〖九份试卷合集〗上海市长宁区XX名校2022届九上数学期中模拟试卷
上海市长宁区虹桥中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案)
2022-2023学年上海市长宁区虹桥中学九年级第一学期期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每题4分，满分24分）1．如果把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，那么锐角A的余切值（）A．扩大为原来的两倍B．缩小为原来的C．不变D．不能确定2．在比例尺为1：2000的地图上测得A、B两地间的图上距离为5cm，则A、B两地间的实际距离为（）A．10m B．25m C．100m D．10000m3．已知非零向量、和，下列条件中，不能判定∥的是（）A．∥，∥B．＝，＝C．＝D．4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知tan A＝，BC＝a，则AB的长为（）A．a B．2a C．a D．a5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D为垂足，且BC：AC＝2：3，则CD：AD＝（）A．2：3B．4：9C．2：5D．6．如图，在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且，AE＝BE，那么有（）A．△AED∽△BED B．△BAD∽△BCD C．△AED∽△ABD D．△AED∽△CBD 二、填空题（本大题共12小题，每题4分，满分48分）7．如果，那么＝．8．化简：＝．9．已知线段AB＝2，P是线段AB的黄金分割点（AP＜PB），那么PB＝．10．已知，，且与的方向相反，则＝.（用表示）11．如果在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（2，2），射线OP与x轴的正半轴所夹的角为α，那么α的余弦值等于．12．在平行四边形ABCD中，点E，F是边CD，BC边的中点，若，，则＝.（结果用，表示）13．如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD上一点，联结AE、BD，且AE、BD交于点F，若DE：EC＝2：3，则S△ABF：S△DEF＝．14．如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线且∠ACD＝∠B，AB＝2，则AC＝．15．如图，AD∥BE∥FC，AB＝2，AC＝5，DF＝7.5，则EF＝．16．如图，四边形DEFG是△ABC的内接矩形，其中D、G分别在边AB，AC上，点E、F 在边BC上，DG＝2DE，AH是△ABC的高，BC＝20，AH＝15，那么矩形DEFG的周长是．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，CE是AB边上的中线，AD与CE交于点F，点G是△ACD的重心，AB＝10，AD＝8，则点F与点G的距离是．18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，将△ABC绕点B旋转后，点C落在射线AB 上，点A落到点A′处，联结AA′．那么tan∠BAA′＝．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．计算：20．如图，已知两个不平行的向量、．先化简，再求作：．（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）21．如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．（1）求证：△ABE∽△DFA；（2）若AB＝6，BC＝4，求DF的长．22．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F．（1）如果AB＝6，BC＝8，DF＝21，求DE的长；（2）如果DE：DF＝2：5，AD＝9，CF＝14，求BE的长．23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D在边BC上，且BD＝3CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE．（1）求线段AE的长；（2）求∠ACE的余切值．24．如图，已知，在锐角△ABC中，BD和CE分别是边AC、AB上的高．（1）求证：；（2）联结AF，求证：AF•BE＝BC•EF．25．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝18，DB＝DC＝15，点E、F分别在线段BD、CD上，DE＝DF＝5．AE的延长线交边BC于点G，AF交BD于点N、其延长线交BC 的延长线于点H．设AD＝x．（1）BG＝；CH＝；（用x的代数式表示BG、CH）（2）如果△ADN的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结FG，当△HFG与△ADN相似时，求AD的长．参考答案一、选择题（本大题共6小题，每题4分，满分24分）1．如果把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，那么锐角A的余切值（）A．扩大为原来的两倍B．缩小为原来的C．不变D．不能确定【分析】根据△ABC三边的长度都扩大为原来的两倍所得的三角形与原三角形相似，得到锐角A的大小没改变，从而得出答案．解：因为△ABC三边的长度都扩大为原来的两倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的余切值也不变．故选：C．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握在直角三角形中，一个锐角的余切等于它的邻边与对边的比值是解题的关键．2．在比例尺为1：2000的地图上测得A、B两地间的图上距离为5cm，则A、B两地间的实际距离为（）A．10m B．25m C．100m D．10000m【分析】设A、B两地间的实际距离为xm，根据比例线段得＝，然后解方程即可．解：设A、B两地间的实际距离为xm，根据题意得＝，解得x＝100．所以A、B两地间的实际距离为100m．故选：C．【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．3．已知非零向量、和，下列条件中，不能判定∥的是（）A．∥，∥B．＝，＝C．＝D．【分析】根据向量的性质进行逐一判定即可．解：A、由于∥，所以、的方向相同，由于∥，故、的方向相同，所以∥，故本选项正确；B、因为＝，所以和的方向相同，由于＝，所以、、的方向相同，所以∥，故本选项正确；C、因为＝，所以、的方向相反，故∥的，故本选项正确；D、因为，所以、的方向不能确定，故不能判定其位置关系，故本选项错误．故选：D．【点评】本题考查的是向量平行向量的定义，即方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量．4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知tan A＝，BC＝a，则AB的长为（）A．a B．2a C．a D．a【分析】根据直角三角形的边角关系进行计算即可．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵tan A＝＝，BC＝a，∴AC＝2a，由勾股定理得，AB＝＝a，故选：C．【点评】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确计算的前提．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D为垂足，且BC：AC＝2：3，则CD：AD＝（）A．2：3B．4：9C．2：5D．【分析】先证明Rt△ACD∽Rt△ABC，利用相似三角形的性质求解即可．解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，又∠CAD＝∠BAC，∠ACB＝90°，∴Rt△ACD∽Rt△ABC，∴＝，∵BC：AC＝2：3，∴CD：AD＝2：3，故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．6．如图，在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且，AE＝BE，那么有（）A．△AED∽△BED B．△BAD∽△BCD C．△AED∽△ABD D．△AED∽△CBD 【分析】根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可判定△AED∽△CBD．解：∵AD：AC＝1：3，∴AD：DC＝1：2；∵△ABC是正三角形，∴AB＝BC＝AC；∵AE＝BE，∴AE：BC＝AE：AB＝1：2∴AD：DC＝AE：BC；∵∠A＝∠C＝60°，∴△AED∽△CBD；故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；也考查了等边三角形的性质．二、填空题（本大题共12小题，每题4分，满分48分）7．如果，那么＝．【分析】已知，设a＝k，b＝3k，代入求值的代数式化简即可．解：∵，设a＝k，b＝3k，∴＝＝＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了比例的性质，解题的关键是正确设出a和b的值进行化简．8．化简：＝+4．【分析】直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得答案，注意去括号法则．解：＝3+6﹣2﹣2＝+4．故答案为：+4．【点评】此题考查了平面向量的加减运算．此题难度不大，注意掌握运算法则是关键．9．已知线段AB＝2，P是线段AB的黄金分割点（AP＜PB），那么PB＝﹣1．【分析】直接根据黄金分割的定义求出PB的长即可．解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＜PB，AB＝2，∴PB＝AB＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键．10．已知，，且与的方向相反，则＝﹣.（用表示）【分析】根据两个向量的模的数量关系和方向解答即可．解：∵，，∴||＝||，∵与的方向相反，∴＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查了平面向量，注意：平面向量是既有大小，又有方向的．11．如果在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（2，2），射线OP与x轴的正半轴所夹的角为α，那么α的余弦值等于．【分析】如图，过点P作PH⊥x轴于点H．证明∠POH＝45°，可得结论．解：如图，过点P作PH⊥x轴于点H．∵P（2，2），∴OH＝PH＝2，∴∠POH＝45°，∴α＝45°，∴cosα＝，故答案为：【点评】本题考查了解直角三角形，特殊角的三角函数值等知识，解题的关键是记住特殊角的三角函数值．12．在平行四边形ABCD中，点E，F是边CD，BC边的中点，若，，则＝.（结果用，表示）【分析】根据平行四边形法则得出，再根据三角形中位线定理得出EF＝，即可求解．解：如图，连接DB，∵，，∴，∵点E，F是边CD，BC边的中点，∴EF＝，∴，故答案为：．【点评】本题考查了平面向量，熟练掌握平行四边形法则是解题的关键．13．如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD上一点，联结AE、BD，且AE、BD交于点F，若DE：EC＝2：3，则S△ABF：S△DEF＝25：4．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，AB＝CD，即可证得△DEF∽△BAF，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求得答案．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴△DEF∽△BAF，∴＝（）2，∵DE：EC＝2：3，∴DE：CD＝DE：AB＝2：5，∴S△ABF：S△DEF＝25：4．故答案为：25：4．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．14．如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线且∠ACD＝∠B，AB＝2，则AC＝．【分析】根据中线的定义得出AD＝DB＝AB＝1，证明△ACD∽△ABC，根据相似三角形的性质解答即可．解：∵CD是边AB上的中线，AB＝2，∴AD＝DB＝AB＝1，∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴＝，∴AC2＝AD•AB，∴AC2＝2，∵AC＝或AC＝﹣（舍去），故答案为：．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．15．如图，AD∥BE∥FC，AB＝2，AC＝5，DF＝7.5，则EF＝ 4.5．【分析】根据平行线分线段成比例可得＝，代入可求得答案．解：∵AD∥BE∥FC，AB＝2，AC＝5，DF＝7.5，∴＝，即＝，解得EF＝4.5．故答案是：4.5．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．16．如图，四边形DEFG是△ABC的内接矩形，其中D、G分别在边AB，AC上，点E、F 在边BC上，DG＝2DE，AH是△ABC的高，BC＝20，AH＝15，那么矩形DEFG的周长是36．【分析】根据相似三角形的判定和性质结论得到结论．解：∵DG∥BC，AH⊥BC，∴AH⊥DG，△ADG∽△ABC，∴，即，∴DE＝6，∴DG＝2DE＝12，∴矩形DEFG的周长＝2×（6+12）＝36．故答案为：36．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，CE是AB边上的中线，AD与CE交于点F，点G是△ACD的重心，AB＝10，AD＝8，则点F与点G的距离是2．【分析】设直线AG与BC的交点为H，先由勾股定理和三线合一定理求得CD＝6，由重心的性质即可得到，DH＝3，进一步证明△AFG∽△ADH，得，即可求解．