第79课时 导数的应用

课题：导数的应用
教学目标：1.理解可导函数的单调性与其导数的关系；2.了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；3.会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值. （一） 主要知识及主要方法：
1.利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤:
()1求()f x ';()2确定()f x '在(),a b 内符号;()3若()0f x '>在(),a b 上恒成立，则()f x 在(),a b 上是增函
数；若()0f x '<在(),a b 上恒成立，则()f x 在(),a b 上是减函数
①()0f x '>⇒()f x 为增函数（()0f x '<⇒()f x 为减函数）. ②()f x 在区间(),a b 上是增函数⇒()f x '≥0在(),a b 上恒成立；
()f x 在区间(),a b 上为减函数⇒()f x '≤0在(),a b 上恒成立.
2.极大值： 一般地，设函数()f x 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都有0()()f x f x <，就说0()f x 是函数()f x 的一个极大值，记作y 极大值0()f x =，0x 是极大值点.
3.极小值：一般地，设函数()f x 在0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都有0()()f x f x >就说0()f x 是函数()f x 的一个极小值，记作y 极小值0()f x =，0x 是极小值点.
4.
在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点： （1）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.
（2）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极xs 大值或极小值可以不止一个. （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f .
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.
5.当()f x 在点0x 连续时，判别0()f x 是极大、极小值的方法:
若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值. 6.求可导函数()f x 的极值的步骤:
()1确定函数的定义区间，求导数)(x f '()2求方程()0f x '=的根
()3用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查)(x f '在方程根
左右的值的符号，如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么()f x 在这个根处无极值.如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点 .
7.函数的最大值和最小值: 一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小
值．
说明：()1在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．如函数x
x f 1
)(=在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值；
()2函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的． ()3函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必
要条件．
()4函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有
一个.
8.利用导数求函数的最值步骤:
由上面函数)(x f 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：
()1求)(x f 在(,)a b 内的极值；
()2将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值p
9.求参数范围的方法：①分离变量法；②构造（差）函数法.
10.构造函数法是证明不等式的常用方法：构造时要注意四变原则：变具体为抽象，变常量为变量，变主
元为辅元，变分式为整式.
11.通过求导求函数不等式的基本思路是：以导函数和不等式为基础，单调性为主线，最(极值）为
助手，从数形结合、分类讨论等多视角进行综合探索.
（二）典例分析：
问题1．（05湖北文）已知向量b a x f t x b x x a ⋅=-=+=)(),,1(),1,(2若函数在区间（－1，1）上是
增函数，求t 的取值范围.
解法1：依定义,)1()1()(2
3
2
t tx x x x t x x x f +++-=++-=
.23)(2t x x x f ++-='则
.0)()1,1(,)1,1()(≥'--x f x f 上可设则在上是增函数在若
,
23)(,)1,1(,230)(22x x x g x x t x f -=--≥⇔≥'∴考虑函数上恒成立在区间,3
1
)(=x x g 的图象是对称轴为由于开口向上的抛物线，故要使x x t 232-≥在区间
（－1，1）上恒成立⇔.5),1(≥-≥t g t 即
.)1,1()(,0)()1,1()(,5上是增函数在即上满足在时而当->'-'≥x f x f x f t
5≥t t 的取值范围是故.
解法2：依定义,)1()1()(2
3
2
t tx x x x t x x x f +++-=++-=
.
0)()1,1(,)1,1()(.
23)(2≥'--++-='x f x f t x x x f 上可设则在上是增函数在若
)(x f ' 的图象是开口向下的抛物线，
时且当且仅当05)1(,01)1(≥-=-'≥-='∴t f t f
.
5.)1,1()(,0)()1,1()(≥->'-'t t x f x f x f 的取值范围是故上是增函数在即上满足在
问题
2．（07天津）已知函数22
21
()1
ax a f x x -+=+()x R ∈，其中a R ∈． （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值．
解：(I)当1a =时，224(),(2).51x f x f x ==+又222222
2(1)2.2226
'(),'(2).25(1)(1)x x x x f x f x x +--===-++
所以，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为 46
(2),525y x -=--
即 625320.x y +-=
(II)2222
2(1)2(21)'()(1)
a x x ax a f x x +--+=+222()(1)
.(1)x a ax x --+=+
由于0,a ≠以下分两种情况讨论.
