创新大课堂高三人教版数学理科一轮复习课件10.7离散型随机变量及其分布列
人教版高中数学高考一轮复习--离散型随机变量及其分布列(课件 共32张PPT)
机变量的取值,例如x,y,z.
3.离散型随机变量的散布列
(1)定义
一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,我们称X取每一个值
xi的概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n为X的概率散布列,简称散布列.
(2)性质
①pi≥0,i=1,2,…,n;
②p1+p2+…+pn=1.
4.两点分布
由题意知P(X<1)=P(X=0)+P(X=-1)+P(X=-2)=0.2+0.2+0.1=0.5.
3.(多选)设随机变量X的散布列为 P = =ak(k=1,2,3,4,5) ,则(ABC)
5
A.15a=1
B.P(0.5<X<0.8)=0.2
C.P(0.1<X<0.5)=0.2
D.P(X=1)=0.3
①求此人到达当日空气重度污染的概率.
②设X是此人停留期间空气质量良好的天数,求X的散布列.
解 ①设 Ai 表示“此人于 3 月 i 日到达该市”,i=1,2,…,13,
1
根据题意,P(Ai)= ,且
13
Ai∩Aj=⌀,i≠j,
设 B 表示“此人到达当日空气重度污染”,则 B=A5∪A8,
故此人到达当日空气重度污染的概率
均失败,第三次实验无论成功与否,之后都停止实验.而错误解法误认为X=3
表示前两次实验均失败,第三次实验成功.
正确解法
依题意,X的可能取值为1,2,3,
2
1 2 2
则 P(X=1)=3,P(X=2)=3 × 3 = 9,
1 1
2 1
1
P(X=3)= × × + = .
高考数学一轮总复习 10.7离散型随机变量及其分布列课件
X
0
1
2
P
a
b
c
则 a＝________，b＝________，c＝________.
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22
解析 P(X＝0)＝C125＝110；P(X＝1)＝CC13C25 12＝35；P(X＝2)＝CC2235＝ 3 10.
答案
1 10
3 5
3 10
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23
R 热点命题·深度剖析
研考点 知规律 通法悟道
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
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12
解析 ①根据随机试验的条件可知正确． ②离散型随机变量的所有取值可以一一列出，故②错． ③离散型随机变量的分布列中 pi≥0(i＝1,2,3，…，n)，故③ 错． ④由离散型随机变量的分布列的性质可知④正确．
答案 C
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13
2．袋中装有 10 个红球、5 个黑球．每次随机抽取 1 个球后，
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25
问题 2 若 ξ 是随机变量，那么 aξ＋b(a，b∈R)是否是随机变 量？
(1)随机变量 ξ 的线性组合 η＝aξ＋b(a，b∈R)是随机变量． (2)求 η＝aξ＋b 的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据 对应的概率写出分布列． 求分布列中参数的值时应保证每个概率值均为非负数．
第十章 计数原理、概率、随机变量 及其分布(理) 概率(文)
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1
第七节 离散型随机变量及其分布列(理)
基础回扣·自主学习
热点命题·深度剖析
特色专题·感悟提高
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2
高考明方向
1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解 分布列对于刻画随机现象的重要性．
高考数学大一轮复习 第十章 第7节 离散型随机变量及其分布列课件
(2)从盒中一次随机取出 4 个球，其中红球、黄球、绿球 的个数分别记为 x1，x2，x3，随机变量 X 表示 x1，x2，x3 中的 最大数．求 X 的概率分布和数学期望 E(X)．
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20
【解】 (1)取到的 2 个颜色相同的球可能是 2 个红球、2 个黄球或 2 个绿球，
ξ23 4 5 6
P
1 4
1 3
5 18
1 9
1 36
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18
规律方法 2 1.求随机变量的分布列的主要步骤：(1)明确 随机变量的取值；(2)求每一个随机变量取值的概率；(3)列成 表格．
2．求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的 分布列是否正确．
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19
对点训练 (2014·江苏高考)盒中共有 9 个球，其中有 4 个红球、3 个黄球和 2 个绿球，这些球除颜色外完全相同．
5
A.16
B.4
C.16
D.16
【答案】 A
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10
4．从装有 3 个白球，4 个红球的箱子中，随机取出了 3
个球，恰好是 2 个白球，1 个红球的概率是( )
4
6
A.35
B.35
12 C.35 【答案】 C
36 D.343
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11
考向一 [185] 离散型随机变量分布列的性质
设离散型随机变量 X 的分布列为
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3
二、离散型随机变量的分布列及性质
1．一般地，若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1，
x2，…，xi，…，xn，X 取每一个值 xi(i＝1,2，…，n)的概率
人教版高考数学理科一轮总复习配套课件11.4离散型随机变量及其分布列
-2-
1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,了解分布列对于 刻画随机现象的重要性. 2.理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单的应用.
