初中数学一次函数总结

一次函数的应用考点·方法·破译1．在现实社会的生产生活中，营销策略、方案设计、工程与行程等实际间题中，往往需要运用一次函数的知识解决问题，这里关键是根据图象与表格等建立一次函数模型，结合方程与方程组，不等式与不等式组等知识使问题得到解决．经典·考题·赏析【例1】（温州）为调动销售人员的积极性，A、B两公司采取如下工资支付方式：A 公司每月2000元基本工资，另加销含额的2%作为奖金；B公司每月1600元的基本工资，另加销售额的4%作为奖金．已知A、B公司两位销售员小李、小张l～6月份的销售额如下表：⑴小李与小张3 月份的工资各是多少？⑵小李l～6月份的销售额y1与月份x的函数关系式是y1＝1200x＋l0400，小张1～6月份的销售额y2也是月份x的一次函数，请求出y2与x的函数关系式；⑶如果7～12月份两人的销售额也分别满足⑵中两个一次函数的关系，问几月份起小张的工资高于小李的工资．解：⑴小李3月份工资＝2000＋2%×14000＝2280（元）小张3月份工资＝1600＋4%×11000＝2040（元）⑵设y2＝kx＋b，取表中的2对数（1，7400），（2，9200）代入解析式，得740092002k bk b=+⎧⎨=+⎩，解得18005600kb=⎧⎨=⎩，即y2＝1800x＋5600，⑶小李的工资w1＝2000＋2%（1200x＋10400）＝24x＋2208小张的工资w2＝1600＋4%（1800x＋5600）＝72x＋1824当小张的工资w1＞w2时，即72x＋1824＞24x＋2208，解得x＞8答：从9月份起，小张的工资高于小李的工资．【变式题组】01．（潍坊）某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜产品需要装入某一规格的纸箱．供应这种纸箱有两种方案可供选择：方案一：从纸箱厂定制购买，每个纸箱的价格为4元；方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取．工厂需要一次性投入机器安装等费用16000元，每加工一个纸箱还需要成本费2.4元．⑴若需要这种规格纸箱x（个别），请分别写出从纸箱厂购买纸箱的费用y1（元）和蔬菜加工厂自己加工制作纸箱的费用y2（元）与x（个）的函数关系；⑵假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？并说明理由．【例2】（山东）某工程机械厂根据市场需求，计划生产A、B两种型号的大型挖掘机共100台，该厂所筹生产资金不少于22400万元，但不超过22500万元．且所筹资金全部用于生产此两型挖掘机，所生产的此两型挖掘机可全部售出，此两型挖掘机的生产成本和售价如下表：⑴该厂对这两型挖掘机有哪几种生产方案？⑵该厂如何生产能获得最大利润？⑶根据市场调查，每台B型挖掘机的售价不会改变，每台A型挖掘机的售价将会提高m万元（m＞0 ) ，该厂应该如何生产可获得最大利润？（注：利润＝售价一成本）【解法指导】解：⑴设生产A型挖掘机x台，则B型挖掘机可生产（100－x）台，由题意得22400≤200x＋240（100－x）≤22500，解得37.5≤x≤40，∵x取非负整数，∴x为38，39，40．∴有三种生产方案：A型38台，B型62台；A型39台，B型61台；A型40台，B型60台．⑵设获得利润W（万元），由翅意知W＝50x＋60（100－x）＝6000－10x∴当x＝38时，W最大＝5620（万元），即生产A型38台，B型62台时，获得利润最大．⑶由题意得知W＝（50＋m）x＋60(100－x)＝6000＋(m－10)x．∴当0＜m＜10，则x＝38时，W最大，即A型挖掘机生产38台，B型挖掘机生产62台；当m＝10时，m－10＝0，三种生产方案获得利润相等；当m＞10时，则x＝40时，W最大，即A型挖掘机生产40台，B型挖掘机生产60台．【变式题组】01．（天门）某地为促进特种水产养殖业的发展，决定对甲鱼和黄鳝的养殖提供政府补贴．该地某农户在改建的10个l亩大小的水池里分别养殖甲鱼和黄鳝，因资金有限，投人不能超过14万元，并希望获得不低于10.8万元的收益，相关信息如下表所示：养殖种类成本（万元/亩）毛利润（万元/亩）政府补贴（万元/亩）甲鱼 1.5 2.5 0.2黄鳝 1 1.8 0.1⑴根据以上信息，该农户可以怎样安排养殖？⑵应怎样安排养殖，可获得最大收益？⑶根据市场调查，在养殖成本不变的情况下，黄鳝的毛利润相对稳定，而每亩甲鱼的毛利润将减少m万元．问该农户又该如何安排养殖，才能获得最大的收益？02．（成宁）某市A、B两个蔬菜基地得知四川C、D两个灾民安置点分别急需蔬菜240吨和260吨的消息后，决定调运蔬菜支援灾区．