专题13 平面几何基础
平面几何入门
平面几何入门平面几何是数学中的一个重要分支，它研究的是二维空间中平面图形的性质和关系，是几何学的基础。
在本文中，我们将带您入门平面几何的基本概念和理论，让您对这一学科有一个全面的了解。
一、点、线和面的概念平面几何的基本元素包括点、线和面。
点是平面上最基本的对象，不占据空间，用大写字母标记，如A、B、C等。
线由无数个点组成，它是一维的，没有宽度和厚度，用小写字母表示，如l、m、n等。
面是由无数个线构成的，它是二维的，拥有长度和宽度，用大写字母表示，如P、Q、R等。
二、基本图形的性质1. 点的性质：点没有大小和形状，可以在平面上移动。
2. 直线的性质：直线无限延伸，在平面上任意两点可以确定一条直线，直线上的点不限定数量。
3. 射线的性质：射线由一个端点和一个方向组成，在平面上只能延伸一个方向。
4. 线段的性质：线段由两个端点组成，有固定的长度，在平面上不能无限延伸。
5. 角的性质：角由两条射线的公共端点和位于这两条射线之间的部分组成，用大写字母表示，如∠ABC。
角的大小可以用度、弧度或直角来度量。
6. 三角形的性质：三角形是由三条线段组成的平面图形，它有三个顶点和三个边。
根据边长和角度的不同，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和一般三角形。
7. 四边形的性质：四边形是由四条线段组成的平面图形，它有四个顶点和四条边。
根据边长和角度的不同，四边形可以分为正方形、长方形、菱形、平行四边形等。
8. 圆的性质：圆是由一个固定点到平面上任意点的距离相等的点的集合。
圆由圆心和半径确定，圆心用大写字母表示，如O，半径用小写字母表示，如r。
三、平面几何的定理与推理平面几何的定理是通过逻辑推理和证明得出的，它们是描述平面图形性质和关系的真实命题。
下面介绍几个常见的定理：1. 垂直平分线定理：如果一条线段的中点处于另一条线段上，并且这条线段与另一条线段垂直相交，那么这条线段就是另一条线段的垂直平分线。
2. 同位角定理：当两条直线被一条交叉直线切割时，同位角是对应于同一边的内角或外角，它们互补。
初中平面几何知识点
初中平面几何知识点一、引言平面几何是初中数学的重要分支，它主要研究平面内的点、线、面的基本性质及其相互关系。
掌握平面几何的知识点对于培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力具有重要意义。
二、点、线、面的基本性质1. 点- 点是平面几何中最基本的元素，没有大小，只有位置。
- 两个点可以确定一条直线。
2. 线- 线由无数个点组成，有长度，没有宽度和高度。
- 直线：无限延伸，没有端点。
- 射线：有一个端点，另一端无限延伸。
- 线段：有两个端点，长度有限。
3. 面- 面由无数条线组成，有长度和宽度，没有高度。
- 平行：两条直线或两个平面没有交点，称它们平行。
- 相交：两条直线或两个平面有一个或多个共同点。
三、角的基本概念和性质1. 角- 角是由两条射线的公共端点（顶点）和它们之间的一段弧线所围成的图形。
- 角的度量单位是度（°）。
2. 角的分类- 锐角：小于90°的角。
- 直角：等于90°的角。
- 钝角：大于90°且小于180°的角。
- 平角：等于180°的角。
- 周角：等于360°的角。
3. 角的性质- 邻角：两个有公共边的角。
- 对顶角：两条相交线所形成的相对的两个角。
- 同位角、内错角、同旁内角：在平行线和横截线相交时形成的角。
四、几何图形的性质1. 三角形- 三角形是由三条线段顺次首尾相连围成的封闭图形。
- 三角形的内角和为180°。
- 等边三角形：三条边等长。
- 等腰三角形：两条边等长。
- 直角三角形：一个角为90°。
2. 四边形- 四边形是由四条线段顺次首尾相连围成的封闭图形。
- 平行四边形：对边平行。
- 矩形：四个角都是直角。
- 菱形：四条边等长。
- 正方形：四条边等长且四个角都是直角。
3. 圆- 圆是由一个固定点（圆心）和所有与该点距离相等的点组成的平面图形。
- 弧：圆上两点之间的部分。
- 弦：连接圆上两点的线段。
第一部分基础考过关-专题13几何图形初步-备战2024年中考数学真题解密(全国通用)(含解析)
专题13几何图形初步目录一览知识目标（新课程标准提炼）中考解密（分析考察方向，精准把握重难点）重点考向（以真题为例，探究中考命题方向）►考向一认识立体图形►考向二几何体的展开与折叠►考向三有关角的计算问题►考向四余角、补角与对顶角、邻补角►考向五平行线的性质与判定最新真题荟萃（精选最新典型真题，强化知识运用，优化解题技巧）1. 掌握五个基本事实；2. 会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义；3. 理解角的概念，能比较角的大小．认识度、分、秒，会对度、分、秒进行简单的换算，并会计算角的和、差；4. 理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相等、同角（等角）的余角相等、同角（等角）的补角相等的性质；识别同位角、内错角、同旁内角；5. 理解垂线、垂线段的概念，能用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线；6. 理解平行线的概念；掌握平行线的性质定理；探索并证明平行线的判定定理和性质定理；7. 了解平行于同一条直线的两条直线平行；8. 通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义．结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念．会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立；9. 了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的．通过实例体会反证法的含义．该版块内容是初中几何的基础，是非常基础也是非常重要的，年年都会考查，分值为8分左右，预计2023年各地中考还将出现，大部分地区在选填题中考察可能性较大，主要考察平行线的性质和判定、方位角、角度的大小等知识，这些知识点考查较容易，另外平行线的性质可能在综合题中出现，考查学生能力，比如：作平行的辅助线，构造特殊四边形，此类题目有一定难度，需要学生灵活掌握．►考向一 认识立体图形（2023•乐山）1．下面几何体中，是圆柱的是（ ）A ．B ．C ．D ． （2023•娄底）2．一个长方体物体的一顶点所在A 、B 、C 三个面的面积比是3:2:1，如果分别按A 、B 、C 面朝上将此物体放在水平地面上，地面所受的压力产生的压强分别为A P 、B P 、C P （压强的计算公式为F P S =），则::A B C P P P =（ ）A ．2:3:6B ．6:3:2C ．1:2:3D ．3:2:1（2023•巴中）3．下列图形中为圆柱的是（ ）A ． B ． C ． D ．►考向二 几何体的展开与折叠（2023•达州）4．下列图形中，是长方体表面展开图的是（）A．B．C．D．（2023•威海）5．如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（ ）A．A点B．B点C．C点D．D点（2023•青岛）6．一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，其展开图如图①所示．在一张不透明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之和最小是（ ）A．31B．32C．33D．34►考向三有关角的计算问题（2022•烟台）7．如图，某海域中有A ，B ，C 三个小岛，其中A 在B 的南偏西40°方向，C 在B 的南偏东35°方向，且B ，C 到A 的距离相等，则小岛C 相对于小岛A 的方向是（ ）A ．北偏东70°B ．北偏东75°C ．南偏西70°D ．南偏西20°（2022•湘潭）8．如图，一束光沿CD 方向，先后经过平面镜OB 、OA 反射后，沿EF 方向射出，已知120AOB ∠=︒，20CDB ∠=︒，则∠=AEF ．（2019•烟台）9．小明将一张正方形纸片按如图所示顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时(机翼间无缝隙)，AOB ∠的度数是 .►考向四 余角、补角与对顶角、邻补角解题技巧/易错易混1.识别对顶角时，要抓住两个关键要素：一是顶点，二是边．先看两个角是否有公共顶点，再看两个角的两边是否分别互为反向延长线．两条直线相交形成两对对顶角．2.互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定是邻补角；一个角的邻补角有两个，但一个角的补角可以有很多个（2023•北京）10．如图，90AOC BOD ∠=∠=︒，126AOD ∠=︒，则BOC ∠的大小为（ ）A ．36︒B ．44︒C ．54︒D ．63︒（2023•河南）11．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，若180∠=︒，230∠=︒，则AOE ∠的度数为（ ）A ．30︒B ．50︒C ．60︒D ．80︒（2022•桂林）12．如图，直线l 1，l 2相交于点O ，∠1＝70°，则∠2＝ °．►考向五 平行线的性质与判定（2023•绵阳）13．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，1122,2∠=︒∠的度数为（ ）A ．32︒B ．58︒C ．68︒D ．78︒（2023•重庆）14．如图，,⊥∥AB CD AD AC ，若155∠=︒，则2∠的度数为（ ）A ．35︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒（2023•金华）15．如图，已知12350∠=∠=∠=︒，则4∠的度数是（ ）A ．120︒B ．125︒C ．130︒D ．135︒（2022•自贡）16．如图，直线,AB CD 相交于点O ，若130∠= ，则2∠的度数是（ ）A ．30°B ．40°C ．60°D ．150°（2022•河北）17．①~④是由相同的小正方体粘在一起的几何体，若组合其中的两个，恰是由6个小正方体构成的长方体，则应选择（ ）A ．①③B ．②③C ．③④D ．①④（2023•临沂）18．下图中用量角器测得ABC ∠的度数是（ ）A ．50︒B ．80︒C ．130︒D ．150︒（2023•河北）19．淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西70︒的方向，则淇淇家位于西柏坡的（ ）A ．南偏西70︒方向B ．南偏东20︒方向C ．北偏西20︒方向D ．北偏东70︒方向（2022•甘肃）20．若40A ∠=︒，则A ∠的余角的大小是（ ）A ．50°B ．60°C ．140°D ．160°（2023•金昌）21．如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就．其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于入射角”．