-3-
1.随机试验: 一般地, 一个试验如果满足下列条件: ( 1) 试验可以在相同的条件下重复进行; ( 2) 试验所有可能的结果是明确的, 并且不止一个; ( 3) 每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个, 但在一次试验之前 却不能肯定这次试验的结果会出现哪一个, 这种试验就是一个随机试验. 2.随机变量: 在随机试验中, 随着 随机变量.
������iM ������n-i N-M ������n N
…
n-m ������m ������ M N-M ������n N
-8-
基础自测
1.抛掷两颗骰子,所得点数之和记为 X,那么 X=4 表示的随机试验结果是 ( ) A.两颗都是 4 点 B.两颗都是 2 点 C.一颗是 1 点,另一颗是 3 点 D.一颗是 1 点,另一颗是 3 点,或者两颗都是 2 点
P
3 5
3 10
1 10
3
则 X 的数学期望 E(X)=( A.
3 2
) C.
5 2
B.2
D.3
关闭
E (X )=1×+2× +3× = = .
5 10 10 10 2
3
3
1
15 3
关闭
A
解析
答案
-10-
3.设 ξ 是一个离散型随机变量,则下列不一定能成为 ξ 的概率分布列的一组 数是( ) A.0,0,0,1,0 B.0.1,0.2,0.3,0.4 C.P,1-P(P 为实数) 1 1 1 1 D. , ,…, , (n∈N*)
高考数学一轮复习第10章第7讲离散型随机变量及其分布列课件理
B.3
C.4
D.12
答案 C
答案
解析 由分布列的性质得，112＋16＋13＋16＋p＝1， 解得 p＝14.
解析
(4)从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛，则所选 3 人中女
生人数不超过 1 人的概率是________．
答案
4 5
解析 设所选女生人数为 x，则 x 服从超几何分布， 其中 N＝6，M＝2，n＝3，则 P(x≤1)＝P(x＝0)＋P(x＝1)＝CC20C36 34＋CC21C36 24＝45.
B．P(ξ＞1)＝45
C．P(2＜ξ＜4)＝25 D．P(ξ＜0.5)＝0
答案 C
答案
解析 由离散型随机变量 ξ 的概率分布列得， P(ξ＜3)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝110＋15＋110＋15＝35，故 A 错误；P(ξ＞1)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝15＋25＝35，故 B 错误；P(2＜ξ＜4)＝P(ξ ＝3)＝25，故 C 正确；P(ξ＜0.5)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝0)＝110＋15＝130，故 D 错误．
(4)若随机变量 X 的分布列由下表给出， X2 5 P 0.3 0.7
则它服从两点分布．( × )
2．小题热身
(1)已知 8 件产品中有 2 件次品，从中任取 3 件，取到次品的件数为随
机变量 ξ，那么 ξ 的可能取值为( )
A．0,1
B．1,2
C．0,1,2
D．0,1,2,3
答案 C 解析 由于只有 2 件次品，所以 ξ 的可能取值为 0,1,2.
□n
②
05 pi＝1
i＝1
.
