第五章 第一节定积分的概念

0 i 1
2016/9/13 微积分II 第五章定积分 7
n
二、定积分的定义
定义 设函数 f ( x ) 在[a , b]上有界， 在[a , b ]中任意插入
若干个分点
a x 0 x1 x 2 x n 1 x n b
n 个小区间，各小区间的长度依次为 把区间[a , b] 分成
定理1 当函数 f ( x ) 在区间[a , b] 上连续时，
称 f ( x ) 在区间[a , b] 上可积.
[a , b] 上有界， 定理2 设函数 f ( x ) 在区间
且只有有限个第一类的 间断点，
则 f ( x ) 在 区间[a , b ]上可积.
2016/9/13
微积分II 第五章定积分
几何意义：
它是介于 x 轴、函数 f ( x ) 的图形及两条 直线 x a, x b 之间的各部分面积的代 数和． 在 x 轴上方的面积取正号； 在 x 轴下方的面 积取负号．




微积分II 第五章定积分 13
2016/9/13
例1 利用定义计算定积分 x 2dx.
0
1
i 解 将[0,1]n 等分，分点为 x i ，(i 1,2, , n ) n 1 小区间[ x i 1 , x i ]的长度x i ，(i 1,2, , n ) n 取 i x i ，(i 1,2,, n )
y
y
o
a
（四个小矩形）
b
x o
a
（九个小矩形）
b
x
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
2016/9/13 微积分II 第五章定积分 3
曲边梯形如图所示，
在区间 [a , b]内插入若干 个分点，a x0 x1 x2 xn1 xn b, 把区间 [a , b] 分成 n y 个小区间[ xi 1 , xi ]， 长度为 xi xi xi 1 ;
2016/9/13
微积分II 第五章定积分
6
（1）分割
T1 t0 t1 t 2 t n1 t n T2 t i t i t i 1
部分路程值
si v( i )t i
某时刻的速度
（2）求和
s v ( i )t i
i 1
n
（3）取极限 max{t1 , t 2 ,, t n } 路程的精确值 s lim v ( i )t i
当分割无限加细, 记小区间的最大长度 或者( x ) x max{x1 , x2 , xn } 趋近于零 ( x 0或者 0) 时，
曲边梯形面积为 A lim f ( i )xi
0 i 1
n i 1
n
2016/9/13
微积分II 第五章定积分
5
实例2 （求变速直线运动的路程）
第五章 定积分
第一节 定积分的概念
一、问题的提出
实例1 （求曲边梯形的面积）
曲边梯形由连续曲线 y f ( x ) ( f ( x ) 0) 、
x 轴与两条直线 x a 、
y
y f ( x)
A?
o
a b
x b 所围成.
x
2016/9/13
微积分II 第五章定积分
2
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
n
2
1 1 1 1 2 , 6 n n
x 0 n
2
0 x dx lim 0 i 1
2
1
n
i x i
1 1 1 1 lim 1 2 . n 6 n n 3
2016/9/13 微积分II 第五章定积分 15
设某物体作直线运动，已知速度 v v ( t )是 时 间 间 隔 [T1 , T2 ] 上 t 的 一 个 连 续 函 数 ， 且 v ( t ) 0 ，求物体在这段时间内所经过的路程.
思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上 速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值．

i 1
2016/9/13
n
f ( i )xi i xi xi2 xi ,
2 i 1
i 1
n
n
微积分II 第五章定积分
14
1 n 2 1 n( n 1)(2n 1) i 1 3 i 3 n n i 1 n 6 i 1 n
在每个小区间[ xi 1 , xi ] 上任取一点 i，
o a

x i 1 i xi
xn1 b
x
以 [ xi 1 , xi ]为底， f (i ) 为高的小矩形面积为
Ai f ( i )xi
2016/9/13 微积分II 第五章定积分 4
曲边梯形面积的近似值为
A f ( i )xi
被 积 函 数
被 积 表 达 式
b
n
积分和
积分下限
积 分 变 量
[a , b] 积分区间
2016/9/13
微积分II 第五章定积分
9
注意：
（1）积分值是极限值，其本质是一个常数，仅 与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的 b b 字母无关. f ( x )dx f ( t )dt b f ( u)du
x i x i x i 1 ，( i 1,2,) ，在各小区间上任取
一点 i （ i xi ），作乘积 f ( i )x i ( i 1,2,)
并作和 S f ( i )x i ，
记 x max{x1, x2 ,, xn} ， 如果不论对[a , b ]
( 2) 在定义中假设
① 若 ② 若
b
a
a
a
为了方便起见, 我们作如下规定: 则
a
[ f ( x)dx]'
,则
0
[a , b] 上的定积分存在时， （3）当函数 f ( x ) 在区间
称 f ( x ) 在区间[a , b] 上可积.
2016/9/13 微积分II 第五章定积分 10
三、存在定理
2016/9/13 微积分II 第五章定积分 8
n
i 1
怎样的分法， 也不论在小区间[ x i 1 , x i ] 上
点 i 怎样的取法，只要当 x 0 时，和 S 总趋于
I ， 我们称这个极限 I 为函数 f ( x ) 确定的极限 在区间[a , b] 上的定积分， 记为
积分上限
f ( i )x i a f ( x )dx I lim 0 i 1
11
四、定积分的几何意义
f ( x ) 0, f ( x ) 0,
a f ( x )dx A
b
b
曲边梯形的面积
的负值
a f ( x )dx A 曲边梯形的面积
A3
A1
A2
A4
2016/9/13
a f ( x )dx A1 A2
b
A3 A4
12
微积分II 第五章定积分