三点共线问题的解法探究
平面向量的三点共线定理及其应用技巧
思路探寻在解答平面向量问题时，经常要用到平面向量的运算法则、定理、几何意义、公式等.对于多点在同一直线上的问题，可以利用平面向量的三点共线定理进行求解.如图1，O 为直线外一点，在△OPA 中， AP =OP - OA ,设 OP =λ OA +μ OB ,则AP =λ OA +μ OB - OA =μ OB+(λ-1) OA =m ( OB - OA )，而在△OBA 中， AB = OB -OA ，即 AB =mAP ，所以A 、B 、P 三点共线.在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是对于平面内任意一点的O ，存在唯一的一对实数x 、y ，使得 OP =x OA +yOB 且x +y =1.这就是平面向量的三点共线定理.该定理常用于判断三点是否共线，证明几个点是否在同一条直线上，求某个向量的表达式，求参数的值等.下面结合实例探讨一下如何运用平面向量三点共线定理解题.例1.已知O 为锐角三角形ABC 的外心，AB =3,AC =6，若 AO =x AB +yAC ，且3x +10y =5，求三角形ABC 的面积.解：由3x +10y =5，得3x 5+2y =1.由题意可得AO =x AB +y AC =3x 5(53 AB )+2y (12AC ),如图2，在直线AB ，AC 上取两点D ,E ，使得 AD =53 AB ， AE =12 AC ，则 AO =3x 5 AD +2y AE ，又3x 5+2y =1，所以O ,D ,E 三点共线.因为O 为△ABC 的外心，且|| AE =|| EC ，则DE ⊥AC ，又|| AD =5，||AE =3，可得sin ∠BAC =45，故S △ABC =12×|| AB ×||AC ×sin ∠BAC=12×3×6×45=365.根据向量式的特点以及3x +10y =5联想到要三点共线定理，于是在直线AB 、AC 上取两点D 、E ，证明 AO =3x 5AD +2y AE ，即可根据三点共线定理证明O ,D ,E 三点共线，从而根据三角形外心的性质和面积公式求得问题的答案.例2.如图3所示，在△ABO 中，OC =14 OA ， OD =12OB ，AD 与BC 相交于点M .设 OA =a ，OB =b ，试用 a 和 b 来表示向量 OM .解：设 OM =ma +nb ，则 AM = OM - OA =m a +n b - a =(m -1)a +nb ，AD = OD - OA =12 OB - OA =-a +12b ，因为A ,M ,D 三点共线，所以存在实数t ，使得 AM =tAD ，即(m -1)a →+n b →=t (-a →+12b →)，所以ìíîïïm -1=-t ,n =t 2,消去t 得m +2n =1，又因为CM = OM - OC =(m -14)a →+n b →， CB = OB - OC =-14a →+b →，且B ,M ,C 三点共线，所以存在实数t 1，使得 CM =t 1CB ，即(m -14)a →+n b →=t 1（-14a →+b →），所以ìíîïïm -14=-14t 1n =t 1，消去t 1得4m +n =1，由上述两式得m =17，n =37，故 OM =17 a +37b .解答本题需抓住A ,M ,D 三点共线和B ,M ,C 三点共线这两个关键点，再将 OA 和OB 作为基底表示出其他向量，利用待定系数法来求参数的值.向量共线定理是平面向量中的一个重要定理.合理运用三点共线定理，往往能起到化繁为简的功效，使问题快速得解.同学们要重视三点共线定理，将其灵活地应用于解题当中.（作者单位：江苏省盐城市龙冈中学）图1图2图348Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
平面几何中三点共线的常见解法
2叙嗲活幼嫘歿讲；I中等数学平面几何中三点共线的常见解法T S J瑜(天津师范大学数学科学学院2019级硕士研究生，300387 )中图分类号:〇123.1 文献标识码:A文章编号：1005 - 6416(2021)04 - 0002 - 06(本讲适合高中）证明三点共线是数学竞赛中的一种常见 题型.本文结合近几年国内外数学竞赛中的 典型例题介绍几种常见的解题方法.1利用梅涅劳斯定理的逆定理例 1 已知的三条中线A4'、与其九点圆分别交于点£>、£、厂直线fiC、C4、仙上的点L、M、iV分别为A/lfiC 的三条高线的垂足，九点圆上以Z)、瓦、F为切 点的三条切线与直线M/V、L/V、L M分别交于 点'(?、/?.证明:P、<?、/?三点共线.[1](第17届地中海地区数学竞赛）证明如图1，设A/I S C的重心为C.图1由梅涅劳斯定理的逆定理，知只要证收稿日期:2020-11 -18NP MR LQ^p m'~r l'q n='A P D N c^^PMD.别得+h.NP^apdn ND1^P M~S^d m~DM2'^./i U X i U MR MF2LQ LE2类似地，RL = Fl T#= Ei y r为证式①成立，只要证ND MF LEd m'~f l'e n='②在A和A中，由正弦定理分ND ADsin Z BAG~ sin Z A N D'MD ADsin 乙 CAG sin Z A M D '两式相除得ND sin Z CAG sin AMDDM sin Z BAG sin Z ANDsin Z B'A'D B'D③sin C'A'D~C'D '类似地，MF sin Z BCGFL sin Z ACGA'FB'F，④LE sin 乙 ABG C'E⑤EN sin Z CBG A'E '对A4S C和点G应用角元塞瓦定理知sin /_ BAG sin X ACG sin X CBG_ .⑥sin CAG sin /_ BCG sin 乙ABG2021年第4期3③〜⑥四式相乘得ND MF LE BfD ArF C E----•—• — —-----•------•DM FL EN~ C'D B'F A'E'又由六点共圆，则A G D B'c^^GEA'B'D DGZ E =£G '米加她 A，F FG C，E EG类似地，C,Z)—D G W F— F G .三式相乘并代人式⑦，即得式②成立.【注】对于证明中的式⑦，由于圆内接凸 六边形水/满足氺£)、57、(：7三线共点，由角元塞瓦定理的推论也可得A'F B'D C'E~FB''15C''~EA'=j即式⑦右边=1.2利用平角的定义或角相等(1)如图，…，/)…为平面上 » +3个点，若Z A B D t +Z D'BD2+.._+Z D…B C= M)。
