2018年度江苏苏锡常镇四市高三调研数学试题及其内容规范标准答案

2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）

数学Ⅰ试题

一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题．．卡相应位置上．．．．．．

. 1.已知集合{1,1}A =-，{3,0,1}B =-，则集合A B =I ． 2.已知复数z 满足34z i i ⋅=-（i 为虚数单位），则z = ．

3.双曲线22

143

x y -=的渐近线方程为 ． 4.某中学共有1800人，其中高二年级的人数为600.现用分层抽样的方法在全校抽取n 人，其中高二年级被抽取的人数为21，则n = ．

5.将一颗质地均匀的正四面体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4）先后抛掷2次，观察其朝下一面的数字，则两次数字之和等于6的概率为 ．

6.如图是一个算法的流程图，则输出S 的值是 ．

7.若正四棱锥的底面边长为2cm ，侧面积为2

8cm ，则它的体积为 3

cm ． 8.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若242a a +=，241S S +=，则10a = ．

9.已知0a >，0b >，且

23

ab a b

+=，则ab 的最小值是 ． 10.设三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan 3tan A c b

B b

-=，则cos A = ．

11.已知函数

,1 ()4

,1

x

a e x

f

x

x x

x

⎧-<

⎪

=⎨

+≥

⎪⎩

（e是自然对数的底）.若函数()

y f x

=的最小值是4，则实数a的取值范围为．

12.在ABC

∆中，点P是边AB的中点，已知3

CP=

u u u r

，4

CA=

u u u r

，

2

3

ACB

π

∠=，则CP CA

⋅=

u u u r u u u r

．

13.已知直线l：20

x y

-+=与x轴交于点A，点P在直线l上，圆C：22

(2)2

x y

-+=上有且仅有一个点B满足AB BP

⊥，则点P的横坐标的取值集合为．

14.若二次函数2

()

f x ax bx c

=++(0)

a>在区间[1,2]上有两个不同的零点，则

(1)

f

a

的取值范围为．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域

．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知向量(2sin,1)

aα

=

r

，(1,sin())

4

b

π

α

=+

r

.

（1）若角α的终边过点(3,4)，求a b⋅的值；

（2）若//

a b，求锐角α的大小.

16.如图，正三棱柱

111

ABC A B C

-的高为6，其底面边长为2.已知点M，N分别是棱11

A C，AC的中点，点D是棱

1

CC上靠近C的三等分点.

求证：（1）

1

//

B M平面

1

A BN；

（2）AD⊥平面1A BN.

17.已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>经过点1

(3,)2

，3(1,)2，点A 是椭圆的下顶点. （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）过点A 且互相垂直的两直线1l ，2l 与直线y x =分别相交于E ，F 两点，已知

OE OF =，求直线1l 的斜率.

18.如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB 为6，O 是圆心，且OC AB ⊥.在OC 上有一座观赏亭Q ，其中23

AQC π

∠=

.计划在BC 上再建一座观赏亭P ，记(0)2

POB π

θθ∠=<<

.

（1）当3

πθ=

时，求OPQ ∠的大小；

（2）当OPQ ∠越大，游客在观赏亭P 处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时，角θ的正弦值.

19.已知函数3

2

()f x x ax bx c =+++，()ln g x x =.

（1）若0a =，2b =-，且()()f x g x ≥恒成立，求实数c 的取值范围； （2）若3b =-，且函数()y f x =在区间(1,1)-上是单调递减函数. ①求实数a 的值；

②当2c =时，求函数(),()()

()(),()()

f x f x

g x

h x g x f x g x ≥⎧=⎨

<⎩的值域.

20.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，13a =，且123n n S a +=-*

()n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）对于正整数i ，j ，()k i j k <<，已知j a λ，6i a ，k a μ成等差数列，求正整数λ，μ的值；