沪教版(上海)数学高一上册-2.4.1 一元二次不等式(一) 教案
沪教版(上海)数学高一上册-2.1 不等式的基本性质(1) 教案
3．在教师的引导下，通过类比猜想，体验定理的形成过程，进一步养成探索的习惯和意识。
教学重点：掌握判断两个实数大小的基本方法。
教学难点：综合应用不等式的基本性质证明两个实数的大小关系。
教学分析及教学设计：
本节课是高一第二章不等式的第一节第一课时，课程标准的要求是：1、理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础；2、通过类比得到不等式的基本性质，并能加以证明，会用不等式的基本性质判断不等关系；3、培养代数证明的基本能力，并建议两课时完成。可以看出，在高中阶段，学习不等式的基本性质，其目的是为比较实数大小、解不等式以及不等式证明等知识打好基础，同时培养学生代数证明的基本能力、探索意识等科学素养。
【小结】
1、例1结论是不等式的基本性质1~3，今后可直接使用；
2、基本性质中的 可以是任何满足条件的实数或值为实数的代数式。
【设计意图】
通过教师示范、学生模仿，证明不等式的基本性质1~3，并总结比较两实数大小的基本方法“作差法”，初步体验代数证明的过程。通过减法性质和除法性质的提问，使学生产生类比猜想的意识，为叠乘性质的类比猜想做铺垫，并使学生能够更深层地理解加法性质和乘法性质中字母的意义以及性质的地位和作用。
教学过程：
一、复习引入
1、介绍学习目的
在初中，我们已经学习了不等式的性质、如何解一元一次不等式（组）以及如何比较两个具体实数的大小关系。在高中，我们将要学习如何比较两个抽象实数的大小关系，还要学习解一元二次不等式、绝对值不等式、分式不等式和高次不等式，今后我们还要学习不等式的证明。在所有这些问题的推理过程中，我们需要言之有据。这里的“据”就是今天我们将要学习的不等式的基本性质。
高中数学沪教版(上海)高一第一学期第二章基本不等式应用(1) 教案
课 题：基本不等式应用（1）执教：知识技能：通过复习基本不等式应用这类特殊题型，获得一种探寻数学中“从具体到抽象，再从抽象到具体”的思维过程。
并能体验数学的逻辑之美。
通过掌握公式的结构特点，运用公式的适当变形，提高学生分析问题和解决问题的能力， 过程方法：在学生对认知过程的经历和体验中重视对实际问题的理解和应用推广，强调对探究过程和方法的掌握。
通过观察、抽象、概括、类比、归纳等方法进行学习。
情感价值态度观：体验、感悟知识的生成和发生过程，体会数学从特殊到一般再从一般到特殊的认识规律，体会数学应用之美。
培养学生的创新精神，进一步加强学生的总结概括能力。
一、复习引入：重要不等式：1、如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a2、如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a 显然，当且仅当ab b a b a =+=2,时 说明：ⅰ）我们称b a b a ,2为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 ⅱ）ab ba ab b a ≥+≥+2222和成立的条件是不同的：前者只要求a,b 都是实数，而后者要求a,b 都是正数ⅲ）“当且仅当”的含义是充要条件若x,y 都是正数，（1）如果积xy 是定值P,那么当x=y 时，和x +y 有最小值（2）如果和x +y 是定值S ,那么当x =y 时，积xy 有最大值上述重要不等式有着广泛的应用，例如：证明不等式，求函数最值，判断变量或数学式子的取值范围等等它们涉及到的题目活，变形多，必须把握好凑形技巧今天，我们就来进一步学习均值不等式的应用三、讲解范例： 例：1b a =•，求 a+b 的范围1、2x 1x ≥+（x>0）, 当且仅当x 1x =时取“＝”号 正数与它的倒数之和不小于2 2x 1x -≤+（x<0）, 当且仅当x 1x =时取“＝”号 负数与它的倒数之和不大于-2 2． b a a b +≥2（ab ＞0），当且仅当a ＝b 时取“＝”号； 例：1、x>0,y>0 3x+2Y=12 求xy 最大值2、x 〉1，求1x 1x y -+=的最小值。
上海高一第一学期数学不等式。一元二次不等式的解法教案(精品)
奇优教育辅导讲义年级初升高辅导科目数学学科教师刘兴华课次数 1 学员姓名顾涧昀备课时间授课时间8-20 课题一元二次不等式的解法主管审核教学目标1，掌握用区间来表示变量取值范围的方法；2，熟练掌握一元二次不等式求解步骤及方法，并能联系图像进行理解；3，能由一元二次不等式解的情况反推系数取值情况；4，能利用一元二次不等式分析一些问题如二次函数取值范围；重、难点熟练掌握一元二次不等式求解步骤及方法，并能联系图像进行理解；能由一元二次不等式解的情况反推系数取值情况；教学内容知识点及例题精讲重点提示与记录取值范围的表示——区间满足a≤x≤b 的实数x 的全体，叫做闭区间，记作[a，b]，如图．a，b 叫做区间的端点．在数轴上表示一个区间时，若区间包括端点，则端点用实心点表示；若区间不包括端点，则端点用空心点表示．全体实数也可用区间表示为(－∞，＋∞)，符号“＋∞”读作“正无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”．例1用区间记法表示下列不等式的解集：(1) 9≤x≤10；(2) x≤0.4．(3) －2≤x＜3；(4) －3＜x＜4；( 5) x＞3总结：完成下列表格填制表格：例2 用集合的性质描述法表示下列区间：(1) (－4，0)；(2) (－8，7]注意：以后关于什么参数或变量的取值范围一般要求用区间或集合表示。
一元二次不等式的解法[1]定义：形如 为关于x 的一元二次不等式．[2]一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或与二次函数2(0)y ax bx c a =++≠及一元二次方程20ax bx c ++=的关系(简称：三个二次)．（ⅰ）一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下： (1) 将二次项系数先化为正数； (2) 观测相应的二次函数图象． ①如果图象与x 轴有两个交点12(,0),(,0)x x ，此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根12,x x (也可由根的判别式0∆>来判断) ．则②如果图象与x 轴只有一个交点(,0)2ba-，此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根22x bx x a==-(也可由根的判别式0∆=来判断) ．则： 集合 区间区间名称 数轴表示{x |a ＜x ＜b } {x |a ≤x ≤b } {x |a ≤x ＜b } {x |a ＜x ≤b }集合 区间数轴表示{x | x ＞a } {x | x ＜a } {x | x ≥a } {x | x ≤a }③如果图象与x 轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根 (也可由根的判别式0∆<来判断) ．