三点共线的证明方法
三点共线的证明方法
已知三点坐标的情况下，方法一：取两点确立一条直线，计算该直线的解析式，代入
第三点坐标，看是否满足该解析式。
方法二：设三点为A、B、C，利用向量证明：a倍AB
向量=AC向量（其中a为非零实数）。
利用点差法求出ab斜率和ac斜率相等即三点共线；证三次两点一线；用梅涅劳斯定理；利用几何中的公理“如果两个不重合的'平面有一个公共点，那么它们有且只有一条
过该点的公共直线”可知：如果三点同属于两个相交的平面则三点共线；
运用公（的定）理“过直线外一点存有且只有一条直线与未知直线平行（横向）”，其实就是同一法；证明其夹角为° ；设a b c，证明△abc面积为0。
三点共线与三线共点的证明方法
三点共线与三线共点的证明方法三个点共线指的是这三个点同时在一条直线上，也可以说是三个点在同一条直线上。
三线共点指的是通过三个不共线的点分别画一条直线，这三条直线交于同一点。
三点共线的证明方法主要有以下几种：1.直线方程法：设三个点分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。
利用直线方程的一般式Ax+By+C=0来确定三个点是否共线。
具体步骤如下：-计算直线AB的方程：A1x+B1y+C1=0（其中A1=y2-y1，B1=x1-x2，C1=x2y1-x1y2）-将点C的坐标代入直线AB的方程：A1x3+B1y3+C1=0-如果等式成立，则三个点共线；如果不成立，则不共线。
2.坐标法：设三个点分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。
根据点的坐标特点，通过计算三个点的斜率来判断是否共线。
具体步骤如下：-计算AB和BC两个线段的斜率：k1=(y2-y1)/(x2-x1)，k2=(y3-y2)/(x3-x2)-如果k1=k2，则三个点共线；如果k1≠k2，则不共线。
3.向量法：设三个点分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。
通过判断向量AB和向量AC的平行性来确定三个点是否共线。
具体步骤如下：-计算向量AB和向量AC的分量：AB=(x2-x1,y2-y1)，AC=(x3-x1,y3-y1)-如果向量AB和向量AC平行，则三个点共线；如果不平行，则不共线。
三线共点的证明方法有以下几种：1.十字交叉法：通过在纸上画出三个不共线的点A、B、C，然后通过直尺（或者铅笔加线板）在三个点上分别连线，如果三条线段交叉于同一点，则三个点共线。
2.逆向思维法：设三个点为A、B、C。
可以通过逆向思维，即假设不共线，来反证明三条线段共点。
首先连线AB、AC，得到两条直线，然后通过延长AB和AC，使其相交于点D。
如果D与C重合，则三线共点；如果D与C不重合，则不共点。
由于三个点不共线，所以最后的结论是D与C不重合，即三线不共点。
七.三点共线问题
七、 三点共线问题基本方法：三点共线问题解题策略一般有以下几种：①斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等证明三点共线； ②距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个距离之和，则这三点共线； ③向量法：利用向量共线定理证明三点共线；④直线方程法：求出过其中两点的直线方程，再证明第三点也在该直线上;⑤点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，计算出第三点到该直线的距离，若距离为0，则三点共线.⑥面积法：通过计算求出以这三点为三角形的面积，若面积为0，则三点共线.在处理三点共线问题时，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思想”.一、典型例题1．已知椭圆22:12x C y +=，41,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆上一点，若,R S 是椭圆C 上的两个点，线段RS 的中垂线l 的斜率为12且直线l 与RS 交于点P ，O 为坐标原点，求证：,,P O M 三点共线．2．已知椭圆的焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线24x y =的焦点，离心率e =．过椭圆的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线l ，交椭圆于A 、B 两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设点(,0)M m 是线段OF 上的一个动点，且()MA MB AB +⊥，求m 的取值范围；（3）设点C 是点A 关于x 轴的对称点，在x 轴上是否存在一个定点N ，使得C 、B 、N 三点共线？若存在，求出定点N 的坐标，若不存在，请说明理由．二、课堂练习1．抛物线2:4C y x =，已知斜率为k 的直线l 交y 轴于点P ，且与曲线C 相切于点A ，点B 在曲线C 上，且直线PB x 轴，P 关于点B 的对称点为Q ，判断点,,A Q O 是否共线，并说明理由.2．已知椭圆22143x y +=，点F 是椭圆的右焦点. 是否在x 轴上存在定点D ，使得过D 的直线l 交椭圆于,A B 两点.