华师版九年级数学上册《二次根式》阶段核心方法专训比较含二次根式的式子的大小的八种方法
华师大版数学九年级上册《21.1 二次根式》教学设计2
华师大版数学九年级上册《21.1 二次根式》教学设计2一. 教材分析华东师范大学版数学九年级上册《21.1 二次根式》是学生在初中阶段学习二次根式的起点，也是为高中阶段进一步学习函数、不等式等知识做铺垫。
本节课主要让学生理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质和运算方法，并能够解决一些实际问题。
教材通过引入二次根式，让学生感受数学与现实生活的联系，提高学生学习数学的兴趣。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、有理数、无理数等基础知识，具备一定的逻辑思维能力和运算能力。
但学生对二次根式这一概念较为陌生，对其性质和运算方法的认识需要通过实例和练习逐步建立。
此外，学生对于将实际问题转化为二次根式问题的能力有待提高。
三. 教学目标1.理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质和运算方法。
2.能够将实际问题转化为二次根式问题，并运用二次根式解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和运算能力，提高学生学习数学的兴趣。
四. 教学重难点1.二次根式的概念及其性质。
2.二次根式的运算方法。
3.将实际问题转化为二次根式问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究二次根式的概念、性质和运算方法。
2.利用实例和练习，让学生在实际操作中掌握二次根式的应用。
3.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
4.运用多媒体辅助教学，提高课堂趣味性和教学效果。
六. 教学准备1.准备相关课件和教学素材。
2.设计具有代表性的练习题和实际问题。
3.准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些实际问题，如测量物体高度、计算物体体积等，引导学生思考如何利用数学知识解决这些问题。
然后引入二次根式的概念，让学生初步了解二次根式在实际问题中的应用。
2.呈现（15分钟）讲解二次根式的定义，引导学生通过实例理解二次根式的概念。
同时，介绍二次根式的性质，如：二次根式具有非负性、单调性等。
让学生通过实际问题，运用二次根式的性质解决问题。
华师版九年级上册数学第21章 二次根式 【教案】二次根式的除法
二次根式的除法【知识与技能】 1.理解b a b a =（a ≥0,b ＞0）和bab a =（a ≥0,b ＞0），并运用它们进行计算.2.利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简.3.理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式.【过程与方法】1.先由具体数据，发现规律，导出b aba = (a ≥0,b ＞0），并用它进行计算.2.再利用逆向思维，得出bab a =（a ≥0,b ＞0），并运用它进行解题和化简.3.理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式.【情感态度】 通过探究b aba =（a ≥0,b ＞0）培养学生由特殊到一般的探究精神；让学生推导bab a =（a ≥0,b ＞0）以训练逆向思维，通过严谨解题，增强学生准确解题的能力.【教学重点】 1.理解b a b a =（a ≥0,b ＞0），bab a =（a ≥0,b ＞0）及利用它们进行计算和化简.2.最简二次根式的运用. 【教学难点】发现规律，归纳出二次根式的除法规定.最简二次根式的运用.一、情境导入，初步认识（学生活动）请同学们完成下列各题. 1.写出二次根式的乘法规定及逆向公式. 2.填空：3.利用计算器计算填空：【教学说明】每组推荐一名学生上台阐述运算结果，最后教师点评.二、思考探究，获取新知刚才同学们都练习得很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到：一般地，对二次根式的除法规定：b aba =（a ≥0,b ＞0） 反过来,bab a =（a ≥0,b ＞0） 下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目. 例1 计算：【教学说明】 直接利用b aba =（a ≥0,b ＞0） 例2化简：观察上面各小题的最后结果，发现这些二次根式有这些特点：（1）被开方数中不含分母；（2）被开方数中所含的因数（或因式）的幂的指数都小于2.【教学说明】利用二次根式的乘法、除法规定来化简，要求最后结果化成最简二次根式.三、运用新知，深化理解1.化简：3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=2.5cm,BC=6cm,求AB的长.【教学说明】第1题可由学生自主完成，第2题、3题教师可给予相应的指导.四、师生互动，课堂小结请若干学生口述小结，老师再利用电子课件将小结放映在屏幕上.1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.本课时教学突出学生主体性原则，即通过探究学习，指导学生独立思考，通过具体数据得出规律，再让学生相互交流，或上台展示自己的发现，或表述个人的体验，从中获取成功的体验后，激发学生探究的激情.。
华师版九年级上册数学最全最实用知识点大全
b a ba ba a ab a b a a a --=+==1,,1 第21章 二次根式1.二次根式：形如a （a ≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开得尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式叫做同类二次根式。
4.二次根式的性质：（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a 25.二次根式的运算：（1）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（2）二次根式的乘除法=（a≥0，b≥0）；（b≥0，a>0）． 6.实数的大小比较和估计值（1）大小比较的方法：平方法、倒数法、作差法。
（2）实数的估计值，例如：__5的整数部分是2_______________-7.绝对值、二次根式、平方的和为0，那么每个加数分别为0第22章 一元二次方程1.一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。
一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx+c=0（a ≠0），其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。
a b ab b ba a=（＞0）（＜0）0 （=0）；提公因式法：完全平方公式： 平方差公式： 十字相乘法：212121212211211(3)()4,(4)___________,(5)_____x x x x x x x x x x x x -=+-⋅+=+=(1)n a x b±=2222,;();,a x a mx n p x n p a b a ==±+=+=±=±若x 则若，则m 若则=b2224()24b ac b ax bx c a x a a-++=++22,102m n x x m m n --=--是的两个根，求的值2.一元二次方程的解法（1）直接开平方法： （2） 因式分解法：（3） 两边同时加上一次项系数一半的平方）四开方．（4）公式法：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)当b 2－4ac ≥0时，x ＝____________. ( 5)换元法:2222(21)3(21)40,()3()40x x x x x x +-+-=----=3.配方法：将二次三项式配方：4.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式是__________．(1)b 2－4ac ＞0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个__________实数根； (2)b 2－4ac ＝0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个__________实数根； (3)b 2－4ac ＜0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)__________实数根． 5.一元二次方程根与系数的关系（1）若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实数根是x 1，x 2，则x 1＋x 2＝__________，x 1x 2＝__________.注意：(1)222121212()2x x x x x x +=+-⋅（2）22121212()()4x x x x x x -=+-⋅；注意：代入降次法也是常考题型，例： 6.一元二次方程的应用(审、设、列、解、验、答)（1）图形（面积、体积）问题（2）经济问题(3)增长率问题第23章 相似三角形1.比例线段在四条线段d c b a ,,,中，如果a ︰b=c ︰d ，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，比例中项：若a ︰b=b ︰c ，则b 叫a 、c 的比例中项，此时有2b ac = 2.比例的性质 （1）a c ad bcb d=⇔=，*注意等积式和比例式的转化. （2）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a ，那么ba n f db m ec a =++++++++ ，注意：*（1）“设k 法”是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．（3）黄金分割：如果点C 把线段AB 分成两条线段，使得AC BCAB AC=,那么点C 叫做线段AB 的黄金分割点，他们的比值叫做黄金比，等于___________ 3.三角形相似的判定定理的预备定理 定理的基本图形：用数学语言表述是：BC DE // ， ∴ ADE ∆∽ABC ∆． 4. 三角形相似的判定定理（1）两角对应相等的两个三角形相似．（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． （3）三边对应成比例的两个三角形相似．B(3)DBAD CBAE AD DEAC AB BC==AD AE DEAB AC BC==AD AE DEAB AC BC==（4）两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，这两个直角三角形相似。
