等差数列的技巧
等差数列、等比数列知识点梳理
等差数列、等比数列知识点梳理等差数列和等比数列知识点梳理一、等差数列的公式和相关性质1.等差数列的定义：如果一个数列的后一项减去前一项的差为一个定值，那么这个数列就是等差数列。
记为：an-an-1=d（d为公差）（n≥2，n∈N*）。
2.等差数列通项公式：an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
推广公式：an=am+(n-m)d。
变形推广：d=(an-am)/(n-m)。
3.等差中项：（1）如果a、b、A成等差数列，那么A就是a与b的等差中项，即b成等差数列，A=(a+b)/2；（2）等差中项：数列{an}是等差数列，当且仅当2an=an-1+an+1(n≥2)，或2an+1=an+an+2.4.等差数列的前n项和公式：Sn=n(a1+an)/2=n^2+(a1-d)n/2=An^2+Bn（其中A、B是常数，当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）。
特别地，当项数为奇数2n+1时，an+1是项数为2n+1的等差数列的中间项，Sn=(2n+1)(a1+an)/2= (2n+1)an+1/2.5.等差数列的判定方法：（1）定义法：若an-an-1=d或an+1-an=d（常数n∈N*），则{an}是等差数列；（2）等差中项：数列{an}是等差数列，当且仅当2an=an-1+an+1(n≥2)，或2an+1=an+an+2；（3）数列{an}是等差数列，当且仅当an=kn+b（其中k、b是常数）；（4）数列{an}是等差数列，当且仅当Sn=An^2+Bn（其中A、B是常数）。
6.等差数列的证明方法：定义法：若an-an-1=d或an+1-an=d（常数n∈N*），则{an}是等差数列。
7.等差数列相关技巧：（1）等差数列的通项公式及前n项和公式中，涉及到5个元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、d称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2；（2）设项技巧：一般可设通项an=a1+(n-1)d。
等差数列公式的原理(一)
等差数列公式的原理(一)等差数列公式的原理解析什么是等差数列等差数列是数学中常见的一种数列，其特点是每个数与它的前一个数的差值都是相等的。
例如：1，3，5，7，9就是一个等差数列，其中公差为2。
等差数列的表示假设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ。
则，等差数列的通项公式可以表示为：aₙ = a₁ + (n-1)d推导等差数列通项公式我们可以通过数学归纳法来推导等差数列的通项公式。
首先，我们假设当n=1时，等差数列的第一项为a₁。
这是一个已知条件。
然后，我们假设当n=k时，等差数列的第k项为aₙ。
这也是一个已知条件。
接下来，我们来推导等差数列的第k+1项aₙ₊₁。
根据等差数列的定义，第k+1项与第k项之间的差值为公差d。
所以，第k+1项为aₙ + d。
因此，我们可以得到等差数列的通项公式：aₙ = a₁ + (n-1)d这个公式能够表示等差数列中任意一项的值。
等差数列的求和公式除了通项公式，等差数列还有一个常用的求和公式，可以用来求等差数列前n项的和。
设等差数列前n项的和为Sₙ。
根据等差数列的性质，可将等差数列分别从首项到末项以及从末项到首项相加，得到：2Sₙ = (a₁ + aₙ) + (a₂ + aₙ₋₁) + (a₃ + aₙ₋₂) + … + (aₙ + a₁)由于每一对括号中的两项相加都等于公差d，所以可以将上式变为：2Sₙ = n(a₁ + aₙ)进一步整理，得到等差数列的求和公式：Sₙ = (n/2)(a₁ + aₙ)这个公式可以依据等差数列的首项、末项和项数，轻松求得等差数列前n项的和。
总结等差数列的公式是数学中常见且重要的工具，通过通项公式，我们可以快速计算等差数列中任意一项的值。
而求和公式则帮助我们轻松求得等差数列前n项的和。
掌握了等差数列的公式，可以帮助我们更好地理解和应用数学。
以上就是等差数列公式的原理的相关解析。
参考资料： - 等差数列 - 等差数列通项公式推导 - 等差数列求和公式的推导。
高中数学数列求和技巧及应用
高中数学数列求和技巧及应用数列是高中数学中的重要内容，求和是数列的一个基本运算。
在解决数列求和问题时，我们需要掌握一些技巧和方法，以便更快更准确地求解。
本文将介绍几种常用的数列求和技巧，并通过具体的例子进行说明，帮助读者更好地理解和应用。
一、等差数列求和技巧等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
对于等差数列的求和问题，我们可以利用求和公式来简化计算。
求和公式：Sn = (a1 + an) * n / 2其中，Sn表示等差数列的前n项和，a1为首项，an为末项，n为项数。
举例说明：求等差数列1，3，5，7，9的前10项和。
首先确定a1 = 1，an = 9，n = 10，代入求和公式得到：Sn = (1 + 9) * 10 / 2 = 50因此，等差数列1，3，5，7，9的前10项和为50。
这个例子展示了等差数列求和的基本思路，通过找到首项、末项和项数，代入求和公式即可得到结果。
二、等比数列求和技巧等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。
对于等比数列的求和问题，我们可以利用求和公式来简化计算。
求和公式：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)其中，Sn表示等比数列的前n项和，a1为首项，q为公比，n为项数。
举例说明：求等比数列2，4，8，16，32的前5项和。
首先确定a1 = 2，q = 2，n = 5，代入求和公式得到：Sn = 2 * (1 - 2^5) / (1 - 2) = 62因此，等比数列2，4，8，16，32的前5项和为62。
这个例子展示了等比数列求和的基本思路，通过找到首项、公比和项数，代入求和公式即可得到结果。
三、特殊数列求和技巧除了等差数列和等比数列，还存在一些特殊的数列，它们的求和方法也各不相同。
下面我们将介绍两种常见的特殊数列求和技巧。
1. 平方数列求和技巧平方数列是指数列中每一项都是某个正整数的平方的数列。
对于平方数列的求和问题，我们可以利用平方和公式来简化计算。
等差数列通项公式总结
等差数列通项公式总结等差数列通项公式总结_数列公式学好数学的关键是公式的掌握，数学是一种工具学科，是学习其他学科的基础，同时还是提高人的判断能力、分析能力、理解能力的学科。
下面是小编为大家整理的等差数列通项公式总结，希望能帮助到大家!等差数列通项公式总结an=a1+(n-1)dn=1时a1=S1n≥2时an=Sn-Sn-1an=kn+b(k,b为常数)推导过程：an=dn+a1-d令d=k，a1-d=b则得到an=kn+b 高考数学应试技巧1、拓实基础，强化通性通法高考对基础知识的考查既全面又突出重点。
抓基础就是要重视对教材的复习，尤其是要重视概念、公式、法则、定理的形成过程，运用时注意条件和结论的限制范围，理解教材中例题的典型作用，对教材中的练习题，不但要会做，还要深刻理解在解决问题时题目所体现的数学思维方法。
2、认真阅读考试说明，减少无用功在平时练习或进行模拟考试时,高中英语，要注意培养考试心境，养成良好的习惯。
首先认真对考试说明进行领会，并要按要求去做，对照说明后的题例，体会说明对知识点是如何考查的，了解说明对每个知识的要求，千万不要对知识的要求进行拔高训练。
3、抓住重点内容，注重能力培养高中数学主体内容是支撑整个高中数学最重要的部分，也是进入大学必须掌握的内容，这些内容都是每年必考且重点考的。
象关于函数(含三角函数)、平面向量、直线和圆锥曲线、线面关系、数列、概率、导数等，把它们作为复习中的重中之重来处理，要一个一个专题去落实，要通过对这些专题的复习向其他知识点辐射。
4、关心教育动态，注意题型变化由于新增内容是当前社会生活和生产中应用比较广泛的内容，而与大学接轨内容则是进入大学后必须具备的知识，因此它们都是高考必考的内容，因此一定要把诸如概率与统计、导数及其应用、推理与证明、算法初步与框图的基本要求有目的的进行复习与训练。
一定要用新的教学理念进行高三数学教学与复习，5、细心审题、耐心答题，规范准确，减少失误计算能力、逻辑推理能力是考试大纲中明确规定的两种培养的能力。
等差数列求和公式：求和的七种方法!
