备战高考技巧大全之高中数学黄金解题模板：专题08 分类讨论思想在二次函数最值中的应用答案解析

【高考地位】分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，它在人类的思维发展中起着重要的作用. 分类讨论思想实际上是一种化整为零、化繁为简、分别对待、各个击破的思维策略在数学解题中的运用. 二次函数在闭区间上最值问题在高考各省市的考题中经常出现，由于二次函数分类讨论参变量取不同的值时，可引起函数性质的变化，因此研究二次函数在区间上的最值问题常见处理方法是有必要的. 【方法点评】类型 求二次函数最值问题使用情景：二次函数在区间上的最值问题解题模板：第一步 通过观察函数的特征，分析二次函数的表达式中是否具有参数，且参数的位置在什么位置；第二步 通过讨论二次函数的对称轴和已知区间之间的关系进行分类讨论； 第三步 根据二次函数的图像与性质可判断函数在区间上的单调性，并根据函数的单调性求出其最值；第四步 得出结论.例1已知函数()y f x =是二次函数，且满足(0)3f =，(1)(3)0f f -== （1）求()y f x =的解析式；（2）若[,2]x t t ∈+，试将()y f x =的最大值表示成关于t 的函数()g t ．【答案】（1）2()23f x x x =-++；（2）2223(1)()4(11)23(1)t t t g t t t t t ⎧--+≤-⎪=-<<⎨⎪-++≥⎩．【解析】试题解析：（1）由题可设()(1)(3)f x a x x =+-， 又(0)3f =，得a ＝－1，得2()23f x x x =-++ （2）由（1）知，()y f x =的对称轴为01x =，若1t ≥，则()y f x =在[,2]t t +上是减函数，2max ()23y f t t t ==-++…8分 若21t +≤，即1t ≤-，则()y f x =在[,2]t t +上是增函数，2max (2)23y f t t t =+=--+若12t t <<+，即11t -≤≤，则max (1)4y f ==故 2223(1)()4(11)23(1)t t t g t t t t t ⎧--+≤-⎪=-<<⎨⎪-++≥⎩。

考点：二次函数的解析式，二次函数的最值．【名师点睛】（1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；（2）二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解．例 2 已知函数2(=(0,,)f x ax bx c a b R c R ++>∈∈），若函数()f x 的最小值是(1)0,(0)1f f -==且对称轴是1x =-，()(0)()()(0)f x xg x f x x >⎧=⎨-<⎩． （1）求(2)(2)g g +-的值；（2）在（1）条件下求()f x 在区间[],2t t + ()t R ∈的最小值． 【答案】（1）8；（2）()21t +．【解析】试题解析：（1）(1)0(0)112f f b x a ⎧⎪-=⎪=⎨⎪⎪=-=-⎩， ∴012a b c c b a -+=⎧⎪=⎨⎪=⎩ ∴112a c b =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴2()(1)f x x =+∴()22(1)(0)(1)(0)x x g x x x ⎧+>⎪=⎨-+<⎪⎩ ∴(2)(2)8g g +-= （2）当21t+≤-时，即3t ≤-时2()(1)f x x =+在区间[],2t t +上单调递减 2min ()(2)(3)f x f t t =+=+当12tt <-<+时，即31t -<<-时2()(1)f x x =+在区间[],1t -上单调递减，2()(1)f x x =+在区间[]1,2t -+上单调递增min ()(1)0f x f =-=当1t ≥-时2()(1)f x x =+在区间[],2t t +上单调递增，2min ()()(1)f x f t t ==+。

考点：1、待定系数法求解二次函数的解析式；2、二次函数求最值；3、利用分类讨论求解函数的最值．【变式演练1】已知函数2()21f x x ax =++，（1）求()f x 在区间[]1,2-的最小值()g a ；（2）求()f x 在区间[]1,2-的值域【答案】（1）()222,11,1252,2a a g a a a a a -<-⎧⎪=-+-≤≤⎨⎪+>⎩（2）当1a ≤-时值域为[2-2a ，5+2a]，当12a -<≤时值域为21,52a a ⎡⎤-++⎣⎦，当2a >时值域为[5+2a ，2-2a].【解析】试题分析：（1）先配方，再分类讨论，即可求f （x ）在区间[-1，2]的最小值g （a ）；（2）分类讨论，求出f （x ）在区间[-1，2]的最大值，最小值，即可求f （x ）在区间[-1，2]的值域 试题解析：（1）()222()211f x x ax x a a =++=+-+．