(1) 当0a >时，令'()0,f x =得到121,.x x a a
=-=当x 变化时，
'(),()f x f x 的变化情况如下表：
所以()f x 在区间1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭(),,a +∞内为减函数，在区间1,a a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
内为增函数.
函数()f x 在11
x a =-
处取得极小值1,f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭且21f a a ⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
.
函数()f x 在2x a =处取得极大值(),f a 且()1f a =. (2) 当0a <时，令'()0,f x =得到121
,x a x a
==-
.当x 变化时， '(),()f x f x 的变化情况如下表：
所以()f x 在区间(),a -∞1,,a ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭内为减函数，在区间1,a a ⎛⎫- ⎪⎝
⎭内为增函数.
函数()f x 在1x a =处取得极大值(),f a 且()1f a =.
函数()f x 在21
x a =-
处取得极小值1,f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭且21f a a ⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
问题3．（07湖北）已知定义在正实数集上的函数
2
1()22
f x x ax =
+，2()3ln g x a x b =+，其中0a >．设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，且在该点处的切线相同．（Ⅰ）用a 表示b ，并求b 的最大值；（Ⅱ）求证：()f x ≥()g x （0x >）．
解：（Ⅰ）设()y f x =与()(0)y g x x =>在公共点00()x y ，处的切线相同．
()2f x x a '=+∵，23()a g x x
'=，由题意00()()f x g x =，00()()f x g x ''=．
即22
0002
00123ln 232x ax a x b a x a x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
，，由200
32a x a x +=得：0x a =，或03x a =-（舍去）． 即有2222215
23ln 3ln 22b a a a a a a a =
+-=-． 令22
5()3ln (0)2
h t t t t t =->，则()2(13ln )h t t t '=-．于是
当(13ln )0t t ->，即13
0t e <<时，()0h t '>； 当(13ln )0t t -<，即13
t e >时，()0h t '<．
故()h t 在1
30e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，为增函数，在13
e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∞为减函数， 于是()h t 在(0)+，∞的最大值为12
333
2
h e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭．
（Ⅱ）设2
21()()()23ln (0)2
F x f x g x x ax a x b x =-=
+-->， 则()F x '23()(3)
2(0)a x a x a x a x x x
-+=+-=>． 故()F x 在(0)a ，为减函数，在()a +，∞为增函数，
于是函数()F x 在(0)+，
∞上的最小值是000()()()()0F a F x f x g x ==-=． 故当0x >时，有()()0f x g x -≥，即当0x >时，()()f x g x ≥．
（三）课堂作业：
1.（04全国Ⅰ文）已知13)(23+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围.
解：函数f (x )的导数：.163)(2-+='x ax x f （Ⅰ）当0)(<'x f （R x ∈）时，)(x f 是减函数.
)(01632R x x ax ∈<-+ .30
12360-<⇔<+=∆<⇔a a a 且
所以，当))((,0)(,3R x x f x f a ∈<'-<知由时是减函数；
（II ）当3-=a 时，133)(23+-+-=x x x x f =,9
8)31(33
+
--x 由函数3
x y =在R 上的单调性，可知 当3-=a 时，R x x f ∈)((）是减函数；
（Ⅲ）当3->a 时，在R 上存在一个区间，其上有,0)(>'x f
所以，当3->a 时，函数))((R x x f ∈不是减函数. 综上，所求a 的取值范围是（].3,-∞-
2.（06全国Ⅰ）已知函数()11ax
x f x e x
-+=
-。

（Ⅰ）设0a >，讨论()y f x =的单调性；
（Ⅱ）若对任意()0,1x ∈恒有()1f x >，求a 的取值范围。

解(Ⅰ)f(x)的定义域为(－∞,1)∪(1,+∞).对f(x)求导数得 f '(x)= ax 2+2－a (1－x)2
e －ax
. (ⅰ)当a=2时, f '(x)= 2x 2(1－x)2 e －2x
, f '(x)在(－∞,0), (0,1)和(1,+ ∞)均大于0, 所以f(x)在(－∞,1), (1,+∞).为增函数.
(ⅱ)当0<a<2时, f '(x)>0, f(x)在(－∞,1), (1,+∞)为增函数. (ⅲ)当a>2时, 0<a －2
a <1, 令f '(x)=0 ,解得x 1= － a －2a , x 2=
a －2a .
当x 变化时, f '(x)和f(x)的变化情况如下表:
为减函数.
