对数函数及其图形
数学函数图像大全
基本初等函数幂函数（1)幂函数（2)指数函数（1）指数函数（2）指数函数（3）对数函数（1）对数函数（2）三角函数（1）三角函数（2）三角函数（3）三角函数（4）三角函数（5）反三角函数（1）反三角函数（2）反三角函数（3）反三角函数（4）反三角函数（5）反三角函数（6）反三角函数（7）反三角函数（8）双曲函数（1）双曲函数（2）双曲函数（3）双曲函数（4）双曲函数（5）双曲函数（6）双曲函数（7）反双曲函数（1）反双曲函数（2）反双曲函数（3）反双曲函数（4）反双曲函数（5）反双曲函数（6）y=sin(1/x) (1)y=sin(1/x) (2)y=sin(1/x) (3)y=sin(1/x) (4)y = [1/x](1)y = [1/x](2)y=21/xy=21/x (2)y=xsin(1/x)y=arctan(1/x)y=e1/xy=sinx (x->∞)绝对值函数 y =|x| 符号函数y = sgnx 取整函数 y=[x]极限的几何解释 (1)极限的几何解释 (2)极限的几何解释 (3)极限的性质 (1) (局部保号性)极限的性质 (2) (局部保号性)极限的性质 (3) (不等式性质)极限的性质 (4) (局部有界性)极限的性质 (5) (局部有界性)两个重要极限y=sinx/x (1)y=sinx/x (2)limsinx/x的一般形式y=(1+1/x)^x (1)y=(1+1/x)^x (2)lim(1+1/x)^x 的一般形式(1)lim(1+1/x)^x 的一般形式(2)lim(1+1/x)^x 的一般形式(3)e的值(1)e的值(2)等价无穷小(x->0)sinx等价于xarcsinx等价于x1-cosx等价于x^2/2数列的极限的几何解释海涅定理渐近线水平渐近线铅直渐近线y=(x+1)/(x-1)y=sinx/x (x->∞)夹逼定理(1)夹逼定理(2)数列的夹逼性 (1)数列的夹逼性 (2)pi 是派的意思(如果你没有切换到公式版本)^是次方的意思,$是公式的标记符,切换到公式版(安装mathplayer)就看不到$了1.诱导公式sin(-a)=-sin(a)cos(-a)=cos(a)$sin(pi/2-a)=cos(a)$$cos(pi/2-a)=sin(a)$$sin(pi/2+a)=cos(a)$$cos(pi/2+a)=-sin(a)$$sin(pi-a)=sin(a)$$cos(pi-a)=-cos(a)$$sin(pi+a)=-sin(a)$$cos(pi+a)=-cos(a)$2.两角和与差的三角函数$sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b)$$cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)$$sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)$$cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)$$tan(a+b)=(tan(a)+tan(b))/(1-tan(a)tan(b))$$tan(a-b)=(tan(a)-tan(b))/(1+tan(a)tan(b))$3.和差化积公式$sin(a)+sin(b)=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2)$$sin(a)−sin(b)=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)$$cos(a)+cos(b)=2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2)$$cos(a)-cos(b)=-2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2)$4.积化和差公式 (上面公式反过来就得到了)$sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]$$cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]$$sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]$5.二倍角公式$sin(2a)=2sin(a)cos(a)$$cos(2a)=cos^2(a)-sin^2(a)=2cos^2(a)-1=1-2sin^2(a)$ 6.半角公式$sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2$$cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2$$tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))$7.万能公式$sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))$$cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))$$tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))$8.其它公式(推导出来的 )$a*sin(a)+b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)sin(a+c)$ 其中 $tan(c)=b/a$ $a*sin(a)-b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)cos(a-c)$ 其中 $tan(c)=a/b$ $1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2$$1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2$其他非重点$csc(a)=1/sin(a)$$sec(a)=1/cos(a)$1 三角函数的定义1.1 三角形中的定义图1 在直角三角形中定义三角函数的示意图 在直角三角形ABC，如下定义六个三角函数：•正弦函数•余弦函数•正切函数•余切函数•正割函数•余割函数1.2 直角坐标系中的定义图2 在直角坐标系中定义三角函数示意图在直角坐标系中，如下定义六个三角函数： •正弦函数•余弦函数•正切函数•余切函数•正割函数•余割函数2 转化关系2.1 倒数关系2.2 平方关系2 和角公式3 倍角公式、半角公式 3.1 倍角公式3.2 半角公式3.3 万能公式4 积化和差、和差化积 4.1 积化和差公式4.2 和差化积公式。
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函数图形 基本初等函数 幂函数（1)幂函数（2)幂函数（3)指数函数（1）指数函数（2）指数函数（3）对数函数（1）对数函数（2）三角函数（1）三角函数（2）三角函数（3）三角函数（4）三角函数（5）反三角函数（1）反三角函数（2）反三角函数（3）反三角函数（4）反三角函数（5）反三角函数（6）反三角函数（7）反三角函数（8）双曲函数（1）双曲函数（2）双曲函数（3）双曲函数（4）双曲函数（5）双曲函数（6）双曲函数（7）反双曲函数（1）反双曲函数（2）反双曲函数（3）反双曲函数（4）反双曲函数（5）反双曲函数（6）y=sin(1/x) (1)y=sin(1/x) (2)y=sin(1/x) (3)y=sin(1/x) (4)y = [1/x](1)y = [1/x](2)y=21/xy=21/x (2)y=xsin(1/x)y=arctan(1/x)y=e1/xy=sinx (x->∞)绝对值函数 y = |x|符号函数 y = sgnx取整函数 y= [x]极限的几何解释(1)极限的几何解释(2)极限的几何解释(3)极限的性质 (1) (局部保号性)极限的性质 (2) (局部保号性)极限的性质 (3) (不等式性质) 极限的性质 (4) (局部有界性) 极限的性质 (5) (局部有界性)两个重要极限y=sinx/x (1)y=sinx/x (2)limsinx/x 的一般形式y=(1+1/x)^x (1)y=(1+1/x)^x (2)lim(1+1/x)^x 的一般形式(1)lim(1+1/x)^x 的一般形式(2)lim(1+1/x)^x 的一般形式(3)e 的值(1)e 的值(2)等价无穷小(x->0)sinx 等价于xarcsinx等价于xtanx等价于xarctanx 等价于x 1-cosx 等价于x^2/2sinx 等价于x数列的极限的几何解释海涅定理渐近线水平渐近线铅直渐近线实用标准文案精彩文档y=(x+1)/(x-1)y=sinx/x (x->∞)夹逼定理(1) 夹逼定理(2) 数列的夹逼性 (1) 数列的夹逼性 (2)。
对数函数图象及性质——图象反函数
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$log_a(M^n)=nlog_aM$，$log_aM=log_bM/log_ba$等。
02
对数函数图象分析
图象形状及特点
定义域与值域
对数函数的定义域为$(0, +infty)$，值域为$(-infty,
+ty)$。
过定点
对数函数图象恒过定点$(1,0)$ 。
单调性
当底数$a>1$时，对数函数在 其定义域内是增函数；当 $0<a<1$时，对数函数在其定 义域内是减函数。
涉及两者综合应用问题
对数函数与反函数的综合应用
01
结合对数函数和反函数的性质，解决一些复杂的数学问题，如
求解方程、不等式、最值等。
图象与反函数的综合应用
02
利用对数函数的图象和反函数的性质，解决一些实际问题，如
经济学中的复利计算、物理学中的声强级计算等。
拓展应用
03
将对数函数和反函数的综合应用拓展到其他领域，如工程学、
对数函数与反函数互化方法
对于对数函数$y=log_b(x)$，其反函 数为指数函数$y=b^x$。
互化方法：将对数函数的$x$和$y$互 换，即可得到其反函数的解析式。
两者在解决实际问题中联系和应用
在解决一些实际问题时，可以利 用对数函数和指数函数的互逆关 系进行转化，从而简化问题的求 解过程。
例如，在求解复利、增长率等问 题时，可以利用指数函数进行建 模；而在求解对数方程、求解某 些特定函数的定义域等问题时， 则可以利用对数函数的性质进行 求解。
此外，在一些工程和科学计算中 ，也经常需要利用对数函数和指 数函数的互逆关系进行数值计算 和数据处理。
对数函数指数函数幂函数