为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，如图在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线AB 与地面CD 所成夹角50ABC ∠=︒时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜EF 与地面的夹角EBC ∠=（ ）A ．60︒B ．70︒C ．80︒D ．85︒（2023•临沂）22．在同一平面内，过直线l 外一点P 作l 的垂线m ，再过P 作m 的垂线n ，则直线l 与n 的位置关系是（ ）A ．相交B ．相交且垂直C ．平行D ．不能确定（2022•泸州）23．如图，直线a b ，直线c 分别交a ，b 于点A ，C ，点B 在直线b 上，AB AC ⊥，若1130∠=︒，则2∠的度数是（ ）A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．70︒（2022•贺州）24．如图，直线a ，b 被直线c 所截，下列各组角是同位角的是（ ）A ．1∠与2∠B ．1∠与3∠C ．2∠与3∠D ．3∠与4∠（2022•台州）25．如图，已知190∠=︒，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（ ）A ．290∠=︒B ．390∠=︒C ．490∠=︒D ．590∠=︒（2022•吉林）26．如图，如果12∠=∠，那么AB CD ∥，其依据可以简单说成（ ）A ．两直线平行，内错角相等B ．内错角相等，两直线平行C ．两直线平行，同位角相等D ．同位角相等，两直线平行（2021•铜仁市）27．直线AB 、BC 、CD 、EG 如图所示，1280∠=∠=︒，340∠=︒，则下列结论错误的是（ ）A ．//AB CDB ．40EBF ∠=︒C ．32FCG ∠+∠=∠D ．EF BE>（2023•内蒙古）28．将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点C 在FD 的延长线上，且AB FC ，则CBD ∠的度数为（ ）A ．10︒B ．15︒C ．20︒D ．25︒（2023•荆州）29．如图所示的“箭头”图形中，AB CD ∥，80B D ∠=∠= ，47E F ∠=∠= ，则图中G ∠的度数是（ ）A ．80B ．76C ．66D ．56（2023•常州）30．若圆柱的底面半径和高均为a ，则它的体积是 （用含a 的代数式表示）．（2023•无锡）31．若直三棱柱的上下底面为正三角形，侧面展开图是边长为6的正方形，则该直三棱柱的表面积为 ．（2022•百色）32．如图摆放一副三角板，直角顶点重合，直角边所在直线分别重合，那么∠BAC 的大小为（2022•玉林）33．已知∠α=60°，则∠α的余角等于 度．（2022•连云港）34．已知∠A 的补角是60°，则A ∠= ︒．（2022•西藏）35．如图，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹：（1）分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线EF；（2）以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点G，H，再分别以点G，H为圆心，大于12GH的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点O，画射线AO，交直线EF于点M．已知线段AB＝6，∠BAC＝60°，则点M到射线AC的距离为．（2023•镇江）36．如图，一条公路经两次转弯后，方向未变．第一次的拐角ABC∠是140︒，第二次的拐角BCD∠是°．（2021•兰州）37．将一副三角板如图摆放，则∥，理由是．（2023•台州）38．用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若120∠=︒，则∠2的度数为．（2023•武汉）39．如图，在四边形ABCD 中，,AD BC B D ∠=∠∥，点E 在BA 的延长线上，连接CE ．(1)求证：E ECD ∠=∠；(2)若60,∠=︒E CE 平分BCD ∠，直接写出BCE 的形状．（2022•武汉）40．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，80B ∠=︒．(1)求BAD ∠的度数；(2)AE 平分BAD ∠交BC 于点E ，50BCD ∠=︒．求证：AE DC ∥．参考答案：1．B【分析】根据圆柱的特征，即可解答．【详解】解：A.是正方体，故不符合题意；B.是圆柱，故符合题意；C.是圆锥，故不符合题意；D.是球体，故不符合题意，故选：B．【点睛】本题考查了认识立体图形，熟练掌握每个几何体的特征是解题的关键．2．A【分析】首先根据长方体的性质，得出相对面的面积相等，再根据物体的压力不变，结合反比例函数的性质进行分析，即可得出答案．【详解】解：∵长方体物体的一顶点所在A、B、C三个面的面积比是3:2:1，∴长方体物体的A、B、C三面所对的与水平地面接触的面积比也为3:2:1，∵FPS=，0F>，且F一定，∴P随S的增大而减小，∴111::::2:3:6321A B CP P P==．故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解本题的关键在熟练掌握反比例函数的性质．3．B【分析】圆柱是由上下两个平行且大小一样的圆面和一个侧面（曲面）组成的立体图形，直接根据圆柱体的几何特点解答即可．【详解】根据圆柱的特点可知选项B中的图形是圆柱．故选：B．【点睛】此题考查认识立体图形，熟记常见的立体图形的几何特点是解题的关键．4．C【分析】根据长方体有六个面，以及Z字型进行判断即可．【详解】解：A中展开图有7个面，不符合要求；B中展开图无法还原成长方体，不符合要求；C正确，故符合要求；D中展开图有5个面，不符合要求，故选：C．【点睛】本题考查了长方体的展开图．解题的关键在于对知识的熟练掌握．5．D【分析】根据题意画出立体图形，即可求解．【详解】解：折叠之后如图所示，则K与点D的距离最远，故选D．【点睛】本题考查了正方体的展开与折叠，学生需要有一定的空间想象能力．6．B【分析】根据正方体展开图的特征，得出相对面上的数字，再结合正方体摆放方式，得出使该几何体能看得到的面上数字之和最小，则看不见的面数字之和要最大，即可解答．【详解】解：由图①可知：1的相对面是3，2的相对面是4，5的相对面是6，由图2可知：要使该几何体能看得到的面上数字之和最小，则看不见的面数字之和要最大，上面的正方体有一个面被遮住，则这个面数字为6，++++=；能看见的面数字之和为：1234515左下的正方体有3个面被遮住，其中两个为相对面，则这三个面数字分别为4，5，6，++=；能看见的面数字之和为：1236右下的正方体有2个面被遮住，这两个面不是相对面，则这两个面数字为4，6，+++=；能看见的面数字之和为：123511++=，∴能看得到的面上数字之和最小为：1561132故选：B．【点睛】本题主要考查了正方体的相对面，掌握正方体展开图中“相间一行是相对面”，是解题的关键．7．A【分析】根据题意可得∠ABC ＝75°，AD ∥BE ，AB ＝AC ，再根据等腰三角形的性质可得∠ABC ＝∠C ＝75°，从而求出∠BAC 的度数，然后利用平行线的性质可得∠DAB ＝∠ABE ＝40°，从而求出∠DAC 的度数，即可解答．【详解】解：如图：由题意得：∠ABC ＝∠ABE +∠CBE ＝40°+35°＝75°，AD ∥BE ，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ＝75°，∴∠BAC ＝180°﹣∠ABC ﹣∠C ＝30°，∵AD ∥BE ，∴∠DAB ＝∠ABE ＝40°，∴∠DAC ＝∠DAB +∠BAC ＝40°+30°＝70°，∴小岛C 相对于小岛A 的方向是北偏东70°，故选：A ．．【点睛】本题考查了方向角，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．8．40°##40度【分析】根据入射角等于反射角，可得,CDB EDO DEO AEF ∠=∠∠=∠，根据三角形内角和定理求得40OED ∠=︒，进而即可求解．【详解】解：依题意，,CDB EDO DEO AEF ∠=∠∠=∠，∵120AOB ∠=︒，20CDB ∠=︒，20CDB EDO ∴∠=∠=︒，∴18040OED ODE AOB ∠=-∠-∠=︒，∴40AEF DEO ∠=∠=︒．故答案为：40°．【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理的应用，掌握轴对称的性质是解题的关键．9．45°【分析】根据折叠过程可知，在折叠过程中角一直是轴对称的折叠.【详解】在折叠过程中角一直是轴对称的折叠，22.5245AOB ︒︒∠=⨯=故答案为45°【点睛】考核知识点：轴对称.理解折叠的本质是关键.10．C【分析】由90AOC BOD ∠=∠=︒，126AOD ∠︒=，可求出COD ∠的度数，再根据角与角之间的关系求解．【详解】∵=90AOC ∠︒，126AOD ∠︒=，∴36COD AOD AOC ∠=∠-∠=︒，∵90BOD ∠=︒，∴903654BOC BOD COD ∠=∠-∠=︒-︒=︒．故选：C ．【点睛】本题考查的知识点是角的计算，注意此题的解题技巧：两个直角相加和AOD ∠相比，多加了BOC ∠．11．B【分析】根据对顶角相等可得180AOD ∠=∠=︒，再根据角的和差关系可得答案．【详解】解：∵180∠=︒，∴180AOD ∠=∠=︒，∵230∠=︒，∴2803050AOE AOD ∠=∠-∠=︒-︒=︒，故选：B【点睛】本题主要考查了对顶角的性质，解题的关键是掌握对顶角相等．12．70【分析】根据对顶角的性质解答即可．【详解】解：∵∠1和∠2是对顶角，∴∠2＝∠1＝70°，故答案为：70．【点睛】本题主要考查了对顶角，熟练掌握对顶角相等是解答本题的关键．13．B【分析】本题主要考查了平行线的性质．根据平行线的性质解答，即可求解．【详解】解：如图，根据题意得：a b ，c d ∥，∴13180∠+∠=︒，32∠=∠，∵1122∠=︒，∴258∠=︒．故选：B ．14．A【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得CAB ∠的度数，根据垂直的定义可得90CAD ∠=︒，然后根据2CAB CAD Ð=Ð-Ð即可得出答案．【详解】解：∵AB CD ∥，155∠=︒，∴18055125CAB Ð=°-°=°，∵AD AC ⊥，∴90CAD ∠=︒，∴21259035CAB CAD Ð=Ð-Ð=°-°=°，故选：A ．【点睛】本题考查了平行线的性质以及垂线的定义，熟知两直线平行同旁内角互补是解本题的关键．15．C【分析】由1350∠=∠=︒可得a b ∥，可得2550∠=∠=︒，再利用邻补角的含义可得答案．【详解】解：如图，标记角，∵1350∠=∠=︒，∴a b ∥，而250∠=︒，∴2550∠=∠=︒，∴41805130∠=︒-∠=︒；故选C【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，邻补角的含义，熟记平行线的判定与性质是解本题的关键．16．A【分析】根据对顶角相等可得2=1=30∠∠︒．