解：设直线AG与BC的交点为H，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝BD，∠ADB＝90°，D是BC的中点，∴BD＝CD＝＝＝6，∵CE是AB边的中点，AD是BC边中点，∴点F是△ABC的重心，∴AF：FD＝1：2，∴AF：AD＝2：3，∵点G是△ADC的重心，∴DH＝DC＝3，，∴，又∵∠FAG＝∠DAH，∴△AFG∽△ADH，∴，∴FG＝DH＝2，故答案为2．【点评】本题主要考查了勾股定理，三线合一定理，重心的性质，相似三角形的性质和判定，解题的关键在于能熟练重心的性质．18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，将△ABC绕点B旋转后，点C落在射线AB 上，点A落到点A′处，联结AA′．那么tan∠BAA′＝2或．【分析】设AB＝5a，BC＝3a，由锐角三角函数和勾股定理可求AC＝4a，由旋转的性质可求A'C'＝AC＝4a，BC＝BC'＝3a，∠ACB＝∠A'C'B＝90°，分两种情况讨论，求出A'C'的长，即可求解．解：∵∠C＝90°，sin A＝＝，∴设AB＝5a，BC＝3a，∴AC＝＝4a，∵将△ABC绕点B旋转后，点C落在射线AB上，点A落到点A′处，∴A'C'＝AC＝4a，BC＝BC'＝3a，∠ACB＝∠A'C'B＝90°，如图1，当点C落在线段AB上时，则AC'＝AB﹣BC'＝2a，∴tan∠BAA′＝＝2，如图2，当点C落在线段AB的延长线上时，则AC'＝AB+BC'＝8a，∴tan∠BAA′＝＝，故答案为：2或．【点评】本题考查了旋转的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．计算：【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而得出答案．解：原式＝＝＝＝3+2．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．20．如图，已知两个不平行的向量、．先化简，再求作：．（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）【分析】首先利用平面向量的运算法则，将原式化简，即可得原式＝2﹣；然后利用三角形法则，即可求得2﹣．解：原式＝，＝．作法：①作＝2，＝，②连接AC，则即为所求，即＝2﹣．【点评】此题考查了平面向量的知识．此题难度适中，注意掌握三角形法则的应用，注意掌握平面向量的运算法则．21．如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．（1）求证：△ABE∽△DFA；（2）若AB＝6，BC＝4，求DF的长．【分析】（1）由矩形性质得AD∥BC，进而由平行线的性质得∠AEB＝∠DAF，再根据两角对应相等的两个三角形相似；（2）由E是BC的中点，求得BE，再由勾股定理求得AE，再由相似三角形的比例线段求得DF．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B＝90°，∴∠DAF＝∠AEB，∵DF⊥AE，∴∠AFD＝∠B＝90°，∴△ABE∽△DFA；（2）∵E是BC的中点，BC＝4，∴BE＝2，∵AB＝6，∴AE＝，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝4，∵△ABE∽△DFA，∴，∴．【点评】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键是证明三角形相似．22．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F．（1）如果AB＝6，BC＝8，DF＝21，求DE的长；（2）如果DE：DF＝2：5，AD＝9，CF＝14，求BE的长．【分析】（1）根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例可得，再由AB＝6，BC＝8，DF＝21即可求出DE的长．（2）过点D作DG∥AC，交BE于点H，交CF于点G，运用比例关系求出HE及HB 的长，然后即可得出BE的长．解：（1）∵AD∥BE∥CF，∴，∵AB＝6，BC＝8，DF＝21，∴，∴DE＝9．（2）过点D作DG∥AC，交BE于点H，交CF于点G，则CG＝BH＝AD＝9，∴GF＝14﹣9＝5，∵HE∥GF，∴，∵DE：DF＝2：5，GF＝5，∴，∴HE＝2，∴BE＝9+2＝11．【点评】本题考查平行线分线段成比例的知识，综合性较强，关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D在边BC上，且BD＝3CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE．（1）求线段AE的长；（2）求∠ACE的余切值．【分析】（1）解直角三角形求出AB，BE，可得结论；（2）根据余切值的定义求出，CH，EH，可得结论．解：（1）∵BC＝4，BD＝3CD，∴BD＝3，∵AC＝CB，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°，∵DE⊥AB，在Rt△DEB中，cos B＝＝，∴BE＝，在Rt△ACB中，AB＝AC＝4，∴AE＝AB﹣BE＝4﹣＝．（2）过点E作EH⊥AC于H．在Rt△AHE中，cos A＝＝，∴AH＝×＝，∴CH＝AC﹣AH＝4﹣＝，∴EH＝AH＝，在Rt△CHE中，cot∠ECH＝＝．【点评】本题考查解直角三角形，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．24．如图，已知，在锐角△ABC中，BD和CE分别是边AC、AB上的高．（1）求证：；（2）联结AF，求证：AF•BE＝BC•EF．【分析】（1）通过证明△AEC∽△FEB，根据相似三角形的性质可得结论；（2）通过证明△AEF∽△CEB，根据相似三角形的性质可得结论．【解答】证明：（1）∵BD和CE分别是边AC、AB上的高，∴∠AEC＝∠BDA＝90°，∴∠A+∠ACE＝90°＝∠A+∠ABD，∴∠ACE＝∠ABD，又∵∠AEC＝∠BEF＝90°，∴△AEC∽△FEB，∴＝；（2）如图，连接AF，∵△AEC∽△FEB，∴＝，∴＝，又∵∠AEC＝∠FEB＝90°，∴△AEF∽△CEB，∴＝，∴AF•BE＝BC•EF．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．25．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝18，DB＝DC＝15，点E、F分别在线段BD、CD上，DE＝DF＝5．AE的延长线交边BC于点G，AF交BD于点N、其延长线交BC 的延长线于点H．设AD＝x．（1）BG＝2x；CH＝2x；（用x的代数式表示BG、CH）（2）如果△ADN的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结FG，当△HFG与△ADN相似时，求AD的长．【分析】（1）可证得△ADE∽△GBE，△ADF∽△HCF，进而得出结果；（2）作DM⊥CB于M，过点N作NQ⊥BC于Q，交AD于P，根据勾股定理得出DM 的值，证明△ADN∽△HBN，从而求得PN的值，进一步得出结果；（3）分为△ADN∽△HFG和△ADN∽△HGF．当△FCG∽△HFG时，可推出△FCG∽△HFG，从而得出FG2＝CG•CH，从而求得x的值；当△ADN∽△HFG时，可推出△CFG∥△CDB，进而求得x的值．解：（1）∵AD∥CB，∴△ADE∽△GBE，△ADF∽△HCF，∴，，∵BD＝DC＝15，DE＝DF＝5，∴BE＝CF＝10，∴，，∴BG＝2x，CH＝2x，故答案为：2x，2x；（2）如图1，作DM⊥CB于M，过点N作NQ⊥BC于Q，交AD于P，∵BD＝CD＝15，BC＝18，∴BM＝CM＝CB＝9，∴PQ＝DM＝＝＝12，∵AD∥CB，∴△ADN∽△HBN，∴，∴＝，∴，∴PN＝，∴＝＝，∴y＝（0＜x≤9）；（3）如图2，∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠H，∠ADB＝∠DBC，∵BD＝DC，∴∠BDC＝∠DCB，∴∠ADN＝∠DCB，当△ADN∽△HGF时，∠FGH＝∠ADN，∴∠FGH＝∠FCG，∴∠FCG＝∠DBC，∴FG∥BD，∴，∴，∴x＝3，如图3，当△ADN∽△FHG，此时∠ADN＝∠HFG，∴∠DCB＝∠GFH，∵∠FGH＝∠CGF，∴△GFC∽△GHF，∴，∴，∴CG＝，∴18﹣2x＝，∴x＝，∴AD＝，综上所述：AD＝3或．【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是转化相似三角形．。
20222022沪科版九年级数学(上)期中检测试卷
20222022沪科版九年级数学（上）期中检测试卷（满分150分，时间120分钟）一、选择题（共10题，每题4分，共40分）1.若反比例函数yk的图象经过点(2,1),则该反比例函数的图象在（）某A.第一、二象限B.第一、三象限C.第二、三象限D.第二、四象限2.对于二次函数y=(某1)2+2的图象,下列说法正确的是（）A.开口向下B.对称轴是某1C.顶点坐标是(1,2)D.与某轴有两个交点3.如图,铁道口的栏杆短臂长1米,长臂长16米,当短臂端点下降0.5米时,长臂端点升高（）A.11.25米B.6.6米C.8米D.10.5米4.如图，三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则coα的值是（）3344A.B.C.D.54355.已知二次函数y某2(m1)某1，当某1时，y随某的增大而增大，则m的取值范围是（）A.m1B.m3C.m1D.m16.已知矩形ABCD中,AB=1,在BC上取一点E,沿AE将△ABE向上折叠,使B点落在AD上的F点,若四边形EFDC与矩形ABCD相似,则AD=（）A.5151B.C.3D.2227.如果太阳光线与地面成45°角,一棵树的影长为10m,则树高h的（）A.h=10B.h<52C.52h10D.h>108.二次函数ya某2b某c的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示,则一次函数ya某b与反比例函数yc在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）某A.B.C.D.9.直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8,现将△ABC如图那样折叠,使点A与点B重合,折痕为DE,则tan∠CBE的值是（）A.247C.7D.1B.7243310.对于二次函数y某22某.有下列四个结论：①它的对称轴是直线某=1;②设y1某122某1,y2某222某2,则当某2某1时,有y2y1;③它的图象与某轴的两个交点是(0,0)和(2,0);④当0某2时,y0.其中正确的结论的个数为（）A.1B.2C.3D.4二、填空题（共4题，每题5分，共20分）11.如图,铅球运动员掷铅球的高度y(m)与水平距离某(m)之间的函数关系式是y动员此次掷铅球的成绩是m.1225某某，则该运12333经过点某12.以正方形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,双曲线yD,则正方形ABCD的面积是.13.某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有墙(墙足够长),中间用一道墙隔开,并在如图所示的三处各留1m宽的门,已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27m，则能建成的饲养室面积最大为m2.14.如图,将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠,使点A落在BC边上的A1处,称为第1次操作,折痕DE到BC的距离记为h1,还原纸片后,再将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠,使点A 落在DE边上的A2处,称为第2次操作,折痕D1E1到BC的距离记为h2;按上述方法不断操作下去…,经过第2022次操作后得到的折痕D2022E2022,到BC的距离记为h2022;若h1=1,则h2022的值为.15.已知实数某、y、z 满足16.已知,△ABC在直角坐标系内,三个顶点的坐标分别为A(0,3),B(3,4),C(2,2)(正方形网格中每个小正方形的边长均为一个单位长度（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1,点C1的坐标是；（2）以点B为位似中心,在网格内画出△A2B2C2,使△A2B2C2与△ABC位似,且位似比为2:1,点C2的坐标是；某2yz4某3y0，试求的值.3y2z02某yz17.已知二次函数的图象经过点(3,-8),对称轴是直线某=-2,此时抛物线与某轴的两个交点间的距离为6.（1）求抛物线与某轴的两交点坐标;（2）求抛物线的解析式.18.如图所示，某市在城市建设中,要折除旧烟囱AB,在烟囱正西方向的楼CD的顶端C,测得烟囱的顶端A的仰角为45°,底端B的俯角为30°，已知DB=21m.（1）在原图上画出点C望点A的仰角和点C望点B的俯角，并分别标出仰角和俯角的大小；（2）拆除时若让烟囱向正东倒下,试问：距离烟囱正东35m远的一棵大树是否被歪倒的烟囱砸着为什么？19.如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连结CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于点F.试问：（1）图中△APD与哪个三角形全等并说明理由.（2）求证：PC2PEPF.20.实验数据显示,一般成人喝半斤低度白酒后,1.5小时内其血液中酒精含量y(毫克/百毫升)与时间某(时)的关系可近似地用二次函数y200某400某刻画;1.5小时后(包括1.5小时)y与某可近似地用反比例函数y2k(k>0)刻画(如图所示).某（1）根据上述数学模型计算：①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值最大值为多少②当某=5时，y=45，求k的值.（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路.参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20:00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7:00能否驾车去上班请说明理由.。
2021-2022学年上海市长宁区延安初级中学九年级(上)期中数学试卷(解析版)
