下顶点为B ，过A 、O 、B （O 为坐标原点）三点的圆的圆心坐标为31(,)22-． （1）求椭圆的方程；（2）已知点M 在x 轴正半轴上，过点B 作BM 的垂线与椭圆交于另一点N ，若∠BMN =60°，求点M 的坐标．11、（雷州市2019届高三上学期期末）如图，已知抛物线C ：22y px =和⊙M ()2241x y -+= ，过抛线C 上一点()()000,1H x y y ≥ 作两条直线与⊙M 相切于A 、B 两点，分别交抛物线于E 、 F 两点，圆心点M 到抛物线准线的距离为174． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）当AHB ∠ 的角平分线垂直x 轴时，求直线EF 的斜率； （Ⅲ）若直线AB 在y 轴上的截距为t ，求t 的最小值．12、（汕头市2019年普通高考第一次模拟）已知抛物线 C 的标准方程为 y 2= 2 px ( p > 0)，M 为抛物线 C 上一动点， A (a ,0)(a ≠ 0) ，直线 MA 与抛物线 C 的另一个交点为 N ． 当 A 为抛物线 C 的焦点且直线 MA 与其对称轴垂直时， ∆MON 的面积为 18。