【详解】解：∵130∠= ，1∠与2∠是对顶角，∴2=1=30∠∠︒．故选：A ．【点睛】本题考查了对顶角，解题的关键是熟练掌握对顶角的性质：对顶角相等．17．D【分析】观察图形可知，①~④的小正方体的个数分别为4，3，3，2，其中②③组合不能 构成长方体，①④组合符合题意【详解】解：观察图形可知，①~④的小正方体的个数分别为4，3，3，2，其中②③组合不能构成长方体，①④组合符合题意故选D【点睛】本题考查了立体图形，应用空间想象能力是解题的关键．18．C【分析】由图形可直接得出．【详解】解：由题意，可得130ABC ∠=︒，故选：C ．【点睛】本题考查角的度量，量角器的使用方法，正确使用量角器是解题的关键．19．D【分析】根据方向角的定义可得答案．【详解】解：如图：∵西柏坡位于淇淇家南偏西70︒的方向，∴淇淇家位于西柏坡的北偏东70︒方向．故选D ．【点睛】本题主要考查方向角，理解方向角的定义是正确解答的关键．20．A【分析】用90°减去40°即可求解．【详解】解：∵40A ∠=︒，∴A ∠的余角=904050︒-︒=︒，故选A【点睛】本题考查了求一个角的余角，掌握和为90° 的两角互为余角是解题的关键．21．B【分析】如图，过B 作BQ ⊥平面镜EF ，可得90QBE QBF ∠=∠=︒，ABC CBQ ABQ MBQ ∠+∠=∠=∠，而90CBQ QBM CBM ∠+∠=∠=︒，再建立方程5090CBQ CBQ ︒+∠=︒-∠，可得20CBQ ∠=︒，从而可得答案．【详解】解：如图，过B 作BQ ⊥平面镜EF ，∴90QBE QBF ∠=∠=︒，ABC CBQ ABQ MBQ ∠+∠=∠=∠，而90CBQ QBM CBM ∠+∠=∠=︒，∴5090CBQ CBQ ︒+∠=︒-∠，∴20CBQ ∠=︒，∴902070EBC ∠=︒-︒=︒，故选B ．【点睛】本题考查的是垂直的定义，角的和差运算，角平分线的含义，属于跨学科题，熟记基础概念是解本题的关键．22．C【分析】本题考查了垂线和平行线，熟练掌握同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行是关键．根据同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，即可得出答案．【详解】解：∵l m ⊥，n m ⊥，∴l n ∥．故选：C ．23．B【分析】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确平行线的性质．首先利用平行线的性质得到1DAC ∠∠=，然后利用AB AC ⊥得到90BAC ∠=︒，最后利用角的和差关系求解．【详解】解：如图所示，∵直线a b ，∴1DAC ∠∠=，∵1130∠=︒，∴130DAC ∠=︒，又∵AB AC ⊥，∴90BAC ∠=︒，∴21309040DAC BAC ∠∠∠=-=︒-︒=︒．故选：B ．24．B【分析】两条线a 、b 被第三条直线c 所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角，据此作答即可．【详解】解：∠1与∠2是对顶角，选项A 不符合题意；∠1与∠3是同位角，选项B 符合题意；∠2与∠3是内错角，选项C 不符合题意；∠3与∠4是邻补角，选项D 不符合题意；故选：B ．【点睛】此题考查了同位角、内错角、同旁内角，熟记同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键．25．C【分析】根据平行线的判定方法进行判断即可．【详解】解：A.∠1与∠2是邻补角，无法判断两条铁轨平行，故此选项不符合题意；B. ∠1与∠3与两条铁轨平行没有关系，故此选项不符合题意；C. ∠1与∠4是同位角，且∠1=∠4=90°，故两条铁轨平行，所以该选项正确；D. ∠1与∠5与两条铁轨平行没有关系，故此选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解答本题的关键．26．D【分析】根据“同位角相等，两直线平行”即可得．【详解】解：因为1∠与2∠是一对相等的同位角，得出结论是AB CD ，所以其依据可以简单说成同位角相等，两直线平行，故选：D ．【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题关键．27．D【分析】根据平行线的判定定理、三角形的外角定理以及等腰三角形的等角对等边的性质依次判断．【详解】解：∵1280∠=∠=︒，∴//AB CD ，故A 选项正确；∵180∠=︒，∴80EBF EFB ∠+∠=︒,∵340EFB ∠=∠=︒,∴40EBF ∠=︒,故B 选项正确；32FCG ∠+∠=∠，故C 选项正确；∵40EFB EBF ∠=∠=︒，∴EF=BE ，故D 选项错误，故选：D ．【点睛】此题考查平行线的判定定理、三角形的外角定理以及等腰三角形的等角对等边的性质，熟记各定理是解题的关键．28．B【分析】平行线的性质，得到ABD FDE ∠=∠，再利用CBD ABD ABC ∠=∠-∠，进行求解即可．【详解】解：由题意，得：4530EDF ABC ∠=︒∠=︒，，∵AB FC ，∴45ABD FDE ∠=∠=︒，∴15CBD ABD ABC ∠=∠-∠=︒；故选B ．【点睛】本题考查平行线的性质，三角板中角度的计算．正确的识图，掌握平行线的性质，是解题的关键．29．C【分析】延长AB 交EG 于点M ，延长CD 交GF 于点N ，过点G 作AB 的平行线GH ，根据平行线的性质即可解答．【详解】解：如图，延长AB 交EG 于点M ，延长CD 交GF 于点N ，过点G 作AB 的平行线GH ，4780,E F EBA FDC ∠=∠=∠=∠= ，33EMA EBA E ∴∠=∠-∠=︒，33FNC FDC F ∠=∠-∠=︒，,AB CD AB HG ∥∥ ，HG CD ∴∥，33MGH EMA ∴∠=∠=︒，33NGH FND ∠=∠=︒，333366EGF ∴∠=︒+︒=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，三角形外角的定义和性质，作出正确的辅助线是解题的关键．30．3πa 【详解】根据圆柱的体积=圆柱的底面积⨯圆柱的高，可得23ππV a a a == ．故答案为：3πa ．【点睛】本题主要考查代数式和整式的乘法运算，牢记整式乘法的运算性质是解题的关键．31．36+##36+【分析】根据题意得出正三角形的边长为2，进而根据表面积等于两个底面积加上侧面正方形的面积即可求解．【详解】解：∵侧面展开图是边长为6的正方形，∴底面周长为6，∵底面为正三角形，∴正三角形的边长为2作CD AB ⊥，ABC 是等边三角形，2AB BC AC ===，1AD ∴=，∴在直角ADC ∆中，CD ==，122ABC S ∴=⨯=∴该直三棱柱的表面积为6636⨯+=+故答案为：36+．【点睛】本题考查了三棱柱的侧面展开图的面积，等边三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．32．135°##135度【分析】根据三角板及其摆放位置可得180,45BAO BAC OAC OAC ∠=︒=∠+∠∠=︒，求解即可．【详解】180,45BAO BAC OAC OAC ∠=︒=∠+∠∠=︒ ，18045135BAC ∴∠=︒-︒=︒，故答案为：135°．【点睛】本题考查了求一个角的补角，即两个角的和为180度时，这两个角互为补角，熟练掌握知识点是解题的关键．33．30【详解】∵互余两角的和等于90°，∴α的余角为：90°-60°=30°.故答案为：3034．120【分析】如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角．由此定义即可求解．【详解】解：∵∠A 的补角是60°，∴∠A =180°-60°=120°，故答案为：120．【点睛】本题考查补角的定义，熟练掌握两个角互为补角的定义是解题的关键．35【分析】根据线段的垂直平分线和角平分线的作法可知：EF 是线段AB 的垂直平分线，AO 是∠AOB 的平分线，利用线段的垂直平分线的性质和角平分线的性质的求解即可．【详解】解：如图所示：根据题意可知：EF 是线段AB 的垂直平分线，AO 是∠BAC 的平分线，∵AB =6，∠BAC =60°，∴∠BAO =∠CAO =12∠BAC =30°，AD =12AB =3，∴AM =2MD ，在Rt △ADM 中，222(2)MD MD AD =+，即22243MD MD =+，∴MD ∵AM 是∠AOB 的平分线，MD ⊥AB ，∴点M 到射线AC【点睛】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意灵活运用基本作图的知识解决问题．36．140【分析】根据两次转弯后方向不变得到AB CD ，即可得到140BCD ABC ∠=∠=︒．【详解】解：∵一条公路经两次转弯后，方向未变，∴转弯前后两条道路平行，即AB CD ，∴140BCD ABC ∠=∠=︒．故答案为：140．【点睛】此题考查了平行线的性质，由题意得到AB CD 是解题的关键．37． BC DE 内错角相等，两直线平行【分析】根据三角板的角度可知90BCA DEF ∠=∠=︒，根据内错角相等，两直线平行判断即可．【详解】解：一副三角板如图摆放，∴90BCA DEF ∠=∠=︒，∴//BC DE （内错角相等，两直线平行），故答案为：BC ；DE ；内错角相等，两直线平行．【点睛】本题考查了平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解本题的关键．38．140︒##140度【分析】如图，先标注点与角，由对折可得：1420∠=∠=︒，求解3180220140∠=︒-⨯︒=︒，利用AB CD ∥，从而可得答案．【详解】解：如图，先标注点与角，由对折可得：1420∠=∠=︒，∴3180220140∠=︒-⨯︒=︒，∵AB CD ∥，∴23140∠=∠=︒；故答案为：140︒【点睛】本题考查的是折叠的性质，平行线的性质，熟记两直线平行，同位角相等是解本题的关键．39．(1)见解析(2)等边三角形【分析】（1）由平行线的性质得到EAD B ∠=∠，已知,B D ∠=∠则EAD D ∠=∠，可判定,BE CD ∥即可得到E ECD ∠=∠；（2）由60E ∠=︒，E ECD ∠=∠得到60ECD E ∠=∠=︒，由CE 平分BCD ∠，得到60BCE ECD ∠=∠=︒，进一步可得BCE E BEC ∠=∠=∠，即可证明BCE 是等边三角形．【详解】（1）证明：AD BC ，∴EAD B ∠=∠，,B D ∠=∠ EAD D ∴∠=∠，,BE CD ∴∥E ECD ∴∠=∠．（2）∵60E ∠=︒，E ECD ∠=∠，∴60ECD E ∠=∠=︒，∵CE 平分BCD ∠，∴60BCE ECD ∠=∠=︒，∴60BCE E ∠=∠=︒，∴18060B BCE E ∠=︒-∠-∠=︒，∴BCE E B ∠=∠=∠，∴BCE 是等边三角形【点睛】此题考查了平行线的判定和性质、等边三角形的判定、三角形内角和定理、角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．40．(1)100BAD ∠=︒(2)证明见解析【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．（1）根据两直线平行，同旁内角互补，即可求解；（2）根据AE 平分BAD ∠，可得50DAE ∠=︒．再由AD BC ∥，可得50AEB DAE ∠=∠=︒．即可求证．【详解】（1）解：∵AD BC ∥，∴180B BAD ∠+∠=°，∵80B ∠=︒，∴100BAD ∠=︒．（2）证明：∵AE 平分BAD ∠，∴1502DAE BAD ∠=∠=︒．∵AD BC ∥，∴50AEB DAE ∠=∠=︒．∵50BCD ∠=︒，∴BCD AEB ∠=∠．∴AE DC ∥．。