3．常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布 若随机变量 X 服从两点分布，即其分布列为
高考数学一轮复习 第十章 第七节 离散型随机变量及其分布列课件 理 新人教版
[规律方法] 求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定 X 的
取值情况，然后通过概率知识求出 X取各个值对应的概率值，
注意利用分布列的性质验证．
[跟踪训练]
2．(2014·北京东城) 某中学选派40名同学参加北京市高中生
1 1 3 A [P(2＜X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝ 3＋ 4＝ .] 2 2 16
3．袋中装有 10 个红球、5 个黑球．每次随机抽取 1 个球后，若 取得黑球则另换 1 个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽 取的次数为 X，则表示“放回 5 个红球”事件的是 ( A．X＝4 C．X＝6 B．X＝5 D．X≤5 )
则 k 的值为 ( 1 A. 2 C．2 k k k B [由 ＋ ＋…＋ ＝1， n n n 解得 k＝1.] B．1 D．3 )
分布列的求法 [典题导入]
(2013·江西高考)小波以游戏 方式决定是参加学校合唱团还是参加学校 排球队．游戏规则为：以O为起点，再 从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图)
1－p
这样的分布列叫做两点分布列.
如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从 两点分 布，而称p＝ P(X＝1) 为成功概率．
2．超几何分布列 一般地，在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰
n －k Ck C M N －M 有 X 件次品，则 P(X＝k)＝ ，k＝0,1,2，…，m， Cn N
称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布 列．有时为了表达简单，也用等式 P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n
表示X的分布列．
三、离散型随机变量分布列的性质 1． pi ≥0，i＝1,2，…，n； 2. pi＝1 .
高考人教版数学(理)大一轮复习精讲课件第9章 第7节 离散型随机变量及其分布列
∴X 的分布列为
X P
0
1 4
1
1 2
2
1 4
答案：
X P
0
1 4
1
1 2
2
1 4
a 1．离散型随机变量 X 的概率分布规律为 P(X＝n)＝ ( nn＋1 1 5 ＝1,2,3,4)，其中 a 是常数，则 P( ＜X＜ )的值为( 2 2 2 A. 3 4 C. 5 3 B. 4 5 D. 6 )
－
m，其中m＝ min{M，n} ，且 n≤N，M≤N，n，M，N∈N 称分布列为超几何分布列.
*
，
X P
0
n 0 C0 C M N－M Cn N
－
1
n 1 C1 MCN－M Cn N
－
… …
m
n m Cm MCN－M Cn N
－
1．对于分布列易忽视其性质 p1＋p2＋…＋pn＝1 及 pi≥0(i ＝1,2，…，n)其作用可用于检验所求离散型随机变量的分布列 是否正确．
[练一练]
1．从装有 3 个红球，2 个白球的袋中随机取出 2 个球，设其 中有 X 个红球，则随机变量 X 的概率分布为
X
0
1
2 ________
P ______ ______
C2 2 解析：当 2 球全为白球时 2＝0.1， C5 1 C1 · C 6 3 2 当 1 红、1 白时 2 ＝ ＝0.6， C5 10 C2 3 当 2 球全为红球时 2＝0.3. C5 答案：0.1 0.6 0.3
X P
x1 p1
x2 p2
… …
xi pi
… …
xn pn
称为离散型随机变量 X 的 概率分布列 ， 简称为 X 的分布列 ， 有时为了表达简单， 也用等式 P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n 表示 X 的分布列．
第10章 §10.7 离散型随机变量及其分布列、数字特征--新高考数学新题型一轮复习课件