已知A蔬菜基地有蔬菜200吨，B蔬菜基地有蔬菜300吨，现在将这些蔬菜全部调往C、D两个灾民安置点．从A地运往C、D 两处的费用分别为每吨20元和每吨25元，从B地运往C、D两处的费用分别为每吨15元和每吨18元．设从B地运往C处的蔬菜为x吨．⑴请填写下表，并求两个蔬菜基地调运的运费相等时x的值；⑵设A、B两个蔬菜基地的总运费为w元，写出w与x之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案；⑶经过抢修，从B地到C处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m元（m＞0)，其余线路的运费不变，讨论总运费最小的调运方案．【例3】（荆州）某健身器材销售公司通过当地“红十字会”向灾区献爱心，捐出了五月份的全部销售利润，已知该公司五月份只售出甲、乙、丙三种型号器材若干台，每种型号器材不少于8 台，五月份支出包括这批器材进货款64万元和其他各项支出（即人员工资和杂项开支）3.8万元．这三种器材的进价和售价如下右表，人员工资y1（万元）和杂项支出y2（万元）分别与总销售量x成一次函数关系（如图）．⑴求y1与x的函数解析式；⑵求五月份该公司的总销售量；⑶设五月份售出甲种型号器材t台，五月份总销售利润为W（万元），求W与t的函数关系式；（销售利润＝销售额－进价－其他各项支出）⑷请推测该公司这次向灾区捐款金额的最大值．【解法指导】解：⑴设y1＝kx＋b（x＞0），则0.220 1.2bk b=⎧⎨+=⎩，解得0.050.2kb=⎧⎨=⎩，∴y1与x的函数关系式为y1＝0.05x＋0.2⑵依题意得y1＋y2＝0.05x＋0.2＋0.005x＋0.3＝3.8∴x＝60∴五月份该公司的总销售量为60台．⑶设五月份售出乙型号器材p台，则售出丙型号器材（60－t－p）台．0.9t＋1.2p＋1.1（60－t－p）＝64，p＝2t－20∴W＝1.2t＋1.6（2t－20）＋1.3（60－t－2t＋20）－64－3.8W＝0.5t＋4.2⑷依题意有82208602208ttt t⎧⎪-⎨⎪--+⎩≥≥≥，∴14≤t≤24，∵t为正整数，∴t最大为24，∴W是关于t的一次函数，∴W随t的增大而增大．∴t＝24时，W最大＝0.5×24＋4.2＝16.2（万元）∴该公司这项向灾区捐款金额的最大值为16.2万元．【变式题组】01．（眉山）某玩具经销商用去2350元购进A、B、C三种新型的电动玩具共50套，并且购进的三种玩具都不少于10套，设购进A种玩具x套，B种玩具y套，三种电动玩具的进价和售价如下表所示：⑴求含x、y的代数式表示购进C种玩具的套数；⑵求y与x之间的函数关系式；⑶假设所购进的这三种玩具能全部卖出，且在购销这种玩具的过程中需要另外支出各种费用200元．①求利润P（元）与x（套）之间的函数关系式；②求利润的最大值，并写出此时三种玩具各多少套．02．（双柏县）今年我县水果又喜获丰收，某乡组织30辆汽车装运A、B、C三种水果共64吨到外地销售，规定每辆汽车只装运一种水果，且必须装满；装运每种水果的汽车不少于4辆；同时，装运的B种水果的重量不超过装运的A、C两种水果重量之和．⑴假设用x辆汽车装运A种水果，用y辆汽车装运B种水果，根据下表提供的信息，求y与x之间的函数关系式并写出自变量的取值范围．⑵设此次外销活动的利润为Q，求Q与x之间的函数关系式，请你提出一个获得最大利润时的车辆分配方案．03．（河北）某公司装修需用A型板材240块、B型板材150块，A型板材规格是60cm×30cm，B型板材规格是40cm×30cm．现只能购得l50cm×30cm的标准板材．一张标准板材尽可能多的裁出A型、B型板材，共有下列三种裁法：（图中是裁法一的裁剪示意图）裁法一裁法二裁法三A型板材块数 1 2 0B型板材块数 2 m n⑴上表中，m＝_________，n＝___________；⑵分别求出y与x和z与x的函数关系式；⑶若用Q表示所购标准板材的张数，求Q与x的函数关系式，并指出当x 取何值时Q 最小，此时按三种裁法各裁标准板材多少张？【例4】（宜昌）2007年5月，第五届中国宜昌长江三峡国际龙舟拉力赛在黄陵庙揭开比赛序幕，20日上午9时，参赛龙舟从黄陵庙同时出发，其中甲、乙两队在比赛时，路程y （千米）与时间x （小时）的函数关系式如图所示．甲队在上午11时30分到达终点黄泊河港．⑴哪个队先到达终点？乙队何时追上甲队？ ⑵在比赛过程中，甲、乙何时相距最远？ 