等差数列是常见数列的一种，可以用AP表示，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。
(一）等差数列求和公式1.公式法
2.错位相减法
3.求和公式
4.分组法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个
等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
5.裂项相消法适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加时抵消中间的许多项。
等差数列求解技巧
等差数列求解技巧等差数列是数学中常见的数列，其中每个相邻的两个数之间的差值相等。
在解决等差数列问题时，可以运用以下一些技巧来简化求解过程。
1. 等差数列的通项公式：等差数列的通项公式可以简化计算，公式如下：an = a1 + (n - 1) * d其中，an表示第n个数，a1表示第一个数，d表示公差（相邻两个数的差值）。
2. 求和公式：等差数列的前n项和可以使用以下公式进行计算：Sn = (n/2)(a1 + an) = (n/2)(2a1 + (n - 1)d)其中，Sn表示前n项的和。
3. 基本特点：等差数列的一些基本特点可以帮助我们快速进行判断和计算。
- 等差数列中，任意三项的差值相等。
- 等差数列中，第n项与第1项的差值为(n-1)倍的公差。
- 等差数列中，每一项与它相邻的项的和都等于这两项的中间项。
4. 求解思路：在解决等差数列问题时，可以根据已知条件使用以下几种思路。
- 已知首项和公差，求第n项：使用等差数列的通项公式an = a1 + (n - 1) * d，可根据已知的首项和公差求解第n项。
- 已知首项和第n项，求公差：使用等差数列的通项公式an = a1 + (n - 1) * d，根据已知的首项和第n项，可以建立一个方程，从而求解公差。
- 已知首项和求和，求项数：使用等差数列的求和公式Sn = (n/2)(a1 + an)，根据已知的首项和求和，可以建立一个方程，从而求解项数。
- 已知项数和求和，求首项：使用等差数列的求和公式Sn = (n/2)(a1 + an)，根据已知的项数和求和，可以建立一个方程，从而求解首项。
- 已知前n项和，求前m项和：利用等差数列的求和公式Sn = (n/2)(a1 + an)，可以通过求解前n项和Sn和前m项和Sm来求解前m项和的差值Sn - Sm。
- 判定一组数是否为等差数列：如果给定的一组数满足相邻两个数的差值相等，那么这组数就是一个等差数列。
七年级有理数运算中技巧篇（1）——等差数列的计算（值得收藏）
七年级有理数运算中技巧篇（1）——等差数列的计算（值得收藏）数列“1+2+3+……+99+100=？”，在小学数学往往以竞赛、趣味的形式出现，同时又是高中等差数列必学内容，在初中数学教学阶段，如何嫁接这“等差数列”在教学中的承前启后的作用，扮演“等差数列”在中学教学有效角色，让学生体会。
七年级最常见的一种题型：（1）1+2+3+……+99+100＝（2）1+3+5……+55+57＝（3）1+4+7+……+31+34＝上面几道题肯定涉及到简便计算，同学们注意这几道题的特点，第一题中：1，2，3……99，10，会发现后面一个数始终比前一个数大1，第二、三道题中，后面一个数始终比前一个数大2和3，像这样的一组数，我们称之为等差数列。
等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差。
那么第（1）题中公差就是1 ，第（2）题中公差是2，第三题中公差是3.下面就来讲解一下题目的做法。
（1）1+2+3+……+99+100＝这里面介绍一种非常重要的数学方法：首尾相加法（颠倒相加法）所以我们非常容易得到等差数列的求和公式：项数：指的就是数列的数字个数那么问题来了？项数怎么计算？第一题中项数可以看出是100.而第二、三题中项数我们是看不出来的，这里介绍项数的计算方法：那么第二、三题的解法我们就可以用公式来进行运算了，非常方便。
（2）1+3+5……+55+57＝（3）1+4+7+……+31+34＝1.2 生活中等差数列的应用例：参加一次同学聚会，每两人摆一次手，所有人共握了45次，则这次同学聚会共有多少个同学参加？解析用列举法从“特殊”到“一般”分析归纳：当2人时，握手1次；当3人时，据手2+1=3（次）；当4人时，握手3+2+1=6（次）；当5人时，握手4+3+2+1=10（次）；当1人时，握手（n-1）++3+2+1=？（次）；故（n-1）++3+2+1=45，解得n=10。
与等差数列有关的常见题型及其解法
等差数列是一种常见的数列，也是一种重要的数列，是指从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数的数列.与等差数列有关的题目一般主要考查等差数列的通项公式、性质、前n 项的和公式.本文主要谈一谈与等差数列有关的常见题型及其解法.一、求等差数列的通项公式求等差数列的通项公式问题主要考查等差数列的通项公式和性质.这类题目一般较为简单，只要结合题意，灵活运用等差数列的通项公式和性质便能顺利解题.例1.已知等差数列{a n }为递增数列，前3项的和为-3，前3项的积为8.求数列{a n }的通项公式.解：设等差数列{a n }的公差为d ，d >0，∵等差数列{a n }的前3项的和为-3，前3项的积为8，∴ìíî3a 1+3d =-3,a 1(a 1+d )(a 1+2d )=8,∴ìíîa 1=2,d =-3,或ìíîa 1=-4,d =3,∵d >0，∴a 1=-4，d =3，∴a n =3n -7.要想顺利解答本题，需要结合题意，根据等差数列的通项公式列出方程组，通过解方程组求得数列的首项和公差，然后利用等差数列的通项公式求解.例2.各项均不为0的数列{a n }满足a n +1(a n +a n +2)2=a n +2⋅a n ，且a 3=2a 8=18.求数列{a n }的通项公式.解：依题意得，a n ＋1a n +a n +2a n ＋1=2a n +2a n ，两边同时除以a n a n ＋1a n ＋2，可得1a n ＋2+1a n =2a n ＋1，故数列{}1a n 是等差数列，设数列{}1a n的公差为d .因为a 3=2a 8=15，所以1a 3=5，1a 8=10，所以1a 8-1a 3=5=5d ，即d =1，所以1a n =1a 3＋(n -3)d =n ＋2，故a n =1n +2.题目只告知数列各项之间的关系式，需要将已知关系式化简、转化，才能解题.首先将a n +1(a n +a n +2)2=a n +2a n ，两边同时除以a n a n ＋1a n ＋2，构造出等差数列，然后求出数列的首项和公差，再利用等差数列的通项公式求得原数列的通项公式.二、求等差数列的前n 项和或最值求等差数列的前n 项和问题是一类常见的问题，主要考查等差数列的前n 项和公式以及求最值的方法.例3.设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n =-2n ＋1，则数列{}S nn的前11项和为______.解：∵a n =-2n ＋1，∴数列{a n }是以-1为首项，-2为公差的等差数列，∴S n =n [-1+(-2n +1)]2=-n 2，∴S n n =-n 2n =-n ，∴数列{}S nn 是以-1为首项，-1为公差的等差数列，∴数列{}S nn 的前11项和为11×(-1)＋11×102×(-1)=-66.解答等差数列的前n 项和问题的关键是，首先判定数列是等差数列，求出数列的首项、公差，然后利用等差数列的前n 项和公式求得结果.例4.等差数列{a n }中，S n 为前n 项和，且a 1=25，S 17=S 9，请问：数列前多少项的和最大？