新高考数学新题型一轮复习课件第十章§10.7 离散型随机变量及其分布列、数字特征考试要求1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.2.理解并会求离散型随机变量的数字特征.落实主干知识探究核心题型内容索引课时精练L U O S H I Z H U G A N Z H I S H I 落实主干知识知识梳理1.离散型随机变量唯一一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.2.离散型随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，x n，称X取每一个值x i的概率P(X＝x i)＝p i，i＝1,2，…，n为X的概率分布列，简称分布列.3.离散型随机变量的分布列的性质①p i0(i ＝1,2，…，n )；②p 1＋p 2＋…＋p n ＝ .4.离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量X 的分布列为1≥Xx 1x 2…x n P p 1p 2…p n(1)均值则称E (X )＝＝ 为随机变量X 的均值或数学期望，x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 数学期望简称期望.它反映了离散型随机变量取值的 .(2)方差称D (X )＝(x 1－E (X ))2p 1＋(x 2－E (X ))2p 2＋…＋(x n －E (X ))2p n ＝_____________为随机变量X 的方差，并称 为随机变量X 的 ，记为σ(X )，它们都可以度量随机变量取值与其均值的 .平均水平标准差偏离程度5.均值与方差的性质(1)E (aX ＋b )＝ .(2)D (aX ＋b )＝ (a ，b 为常数).aE (X )＋b a 2D (X )均值与方差的四个常用性质(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数.(2)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2).(3)D(X)＝E(X2)－(E(X))2.(4)若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)·E(X2).判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面的次数是随机变量.( )(2)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.( )(3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.( )(4)方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小.( ) √×√√教材改编题1.设随机变量X的分布列如下：X12345P p 则p为√由分布列的性质知，0 2.若随机变量X满足P(X＝c)＝1，其中c为常数，则D(X)的值为____.因为P(X＝c)＝1，所以E(X)＝c×1＝c，所以D(X)＝(c－c)2×1＝0.3.已知随机变量X的分布列如下：X－101P若Y＝2X＋3，则E(Y)的值为________.T A N J I U H E X I N T I X I N G 探究核心题型题型一分布列的性质例1 (1)设X是一个离散型随机变量，其分布列为X－101P1－q q－q2则q等于√由离散型随机变量分布列的性质得解得q＝ .(2)(多选)设随机变量ξ的分布列为＝ak(k＝1,2,3,4,5)，则 √√对于选项A，∵随机变量ξ的分布列为＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝15a＝1，解得a＝，故A正确；对于B，易知故B正确；对于C，易知故C错误；对于D，易知P(ξ＝1)＝5×，故D错误.教师备选1.设X是一个离散型随机变量，其分布列为X01P9a2－a3－8a则常数a 的值为√√离散型随机变量分布列的性质的应用(1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值.(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率.(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.跟踪训练1 (1)若随机变量X的分布列如下表，则mn的最大值是X024P m0.5n√由分布列的性质，得m＋n＝，m≥0，n≥0，当且仅当m＝n＝时，等号成立.(2)随机变量X的分布列如下：X－101P a b c其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝__，公差d的取值范围是________.因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，所以b＝，所以P(|X|＝1)＝a＋c＝ .