2021-2022学年上海市长宁区延安初级中学九年级第一学期期中数学试卷一、选择题（每题4分，共24分）1．某零件长40厘米，若该零件在设计图上的长是2毫米，则这幅设计图的比例尺是（）A．1：2000B．1：200C．200：1D．2000：12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知tan A＝，BC＝a，则AB的长为（）A．a B．2a C．a D．a3．已知△ABC与△A′B′C′相似，点A与A′，点B与B′对应，若＝，且△ABC的中线AD的长为5，则AD的对应中线A′D′的长为（）A．10B．20C．80D．4．若＝2，向量和向量方向相反，且||＝2||，则下列结论中不正确的是（）A．||＝2B．||＝4C．＝4D．＝5．如图，在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且，AE＝BE，那么有（）A．△AED∽△BED B．△BAD∽△BCD C．△AED∽△ABD D．△AED∽△CBD 6．如果点D、E，F分别在△ABC的边AB、BC，AC上，联结DE、EF，且DE∥AC，那么下列说法错误的是（）A．如果EF∥AB，那么AF：AC＝BD：ABB．如果AD：AB＝CF：AC，那么EF∥ABC．如果△EFC∽△ABC，那么EF∥ABD．如果EF∥AB，那么△EFC∽△BDE二、填空题（每题4分，共48分）7．已知，则的值是．8．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，AB＝4，那么AP＝．9．计算：（﹣2）﹣4＝．10．在△ABC中，AB＝AC，sin B＝，则∠A＝．11．如果一个斜坡的坡度为i＝1：2.4，那么这个斜坡坡角α的余弦值等于．12．如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知BC长为8厘米，若正方形DEFG的边长为5厘米，则△ABC的高AH为厘米．13．如图，某兴趣小组用无人机对大楼进行测高，无人机从距离大楼30米（PB＝30米）垂直起飞，飞到A处悬停，测得大楼底部俯角α＝45°，大楼顶部仰角β＝60°，则大楼的楼高BC＝米．（结果保留根号）14．如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线且∠ACD＝∠B，则△ACD与△ABC的周长比是．15．如图，在▱ABCD的对角线BD上取一点E，延长AE交BC于G，交DC的延长线于F，若DF＝2CF，则△CFG与△BEG的面积比是．16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，CE是AB边上的中线，AD与CE交于点F，点G是△ACD的重心，AB＝10，AD＝8，则点F与点G的距离是．17．在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点A（x，y），我们把点B（，）称为点A的“倒数点”．如图，矩形OCDE的顶点C为（3，0），顶点E在y轴上，函数y＝（x＞0）的图象与DE交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形OCDE的一边上，则△OBC的面积为．18．如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置．木条BC上的点P处安装一平面镜，BC与刻度尺边MN的交点为D，从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E．已知AB⊥BC，MN⊥BC，AB＝6.5，BP＝4，PD＝8．（1）ED的长为．（2）将木条BC绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到BC′（如图2），点P的对应点为P′，BC′与MN的交点为D′，从A点发出的光束经平面镜P′反射后，在MN 上的光点为E′．若DD′＝5，则EE′的长为．三、解答题（第19-22题，每题10分；第23、24题，每题12分；第25题14分，共78分）19．计算：20．如图，在△ABC中，D是AC上点，DE∥BC，交AB于点E，联结BD，∠ABD＝∠C，DE＝4，BC＝9．（1）求：BD的长；（2）若＝，＝，用、表示．21．如图，在△ABC中，sin∠BAC＝，AB＝13，AC＝7.2，BD⊥AC，垂足为点D，点E 是BD的中点，AE与BC交于点F．（1）求：∠CBD的正切；（2）求的值．22．我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，且AB＝AC，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D已滑动到点D'的位置，且A，B，D′三点共线，AD′＝40cm，B为AD′中点．当∠BAC＝140°时，伞完全张开．（1）求AB的长．（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）23．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BC，点E是AB中点，联结CE、DE，AC与DE 相交于点F，BE2＝EF•ED．（1）求证：CE⊥DE；（2）求证：AB2＝2CD•BC．24．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，0），点B在直线l：y＝x上且位于第三象限，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于第二象限内的点C．（1）设BC与AO相交于点D，①若BA＝BO，求证：CD＝CO；②求：点A到直线l的距离；（2）是否存在点B，使得以A、B、C为顶点的三角形与以点B、C、O为顶点的三角形相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由．25．如图，在菱形ABCD中，∠ABC是锐角，E是BC边上的动点，将射线AE绕点A按逆时针方向旋转，交直线CD于点F．（1）当AE⊥BC，∠EAF＝∠ABC时，①求证：AE＝AF；②连结BD，EF，若，求的值；（2）当∠EAF＝∠BAD时，延长BC交射线AF于点M，延长DC交射线AE于点N，连结AC，MN，若AB＝4，AC＝2，则当CE为何值时，△AMN是等腰三角形．参考答案一、选择题（每题4分，共24分）1．某零件长40厘米，若该零件在设计图上的长是2毫米，则这幅设计图的比例尺是（）A．1：2000B．1：200C．200：1D．2000：1【分析】图上距离和实际距离已知，依据“比例尺＝”即可求得这幅设计图的比例尺．解：因为2毫米＝0.2厘米，则0.2厘米：40厘米＝1：200；所以这幅设计图的比例尺是1：200．故选：B．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知tan A＝，BC＝a，则AB的长为（）A．a B．2a C．a D．a【分析】根据直角三角形的边角关系进行计算即可．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵tan A＝＝，BC＝a，∴AC＝2a，由勾股定理得，AB＝＝a，故选：C．3．已知△ABC与△A′B′C′相似，点A与A′，点B与B′对应，若＝，且△ABC的中线AD的长为5，则AD的对应中线A′D′的长为（）A．10B．20C．80D．【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比、对应中线的比等于相似比解答．解：∵△ABC∽△A′B′C′，＝，∴＝＝，∵AD的长为5，∴A′D′＝20，故选：B．4．若＝2，向量和向量方向相反，且||＝2||，则下列结论中不正确的是（）A．||＝2B．||＝4C．＝4D．＝【分析】根据已知条件可以得到：＝﹣4，由此对选项进行判断．解：A、由＝2推知||＝2，故本选项不符合题意．B、由＝﹣4推知||＝4，故本选项不符合题意．C、依题意得：＝﹣4，故本选项符合题意．D、依题意得：＝，故本选项不符合题意．故选：C．5．如图，在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且，AE＝BE，那么有（）A．△AED∽△BED B．△BAD∽△BCD C．△AED∽△ABD D．△AED∽△CBD 【分析】根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可判定△AED∽△CBD．解：∵AD：AC＝1：3，∴AD：DC＝1：2；∵△ABC是正三角形，∴AB＝BC＝AC；∵AE＝BE，∴AE：BC＝AE：AB＝1：2∴AD：DC＝AE：BC；∵∠A＝∠C＝60°，∴△AED∽△CBD；故选：D．6．如果点D、E，F分别在△ABC的边AB、BC，AC上，联结DE、EF，且DE∥AC，那么下列说法错误的是（）A．如果EF∥AB，那么AF：AC＝BD：ABB．如果AD：AB＝CF：AC，那么EF∥ABC．如果△EFC∽△ABC，那么EF∥ABD．如果EF∥AB，那么△EFC∽△BDE【分析】由平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质得出选项A不符合题意；由平行线分线段成比例定理和已知条件得出选项B不符合题意；由相似三角形的性质得出EF 与AB不平行，选项C符合题意；由平行线的性质和相似三角形的判定得出选项D不符合题意；即可得出答案．解：如图所示：A、∵DE∥AC，EF∥AB，∴四边形ADEF是平行四边形，△BDE∽△BAC，∴DE＝AF，＝，∴AF：AC＝BD：AB；选项A不符合题意；B、∵DE∥AC，∴AD：AB＝CE：BC，∵AD：AB＝CF：AC，∴CE：BC＝CF：AC，∴EF∥AB，选项B不符合题意；C、∵△EFC∽△ABC，∴∠CFE＝∠CBA，∴EF与AB不平行，选项C符合题意；D、∵DE∥AC，EF∥AB，∴∠C＝∠BED，∠CEF＝∠B，∴△EFC∽△BDE，选项D不符合题意；故选：C．二、填空题（每题4分，共48分）7．已知，则的值是．【分析】已知，可设a＝2k，则b＝3k，代入所求的式子即可求解．解：∵∴设a＝2k，则b＝3k．∴＝＝．故答案为：．8．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，AB＝4，那么AP＝2﹣2．【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP＝AB，代入数据即可得出AP的长．解：由于P为线段AB＝4的黄金分割点，且AP是较长线段；则AP＝AB＝×4＝2﹣2．故答案为2﹣2．9．计算：（﹣2）﹣4＝﹣7．【分析】实数的运算法则同样适用于平面向量的计算．解：（﹣2）﹣4＝﹣×2﹣4＝﹣7．故答案是：﹣7．10．在△ABC中，AB＝AC，sin B＝，则∠A＝90°．【分析】根据特殊锐角的三角函数值可求出∠B＝45°，再根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠C＝45°，根据三角形的内角和可求出∠A．解：∵sin B＝，∴∠B＝45°，又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°，故答案为：90°．11．如果一个斜坡的坡度为i＝1：2.4，那么这个斜坡坡角α的余弦值等于．【分析】根据坡比＝坡角的正切值，设斜坡的竖直高度为5x，则水平距离为12x，由勾股定理求出斜坡长，进而可求出斜坡坡角的余弦值．解：如图所示：由题意，得：tanα＝i＝1：2.4＝，设斜坡的竖直高度为5x，则水平距离为12x，则斜坡长＝＝13x，则cosα＝＝．故答案为：．12．如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知BC长为8厘米，若正方形DEFG的边长为5厘米，则△ABC的高AH为厘米．【分析】设三角形ABC的高AH＝x厘米，由△ADG∽△ABC，得，则，解方程即可．解：设三角形ABC的高AH＝x厘米，∵四边形DEFG是正方形，∴DG∥EF，即DG∥BC，∵AH⊥BC，∴AP⊥DG，∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，∴，∵PH⊥BC，DE⊥BC，∴PH＝ED，AP＝AH﹣PH，∵BC长为8厘米，正方形DEFG的边长为5厘米，∴，解得：x＝，即AH＝厘米，故答案为：．13．如图，某兴趣小组用无人机对大楼进行测高，无人机从距离大楼30米（PB＝30米）垂直起飞，飞到A处悬停，测得大楼底部俯角α＝45°，大楼顶部仰角β＝60°，则大楼的楼高BC＝（30+30）米．（结果保留根号）【分析】根据仰角、俯角的意义，在直角三角形中求出AP、CM即可．解：过点A作AM⊥BC于M，则∠MAB＝45°，∠MAC＝60°，BP＝AM＝30米，在Rt△ABP中，BP＝30米，∠PAB＝90°﹣45°＝45°，∴AP＝BP＝30米＝BM，在Rt△ACM中，∠MAC＝60°，AM＝30米，∴CM＝AM＝30（米），∴BC＝BM+CM＝（30+30）米，故答案为：（30+30）．14．如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线且∠ACD＝∠B，则△ACD与△ABC的周长比是：2．【分析】证明△ACD∽△ABC，根据相似三角形的性质得到＝，再根据相似三角形的周长比等于相似比解答即可．解：∵CD是边AB上的中线，∴AD＝DB，∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴＝，即＝，∴＝，∴△ACD与△ABC的周长比是：2，故答案为：：2．15．如图，在▱ABCD的对角线BD上取一点E，延长AE交BC于G，交DC的延长线于F，若DF＝2CF，则△CFG与△BEG的面积比是3：1．【分析】根据△BGE∽△DAE，得，则，再根据△AGB≌△FGC，从而得出答案．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，BC＝AD，∵DF＝2CF，∴AB＝CD＝FC，∵AB∥CD，∴∠F＝∠BAG，∵∠AGB＝∠CGF，∴△AGB≌△FGC（AAS），∴BG＝CG＝，∵BC∥AD，∴△BGE∽△DAE，∴，∴，∴，∵△AGB≌△FGC，∴S△FGC：S△BEG＝3：1，故答案为：3：1．16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，CE是AB边上的中线，AD与CE交于点F，点G是△ACD的重心，AB＝10，AD＝8，则点F与点G的距离是2．【分析】设直线AG与BC的交点为H，先由勾股定理和三线合一定理求得CD＝6，由重心的性质即可得到，DH＝3，进一步证明△AFG∽△ADH，得，即可求解．解：设直线AG与BC的交点为H，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝BD，∠ADB＝90°，D是BC的中点，∴BD＝CD＝＝＝6，∵CE是AB边的中点，AD是BC边中点，∴点F是△ABC的重心，∴AF：FD＝1：2，∴AF：AD＝2：3，∵点G是△ADC的重心，∴DH＝DC＝3，，∴，又∵∠FAG＝∠DAH，∴△AFG∽△ADH，∴，∴FG＝DH＝2，故答案为2．