【精选】七年级数学上册专题复习第二章有理数及其运算北师大版
北师大版七年级数学(上册)《第二章_有理数与运算》复习课件
(2)推广：几个不为 0 的有理数相乘，积的符号由负_因__数___的个
数决定，当负__因__数___有奇数个时，积为负_____，当负__因__数___有偶数个
时，积为正_____； 3 (3)倒5数：乘积为
1
的两个有理数互为倒数，如－2
与－_12__、
_5___与__3___；
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第二章复习
考点攻略
►考点一 用正数和负数表示具有相反意义的量
规定正常水位为 0 米，高于正常水位 0.2 米记作＋0.2 米，则下列说法错误的是( C )
A．高于正常水位 3 米记作＋3 米 B．低于正常水位 5 米记作－5 米 C．＋6 米表示水深为 6 米 D．－1 米表示比正常水位低 1 米
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第二章复习
易错警示 用科学记数法 a×10n 表示大数时，要注意两点：(1)a 的整数部分只有一位，它大于或等于 1 但是小于 10；(2)n 是正整数，它的值等于原数的整数位数减 1.
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第二章复习 针对第6题训练
如图 2－4 所示，数轴上两点 A、B 分别表示实数 a、b， 则下列四个数中最大的一个数是( D )
－1312，，＋－62，，2－72，4.20.8,314
，…}； ，…}；
正整数：{
13，＋6
，…}；
正分数：{ 负整数：{ 负分数：{
－21272，，－－02.48.,2314
，…}； ，…}； ，…}．
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第二章复习
[解析] 以前学过的数除 0 以外都是正数，正数前面 加上“－”就是负数，然后再看它们是整数还是分数．
七年级数学上册 第二章 有理数及其运算 (知识归纳+考点攻略+方法技巧)复习课件(新版)北师大版
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第二章复习
方法技巧 用正数和负数表示具有相反意义的量，关键是看规定 哪种意义的量为正，则与之相反意义的量为负．
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数学1·6 课标版（BS）
第二章复习 ►考点五 有理数的大小比较
用“＞”或“＜”填空：
(1)9___＞_____－16； (2)－175___＜_____－125；(3)0___＞_____－7.
[解析] 因为正数大于负数，所以 9＞－16；因为在数轴
7
2
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第二章复习
(4) 运 算 律 ： ① 交 换 律 ： a·b ＝ _____ ； ② 结 合 律 ： (a·b)·c ＝
__a_·(_b_8(·1_．c))_法有则；理一③数：乘的两法除数对法相加除法，的同分号配得律_：_b_·a_a(，b＋异c号)＝得_a__b___＋___，_a_c并__把. 绝对
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数学2·1 课标版（BS）
第二章复习
易错警示
(1)－22 与(－2)2 不同，－22 的底数是 2，(－2)2 的底数
是－2；
(2)在计算 12÷
12―13―14时，要清楚除法没有分配律；
(3)有理数的混合运算一定要按照顺序进行，同时要注
意每一步运算的符号．
幂
底数
指数
2019/11/8
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北师大版七年级数学上册第二章《有理数及其运算》复习题含答案解析 (22)
一、选择题1.在运用有理数加法法则求两个有理数的和时，下列的一些思考步骤中最先进行的是()A．求两个有理数的绝对值，并比较大小B．确定和的符号C．观察两个有理数的符号，并作出一些判断D．用较大的绝对值减去较小的绝对值2.如图，点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别为a，b，有以下结论：甲：b−a<0．乙：a+b>0．丙：a<∣b∣．丁：ab>∣ab∣，其中结论正确的是( )A．甲、乙B．甲、丙C．丙、丁D．乙、丁3.2019年世界超高清视频产业发展大会在广州召开，到2022年我国超高清视频产业规模将超过4万亿元．4万亿用科学记数法表示为( )A．4×104B．4×108C．4×1012D．4×10134.有理数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是( )A．