设点E 为点B 关于x 轴的对称点，且,,A F E 三点共线？若存在，求D 点坐标；若不存在，说明理由.三、课后作业1. 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过点()1,0-，直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D . 证明：,,B F D 三点共线.2．已知椭圆:E 22162x y +=，其右焦点为F ，过x 轴上一点()3,0A 作直线l 与椭圆E 相交于,P Q 两点，设(1)AP AQ λλ=>，过点P 且平行于y 轴的直线与椭圆E 相交于另一点M ，试问,,M F Q 是否共线，若共线请证明；反之说明理由.3．已知椭圆22:132x y E +=，过定点()3,4P -且斜率为k 的直线交椭圆E 于不同的两点,M N ，在线段MN 上取异于,M N 的点H ，满足PM MH PN NH =，证明：点H 恒在一条直线上，并求出这条直线的方程.。
7.三点共线问题
1．已知椭圆22:12x C y +=，41,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆上一点，若,R S 是椭圆C 上的两个点，线段RS 的中垂线l 的斜率为12且直线l 与RS 交于点P ，O 为坐标原点，求证：,,P O M三点共线．12，所以直线RS 的斜率为2-.所以可设直线RS 的方程为2y x m =-+.由222,1,2y x m x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2298220x mx m -+-=.设点()11,R x y ，()22,S x y ，()00,P x y .所以1289m x x +=，()1212128222222299m m y y x m x m x x m m +=-+-+=-++=-⋅+=.所以120429x x m x +==，12029y y m y +==.因为0014y x =，所以0014y x =.所以点P 在直线14y x =上.又点()0,0O ，41,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭也在直线14y x =上，所以,,P O M 三点共线.2．已知椭圆的焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线24x y =的焦点，离心率e =过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l ，交椭圆于A 、B 两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设点(,0)M m 是线段OF 上的一个动点，且()MA MB AB +⊥ ，求m 的取值范围；三点共线问题基本方法：三点共线问题解题策略一般有以下几种：①斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等证明三点共线；②距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个距离之和，则这三点共线；③向量法：利用向量共线定理证明三点共线；④直线方程法：求出过其中两点的直线方程，再证明第三点也在该直线上;⑤点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，计算出第三点到该直线的距离，若距离为0，则三点共线.⑥面积法：通过计算求出以这三点为三角形的面积，若面积为0，则三点共线.在处理三点共线问题时，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思想”.一、典型例题解析：因为线段RS 的中垂线l 的斜率为（3）设点C 是点A 关于x 轴的对称点，在x 轴上是否存在一个定点N ，使得C 、B 、N 三点共线？若存在，求出定点N 的坐标，若不存在，请说明理由．⎪⎝⎭解析：（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由题意1b =，又e ===，∴25a =，故椭圆方程为2215x y +=．（2）由（1）得右焦点(2,0)F ，则02m ≤≤，设l 的方程为(2)y k x =-（0k ≠）代入2215x y +=，得2222(51)202050k x k x k +-+-=，∴220(1)0k ∆=+>，设1122(,),(,),A x yB x y 则21222051k x x k +=+，212220551k x x k -=+，且1212(4)y y k x x +=+-，2121()y y k x x -=-．∴11221212(,)(,)(2,)MA MB x m y x m y x x m y y +=-+-=+-+ ，2121(,)AB x x y y =-- ，由()MA MB AB +⊥ ，得()0MA MB AB +⋅= ，则12211221()(2)()()()0MA MB AB x x m x x y y y y +⋅=+--++⋅-= ，即12211221(2)()(4)()0x x m x x k x x k x x +--++-⋅-=，即2222220202(4)05151k k m k k k -+-=++，得2085m k m =>-，所以805m <<，∴当805m <<时，有()MA MB AB +⊥ 成立．（3）在x 轴上存在定点N ，使得C 、B 、N 三点共线．