∴a ＜-1时，g （a ）=2-2a ；-1≤a ≤2时，g （a ）= 21a -+；a ＞2时，g （a ）=5+2a ，()222,11,1252,2a a g a a a a a -<-⎧⎪∴=-+-≤≤⎨⎪+>⎩考点：二次函数的性质.【点评】本题在求二次函数的最值时，用到了分类讨论思想，求解中对系数a 的符号进行讨论.在分类讨论时要遵循分类的原则：一是分类的标准要一致，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分类，绝不无原则的分类讨论. 【变式演练2】设函数2(),,f x x ax b a b R =-+∈．（1）当2a =时，记函数|()|f x 在[0，4]上的最大值为()g b ，求()g b 的最小值； （2）存在实数a ，使得当[0,]x b ∈时，2()6f x ≤≤恒成立，求b 的最大值及此时a 的值． 【答案】（1）92；（2）2a ＝ 【解析】试题分析：（1）当2a =，2()2f x x x b =-+,对称轴为01x =．所以()f x 的最大值|1|,|1||8|()max{|(1)(4)|}|8|,|1||8|b b b g b f f b b b --≥+⎧==⎨+-<+⎩|,|，即可得到()g b 的最小值．（2）显然0b >．22()24a a f x x b ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭．然后再对<02a ，2a b >和02a b ≤≤进行分类讨论，借助函数的单调性即可求出结果．试题解析：（1）当2a =，2()2f x x x b =-+,对称轴为01x =．所以()f x 的最大值|1|,|1||8|()max{|(1)(4)|}|8|,|1||8|b b b g b f f b b b --≥+⎧==⎨+-<+⎩|,|．所以()g b 的最小值为92．③当02a b ≤≤时，只需满足()()22206,224624f b a a fb a a f b b b ⎧⎪=≤⎪⎪⎪⎛⎫=-≥⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎪=-+-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩①，②，③由①，②得26b ≤≤．由②，③得2-+262a b ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，又02a b ≤≤，∴022a b ≤-≤，即022a b ≤-≤，再结合②得222()24ab b ≤≤-，④∴23b ≤≤．当3b ＝时，由④得2a ＝，此时满足①，②，③及02ab ≤≤． 综上所述，b 的最大值为3，此时2a ＝．考点：1．二次函数的性质；2．函数的单调性；3．分类讨论思想．【变式演练3】记函数2()f x ax bx c =++（a ，b ，c 均为常数，且0≠a ）． （1）若1=a ，()()c f b f =（c b ≠），求()2f 的值；（2）若1=b ，a c -=时，函数()x f y =在区间[1,2]上的最大值为()g a ，求()g a ．【答案】（1）4 （2）()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-≤-<<---≠-≥+=21,14121,41041,23a a a a a a a a g 且【解析】试题分析：（1）将已知条件()()c f b f =代入可得到关于,b c 的方程，从而求得函数解析式，得到函数值；（2）结合已知条件将函数式化简211()24f x a x a a a ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，通过对参数a 范围的讨论确定函数在区间[1,2]上的单调性，从而求得最大值。

（2）当1=b ，a c -=时，2211()24f x ax x a a x a a a ⎛⎫=+-=+--⎪⎝⎭，[1,2]x ∈， ①当0>a 时，121<-=ax 时， ()x f 在区间[]2,1上单调递增，所以()()232max +==a f x f ； ②当0<a 时， Ⅰ．若221≥-a ，即041<≤-a 时， ()x f 在区间[]2,1上单调递增，所以()()232max +==a f x f ； Ⅱ．若121≤-a ，即21-≤a 时， ()x f 在区间[]2,1上单调递减，所以()()11max ==f x f ；考点：1．求函数解析式与函数求值；2．二次函数单调性与最值；3．分情况讨论. 【变式演练4】已知二次函数2()y f x x bx c ==++的图象过点)13,1(，且函数y =1()2f x -是偶函数．