对数的公理化定义真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零,底数则要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b的值的;但是,根据对数定义: logaa=1；如果a=1或=0那么logaa就可以等于一切实数比如log1 1也可以等于2,3,4,5,等等第二,根据定义运算公式：loga M^n = nloga M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立比如,log-2 4^-2 就不等于-2log-2 4；一个等于4,另一个等于-4通常我们将以10为底的对数叫常用对数common logarithm,并把log10N记为lgN;另外,在科学技术中常使用以无理数e=···为底数的对数,以e为底的对数称为自然对数natural logarithm,并且把loge N 记为In N. 根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系：当a 〉0,a≠ 1时,a^x=N→X=logaN;由指数函数与对数函数的这个关系,可以得到关于对数的如下结论：负数和零没有对数；loga 1=0 loga a=1 a为常数对数的定义和运算性质一般地,如果aa大于0,且a不等于1的b次幂等于N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作logaN=b,其中a叫做对数的底数,N叫做真数;底数则要大于0且不为1 真数大于0对数的运算性质：当a>0且a≠1时,M>0,N>0,那么：1logaMN=logaM+logaN;2logaM/N=logaM-logaN;3logaM^n=nlogaM n∈R4换底公式：logAM=logbM/logbA b>0且b≠15 a^logbn=n^logba 证明：设a=n^x 则a^logbn=n^x^logbn=n^x·logbn=n^logbn^x=n^logba 6对数恒等式：a^logaN=N;logaa^b=b对数与指数之间的关系当a>0且a≠1时,a^x=N x=㏒aN右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形,因为它们互为反函数;1 对数函数的定义域为大于0的实数集合;2 对数函数的为全部实数集合;3 函数图像总是通过1,0点;4 a大于1时,为单调增函数,并且上凸；a小于1大于0时,函数为单调减函数,并且下凹;5 显然对数函数无界;对数函数的常用简略表达方式：1logab=logab2lgb=log10b3lnb=logeb对数函数的运算性质：如果a〉0,且a不等于1,M>0,N>0,那么：1logaMN=logaM+logaN;2logaM/N=logaM-logaN;3logaM^n=nlogaM n属于R4loga^kM^n=n/klogaM n属于R对数与指数之间的关系当a大于0,a不等于1时,a的X次方=N等价于logaNloga^kM^n=n/klogaM n属于R换底公式很重要logaN=logbN/logba= lnN/lna=lgN/lgaln 自然对数以e为底 e为无限不循环小数lg 常用对数以10为底对数函数的常用简略表达方式1常用对数:lgb=log10b2自然对数:lnb=logebe=... 通常情况下只取e= 对数函数的定义对数函数的一般形式为 y=㏒ax,它实际上就是指数函数的图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数,可表示为x=a^y;因此里对于a的规定a>0且a≠1,同样适用于对数函数;右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形,因为它们互为反函数;性质定义域求解：对数函数y=loga x 的定义域是｛x ︳x>0｝,但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解,除了要注意真数大于0以外,还应注意底数大于0且不等于1,如求函数y=logx2x-1的定义域,需满足｛x>0且x≠1｝ ;｛2x-1>0 =〉x>1/2且x≠1,即其定义域为｛x ︳x>1/2且x≠1｝值域：实数集R定点：函数图像恒过定点1,0;单调性：a>1时,在定义域上为单调增函数,并且上凸；0<a<1时,在定义域上为单调减函数,并且下凹;奇偶性：非奇非偶函数,或者称没有奇偶性;周期性：不是周期函数零点：x=1注意：负数和0没有对数;两句经典话：底真同对数正底真异对数负数学术语指数函数是中重要的;应用到值e上的这个函数写为exp x;还可以等价的写为e,这里的e是数学常数,就是自然对数的底数,近似等于 ,还称为数;指数函数对于x的负数值非常平坦,对于x的正数值迅速攀升,在x 等于 0 的时候等于 1;在x处的切线的斜率等于此处y的值乘上lna;即由导数知识：da^x/dx=a^xlna;作为变量x的函数,y=e x 的总是正的在x轴之上并递增从左向右看;它永不触及x轴,尽管它可以任意程度的靠近它所以,x轴是这个图像的水平;它的是 ln x,它定义在所有正数x上;有时,尤其是在中,术语指数函数更一般性的用于形如ka x 的指数函数函数,这里的 a 叫做“底数”,是不等于 1 的任何正实数;本文最初集中于带有底数为欧拉数 e 的指数函数;指数函数的一般形式为y=a^xa>0且≠1 x∈R,从上面我们关于的讨论就可以知道,要想使得x能够取整个实数集合为定义域,则只有使得如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况;在函数y=a^x中可以看到：1 指数函数的定义域为所有实数的集合,这里的前提是a大于0且不等于1,对于a不大于0的情况,则必然使得函数的定义域不存在连续的区间,因此我们不予考虑,同时a等于０函数无意义一般也不考虑;2 指数函数的值域为大于0的实数集合;3 函数图形都是下凸的;4 a大于1,则指数函数单调递增；a小于1大于0,则为单调递减的;5 可以看到一个显然的规律,就是当a从0趋向于无穷大的过指数函数程中当然不能等于0,函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置,趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置;其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置;6 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,并且永不相交;7 函数总是通过0,1这点,若y=a^x+b,则函数定过点0,1+b8 显然指数函数无界;9 指数函数既不是奇函数也不是偶函数;10当两个指数函数中的a互为倒数时,两个函数关于y轴对称,但这两个函数都不具有奇偶性;11当指数函数中的自变量与因变量一一映射时,指数函数具有反函数; ......底数的平移：对于任何一个有意义的指数函数：在指数上加上一个数,图像会向左平移；减去一个数,图像会向右平移;在fX后加上一个数,图像会向上平移；减去一个数,图像会向下平移;即“上加下减,左加右减”底数与指数函数图像：指数函数1由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点1,a可知：在y轴右侧,图像从下到上相应的底数由小变大;2由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点-1,1/a可知：在y轴左侧,图像从下到上相应的底数由大变小;3指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”;如右图;幂的大小比较：比较大小常用方法：1比差商法：2函数单调性法；3中间值法：要比较A与B的大小,先找一个中间值C,再比较A与C、B与C的大小,由不等式的传递性得到A与B之间的大小;比较两个幂的大小时,除了上述一般方法之外,还应注意：1对于底数相同,指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断;例如：y1=3^4,y2=3^5,因为3大于1所以函数单调递增即x的值越大,对应的y值越大,因为5大于4,所以y2大于y1.2对于底数不同,指数相同的两个幂的大小比较,可指数函数以利用指数函数图像的变化规律来判断;例如：y1=1/2^4,y2=3^4,因为1/2小于1所以函数图像在定义域上单调递减；3大于1,所以函数图像在定义域上单调递增,在x=0是两个函数图像都过0,1然后随着x的增大,y1图像下降,而y2上升,在x等于4时,y2大于y1.3对于底数不同,且指数也不同的幂的大小比较,则可以利用中间值来比较;如：<1> 对于三个或三个以上的数的大小比较,则应该先根据值的大小特别是与0、1的大小进行分组,再比较各组数的大小即可;<2> 在比较两个幂的大小时,如果能充分利用“1”来搭“桥”即比较它们与“1”的大小,就可以快速的得到答案;那么如何判断一个幂与“1”大小呢由指数函数的图像和性质可知“同大异小”;即当底数a和1与指数x与0之间的不等号同向例如： a 〉1且x 〉0,或0〈 a〈 1且 x〈 0时,a^x大于1,异向时a^x小于1.〈3〉例：下列函数在R上是增函数还是减函数说明理由.⑴y=4^x因为4>1,所以y=4^x在R上是增函数；⑵y=1/4^x因为0<1/4<1,所以y=1/4^x在R上是减函数定义域：实数集指代一切实数R 值域：0,+∞分式化简的方法与技巧1把分子、分母分解因式,可约分的先约分2利用公式的基本性质,化繁分式为简分式,化异分母为同分母3把其中适当的几个分式先化简,重点突破.指数函数4可考虑整体思想,用换元法使分式简化指数函数图像与指数函数性质之间的对应关系1曲线沿x轴方向向左无限延展〈=〉函数的定义域为-∞,+∞.2曲线在x轴上方,而且向左或向右随着x值的减小或增大无限靠指数函数近X轴x轴是曲线的渐近线〈=〉函数的值域为0,+∞3曲线过定点0,1〈=〉x=0时,函数值y=a0零次方=1a>0且a≠14a>1时,曲线由左向右逐渐上升即a>1时,函数在-∞,+∞上是增函数；0<a<1是,曲线逐渐下降即0<a<1时,函数在-∞,+∞上是减函数.形如y=x^aa为常数的函数,即以为幂为因变量,指数为常量的函数称为幂函数;当a取非零的时是比较容易理解的,而对于a取时,初学者则不大容易理解了;因此,在里,我们不要求掌握为无理数的问题,只需接受它作为一个已知事实即可,因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识;特性对于a的取值为非零有理数,有必要分成几种情况来讨论各自的特性：首先我们知道如果a=p/q,且p/q为既约分数即p、q互质,q和p都是整数,则x^p/q=q次根号下x的p次方,如果q是奇数,函数的定义域是R,如果q是偶数,函数的是0,＋∞;当指数a是负整数时,设a=-k,则y=1/x^k,显然x≠0,函数的定义域是－∞,0∪0,＋∞;因此可以看到x所受到的限制来源于两点,一是有可能作为分母而不能是0,一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数,那么我们就可以知道：排除了为0与负数两种可能,即对于x>0,则a可以是任意实数；排除了为0这种可能,即对于x<0或x>0的所有实数,q不能是偶数；排除了为负数这种可能,即对于x为大于或等于0的所有实数,a就不能是负数;定义域总结起来,就可以得到当a为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数,则函数的定义域为大于0的所有实数；如果a为负数,则x肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根据q 的来确定,即如果同时q为偶数,则x不能小于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数,则函数的定义域为不等于0 的所有实数;在x大于0时,函数的值域总是大于0的实数;在x小于0时,则只有同时q为奇数,函数的值域为非零的实数;而只有a为正数,0才进入函数的;由于x大于0是对a的任意取值都有意义的,因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.第一象限可以看到：1所有的图形都通过1,1这点.a≠0 a＞0时图象过点0,0和1,12当a大于0时,幂函数为单调递增的,而a小于0时,幂函数为单调递减函数;3当a大于1时,幂函数图形下凸；当a小于1大于0时,幂函数图形上凸;4当a小于0时,a越小,图形倾斜程度越大;5显然幂函数无界限;6a=2n,该函数为偶函数｛x|x≠0｝;7 0<a<1时,只在第一象限内有图像,即x≥0.图象幂函数的图象：。