依题意11(,)C x y -，直线BC 的方程为211121()y y y x x y x x +=---，令0y =，则121122112121()N y x x y x y x x x y y y y -+=+=++， 点,A B 在直线:(2)l y k x =-上，∴1122(2),(2)y k x y k x =-=-，∴122112************(2)(2)22()(2)(2)()4N y x y x k x x k x x kx x k x x x y y k x k x k x x k +-⋅+-⋅-+===+-+-+-222222205202255151220451k k k k k k k k k k -⋅-⋅++==⋅-+，∴在x 轴上存在定点5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得C 、B 、N 三点共线．1．抛物线2:4C y x =，已知斜率为k 的直线l 交y 轴于点P ，且与曲线C 相切于点A ，点B 在曲线C 上，且解析：设直线:l y kx m =+，联立24y x y kx m⎧=⎪⎨=+⎪⎩，得()222240k x mk x m +-+=(*)由()()2222441610mk m k mk ∆=--=-=，解得1m k=，则直线1:l y kx k =+，得10,P k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，211,4B k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线PB x 轴，P 关于点B 的对称点为Q ，判断点A ,Q ,O 是否共线，并说明理由.又P 关于点B 的对称点为Q ，故211,2Q k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，此时，(*)可化为222120k x x k -+=，解得21x k =，故12y kx k k =+=，即212,A k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2OA OQ k k k ==，即点,,A Q O 共线.2．已知椭圆22143x y +=，点F 是椭圆的右焦点.是否在x 轴上存在定点D ，使得过D 的直线l 交椭圆于,A B 两解析：由题意易知直线l 斜率不为0.设直线l 方程为x my t =+，(),0D t ，联立22143x my t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()2223463120m y mt y t ++⋅+-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则()22,E x y -，则122212263431234mt y y m t y y m -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，且0∆>，由,,A F E 三点共线有()()2112110x y x y -+-=，即()()1212210my y t y y +-+=，()22231262103434t mt m t m m --∴⋅+-⋅=++，解得4t =，∴存在定点()4,0D 满足条件.由214x my y x=-⎧⎪⎨=⎪⎩消去x 整理得2440y my -+=，设()()1122,,,A x y B x y ，则()11,D x y -，且12124,4y y m y y +==.又直线BD 的方程为()122221y y y y x x x x +-=--，即2222144y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪ ⎪-⎝⎭，令0y =，得1214y y x ==.所以点()1,0F 在直线BD 上，即,,B F D 三点共线.2．已知椭圆:E 22162x y +=，其右焦点为F ，过x 轴上一点()3,0A 作直线l 与椭圆E 相交于,P Q 两点，设(1)AP AQ λλ=> ，过点P 且平行于y 轴的直线与椭圆E 相交于另一点M ，试问,,M F Q 是否共线，若共线请解析：设()11,P x y ，()22,Q x y ，则11(3,)AP x y =- ，22(3,)AQ x y =- ，点.设点E 为点B 关于x 轴的对称点，且A ,F ,E 三点共线？若存在，求D 点坐标；若不存在，说明理由.证明；反之说明理由.1.已知抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ，直线l 过点(-1,0)，直线l 与抛物线C 相交于A ,B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D .证明：B ,F ,D 三点共线.解析：依题意，直线l 的斜率存在且不为零，设直线l 的方程为x =my -1(m ≠0)，由已知得方程组()12122211222233162162x x y y x y x y λλ-=-⎧⎪=⎪⎪⎪⎨+=⎪⎪⎪+=⎪⎩，注意到1λ>，解得2512x λλ-=，因为()()112,0,,F M x y -，所以11211211(2,)((3)1,),,22FM x y x y y y λλλλλ--⎛⎫⎛⎫=--=-+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又22(2,)FQ x y =- 21,2y λλ-⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以FM FQ λ=- ，从而三点共线.3．已知椭圆22:132x y E +=，过定点()3,4P -且斜率为k 的直线交椭圆E 于不同的两点,M N ，在线段MN 上取异于,M N 的点H ，满足PMMHPN NH =，证明：点H 恒在一条直线上，并求出这条直线的方程.