（1）求()f x 的解析式；（2）已知2<t ,()()x x x f x g ⋅--=]13[2，求函数()x g 在]2,[t 上的最大值和最小值；（3）函数()y f x =的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）2()11f x x x =++；（2）()()()(222,121,112,1t t t H t t t t t ⎧-≤<⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪-+<-⎩；（3）函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，它的坐标为()10,121． 【解析】试题分析：（1）函数y =1()2f x -是偶函数,可知其对称轴为y 轴．由图像平移可知函数()f x 的对称轴为12x =-,从而可得b 的值．根据函数()f x 图像过点)13,1(可得a 的值．（2）由（Ⅰ）可得()g x 的解析式．结合函数图像可得函数最值．（3）假设存在．设为()2,P m n ，其中m 为正整数，n 为自然数，则2211m m n ++=．变形可得()2111m m n +=-,根据()1m m +为大于0的偶数,可得n 的范围,可逐个代入验证．试题解析：解：（Ⅰ） ∵ 2()f x x bx c =++的对称轴方程为12x =-，∴ 1b =． 又2()f x x bx c =++的图象过点)13,1(，∴ 113b c ++=，∴ 11c =． ∴ ()f x 的解析式为2()11f x x x =++（Ⅲ）如果函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，设为()2,P m n ，其中m 为正整数，n 为自然数，则2211m m n ++=，（法一）从而()2242143n m -+=， 即 ()()22122143n m n m ++⋅-+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦．注意到43是质数，且()()221221n m n m ++>-+，又()2210n m ++>， 所以只有()()221432211n m n m ++=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ ， 解得：1011m n =⎧⎨=⎩．因此，函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，它的坐标为()10,121（法二）从而()21110m m n +=->的偶数，∴ 4n ≥的奇数∴ 取5,7,9,11n =验证得，当1110n m =⇒=时符合因此，函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，它的坐标为()10,121． 考点：1函数的奇偶性,最值；2推理论证能力． 【高考再现】1. 【2016高考浙江文数】已知函数f （x ）=x 2+bx ，则“b <0”是“f （f （x ））的最小值与f （x ）的最小值相等”的（ ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】A考点：充分必要条件.【方法点睛】解题时一定要注意p q ⇒时，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件，否则很容易出现错误．充分、必要条件的判断即判断命题的真假，在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化．2. 【2015高考湖北，文17】a 为实数，函数2()||f x x ax =-在区间[0,1]上的最大值记为()g a . 当a =_________时，()g a 的值最小.【答案】2-.【考点定位】本题考查分段函数的最值问题和函数在区间上的最值问题，属高档题. 【名师点睛】将含绝对值的二次函数在区间上的最值问题和分段函数的最值问题融合在一起，运用分类讨论的思想将含绝对值问题转化为分段函数的问题，充分体现了分类讨论和化归转化的数学思想，能较好的考查知识综合能力.其解题的关键是运用分类讨论求出()g a 的表达式和分段函数在区间上的最值求法.3. 【2015高考浙江，理18】已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈，记(,)M a b 是|()|f x 在区间[1,1]-上的最大值.（1）证明：当||2a ≥时，(,)2M a b ≥；（2）当a ，b 满足(,)2M a b ≤，求||||a b +的最大值. 【答案】（1）详见解析；（2）3.试题分析：（1）分析题意可知()f x 在[1,1]-上单调，从而可知(,)max{|(1)|,|(1)|}M a b f f =-，分类讨论a 的取值范围即可求解.；（2）分析题意可知 ||,0||||||,0a b ab a b a b ab +≥⎧+=⎨-<⎩，再由(,)2M a b ≤可得|1||(1)|2a b f ++=≤，|1||(1)|2a b f -+=-≤，即可得证.【考点定位】1.二次函数的性质；2.分类讨论的数学思想.