山东省德州市第一中学2020届高三上学期开学收心考试数学试题
2020届山东省德州市高三第一次(4月)模拟考试数学试题(解析版)
2020届山东省德州市高三第一次（4月）模拟考试数学试题一、单选题1．设集合{|12xA x =≤≤，{}|ln 0B x x =≤，则A B =（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】计算102A x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，{}01B x x =<≤，再计算交集得到答案. 【详解】{1|1202x A x x x ⎧⎫=≤≤=≤≤⎨⎬⎩⎭，{}{}|ln 001B x x x x =≤=<≤，故10,2AB ⎛⎤= ⎥⎝⎦.故选：C . 【点睛】本题考查了交集计算，意在考查学生的计算能力.2．已知复数z 满足()1243z i i +=+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点在第（ ）象限. A ．一 B ．二C ．三D ．四【答案】A【解析】化简得到2z i =-，故2z i =+，得到答案. 【详解】()1243z i i +=+，则()()()()43124310521212125i i i i z i i i i +-+-====-++-，故2z i =+，对应的点在第一象限. 故选：A . 【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，复数对应象限，意在考查学生的计算能力. 3．设命题:p 任意常数数列都是等比数列.则p ⌝是（ ） A ．所有常数数列都不是等比数列B ．有的常数数列不是等比数列C ．有的等比数列不是常数数列D ．不是常数数列的数列不是等比数列【答案】B【解析】直接根据命题的否定的定义得到答案. 【详解】全称命题的否定是特称命题，命题：任意常数数列都是等比数列，则p ⌝：有的常数数列不是等比数列. 故选：B . 【点睛】本题考查了命题的否定，意在考查学生的推断能力.4．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是11C D 的中点，且1AP AD xAB yAA =++，则实数x y +的值为（ ） A ．32-B ．12-C ．12D ．32【答案】D【解析】化简得到112AP AD AA AB =++，得到12x =，1y =，得到答案. 【详解】111112AP AD DD D P AD AA AB AD xAB y AA =++=++=++， 故12x =，1y =，32x y +=. 故选：D . 【点睛】本题考查了空间向量的运算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 5．函数()sin ln 22x xxf x -=-在区间[)(]3,00,3-上大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】判断函数为奇函数排除AD ，计算()30f >排除B ，得到答案.【详解】()sin ln 22x x x f x -=-，()()sin ln 22x xxf x f x ---==--，故函数为奇函数，排除AD ； ()33sin 330ln 22f -=>-，排除B .故选：C . 【点睛】本题考查了函数图像的识别，确定函数为奇函数是解题的关键.6．某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分用茎叶图表示，茎叶图中甲得分的部分数据丢失（如图），但甲得分的折线图完好，则下列结论正确的是（ ）A ．甲得分的极差是11B ．乙得分的中位数是18.5C ．甲运动员得分有一半在区间[]20,30上D ．甲运动员得分的平均值比乙运动员得分的平均值高 【答案】D【解析】根据茎叶图和折线图依次判断每个选项得到答案. 【详解】A. 甲得分的极差是28919-=，A 错误；B. 乙得分的中位数是161716.52+=，B 错误； C. 甲运动员得分在区间[]20,30上有3个，C 错误；D. 甲运动员得分的平均值为：912131315202628178+++++++=，乙运动员得分的平均值为：914151617181920168+++++++=，故D 正确. 故选：D . 【点睛】本题考查了茎叶图和折线图，意在考查学生的计算能力和理解能力.7．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，2SA =，1AB =，2AC =，3BAC π∠=，则球O 的体积为（ ）A．3B．3C．D．3【答案】B【解析】计算BC =，根据正弦定理得到1r =，22222SA R r ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，得到答案. 【详解】根据余弦定理：2222cos 3BC AC AB AB AC BAC =+-⋅∠=，故BC =， 根据正弦定理：22sin BCr BAC==∠，故1r =，r 为三角形ABC 外接圆半径，设R 为三棱锥S ABC -外接球的半径22222SA R r ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故R =3433V R π==.故选：B . 【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.8．已知函数()()()201ln 0xx x f x x x x⎧≤⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎩，若关于x 的方程()()()210f x m f x m +--=有且只有两个不同实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．1,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,0,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C ．()()1,11,0,2e ⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭D ．()()1,0,11,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】确定0x >函数的单调区间，画出函数图像，变换()()()()10f x m f x -+=，得到()1f x =-和()f x m =，根据函数图像得到答案. 【详解】当0x >时，()ln x f x x =，则()21ln 'x f x x -=，()1f e e =，函数在()0,e 上单调递增，在[),e +∞上单调递减，画出函数图像，如图所示：()()()210f x m f x m +--=，即()()()()10f x m f x -+=，当()1f x =-时，根据图像知有1个解， 故()f x m =有1个解，根据图像知()()1,11,0,2m e ⎛⎫∈-∞-- ⎪⎝⎭. 故选：C .【点睛】本题考查了函数的零点问题，画出函数图像，变换()()()()10f x m f x -+=是解题的关键.二、多选题9．某市教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身高都处在A ，B ，C ，D ，E 五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则下面叙述正确的是（ ）A ．样本中女生人数多于男生人数B ．样本中B 层人数最多C ．样本中E 层次男生人数为6人D ．样本中D 层次男生人数多于女生人数【答案】ABC【解析】根据直方图和饼图依次判断每个选项的正误得到答案. 【详解】样本中女生人数为：924159360++++=，男生数为1006040-=，A 正确； 样本中A 层人数为：94010%13+⨯=；样本中B 层人数为：244030%36+⨯=； 样本中C 层人数为：154025%25+⨯=；样本中D 层人数为：94020%17+⨯=； 样本中E 层人数为：34015%9+⨯=；故B 正确； 样本中E 层次男生人数为：4015%6⨯=，C 正确；样本中D 层次男生人数为：4020%8⨯=，女生人数为9，D 错误. 故选：ABC . 【点睛】本题考查了统计图表，意在考查学生的计算能力和应用能力.10．1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章.人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为2a ，2c ，下列结论正确的是（ ）A ．卫星向径的取值范围是[],a c a c -+B ．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C ．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁D ．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小 【答案】ABD【解析】根据椭圆的定义和性质和面积守恒规律，依次判断每个选项得到答案. 【详解】根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是[],a c a c -+，A 正确；当卫星在左半椭圆弧的运行时，对应的面积更大，面积守恒规律，速度更慢，B 正确；12111a c e a c e e--==-+++，当比值越大，则e 越小，椭圆轨道越圆，C 错误. 根据面积守恒规律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，D 正确. 故选：ABD . 【点睛】本题考查了椭圆的定义和性质，意在考查学生的理解能力和应用能力. 11．已知函数()sin cos f x x x =+，下列命题正确的为（ ） A ．该函数为偶函数 B ．该函数最小正周期为2πC ．该函数图象关于2x π=对称D ．该函数值域为⎡-⎣【答案】BCD【解析】化简函数，得到函数图像，计算()()2f x f x π+=，()()f x f x π-=，讨论,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，3,22x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，计算得到答案. 【详解】当cos 0x ≥时，()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当cos 0x <时，()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，画出函数图像，如图所示：根据图像知：函数不是偶函数，A 错误；()()()()2sin 2cos 2sin cos f x x x x x f x πππ+=+++=+=，该函数最小正周期为2π，B 正确；()()()()sin cos sin cos f x x x x x f x πππ-=-+-=+=，故该函数图象关于2x π=对称，C 正确；根据周期性，不妨取,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()4f x x π⎛⎫⎡=+∈- ⎪⎣⎝⎭， 3,22x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，()4f x x π⎛⎫⎡=-∈- ⎪⎣⎝⎭，故值域为⎡-⎣. 故选：BCD .【点睛】本题考查了三角函数的奇偶性，周期，对称性，值域，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用能力.12．如图，已知点E 是ABCD 的边AB 的中点，()*n F n ∈N 为边BC 上的一列点，连接n AF 交BD 于n G ，点()*n G n ∈N满足()1223nn n n n G D aG A a G E +=⋅-+⋅，其中数列{}n a 是首项为1的正项数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ）A ．313a =B ．数列{}3n a +是等比数列C ．43n a n =-D ．122n n S n +=--【答案】AB【解析】化简得到()()12323n n n n n n G D a a G A a G B +=--⋅-+⋅，根据共线得到1230n n a a +--=，即()1323n n a a ++=+，计算123n n a +=-，依次判断每个选项得到答案. 【详解】()()112232n n n n n n G D a G A a G A G B +=⋅-+⋅+， 故()()12323n n n n n n G D a a G A a G B +=--⋅-+⋅，,n n G D G B 共线，故1230n n a a +--=，即()1323n n a a ++=+，11a =，故1342n n a -+=⨯，故123n n a +=-.432313a =-=，A 正确；数列{}3n a +是等比数列，B 正确；123n n a +=-，C 错误；2124323412nn n S n n +-=-=---，故D 错误.故选：AB . 【点睛】本题考查了向量运算，数列的通项公式，数列求和，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力.三、解答题13．某校三个兴趣小组的学生人数分布如下表（每名学生只参加一个小组，单位：人）.学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，用分层抽样的方法，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，求a 的值. 【答案】30a =【解析】根据三个小组抽取的总人数为30人表示出抽样比，该抽样比就等于篮球组被抽取的人数除以篮球组总人数，由此计算出a 的值. 【详解】因为抽样比为：304515301020a +++++，所以结合题意可得：3012451530102045+15a =+++++，解得30a =. 【点睛】本题考查分层抽样的简单应用，难度较易.分层抽样的抽样比等于每一层抽取的比例.14．已知数列{}n a 的前n 项和为0121n n n n n n S C C C C -=++++，数列{}n b 满足2log n n b a =，（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）求()12222212341n n nT b b b b b +=-+-++-.【答案】（1）12n na ；1nb n =-（2）22,2,2nn n n T n n n ⎧-⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为偶数为奇数【解析】（1）21n n S =-，112n n n n a S S --=-=，代入计算得到1n b n =-，得到答案.（2）讨论2n k =和21n k =-两种情况，计算得到答案. 【详解】（1）012121n n n n n n n S C C C C -=++++=-，当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=，当1n =时，11a =也满足12n n a ，所以12n na ，又数列{}n b 满足2log n n b a =，所以1n b n =-.（2）当2n k =，*k N ∈时，()()()2222221234212n k k T b b b b b b -=-+-++-()122k b b b =-+++()()1221k ⎡⎤=-+++-⎣⎦22k k =-+； 当21n k =-，*k N ∈时，()()()22222221234232221n k k k T b b b b b b b ---=-+-++-+()()()2122341k k ⎡⎤=-+++-+-⎣⎦2231k k =-+. 所以()()222,2231,21n k k n k T k k n k ⎧-+=⎪=⎨-+=-⎪⎩，*k N ∈，即22,2,2n n n n T n n n ⎧-⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为偶数为奇数. 【点睛】本题考查了等差数列，等比数列通项公式，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用. 15．如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，90ADC PAB ∠=∠=︒，12BC CD AD ==，E 、M 分别为棱AD 、PD 的中点，PA CD ⊥.（1）证明：平面//MCE 平面PAB ；（2）若二面角P CD A --的大小为45°，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）1 3【解析】（1）证明EC AB∥，EM AP得到答案.（2）以与AD垂直的直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，面PCD的法向量记为20,1,mh⎛⎫= ⎪⎝⎭，面ACD的法向量为()0,0,1，根据夹角得到2h=，平面PCE的法向量()2,2,1n=，计算得到答案.【详解】（1）因为点E为AD的中点，12BC AD=，AD BC∥，所以四边形ABCE为平行四边形，即EC AB∥.因为E、M分别为棱AD、PD的中点，EM AP.EM EC E=，所以平面MCE平面PAB.（2）如图所示因为PA AB⊥，PA CD⊥，AB与CD为相交直线，所以AP⊥平面ABCD，不妨设2AD=，则112BC CD AD===.以与AD垂直的直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，设AP h=，()0,0,0A，()0,2,0D，()1,2,0C-，()0,0,P h，从而()0,2,PD h=-，()1,0,0CD=，面PCD的法向量记为()111,,m x y z=，则m PDm CD⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得11120y hzx-=⎧⎨=⎩，令11y=，则12zh=，20,1,mh⎛⎫= ⎪⎝⎭，又面ACD的法向量为()0,0,1，二面角P CD A--的大小为45°.22=，解得2h=，所以()002P,,，()0,1,0E，()1,2,0C-，所以()1,1,0EC=-，()0,1,2PE=-，()0,0,2AP=，设平面PCE的法向量为()222,,n x y z=，则n PEn EC⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得：222220y zx y-=⎧⎨-+=⎩.令22y=，则22x=，21z=.所以()2,2,1n =.设直线PA与平面PCE所成角为θ，则1sin cos,39AP nAP nAP nθ⋅====. 【点睛】本题考查了面面平行，二面角，线面夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 16．已知抛物线()2:20E x py p=>的焦点为F，圆M的方程为：220x y py+-=，若直线4x=与x轴交于点R，与抛物线交于点Q，且54QF RQ=.（1）求出抛物线E和圆M的方程.（2）过焦点F的直线l与抛物线E交于A、B两点，与圆M交于C、D两点（A，C在y轴同侧），求证：AC DB⋅是定值.【答案】（1）抛物线2:4E x y=，圆22:20M x y y+-=（2）证明见解析【解析】（1）设()04,Q y，则2y p=，代入方程计算得到答案.（2）设直线l的方程是：1y kx=+，()11,A x y，()22,B x y，联立方程得到124x x k+=，124x x⋅=-，11AF y=+，21BF y=+，计算得到答案.【详解】（1）设()04,Q y，由54QF RQ=得00524py y+=，所以2y p=，将点()4,2p代入抛物线方程得2p=，所以抛物线2:4E x y=，圆22:20M x y y+-=.（2）抛物线2:4E x y=的焦点()0,1F，设直线l 的方程是：1y kx =+，()11,A x y ，()22,B x y ，241x yy kx ⎧=⎨=+⎩有2440x kx --=，则()21610k ∆=+>，且124x x k +=，124x x ⋅=-.由条件可知圆()2211x y +-=的圆心为()0,1M ，半径为1，圆心就是焦点，由抛物线的定义有11AF y =+，21BF y =+， 则11AC AF y =-=，21BD BF y =-=，()1211AC BD y y kx ⋅==+()()22221212114411kx k x x k x x k k +=+++=-++=.即AC BD ⋅为定值，定值为1.【点睛】本题考查了抛物线方程，圆方程，定值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 17．医院为筛查某种疾病，需要血检，现有()*n n ∈N 份血液样本，有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，需要检验n 次；方式二：混合检验，把每个人的血样分成两份，取()2k k ≥个人的血样各一份混在一起进行检验，如果结果是阴性，那么对这k 个人只作一次检验就够了；如果结果是阳性，那么再对这k 个人的另一份血样逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为1k +次. （1）假设有6份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验的方式，求恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验岀来的概率；（2）假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阳性结果的概率为()01p p <<.现取其中k （*k ∈N 且2k ≥）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为1X ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2X .①运用概率统计的知识，若12EX EX =，试求p 关于k 的函数关系式()p f k =； ②若151p e-=-，且采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k 的最大值.参考数据：ln11 2.3978≈，ln12 2.4849≈，ln13 2.5649≈.【答案】（1）215（2）①()1*11,2kp k k k ⎛⎫=-∈≥ ⎪⎝⎭N ②k 的最大值为12.【解析】（1）记恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来为A 事件，计算概率得到答案.（2）①计算1EX k =，()211kEX k k p =+--，根据12EX EX =，计算得到答案. ②521kEX k ke-=+-，所以51kk kek-+-<，设()ln 5xf x x =-，求导得到单调区间，计算得到最值. 【详解】（1）记恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来为A 事件，则()11224236215C C A P A A ==. （2）①1X 的取值为k ，()11P X k ==，所以1EX k =，2X 的取值为1，1k +，计算()()211k P X p ==-，()()2111k P X k p =+=--，所以()()()()2111111k k kEX p k p k k p ⎡⎤=-++--=+--⎣⎦， 由12EX EX =，得()11kk k k p =+--，所以()1*11,2kp k k k ⎛⎫=-∈≥ ⎪⎝⎭N .②151p e -=-，521k EX k ke-=+-，所以51kk ke k -+-<，即ln 05kk ->.设()ln 5x f x x =-，()11555x f x x x-'=-=，0x >， 当()0,5x ∈时，()0f x '>，()f x 在()0,5上单调递增； 当()5,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 在()5,+∞上单调递减. 且()12ln12 2.40f =->，()13ln13 2.60f =-<， 所以k 的最大值为12. 【点睛】本题考查了概率的计算，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 18．已知函数()()ln =-+xf x xe a x x .（1）若0a =，求函数()f x 在1x =处的切线方程；（2）讨论()f x 极值点的个数；（3）若0x 是()f x 的一个极小值点，且()00f x >，证明：()()30002f x x x >-.【答案】（1）20ex y e --=（2）当0a ≤时，()f x 无极值点；当0a >时，()f x 有一个极值点（3）证明见解析【解析】（1）求导得到()()1xf x x e '=+，()1f e =，()12f e '=，得到切线方程.（2）求导得到()()()1'x x xe a f x x+-=，讨论0a ≤和0a >两种情况， 0a >时必存在00x >，使()00h x =，计算单调区间得到极值点个数. （3）()00f x '=，即00x x ea =，代入得到001ln 0x x -->，设()1ln g x x x =--，确定函数单调递减得到()00,1x ∈，令()1ln g x x x =--，确定单调性得到答案. 【详解】（1）当0a =时，()xf x xe =，()()1xf x x e '=+，所以()1f e =，()12f e '=.从而()f x 在1x =处的切线方程为()21y e e x -=-，即20ex y e --=.（2）()()111xf x x e a x ⎛⎫'=+-+ ⎪⎝⎭()()()11x xx xe a a x e x x +-⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，()0,x ∈+∞，①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在()0,∞+上是增函数，不存在极值点； ②当0a >时，令()xh x xe a =-，()()10xh x x e '=+>，显然函数()h x 在[)0,+∞是增函数，又因为()00h a =-<，()()10ah a a e =->，必存在00x >，使()00h x =，()00,x x ∈，()0h x <，()0f x '<，()f x 为减函数， ()0,x x ∈+∞，()0h x >，()0f x '>，()f x 为增函数，所以，0x x =是()f x 的极小值点，综上：当0a ≤时，()f x 无极值点，当0a >时，()f x 有一个极值点.（3）由（2）得：()00f x '=，即00xx e a =，()()()000000000ln 1ln x x f x x e a x x x e x x =-+=--，因为()00f x >，所以001ln 0x x -->， 令()1ln g x x x =--，()110g x x'=--<，()g x 在()0,∞+上是减函数， 且()10g =，由()()1g x g >得1x <，所以()00,1x ∈. 设()ln 1x x x ϕ=-+，()0,1x ∈，()111x x x xϕ-'=-=， ()0,1x ∈，()0x ϕ'>，所以()x ϕ为增函数，()()10x ϕϕ<=即()0x ϕ<，即ln 1x x <-，所以ln 1x x ->-，所以()ln 1x x +<，所以10x e x >+>， 因为()00,1x ∈，所以0010x e x >+>，00001ln 110x x x x -->-+->，相乘得()()()000001ln 122x ex x x x -->+-，所以()()()()000000001ln 211x f x x e x x x x x =-->+-()()230000212x x x x =-=-，结论成立. 【点睛】本题考查了切线方程，极值点，利用导数证明不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.四、填空题19．如图，在棱长为1的正方体1AC 中，点E 、F 是棱BC 、1CC 的中点，P 是底面ABCD 上（含边界）一动点，满足1A P EF ⊥，则线段1A P 长度的最小值为__________.2【解析】如图所示：连接1A D ，1AD ，故DP ⊥平面11BCC B ，故P 在线段CD 上，计算得到答案. 【详解】如图所示：连接1A D ，1AD ，易知1//EF AD ，11A D AD ⊥，故1EF A D ⊥，1A P EF ⊥，故EF ⊥平面1A DP ，故EF DP ⊥，1CC PD ⊥，故DP ⊥平面11BCC B ，故P 在线段CD 上，故线段1A P 长度的最小值为12A D . 2【点睛】本题考查了立体几何中线段的最值问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 20．若函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在50,18π⎛⎫ ⎪⎝⎭存在唯一极值点，且在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的取值范围为__________. 【答案】6453ω<≤ 【解析】5,66186x ππππωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，故5321862ππππω<+≤，根据周期得到625ω<≤，故362πππω+≤，解得答案. 【详解】50,18x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则5,66186x ππππωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，故5321862ππππω<+≤，解得62455ω<≤， 222T πππ≥-=，故T π≥，2ω≤，即625ω<≤， ,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则,6266x ππππωωπω⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭，故237,26306ππππω⎛⎤+∈⎥⎝⎦，则362πππω+≤，解得43ω≤； 综上所述：6453ω<≤. 故答案为：6453ω<≤. 【点睛】本题考查了根据三角函数的极值点和单调性求参数范围，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21．在条件①()2cos cos cos A b C c B a +=，②sinsin 2B Cc a C +=，③()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a =2b c -=，__________.求BC 边上的高【解析】依次计算选择①②③的情况，根据正弦定理和余弦定理，三角恒等变换计算得到3A π=，3b =，再利用等面积法计算得到答案.【详解】若选①因为()2cos cos cos A b C c B a +=，由正弦定理得：()2cos sin cos sin cos sin A B C C B A +=， 即()2cos sin sin A B C A +=，1cos 2A =，因为0A π<<，所以3A π=. 由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，所以2272b c bc b c ⎧+-=⎨-=⎩，化简得：2230c +c -=，所以3c =-（舍去）或者1c =，从而3b =.设BC 边上的高是h ，所以11sin 22bc A ah =，所以14h =； 若选②由题设及正弦定理，sin sinsin sin 2B CC A C +=，因为sin 0C ≠，所以sinsin 2B CA +=， 由180ABC ++=︒，可得sin cos 22B C A+=，故cos 2sin cos 222A A A =， 因为cos 02A ≠，故1sin 22A =，因此3A π=，下同选①；若选③由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，故由正弦定理得222b c a bc +-=.由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==.因为0A π<<，所以3A π=，下同选①.故答案为：14. 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和应用能力.五、双空题22．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F . （1）若2F 到渐近线的距离是3，则b 为__________.（2）若P 为双曲线C 右支上一点，1260F PF ∠=︒且12F PF ∠的角平分线与x 轴的交点为Q ，满足122FQ QF =，则双曲线C 的离心率为__________.【答案】3【解析】直接利用点到直线的距离公式计算得到答案；122FQ QF =，则122PF PF =，故14PF a =，22PF a =，再利用余弦定理计算得到答案. 【详解】取渐近线方程为by xa=，即0bx ay -=，()2,0F c 到直线的距离为3d ==，故3b =；122FQ QF =，则122PF PF =，122PF PF a -=，故14PF a =，22PF a =，根据余弦定理：2224416242cos60c a a a a =+-⨯⋅︒，整理得到：223c a =，故e =故答案为：3. 【点睛】本题考查了双曲线的渐近线问题，离心率问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.。