(Ⅱ)(ⅰ)当0<a ≤2时, 由(Ⅰ)知: 对任意x ∈(0,1)恒有f(x)>f(0)=1. (ⅱ)当a>2时, 取x 0= 1
2
a －2
a ∈(0,1),则由(Ⅰ)知 f(x 0)<f(0)=1
(ⅲ)当a ≤0时, 对任意x ∈(0,1),恒有1+x 1－x >1且e －
ax ≥1,得
f(x)=
1+x 1－x e －ax ≥1+x
1－x
>1. 综上当且仅当a ∈(－∞,2]时,对任意x ∈(0,1)恒有f(x)>1.
（四）走向高考：
1.（07陕西）()f x 是定义在(0)+∞，上的非负可导函数，且满足()()xf x f x '+≤0．
对任意正数a b ,，若a b <，则必有 （ A ）
.A ()af b ≤()bf a .B ()bf a ≤()af b .C ()af a ≤()f b .D ()bf b ≤()f a
2.(07江苏)已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为()f x '，(0)0f '>，对于任意实数x ，有()f x ≥0，则
(1)
(0)
f f '的最小值为 （ C ）
.A 3
.
B 52 .
C 2 .
D 32
3.（04Ⅱ全国）函数cos sin y x x x =-在下面哪个区间内是增函数 （ B ）
.A 3,22ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
.B (),2ππ
.C 35,22ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭
.D ()2,3ππ
4.（05重庆）曲线3y x =在点3(,)a a (0)a ≠处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为1
6
，
则a = 1±
5.（08湖北文）已知函数322()1f x x mx m x =+-+（m 为常数，且m >0）有极大值9.
（Ⅰ）求m 的值；
（Ⅱ）若斜率为-5的直线是曲线()y f x =的切线，求此直线方程. 解：(Ⅰ) f ’(x )＝3x 2+2mx －m 2=(x +m )(3x －m )=0,则x =－m 或x =
3
1m , 当x 变化时，f ’(x )与f (x )的变化情况如下表：
即f (－m )＝－m 3+m 3+m 3+1=9,∴m ＝2. (Ⅱ)由(Ⅰ)知，f (x )=x 3+2x 2－4x +1,
依题意知f ’(x )＝3x 2＋4x －4＝－5，∴x ＝－1或x ＝－3
1. 又f (－1)＝6，f (－
31)＝27
68， 所以切线方程为y －6＝－5(x ＋1),或y －2768＝－5(x ＋3
1
)， 即5x ＋y －1＝0，或135x ＋27y －23＝0.
6.（07海南）设函数2()ln()f x x a x =++
（Ⅰ）若当1x =-时，()f x 取得极值，求a 的值，并讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）若()f x 存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于e
ln 2
． 解：
（Ⅰ）1
()2f x x x a
'=
++，
依题意有(1)0f '-=，故32
a =
． 从而2231(21)(1)
()3322
x x x x f x x x ++++'==++． ()f x 的定义域为32⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
，∞，当312x -<<-时，()0f x '>；
当1
12
x -<<-时，()0f x '<； 当1
2
x >-
时，()0f x '>． 从而，()f x 分别在区间3
1122⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，
∞单调增加，在区间112⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
，单调减少． （Ⅱ）()f x 的定义域为()a -+，∞，2221
()x ax f x x a
++'=+．
方程2
2210x ax ++=的判别式2
48a ∆=-． （ⅰ）若0∆<
，即a <
()f x 的定义域内()0f x '>，故()f x 的极值．
（ⅱ）若0∆=
，则a
a =
若a =
()x ∈+
，()f x '=
当2
x =-
时，()0f x '=，
当22x ⎛⎛⎫∈--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，∞时， ()0f x '>，所以()f x 无极值．
若a =
)x ∈+
，2
()0f x '=
>，()f x 也无极值． （ⅲ）若0∆>
，即a >
a <22210x ax ++=有两个不同的实根
1x =
，2x =．
当a <12x a x a <-<-，，从而()f x '有()f x 的定义域内没有零点，