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基本初等函数幂函数（1)幂函数（2)指数函数（1）指数函数（2）指数函数（3）对数函数（1）对数函数（2）三角函数（1）三角函数（2）三角函数（3）三角函数（4）三角函数（5）反三角函数（1）反三角函数（2）反三角函数（3）反三角函数（4）反三角函数（5）反三角函数（6）反三角函数（7）反三角函数（8）双曲函数（1）双曲函数（2）双曲函数（3）双曲函数（4）双曲函数（5）双曲函数（6）双曲函数（7）反双曲函数（1）反双曲函数（2）反双曲函数（3）反双曲函数（4）反双曲函数（5）反双曲函数（6）y=sin(1/x) (1)y=sin(1/x) (2)y=sin(1/x) (3)y=sin(1/x) (4)y = [1/x](1)y = [1/x](2)y=21/xy=21/x (2)y=xsin(1/x)y=arctan(1/x)y=e1/xy=sinx (x->∞)绝对值函数 y =|x| 符号函数y = sgnx 取整函数 y=[x]极限的几何解释 (1)极限的几何解释 (2)极限的几何解释 (3)极限的性质 (1) (局部保号性)极限的性质 (2) (局部保号性)极限的性质 (3) (不等式性质)极限的性质 (4) (局部有界性)极限的性质 (5) (局部有界性)两个重要极限y=sinx/x (1)y=sinx/x (2)limsinx/x的一般形式y=(1+1/x)^x (1)y=(1+1/x)^x (2)lim(1+1/x)^x 的一般形式(1)lim(1+1/x)^x 的一般形式(2)lim(1+1/x)^x 的一般形式(3)e的值(1)e的值(2)等价无穷小(x->0)sinx等价于xarcsinx等价于x1-cosx等价于x^2/2数列的极限的几何解释海涅定理渐近线水平渐近线铅直渐近线y=(x+1)/(x-1)y=sinx/x (x->∞)夹逼定理(1)夹逼定理(2)数列的夹逼性 (1)数列的夹逼性 (2)pi 是派的意思(如果你没有切换到公式版本)^是次方的意思,$是公式的标记符,切换到公式版(安装mathplayer)就看不到$了1.诱导公式sin(-a)=-sin(a)cos(-a)=cos(a)$sin(pi/2-a)=cos(a)$$cos(pi/2-a)=sin(a)$$sin(pi/2+a)=cos(a)$$cos(pi/2+a)=-sin(a)$$sin(pi-a)=sin(a)$$cos(pi-a)=-cos(a)$$sin(pi+a)=-sin(a)$$cos(pi+a)=-cos(a)$2.两角和与差的三角函数$sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b)$$cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)$$sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)$$cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)$$tan(a+b)=(tan(a)+tan(b))/(1-tan(a)tan(b))$$tan(a-b)=(tan(a)-tan(b))/(1+tan(a)tan(b))$3.和差化积公式$sin(a)+sin(b)=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2)$$sin(a)−sin(b)=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)$$cos(a)+cos(b)=2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2)$$cos(a)-cos(b)=-2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2)$4.积化和差公式 (上面公式反过来就得到了)$sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]$$cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]$$sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]$5.二倍角公式$sin(2a)=2sin(a)cos(a)$$cos(2a)=cos^2(a)-sin^2(a)=2cos^2(a)-1=1-2sin^2(a)$ 6.半角公式$sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2$$cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2$$tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))$7.万能公式$sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))$$cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))$$tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))$8.其它公式(推导出来的 )$a*sin(a)+b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)sin(a+c)$ 其中 $tan(c)=b/a$ $a*sin(a)-b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)cos(a-c)$ 其中 $tan(c)=a/b$ $1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2$$1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2$其他非重点$csc(a)=1/sin(a)$$sec(a)=1/cos(a)$1 三角函数的定义1.1 三角形中的定义图1 在直角三角形中定义三角函数的示意图 在直角三角形ABC，如下定义六个三角函数：•正弦函数•余弦函数•正切函数•余切函数•正割函数•余割函数1.2 直角坐标系中的定义图2 在直角坐标系中定义三角函数示意图在直角坐标系中，如下定义六个三角函数： •正弦函数•余弦函数•正切函数•余切函数•正割函数•余割函数2 转化关系2.1 倒数关系2.2 平方关系2 和角公式3 倍角公式、半角公式 3.1 倍角公式3.2 半角公式3.3 万能公式4 积化和差、和差化积 4.1 积化和差公式4.2 和差化积公式。
常用函数图像
函数图形基本初等函数幂函数（1)幂函数（2)幂函数（3)指数函数（1）指数函数（2）指数函数（3）对数函数（1）对数函数（2）三角函数（1）三角函数（2）三角函数（3）三角函数（4）三角函数（5）反三角函数（1）反三角函数（2）反三角函数（3）反三角函数（4）反三角函数（5）反三角函数（6）反三角函数（7）反三角函数（8）双曲函数（1）双曲函数（2）双曲函数（3）双曲函数（4）双曲函数（5）双曲函数（6）双曲函数（7）反双曲函数（1）反双曲函数（2）反双曲函数（3）反双曲函数（4）反双曲函数（5）反双曲函数（6）y=sin(1/x) (1)y=sin(1/x) (2)y=sin(1/x) (3)y=sin(1/x) (4)y = [1/x](1)y = [1/x](2)y=21/xy=21/x (2)y=xsin(1/x)y=arctan(1/x)y=e1/xy=sinx (x->∞)绝对值函数y = |x| 符号函数y = sgnx 取整函数y= [x]极限的几何解释(1) 极限的几何解释(2)极限的几何解释(3)极限的性质(1) (局部保号性)极限的性质(2) (局部保号性) 极限的性质(3) (不等式性质) 极限的性质(4) (局部有界性) 极限的性质(5) (局部有界性)两个重要极限y=sinx/x (1)y=sinx/x (2)limsinx/x的一般形式y=(1+1/x)^x (1)y=(1+1/x)^x (2)lim(1+1/x)^x 的一般形式(1)lim(1+1/x)^x 的一般形式(2)lim(1+1/x)^x 的一般形式(3)e的值(1)等价无穷小(x->0)sinx等价于xarcsinx等价于x tanx等价于x arctanx等价于x1-cosx等价于x^2/2sinx等价于x数列的极限的几何解释海涅定理渐近线水平渐近线铅直渐近线y=(x+1)/(x-1)y=sinx/x (x->∞) 夹逼定理(1)夹逼定理(2)数列的夹逼性(1) 数列的夹逼性(2) pi 是派的意思(如果你没有切换到公式版本)^是次方的意思,$是公式的标记符,切换到公式版(安装mathplayer)就看不到$了文案编辑词条B 添加义项?文案，原指放书的桌子，后来指在桌子上写字的人。
对数与对数函数
对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系：a b =N log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.（3）对数运算性质: ①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a NM =log a M －log a N .③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ④对数换底公式：log b N =bNa a log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）.2.对数函数（1）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。
但是，根据对数定义: logaa=1；如果a=1或=0那么logaa 就可以等于一切实数（比如log1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：loga M^n = nloga M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log(-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log(-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16）（2）对数函数的图象yOxy<a <y = l o g x a111())底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称. （3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R .③过点（1，0），即当x =1时，y =0.④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数.基础例题1.（2005年春季北京，2）函数f （x ）=|log 2x |的图象是11xy y y y OA BC D解析：f （x ）=⎩⎨⎧<<-≥.10,log ,1,log 22x x x x答案：A2.（2004年春季北京）若f －1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f －1（x ）的值域为___________________.解析：f －1（x ）的值域为f （x ）=lg （x +1）的定义域.由f （x ）=lg （x +1）的定义域为（－1，+∞），∴f －1（x ）的值域为（－1，+∞）. 答案：（－1，+∞）3.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log 21（3－x ）］的定义域是__________.解析：由0≤log 21（3－x ）≤1⇒log 211≤log 21（3－x ）≤log 2121⇒21≤3－x ≤1⇒2≤x ≤25. 答案：［2，25］4.若log x 7y =z ，则x 、y 、z 之间满足=x z =x 7z =7x z=z x解析：由log x 7y =z ⇒x z =7y ⇒x 7z=y ，即y =x 7z . 答案：B5.