2020届山东省高三下学期开学收心检测数学试题(解析版)
高三开学收心检测数学考生注意：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上．3．本试卷主要考试内容：高考全部内容．第I 卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}30log 2A x x =≤≤，{B x y ==，则A B =（ ） A. []13， B. []36-， C. []39， D. []69， 【答案】D【解析】【分析】分别解对数不等式，一元二次不等式求出集合A ,B ，直接进行交集运算. 【详解】因为{}{}30log 219A x x x x =≤≤=≤≤，231803x x x --≥⇒≤-或6x ≥，所以[6,9]A B ⋂=.故选：D【点睛】本题考查集合的交集运算，涉及对数不等式、一元二次不等式，属于基础题.2.已知复数552i z i i =+-，则||z =（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用复数除法、加法运算，化简求得z ，再求得z【详解】55(2)551725i i i z i i i i +=+=+=-+-，故||z ==【点睛】本小题主要考查复数的除法运算、加法运算，考查复数的模，属于基础题.3.设133a =，13log 2b =，1213c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A. b a c <<B. c b a <<C. b c a <<D. c a b << 【答案】C【解析】【分析】利用“0,1分段法”比较出,,a b c 三者的大小关系. 【详解】因为1331a =>，13log 20b =<，121013c ⎛⎫<=< ⎪⎝⎭，所以b c a <<. 故选：C 【点睛】本小题主要考查指数、对数比较大小，属于基础题.4.函数2()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为（ ） A. 4π B. 2π C. 2π D. π【答案】D【解析】【分析】利用降次公式化简()f x 表达式，再由此求得最小正周期. 【详解】因为22cos 211213()cos cos 232232x f x x x πππ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+==++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以最小正周期为π. 故选：D 【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式，考查三角函数最小正周期的求法，属于基础题.5.“ln ln m n <”是“22m n <”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据对数函数的定义域及单调性，可得,m n 的关系，结合充分必要条件性质即可判断.【详解】若ln ln m n <，根据对数函数的定义域及单调性可知0m n <<，可得22m n <，因而具有充分关系；若22m n <，则m n <，当0,0m n <<时对数函数无意义，因而不具有必要性；综上可知“ln ln m n <”是“22m n <”的充分不必要条件故选：A.【点睛】本题考查了充分必要条件的定义域判断，对数函数与图像性质的应用，属于基础题.6.已知抛物线2:12C y x =的焦点为F ，A 为C 上一点且在第一象限，以F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的准线于B ，D 两点，且,,A F B 三点共线，则||AF =（ ）A. 12B. 10C. 6D. 8【答案】A【解析】【分析】设准线与x 轴交于K ，由已知可得AB 为圆F 的直径，AD BD ⊥，//AD x 轴，可得||2||AD FK =，再由抛物线的定义，即可求解.【详解】因为,,A F B 三点共线，所以AB 为圆F 的直径， AD BD ⊥，//AD x 轴，F 为AB 中点，因为F 到准线的距离为6，所以||12AD =由抛物线定义知||||12AD AF ==，故选：A【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程及其性质，考查圆的性质，考查了推理能力，属于中档题. 7.已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()ln 1f x x x =+，则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为（ ）A. y x =-B. 2y x =-+C. y x =D. 2y x =-【答案】A【解析】首先根据函数的奇偶性，求得当0x <时，()f x 的解析式，然后求得切点坐标，利用导数求得斜率，从而求得切线方程.【详解】因为0x <，()()ln()1f x f x x x =-=--+，()11f -=，()ln()1f x x '=---，(1)1f '-=-，所以曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为()11y x -=-+，即y x =-.故选：A【点睛】本小题主要考查根据函数奇偶性求函数解析式，考查利用导数求切线方程，属于基础题.8.在四面体ABCD 中，且AB AC ⊥，AC CD ⊥，AB ，CD 所成的角为30°，5AB =，4AC =，3CD =，则四面体ABCD 的体积为( )A. 8B. 6C. 7D. 5 【答案】D【解析】【分析】先求出ACD ∆的面积，再求出点B 到面ACD 的距离，然后结合棱锥体积公式求解即可.【详解】解：由题意，如图所示，AB AC ⊥，AC CD ⊥，过点A 作CD 的平行线AE ，则AC ⊥平面ABE ，且EAB ∠为30°或150°，从B 点向AE 作垂线，垂足为E ，易证BE ⊥平面ACD .则点B 到平面ACD 的距离15sin 522BE AB EAB =⋅∠=⨯=， 162ACD S AC CD ∆=⋅=则， 则四面体ABCD 的体积为153ACD V S BE ∆=⋅⋅=. 故选：D.【点睛】本题考查了棱锥体积公式，重点考查了运算能力，属中档题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.一组数据121x +，221x +，321x +，…，21n x +的平均值为7，方差为4，记132x +，232x +，332x +，…，32n x +的平均值为a ，方差为b ，则（ ）A. 7a =B. 11a =C. 12b =D. 9b =【答案】BD【解析】【分析】根据所给平均数与方差，可由随机变量均值与方差公式求得()(),E X D X ，进而求得平均值为a ，方差为b .【详解】设()123,,n X x x x x =⋅⋅⋅，数据121x +，221x +，321x +，…，21n x +的平均值为7，方差为4，即()()217,214E X D X +=+=，由离散型随机变量均值公式可得()()21217,E X E X +=+=所以()3E X =,因而132x +，232x +，332x +，…，32n x +的平均值为 ()()323233211a E X E X =+=+=⨯+=；由离散型随机变量的方差公式可得()()2144,D X D X +==所以()1D X =,因而132x +，232x +，332x +，…，32n x +的方差为()()3299b D X D X =+==，故选：BD.【点睛】本题考查了离散型随机变量均值与方差公式的简单应用，属于基础题.10.设,,m n l 为三条不同的直线，,a β为两个不同的平面，则下面结论正确的是（ ）A. 若,,//m n αβαβ⊂⊂，则//m nB. 若//,//,m n m n αβ⊥，则αβ⊥C. 若,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则m n ⊥D. //,//,,m n l m l n αα⊥⊥，则l α⊥ 【答案】C【解析】【分析】根据线线、线面、面面位置关系，对选项逐一分析，由此确定结论正确的选项.【详解】A 选项中，,m n 可能异面；B 选项中，,αβ也可能平行或相交；D 选项中，只有,m n 相交才可推出l α⊥.C 选项可以理解为两个相互垂直的平面，它们的法向量相互垂直.故选：C【点睛】本小题主要考查线线、线面和面面位置关系命题真假性判断，属于基础题.11.在三棱锥D -ABC 中，1AB BC CD DA ====，且AB BC ⊥，CD DA ⊥，M ，N 分别是棱BC ，CD 的中点，下面结论正确的是（ ）A. AC BD ⊥B. //MN 平面ABDC. 三棱锥A -CMN 的体积的最大值为2D. AD 与BC 一定不垂直【答案】ABD【解析】【分析】根据题意画出三棱锥D -ABC ，取AC 中点O ，连接,OB OD ：对于A ，根据等腰三角形性质及线面垂直判定定理可证明AC ⊥平面BOD ，从而即可判断A ；对于B ，由中位线定理及线面平行判定定理即可证明；对于C ，当平面DAC ⊥平面ABC 时，三棱锥A -CMN 的体积最大，由线段关系及三棱锥体积公式即可求解；对于D ，假设AD BC ⊥，通过线面垂直判定定理可得矛盾，从而说明假设不成立，即可说明原命题成立即可.【详解】根据题意，画出三棱锥D -ABC 如下图所示，取AC 中点O ，连接,OB OD ：对于A ，因为1AB BC CD DA ====，且AB BC ⊥，CD DA ⊥，所以,ABC ADC ∆∆为等腰直角三角形，则,,OD AC BO AC ⊥⊥且OD BO O ⋂=，则AC ⊥平面BOD ，所以AC BD ⊥，即A 正确；对于B ，因为M ，N 分别是棱BC ，CD 的中点，由中位线定理可得//MN BD ，而BD ⊂平面ABD ，MN ⊄平面ABD ，所以//MN 平面ABD ，即B 正确；对于C ，当平面DAC ⊥平面ABC 时，三棱锥A -CMN 的体积最大，则最大值为1111113222248A CMN N ACM V V --⎛⎫==⨯⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭C 错误； 对于D ，假设AD BC ⊥，由AB BC ⊥,且AD AB A ⋂=,所以BC ⊥平面ABD ，则BC BD ⊥，又因为AC BD ⊥，且AC BC C =，所以BD ⊥平面ABC ，由OB ⊂平面ABC ，则BD OB ⊥，由题意可知OB OD =，因而BD OB ⊥不能成立，因而假设错误，所以D 正确；综上可知，正确的为ABD ，故选：ABD.【点睛】本题考查了空间几何体的性质及综合应用，三棱锥体积公式，线面平行、线面垂直的判定定理及性质应用，属于中档题.12.定义：若函数()F x 在区间[]a b ，上的值域为[]a b ，，则称区间[]a b ，是函数()F x 的“完美区间”，另外，定义区间()F x 的“复区间长度”为()2b a -，已知函数()21f x x =-，则（ ） A. []0,1是()f x 的一个“完美区间”B. 11,22⎡+⎢⎣⎦是()f x 的一个“完美区间”C. ()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+D. ()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+【答案】AC【解析】【分析】根据定义，当[]0,1x ∈时求得()f x 的值域，即可判断A ；对于B ，结合函数值域特点即可判断；对于C 、D ，讨论1b ≤与1b >两种情况，分别结合定义求得“复区间长度”，即可判断选项.【详解】对于A ，当[]0,1x ∈时，()2211f x x x =-=-，则其值域为[]0,1，满足定义域与值域的范围相同，因而满足“完美区间”定义，所以A 正确；对于B ，因为函数()210f x x =-≥，所以其值域为[)0,+∞，而102<，所以不存在定义域与值域范围相同情况，所以B 错误；对于C ，由定义域为[]a b ，，可知0a b ≤<，当1b ≤时，[][]0,1a b ，，此时()2211f x x x =-=-，所以()f x 在[]a b ，内单调递减，则满足()()2211f a a b f b b a⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，化简可得22a a b b -=-， 即221122a b ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1122a b -=-或1122a b -=-， 解得a b =（舍）或1a b +=，由211a b a b +=⎧⎨+=⎩解得1b =或0b =（舍）， 所以10a b =-=，经检验满足原方程组，所以此时完美区间为[]0,1，则“复区间长度”为()22b a -=； 当1b >时，①若01a ≤<，则[]1a b ∈，，此时()()min 10f x f ==.当()f x 在[]a b ，的值域为[]a b ，，则()0,a f b b ==，因为1b > ，所以()21f b b b =-=，即满足210b b --=，解得12b +=b =.所以此时完美区间为⎡⎢⎣⎦，则“复区间长度”为()221b a -==+； ②若1a ≤，则()21f x x =-，[]x a b ∈，，此时()f x 在[]a b ，内单调递增，若()f x 的值域为[]a b ，，则()()2211f a a a f b b b⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，则,a b 为方程210x x --=的两个不等式实数根，解得112x =，212x =，所以1212a b ⎧-=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，与1a ≤矛盾，所以此时不存在完美区间. 综上可知，函数()21f x x =-的“复区间长度”的和为213++=+C 正确，D 错误；故选：AC.【点睛】本题考查了函数新定义的综合应用，由函数单调性判断函数的值域，函数与方程的综合应用，分类讨论思想的综合应用，属于难题.第Ⅱ卷三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量(4,3),(1,2)a b =-=-，,a b 的夹角为θ，则sin θ=__________.【解析】【分析】利用两个向量夹角计算公式，求得cos θ的值，再根据同角三角函数的基本关系式求得sin θ的值.【详解】依题意[]0,πθ∈，所以cos ||||5a b a b θθ⋅==-===⨯【点睛】本小题主要考查向量夹角的坐标运算，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.14.381(2)x x -展开式中常数项为______.【答案】112【解析】【分析】求得二项展开式的通项，令3(8)0r r --=，解得6r =，代入即可得到展开式的常数项．【详解】由题意，二项展开式的通项为3883(8)1881(2)()2(1)r r r r r r r r r T C x C x x----+=-=-， 令3(8)0r r --=，解得6r =，所以常数项为6866782(1)112T C -=-=．【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15.左手掷一粒骰子，右手掷一枚硬币，则事件“骰子向上为6点且硬币向上为正面”的概率为_____．【答案】112【解析】【分析】分别求得骰子向上为6点和硬币向上为正面的概率，由独立事件概率公式即可求解. 【详解】骰子向上为6点的概率为16； 硬币向上为正面的概率为12； 由独立事件概率公式可知“骰子向上为6点且硬币向上为正面”的概率为1116212⨯=， 故答案为：112. 【点睛】本题考查了古典概型概率求法，独立事件概率乘法公式应用，属于基础题.16.已知抛物线24y x =的准线与x 轴的交点为H ，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且PH k PF =，当k 最大时，点P 恰好在以H ，F 为焦点的双曲线上，则k 的最大值为_____，此时该双曲线的离心率为_____．【答案】 (1). 1 (2).21+【解析】【分析】 画出抛物线，过P 作PN抛物线准线于N ，连接PH ，设直线PH 的倾斜角为α，由抛物线定义可得1cos PF PN k PH PH α===，由题意当k 最大时，cos α取得最小值.而当cos α取得最小时，直线PH 与抛物线相切，设出直线PH 方程，联立抛物线可求得k ，进而得切点坐标，即可由双曲线定义及几何性质求得离心率.【详解】根据题意画出抛物线，过P 作PN 抛物线准线于N ，连接PH .由抛物线定义可知PF PN =，由PH k PF =，（0k >），设直线PH 的倾斜角为α，则cos cos PNHPN PHα=∠=， 可得1cos PFPN k PH PHα===， 当k 最大时，cos α取得最小值，且cos 0α>， 当cos α取得最小值时直线PH 与抛物线24y x =相切， 设直线PH 的方程为y kx k =+， 则24y kx k y x=+⎧⎨=⎩，化简可得()2222220k x k x k +-+=， 因为直线PH 与抛物线相切，则()2244240k k ∆=--=，解得1k =±，由0k >可得1k =，同时可得切点横坐标为1x =， 将切点横坐标带入抛物线可得()1,2P ±， 因为点P 恰好在以H ，F 为焦点的双曲线上，由双曲线定义及两点间距离公式可得22a PH PF =-=，22c HF ==，所以双曲线离心率为1c e a ===，故答案为：11.【点睛】本题考查了抛物线定义及几何性质的应用，双曲线定义及几何性质应用，直线与抛物线相切位置关系的应用，属于中档题.四，解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在①cos 220B B +=，②2cos 2b C a c =-，③b a =三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答． 已知ABC∆内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若_____，且a ，b ，c 成等差数列，则ABC ∆是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】①；证明见解析【解析】 【分析】选择①：由余弦降幂公式代入即可求得sin B ，结合a ，b ，c 成等差数列可得2b a c =+，3B π=，代入余弦定理公式，即可得2b ac =，结合等式2b a c =+可求得a c =，进而证明ABC ∆为等边三角形.【详解】选择①cos 220B B +=，证明：则由余弦降幂公式可得212sin 20B B -+=，即(2sin sin 0B B =，由0B π<<可得sin 2B =， 又因为a ，b ，c 成等差数列，则B 为锐角， 则2b a c =+，3B π=，由余弦定理可知2222cos b a c ac B =+-， 代入可得()223b a c ac =+-，即2b ac =，则22a c ac +⎛⎫= ⎪⎝⎭，化简可得()20a c -=， 即a c =，又因为3B π=，所以ABC ∆为等边三角形.【点睛】本题考查了三角函数解析式的化简应用，余弦降幂公式化简三角函数式，余弦定理解三角形，等差中项性质的应用，综合性较强，属于中档题.18.已知数列{}n a 满足123123252525253n n na a a a ++++=----…．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：11226nT ≤<． 【答案】（1）352n n a +=（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）123123252525253n n na a a a ++++=----…，①当2n ≥时，123112311252525253n n n a a a a ---++++=----…，②两式相减即得数列{}n a 的通项公式；（2）先求出()()114411353833538n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，再利用裂项相消法求和证明. 【详解】（1）解：123123252525253n n na a a a ++++=----…，①当1n =时，14a =．当2n ≥时，123112311252525253n n n a a a a ---++++=----…，②由①-②，得()3522n n a n +=≥， 因为14a =符合上式，所以352n n a +=．（2）证明：()()114411353833538n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭12231111n n n T a a a a a a +=+++… 4111111381111143538n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦… 4113838n ⎛⎫=⨯- ⎪+⎝⎭因为1103811n <≤+，所以11226n T ≤<． 【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 19.如图，在四棱锥S ABCD -中，ABCD 是边长为4的正方形，SD ⊥平面ABCD ，E F ，分别为AB SC ，的中点.（1）证明：//EF 平面SAD .（2）若8SD =，求二面角D EF S --的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（222【解析】 【分析】（1）记SD 的中点为G ，连接GF ，GA ，通过证明//GF AE ，且GF AE =推出四边形GFEA 为平行四边形，则//EF AG ，由线线平行推出线面平行；（2）以D 为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面DEF 、平面SEF 的法向量，代入,m ncosm n m n⋅=即可求得二面角的余弦值从而求正弦值. 【详解】（1）证明：记SD 的中点为G ，连接GF ，GA . 因为E F ，分别为AB SC ，的中点，则//GF CD ，且12GF CD =. 因为//AE CD ，且12AE CD =，所以//GF AE ，且GF AE =， 所以四边形GFEA 为平行四边形， 则//EF AG .又EF ⊄平面SAD ，AG ⊂平面SAD ， 所以//EF 平面SAD .（2）以D 为原点，分别以DA ，DC ，DS 为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则()008S ，，，()000D ，，，()420E ，，，()024F ，，， (4,2,0),(0,2,4),(4,0,4),(4,2,8)DE DF EF ES ===-=--设平面DEF 的法向量()111m x y z =，，，则1111420240DE m x y DF m y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 令12x =，则()242m =-，，.设平面SEF 的法向量为()222n x y z =，，，则222224404280EF n x z ES n x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩ 令22x =，则()242n =，，. 1,3m n cosm n m n ⋅==-， 设二面角D EF S --为θ，则22sin θ=， 即二面角D EF S --的正弦值为223.【点睛】本题考查线面平行的证明，空间向量法求二面角的余弦值，属于中档题.20.生男生女都一样，女儿也是传后人.由于某些地区仍然存在封建传统思想，头胎的男女情况可能会影响生二孩的意愿，现随机抽取某地200户家庭进行调查统计.这200户家庭中，头胎为女孩的频率为0.5，生二孩的频率为0.525，其中头胎生女孩且生二孩的家庭数为60.（1）完成下列22⨯列联表，并判断能否有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关；生二孩 不生二孩 合计头胎为女孩 60（2）在抽取的200户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户，进一步了解情况，在抽取的7户中再随机抽取4户，求抽到的头胎是女孩的家庭户数X 的分布列及数学期望. 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++）.【答案】（1）见解析，有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关.（2）分布列见解析，167EX = 【解析】 【分析】（1）根据题目所给数据，计算并填写出22⨯列联表，计算出2K 的值，由此判断出有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关.（2）利用超几何分布分布列和数学期望计算公式，计算出所求X 的分布列及数学期望. 【详解】（1）因为头胎为女孩的频率为0.5，所以头胎为女孩的总户数为2000.5100⨯=. 因为生二孩的概率为0.525，所以生二孩的总户数为2000.525105⨯=.22⨯列联表如下：22200(60554540)600 3.84110595100100133K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，故有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关.（2）在抽取的200户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户，则这7户家庭中，头胎生女孩的户数为4，头胎生男孩的户数为3，则X 的可能取值为1，2，3，4.1343474(1)35C C P X C ⋅===； 224344C C 18(2)C 35P X ⋅===；314344C C 12(3)C 35P X ⋅===；44471(4)35C P X C ===.X 的分布列为418121161234353535357EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本小题主要考查22⨯列联表独立性检验，考查超几何分布的分布列和数学期望的计算，属于基础题.21.已知12,F F 分别为椭圆22:143x y C +=的左、右焦点，MN 为该椭圆的一条垂直于x 轴的动弦，直线:4m x =与x 轴交于点A ，直线2MF 与直线AN 的交点为B .（1）证明：点B 恒在椭圆C 上.（2）设直线n 与椭圆C 只有一个公共点P ，直线n 与直线m 相交于点Q ，在平面内是否存在定点T ，使得2PTQ π∠=恒成立？若存在，求出该点坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析（2）存在，(1,0)T【解析】 【分析】（1）根据题意求得2,F A 的坐标，设出,M N 的坐标，求得直线2,MF AN 的方程，由此求得B 的坐标，代入椭圆方程的左边，化简后得到1，由此判断出B 恒在椭圆C 上.