答案：210x y -+=，证明见解析解析：设()()()112200,,,,,M x y N x y H x y ，由PMMHPN NH =，得01122033x x x x x x -+=+-，整理可得()1212012236x x x x x x x ++=++设直线():3434l y k x kx k =++=++，联立2234132y kx k x y =++⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()()2222363433460k x k k x k +++++-=由题0∆>，∴()12263432k k x x k -++=+，()2122334632k x x k +-=+，则22122218241812122463232k k k k x x k k --++-++==++，()()22121222692416125472728423+3232k k k k k x x x x k k ++---++==++，∴072846710312241212k k x k k k++===-+---，而P 在l 上，则001053433411212k y kx k k k k k =++=-+++=-+--，∴00210x y -+=，即H 恒在直线210x y -+=上.。
三点共线问题
高考数学优质专题（附经典解析）三点共线问题基本方法：三点共线问题解题策略一般有以下几种：①斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等证明三点共线；②距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个距离之和，则这三点共线；③向量法：利用向量共线定理证明三点共线；④直线方程法：求出过其中两点的直线方程，再证明第三点也在该直线上;⑤点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，计算出第三点到该直线的距离，若距离为0，则三点共线.⑥面积法：通过计算求出以这三点为三角形的面积，若面积为0，则三点共线.在处理三点共线问题时，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思想”.一、典型例题1．已知椭圆22:12x C y +=，41,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆上一点，若,R S 是椭圆C 上的两个点，线段RS 的中垂线l 的斜率为12且直线l 与RS 交于点P ，O 为坐标原点，求证：,,P O M 三点共线．2．已知椭圆的焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线24x y =的焦点，离心率e =．过椭圆的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线l ，交椭圆于A 、B 两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设点(,0)M m 是线段OF 上的一个动点，且()MA MB AB +⊥，求m 的取值范围；（3）设点C 是点A 关于x 轴的对称点，在x 轴上是否存在一个定点N ，使得C 、B 、N 三点共线？若存在，求出定点N 的坐标，若不存在，请说明理由．二、课堂练习1．抛物线2:4C y x =，已知斜率为k 的直线l 交y 轴于点P ，且与曲线C相切于点A ，点B 在曲线C 上，且直线PB x 轴，P 关于点B 的对称点为Q ，判断点,,A Q O 是否共线，并说明理由.2．已知椭圆22143x y +=，点F 是椭圆的右焦点. 是否在x 轴上存在定点D ，使得过D 的直线l 交椭圆于,A B 两点.设点E 为点B 关于x 轴的对称点，且,,A F E 三点共线？若存在，求D 点坐标；若不存在，说明理由.三、课后作业1. 已知抛物线2:4C yx =的焦点为F ，直线l 过点()1,0-，直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D . 证明：,,B F D 三点共线.2．已知椭圆:E 22162x y +=，其右焦点为F ，过x 轴上一点()3,0A 作直线l与椭圆E 相交于,P Q 两点，设(1)AP AQ λλ=>，过点P 且平行于y 轴的直线与椭圆E 相交于另一点M ，试问,,M F Q 是否共线，若共线请证明；反之说明理由.3．已知椭圆22:132x y E +=，过定点()3,4P -且斜率为k 的直线交椭圆E 于不同的两点,M N ，在线段MN 上取异于,M N 的点H ，满足PMMHPNNH =，证明：点H 恒在一条直线上，并求出这条直线的方程.。
初中数学中三点共线的方法
初中数学中三点共线的方法
1.两个角，如果两角相邻且加在一起180°，就是三点共线。
2.利用几何中的公理“如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线”。
可知：如果三点同属于两个相交的平面则三点共线。
3.在三角形中，AB+BC=AC，所以B点在AC上，所以：ABC三点共线。
1三点共线证明
例1.如图，在四面体ABCD中作截图PQR，PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延长线交于N，RP、DC的延长线交于K。
求证M、N、K三点共线。
由题意可知，M、N、K分别在直线PQ、RQ、RP上，根据公理1可知M、N、K在平面PQR上，同理，M、N、K分别在直线CB、DB、DC上，可知M、N、K在平面BCD上，根据公理3可知M、N、K在平面PQR与平面BCD的公共直线上，所以M、N、K三点共线。
专题07 三点共线与四点共面充要条件(解析版)
）
A． 1
B．0
C．1
D．2
【答案】C
【详解】解：依题意可得 A 、 B 、 D 三点共线，所以 OD OA 1 OB ，
又 A 关于点 O 的对称点为 C ，所以 OC OA ，
又 OD xOB yOC ，所以 OD xOB yOA ，
所以 y ， x 1 ，则 x y 1 1 .