已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =log n m 2，c =log n （log n m ），则＜b ＜c ＜c ＜b ＜a ＜c＜a ＜b解析：∵1＜m ＜n ，∴0＜log n m ＜1. ∴log n （log n m ）＜0. 答案：D6.（2004年天津，5）若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于 A.42B.22C.41D.21解析：∵0＜a ＜1，∴f （x ）=log a x 是减函数.∴log a a =3·log a 2a .∴log a 2a =31.∴1+log a 2=31.∴log a 2=－32.∴a =42. 答案：A7.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于 A.21B.－21D.－2解析：y =log 2|ax －1|=log 2|a （x －a1）|，对称轴为x =a1，由a1=－2 得a =－21. 答案：B注意：此题还可用特殊值法解决，如利用f （0）=f （－4）， 可得0=log 2|－4a －1|.∴|4a +1|=1.∴4a +1=1或4a +1=－1. ∵a ≠0，∴a =－21.8.函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是xyxyx yxyABC D解析：∵f （x ）与g （x ）都是偶函数，∴f （x ）·g （x ）也是偶函数，由此可排除A 、D.又由x →+∞时，f （x ）·g （x ）→－∞，可排除B. 答案：C9.（2004年湖南，理3）设f －1（x ）是f （x ）=log 2（x +1）的反函数，若［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=8，则f （a +b ）的值为 B.2解析：∵f －1（x ）=2x －1，∴［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=2a ·2b =2a +b .由已知2a +b =8，∴a +b =3. 答案：C10.（2004年春季上海）方程lg x +lg （x +3）=1的解x =___________________.解析：由lg x +lg （x +3）=1，得x （x +3）=10，x 2+3x －10=0. ∴x =－5或x =2.∵x ＞0，∴x =2. 答案：2典型例题【例1】 已知函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,4),1(,4,)21(x x f x x则f （2+log 23）的值为 A.31B.61C.121D.241剖析：∵3＜2+log 23＜4，3+log 23＞4， ∴f （2+log 23）=f （3+log 23）=（21）3+log 23=241. 答案：D【例2】 求函数y ＝log 2｜x ｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间.解：∵｜x ｜＞0，∴函数的定义域是｛x ｜x ∈R 且x ≠0｝.显然y ＝log 2｜x ｜是偶函数，它的图象关于y 轴对称.又知当x ＞0时，y ＝log 2｜x ｜⇔y ＝log 2x .故可画出y ＝log 2｜x ｜的图象如下图.由图象易见，其递减区间是（－∞，0），递增区间是（0，＋∞）.-1O y注意：研究函数的性质时，利用图象会更直观.【例3】 已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间.解：∵真数3－（x －1）2≤3，∴log 31［3－（x －1）2］≥log 313=－1，即f （x ）的值域是［－1，+∞）.又3－（x －1）2＞0，得1－3＜x ＜1+3，∴x ∈（1－3，1］时，3－（x －1）2单调递增，从而f （x ）单调递减；x ∈［1，1+3）时，f （x ）单调递增.注意：讨论复合函数的单调性要注意定义域.【例4】已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围.解：∵a ＞0且a ≠1，∴t =3－ax 为减函数.依题意a ＞1，又t =3－ax 在［0，2］上应有t ＞0，∴3－2a ＞0.∴a ＜23.故1＜a ＜23.【例5】设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和 g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小. 解：f （x ）、g （x ）的公共定义域为（－1，1）. |f （x ）|－|g （x ）|=|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|.（1）当0＜x ＜1时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=－lg （1－x 2）＞0； （2）当x =0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=0；（3）当－1＜x ＜0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=lg （1－x 2）＜0. 综上所述，当0＜x ＜1时，|f （x ）|＞|g （x ）|；当x =0时，|f （x ）|=|g （x ）|；当－1＜x ＜0时，|f （x ）|＜|g （x ）|.【例6】 求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值. 解：定义域为x ＞3，原函数为y ＝lg3)2(2--x x .又∵3)2(2--x x ＝3442-+-x x x ＝31)3(2)3(2-+-+-x x x ＝（x －3）＋31-x ＋2≥4， ∴当x ＝4时，y min ＝lg4.【例7】 （2003年北京宣武第二次模拟考试）在f 1（x ）=x 21，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log 21x 四个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使21［f（x 1）+f （x 2）］＜f （221x x +）成立的函数是 （x ）=x 21（x ）=x 2（x ）=2x（x ）=log 21x解析：由图形可直观得到：只有f 1（x ）=x 21为“上凸”的函数. 答案：A探究创新1.若f （x ）=x 2－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）. （1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；（2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1） 解：（1）∵f （x ）=x 2－x +b ，∴f （log 2a ）=log 22a －log 2a +b . 由已知有log 22a －log 2a +b =b ，∴（log 2a －1）log 2a =0. ∵a ≠1，∴log 2a =1.∴a =2.又log 2［f （a ）］=2，∴f （a ）=4. ∴a 2－a +b =4，b =4－a 2+a =2.故f （x ）=x 2－x +2， 从而f （log 2x ）=log 22x －log 2x +2=（log 2x －21）2+47.∴当log 2x =21即x =2时，f （log 2x ）有最小值47. （2）由题意⎪⎩⎪⎨⎧<+->+-2)2(log 22log log 22222x x x x ⇒⎩⎨⎧<<-<<>⇒21102x x x 或0＜x ＜1. 2.（2004年苏州市模拟题）已知函数f （x ）=3x +k （k 为常数），A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点. （1）求实数k 的值及函数f －1（x ）的解析式；（2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数 y =g （x ）的图象，若2 f －1（x +m －3）－g （x ）≥1恒成立，试求实数m 的取值范围.解：（1）∵A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点， ∴B （2，－2k ）是函数y =f （x ）上的点.∴－2k =32+k .∴k =－3. ∴f （x ）=3x －3.∴y = f －1（x ）=log 3（x +3）（x ＞－3）.（2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数 y =g （x ）=log 3x （x ＞0），要使2 f －1（x +m －3）－g （x ）≥1恒成立，即使2log 3（x +m ）－log 3x ≥1恒成立，所以有x +xm +2m ≥3在x ＞0时恒成立，只要（x +xm +2m ）min ≥3.又x +xm ≥2m （当且仅当x =xm ，即x =m 时等号成立），∴（x +xm +2m ）min =4m ，即4m ≥3.∴m ≥169.小结1.对数的底数和真数应满足的条件是求解对数问题时必须予以特别重视的.2.比较几个数的大小是对数函数性质应用的常见题型.在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常都再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较.3.在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用.。
对数函数的图象与性质
1 x 1
22
原不等式的解集是
1 2
，1 2
变式
log 1 (2x 1) log 1 2
2
2
a
log a (2x 1) log a 2
； 必威电竞 ；
疆虽是鼎鼎有名.孟禄也听过他的名字.但他却不知道左耳朵的为人.也不知道左耳朵在北疆的威望.就如飞红中在北地几样.他只道左耳朵也像明悦几样.只是个 助拳 的人.仗着箭法高明.所以才有名气的.他又恍惚听人说过；左耳朵乃是明悦的族兄.当日明悦来投唐努老英雄.捧的就是 左耳朵的名头.明悦反叛之事他是知道的.他只以为左耳朵给他的族弟拉去.到北地来暗害他们.因此.带着三十多匹马.几路追踪觅迹.而左耳朵又因处处要照顾苏绿儿.不能驱车疾走.竟然给他们追上. 左耳朵几阵愕然.纳兰朗慧忽然揭开车帘.露出脸来.叫道. 你们不要赖他.那两个人是 我杀的. 苏绿儿得啦爱情的滋润.虽在病后.却是眼如秋水.容光照人.她本是旗人中的第几位美人.在这草原蓦然现出色相.颜容映着晚霞.孟禄只觉得几阵光采迫人.眼花综乱.急忙定下心神.再喝问道-你说什么？ 苏绿儿冷笑道. 你听不清楚么？那两个人是本姑娘杀的. 孟禄这时也注意 到啦车帘上绣着的 纳兰 两字.又惊又喜.他起初以为车上只是普通的清军将官的眷属.而今见这个气派.暮然想起久闻满清的伊犁护军苏翠儿.有几个美丽的女儿.文武双全.莫不是她. 孟禄皮鞭几指.笑道-是你杀的也好.不是你杀的也好.你现在是我的俘虏啦.随我回去再说. 苏绿儿又是 几声冷笑.说道-你也想跟那两个人去见阎王吗？他们就是说要捉我做俘虏.才给我用飞刀扎死的. 孟禄指挥手下.就想来捉.左耳朵大叫几声-使不得. 孟禄几鞭打去.喝道-怎么使不得？ 左耳朵夹手将鞭夺过.折为两段.叫道-你们为什么打仗？ 孟禄见左耳朵双目圆睁.威风凛凛.几时倒 不敢迫过来.反问道-你到底是帮谁打仗？ 左耳朵道-我和清兵大小数百仗.从北疆打到北地.可笑你们连为什么要打仗都还不知. 孟禄手下的几个战士怒道. 左耳朵.你以为帮我们打仗.就可以胡说八道吗？我们也打啦这么多年.谁不知道打仗为的就是要把鞑子赶出去. 左耳朵又说道-对 呀.但为什么要把鞑子赶出去呢？难道不是为啦满洲鞑子不把我们当人.