（2）首先判断直线n 的斜率是否存在.然后当直线n 斜率存在时，设出直线n 的方程y kx b =+，判断出T 的位置并设出T 的坐标.联立直线n 的方程和椭圆方程，化简后利用判别式等于零求得,k b 的关系式，进而求得P 的坐标，结合Q 点坐标以及2PTQ π∠=，利用0TP TQ ⋅=列方程，结合等式恒成立求得T 的坐标.【详解】（1）证明：由题意知2(1,0),(4,0)F A ，设(,),(,)M s t N s t -，则22143s t +=.直线2MF 的方程为(1)1t y x s =--，直线AN 的方程为(4)4t y x s -=--， 联立可得5825B s x s -=-，325B t y s =-，即B 的坐标为583,2525s t s s -⎛⎫⎪--⎝⎭. 因为22222222(58)12(58)3691434(25)4(25)B B x y s t s s s s -+-+-+===--， 所以B 点恒在椭圆C 上.（2）解：当直线n 的斜率不存在时，不符合题意.不妨设直线n 的方程为y kx b =+，由对称性可知，若平面内存在定点T ，使得2PTQ π∠=恒成立，则T 一定在x 轴上，故设()0,0T x ，由22,1,43y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()2224384120k x kbx b +++-=.因为直线n 与椭圆C 只有一个公共点，所以()()()2222226444341248430k b k b k b ∆=-+-=-+=， 所以43,P P P k x y kx b b b=-=+=. 又因为(4,4),2Q k b PTQ π+∠=，所以()0043,4,40kTP TQ x x k b bb ⎛⎫⋅=--⋅-+= ⎪⎝⎭，即()0043(4)40k k b x x b b+⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭. 所以()200043440kx x x b-++-=对于任意的满足22430k b -+=的,k b 恒成立，所以0200440,430,x x x -=⎧⎨-+=⎩解得01x =.故在平面内存在定点(1,0)T ，使得2PTQ π∠=恒成立.【点睛】本小题主要考查直线与直线交点坐标，考查点与椭圆的位置关系，考查直线和椭圆的位置关系，考查恒成立问题的求解，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题. 22.已知函数()ln 1f x x x =-，()()22g x ax a x =--.（1）设函数()()()H x f x g x '=-，讨论()H x 的单调性；（2）设函数()()()2G x g x a x =+-，若()f x 的图象与()G x 的图象有()11A x y ，，()22B x y ，两个不同的交点，证明：()12ln 2ln 2x x >+.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出()H x 的表达式并求导，分类讨论()H x 的单调性；（2）由题意可得1ax lnx x=-有两个不同的根，则1111lnx ax x -=①，2221lnx ax x -=②， 消去参数a 得()()1212212122112x x x x x ln x x ln x x x x x ++-=-，构造函数()()()2111t F t lnt t t -=->+求导研究函数单调性并利用放缩法推出1>，再次构造函数()2x lnx xφ=-，通过证明)φφ>来证明()1222ln x x ln >+.【详解】（1）()()()()221H x f x g x lnx ax a x =-=++-+'，定义域为(0,)+∞，()()()()()2221211122ax a x x ax H x ax a x x x -+-+-++=-+-='=. 当0a ≥时，()H x 在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递减. 当20a -<<时，令()0H x '>，得1102x a ⎛⎫⎛⎫∈-+∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，所以()H x 在1a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，，102⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增；令()0H x '<，得112x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以()H x 在112a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递减.当2a =-时，()0H x '≥，()H x 在()0+∞，上单调递增. 当2a <-时，令()0H x '>，得1102x a ⎛⎫⎛⎫∈+∞⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，所以()H x 在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，，10a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递增；令()0H x '<，得112x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以()H x 在112a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递减. （2）()()()22G x g x a x ax =+-=，因为函数()f x 的图象与()G x 的图象有两个不同的交点， 所以关于x 的方程21ax xlnx =-，即1ax lnx x=-有两个不同的根. 由题知1111lnx ax x -=①，2221lnx ax x -=②， ①+②得()()12121212x x ln x x a x x x x +-=+③， ②-①得()22121112x x x ln a x x x x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭④. 由③，④得()()1212212122112x x x x x ln x x ln x x x x x ++-=-，不妨设120x x <<，记211x t x =>.令()()()2111t F t lnt t t -=->+，则()()()2101t F t t t '-=>+，所以()F t 在()1+∞，上单调递增，所以()()10F t F >=， 则()211t lnt t ->+，即()2121122x x x lnx x x ->+，所以()()12122121221122x x x x x ln x x ln x x x x x ++-=>-. 因为()()()()12121212121222x x ln x x ln x x ln x x x x +-<==所以22>，即1>. 令()2x lnx xφ=-，则()x φ在()0+∞，上单调递增.又)12112lnln -=+<，所以)1ln >>，即)φφ>，所以2122x x e>.两边同时取对数可得()1222ln x x ln>+，得证.【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质，利用导数研究含参函数的零点问题及单调性问题，利用导数证明不等式，属于难题.。
2023-2024学年高三上学期开学数学试题及答案
高三上数学开学考注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2．答题时请按要求用笔.3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集U ＝R ，A ＝{x |0＜x ≤3}，B ＝{x |x ＜1}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A. {x |1≤x ＜3}B. {x |1＜x ≤3}C. {x |1＜x ＜3}D. {x |1≤x ≤3}2. 已知i ,1ia a R z +Î=+（i 为虚数单位）是纯虚数，则=a （ ）A. 1- B. 0C. 1D. 23. 已知双曲线222:1(0)4x y C b b-=>的一条渐近线方程为12y x =，则C 的焦距为（ ）35 C. 3 D. 254. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.如图，若,AB CD 都是直角圆锥SO 底面圆的直径，且3AOD p Ð=，则异面直线SA 与BD 所成角的余弦值为（ ）A.13B.4C.4D.35. 已知函数()f x 的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式可能为（ ）A. ()32xx xf x -= B. ()3exx xf x -=C. ()3ln f x x x=× D. ()()2e 1xf x x =×-6. 已知集合A ＝{x ∈N |x 2＜8x }，B ＝{2，3，6}，C ＝{2，3，7}，则()AB C Èð＝（ ）A {2，3，4，5} B. {2，3，4，5，6}C. {1，2，3，4，5，6}D. {1，3，4，5，6，7}的.7. 已知复数z 534i=+，则复数z 的虚部为（ ）A.45 B. 45-C.45i D. 45-i8. 已知集合A ＝{y |y =}，B ＝{x |y ＝lg （x 2﹣x 2）}，则∁R （A ∩B ）＝（ ）A. [0，12）B. （﹣∞，0）∪[12，+∞）C. （0，12）D. （﹣∞，0][∪12，+∞）二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9. 近年来新冠疫情波及到千家万户，人们的生活方式和习惯不得不发生转变，短视频成了观众空闲时娱乐活动的首､选．某电影艺术中心为了解短视频平台的观众年龄分布情况，向各大短视频平台的观众发放了线上调查问卷，共回收有效样本4000份，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ）A. 图中0.028a =B. 在4000份有效样本中，短视频观众年龄在10~20岁的有1320人C. 估计短视频观众的平均年龄为32岁D. 估计短视频观众年龄的75%分位数为39岁10. 已知函数()()ππsin 322f x x j j æö=+-<<ç÷èø的图像关于直线π4x =对称，则（ ）A. ()f x 满足ππ1212f x f x æöæö+=--ç÷ç÷èøèøB. 将函数()f x 的图像向左平移π4个单位长度后与()cos3g x x =图像重合C. 若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为3pD. 若()y f x =在[],a b 上单调递减，那么b a -的最大值是3p11. 已知直线:50l x y -+=，过直线上任意一点M 作圆22:(3)4C x y -+=的两条切线，切点分别为,A B ，则有（）A. MA 长度的最小值为2-B. 不存在点M 使得AMB Ð为60oC. 当MC AB ×最小时，直线AB 的方程为210x y --=D. 若圆C 与x 轴交点为,P Q ，则MP MQ×uuu r uuuur 的最小值为2812. 已知直三棱柱111ABC A B C -中，1,2,AB BC AB BC BB D ^===是AC 的中点，O 为1A C 的中点．点P 是1BC 上的动点，则下列说法正确的是（ ）A. 无论点P 在1BC 上怎么运动，都有11A P OB ^B. 当直线1A P 与平面11BB C 所成的角最大时，三棱锥P BCD -的外接球表面积为4pC. 若三棱柱111ABC A B C -，内放有一球，则球的最大体积为43p D. 1OPB △周长的最1+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 《易经》是中国传统文化中精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（""表示一根阳线，""表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为_______.的14. 设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l与C 交于,A B 两点，为C 的实轴长的2倍，则双曲线C 的离心率为________.15. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率是2，若以()0,2N 为圆心且与椭圆C 有公共点的圆的最大半径为，此时椭圆C 的方程是______________.16. 已知函数()2211x kx f x x x ++=++，若对于任意正实数123,,x x x ，均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边边长的三角形，则实数k 的取值范围是_______.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知371518,10a a a a +=+=，各项均为正数的等比数列{}n b 满足351551,1616b b b b +==．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设()22n n na n cb ++=×，求数列{}nc 的前n 项和n T．18. 已知数列{}n a 中，11a =，n a n ìüíýîþ是公差为12等差数列.（1）求{}n a 通项公式；的的（2）若1nnb a =，n T为数列{}n b 的前n 项和，证明：2n T <.19. 已知函数()21ln 2,R 2æö=+--Îç÷èøx a x ax a f x .（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 在定义域内是增函数，且存在不相等的正实数12,x x，使得()()123+=-f x f x ，证明：122x x +>.20. 在ABC D 中，内角,,A B C 的边长分别为,,a b c ，且2c =．（1）若πA 3=，3b =，求sin C的值；（2）若22sin cos sin cos 3sin 22B AA B C+=，且ABCD 的面积25sin 2S C=，求a 和b的值．21. 已知函数21()ln 2f x mx x æö=+ç÷èø.（Ⅰ）若1m =，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）当1m £时，要使()ln f x x x >恒成立，求实数m 的取值范围.22. 某公园有一块边长为3百米的正三角形ABC 空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来种植三种花卉.方案是：先建造一条直道DE 将ABC D 分成面积之比为2:1的两部分（点D ，E 分别在边AB ，AC 上）；再取DE 的中点M ，建造直道AM （如图）.设AD x =，1DE y =，2AM y =（单位：百米）.（1）分别求1y ，2y 关于x 的函数关系式；（2）试确定点D 的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值.1-5 DADCB 5-8 CBD 9 CD 10 ABC 11 BD 12 ABD 【13题答案】【答案】314【14题答案】【答案【15题答案】【答案】221189x y +=【16题答案】【答案】1,42éù-êúëû17【答案】（1）21n a n =-，112n n b -æöç÷èø=（2）3772n nn T +=-【18题答案】【答案】（1）()12nn n a +=【19题答案】【答案】（1）当12a £时，()f x 在()0,1上递增，在()1,+¥上递减；当112a <<时，()f x 在()0,1上递增，在11,21æöç÷-èøa 上递减，在1,21a æö+¥ç÷-èø上递增；当1a =时，()f x ()0,¥+上递增；当1a >时，()f x 在10,21æöç÷-èøa 上递增，在1,121æöç÷-èøa 上递减，在()1,+¥上递增；（2）证明见解析【20题答案】【答案】（1）sin 7C =；（2）5a b ==【21题答案】【答案】（Ⅰ）322y x =-（Ⅱ）ùúû【22题答案】【答案】（1）1y =，[]2,3x Î.2y =，[]2,3x Î.（2）当AD =时，两条直道的长度之和取得最小值2ö÷÷ø百米.在。
山东省德州2020届高三一模反馈练习数学试题 含答案
0
) ，取
y1＝2，得(→
1 T1 0
2，2，1 ．
设直线 PA 与平面 PCE 所成角为 θ，则 sinθ＝|cos＜ →-，(→＞|
| →-⋅→(| | →-|⋅|→(|
2 ^9`2
1 3．
1 即直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值为 ．
20．（1）设 Q（4，y0），由|NO|
5 4
|PN|，
5
二面角 P﹣CD﹣A 的大小为 45°，得 X Y10XZ5
√ ，解得 h＝2．
∴P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），
→
∴!+
→
→
1，1，0 ，-! 0，1， 2 ， - 0，0，2 ．
设平面 PCE 的一个法向量为(→
1，T1，U1 ，
由V(→(→
⋅ ⋅
→
-!
→
!+
T1
2U1
_
_
四面体 P﹣ABC 的体积为 ，则该球的表面积为（ ）
A．12 π
B．4√3
C．16π
D．8π
→
7．在△ABC 中，D，E 分别为边 AB，AC 的中点，BE 与 CD 交于点 P，设 !
→，+→,
→
→
，则 -
（）
A．
2→ 3
2→ 3
B．
4→ 3
4→ 3
C．
3→ 4
3→ 4
D．
5→ 4
5→ 4
a 的取值范围．
题号 1
2
答案 A
A
题号 7
8
答案 A
C
13、 ▲ 1
3
4
2020-- 山东省 德州市 高三上学期期末 数学试题--(附解析答案)
2020届山东省德州市高三上学期期末数学试题一、单选题1．已知全集U =R ，{}2|9A x x =<，{}|24B x x =-<<，则()R A B I ð等于（ ）A ．{}|32x x -<<-B ．{}|34x x <<C ．{}|23x x -<<D ．{}|32x x -<≤-【答案】D【解析】解出集合A ，然后利用补集和交集的定义可求出集合()R A B I ð. 【详解】{}{}2933A x x x x =<=-<<Q ，{}24B x x =-<<，则{2U B x x =≤-ð或}4x ≥，因此，(){}32R A B x x ⋂=-<≤-ð.故选：D. 【点睛】本题考查交集与补集的混合运算，同时也考查了二次不等式的解法，考查计算能力，属于基础题.2．已知复数z 满足13z i =-（其中i 为虚数单位），则zz=（ ） A ．132-+ B ．132-- C ．132+ D ．132 【答案】B【解析】求出z ，结合共轭复数的概念可求出z的值. 【详解】13z i =-+Q ，()()22132z ∴=-+=，因此，13132z i z --==-. 故选：B. 【点睛】本题考查复数模的计算，同时也考查了共轭复数，考查计算能力，属于基础题. 3．“[]1,2x ∀∈，210ax +≤”为真命题的充分必要条件是（ ）A ．1a ≤-B ．14a -≤ C ．2a ≤- D ．0a ≤【答案】A【解析】利用参变量分离法得出21a x ≤-，求出函数21y x=-在区间[]1,2上的最小值，即可得出实数a 的取值范围，即可得出答案. 【详解】Q “[]1,2x ∀∈，210ax +≤”为真命题，21a x ∴≤-对任意的[]1,2x ∈恒成立， 由于函数21y x=-在区间[]1,2上单调递增，则min 1y =-，1a ∴≤-. 故选：A. 【点睛】本题考查利用全称命题的真假求参数的取值范围，灵活利用参变量分离法求解是解题的关键，考查运算求解能力，属于中等题.4．已知向量a r ，b r 满足1a =r ，2b =r ，()()313a b a b -⋅+=-r r r r ，则a r 与b r的夹角为（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】C【解析】设a r 与b r的夹角为θ，将等式()()313a b a b -⋅+=-r r r r 展开后可求出cos θ的值，即可求出a r 与b r的夹角.【详解】()()2232313a b a b a a b b -⋅+=+⋅-=-r r r r r r r r Q ，即21113a b ⋅-=-r r ，得1a b ⋅=-r r，则1cos 2a b a b θ⋅==-⋅r r r r ，0θπ≤≤Q ，23πθ∴=. 故选：C. 【点睛】本题考查利用平面向量的数量积计算平面向量的夹角，解题时要熟悉平面向量数量积的定义和运算律，考查计算能力，属于中等题.5．已知1232a b -=⋅，()212log 23c b x x -=++，则实数a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．a c b >>【答案】A【解析】由1232a b -=⋅结合指数运算律可得出a b >，由对数函数的单调性可得出c b <，由此可得出三个实数的大小关系. 【详解】1232a b -=⋅Q ，1232a b -+∴=>，11a b ∴-+>，则a b >.()2223122x x x ++=++≥Q ，()21122log 23log 21c b x x ∴-=++≤=-，b c ∴>.因此，a b c >>. 故选：A. 【点睛】本题考查数的大小比较，涉及了指数的运算以及对数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.6．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛、马和羊，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，则让三位同学选取的礼物都满意的概率是（ ）A ．166B ．155C ．566D ．511【答案】C【解析】对甲分甲选牛或羊作礼物、甲选马作礼物，利用分步计数原理和分类计数原理计算出事件“三位同学都选取了满意的礼物”所包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】若甲选牛或羊作礼物，则乙有3种选择，丙同学有10种选择，此时共有231060⨯⨯=种；若甲选马作礼物，则乙有4种选择，丙同学有10种选择，此时共有141040⨯⨯=种.因此，让三位同学选取的礼物都满意的概率为31260401005132066A +==. 故选：C. 【点睛】本题考查古典概型概率的计算，同时也涉及了分类计数和分步计数原理的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.7．双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为()122,0F ，点A 的坐标为()0,1，点P 为双曲线左支上的动点，且1APF ∆周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．22【答案】D【解析】作出图形，取该双曲线的左焦点F ，利用双曲线的定义得出12PF PF a =+，从而可得出1APF ∆的周长为1112AP AF PF AF AP PF a ++=+++，利用A 、P 、F 三点共线时，1APF ∆的周长取得最小值，可求出a 的值，进而求出该双曲线的离心率. 【详解】 如下图所示：设该双曲线的左焦点为点F ，由双曲线的定义可得12PF PF a =+， 所以，1APF ∆的周长为11123262AP AF PF AF AP PF a AF a a ++=+++≥++=+，当且仅当A 、P 、F 三点共线时，1APF ∆的周长取得最小值，即628a +=，解得1a =.因此，该双曲线的离心率为222e a==故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，同时也涉及了与焦点相关的三角形周长最值的计算，利用双曲线的定义转化是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 8．对于数列{}n a ，规定{}n a ∆为数列{}n a 的一阶差分数列，其中()*1n n n a a a n +∆=-∈N ，对自然数()2k k ≥，规定{}kn a ∆为数列{}n a 的k 阶差分数列，其中111k k k n n n a a a --+∆=∆-∆.若11a =，且()2*12n n n n a a a n +∆-∆+=-∈N ，则数列{}n a 的通项公式为（ ）A ．212n n a n -=⨯B ．12n n a n -=⨯C ．()212n n a n -=+⨯D ．()1212n n a n -=-⨯【答案】B【解析】根据题中定义结合等式()2*12nn n n a a a n +∆-∆+=-∈N 可得出122n n n a a +=+，等式两边同时除以12n +，可得出111222n n n n a a ++=+，可知数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，以12为公差的等差数列，求出数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，即可得出n a . 【详解】根据题中定义可得()()2*1112n nn n n n n n a a a a a a n a +++∆-∆+=∆-∆-∆+=-∈N ，即()1122nn n n n n n n a a a a a a a ++-∆=--=-=-，即122nn n a a +=+，等式两边同时除以12n +，得111222n n n n a a ++=+，111222n n n n a a ++∴-=且1122a =， 所以，数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，以12为公差的等差数列，()1112222n na n n ∴=+-=， 因此，12n n a n -=⋅.故选：B. 【点睛】本题考查利用构造法求数列的通项公式，涉及数列的新定义以及等差数列的定义，考查运算求解能力，属于中等题.9．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，有()()1f x f x +=-，且当[)0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，下列命题正确的是（ ） A ．()()201920200f f +-= B ．函数()f x 在定义域上是周期为2的函数C ．直线y x =与函数()f x 的图象有2个交点D ．函数()f x 的值域为[]1,1- 【答案】A【解析】推导出当0x ≥时，()()2f x f x +=，结合题中等式得出()()100f f ==，可判断出A 选项的正误；利用特殊值法可判断B 选项的正误；作出函数()y f x =在区间()1,1-上的图象，利用数形结合思想可判断C 选项的正误；求出函数()y f x =在[)0,+∞上的值域，利用奇函数的性质可得出函数()y f x =的值域，可判断出D 选项的正误. 【详解】Q 函数()y f x =是R 上的奇函数，()00f ∴=，由题意可得()()100f f =-=，当0x ≥时，()()()21f x f x f x +=-+=，()()()()()()2019202020192020100f f f f f f ∴+-=-=-=，A 选项正确；当0x ≥时，()()1f x f x +=-，则2616log 555f f ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2449log 555f f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4462555f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-≠-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则函数()y f x =不是R 上周期为2的函数，B 选项错误； 若x 为奇数时，()()10f x f ==，若x 为偶数，则()()00f x f ==，即当x ∈Z 时，()0f x =，当0x ≥时，()()2f x f x +=，若n N ∈，且当()2,21x n n ∈+时，()20,1x n -∈，()()()20,1f x f x n =-∈，当()1,2x ∈时，则()10,1x -∈，()()()11,0f x f x ∴=--∈-，当()21,22x n n ∈++时，()21,2x n -∈，则()()()21,0f x f x n =-∈-， 所以，函数()y f x =在[)0,+∞上的值域为()1,1-，由奇函数的性质可知，函数()y f x =在(),0-∞上的值域为()1,1-， 由此可知，函数()y f x =在R 上的值域为()1,1-，D 选项错误；如下图所示：由图象可知，当11x -<<时，函数y x =与函数()y f x =的图象只有一个交点， 当1x ≤-或1x ≥时，()()1,1f x ∈-，此时，函数y x =与函数()y f x =没有交点， 则函数y x =与函数()y f x =有且只有一个交点，C 选项错误.故选：A.二、多选题10．已知点A 是直线:20l x y +=上一定点，点P 、Q 是圆221x y +=上的动点，若PAQ ∠的最大值为90o ，则点A 的坐标可以是（ ）A ．(2B ．()21C ．)2,0D ．()21,1-【答案】AC【解析】设点A 的坐标为()2t t ，可得知当AP 、AQ 均为圆221x y +=的切线时，PAQ ∠取得最大值90o ，可得出四边形APOQ 为正方形，可得出2OA =，进而可求出点A 的坐标. 【详解】 如下图所示：。
2020届山东省德州市高三上学期期中数学试题(解析版)