如图空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件是存在有序实数对 (x, y) ，使 AP x AB y AC ．
或者等价于：对空间任意一点 O ，空间一点 P 位于平面 ABC 内（ P, A, B,C 四点共面）的充要条件是存在
有序实数对 (x, y) ，使 OP OA x AB y AC ，该式称为空间平面 ABC 的向量表示式，由此可知，空间中
该平面外一点且
PA
5
PB
x PC
1
PD
，则实数
x
的值为（
）
3
3
A． 4 3
B． 1 3
C． 1 3
D． 4 3
【答案】C
【详解】解：因为空间 A ， B ， C ， D 四点共面，但任意三点不共线，
则可设 AB mAC nAD ，
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又点 P 在平面外，则 PB PA m(PC PA) n(PD PA) ，
2
3
3
33
所以 1 2 xy
1 (2x 6
y)
1
x
2 y
1 6
2
2
y x
4x y
1 6
2
2
2
y4x xy
4 3
，
当且仅当 x 3 ， y 3 时等号成立. 2
向量求三点共线的方法
向量求三点共线的方法
如果A、B和C三个点共线，那么向量AB和向量AC必然平行。
向量平行可以通过向量的点积来判断。
如果AB和AC平行，则有：
AB · AC = |AB| |AC| cosθ
其中，|AB|和|AC|分别为向量AB和向量AC的模长，θ为两个向量之间的夹角。
由于AB和AC平行，所以θ为0度或180度，即cos θ为1或-1。
因此有：
AB · AC = ±|AB| |AC|
将上式展开，可以得到：
(x2 - x1)(x3 - x1) + (y2 - y1)(y3 - y1) + (z2 - z1)(z3 - z1) = ±|AB| |AC|
如果左边的式子等于右边的式子，则A、B和C三个点共线。
需要注意的是，如果三个点的坐标是浮点数，判断是否相等时需要考虑精度误差。
可以使用一个很小的阈值来检查两个浮点数是否相等。
综上所述，通过向量的点积可以判断三个点是否共线。
这种方法简单、直观，适用于二维和三维空间中的点。
- 1 -。
三点共线最大值原理
三点共线最大值原理三点共线最大值原理是指在平面直角坐标系中，如果有三个点A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，且它们不在同一条直线上，那么这三个点能够形成的最大周长就是三角形ABC的周长。
这个原理可以用来解决一些实际问题。
例如，在一个城市里有很多公园，每个公园都有一个面积和一个位置。
现在要选择三个公园，使得它们的面积之和最大，但是这三个公园不能位于同一条直线上。
我们可以把每个公园看作平面直角坐标系中的一个点，然后用三点共线最大值原理来解决这个问题。
具体来说，我们可以先枚举任意两个点A和B，然后再找到与它们不在同一条直线上的第三个点C。
对于每组(A,B,C)，我们可以计算出它们能够形成的三角形ABC的周长，并记录下最大值。
当枚举完所有可能的(A,B)之后，我们就得到了所有可能的最大周长。
其中最大值就是我们要找的答案。
需要注意的是，在枚举(A,B)时，我们应该避免重复计算。
具体来说，如果已经计算过(A,B,C)和(B,A,C)，那么就不需要再计算(A,B,D)和(B,A,D)，其中D是与A和B不在同一条直线上的第三个点。
三点共线最大值原理还可以应用到其他问题中。
例如，在一个公司里有很多员工，每个员工都有一个年龄和一个薪水。
现在要选择三个员工，使得他们的年龄之和最大，但是这三个员工不能位于同一条直线上。
我们可以把每个员工看作平面直角坐标系中的一个点，然后用三点共线最大值原理来解决这个问题。
总之，三点共线最大值原理是一个很有用的数学原理，可以帮助我们解决一些实际问题。
在使用它时，我们需要注意避免重复计算，并且要保证所有点不在同一条直线上。
三点共线问题的解法探究
教学实践新课程NEW CURRICULUM最近，在复习“直线与方程”这部分内容时，有这样的一道习题“判断三点A （0，2）、B （2，5）、C （6，11）是否在同一条直线上”，学生做此题的方法较多，现总结如下：分析1利用直线的斜率公式解题.解法1因为k AB =5-22-0=32，k AC =11-26-0=32，且两直线AB 、AC 公共点为A ，所以A 、B 、C 三点共线.分析2利用点在直线上解题.解法2直线AB 的两点式方程为y -25-2=x -02-0，化为一般式方程为3x -2y +4=0，而3×6-2×11+4=0，即C （6，11）在直线AB 上，所以A 、B 、C 三点共线.分析3利用两直线重合解题.解法3直线AB 的两点式方程为y -25-2=x -02-0，化为一般式方程为3x -2y +4=0，直线AC 的两点式方程为y -26-2=x -011-0，化为一般式方程为3x -2y +4=0，则直线AB 与直线AC 重合，所以A 、B 、C 三点共线.分析4利用两点之间的距离公式解题.解法4由AB =（2-0）2+（5-2）2√=13√，AC =（6-0）2+（11-2）2√=313√，BC =（6-2）2+（11-5）2√=213√知AC =AB+BC ，所以A 、B 、C 三点共线.分析5利用点到直线的距离公式解题.解法5直线AB 的两点式方程为y -25-2=x -02-0，化为一般式方程为3x -2y +4=0，而点C （6，11）到直线AB 的距离为3×6-2×11+432+（-2）2√=0，所以A 、B 、C 三点共线.