17．在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点A（x，y），我们把点B（，）称为点A的“倒数点”．如图，矩形OCDE的顶点C为（3，0），顶点E在y轴上，函数y＝（x＞0）的图象与DE交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形OCDE的一边上，则△OBC的面积为或．【分析】设点A的坐标为（m，），由“倒数点”的定义，得点B坐标为（，），分析出点B在某个反比例函数上，分两种情况：①点B在ED上，由ED∥x轴，得＝，解出m＝±2，（﹣2舍去），得点B纵坐标为1，此时，S△OBC＝×3×1＝；②点B在DC上，得点B横坐标为3，即＝3，求出点B纵坐标为：＝，此时，S△OBC ＝×3×＝．解：设点A的坐标为（m，），∵点B是点A的“倒数点”，∴点B坐标为（，），∵点B的横纵坐标满足＝，∴点B在某个反比例函数上，∴点B不可能在OE，OC上，分两种情况：①点B在ED上，由ED∥x轴，∴点B、点A的纵坐标相等，即＝，∴m＝±2（﹣2舍去），∴点B纵坐标为1，此时，S△OBC＝×3×1＝；②点B在DC上，∴点B横坐标为3，即＝3，∴点B纵坐标为：＝，此时，S△OBC＝×3×＝；故答案为：或．18．如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置．木条BC上的点P处安装一平面镜，BC与刻度尺边MN的交点为D，从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E．已知AB⊥BC，MN⊥BC，AB＝6.5，BP＝4，PD＝8．（1）ED的长为13．（2）将木条BC绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到BC′（如图2），点P的对应点为P′，BC′与MN的交点为D′，从A点发出的光束经平面镜P′反射后，在MN 上的光点为E′．若DD′＝5，则EE′的长为11.5．【分析】（1）由题意可得，△ABP∽△EDP，则＝，进而可得出DE的长；（2）过点E′作∠E′FG＝∠E′D′F，过点E′作E′G⊥BC′于点G，易得△ABP′∽△E′FP′，由此可得＝，在Rt△BDD′中，由勾股定理可求出BD′的长，可求出∠BD′D的正切值，设P′F的长，分别表示E′F和E′D′及FG和GD′的长，再根据BD′＝13，可建立等式，可得结论．解：（1）如图，由题意可得，∠APB＝∠EPD，∠B＝∠EDP＝90°，∴△ABP∽△EDP，∴＝，∵AB＝6.5，BP＝4，PD＝8，∴＝，∴DE＝13；故答案为：13．（2）如图2，过点E′作∠E′FD′＝∠E′D′F，过点E′作E′G⊥BC′于点G，∴E′F＝E′D′，FG＝GD′，∵AB∥MN，∴∠ABD′+∠E′D′B＝180°，∴∠ABD′+∠E′FG＝180°，∵∠E′FB+∠E′FG＝180°，∴∠ABP′＝∠E′FP′，又∠AP′B＝∠E′P′F，∴△ABP′∽△E′FP′，∴＝即，＝，设P′F＝4a，则E′F＝6.5a，∴E′D′＝6.5a，在Rt△BDD′中，∠BDD′＝90°，DD′＝5，BD＝BP+PD＝12，由勾股定理可得，BD′＝13，∴cos∠BD′D＝，在Rt△E′GD′中，cos∠BD′D＝＝，∴GD′＝2.5a，∴FG＝GD′＝2.5a，∵BP′+P′F+FG+GD′＝13，∴4+4a+2.5a+2.5a＝13，解得a＝1，∴E′D′＝6.5，∴EE′＝DE+DD′﹣D′E′＝13+5﹣6.5＝11.5．故答案为：11.5．三、解答题（第19-22题，每题10分；第23、24题，每题12分；第25题14分，共78分）19．计算：【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而得出答案．解：原式＝＝＝＝3+2．20．如图，在△ABC中，D是AC上点，DE∥BC，交AB于点E，联结BD，∠ABD＝∠C，DE＝4，BC＝9．（1）求：BD的长；（2）若＝，＝，用、表示．【分析】（1）由DE∥BC，可得∠EDB＝∠DBC，再由∠ABD＝∠C，可得△EBD∽△DCB，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可；（2）根据相似三角形的性质求出AB与EB的关系，再根据平面向量的加减法则即可求解．解：（1）∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，又∵∠ABD＝∠C，∴△EBD∽△DCB，∴，∴，解得：BD＝±6（负值舍去），∴BD＝6；（2）∵DE∥BC，∴△AED∽△ABC，∴，∴，∴AB＝，∴，∵，∴＝＝．21．如图，在△ABC中，sin∠BAC＝，AB＝13，AC＝7.2，BD⊥AC，垂足为点D，点E 是BD的中点，AE与BC交于点F．（1）求：∠CBD的正切；（2）求的值．【分析】（1）先根据三角函数值求AD的长，由勾股定理得BD的长，根据三角函数定义可得结论；（2）作平行线，构建平行线分线段成比例定理可设CG＝2x，FG＝5x，分别表示BF和FC的长，代入可得结论．解：（1）∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，Rt△ADB中，AB＝13，sin∠BAC＝，∴BD＝5，由勾股定理得：AD＝＝＝12，∵AC＝7.2，∴CD＝12﹣7.2＝4.8，∴∠CBD的正切＝＝＝；（2）过D作DG∥AF交BC于G，由（1）得，AC＝7.2，CD＝4.8，∵DG∥AF，∴＝＝，设CG＝2x，FC＝3x，则FG＝2x+3x＝5x，∵EF∥DG，BE＝ED，∴BF＝FG＝5x，∴＝＝．22．我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，且AB＝AC，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D已滑动到点D'的位置，且A，B，D′三点共线，AD′＝40cm，B为AD′中点．当∠BAC＝140°时，伞完全张开．（1）求AB的长．（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）【分析】（1）根据中点定义即可求出AB的长；（2）过点B作BE⊥AD于点E,根据等腰三角形的性质可得AD＝2AE,然后利用锐角三角函数可得AE的长，所以AD＝2AE＝13.6cm，进而可得伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离．解：（1）∵B为AD′中点，∴AB＝AD′,∵AD′＝40cm，∴AB＝20cm；（2）如图，过点B作BE⊥AD于点E,∵AB＝BD,∴AD＝2AE,∵AP平分∠BAC,∠BAC＝140°,∴∠BAE＝BAC＝70°,在Rt△ABE中，AB＝20cm∴AE＝AB•cos70°≈20×0.34＝6.8(cm),∴AD＝2AE＝13.6(cm),∵AD′＝40cm，∴40﹣13.6＝26.4(cm)．∴伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为26.4cm．23．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BC，点E是AB中点，联结CE、DE，AC与DE 相交于点F，BE2＝EF•ED．（1）求证：CE⊥DE；（2）求证：AB2＝2CD•BC．【分析】（1）由点E是AB的中点，可得AE＝BE，从而证明△AEF∽△DEA，得∠EAF＝∠EDA，再证∠ECF＝∠EAF，从而∠DAF＝∠ECF，即可证明；（2）由∠CED＝∠DAC＝90°，得C，E，A，D四点共圆，证明△ABC∽△DCE，得，则有DC•BC＝AB•CE，而EC＝AB，代入即可．【解答】证明：（1）∵AC⊥BC，AD∥BC，∴AC⊥AD，∴∠CAD＝90°，∵E为AB的中点，∴AE＝BE，∵BE2＝EF•ED，∴AE2＝EF•ED，且∠AEF＝∠DEA，∴△AEF∽△DEA，∴∠EAF＝∠EDA，∵CE＝＝AE＝BE，∴∠EAF＝∠ECA，∴∠ECF＝∠ADF，∵∠FAD+∠ADF＝∠FEC+∠FCE，∴∠FEC＝∠FAD＝90°，∴CE⊥DE；（2）∵∠CED＝∠DAC＝90°，∴C，E，A，D四点共圆，∴∠EDC＝∠BAC，∵∠EDC＝∠ACB＝90°，∴△ABC∽△DCE，∴，∴DC•BC＝AB•CE，∵CE＝，∴＝CD•BC，∴AB2＝2CD•BC．24．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，0），点B在直线l：y＝x上且位于第三象限，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于第二象限内的点C．（1）设BC与AO相交于点D，①若BA＝BO，求证：CD＝CO；②求：点A到直线l的距离；（2）是否存在点B，使得以A、B、C为顶点的三角形与以点B、C、O为顶点的三角形相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由．【分析】（1）①由BC⊥AB，CO⊥BO，可得∠ABC＝∠BOC＝90°，利用同角的余角相等、对顶角相等及等边对等角，即可证得结论；②如图1，过点A作AE⊥OA交直线l于点E，作AH⊥l于点H，运用勾股定理和面积法即可得出答案；（2）①过点A作AH⊥OB于点H，当点B在线段OH或OH的延长线上时，如图2，图3，设OB＝x，则BH＝|16﹣x|，由勾股定理可得AB＝，根据△ABH∽△BCO，可得OC＝|16﹣x|，利用勾股定理得BC＝，以A、B、C为顶点的三角形与以点B、C、O为顶点的三角形相似，分两种情况：（i）若＝，可求得OB＝8；（ii）若＝，可求得OB＝8﹣4或8+4，②当点B在线段HO 的延长线上时，如图4，同理可求得OB＝4﹣8．【解答】（1）①证明：∵BC⊥AB，CO⊥BO，∴∠ABC＝∠BOC＝90°，∴∠BAD+∠ADB＝∠COD+∠DOB＝90°，∵BA＝BO，∴∠BAD＝∠DOB，∴∠ADB＝∠COD，∵∠ADB＝∠CDO，∴∠COD＝∠CDO，∴CD＝CO；②解：如图1，过点A作AE⊥OA交直线l于点E，作AH⊥l于点H，∵A（﹣4，0），∴E（﹣4，﹣），∴OA＝4，AE＝，∴OE＝＝＝17，∵AE•OA＝AH•OE，∴AH＝＝＝4，∴点A到直线l的距离为4；（2）解：存在点B，使得以A、B、C为顶点的三角形与以点B、C、O为顶点的三角形相似，理由如下：①过点A作AH⊥OB于点H，当点B在线段OH或OH的延长线上时，如图2，图3，由（1）②可知：AH＝4，OA＝4，∵∠AHO＝90°，∴OH＝＝＝16，设OB＝x，则BH＝|16﹣x|，∴AB＝＝，∵CO⊥BO，AH⊥BO，AB⊥BC，∴∠AHB＝∠BOC＝∠ABC＝90°，∴∠ABH+∠CBO＝∠ABH+∠BAH＝90°，∴∠CBO＝∠BAH，∴△ABH∽△BCO，∴＝，即＝，∴OC＝|16﹣x|，Rt△BOC中，BC＝＝＝，∵∠ABC＝∠BOC＝90°，∴以A、B、C为顶点的三角形与以点B、C、O为顶点的三角形相似，分两种情况：（i）若＝，∴AB•OC＝BC•OB，∴×|16﹣x|＝•x，解得：x＝8，∴OB＝8；（ii）若＝，∴AB•OB＝BC•OC，∴•x＝•|16﹣x|，解得：x＝8±4或8±4（舍去），∴OB＝8﹣4或8+4，②当点B在线段HO的延长线上时，如图4，由（1）②可知：AH＝4，OA＝4，OH＝16，设OB＝x，则BH＝16+x，AB＝＝，∵CO⊥BO，AH⊥BO，AB⊥BC，∴∠AHB＝∠BOC＝∠ABC＝90°，∴∠ABH+∠CBO＝∠ABH+∠BAH＝90°，∴∠CBO＝∠BAH，∴△ABH∽△BCO，∴＝，即＝，∴OC＝（16+x），Rt△BOC中，BC＝＝＝，∵∠ABC＝∠BOC＝90°，∴以A、B、C为顶点的三角形与以点B、C、O为顶点的三角形相似，需要满足＝，∴AB•OB＝BC•OC，∴•x＝•（16+x），解得：x＝4﹣8或﹣4﹣8（舍去），∴OB＝4﹣8；综上所述，以A、B、C为顶点的三角形与以点B、C、O为顶点的三角形相似，则OB的长度为：8或8﹣4或8+4或4﹣8．25．如图，在菱形ABCD中，∠ABC是锐角，E是BC边上的动点，将射线AE绕点A按逆时针方向旋转，交直线CD于点F．（1）当AE⊥BC，∠EAF＝∠ABC时，①求证：AE＝AF；②连结BD，EF，若，求的值；（2）当∠EAF＝∠BAD时，延长BC交射线AF于点M，延长DC交射线AE于点N，连结AC，MN，若AB＝4，AC＝2，则当CE为何值时，△AMN是等腰三角形．【分析】（1）①证△ABE≌△ADF（ASA），即可得出结论；②连接AC，证△CEF∽△CBD，得＝＝，设EC＝2a，则AB＝BC＝5a，BE＝3a，由勾股定理得AE＝4a，再证△AEF∽△BAC，得＝（）2＝，即可求解；（2）证△MAC∽△ANC，得＝，分三种情况：①当AM＝AN时，则△ANC≌△MAC，得CN＝AC＝2，证△CEN∽△BEA，得＝＝，则CE＝BC＝；②当NA＝NM时，则∠NMA＝∠NAM，证△ANM∽△ABC，得＝＝，则CN＝2AC＝4＝AB，得△CEN≌△BEA（AAS），则CE＝BE＝BC＝2；③当MA＝MN时，则∠MNA＝∠MAN＝∠BAC＝∠BCA，证△AMN∽△ABC，得＝＝2，则CN＝AC＝1，进而求解即可．【解答】（1）①证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADC，AD∥BC，∵AE⊥BC，∴AE⊥AD，∴∠ABE+∠BAE＝∠EAF+∠DAF＝90°，∵∠EAF＝∠ABC，∴∠BAE＝∠DAF，∴△ABE≌△ADF（ASA），∴AE＝AF；②解：连接AC，如图1所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝DC，AC⊥BD，由①知，△ABE≌△ADF，∴BE＝DF，∴CE＝CF，∵AE＝AF，∴AC⊥EF，∴EF∥BD，∴△CEF∽△CBD，∴＝＝，设EC＝2a，则AB＝BC＝5a，BE＝3a，∴AE＝＝＝4a，∵＝，∠EAF＝∠ABC，∴△AEF∽△BAC，∴＝（）2＝（）2＝，∴＝＝×＝；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAC＝∠BAD，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠BAC＝∠EAF，∴∠BAE＝∠CAM，∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠ANC，∴∠ANC＝∠CAM，同理：∠AMC＝∠NAC，∴△MAC∽△ANC，∴＝，△AMN是等腰三角形有三种情况：①当AM＝AN时，如图2所示：∵∠ANC＝∠CAM，AM＝AN，∠AMC＝∠NAC，∴△ANC≌△MAC（ASA），∴CN＝AC＝2，∵AB∥CN，∴△CEN∽△BEA，∴＝＝＝，∵BC＝AB＝4，∴CE＝BC＝；②当NA＝NM时，如图3所示：则∠NMA＝∠NAM，∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∵∠BAC＝∠EAF，∴∠NMA＝∠NAM＝∠BAC＝∠BCA，∴△ANM∽△ABC，∴＝＝，∴＝＝，∴CN＝2AC＝4＝AB，∴△CEN≌△BEA（AAS），∴CE＝BE＝BC＝2；③当MA＝MN时，如图4所示：则∠MNA＝∠MAN＝∠BAC＝∠BCA，∴△AMN∽△ABC，∴＝＝＝2，∴CN＝AC＝1，∵△CEN∽△BEA，∴＝＝，∴CE＝BC＝；综上所述，当CE为或2或时，△AMN是等腰三角形．。