华师大版数学九年级上册《21.1 二次根式》教学设计3
华师大版数学九年级上册《21.1 二次根式》教学设计3一. 教材分析华师大版数学九年级上册《21.1 二次根式》是学生在学习了实数、有理数、无理数等知识后，进一步深入研究根式的特性。
这一章节主要介绍了二次根式的概念、性质和运算。
通过学习，学生能够掌握二次根式的基本知识，为后续学习二次根式的应用打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对实数、有理数、无理数等概念有一定的了解。
但二次根式作为新的知识，对学生来说还是有一定难度。
因此，在教学过程中，需要从学生的实际出发，循序渐进，引导学生逐步掌握二次根式的知识。
三. 教学目标1.理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质。
2.学会二次根式的运算，能进行二次根式的化简、求值等。
3.培养学生的逻辑思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.二次根式的概念和性质。
2.二次根式的运算方法。
五. 教学方法采用讲授法、引导法、合作学习法等，通过讲解、讨论、练习等形式，引导学生主动探究，合作交流，提高学生分析问题、解决问题的能力。
六. 教学准备1.PPT课件七. 教学过程1. 导入（5分钟）教师通过复习实数、有理数、无理数等知识，引导学生回顾已学过的根式知识，为新课的学习做好铺垫。
2. 呈现（10分钟）教师通过PPT展示二次根式的定义，引导学生观察、思考，从而理解二次根式的概念。
同时，解释二次根式的性质，让学生初步感知二次根式的特点。
3. 操练（10分钟）教师引导学生进行二次根式的化简、求值等练习，让学生在实际操作中掌握二次根式的运算方法。
4. 巩固（10分钟）教师通过PPT展示一些典型例题，引导学生运用所学知识解决问题，巩固二次根式的知识。
5. 拓展（10分钟）教师提出一些拓展问题，引导学生思考、讨论，提高学生解决问题的能力。
例如：探讨二次根式在实际生活中的应用等。
6. 小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学内容，巩固知识点。
7. 家庭作业（5分钟）教师布置适量作业，让学生课后巩固所学知识。
华师大版九年级数学上册知识总结-----华师版
1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。
2.二次根式有意义的条件：被开方数a ≥03. 二次根式的性质：（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a 2 4．二次根式的乘法---------)0,0(≥≥⇔⋅b a ab b a 5．二次根式的除法---------)0,0(>≥⇔b a baba 6．最简二次根式：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。
7．同类二次根式--------化成最简二次根式后，被开方数相同。
8.二次根式的加减--------先把各个二次根式化简，再将同类二次根式合并。
9.分母有理化：把分母中的根号化去。
①a的有理化因式是a ； ②aa1． 一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。
2.一般形式：c b a c bx ax ,,(02=++是已知数，)0≠a 。
其中c b a ,,分别叫做二次项的系数，一次项的系数，常数项。
3. 一元二次方程的解---------- 使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
4.一元二次方程的解法（1）直接开平方法-----------若()02≥=a a x ，则a x ±=（2）配方法-----步骤：①把常数项移到方程的右边；②把二次项的系数化为1；③方程两边同时 加上1次项的系数的一半的平方，配成完全平方公式；④直接开平方。
（3）公式法-------求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x步骤：①把方程化为()002≠=++a c bx ax 的形式，确定的值c b a .,（注意符号）；②求出ac b 42-的值；③若042≥-ac b ，则.,b a 把及ac b 42-的值代入求根公式，求出21,x x 。
（4）因式分解法-----------要求方程右边必须是0，左边能分解因式。
华师大九年级(上)教案-第22章-二次根式(全)
22．1. 二次根式（1）教学内容二次根式的概念及其运用 教学目标a ≥0）的意义解答具体题目． 提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键1a ≥0）的式子叫做二次根式的概念；2a ≥0）”解决具体问题． 教学过程 回顾当a 是正数时，a 表示a 的算术平方根，即正数a 的正的平方根． 当a 是零时，a 等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根． 当a 是负数时，a 没有意义．概括a （a ≥0）表示非负数a 的算术平方根，也就是说，a （a ≥0）是一个非负数，它的平方等于a ．即有：（1）a ≥0（a ≥0）；（2）2)(a =a （a ≥0）．形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式．注意在二次根式a 中，字母a 必须满足a ≥0，即被开方数必须是非负数．例 x 是怎样的实数时，二次根式1-x 有意义？分析 要使二次根式有意义，必须且只须被开方数是非负数． 解被开方数x-1≥0，即x ≥1．所以，当x ≥1时，二次根式1-x 有意义．思考2a 等于什么？我们不妨取a 的一些值，如2，-2，3，-3，……分别计算对应的a2的值，看看有什么规律：概括:当a ≥0时，a a =2； 当a ＜0时，a a -=2．这是二次根式的又一重要性质．如果二次根式的被开方数是一个完全平方，运用这个性质，可以将它“开方”出来，从而达到化简的目的．例如：22)2(4x x ==2x （x ≥0）； 2224)(x x x ==．练习1.x 取什么实数时，下列各式有意义.（1）x 43-； （2）23-x ；（3）2)3(-x ； （4）x x 3443-+-拓展例当x +11x +在实数范围内有意义？分析11x +0和11x +中的x+1≠0．解：依题意，得23010x x +≥⎧⎨+≠⎩由①得：x ≥-32由②得：x ≠-1当x ≥-32且x ≠-111x +在实数范围内有意义．例(1)已知，求xy的值．(答案:2)(2)，求a 2004+b 2004的值．(答案:25) 归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握：1（a ≥0）的式子叫做二次根式，2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 布置作业1． 教材P422.1 二次根式（2）教学内容1a ≥0）是一个非负数；2．2=a （a ≥0）． 教学目标a ≥02=a （a ≥0），并利用它们进行计算和化简．a ≥0）是一个非负数，用具体数据2=a （a ≥0）；最后运用结论严谨解题．教学重难点关键1a ≥0）是一个非负数；）2=a （a ≥0）及其运用．2a ≥0）是一个非负数；•2=a （a ≥0）．教学过程一、复习引入 （学生活动）口答 1．什么叫二次根式？2．当a ≥0a<0 ［老师点评（略）．］ 二、探究新知 议一议：（学生分组讨论，提问解答）（a ≥0）是一个什么数呢？老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出做一做：根据算术平方根的意义填空：2=_______；）2=_______；2=______；2=_______；（2=______；2=_______；）2=_______．4的算术平方根，根据算术平方根的意义，是一个平方等于4）2=4．同理可得：）2=2，2=9，）2=3，2=13，）2=72，）2=0，所以例1 计算1．2 2．（2 3．2 4．（2）2分析）2=a （a ≥0）的结论解题．解：2 =32，（2 =32·2=32·5=45，2=56，274=． 三、巩固练习计算下列各式的值：2 2 2 ）2 （222- 四、应用拓展 例2 计算1．2（x ≥0） 2．2 3．2 4．2分析：（1）因为x ≥0，所以x+1>0；（2）a 2≥0；（3）a 2+2a+1=（a+1）≥0；（4）4x 2-12x+9=（2x ）2-2·2x ·3+32=（2x-3）2≥0．所以上面的4）2=a （a ≥0）的重要结论解题．解：（1）因为x ≥0，所以x+1>0,2=x+1（2）∵a 2≥02=a 2（3）∵a 2+2a+1=（a+1）2 , 又∵（a+1）2≥0，∴a 2+2a+1≥0 2+2a+1（4）∵4x 2-12x+9=（2x ）2-2·2x ·3+32=（2x-3）2 , 又∵（2x-3）2≥0∴4x 2-12x+9≥02=4x 2-12x+9例3在实数范围内分解下列因式:（1）x 2-3 （2）x 4-4 (3) 2x 2-3五、归纳小结 本节课应掌握：1a ≥0）是一个非负数；2．