【名师点睛】本题主要考查了二次函数的性质以及分类讨论的数学思想，属于中档题，以二次函数或指对函数为背景的函数综合题是今年数学考试说明调整之后的热点题型，创新题，亮点问题常源于此，通常会结合函数与方程，不等式，化归，分类讨论的数学思想，数形结合的数学思想等知识点，综合考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，在复习时应予以关注.4. 【2014江苏，理10】已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <，则实数m 的取值范围为 .【答案】(【解析】据题意222()10,(1)(1)(1)10,f m m m f m m m m ⎧=+-<⎪⎨+=+++-<⎪⎩解得0m <<．【名师点晴】研究函数三个思想1. 等价转换思想：将不等式恒成立，有解问题等价转化为对应函数最值问题2. 数形结合思想：利用函数图像，研究函数性质3. 函数与方程思想：将方程是否有解及实根分布转化为对应函数性质与图像问题【反馈练习】1．【 2015-2016学年江苏扬州中学高二下期中文科数学卷，文16】设函数2()2f x kx x =+（k 为实常数）为奇函数，函数()() 1(01)f x g x aa a =->≠且．当a =时，2()21g x t mt ≤-+对所有的[1,1]x ∈-及[1,1]m ∈-恒成立，则实数t 的取值范围________.【答案】(,2]{0}[2,)t ∈-∞-+∞【解析】由（2）得()g x 在[1,1]x ∈-上的最大值为2(1)11g =-=， ∴2121t mt ≤-+即220t mt -≥在[1,1]-上恒成立分 令2()2h m mt t =-+，∴22(1)20,(1)20,h t t h t t ⎧-=+≥⎪⎨=-≥⎪⎩ 即20,0 2.t t ≤-≥⎧⎨≤≥⎩或t 或t所以(,2]{0}[2,)t ∈-∞-+∞． 考点：（1）函数的奇函数．（2）指数函数的性质．（3）恒成立问题及函数思想．2．【 2015-2016学年江苏扬州中学高二下期中数学卷，文14】若ax x x f 2)(2+-=与1)(+=x ax g 在区间]2,1[上都是减函数，则实数a 的取值范围是 ____ ． 【答案】10≤<a【解析】试题分析：()()22f x x a a =--+在[,]12上递减，则1a ≤，当0a <时，()1a g x x =+在(,)1-∞-和(,)1-+∞上是增函数，当0a >时，()1ag x x =+在(,)1-∞-和(,)1-+∞上是减函数，题意说明0a >，综上01a <≤． 考点：函数的单调性．3．【2015-2016学年江西金溪一中高一下第二次月考数学卷，理17】已知函数2)(2+-+=a bx ax x f .（1）若关于x 的不等式0)(>x f 的解集是)3,1(-，求实数b a ,的值； （2）若2=b ，0>a ，解关于x 的不等式0)(>x f .【答案】（1）2,1=-=b a ，（2）当1≥a 时，解集为),2()1,(+∞---∞aa ； 当10<<a 时，解集为),1()2,(+∞---∞ aa . 【解析】考点：一元二次不等式的解.4. 【2015-2016学年河北省武邑中学高一下3.20周考数学卷，理17】函数2()3f x x ax =++，当[]2,2x ∈-时，()f x a ≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】72a -≤≤． 【解析】试题分析： 将问题转化为：函数2()3f x x ax =++在[]2,2x ∈-上的最小值大于等于a ，然后按二次函数的对称轴2ax =-在区间[]2,2-的左侧，中间及右侧分类讨论求出函数的最小值，即可求得a 的取值范围．试题解析：要使函数2()3f x x ax =++，当[]2,2x ∈-时()f x a ≥恒成立，即函数2()3f x x ax =++在[]2,2x ∈-上的最小值大于等于a ．又22()()324a a f x x =++-，[]2,2x ∈-①当222a-≤-≤时，即[]4,4a ∈-时，()f x 的最小值为234a a -≥，∴24120a a +-≤，解得62a -≤≤，∴42a -≤≤②当22a-<-时，即4a >时，()f x 的最小值为(2)72f a a -=-≥， ∴73a ≤与4a ≥矛盾．③当22a->时，即4a <-时，()f x 的最小值为(2)72f a a =+≥，∴7a ≥-，∴74a -≤<-，综上得72a -≤≤．考点：1、二次函数在闭区间上的最值；2、恒成立问题．5. 【2015-2016学年山西省大同市一中高一上学期期中数学试卷，理21】已知函数2()25f x x ax =-+（a ＞1）．（1）若()f x 的定义域和值域均是[1,]a ，求实数a 的值；（2）若对任意的12,[1,1]x x a ∈+，总有4)()(21≤-x f x f ，求实数a 的取值范围．【答案】（1）2a =；（2）23a ≤≤． 