2021-2022学年上海市长宁区新泾中学九年级(上)期中数学试卷
2021-2022学年上海市长宁区新泾中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．下列函数是二次函数的是（）A．y＝3x﹣1B．y＝（x﹣3）2﹣x2C．y＝D．y＝2x2﹣2x+12．二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3图像的顶点坐标是（）A．（﹣1，3）B．（1，3）C．（﹣1，﹣3）D．（1，﹣3）3．已知线段a＝2，b＝4，如果线段b是线段a和c的比例中项，那么线段c的长度是（）A．2B．6C．8D．24．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，联结AE并延长交BC的延长线于点F，若AD＝3CF，那么下列结论中正确的是（）A．FC：FB＝l：3B．CE：CD＝1：3C．CE：AB＝1：4D．AE：AF＝1：2 5．如图，下列各比例式不一定能推得DE∥BC的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝6．如果a＜0、b＞0，c＞0，那么二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图像是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．已知a：b＝5：2，则（a﹣b）：b＝．8．在比例尺为1：10000的地图上，相距5厘米的两地A、B的实际距离为米．9．AD是△ABC的中线，G是重心，且AG＝2，则AD＝．10．如图，直线AB∥CD∥EF，AC：CE＝2：3，AB＝5，CD＝7，则EF＝．11．已知线段AB的长度为4厘米，点P是AB的黄金分割点，P A＞PB，线段P A的长是厘米．12．抛物线y＝（a﹣2）x2在对称轴左侧的部分是上升的，那么a的取值范围是．13．将二次函数y＝x2﹣2x+2的图像向下平移m（m＞0）个单位后，它的顶点恰好落在x 轴上，那么m的值等于．14．如图，∠DAB＝∠CAE，请你再添加一个条件，使得△ADE∽△ABC．15．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，如果＝＝，那么△ADE与四边形DECB的面积的比是．16．如图，矩形DEFG的点D、G分别在边AB、AC上，点E、F在边BC上，DG＝2DE，AH是△ABC的高，BC＝20，AB＝15，那么矩形DEFG的周长是．17．如果抛物线L：y＝ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，且a≠0）与直线l都经过y轴上的同一点，且抛物线L的顶点P在直线l上，那么称该直线l是抛物线L的“梦想直线”如果直线l：y＝nx+1（n是常数）是抛物线L：y＝x2﹣2x+m（m是常数）的“梦想直线”，那么m+n的值是．18．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝6，将△ABC翻折，使得点A落到边BC上的点A′处，折痕分别交边AB、AC于点E、点F，如果A′F∥AB，那么BE＝．三、简答题（每题10分，共40分）19．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图像经过点A（﹣3，0）、点B（0，﹣3）和点C（2，5），求该二次函数的解析式，并写出图像的对称轴和顶点坐标．20．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，点D、E分别在线段AB、AC上，BD＝2，CE＝5．求证：△AED∽△ABC．21．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，ED∥BC，ED与BE相较于点F，AE ＝3，DF＝2，CF＝5．（1）求的值；（2）求EC的长．22．如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．（1）求证：△ABE∽△DF A；（2）若AB＝6，BC＝4，求DF的长．四、解答题（共38分）23．如图，已知在△ABC中，AD是△ABC的中线，∠DAC＝∠B，点E在边AD上，CE＝CD．（1）求证：＝；（2）求证：AC2＝2AE•AD．24．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）经过点A（4，﹣5），与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC＝5OB，抛物线的顶点为D．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结AB、BC、CD、DA，求四边形ABCD的面积；（3）如果点E在y轴的正半轴上，且∠BEO＝∠ABC，求点E的坐标．25．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝18，DB＝DC＝15，点E、F分别在线段BD、CD上，DE＝DF＝5．AE的延长线交边BC于点G，AF交BD于点N、其延长线交BC 的延长线于点H．（1）求证：BG＝CH；（2）设AD＝x，△ADN的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结FG，当△HFG与△ADN相似时，求AD的长．。
上海市长宁区省吾中学2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷
D．在平行四边形 ABCD 中，
5．如图，△ABC 在边长为 1 个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形的顶点位置．如
果△ABC 的面积为 10，且 sinA＝ 5 ，那么点 C 的位置可以在（ ）
5
A．点 C1 处
B．点 C2 处
C．点 C3 处
D．点 C4 处
6．已知点 D 在 VABC 的边 BC 上，联结 AD ，如果△ ABD 与VACD 相似，那么下列四个
够判断 DE / /BC 的是（ ）
A． DE 1 BC 4
B． AD 1 AB 4
4．下列判断错误的是（ ）．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A．若
k
0
或
ar
r 0
，则
kar
r 0
C． AE 1 AC 4
D． AE 1 EC 4
B．若 m 为实数，则 m
ar
r b
mar
r mb
C．若 ar ∥er ，则 ar ar er uuur uuur uuur AD AB BD
19．计算：
1 2 cos 30 cot 45
tan 60
sin2
45
．
20．如图，在平行四边形 ABCD 中， AD 2 ，点 E 是边 BC 的中点， AE 、 BD 相交于
点 F，过点 F 作 FG∥BC ，交边 DC 于点 G．
(1)求 FG 的长；
(2)设
uuur AB
ar
，
uuur CB
试卷第 5 页，共 5 页
r b
，用
ar
、
r b
表示
uuur AF
．
21．如图，在 VABC 中， AD 是边 BC 上的中线， AB 12 ， AC 10， cos CAB 4 ． 5
精品解析：上海市长宁区新泾中学2021-2022学年九年级上学期期中数学试题(解析版)
2021－2022学年上海市长宁区新泾中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.下列函数是二次函数的是（）A.y ＝3x ﹣1B.y ＝（x ﹣3）2﹣x 2C.y ＝21x D.y ＝2x 2﹣2x ＋1【答案】D【解析】【分析】由二次函数的定义：形如()20y ax bx c a =++≠，则y 是x 的二次函数，从而可得答案．【详解】解：A ．自变量x 的次数不是2，故A 不是二次函数，不符合题意；B ．()223y x x =--整理后得到69y x =-+，是一次函数，故B 不是二次函数，不符合题意；C ．由221y x x-==可知，自变量x 的次数不是2，故C 不是二次函数，不符合题意；D ．2221y x x =-+是二次函数的一般式，故D 是二次函数，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查的是二次函数的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键．2.二次函数()213y x =--+图象的顶点坐标是（）A.()1,3-B.()1,3C.()1,3--D.()1,3-【答案】B【解析】【分析】根据二次函数顶点式即可得出顶点坐标．【详解】解：∵二次函数的解析为2(1)3y x =--+，∴二次函数图像顶点坐标为（1，3）.故选B ．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y =a （x -h ）2+k 中，对称轴为x =h ，顶点坐标为（h ，k ）．3.已知线段a ＝2，b ＝4，如果线段b 是线段a 和c 的比例中项，那么线段c 的长度是（）A. B.6 C.8 D.2【答案】C【解析】【分析】根据比例线段的定义列式求解即可，在同一单位下，四条线段长度为a、b、c、d，其关系为a∶b=c∶d，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段；如果三个数a，b，c满足比例式a∶b=b∶c，则b就叫做a，c的比例中项．=，【详解】解：由题意，2b ac=，∴242cc=，∴8故选：C．【点睛】本题考查比例线段，理解比例线段的定义，找准对应关系是解题关键．4.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，联结AE并延长交BC的延长线于点F，若AD=3CF，那么下列结论中正确的是（）A.FC：FB=1：3B.CE：3C.CE：AB=1：4D.AE：AF=1：2．【答案】C【解析】【详解】试题解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC,AD=BC,AB=DC∴△ADE∽△FCE∴AD:FC=AE:FE=DE:CE∵AD=3FC∴AD:FC=3:1∴FC:FB=1:4，故A错误；∴CE：CD=1：4，故B错误；∴CE:AB=CE:CD=1:4，故C正确；∴AE：AF=3:4，故D错误.故选C．5.如图，下列各比例式不一定能推得DE ∥BC 的是（）A.AD BD ＝AE CEB.AD AB ＝AE ACC.AB BD ＝AC CED.AD AB ＝DE BC 【答案】D【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理进行判断即可．【详解】解：当AD BD ＝AE CE 、AD AB ＝AE AC 、AB BD ＝AC CE时，均可直接判断DE ∥BC ，当AD AB =DE BC时，不一定有DE ∥BC 成立，故选：D ．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应边是解题关键．6.如果a 0,b 0,c 0<>>，那么二次函数2y ax bx c =++的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据a 、b 、c 的符号，可判断抛物线的开口方向，对称轴的位置，与y 轴交点的位置，作出选择．【详解】由a ＜0可知，抛物线开口向下，排除.D ；由a ＜0，b>0可知，对称轴x=-b2a-b2a ＞0，在y 轴右边，排除B ；由c ＜0可知，抛物线与y 轴交点(0,c)在x 轴下方，排除C ；故答案为：D ．【点睛】本题考查的是二次函数，熟练掌握二次函数的图像是解题的关键．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.已知a ：b ＝5：2，则（a ﹣b ）：b ＝___．【答案】32##3：2【解析】【分析】由比例的性质，先求出-a b ，然后再计算比值即可．【详解】∵:5:2a b =，∴设5,2a k b k ==，∴523a b k k k -=-=，则3():3:23:22a b b k k -===．故答案为：32．【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质进行解题．8.在比例尺为1：10000的地图上，相距5厘米的两地A 、B 的实际距离为___米．【答案】500【解析】【分析】设相距5厘米的两地A 、B 的实际距离为x 厘米，根据题意可得方程5110000x =，解此方程即可求得答案．【详解】解：设相距5厘米的两地A 、B 的实际距离为x 厘米，根据题意得：5110000x =，解得：x =50000，经检验，x =50000是上述方程的解，∵50000cm=500m ，∴相距5厘米的两地A 、B 的实际距离为500m ，故答案为：500．【点睛】本题考查比例线段，比例尺．解题的关键是注意理解题意，根据题意列方程，注意单位之间的换算．9.如图△ABC 中，G 为重心，若AG =2，则AD =______【答案】3【解析】【分析】根据G 是△ABC 的重心，利用重心的性质求出GD ，然后再将AG +GD ，即可求出AD ．【详解】解：∵G 为△ABC 的重心，∴112122DG AG ==⨯=，∴213AD AG DG =+=+=．故答案为：3【点睛】此题主要考查了三角形重心的性质熟练掌握重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，求出GD 是解题的关键．10.如图，直线AB ∥CD ∥EF ，AC ：CE ＝2：3，AB ＝5，CD ＝7，则EF ＝___．【答案】10【解析】【分析】连接AF 交CD 于点H ，根据相似三角形的性质求解即可．