抢掠我们的牛羊.侮辱我们的妇女.奴役我们的百姓吗？现在你们要捉这个女子做俘虏.不是也要侮辱她.不把她当人.要把她当奴隶吗？你们不许鞑子那样做.为何你们又要这样做？ 孟禄手下三十多人却答不出来.这 道理他们还是第几次听到.还没办法分出是非.孟禄又喝道-她是我们的对手呀.她还杀死啦我们两个弟兄.为什么不能捉她做奴隶？ 左耳朵道-和你们打仗是满清军队.不是她.在战场你们杀拿刀的鞑子.杀得越多越好.但在这里.你们要侮辱几个空手的女孩.你们不害臊吗？她杀死那两个 人.就是因为他们要欺负她.她才迫得自卫.我说.错的不是她.是你们. 孟禄的手下都知道左耳朵是个抗清的英雄.虽然孟禄怀疑他反叛.率他们来追.可是在还没有得到确切证据之前.他们到底对左耳朵还有多少敬意.这时左耳朵理直气壮的这么几说.又似乎颇有道理.但捉俘虏做奴隶之事. 是部落民族几千年传下来的习惯.这习惯已深入人心.因此又似乎觉得左耳朵是在强辩. 孟禄是个心高气傲的人.他也曾有意于飘韵.可是飘韵不理睬他.推选盟主那晚.他不参加.几来是有心病.二来也是因为不服飘韵.左耳朵说完之后.他瞧啦苏绿儿几眼.大声喝道-左耳朵.我问你为什么 要保护她.你说你不是反贼.是大英雄.那么我们的大英雄为什么要替几个对手女儿驾车.做起马车夫来啦.哈.哈. 左耳朵气得身子颤抖.孟禄又大声叫道-弟兄们.你看；这就是大英雄左耳朵的行径.你们知道这个女子是谁吗？她就是满清的伊犁护军苏翠儿的女儿.哼.左耳朵如不是早和他 们有勾结.为何处处要维护她.甚至别人打仗.他却去替苏翠儿的女儿驾车.把他们两个都捆起来吧.弟兄们. 孟禄几番话好像将油泼在人上；他的部下果然受啦煽动.轰然嘈杂起来.刀抢齐举.竟围上来.苏绿儿摸出飞刀.左耳朵急叫这-使不得. 苏绿儿的第几口飞刀已经出手.银光电射.对 准孟禄的心窝飞去.左耳朵疾忙几展身形.将那口飞刀截住.那时.飞刀离孟禄的心窝不到三寸.孟禄慌张中几下劈下来.左耳朵几矮身躯.在他刀锋下钻过.叫道-明慧.你躲进去. 苏绿儿给他几喝.飞刀是不放啦.可是却不肯躲进去.她要看左耳朵打架呢. 孟禄毫不领情.马刀又再砍到.他的 手下也纷纷扑啦上来.还分啦七八个人去捉苏绿儿.左耳朵暗叫 不好. 心想这事不能善休；猛然展开轻灵迅捷的身法. 在刀枪缝中.钻来钻去.举手投足之间.把三十多条大汉都点啦穴道；连孟禄也在内.或作势前扑.或举刀欲砍.都是个个动弹不得.好像着啦定身法几样.定在那儿.苏绿儿 在车上纵声娇笑.左耳朵却有苦说不出来.这真是误会加上误会.不知如何才能收场. 猛然间.苏绿儿高声叫道-清兵来啦. 左耳朵跳上车顶几看.果然远处尘头大起.左耳朵急忙跳下.高声叫道-你们赶快走吧.清兵势大.让我在这里给你们抵挡几阵. 说罢又像穿花蝴蝶几般.在人群中穿来插 去.片刻之后.又给那些人解开啦穴道.孟禄冷笑道-我不领你的情、跨上马背；带啦队伍.径自驰去. 左耳朵拔出短箭.准备清兵几到.将纳兰小姐的身份说明.自己马上突围.去找飘韵解释.正盘算间.那队清兵已杀啦过来.前头跑出两个人.左耳朵起初还以为是清军的军官.近处几看.始知 不是.清军在后面放箭.这两人挥箭拔打.时不时还回身厮杀几阵.又再奔逃. 清军越来越近.左耳朵已看得分明.这两人是几男几女.男的三十多岁.儒生打扮.武功极高.女的二十来岁.身手也是不弱.左耳朵心中大喜.这女的自己不认得.男的却是自己的好友.蓬莱派的名宿明鑫.据师父说. 他也是因为中原糜烂.方万里投荒.隐身漠外的.师父还说.他内功精湛.年近六旬.看来还像三十余岁.左耳朵在天山时.曾屡次见过他.他并不以长辈自居.硬要左耳朵以兄弟相称.左耳朵当然不敢.后来才知道.他本来要拜晦明禅师之门的.晦明禅师因他早已是几派大师.不愿居为尊长.因此 明鑫和晦明禅师的交情是近乎师友之间.而明鑫和左耳朵的交情也是介乎师友之间. 左耳朵几见明鑫被清兵追赶.舞起短箭.便迎上去.明鑫这时也认出啦左耳朵.大喜叫道-老弟.你和她敌住后头那四条兔息.我去杀散清兵. 几回身.就向对手冲去.左耳朵抬头几看.只见那队清兵.由四名军 官带领.为首那人竟是以前在戈壁中和明悦合斗自己的纽枯庐.这时忽然听得背后纳兰小姐叫啦几声.纽枯庐面前有异色.左耳朵无暇追问.龙形飞步.箭随身走.几缕青光.刷的向纽枯庐刺去. 第16章 朵朵说亲 纽枯庐举丧门挫几挡.左耳朵闪身直进.短箭疾如风卷. 喀嚓 几声.把纽枯庐几 个同伴的兵器削掉.旋身几掌.又把另几名军官震出数丈以外.第三名军官手使丈二长枪.重七十二斤.奋力几挑.猛的撅来.左耳朵避开枪尖.左手疾伸.几把掳着枪杆.喝道-倒. 不料那军官是清军中出名的大力士.虽给左耳朵扯得跄跄踉踉.直跌过来.却井未倒下.犹在挣扎.尚想支撑.纽枯 庐乘势疾审过来.丧门挫几招 仙姑送子 .直扎左耳朵的 分水穴 .左掌更运足力气.猛劈左耳朵右肩.左耳朵大喝几声.长枪猛的往前几送.那名军官禁不住左耳朵的神力.惨叫几声.虎口流血.给自己的长枪撞出数丈以外.登时晕在地上.说时迟.那时快.左耳朵口身几箭把丧门挫撩上半天. 反手几掌又迎个正着.纽枯庐在关外号称 铁掌 .竟吃不住左耳朵掌力.身子像断线风筝几般震得腾起三丈多高.倒翻出去.幸他武功也有相当造诣.在半空中几个跟头.落在乱军之中.抢路飞逃. 这时明鑫和那个女孩仗箭扑入清军之中.双箭纵横插霍.把清兵杀得鬼哭神嚎.如汤泼雪.死的死. 伤的伤.逃的逃.几大队清兵霎时消散.草原上又只剩下左耳朵等四名男女. 明鑫道-云聪.想不到你功力如此精进. 左耳朵道-还望师叔教诲. 明鑫望望车上的苏绿儿.颇感惊讶.左耳朵生怕他滋生误会.急忙说道. 她单身几人.离群散失.流浪大漠.我想把她送回去. 明鑫道-应该.说来凑巧. 你送人我也送人. 说罢替左耳朵介绍道-这位姑娘是我故人的女儿.名唤何绿华.我要把她送回关内.日后你若见她.还托你多多照应. 说罢把手几举.与左耳朵匆匆道别.各自赶路.左耳朵看明鑫眉目之间似有隐忧.而且以他和自己的两代交情.若在平日.几定不肯就这样匆勿道别.纵算在百 忙之中.也会几叙契阔.而现在他却连师父也不提起就走啦.这可真是怪事.他想不透像明鑫武功那样高的人.还有什么忧惧.他却不知明鑫此次匆忙赶路.乃是怕修啵儿来找他的晦气. 明鑫与修啵儿之事暂且不提.且说左耳朵与苏绿儿再走啦几日.到啦伊犁城外.这时苏绿儿已完全康复.轻 掠云鬓.对左耳朵笑道-你入城不方便啦.晚上我和你用夜行术回去吧.这辆马车.不要它啦. 左耳朵心如辘轳.有卸下重担之感.也有骤伤离别之悲.半晌说道-你自己回去吧.我走啦.你多多保重. 苏绿儿几把将他拉住.娇笑道-你不要走.我不准你走.你几定要陪我回去.你不用害怕.我们的 护军府很大.你不会见着我的爸爸的.我有几个妈妈.对我非常之好.她住在府里东边头的几个院子里.独自占有三间屋子呢.委屈你几下.我带你见她.要她认你做远房侄子.你不要乱走动几包没有人看破. 左耳朵摇摇头道-不行.我还要去找土著人. 苏绿儿沉着脸道-还有飘韵是不是？ 左 耳朵正色说道-是的.我为什么不能找她？我要知道她们南僵各族打完仗后.现在在什么地方.是怎么个情景？ 苏绿儿又伸伸舌头笑道-大爷.几句活就把你招恼啦是不是？ 谁说你不该去找飘韵呢.只是大战之后.荒漠之中.是那么容易找吗？不如暂住在我这儿.我父亲的消息灵通.各地都 有军书给他.他几定会知道北地各族在什么地方的.我给你打探.把军情都告诉你.到你知道你的飘韵下落时.再去找她也不为迟呀. 左耳朵 呸 啦几声.但随即想到.她说得也有道理.就趁这个机会.探探对手的情形也好. 那晚苏绿儿果然带他悄悄进入府中.找到奶妈.几说之下.把奶妈吓得 什么似的.但这个奶妈庞爱明慧.有如亲生.禁不住她的苦苦哀求.终于答应啦.但奶妈也有条件.要左耳朵只能在三间屋内走动.左耳朵也答应啦.第二天几早.苏绿儿又悄悄溜出城外.驾着马车回来.她见啦父亲之后.谎说是从乱军中逃出来的.苏翠儿几向知道他女儿的武功.果然不起疑心. 几晃又过啦半月.苏绿儿还没有探听出飘韵和她族人的下
常用函数图像
函数图形基本初等函数幂函数（1)幂函数（2)幂函数（3)指数函数（1）指数函数（2）指数函数（3）对数函数（1）三角函数（3）对数函数（2）三角函数（4）三角函数（1）三角函数（5）三角函数（2）反三角函数（1）反三角函数（2）反三角函数（3）反三角函数（4）反三角函数（5）反三角函数（6）反三角函数（7）反三角函数（8）双曲函数（1）双曲函数（2）双曲函数（3）双曲函数（4）双曲函数（5）双曲函数（6）双曲函数（7）反双曲函数（1）反双曲函数（2）反双曲函数（3）反双曲函数（4）反双曲函数（5）反双曲函数（6）y=sin(1/x) (1)y=sin(1/x) (2)y=sin(1/x) (3) y=sin(1/x) (4)y = [1/x](1) y = [1/x](2) y=21/xy=21/x (2)y=xsin(1/x)y=arctan(1/x) y=e1/xy=sinx (x->∞)绝对值函数 y = |x|符号函数 y = sgnx取整函数 y= [x]极限的几何解释(1)极限的几何解释 (2)极限的几何解释 (3)极限的性质 (1) (局部保号性)极限的性质 (2) (局部保号性)极限的性质 (3) (不等式性质)极限的性质 (4) (局部有界性)极限的性质 (5) (局部有界性)两个重要极限y=sinx/x (1)y=sinx/x (2)limsinx/x的一般形式y=(1+1/x)^x (1)y=(1+1/x)^x (2)lim(1+1/x)^x 的一般形式(1) lim(1+1/x)^x 的一般形式(2) lim(1+1/x)^x 的一般形式(3) e的值(1)等价无穷小 (x->0)sinx 等价于xarcsinx 等价于xtanx 等价于xarctanx 等价于x1-cosx 等价于x^2/2sinx 等价于x数列的极限的几何解释海涅定理渐近线水平渐近线铅直渐近线y=(x+1)/(x-1)y=sinx/x (x->∞)夹逼定理(1)夹逼定理(2)数列的夹逼性(1)数列的夹逼性(2)pi 是派的意思(如果你没有切换到公式版本) ^是次方的意思,$是公式的标记符,切换到公式版(安装mathplayer)就看不到$了。
对数函数2(清晰版)
(一)对数函数的概念： 对数函数的概念： 形如 y = log a x ( a > 0 , 且a ≠ 1 ) 的函数叫做 对数函数．其中 x 是自 变量，函数的定义域是( 变量，函数的定义域是(0，+∞). 它是指数函数 y = a 的反函数。 ≠1 ) 的反函数。
x
,
log ( x −1) > 0, 求 x
2 的范围. 的范围. x−1
的解
（5）log
(1− 4x ) > 2 2 x+3
真数大于0不能漏
集
注意:
变式训练： 变式训练：求函数的定义域
y = 1 − log 2 ( 1 − x )
注意:
真数大于0不能漏
例2 解下列对数方程： 解下列对数方程： (1) log 2 (3 x ) = log 2 ( 2 x + 1) (2) (3) (4)
解: 由
4 x + 3 > 0 2− x ≥ 0
3 ∴函数的定义域是 x − < x ≤ 2 4
3 x > − 4 得 x ≤ 2
求具体函数定义域的方法: 求具体函数定义域的方法:
1. 2. 3. 分数的分母不等于零; 分数的分母不等于零; 零的指数不能为零和负数; 零的指数不能为零和负数; 偶次方根的被开方数大于
(1)
y = log2 ( x + 1)
(2)
y = log2 x + 1
(3) (5)
y = log1 x
2
(4)
y = log 2 x
y = log 2 x
变式训练：讨论方程根的个数 变式训练：
专题36 高中数学对数函数的概念、图象及性质(解析版)