高一数学平面几何基础知识整理
高一数学平面几何基础知识整理一、点、线、面的基本概念在数学中，平面几何是研究平面上的点、线和面以及它们之间的关系和性质的学科。
在高一数学中，我们需要掌握以下几个基本概念。
1. 点：点是平面几何中最基本的对象，是没有长度、面积或体积的，用大写字母表示，如点A、点B等。
2. 线段：线段是由两个点确定的有限线段，用两个字母表示，如线段AB。
3. 直线：直线是由无数个点连成的一条路径，用小写英文字母表示，如直线l。
4. 射线：射线是一个起点不停延伸的直线部分，用一个字母加一个箭头表示，如射线AB。
5. 面：面是一个无限大的平面，用大写字母表示，如面M。
二、角的基本概念角是由两条射线共享一个端点所形成的图形，我们需要了解以下几个与角相关的概念。
1. 顶点：角的两条射线的交点称为角的顶点，用大写字母表示，如角A。
2. 角度：角度用度(°)或弧度(rad)来度量，用小写字母表示，如角A 用∠A表示。
3. 基准边：角的一条射线称为基准边，通常用直线符号来表示，如∠A。
4. 被度量边：与基准边相交而不是顶点的射线称为被度量边，通常用弧线符号表示，如∠A。
5. 正角、零角、钝角和直角：度量在0°和90°之间的角称为正角，度量为0°的角称为零角，度量在90°和180°之间的角称为钝角，度量为90°的角称为直角。
三、平行线和垂直线1. 平行线：如果两条直线在平面上不相交，并且永远保持相同的距离，我们称这两条直线为平行线，记作AB∥CD。
2. 垂直线：如果两条直线相交且相邻的四个角中至少有一个角的度量为90°，我们称这两条直线为垂直线，记作AB⊥CD。
四、三角形和四边形1. 三角形：三角形是由三条线段组成的图形，在高一数学中，我们需要了解以下几种三角形：- 等边三角形：三条边相等的三角形。
- 等腰三角形：两条边相等的三角形。
- 直角三角形：一个角度为90°的三角形。
平面几何初步
平面几何初步
在数学中，平面几何是研究二维空间中的点、线和图形之间的关系和性质的分支。
它作为数学的基础学科，不仅在学术研究中发挥重要作用，也在日常生活和实际应用中具有广泛的应用。
本文将介绍平面几何的基本概念、公理系统以及一些重要的定理和性质。
一、基本概念
1. 点：平面几何中最基本的对象，没有长度、面积或体积的概念，只有位置。
2. 线：由无数点组成，是一维的对象，没有宽度。
3. 直线：两点确定一条直线，它是无限延伸的。
4. 射线：一个起点，朝着某个方向延伸的线段。
5. 线段：两个点确定的有限长度的线段。
二、公理系统
1. 尺规作图：任给一段线段和一个点，只使用直尺和圆规能够作出与已知条件相符的尺规作图。
2. 共线定理：三个不共线的点唯一确定一条直线。
3. 垂直定理：若两直线相交，且互相垂直，则相交点的两个邻角为直角。
4. 同位角定理：当一条直线被两条平行线截断时，同位角相等。
三、重要定理和性质
1. 同位角性质：
- 内错角性质：两条平行线被一条横截线截断，内错角相等。
- 对顶角性质：两条平行线被一条横截线截断，对顶角相等。
2. 垂直性质：
- 垂直平分线定理：平分线和垂直平分线相互垂直。
- 垂径定理：在一个圆上，以直径为边的三角形必为直角三角形。
3. 三角形性质：
- 等边三角形性质：三条边相等的三角形为等边三角形。
- 等腰三角形性质：两条边相等的三角形为等腰三角形。
- 直角三角形定理：直角三角形斜边上的高是斜边上两条直角腿的调和平分线。
平面几何知识点
平面几何知识点在数学领域中，平面几何是一门研究平面上图形和形状的学科。
它涉及了许多重要的概念和定理，帮助我们理解空间中的几何关系和属性。
本文将介绍一些常见的平面几何知识点，包括点、线、角以及图形的性质和计算方法。
一、点和线1.1 点在平面几何中，点是最基本的几何对象。
点没有大小和形状，只有位置。
我们用大写字母表示点，如A、B。
1.2 线线是由点组成的直线段，在平面上没有宽度和厚度。
线可以延伸到无穷远，并且在两个点之间只有一条直线。
我们用小写字母表示线，如AB。
二、角2.1 角的定义角是由两条有共同端点的线段所形成的图形。
角的度量可以用角度来表示，用小数和度数表示。
一个完整的角为360度，一般以度数为单位。
2.2 角的分类根据角度的大小，角可以分为三类：钝角、直角和锐角。
- 钝角：大于90度的角。
- 直角：等于90度的角。
- 锐角：小于90度的角。
2.3 角的性质角的性质包括垂直角、互补角和补角。
- 垂直角：两个相邻的角互为垂直角，它们的度数之和为180度。
- 互补角：两个角的度数之和为90度时，它们互为互补角。
- 补角：两个角的度数之和为180度时，它们互为补角。
三、图形的性质和计算方法3.1 三角形三角形是平面几何中研究最广泛的图形之一。
它由三条线段组成，形成三条边和三个内角。
三角形根据边的长度和角的大小可以进一步分类。
- 等边三角形：三条边的长度相等的三角形。
- 等腰三角形：两条边的长度相等的三角形。
- 直角三角形：其中一个角为直角的三角形。
3.2 矩形矩形是一种具有四个直角的四边形。
它的相对边长相等，并且相对边平行。
矩形的性质包括：- 对角线相等：矩形的对角线长度相等。
- 对角线互相垂直：矩形的对角线相互垂直。
3.3 圆圆是一个由一条曲线组成的图形，该曲线上的每一点到圆心的距离都相等。
圆的性质包括：- 圆心：圆的中心点。
- 半径：圆心到圆上任意一点的距离。
- 直径：通过圆心的两个点，且在圆上的线段。
平面几何基础
平面几何基础平面几何是几何学的重要分支之一，研究了在平面上的点、线、角以及图形的性质和关系。
它是我们理解和解决实际问题中经常用到的一种数学工具。
本文将介绍平面几何的基础知识，包括点、线、角和图形的特征与性质。
一、点的性质与关系1. 点的定义与表示：在平面几何中，点是最基本的概念，通常用大写字母表示，如"A"、"B"、"C"等。
点没有大小和形状，只有位置。
2. 点的相对位置：在平面上，点的相对位置可以用坐标来表示。
我们可以用直角坐标系或极坐标系来确定点的位置，其中直角坐标系由x 轴和y轴组成，而极坐标系由原点、极径和极角组成。
3. 点的连线：两个点之间可以用线段连接起来，形成一个直线。
直线是经过两个点的最短路径。
4. 点的投影：当点在平面上与另一个物体重叠时，它的投影就是它在平面上的垂直投影点。
投影是判断物体位置和大小的重要工具。
二、线的性质与关系1. 线的定义与表示：线是通过两个点或多个点上的连续点组成的。
可以用小写字母表示线，如"l"、"m"、"n"等。
2. 线的分类：根据线的位置和形状，我们可以将线分为水平线、垂直线、直线、曲线等。
3. 线的相对位置：在平面上，两条线可以相交、平行或重合。
相交的两条线称为交线，平行的两条线永不相交，重合的两条线完全重合。
4. 线的性质：两条平行线上的任意两个点到另一条平行线的距离是相等的。
两条垂直线的斜率乘积为-1。
这些性质在解决实际问题中起着重要的作用。
三、角的性质与关系1. 角的定义与表示：角是由两条线或线段的端点共同确定的，通常用大写字母表示，如"A"、"B"、"C"等，其中顶点位于两条边的交点处。
2. 角的度量：角可以用度数或弧度表示。
度数是常用的度量单位，360度是一个完整的角。
平面几何的基础知识
平面几何的基础知识平面几何是几何学的一个重要分支，研究平面上的点、线、面及其相互关系。
它是数学中最基础的内容之一，广泛应用于建筑、设计、工程等领域。
本文将介绍平面几何的基础知识，包括点、线、角、三角形等概念及其性质。
一、点和线在平面几何中，点是最基本的要素。
点是没有大小和形状的，可以用来确定位置。
我们用大写字母表示一个点，比如点A、点B等。
线是由无数个点连成的，它是一条没有宽度的路径。
常见的线有直线和曲线。
直线是最简单的一类线，它是无限延伸的。
曲线则有各种不同的形状，比如圆、椭圆、抛物线、双曲线等。
直线和曲线都可以用小写字母表示，比如直线l、曲线c等。
二、角角是由两条线段或线相交所形成的部分。
我们用θ来表示一个角。
角可以用来描述两个线的相对位置和方向。
根据角的大小可以分为三类：锐角、直角和钝角。
锐角是小于90°的角，直角是90°的角，钝角是大于90°小于180°的角。
三、三角形三角形是由三条线段相连而成的封闭图形。
它是平面几何中最基本的多边形。
三角形的三个顶点和三条边分别用大写字母和小写字母表示。
根据三角形的边长和角的大小，可以分为多种类型。
比如，等边三角形的三条边相等，等腰三角形的两条边相等，直角三角形的一个角为90°等。
除了常见的点、线、角和三角形，平面几何还涉及其他重要的概念，比如四边形、多边形、圆、正方形等。
这些概念都有各自的定义和性质。
四、平面几何的性质平面几何有一些基本性质，可以用来解决各种问题。
下面介绍几个常用的性质。
1. 直线的性质：直线上的任意两点可以确定一条直线，直线上的所有点与这两点的连线重合。
2. 角的性质：两个互补角的和为90°，两个补角的和为180°，相邻角的和为180°。
3. 三角形的性质：三角形的内角和为180°，等边三角形的三个内角都为60°，等腰直角三角形的两个内角分别为45°和90°。
初中数学关于平面几何的基础与难点讲解
初中数学关于平面几何的基础与难点讲解在初中数学的学习中，平面几何是一个重要的组成部分。
它不仅能够培养我们的逻辑思维能力，还为后续学习更高级的数学知识打下坚实的基础。
接下来，咱们就一起来深入了解一下初中数学平面几何的基础和难点。
一、平面几何的基础1、点、线、面、体点是最基本的几何元素，没有大小和形状。
线是由无数个点组成的，有直线和曲线之分。
面则是由线围成的，比如三角形、四边形等。
体是由面围成的，像长方体、正方体等。
理解这些基本概念是学习平面几何的第一步。
2、线段与角线段有两个端点，可以测量其长度。
角是由两条有公共端点的射线组成的图形，角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的程度有关。
3、平行线在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
平行线的性质和判定定理是解决相关问题的重要依据。
4、三角形三角形是平面几何中最基本的图形之一。
它有三条边和三个角，三角形的内角和为 180 度。
三角形按角可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；按边可以分为等边三角形、等腰三角形和不等边三角形。
5、四边形常见的四边形有平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形。
它们各自有着独特的性质和判定方法。
二、平面几何的难点1、证明题证明题是平面几何中的一个难点，需要我们熟练运用各种定理和性质，通过严密的逻辑推理来证明结论的正确性。
例如，证明三角形全等、相似，或者证明平行四边形的性质等。
这要求我们对定理和性质有深入的理解，并且能够灵活运用。
2、辅助线的添加在解决一些复杂的平面几何问题时，往往需要添加辅助线来帮助我们解题。