2=a （a ≥0）;反之:a=2（a ≥0）．六、布置作业1．教材P教学反思：22.1 二次根式（3）教学内容a（a≥0）教学目标（a≥0）并利用它进行计算和化简．（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．教学重难点关键1a（a≥0）．2．难点：探究结论．3．关键：讲清a≥0a才成立．教学过程一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容；1（a≥0）的式子叫做二次根式；2a≥0）是一个非负数；3．2＝a（a≥0）．那么，我们猜想当a≥0是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．二、探究新知（学生活动）填空：=_______；=________．（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：110=23=0=37．例1 化简（1 （2 （3 （4分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32（a ≥0）•去化简．解：（1 （2=4（3 （4 三、巩固练习 教材P ．四、应用拓展例2 填空：当a ≥0；当a<0，•并根据这一性质回答下列问题．（1，则a 可以是什么数？ （2，则a 可以是什么数？（3，则a 可以是什么数？分析（a ≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（ ）2”中的数是正数，因为，当a ≤0-a ≥0．（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）│a │，而│a │要大于a ，只有什么时候才能保证呢？a<0．解：（1，所以a ≥0； （2，所以a ≤0；（3）因为当a ≥0，即使a>a 所以a 不存在；当a<0，，即使-a>a ，a<0综上，a<0例3当x>2 五、归纳小结（a ≥0）及其运用，同时理解当a<0a 的应用拓展． 六、布置作业1．先化简再求值：当a=9时，求甲的解答为：原式（1-a）=1；乙的解答为：原式（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．2．若│1995-a│=a，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值）3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│教学反思：22．2 二次根式的乘除第一课时教学内容a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及其运用．教学目标a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简a≥0，b≥0）并运用它进行计算；•利用逆（a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．教学重难点关键（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及它们的运用．a≥0，b≥0）．a⨯，如=或关键：要讲清（a<0,b<0）=b．教学方法：三疑三探教学过程一、设疑自探——解疑合探自探1.（学生活动）请同学们完成下列各题．1．填空（1=______；（2=_______=________．（3．参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．2．利用计算器计算填空（1，（2（3（4（5．（学生活动）让3、4个同学上台总结规律．老师点评：（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，•并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．一般地，对二次根式的乘法规定为反过来:合探1. 计算（1（2（3（4分析：（a≥0，b≥0）计算即可．合探2 化简（1（2（3（4（5（a≥0，b≥0）直接化简即可．二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！三、应用拓展判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1=（2=4四、巩固练习（1）计算（学生练习，老师点评）①②×(2) 化简: ; ;五、归纳小结（师生共同归纳）本节课应掌握：（1（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及其运用．六、作业设计一、选择题1，•那么此直角三角形斜边长是（）．A．cm B．C．9cm D．27cm2．化简）．A B C．D．x-=）311A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-14．下列各等式成立的是（）．A．×B．×C．×D．×二、填空题1．2．自由落体的公式为S=12gt2（g为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体下落的高度为720m，则下落的时间是_________．三、综合提高题探究过程：观察下列各式及其验证过程．（1）验证：===（2）验证：=同理可得：==，……通过上述探究你能猜测出：（a>0）,并验证你的结论．教后反思：22．2 二次根式的乘除第二课时教学内容a≥0，b>0）a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．教学目标a≥0，b>0a≥0，b>0）及利用它们进行运算．利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．教学重难点关键1a≥0，b>0）a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．教学方法三疑三探教学过程一、设疑自探——解疑合探自探1.（学生活动）请同学们完成下列各题：1．填空（1；（2=_____；（3；（4=________．2．利用计算器计算填空:（1=_____，（2=_____，（3=____，（4=_____．每组推荐一名学生上台阐述运算结果．（老师点评）刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们进行合探：二次根式的除法规定：一般地，对二次根式的除法规定：下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．合探1．计算：（1 （2 （3 （4分析：上面4a ≥0，b>0）便可直接得出答案．合探2．化简：（1 （2 （3 （4（a ≥0，b>0）就可以达到化简之目的． 三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！四、应用拓展=，且x 为偶数，求（1+x 的值．分析：a ≥0，b>0时才能成立． 因此得到9-x ≥0且x-6>0，即6<x ≤9，又因为x 为偶数，所以x=8．五、归纳小结（师生共同归纳）a ≥0，b>0a ≥0，b>0）及其运用．六、作业设计 一、选择题1÷的结果是（ ）．A ．27B ．27C D2====数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么，化简的结果是（ ）． A ．2 B ．6 C ．13D二、填空题 1．分母有理化:(1)=_________;(2)=________;(3)2．已知x=3，y=4，z=5_______．三、综合提高题计算（1·（m>0，n>0）（2）（a>0）教后反思：22.2 二次根式的乘除(3)第三课时教学内容最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算．教学目标理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．重难点关键1．重点：最简二次根式的运用．2．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式．教学方法三疑三探教学过程一、设疑自探——解疑合探自探1.（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书）B A C计算（1（2，（3自探2.观察上面计算题的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有什么特点？（有如下两个特点：1．被开方数不含分母；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．）我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．合探1.把下面的二次根式化为最简二次根式：(1)合探2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=6cm，求AB的长．132====6.5（cm）因此AB的长为．三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！四、应用拓展观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：121=-，=，从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算+））的值．分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的．五、归纳小结（师生共同归纳）本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用．六、作业设计一、选择题1y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（）．