则：（ⅱ）解一元二次不等式的步骤是：(1) 化二次项系数为正；(2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根12,x x ．那么“0>”型的解为12x x x x <>或(俗称两根之外)；“0<”型的解为12x x x <<(俗称两根之间)；（Ⅲ）、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：（数形结合）判别式24b ac ∆=-0∆> 0∆= 0∆<二次函数2y ax bx c =++()0a >的图象一元二次方程20ax bx c ++=()0a >的根有两个相异实数根1,22b x a-±∆=()12x x <有两个相等实数根122b x x a==-没有实数根一元二次不等式的解集20ax bx c ++>()0a >{}12x x x x x <>或2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭R20ax bx c ++<()0a >{}12x xx x <<∅ ∅2．简单分式不等式的解法解简单的分式不等式的方法：对简单分式不等式进行等价转化，转化为整式不等式，应当注意分母不为零.【例题选讲】例3 解下列不等式：(1) 260x x +->(2) (1)(2)(2)(21)x x x x -+≥-+说明：解一元二次不等式，实际就是先解相应的一元二次方程，然后再根据二次函数的图象判断出不等式的解． 例4 解下列不等式： (1) 2280x x --<(2) 2440x x -+≤(3) 220x x -+<例5 已知对于任意实数x ，22kx x k -+恒为正数，求实数k 的取值范围．例6 解下列不等式： (1) 2301x x -<+ (2)132x ≤+例7 求关于x 的不等式222m x mx m +>+的解．例8 。
高中数学沪教版(上海)高一第一学期第二章2.1 不等式的基本性质 教案
基础模块（上）不等式的基本性质教学目标：知识目标1、掌握不等式的三个基本性质。
2、了解解不等式的方法。
3、利用不等式的性质解决实际问题。
能力目标通过不等式基本性质的学习，培养学生的观察能力，分析能力及计算技能。
情感、态度和价值观通过不等式性质学习，并应用不等式的性质解决生活、生产中的问题，体验数学的应用价值，提高学生不畏困难，学好数学的决心和信心。
教学重、难点重点：不等式的基本性质及推论。
难点：利用不等式的性质解决实际问题。
教学过程一、创设情景，导入新课1、看屏幕，以上两幅图同学们发现了什么？想到了什么？（引出量的不等性）2、测量三个人身高，小李1.67米，小王1.65米，小王比小张高，那么我们不用测量能知道小李比小张高的结论吗？你的依据是什么？二、推理探究学习新知1、不等式的基本性质1（传递性）如果a＞b 且b ＞c，那么a ＞c证明：a ＞b a- b ＞0b ＞c b- c ＞0于是a- c = (a- b)+(b- c) ＞0因此a ＞c2、不等式的基本性质2（加法性质）如果a ＞b 那么a+c ＞b+c即不等式两边加（或减）同一个数，不等号的方向不变。
请同学们利用作差法加以证明。
（指名两位同学到黑板上作答，并评价后，看老师所给的证明过程）证明：由：(a+c)-(b+c)=a+c-b-c=a-b因为a＞b, a-b ＞0于是(a+c)-(b+c) ＞0故a+c ＞b+c请同学们一起说出不等式的基本性质2补充：利用性质2，可以由a+b ＞c得到a ＞c-b，表明在解不等式时也可以进行移项。
3、不等式基本性质3（乘法性质）如果a ＞b,c ＞0,那么ac ＞bc如果a ＞b,c ＜0,那么ac ＜bc不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
请同学们举一些式子，用具体的数字加以验证。
4、特殊性质1（推论1）如果a ＞b,且c ＞d,那么a+c ＞b+d证明：由a ＞b,c ＞d可得a+c ＞b+c, b+c ＞b+d由不等式性质1（传递性）可得：a+c ＞b+d这就说明不等式还具有同向可相加的特殊性质。
高中数学沪教版(上海)高一第一学期第二章基本不等式教案
基本不等式一、教学内容分析基本不等式及其应用是高中教材中的一个重要内容.尽管基本不等式本身的证明并不困难，但它却是今后学习诸如不等式证明、求函数最值等时的有力工具，因此牢固掌握这两个基本不等式的形成、关系和变式等都是十分重要的.二、教学目标设计1、知识与技能：掌握两个基本不等式：ab b a 222≥+（a 、R b ∈）、ab b a ≥+2（a 、b 为任意正数），并能用于解决一些简单问题.2、过程与方法：在公式的探求过程中，理解两个基本不等式相应的几何解释，领悟数形结合的数学思想，初步理解代换的数学方法。
3、情感态度与价值观：通过掌握公式的结构特点，运用公式的适当变形，提高学生分析问题的能力，培养学生的创新精神，进一步加强学生的实践能力，进一步体会事物之间互相联系及一定条件下互相转化的辩证唯物主义观点。
三、教学重点及难点重点 两个基本不等式的知识发生过程和证明；难点 基本不等式的应用.四、教学用具准备电脑、投影仪五、教学流程设计（一）讲授基本不等式1．引例：如右图，已知正方形ABCD ，在边AD 上任取一点E ，在边DC 上取点F ，使得DE DF =.分别过点E 、F 作EG BC ⊥、FH AB ⊥，垂足为G 、H ，EG 和HF 交于点M 。
设DF=a ，MG=b ，试比较红色部分面积之和与白色部分面积之和的大小，并说明理由。
2．基本不等式1的证明证明：因为()22220a b ab a b +-=-≥，所以ab b a 222≥+.当a b =时，()20a b -=.当a b ≠时，()20a b ->.所以，当且仅当a b =时，ab b a 222≥+的等号成立.充要条件通常用“当且仅当”来表达．“当”表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要的．所以②式可表述为：如果a 、b∈R，那么a 2＋b 2≥2ab(当且仅当a=b 时取“=”号)．3．基本不等式的几何解释，讲解赵爽《勾股方圆图注》（二）讲授基本不等式21.引例：已知半圆O ，D 是半圆上任一点，AB是直径.过D 作DC AB ⊥，垂足为C .设AB b a +=，AC a =，CB b =，试用a 、b 来表示OD 、CD 的长度，你能发现什么结论吗？2．基本不等式2的证明（略）3．基本不等式2的扩充对于任意非负数a 、b ，有ab b a ≥+2，当且仅当a b =时等号成立. （三）基本不等式的简单应用 例1：已知0>ab ，求证：2≥+ba ab ，并指出等号成立的条件. 证明：因为0>ab ，所以 a 、b 同号，并有0>a b ，0>b a . 所以，22=⋅≥+b a a b b a a b .