专题36 对数函数的概念、图象及性质1．对数函数的概念函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．判断一个函数是对数函数必须是形如y＝log a x(a>0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：(1)系数为1. (2)底数为大于0且不等于1的常数．(3)对数的真数仅有自变量x.2．对数函数的图象及性质a的范围0<a<1a>1图象定义域(0，＋∞)值域R性质定点(1,0)，即x＝1时，y＝0单调性在(0，＋∞)上是减函数在(0，＋∞)上是增函数3．反函数指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)互为反函数．4．底数对函数图象的影响对数函数y＝log2x，y＝log3x，y＝log12x，y＝log13x的图象如图所示，可得如下规律：①y＝log a x与y＝log1ax的图象关于x轴对称；②当a＞1时，底数越大图象越靠近x轴；当0＜a＜1时，底数越小图象越靠近x轴．5．函数图象的变换规律(1)一般地，函数y＝f(x±a)＋b(a，b为实数)的图象是由函数y＝f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的.(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.一般地，y＝f(|x－a|)的图象是关于直线x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象在f(x)≥0的部分相同，在f(x)<0的部分关于x轴对称.题型一 对数函数的概念及应用1．指出下列函数哪些是对数函数？(1)y ＝3log 2x ；(2) y ＝log 6x ；(3) y ＝log x 3；(4) y ＝log 2x ＋1. [解析] (1)log 2x 的系数是3，不是1，不是对数函数． (2)符合对数函数的结构形式，是对数函数． (3)自变量在底数位置上，不是对数函数． (4)对数式log 2x 后又加1，不是对数函数．2．下列给出的函数：①y ＝log 5x ＋1；②y ＝log a x 2(a >0，且a ≠1)；③y ＝log (3－1)x ；④y ＝13log 3x ； ⑤y ＝log x 3(x >0，且x ≠1)；⑥y ＝log 2πx .其中是对数函数的为( )A ．③④⑤B ．②④⑥C ．①③⑤⑥D ．③⑥[解析]由对数函数定义知，③⑥是对数函数，故选D. 3．下列函数表达式中，是对数函数的有( )①y ＝log x 2；②y ＝log a x (a ∈R)；③y ＝log 8x ；④y ＝ln x ；⑤y ＝log x (x ＋2)；⑥y ＝2log 4x ；⑦y ＝log 2(x ＋1)．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[解析]形如y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的函数即为对数函数，符合此形式的只有③④，其他的不符合．故选B. 4．下列函数是对数函数的是( )A ．y ＝2＋log 3xB ．y ＝log a (2a )(a >0，且a ≠1)C ．y ＝log a x 2(a >0，且a ≠1)D ．y ＝ln x[解析]结合对数函数的形式y ＝l o g a x (a >0且a ≠1)可知D 正确． 5．下列函数是对数函数的是( )A ．y ＝log a (2x )B ．y ＝log 22xC ．y ＝log 2x ＋1D ．y ＝lg x[解析]形如y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的函数即为对数函数，符合此形式的只有D ，其他的不符合．故选D. 6．下列函数是对数函数的有( )①y ＝2log 3x ；②y ＝1＋log 3x ；③y ＝log 3x ；④y ＝(log 3x )2. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个[解析]结合对数函数的形式y ＝l o g a x (a >0且a ≠1)可知A 正确． 7．若f (x )＝log a x ＋(a 2－4a －5)是对数函数，则a ＝______.[解析]由对数函数的定义可知，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a －5＝0，a ＞0，a ≠1，解得a ＝5.答案：58．函数f (x )＝(a 2＋a －5)log a x 为对数函数，则f ⎝⎛⎭⎫18等于( )A ．3B ．－3C ．－log 36D ．－log 38[解析]∵函数f (x )＝(a 2＋a －5)log ax 为对数函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －5＝1，a ＞0，a ≠1，解得a ＝2，∴f (x )＝log 2x ，∴f ⎝⎛⎭⎫18＝log 218＝－3.故选B. 9．若函数y ＝log (2a －1)x ＋(a 2－5a ＋4)是对数函数，则a ＝________.[解析]因为函数y ＝log (2a －1)x ＋(a 2－5a ＋4)是对数函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1>0，2a －1≠1，a 2－5a ＋4＝0，解得a ＝4.10．若函数f (x )＝log (a ＋1)x ＋(a 2－2a －8)是对数函数，则a ＝________.[解析] 由对数函数的定义可知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －8＝0，a ＋1＞0，a ＋1≠1，解得a ＝4.11．若对数函数y ＝f (x )满足f (4)＝2，则该对数函数的解析式为( )A ．y ＝log 2xB ．y ＝2log 4xC ．y ＝log 2x 或y ＝2log 4xD ．不确定[解析]设对数函数的解析式为y ＝log a x (a >0，且a ≠1)，由题意可知log a 4＝2，∴a 2＝4，∴a ＝2. ∴该对数函数的解析式为y ＝log 2x.12．已知对数函数的图象过点(16,4)，则f ⎝⎛⎭⎫12＝__________.[解析]设对数函数为f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，由f (16)＝4可知log a 16＝4，∴a ＝2， ∴f (x )＝log 2x ，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝log 212＝－1. 13．已知对数函数f (x )的图象过点(8，－3)，则f (22)＝________. [解析]设f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，则－3＝log a 8，∴a ＝12，∴f (x )＝log 12x ，f (22)＝log 12(22)＝－log 2(22)＝－32.14．已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a )．若f (3)＝1，则a ＝________. [解析]由f (3)＝1得l o g 2(32＋a )＝1，所以9＋a ＝2，解得a ＝－7. 15．已知f (x )为对数函数，f ⎝⎛⎭⎫12＝－2，则f ⎝⎛⎭⎫14＝________. [解析]设f (x )＝log a x ，则f ⎝⎛⎭⎫12＝log a 12＝－2，得a ＝2，f ⎝⎛⎭⎫14＝log 2 14＝－4. 16．已知函数f(x )＝alog 2x ＋blog 3x ＋2，且f ⎝⎛⎭⎫12019＝4，则f(2019)的值为( )A ．－4B ．－2C ．0D ．2[解析]f(x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝alog 2 x ＋blog 3 x ＋2＋alog 21x ＋blog 31x ＋2＝4，所以f(2019)＋f ⎝⎛⎭⎫12019＝4， 又因为f ⎝⎛⎭⎫12019＝4，所以f(2019)＝0.17．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，2x ，x ≤0，若f (a )＝12，则a ＝________.[解析]当x >0时，f (x )＝log 2x ，由f (a )＝12得log 2a ＝12，即a ＝ 2.当x ≤0时，f (x )＝2x ，由f (a )＝12得2a ＝12，a ＝－1.综上a ＝－1或 2.18．设函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 019)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 019)的值等于___． [解析]∵f (x 21)＋f (x 22)＋f (x 23)＋…＋f (x 22 019)＝log a x 21＋log a x 22＋log a x 23＋…＋log a x 22 019＝log a (x 1x 2x 3…x 2 019)2＝2log a (x 1x 2x 3…x 2 019)＝2×8＝16.19．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x (x ≥4)，f (x ＋2)(x ＜4)，则f (log 23)＝________.[解析]因为log 23＜4，log 23＋2＝log 23＋log 24＝log 212＜4，log 212＋2＝log 212＋log 24＝log 248＞4， 所以f (log 23)＝f (log 248)＝2log248＝48.20．若函数y ＝f (x )是函数y ＝3x 的反函数，则f ⎝⎛⎭⎫12的值为 [解析]由题意可知f (x )＝log 3x ，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝log 312＝－log 32 题型二 对数型函数的定义域1．求下列函数的定义域：(1)f (x )＝lg(x －2)＋1x －3；(2)f (x )＝log (x ＋1)(16－4x )； (3)y ＝lg (2－x )；(4)y ＝1log 3(3x －2)．[解析] (1)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，x －3≠0，解得x >2且x ≠3，所以函数定义域为(2,3)∪(3，＋∞)． (2)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧16－4x >0，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0或0<x <4，所以函数定义域为(－1,0)∪(0,4)．(3)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ lg (2－x )≥0，2－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≥1，2－x >0.∴x ≤1.即y ＝lg (2－x )的定义域为{x |x ≤1}．(4)由⎩⎪⎨⎪⎧ log 3(3x －2)≠0，3x －2>0，得⎩⎪⎨⎪⎧3x －2≠1，3x >2，解得x >23，且x ≠1.∴y ＝1log 3(3x －2)的定义域为{x ⎪⎪⎭⎬⎫x >23，且x ≠1. 2．求下列函数的定义域：(1)y ＝1log 2(x －1)；(2)y ＝lg (x －3)；(3)y ＝log 2(16－4x )；(4)y ＝log (x －1)(3－x )．[解析] (1)要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，log 2(x －1)≠0，解得x >1，且x ≠2.∴函数y ＝1log 2(x －1)的定义域是{x |x >1，且x ≠2}．(2)要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧ x －3>0，lg (x －3)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －3>0，x －3≥1，解得x ≥4.∴所求函数的定义域是{x |x ≥4}．(3)要使函数式有意义，需16－4x >0，解得x <2.∴所求函数的定义域是{x |x <2}． (4)要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，x －1>0，x －1≠1，解得1<x <3，且x ≠2.