【解法指导】解：⑴乙队先到达终点，对于乙队，x ＝1时，y ＝16，所以y ＝16x ，对于甲队出发1小时后，设y 与x 关系为y ＝kx ＋b ，将x ＝1，y ＝20和x ＝2.5，y ＝35分别代入上式得：2035 2.5k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得：y ＝10x ＋10，解方程组161010y xy x =⎧⎨=+⎩，得x ＝53，即出发1小时40分钟（或者上午10点40分）乙队追上甲队．⑵1小时之内，两队相距最远距离是4千米，乙队追上甲队后，两队的距离是16x －（10x ＋10），当x 为最大，即x ＝3516时，6x －10最大，此时最大距离为6×3516－10＝3.125＜4，所以比赛过程中，甲、乙两队在出后1小时（或者上午10时）相距最远．【变式题组】01．（佳木斯）甲、乙两辆汽车沿同一路线赶赴距出发地480千米的目的地，乙车比甲车晚出发2小时（从甲车出发时开始计时）．图中折线OABC 、线段DE 分别表示甲、乙两车所行路程y （千米）与时间x （小时）之间的函数关系对应的图象（线段AB 表示甲出发不足2小时因故停车检修）．请根据图象所提供的信息，解决如下问题：⑴求乙车所行路程y与时问x的函数关系式；⑵求两车在途中第二次相遇时，他们距出发地的路程；⑶乙车出发多长时间，两车在途中第一次相遇？02．（牡丹江）甲、乙两车同时从A地出发，以各自的速度匀速向B地行驶．甲车先到达B 地，停留l小时后按原路以另一速度匀速返回，直到两车相遇．乙车的速度为每小时60千米，下图是两车之间的距离y与乙车行驶的时间x（小时）之间的函数图象．⑴请将图中的（）内填上正确的值，并直接写出甲车从A到B的行驶速度；⑵求从甲车返回到乙车相遇过程中y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；⑶求出甲车返回时行驶速度及A、B两地的距离．【例5】（自贡）抗震救灾中，某县粮食局为了保证库存粮食的安全，决定将甲、乙两个仓库的粮食全部转移到具有较强抗震能力的A、B两个仓库．已知甲库有粮食100吨，乙库有粮食80吨，而A库的容量为70吨，B库的容量为110吨，从甲、乙两库到A、B两库的路程和运费如下表（表中“元/吨·千米”表示每吨粮食运送1千米所需人民币）路程（千米）运费（元/吨·千米）甲库乙库甲库乙库A库20 15 12 12B库25 20 10 8⑴若甲库运往A库粮食x吨，请写出将粮食运往A、B两库的总运费y（元）与x（吨）的函数关系式；⑵当甲、乙两库各运往A、B两库多少吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是多少？【解法指导】解：⑴依题意有：y＝12×20x＋10×25（100－x）＋12×15（70－x）＋8×20×[80－（70－x）]＝－30x ＋39200∵700100080(70)0xxxx-⎧⎪⎪⎨-⎪⎪--⎩≥≥≥≥，∴0≤x≤70⑵上述一次函数中k＝－30＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x＝70吨时，总运费最省，最省的总运费为－30×70＋39200＝37100（元）【变式题组】01．（河北）光华农机租凭公司共有50台联合收割机，其中甲型有20台，乙型有30台，现在将这50台联合收割机派往A、B两地区收割小麦，其中30台派往A地区，20台派往B地区，两地区与该农机租赁公司商定每天的租赁价格见下表：⑴设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y（元），求y与x间的函数关系式，并写出x的取值范围；⑵若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得租金总金额不低于79600元，说明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来；⑶如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司提出一条合理的建议．02．（安庆）为支持四川抗震救灾，重庆市A、B、C三地现在分别有赈灾物资100吨、100吨、80吨，需要全部运往四川重灾地区的D、E两县，根据灾区的情况，这批贩灾物资运往D县的数量比运往E县的数量的2倍少20吨．⑴求这批赈灾物资运往D、E两县的数量各是多少？⑵若要求C地运往D县的赈灾物资为60吨，A地运往D的赈灾物资为x吨（x为整数），B地运往D县的赈灾物资数量小于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍，其余的赈灾物资全部运往E县，且B地运往E县的赈灾物资数量不超过25吨．