当且仅当 b a a b =，即0a b =≠时等号成立. [说明]1、体会代换的方法.2、用语言表述上述结论.3、思考：若0<ab ，则代数式ba ab +的取值范围是什么？ 例2 在周长相等的矩形中，正方形的面积最大六、课堂小结 b a C O D七、作业布置1、练习册P19～20，习题2.4A组2、思考题(1)在面积保持不变的条件下，正方形的周长与矩形的周长之间有什么大小关系？(2)整理一些不等式的常用变式并给出证明八、教学设计说明本堂课是《基本不等式及其应用》的第一节课，在学生熟练掌握不等式性质的前提下，介绍了两个基本不等式及其初步应用.尽管对于基本不等式而言证明不困难，但它却是今后学习诸如不等式证明、求函数最值等时的有力工具，因此牢固掌握这两个基本不等式是十分重要的.为了避免单纯地讲授基本不等式，本堂课借助计算机软件，采用以几何图形辅助代数知识讲授，由形到数，再由数到形的设计思路，将两个基本不等式的证明、解释及其在应用时的注意点穿插其中，并通过几何解释加强对基本不等式的感性认识。
沪教版(上海)数学高一上册-2.4.2 基本不等式及其应用 教学设计
师：今天由我来和大家共同学习两个基本不等式及其简单的应用，那么，在前一阶段我们已经学习了这样的一个不等式： ，当时是怎么得到的这个不等式呢？
生：
师：那么之前我们是利用它去证明其他不等式，今天我们就这个不等式本身进行更为细致的学习。首先，当 在什么范围的时候这个不等式才成立？
生：全体实数
因此本节课主要是要让学生理解并掌握基本不等式以及它的成立条件，并通过例题的学习，让学生初步学习用基本不等式去解决问题的方法。
鉴于此，本节课的教学重点确定为：
（1）掌握两个基本不等式；（2）通过数形结来自以及学科交叉，证明两个基本不等式；
（3）让学生初步体会如何将一些实际问题以及代数证明题转化成基本不等式的证明，以及掌握建立基本不等式模型解决实际问题的一般步骤。
（二）基本不等式二
师：基本不等式一中体现的是两个数的平方和和他们积的2倍的不等关系，但是，在现实生活中，两个数的平方和是不太常见的，更为常见的是两个数的和，因此就衍生了基本不等式一的兄弟版本——基本不等式二。我们先来看一下这样的几何图形:
由此得到 ，那有可能相等吗？（等腰直角三角形）有可能小于吗？（不可能）即
当且仅当 时等号成立
的最小值为3，此时 。
【小结】：如果积不是定值则和不一定在等号成立的条件下出现最小值，所以必须要满足正定等三条才可以。而积为定值可以有很多种不同的呈现形式：直接作为已知条件或者隐藏在要求最值的式子里甚至于需要进行更为复杂的变形
【变式】若 ，则 的最小值为________。 +
例三：(1)已知 都是正数，若 ，则 的最大值为_______。
【小结】：和为定值，积有最大值，和为定值也有很多不同的呈现形式。
课堂总结：
高中数学高一第一学期2.4基本不等式及其应用_教案1-沪教版
基本不等式及其应用【教学目标】1．通过集体讨论发现容易出现的问题，师生共同探究弄清两个基本不等式的应用及其等号成立的条件；2．在集体探究过程中，培养学生分类讨论思想、代换思想等；3．通过一题多解培养学生的发展性思维。
【教学重点】1．基本不等式的应用；2．不等式等号成立条件【教学过程】一、创设问题情景已知面积为2的矩形ABCD 的边长为y x ,，求矩形ABCD 的对角线AC 长的取值范围。
——引出基本不等式的应用。
基本不等式1：对于任意实数b a ,，有ab b a 222≥+，当且仅当b a =时，等号成立。
基本不等式2：对于任意正数b a ,，有ab b a ≥+2，当且仅当b a =时，等号成立。
基本不等式揭示了两数和)(b a +，两数积)(ab ，两数平方和)(22b a +之间的不等关系。
二、问题探究问题一：（1）已知R y x ∈,，且2-=xy ，求22y x +的取值范围。
（2）已知R y x ∈,，且222=+y x ，求xy 的取值范围。
问题二：已知0,>y x ，且12=+y x ，求yx 11+的最小值。
三、课堂小结1．利用基本不等式——注意等号成立的条件；2．思考问题时体现数学思想——分类讨论思想、代换思想等。
【作业布置】1．已知R y x ∈,，且2=+y x ，求xy 的取值范围。
2．已知R y x ∈,，且2=xy ，求y x +的取值范围。
3．已知R y x ∈,，且2=+y x ，求22y x +的取值范围。
4．已知0,>y x ，且211=+yx ，求y x 2+的最小值。
5．已知0,,>z y x ，且4=++c b a ，求证：abc c b a 8)4)(4)(4(≥---。
6．（选做题）已知R y x ∈,，且222=+y x ，求y x +的取值范围。
沪教版高一上册数学基本不等式及其应用教案一级第一学期(1)
2.4（1）基本不等式及其应用一、教学内容分析基本不等式及其应用是高中教材中的一个重要内容.尽管基本不等式本身的证明并不困难，但它却是今后学习诸如不等式证明、求函数最值等时的有力工具，因此牢固掌握这两个基本不等式的形成、关系和变式等都是十分重要的. 二、教学目标设计1、掌握两个基本不等式：ab b a 222≥+（a 、R b ∈）、ab ba ≥+2（a 、b 为任意正数），并能用于解决一些简单问题.2、理解两个基本不等式相应的几何解释.初步理解代换的数学方法.3、在公式的探求过程中，领悟数形结合的数学思想，进一步体会事物之间互相联系及一定条件下互相转化等辨证唯物主义观点. 三、教学重点及难点重点 两个基本不等式的知识发生过程和证明；基本不等式的应用. 难点 基本不等式的应用. 四、教学用具准备 电脑、投影仪 五、教学流程设计六、教学过程设计 一、新课引入在客观世界中，有些量的大小关系是永远成立的.例如，32>、02≥a （R a ∈）、三角形任意两边之和大于第三边、三角形任意两边之“弦图”的现代数学图示差小于第三边等等.二、新课讲授 1、基本不等式1基本不等式1 对于任意实数a 和b ，有ab b a 222≥+，当且仅当a b =时等号成立. （1）基本不等式1的证明证明：因为()22220a b ab a b +-=-≥，所以ab b a 222≥+.当a b =时，()20a b -=.当a b ≠时，()20a b ->.所以，当且仅当a b =时，ab b a 222≥+的等号成立.（2）基本不等式1的几何解释 ① 解释1边长为a 的正方形面积与边长为b 的正方形面积之和大于等于以a 、b 为邻边长的矩形面积的2倍（当且仅当a b =时等号成立）.已知正方形ABCD ，分别在边AD 、边DC 上取点E 、F ，使得DE DF =.分别过点E 、F 作EG BC ⊥、FH AB ⊥，垂足为G 、H .EG 和HF 交于点M .由几何画板进行动态计算演示，得到阴影部分的面积 ≥ 剩余部分的面积，当且仅当点E 移至AD 中点时等号成立. ② 解释2某届数学大会的会徽怎样的？三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为：如图所示，以a 、b 、c 分别表示勾、股、弦，那么，a b ⋅表示“弦图”中两块“朱实”的面积，()2b a -表示“中黄实”的面积. 