分析6利用平面向量的共线定理解题.解法6由AB 2-0，5-2）=（2，3），AC =6-0，11-2）=（6，9）AC =3AB 且两向AB 、AC 共点为A ，所以A 、B 、C 三点共线.从这个题目的各种解法中可以看出，对于直线与方程的知识点的贯穿，有较大的作用.下面几个题目请读者自我完成.练习1分别判断下列三点是否在同一直线上：（1）A （1，2），B （1，3），C （1，-1）；（2）A （-1，4），B （2，1），C （-2，5）；（3）A （0，2），B （2，5），C （3，7）.练习2如果A （1，2），B （3，m ），C （7，m +2）三点共线，求实数m 的值.练习3已知两点A （3，2），B （8，12）.若点C （-2，a ）在直线AB上，求实数a 的值.三点共线问题的解法探究陈健（江苏省泰兴市泰州学院附属实验中学）一、能听善听是英语学习的先决条件英语是一门以生活交际为依托的科学，其中听所占的比重最大，英语学习必须先从听开始。
向量三点共线结论证明
向量三点共线结论证明
（原创实用版）
目录
1.引言
2.向量共线的定义
3.三点共线的条件
4.证明向量三点共线的方法
5.结论
正文
1.引言
在数学中，向量是一个非常重要的概念。
向量可以表示空间中的点或者方向，同时也可以进行加减运算。
在向量的运算过程中，我们经常会遇到向量共线的情况。
所谓向量共线，就是指两个或多个向量在同一条直线上。
今天我们要介绍的是向量三点共线的结论证明。
2.向量共线的定义
两个向量共线，当且仅当它们满足线性关系。
具体来说，如果存在一个实数 k，使得一个向量等于另一个向量乘以 k，那么这两个向量就是共线的。
3.三点共线的条件
在平面上，如果三个点共线，那么它们必须满足以下条件：任意两个点的连线都和第三个点的连线共线。
也就是说，如果点 A、B、C 共线，那么 AB 和 AC 的连线共线，同时 AC 和 BC 的连线也共线。
4.证明向量三点共线的方法
为了证明三个向量共线，我们可以使用向量的基本运算。
假设我们有
三个点 A、B、C，对应的向量分别是向量 A、向量 B、向量 C。
我们可以通过计算向量之间的比例来证明它们是否共线。
如果存在一个实数 k，使得向量 B 等于向量 A 乘以 k，同时向量 C 等于向量 B 乘以 k，那么向量 A、向量 B、向量 C 就共线。
5.结论
通过以上的证明，我们可以得出结论：如果三个点共线，那么对应的向量也共线。
这个结论在向量的运算中非常常用，可以帮助我们简化向量的计算过程。
三点共线最大值原理
三点共线最大值原理
三点共线最大值原理是指在平面几何中，当给定一定数量的点，要找出其中一组点，使得这组点中的三点共线的数量最大。
这个原理在数学和几何学中有着广泛的应用，并且对于解决一些实际问题具有重要意义。
我们来看一下三点共线最大值原理在数学中的应用。
在数学中，几何学是一个重要的分支，而三点共线最大值原理是解决几何问题的重要工具之一。
例如，当我们需要找到一条直线经过给定的三个点时，可以利用三点共线最大值原理，通过比较不同的组合来确定最优解。
这种方法不仅简单，而且高效，可以在很短的时间内找到最优解。
三点共线最大值原理在实际问题中也有着重要的应用。
例如，在地理测量中，当我们需要确定一个地点的位置时，可以通过测量三个不同的点，然后利用三点共线最大值原理来计算出最准确的位置。
这种方法不仅能够提高测量的准确性，而且还可以节省时间和资源。
三点共线最大值原理还可以应用于图像处理和计算机视觉中。
在图像处理中，当我们需要识别图像中的直线或曲线时，可以利用三点共线最大值原理来确定最佳拟合线或曲线。
这种方法不仅能够提高图像识别的准确性，而且还可以加快图像处理的速度。
三点共线最大值原理在数学和几何学中的应用非常广泛，并且对于
解决一些实际问题具有重要意义。
通过利用这一原理，我们可以快速有效地解决各种几何问题，提高测量和图像处理的准确性，节省时间和资源。
因此，我们应该充分认识和理解三点共线最大值原理的重要性，并在实际问题中加以应用。
-向量三点共线定理推导过程
向量三点共线定理推导过程嘿，咱今天来唠唠向量三点共线定理的推导过程哈。
就说有一天我去逛街，看到前面有三个人，咱就姑且叫他们 A、B、C 吧。
我就一直盯着他们看，突然发现一个有意思的事儿。
A 这人呢一直沿着一条路往前走，B 就跟着 A，走的路线几乎是重合的。
然后 C 呢，一会儿离A 近点，一会儿离 B 近点，但总体感觉 C 也是在和 A、B 走在一条线上似的。
咱回到向量三点共线定理这儿哈。
假如我们有向量 OA、OB 和 OC，要是能找到一个实数λ，使得OC = λOA + (1 - λ)OB，那这就说明这三个向量对应的点就是共线的呀。
就像那三个人，C 总是能通过 A 和 B 的某种组合来表示。
你看，这不就和我看到的那三个人的情况差不多嘛。
A 就像是 OA 向量，B 像是 OB 向量，C 就是 OC 向量。
他们在那条路上的关系，就跟这向量之间的关系一样神奇。
哎呀，经过我这么一观察，这向量三点共线定理就好理解多啦！嘿嘿，以后再看到类似的情况，我肯定一下子就想起来这个定理啦！。
专题16不联立体系第三讲—三点共线问题