【详解】解：连接AF 交CD 于点H ，如下图：∵直线AB ∥CD ∥EF ，AC ：CE ＝2：3，∴25AC BD AE BF ==，35FD BF =∵CD AB∥∴FDH FBA△∽△∴35DH FD AB BF ==，即355DH =，解得3DH =∴4CH CD DH =-=∵CD EF∥∴ACH AEF△∽△∴25AC CH AE EF ==，即425EF =，解得10EF =故答案为10【点睛】此题考查了平行线的性质，涉及了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．11.已知线段AB 的长度为4厘米，点P 是AB 的黄金分割点，PA ＞PB ，线段PA 的长是___厘米．【答案】()2-##(【解析】【分析】根据黄金比值可知512PB AP AP AB -==，将AB 代入计算即可．【详解】解： 点P 是线段AB AP BP ＞），∴512PB AP AP AB-==，可知122AP AB -==-（厘米），故答案为：()2-．【点睛】本题考查的是黄金分割比，属于基础题，掌握黄金比值512-是解题的关键．12.抛物线()22y a x =-在对称轴左侧的部分是上升的，那么a 的取值范围是____________.【答案】2a <【解析】【分析】利用二次函数的性质得到抛物线开口向下，则a-2＜0，然后解不等式即可．【详解】∵抛物线y=（a-2）x 2在对称轴左侧的部分是上升的，∴抛物线开口向下，∴a-2＜0，解得a ＜2．故答案为a ＜2．【点睛】此题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键在于掌握二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时，对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时，对称轴在y 轴右．13.将二次函数222y x x -=+的图像向下平移()0m m >个单位后，它的顶点恰好落在x 轴上，那么m 的值等于__________.【答案】1【解析】【分析】利用平移的性质得出平移后解析式，进而得出其顶点坐标，再代入直线y=0求出即可．【详解】y=x 2-2x+2=（x-1）2+1，∴将抛物线y=x 2-2x+2沿y 轴向下平移1个单位，使平移后的抛物线的顶点恰好落在x 轴上，∴m=1，故答案为：1．【点睛】此题考查二次函数的性质，二次函数的平移，正确记忆二次函数平移规律是解题关键．14.如图，∠DAB=∠CAE ，请补充一个条件：________________，使△ABC ∽△ADE ．【答案】解：∠D=∠B 或∠AED=∠C ．【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理再补充一个相等的角即可．【详解】解：∵∠DAB=∠CAE∴∠DAE=∠BAC∴当∠D=∠B 或∠AED=∠C 或AD ：AB=AE ：AC 或AD•AC=AB•AE 时两三角形相似．故答案为∠D=∠B （答案不唯一）．15.如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，如果AD DB ＝AE EC ＝12，那么△ADE 与四边形DECB 的面积的比是___．【答案】18##1：8【解析】【分析】根据已知条件可证明△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质即可得到△ADE与△ABC的面积比，从而得出结论即可．【详解】解：∵12 AD AEDB EC==，∴13 AD AEAB AC==，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC；∴21139ADEABCSS⎛⎫==⎪⎝⎭，∴18ADEDECBSS=四边形，故答案为：1 8．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方是解答此题的关键．16.如图，矩形DEFG的点D、G分别在边AB、AC上，点E、F在边BC上，DG＝2DE，AH是△ABC的高，BC＝20，AH＝15，那么矩形DEFG的周长是___．【答案】36【解析】【分析】根据相似三角形的判定和性质求解即可．【详解】解：在矩形DEFG中，DG EF∥∴ADG ABC∽∵AH 是△ABC 的高，∴DG AH DE BC AH -=，即2152015DE DE -=解得6DE =∴212DG DE ==，∴矩形DEFG 的周长2(612)36=⨯+=．故答案为36．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．17.如果抛物线L ：y=ax 2+bx+c （其中a 、b 、c 是常数，且a≠0）与直线l 都经过y 轴上的同一点，且抛物线的顶点P 在直线l 上，那么称该直线l 是抛物线L 的“梦想直线”如果直线l ：y=nx+1（n 是常数）是抛物线L ：y=x 2﹣2x+m （m 是常数）的“梦想直线”，那么m+n 的值是_____．【答案】0．【解析】【分析】由直线可求得与y 轴的交点坐标，代入抛物线可求得n 的值，再由抛物线解析式可求得其顶点坐标，代入直线解析式可求得m 的值．【详解】在y =nx +1中，令x =0可求得y =1，在y =x 2﹣2x +m 中，令x =0可得y =m ．∵直线与抛物线都经过y m =1，∴抛物线解析式为y =x 2﹣2x +1=（x ﹣1）2，∴抛物线顶点坐标为（1，0）．∵抛物线顶点在直线上，∴0=n +1，解得：n =﹣1，∴m +n =0．故答案为0．【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，理解题目中“梦想直线”的定义是解题的关键．18.如图，△ABC 中，AB ＝5，AC ＝6，将△ABC 翻折，使得点A 落到边BC 上的点A′处，折痕分别交边AB 、AC 于点E ，点F ，如果A′F ∥AB ，那么BE ＝_____．【答案】2511【解析】【分析】设BE＝x，则AE＝5﹣x＝AF＝A'F，CF＝6﹣(5﹣x)＝1+x，依据△A'CF∽△BCA，可得' CF A F CA BA=，即16x+＝55x-，进而得到BE＝2511．【详解】解：如图，由折叠可得，∠AFE＝∠A'FE，∵A'F∥AB，∴∠AEF＝∠A'FE，∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF，由折叠可得，AF＝A'F，设BE＝x，则AE＝5﹣x＝AF＝A'F，CF＝6﹣(5﹣x)＝1+x，∵A'F∥AB，∴△A'CF∽△BCA，∴'CF A FCA BA=，即16x+＝55x-，解得x＝25 11，∴BE＝25 11，故答案为25 11．【点睛】本题主要考查了折叠问题以及相似三角形的判定与性质的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．三、简答题（每题10分，共40分）19.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象经过点A（﹣3，0）、点B（0，﹣3）和点C（2，5），求该二次函数的解析式，并指出图象的对称轴和顶点坐标．【答案】对称轴为直线x=﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣4）．【解析】【分析】根据待定系数法求抛物线代解析式即可．【详解】解：把点A （﹣3，0）、点B （0，﹣3）和点C （2，5）代入二次函数y=ax 2+bx+c 中，得9303425a b c c a b c ＝①＝②，＝③-+⎧⎪-⎨⎪++⎩解得123a b c ＝＝，＝⎧⎪⎨⎪-⎩∴抛物线代解析式为y=x 2+2x ﹣3，化为顶点式为y=（x+1）2﹣4，∴对称轴为直线x=﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣4）．【点睛】本题考查用待定系数法求抛物线代解析式，掌握待定系数法和顶点坐标的求法是解题的关键．20.如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，点D 、E 分别在线段AB 、AC 上，BD ＝2，CE ＝5，求证：△AED ∽△ABC．【答案】见解析【解析】【分析】首先计算AE AB 和AD AC ，得到AE AD AB AC =，结合∠A 为公共角，即可证明结论．【详解】证明：∵AB ＝6，AC ＝8，BD ＝2，CE ＝5，∴3AE AC CE =-=，4AD AB BD =-=，∵3162AE AB ==，4182AD AC ==，∴AE AD AB AC =，又∵∠DAE =∠CAB ，∴△AED ∽△ABC ．【点睛】本题考查相似三角形的判定，理解并熟练运用相似三角形的判定方法是解题关键．21.如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，ED ∥BC ，DC 与BE 相较于点F ，AE ＝3，DF ＝2，CF ＝5（1）求DE BC的值；（2）求EC 的长．【答案】（1）25DE BC =；（2）92【解析】【分析】（1）根据ED ∥BC 可得DFE CFB ∽，从而得出DF DE CF CB =；（2）根据ED ∥BC 可得ADE ABC △△∽，从而得出DE AE BC AC =，进一步可得解．【详解】解：（1）∵ED ∥BC ，∴,FDE FCB FED FBC ∠=∠∠=∠，∴DFE CFB ∽，∴DF DE CF CB =，即25DE BC =；（2）∵ED ∥BC ，∴,ADE ABC AED ACB ==∠∠∠∠，∴ADE ABC △△∽，∴DE AE BC AC =，即235AC =，解得：152AC =，∴159322EC AC AE =-=-=．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据平行线得出DFE CFB ∽以及ADE ABC △△∽是解本题的关键．22.如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，DF AE ⊥，垂足为F ．（1）求证：ABE DFA ∆∆∽；（2）若6AB =，4BC =，求DF 的长．【答案】（1）见解析；（2）5DF =【解析】【分析】根据矩形的性质可得，90B ∠=︒，AD BC ∥．再根据“两直线平行，内错角相等”可得AEB DAF ∠=∠，再由垂直的定义可得90DFA ∠=︒．从而得出B DFA ∠=∠，再根据“有两组角对应相等的两个三角形相似”可得出结论；根据中点的定义可求出BE=2，然后根据勾股定理求出AE=.再根据相似三角形的性质求解即可.【详解】证明：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴90B ∠=︒，AD BC ∥．∴AEB DAF ∠=∠，∵DF AE ⊥，∴90DFA ∠=︒．∴B DFA ∠=∠，∴ABE DFA ∆∆∽．解：（2）∵ABE DFA ∆∆∽，∴AB AE DF AD=．∵4BC =，E 是BC 的中点，∴114222BE BC ==⨯=．∴在Rt ABE ∆中，AE ==又∵4AD BC ==，∴64DF =，∴5DF =．【点晴】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键.四、解答题（共38分）23.如图，已知在ABC 中，AD 是ABC 的中线，∠DAC =∠B ，点E 在边AD 上，CE =CD .（1）求证：AC BD AB AD=；（2）求证：22AC AE AD =⋅.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）由CE=CD=BD 转化比例式,再证出△ACE ∽△BAD 即可；（2）由（1）中相似可得出，DC 2=AD •AE ①，再证△ACD ∽△BCA ，得出AC 2=BC ·CD=2CD 2②，结合①②即可得出结果．【详解】证明：（1）∵AD 为△ABC 的中线，∴BD=CD ，∵CD=CE ，∴BD=CD=CE ，∴∠CDE=∠CED ，∵∠CDE=∠B+∠BAD ，∠CED=∠DAC+∠ACE ，∠DAC=∠B ，∴∠BAD=∠ACE∵△ACE ∽△BAD ，∴AC EC AB AD =∴AC BD AB AD =；（2）∵△ACE ∽△BAD ，∴AE EC BD AD=，∴BD •CE=AE •AD ，∴DC 2=AD •AE ①．∵∠DAC =∠B ，∠ACD=∠ACB ，∴△ACD ∽△BCA ，∴AC CD BC AC=∴AC 2=BC ·CD=2CD 2②,∴由①②可得，22AC AE AD =⋅.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明三角形相似得出比例式是解题的关键．24.如图，抛物线25y ax bx =+-（0a ≠）经过点(4,5)A -，与x 轴的负半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，且5OC OB =，抛物线的顶点为D ．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结BC 、CD 、DA 、AB ，求四边形ABCD 的面积；（3）如果点E 在y 轴的正半轴上，且BEO ABC ∠=∠，求点E 的坐标．【答案】（1）245y x x =--；（2）18；（3）E 3(0,2．【解析】【分析】（1）先求出C 、B 的坐标，代入抛物线的解析式即可得到结论；（2）求出D 的坐标，由ABC ACD ABCD S S S ∆∆=+四边形计算即可；（3）过点C 作CH AB ⊥，垂足为点H ，由△ABC 的面积求出CH 的长，在Rt △BCH 中，求出tan ∠CBH ，在Rt △BOE 中，根据tan ∠BEO ，即可得出E 的坐标．【详解】（1）∵抛物线25y ax bx =+-与y 轴交于点C ，(0,5)C -，∴5OC =．∵5OC OB =，∴1OB =．又点B 在x 轴的负半轴上，∴(1,0)B -．∵抛物线经过点(4,5)A -和点(1,0)B -，∴16455{50a b a b +-=---=，解得1{4a b ==-，∴这条抛物线的表达式为245y x x =--；（2）由245y x x =--，得顶点D 的坐标是(2,9)-．联结AC ，∵点A 的坐标是(4,5)-，点C 的坐标是(0,5)-，又145102ABC S ∆=⨯⨯=，14482ACD S ∆=⨯⨯=，∴18ABC ACD ABCD S S S ∆∆=+=四边形；（3）过点C 作CH AB ⊥，垂足为点H ．∵1102ABC S AB CH ∆=⨯⨯=，AB =∴CH =．在Rt BCH ∆中，90BHC ∠=︒，BC =BH ==，∴2tan 3CH CBH BH ∠==；在Rt BOE ∆中，90BOE ∠=︒，tan BO BEO EO∠=．