于是，从图中可明显看出，四块“朱实”的面积加上一个“中黄实”的面积就等于以c 为边长的正方形“弦实”的面积，即H B()222222222c b a ab b ab a ab a b =-+=-++=+这就是勾股定理的一般表达式.由图可知：以c 为边长的正方形“弦实”的面积 ≥ 四块“朱实”的面积即，222a b ab +≥（当且仅当a b =时等号成立）.2、基本不等式2观察下面这个几何图形.已知半圆O ，D 是半圆上任一点，AB 是直径. 过D 作DC AB ⊥，垂足为C .显然有线段OD 的长度大于等于垂线段DC 的长度.设AC a =，CB b =，请用a 、b 来表示上述这个不等关系.（ 即ab ba ≥+2，当且仅当a b =时等号成立.）基本不等式2 对于任意正数a 、b ，有ab ba ≥+2，当且仅当a b =时等号成立. 我们把2ba +和ab 分别叫做正数a 、b 的算术平均数和几何平均数.因此基本不等式2也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.（1）基本不等式2的证明证明：因为20a b +-=≥，所以ab ba ≥+2. 当a b =时，20-=.当a b ≠时，20>.所以，当且仅当a b =时，ab ba ≥+2的等号成立. 另证：因为a 、b均存在. 由基本不等式1，得22+≥=.即ab ba ≥+2，当且仅当a b =时等号成立.（2）基本不等式2的扩充对于任意非负数a 、b ，有ab ba ≥+2，当且仅当a b =时等号成立.例1 已知0>ab ，求证：2≥+baa b ，并指出等号成立的条件. 证明：因为0>ab ，所以 a 、b 同号，并有0>a b ，0>ba.所以，22=⋅≥+b a a b b a a b .当且仅当 baa b =，即0a b =≠时等号成立. [说明]1、体会代换的方法.2、用语言表述上述结论.3、思考：若0<ab ，则代数式baa b +的取值范围是什么？（2b a a b +≤-，当且仅当0a b =-≠时等号成立.）3、两个基本不等式的简单应用 （1）几何问题例2 在周长保持不变的条件下，何时矩形的面积最大？ 猜想：由几何画板电脑演示得出.解：设矩形的长、宽分别为a 、b （a 、b R +∈）且a b m +=（定值），则同样周长的正方形的边长为2a b+. 矩形面积S ab =，正方形面积22a b S +⎛⎫'= ⎪⎝⎭由基本不等式2，得ab b a ≥+2，又由不等式的性质得222a b +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，即S S '≥.b 中点CM'BM AA B折点M由题意，a b m +=（定值），所以2224m mS ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭（定值）.当且仅当a b =，即矩形为正方形时，矩形的面积最大. [说明]当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值. 例如，若01x <<时，有()114x x -≤，当且仅当12x =时等号成立.（事实上，由()2211124y x x x x x ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭（01x <<），得104y <≤，当且仅当12x =时等号成立.）三、课堂小结 略四、作业布置 1、练习2.4（1） 2、思考题（1）通过查阅资料，了解这两个基本不等式其它的几何解释.（2）在面积保持不变的条件下，正方形的周长与矩形的周长之间有什么大小关系？ （3）整理一些基本不等式的常用变式并给出证明.七、教学设计说明本堂课是《基本不等式及其应用》的第一节课，在学生熟练掌握不等式性质的前提下，介绍了两个基本不等式及其初步应用.尽管对于基本不等式而言证明不困难，但它却是今后学习诸如不等式证明、求函数最值等时的有力工具，因此牢固掌握这两个基本不等式是十分重要的.为了避免单纯地讲授基本不等式，本堂课借助计算机软件，采用以几何图形辅助代数知识讲授，由数到形，再由形到数的设计思路，将两个基本不等式的证明、解释及其在应用时的注意点穿插其中，并通过几何解释加强对基本不等式的感性认识，从而达到较好的教学效果.整堂课主要采用 “观察 —— 猜测 —— 归纳 —— 证明”的探索流程，让学生通过观察两式的大小关系、几何图形中线段的长度来猜测相应的结论，最后再由讨论、归纳得出两个基本不等式.在教学过程中始终“关注学生的思维发展”.例如，将教科书上例1的证明题改成了一道探索题，通过对有关过程的设计，进而培养学生自行探索、解决问题的能力.此外，为了培养学生“观察——猜测”的能力，借用了几何画板的有关功能，帮助学生进行有关的猜想与验证，使学生始终处于自我发现、自我探索的过程中.通过整堂课的教学，不仅要求学生对有关知识点的掌握，此外还对应初步理解代换的数学方法有一定要求，并在公式的探求过程中，继续领悟数形结合的数学思想.。
高中数学沪教版(上海)高一第一学期第二章2.1 不等式的基本性质教案
2.2不等式的基本性质一、教学目标设计理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础；掌握不等式的基本性质，并能加以证明；会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法，反证法证明简单的不等式。
渗透分类讨论的数学思想。
二、教学重点及难点应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明，特别是反证法。
三、教学流程设计四、教学过程设计一、引入公路有长有短，房屋有高有低，速度有快有慢......现实世界中充满着不等的数量关系，可以用不等式来处理。
在初中阶段，我们已经学习了用一元一次不等式描述并解决一些不等关系问题，为了今后学习函数的需要和培养代数论证能力，还要学习不等关系的证明。
而解决不等关系问题的基础是不等式的性质，为此我们先学习不等式的基本性质。
二、探究不等式的基本性质判断两个实数a与b之间的大小关系，可以通过将它们的差与零相比较来确定，即a>b的充分必要条件是a-b>0；a=b的充分必要条件是a-b=0；a<b的充分必要条件是a-b<0。
引出等式的性质：a=b，b=c⇒a=c；a=b⇒ac=bc；a=b，c=d⇒a+c=b+d。
1．通过类比等式的性质，得到关于不等式的三个结论：结论1 如果a>b，b>c，那么a>c。
结论2 如果a>b，c>d，那么a+c>b+d。
结论3 如果a>b，那么ac>bc。
[说明]引导学生判断三个结论的正确性并加以证明，体现数学的严谨性。
利用举反例是证明命题错误的主要方法。
继续让学生探究让结论3成为正确命题的条件。
得出不等式的三个性质：性质1 如果a>b，b>c，那么a>c。