2020届山东省德州市高三上学期期中数学试题一、单选题1．设集合{|A x y ==，{|(1)(3)0}B x x x =+-<，则()RA B =（ ）A ．[1,3)B ．(1,3)C ．(1,0][1,3)- D ．(1,0](1,3)-【答案】B【解析】A 是函数的定义域，B 是不等式的解集，分别求出后再由集合的运算法则计算． 【详解】由题意{|10}{|1}A x x x x =-≥=≤，{|13}B x x =-<<，{|1}R C A x x =>，∴(){|13}(1,3)R C A B x x =<<=．故选：B ． 【点睛】本题考查集合的运算，解题时需先确定集合,A B 中的元素，然后才可能利用集合运算法则计算．2．命题“0x ∃>，ln 0x <”的否定为（ ） A ．0x ∃>，ln 0x ≥ B ．0x ∀≤，ln 0x ≥ C ．0x ∀>，ln 0x > D ．0x ∀>，ln 0x ≥【答案】D【解析】把命题的结论改反过来，同时存在变成任意的即可． 【详解】命题“0x ∃>，ln 0x <”的否定是“0,ln 0x x ∀>≥”． 故选：D ． 【点睛】本题考查命题的否定，注意与否命题的要求区分开来，命题的否定是命题的结论改反过来，同时存在量词与全称量词互换，而否命题是条件与结论均要反过来，当然存在量词与全称量词也要互换．3．若1log 13a<，则a 的取值范围是（ ） A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,(1,)3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．110,,33⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】利用对数函数的性质进行解答． 【详解】 当1a >时，1log 013a <<，成立，当01a <<时，1log 1log 3a a a <=，103a <<，综上1(0,)(1,)3a ∈+∞．故选：C ． 【点睛】本题考查对数函数的性质，要注意对数函数的单调性要对底数按(0,1)和(1,)+∞两个范围分类讨论．4．三角函数是刻画客观世界周期性变化规律的数学模型，单位圆定义法是任意角的三角函数常用的定义方法，是以角度（数学上最常用弧度制）为自变量，任意角的终边与单位圆交点坐标为因变量的函数．平面直角坐标系中的单位圆指的是平面直角坐标系上，以原点为圆心，半径为单位长度的圆．已知角α的终边与单位圆的交点为34,55P ⎛⎫⎪⎝⎭，则cos()sin()παα++-=（ ） A ．15- B ．15C ．75-D ．75【答案】C【解析】由三角函数定义得出sin ,cos αα，然后再由诱导公式计算． 【详解】 由题意43sin ,cos 55αα==， ∴347cos()sin()cos sin 555παααα++-=--=--=-． 故选：C ． 【点睛】本题考查三角函数的定义，考查诱导公式，属于基础题．5．已知a ，b 为单位向量，设a 与b 的夹角为3π，则a 与b a -的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π【答案】C【解析】可先计算a b ⋅，然后再由向量的数量积计算所求角， 【详解】由题意111cos32a b π⋅=⨯⨯=，2221()212112b a b a b a b a -=-=-⋅+=-⨯+=，2()11cos ,122a b a a b a a b a a b a⋅-<->==⋅-=-=--， ∴,a b a <->23π=． 故选：C ． 【点睛】本题考查求向量的夹角，掌握向量的数量积的运算法则是解题基础．本题也可用几何法求解．6．已知某函数图象如图所示，则该图象所对应的函数可能是（ ）A ．22xx y =B ．22xy =-C ．xy x e =-D ．22xy x =-【答案】D【解析】从函数的性质，特殊值等方面考查. 【详解】首先此函数图象关于y 轴对称，因此其为偶函数，可排除C ，又0x =时，0y <，又可排除A 、B ，只有D 可选． 故选：D ． 【点睛】本题考查由函数图象选择函数解析式，为此可通过图象研究函数的性质，如奇偶性，单调性、对称性，函数的特殊值、函数值的正负等等，用排除法得出正确结论． 7．函数()2sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，要得到函数()2sin 2g x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数()f x 的图象（ ） A ．向右平移512π个单位长度 B ．向右平移56π个单位长度 C ．向左平移56π个单位长度 D ．向左平移512π个单位长度 【答案】A【解析】先得出周期，求出ω，然后再由三角函数图象变换得出结论． 【详解】由题意函数的周期为22T ππ=⨯=，∴222T ππωπ===，即()2sin(2)3f x x π=+，而5()2sin(2)2sin[2()]2123g x x x πππ=-=-+，因此将()f x 的图象向右平移512π即得()g x 的图象．故选：A ． 【点睛】本题考查三角函数的图象变换，考查三角函数的图象与性质.在平移变换中要注意变换只针对自变量x 进行加减．8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若37S =，663S =，则数列{}n na 的前2020项和为（ ） A ．2020320212-+⨯ B ．2020320192+⨯ C ．2020120212+⨯ D ．2020120192+⨯【答案】D【解析】首先求出等比数列的通项公式，然后用错位相减法求数列的和. 【详解】等比数列{}n a 公比是q ，显然1q ≠，∴313616(1)71(1)631a q S q a q S q ⎧-==⎪-⎪⎨-⎪==⎪-⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩， ∴12n na ，202012202022020S a a a =+++220191223220202=+⨯+⨯++⨯，232019202020202222322019220202S =+⨯+⨯++⨯+⨯，∴2201920202020122220202S -=++++-⨯202020202120202=--⨯2020120192=--⨯，∴20202020120192S =+⨯．故选：D ． 【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查错位相减法求数列的和．数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则数列11{}n n a a +的求和用裂项相消法，数列{}n n a b 的求和用错位相减法．9．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15︒的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30，第一排和最后一排的距离为102米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）A ．3323B ．5323C ．7323D ．8323【答案】B【解析】如解析中图形，可在HAB ∆中，利用正弦定理求出HB ，然后在Rt HBO ∆中求出直角边HO 即旗杆的高度，最后可得速度． 【详解】如图，由题意45,105HAB HBA ∠=︒∠=︒，∴30AHB ∠=︒，在HAB ∆中，sin sin HB AB HAB AHB =∠∠，即102sin 45sin 30HB =︒︒，20HB =． ∴sin 20sin 60103OH HB HBO =∠=︒=，334623v ==（米/秒）． 故选:B ． 【点睛】本题考查解三角形的应用，解题关键是掌握正弦定理和余弦定理，解题时要根据条件选用恰当的公式，适当注意各个公式适合的条件． 10．非零向量m ，n 的夹角为3π，且满足(0)n m λλ=>，向量组1x ，2x ，3x 由两个m 和一个n 排列而成，向量组1y ，2y ，3y 由一个m 和两个n 排列而成，若112233⋅+⋅+⋅x y x y x y 所有可能值中的最大值为252m ，则λ的值为（ ） A ．1 B ．53C ．3D ．4【答案】A【解析】由于任意排列，因此可对向量组1x ，2x ，3x 固定一种排列，而写出向量组1y ，2y ，3y 的所有排列，然后计算112233⋅+⋅+⋅x y x y x y ，比较后让最大的等于252m 即可． 【详解】22cos322m n m n m m πλλ⋅===，向量组1x ，2x ，3x 与向量组1y ，2y ，3y 对应的排列方式有如下3种： 1x ，2x ，3x ：,,m n n （固定），1y ，2y ，3y ：①,,m m n ；②,,m n m ；③,,n m m ，对于①，112233⋅+⋅+⋅x y x y x y 2222(1)2m m n n m λλ1=+⋅+=++， 对于②，112233⋅+⋅+⋅x y x y x y 2222(1)2m n m n m λλ1=++⋅=++，对于③，112233⋅+⋅+⋅x y x y x y 2332m n m λ=⋅=，显然213122λλλ++>，因此215122λλ++=，解得1λ=（负值舍去）．故选：A ． 【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题难点在两个向量组都是由一些向量任意排列而成，解题关键是由于任意性，可固定一个向量组，而只要把另一向量组任意排列，然后计算．这也是我们解决多种任意性问题的一种思考方法．二、多选题11．对于实数a 、b 、c ，下列命题中正确的是（ ） A ．若a b >，则ac bc <； B ．若0a b <<，则22a ab b >> C ．若0c a b >>>，则a bc a c b >-- D ．若a b >，11a b>，则0a >，0b < 【答案】BCD【解析】由不等式的性质判断． 【详解】若0c >，则由a b >得ac bc >，A 错；若0a b <<，则2a ab >，2ab b > 22a ab b >>，B 正确； 若0c a b >>>，则0c b c a ->->，∴110c a c b>>--，∴a b c a c b >--，C 正确；若a b >，且,a b 同号时，则有11a b <，因此由11,a b a b>>得0,0a b ><，D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】本题考查不等式的性质，不等式的性质中特别要注意性质：“不等式两边同乘以或除以一个正数，不等号方向不变，同乘以或除以一个负数，不等号方向改变”，这里一定要注意所乘数一定要分正负，否则易出错．12．已知向量(sin ,m x =，()2cos ,cos x x n =，函数()32f x m n =⋅+，下列命题，说法正确的选项是（ ） A ．()y f x =的最小正周期为π B ．()y f x =的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．()y f x =的图象关于直线12x π=对称D ．()y f x =的单调增区间为52,2()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 【答案】AB【解析】由数量积运算计算出()f x 并化为一个三角函数形式，然后利用正弦函数性质验证各选择支． 【详解】()3f x m n =⋅+2sin cos x x x =1sin 22sin(2)23x x x π==-， 其最小正周期是22T ππ==，A 正确； 又sin(2)063ππ⨯-=，因此()f x 图象关于点(,0)6π对称，B 正确；232x k ππ-=π+得5()212k x k Z ππ=+∈，因此12x π=-是()f x 图象的一条对称轴，C错误； 由222232k x k πππππ-≤-≤+，得1212k x k π5ππ-≤≤π+，即增区间5[,]1212k k ππππ-+，k Z ∈，D 错误． 故选：AB ． 【点睛】本题考查平面向量的数量积，考查三角函数的图象与性质．三角函数问题常常把函数化为()sin()f x A x ωϕ=+形式，然后利用正弦函数的性质求解．13．对于函数2ln ()xf x x=，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 在x =12eB ．()f x 有两个不同的零点C ．f f f <<D ．若21()f x k x <-在(0,)+∞上恒成立，则2ek > 【答案】ACD【解析】求出导函数，利用导数研究函数()f x 的性质． 【详解】函数定义域为(0,)+∞，312ln '()xf x x-=,当x ∈时，'()f x ＞0，()f x 单调递增，当)x ∈+∞时，'()0f x <，()f x单调递减，所以()f x 在x =12f e=，A 正确； (1)0f =，当01x <<时，()0f x <，当1x >时，()0f x >，因此()f x 只有一个零点，B 错误；<<，因此f f <，又ln 1ln 2f πππ==⋅，1ln 2222f ==⋅1ln 424=⋅， 设ln ()xh x x =，则21ln '()x h x x-=， (,)x e ∈+∞时，'()0h x <，()h x 单调递减，而4e π<<，∴()(4)h h π>，即ln ln 4ln 242ππ>=，∴f f <，即f f f <<，C 正确；令22ln 1()x g x x x =+（0x >），则312ln '()xg x x +=-，易知当x ∈时，'()0g x >，)x∈+∞时，)'(0g x <，()g x 在x =2eg =，∴21()f x k x+<在(0,)x ∈+∞上恒成立，则2e k >，D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】本题考查用导数研究函数的性质，难度较大．掌握导数与单调性、极值的关系是解题的基础，解题要注意问题的转化，例如恒成立问题可能转化为求函数的最值．三、填空题14．函数()(13)x f x x e =-⋅在点(0,(0))P f 处的切线方程为__________． 【答案】210x y +-=【解析】求出导函数'(0)f ，即切线斜率，然后可得切线方程． 【详解】∵'()3(13)(23)x x x f x e x e x e =-+-=-+，∴'(0)2f =-，又(0)1f =， ∴切线方程为12(0)y x -=--，即210x y +-=． 故答案为：210x y +-=． 【点睛】本题考查导数的几何意义，即函数()f x 在0x 的导数就是函数()f x 的图象在0x 处的切线的斜率，切线方程为000()'()()y f x f x x x -=-．15．已知向量(1,1)a x =+，(,2)b x =，若满足a b ，且方向相同，则x =__________． 【答案】1【解析】由向量平行坐标表示计算．注意验证两向量方向是否相同． 【详解】∵a b ，∴(1)20x x +-=，解得1x =或2x =-，1x =时，(1,2),(1,2)a b ==满足题意，2x =-时，(1,1),(2,2)a b =-=-，方向相反，不合题意，舍去．∴1x =． 故答案为：1． 【点睛】本题考查向量平行的坐标运算，解题时要注意验证方向相同这个条件，否则会出错．16．已知等比数列{}n a 满足0n a >，且232310(2)nn a a n -=≥，则当1n >时，1321lg lg lg n a a a -+++=__________．【答案】2n【解析】首先由递推关系求出数列{}n a 的通项，然后代入计算． 【详解】由已知26310a =，∵30a >，∴3310a =，又43110a a =，∴110a =，∴10q ==，即10nn a =，lg n a n =．∴21321lg lg lg 135(21)n a a a n n -+++=++++-=．故答案为：2n ． 【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查等差数列的前n 项，掌握基本量法是解决等差数列和等比数列的基础．17．已知函数}{}1,(0,2],()min 1,3,(2,4],min 3,5,(4,),x x f x x x x x x x ⎧-∈⎪⎪=--∈⎨⎪--∈+∞⎪⎩其中min{,}a b 表示a ，b 中较小的数．（1）若()f x a =有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是__________；（2）若关于x 的方程()()(0)f x T f x T -=>有且只有三个不同的实根，则实数T 的取值范围是__________． 【答案】(1,)+∞ (2,4)【解析】（1）化简函数式，作出函数()f x 的图象，由图象观察可得． （2）把()f x 图象向右平移，只要与原图象有三个交点即可． 【详解】（1）函数式化简后为：1,(0,2]()3,(2,4]5,(4,)x x f x x x x x ⎧-∈⎪=-∈⎨⎪-∈+∞⎩，作出函数图象，如图，()f x 在(0,1]，[2,3]，[4,5]上都是单调递减的，在[1,2],[3,4],[5,)+∞上都是增函数，(2)(4)(6)1f f f ===，因此当1a >时，函数()f x 的图象与直线y a =有且只有一个交点，∴()f x a =有且只有1根；（2）如图，把()f x 的图象向右平移，只有当a 段与d 段有一个交点，b 与e ，c 与f 各有一个交点，才能满足题意，这样有24T <<，故答案为：（1）(1,)+∞；（2）(2,4)． 【点睛】本题考查方程根与函数零点的关系，把方程的根转化为函数图象交点问题是常用方法．解题方法是数形结合思想，通过图象变换观察得出结论，对选择题填空题可起到意想不到的效果，对解答题也能提供解题思路．四、解答题18．已知集合{}22|(22)20A x x a x a a =--+-≤，{}2|540B x x x =-+≤． （1）若AB =∅，求a 的取值范围；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求a 的取值范围． 【答案】（1）(,1)(6,)-∞+∞（2）[]3,4【解析】分别化简集合,A B ，（1）根据两集合交集为空集得出a 的不等关系，解之即可；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则A 是B 的子集，由子集的概念可得． 【详解】{}22|(22)20{|2}A x x a x a a x a x a =--+-≤=-≤≤ {}2|540{|14}B x x x x x =-+≤=≤≤（1）因为AB =∅，所以24a ->或1a <，即6a >或1a <．所以a 的取值范围是(,1)(6,)-∞+∞；（2）因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，所以AB ，则214a a -≥⎧⎨≤⎩，解得34a ≤≤．所以a 的取值范围是[]3,4． 【点睛】本题考查集合的交集运算，考查集合的包含关系，属于基础题型． 19．如图，在四边形ABCD 中，23ADC ∠=π，3AD =，2sin 3BCD ∠=，连接BD ，34BD BC =．（1）求BDC ∠的值； （2）若1BD =，3AEB π∠=，求ABE ∆的面积最大值．【答案】（1）6BDC π∠=（23【解析】（1）在BCD ∆中，利用正弦定理求解，注意角的大小；（2）由（1）可得ABD ∆是直角三角形，从而可得AB ，然后在ABE ∆中用余弦定理表示出2AB ，利用基本不等式求得AE BE ⋅的最大值，从而可得面积的最大值． 【详解】（1）BCD ∆中，由正弦定理得sin sin BD BC BCD BDC=∠∠，所以sin 1sin 2BC BCD BDC BD ⋅∠∠==． 因为34BD BC =，所以BD BC ，所以BDC ∠为锐角， 所以6BDC π∠=．（2）在ABD ∆中，3AD =，1BD =，2362ADB πππ∠=-=， 所以222AB AD BD =+=．在ABE ∆中，由余弦定理得2222cos3AB AE BE AE BE π=+-⋅⋅，所以224AE BE AE BE =+-⋅≥2AE BE AE BE AE BE ⋅-⋅=⋅， 当且仅当AE BE =时等号成立， 所以4AE BE ⋅≤， 所以113sin 43232ABE S AE BE π∆=⋅⋅≤⨯=即ABE ∆ 【点睛】本题考查解三角形的应用，考查正弦定理和余弦定理，属于基础题． 20．已知函数21()2ln (2)2f x x a x a x =+-+． （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间； （2）是否存在实数a ，使函数34()()9g x f x ax x =++在(0,)+∞上单调递增？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()f x 的单调递增区间为(]0,1和[)2,+∞，单调递减区间为()1,2（2）存在,724a ≥【解析】（1）求出导函数'()f x ，由'()0f x >确定增区间，由'()0f x <确定减区间；（2）求出导函数'()g x ，假设存在，则'()0g x ≥在(0,)+∞上恒成立，而不等式恒成立，又可用分离参数法转化为求函数的最值． 【详解】（1）当1a =时，21()2ln 3(0)2f x x x x x =+->． 所以2()3f x x x '=+-=232(2)(1)x x x x x x-+--=令()0f x '≥，则01x <≤或2x ≥，令()0f x '<，则12x <<， 所以()f x 的单调递增区间为(]0,1和[)2,+∞，单调递减区间为()1,2（2）存在724a ≥，满足题设， 因为函数34()()9g x f x ax x =++=23142ln 229x a x x x +-+所以224()23a g x x x x '=+-+ 要使函数()g x 在0,∞（+）上单调递增，224()20,(0,)3a g x x x x x '=+-≥+∈+∞ 即3243660x x x a +-+≥，(0,)x ∈+∞⇔324366x x xa +-≥-，(0,)x ∈+∞令32436()6x x xh x +-=，(0,)x ∈+∞，则2()21(21)(1)h x x x x x '=+-=-+，所以当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 当1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以12x =是()h x 的极小值点，也是最小值点，且17224h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴324366x x x+--在(0,)+∞上的最大值为724．所以存在724a ≥，满足题设． 【点睛】本题考查研究函数的单调性，研究函数的最值．一般情况下，我们用'()0f x >确定增区间，用'()0f x <确定减区间，另外用导数研究不等式恒成立问题，都是转化为求函数的最值，为此分离参数法用得较多．21．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足22S 2n n n a a =+-，且()*0n a n >∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()*5(41)n n n n b n na -=∈N ，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：152n T ≥． 【答案】（1）1n a n =+（2）证明见解析【解析】（1）在22S 2n n n a a =+-中令1n =可求得1a ，然后求1(2)n n n a S S n -=-≥可得{}n a 的递推式，从而得数列{}n a 是等差数列，由此可得通项公式；（2）由（1）得15(41)55(1)1n n nn n b n n n n+-==-++，从而可用裂项相消法求得{}n b 的和n T ，利用10n n T T +->可得{}n T 是递增数列，因此题设不等式可证，1152n T T ≥=． 【详解】（1）当1n =时，211122S a a =+-，解得12a =或11a =-（舍） 又22S 2n n n a a =+-①当2a ≥时，211122n n n S a a ---=+-②①－②，得22112n n n n n a a a a a --=-+-，整理得()()1110n n n n a a a a --+--=，因为0n a >，所以10n n a a ->+，故11n n a a --=， 所以{}n a 是以2为首项，1为公差的等差数列． 故2(1)11n a n n =+-⋅=+．（2）15(41)55(1)1n n nn n b n n n n+-==-++， 所以12n n T b b b =+++=232115555555523211n n n n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为211155(43)5021(1)(2)n n n n n n T T n n n n +++++⋅-=-=>++++， 所以{}n T 是递增数列故21515522n T T =-=≥．【点睛】本题考查由数列前n 项n S 与项n a 的关系求通项公式，此问题一般由1n n n a S S -=-转化，注意这里2n ≥，即可能不含1a ．证明与数列有关的不等式可先证明数列的单调性，利用单调性性质证明更方便．22．已知函数322()69()f x x ax a x a =-+-∈R ． （1）当1a =时，求()f x 的极值；（2）当1a ≥时，若[0,2]x ∀∈，都有()8f x ≥-，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()=0f x 极大值，()4f x =-极小值（2）1a ≤≤【解析】（1）求出导函数'()f x ，由'()0f x >确定增区间，由'()0f x <确定减区间，从而可确定极值；（2）仿（1）确定()f x 的单调区间，然后按a 比2大和比2小分类，求得()f x 在[0,2]上的最小值，由这个最小值大于等于－8可得a 的范围． 【详解】（1）当1a =时，2()31293(1)(3)f x x x x x '=-+-=---所以当(,1)x ∈-∞，()0f x '<，()f x 为减函数，当(1,3)x ∈时，()0f x '>，()f x 为增函数， 当(3,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 为减函数， 所以()()=30f x f =极大值，()()14f x f ==-极小值．（2）22()31293()(3)(1)f x x ax a x a x a a '=-+-=---≥，所以()f x 在()0,a 和()3,a +∞单调递减，在(),3a a 单调递增．（i ）当2a ≥时，()f x 在[0,2]单调递减，2min ()(2)82418f x f a a ==-+-，由题得2824188a a -+≥--，解得403a ≤≤，又3a ≥，所以a 值不存在． （ii ）当12a ≤<时，23a a <<，此时，()f x 在()0,a 单调递减，在[],2a 上递增，所以3333min ()()694f x f a a a a a ==-+-=-，由题意得348a -≥-解得a ≤1a ≤≤，综上a 的取值范围为1a ≤≤【点睛】本题考查研究函数的单调性，研究函数的最值．一般情况下，我们用'()0f x >确定增区间，用'()0f x <确定减区间，另外用导数研究不等式恒成立问题，都是转化为求函数的最值，为此分离参数法用的较多，不能分离参数时，同样转化为求函数的最值，由最值得不等关系，从而求得参数范围．23．某辆汽车以x 千米/小时的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求60120x ≤≤）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为136005x k x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭升，其中k 为常数，且48100k ≤≤．（1）若汽车以120千米/小时的速度行驶时，每小时的油耗为10升，欲使每小时的油耗不超过7.2升，求x 的取值范围；（2）求该汽车行驶100千米的油耗的最小值．【答案】（1）60100x ≤≤（2）当60100k ≤≤时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为220720k -元，当4860k ≤<时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为256k -． 【解析】（1）120x =时，油耗为10升，求得k ，再解不等式136007.25x k x ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭；（2）列出行驶100千米的油耗2100136002072000205k y x k x x x x ⎛⎫=⋅-+=-+ ⎪⎝⎭，(60120)x ≤≤，设1t x=可转化为关于t 的二次函数，结合二次函数的性质可得最小值．【详解】（1）由题意，当120x =时，13600105x k x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以100=k ． 由136001007.25x x ⎛⎫-+⎪⎝⎭， 得213636000x x -+≤，所以36100x ≤≤． 又因为60120x ≤≤，所以60100x ≤≤． （2）设该汽车行驶100千米的油耗为y 升， 则210013600207200020(60120)5k y x k x x x x x ⎛⎫=⋅-+=-+≤≤ ⎪⎝⎭， 令1t x =，则11,12060t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以22272000202072000207200720k k y t kt t ⎛⎫=-+=-+-⎪⎝⎭， 对称轴7200kt =，48100k ≤≤， 所以11,720015072k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． ①若17200120k ≥，即60100x ≤≤， 则当7200k t =，即7200x k =时，2min 20720k y =-；②若17200120k <，即4860k ≤<， 则当1120t =，即120x =时，min 256ky =-．答：当60100k ≤≤时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为220720k -元，当4860k ≤<时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为256k-．【点睛】本题考查函数的应用题．解题关键是列出函数解析式，再根据函数的性质求解．1．求解已知函数模型解决实际问题的关注点．(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．2．利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．。