A（y>0）By>0）C（y>0）D．以上都不对2．把（a-1a-1）移入根号内得（ ）．A B C ． D ． 3．在下列各式中，化简正确的是（ ）A B =±12C 2D ．4的结果是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题1．（x ≥0）2．_________．三、综合提高题1．已知a 确，•请写出正确的解答过程：·1a（a-12．若x 、y 为实数，且y x y -的值．教后反思：22.3 二次根式的加减(1)第一课时教学内容二次根式的加减教学目标理解和掌握二次根式加减的方法．重难点关键1．重点：二次根式化简为最简根式．2．难点关键：会判定是否是最简二次根式．教学方法三疑三探教学过程一、设疑自探——解疑合探自探（学生活动）：计算下列各式．（1）（2）（3（4）因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如可以合并吗？可以的．（板书）所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式进行合并．合探1．计算（1（2分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．合探2．计算（1）（2））+三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！四、应用拓展已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求（23+y 2-（x ）的值．分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，即x=12，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，•再合并同类二次根式，最后代入求值．五、归纳小结（师生共同归纳） 本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并．六、作业设计 一、选择题1．以下二次根式：；；是同类二次根式的是（ ）．A ．①和②B ．②和③C ．①和④D ．③和④2．下列各式：①；②17=1，其中错误的有（ ）．A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个 二、填空题1、是同类二次根式的有________．2．计算二次根式-3的最后结果是________． 三、综合提高题1≈2.236）-）的值．（结果精确到0.01）2．先化简，再求值．（-（，其中x=32，y=27． 教后反思：22.3 二次根式的加减(2)第二课时教学内容 利用二次根式化简的数学思想解应用题． 教学目标 运用二次根式、化简解应用题．重难点关键讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点． 教学方法 三疑三探 教学过程一、设疑自探——解疑合探上节课，我们已经学习了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们研究三道题以做巩固．自探1．如图所示的Rt △ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始沿BA 边以1厘米/•秒的速度向点A 移动；同时，点Q 也从点B 开始沿BC 边以2厘米/秒的速度向点C 移动．问：几秒后△PBQ 的面积为35平方厘米？PQ 的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）BAC QP（分析：设x 秒后△PBQ 的面积为35平方厘米，那么PB=x ，BQ=2x ，•根据三角形面积公式就可以求出x 的值．解：设x 后△PBQ 的面积为35平方厘米． 则有PB=x ，BQ=2x 依题意，得：12x ·2x=35 x 2=35PBQ 的面积为35平方厘米．===PBQ 的面积为35平方厘米，PQ 的距离为厘米．）自探2．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到）？（分析：此框架是由AB 、BC 、BD 、AC 组成，所以要求钢架的钢材，•只需知道这四段的长度．BAC2m1m4mD解：由勾股定理，得=所需钢材长度为+7≈3×2.24+7≈13.7（m ）答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要的钢材．）三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！ 四、应用拓展若最简根式3a a 、b 的值．（•同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；•事实上，根式|b|类二次根式的定义得3a-•b=•2，2a-b+6=4a+3b ．由题意得432632a b a b a b +=-+⎧⎨-=⎩ ∴24632a b a b +=⎧⎨-=⎩ ∴a=1，b=1五、归纳小结（师生共同归纳）本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题． 六、作业设计 一、选择题1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（ ）．（•结果用最简二次根式）A ．BC ．D ．以上都不对2．小明想自己钉一个长与宽分别为30cm 和20cm 的长方形的木框，•为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（ ）米．（结果同最简二次根式表示）A ．BC ．D ． 二、填空题1．某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m 2，•鱼塘的宽是_______m ．（结果用最简二次根式）2．已知等腰直角三角形的直角边的边长为，•那么这个等腰直角三角形的周长是________．（结果用最简二次根式） 三、综合提高题1与n 是同类二次根式，求m 、n 的值．2．同学们，我们以前学过完全平方公式a 2±2ab+b 2=（a ±b ）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=2，5=（）2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察： （-1）2=（）2-2·12 反之，-1）2 ∴=-1）2-1求：（1； （2（3（4，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由．教后反思：22.3 二次根式的加减(3)第三课时教学内容含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用．教学目标含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用．复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算．重难点关键重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．教学方法三疑三探教学过程一、设疑自探——解疑合探自探1.（学生活动）：请同学们完成下列各题:1．计算（1）（2x+y）·zx （2）（2x2y+3xy2）÷xy2．计算（1）（2x+3y）（2x-3y）（2）（2x+1）2+（2x-1）2老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）•单项式×单项式；（2）单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用．如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？•仍成立．整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，•当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．自探2.计算:（1）（2）（）÷分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律．自探3.计算:（1））（ （2）））分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！四、应用拓展 已知x b a -=2-x a b-，其中a 、b 是实数，且a+b ≠0，分析）=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x 的值，代入化简得结果即可．解：原式=（x+1） =4x+2∵x b a -=2-x a b- ∴b （x-b ）=2ab-a （x-a ） ∴bx-b 2=2ab-ax+a 2∴（a+b ）x=a 2+2ab+b 2 ∴（a+b ）x=（a+b ）2 ∵a+b ≠0 ∴x=a+b∴原式=4x+2=4（a+b ）+2五、归纳小结（师生共同归纳）本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算．六、作业设计一、选择题1．的值是（ ）．A ．203B ．23C ．23D ．2032 ）．A ．2B ．3C ．4D ．1二、填空题1．（-12）2的计算结果（用最简根式表示）是________．2．（（-（）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_______．3．若-1，则x 2+2x+1=________．4．已知，，则a2b-ab2=_________．三、综合提高题1时，（结果用最简二次根式表示）2．当教后反思：。
华师版九年级上册数学第21章 二次根式 二次根式
2
a
是先开方后平方；③运算结果不同：a＝2 |a|＝ Nhomakorabea2
a
联系：与均为a非a负 0数 ,，且当2a≥0时，
a
a
0
,
a a.