解法一：∵a 1=25，S 17=S 9，∴17a 1＋17×162d =9a 1＋9×82d ，解得d =-2.∵a 1=25>0，由ìíîa n =25-2(n -1)≥0,a n +1=25-2n ≤0,得ìíîïïn ≤1312,n ≥1212.∴当n =13时，S n 有最大值．解法二：∵a 1=25，S 17=S 9，∴17a 1＋17×162d =9a 1＋9×82d ，解得d =-2.从而S n =25n ＋n (n -1)2(-2)=-(n -13)2＋169.故前13项之和最大．求等差数列的前n 项和的最值问题较为复杂，求解此类问题一般有两种方法.①通项变号法：当a 1>0，d <0时，若ìíîa m ≥0,a m +1≤0,则S n 的最大值为S m ；当a 1<0，d >0时，若ìíîa m ≤0,a m +1≥0,则S n 的最小值为S m .②二次函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n =an 2＋bn ，通过配方或借助图象求得二次函数最值的方法来求解．当然，与等差数列有关的问题还有很多.但无论遇到哪种问题，同学们都要仔细分析题意，灵活运用等差数列的通项公式、性质、前n 项的和公式，以及函数思想和转化思想来解题.（作者单位：江苏省南通市海安实验中学）解题宝典46。
数列专项：等差数列求和公式最常考的七种方法
数列专项：等差数列求和公式最常考的七种方法等差数列求和公式1.公式法2.错位相减法3.求和公式4.分组法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.5.裂项相消法适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加时抵消中间的许多项。
【小结】此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。
只剩下有限的几项。
【注意】余下的项具有如下的特点：1、余下的项前后的位置前后是对称的。
2、余下的项前后的正负性是相反的。
6.数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤：（1）证明当n取第一个值时命题成立；（2）假设当n=k（k≥n的第一个值，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
例：求证：1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .……+ n(n+1)(n+2)(n+3) = [n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5证明：当n=1时，有：1×2×3×4 = 24 = 2×3×4×5/5假设命题在n=k时成立，于是：1×2x3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .……+ k(k+1)(k+2)(k+3) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5则当n=k+1时有：1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + ……+ (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)= 1×2×3×4 + 2×3×4*5 + 3×4×5×6 + ……+ k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)= [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)= (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1)= [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5即n=k+1时原等式仍然成立，归纳得证7.并项求和法（常采用先试探后求和的方法）例：1－2+3－4+5－6+……+（2n-1）-2n方法一：（并项）求出奇数项和偶数项的和，再相减。
等差数列解题技巧
等差数列解题技巧
等差数列是数学中常见且重要的数列类型。
解决等差数列问题
可以使用一些简单的技巧和策略，使求解过程更加容易和快捷。
下
面是一些解题技巧的总结：
1. 确定公式：对于给定的等差数列，首先要确定其通项公式。
通项公式可以帮助我们找到数列中任意一项的值，从而解决相关问题。
2. 确定已知条件：在解题过程中，我们需要明确已知条件。
已
知条件可能是数列的首项和公差，也可能是数列的某几项的值。
根
据已知条件，我们可以进行适当的推导和计算。
3. 计算项数：有时候，题目给出的条件中并没有显示给出数列
的项数。
在这种情况下，我们需要根据已知条件计算出数列的项数，通常使用算术平均数和最后一项与首项之差除以公差的方法来计算。
4. 求和公式：在一些问题中，我们需要求等差数列的和。
对于等差数列，有一个通用的求和公式：和 = (首项 + 末项) * 项数 / 2。
通过使用求和公式，我们可以快速计算出等差数列的和。
5. 利用性质：等差数列具有一些特定的性质，例如相邻两项之间的公差相等，任意三项之间的差也是等差数列。
在解题过程中，可以利用这些性质进行推导和简化。
以上是解决等差数列问题的一些基本技巧和策略。
通过熟练掌握这些技巧，我们可以更有效地解决等差数列相关的问题。
希望这份文档对你解决等差数列问题有所帮助！。
行测数量关系解题技巧---等差数列
行测数量关系解题技巧说明等差数列在解答公务员录用考试、事业单位公开招聘考试、大学生村官考试等公职考试的行政职业能力测验考试中数字推理题时，考生应明确一种观点，即做数字推理题的基本思路是“尝试错误”。
很多数字推理题都不能一眼就看出规律，找到答案，而是要经过两三次的尝试，逐步排除错误的假设，最后才能找到正确的规律。
考生能熟练运用一些基本题型的解题规律才能快速、准确地解答数字推理题。
本文总结、归纳了等差数列及其变式的基本题型的解题技巧与规律，并通过实例来说明其应用。
（一）等差数列等差数列的特点是数列各项依次递增或递减，各项数字之间的变化幅度不大。
等差数列是数字推理题中最基本的规律，是解决数字推理题的“第一思维”。
所谓“第一思维”是指在进行任何数字推理题的解答时，都要首先想到等差数列，即从数字与数字之间的差的关系上进行判断和推理。
【例1】19，23，27，31，（），39。
A．22 B．24 C．35 D．11【解答】本题正确答案为C。
这是一道典型的等差数列，相邻两数字之间的差相等，我们很容易发现这个差为4，所以可知答案为31+4＝35。
（二）二级等差数列如果一个数列的后项减去前项又得到一个新的等差数列，则原数列就是二级等差数列，也称二阶等差数列。
【例2】 147，151，157，165，（）。
A．167 B．171 C．175 D．177【解答】本题正确答案为C。
这是一个二级等差数列。
该数列的后项减去前项得到一个新的等差数列：4，6，8，（）。
观察此新数列，可知其公差为2，故括号内应为10，则题干中的空缺项应为165+10＝175，故选C。
【例3】32，27，23，20，18，（）。
A．14 B．15 C．16 D．17【解答】本题正确答案为D。
这是一个典型的二级等差数列。
该数列的前一项减去后一项得一个新的等差数列：5、4、3、2。
观察此新数列，其公差为-1，故空缺处应为18+（-1）＝17。
（三）二级等差数列的变式数列的后一项减前一项所得的差组成的新数列是一个呈某种规律变化的数列，这个数列可能是自然数列、平方数列、立方数列，或者与加、减“1”的形式有关。
初中求解求和技巧
初中求解求和技巧初中数学中，求解求和问题是一个非常重要且常见的技巧。