2020届山东省德州市高三上学期期中数学试题(解析版)
2020届山东省德州市高三上学期期中数学试题一、单选题1．设集合{|A x y ==，{|(1)(3)0}B x x x =+-<，则()R A B =ð（ ）A ．[1,3)B ．(1,3)C ．(1,0][1,3)- D ．(1,0](1,3)-【答案】B【解析】A 是函数的定义域，B 是不等式的解集，分别求出后再由集合的运算法则计算． 【详解】由题意{|10}{|1}A x x x x =-≥=≤，{|13}B x x =-<<，{|1}R C A x x =>，∴(){|13}(1,3)R C A B x x =<<=．故选：B ． 【点睛】本题考查集合的运算，解题时需先确定集合,A B 中的元素，然后才可能利用集合运算法则计算．2．命题“0x ∃>，ln 0x <”的否定为（ ） A ．0x ∃>，ln 0x ≥ B ．0x ∀≤，ln 0x ≥ C ．0x ∀>，ln 0x > D ．0x ∀>，ln 0x ≥【答案】D【解析】把命题的结论改反过来，同时存在变成任意的即可． 【详解】命题“0x ∃>，ln 0x <”的否定是“0,ln 0x x ∀>≥”． 故选：D ． 【点睛】本题考查命题的否定，注意与否命题的要求区分开来，命题的否定是命题的结论改反过来，同时存在量词与全称量词互换，而否命题是条件与结论均要反过来，当然存在量词与全称量词也要互换．3．若1log 13a<，则a 的取值范围是（ ） A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,(1,)3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．110,,33⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】利用对数函数的性质进行解答． 【详解】 当1a >时，1log 013a <<，成立，当01a <<时，1log 1log 3a a a <=，103a <<，综上1(0,)(1,)3a ∈+∞．故选：C ． 【点睛】本题考查对数函数的性质，要注意对数函数的单调性要对底数按(0,1)和(1,)+∞两个范围分类讨论．4．三角函数是刻画客观世界周期性变化规律的数学模型，单位圆定义法是任意角的三角函数常用的定义方法，是以角度（数学上最常用弧度制）为自变量，任意角的终边与单位圆交点坐标为因变量的函数．平面直角坐标系中的单位圆指的是平面直角坐标系上，以原点为圆心，半径为单位长度的圆．已知角α的终边与单位圆的交点为34,55P ⎛⎫⎪⎝⎭，则cos()sin()παα++-=（ ） A ．15- B ．15C ．75-D ．75【答案】C【解析】由三角函数定义得出sin ,cos αα，然后再由诱导公式计算． 【详解】 由题意43sin ,cos 55αα==， ∴347cos()sin()cos sin 555παααα++-=--=--=-． 故选：C ． 【点睛】本题考查三角函数的定义，考查诱导公式，属于基础题．5．已知a ，b 为单位向量，设a 与b 的夹角为3π，则a 与b a -的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π【答案】C【解析】可先计算a b ⋅，然后再由向量的数量积计算所求角， 【详解】由题意111cos32a b π⋅=⨯⨯=，222()2121b a b a b a b a -=-=-⋅+=-=，2()11cos ,122a b a a b a a b a a b a⋅-<->==⋅-=-=--， ∴,a b a <->23π=． 故选：C ． 【点睛】本题考查求向量的夹角，掌握向量的数量积的运算法则是解题基础．本题也可用几何法求解．6．已知某函数图象如图所示，则该图象所对应的函数可能是（ ）A ．22xx y =B ．22x y =-C ．x y x e =-D ．22x y x =-【答案】D【解析】从函数的性质，特殊值等方面考查. 【详解】首先此函数图象关于y 轴对称，因此其为偶函数，可排除C ，又0x =时，0y <，又可排除A 、B ，只有D 可选． 故选：D ． 【点睛】本题考查由函数图象选择函数解析式，为此可通过图象研究函数的性质，如奇偶性，单调性、对称性，函数的特殊值、函数值的正负等等，用排除法得出正确结论． 7．函数()2sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，要得到函数()2sin 2g x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数()f x 的图象（ ） A ．向右平移512π个单位长度 B ．向右平移56π个单位长度 C ．向左平移56π个单位长度 D ．向左平移512π个单位长度 【答案】A【解析】先得出周期，求出ω，然后再由三角函数图象变换得出结论． 【详解】由题意函数的周期为22T ππ=⨯=，∴222T ππωπ===，即()2sin(2)3f x x π=+，而5()2sin(2)2sin[2()]2123g x x x πππ=-=-+，因此将()f x 的图象向右平移512π即得()g x 的图象．故选：A ． 【点睛】本题考查三角函数的图象变换，考查三角函数的图象与性质.在平移变换中要注意变换只针对自变量x 进行加减．8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若37S =，663S =，则数列{}n na 的前2020项和为（ ） A ．2020320212-+⨯ B ．2020320192+⨯ C ．2020120212+⨯ D ．2020120192+⨯【答案】D【解析】首先求出等比数列的通项公式，然后用错位相减法求数列的和. 【详解】等比数列{}n a 公比是q ，显然1q ≠，∴313616(1)71(1)631a q S q a q S q ⎧-==⎪-⎪⎨-⎪==⎪-⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩， ∴12n n a -=，202012202022020S a a a =+++220191223220202=+⨯+⨯++⨯，232019202020202222322019220202S =+⨯+⨯++⨯+⨯，∴2201920202020122220202S -=++++-⨯202020202120202=--⨯2020120192=--⨯，∴20202020120192S =+⨯．故选：D ． 【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查错位相减法求数列的和．数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则数列11{}n n a a +的求和用裂项相消法，数列{}n n a b 的求和用错位相减法．9．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15︒的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30°，第一排和最后一排的距离为（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）A．23B．23C．23D．23【答案】B【解析】如解析中图形，可在HAB ∆中，利用正弦定理求出HB ，然后在Rt HBO ∆中求出直角边HO 即旗杆的高度，最后可得速度． 【详解】如图，由题意45,105HAB HBA ∠=︒∠=︒，∴30AHB ∠=︒，在HAB ∆中，sin sin HB AB HAB AHB =∠∠，即sin 45sin 30HB =︒︒，20HB =．∴sin 20sin 60OH HB HBO =∠=︒=，4623v ==（米/秒）． 故选:B ． 【点睛】本题考查解三角形的应用，解题关键是掌握正弦定理和余弦定理，解题时要根据条件选用恰当的公式，适当注意各个公式适合的条件．10．非零向量m ，n 的夹角为3π，且满足(0)n m λλ=>，向量组1x u r ，2x u u r ，3x u r 由两个m 和一个n 排列而成，向量组1y ur ，2y u u r ，3y uu r 由一个m 和两个n 排列而成，若112233⋅+⋅+⋅x y x y x y 所有可能值中的最大值为252m ，则λ的值为（ ） A ．1 B ．53C ．3D ．4【答案】A【解析】由于任意排列，因此可对向量组1x u r ，2x u u r ，3x u r 固定一种排列，而写出向量组1y ur，2y u u r ，3y u u r 的所有排列，然后计算112233⋅+⋅+⋅x y x y x y ，比较后让最大的等于252m 即可． 【详解】22cos322m n m n m m πλλ⋅===，向量组1x u r ，2x u u r ，3x u r 与向量组1y ur ，2y u u r ，3y uu r 对应的排列方式有如下3种：1x u r ，2x u u r ，3x u r：,,m n n （固定），1y ur ，2y u u r ，3y uu r ：①,,m m n ；②,,m n m ；③,,n m m ，对于①，112233⋅+⋅+⋅x y x y x y 2222(1)2m m n n m λλ1=+⋅+=++， 对于②，112233⋅+⋅+⋅x y x y x y 2222(1)2m n m n m λλ1=++⋅=++，对于③，112233⋅+⋅+⋅x y x y x y 2332m n m λ=⋅=，显然213122λλλ++>，因此215122λλ++=，解得1λ=（负值舍去）．故选：A ． 【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题难点在两个向量组都是由一些向量任意排列而成，解题关键是由于任意性，可固定一个向量组，而只要把另一向量组任意排列，然后计算．这也是我们解决多种任意性问题的一种思考方法．二、多选题11．对于实数a 、b 、c ，下列命题中正确的是（ ） A ．若a b >，则ac bc <； B ．若0a b <<，则22a ab b >> C ．若0c a b >>>，则a bc a c b >-- D ．若a b >，11a b>，则0a >，0b < 【答案】BCD【解析】由不等式的性质判断． 【详解】若0c >，则由a b >得ac bc >，A 错；若0a b <<，则2a ab >，2ab b > 22a ab b >>，B 正确； 若0c a b >>>，则0c b c a ->->，∴110c a c b >>--，∴a b c a c b>--，C 正确；若a b >，且,a b 同号时，则有11a b <，因此由11,a b a b>>得0,0a b ><，D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】本题考查不等式的性质，不等式的性质中特别要注意性质：“不等式两边同乘以或除以一个正数，不等号方向不变，同乘以或除以一个负数，不等号方向改变”，这里一定要注意所乘数一定要分正负，否则易出错．12．已知向量(sin ,m x =，()2cos ,cos x x n =，函数()32f x m n =⋅+，下列命题，说法正确的选项是（ ） A ．()y f x =的最小正周期为π B ．()y f x =的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．()y f x =的图象关于直线12x π=对称D ．()y f x =的单调增区间为52,2()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 【答案】AB【解析】由数量积运算计算出()f x 并化为一个三角函数形式，然后利用正弦函数性质验证各选择支． 【详解】()3f x m n =⋅+2sin cos x x x =1sin 22sin(2)23x x x π==-， 其最小正周期是22T ππ==，A 正确； 又sin(2)063ππ⨯-=，因此()f x 图象关于点(,0)6π对称，B 正确； 232x k ππ-=π+得5()212k x k Z ππ=+∈，因此12x π=-是()f x 图象的一条对称轴，C错误； 由222232k x k πππππ-≤-≤+，得1212k x k π5ππ-≤≤π+，即增区间5[,]1212k k ππππ-+，k Z ∈，D 错误． 故选：AB ． 【点睛】本题考查平面向量的数量积，考查三角函数的图象与性质．三角函数问题常常把函数化为()sin()f x A x ωϕ=+形式，然后利用正弦函数的性质求解．13．对于函数2ln ()xf x x=，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 在x =12eB ．()f x 有两个不同的零点C ．f f f <<D ．若21()f x k x <-在(0,)+∞上恒成立，则2ek > 【答案】ACD【解析】求出导函数，利用导数研究函数()f x 的性质． 【详解】函数定义域为(0,)+∞，312ln '()xf x x -=,当x ∈时，'()f x ＞0，()f x 单调递增，当)x ∈+∞时，'()0f x <，()f x单调递减，所以()f x 在x =12f e=，A 正确； (1)0f =，当01x <<时，()0f x <，当1x >时，()0f x >，因此()f x 只有一个零点，B 错误；<<，因此f f <，又ln 1ln 2f πππ==⋅，1ln 2222f ==⋅1ln 424=⋅， 设ln ()xh x x =，则21ln '()x h x x-=， (,)x e ∈+∞时，'()0h x <，()h x 单调递减，而4e π<<，∴()(4)h h π>，即ln ln 4ln 242ππ>=，∴f f <，即f f f <<，C 正确；令22ln 1()x g x x x =+（0x >），则312ln '()xg x x +=-，易知当x ∈时，'()0g x >，)x∈+∞时，)'(0g x <，()g x 在x =2eg =，∴21()f x k x +<在(0,)x ∈+∞上恒成立，则2e k >，D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】本题考查用导数研究函数的性质，难度较大．掌握导数与单调性、极值的关系是解题的基础，解题要注意问题的转化，例如恒成立问题可能转化为求函数的最值．三、填空题14．函数()(13)x f x x e =-⋅在点(0,(0))P f 处的切线方程为__________． 【答案】210x y +-=【解析】求出导函数'(0)f ，即切线斜率，然后可得切线方程． 【详解】∵'()3(13)(23)x x x f x e x e x e =-+-=-+，∴'(0)2f =-，又(0)1f =， ∴切线方程为12(0)y x -=--，即210x y +-=． 故答案为：210x y +-=． 【点睛】本题考查导数的几何意义，即函数()f x 在0x 的导数就是函数()f x 的图象在0x 处的切线的斜率，切线方程为000()'()()y f x f x x x -=-．15．已知向量(1,1)a x =+，(,2)b x =，若满足a b ，且方向相同，则x =__________． 【答案】1【解析】由向量平行坐标表示计算．注意验证两向量方向是否相同． 【详解】∵a b ，∴(1)20x x +-=，解得1x =或2x =-，1x =时，(1,2),(1,2)a b ==满足题意，2x =-时，(1,1),(2,2)a b =-=-，方向相反，不合题意，舍去．∴1x =． 故答案为：1． 【点睛】本题考查向量平行的坐标运算，解题时要注意验证方向相同这个条件，否则会出错．16．已知等比数列{}n a 满足0n a >，且232310(2)nn a a n -=≥，则当1n >时，1321lg lg lg n a a a -+++=__________．【答案】2n【解析】首先由递推关系求出数列{}n a 的通项，然后代入计算． 【详解】由已知26310a =，∵30a >，∴3310a =，又43110a a =，∴110a =，∴10q ==，即10nn a =，lg n a n =．∴21321lg lg lg 135(21)n a a a n n -+++=++++-=．故答案为：2n ． 【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查等差数列的前n 项，掌握基本量法是解决等差数列和等比数列的基础．17．已知函数{}{}1,(0,2],()min 1,3,(2,4],min 3,5,(4,),x x f x x x x x x x ⎧-∈⎪⎪=--∈⎨⎪--∈+∞⎪⎩其中min{,}a b 表示a ，b 中较小的数．（1）若()f x a =有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是__________；（2）若关于x 的方程()()(0)f x T f x T -=>有且只有三个不同的实根，则实数T 的取值范围是__________． 【答案】(1,)+∞ (2,4)【解析】（1）化简函数式，作出函数()f x 的图象，由图象观察可得． （2）把()f x 图象向右平移，只要与原图象有三个交点即可． 【详解】（1）函数式化简后为：1,(0,2]()3,(2,4]5,(4,)x x f x x x x x ⎧-∈⎪=-∈⎨⎪-∈+∞⎩，作出函数图象，如图，()f x 在(0,1]，[2,3]，[4,5]上都是单调递减的，在[1,2],[3,4],[5,)+∞上都是增函数，(2)(4)(6)1f f f ===，因此当1a >时，函数()f x 的图象与直线y a =有且只有一个交点，∴()f x a =有且只有1根；（2）如图，把()f x 的图象向右平移，只有当a 段与d 段有一个交点，b 与e ，c 与f 各有一个交点，才能满足题意，这样有24T <<，故答案为：（1）(1,)+∞；（2）(2,4)． 【点睛】本题考查方程根与函数零点的关系，把方程的根转化为函数图象交点问题是常用方法．解题方法是数形结合思想，通过图象变换观察得出结论，对选择题填空题可起到意想不到的效果，对解答题也能提供解题思路．四、解答题18．已知集合{}22|(22)20A x x a x a a =--+-≤，{}2|540B x x x =-+≤． （1）若AB =∅，求a 的取值范围；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求a 的取值范围． 【答案】（1）(,1)(6,)-∞+∞（2）[]3,4【解析】分别化简集合,A B ，（1）根据两集合交集为空集得出a 的不等关系，解之即可；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则A 是B 的子集，由子集的概念可得． 【详解】{}22|(22)20{|2}A x x a x a a x a x a =--+-≤=-≤≤ {}2|540{|14}B x x x x x =-+≤=≤≤（1）因为AB =∅，所以24a ->或1a <，即6a >或1a <．所以a 的取值范围是(,1)(6,)-∞+∞；（2）因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，所以A B Ü，则214a a -≥⎧⎨≤⎩，解得34a ≤≤．所以a 的取值范围是[]3,4． 【点睛】本题考查集合的交集运算，考查集合的包含关系，属于基础题型．19．如图，在四边形ABCD 中，23ADC ∠=π，AD =2sin 3BCD ∠=，连接BD ，34BD BC =．（1）求BDC ∠的值； （2）若1BD =，3AEB π∠=，求ABE ∆的面积最大值．【答案】（1）6BDC π∠=（2【解析】（1）在BCD ∆中，利用正弦定理求解，注意角的大小；（2）由（1）可得ABD ∆是直角三角形，从而可得AB ，然后在ABE ∆中用余弦定理表示出2AB ，利用基本不等式求得AE BE ⋅的最大值，从而可得面积的最大值． 【详解】（1）BCD ∆中，由正弦定理得sin sin BD BC BCD BDC=∠∠，所以sin 1sin 2BC BCD BDC BD ⋅∠∠==． 因为34BD BC =，所以BD BC >， 所以BDC ∠为锐角， 所以6BDC π∠=．（2）在ABD ∆中，AD =，1BD =，2362ADB πππ∠=-=，所以2AB ==．在ABE ∆中，由余弦定理得2222cos3AB AE BE AE BE π=+-⋅⋅，所以224AE BE AE BE =+-⋅≥2AE BE AE BE AE BE ⋅-⋅=⋅， 当且仅当AE BE =时等号成立， 所以4AE BE ⋅≤，所以11sin 4232ABE S AE BE π∆=⋅⋅≤⨯=即ABE ∆ 【点睛】本题考查解三角形的应用，考查正弦定理和余弦定理，属于基础题． 20．已知函数21()2ln (2)2f x x a x a x =+-+． （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间； （2）是否存在实数a ，使函数34()()9g x f x ax x =++在(0,)+∞上单调递增？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()f x 的单调递增区间为(]0,1和[)2,+∞，单调递减区间为()1,2（2）存在,724a ≥【解析】（1）求出导函数'()f x ，由'()0f x >确定增区间，由'()0f x <确定减区间；（2）求出导函数'()g x ，假设存在，则'()0g x ≥在(0,)+∞上恒成立，而不等式恒成立，又可用分离参数法转化为求函数的最值． 【详解】（1）当1a =时，21()2ln 3(0)2f x x x x x =+->． 所以2()3f x x x '=+-=232(2)(1)x x x x x x-+--=令()0f x '≥，则01x <≤或2x ≥，令()0f x '<，则12x <<， 所以()f x 的单调递增区间为(]0,1和[)2,+∞，单调递减区间为()1,2（2）存在724a ≥，满足题设， 因为函数34()()9g x f x ax x =++=23142ln 229x a x x x +-+所以224()23a g x x x x '=+-+ 要使函数()g x 在0,∞（+）上单调递增，224()20,(0,)3a g x x x x x '=+-≥+∈+∞ 即3243660x x x a +-+≥，(0,)x ∈+∞⇔324366x x xa +-≥-，(0,)x ∈+∞令32436()6x x xh x +-=，(0,)x ∈+∞，则2()21(21)(1)h x x x x x '=+-=-+，所以当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 当1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以12x =是()h x 的极小值点，也是最小值点，且17224h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴324366x x x+--在(0,)+∞上的最大值为724．所以存在724a ≥，满足题设． 【点睛】本题考查研究函数的单调性，研究函数的最值．一般情况下，我们用'()0f x >确定增区间，用'()0f x <确定减区间，另外用导数研究不等式恒成立问题，都是转化为求函数的最值，为此分离参数法用得较多．21．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足22S 2n n n a a =+-，且()*0n a n >∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()*5(41)n n n n b n na -=∈N ，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：152n T ≥． 【答案】（1）1n a n =+（2）证明见解析【解析】（1）在22S 2n n n a a =+-中令1n =可求得1a ，然后求1(2)n n n a S S n -=-≥可得{}n a 的递推式，从而得数列{}n a 是等差数列，由此可得通项公式；（2）由（1）得15(41)55(1)1n n nn n b n n n n+-==-++，从而可用裂项相消法求得{}n b 的和n T ，利用10n n T T +->可得{}n T 是递增数列，因此题设不等式可证，1152n T T ≥=． 【详解】（1）当1n =时，211122S a a =+-，解得12a =或11a =-（舍） 又22S 2n n n a a =+-①当2a ≥时，211122n n n S a a ---=+-②①－②，得22112n n n n n a a a a a --=-+-，整理得()()1110n n n n a a a a --+--=，因为0n a >，所以10n n a a ->+，故11n n a a --=， 所以{}n a 是以2为首项，1为公差的等差数列． 故2(1)11n a n n =+-⋅=+．（2）15(41)55(1)1n n nn n b n n n n+-==-++， 所以12n n T b b b =+++=232115555555523211n n n n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为211155(43)5021(1)(2)n n n n n n T T n n n n +++++⋅-=-=>++++， 所以{}n T 是递增数列故21515522n T T =-=≥．【点睛】本题考查由数列前n 项n S 与项n a 的关系求通项公式，此问题一般由1n n n a S S -=-转化，注意这里2n ≥，即可能不含1a ．证明与数列有关的不等式可先证明数列的单调性，利用单调性性质证明更方便．22．已知函数322()69()f x x ax a x a =-+-∈R ． （1）当1a =时，求()f x 的极值；（2）当1a ≥时，若[0,2]x ∀∈，都有()8f x ≥-，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()=0f x 极大值，()4f x =-极小值（2）1a ≤≤【解析】（1）求出导函数'()f x ，由'()0f x >确定增区间，由'()0f x <确定减区间，从而可确定极值；（2）仿（1）确定()f x 的单调区间，然后按a 比2大和比2小分类，求得()f x 在[0,2]上的最小值，由这个最小值大于等于－8可得a 的范围． 【详解】（1）当1a =时，2()31293(1)(3)f x x x x x '=-+-=---所以当(,1)x ∈-∞，()0f x '<，()f x 为减函数，当(1,3)x ∈时，()0f x '>，()f x 为增函数， 当(3,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 为减函数， 所以()()=30f x f =极大值，()()14f x f ==-极小值．（2）22()31293()(3)(1)f x x ax a x a x a a '=-+-=---≥，所以()f x 在()0,a 和()3,a +∞单调递减，在(),3a a 单调递增．（i ）当2a ≥时，()f x 在[0,2]单调递减，2min ()(2)82418f x f a a ==-+-，由题得2824188a a -+≥--，解得403a ≤≤，又3a ≥，所以a 值不存在． （ii ）当12a ≤<时，23a a <<，此时，()f x 在()0,a 单调递减，在[],2a 上递增，所以3333min ()()694f x f a a a a a ==-+-=-，由题意得348a -≥-解得a ≤1a ≤≤，综上a 的取值范围为1a ≤≤【点睛】本题考查研究函数的单调性，研究函数的最值．一般情况下，我们用'()0f x >确定增区间，用'()0f x <确定减区间，另外用导数研究不等式恒成立问题，都是转化为求函数的最值，为此分离参数法用的较多，不能分离参数时，同样转化为求函数的最值，由最值得不等关系，从而求得参数范围．23．某辆汽车以x 千米/小时的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求60120x ≤≤）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为136005x k x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭升，其中k 为常数，且48100k ≤≤．（1）若汽车以120千米/小时的速度行驶时，每小时的油耗为10升，欲使每小时的油耗不超过7.2升，求x 的取值范围；（2）求该汽车行驶100千米的油耗的最小值．【答案】（1）60100x ≤≤（2）当60100k ≤≤时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为220720k -元，当4860k ≤<时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为256k -． 【解析】（1）120x =时，油耗为10升，求得k ，再解不等式136007.25x k x ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭；（2）列出行驶100千米的油耗2100136002072000205k y x k x x x x ⎛⎫=⋅-+=-+ ⎪⎝⎭，(60120)x ≤≤，设1t x=可转化为关于t 的二次函数，结合二次函数的性质可得最小值．【详解】（1）由题意，当120x =时，13600105x k x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以100=k ． 由136001007.25x x ⎛⎫-+⎪⎝⎭…， 得213636000x x -+≤，所以36100x ≤≤． 又因为60120x ≤≤，所以60100x ≤≤． （2）设该汽车行驶100千米的油耗为y 升， 则210013600207200020(60120)5k y x k x x x x x ⎛⎫=⋅-+=-+≤≤ ⎪⎝⎭， 令1t x =，则11,12060t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以22272000202072000207200720k k y t kt t ⎛⎫=-+=-+-⎪⎝⎭， 对称轴7200kt =，48100k ≤≤， 所以11,720015072k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． ①若17200120k ≥，即60100x ≤≤， 则当7200k t =，即7200x k =时，2min 20720k y =-；②若17200120k <，即4860k ≤<， 则当1120t =，即120x =时，min 256ky =-．答：当60100k ≤≤时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为220720k -元，当4860k ≤<时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为256k-．【点睛】本题考查函数的应用题．解题关键是列出函数解析式，再根据函数的性质求解．1．求解已知函数模型解决实际问题的关注点．(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．2．利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．。