根据分布列的性质，例2 (1)(多选)设离散型随机变量X 的分布列为题型二离散型随机变量的分布列及数字特征X01234Pq 0.40.10.20.2若离散型随机变量Y 满足Y ＝2X ＋1，则下列结果正确的有A.q ＝0.1B.E (X )＝2，D (X )＝1.4C.E (X )＝2，D (X )＝1.8D.E (Y )＝5，D (Y )＝7.2√√√因为q＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以q＝0.1，故A正确；由已知可得E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，故C正确；因为Y＝2X＋1，所以E(Y)＝2E(X)＋1＝5，D(Y)＝4D(X)＝7.2，故D正确.(2)(2022·昆明模拟)从1,2,3,4,5这组数据中，随机取出三个不同的数，用X 表示取出的数字的最小数，则随机变量X的均值E(X)等于√由题意知，X的可能取值为1,2,3，而随机取3个数的取法有种，当X＝1时，取法有种，当X＝2时，取法有种，当X＝3时，取法有种，1.已知随机变量X ，Y 满足Y ＝2X ＋1，且随机变量X 的分布列如下：教师备选X 012Pa则随机变量Y 的方差D (Y )等于 √2.已知m，n为正常数，离散型随机变量X的分布列如表：X －101P m n若随机变量X的均值E(X)＝，则mn＝________，P(X≤0)＝________.求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤(1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值.(2)求ξ取每个值的概率.(3)写出ξ的分布列.(4)由均值、方差的定义求E(ξ)，D(ξ).跟踪训练2 (2022·邯郸模拟)小张经常在某网上购物平台消费，该平台实行会员积分制度，每个月根据会员当月购买实物商品和虚拟商品(充话费等)的金额分别进行积分，详细积分规则以及小张每个月在该平台消费不同金额的概率如下面的表1和表2所示，并假设购买实物商品和购买虚拟商品相互独立.表1购买实物商品(元)(0,100)[100,500)[500,1 000)积分246概率表2购买虚拟商品(元)(0,20)[20,50)[50,100)[100,200)积分1234概率(1)求小张一个月购买实物商品和虚拟商品均不低于100元的概率；购买虚拟商品不低于100元的概率为，(2)求小张一个月积分不低于8分的概率；根据条件，积分不低于8分有两种情况：①购买实物商品积分为6分，购买虚拟商品的积分为2,3,4分；②购买实物商品积分为4分，购买虚拟商品的积分为4分，故小张一个月积分不低于8分的概率为(3)若某个月小张购买了实物商品和虚拟商品，消费均低于100元，求他这个月的积分X的分布列与均值.由条件可知X的可能取值为3,4,5.即X的分布列如下：X345P题型三均值与方差中的决策问题例3 (12分)(2021·新高考全国Ⅰ)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；[切入点：X的取值情况](2)为使累计得分的均值最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由. [关键点：均值大小比较]高考改编某班体育课组织篮球投篮考核，考核分为定点投篮与三步上篮两个项目.每个学生在每个项目投篮5次，以规范动作投中3次为考核合格，定点投篮考核合格得4分，否则得0分；三步上篮考核合格得6分，否则得0分.现将该班学生分为两组，一组先进行定点投篮考核，一组先进行三步上篮考核，若先考核的项目不合格，则无需进行下一个项目，直接判定为考核不合格；若先考核的项目合格，则进入下一个项目进行考核，无论第二个项目考核是否合格都结束考核.已知小明定点投篮考核合格的概率为0.8，三步上篮考核合格的概率为0.7，且每个项目考核合格的概率与考核次序无关.(1)若小明先进行定点投篮考核，记X为小明的累计得分，求X的分布列；由已知可得，X的所有可能取值为0,4,10，则P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝4)＝0.8×(1－0.7)＝0.24，P(X＝10)＝0.8×0.7＝0.56，所以X的分布列为X0410P0.20.240.56(2)为使累计得分的均值最大，小明应选择先进行哪个项目的考核？并说明理由.小明应选择先进行定点投篮考核，理由如下：由(1)可知小明先进行定点投篮考核，累计得分的均值为E(X)＝0×0.2＋4×0.24＋10×0.56＝6.56，若小明先进行三步上篮考核，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0,6,10，P(Y＝0)＝1－0.7＝0.3，P(Y＝6)＝0.7×(1－0.8)＝0.14，P(Y＝10)＝0.7×0.8＝0.56，则Y的均值为E(Y)＝0×0.3＋6×0.14＋10×0.56＝6.44，。