故()f x 无极值．
当a >
1x a >-，2x a >-，()f x '在()f x 的定义域内有两个不同的零点，
由根值判别方法知()f x 在12x x x x ==，取得极值．
综上，()f x 存在极值时，a 的取值范围为)+．
()f x 的极值之和为
2221211221()()ln()ln()ln 11ln 2ln 22
e f x f x x a x x a x a +=+++++=+->-=．
7.（07全国Ⅰ）设函数()e e x x f x -=-．
（Ⅰ）证明：()f x 的导数()2f x '≥；
（Ⅱ）若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围． 解：
（Ⅰ）()f x 的导数()e e x x f x -'=+．
由于e e 2x -x +=≥，故()2f x '≥． （当且仅当0x =时，等号成立）．
（Ⅱ）令()()g x f x ax =-，则()()e e x x g x f x a a -''=-=+-， （ⅰ）若2a ≤，当0x >时，()e e 20x x g x a a -'=+->-≥，
故()g x 在(0)+，∞
上为增函数， 所以，0x ≥时，()(0)g x g ≥，即()f x ax ≥．
（ⅱ）若2a >，方程()0g x '=的正根为1ln 2
a x =，
此时，若1(0)x x ∈，，则()0g x '<，故()g x 在该区间为减函数．
所以，1(0)x x ∈，时，()(0)0g x g <=，即()f x ax <，与题设()f x ax ≥相矛盾． 综上，满足条件的a 的取值范围是(]2-∞，．
8.（08陕西）已知函数2
1
()kx f x x c
+=
+（0c >且1c ≠，k ∈R ）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是x c =-．
（Ⅰ）求函数()f x 的另一个极值点；
（Ⅱ）求函数()f x 的极大值M 和极小值m ，并求1M m -≥时k 的取值范围．
解：（Ⅰ）222222
()2(1)2()()()
k x c x kx kx x ck
f x x c x c +-+--+'==++， 由题意知()0f c '-=，即得2
20c k c ck --=，（*）
0c ≠ ，0k ∴≠．
由()0f x '=得2
20kx x ck --+=，
由韦达定理知另一个极值点为1x =（或2x c k
=-
）． （Ⅱ）由（*）式得21k c =
-，即21c k
=+． 当1c >时，0k >；当01c <<时，2k <-．
（i ）当0k >时，()f x 在()c -∞-，和(1)+∞，内是减函数，在(1)c -，内是增函数． 1(1)012
k k
M f c +∴==
=>+， 2
21()02(2)
kc k m f c c c k -+-=-==<++，
由2
122(2)
k k M m k -=++≥及0k >，解得k
（ii ）当2k <-时，()f x 在()c -∞-，
和(1)+∞，内是增函数，在(1)c -，内是减函数． 2
()02(2)
k M f c k -∴=-=>+，(1)02k m f ==<
22(1)1
112(2)22
k k k M m k k -++-=-=-++≥恒成立．
综上可知，所求k 的取值范围为(2))-∞-+∞ ，．
9.（08重庆）设函数2()(0),f x ax bx c a =++≠曲线y =f (x )通过点（0，2a +3），且在点（-1，f （-1））
处的切线垂直于y 轴.
（Ⅰ）用a 分别表示b 和c ；
（Ⅱ）当bc 取得最小值时，求函数g (x )=-f (x )e -x
的单调区间.
解：(Ⅰ)因为2
(),()2.f x ax bx c f x ax b '=++=+所以
又因为曲线()y f x =通过点（0，2a +3）,
故(0)23,(0),2 3.f a f c c a =+==+而从而
又曲线()y f x =在（-1，f (-1)）处的切线垂直于y 轴，故(1)0,f '-=
即-2a +b =0,因此b=2a .
(Ⅱ)由(Ⅰ)得2392(23)4(),44
bc a a a =+=+-
故当34a =-时，bc 取得最小值-94
. 此时有33,.22
b c =-= 从而233333(),(),42222
f x x x f x x '=--+=-- 2333()()(),422
x x g x f x c x x e --=-=+- 所以23()(()()(4).4x x g x f x f x e x e --''=-=-- 令()0g x '=，解得122, 2.x x =-=
当(,2),()0,()(,2)x g x g x x '∈-∞-<∈-∞-时故在上为减函数；
当(2,2)()0,()(2,).x g x g x x '∈->∈+∞时，故在上为减函数
当(2,)()0()(2,)x g x g x x '∈+∞<∈+∞时，，故在上为减函数.
由此可见，函数()g x 的单调递减区间为（-∞，-2）和（2，+∞）；单调递增区间为（-2，2）.。