则A、B两地的赈灾物资运往D、E两县的方案有几种？⑶已知A、B、C三地的赈灾物资运往D、E两县的费用如下表：为及时将这批赈灾物资运往D、E两县，某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用，在⑵问的要求下，该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？【例6】（荆州竞赛题）在底面积为100cm2、高为20m的长方体水槽内放入一个圆柱形烧杯（烧杯本身的质量、体积忽略不计），如图所示，向烧杯中注入流量一定．．．．的水，注满烧杯后，继续注水，直到注满水槽为止（烧杯在水槽中的位置始终不变）．水槽中水面．．．．．上升的高度h与注水时间t之间的函数关系式如图所示．⑴求烧杯的底面积；⑵若烧杯的高为9cm，求注水的速度及注满水槽所用的时间．【解法指导】设烧杯底面积为Scm 2，高为h 1cm ，注水速度为Vcm 3/s ，注满水槽用时t 0s ．⑴由图可知，当注水18s 时，烧杯刚好注满；当注水90s 时水槽内水面高恰好为h 1cm（烧杯高）．于是为Sh 1＝18V ，100h 1＝90V ，则100h 1＝118Sh 1×＝90，∴S ＝20（cm 2），∴烧杯的底面积为20cm 2．⑵若h 1＝90cm ，则V ＝10cm 3/s ，从而100×2010＝200s ．∴注水速度为10cm 3/s ，注满水槽所用时间为200s ．【变式题组】01．某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输机进行空中加油，在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为Q 1吨，加油飞机的加油油箱．．．．余油量为Q 2吨，加油时间为t 分钟，Q 1、Q 2与t 之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题：⑴加油飞机的加油油箱中装了多少吨油？将这些油全部加给运输机需要多少分钟？ ⑵求加油过程中，运输飞机的余油量Q 1（吨）与时间t （分钟）的函数关系式；⑶运输飞机加完油后以原速度继续飞行，需要10小时到达目的地，油料是否够用呢？请你算一算，并说明理由．02．（黑龙江）某企业有甲、乙两个长方形的蓄水池，将甲池中的水以每小时6立方米的速度注人乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深度y （米）与注水时间x （小时）之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题：⑴分别求出甲、乙两个蓄水池中水的深度y 与注水时间x 之间的函数关系式； ⑵求注水多长时间甲、乙两个蓄水池中水的深度相同；⑶求注多长时间甲、乙两个蓄水池的蓄水量相同．03．（绥化）因南方早情严重，乙水库的蓄水量以每天相同的速度持续减少．为缓解旱情，北方甲水库即以管道运输的方式给予支援，下图是两水库的蓄水量y（万米3）与时间x （天）之间的函数图象．在单位时间内，甲水库的放水量与乙水库的进水量相同（水在排放、接收以及输送过程中的损耗不计）．通过分析图象回答下列问题：⑴甲水库每天的放水量是多少万立方米？⑵在第几天时甲水库输出的水开始注入乙水库？此时乙水库的蓄水量为多少万立方米？⑶求直线AD的解析式．演练巩固反馈提高01．如图，把一次性纸杯整齐的叠放在一起，根据图中的信息，当一筒纸杯的高度为35cm时，则该筒纸杯有（）A．40个B．45个C．50个D．55个02．王老师组织学生举行了一次手抄报活动，最后把十名优秀者的手抄报粘合在一起，在教室里展出．如图，知每张报纸长为38cm，宽为28cm，粘合部分的纸为2cm宽，则这10张报纸粘合后的长度为（ ）A ．360cmB ．362cmC ．364cmD ．380cm 03．（朝阳）如图是小明从学校到家里行进的路程S （米）与时间t （分）的函数图象．观察图象，从中得到如下信息：①学校离小明家1000米；②小明用了20分钟到家；③小明前10分钟走了路程的一半；④小明后10分钟比前10分钟走的快，其中正确的有_________（填序号）04．（嘉兴）沪杭高速铁路已开工建设，某校研究性学习以此为课题，在研究列车的行驶速度时，得到一个数学问题，如图，若v 是关于t 的函数，图象为折线O —A —B —C ，其中A （t 1，350），B （t 2，350），C （1780，0），四边形OABC 的面积为70，则t 2－t 1＝（ ）A ．15B ．316C ．780D ．