复变函数与积分变换试题2012.7

全国2012年7月高等教育自学考试

复变函数与积分变换试题

课程代码：02199

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1．复数1+i的辐角为（）

A．2π,

k k Z

∈B．

π

2π,

4

k k Z

+∈

C．

π

2π,

2

k k Z

+∈D．(21)π,

k k Z

+∈

2．在复平面上方程|z-1|+|z+1|=4表示（）

A．直线B．圆周C．椭圆周D．抛物线

3．不等式组

1

||1,Im

2

z z

<<表示的区域是（）

A．单连通区域B．多连通区域C．无界区域D．闭区域

4．关于函数cos z，以下哪个说法是错误的（）

A．它是有界函数B．它是周期函数C．它仅有实零点D．它是解析函数5．函数2

()||

f z z

=在复平面上有定义且（）

A．在z=0解析B．处处解析C．处处不解析D．以上都不对

6．设C为正向圆周|z|=1，则积分

C dz z

⎰的值为（）A．0 B．1 C．2πD．2πi

7．当函数

3

()

(2)(21)

z

f z

z z

=

--

表示成z的幂级数时，收敛半径为（）

A．1

2

B．1

复变函数与积分变换试卷第1页（共3页）

复变函数与积分变换试卷 第2页（共3页）

C ．2

D ．∞

8．点z =0是函数221

()sin z f z z z

-=的（ ）

A ．可去奇点

B ．极点

C ．本性奇点

D ．解析点

9．函数1()z

f z e =在点z =0处的留数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2

D ．e

10．映射1

()w f z z

==将单位圆盘||1z <映成（ ） A ．|w |<1 B ．|w |>1 C ．Re w <1

D ．Re w >1

二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。 11．复数(1+i )2的共轭复数为__________.

12．复平面上解析函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+满足的柯西-黎曼条件为__________. 13．函数()z f z e =的周期为__________.

14．设C 是从0到i 的线段，则积分||c

z dz =⎰__________.

15．设C 由正向圆周|z |=3与负向圆周|z |=1组成，则积分z

C e dz z

=⎰__________.

16．函数1

()f z z

=

在1z =处的泰勒展开式为__________. 17．函数3()3f z z z =+在z i =处的伸缩率为__________.

18．把点1,,1z i =-分别映成点,1,0w =∞-的分式线性变换为__________.

19．设()f t 是可微函数且lim ()0t f t →∞

=，则f (t )的傅氏变换与()f t '的傅氏变换的关系为

__________.

20．设L [()]()f t F p =，则对任意复数p 0有L 0[()]p t e f t __________.

复变函数与积分变换试卷 第3页（共3页）

三、计算题(本大题共7小题，每小题6分，共42分)

21．指出函数21

()1

f z z =+在复平面上的解析区域并求其导数。

22．设函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在复平面上解析，验证22

2222()|()|4|()|f z f z x y ∂∂'+=∂∂。

23．求函数(,)v x y 使得22()(,)f z x y iv x y =-+在复平面上解析。 24．设函数32

2

||323()()f z d z ζζζζζ=+=-⎰，求()f z 在||3z <内的导数。 25．将函数1

()()

f z z z i =-在||1z >内展成罗朗级数。

26．求函数2sin ()(1)

z

f z z z =

+的在复平面上的所有奇点，并确定它们的类别。

27．利用留数求积分22π0

sin 14cos x

I dx x

=+⎰

的值。

四、综合题(本大题共2小题，每小题9分，共18分)

28．求一个函数，它把区域：||1,Im 0z z <<保角映射成上半平面。 29．利用拉氏变换求解常微分方程,(0)0t y y e y '-==。