2
a2 a
a2
2
a2 a
感悟新知
知3－练
1．若实数 a，b 满足|a＋1|＋ b－2＝0，则 a＋b＝ ____1____.
课堂小结
2
a
a2
a2
课后作业
作业1 必做:请完成教材课后习题 补充:
∴x＞.
1
3x 7 7
3
1 3x
7
0,
3x 7 0,
知2－练
感悟新知
（3）欲使有x意义2 ，5 x
则必有 ∴2≤x≤5.
x 2 0, 5 x 0,
（4）欲使有意义，
则必有∴x≥－x 4且4 x≠2. x2
x 4 0,
x
2
0,
知2－练
感悟新知
方法归纳: 求含有字母的式子有意义的字母取值范围的方法：
感悟新知
知2－练
1．式子 x－1在实数范围内有意义，则 x 的取值
范围是( C )
A．x>0
B．x≥－1
C．x≥1
D．x≤1
感悟新知
知2－练
2．已知 y＝ x－4＋ 4－x＋3，则xy的值为( C )
A.43
B．－43
C.34
D．－34
感悟新知
知识点 3 二次根式的性质：( a)2 a, a2 a
达到一定的速度，这个速度称为第一宇宙速度．计算第一 宇宙速度的公式是：
其中g为重力加速度，R为地v 球半gR径, ．
华师大版九年级数学上册《二次根式》教案
华师大版九年级数学上册《二次根式》教案一、教学内容二、教学目标1. 理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质与运算方法。
2. 能够正确化简二次根式，解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
三、教学难点与重点教学难点：二次根式的化简与运算。
教学重点：二次根式的概念、性质与运算方法。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备。
2. 学具：练习本、铅笔、直尺。
五、教学过程1. 实践情景引入以一个实际情景为例，如“计算一个正方形的对角线长度”，引导学生回顾勾股定理，进而引出二次根式的概念。
2. 教学新课（1）讲解6.1节“二次根式的概念”，让学生理解二次根式的定义。
（2）通过例题讲解，引导学生学习6.2节“二次根式的性质与运算”。
（3）进行随堂练习，巩固所学知识。
3. 课堂小结4. 课堂练习设计一些具有代表性的习题，让学生当堂完成，检查学习效果。
六、板书设计1. 二次根式的概念2. 二次根式的性质与运算3. 化简二次根式的方法4. 课堂练习题及答案七、作业设计1. 作业题目（1）化简二次根式：√18，√50，√27。
（2）计算题：计算√9 + √16 √25的结果。
（3）应用题：一个正方形的边长为a，求其对角线长度。
2. 答案（1）√18 = 3√2，√50 = 5√2，√27 = 3√3。
（2）√9 + √16 √25 = 3 + 4 5 = 2。
（3）对角线长度为a√2。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对二次根式的概念和性质掌握程度较高，但在运算方面还存在一些问题，需要在课后加强练习。
2. 拓展延伸：引导学生研究二次根式的更多性质和运算规律，如分母有理化等。
同时，鼓励学生运用所学知识解决生活中的实际问题。
重点和难点解析1. 教学目标中的能力培养2. 教学难点与重点的区分3. 教学过程中的实践情景引入和例题讲解4. 作业设计中的题目类型和答案解析5. 课后反思及拓展延伸的深入探讨一、教学目标中的能力培养1. 理解并掌握二次根式的概念，能够正确区分哪些表达式是二次根式。
华师大版九年级数学上册 第21章单元知识梳理
跟踪训练
C
B
跟踪训练
B
A
跟踪训练
跟踪训练
跟踪训练
跟踪训练
跟踪训练
跟踪训练
跟踪训练
跟踪训练
中
x的取值范围由x+2≥0得x≥-2.故选B;
名师讲解
• 【例1】（2）若x、y为实数，且
=0，则
(x+y)2018的值为
;
• 【解答】 本题考查二次根式与绝对值的非负性.两个非负式子 的和为0，则这两个式子必定都为0，即x=-2,y=3,所
以（x+y）2018=1;
• 【例1】（3）
名师讲解
• 【解答】
跟踪训练
C
D
跟踪训练
A
x≤2 0
跟踪训练
名师讲解
• 要点二：二次根式的化简及其混合运算
•2； （2）A不是同类项，不能合并；B
C正确；D （ 3）2 3 ，故选C；
82 2 ，
• 【例2】
名师讲解
• 【解答】
（3）原式= (m n)2 5mn 22 5(1) 3 ； （4）原式=2a2-6-a2+6a+6=a2+6a，代入值得4 2 -3.