山东省德州市2020届 高三 数学 上学期期末考试 理(教师版)
【精品解析】山东省泰安市高三数学上学期期中考试【试题总体说明】本套试题立足考纲，紧贴教材；主要考查函数的概念，函数的导数与函数单调性的关系，函数的极值与函数的最大值,函数的应用，三角函数，复数的有关概念，立体几何，数列，向量等有关知识。
试题覆盖面广，知识跨度大，题型新颖，难度不大，可较好地考查学生对已经复习过的内容掌握情况，是难得的一套好题。
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第 1—2 页，第Ⅱ卷第 3—4页，全卷满分 150 分，（120 分钟） 。
第Ⅰ卷（共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，请考生将自己的姓名、准考证号、考试科目用 2B 铅笔填涂在答题卡上；2．选择题为四选一题目，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题号的大难标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案，不能答在试卷上 .一、选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知全集{}4,3,2,1=U ，集合{}4,3,1=A ，{}3,2=B ,则图中阴影部分表示的集合为（）A. {}2B. {}3C. {}4,1 D. {}4,3,2,1 答案：B解析：由图可知，图中阴影部分表示的集合A 与集合B 交集，故选B.2. 已知复数i 211-=Z ，则复数1-1112Z Z Z +=的虚部是（） A. I B. –i C. 1 D. -1答案：C解析：1211121221-11212Z i i Z i Z i i+-+-====+---，故C 正确. 3. ”“2a =是直线02=+y ax 与直线1=+y x 平行的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件答案：C解析：由直线02=+y ax 与直线1=+y x 平行的充要条件可得，20a -=，∴a=2.4. 已知向量()()4,,2,1x b a ==，若向量b a ⊥，则=x （）A. 2B. -2C. 8D. -8答案：D解析：∵向量b a ⊥,∴80x +=，8x =-.5. 函数)(1)4cos()4sin(2)(R x x x x f ∈-+-=ππ是（） A. 最小正周期为π2的奇函数 B. 最小正周期为π的奇函数C. 最小正周期为π2的偶函数D. 最小正周期为π的偶函数答案：B解析：()2sin()cos()12cos[()]cos()144244f x x x x x πππππ=-+-=--+- =22cos ()1cos(2)sin 242x x x ππ+-=+=，∴()f x 是最小正周期为π的奇函数. 6. 设数列{}n a 是等差数列，且15432=++a a a ，则这个数列的前5项和5S =（）A. 10B. 15C. 20D. 25答案：D解析：由15432=++a a a 可得，35a =.153555252a a S a +=⨯==. 7. 若抛物线px y 22=的焦点与双曲线1322=-y x 的右焦点重合，则p 的值为（） A. -4 B. 4 C. -2 D. 2答案：B解析：由1322=-y x 知右焦点为(2,0)，所以22p =，4p =. 8. 已知实数y x ,满足的约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥622y x y x 则y x z 42+=的最大值为（）A. 20B. 24C. 16D. 12答案：A解析：画出约束条件下的可行域，平移直线124z y x =-+，当直线过点(4,2)时，y x z 42+=的最大值为20.9. 在某跳水运动员的一项跳水实验中，先后要完成6个动作，其中动作P 只能出现在第一步或最后一步，动作Q 和R 实施时必须相邻，则动作顺序的编排方法共有（）A. 24种B. 48种C. 96种D. 144种答案：C解析：2424296A A =.10. 已知函数)(x f 是定义在),-(+∞∞上的奇函数，若对于任意的实数0≥x ，都有)()2(x f x f =+，且当[)2,0∈x 时，)1(log )(2+=x x f ，则)2012()2011(f f +-的值为（ ）A. -1B. -2C. 2D. 111.已知圆O 的方程为422=+y x ，P 是圆O 上的一个动点，若线段OP 的垂直平分线总是被平面区域a y x ≥+覆盖，则实数a 的取值范围是（）A. 20≤≤aB. 2≤aC. 10≤≤aD. 1≤a答案：D解析：224x y +=, 是圆心为原点,半径为2的圆, ∴OP 垂直平分线到原点的距离为1∴OP 垂直平分线就是由221x y +=的切线组成, ∴OP 垂直平分线所组成的图形就是圆221x y +=的圆外和圆上部分, a y x ≥+就是以(0,±a),(±a,0)为四个顶点的正方形和其外部要使x²+y²=1圆外和圆上部分被 正方形和其外部部分覆盖取其反面,就是x²+y²=1的内部覆盖了x y a +=内部结合图形,只要正方形四个顶点满足要求即可∴||01a ±+≤,0||1a +±≤ ,解得1≤a .12. 函数)(x f 的图像如图，)('x f 是)(x f 的导函数，则下列数值排列正确的是（ ）A. )2()3()3()2(0''f f f f -<<<B. )2()2()3()3(0''f f f f <-<<C. )2()3()2()3(0''f f f f -<<<D. )3()2()2()3(0''f f f f <<-<答案：B解析：由图像可知，函数)(x f 随着x 增加函数值增加的越来越慢,而(3)(2)f f -可看作过点(2,(2))f 与点(3,(3))f 的割线的斜率，结合导数的几何意义可知)2()2()3()3(0''f f f f <-<<.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共四小题，每小题4分，共16分，把答案填写在答题纸相应位置。
山东省德州市2020届高三上学期期中考试试题 数学 含答案
山东省德州市2020届高三上学期期中考试试题数学第I 卷(共52分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
把正确答案涂在答题卡上。
1.设集合A ＝{x|y ＝1x -}，B ＝{x|(x ＋1)(x －3)<0}，则(R A)∩B ＝A.[1，3)B.(1，3)C.(－1，0]∪[1，3)D.(－1，0]∪(1，3)2.命题“∃x>0。
lnr<0”的否定为 A.∃x>0，lnx ≥0 B.∀x ≤0，lnx ≥0 C.∀x>0，lnx>0 D.∀x>0，lnx ≥03.若1log 13a<，则a 的取值范围是 A.(0，13) B.(13，1) C.(0，13)∪(1，＋∞) D.(0，13)∪(13，＋∞) 4.三角函数是刻画客观世界周期性变化规律的数学模型，单位圆定义法是任意角的三角函数常用的定义方法。
是以角度(数学上最常用弧度制)为自变量，任意角的终边与单位圆交点坐标为因变量的函数。
平面直角坐标系中的单位圆指的是平面直角坐标系上，以原点为圆心，半径为单位长度的圆。
已知用α的终边与单位圆的交点为P(35，45)，则cos(π＋α)＋sin(－α)＝ A.15- B.15 C.75- D.755.已知a ，b 为单位向量，设a 与b 的夹角为3π。
则a 与b －a 的夹角为 A.6π B.3π C.23π D.56π 6.已知某函数图象如图所示，则该图象所对应的函数可能是A.22x x y = B.22x y =- C.x y x e =- D.22x y x =-7.函数()2sin()(0)3f x x πωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，要得到函数()2sin()2g x x πω=-的图象，只需将函数f(x)的图象 A.向右平移512π个单位长度 B.向右平移56π个单位长度 C.向左平移56π个单位长度 D.向左平移512π个单位长度 8.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63。
山东省德州一中2019-2020年度高三上学期入学考试数学试题
高三数学测试题一、选择题(本大题13小题,每小题4分,共52分,其中1-10题是单选题,11-13题是多选题) 1．给出下列命題・①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角它们与扇形的半径的大小无关；④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cosθ<0，则θ是第二或第三象限的角.其中正确命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D.42．若sinθ，cosθ是方程4x2+2mx+m=0的两根，则m的值为（）A. 1+B.1-C. 1±D. -1-3．已知等差数列{a n}中,前n项和为S n。
若a1=2，a8+a10=28，则S9=（）A．36 B. 72 C．144 D．2884．若向量=(1,2)，=(1,m)且-与的夹角为钝角,则实数m的取值范国是（）A.(0.2)B.(-∞,2)C.(-2,2)D(-∞,0)U(2,+∞)5．函数f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0.5,|φ|<)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递区间为（）A. [-1+4kπ,1+4kπ](k∈Z)B.[-3+8kπ,1+8kπ] (k∈Z)C.[-1+4k,1+4k] (k∈Z)D. [-3+8k,1+8k] (k∈Z)6．在斜三角形ABC中，sinA=-cosBcosC，且tanB·tanC=1-，则角A的值为（）A. B. C. D.7．设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如图所示，则导函数f’(x)的图象可能是()8．已知等比数列{a n}的各项均为正数且公比大于1，前n项积为T n，且a2a4=a3，则使得T7>1的n的最小值为()A.4B.5C.6D.79．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，C，若cosC=，bcosA+acosB=2，则△ABC的外接圆面积为()A．4πB. 8πC. 9πD.36π10．已知点P在曲线上，a为曲线在点P处的切线的傾斜角，则a的取值范围是() A. [，π） B. [，） C. (，] D. [，）以下是多选题：11．已知数列{a n}是等差数列，前n项和为S n，满足a1+5a3=S8，给出下列结论，其中一定正确的是( )A. a10=0B. S10最小C. S7=S12D.S20=012．已知，是两个单位向量，λ∈R时，|+λ|的最小值为，则下列结论正确的是() A．，的夹角是B．，的夹角是或C．+|=1或D．+1或13．若函数f(x)=ae x-x-2a有两个零点，则实数a的可能取值有()A．-2 B．0 C．2 D．4二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)14．△ABC中，AC=4，BC=3，∠ACB=60°，E为边AC的中点，=+，则·的值为.15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(a+2c)cosB+bcosA=0,则B=，若b=3，△ABC的周长为3+，则△ABC的面积是.16．如图，在山底A点处测得山顶仰角∠CAB=45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1000米至S 点，又测得山顶仰角∠DSB=75°，则山高BC为米.17．若定义在R上的函数f(x)满足f’(x)-2f(x)>0，f(0)=1，则不等式f(x)>e2x的解集为.三、解答题(本大题共6小题，第18、19题13分，其除各题14分，共82分)18．已知函数f(x)=sin2x+cos2x+a(a为常数)，(1)求f(x)的单调増区间；(2)若f(x)在[0，]上有最小值1，求a的值.19．设数列{a n}的前n和S n=2n+1-2，数列{b n}满足b n=，(1)求数列{a n}的通项公式：(2)求数列{b n}的前n项和T n.20．已知=4，=3，(2-3)·(2+)=61，(1)求与的夹角θ；(2)求+；(3)若=，=，求△ABC的面积.21．已知函数f(x)=xe x-a(x2+x) (a∈R),(1)若a=0，求曲线y=f(x)在点(1，e)处的切线方程(2)当a>0时，求函数f(x)的单调区同22．设f(x)= sinxcosx-cos2(x+)，(1)求函数f(x)的单调区间；(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f)=0，a=1，求△ABC面积的最大值.23．已知函数f(x)=x2+ax+1，g(x)=ex(其中e为自然对数的底数).(1)若a=1，求函数y=f(x)·g(x)在区间[-2,0]上的最大值；2)若a=-1，关于x的方程f(x)=kg(x)有且仅有一个根，求实数k的取值范围；(3)若对任意的x1,x2∈[0,2]，x1≠x2，,不等式|f(x1)ーf(x2)<|g(x1)-g(x2)|均成立，求实数a的取值范围.。
2020届山东省德州市夏津第一中学高三上学期12月月考数学试题(解析版)
2020届山东省德州市夏津第一中学高三上学期12月月考数学试题一、单选题。
1．已知集合{}260A x x x =--<，集合{B y y ==，则()R A B =I ð（ ）．A ．()1,3B ．(]1,3C ．[)3,+∞ D ．()3,+∞【答案】C【解析】求出A 中不等式的解集确定出A ，及B 中x 的范围确定出B ，确定出集合A 的补集再求出()R A B I ð即可. 【详解】因为集合{}{}26023A x x x x x =--<=-<<， 则(][),23,R A =-∞-⋃+∞ð，又{{}0B y y y y ===≥，所以()[)3,R A B =+∞I ð. 故选：C . 【点睛】此题考查了交集、补集及其运算,熟练掌握交集、补集的定义是解本题的关键，是基础题. 2．若复数()2i1ia a -∈+R 为纯虚数，则1i a +（ ）．A ．B ．2C ．5D 【答案】D【解析】把给出的复数化简,然后由实部等于0，虚部不等于0求解a 的值，最后代入模的公式求模. 【详解】 由2(2)(1)(2)(2)1(1)(1)2a i a i i a a ii i i ----+--==++-， 因为复数2()1a ia R i-∈+为纯虚数，202202a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪≠⎪⎩，解得2a =,所以1i 12a i +=+== 故选:D . 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数是纯虚数的充要条件，考查了复数模的求法,是基础题.3．下列不等式正确的是（ ） A ．30.23log 0.20.23<< B ．0.233log 0.230.2<<C ．30.230.2log 0.23<<D ．0.2333log 0.20.2<<【答案】A【解析】根据指数函数、对数函数的图像与性质,结合中间值法即可比较大小. 【详解】对于3log 0.2,由对数函数的图像与性质可知33log 0.2log 10<= 对于30.2,由指数函数的图像与性质可知300.21<< 对于0.23,由指数函数的图像与性质可知0.20331>= 综上可知, 30.23log 0.20.23<<故选:A 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的图像与性质的应用,函数值的大小比较,属于基础题. 4．已知函数()f x 是定义在[)(]4,00,4-⋃上的奇函数，当(]0,4x ∈时，()f x 的图象如图所示，那么满足不等式()31xf x ≥-的x 的取值范围是（ ）．A ．[][]1,22,1--UB ．[][]4,20,1--UC ．[][]4,22,4--UD ．[)[]1,02,4-U【答案】B【解析】利用奇函数画出函数图像，同时画出31xy =-的图像，结合图像即可得出. 【详解】()f x 为[)(]4,00,4-⋃上的奇函数，所以如图，画出()f x 在[4,0)-的图象，得点8(2,)9--、点(1.2)在()f x 上，画出31xy =-的图象，得到其渐近线为1y =-，且在第一象限与()f x 的图象交点为(1,2)，要解不等式()31x f x -…，则结合图象，需()f x 的图象在31xy =-图象的上方，从而解得:[4,2][0,1]x ∈--⋃.故选：B . 【点睛】本题主要考查的是函数奇偶性，单调性的应用，以及指数函数的性质应用，数型结合的应用，是中档题. 5．已知π1cos 33α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则7πsin 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）． A ．13 B ．13-C ．79D ．79-【答案】D【解析】利用诱导公式和二倍角公式计算可得. 【详解】11cos sin sin 332363ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==--=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，7sin 2sin 2sin 2666πππαπαα⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦cos 226ππα⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos 23πα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭cos 26πα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭22sin 16πα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭79=-. 故选：D . 【点睛】本题主要考查的是诱导公式，二倍角公式的应用，考查学生的计算能力，是基础题. 6．数列{}n a ，{}n b 满足111a b ==，112n n n nb a a b ++-==，n *∈N ，则数列{}na b 的前n 项和为（ ）． A ．()14413n -- B ．()4413n- C ．()11413n -- D ．()1413n- 【答案】D【解析】由题意是数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 的等比数列，分别求出它们的通项，再利用等比数列前n 项和公式即可求得.【详解】 因为112n n n nb a a b ++-==，111a b ==，所以数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 的等比数列，因此()12121n a n n =+-=-，11122n n n b --=⨯=，数列{}n a b 的前n 项和为：1213521n a a a n b b b b b b b -+++=++++L L02422222n =++++L ()14141143n n -==--. 故选：D . 【点睛】本题主要考查的是数列的基本知识，等差数列、等比数列的通项公式以及等比数列的求和公式的应用，是中档题.7．第七届世界军人运动会于2019年10月18日在武汉举行，现有A ，B ，C ，D ，E 5名志愿者分配到甲，乙，丙三个体育馆参加志愿者活动，每个体育馆至少安排一人且A 和B 是同学需分配到同一体育馆，则甲体育馆恰好安排了1人的概率是（ ）． A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】A【解析】根据题意,首先A 和B 看成一个整体再根据每个体育馆至少安排一人，计算所有的基本事件，再计算甲体育馆恰好安排了1人含的基本事件个数，由等可能事件的概率公式,计算可得答案. 【详解】因为A 和B 是同学需分配到同一体育馆，所以把,A B 看成一个元素， 又每个体育馆至少安排一人， 所有的基本事件有234343321362C A ⨯=⨯⨯⨯=， 甲体育馆恰好安排了1人的基本事件有12233232321182C C A ⨯=⨯⨯⨯=, 甲体育馆恰好安排了1人的概率为181362=. 故选：A . 【点睛】本题主要考查的是古典概型及其概率公式，考查带有限制条件的元素的排列组合问题，考查利用排列组合知识解决实际问题的能力，是中档题.8．设抛物线22y x = 的焦点为F ，过点(30)M ， 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，2BF = ，则BCF V 与ACF V 的面积之比BCFACFS S V V 等于（ ） A ．45B ．23C ．47D ．12【答案】A【解析】如图过B 作准线12l x =-：的垂线，垂足分别为11A B ，，BCF ACF BC S S AC =V V Q，又11,B BC A AC Q V V ∽ 11BC BB AC AA =Q ，， 由拋物线定义112BB BF AA AFAF ==． 由12BF BB == 知332B B x y ，==-30332AB y x ∴-=-：（）．把22y x =代入上式，求得22A A y x ==，，15 2AF AA ∴==． 故24552BCF ACFBF S S AF ===V V ．故选A ．二、多选题9．定义新运算⊕，当a b ≥时，a b a ⊕=；当a b <时，2a b b ⊕=，则函数()()()12f x x x x =⊕-⊕，[]2,2x ∈-的值可以等于（ ）．A ．6-B ．1C ．6D ．4-【答案】BCD【解析】先根据题意算出函数()f x 的表达式，再算出函数()f x 的值域，即可得答案. 【详解】由题意知()()()32,21122,12x x f x x x x x x --≤≤⎧=⊕-⊕=⎨-<≤⎩， 易知函数()f x 在[]2,2x ∈-上单调递增， 所以()[]4,6f x ∈-，所以函数()()()12f x x x x =⊕-⊕，[]2,2x ∈-的值可以等于为4,1,6-. 故选：BCD . 【点睛】本题主要考查的是函数的单调性和函数的值域的应用，考查学生的分析问题解决问题的能力，是中档题.10．已知两条直线l ，m 及三个平面α，β，γ，则αβ⊥的充分条件是（ ）． A ．l α⊂，l β⊥ B ．l α⊥，m β⊥，l m ⊥ C ．αγ⊥，βγP D ．l α⊂，m β⊂，l m ⊥【答案】ABC【解析】根据面面垂直的判定定理，即可得作出判断. 【详解】由面面垂直定理可以判断,,A B C 正确，对于选项D ，l α⊂，m β⊂，l m ⊥，也可以得到αβ∥，故D 错. 故选：ABC . 【点睛】本题主要考查的是面面垂直的判定定理、充分条件的判断，考查学生的分析问题解决问题的能力，是基础题.11．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，0πϕ<<的部分图象，则下列结论正确的是（ ）．A ．函数()f x 的图象关于直线π2x =对称 B ．函数()f x 的图象关于点π,012⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C ．函数()f x 在区间ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调增 D ．函数1y =与()π23π1212y f x x ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的图象的所有交点的横坐标之和为8π3【答案】BCD【解析】根据图像求出函数()f x 的解析式，再求出它的对称轴和对称中心，以及单调区间，即可判断. 【详解】由函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，0πϕ<<）的图像可得：2A =，2543124T πππ=-=，因此T π=, 22πωπ∴==,所以()()2sin 2f x x ϕ=+，过点2,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭， 因此432,32k k Z ππϕπ+=+∈，又0πϕ<<， 所以6π=ϕ，()2sin 26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，当2x π=时，12f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故A 错；当12x π=-时，012f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故B 正确；当ππ,36x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，ππ2,226x π⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在ππ,36x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故C 正确；当π23π1212x -≤≤时，[]20,46x ππ+∈，所以1y =与函数()y f x =有4的交点的横坐标为1234,,,x x x x ，12347822663x x x x πππ+++=⨯+⨯=，故D 正确.故选：BCD . 【点睛】本题主要考查的是三角函数图像的应用，正弦函数的性质的应用，考查学生分析问题解决问题的能力，是中档题.12．已知函数()2log f x x =-，下列四个命题正确的是（ ）． A ．函数()fx 为偶函数B ．若()()f a f b =，其中0a >，0b >，a b ¹，则1ab =C ．函数()22f x x -+在()1,3上为单调递增函数D ．若01a <<，则()()11f a f a +<- 【答案】ABD【解析】根据函数的奇偶性定义，函数性质、对数函数的性质，以及作差法，可以判断. 【详解】函数()2log f x x =- 对于A ，()2logfx x =-，()()22log log f x x x f x -=--=-=，所以函数()f x 为偶函数，故A 正确；对于B ，若()()f a f b =，其中0a >，0b >，a b ¹，所以()()()f a f b f b ==-，22log log a b -=，即222log log log 0a b ab +==，得到1ab =，故B 正确；对于C ，函数()()2222log 2f x x x x -+=-+，由220x x -+>，解得02x <<，所以函数()22f x x -+的定义域为()0,2，因此在()1,3上不具有单调性，故C 错误；对于D ，因为01a <<，21110,011a a a ∴+>>-><-<，()()101f a f a ∴+>>-故()()()()2211log 1log 1f a f a a a +--=-+---()()()2222log 1log 1log 10a a a =++-=-<，故D 正确.故选：ABD . 【点睛】本题主要考查的是函数的性质以及对数函数性质的应用，作差法的应用，考查学生的分析问题的能力，和计算能力，是中档题.三、填空题13．已知向量()()3,2,,1a b m =-=r r．若向量()2//a b b -r r r ，则m =_____．【答案】32-【解析】由向量的差的坐标运算可得：2(32,4)a b m -=--r r， 由两向量平行的坐标运算得：432m m -=-，运算即可得解. 【详解】解：Q 向量(3,2)a =-r，(,1)b m =r ，∴2(32,4)a b m -=--r r， (2)//a b b -r r rQ ，432m m ∴-=-， 32m ∴=-．故答案为：32-． 【点睛】本题考查了两向量平行的坐标运算，属基础题.14．某海域中有一个小岛B （如图所示），其周围3.8海里内布满暗礁（3.8海里及以外无暗礁），一大型渔船从该海域的A 处出发由西向东直线航行，在A 处望见小岛B 位于北偏东75°，渔船继续航行8海里到达C 处，此时望见小岛B 位于北偏东60°，若渔船不改变航向继续前进，试问渔船有没有触礁的危险？答：______.（填写“有”、“无”、“无法判断”三者之一）【答案】无【解析】可过B 作AC 的延长线的垂线，垂足为D ，结合角度关系可判断ABC △为等腰三角形，再通过BCD V 的边角关系即可求解BD ，判断BD 与3.8的大小关系即可 【详解】如图，过B 作AC 的延长线的垂线，垂足为D ，在ABC △中，9060=150ACB ∠=︒+︒︒，907515BAC ∠=︒-︒=︒，则1801501515ABC ∠=︒-︒-︒=︒，所以ABC △为等腰三角形。
山东省德州市第一中学2023-2024学年高三上学期开学测试数学试题
π 4
,
0
对称；②
f
x
在
π 6
,
π 4
上的值域
为 1,
3
；③
f
x
的图像关于直线
x
7π 6
对称；④
f
x
在区间
π 6
,
π 2
上单调递减.
其中正确的结论有
.
四、解答题
17．已知
是第四象限角，
f
sin
π 2
cos
3π 2
tan π
tan π sin π
.
(1)化简 f ；
(2)若
试卷第 2页，共 4页
A． 15 3 5
B． n1 n2 ，都有 n1 n2
C．方程 n n 1 n N* 有无数个根 D． 7k 6 7k 1 k N*
三、填空题
13．已知幂函数 y m2 3 xm2m3在 0, 单调递减，则实数 m
.