m<−1B．n>3C．m<−n D．m>−n5.有理数a，b在数轴上的位置如图所示，下列选项正确的是( )A．a+b>a−b B．ab>0C．∣b−1∣<1D．∣a−b∣>16.在数轴上有两个点，分别表示数x和y，已知∣x∣=1，且x>0，∣y+1∣=4，那么这两个点之间距离为( )A．2或6B．5或3C．2D．37.数轴上点A，M，B分别表示数a，a+b，b，那么下列运算结果一定是正数的是( )A．a+b B．a−b C．ab D．∣a∣−b8.古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10⋯这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16⋯ 这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于 1 的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是 ( )A ．13=3+10B ．25=9+16C ．36=15+21D ．49=18+319. 已知 a ，b ，c 为有理数，且 a +b +c =0，b ≥−c >∣a ∣，且 a ，b ，c 与 0 的大小关系是 ( ) A ． a <0，b >0，c <0 B ． a >0，b >0，c <0 C ． a ≥0，b <0，c >0D ． a ≤0，b >0，c <010. 一串数字的排列规律是：第一个数是 2，从第二个数起每一个数与前一个数的倒数之和为 1，则第 2020 个数是 ( ) A ． 2 B ． −2 C ． −1 D ． 12二、填空题11. 定义一种新运算：a ⋇b ={a −b,a ≥b3b,a <b ，则当 x =3 时，2⋇x −4⋇x 的结果为 ．12. 在数轴上将点 A 移动 3 个单位长度恰好到达 −2 的位置，则点 A 表示的数是 ．13. 代数式 ∣x −2018∣+5 的最小值是 ．14. 定义新运算：对任意有理数 a ，b ，c ，都有 a ∗b ∗c =∣a−b−c∣+a+b+c2．例如：(−1)∗2∗3=∣−1−2−3∣+(−1)+2+32=5．将 −716，−616，−516，−416，−316，−216，−116，816，916，1016，1116，1216，1316，1416，1516这 15 个数分成5 组，每组 3 个数，进行 a ∗b ∗c 运算，得到 5 个不同的结果，那么 5 个结果之和的最大值是 ．15. 数轴上点 M 表示有理数 −3，将点 M 向右平移 2 个单位长度到达点 N ，点 E 到点 N 的距离为 4，则点 E 表示的有理数为 ．16. 我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为 个．17. 已知 a ，b ，c 为有理数，且满足 abc <0，a +b +c =0，则 ∣a∣b+c+∣b∣a+c+∣c∣b+a的值为 ．三、解答题18. 在数轴上把下列各数表示出来，并用“<”连接各数．23，−∣−1∣，112，0，−(−3.5)．19. 已知六（2）班有班费 300 元，收入记为正，支出记为负，生活委员的记录为：+50.5 元，−15.4 元，−5 元，则现在还有多少班费？20. 观察下列各式：−1×12=−1+12；−12×13=−12+13； −13×14=−13+14； ⋯．(1) 你发现的规律是 （用含 n 的式子表示）．(2) 用以上规律计算：(−1×12)+(−12×13)+(−13×14)+⋯+(−12017×12018)．21. 完成下列各题．(1) 19−9÷(−3)×(−13)．(2) −14+16÷(−2)3×∣−3−1∣．22. 已知 m 和 n 互为相反数，p 和 q 互为倒数，a 的绝对值是 2，求 m+n2000a −2004pq +14a 2 的值．23.如图：有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简下列各式：(1) ∣a∣=，∣b∣=，∣c∣=，∣a+b∣=，∣b−c∣=；(2) ∣a+b∣+∣b−c∣．24.如图，四边形AOBC是正方形，点C的坐标是(8√2,0)．(1) 正方形AOBC的边长为，点A的坐标是；(2) 将正方形AOBC绕点O顺时针旋转45∘，点A，B，C旋转后的对应点为Aʹ，Bʹ，Cʹ，求点Aʹ的坐标及旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积；(3) 动点P从点O出发，沿折线OACB方向以1个单位/秒的速度匀速运动，同时，另一动点Q从点O出发，沿折线OBCA方向以2个单位/秒的速度匀速运动，运动时间为t秒，当它们相遇时同时停止运动，当△OPQ为等腰三角形时，求出t的值（直接写出结果即可）．25.