《创新大课堂》高三人教数学(理)一轮复习课件：第10章 第7节 离散型随机变量及其分布列PPT文档共
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
《创新大课堂》高三人教数学(理)一轮复 习课件：第10章 第7节 离散型随机变量
及其分布列
56、死去何所道，托体同山阿。 57、春秋多佳日，登高赋新诗。 58、种豆南山下，草盛豆苗稀。晨兴 理荒秽 ，带月 荷锄归 。道狭 草木长 ，夕露 沾我衣 。衣沾 不足惜 ，但使 愿无违 将圆。
2021届高考数学人教版一轮创新课件：第10章+第7讲 离散型随机变量及其分布列
第7讲 离散型随机变量及其分布列
1
PART ONE
基础知识过关
随机变量 离散型随机变量
概率分布列
分布列
P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n
pi≥0(i＝1,2，…，n)
P(X＝1)
答案
解析 答案
解析 答案
解析 答案
解析
2
PART TWO
B组 能力关
解析 答案
答案
解析
解析
解
C组 素养关
解
解
解
解
解
本课结束
经典题型冲关
答案
解析
解
解
解
答案
解析
答案
解析
题型二 求离散型随机变量的分布列
解
解
解
解
题型三 超几何分布
解
解
解
解
3
PART THREE
课时作业
A组 基础关
解析 答案
答案
解析
解析 答案
解析 答案
解析 答案
解析ห้องสมุดไป่ตู้答案
解析 答案
解析
解析
解析
高三数学人教A数学(理)高考一轮复习课件：第九章 第七节 离散型随机变量及其分布列
知识点二
栏目 导引
第十二章
选考部分
知识点二
常见的离散型随机变量的分 布列
知识点一
1．两点分布列
X 0 1
1－p ____ P p _ 若随机变量 X 的分布列具有上表的形式，就称 X 服从
知识点二
P(X＝1) 为成功概率． 两点分布，并称 p＝________
栏目 导引
第十二章
选考部分
知识点二
2．超几何分布列
1．随机变量的有关概念
知识点一
而变化 的变量，常用字母 X，Y， (1)随机变量：随着试验结果变化_______
ξ，η，…表示．
一一列出 的随机变量． (2)离散型随机变量：所有取值可以__________
知识点二
2．离散型随机变量分布列的概念及性质 (1)概念： 若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1， x2， …， xi ， …， xn，X 取每一个值 xi(i＝1,2，…，n)的概率 P(X＝xi)＝pi，以表格的 形式表示如下：
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n
第十二章
选考部分
知识点一
知识点一
易误提醒 (1)对于分布列易忽视其性质 p1＋p2＋…＋ pn＝1 及 pi≥0(i＝1，2，…，n)其作用可用于检验所求离
知识点二
散型随机变量的分布列是否正确． (2)确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能取值 表示的事件是彼此互斥的．
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第十二章
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第十二章
选考部分
考点一
2．若随机变量 X 的分布列为( X －2 －1 0 1 2 3 )
试题
解析
由随机变量 X 的分布列知： P(X<－1)＝0.1，P(X<0)＝0.3，
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则 a＝________，b＝________，c＝________. 解析 1 1 P(X＝0)＝ 2＝ ； C5 10
1 C1 3 3C2 P(X＝1)＝ 2 ＝ ； C5 5
C2 3 3 P(X＝2)＝ 2＝ . C5 10 1 3 3 答案 10 5 10
• [关键要点点拨] • 1．在试验之前不能断言随机变量取什么值， 即其具有随机性，但可确定其所有可能的 取值． • 2．随机变量的分布列指出了随机变量X所 有可能的取值以及取这些值的概率，注意 根据分布列的两条性质来检验求得的分布 列的正确性.
• [基础自测自评] • 1．(教材习题改编)设随机变量X的分布列如 下：
X P 1 2 3 4 5 p 1 12 1 6 1 3 1 6
则p为 ( 1 A. 6 1 C. 4 1 B. 3 1 D. 12 )
1 1 1 1 1 C [由 ＋ ＋ ＋ ＋p＝1，得 p＝ .] 12 6 3 6 4
像
0
1－p
1
p
P
这样的分布列叫做两点分布列.