但是辅助线的添加没有固定的方法，需要我们根据题目条件和图形特点进行分析和尝试。
这需要我们有较强的观察力和创新思维能力。
3、图形的变换图形的平移、旋转和轴对称等变换也是平面几何中的难点之一。
在这些变换中，图形的形状和大小不变，但是位置发生了变化。
我们需要通过分析变换前后图形的关系来解决问题。
4、综合运用很多平面几何问题需要综合运用多个知识点来解决，这就要求我们能够将所学的知识融会贯通，形成一个完整的知识体系。
高中数学-平面几何知识点
高中数学-平面几何知识点
平面几何是数学中的一个分支，研究平面图形的性质和变换规律。
在高中数学中，平面几何是一个重要的内容，涉及到很多基本概念和定理。
本文档将介绍一些高中数学平面几何的重要知识点。
1. 基本概念
- 点：没有大小和形状，只有位置的概念。
- 直线：由无数个点组成，没有宽度和长度。
- 线段：直线上的两个点之间的部分，有长度。
- 射线：由一个起点和一个方向确定的部分，无穷远方向上的点称为射线上的点。
2. 三角形
- 定义：由三条线段组成的图形。
- 内角和定理：三角形内角和等于180度。
- 外角和定理：三角形的一个内角的补角等于与它相邻的另外两个外角之和。
3. 直角三角形
- 定义：一个内角为90度的三角形。
- 勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边平方和。
4. 圆
- 定义：平面上距离一个给定点距离相等的点的集合。
- 直径：通过圆心的两个点，也是圆最长的一条线段。
- 弧：圆上两点之间的部分。
5. 平行线和垂直线
- 定义：平行线在同一平面中永远不会相交；垂直线在交点处相互成直角。
6. 相似三角形
- 定义：具有相同形状但大小不同的三角形。
- 相似三角形的性质：对应角相等，对应边成比例。
7. 平移、旋转、翻转和对称
- 定义：平移是指按照给定的方向和距离移动图形；旋转是指以一个点为中心以一定角度旋转图形；翻转是指将图形按照给定的轴翻转；对称是指图形关于某条直线对称。
以上是高中数学平面几何的一些重要知识点，希望对你有帮助。
平面几何基础知识
平面几何基础知识在数学的世界里，几何学是研究空间及其内部图形的一门学科。
平面几何则更专注于二维空间中的图形和形状。
平面几何基础知识对于理解和解决各种数学问题至关重要。
本文将介绍一些关键概念和定理，帮助读者建立起扎实的平面几何基础知识。
1. 点、直线和线段在平面几何中，点是最基本的概念。
它是几何图形中最小的单位，没有大小和方向。
直线是由无数个点组成，没有宽度和端点。
而线段则是直线的一部分，有起点和终点。
2. 角角是由两条射线共享一个公共的端点而形成的图形。
角可以通过度数或弧度来度量。
常见的角包括直角（90度）和钝角（大于90度）。
3. 三角形三角形是由三条线段组成的图形。
根据边长和角度，三角形可以分为不同的类型，包括等边三角形、等腰三角形和直角三角形等。
三角形的内角和为180度，这一性质被称为三角形的内角和定理。
4. 平行和垂直平行是指两条直线在平面上永不相交，垂直是指两条直线相交且互相成直角。
平行线有许多重要性质，如平行线的传递性和平行线和转折线之间的角度关系等。
5. 圆圆是由一个固定点到平面上任意一点的距离相等的点的集合。
圆由中心和半径来确定。
圆的重要性质包括圆心角和弧长之间的关系，以及切线和弦之间的角度关系。
6. 多边形多边形是由多条线段组成，形成一个封闭的图形。
根据边的数目，多边形可以分为三角形、四边形、五边形等。
多边形的内角和可以通过公式（n-2） × 180度计算，其中n为多边形的边数。
7. 相似和全等当两个图形的形状相似时，它们的对应角度相等，对应边长成比例。
全等指两个图形的形状和大小完全相同。
8. 比例比例是用来表示两个量之间的关系。
在几何中，比例经常用来计算线段的长度或图形的边长比。
比例的一些性质包括比例的可逆性和比例的传递性。
总结：平面几何基础知识是理解和应用数学问题的关键。
点、直线、线段、角、三角形、圆、多边形、平行和垂直、相似和全等以及比例等概念和定理，构成了平面几何的基础框架。
高中数学知识点总结平面几何基础
高中数学知识点总结平面几何基础平面几何是高中数学学科中的重要内容之一，它是研究平面上的点、线、角以及相关性质的数学学科。
在平面几何中，有许多重要的知识点需要我们掌握和理解。
本文将对高中数学平面几何基础知识进行总结，以帮助同学们更好地学习和应用这些知识。
1. 点、线、面和角的基本概念在平面几何中，点是最基本的概念，它没有长度、宽度和高度，只有位置。
线是由点组成的，具有长度但没有宽度。
面是由线所围成的区域，它有长度和宽度但没有高度。
角是由两条线相交所形成的两个半平面之间的部分。
熟悉这些基本概念对于理解平面几何的其他内容非常重要。
2. 一次函数和二次函数的图像特征一次函数是指函数的最高次幂为1的函数，它的图像是一条直线。
一次函数的斜率代表了直线的倾斜程度，而截距则代表了直线与坐标轴的交点位置。
二次函数是指函数的最高次幂为2的函数，它的图像是一条抛物线。
二次函数的开口方向、顶点坐标以及轴对称等特征决定了其图像的形状。
3. 直线与角的性质直线上的角有很多重要性质。
同位角是指两条直线被一条直线所切割所形成的两组内角，它们的和为180度。
对顶角是指两条直线相交所形成的具有相同顶点的两对角，它们的度数相等。
同角相等是指对应的角在形状相似的图形中具有相同的度数。
4. 平行线与垂线的判定平行线是指永远不会相交的两条直线，它们之间的夹角为0度。
平行线的判定有多种方法，如同位角相等法、对顶角相等法、截线法等。
垂线是指与另一条线段相交成90度角的线段，垂线的判定通常使用垂直于已知线段的线段或直线来完成。
5. 圆的性质和相关定理圆是指平面上由与一个定点的所有点之间的距离相等的点所组成的图形。
圆的性质包括半径、直径、弧、弧度等。
圆的相关定理有很多，如切线与半径垂直、相交弧的度数之和等。
总结：高中数学平面几何基础知识的掌握对于我们理解和应用更高级的几何内容至关重要。
本文介绍了平面几何中的点、线、面和角的基本概念，一次函数和二次函数的图像特征，直线与角的性质，平行线与垂线的判定，以及圆的性质和相关定理。
平面几何基础知识
平面几何基础知识在数学中，平面几何是研究平面上的图形、点、线、面等基本元素之间的关系和性质的一门学科。
它是数学中最基础、最重要的一个分支，对于理解和应用其他数学概念起着重要的作用。
本文将介绍平面几何的基础知识，包括点、线、面的概念以及它们之间的关系。
一、点的概念在平面几何中，点是最基本的元素。
点通常用大写拉丁字母表示，比如A、B、C等。
点在平面上没有大小，只有位置。
任意两个点之间都可以划定一条直线。
而且，任意三个点不共线，可以确定一个平面。
二、线的概念线是由一系列点连在一起形成的图形。
线有无限延伸性，没有起点和终点，可以用小写字母表示，如ab、cd、ef等。
线可以是直线或曲线。
直线是两个点之间最短的路径，也是最简单的线。
曲线则是在平面上运动形成的轨迹，它可以弯曲和交叉。
三、线段和射线线段是由两个点及其之间的所有点组成的部分，具有起点和终点，可以用符号“ ”表示。
比如AB表示线段AB。
而射线是由一个起点及其从该起点出发的所有点组成的部分，可以用符号“→”表示。
比如AB→表示以点A为起点，沿着直线AB方向上无限延伸的射线。
四、面的概念面是由无数个点和直线组成的，是一个没有厚度的二维物体。
面可以用大写字母表示，如P、Q、R等。
在平面几何中，有两种特殊的面：平面和圆。
平面由无数的直线组成，没有边界。
圆是由平面上到一个固定点的距离相等的所有点组成的。
五、基本性质和定理平面几何有许多基本的性质和定理。
下面介绍几个常见的：1. 直线的性质：直线上的任意两点可以连成一条直线，直线与直线最多只有一个公共点，直线可以无限延伸。
2. 平行线的性质：如果两条直线在平面上没有交点，那么它们是平行线。
3. 垂直线的性质：如果两条直线相交成直角，那么它们是垂直线。
4. 三角形的性质：三角形是由三条线段组成的图形。
三角形的内角和等于180度。
5. 圆的性质：圆上的任意点到圆心的距离相等，这个相等的距离叫做半径。
圆上的点可以任意连成一条弧。
平面几何基础学习平面几何的基本概念和定理
平面几何基础学习平面几何的基本概念和定理在数学领域中，平面几何是研究平面上的图形、形状、大小、位置关系以及性质的一门学科。
通过学习平面几何的基本概念和定理，我们可以深入理解和掌握几何学的基础知识，为后续进一步的学习打下坚实的基础。
一、点、线、面的基本概念点、线、面是平面几何中最基本的概念。
点是没有大小和形状的，用字母表示，如A、B、C等；线是由一连串的点连在一起形成的，用两个点的字母表示，如AB、CD等；面是由一连串的线围成的平面，用大写字母表示，如面ABC。
二、线段、直线、射线的定义线段是由两个端点和两个端点之间的点组成，用字母表示，如AB；直线是一条没有端点的无限延伸的线段，在字母上加一个横杠表示，如AB；射线是由一个端点和这个端点向一个方向无限延伸的线段，用字母表示，如→AB。
三、平行线与垂直线的性质平行线指在同一个平面内永不相交的直线，用符号“∥”表示；垂直线指两条线段、直线或射线相交时，所成的角度为90度，用符号“⊥”表示。
平行线具有性质：1.平行关系具有传递性，即若AB∥CD，CD∥EF，则AB∥EF；2.任意一条直线与平行线横切时，所成的对应角相等。
四、三角形的性质三角形是由三条线段组成的多边形。
根据边的关系和角的关系，我们可以得出三角形的一些基本性质：1.三角形的内角和等于180度；2.等边三角形的三个边相等，三个角都是60度；3.等腰三角形的两条边相等，两个底角也相等；4.直角三角形的一个角是90度。
五、平面图形的面积计算矩形、正方形、三角形和梯形是我们常见的平面图形，根据其特点我们可以计算出它们的面积。
矩形的面积等于长乘以宽，正方形的面积等于边长的平方，三角形的面积等于底乘以高的一半，梯形的面积等于上底加下底乘以高的一半。
六、三角形的重心、外心、内心和垂心三角形有四个特殊的点，分别是重心、外心、内心和垂心。
重心是三条中线的交点，中线是由一个顶点与对应边的中点组成；外心是三角形外接圆的圆心，外接圆通过三个顶点；内心是三角形内切圆的圆心，内切圆与三条边都相切；垂心是三角形的三条高线的交点，高线是由一个顶点与对边垂直相交的线段组成。
2019中考数学高频考点剖析专题13 平面几何之线段数量关系问题—解析卷
备考2019中考数学高频考点剖析专题十三平面几何之线段数量关系问题考点扫描☆聚焦中考线段数量关系问题是平面几何中的基础性问题，是每年中考的单独考查的情况不是很多，往往融入到平面几何的综合性问题中，考查的知识点包括线段概念性问题、线段相等问题和线段和差计算问题三个方面，总体来看，难度系数低，以选择填空为主。
也有少量的解析题。
解析题主要以三角形及其四边形问题综合考查为主。