【解析】试题解析：（1）2()25f x x ax =-+在(,]a -∞上的减函数，∴ 2()25f x x ax =-+在[1,]a 上单调递减max ()(1)f x f a ∴==且min ()()1f x f a ==2a ∴=；（2）若2≥a ，又[,1]x a a a =∈+，且1)1(-≤-+a a a ， ∴a f x f 26)1()(max-==，2min 5)()(a a f x f -==． ∵对任意的1x ，2x []1,1+∈a ，总有4)()(21≤-x f x f ，∴4)()(minmax ≤-x f x f ，即4)5()26(2≤---a a ，解得 31≤≤-a ， 又2≥a ， ∴32≤≤a ．若12,a <<2max ()(1)6,f x f a a =+=-2min 5)()(a a f x f -==， 4)()(min max ≤-x f x f 显然成立，综上13a <≤．考点：1．二次函数的最值问题；2．函数的单调性．6. 【2015-2016学年重庆市巴蜀中学高一上期中数学试卷，理19】 已知113a ≤≤，若函数()221f x ax x =-+的定义域[]1,3． （1）求()f x 在定义域上的最小值（用a 表示）；（2）记()f x 在定义域上的最大值为()M a ，最小值()N a ，求()()M a N a -的最小值． 【答案】（1）11a -；（2） 12【解析】试题解析：（1）()2211211f x ax x a x a a ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭[]111,1,33a x a≤≤∴=∈， 所以()min 111f x f a a ⎛⎫==-⎪⎝⎭； （2）()()1112,,321196,,12a a a M a N a a a a ⎧⎡⎤+-∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦-=⎨⎛⎤⎪+-∈ ⎥⎪⎝⎦⎩，当11,32a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，最小值为12，当112a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，时，最小值也是12， 综上，()()M a N a -的最小值为12． 考点：二次函数最值.7. 【2015-2016学年广西省柳州铁路一中高一上段考数学试卷，理20】 已知二次函数()f x 满足(1)()2f x f x x +-=且(0)1f =． （1）求()f x 的解析式；（2）设[]()(2),1,1g t f t a t =+∈-，求()g t 的最大值．【答案】（1）2()1f x x x =-+；（2）2max21572()1332a a a g t a a a ≤⎧-+=⎨++⎩>． 【解析】试题解析：（1）令2()(0)f x ax bx c a =++≠代入：得：22(1)(1)()2,22a x b x c ax bx c x ax a b x ++++-++=++=恒成立，又(0)1f c ==∴111a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴2()1f x x x =-+ （2）[]22()(2)4(42)1,1,1g t f t a t a t a a t =+=+-+-+∈- 对称轴为：124at -= ①当1204a -≥时，即：12a ≤； 22max ()(1)4(42)157g t g a a a a a =-=--+-+=-+②当1204a -<时，即：12a >； 22max ()(1)4(42)133g t g a a a a a ==+-+-+=++综上所述：2max21572()1332a a a g t a a a ≤⎧-+=⎨++⎩> 考点：1、复合函数的运算；2、求函数最值．8. 【2015-2016学年浙江省平湖市当湖中学高一10月月考数学试卷，理19】设二次ab a x b ax x f ----=)5()(2，不等式0)(>x f 的解集是)2,4(-．（1）求)(x f ；（2）当函数)(x f 的定义域是]2,[+t t 时，求函数)(x f 的最大值)(t g ．【答案】（1）82)(2+--=x x x f ；（2）2228,1()9,316,3t t t g t t t t t ⎧--+≥-⎪=-<<-⎨⎪--≤-⎩【解析】试题解析：（1）由三个二次关系可知2(5)0ax b x a ab ----=的根为124,2x x =-= ，由根与系数的关系得54242b aa ab a -⎧-+=⎪⎪⎨--⎪-⨯=⎪⎩1-=a 7=b 82)(2+--=x x x f（2）当时即1,1-≥≤-t t82)()(2+--=t t t f x f 的最大值为当时即1321-<<-+<-<t t t9)1()(=-f x f 的最大值为当时即321-≤+≥-t tt t t f x f 6)2()(2--=+的最大值为⎪⎩⎪⎨⎧-≤---<<--≥+--=∴3,613,91,82)(22t t t t t t t t g 。