两点 • 如果随机变量X的分布列为两点分布列，就 称X服从 P(X＝1) 分布，而称p＝ 为成功概率．
2．超几何分布列 一般地，在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰
n －k Ck C M N －M 有 X 件次品，则 P(X＝k)＝ ，k＝0,1,2，„，m， Cn N
• 即
X P
0
n－0 C0 C M N－M Cn N
1
n－1 C1 C M N－M Cn N
„ „
m
n－m Cm C M N －M Cn N
其中 m＝min{M，n}，且 n≤N，M≤N，n，M，N∈N*. 称上面的分布列为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超 几何分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布．
则 k 的值为 ( 1 A. 2 C．2 k k k B [由 ＋ ＋„＋ ＝1， n n n 解得 k＝1.] B．1 D．3 )
分布列的求法
• • • • •
• [典题导入] (2013·江西高考)小波以游戏
方式决定是参加学校合唱团还是参加学校 排球队．游戏规则为：以O为起点，再 从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图) 这8个点中任取两点分别为终点得到两个向 量，记这两个向量的数量积为 X. 若 X ＝ 0 就 参加学校合唱团，否则就参加学校排球 队．
1 2．(教材习题改编)已知随机变量 X 的分布列为：P(X＝k)＝ k，k 2 ＝1,2，„，则 P(2＜X≤4)等于 ( 3 A. 16 1 C. 16 1 B. 4 5 D. 16 )
1 1 3 A [P(2＜X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝ 3＋ 4＝ .] 2 2 16
3．袋中装有 10 个红球、5 个黑球．每次随机抽取 1 个球后，若 取得黑球则另换 1 个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽 取的次数为 X，则表示“放回 5 个红球”事件的是 ( A．X＝4 C．X＝6 B．X＝5 D．X≤5 )
C [由条件知“放回 5 个红球”事件对应的 X 为 6.]
4．设随机变量 X 等可能取值 1,2,3，„，n，如果 P(X<4)＝0.3， 那么 n＝________. 1 解析 ×3＝0.3，则 n＝10. n 答案 10
• 5．(教材习题改编)从装有3个红球，2个白 球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红 球，随机变量X的概率分布为：
(1)求小波参加学校合唱团的概率； (2)求 X 的分布列和数学期望． [听课记录] (1)从 8 个点中任取两点为向量终点的不同取法共有
C2 8＝28 种，X＝0 时，两向量夹角为直角共有 8 种情形，所以小波 8 2 参加学校合唱团的概率为 P(X＝0)＝ ＝ . 28 7
(2)两向量数量积 X 的所有可能取值为－2，－1,0,1，X＝－2 时， 有 2 种情形；X＝1 时，有 8 种情形；X＝－1 时，有 10 种情形， 所以 X 的分布列为： X P －2 1 14 －1 5 14 0 2 7 1 2 7
• • • •
• [规律方法] 要充分注意到分布列的两条重要性质： (1)pi≥0，i＝1,2，„，n； (2)p1＋p2＋„＋pn＝1. 其主要作用是用来判断离散型随机变量的 分布列的正确性．
• [跟踪训练] • 1．(2014·广州模拟)已知离散型随机变量X 的分布列为：
X 1 2 3 „ n P k k k k „ n n n n
• 第七节
离散型随机变量及 其分布列(理)
• [主干知识梳理] • 一、离散型随机变量 • 随 着试验结果变化而变化的变量称为随 机变量，常用字母X、Y、ξ、η„.表示． 一一列出 • 所有取值可以 的随机变量称 为离散型随机变量．
• 二、离散型随机变量的分布列 • 若离散型随机变量X可能取的不同值为x1， x2 ， „xi ， „ ， xn ， X 取 每 一 个 值 xi(i ＝ 1,2，„，n)的概率P(X＝xi)＝pi.则表 X x1 x2 „ xi „ xn P
离散型随机变量分布列的性质
• [典题导入] • (2014·岳阳模拟)设X是一个离散型随机 变量，其分布列为：
X －1 1 2 0 1
P
1－2q
q2
则 q 等于 ( A．1 2 C．1－ 2 2 B．1± 2 2 D．1＋ 2 )
1－2q≥0， q2≥0， [听课记录] 由分布列的性质知 1 2 ＋ 1 － 2 q ＋ q ＝1， 2 2 所以 q＝1－ . 2 答案 C
p1 p2
„
pi
„
pn
•
称为离散型随机变量X的概率分布列，简 称为X的分布列．有时为了表达简单，也用 等式 P (X＝xi)＝pi，i＝1,2，„，n • 表示X的分布列．
三、离散型随机变量分布列的性质 1． pi ≥0，i＝1,2，„，n； 2. pi＝1 .
i＝1 n
• 四、常见离散型随机变量的分布列 • 1．两点分布 X
1 5 2 2 3 E(X)＝(－2)× ＋(－1)× ＋0× ＋1× ＝－ . 14 14 7 7 14