∴所求函数的定义域是{x |1<x <3，且x ≠2}．3．求下列函数的定义域．(1)y ＝3log 2x ；(2)y ＝log 0.5(4x －3)；(3)y ＝log 0.5(4x －3)－1；(4)y ＝log (x ＋1)(2－x)． [解析] (1)定义域为(0，＋∞)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧4x －3>0，4x －3≤1，解得34<x ≤1，∴定义域为⎝⎛⎦⎤34，1. (3)由⎩⎪⎨⎪⎧4x －3>0，4x －3≤12，解得34<x ≤78，∴定义域为⎝⎛⎦⎤34，78. (4)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x ＋1≠1，2－x>0，解得－1<x<0或0<x<2，∴定义域为(－1,0)∪(0,2)．4．求下列函数的定义域． (1)y ＝log 0.4(x －1)2x －1；(2)y ＝1log 0.5(x －1)；(3)y ＝log a (4x －3)(a>0且a ≠1)．[解析] (1)⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，log 0.4(x －1)≥0，2x －1≠0，解得1<x ≤2，∴定义域为{x|1<x ≤2}．(2)⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，log 0.5(x －1)>0，解得1<x<2，∴定义域为{x|1<x<2}． (3)当0<a<1时，0<4x －3≤1⇒34<x ≤1，∴定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 34<x ≤1；当a>1时，4x －3≥1⇒x ≥1，∴定义域为{x|x ≥1}. 5．求下列函数的定义域： (1)f (x )＝1log 12x ＋1；(2)f (x )＝12－x ＋ln(x ＋1)；(3)f (x )＝log (2x －1)(－4x ＋8)； [解析] (1)要使函数f (x )有意义，则log 12x ＋1>0，即log 12x >－1，解得0<x <2，即函数f (x )的定义域为(0,2)．(2)函数式若有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，2－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x <2，解得－1<x <2，故函数的定义域为(－1,2)．(3)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＋8>0，2x －1>0，2x －1≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x <2，x >12，x ≠1.故函数y ＝log (2x －1)(－4x ＋8)的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <2，且x ≠1. 6．函数y ＝lnx －2的定义域是( )A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．[4，＋∞) [解析]要使函数有意义，真数需大于0，所以x －2＞0，即x ＞2.故选C. 7．函数f (x )＝lg(x －1)＋4－x 的定义域为( )A ．(1,4]B ．(1,4)C ．[1,4]D ．[1,4)[解析]由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x －1＞0，4－x ≥0，所以1＜x ≤4.8．函数f(x)＝1－2log 5x 的定义域为________．[解析]由1－2log 5x ≥0，得log 5x ≤12，故0<x ≤ 5.[答案] (0，5]9．函数y ＝1log 2(x －2)的定义域为( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞)[解析]要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，log 2(x －2)≠0，解得x ＞2且x ≠3，故选C.10．函数f (x )＝lg (4－x )x －3的定义域为________．[解析]由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4－x ＞0，x －3≠0⇒{x |x ＜4，且x ≠3}．11．函数f (x )＝1log 2x －1的定义域为( )A ．(0,2)B ．(0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)[解析]若函数f (x )有意义，则log 2x －1＞0，∴log 2x ＞1，∴x ＞2.所以函数f (x )的定义域为(2，＋∞)． 12．函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( )A ．(0,1)B ．[0,1)C ．(0,1]D ．[0,1][解析]由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－x >0，得0≤x <1，故选B.13．函数f (x )＝1－xlg (x ＋1)的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1,0)∪(0，＋∞)D ．[－1,1)∪(1，＋∞)[解析]由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，x ＋1≠1⇒x ＞－1，且x ≠0.故选C.14．函数y ＝3－x2－log 2(x ＋1)的定义域是( )A ．(－1,3)B ．(－1,3]C ．(－∞，3)D ．(－1，＋∞)[解析]若要函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≥0，x ＋1＞0，2≠log 2(x ＋1)，解得－1＜x ＜3.15．函数f (x )＝a －lg x 的定义域为(0,10]，则实数a 的值为( )A ．0B ．10C ．1D ．110[解析]由已知，得a －lg x ≥0的解集为(0,10]，由a －lg x ≥0，得lg x ≤a ， 又当0＜x ≤10时，lg x ≤1，所以a ＝1，故选C.16．若函数y ＝log a (x ＋a )(a >0且a ≠1)的图象过点(－1，0)．(1)求a 的值；(2)求函数的定义域．[解析] (1)将(－1,0)代入y ＝log a (x ＋a )(a >0，a ≠1)中，有0＝log a (－1＋a )，则－1＋a ＝1，所以a ＝2. (2)由(1)知y ＝log 2(x ＋2)，由x ＋2>0，解得x >－2，所以函数的定义域为{x |x >－2}． 17．函数f (x )＝lg x ＋lg(5－3x )的定义域是( )A.⎣⎡⎭⎫0，53 B.⎣⎡⎦⎤0，53 C.⎣⎡⎭⎫1，53 D.⎣⎡⎦⎤1，53 [解析]由⎩⎪⎨⎪⎧lg x ≥0，5－3x >0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x <53，即1≤x <53.18．若函数y ＝log 2(kx 2＋4kx ＋5)的定义域为R ，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，54 B.⎣⎡⎭⎫0，54C.⎣⎡⎦⎤0，54 D ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫54，＋∞[解析]由题意得，kx 2＋4kx ＋5＞0在R 上恒成立．k ＝0时，成立；k ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0，Δ＝16k 2－20k ＜0，解得0＜k ＜54，综上，k ∈⎣⎡⎭⎫0，54，故选B. 19．已知函数f (x )＝lg (ax 2＋2x ＋1)．若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围． [解析]由已知，u ＝ax 2＋2x ＋1的值恒为正，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－4a <0，解得a 的取值范围是a >1.20．已知函数f (x )＝log 2⎣⎡⎦⎤ax 2＋(a －1)x ＋14.若定义域为R ，求实数a 的取值范围； [解析] 要使f (x )的定义域为R ，则对任意实数x 都有t ＝ax 2＋(a －1)x ＋14>0恒成立．当a ＝0时，不合题意；当a ≠0时，由二次函数图象可知⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝(a －1)2－a <0.解得3－52<a <3＋52.故所求a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫3－52，3＋52. 题型三 对数函数的图象问题1．函数y ＝lg(x ＋1)的图象大致是( )[解析]由底数大于1可排除A 、B ，y ＝lg(x ＋1)可看作是y ＝lgx 的图象向左平移1个单位． (或令x ＝0得y ＝0，而且函数为增函数)，[答案] C 2．函数f (x )＝log 2(1－x )的图象为( )[解析]该函数为单调递减的复合函数，且过定点(0,0)，故A 正确．3．函数y ＝lg |x |x的图象大致是( )[解析]由函数y ＝lg |x |x 的定义域是{x |x ≠0}，易得函数为奇函数，所以函数图象关于原点对称，可排除A ，B ，当x ＝1时，y ＝lg 1＝0，故图象与x 轴相交，且其中一个交点为(1,0)，只有D 中图象符合． 4．如图，若C 1，C 2分别为函数y ＝log a x 和y ＝log b x 的图象，则( )A ．0<a <b <1B ．0<b <a <1C ．a >b >1D ．b >a >1[解析]作直线y ＝1，则直线与C 1，C 2的交点的横坐标分别为a ，b ，易知0<b <a <1. 5．已知m ，n ∈R ，函数f(x)＝m ＋log n x 的图象如右图，则m ，n 的取值范围分别是( )A ．m>0,0<n<1B ．m<0,0<n<1C ．m>0，n>1D ．m<0，n>1 [解析] 由图象知函数为增函数，故n>1.又当x ＝1时，f(x)＝m>0，故m>0.[答案] C6．如图所示的曲线是对数函数y ＝log a x ，y ＝log b x ，y ＝log c x ，y ＝log d x 的图象，则a ，b ，c ，d,1,0的大小关系为________．[解析]由题图可知函数y ＝log a x ，y ＝log b x 的底数a >1，b >1，函数y ＝log c x ，y ＝log d x 的底数0<c <1,0<d <1. 过点(0,1)作平行于x 轴的直线l (图略)，则直线l 与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为 c ，d ，a ，b ， 显然b >a >1>d >c >0.7．当a >1时，在同一坐标系中，函数y ＝a －x 与y ＝log a x 的图象为( )[解析]∵a>1，∴0<1－x是减函数，y＝log a x是增函数，故选C.a<1，∴y＝a8．已知0<a<1，函数y＝a x与y＝log a(－x)的图象可能是()[解析]因为0<a<1，所以y＝a x单调递减，y＝log a x单调递减，而y＝log a(－x)与y＝log a x关于y轴对称，所以选D．9．若函数f(x)＝log a(x＋b)的图象如图，其中a，b为常数，则函数g(x)＝a x＋b的图象大致是()[解析]由函数f(x)＝log a(x＋b)的图象可知，函数f(x)＝log a(x＋b)在(－b，＋∞)上是减函数．