第二十一章 二次根式
单元知识梳理
知识结构
名师讲解
• 要点一：二次根式的定义、性质及非负性的考查
• 【例1】（1）函数y= （）
中，自变量x的取值范围是
• A.x>-2
B.x≥-2
C.x≠-2 D.x≤-2
• 【解答】本题考查含二次根式的函数中自变量的取值范围，由
于二次根式 中a的取值范围是a≥0,∴y=
华师大版九年级数学上册《二次根式》教案
华师大版九年级数学上册《二次根式》教案一、教学内容二、教学目标1. 知识与技能：理解二次根式的定义，掌握二次根式的性质，能进行二次根式的乘除运算。
2. 过程与方法：通过实例引入，培养学生从实际问题中抽象出数学概念的能力；通过例题讲解和随堂练习，提高学生解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识和创新精神。
三、教学难点与重点重点：二次根式的定义，二次根式的性质，二次根式的乘除运算。
难点：理解并运用二次根式的性质，正确进行二次根式的乘除运算。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件，黑板，粉笔。
2. 学具：练习本，笔。
五、教学过程1. 实践情景引入利用多媒体展示一组实际生活中的问题，如：计算平方根、求面积等，引导学生发现二次根式的概念。
2. 新知探究（3）讲解二次根式的乘除运算，并进行例题演示。
3. 例题讲解（1）计算：√9 × √16（2）计算：(√3 + √5) × (√3 √5)4. 随堂练习（1）计算：√25 × √4（2）计算：(√2 + √8) × (√2 √8)5. 小结六、板书设计1. 二次根式的定义2. 二次根式的性质3. 二次根式的乘除运算4. 例题及解答七、作业设计1. 作业题目：（1）计算：√49 × √9（2）计算：(√7 + √21) × (√7 √21)（3）已知一个正方形的面积为 64 平方米，求它的边长。
2. 答案：（1）21（2）0（3）8 米八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对二次根式的定义和性质掌握较好，但在进行乘除运算时，部分学生还存在困难。
在今后的教学中，应加强此类题目的训练。
2. 拓展延伸：引导学生思考如何将二次根式与实际问题相结合，如求不规则图形的面积等，提高学生解决问题的能力。
重点和难点解析1. 教学难点与重点的设定2. 教学过程中的实践情景引入3. 例题讲解与随堂练习的设计4. 作业设计中的题目难度与答案解析5. 课后反思及拓展延伸的深度详细补充和说明：一、教学难点与重点的设定在教学难点与重点的设定上，需要明确二次根式的定义、性质和乘除运算是本节课的核心内容。
华师版九年级数学上册《二次根式》阶段核心方法专训比较含二次根式的式子的大小的八种方法共18页文档
式子的大小的八种方法
21、没有人陪你走一辈子，所你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
[精品]华东师大初中数学九年级上册二次根式的乘除--知识讲解(基础)
![[精品]华东师大初中数学九年级上册二次根式的乘除--知识讲解(基础)](https://img.taocdn.com/s3/m/9c6d561b43323968011c92c3.png)
二次根式的乘除法—知识讲解（基础）【学习目标】1、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算.2、了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简.【要点梳理】知识点一、二次根式的乘法及积的算术平方根1.乘法法则：（a≥0，b≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.要点诠释：(1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).(2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：≥0，≥0，…..≥0）.(3).若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.2.积的算术平方根:（a≥0，b≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.要点诠释：(1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足a≥0，b≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； (2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面.知识点二、二次根式的除法及商的算术平方根1.除法法则：（a≥0，b>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.。
要点诠释：(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，a≥0，b>0，因为b在分母上，故b不能为0.(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.2.商的算术平方根的性质:（a≥0，b>0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.要点诠释：运用此性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题.知识点三、最简二次根式（1）被开方数不含有分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：（1) 被开方数是分数或分式；（2）含有能开方的因数或因式.【典型例题】类型一、二次根式的乘除法1．(1)×；(2)×； (3)； (4)；【答案与解析】(1)×=；(2)×==；(3)===2；(4)==×2=2.【总结升华】直接利用计算即可．举一反三：【变式】各式是否正确，不正确的请予以改正：(1)；(2)×=4××=4×=4=8.【答案】(1)不正确．改正：=＝×=2×3=6；(2)不正确．改正：×=×===＝4.【高清课堂：二次根式及其乘除法（下）例9（1），（2）】2.计算：（1） 4÷（﹣）×．（2）计算：÷×．【思路点拨】做二次根式的乘除时要注意计算法则，根号外和根号内的因式分别相乘除，最终计算结果要化为最简形式.【答案与解析】解：（1）原式=﹣2÷×=﹣×=43-． （2）原式÷×==．【总结升华】掌握乘除运算的法则，并能灵活运用.类型二、最简二次根式3. （2016•自贡）下列根式中，不是最简二次根式的是（ ） A ． B ． C ． D ．【思路点拨】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式中的两个条件（被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式）．是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【答案】B ． 【解析】解：因为==2，因此不是最简二次根式．故选B ．【总结升华】规律总结：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 举一反三： 【变式】化简（10,0)a b >> 【高清课堂：二次根式及其乘除法（下）例6（12）】（2【答案】(1)原式2abc（2） 原式=44.已知0<a <b ,【答案与解析】原式a b a b +-=a =成立的条件是a >0;若a <0,a =-.。
华师大版-数学-九年级上册--22.2二次根式的乘除法(1)二次根式的乘法
( 2 ) 2000 ＝ 102 22 5 ＝ 102 × 22 × 5
＝10×2× 5 ＝20 5 注意：从上例可以看出，如果一个二次根式的被开方数中所 有的因式(或因数)能开的尽方，可以利用积的算数平方根的性质， 将这些因式(或因数)开出来，从而将二次根式化简。
例 2：化简：( 1 ) 4a2b3
初中-数学-打印版
科目 课题
教学目标
数 学
年级
班级
班 班
时间
二次根式的乘法
1、使学生掌握二次根式的乘法运算法则，会用它进行简单的
二次根式的乘法运算。
2、使学生了解两个二次根式的积仍然是一个二次根式(有的积
可以化简成最简结果，甚至不含根号)。
3、学会比较二次根式的大小的方法。
重点
掌握积的算术平方根的性质，的灵活运用二次根式的乘法法则
( 2 ) 5 × 10
初中-数学-打印版
初中-数学-打印版
解： 三、巩固练习 1、计算：（1） 5 2 3 18 ；（2） 2 3x 6y ；
（3） x 2y 2x 4y ；（4） 2x3 y 18xy3 。
2、计算：（1） 24 4.5
（2） 0.5 3.6
3、计算：（1） 2 27 38
学生掌握了二次根式的乘法运算法则，并且会用它进行简单的二次根式的 乘法运算，但是对于二次根式的化简，学生还是存在一定的问题，很多学生在 计算之后不能把结果化为最简二次根式，以后在教学中要注意。
初中-数学-打印版
一般的，有 ab ＝ a × b ( a ≥ 0 ，b ≥ 0 )
这就是说：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根 的积。
初中-数学-打印版
○线
初中-数学-打印版
华师版九年级上册数学知识点总结
华师版九年级上册数学知识点总结华师版九年级上册数学知识点总结二次根式1.二次根式的概念：形如的式子叫做二次根式．2.二次根式的性质：___(a0)（1）(a)2（a≥0）；（2）a0(a≥0)；（3）a2_______(a0) ___(a0)3.二次根式的乘除：乘法运算：ab___(a0,b0)计算公式：a除法运算：___(a0,b0)b4.概念：1.最简二次根式：(1)(2)(3)2.同类二次根式：5.二次根式的加减：(一化，二找，三合并)（1）将每个二次根式化为最简二次根式；（2）找出其中的同类二次根式；（3）合并同类二次根式．6.二次根式化简求值步骤：(1)“一分”：分解因数（因式）、平方数（式）；(2)“二移”：根据算术平方根的概念，把根号内的平方数或者平方式移到根号外面；(3)“三化”：化去被开方数中的分母．7.二次根式的混合运算：（1）二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的．（2）对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用．（3）在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．一元二次方程1.一元二次方程：1)一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程．2)一元二次方程的一般形式：ax2bxc0(a0)．它的特征：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零．ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项．2.一元二次方程的解法：1)直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法．直接开平方法适用于解形如(xa)2b的一元二次方程．根据平方根的定义可知，xa是b的平方根，当b0时，xab，xab，当b做未知数x，并用x代替，则有x22bxb2(xb)2．