结合近几年来全国各地中考的实例，我们从三方面进行实数的概念和计算问题的探讨：（1）线段概念性问题；（2）线段和差问题；（3）线段与几何图形综合性问题．考点剖析☆典型例题例1（已知线段AB=10cm，点C是直线AB上一点，BC=4cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是（）A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．5cm【解答】解：（1）当点C在线段AB上时，则MN=AC+BC=AB=5cm；（2）当点C在线段AB的延长线上时，则MN=AC﹣BC=7﹣2=5cm．综合上述情况，线段MN的长度是5cm．故选：D．例2如图，把弯曲的河道改直，能够缩短航程．这样做根据的道理是（）A．两点之间，直线最短B．两点确定一条直线C．两点之间，线段最短D．两点确定一条线段【解答】解：因为两点之间线段最短，把弯曲的河道改直，能够缩短航程．故选：C．例3如图，平面上有四个点A、B、C、D，请用直尺按下列要求作图：（1）作直线AB；（2）作射线BC；（3）连接AD，并将其反向延长至E，使DE=2AD；（4）找到一点F，使点F到A、B、C、D四点的距离之和最短．【解答】解：（1）如图，直线AB即为所求；（2）如图，射线BC即为所求；（3）如图，点E即为所求；（4）如图，点F即为所求．例4已知线段AB=12，CD=6，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧）．（1）当D点与B点重合时，AC= 6 ；（2）点P是线段AB延长线上任意一点，在（1）的条件下，求PA+PB﹣2PC的值；（3）M、N分别是AC、BD的中点，当BC=4时，求MN的长．【考点】线段的和差．【分析】（1）根据题意即可得到结论；（2）由（1）得AC=AB，CD=AB，根据线段的和差即可得到结论；（3）需要分类讨论：①如图1，当点C在点B的右侧时，根据“M、N分别为线段AC、BD的中点”，先计算出AM、DN的长度，然后计算MN=AD﹣AM﹣DN；②如图2，当点C位于点B的左侧时，利用线段间的和差关系求得MN的长度．【解答】解：（1）当D点与B点重合时，AC=AB﹣CD=6；故答案为：6；（2）由（1）得AC=AB，∴CD=AB，∵点P是线段AB延长线上任意一点，∴PA+PB=AB+PB+PB，PC=CD+PB=AB+PB，∴PA+PB﹣2PC=AB+PB+PB﹣2（AB+PB）=0；（3）如图1，∵M、N分别为线段AC、BD的中点，∴AM=AC=（AB+BC）=8，DN=BD=（CD+BC）=5，∴MN=AD﹣AM﹣DN=9；如图2，∵M、N分别为线段AC、BD的中点，∴AM=AC=（AB﹣BC）=4，DN=BD=（CD﹣BC）=1，∴MN=AD﹣AM﹣DN=12+6﹣4﹣4﹣1=9．例5已知，A，B在数轴上对应的数分别用a，b表示，且（ab+100）2+|a﹣20|=0，P是数轴上的一个动点．（1）在数轴上标出A、B的位置，并求出A、B之间的距离．（2）已知线段OB上有点C且|BC|=6，当数轴上有点P满足PB=2PC时，求P点对应的数．（3）动点P从原点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度第四次向右移动7个单位长度，…．点P能移动到与A或B重合的位置吗？若都不能，请直接回答．若能，请直接指出，第几次移动与哪一点重合．【解答】解：（1）∵（ab+100）2+|a﹣20|=0，∴ab+100=0，a﹣20=0，∴a=20，b=﹣10，∴AB=20﹣（﹣10）=30，数轴上标出AB得：（2）∵|BC|=6且C在线段OB上，∴x C﹣（﹣10）=6，∴x C=﹣4，∵PB=2PC，当P在点B左侧时PB＜PC，此种情况不成立，当P在线段BC上时，x P﹣x B=2（x c﹣x p），∴x p+10=2（﹣4﹣x p），解得：x p=﹣6，当P在点C右侧时，x p﹣x B=2（x p﹣x c），x p+10=2x p+8，x p=2，综上所述P点对应的数为﹣6或2．（3）第一次点P表示﹣1，第二次点P表示2，依次﹣3，4，﹣5，6…则第n次为（﹣1）n•n，点A表示20，则第20次P与A重合；点B表示﹣10，点P与点B不重合．考点过关☆专项突破类型一线段概念性问题1. 下列说法中不正确的是（）①过两点有且只有一条直线②连接两点的线段叫两点的距离③两点之间线段最短④点B在线段AC上，如果AB=BC，则点B是线段AC的中点A．①B．②C．③D．④【解答】解：①过两点有且只有一条直线，正确；②连接两点的线段的长度叫两点间的距离，错误③两点之间线段最短，正确；④点B在线段AC上，如果AB=BC，则点B是线段AC的中点，正确；故选：B．2. 如图，已知点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点，且AB=8cm，则MN的长度为（）cm．A．2 B．3 C．4 D．6【考点】两点间的距离．【分析】根据MN=CM+CN=AC+CB=（AC+BC）=AB即可求解．【解答】解：∵M、N分别是AC、BC的中点，∴CM=AC，CN=BC，∴MN=CM+CN=AC+BC=（AC+BC）=AB=4．故选C．3. 把弯曲的道路改直，就能缩短路程，其中蕴含的数学原理是（）A．过一点有无数条直线B．两点确定一条直线C．两点之间线段最短 D．线段是直线的一部分【考点】线段的性质：两点之间线段最短．【分析】根据线段的性质，可得答案．【解答】解：把弯曲的道路改直，就能缩短路程，其中蕴含的数学原理是两点之间线段最短，故选：C．4. 如图，已知线段AB=6延长线段AB到C，使BC=2AB，点D是AC的中点，则BD= 3 ．【解答】解：如图：，由BC=2AB，AB=6，得BC=12，由线段的和差，得AC=AB+BC=6+12=18，由点D是线段AC的中点，得AD=AC=×18=9cm．由线段的和差，得BD=AD﹣AB=9﹣6=3，故答案为：3．5. 已知线段AB=10cm，直线AB上有一点C，且BC=4cm，M是线段BC的中点，则AM的长是8或12 cm．【考点】两点间的距离．【分析】应考虑到A、B、C三点之间的位置关系的多种可能，即点C在点B的右侧或点C在点B的左侧两种情况进行分类讨论．【解答】解：①如图1所示，当点C在点A与B之间时，∵线段AB=10cm，BC=4cm，∴AC=10﹣4=6cm．∵M是线段BC的中点，∴CM=BC=2cm，∴AM=AC+CM=6+2=8cm；②当点C在点B的右侧时，∵BC=4cm，M是线段BC的中点，∴BM=BC=2cm，∴AM=AB+BM=10+2=12cm．综上所述，线段AM的长为8cm或12cm．故答案为：8或12．6.已知A，B，C三点在同一条直线上，M，N分别为线段AB，BC的中点，且AB=60，BC=40，则MN的长为（）A．10 B．50 C．10或50 D．无法确定【考点】两点间的距离．【分析】根据题意画出图形，再根据图形求解即可．【解答】解：（1）当C在线段AB延长线上时，如图1，∵M、N分别为AB、BC的中点，∴BM=AB=30，BN=BC=20；∴MN=50．（2）当C在AB上时，如图2，同理可知BM=30，BN=20，∴MN=10；所以MN=50或10，故选C．7.如图，C为线段AB上的一点，AC：CB=3：2，D、E两点分别为AC、AB的中点，若线段DE 为2cm，则AB的长为多少？【解答】解：设AB=x，由已知得：AC=x，BC=，∵D、E两点分别为AC、AB的中点，∴DC=x，BE=x，DE=DC﹣EC=DC﹣（BE﹣BC），即：x﹣（x﹣x）=2，解得：x=10，则AB的长为10cm．8. 已知线段AB=10cm，在直线AB上有一点C，且BC=4cm，点D是线段AC的中点，试求线段AD的长．【解答】解：分两种情况：①如图1，当点C在线段AB上时，AC=AB﹣BC=10﹣4=6cm．∵点D是AC的中点，∴AD=AC=3cm．②如图2，当点C在线段AB的延长线上时，AC=AB+BC=10+4=14cm．∵点D是AC的中点，∴AD=AC=7cm．9. 如图，平面上有射线AP和点B、点C，按下列语句要求画图：（1）连接AB；（2）用尺规在射线AP上截取AD=AB；（3）连接BC，并延长BC到E，使CE=BC；（4）连接DE．【解答】解：如图所示：（1）连接AB；（2）用尺规在射线AP上截取AD=AB；（3）连接BC，并延长BC到E，使CE=BC；（4）连接DE．10. 如图，已知点A、点B是直线上的两点，AB=12厘米，点C在线段AB上，且BC=4厘米．点P、点Q是直线上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒．点P、Q分别从点C、点B同时出发在直线上运动，则经过多少秒时线段PQ的长为5厘米?【解答】解：设运动时间为t秒．①如果点P向左、点Q向右运动，由题意，得：t+2t=5﹣4，解得t=；②点P、Q都向右运动，由题意，得：2t﹣t=5﹣4，解得t=1；③点P、Q都向左运动，由题意，得：2t﹣t=5+4，解得t=9．④点P向右、点Q向左运动，由题意，得：2t﹣4+t=5，解得t=3．综上所述，经过或1或3秒时线段PQ的长为5厘米．故答案为或1或3或9．类型二线段和差问题1. 如图，点E是AB的中点，点F是BC的中点，AB=4，BC=6，则E、F两点间的距离是（）A．10 B．5 C．4 D．2【解答】解：∵点E是AB的中点，点F是BC的中点，AB=4，BC=6，∴EB=AB=×4=2，BF=BC=×6=3，∴EF=EB+BF=2+3=5．故选：B．2．如图所示，A、B两点所对的数分别为a、b，则AB的距离为（）A．a﹣b B．a+b C．b﹣a D．﹣a﹣b【考点】两点间的距离．【分析】根据AB两点之间的距离即为0到B的距离与0到A的距离之和，由数轴可知a＜0，b＞0，得出AB的距离为b﹣a．【解答】解：∵A、B两点所对的数分别为a、b，∵a＜0，b＞0，∴AB之间的距离为b﹣a，故选C．3. 如图所示，某同学的家在A处，星期日他到书店去买书，想尽快赶到书店B，请你帮助他选择一条最近的路线（）A．A→C→D→B B．A→C→F→B C．A→C→E→F→B D．A→C→M→B【考点】线段的性质：两点之间线段最短．【分析】根据线段的性质，可得C、B两点之间的最短距离是线段CB的长度，所以想尽快赶到书店，一条最近的路线是：A→C→F→B，据此解答即可．【解答】解：根据两点之间的线段最短，可得C、B两点之间的最短距离是线段CB的长度，所以想尽快赶到书店，一条最近的路线是：A→C→F→B．故选：B．4. 如图，已知四个有理数m、n、p、q在一条缺失了原点和刻度的数轴上对应的点分别为M、N、P、Q，且m+p=0，则在m，n，p，q四个有理数中，绝对值最小的一个是q．【解答】解：绝对值最小的数是q，故答案为：q5. 如图，已知线段a，b，用尺规作一条线段AB，使AB=2a﹣b（不写作法，保留作图痕迹）．【考点】作图—复杂作图．【分析】首先作射线，再截取AD=DC=a，进而截取BC=b，即可得出AB=2a﹣b．【解答】解：如图所示：线段AB即为所求．6．如图，已知C，D为线段AB上顺次两点，点M、N分别为AC与BD的中点，若AB=10，CD=4，求线段MN的长．【考点】两点间的距离．【分析】根据线段的和差，可得AC+BD，根据线段中点的性质，可得MC，ND，根据线段的和差，可得答案．【解答】解：由AB=10，CD=4，∴AC+BD=AB﹣CD=10﹣4=6．∵M、N分别为AC与BD的中点∴MC=AC，ND=BD∴MC+ND=（AC+BD）=×6=3，∴MN=MC+ND+CD=3+4=7．7. 如图，点C是线段AB上一点，点M、N、P分别是线段AC，BC，AB的中点．（1）若AB=10cm，则MN= 5 cm；（2）若AC=3cm，CP=1cm，求线段PN的长．【解答】解：（1）∵M、N分别是AC、BC的中点，∴MC=AC，CN=BCMN=MC+CN=．故填：5．（2）∵AC=3，CP=1，∴AP=AC+CP=4，∵P是线段AB的中点，∴AB=2AP=8∴CB=AB﹣AC=5，∵N是线段CB的中点，CN=CB=，∴PN=CN﹣CP=．8. 已知线段AB=6，在直线AB上取一点P，恰好使AP=2PB，点Q为PB的中点，求线段AQ的长．