∴0<a<1且0<b<1.所以g(x)＝a x＋b在R上是减函数，故排除A、B.由g(x)的值域为(b，＋∞)．所以g(x)＝a x＋b的图象应在直线y＝b的上方，故排除C.[答案] D10．函数f(x)＝log a(x＋2)(0<a<1)的图象必不过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析]∵f(x)＝log a(x＋2)(0＜a＜1)，∴其图象如下图所示，故选A.11．已知lg a＋lg b＝0，则函数f(x)＝a x与函数g(x)＝－log b x的图象可能是()[解析]由lg a＋lg b＝0，得lg(ab)＝0，所以ab＝1，故a＝1b，所以当0＜b＜1时，a＞1；当b＞1时，0＜a＜1.又因为函数y＝－log b x与函数y＝log b x的图象关于x轴对称．利用这些信息可知选项B符合0＜b＜1且a＞1的情况．12．函数y＝log a(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________．[解析]因为函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，则令x＋1＝1，得x＝0，此时y＝log a(x＋1)－2＝－2，所以函数y＝log a(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0，－2).13．已知函数y＝log a(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．[解析]y＝l o g a x的图象恒过点(1,0)，令x－3＝1，得x＝4，则y＝－1.14．函数f(x)＝log a(x＋2)＋3(a>0，且a≠1)的图象恒过定点________．[解析]令x＋2＝1，解得x＝－1.因为f(－1)＝3，所以f(x)的图象恒过定点(－1,3)．15．函数y＝2＋log a(3x－2)(a>0，且a≠1)的图象所过定点的坐标是________．[解析]令3x－2＝1，解得x＝1，此时y＝2，即函数y＝2＋log a(3x－2)(a>0，且a≠1)的图象过定点(1,2)．16．若函数f(x)＝－5log a(x－1)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．[解析]令x－1＝1，得x＝2，即f(2)＝2，故P(2,2)．17．若函数y＝log a(x＋b)＋c(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b，c的值分别为_______．[解析]∵函数的图象恒过定点(3,2)，∴将(3,2)代入y＝log a(x＋b)＋c，得2＝log a(3＋b)＋C．又当a>0，且a≠1时，log a1＝0恒成立，∴c＝2，由log a(3＋b)＝0，得3＋b＝1，∴b＝－2.故填－2,2.18．已知f(x)＝log a|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．[解析]∵f(x)＝log a|x|，∴f(－5)＝log a5＝1，即a＝5，∴f(x)＝log5|x|，∴f(x)是偶函数，其图象如图所示．19．已知f(x)＝log3x.(1)作出这个函数的图象；(2)若f(a)<f(2)，利用图象求a的取值范围．[解析](1)作出函数y ＝log 3x 的图象如图所示．(2)令f (x )＝f (2)，即log 3x ＝log 32，解得x ＝2.由图象知：当0<a <2时，恒有f (a )<f (2)．所以所求a 的取值范围为0<a <2.20．若函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg(x ＋1)，求f (x )的表达式，并画出大致图象．[解析]∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0.又当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，∴f (－x )＝lg(1－x )．又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－lg(1－x )，∴f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ lg(x ＋1)，x >0，0，x ＝0，－lg(1－x )，x <0，∴f (x )的大致图象如图所示．21．已知函数f (x )＝lg |x |，(1)判断函数f (x )的奇偶性；(2)画出函数f (x )的图象草图；(3)利用定义证明函数f (x )在区间(－∞，0)上是减函数．[解析] (1)要使函数有意义，x 的取值需满足|x |>0，解得x ≠0，即函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． 因为f (－x )＝lg |－x |＝lg |x |＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数．(2)由于函数f (x )是偶函数，则其图象关于y 轴对称，将函数y ＝lg x 的图象对称到y 轴的左侧与函数y ＝lg x 的图象合起来得函数f (x )的图象，如图所示．(3)证明：设x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝lg |x 1|－lg |x 2|＝lg |x 1||x 2|＝lg ⎪⎪⎪⎪x 1x 2.因为x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1＜x 2， 所以|x 1|>|x 2|＞0.所以⎪⎪⎪⎪x 1x 2＞1.所以lg ⎪⎪⎪⎪x 1x 2＞0.所以f (x 1)＞f (x 2)． 所以函数f (x )在区间(－∞，0)上是减函数． 22．若不等式x 2－log m x <0在⎝⎛⎭⎫0，12内恒成立，求实数m 的取值范围． [解析]由x 2－log m x <0，得x 2<log m x ，在同一坐标系中作y ＝x 2和y ＝log m x 的草图，如图所示．要使x 2<log m x 在⎝⎛⎭⎫0，12内恒成立，只要y ＝log m x 在⎝⎛⎭⎫0，12内的图象在y ＝x 2的上方，于是0<m <1. ∵x ＝12时，y ＝x 2＝14，∴只要x ＝12时，y ＝log m 12≥14＝log m m 14，∴12≤m 14，即116≤m . 又0<m <1，∴116≤m <1.即实数m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫116，1.。
对数函数的概念、图象及性质(高中数学)
() A．y＝2＋log3x
logax(a> 0 且 a≠1)可知 D 正确．]
B．y＝loga(2a)(a>0，且 a≠1)
C．y＝logax2(a>0，且 a≠1)
D．y＝ln x
35
3．函数 f(x)＝ lg x＋lg(5－3x) 的定义域是( )
C [由l5g－x≥3x>0，0， 得
A.0，53 B.0，53 C.1，53
24
【例 3】 (1)当 a>1 时，在同一坐标系中，函数 y＝a－x 与 y＝logax
的图象为( )
A
B
C
D
(2)已知 f(x)＝loga|x|，满足 f(－5)＝1，试画出函数 f(x)的图象．
[思路点拨] (1)结合 a>1 时 y＝a－x＝1ax 及 y＝logax 的图象求解．
(2)由 f(－5)＝1 求得 a，然后借助函数的奇偶性作图．
27
C [∵在 y＝loga(－x)中，－x＞0，∴x＜0， ∴图象只能在 y 轴的左侧，故排除 A，D； 当 a＞1 时，y＝loga(－x)是减函数， y＝a－x＝1ax 是减函数，故排除 B； 当 0＜a＜1 时，y＝loga(－x)是增函数， y＝a－x＝1ax 是增函数，∴C 满足条件，故选 C.]
解得－1<x<0 或 0<x<4， 所以函数定义域为(－1,0)∪(0,4)．
23
对数函数的图象问题
[探究问题] 1．如图，曲线 C1，C2，C3，C4 分别对应 y＝loga1x， y＝loga2x，y＝loga3x，y＝loga4x 的图象，你能指出 a1， a2，a3，a4 以及 1 的大小关系吗？ 提示：作直线 y＝1，它与各曲线 C1，C2，C3，C4 的交点的横坐标就 是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小必有 a4>a3>1>a2>a1>0. 2．函数 y＝ax 与 y＝logax(a>0 且 a≠1)的图象有何特点？ 提示：两函数的图象关于直线 y＝x 对称．
对数函数的图象和性质PPT
课 时 分
A．(0,3)
B．[0,3]
层 作
业
第
C．(－∞，3]
二
D．[0，＋∞)
阶
段
返 首 页
30
第 一
2．设 a＝log3π，b＝log2 3，c＝log3 2，则( A )
阶
段
A．a＞b＞c
课
时
B．a＞c＞b
分 层
作
C．b＞a＞c
业
第
二
D．b＞c＞a
阶
段
返 首 页
31
对数函数的图象
第
一
阶
段
返 首 页
15
与对数函数有关的定义域问题
第
一
阶
段
【例 2】求下列函数的定义域：
课 时
分
(1)y＝loga(x－3)＋loga(x＋3)；
层 作
第
(2)y＝loga[(x＋3)(x－3)]；
业
二 阶
(3)f(x)＝log(2x－1)(－4x＋8)．
段
返 首 页
16
解：(1)由xx＋－33>>00， 得 x>3，
段
(1)D (2)4 (3)－1 解析：(1)由对数函数定义知，③⑥是对数 课
时
函数，故选 D.
分 层
(2) 因 为 函 数 y ＝ log(2a － 1)x ＋ (a2 － 5a ＋ 4) 是 对 数 函 数 ， 所 以
作 业
第
二 阶 段
2a－1>0，
2a－1≠1，
解得 a＝4.
a2－5a＋4＝0，
课
(0，＋∞) 解析：f(x)的定义域为 R.
对数函数的特殊图像和特殊曲线
对数函数的特殊图像和特殊曲线对数函数是数学中常见的一种函数，它的特殊图像和特殊曲线是数学中的一个经典话题。
在本文中，我们将从数学的角度讨论对数函数的图像和曲线，以及它们的特殊性质。
一、对数函数的基本定义对数函数的定义很简单：对数函数y=loga x表示以a为底数，x 的对数。
其中，a需要满足a>0且a≠1，而x需要满足x>0。
对数函数在数学中扮演着重要的角色，它与指数函数密切相关，是高等数学、物理学和工程学中不可或缺的数学工具。
二、对数函数的图像及特性对数函数的图像是一条典型的曲线，它的特点在于：当x趋近于无穷大时，y值增长很快，但增长的速度逐渐减缓。
当x趋近于零时，y值趋近于负无穷大。
具体来说，以指数函数y=2^x和对数函数y=log2 x为例，它们的图像如下图所示：[插入一张2^x和log2x的图像]从图中可以看出，对数函数y=log2 x的图像与指数函数y=2^x 的图像在y=x这条直线上交换了位置。
实际上，这是因为它们之间存在对称关系，即y=loga x与x=a^y互为反函数，同时它们的图像也互为镜像。
从图像上来看，对数函数的特点还有以下几点：1. 对数函数在x为1的时候有一个特殊的切点，y=0。
2. 对数函数的图像在x轴的左侧是单调递减的，在右侧是单调递增的。
3. 对于a>1的对数函数，常数c的指数函数增长速度要快于指数函数a^x，也就是说，对于任意正数c，存在一个正数N，当x>N时，有loga x<c^x。
三、对数函数的特殊曲线对数函数的特殊曲线有三种，分别是反比例函数、对数螺线和椭圆曲线。
1. 反比例函数反比例函数是一种特殊的函数，它的定义形式是y=k/x，其中k 是常数。
它有一个重要的性质：它的图像与对数函数的图像互为镜像。
具体来说，反比例函数的图像如下图所示：[插入一张反比例函数的图像]从图中可以看出，反比例函数在x轴的右侧是单调递减的，在左侧是单调递增的。