配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式．3)公式法：公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法．bb24ac2(b4ac0)一元二次方程axbxc0(a0)的求根公式：x2a24)因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法．分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式．3.一元二次方程根的判别式：一元二次方程ax2bxc0(a0)中，b24ac叫做一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的判别式，通常用“”来表示，即b24ac．1)当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；2)当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；3)当△abcd(交换内项)dc(交换外项)baacbddb(同时交换内外项)cabd(同时交换比的前项和后项)acaca±bc±dbdbdacmacma③等比性质：(bd n≠0)bdnbdnb②合比性质：3．黄金分割在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），如果ACBC，即ABACAC2=AB×BC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．其中AC4．平行线分线段成比例定理①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：ABDEABDEBCEF，，，BCEFACDFACDF②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所51AB≈0.618AB．2l1∥l2∥l3．则得的对应线段成比例．③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．5．相似三角形的判定①两角对应相等，两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；③三边对应成比例，两三角形相似．6．相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等,对应边成比例；②相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；③相似三角形周长的比等于相似比；面积的比等于相似比的平方．7．六种相似基本模型：ADDBECBECBADCADE∥BC∠B∠AED∠B∠ACDDOABCOCADBABDCAC∥BD8．射影定理X型∠B∠C母子型AD是Rt△ABC斜边上的高由_____________，得______________，即_______________；由_____________，得______________，即_______________；由_____________，得______________，即_______________．AB9．中位线1)三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段．三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的线段的1长是对应中线长的．32)梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段．梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底边和的一半．10．位似①如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．DC解直角三角形考点一、直角三角形的性质1.直角三角形的两个锐角互余．可表示如下：∠C=90°∠A+∠B=90°2.在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．A301BCDABC9023.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．ACB901CDABBDADD为AB的中点24.勾股定理直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2b2c2．5.摄影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项．CD2ADBDACB902ACADABCDAB2BCBDAB6.常用关系式由三角形面积公式可得：ABCD=ACBC考点二、直角三角形的判定1.有一个角是直角的三角形是直角三角形．2.如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．3.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a，b，c有关系a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形．考点三、锐角三角函数的概念1.如图，在△ABC中，∠C=90°①锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记为sinA，即sinAA的对边a斜边cA的邻边b斜边cA的对边aA的邻边bA的邻边bA的对边a②锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记为cosA，即cosA③锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记为tanA，即tanA④锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记为cotA，即cotA2.锐角三角函数的概念锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数．3.各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系：sinA=cos(90°A)，cosA=sin(90°A)tanA=cot(90°A)，cotA=tan(90°A)（2）平方关系：sin2Acos2A1（3）倒数关系：tanAcotA=1sinAcosA；cotA=cosAsinA4.锐角三角函数的增减性：当角度在0°~90°之间变化时，（4）弦切关系：tanA=（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）5.一些特殊角的三角函数值三角函数sinαcosα0°0130°45°60°123222223290°101tanαcotα考点四、解直角三角形1.解直角三角形的概念：0不存在33113不存在3330在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．2.解直角三角形的理论依据在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c （1）三边之间的关系：a2b2c2（勾股定理）（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°（3）边角之间的关系：abab,cosA,tanA,cotAccbababasinB,cosB,tanB,cotBccabsinA随机事件的概率1.概率（1）表示一个事件发生的可能性大小的这个数，叫做该事件的概率．P(所关注的事件)=所关注的结果/所有等可能的结果．2.概率的预测（1）要清楚我们关注的是发生哪个或哪些结果．（2）要清楚所有机会的结果．（1）、（2）两个结果个数之比就是关注的结果发生的概率．方法：画树状图、列表法．扩展阅读：华师大版数学九年级下册《圆》知识点总结圆1．圆的认识（1）当一条线段OA绕着它的一个端点O在平面内旋转一周时，它的另一个端点A的轨迹叫做圆。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
n＋3＋ 2
n＋1＞0，
1y＝
1 n＋2－
＝ n
n＋2＋ 2
n＞0，∵
n＋3＋
n＋1
＞ n＋2＋ n＞0，∴1x＞1y＞0，∴x＜y.
阶段核心方法专训
7 ． 用 “<” 将
x
，
1 x
，
x2
，
x连接起来为
______________________________(0<x<1)．
解：取特殊值 x＝14，则1x＝4，x2＝116， x ＝12，∴x2＜x＜ x＜1x.
3
8 5－a＞ a－6.
阶段核心方法专训
1．比较 6＋ 11与 14＋ 3的大小． 解：因为( 6＋ 11)2＝17＋2 66，( 14＋ 3)2 ＝17＋2 42，17＋2 66＞17＋2 42，所以( 6 ＋ 11)2>( 14＋ 3)2.又因为 6＋ 11>0， 14 ＋ 3>0，所以 6＋ 11＞ 14＋ 3.
1. 你虽然没有完整地回答问题，但你能大胆发言就是好样的！
此页为防盗标记页（下载后可删）
1、你的眼睛真亮，发现这么多问题！ 2、能提出这么有价值的问题来，真了不起！ 3、会提问的孩子，就是聪明的孩子！ 4、这个问题很有价值，我们可以共同研究一下！ 5、这种想法别具一格，令人耳目一新，请再说一遍好吗？ 6、多么好的想法啊，你真是一个会想的孩子！ 7、猜测是科学发现的前奏，你们已经迈出了精彩的一步！ 8、没关系，大声地把自己的想法说出来，我知道你能行！ 9、你真聪明！想出了这么妙的方法，真是个爱动脑筋的小朋友！ 10、你又想出新方法了，真会动脑筋，能不能讲给大家听一听？ 11、你的想法很独特，老师都佩服你！ 12、你特别爱动脑筋，常常一鸣惊人，让大家禁不住要为你鼓掌喝彩！ 13、你的发言给了我很大的启发，真谢谢你！ 14、瞧瞧，谁是火眼金睛，发现得最多、最快？ 15、你发现了这么重要的方法，老师为你感到骄傲！ 16、你真爱动脑筋，老师就喜欢你思考的样子！ 17、你的回答真是与众不同啊，很有创造性，老师特欣赏你这点！ 18、××同学真聪明！想出了这么妙的方法，真是个爱动脑筋的同学！ 19、你的思维很独特，你能具体说说自己的想法吗？ 20、这么好的想法，为什么不大声地、自信地表达出来呢？ 21、你有自己独特想法，真了不起！ 22、你的办法真好！考虑的真全面！ 23、你很会思考，真像一个小科学家！ 24、老师很欣赏你实事求是的态度！ 25、你的记录很有特色，可以获得“牛津奖”！
1、“读”是我们学习语文最基本的方法之一，古人说，读书时应该做到“眼到，口到，心到”。我看，你们今天达到了这个要求。 2、大家自由读书的这段时间里，教室里只听见琅琅书声，大家专注的神情让我感受到什么叫“求知若渴”，我很感动。 3、经过这么一读，这一段文字的意思就明白了，不需要再说明什么了。 4、请你们读一下，将你的感受从声音中表现出来。 5、读得很好，听得出你是将自己的理解读出来了。特别是这一句，请再读一遍。
阶段核心方法专训
2．比较 aa＋＋21与 aa＋＋32的大小．
解：因为
a＋1 a＋2÷
aa＋ ＋23＝（
a＋1）（ a＋3） （ a＋2）2
＝aa＋ ＋44 aa＋ ＋34＜1，易知 aa＋ ＋12>0， aa＋ ＋23>0，
所以
aa＋ ＋12＜
a＋2 a＋3.