【解答】解：如图1所示，∵AP=2PB，AB=6，∴PB=AB=×6=2，AP=AB=×6=4；∵点Q为PB的中点，∴PQ=QB=PB=×2=1；∴AQ=AP+PQ=4+1=5．如图2所示，∵AP=2PB，AB=6，∴AB=BP=6，∵点Q为PB的中点，∴BQ=3，∴AQ=AB+BQ=6+3=9．故AQ的长度为5或9．9. 已知数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数﹣24，﹣10，10，动点P从A出发，以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示点P与A的距离：PA= 4t ；点P对应的数是﹣24+4t ；（2）动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，若P、Q同时出发，求：当点P 运动多少秒时，点P和点Q间的距离为8个单位长度？【解答】解：（1）PA=4t；点P对应的数是﹣24+4t；故答案为：4t；﹣24+4t；（2）分两种情况：当点P在Q的左边：4t+8=14+t，解得：t=2；当点P在Q的右边：4t=14+t+8，解得：t=，综上所述：当点P运动2秒或秒时，点P和点Q间的距离为8个单位长度．类型三线段与几何图形综合性问题1．根据下列语句画出图形，并指出答案．（1）如图，按照上北下南、左西右东的规定画出了东西南北的十字架，请以十字线的交点O为端点，在图上画出表示北偏西45°的射线．（2）尺规作图：如图，已知线段a，b，作一条线段，使它等于2a﹣b．（不写做法，保留作图痕迹）【解答】解：（1）答：如图OA表示北偏西45°．（2）答：如图AD=2a﹣b．…（4分）2．如图，点C在线段AB上，AC=6cm，MB=10cm，点M，N分别为AC，BC的中点．（1）求线段BC，MN的长；（2）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC=acm，M，N分别是线段AC，BC的中点，请画出图形，并用a的式子表示MN的长度．【考点】两点间的距离．【分析】（1）根据“点M、N分别是AC、BC的中点”，先求出MC、CN的长度，再利用BC=MB﹣MC，MN=CM+CN即可求出线段BC，MN的长度即可．（2）先画图，再根据线段中点的定义得MC=AC，NC=BC，然后利用MN=MC﹣NC得到MN=acm．【解答】解：（1）∵M是AC的中点，∴MC=AC=3cm，∴BC=MB﹣MC=7cm，又N为BC的中点，∴CN=BC=3.5cm，∴MN=MC+NC=6.5cm；（2）如图：∵M是AC的中点，∴CM=AC，∵N是BC的中点，∴CN=BC，∴MN=CM﹣CN=AC﹣BC=（AC﹣BC）=acm．3．如图，已知P是线段AB上一点，AP=AB，C，D两点从A，P同时出发，分别以每秒2厘米，每秒1匣米的速度沿AB方向运动，当点D到达终点B时，点C也停止运动，设AB=a（厘米），点C，D 的运动时间为t（秒）．（1）用含a和t的代数式表示线段CP的长度；（2）当t=5时，CD=AB，求线段AB的长；（3）当CB﹣AC=PC时，求的值．【解答】解：（1）∵AB=a，AP=AB，∴AP=a，∵AC=2t，∴CP=AP﹣AC=a﹣2t；（2）∵CD=AB，∴PC+PD=（AP+PB），∴AP=2PC=AB，∴a=2（a﹣2t），当t=5时，解得a=30，∴AB=30cm；（3）∵CB﹣AC=PC，∴AC=PB，∵AP=AB，∴PB=AB，∴AC=PC=PB=2t，∴AB=6t，∵PD=t，∴=．4. 如图，已知数轴上点A表示的为8，B是数轴上一点，且AB=14，动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）写出数轴上点B表示的数﹣6 ，点P表示的数8﹣5t （用含t的代数式表示）；（2）动点H从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、H同时出发，问点P运动多少秒时追上点H？【解答】解：（1）∵OA=8，AB=14，∴OB=6，∴点B表示的数为﹣6，∵PA=5t，∴P点表示的数为8﹣5t，故答案为﹣6，8﹣5t；（2）根据题意得5t=14+3t，解得t=7．答：点P运动7秒时追上点H．5. 如图①，已知线段AB=12cm，点C为AB上的一个动点，点D、E分别是AC和BC的中点．（1）若点C恰好是AB中点，则DE= 6 cm；（2）若AC=4cm，求DE的长；（3）试利用“字母代替数”的方法，说明不论AC取何值（不超过12cm），DE的长不变；（4）知识迁移：如图②，已知∠AOB=120°，过角的内部任一点C画射线OC，若OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，试说明∠DOE=60°与射线OC的位置无关．【考点】两点间的距离；角平分线的定义；角的计算．【分析】（1）由AB=12cm，点D、E分别是AC和BC的中点，即可推出DE=（AC+BC）=AB=6cm，（2）由AC=4cm，AB=12cm，即可推出BC=8cm，然后根据点D、E分别是AC和BC的中点，即可推出AD=DC=2cm，BE=EC=4cm，即可推出DE的长度，（3）设AC=acm，然后通过点D、E分别是AC和BC的中点，即可推出DE=（AC+BC）=AB=cm，即可推出结论，（4）由若OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，即可推出∠DOE=∠DOC+∠COE=（∠AOC+∠COB）=∠AOB=60°，即可推出∠DOE的度数与射线OC的位置无关．【解答】解：（1）∵AB=12cm，点D、E分别是AC和BC的中点，C点为AB的中点，∴AC=BC=6cm，∴CD=CE=3cm，∴DE=6cm，（2）∵AB=12cm，∴AC=4cm，∴BC=8cm，∵点D、E分别是AC和BC的中点，∴CD=2cm，CE=4cm，∴DE=6cm，（3）设AC=acm，∵点D、E分别是AC和BC的中点，∴DE=CD+CE=（AC+BC）=AB=6cm，∴不论AC取何值（不超过12cm），DE的长不变，（4）∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠DOE=∠DOC+∠COE=（∠AOC+∠COB）=∠AOB，∵∠AOB=120°，∴∠DOE=60°，∴∠DOE的度数与射线OC的位置无关．6.【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB=|a ﹣b|，线段AB的中点表示的数为．【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．【综合运用】（1）填空：①A、B两点间的距离AB= 10 ，线段AB的中点表示的数为 3 ；②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为﹣2+3t ；点Q表示的数为8﹣2t ．（2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；（3）求当t为何值时，PQ=AB；（4）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．【考点】两点间的距离；数轴；绝对值；一元一次方程的应用．【分析】（1）根据题意即可得到结论；（2）当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等列方程得到t=2，于是得到当t=2时，P、Q相遇，即可得到结论；（3）由t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，于是得到PQ=|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|=|5t﹣10|，列方程即可得到结论；（4）由点M表示的数为=﹣2，点N表示的数为=+3，即可得到结论．【解答】解：（1）①10，3；②﹣2+3t，8﹣2t；（2）∵当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等∴﹣2+3t=8﹣2t，解得：t=2，∴当t=2时，P、Q相遇，此时，﹣2+3t=﹣2+3×2=4，∴相遇点表示的数为4；（3）∵t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，∴PQ=|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|=|5t﹣10|，又PQ=AB=×10=5，∴|5t﹣10|=5，解得：t=1或3，∴当：t=1或3时，PQ=AB；（4）∵点M表示的数为=﹣2，点N表示的数为=+3，∴MN=|（﹣2）﹣（+3）|=|﹣2﹣﹣3|=5．。
初三数学《平面几何基础》知识点解读
初三数学《平面几何基础》知识点解读数学在我们日常生活中起着重要的作用。
而平面几何作为数学的一个重要分支，是我们在初中阶段需要掌握的基础知识之一。
本文将对初三数学《平面几何基础》的知识点进行解读和分析。
一、点、线、面的基本概念在平面几何中，点、线、面是最基本的概念。
点是没有长度和宽度的，可以看作是最基本的图形元素；线是由无数个点组成的，没有宽度，只有长度；面是有无数个点和线组成的，具有长度和宽度，但没有厚度。
二、直线与曲线的区别直线是由任意两个点确定的，它是最短的路径，上下左右没有方向之分；而曲线则是不规则的路径，可以有各种各样的形状，具有弯曲性。
三、角的概念及表示方法角是由两条射线共同确定的，其中一条射线作为角的边，另一条射线作为角的始边。
角的大小可以用度数来度量，一般用一个小圆弧表示。
四、直角、锐角和钝角直角是指两条相交的线段所形成的角为90度，可以看作是垂直与水平线之间的角；锐角是指小于90度的角；钝角则是指大于90度小于180度的角。
五、平行线和垂直线平行线是指在同一个平面内，永不相交的直线；而垂直线则是指形成直角的两条相交直线。
六、三角形的分类三角形是由三条线段连接而成的图形。
根据边的长短和角的大小，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和一般三角形。
七、四边形的分类四边形是由四条线段连接而成的图形。
常见的四边形有正方形、长方形、菱形和平行四边形等。
八、圆的基本概念圆是由一条曲线和曲线上所有的点组成的，其中，曲线称为圆周，圆心是位于圆周上二维平面中的一个点，半径是从圆心到圆周上任意一点的距离。
九、相似形的概念相似形是指形状相似但大小不同的两个图形。
相似形具有比例关系，可以通过比较边的长度和角的大小进行判断。
十、投影定理在平面几何中，投影定理是一个重要的概念。
根据投影定理，当有两个平行线与第三条线相交时，两个平行线的投影长度相等。
十一、平行线的判定方法判定平行线有多种方法，比如使用尺规作图法、使用角的性质进行判断等。
高考数学中的平面几何基础
高考数学中的平面几何基础在高中数学学习中，数学的一个重要分支是几何学。
几何学是描述空间中点、线、面等几何对象以及它们之间的关系和性质的一门学科。
在几何学中，平面几何是最基本的部分之一，它涉及到许多基本概念，例如点、线、角和面积等。
在高考数学中，平面几何常常是重要的考试内容，尤其是在高考中，几何学占据了相当比例的分数。