14．已知
sin
(3)设
是锐角，且
f
2
2
，求
的值．
21．某厂家生产医用防护用品需投入年固定成本为 100 万元，每生产 x 万件，需另投入
成本为 C x ．当年产量不足 60 万件时， C x 1 x2 380x （万元）；当年产量不小于
2
60 万件时， C x 410x 81000 3000 （万元）．通过市场分析，若每件售价为 400 元
1
A． y x3 C． y x cos x
B． y x sin x
D． y log2 x2 1 x
10．下列说法正确的是（ ）
A．第二象限角比第一象限角大
2020届山东省德州市高三上学期期末数学试题(解析版)
2020届山东省德州市高三上学期期末数学试题一、单选题1．已知全集U =R ，{}2|9A x x =<，{}|24B x x =-<<，则()R A B I ð等于（ ）A ．{}|32x x -<<-B ．{}|34x x <<C ．{}|23x x -<<D ．{}|32x x -<≤-【答案】D【解析】解出集合A ，然后利用补集和交集的定义可求出集合()R A B I ð. 【详解】{}{}2933A x x x x =<=-<<Q ，{}24B x x =-<<，则{2U B x x =≤-ð或}4x ≥，因此，(){}32R A B x x ⋂=-<≤-ð. 故选：D. 【点睛】本题考查交集与补集的混合运算，同时也考查了二次不等式的解法，考查计算能力，属于基础题.2．已知复数z 满足1z =-（其中i 为虚数单位），则zz=（ ）A ．12-+ B ．12-- C ．12+ D ．12 【答案】B【解析】求出z ，结合共轭复数的概念可求出zz的值. 【详解】1z =-+Q ，2z ∴==，因此，12z z ==-. 故选：B. 【点睛】本题考查复数模的计算，同时也考查了共轭复数，考查计算能力，属于基础题.3．“[]1,2x ∀∈，210ax +≤”为真命题的充分必要条件是（ ） A ．1a ≤- B ．14a -≤ C ．2a ≤- D ．0a ≤【答案】A【解析】利用参变量分离法得出21a x ≤-，求出函数21y x=-在区间[]1,2上的最小值，即可得出实数a 的取值范围，即可得出答案. 【详解】Q “[]1,2x ∀∈，210ax +≤”为真命题，21a x ∴≤-对任意的[]1,2x ∈恒成立， 由于函数21y x=-在区间[]1,2上单调递增，则min 1y =-，1a ∴≤-. 故选：A. 【点睛】本题考查利用全称命题的真假求参数的取值范围，灵活利用参变量分离法求解是解题的关键，考查运算求解能力，属于中等题.4．已知向量a r ，b r 满足1a =r ，2b =r ，()()313a b a b -⋅+=-r r r r ，则a r 与b r的夹角为（ ） A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 【答案】C【解析】设a r 与b r的夹角为θ，将等式()()313a b a b -⋅+=-r r r r 展开后可求出cos θ的值，即可求出a r 与b r的夹角. 【详解】()()2232313a b a b a a b b -⋅+=+⋅-=-r r r r r r r r Q ，即21113a b ⋅-=-r r ，得1a b ⋅=-r r，则1cos 2a b a b θ⋅==-⋅r r r r ，0θπ≤≤Q ，23πθ∴=. 故选：C. 【点睛】本题考查利用平面向量的数量积计算平面向量的夹角，解题时要熟悉平面向量数量积的定义和运算律，考查计算能力，属于中等题. 5．已知1232ab -=⋅，()212log 23c b x x -=++，则实数a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．a c b >>【答案】A【解析】由1232a b -=⋅结合指数运算律可得出a b >，由对数函数的单调性可得出c b <，由此可得出三个实数的大小关系. 【详解】1232a b -=⋅Q ，1232a b -+∴=>，11a b ∴-+>，则a b >.()2223122x x x ++=++≥Q ，()21122log 23log 21c b x x ∴-=++≤=-，b c ∴>.因此，a b c >>. 故选：A. 【点睛】本题考查数的大小比较，涉及了指数的运算以及对数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.6．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛、马和羊，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，则让三位同学选取的礼物都满意的概率是（ ） A ．166B ．155C ．566D ．511【答案】C【解析】对甲分甲选牛或羊作礼物、甲选马作礼物，利用分步计数原理和分类计数原理计算出事件“三位同学都选取了满意的礼物”所包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】若甲选牛或羊作礼物，则乙有3种选择，丙同学有10种选择，此时共有231060⨯⨯=种；若甲选马作礼物，则乙有4种选择，丙同学有10种选择，此时共有141040⨯⨯=种.因此，让三位同学选取的礼物都满意的概率为31260401005132066A +==. 故选：C. 【点睛】本题考查古典概型概率的计算，同时也涉及了分类计数和分步计数原理的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.7．双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为()122,0F ，点A 的坐标为()0,1，点P 为双曲线左支上的动点，且1APF ∆周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．3C ．2D ．22【答案】D【解析】作出图形，取该双曲线的左焦点F ，利用双曲线的定义得出12PF PF a =+，从而可得出1APF ∆的周长为1112AP AF PF AF AP PF a ++=+++，利用A 、P 、F 三点共线时，1APF ∆的周长取得最小值，可求出a 的值，进而求出该双曲线的离心率. 【详解】 如下图所示：设该双曲线的左焦点为点F ，由双曲线的定义可得12PF PF a =+， 所以，1APF ∆的周长为11123262AP AF PF AF AP PF a AF a a ++=+++≥++=+，当且仅当A 、P 、F 三点共线时，1APF ∆的周长取得最小值，即628a +=，解得1a =. 因此，该双曲线的离心率为222e a==故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，同时也涉及了与焦点相关的三角形周长最值的计算，利用双曲线的定义转化是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 8．对于数列{}n a ，规定{}n a ∆为数列{}n a 的一阶差分数列，其中()*1n n n a a a n +∆=-∈N ，对自然数()2k k ≥，规定{}kn a ∆为数列{}n a 的k 阶差分数列，其中111k k k n n n a a a --+∆=∆-∆.若11a =，且()2*12n n n n a a a n +∆-∆+=-∈N ，则数列{}n a 的通项公式为（ ）A ．212n n a n -=⨯B ．12n n a n -=⨯C ．()212n n a n -=+⨯D ．()1212n n a n -=-⨯【答案】B【解析】根据题中定义结合等式()2*12nn n n a a a n +∆-∆+=-∈N 可得出122n n n a a +=+，等式两边同时除以12n +，可得出111222n n n n a a ++=+，可知数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，以12为公差的等差数列，求出数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，即可得出n a . 【详解】根据题中定义可得()()2*1112n nn n n n n n a a a a a a n a +++∆-∆+=∆-∆-∆+=-∈N ，即()1122nn n n n n n n a a a a a a a ++-∆=--=-=-，即122nn n a a +=+，等式两边同时除以12n +，得111222n n n n a a ++=+，111222n n n n a a ++∴-=且1122a =， 所以，数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，以12为公差的等差数列，()1112222n na n n ∴=+-=， 因此，12n n a n -=⋅.故选：B. 【点睛】本题考查利用构造法求数列的通项公式，涉及数列的新定义以及等差数列的定义，考查运算求解能力，属于中等题.9．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，有()()1f x f x +=-，且当[)0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，下列命题正确的是（ ） A ．()()201920200f f +-=B ．函数()f x 在定义域上是周期为2的函数C ．直线y x =与函数()f x 的图象有2个交点D ．函数()f x 的值域为[]1,1-【答案】A【解析】推导出当0x ≥时，()()2f x f x +=，结合题中等式得出()()100f f ==，可判断出A 选项的正误；利用特殊值法可判断B 选项的正误；作出函数()y f x =在区间()1,1-上的图象，利用数形结合思想可判断C 选项的正误；求出函数()y f x =在[)0,+∞上的值域，利用奇函数的性质可得出函数()y f x =的值域，可判断出D 选项的正误. 【详解】Q 函数()y f x =是R 上的奇函数，()00f ∴=，由题意可得()()100f f =-=，当0x ≥时，()()()21f x f x f x +=-+=，()()()()()()2019202020192020100f f f f f f ∴+-=-=-=，A 选项正确；当0x ≥时，()()1f x f x +=-，则2616log 555f f ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2449log 555f f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4462555ff f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-≠-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则函数()y f x =不是R 上周期为2的函数，B 选项错误； 若x 为奇数时，()()10f x f ==，若x 为偶数，则()()00f x f ==，即当x ∈Z 时，()0f x =，当0x ≥时，()()2f x f x +=，若n N ∈，且当()2,21x n n ∈+时，()20,1x n -∈，()()()20,1f x f x n =-∈，当()1,2x ∈时，则()10,1x -∈，()()()11,0f x f x ∴=--∈-，当()21,22x n n ∈++时，()21,2x n -∈，则()()()21,0f x f x n =-∈-， 所以，函数()y f x =在[)0,+∞上的值域为()1,1-，由奇函数的性质可知，函数()y f x =在(),0-∞上的值域为()1,1-， 由此可知，函数()y f x =在R 上的值域为()1,1-，D 选项错误；如下图所示：由图象可知，当11x -<<时，函数y x =与函数()y f x =的图象只有一个交点， 当1x ≤-或1x ≥时，()()1,1f x ∈-，此时，函数y x =与函数()y f x =没有交点， 则函数y x =与函数()y f x =有且只有一个交点，C 选项错误. 故选：A.二、多选题10．已知点A 是直线:20l x y +=上一定点，点P 、Q 是圆221x y +=上的动点，若PAQ ∠的最大值为90o ，则点A 的坐标可以是（ ） A ．(2 B ．()21C ．)2,0D ．()21,1-【答案】AC【解析】设点A 的坐标为()2t t ，可得知当AP 、AQ 均为圆221x y +=的切线时，PAQ ∠取得最大值90o ，可得出四边形APOQ 为正方形，可得出2OA =，进而可求出点A 的坐标. 【详解】 如下图所示：原点到直线l 的距离为222111d ==+，则直线l 与圆221x y +=相切，由图可知，当AP 、AQ 均为圆221x y +=的切线时，PAQ ∠取得最大值， 连接OP 、OQ ，由于PAQ ∠的最大值为90o ，且90APO AQO ∠=∠=o，1OP OQ ==，则四边形APOQ 为正方形，所以22OA ==由两点间的距离公式得()2222OA t t=+-=整理得22220t t -=，解得0t =2，因此，点A 的坐标为(2或)2,0.故选：AC. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的综合问题，考查利用角的最值来求点的坐标，解题时要找出直线与圆相切这一临界位置来进行分析，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 11．针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的45，女生喜欢抖音的人数占女生人数35，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关则调查人数中男生可能有（ ）人 附表：()20P K k ≥0.050 0.010 k3.8416.635附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ A ．25 B ．45 C ．60 D ．75【答案】BC【解析】设男生的人数为()5n n N*∈，列出22⨯列联表，计算出2K 的观测值，结合题中条件可得出关于n 的不等式，解出n 的取值范围，即可得出男生人数的可能值. 【详解】设男生的人数为()5n n N *∈，根据题意列出22⨯列联表如下表所示：则()221042310557321n n n n n n K n n n n ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，由于有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则23.841 6.632K ≤<， 即103.841 6.63221n≤<，得8.066113.9272n ≤<， n N *∈Q ，则n 的可能取值有9、10、11、12，因此，调查人数中男生人数的可能值为45或60. 故选：BC. 【点睛】本题考查利用独立性检验求出人数的可能取值，解题时要列举出22⨯列联表，并结合临界值表列不等式求解，考查计算能力，属于中等题.12．已知抛物线2:2C y px =()0p >的焦点为F 且经过点F ，直线l 与抛物线C 交于点A 、B 两点（点A 在第一象限），与抛物线的准线交于点D ，若8AF =，则以下结论正确的是（ ）A ．4p =B ．DF FA =u u u r u u u rC ．2BD BF = D ．4BF =【答案】ABC【解析】作出图形，利用抛物线的定义、相似三角形等知识来判断各选项命题的正误. 【详解】 如下图所示：分别过点A 、B 作抛物线C 的准线m 的垂线，垂足分别为点E 、M .抛物线C 的准线m 交x 轴于点P ，则PF p =，由于直线l 360o ，//AE x Q 轴，60EAF ∴∠=o ，由抛物线的定义可知，AE AF =，则AEF ∆为等边三角形，60EFP AEF ∴∠=∠=o ，则30PEF ∠=o ，228AF EF PF p ∴====，得4p =，A 选项正确；2AE EF PF ==Q ，又//PF AE ，F ∴为AD 的中点，则DF FA =u u u r u u u r，B 选项正确；60DAE ∴∠=o ，30ADE ∴∠=o ，22BD BM BF ∴==（抛物线定义），C 选项正确；2BD BF =Q ，118333BF DF AF ∴===，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】本题考查与抛物线相关的命题真假的判断，涉及抛物线的定义，考查数形结合思想的应用，属于中等题.三、填空题13．随机变量X 的取值为0、1、2，()00.2P X ==，0.4DX =，则EX =______. 【答案】1【解析】设()2P X x ==，可得出()10.8P X x ==-，可求出EX 的表达式，利用方差公式可求出x 的值，即可求出EX 的值. 【详解】设()2P X x ==，其中00.8x ≤≤，可得出()10.8P X x ==-，()00.210.820.8EX x x x ∴=⨯+⨯-+=+，()()()()2220.80.20.20.8 1.20.4DX x x x x x =+⨯+-⨯-+-⨯=，解得0.2x =，因此，0.20.81EX =+=. 故答案为：1. 【点睛】本题考查利用随机变量方差求数学期望，解题的关键就是列出方程求解，考查运算求解能力，属于中等题.14．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ0,0,||2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭两个零点之间的距离为2π，且()f x 的图象关于直线3x π=-对称，则当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最小值为______.【答案】【解析】根据题中信息求得()26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，然后由,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求出26x π+的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求出()y f x =的最小值.【详解】由题意可得()max A f x ==()y f x =的最小正周期为T ，则22T π=，得22Tπω∴==，此时，()()2f x x ϕ=+. 因为函数()y f x =的图象关于直线3x π=-对称，则()232k k Z ππϕπ⎛⎫⨯-+=+∈ ⎪⎝⎭，()76k k Z πϕπ∴=+∈，2πϕ<Q ，1k ∴=-，6π=ϕ，则()26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦Q ，2662x πππ∴-≤+≤，因此，函数()y f x =在区间,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦6π⎛⎫-= ⎪⎝⎭故答案为：. 【点睛】本题考查利用三角函数的基本性质求解析式，同时也考查了正弦型函数在区间上的最值，解题的关键就是求出三角函数的解析式，考查计算能力，属于中等题.15．6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为______；系数最大的项是______. 【答案】60 6240x【解析】求出二项展开式的通项，令指数为零，求出参数的值，代入可得出展开式中的常数项；求出项的系数，利用作商法可求出系数最大的项. 【详解】6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为()62612366122kk k kk k C x C x x ---⎛⎫⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭， 令1230k -=，得4k =，所以，展开式中的常数项为426260C ⋅=；令()662,6k kk a C k N k -=⋅∈≤，令11n n n n a a a a -+≥⎧⎨≥⎩，即61766615662222n n n n n n n n C C C C ----+-⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩，解得4733n ≤≤，n N ∈Q ，2n ∴=，因此，展开式中系数最大的项为246662240C x x ⋅⋅=.故答案为：60；6240x .本题考查二项展开式中常数项的求解，同时也考查了系数最大项的求解，涉及展开式通项的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.16．中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA ⊥平面ABCE ，四边形ABCD 为正方形，5AD =，3ED =，若鳖臑P ADE -的外接球的体积为92π，则阳马P ABCD -的外接球的表面积等于______.【答案】20π【解析】求出鳖臑P ADE -的外接球的半径1R ，可求出PA ，然后求出正方形ABCD的外接圆半径2r ，利用公式22222PA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭P ABCD -的外接球半径2R ，然后利用球体的表面积公式可得出答案.【详解】Q 四边形ABCD 是正方形，AD CD ∴⊥，即AD CE ⊥，且5AD =3ED =，所以，ADE ∆的外接圆半径为22122AE AD ED r +===设鳖臑P ADE -的外接球的半径1R ，则314923R ππ=，解得1322R =. PA ⊥Q 平面ADE ，22112PA R r ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭22111022PA R r =-=，10PA ∴=正方形ABCD 的外接圆直径为22210r AC AD ==210r ∴=PA ⊥Q 平面ABCD ，所以，阳马P ABCD -的外接球半径225PA R r ⎛⎫=+=因此，阳马P ABCD -的外接球的表面积为22420R ππ=.故答案为：20π. 【点睛】本题考查球体表面积和体积的计算，同时也涉及了多面体外接球问题，解题时要分析几何体的结构特征，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.四、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且0n a >，242n n n S a a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若11nn n S S b S S -=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）2n a n =；（2）11112n T n n =--+. 【解析】（1）令1n =，求出1a 的值，令2n ≥，由242n n n S a a =+得出211142n n n S a a ---=+，两式相减，利用等差数列的定义可得出数列{}n a 为等差数列，确定该等差数列的首项和公差，利用等差数列的通项公式可求出n a ； （2）求出n S ，可得出11112n b n n =--+，然后利用分组求和法与裂项求和法可求出n T . 【详解】（1）当1n =时，211142a a a =+，整理得2112a a =，10a >Q ，解得12a =； 当2n ≥时，242n n n S a a =+①，可得211142n n n S a a ---=+②，①－②得2211422n n n n n a a a a a --=-+-，即()()221120n n n n a a a a ----+=，化简得()()1120n n n n a a a a --+--=，因为0n a >，10n n a a -∴+>，所以12n n a a --=，从而{}n a 是以2为首项，公差为2的等差数列，所以()2212n a n n =+-=； （2）由（1）知()()()122122n n n a a n n S n n ++===+， 因为()11111111111212n n n n S S b S S S S n n n n -==-=-=--⋅++，1211111111112223212n n T b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++⋅⋅⋅+=--+--+⋅⋅⋅+-- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111111112231212n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+--=-- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查由n a 与n S 的关系求数列通项，同时也考查了分组求和法与裂项求和法，涉及等差数列定义的应用，考查计算能力，属于中等题.18．已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆同时满足下列四个条件中的三个：①b ac -=2cos 22cos 12A A +=；③a =④b =（1）满足有解三角形的序号组合有哪些？（2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应ABC ∆的面积. （若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分）【答案】（1）①，③，④或②，③，④；（2.【解析】（1）由①可求得cos B 的值，由②可求出角A 的值，结合题意得出A B π+>，推出矛盾，可得出①②不能同时成为ABC ∆的条件，由此可得出结论；（2）在符合条件的两组三角形中利用余弦定理和正弦定理求出对应的边和角，然后利用三角形的面积公式可求出ABC ∆的面积. 【详解】（1）由①b ac -=()2223a c b +-=-，所以222cos 2a c b B ac +-==， 由②2cos 22cos 12AA +=得，22cos cos 10A A +-=， 解得1cos 2A =或cos 1A =-（舍），所以3A π=，因为1cos 32B =-<-，且()0,B π∈，所以23B π>，所以A B π+>，矛盾. 所以ABC ∆不能同时满足①，②.（2）若ABC ∆满足①，③，④，因为2222cos b a c ac B =+-，所以2686263c c =++⨯⨯⨯，即2420c c +-=. 解得62c =-.所以ABC ∆的面积1sin 322S ac B ==-. 若ABC ∆满足②，③，④由正弦定理sin sin a b A B=，即622sin 3B =，解得sin 1B =， 所以2c =，所以ABC ∆的面积1sin 32S bc A ==.【点睛】本题考查三角形能否成立的判断，同时也考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，以及三角形面积的计算，要结合三角形已知元素类型合理选择正弦定理或余弦定理解三角形，考查运算求解能力，属于中等题.19．如图（1），边长为2的正方形ABEF 中，D ，C 分别为EF 、AF 上的点，且ED CF =，现沿DC 把CDF ∆剪切、拼接成如图（2）的图形，再将BEC ∆，CDF ∆，ABD ∆沿BC ，CD ，BD 折起，使E 、F 、A 三点重合于点A '，如图（3）.（1）求证：'⊥BA CD ；（2）求二面角'--B CD A 最小时的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）13. 【解析】（1）利用图形翻折的几何关系可得出''⊥BA A C ，''⊥BA A D ，然后由直线与平面垂直的判定定理可得出'⊥BA 平面ACD '，由此可证明出'⊥BA CD ；（2）以A '为原点，A C '、A D '、A B '分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，令'=A C a ，'=A D b ，可得出2a b +=，求出平面BCD 和平面ACD'的法向量，然后利用空间向量法结合基本不等式可求出二面角'--B CD A 最小时的余弦值.（1）折叠前BE EC ⊥，BA AD ⊥，折叠后''⊥BA A C ，''⊥BA A D ，又'''⋂=A C A D A ，所以'⊥BA 平面ACD '，因此'⊥BA CD ；（2）由（1）及题意知A C A D ''⊥，因此以A '为原点，A C '、A D '、A B '分别 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系如图：令'=A C a ，'=A D b ，2a b +=，所以(),0,0C a ，()0,,0D b ，()0,0,2B设平面BCD 法向量为(),,m x y z =u r则00m BC m BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 所以2020ax z bx z -=⎧⎨-=⎩，令1z =，则22,,1m a b ⎛⎫= ⎪⎝⎭u r又平面ACD '法向量为()0,0,1m =u r，设二面角'--B CD A 的大小为θ，所以22cos 1411m nm na bθ⋅==⨯++u r r u r r 又22224412119b a b a b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭≥⎝， 当且仅当1a b ==取等号，所以1cos 3θ≤. 所以二面角'--B CD A 最小时的余弦值为13.【点睛】本题考查利用线面垂直的性质来证明线线垂直，同时也考查了利用空间向量法来计算二面角的余弦值，涉及了利用基本不等式求最值，考查推理论证能力与计算能力，属于中等题.20．顺次连接椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>7且面积为43.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 与椭圆C 相切于点A ，过点O 作OM l ⊥，垂足为M ，求AMO ∆面积的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2）14. 【解析】（1）根据题意列出关于a 、b 的方程组，解出这两个量，即可得出椭圆C 的标准方程；（2）结合题意可知，直线l 斜率存在且不为0，可设直线l 的方程为y kx t =+，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，利用0∆=，得出2243t k =+，求出点A 的横坐标，并求出点M 的横坐标以及OM 、AM ，然后利用基本不等式结合三角形的面积公式可求出ABM ∆面积的最小值. 【详解】（1）由题意可得221224327a b a b ⎧⨯⨯=⎪⎨⎪+=⎩2a =，3b =故椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）显然直线l 斜率存在且不为0，设直线:l y kx t =+，联立223412y kx tx y =+⎧⎨+=⎩， 得()2223484120kxktx t +++-=，且()()2222644344120k t k t∆=-+-=，得2243t k =+，所以()284234A kt kx t k -==-+，1y x⎧=-⎪kt 1||kt则241k kt AM t k =-++()322441k k kt t k --+==+，所以21111111222124AMO k S AM OM k k k∆=⋅==⋅=⋅≤++，故ABM ∆面积最大值为14，当且仅当1k =±时成立. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中三角形面积最值的计算，涉及利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于中等题.21．已知函数()()2ln 22f x x ax a x =+-++（a 为常数）.（1）若()f x 在()()1,1f 处的切线与直线30x y +=垂直，求a 的值； （2）若0a >，讨论函数()f x 的单调性；（3）若a 为正整数，函数()f x 恰好有两个零点，求a 的值. 