性质2 如果a>b，那么a+c>b+c。
性质3 如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc。
性质4 如果a>b，c>d，那么a+c>b+d。
高中数学高一第一学期2.4基本不等式及其应用-教案-沪教版
《基本不等式》一、学习重点：（1）理解基本不等式，从不同角度探索其证明过程，体会其结构模型。
（2）学会用基本不等式来解决问题，体会其工具性。
二、学习目标：理解两个不等式的结构特征及其几何解释、适用条件，能合理选择公式并正确地运用公式解决有关问题。
三、学习难点：（1）如何利用基本不等式的模型求解函数最值。
（2）类比两个不等式的学习过程，学会研究不等式模型。
四、教学策略设计以下是本节课的结构安排：五、教学过程设计1.引入重要不等式:如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
提问：你能画出赵爽的弦图吗？能用这个图形证明勾股定理吗？图中有哪些不等关系？例题示范到解决实例布置作业课时小结归纳整理重要不等式证明基本不等式证明教材赵爽弦图引入基本不等式几何意义由几何题目到基本不等式留下伏笔设计意图：教材中重要不等式的几何背景引入，面对第24界国际数学家大会的会标，如何使学生从图案中找出一些相等或不等关系？这一探究过程会出现一个思维的障碍点或盲点，就是向哪个方向上寻找“相等和不等关系”。
如果由画出赵爽的弦图到用这个图形证明勾股定理，再去找图中有哪些不等关系,分解提问，用一些小问题链突破难点，也能发现得到重要不等式的代数形式。
我国古代的数学家赵爽是历史上最早用弦图证明勾股定理，根据面积相等，通过计算证明勾股定理的。
弦图构图巧妙、精致，既强调逻辑推理，又注重几何直观，是数与形的完美统一。
勾股定理有着“千古第一定理”之称。
今天，我们用数学欣赏的眼光再次审视勾股定理，会感到别有一番风味。
（2） 重要不等式代数形式：()()()()abb a b a b a b a ab b a b a ab b a a 2,0b -a , ,0b -a ,,0b -a , 2:)"",( 2R,b , 2222222222≥+==≠-=-+==≥+∈即所以时当时当因为证明号取时当且仅当那么如果 提问：重要不等式可以解决什么问题?首先从弦图中可以看出，随着直角三角形直角边的变化四个直角三角形面积和在变大,当直角三角形变为腰直角三角形时，和面积取到了最大值。
高中数学沪教版(上海)高一第一学期第二章2.1 不等式的基本性质(1) 教案
2.1不等式的基本性质(1)学习目标：1．理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础；2．掌握不等式的基本性质，并能加以证明；3．会用不等式的基本性质判断不等关系。
学习重点：应用不等式的基本性质推理判断命题的真假及代数证明。
学习难点：不等式的基本性质代数证明。
学习过程：一、课前练习：1. x>0是x>-1的 条件。
2. xy=0是x=0的 条件。
3. 设命题B A p ≠⊂:,命题A B A q = :,则p,q 之间的推出关系为 。
4. 设{}1≥=x x A ，{}a x x B ≤=，若R B A = ，则实数a 的取值范围是 。
5. 集合{}2,1,12--x x 中的x 不能取下列各数中的（ ）(A)2; (B)3; (C)4; (D)5.二、探究不等式的基本性质判断两个实数a 与b 之间的大小关系，可以通过将它们的差与零相比较来确定，即a >b 的充分必要条件是a =b 的充分必要条件是a <b 的充分必要条件是[说明]引导学生判断三个结论的正确性并加以证明，体现数学的严谨性。
利用举反例是证明命题错误的主要方法。
继续让学生探究让结论3成为正确命题的条件。
得出不等式的8个性质：性质1 。
性质2 。
性质3 。
性质4(例1) 如果a >b ，c >d ，那么a+c >b+d 。
性质5 。
性质6 。
性质7 。
性质8 。
说明：性质7、8先引进，下节课证明。
三、例题分析例1．判断下列命题的真假。
（1）若a >b ，那么ac >2bc 2。
（2）若ac >2bc 2，那么a >b 。
（3）若a >b ，c >d ，那么a-c >b-d 。
（4）若cd a b<，那么ad bc <。
四、反馈练习：书P30练习2.1(1)1-4五、小结：利用已经学过的不等式的性质证明命题的正确性，特别要注意性质的使用前提.(乘除法，求倒数)六、同步练习：1. 用适当符号填空：φ {0}2. 用列举法表示16以内的质数集合为3. 用描述法表示被4除余数为1的正整数集合4. 下列各式中，满足集合A=B 的序号是(){}{}Z k k x x B Z k k x x A ∈-==∈+==,12,,121;(){}{}N k k x x B N k k x x A ∈-==∈+==,12,,122;(){}{}Z k k x x B Z k k x x A ∈±==∈+==,14,,123;(){}{}Z k k x x B Z k k x x A ∈-==∈+==,23,,134;5. 设{}{}22,122++==-==x x y y B x y y A ,则A 与B 的关系是6. 设命题x :α是方程0232=+-x x 的根，2:=x β,则用合适的推出记号表示α β7. 一个命题的逆命题是“若实数b a ,满足1=a 且2=b ，则4<+b a ”，则原命题的否命题是 （并判断真假）8. 设U 为全集，M,N 是U 的子集，且M N M = ,则（ ）();N M C A U = ();M N C B U = ();N C M C C U U ⊆ ().M C N C D U U ⊆9. 命题“若M b M a ∉∈则,”的等价命题是（ ）()M b M a A ∉∈则若,; ()M a M b B ∈∉则若,; ()M b M a C ∈∉则若,;10.集合(){}012=-++=k x x k x M 是单元素集合，求实数k 的值组成的集合。
高中数学沪教版(上海)高一第一学期 一元二次不等式的解法教学课件
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2.2 一元二次不等式的解法（1）
y
+
- xபைடு நூலகம் O
③函数值何时为正？何时为负？
ax2+bx+c>0 ax2+bx+c<0 （a>0）
+
x2
④一元二次不等式的解？
x
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你会做的
例1、求下列一元二次不等式的解集 （1） x2 3x 4 0
（2） 2x2 3x 2 0
例2、求不等式 -3x2+x+1>0的解集
变式：求解关于 x 的不等式 a(x 1)(x a) 0 .
思考题 2、已知一次函数 f (x) 和 g(x) 满足： f (x) 0 的解集是 (2, ) ， g(x) 0 的解集是 (,3) ，求不等式 f (x) g(x) 0 的解集.