在解决求和问题时，我们需要运用一些特定的技巧和公式，以便更加高效地计算和得出结果。
以下是一些初中求和的常见技巧：1. 等差数列求和公式：在等差数列中，如果已知首项a1，末项an和项数n，则可以使用以下公式求和：Sn = (a1 + an) * n / 2其中，Sn表示前n项和。
这个公式非常常用，特别是在求和连续整数、奇数或偶数时。
例如，求1 + 2 + 3 + … + 100的和，则可以使用公式：Sn = (1 + 100) * 100 / 2 = 5050。
2. 等差数列差数求和：在等差数列中，如果已知公差d，首项a1和末项an，我们可以使用以下公式求和：Sn = (n / 2) * (2 * a1 + (n - 1) * d)这个公式适用于任何等差数列，其中n表示项数。
例如，求2 + 5 + 8 + … + 50的和，已知a1 = 2，d = 3，n = (50 - 2) / 3 + 1 = 17，则可以使用公式：Sn = (17 / 2) * (2 * 2 + (17 - 1) * 3) = 459。
3. 等比数列求和公式：在等比数列中，如果已知首项a1，公比q和项数n，则可以使用以下公式求和：Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)这个公式只适用于公比q不等于1的情况。
例如，求2 + 4 + 8 + … + 2048的和，已知a1 = 2，q = 2，可以计算项数n = log2(2048/2) + 1 = 12，则可以使用公式：Sn = 2 * (2^12 - 1) / (2 - 1) = 4094。
4. 平方数求和公式：在计算平方数和时，可以使用以下公式：Sn = n * (n + 1) * (2n + 1) / 6其中，n表示平方数的最大值。
例如，求1^2 + 2^2 + 3^2 + … + 10^2的和，可以计算n = 10，则可以使用公式：Sn = 10 * (10 + 1) * (2 * 10 + 1) / 6 = 385。
证明等差数列前n项和的方法
证明等差数列前n项和的方法
我们要证明等差数列的前n项和的公式。
首先，我们需要理解等差数列的定义和性质。
等差数列是一个序列，其中任何两个连续的项之间的差都是常数。
假设等差数列的首项是 a_1，公差是 d，项数是 n。
等差数列的通项公式是：a_n = a_1 + (n-1) × d
等差数列的前n项和公式是：S_n = n/2 × (2a_1 + (n-1) × d)
我们将使用数学归纳法来证明这个公式。
证明步骤如下：
1. 基础步骤：当 n = 1 时，S_1 = a_1，与公式一致。
2. 归纳假设：假设当 n = k 时，公式成立，即S_k = k/2 × (2a_1 + (k-1) × d)。
3. 归纳步骤：我们需要证明当 n = k + 1 时，公式也成立。
S_{k+1} = S_k + a_{k+1}
= k/2 × (2a_1 + (k-1) × d) + a_1 + k × d
= (k+1)/2 × (2a_1 + k × d)
所以，当 n = k + 1 时，公式也成立。
由1和3，我们可以得出结论：等差数列的前n项和公式对任何正整数n都成立。
等差数列的判定方法
判断一个数列为等差数列的方法一． 定义法1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d（1）R d ∈（2）公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；（3）对于数列{n a },若n a －1-n a =d (常数，n ≥2，n ∈N +），或者1+n a －n a =d (常数，n ≥1，n ∈N +）则此数列是等差数列，d ——此方法可以求d 或者证明该数列是等差数列，即n a －1-n a =d (常数，n ≥2，n ∈N +）⇔{}n a 为等差数列（1）2,4,6,8，...，2（n-1）,2n ； (2)1,1,2,3，...，n例1 在数列{}n a 中，n n n a a a 22,111+==+设,21-=n n n a b 证明{}n b 是等差数列; [解析] 由已知n n n a a 221+=+得1122222111+=+=+==-++n n n n n n n n n b a a a b ， 又111==a b∴{}n b 是首项为1，公差为1的等差数列。
例2 存不存在02x π<<，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列． 【解析】 不存在；否则有(cos sin )(cos sin )cos sin cot tan sin cos x x x x x x x x x x-+-=-=， 则cos sin 0x x -=或者cos sin 1sin cos x x x x+=．若cos sin 0x x -=，有4x π=1,1不成等差数列；若cos sin 1sin cos x x x x+=，有2(sin cos )12sin cos x x x x =+．解得有sin cos 1x x = 而11sin cos sin 2(0,]22x x x =∈，矛盾！二． 等差中项法定义：若a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的如数列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3和7的等差中项，1和9的等差中项；9是7和11的等差中项，5和13n n n a a a 211=+-+（n ≥2，n ∈N +）⇔{}n a 为等差数列看来，73645142,a a a a a a a a +=++=+性质：在等差数列中，若m+n=p+q ，则q p n m a a a a +=+即 m+n=p+q ⇒q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N )但通常 ①由q p n m a a a a +=+ 推不出m+n=p+q ，②n m n m a a a +=+推广2：若数列{}n a 为等差数列，2n m +=k ，则有k n m a a a 2=+ （3）若数列{}n a 为等差数列，则数列{}n a λ（其中λ为常数）也为等差数列，其公差是λd若数列{}n a 为等差数列，则数列{}b a n +（其中b 为常数）也为等差数列，其公差是d若数列{}n a 为等差数列，则数列{}b a n +λ（其中λ、b 为常数）也为等差数列，其公差是λd（4）若数列{}n a 为等差数列，则下标成等差数列且公差为m 的项),(,,,...2*++∈N m k a a a m k m k k 组成了公差为md 的等差数列（5）若数列{}n a 为等差数列，{}n b 为公差是t 的等差数列，则{}n n b a ±和{}n n b ka +(k 为常数)也是等差数列，其公差分别为d ±t ，kd+t（6）项数间隔相等或连续等长的片段和仍构成等差数列。
数列规律总结技巧
数列规律总结技巧数列是数学中常见的一种数学对象，它由一系列按照特定规律排列的数字组成。
在学习数学的过程中，掌握数列的规律总结技巧对于解决问题和提高数学能力非常重要。
本文将分享一些数列规律总结的技巧和方法。
首先，我们来讨论一些常见的数列类型及其规律。
等差数列是最简单的一种数列，它的规律是每个数与它前面的数之差都相等。
例如，1，3，5，7，9就是一个等差数列，公差为2。
要总结等差数列的规律，我们可以观察数列中相邻两个数的差值是否相等，如果相等，那么这个数列就是等差数列。
接下来是等比数列，它的规律是每个数与它前面的数之比都相等。
例如，1，2，4，8，16就是一个等比数列，公比为2。
总结等比数列的规律时，我们可以观察数列中相邻两个数的比值是否相等，如果相等，那么这个数列就是等比数列。