【答案】（1）4a =；（2）见解析；（3）1a =.【解析】（1）由题意得出()13f '=，即可求出实数a 的值； （2）由0a >，可得出10a>，对1a 与12的大小关系进行分类讨论，分析导数的符号，可得出函数()y f x =的单调增区间和减区间；（3）分1a =、2a =和2a >三种情况讨论，结合（2）中函数()y f x =的单调性以及零点存在定理来判断出函数()y f x =的零点个数，可得出整数a 的值. 【详解】（1）由题意0x >，()()()()121122ax x f x ax a x x--'=+-+=，则()11f a '=-， 由于函数()y f x =的图象在()()1,1f 处的切线与直线30x y +=垂直， 则()1113f ⎛⎫'⋅-=- ⎪⎝⎭，所以()113f a '=-=，因此，4a =；（2）0a >Q ，则10a >. ①若02a <<时，112a >，当102x <<或1x a>时，()0f x '>，112x a <<时，()0f x '<， 所以()y f x =在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在11,2a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，②若2a =时，112a =，对0x >，()0f x '≥恒成立，()y f x =在()0,∞+单调递增；③若2a >时，112a <，当10x a<<或12x >时，()0f x '>，112x a <<时，()0f x '<，所以()y f x =在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减；（3）因为a 为正整数，若02a <<，则1a =，()2ln 32f x x x x =+-+，由（2）知()y f x =在10,2⎛⎫⎪⎝⎭和()1,+∞单调递增，在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，又()10f =，所以()y f x =在区间1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭内仅有1实根，()1102f f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭， 又()()24222330f eee e e -----=-=-<，所以()yf x =在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭内仅有1实根.此时，()y f x =在区间()0,∞+内恰有2实根； 若2a =，()y f x =在()0,∞+单调递增，至多有1实根.若2a >，()2111111ln 22ln 1f a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 令1t a =，则102t <<，ln 1y t t =-+，110y t'=->，所以111ln 1ln 20222y <-+=-<.由（2）知()y f x =在11,2a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增， 所以1102f f a ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()y f x =在()0,∞+至多有1实根.本题考查利用切线斜率求参数、利用导数求含参数函数的单调区间以及利用导数研究函数的零点问题，一般结合函数的单调性与零点存在定理来分析，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.22．某公司为了了解年研发资金投人量x （单位：亿元）对年销售额y （单位：亿元）的影响.对公司近12年的年研发资金投入量i x 和年销售额i y 的数据，进行了对比分析，建立了两个函数模型：①2y x αβ=+，②x t y e λ+=，其中α、β、λ、t 均为常数，e为自然对数的底数.并得到一些统计量的值.令2i i u x =，()ln 1,2,,12i i v y i ==⋅⋅⋅，经计算得如下数据：（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？ （2）（ⅰ）根据（1）的选择及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（ⅱ）若下一年销售额y 需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量x 是多少亿元？附：①相关系数()()niix x y y r --=∑回归直线$$y abx =+$中公式分别为：()()()121n iii nii x x y y b x x ==--=-∑∑$，a y bx =-$$；②参考数据：308477=⨯9.4868， 4.499890e ≈. 【答案】（1）模型x ty eλ+=的拟合程度更好；（2）（ⅰ）0.180.56v x =+$；（ⅱ）21.89亿元.【解析】（1）计算出两个模型的相关系数，选择相关系数绝对值较大的模型拟合较好； （2）（ⅰ）由（1）可知，选择模型x t y e λ+=拟合较好，变形得到ln y x t λ=+，即v t x λ=+，然后利用表格中的数据以及最小二乘法公式求出λ和t 的值，即可得出回归方程；（ⅱ）在所求回归方程中，令90y =，结合题中参考数据可求出x 的值，即可求解. 【详解】（1）设{}i u 和{}i y 的相关系数为1r ，{}i x 和{}i v 的相关系数为2r ，由题意，()()121430.8650iiu u y y r --====∑，()()122100.9111iix x v v r --===≈∑，则12r r <，因此从相关系数的角度，模型x ty e λ+=的拟合程度更好；（2）（ⅰ）先建立v 关于x 的线性回归方程， 由x ty eλ+=，得ln y t x λ=+，即v t x λ=+；由于()()()121122120.18211iii ii x x v v x x λ==--==≈-∑∑，24.20200.5611t v x λ=-=-⨯≈， 所以v 关于x 的线性回归方程为0.180.56vx =+$， 所以$ln 0.180.56y x =+，则$0.180.56e x y +=；（ⅱ）下一年销售额y 需达到90亿元，即90y =，代入$0.180.56e x y +=，得0.180.5690x e +=， 又44998e 90⋅≈，所以4.49980.180.56x ≈+，所以 4.49980.5621.890.18x -≈≈，所以预测下一年的研发资金投入量约是21.89亿元. 【点睛】本题考查利用相关系数选择回归模型，同时也考查了非线性回归模型的求解，以及利用回归方程解决实际问题，考查计算能力，属于中等题.。
山东省2020年高三上学期开学数学试卷(理科)D卷
山东省2020年高三上学期开学数学试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高三上·怀化期中) 已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B为（）A . （1，3）B . （1，4）C . （2，3）D . （2，4）2. （2分）(2019·浙江模拟) 定义域为的偶函数满足对，有，且当时，，若函数至少有6个零点，则的取值范围是（）A .B .C .D .3. （2分）已知等差数列的前n项和为,，，为等比数列，且，则的值为（）A . 64B . 128C . -64D . -1284. （2分） (2016高二下·卢龙期末) 已知双曲线的左支上一点M到右焦点F2的距离为18，N 是线段MF2的中点，O是坐标原点，则|ON|等于（）A . 4B . 2C . 1D .5. （2分）已知（ +ax）5﹣（ +bx）5的展开式中含x2与x3的项的系数的绝对值之比为1：6，则a2+b2的最小值为（）A . 6B . 9C . 12D . 186. （2分）若，则实数m的值为（）A .B . -2C . -1D .7. （2分）“”是“”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件8. （2分）(2017·泉州模拟) 5支篮球队进行单循环比赛（任两支球队恰进行一场比赛），任两支球队之间胜率都是．单循环比赛结束，以获胜的场次数作为该队的成绩，成绩按从大到小排名次顺序，成绩相同则名次相同．有下列四个命题：p1：恰有四支球队并列第一名为不可能事件；p2：有可能出现恰有两支球队并列第一名；p3：每支球队都既有胜又有败的概率为；p4：五支球队成绩并列第一名的概率为．其中真命题是（）A . p1 ， p2 ， p3B . p1 ， p2 ， p4C . p1 ， p3 ， p4D . p2 ， p3 ， p49. （2分） (2018高二上·嘉兴期中) 设是直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A . 若，则B . 若，则C . 若，则D . 若，则10. （2分）已知函数，若有四个不同的正数满足（为常数），且，，则的值为（）A . 10B . 14C . 12D . 12或2011. （2分）若则（）A .B .C .D .12. （2分） (2018高一上·泰安月考) 函数，当时是增函数，当时是减函数，则等于（）A . -3B . 13C . 7D . 5二、填空题 (共4题；共6分)13. （1分）(2016·天津模拟) 一个几何体的三视图（单位：m）如图所示，则此几何体的表面积为________ m214. （3分）(2012·陕西理) （考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A．（不等式选做题）若存在实数x使|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．B．（几何证明选做题）如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB=6，AE=1，则DF•DB=________．C．（坐标系与参数方程）直线2ρcosθ=1与圆ρ=2cosθ相交的弦长为________．15. （1分） (2017高三上·嘉兴期末) 若满足，则的最大值为________．16. （1分） (2019高二上·会昌月考) 已知命题p：；命题q：．若命题p∨q为真命题，﹁p为真命题，则实数m的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分）(2018·曲靖模拟) 设向量，定义一种向量积: 已知，点P在的图象上运动，Q是函数图象上的点，且为坐标原点）（1）求函数的解析式；（2）求函数在上的单调递减区间.18. （5分） (2018高二上·西安月考) 有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们之和为12，求这四个数．19. （5分） (2017高三下·重庆模拟) 如图，在三棱柱中，各个侧面均是边长为的正方形，为线段的中点（Ⅰ）求证：⊥平面；（Ⅱ）求证：直线∥平面；（Ⅲ）设为线段上任意一点，在内的平面区域（包括边界）是否存在点，使，并说明理由20. （10分） (2020高三上·厦门月考) 科学家为研究对某病毒有效的疫苗，通过小鼠进行毒性和药效预实验.已知5只小鼠中有1只患有这种病毒引起的疾病，需要通过化验血液来确定患病的小鼠.血液化验结果呈阳性的即为患病小鼠，呈阴性即没患病.下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定患病小鼠为止.方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病小鼠为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验.（1）求方案甲化验次数X的分布列；（2）判断哪一个方案的效率更高，并说明理由.21. （10分）已知抛物线G：y2=2px（p＞0）与圆（r＞0），C，D抛物线上两点，CD⊥x 轴，且CD过抛物线的焦点F，EC=2 ．（1）求抛物线G的方程．（2）过焦点F的直线l与圆E交于A，B两不同点，试问△EAB是否存在面积的最大值，若存在求出相应直线的斜率，若不存在，请说明理由．22. （10分）(2016·绵阳模拟) 已知a∈R，函数f（x）=ex+ax2 ， g（x）是f（x）的导函数，（1）当a＞0时，求证：存在唯一的x0∈（﹣，0），使得g（x0）=0；（2）若存在实数a，b，使得f（x）≥b恒成立，求a﹣b的最小值．。
山东省德州市2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题含答案
★优高联考高三数学试题2023.11本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1-3页，第Ⅱ卷3-4页，共150分，测试时间120分钟．注意事项：选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上．第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1．已知集合{}2log 0A x x =≥，{}260B x x x =+-<，则()A B R ð等于（）A ．{}31x x -<<B ．{}22x x -<<C ．{}23x x ≤<D ．{}2x x <2．已知实数a ，b ，c ，则下列命题中正确的是（）A ．若a b >，则ac bc >B ．若0a b >>，0c <，则c c a b>C ．若a b c >>，0a b c ++=，则c c a c b c <--D ．若0a b >>，0c <，则b c ba c a-<-3．函数()32sin 1x f x x -=的部分图象是（）A ．B ．C ．D ．4．已知平行六面体1111ABCD A B C D -的所有棱长都为1，且1160A AD A AB ︒∠=∠=，30DAB ∠=︒，则1AC 的长为（）A ．5+B ．5C D5．若sin 35πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5sin 26πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（）A ．255B ．255-C ．35D ．35-6．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数m 满足五五数之剩三，将符合条件的所有正整数m 按照从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则280n S n+的最小值为（）A ．46B ．42C ．41D ．257．如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，已知8cm AB =，2cm CD =，则该青铜器的体积为（）A ．3cmB ．3cm 4C ．3cm 2D ．3cm8．函数()f x 的定义域为D ，若存在闭区间[],a b D ⊆，使得函数()f x 同时满足：()f x 在[],a b 上是单调递增函数，且()f x 在[],a b 上的值域为[],ka kb （0k >），则称区间[],a b 为()f x 的“k 倍值区间”．如下四个函数，存在“2倍值区间”的是（）A ．()cos f x x =，(),0x π∈-B ．()2xf x e =-C ．()21f x x =+D ．()ln f x x=二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．已知p ：x ∀∈R ，240x ax -+>恒成立；q ：0x ∀>，2ax x+>恒成立，则（）A ．“4a <”是p 成立的充分不必要条件B ．“4a <”是p 成立的必要不充分条件C ．“4a >”是q 成立的充分不必要条件D ．“4a >”是q 成立的必要不充分条件10．已知函数()()3221,0213,0x x f x x x -⎧-≥⎪=⎨-++<⎪⎩，则（）A ．函数()1y f x x =--有三个零点B ．若函数()y f x t =-有两个零点，则{}(]03,7t ∈ C ．若关于x 的方程()f x t =有四个不等实根1x ，2x ，3x ，4x ，则12342x x x x +++=D ．关于x 的方程()()2320fx f x -+=有7个不等实数根11．已知等比数列{}n a 的公比为整数，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若149a a +=，236a a +=，则（）A ．12a =B ．21nn S =-C ．数列{}na e是公比为2e的等比数列D ．数列{}lg n a 是公差为lg2的等差数列12．关于函数()2ln f x mx x x =-，m 为常数，则（）A ．若1ln22m =，则()()240f f ==B ．当1m >时，方程()2f x x =恰好只有一个实数根C ．若120x x >>，总有()()12f x f x >恒成立，则12m ≥D ．若函数()f x 有两个极值点，则实数10,2m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷非选择题（共90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数()212ln 12f x x x x =--+在()()1,1f 处的切线方程为______．（结果写成一般式）14．已知a ，b 都是正数，且220a b ab +-=，则a b +的最小值为______．15．设数列{}n a 满足12a =-，12nn n a a n +=+⋅，则21026log a =______．16．已知平面向量a ，b ，c 满足：()3,0a = ，3b = ，92a b ⋅=- ，2a b c +-=，则向量a ，b 的夹角为______；向量c 在向量a上投影数量的取值范围是______．（第一空2分，第二空3分）四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分10分）记函数()f x 的导函数为()f x '，已知()32124632k f x x x kx ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭，()53f '=．（1）求实数k 的值；（2）求函数()f x 在[]0,5上的值域．18．（本小题满分12分）在①()()2sin 2sin 2sin c C b a B a b A =-+-，②2cos cos b a A c C -=，③274sin cos 222A B C +-=这三个条件中任选一个，补充在下面横线中，然后解答问题．已知ABC △内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足______．（1）求角C ；（2）若ABC △为锐角三角形，且6a =，求ABC △面积的取值范围．（注：若选择多个条件，按第一个解答计分）19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项11a =，前n 项和为n S ，且22323n n S n na n +=+．（1）求{}n a 的通项公式；（2）令11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，记()31n n c n T =+⋅，若对任意正整数n ，不等式1211130n mn c n c n c ++⋅⋅⋅+>+++恒成立，求整数m 的最大值．20．（本小题满分12分）现有一空地，将其修建成如图所示的八边形11AD QBCB PD 形状的公园．已知图中四边形ABCD （AB BC >）是周长为4的矩形，1B 与B ，1D 与D 均关于直线AC 对称，直线1AB 交CD 于点P ，直线1CD 交AB 于点Q ．设AB x =，四边形AQCP 的面积为S ．根据规划，图中四边形AQCP 区域所示的地面将硬化，剩余区域即图中阴影部分将种植树木和草皮．（1）求S 关于x 的函数关系式；（2）当x 取何值时，阴影部分区域面积最大．21．（本小题满分12分）如图，已知几何体ABCDFE ，底面ABCD 为矩形，BC =，//EF 平面ABCD ，平面EFDA ⊥平面ABCD ，点P 在EF 上，且PB PC ⊥，PO AD ⊥，//OQ AB ，2PC =，63PE OQ ==．（1）求证：AE ⊥平面ABCD ；（2）求平面PBA 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值．22．（本小题满分12分）已知函数()()2ln f x ax e x =-有两个极值点1x ，2x （12x x <）．其中a ∈R ，e 为自然对数的底数．（1）求实数a 的取值范围；（2）若()1212ln 2ln ln ln e x e x x x λ+-≥恒成立，求λ的取值范围．高三数学试题参考答案一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1．A2．B 3．B 4．C5．D6．C7．D8．B二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．BC10．ABD11．BD12．ACD三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．4250x y +-=14．32+15．103616．（1）23π（2）17,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17．解：（1）()()244f x x k x k=-++'因为()53f '=，所以()255443k k -++=，解得2k =4分（2）由（1）可知()()()26824f x x x x x =-+=--'由()0f x '>，解得4x >或2x <；由()0f x '<，解得24x <<所以函数()f x 在[]0,2，[]4,5单调递增；在[]2,4单调递减又()06f =-，()223f =，()243f =-，()253f =．所以()()min 06f x f ==-，()()()max 2253f x f f ===，所以函数()f x 在[]0,5上的值域为26,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．18．解：（1）若选择①：由①及正弦定理得：()()2222c b a b a b a =-+-2即222c a b ab =+-，又2222cos c a b ab C =+-，∴1cos 2C =且C 是三角形内角，∴60C =︒若选择②：由②及正弦定理得2sin sin cos sin cos B A AC C-=，所以2sin cos sin cos cos sin 0B C A C A C --=，即()sin 2cos 10B C -=，由sin 0B ≠，∴1cos 2C =，∴又C 是三角形内角，60C =︒若选择③：由③可知：274cos cos 222C C -=∴()272cos 12cos 12C C +-+=∴()22cos 10C -=，∴1cos 2C =．又C 为三角形内角，∴60C =︒（2）由已知及余弦定理可得2223626cos6363c b b b b π=+-⋅=-+由ABC △为锐角三角形可得2263636b b b +-+>且2236636b b b +-+>，解得312b <<，所以ABC △面积1sin 2322S ab π⎛==∈ ⎝19．解：（1）由22323n n S n na n +=+．当2n ≥时，()()()2112312131n n S n n a n --+-=-+-两式相减得：()12632213n n n a n na n a -+-=--+，整理得：()()()1212161n n n a n a n ----=-所以，13n n a a --=，（2n ≥）所以，{}n a 是以1为首项，公差为3的等差数列．所以32n a n =-（2）由（1）得1111133231n n n b a a n n +⎛⎫==- ⎪-+⎝⎭，所以11111111113447323133131n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭()()313131n n nc n T n n n =+=+⋅=+，则问题转化为对任意正整数n 使不等式1111230mn n n n ++⋅⋅⋅+>+++恒成立．设()1111123f n n n n n n=+++⋅⋅⋅+++++，则()()()()()()111111*********f n f n n n n n n n n n ⎡⎤⎡⎤+-=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+⎢⎥⎢⎥++++++++++⎣⎦⎣⎦()()11111102122121222122n n n n n n n =+-=-=>+++++++所以()()1f n f n +>，故()f n 的最小值是()112f =．由1230m>，所以15m <，则整数m 可取的最大值为14．20．解：（1）因为1B 与B 关于直线AC 对称，所以1AB C △与ABC △全等，同理由1D 与D 关于直线AC 对称可得1AD C △与ADC △全等所以有ADP △与1CB P △，1AD Q △，CBQ △均全等所以PA PC =，又因AB x =，则2BC AD x ==-在Rt ADP △中，222AD DP AP +=即222AD DP CP +=所以()()2222x DP x DP -+=-，解得22DP x=-又因为0AB BC >>解得12x <<所以()112222322ADP S AD DP x x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△所以()242246ADP S x x S x x x=--=-++-△即2446S x x x=-++-（12x <<）（2）由（1）可知用于种植树木和草皮的阴影部分区域面积为4ADP S △而2412412412ADP S x x ⎛⎫=-+≤-⋅- ⎪⎝⎭△当且仅当2x x=，即x =所以当x =时，用于种植树木和草皮的阴影部分区域面积最大21．（1）证明：因为平面EFDA ⊥平面ABCD ，PO ⊂平面ADFE ，PO AD ⊥所以PO ⊥平面ABCD因为//EF 平面ABCD ，平面ADFE 平面ABCD AD =，EF ⊂平面ADFE 所以//EF AD ，即//EP AO因为四边形ABQO 为矩形，所以AO BQ =，OQ AB=又因为PO ⊥平面ABCD ，OQ BC ⊥，由三垂线定理得PQ BC ⊥在Rt BPC △中，因为2PC =，BC =得PB =由等面积法得233PQ =，所以63BQ =，即63AO =又3PE =，所以//AO ，所以四边形AOPE 为平行四边形，从而//AE PO 又PO ⊥平面ABCD ，所以AE ⊥平面ABCD（2）解：由（1）可得63AB =，63OP ==以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则有60,0,3P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，60,,03A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，66,,033B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，626,,033C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,,333PB ⎛=-- ⎝⎭，,0,03AB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()0,CB = 设平面PAB 的一个法向量为()1,,x y z n = ，则116036660333n AB x n PB x y z ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=--=⎪⎩令1y =-得()10,1,1n =-设平面PCB 的一个法向量为()2,,n x y z =，则2200333n CB n PB x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=--=⎪⎩令1x =得()21,0,1n = ，1212121cos 2,n n n n n n ⋅==所以平面PBA 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值为12．22．解：（1）由于()ln 2x f x a e x =-⋅'．令()()g x f x ='，则()2ln 12x g x e x-=⋅'解()0g x '≥得x e ≥；解()0g x '≤得0x e<≤所以函数()g x 在(]0,e 上单调递减，在[),e +∞上单调递增，且()2g e a =-当2a ≥时，()g x 在()0,+∞上的最小值()20g e a =-≥，所以()f x 在()0,+∞上单调递增，没有极值点，与已知不符，不符合题意当0a ≤时，当0x →时，()g x →+∞，()10g a =≤又因为()()g x f x ='在(]0,1上单调递减，所以()0f x '=在(]0,1上有唯一实根，不妨令其根为0x ，所以有()00,x x ∈时，()0f x '>，又因为当1x >时，()ln 202a x f x e e x '⎛⎫=-<⎪⎝⎭恒成立．所以有()0,x x ∈+∞时，()0f x '<，此时有且仅有一个极值点，与已知不符当02a <<时，()f x '在()1,e 上单调递减，()10f a '=>，()20f e a =-<'所以存在唯一实数()11,x e ∈使得()10f x '=即()11,x x ∈时，()0f x '>；()1,x x e ∈时，()0f x '<，所以()f x 有极大值点为1x 又()f x '在(),e +∞上单调递增，()20f e a =-<'，当x →+∞，()0f x a '→>所以存在唯一实数()2,x e ∈+∞使得()20f x '=即当()2,x e x ∈时，()0f x '<；()2,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 有极小值点为2x 所以此种情况符合题意5分综上所述实数a 的取值范围为()0,2（2）由（1）可知121x x <<，不等式()1212ln 2ln ln ln e x e x x x λ+-≥变为212ln ln e e x x λ-+≥由（1）可得1212ln ln 2x x ax x e ==，令211x t x =>，则有1111ln ln x tx x tx =，解得1ln ln 1t x t =-，2ln ln 1t t x t =-所以212ln ln e e x x λ-+≥可整理为()22ln ee t t tλ+--≥，令()()22ln ee t t h t t+--=（1t >），则()h t λ≥在()1,+∞恒成立，由于()()()22222ln 22ln e t e t t e t e h t t t '⎡⎤-+---+⎣⎦=，令()()()222ln 22t e t e t t e t e ϕ⎡⎤=-+---+⎣⎦，则()()()22ln 22et e t t e t t ϕ=----+'，令()()()22ln 22en t e t t e t t=----+，()()222ln 2en t e t e t'=--+-，显然()n t '在()1,+∞递增，又有()120n '=-<，()1360n e e e=-->'，所以存在()01,t e ∈使得()00n t '=，且易得()t ϕ'在()01,t 递减，()0,t +∞递增，又因为()10ϕ'=，所以()00t ϕ'<，而()2210e e e ϕ=-->'，所以存在()10,t t e ∈使得()10t ϕ'=，且易得()t ϕ在()11,t 递减，()1,t +∞递增，又()()10e ϕϕ==，则1x e <<时，()0t ϕ<，()0h t '<，x e >时，()0t ϕ>，()0h t '>，所以易得()h t 在()1,e 上递减，在(),e +∞上递增，则()()()2min 1h t h e e ==-，所以λ的取值范围为()(2,1e ⎤-∞-⎦。