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课堂小结与作业布置
①复习本节课内容 ②习题册2.2A组 ③完成思考题
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谢谢大家
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沪教版高一上册数学一元二次不等式的解法教案一级第一学期
教 案课题一元二次不等式解法(二)教学目标（一）教学知识点1、 会把部分一元二次不等式转化成一次不等式组来求解.2、 简单分式不等式求解.（二）能力训练要求1、 通过问题求解渗透等价转化的思想，提高运算能力.2、 通过问题求解渗透分类讨论思想，提高逻辑思维能力.（三）德育渗透目标通过问题求解过程，渗透..教学重点一元二次不等式求解.教学难点将已知不等式等价转化成合理变形式子.教学方法创造教学法为使问题得到解决，关键在于合理地将已知不等式变形，变形的过程也是一个创造的过程，只有这一过程完成好，本节课的难点也就突破.教学过程Ⅰ 课题导入1、 一元二次方程、二次函数、一元二次不等式的关系.2、 一元二次不等式的解法.3、 数形结合思想运用.Ⅱ 新课讲授1.一元二次不等式(x+a)(x+b)<0的解法:首先我们来观察这个不等式(x+4)(x-1)<0的特点，以不等式两边来观察. 特点：左边是两个x 一次因式的积，右边是0.思考：依据该特点，不等式能否实现转化而又能转化成什么形式的不等式？ 不等式(x+4)(x-1)<0可以实现转化，可转化成一次不等式组： 与 注意：不等式(x+4)(x-1)<0的解集是上面不等式组解集的并集.一元二次不等式(x+4)(x-1)<0的解法：解：将(x+4)(x-1)<0转化为与 x+4>0 x-1<0 x+4<0 x-1>0 x-1<0 x+4>0 x-1<0 x+4<0 x-1>0 x-1<0 x+4>0x-1<0x+a x+b x-3 x+7 x-3 x+7 x-3 x+7 a b 由 x| ={x|-4<x<-1}=φ 得原不等式的解集是{x|-4<x<1}∪φ ={x|-4<x<1}步骤：从上可看出一般形式(x+a)(x+b)<0解的步骤：将所解不等式转化为一次不等式组,求其解集的并集，即为所求不等式的解. 通过因式分解，转化为一元一次不等式组的方法,[例] 求解下列不等式.1、 x 2-3x-4>0解：将x 2-3x-4>0分解为(x-4)(x+1)>0转化为 与 由 x|x ={x|-4<x<1} 由 x|x =φ原不等式的解集为{x|x>4}∪{x|x<-1}={x|x<-1或x>4}2、x(x-2)>8解：将x(x-2)>8变形为x 2-2x-8>0化成积的形式为(x-4)(x+2)>0x| ={x|x>4} x| ={x|x<-2}原不等式的解集为{x|x>4}∪{x|x<-2} ={x|x<-2或x>4}说明：问题解决的关键在于通过正确因式分解,将不等号左端化成两个一次因式积的形式.2.分式不等式 >0的解法 比较 〈0与(x-3)(x+7)<0与的解集 思考： 〈0与(x-3)(x+7)<0的解集，是否相同.它们都可化为一次不等式组 与 [例5] 解不等式 <0解析：这个不等式若要正确无误地求出解集，则必须实现转化，而这个转化依据就是 >0 及 <0解：这个不等式解集是不等式组x+4<0 x-1>0 x-1<0x+4>0 x-1<0 x+4<0 x-1>0 x+4>0 x-1<0 x+4>0 x-1<0 x-4>0 x+2>0x-4<0 x+2<0 x-3>0 x+7<0 x-3<0 x+7>0 a bx+a x+b x+a x+b 2 x 2 3 2 3 2 x与 的解集的并集.由 x ={x|-7<x<3} x| =φ得原不等式的解集是{x|-7<x<3}∪φ ={x|-7<x<3}由些得出不等式 >0的解法同(x+a )(x+b)>0的解法相同.[例] 求不等式3+ <0的解集. 解：3+ 可变形为 <0.转化为（3x+2）x<0x| ∪ x|={x|- <x<0 }∪φ ={x|- <x<0 }Ⅲ 课堂练习：Ⅳ 课时小结： 1、(x+a )(x+b)<0型不等式转化方法是 与 2、 >0型不等式转化结果:(x+a )(x+b)>03、上述两类不等式解法相同之处及关键、 注意点. Ⅴ 课后作业： x+a >0 x+b<0 x+a <0 x+b>0 x-3>0 x+7<0 x-3<0 x+7>0 x-3>0 x+7<0 x-3<0 x+7>0 3x+2 x 3x+2>0 x<0 3x+2<0 x>0。
沪教版(上海)数学高一上册-2.2 一元二次不等式解法(1) 教案
一元二次不等式解法（1）（一）教学内容分析：不等式的解法是第二章《不等式》的核心内容。
一元二次不等式解法作为高中数学最重要的内容之一，也是中学数学的一个基础和工具。
它是以不等式性质为依据，以实际问题引出一元二次不等式的概念，结合二次函数的图像，归纳得出一元二次不等式的解法。
由于一元二次不等式解法与二次函数联系紧密，而二次函数又是学生在初中数学学习中的一个薄弱环节，因此在教学中要根据学生的实际情况，通过实例，引导学生抽象概括，通过解题，逐步理解掌握有关方法与思想的内涵。
（二）教学目标：1. 知识与技能：1)理解一元二次不等式、一元二次方程、二次函数的关系；2)掌握一元二次不等式的解法。
2. 过程与方法：1)通过实例，巩固不等式性质；2)经历从具体到抽象形成一元二次不等式解法的过程；3)数形结合探索一元二次不等式解法。
3. 情感、态度、价值观：1)通过具体情境，使学生体验数学与实践的紧密联系；2)适度对学生进行安全教育。
（三）教学重难点：1. 重点：一元二次不等式的解法。
2. 难点：一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系。
（四）课堂教学设计：1. 课堂教学方式：教师指导下的师生互动的形式和自主学习。
教师指导指的是教师提供了一元二次不等式的实例和课堂的例题；师生互动是指教师采用问题驱动方式交流；自主学习是指学生借助二次函数图像归纳出一元二次不等式的解集。
2. 亮点：数形结合探究二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的相互联系。
3. 反思：将教材中一元二次不等式解法的第二节部分内容前移，在一节课内把一元二次不等式的解法讲完整，其实际应用在以后的教学中逐步讲解。
（五）教学过程：1. 新课引入：通过由汽车刹车距离推算车速的实际问题引入一元二次不等式的概念。
汽车在遇到紧急情况时，即使司机马上刹车，但由于惯性的作用，刹车后的汽车仍会继续往前滑行一段距离后才会停下，这段距离叫做刹车距离。
试验表明，某种型号的汽车当速度每小时小于100千米时，若行驶在水泥路面上，则汽车的刹车距离s （米）与汽车的车速x （千米/小时）有如下关系：)100(000078.000526.02≤+=x x x s只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不等式，一般形式：02>++c bx ax 或)0(02≠<++a c bx ax2. 一元二次不等式的解法形成：问题一：对一元二次不等式0322>+-x x 研究借助二次函数322+-=x x y 的图像与x 轴有两个交点，得出一元二次不等式0322>+-x x 的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系。
沪教版高一上册数学一元二次不等式的解法教案一级第一学期(2)
2.2 (3)一元二次不等式的解法一、教学目标设计掌握用区间表示集合的方法；通过变式教学，学会用一元二次不等式解决几种类型的数学问题，体会数学知识之间的内在联系，形成逻辑思维能力；初步会用不等式解决一些简单的实际问题，增加数学学习的兴趣和用已学知识解决实际问题的意识。
二、教学重点及难点用区间表示不等式组的解集；会用不等式解决一些简单的实际问题。