阶段核心方法专训
方法总结：作商比较两个含二次根式的式子的大小 的方法：当两个式子(均为正数)均由分母和分子两部 分组成时，常通过作商比较它们的大小，先计算两 个式子的商，然后比较商与 1 的大小关系．已知 a ＞0，b＞0，若ab＞1，则 a＞b；若ab＝1，则 a＝b； 若ab＜1，则 a＜b.
阶段核心方法专训
3．比较 15－ 14与 14－ 13的大小．
解： 15－ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ14
＝（
15－
14）（ 15＋ 15＋ 14
14）＝
1 15＋
， 14
14－ 13
（ ＝
14－
13）（ 14＋ 14＋ 13
13）＝
1 14＋
， 13
∵ 15＋ 14＞ 14＋ 13， 15＋ 14>0， 14＋ 13>0，
温馨提示： 此PPT
可修改编辑
1. 你真让人感动，老师喜欢你的敢想、敢说、敢问和敢辩，希望你继续保持下去。 2. 这么难的题你能回答得很完整，真是了不起！你是我们班的小爱因斯坦。 3. 你预习的可真全面，自主学习的能力很强，课下把你的学习方法介绍给同学们，好不好？ 4. 哎呀. 通过你的发言，老师觉得你不仅认真听，而且积极动脑思考了，加油哇！ 四、提醒类
HS版九年级上
第21章 二次根式
阶段核心方法专训 比较含二次根式的式子的大小的八种
方法
习题链接
提示：点击 进入习题
1 6＋ 11＞ 14＋ 3.
2
aa＋＋21＜
a＋2 a＋3.
3 15－ 14＜ 14－ 13.
4
1 2－
＞ 3
1 3－
2.
5
19－1 2 3 >3.
答案显示
6 x＜y.
7 x2＜x＜ x＜1x.
阶段核心方法专训
3
8．比较 5－a与 a－6的大小．
解：∵5－a≥0，∴a≤5.∴a－6＜0.
3
∴ a－6＜0.
3
又∵ 5－a≥0，∴ 5－a＞ a－6.
同学们下课啦
授课老师：xxx
此页为防盗标记页（下载后可删）
教师课堂用语在学科专业方面重在进行“引”与“导”，通过点拨、搭桥等方式让学生豁然开朗，得出结论，而不是和盘托 出，灌输告知。一般可分为：启发类、赏识类、表扬类、提醒类、劝诫类、鼓励类、反思类。
一、启发类
1. 集体力量是强大的，你们小组合作了吗?你能将这个原理应用于生活吗?你的探究目标制定好了吗? 2. 自学结束，请带着疑问与同伴交流。 3. 学习要善于观察，你从这道题中获取了哪些信息? 4. 请把你的想法与同伴交流一下，好吗? 5. 你说的办法很好，还有其他办法吗?看谁想出的解法多? 二、赏识类
1. 说得太好了，老师佩服你，为你感到骄傲！ 2. 你的设计(方案、观点)富有想象力，极具创造性。 3. 我非常欣赏你的想法，请说具体点，好吗? 4. 某某同学的解题方法非常新颖，连老师都没想到，真厉害！ 5. 让我们一起为某某喝彩！同学们在学习过程中，也要敢于猜想，善于猜想，这样才能有所发现，有所创造! 三、表扬类
∴
1 15＋
14<
1 14＋
，即 13
15－
14＜
14－
13.
阶段核心方法专训
4．比较2－1
与 3
1 3－
的大小． 2
解：∵2－1
3＝2＋
3，
1 3－
＝ 2
3＋
2，
2＋ 3＞ 3＋ 2，
∴2－1
＞ 3
1 3－
2.
阶段核心方法专训
5．比较 193－1与23的大小． 【点拨】利用作差法比较两个式子的大小的方
此页为防盗标记页（下载后可删）
1、谢谢大家听得这么专心。 2、大家对这些内容这么感兴趣，真让我高兴。 3、你们专注听讲的表情，使我快乐，给我鼓励。 4、我从你们的姿态上感觉到，你们听明白了。 5、我不知道我这样说是否合适。 6、不知我说清了没有，说明白了没有。 7、我的解释不知是否令你们满意，课后让我们大家再去找有关的书来读读。 8、你们的眼神告诉我，你们还是没有明白，想不想让我再讲一遍？ 9、会“听”也是会学习的表现。我希望大家认真听好我下面要说的一段话。 10、从听课的情况反映出，我们是一个素质良好的集体。 1、谢谢你，你说的很正确，很清楚。 2、虽然你说的不完全正确，但我还是要感谢你的勇气。 3、你很有创见，这非常可贵。请再响亮地说一遍。 4、××说得还不完全，请哪一位再补充。 5、老师知道你心里已经明白，但是嘴上说不出，我把你的意思转述出来，然后再请你学说一遍。 6、说，是用嘴来写，无论是一句话，还是一段话，首先要说清楚，想好了再说，把自己要说的话在心里整理一下就能说清楚。 7、对！说得很好，我很高兴你有这样的认识，很高兴你能说得这么好！ 8、我们今天的讨论很热烈，参与的人数也多，说得很有质量，我为你们感到骄傲。 9、说话，是把自己心里的想法表达出来，与别人交流。说时要想想，别人听得明白吗？ 10、说话，是与别人交流，所以要注意仪态，身要正，不扭动，眼要正视对方。对！就是这样！人在小时候容易纠正不良习惯，经常 注意哦。
法，即a－b>0，则a>b；a－b<0，则a<b；a－b
＝0，则a＝b.
解：因为 193－1－23＝ 193－3， 19－3>0，
所以
193－3>0，所以
19－1 2 3 >3.
阶段核心方法专训
6．已知 x＝ n＋3－ n＋1，y＝ n＋2－
n，试比较 x，y 的大小．
解：1x＝
1 n＋3－
n＋1＝