除了等差数列和等比数列，还有一些其他常见的数列类型，如斐波那契数列、阶乘数列等。
对于这些数列，我们可以通过观察数列中数字之间的关系来总结它们的规律。
例如，斐波那契数列的规律是每个数等于前两个数之和，阶乘数列的规律是每个数等于前一个数乘以当前的数。
在总结数列规律时，我们可以利用数学公式和数学运算的性质。
例如，对于等差数列，我们可以利用等差数列的通项公式来计算任意位置的数值。
对于等比数列，我们可以利用等比数列的通项公式来计算任意位置的数值。
通过运用这些公式，我们可以更快地找到数列的规律。
此外，我们还可以利用数列的性质和特点来总结规律。
例如，对于一些特殊的数列，如回文数列和对称数列，它们具有特殊的对称性质，我们可以通过观察数列中数字的排列顺序和位置来总结它们的规律。
总结数列规律的技巧还包括数列的递推关系和递归关系。
数列的递推关系是指通过前面的数推导出后面的数的关系式。
例如，斐波那契数列的递推关系是F(n) =F(n-1) + F(n-2)，其中F(n)表示第n个斐波那契数。
数列的递归关系是指通过后面的数推导出前面的数的关系式。
通过研究数列的递推关系和递归关系，我们可以总结出数列的规律。
如何证明等差数列的方法
如何证明等差数列的方法要证明等差数列的方法是数学中一个重要的知识点。
等差数列具有一定的结构和特性，公式可以帮助我们更容易地证明等差数列。
本文将详细地介绍如何证明等差数列的具体方法，这对于掌握等差数列的概念及其应用有很大的帮助。
首先，我们需要先了解等差数列的定义及其特点。
等差数列是指首项、公差全都相同的一组数字组成的数列，每一项与直接前项之差是一个常数，叫做公差。
一般可以用如下形式表示：an = a1 + (n-1)d其中，a1是等差数列的第一项，d是公差，n是任意整数，an表示等差数列的第n项。
因此，一个等差数列可以表示如下：a1,a1+d,a1+2d,a1+3d,…,an。
等差数列的具体特征有以下几点：1、任意一项减去它的前一项等于公差d;2、每一项与前项的和等于它的后项;3、任意一项与它的后项的差等于公差d;4、任意两项的积等于它们相邻三项的积。
接下来，我们来看看如何证明等差数列：1、比较邻项差等于公差：即将每一项减去前一项，看看结果是否相等；2、使用奥卡姆剃刀原理：若给定一组数，它们的三项之积与两项之积相等，则称它们符合等差数列的性质；3、用公式法：可以用上面提到的an = a1 + (n-1)d的公式进行推导。
首先，将a1代入公式，得到a2 = a1+d;由此可以得出a3 = a1 + 2d，继续这样做，可以得出结果：an = a1 + (n-1)d，显然，前面的数都相等，差值都为公差d，故该数列为等差数列。
最后，常用公差求和公式来求出等差数列的和。
总和=（首项+末项）×总项数÷2。
综上所述，要证明等差数列，可以从比较邻项差等于公差、使用奥卡姆剃刀原理和用公式法等方法去判断。
本文所介绍的方法，只要深入了解，在学习中就可以熟悉掌握。
总之，在研究等差数列的时候，要熟悉常用的式子及其证明方法，只有这样才能得到正确的结果。
等差数列的性质运用技巧
等差数列的性质运用技巧在解决等差数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便.本文对等差数列有关性质的运用技巧作一些介绍，希望能对同学们的学习提供一些帮助.一、巧用等差数列的第二通项公式等差数列的通项公式 1(1)n a a n d =+-第二通项公式 ()(,*)n m a a n m d m n N =+-∈例1 已知数列}{n a 是等差数列，且有,n m a m a n == （ m ≠n ）求m n a + 分析：此题设首项为1a ，公差为d ，根据条件列方程组解出1a 和d ，即可求出m n a +，下面利用第二通项公式解决，同学们可以比较一下两种方法的优劣.解：(),()n m a a n m d m n n m d =+-∴=+- ，所以1,0m n m d a a nd n n +=-∴=+=-=，故m n a +＝0评注：运用第二通项公式充分利用了已知条件，减少了设置的变量个数，从而达到简化运算的目的.二、 设项的技巧等差数列中设项时可以用首项和公差来设，但有时解题过程显得过于复杂，在设项时大家可以考虑以下两种设法：（1）对于连续奇数项的等差数列，可设为,2,,,,2,a d a d a a d a d --++ 此时公差为d ；（2）对于连续偶数项的等差数列，可设为,3,,,3,a d a d a d a d --++ ，此时公差为2d.例2 成等差数列的四个数之和为26,第二数和第三数之积为40,求这四个数． 分析：如果设四个数分别为1111,,2,3a a d a d a d +++，根据条件列方程组解出1a 和d ，即可求出四个数，但可以预见解方程组时比较复杂，作为对比，同学们可以自己解一下.再来看下面的解题过程，体会这样设项的好处.解：设四个数为d a d a d a d a 3,,,3++--则⎩⎨⎧=+-=++++-+-40))((26)3()()()3(d a d a d a d a d a d a 由①得 213=a 代入②得 23±=d ∴ 四个数为2,5,8,11或11,8,5,2．评注：这种设项方法充分考虑了题目中各项和的条件，避免了烦琐的计算过程.【练习】1.已知四个数，其中前三个成等差数列，后三个成等比数列，并且第一个与第四个数的和为16，第二个与第三个数的和为12，求这四个数三、性质“若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+，(,,,*)m n p q N ∈”的应用技巧 例3 等差数列{}n a 中，457215,15,a a a a +===则 （ ）(A)1 (B)-1 (C)0 (D)2分析：利用基本量法，可以求出1a 和d ，再利用通项公式即可求出（解法一），当然如果能看出4+5＝7+2，利用性质题目将会变得更为简洁（解法二）.解法一：设首项为1a ，公差为d ，根据等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-，有111(3)(4)15,615a d a d a d +++=+=， 解得13,3a d =-=，所以2a ＝0，选C 答案.解法二：利用性质若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+，(,,,*)m n p q N ∈，则4572a a a a +=+，所以2a ＝0，故选C 答案. 评注：遇到几个项的和项数和相等时可以考虑这种应用技巧，但要注意等式两边项的个数要相等.【练习】2.已知数列}{n a 是等差数列，且有2310116748,a a a a a a +++=+=则（ ）（A ）21 （B ）22 （C ）23 （D ）243.在等差数列{}n a 中，若21512841=+---a a a a a 求8a ．四、等差中项与前n 项和公式结合运用技巧等差中项公式的变形“若2m n p +=，则2m n p a a a +=，(,,*)m n p N ∈”和等差数列前n 项和公式1()2n n a a S n +=⋅的有机结合可以具有意想不到的效果. 例4 等差数列{}n a 中，11121S = ，那么6a 的值是（A ） 11 （B ） 22 （C ） 12 （D ） 24分析：如果设出首项和公差，题目中只有一个条件，不能解出两个变量，所以要结合等差数列的性质解决. 解：11111()111212a a S +=⨯= 11162a a a +=611a ∴=分析：应用等差中项与前n 项和公式的有机结合很容易解决了问题，当然也可以将第3类技巧与等差数列前n 项和有机结合，同学们可以做一做下面的练习.【练习】4.等差数列{}n a 中，1751S =，求5791113a a a a a -+-+的值.5.