三、教学流程设计四、教学过程设计一、 学习如何用区间来表示不等式的解集 1．用区间来表示不等式的解集设a ，b 都为实数，并且a<b,我们规定: (1) 集合{x b x a ≤≤}叫做闭区间,表示为[]b a ,； (2) 集合{x b x a <<}叫做开区间,表示为()b a ,；(3)集合{x b x a <≤}或{x b x a ≤<}叫做半开半闭区间,分别表示为[)b a ,, (]b a ,。
（4） 把实数集R 表示为（-∞，+∞）； 把集合{x a x ≥}表示为[a ，+∞)；把集合{x a x >}表示为(a,+∞)； 把集合{x b x ≤}表示为（-∞，b]； 把集合{x b x <}表示为（-∞，b ）；在上述所有的区间中，a ，b 叫做区间的端点，以后我们可以用区 间表示不等式的解集。
2．区间在数轴上的表示[a ，（a ，b ）[a ，b ）（a ，b][a ，+∞）（a ，+∞）-∞，（-∞，b ）3．练习将上节课中不等式的解集用区间表示。
二、典型例题 例1．解不等式组：3x 2-7x-10≤0, ①2x 2-5x+2>0 ②解：由不等式①的解集为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-310,1,不等式②的解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21,⋃()+∞,2，可知原不等式组的解集为⎥⎦⎤⎝⎛⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡-310,221,1，它在数轴上的表示如图：[说明]：解由两个或两个以上的不等式组成的不等式组的解，可以将解集表示在同一条数轴上，这样更直观和清晰。
沪教版高一上册数学高一上册学案一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法【复习目标】掌握一元二次不等式的解法；会解决含参一元二次不等式的问题；会解决由一元二次不等式的解求参数的值或范围的问题． 【学习重点】一元二次不等式的解法；分类讨论的思想 【学习难点】含参一元二次不等式的问题 【考试要点】（（2）解一元二次不等式的步骤：先判断二次项系数的正负；再看判别式；最后比较根的大小．解集要么为两根之外，要么为两根之内．具体地：①设不等式)0(02>>++a c bx ax ，对应方程02=++c bx ax 有两个不等实根1x 和2x ，且21x x <，则不等式的解为：1x x <或2x x >（两根之外）②设不等式)0(02>>++a c bx ax ，对应方程02=++c bx ax 有两个不等实根1x 和2x ，且21x x <，则不等式的解为： 21x x x <<（两根之内）说明：①若不等式)0(02<>++或c bx ax 中，a 0<,可在不等式两边乘1-转化为二次项系数为正的情况，然后再按上述①②进行②解一元二次不等式要结合二次函数的图象，突出配方法和因式分解法．【课前预习】1．不等式1)3()2(+-<+x x x x 的解集是_____________________2．不等式0421≤+-x x的解集是_______________________ 3．函数)23lg(2+-=x x y 的定义域是___________________________x A4．不等式0)21(||>-⋅x x 的解集是__________________________5．若不等式012>-+bx ax 的解集是}43|{<<x x ，则实数.__________,==b a 【典型例题】例1 解下列不等式（1）03442>-+x x （2）42412-≥+x x （3）)2(3)3)(12(2+>-+x x x （4）21212≤-+≤-x x （5）0143<--+x x x例2 解关于x 的不等式0)1(2<++-a x a x变式：（１）解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax （２）解关于x 的不等式12)1(>--x x a （0>a ）例3 （1）若不等式064)1(2>+--x x m 的解集是}13|{<<-x x ，求m 的值； （2）若)3,0(内的每一个数都是不等式0122<-+mx x 的解，求m 的取值范围； （3）若不等式0122<-+-m x mx 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求实数x 的取值范围．【命题展望】（06全国Ⅱ）设a R ∈，二次函数2()22.f x ax x a =--若()0f x >的解集为A ，{}|13,B x x A B φ=<<≠，求实数a 的取值范围．一元二次不等式的解法（作业）1．不等式04432≤-<-x x 的解集是 （ ） A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤≤<-231021|x x x 或 B ．}10|{≥≤x x x 或 C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-2321|x x D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-≤2321|x x x 或 2．不等式212>++x x 的解集是 （ ）A ．),1()0,1(+∞-B ．)1,0()1,( --∞C ．)1,0()0,1( -D ．),1()1,(+∞--∞3．若不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对R x ∈恒成立，则a 的取值范围是 （ ） A ．]2,(-∞ B ．]2,2(- C ． )2,2(- D ． )2,(--∞4．已知x 的不等式01)(>⎪⎭⎫⎝⎛--a x a x a ，其中10<<a ，则它的解是 （ ）A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧><a x a x x 1|或 B ．}|{a x x > C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧><a x a x x 或1| D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<a x x 1| 5．二次函数)(2R x c bx ax y ∈++=部分对应值如下表：则不等式02>++c bx ax 的解集是____________________________ 6．若不等式11<-x ax的解集为{}21|><x x x 或，则a =____________ 7．若关于x 的不等式组⎩⎨⎧<->-ax a x 24,12解集不是空集，则实数a 的取值范围是__________8．解关于x 的不等式)1(]1)1[(1)1(22≠+-≥+-a x a x a9．已知不等式4632>+-x ax 的解集为}1|{b x x x ><或 （1）求a,b ;（2）解不等式0>--bax cx （c 为常数）10．若不等式012≥++ax x 对于一切⎪⎭⎫ ⎝⎛∈21,0x 成立，求a 的取值范围．。
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课题：1.5一元二次不等式（一）
教学目的：
1．理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；
2．培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；
3．激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想
教学重点：图象法解一元二次不等式
教学难点：字母系数的讨论；一元二次方程一元二次不等式与二次函数的关系授课类型：新授课
课时安排：1课时
教具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