专题16 三点共线问题在处理三点一线问题时，设点法往往比设线法有更大的优势三点共线问题设点法：一般来说有两点是在圆锥曲线上，另一点在坐标轴上，这样问题的核心就是要找到圆锥曲线上两点12x x +与12x x ⋅之间的联系，把两者之间的联系建立起来．那么用点参法如何解决这一问题呢?我们来看一个具体的例子假设11()A x y ，，22()B x y ，是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上不同的两点，且直线AB 经过点(0)M m ，，则1212y y x m x m=--，交叉相乘可得：1221()()y x m y x m -=-，我们可以将两边同时平方然后将y 加以替换，整理，具体过程如下口诀：积加a 方的双倍，和与双勾来相对，a 的平方太积极，左右都在不缺位． 备注：1当直线AB 经过纵轴上定点(0)M m ，时2212122()()()b y y b m y y m⇒+=++2在双曲线中有类似的结论．直线AB 经过点(0)M m ，时，2212122()()()a x x a m x x m+=++（和椭圆一致），当直线AB 经过纵轴上定点(0)M m ，时2212122()()()b y y b m y y m-=-+（和椭圆有区别）,推导过程与椭圆类似，在这里就不重复了.第一讲 平方重构法【例1】如图4-3-1所示，已知椭圆22184x y +=的左、右顶点分别为P ，Q ，弦AB 经过椭圆C 的右焦点F ，且直线AB 的斜率不为零，记直线PA ，QB 的斜率分别为1k ，2k ，试问是否存在常数λ，使得12k k λ=在AB 绕点F 旋转的过程中始终成立？图4-3-1第二讲 截距点差法我们学过，过不同两点11()A x y ，，22()B x y ，的直线方程可表示为221212y y x x y y x x --=--，但是这种形式都有一定的局限性，不能表示斜率不存在或斜率为零，为了克服它们的局限性，我们将其化为整式，得到12211221()()x x y y y x x y x y -+-=-上式将会是我们在本节中经常见到的一个式子，分别令0x =和0y =，就能得到直线AB 的y 轴截距b 和x 轴截距a 的计算公式122112122121x y x y b x x x y x y a y y -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩．11()M x y ，、22()N x y ，是椭圆22221x y a b+=上的两点，则以下式子必然成立．2222222222122112212211221 ( ())()()x y x y x y x y x y x y b x x a y y -+=-=-=-，这个式子里x 和y 处于交叉状态，又出现了平方差，我们不妨称之为“交叉平方差式”进一步与两点式结合，我们可以得到以下两个结论【例2】（2016•山东）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为4，焦距为（1）求椭圆C 的方程；（2）过动点(0)(0)M m m >，的直线交x 轴于点N ，交C 于点A ，(P P 在第一象限），且M 是线段PN 的中点．过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B ． （ⅰ）设直线PM ，QM 的斜率分别为1k ，2k ，证明21k k 为定值； （ⅰ）求直线AB 的斜率的最小值．在抛物线中，在斜率表达式“1212x x -”中本身就可以约分变成12y y +（开口朝右时），在三点一线时两两组合很方便列出一个等式，从而得到各点之间的等量关系，所以处理起来会更加方便，我们接下来看下抛物线中的处理方法，【例4】如图4-3-3所示，已知点(11)M ，，(21)N ，，(41)Q ，抛物线22y px =过点M ，过点Q 的直线与抛物线交于A ，B 两点，直线AN ，BN 与抛物线的另一交点分别为C ，D ，记ABN ∆，CDN ∆的面积分别为1S ，2S ．（1）求抛物线的方程；（2）12S S 是否为定值？并说明理由．图4-3-3我们还可以推广到更一般的结论：对于抛物线22(0)y px p =>，200()2y A y p ，是抛物线上一点200()2y B b y p +，,20()2y C c y p+，是平面内两点（B ，C 不在抛物线上）且B ，C ，A 三点共同位于一条与x 轴平行的直线上．图4-3-4MN 为过C 的一条弦，MB 交抛物线于另一点Q ，NB 交抛物线于另一点P ，则必有(1)22BMN BPQ S c S b =△△(2)PQ 过定点2200()2y b y p c+，【例5】(湖北十一校第一次联考)：已知直线2y x =-与抛物线22y px =相交于A ，B 两点，满足OA OB ⊥．定点(42)C ，，(40)D -，，M 是抛物线上一动点，设直线CM ，DM 与抛物线的另一个交点分别是E 、F ． (1)求抛物线的方程；(2)求证：当M 点在抛物线上变动时(只要点E 、F 存在且不重合)，直线EF 恒过一个定点；并求出这个定点的坐标．【例6】已知抛物线Γ：且在第一象限，满足(2FP =，． （1）求抛物线Γ的方程．（2）已知经过点2(3)A -，的直线交抛物线Γ于M 、N 两点，经过定点6(3)B -，和M 的直线与抛物线Γ交于另一点L ，问直线NL 是否恒过定点？如果过定点，求出该定点，否则说明理由．【例7】已知抛物线E ：是E 上一点，且||2AF =． （1）求E 的方程:（2）设点B 是E 上异于点A 的一点，直线AB 与直线3y x =-交于点P ，过点P 作x 轴的垂线交E 于点M ，证明：直线BM 过定点。