在等差数列{}n a 中,已知31540a a +=，求17S .五、等差数列前n 项和公式的运用技巧(1)等差数列前n 项和公式11()(1)(1)222n n n a a n n n n S n na d na d +--=⋅=+⋅=-⋅，整理以后得到2n S An Bn =+（其中A 、B 为不同时为0的常数），是关于n 的缺少常数项的二次函数.利用这一性质可以解决许多用“基本量法”无法替代的简便方法.(2) 等差数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m - S 3m 、……仍为等差数列(可以称为连续等差片断)例5 数列}{n a 是等差数列，且有n S m S m n ==,（其中m ，n ∈N 且m ≠n ）求m n S +. 分析:用基本量法来解决,则要设出首项1a 和公差d ，再根据条件求出出两个未知量1a 和d,最后再用数列前n 项和公式求出()m n S m n +=-+，计算量相对较大.我们可以考虑利用等差数列前n 项和公式的特点来求解.解法一:∵数列}{n a 为等差数列，∴可设2n S An Bn =+（其中A 、B 为不同时为0的常数） 则有2An Bn m +=（1） 2Am Bm n +=（2）(1)－（2）得 22()()A n m B n m m n -+-=-∵m ≠n ∴()1A n m B ++=-∴2()()()A n m B n m n m +++=-+即()m n S m n +=-+解法二:2n S An Bn An B n n+==+，所以n S n 是关于n 的一次函数，因此点(,),(,),(,)n m m n S S S n m m n n m m n +++在同一直线上，()m n m n n S S S S m n m n n m n m n n+--+∴=-+- ()m n S m n +∴=-+评注:解法一充分利用了等差数列前n 项和公式的特点,融合了函数思想,解法新颖,过程简单;解法二技巧性较强,结合了平面几何三点共线的知识,要求比较高.例6等差数列}{n a 的前m 项的和为30，前2m 项的和为100，求它的前3m 项的和为_________.分析:此题我们给出三种方法,大家可以自己体会一下三种解法各自的优缺点.解法一: 将230,100m m S S ==代入1(1)2n n n S na d -=+⋅,得 11(1)3022(21)21002m m ma d m m ma d -⎧+= ⎪⎪⎨-⎪+=⎪⎩ ① ② 2102)13(33,2010,4013212=-+=∴+==d m m ma S m m a m d m 解得 解法二:设2n S An Bn =+ (A 、B 是不同时为0的常数）将230,100m m S S ==代入，得2222030, 10(2)2100,A Am Bm m A m B m B m ⎧=⎪⎧+=⎪⎪⇒⎨⎨+⋅=⎪⎩⎪=⎪⎩, 23(3)3210m S A m B m ∴=⋅+⋅=.解法三:根据等差数列性质知S m ,S 2m －S m ,S 3m －S 2m 也成等差数列，从而有 2(S 2m －S m )=S m +(S 3m －S 2m )∴S 3m =3(S 2m －S m )=210评注:解法一属于“基本量法”，我们看到解题过程过于繁琐，解法二和解法三各有优劣，但相对来说解法三应用了连续等差片断来解题，简单易行.【练习】6.已知}{n a 为等差数列,且1210111220100,300a a a a a a +++=+++= 求212230a a a +++ 的值结束语:等差数列性质的应用技巧是在“基本量法”熟练基础上总结出来的,技巧有很多,但技巧都要建立在对等差数列基础知识熟练掌握的基础上,当然本文中所列技巧并不是所有的解题技巧,同学们在学习的过程中要注意总结,希望本文能给同学们的学习提供一些帮助.附练习参考答案:1. 0，4，8，16或15，9，3，1;2. D;3. 28-=a ;4. 3;5. 340;6. 500.。
等差数列的计算方法
等差数列的计算方法标题：探索等差数列的计算方法在数学的世界中，有许多有趣且实用的概念和理论。
其中之一就是等差数列，它是数学中的一个基本概念，也是我们日常生活中经常遇到的一种数列形式。
理解并掌握等差数列的计算方法，不仅可以帮助我们解决许多实际问题，而且还能让我们更好地理解和应用数学。
首先，我们需要了解什么是等差数列。
等差数列是一个按照一定规律排列的数字序列，其中相邻两项之间的差值是相等的。
这个相等的差值被称为公差，而第一个数被称为首项，最后的一个数被称为末项。
例如，1, 3, 5, 7, 9就是一个等差数列，其公差为2。
那么，如何计算等差数列呢？这就需要我们掌握一些基本的公式和技巧。
1. 计算等差数列的和：等差数列的和可以通过一个简单的公式来计算，即S = n/2 * (a1 + an)，其中n表示等差数列的项数，a1表示首项，an表示末项。
例如，如果我们有一个包含5个项的等差数列，首项为1，末项为9，那么它的和就可以通过这个公式计算出来，即S = 5/2 * (1 + 9) = 25。
2. 计算特定项的值：如果我们知道等差数列的首项、公差和项数，我们可以用公式an = a1 + (n - 1) * d来计算出第n项的值，其中d是公差。
例如，如果我们有一个首项为1，公差为2的等差数列，我们想要找出第4项的值，那么我们就可以用这个公式计算，即a4 = 1 + (4 - 1) * 2 = 7。
3. 计算等差数列的通项公式：等差数列的通项公式可以用来计算任何一项的值，无论项数是多少。
其公式为an = a1 + (n - 1) * d。
通过这个公式，我们可以很方便地计算出等差数列中的任何一项。
以上就是等差数列的一些基本计算方法。
然而，这只是一个开始。
实际上，等差数列有着丰富的性质和应用，值得我们深入研究和探讨。
例如，等差数列的求和公式就有一个有趣的推导过程。
我们可以先从两个连续的项出发，得到它们的和，然后把所有的项两两配对，最后再把所有这样的和加起来，就得到了整个等差数列的和。
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11*15(1)0,,0,.(2)0,,0,.(1)(,0),.d a n d a n a k d k N d ><<>=-+∈≠、等差数列的单调性当时它是递增数列若则前项和有最小值当时它是递减数列若则前项和有最大值注意：当时会存在两项都取得最值11(),.1,(),,,0,2(1).().n n n n m a a d d d a a n d a a n m d +-===+-=+-第二讲、等差数列主讲：叶导等差数列是一种最为常见的数列也是常考的知识点一、知识要点、定义：如果一个数列从第二项起每一项与前一项的差等于同一个常数那么这个数列叫做等差数列这个常数叫做公差通常用字母表示公差.注意：当时等差数列是常数列.、等差数列的通项公式：等差数列任意两项的关系：可以把通项公式写作1111(),0,,.3,.2{},,(1).22,,,,.,.n n n n n n m n mn n n m n p q a dn a d d a n a An B a cb ac b a a a a a a a n m m n p q m n p q a a a a -+-+=+-≠=++⇔=++==>≥+=+⇒+=+可知当公差时是关于的一次函数；因此若通项则这个数列一定是等差数列、等差中项：是的等差中项在等差数列中已知是正整数注意：以上这个结论的逆命题未必成立可能数列为常数列只有等差数列11212,.()(1)4.22(),0,22,,2.(1).