1．本小节首先对照学生已经了解的一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系，利用二次函数的图象，找出一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，进而得到利用二次函数图象求解一元二次不等式的方法然后，说明一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组，由此又引出了简单的分式不等式的解法
2．本节课学习一元二次不等式的解法，这是这小节的重点，关键是弄清一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系
教学过程：
一、复习引入：
1．当x取什么值的时候，3x－15的值
（l）等于0；（2）大于0；（3）小于0
（这是初中作过的题目）
2．你可以用几种方法求解上题？
3.一次函数、一元一次方程和一元一次不等式的关系(课本第17页的例子)
4．像3x－15＞0(或＜0）这样的不等式，常用的有两种解法
(1)图象解法：利用一次函数y＝3x－15的图象求解
注：①直线与x轴交点的横坐标，就是对应的一元一次方程的根
②图象在x轴上面的部分表示3x－15＞0
(2)代数解法：用不等式的三条基本性质直接求解
注 这个方法也是对比一元一次方程的解法得到的
二、讲解新课：
画出函数=y 62
--x x 的图象，利用图象回答： （1）方程62
--x x ＝0的解是什么； （2）x 取什么值时，函数值大于0； （3）x 取什么值时，函数值小于0
（这也是初中作过的题目）
结合二次函数=y 62
--x x 的对应值表与图象（表、图略），可以得出，方程62
--x x ＝0的解是x ＝－2，或x ＝3； 当x<-2，或x>3时，y>0，即62
--x x >0； 当-2<x< 3时，y< 0，即 62
--x x <0
经上结果表明，由一元二次方程数62
--x x ＝0的解是x=-2，或 x=3，结合二次函数=y 62--x x 图象，就可以知道一元二次不等式62
--x x >0的解集是{x|x<-2,或x>3}；一元二次不等式62
--x x <0的解集是{x|-2<x<3} 一般地，怎样确定一元二次不等式c bx ax ++2>0与c bx ax ++2
<0的解集呢？
组织讨论：
从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点：
(1)抛物线=y c bx ax ++2
与x 轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程
c bx ax ++2=0的根的情况
(2)抛物线=y c bx ax ++2
的开口方向，也就是a 的符号
总结讨论结果：
（l ）抛物线 =y c bx ax ++2
（a> 0）与 x 轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程 c bx ax ++2=0的判别式ac b 42
-=∆三种取值情况(Δ> 0，Δ=0，Δ<0）来确定因此，要分二种情况讨论
（2）a<0可以转化为a>0
分Δ>O ，Δ=0，Δ<0三种情况，得到一元二次不等式c bx ax ++2
>0与
c bx ax ++2<0的解集
一元二次不等式()0002
2
≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：
设相应的一元二次方程()002
≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，
ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：(课本第19页)
0>∆
0=∆
0<∆
二次函数
c bx ax y ++=2
（0>a ）的图象
c bx ax y ++=2
c bx ax y ++=2
c bx ax y ++=2
一元二次方程
()的根
00
2
>=++a c bx ax
有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根
a
b x x 221-
==
无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax
{}2
1
x x x x x ><或
⎭⎬⎫⎩
⎨⎧-≠a b x x 2
R 的解集
)0(02><++a c bx ax
{}21
x x x
x <<
∅
∅
三、讲解范例：
例1 (课本第19页)解不等式02632
>+-x x 解：作出函数2632+-=x x y 的图像
因为3
31,3310263,0212
+=-
==+->∆x x x x 的解是方程. 所以，原不等式的解集是331,1x x x ⎧⎫⎪⎪
<->+⎨⎬⎪⎪⎩⎭
或. 例2 (课本第20页)解不等式2
223x x ->--. 解：整理得 02322
>--x x
因为2,2
1
0232,0212
=-==-->∆x x x x 的解是方程. 所以，原不等式的解集是⎭
⎬⎫⎩⎨⎧>-
<2,21
x x x 或. 例3 (课本第20页)解不等式01442
>+-x x . 解：因为2
1
0144,0212
===+-=∆x x x x 的解是方程. 所以，原不等式的解集是⎭
⎬⎫⎩⎨⎧≠
21x x . 例4 (课本第20页)解不等式0322
>-+-x x . 解：整理，得0322
<+-x x . 因为2
0,230
x x ∆<-+=方程无实数解，
所以不等式2
230x x -+<的解集是∅. 从而，原不等式的解集是∅.
三、课内练习
(课本第21页)练习1-3. 答案：1.⑴{x|
31<x<2}；⑵{x|x ≤32
-,或x ≥2
1}；⑶φ；⑷ R. 2．⑴x=2-3,或x=2+3；⑵x<2-3,或x>2+3；⑶2-3<x<2+3. 3．x ≤-4，或x ≥3. 四、小结：
解一元二次不等式的步骤：
① 将二次项系数化为“+”：A=c bx ax ++2
>0(或<0)(a>0) ② 计算判别式∆，分析不等式的解的情况： ⅰ.∆>0时，求根1x <2x ，⎩⎨
⎧<<<><>.
002121x x x A x x x A ，则若；或，则若
ⅱ.∆=0时，求根1x ＝2x ＝0x ，⎪⎩
⎪
⎨⎧=≤∈<≠>.
00000x x A x A x x A ，则若；，则若的一切实数；
，则若φ
ⅲ.∆<0时，方程无解，⎩⎨⎧∈≤∈>.
00φx A R x A ，则若；，则若
③ 写出解集. 五、作业:
课本第21页 习题1.5 1. 3. 5
思考题：解关于x 的不等式022≤-+k kx x
分析 此不等式为含参数k 的不等式，当k 值不同时相应的二次方程的
判别式的值也不同，故应先从讨论判别式入手.
解 )8(82
+=+=∆k k k k
(1) 当02,08,02
=-+>-<>∆k kx x k k 方程时或既有两个不相等
的实根.
所以不等式的解集是022≤-+k kx x ：
⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++-≤≤+--4)8(4)8(k k k x k k k x
(2) 当02,0802
=-+=-==∆k kx x k k 方程时或即有两个相等的
实根，
所以不等式⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧-
≤-+4022
k k kx x 的解集是，即{}2,0； (3) 当02,08,02
=-+<<-<∆k kx x k 方程时即无实根 所以不等式的022
≤-+k kx x 解集为∅.
说明 一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函数有着密切的联系，
要注意数形结合研究问题.
六、板书设计（略） 七、课后记：。