平面几何的基础知识对于取得好成绩至关重要。
在本文中，我们将重点介绍高考中涉及到的平面几何基础知识。
一、点、线、角和面积点是平面几何中最基本的对象之一，它没有长度、宽度和高度。
在平面几何中，点通常被用来表示几何对象的定位。
线是由无数个点组成的，它没有宽度和高度，只有长度。
线可以被视为两个点之间的连接。
在平面几何中，我们经常把线看成一条无限延伸的直线。
角是由两条线段形成的，它的度数和弧度分别是弧形和圆心角的大小。
在平面几何中，角通常被用来表示几何对象之间的关系。
面积是平面几何中另一个重要的概念，它指一个平面上的封闭区域。
面积通常被用来表示物体的大小和形状。
二、相似三角形相似三角形是平面几何中一个重要的概念。
两个三角形是相似的，当且仅当它们的形状相同，但是它们的大小不同。
相似三角形之间的比例关系是十分重要的，它们的比例关系可以帮助我们解决许多几何问题。
三、直线与角的相关概念在平面几何中，直线和角之间存在着一些相关概念，例如：垂直、平行、对顶和同旁内角。
垂直是指两条直线之间的角度为90度。
在平面几何中垂直常常用于计算正方形和长方形的面积。
平行是指两条直线在同一平面上，但是它们的方向不同。
平行直线的相关概念中，平行四边形是非常重要的，它的对角线相等且互相平分。
对顶角是指两个交叉的直线之间的角度的角度大小相等。
同旁内角是指两条直线与相交点之间的内角。
四、圆的相关概念圆也是平面几何中一个重要的概念，它是一个具有同心圆的封闭曲线。
在圆中，有几个重要的概念：圆心、圆半径和圆周长。
圆心在平面几何中是一个非常重要的概念，它是圆的中心点，它的位置通常用坐标来表示。
中考复习平面几何的基本概念与性质
中考复习平面几何的基本概念与性质平面几何是数学中的一个重要分支，它主要研究平面上的图形及其性质。
在中考中，平面几何是必考的内容之一。
为了帮助同学们复习平面几何的基本概念与性质，本文将详细介绍平面几何的相关知识。
一、点、线、面的基本定义在平面几何中，点、线、面是最基本的概念，它们相互依存，构成了平面几何的基础。
1. 点：点是平面上最简单的几何对象，它没有长度、宽度和高度，只有位置。
点用大写字母表示，如A、B、C。
2. 线：线是由无限多个连续点组成的集合，它没有宽度和厚度，只有长度。
线用小写字母表示，如a、b、c。
3. 面：面是由无限多个连续线组成的集合，它有长度和宽度，但没有厚度。
面用大写字母表示，如A、B、C。
二、几何图形的分类与性质在平面几何中，常见的几何图形有点、线、角、三角形、四边形等。
每种几何图形都有其特定的性质，下面将逐一介绍几何图形的分类与性质。
1. 点：点是最简单的几何图形，它没有任何边和角。
2. 线段：线段是由两个不同的点A、B组成的一段连续直线。
线段有长度，可以用AB表示。
3. 角：角是由两条不同的线段所围成的区域。
角有顶点和两条边，可以用顶点的字母表示，如∠ABC。
4. 三角形：三角形是由三条不同的线段所围成的图形。
三角形有三个顶点和三条边，可以根据边的关系分为等边三角形、等腰三角形和一般三角形。
5. 四边形：四边形是由四条线段所围成的图形。
四边形有四个顶点和四条边，可以根据边和角的关系分为正方形、长方形、平行四边形等。
三、平行与垂直的定义与性质在平面几何中，平行与垂直是常见的概念，它们具有一定的定义和性质。
1. 平行：当两条直线在平面上无论延长多长都不相交时，它们是平行线。
平行线之间的距离保持恒定。
2. 垂直：当两条直线相交，且互相垂直时，我们称这两条直线是垂直线。
垂直线之间的夹角为90度。
四、直线的位置关系在平面几何中，直线之间有多种位置关系，根据位置的不同，可以分为相交、平行和重合三种情况。
平面几何基本概念
平面几何基本概念平面几何是数学中研究平面图形及其属性的一个分支。
在平面几何中，有许多基本概念是我们必须了解和掌握的。
本文将介绍平面几何的一些基本概念，包括点、直线、线段、角、多边形和圆等。
1. 点点是平面几何中最基本的概念之一。
点是没有具体大小和形状的，可以表示为一个小圆点或用字母表示，如A、B、C等。
点用来表示平面上的位置，它没有长度、宽度和厚度的概念。
2. 直线直线是由无数个连续的点组成的，它没有弯曲和拐角。
直线可以用两个点来确定，也可以用一条箭头表示。
直线有无限延伸的性质，它的两端没有界限。
3. 线段线段是由两个点及其之间的连线所组成的。
线段有确定的长度，可以用两个点的名称来表示，如AB、CD等。
线段的两端点是线段的端点，线段的中点是线段的正中间位置。
4. 角角是由两条射线和它们的公共端点组成的。
角可以用一个大写字母表示，如∠ABC。
角可以分为锐角（小于90度）、直角（等于90度）和钝角（大于90度）。
角的大小可以用度数或弧度来表示。
5. 多边形多边形是由多个线段所围成的图形。
多边形的边数可以为3个或更多，根据边的数量，我们可以称其为三角形、四边形、五边形等。
多边形的内角和为180度，每个内角的大小取决于多边形的边数和形状。
6. 圆圆是由平面上距离一个固定点的距离相等的所有点组成的。
这个固定点称为圆心，距离称为半径。
圆也可以用一个大写字母表示，如圆O。
圆的直径是通过圆心的线段，直径的长度是半径的两倍。
这些是平面几何中的一些基本概念，它们是我们学习和理解平面几何的基础。
通过熟悉和掌握这些基本概念，我们可以更好地理解平面几何中的定理和性质，进一步发展我们的数学思维能力。
希望本文能够对你理解平面几何的基本概念有所帮助。
（字数：407）。
“中学数学必学课件：平面几何全知识点讲解”
四边形的分类和性质
研究四边形的不同类型，如矩形、正方形等， 以及它们的性质和特征。
相似和全等
1
相似形的判定和性质
学习判定两个图形是否相似的方法
全等形的判定和性质
2
和相似形的性质。
探索判定两个图形是否全等的方法 和全等形的性质。
圆和圆的性质
圆的定义和基本性质
学习圆的定义、半径和直径的关系，以及 其他基本性质。
弧长、圆周角和扇形
深入研究圆的弧长、圆周角和扇形的性质 和计算方法。
中学数学必学课件：平面 几何全知识点讲解
通过本课件，您将全面了解和掌握平面几何的基本概念、性质和应用，为您 的数学学习打下坚实的基础。
平面几何简介
1 什么是平面几何了解平面几何的定义和基来自概念。2 基本概念和术语
学习平面几何中的基本术语和定义，如 点、线、面等。
平面几何图形
点、线、面
探索点、线、面的性质和特征，理解它们 在几何中的重要性。
基本图形的性质和特征
研究平面几何中的基本图形，如三角形、 四边形等的性质和特征。
线段和角
垂直线段和平行线段
探索垂直线段和平行线段的概念、性质以及 相关定理。
角的种类和性质
学习不同类型的角，如直角、锐角和钝角， 以及它们的性质。
三角形和四边形
三角形的分类和性质
了解三角形的不同类型，如等边三角形和等腰 三角形，并探索它们的性质。
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专题13：平面几何基础
一、选择题
1.【济南市槐荫区】如图，BD平分∠ABC，点E在BC上，EF∥AB．若∠CEF=100°，则∠ABD的度数是
A．60° B．50° C．40° D．30°
2.【济南市槐荫区】下列图形中，∠2＞∠1的是
3.【济南市历下区】如图，如果在阳光下你的身影的方向为北偏东60°方向，那么太阳相对于你的方向是（）
Ａ.南偏西60°Ｂ.南偏西30°Ｃ.北偏东60°Ｄ.北偏东30°
4.【临沂市沂水县】如图，∠AOB的两边OA，OB均为平面反光镜，∠AOB=40°．在射线OB上有一点P，从P点射出一束光线经OA上的Q点反射后，反射光线QR恰好与OB平行，则∠QPB的度数是A．60° B．80° C．100° D．120°
5.【临沂市莒南县】如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线. 能解释这一实际问题的数学知识是
（A）两点确定一条直线（B）两点之间线段最短
（C）垂线段最短（D）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
6.【临沂市莒南县】如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，∠1=20°，则∠2的度数为
（A）60°（B）45°（C）40°（D）30°
7.【临沂市兰陵县】如图，能判定EB∥AC的条件是
A．∠C=∠ABE B. ∠A=∠EBD C. ∠C=∠ABC D. ∠A=∠ABE
8.【临沂市蒙阴县】如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B＝30°，则∠C为（）
A．30°B．60°C．80°D．120°
9.【临沂市罗庄区】如图，直线l∥m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=25°，则∠2的度数为
（A）20°（B）25°（C）30°（D）35°
10.【济南市市中区】如图，直线a∥b，AC⊥AB，AC交直线b于点C，∠1=60°，则∠2的度数是（） A．50° B．45° C．35° D．30°
11.【德州市夏津县】如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B=55°，则∠1等于（）
A、35°
B、45°
C、55°
D、65°
12.【聊城市阳谷县】如图，AB∥CD，AE交CD于C，∠A=34°，∠DEC=90°，则∠D的度数为（）
A、17°
B、34°
C、56°
D、124°
13.【聊城市阳谷县】若一个60°的角绕顶点旋转15°，则重叠部分的角的大小是（）
A、15°
B、30°
C、45°
D、75°
14.【潍坊市昌乐县】已知∠A=65°，则∠A的余角等于（）
A．115° B．55° C．35° D．25°
15.【潍坊市昌乐县】如图，已知AB∥CD，E是AB上一点，DE平分∠BEC交CD于D，∠C=80°，则∠D的度数是（）
A．40° B．45° C．50° D．55°
16.【聊城市】如图所示，a∥b，∠1=158°，∠2=42°，∠4=50°．那么∠3=（）
A、50°
B、60°
C、70°
D、80°
17.【泰安市】如图，将一副三角板按图中的方式叠放，则角 等于
A．75 B．60
C．45 D．30
18.【淄博市高青县】如图,将矩形直尺与三角尺叠放在一起,在图中标记的所有角中,与∠1互余的角有( )
A.2个
B.4个
C.5个
D.6个
19.【淄博市桓台县】如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，内错角相等
20.【淄博市周村区】如图，已知a∥b，∠1=130°，∠2=90°，则∠3=
(A) 70° (B) 100° (C) 140° (D) 170°
21.【济南市天桥区】将直尺和三角板按如图的样子叠放在一起，则∠1+∠2的度数是（）
A、45°
B、60°
C、90°
D、180°
二、填空题
1.【济南市历下区】如图，将一幅三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，绕点O任意转动其中一个三角尺，则与∠AOD始终相等的角是．
第17题图
2.【淄博市高青县】如图,在 Rt△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠BAC交BC 于D, 若 BC=14cm，且CD:DB=3:4,则D到边AB的距离是。