(2)m n p q n n n n n n n m n p q a a a a n a a n n n S na d d dn S n a n d S n n S An Bn a An B A S +=+⇔+=++-==+=+-≠=+=+-不为常数列时、等差数列的前项和公式：可以把前项和公式写作可知当公差时是关于的二次函数；因此若前项和公式则这个数列一定是等差数列它的通项公式可以表示为注意：两个公式的灵活应用以及项数的问题若2(0),{},(1).2(2)n n An Bn C C a A B C n a An B A n =++≠++=⎧=⎨+-≥⎩则数列从第二项开始是等差数列这个数列的通项公式可以表示为23222322121212326(1){}{},{}(,).(2),,,2()(),.(3)(21),().(),n n n n k k k k k k k k k k n n n n n n n a b pa qb p q d k S S S S S S S S S S k d S n a S n a a I S a a a a -++---=+-=-=+=++++、等差数列的常见结论若与是等差数列则仍是等差数列为常数公差为的等差数列中依次项和成等差数列即公差为奇数偶数项和关系：注意：…表示数列的前135212462()()()()()1()21123211352124622()()()()()()2,.,.(),(21),.,.1(4)n n nn n n n n n n S a a a a S a a a a S a S S nd S a II S a a a a n S a a a a S a a a a S n S S a S n -+----=++++=++++-===++++-=++++=++++-==-奇偶奇奇偶偶奇偶奇奇偶偶项和.其中……可知…表示数列的前项和.其中……可知2121,(),0.(5),(),().(6)(),0.(7){}{},.n m m n n m m n m n m n n n n n n n n n a m a n m n a S m S n m n S m n S S m n S a S a b n S T b T +++--==≠===≠=-+=≠==若则若则若则若等差数列与的前项和分别为与则18123018121314151617181318141715161516301{},10,A 30 B 50 C 60 D 30010,10.10,,315n n a n S S S S S S a a a a a a a a a a a a a a S -==-=+++++=+=+=++==二、例题分析例、等差数列的前项和为且则( )、、、、解：由得因为所以所以15162322()50,.(),(),.220,250,3A 70 B 80 C 90 D 100,,,2(m n m n k k k k k k a a B k m n S S k m n S m nk k k S S S S S S S ++=+-=≠=----故选注意：在等差数列中若例、等差数列的前项和为前项和为则前项和为( )、、、、解：根据等差数列的性质知：成等差数列所以3232)(),3()90,.k k k k k k k S S S S S S C =+-=-=得故选211221147100102321,1,12,(21)[2(1)1]4 2.1(1).42(2)4{},40,20,n n n n n n n n n S n a n a S n a S S n n n n a n n a n S a a a a S d -=-+====-≥=-=-+---+=-+-=⎧=⎨-+≥⎩++++===例、已知数列的前项和则它的通项公式( )解：当时；当时因此数列的通项公式例、已知等差数列的前项和为且…则此数列的公差( )解：1471002581013691021021471001100110010211021140,4034,504068,12010220,.51,4017()40,.1751()20,a a a a a a a a d a a a a d S d d a a a a a a a a S a a a a ++++=++++=+++++=+=+==-++++=+=+==+=+因为…所以……三式相加得得注意：此题用整体成等差数列的思想解决问题使计算简便.或者…得得022221111122112211112010050,2,.51515115{},(),211,(),(1)0, 1.2112,()(),2222,()()2(n n n n n n n n n n n n n n n n n n d d a a n S S a a n S a a a a a n a S S a a a a a a a a a ------==-=-+=+===-==++≥=-=--=+-+=两式相减得得例、已知正项数列的前项和为且求它的通项公式.解：当时即得当时整理得即111).0,2,12(1)2 1.n n n n n n n a a a a a a n n ---++>-==+-=-因为所以所以1312131312121312246{},1,,,A 12 B 13 C 24 D 23,{},1,0,0,0,12(n n n n a a n S a S n a a a a a a a S a <-<-<>+<=例、已知等差数列中且它的前项和有最大值那么当取得最小正值时的值为( )、、、、解：由题意知等差数列是首项为正公差为负的递减数列.由可得所以所以12132312)0,230.,,23,.n a S a S n D +<=>=由此可知取得最小正值时故选*11111117{},(,),(1)(1),22(1)(1)()(1)().222()(1)()2()([()n n m k m k m k m k a n S S S a m k N m k S m m k k S S a ma d ka d a m m k k m k m k a ma ka d d m k a d m k m k S m k a dm k m k m k m k a m k ++=+∈≠=--=+⇔+=++---+-=-+-=-+++-=+++-+=⋅-+-例、已知等差数列的前项和为若且则( )解：得所以1292221212111299891)()].28{}{},,21,(21),(1211)23,23[9(291)8(281)]33,.33,(2n n n n n n n n n n m k a m k d a m k m k a b n S T S a n T n b S kn T kn n a S S k k a b T T k k b S kn T k -++=⋅=--==-==-=-=-==-=⨯--⨯-====例、已知等差数列与的前项和分别为与且则( )解：设则所以注意：千万不能设5141512314511141111511),.9{},16,0,0.(1)(2),,,,4161641413(1)140,213027015141502n n n n n a n S a S S d S S S S a a d a d S a d a d a d S a d -=><⎧=+=⎪=-⎪⨯⎪=+>+>⎨⎪+<⨯⎪=+<⎪⎩因为等差数列的前项和是关于的一个二次函数例、已知等差数列的前项和为且求公差的取值范围；求…中数值最大的一项.解：由题意得即1147878158878123147.2(164)130,164703232165,(,).16533(2)7()0,0150,0.0,0,,,,,.d d a d d d d d S a a a a S a a a a S S S S S ⎧⎪⎨⎪⎩-+>⎧⎨-+<⎩⎧>-⎪⎪--⎨⎪<-⎪⎩=+>+>=<<><将第一式的代入下面两式得解得所以公差的取值范围是即；即可知而所以…中数值最大的一项是111111110{}3,221(2).,{},,2,.,{},222221222222111,22n n n n n nn n n n n n n n n n n nn n n na a a a n a a a a a a a a λλλλλλλλλλλλ------==++≥+++++--++---==+--==+例、已知数列满足是否存在实数使得数列是等差数列若存在求出的值并求它的通项公式；若不存在请说明理由解：假设存在实数使得数列是等差数列则恒为常数所以12210,=1.,1,{}2111{}1,2,1,222(1)2 1.225511{}.4(1)0,{}(2)0,{||}.