∵BEO ABC ∠=∠，∴23BO EO =，得32EO =，∴点E 的坐标为3(0,2．考点：二次函数的图象，二元一次方程组，三角函数，三角形的面积．25.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝18，DB ＝DC ＝15，点E 、F 分别在线段BD 、CD 上，DE ＝DF ＝5．AE 的延长线交边BC 于点G ，AF 交BD 于点N 、其延长线交BC 的延长线于点H ．（1）求证：BG ＝CH ；（2）设AD ＝x ，△ADN 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结FG ，当△HFG 与△ADN 相似时，求AD 的长．【答案】（1）见解析；（2）22(09)+6x y x x =<≤；（3）当△HFG 与△ADN 相似时，AD 的长为3或2．【解析】【分析】（1）由AD ∥BC 知AD DE BG EB =，AD DF CH FC =，结合DB ＝DC ＝15，DE ＝DF ＝5知12DE DF EB FC ==，从而得AD AD BG CH =，据此可得答案；（2）作DP ⊥BC ，NQ ⊥AD ，求得BP ＝CP ＝9，DP ＝12，由12AD DE BG EB ==知BG ＝CH ＝2x ，BH ＝18+2x ，根据AD DN BH NB =得18215x DN DN x x NB DN ==+++，即56x DN x =+，再根据NQ PD DN BD =知46x NQ x =+，由三角形的面积公式可得答案；（3）分∠ADN ＝∠FGH 和∠ADN ＝∠GFH 两种情况分别求解可得．【详解】（1）∵AD ∥BC ，∴AD DE BG EB =，AD DF CH FC=．∵DB ＝DC ＝15，DE ＝DF ＝5，∴12DE DF EB FC ==，∴AD AD BG CH =．∴BG ＝CH ．（2）过点D 作DP ⊥BC ，过点N 作NQ ⊥AD ，垂足分别为点P 、Q ．∵DB ＝DC ＝15，BC ＝18，∴BP ＝CP ＝9，DP ＝12．∵12AD DEBG EB ==，∴BG ＝CH ＝2x ，∴BH ＝18+2x ．∵AD ∥BC ，∴AD DNBH NB =，∴182x DN x NB =+，∴18215x DNDNx x NB DN ==+++，∴56xDN x =+．∵AD ∥BC ，∴∠ADN ＝∠DBC ，∴sin ∠ADN ＝sin ∠DBC ，∴NQ PD DN BD =，∴46xNQ x =+．∴21142••2266x x y AD NQ x x x===++（0<x≤9）．（3）∵AD ∥BC ，∴∠DAN ＝∠FHG ．（i ）当∠ADN ＝∠FGH 时，∵∠ADN ＝∠DBC ，∴∠DBC ＝∠FGH ，∴BD ∥FG ，∴BG DF BC DC =，∴51815BG =，∴BG ＝6，∴AD ＝3．（ii ）当∠ADN ＝∠GFH 时，∵∠ADN ＝∠DBC ＝∠DCB ，又∵∠AND ＝∠FGH ，∴△ADN∽△FCG．∴AD FC DN CG=，∴5•(182)106xx xx-=⨯+，整理得x2﹣3x﹣29＝0，解得3552x+=，或3552x-=（舍去）．综上所述，当△HFG与△ADN相似时，AD的长为3或32x+=．【点睛】本题是相似三角形的综合问题，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质、分类讨论思想的运用等知识点．。
2022-2023学年上海市部分学校九年级(上)期中数学试卷(含解析)
2022-2023学年上海市部分学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知3x=4y(y≠0).那么下列各式正确的是( )A. x：y=3：4B. x：y=4：3C. x：y=1：3D. x：y=1：42.在相同时刻的物高与影长成比例．小明的身高为1.5米，在地面上的影长为2米，同时一古塔在地面上的影长为40米，则古塔高为( )A. 60米B. 40米C. 30米D. 25米3.在Rt△ABC中，∠B=90°，如果∠A=α，BC=a，那么AC的长是( )A. a⋅tanαB. a⋅cotαC. acosαD. asinα4.在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判定DE//BC的是( )A. ADDE =ABBCB. ADAE=ABACC. BDAD=CEAED. BDAB=CEAC5.下列命题中，假命题是( )A. 任意两个正方形一定相似B. 任意两个边长相等的菱形一定相似C. 任意两个等边三角形一定相似D. 任意两个等腰直角三角形一定相似6.如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的平分线交BD于E，交DC于F，交BC的延长线于G.那么下列结论正确的是( )A. AE2=EF⋅FGB. AE2=EF⋅AGC. AE2=EG⋅FGD. AE2=EF⋅EG二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.已知ab =23，那么代数式b−aa+b的值是______．8.如果两个相似三角形的面积比是4：9，那么它们对应高的比是______ ．9.已知点P是线段MN的黄金分割点，MP>PN，如果MN=8，那么PM的长是______．10.在比例尺为1：500000的地图上，甲乙两地的距离是3.5厘米，那么甲乙两地的实际距离是______千米．11.两个相似三角形的对应边上中线之比为2：3，周长之和为20cm，则较小的三角形的周长为______．12.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=√3，AB=10，那么BC的长是______．213.如图，已知AD//BE//CF.如果AB=4.8，DE=3.6，EF=1.2，那么AC的长是______．14.在△ABC中，AB=AC=6，∠A=36°，点D在边AC上，如果BD=BC，那么BC的长是______．15.在Rt△ABC中，∠A=90°，已知AB=1，AC=2，AD是∠BAC的平分线，那么AD的长是______．16.已知△ABC∽△DEF，如果△ABC三边长分别是√2，2，2，△DEF的两边长为1，√2，那么它的第三边长是______．17.在△ABC中，∠A=2∠B，如果AC=4，AB=5，那么BC的长是______．18.如图，点E、F分别在边长为1的正方形ABCD的边AB、AD上，BE=2AE、AF=2FD，正方形A′B′C′D′的四边分别经过正方形ABCD的四个顶点，已知A′D′//EF，那么正方形A′B′C′D′的边长是______．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。
上海市嘉定区部分学校联考2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷
C． OA：OB OC：OD
D． OA：OD OC：OB
6．如果点 D 、E 分别在 VABC 的边上，DE ∥BC
,
SVADE
uuur S四边形BCED，BC
ar
，那么
uuur ED
等于（ ） A． 1 ar
2
B． 1 ar 2
C． 2 ar 2
D． 2 ar 2
二、填空题
7．如果
x
y
y
D． AB BC 且 A E DE EF
4．如果点 G 是 VABC 的重心， D 是边 BC 的中点，那么 AG：GD 的值为（ ）
A．2
B． 1
2
C． 2
3
D． 3 2
5．已知 AB 、 CD 相交于点 O ，下列条件中能判断 AC ∥BD 的是（ ）
A． AC：BD OD：OC
B． AC：BD OC：OD
那么 SVAOD：SVBOC ___________．
三、解答题
19．已知：如图，已知两个不平行的向量
ar
、
r b
．求作：
2 3
ar
r 2b
，写出结论，不要求
写作法．
试卷第 2 页，共 4 页
20．已知线段 x，y.
(1)当
x 3y x y
3 2
时，求
x y
的值；(2)当
x 3y x y
x y
时，求
x y
的值.
21．已知：如图，在 VABC 中，点 D 、 E 分别在 AB 、 AC 上， DE 平行于 BC ，点 F 在
BC 边上，且 BAF CFE ， AF 与 DE 相交于点 G．求证： ABgGE EFgAF ．
上海市2022学年九年级数学上学期期中试题
九年级数学上学期期中试题（时间：100分钟 满分：150分）一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置】1、下列函数中，y 关于x 的二次函数是（ ）（A ）12+=x y （B ）22)2(x x y --= （C ）22x y =（D ）)1(2+=x x y 2、下列命题中，正确的是（ ）（A ）所有的矩形都相似； （B ）所有的等腰梯形都相似；（C ）所有的等边三角形都相似； （D ）含有30角的所有等腰三角形都相似3、如图1，已知EF CD AB ////，2:1:=DF BD ，那么下列结论中，正确的是（ ）（A ）3:1:=AE AC （B ）3:1:=EA CE（B ）2:1:=EF CD （D ）2:1:=EF AB4、已知二次函数c bx ax y ++=2的图像如图2所示，那么a 、b 、c 的符号为（ ）（A ）0,0,0>>>c b a （B ）0,0,0><<c b a（C ）0,0,0>><c b a （D ）0,0,0<<<c b a 5、已知a 、b 、c 都是非零向量，下列条件中，不能判断b a //的是（ ）（A ）b a = （B ）b a 3= （C ）c a //，c b // （D ）c b c a 2,2-==6、如图3，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，2=OA ，3=OB ，6=OC ，4=OD ，那么下列结论中，错误的是 （ ）（A ）OBC OAD ∠=∠ （B ）21=CD AB （C ）21=∆∆DOC AOB C C （D ）91=∆∆BOC AOD S S 二、填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）7、如果35=y x ，那么=-yx x . 8、已知点P 在线段AB 上，且AB BP AP ⋅=2，那么AP BP 的值是 . 9、如果二次函数1232++-=m x x y 的图像经过原点，那么m 的值是 .10、将抛物线322+=x y 向右平移5个单位，那么平移后所得的新抛物线的表达式是 .11、二次函数1)1(2+-=x y 的图像与y 轴的交点坐标是 .12、如果点),2(1y A 、),3(2y B 是二次函数122+-=x x y 的图像上两点，那么1y 2y .（填“>”、“=”或“<”）13、已知正方形的边长为3厘米，如果它的边长增加x 厘米，面积随之增加y 平方厘米，那么y 关于x 的函数解析式是 .14、如图4，平行四边形ABCD 中，点E 在边BC 上，AE 交BD 于点F ，如果32=FD BF ，那么BC BE 的值是 .15、如图5，已知△ABC 中，10==AC AB ，16=BC ，点P 、D 分别在边BC 、AC 上，12=BP ，B APD ∠=∠，那么CD 的长是 .16、如图6，在ABC Rt ∆中， 90=∠ACB ，AB CD ⊥于点D ，如果4=CD ，那么BD AD ⋅的值是 .17、已知点G 是△ABC 的重心，设=，=，那么向量用向量、表示为 .18、如图7，在△ABC 中，6=AB ，AC DE //，将△BDE 绕点B 顺时针旋转得到△11E BD ，点1D 落在边BC 上，如果51=BE ，41=C D ，那么BC 的长为 .三、解答题（本大题共7题，满分78分）19. （本题满分10分）如图8，已知两个不平行的向量、. 先化简，再求作：)223()27(+-+.（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的向量）20. （本题第⑴题5分，第⑵题5分，满分10分）已知二次函数的图像经过)1,0(-A 、)3,1(-B 、)3,1(-C 三点.⑴求这个二次函数的解析式；⑵求出图像的顶点坐标.21. （本题第⑴题5分，第⑵题5分，满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线42-=ax y 与x 轴的负半轴交于点A 、与y 轴交于点B ，且52=AB .⑴求a 的值；⑵如果点P 是抛物线上一点，联结AP 交y 轴正半轴于点C ，21=PC AC ，求P 的坐标.22. （本题第⑴题5分，第⑵题5分，满分10分）已知：如图9，CE BDAC AB AE AD==.⑴求证：△ADE ∽△ABC ；⑵如果 90=∠BAC ，6=AB ，53=BC ，2=AE ，求DE 的长.23. （本题第⑴题5分，第⑵题7分，满分12分）已知：如图10，在△ABC 中，AC AB =，AD 是边BC 上的中线，AC BE ⊥于点E ，AD 与BE 交于点H .⑴求证：DA DH BD ⋅=2；⑵过点C 作AB CF //交BE 的延长线于点F .求证：HF HE HB ⋅=224. （本题第⑴题6分，第⑵题6分，满分12分）如图11，在平面直角坐标系xOy 中，直线5+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，抛物线经过A 、B 两点，且对称轴为直线3=x .⑴求抛物线的表达式；⑵如果点Q 是这抛物线上位于x 轴下方的一点，且△ABQ 的面积是10.求点Q 的坐标.25. （本题第⑴题4分，第⑵、⑶题各5分，满分14分）已知：如图12，在ABC Rt ∆中， 90=∠C ，4=AC ，5=AB ，D 是斜边AB 的中点，以D 为顶点，作A EDF ∠=∠，EDF ∠的两边交边AC 于点E 、F （点F 不与点C 重合）⑴当AB DF ⊥时，求CF 的长度；⑵当EDF ∠绕点D 转动时，设x CF =，y CE =，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围. ⑶联结BF ，是否存在点F ，使△BDF 与△ADE 相似？若存在，请求出此时CF 的长度；若不存在，请说明理由.。