3116005．（黄冈）小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达A ，再走上坡路到达B ，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程关系如图所示，下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是（ ）A ．12分钟B ．15分钟C ．25分钟D ．27分钟 06．（宁波）如图，某电信公司提供了A 、B 两种方案的移动通信费用y （元）与通话时间x （分）之间的关系，则以下说法错误．．的是（ ） A ．若通话时间少于120分钟，则A 方案比B 方案便宜20元B ．若通话时间少于200分钟，则B 方案比A 方案便宜12元C ．若通讯费用为60元，则B 方案比A 方案的通话时间多D ．若两种方案通讯费用差10元，则通话时间是145分或185分07．（贵州黔东南州）如图，在中学生耐力测试比赛中，甲、乙两学生测试的路程S （米）与时间t （秒）之间的函数关系的图象分别为折线OABC 和线段OD ，下列说法正确的是（）A．乙比甲先到终点B．乙测试的速度随时间增大而增大C．比赛进行到29.4秒时，两人出发后第一次相遇D．比赛全程甲的测试速度始终比乙的测试速度快08．（长春）某部队甲、乙两班参加植树活动．乙班先植树30棵，然后甲班才开始与乙班一起植树，设甲班植树的总量为y甲（裸），乙班植树的总蚤为y乙（棵），两班一起植树所用的时间（从甲班开始植树时计时）为x（时）．y甲、y乙分别与x之间的部分函数图象如图所示．⑴当0≤x≤6时，分别求y甲、y乙与x之间的函数关系式；⑵如果甲、乙两班均保持前6个小时的工作效率，通过计算说明，当x＝8时，甲、乙两班植树的总量之和能否超过260棵；⑶如果6个小时以后，甲班保持前6个小时的工作效率，乙班通过增加人数，提高了工作效率，这样继续植树2小时，活动结束，当x＝8时，两班之间植树的总量相差20裸，求乙班增加人数后平均每小时植树多少裸．09．某服装厂现有A种布料35m，B种布料26m，现计划用这两种布料生产男、女两款式的时装共40套．已知做一套男时装需要A种布料0.6m、B种布料0.9m，可获利90元；做一套女时装需要A种布料1.lm，B种布料0.4m，可获利100元，若设生产男时装套数为x套，用这批布料生产这两种时装所获得总利润为y元．⑴求y与x的函数关系式，并求出x的取值范围；⑵该服装厂生产这批服装中，当生产男时装多少套时，所获得利润最大？最大利润是多少元？10．（江苏无锡）某企业在生产甲、乙两种节能产品时需用A、B两种原料，生产每吨节能产品所需原料的数量如下表所示：销售甲、乙两种产品的利润m（万元）与销售量n（吨）之间的函数关系如图所示．已知该企业生产了甲种产品x吨和乙种产品y吨，共用去A原料200吨．⑴写出x与y满足的关系式；⑵为保证生产的这批甲种、乙种产品售后的总利润不少于220万元，那么至少要用B原料多少吨？11．（深圳）某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装，生产开始后，调研部门发现：l名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车．⑴每名熟练工和新工人每月分别可安装多少辆电动汽车？⑵如果工厂招聘n（0＜n＜10）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好．．能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种．．．新工人的招聘方案？⑶在⑵的条件下：工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发2000元的工资．给每名新工人每月发1200元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能的少？12．（河北）一手机经销商计划购进某品牌的A型、B型、C型三款手机共60部，每款手机至少要购进8部，且恰好用完购机软61000元，设购进A型手机x部，B款手机y部．三款手机的进价和预售价如下表：⑴用含x，y的式子表示购进C型手机的部数；⑵求出y与x之间的函数关系式；⑶假设所购进手机全部售出，综合考虑各种因素，该手机经销商在购销这批手机过程中需另外支出各种费用共1500元．①求预估利润P（元）与x（部）的函数关系式；（注：预估利润P＝预售总额一购机款一各种费用）②求预估利润的最大值，并写出此时购进三款手机各多少部．。