(1)2,4n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a n a n a a a n S a a S a n T n S λλλλ-=+=+++==+=+⋅-+-=><≥=即因此存在使得数列是等差数列.数列是公差为的等差数列首项所以故所求的通项公式例、已知数列的前项和若求数列的通项公式；若求数列的前项和解：当时221112222111111111112211112255,42255,422,22,2()()(),0 2.0,0, 2.1,42255,n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a S a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n S a a a --------------+-=+-=-+-+=-+=+-+=-=>+=-===+-得两式相减得即所以或因为所以不合题意舍去所以当时即1111111211211222550,1715.0,17,172(1)215.(2)(1)021715.()0,0()217,360()215,28015n n n n n n n n n n n n n a a a a a n n a a a a a I a a S II a a a S III a a a S a -------==->==+-=++=-==-+==-===>-==-=-<=-解得或因为所以所以由可知或且或当不合题意；当且时不合题意；当且时符合题意.所以2222172(8)2(1)217,|||217|.217(8)(15172)8,162(151)8(1217)(8)8,16128.2216(8),{||}.16128(8),n n n n n n n n n n a n n n n nn T n n n n n T n n n n n a n T n n n a -≤⎧+-=-=-=⎨->⎩+-≤==-++⨯+-->=+=-+⎧-+≤⎪=⎨-+>⎪⎩+则当时；当时因此数列的前项和注意：要根据条件判断不能直接忽略120(1)(1664)64.n n n a n T n n -==--++的情况；第二步的前项和可以写成11122212222111(1)(3)12{},10,8(1){}(2).2(1)(3)(1)1,10,4770,8117().(1)(3)(1)(3)2,,88n n n n n nn nn n n n n n n n a a a n S a S a a a a n S a a a a a a a a n a S S a ++++---==---===--===-----≥=-=-例、已知正项数列的前项和且求数列的通项公式；求的最大值解：当时化简得解得或不合题意舍去当时即222211111111121444484()()().0, 4.11,114(2)43(2).10(1).43(2)2,,n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n a n n n a S S a a ++-++++++---+=⇔+=-⇔+=+-+>-===+-=+≥=⎧=⎨+≥⎩≥=-=因为所以又因为所以故此数列的通项公式注意：当时才有所以后面的通项公式只能用21211222221113(2),(1).(2)1,0.2(1)(3)(46)(44)25 3.88(253)(43)2(2).2222(1)(1)2233(2).2222,n n nnn n n n n n n n nn n n n n n d a a n d S a n a a n n S n n S a n n n n nb n n n n n n n b b n n b b ++++++-=+--==--++===++-++-++===≥++++-++-=-=≥=-而不能用当时显然所以当时232211123310,43,2332(3)3(1)0,20,0,.23321.822n n n n n n n n n b b n n n n n n b b b b S a b b +++=>>≥-++=-+-<>-<<-⨯+===得；当时因为且所以即所以的最大值为213521123513{}(0), 2.(1),{}(2){},,{}.(1)2,2,2.111,962510,,2.4442,n n n n n n n n n n a n S kn bn k k a S S a S k S n T a S b S kn n k S S k k k k k S n n n a S =+-≠======+-=+-=+-=-=-++≥=-、已知数列的前项和若求数列的通项公式；若数列是递减数列求实数的取值范围并求数列的前项和的最大值解：由得所以由得得所以当时22121221111(2)[(1)2(1))]44442(1)19..1924(2)24(2)(1)2,{},,2(1)2(1),220.0()22,,,n n n n n n S n n n n n n a n n S kn n k S S S kn n k k n n k kn k k f n kn k n f -+=-++---+-+=⎧⎪=-+=⎨-+≥⎪⎩=+->+->+++-++<<=++故所求的通项公式由可知因为是递减数列所以即整理得设对于正整数上式恒成立则123222233333,(1)32022,(,).332,34,8624,2(1)2(1)20.3,,3()860,,,2348611124()860,n k k k S S k S k n S kn n k k n n n n S S I S k k T T k k k II S k ⎧⎨=+<⎩<--∞-==+=+≥=+-=-+<--+<=+>>-=++++=+=+=解得故实数的取值范围是此时；当时因此只要根据的值正负情况进行分类讨论即可.当即时最大；当即32232222121315,,364443()340860,,,36344()340,,,234()340,,, 2.3443,,2,3343236,43n n n k T T k III S k S k k T T k IV S k k T T V S k k T k T k T k k T =-+==+>=+<-<<-=+=+==-=+<<-≤--<≤-+-<<-时和最大为；当且时即最大；当即时和最大为；当即时最大为综上所述当时的最大值为；当时的最大值为；当时1112.k +的最大值为2222111111112221111111(1)14{},,.1(1)11,,21,.13(1)2,,21,112()(1)(1)2(n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n S a n S a a S S n a a a a a a S S n a S S S S S S S S S S S S S S S S S S --------=+-==+=-+=+-≥==--+=+--+⇔--+=--⇔--=-、已知数列的前项和且求它的通项公式解：当时即得当时即111111)1111.(1)(1)21121113{},,12121312(1),.1222212.21(1)(2)n n n n n n n n n n n n n n S S S S S S S S S S n n n S S n n n a S S n n n n -------⇔=-⇔-=------=---+=---=-=-+-=-=-=++++所以数列是公差为的等差数列首项所以得所以。