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2019-2020学年九上数学期中模拟试卷含答案注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一．选择题（共10小题，满分30分）1．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．方程x2+2x﹣2=0的两根为（）A．B．C．D．3．抛物线y=（x+1）2﹣2可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（）A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位D．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位4．如图，在5×5的正方形格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C均为格点，则扇形ABC中的长等于（）A．2πB．3πC．4πD．π5．一个不透明的袋子里装有质地、大小都相同的3个红球和1个绿球；随机从中摸出一个球，不再放回，充分搅匀后再随机摸出一球，则两次都摸到红球的概率是（）A．B．C．D．6．二次函数y=（2x﹣1）2+2的顶点的坐标是（）A．（1，2）B．（1，﹣2）C．（，2）D．（﹣，﹣2）7．如图，点I是△ABC的内心，若∠AIB=125°，则∠C等于（）A．65°B．70°C．75°D．80°8．在平面直角坐标系xOy中，将点N（﹣1，﹣2）绕点O旋转180°，得到的对应点的坐标是（）A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（﹣1，﹣2）D．（1，﹣2）9．从正方形的铁皮上，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积48cm2，则原来的正方形铁皮的面积是（）A．9cm2B．68cm2C．8cm2D．64cm210．如图，是二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c=0；②b＞2a；③ax2+bx+c=0的两根分别为﹣3和1；④a﹣2b+c＞0．其中正确的命题是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③④二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．关于x的一元二次方程mx2+4x+m2﹣3m=0的一个根为0，则m的值为．12．如图，已知A，B是线段MN上的两点，MN=8，MA=2，MB＞2，以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M，N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB=x，则x的取值范围是，△ABC的最大面积为．13．在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号的和为奇数的概率是．14．点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=x2﹣4x﹣1的图象上，若当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，则y1与y2的大小关系是y1y2．（用“＞”、“＜”、“=”填空）15．如图所示，一根水平放置的圆柱形输水管道横截面，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是．16．如图，⊙O的直径AB=12，P是弦BC上一动点（与点B，C不重合），∠ABC=30°，OP=3，则∠AOP= °．三．解答题（共9小题，满分60分）17．（6分）解方程：x2﹣4=﹣3x﹣6．18．（6分）已知关于x的方程（a﹣1）x2+2x+a﹣1=0．（1）若该方程有一根为2，求a的值及方程的另一根；（2）当a为何值时，方程仅有一个根？求出此时a的值及方程的根．19．（7分）现代互联技术的广泛应用，催生了快递行业的快速发展．据调查，杭州市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公可每月投递的快递总件数的增长率相同．（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；（2）如果平均每人每月最多可投递0.45万件，那么该公司现有的28名快递投递业务员能否完成今年四月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？20．（8分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2；（3）求出（2）中C点旋转到C2点所经过的路径长（结果保留根号和π）．（4）在x轴上有一点P，PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标21．（9分）如图，点B、C、D都在⊙O上，过点C作AC∥BD交OB延长线于点A，连接CD，且∠CDB=∠OBD=30°，DB=cm．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）22．（7分）络技术的发展对学生学习方式产生巨大的影响，某校为了解学生每周课余利用络资源进行自主学习的时间，在本校随机抽取若干名学生进行问卷调查，下面是根据调查结果绘制成的不完整的统计图表：请根据图表中的信息解答下列问题：（1）表中的n= ，扇形统计图中B组对应的圆心角为°；（2）请补全频数分布直方图；（3）该校准备召开利用络资源进行自主学习的交流会，计划在E组学生中随机选出两人进行经验介绍，已知E组的四名学生中，七、八年级各有1人，九年级有2人，请用画树状图法或列表法求抽取的两名学生都来自九年级的概率．23．（7分）如图，在正方形ABCD中，E为边AB上的一点，F为BC的延长线上一点，且AE=CF，连接DE，DF．（1）完成作图并证明：△ADE≌△DCF；（2）填空：△DCF可以看作由△DAE绕点逆时针方向旋转度得到．24．（10分）某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A种产品，所获利润y A（万元）与投资金额x（万元）之间存在某种关系的部分对应值如下表：信息二：如果单独投资B种产品，则所获利润y B（万元）与投资金额x（万元）之间存在二次函数关系：y B=ax2+bx，且投资2万元时获利润2.4万元，当投资4万元时，可获利润3.2万元．（1）求出y B与x的函数关系式；（2）从所学过的一次函数、二次函数、反比例函数中确定哪种函数能表示y A与x之间的关系，并求出y A 与x的函数关系式；（3）如果企业同时对A、B两种产品共投资15万元，请设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？25．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．参考答案一．选择题1．D．2．C．3．B．4． D．5．C．6．C．7．B．8．A．9．D．10．C．二．填空题11．【解答】解：把x=0代入方程得：m2﹣3m=0，即m（m﹣3）=0，解得：m=0（舍去）或m=3，则m的值为3．故答案为：312．【解答】解：①∵MN=8，MA=2，AB=x，∴BN=8﹣2﹣x=6﹣x，由旋转的性质得，MA=AC=2，BN=BC=6﹣x，由三角形的三边关系得，解不等式①得，x＞2，解不等式②得，x＜4，所以，x的取值范围是2＜x＜4；故答案为2＜x＜4．②如图，过点C作CD⊥AB于D，设CD=h，由勾股定理得，AD==，BD==，∵BD=AB﹣AD，∴=x﹣，两边平方并整理得，x=6x﹣16，两边平方整理得，x2h2=﹣32x2+192x﹣256，∴S=•AB•DC==，∴x=3时，△ABC的面积最大，最大值为2．故答案为2．13．【解答】解：画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的小球的标号的和为奇数的结果数为8，所以两次摸出的小球的标号的和为奇数的概率==．故答案为．14．【解答】解：由二次函数y=x2﹣4x﹣1=（x﹣2）2﹣5可知，其图象开口向上，且对称轴为x=2，∵1＜x1＜2，3＜x2＜4，∴A点横坐标离对称轴的距离小于B点横坐标离对称轴的距离，∴y1＜y2．故答案为：＜．15．【解答】解：设⊙O的半径是R，过点O作OD⊥AB于点D，交⊙O于点C，连接OA，∵AB=0.8m，OD⊥AB，∴AD==0.4m，∵CD=0.2m，∴OD=R﹣CD=R﹣0.2，在Rt△OAD中，OD2+AD2=OA2，即（R﹣0.2）2+0.42=R2，解得R=0.5m．∴2R=2×0.5=1米．故答案为：1米．16．【解答】解：作OH⊥BC于H．∵∠B=30°，OB=6，∴OH=OB=3，当点P在线段CH上时，∵OP=3，∴PH==3，∴PH=OH=3，∴∠OPH=45°，∴∠AOP=∠OPH+∠B=75°，当点P′在线段BH上时，同法可证∠OP′H=45°，∴∠AOP′=135°+30°=165°故答案为75或165．三．解答题（共9小题，满分60分）17．【解答】解：x2﹣4=﹣3x﹣6，x2+3x+2=0，（x+2）（x+1）=0，x+2=0，x+1=0，x1=﹣2，x2=﹣1．18．【解答】解：（1）将x=2代入方程（a﹣1）x2+2x+a﹣1=0，解得：a=．将a=代入原方程得﹣x2+2x﹣=0，解得：x1=，x2=2．∴a=，方程的另一根为．（2）①当a=1时，方程为2x=0，解得：x=0；②当a≠1时，由b2﹣4ac=0得4﹣4（a﹣1）2=0，解得：a=2或0．当a=2时，原方程为：x2+2x+1=0，解得：x1=x2=﹣1；当a=0时，原方程为：﹣x2+2x﹣1=0，解得： ==1．19．【解答】解：（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据题意得10（1+x）2=12.1，解得x1=0.1，x2=﹣2.1（不合题意舍去）．答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；（2）今年4月份的快递投递任务是12.1×（1+10%）=13.31（万件）．∵平均每人每月最多可投递0.45万件，∴28名快递投递业务员能完成的快递投递任务是：0.45×28=12.6＜13.31，∴该公司现有的28名快递投递业务员不能完成今年4月份的快递投递任务∴需要增加业务员（13.31﹣12.6）÷0.45=≈2（人）．答：该公司现有的28名快递投递业务员不能完成今年4月份的快递投递任务，至少需要增加2名业务员．20．【解答】解：（1）根据关于x轴对称点的坐标特点可知：A1（2，﹣4），B1（1，﹣1），C1（4，﹣3），如图下图：连接A1、B1、C1即可得到△A1B1C1．（2）如图：（3）由两点间的距离公式可知：BC==，∴点C 旋转到C2点的路径长==π；（4）点B 关于x 轴的对称点B′的坐标为（1，﹣1），设直线AB′解析式为y=kx+b ，则，解得：， 则直线AB′解析式为y=5x ﹣6，当y=0时，5x ﹣6=0，解得：x=1.2，则点P 坐标为（1.2，0），故答案为：（1.2，0 ）．21．【解答】如图，连接BC ，OD ，OC ，设OC 与BD 交于点M ．（1）证明：根据圆周角定理得：∠COB=2∠CDB=2×30°=60°，∵AC ∥BD ，∴∠A=∠OBD=30°，∴∠OCA=180°﹣30°﹣60°=90°，即OC ⊥AC ，∵OC 为半径，∴AC 是⊙O 的切线；（2）解：由（1）知，AC 为⊙O 的切线，∴OC ⊥AC ．∵AC ∥BD ，∴OC ⊥BD ．由垂径定理可知，MD=MB=BD=．在Rt △OBM 中，∠COB=60°，OB===6．在△CDM 与△OBM 中，∴△CDM≌△OBM（ASA），∴S△CDM=S△OBM∴阴影部分的面积S阴影=S扇形BOC==6π（cm2）．22．【解答】解：（1）8÷10%=80，n=15%×80=12，∵总人数为80人，扇形统计图中B组对应的圆心角为×360°=108°，故答案为：12，108；（2）如下图：（3）画树状图为：共12种可能，抽取的两名学生都来自九年级的有2种可能，∴P（两个学生都是九年级）==，答：抽取的两名学生都来自九年级的概率为．23．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠A=∠DCB=90°，∴∠DCE=90°=∠A，在△ADE和△CDF中∴△ADE≌△CDF（SAS）；（2）△DCF可以看作由△DAE绕点D逆时针方向旋转90度得到，故答案为：D，90．24．【解答】解：（1）由题意得，将坐标（2，2.4）（4，3.2）代入函数关系式y B=ax2+bx，求解得：∴y B与x的函数关系式：y B=﹣0.2x2+1.6x（2）根据表格中对应的关系可以确定为一次函数，故设函数关系式y A=kx+b，将（1，0.4）（2，0.8）代入得：，解得：，则y A=0.4x；（3）设投资B产品x万元，投资A产品（15﹣x）万元，总利润为W万元，W=﹣0.2x2+1.6x+0.4（15﹣x）=﹣0.2（x﹣3）2+7.8即当投资B3万元，A12万元时所获总利润最大，为7.8万元．25．【解答】解：（1）依题意得：，解之得：，∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+3∵对称轴为x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），∴把B（﹣3，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n，得，解之得：，∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3；（2）设直线BC与对称轴x=﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．把x=﹣1代入直线y=x+3得，y=2，∴M（﹣1，2），即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）；（3）设P（﹣1，t），又∵B（﹣3，0），C（0，3），∴BC2=18，PB2=（﹣1+3）2+t2=4+t2，PC2=（﹣1）2+（t﹣3）2=t2﹣6t+10，①若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2即：18+4+t2=t2﹣6t+10解之得：t=﹣2；②若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2即：18+t2﹣6t+10=4+t2解之得：t=4，③若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2即：4+t2+t2﹣6t+10=18解之得：t1=，t2=；综上所述P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．2019-2020学年九上数学期中模拟试卷含答案注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。