已知：△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，a是最小的合数，b，c满足等式：∣b−5∣+(c−6)2=0，点P是△ABC的边上一动点，点P从点B开始沿着△ABC的边按BA→AC→CB顺序顺时针移动一周，回到点B后停止，移动的路程为S，如图1所示．(1) 试求出△ABC的周长；(2) 当点P移动到AC边上时，化简：∣S−4∣+∣3S−6∣+∣4S−45∣．答案一、选择题1. 【答案】C【解析】【分析】本题主要考查有理数的加法，熟练掌握加法法则是解题的关键．【解析】解：在运用有理数加法法则求两个有理数的和时，思考步骤中最先进行的是：观察两个有理数的符号，属于同号还是异号；其次是确定和的符号；然后求两个有理数的绝对值，并比较大小，最后是用较大的绝对值减去较小的绝对值，故选：C．【点评】本题主要考查有理数的加法运算，熟练掌握运算的法则是解题的关键．2. 【答案】B【解析】∵b<a，∴b−a<0，故甲正确；∵b<−2，0<a<2，∴a+b<0；故乙错误；∵b<−2，0<a<2，∴∣b∣>2，∴a<∣b∣，故丙正确；∵b<0，a>0，∴ab<0，∴ab<∣ab∣，故丁错误；∴正确的是：甲、丙．3. 【答案】C4. 【答案】D【解析】由数轴可得，−1<m<0<2<n<3，故选项A错误，选项B错误，∴m>−n，故选项C错误，选项D正确．5. 【答案】D【解析】由题可知0<a<1，正数，b<−1，负数；A．a+b<0，a−b>0，∴a+b<a−b，故A错误；B．a，b异号，ab<0，故B错误；C．b−1<−2，∣b−1∣>2>1，故C错误；D．a>0，−b>1，∣a−b∣>1，故D正确．故选D．6. 【答案】A【解析】∵∣x∣=1，且x>0，∴x=1，∵∣y+1∣=4，∴y=−5或3，∴这两个点之间距离为1−(−5)=6或3−1=2．7. 【答案】A【解析】∵a<a+b，∴b>0．∵a+b<b，∴a<0．∵AM>BM，∴∣a+b−a∣>∣a+b−b∣，∴∣b∣>∣a∣．∵a<0，b>0，∣b∣>∣a∣，A．∵a<0，b>0，∣b∣>∣a∣，a+b>0，故正确；B．∵a<0，b>0，a−b<0，故不正确；C．∵a<0，b>0，ab<0，故不正确；D．∵a<0，b>0，∣b∣>∣a∣，∣a∣−b<0，故不正确．8. 【答案】C【解析】显然选项A中13不是“正方形数”；选项B、D中等式右侧并不是两个相邻“三角形数”之和．9. 【答案】D【解析】∵∣a∣≥0，则b≥−c>∣a∣≥0，b>0，−c>0，即c<0，a+b+c=0，即a+b=−c≤b，即a≤0，∴a≤0，b>0，c<0．10. 【答案】A【解析】第一个数是2，倒数是1，2，倒数是2，第二个数是12第三个数是−1，倒数是−1．第四个数是2．由规律可知，这串数由 2，12，−1 循环出现 2020÷3=673⋯1， ∴ 第 2020 个数是 2．二、填空题 11. 【答案】 8【解析】当 x =3 时，原式=2⋇3−4⋇3=9−(4−3)=9−1=8.12. 【答案】 1 或 −5【解析】根据数轴上距离某点 3 个单位长度的数有两个来分情况讨论：若点 A 在 −2 的左边，移动 3 个单位长度恰好到达 −2 的位置，此时点 A 表示的数是 −5； 若点 A 在 −2 的右边，移动 3 个单位长度恰好到达 −2 的位置，此时点 A 表示的数是 1， ∴ 点 A 表示的数为 1 或 −5．13. 【答案】 5【解析】 ∵∣x −2018∣≥0， ∴∣x −2018∣+5≥5，∴ 代数式 ∣x −2018∣+5 的最小值是 5．14. 【答案】158【解析】令 b ，c 取最大的正数 1416，1516，a 取最小的负数 −716， ∴a ∗b ∗c =∣∣−716−1416−1516∣∣−716+1416+15162=158．15. 【答案】 −5 或 3【解析】 ∵ 点 M 表示有理数 −3，将点 M 向右平移 2 个单位长度到达点 N ， ∴ 点 N 表示 −3+2=−1，点 E 在点 N 的左边时，−1−4=−5， 点 E 在点 N 的右边时，−1+4=3， 综上所述，点 E 表示的有理数是 −5 或 3．16. 【答案】 1838【解析】 2+0×6+3×6×6+2×6×6×6+1×6×6×6×6=1838．17. 【答案】−1【解析】不妨设ab>0，c<0，∵a+b+c=0，∴a+b>0，∴a>0，b>0，∴原式=a−a +b−b+−c−c=−1−1+1=−1.故答案为：−1．三、解答题18. 【答案】如图所示：观察数轴可知：−∣−1∣<0<23<112<−(−3.5)．19. 【答案】300+50.5−15.4−5=330.1（元），答：现在还有330.1元班费．20. 【答案】(1) −1n ×1n+1=−1n+1n+1(2) 原式=−1+12−12+13−13+14−⋯−12017+12018 =−1+12018=−20172018.【解析】(1) ∵第1个式子为−1×12=−1+12第2个式子为−12×13=−12+13第3个式子为-13×14=−13+14⋯∴第n个式子为−1n ×1n+1=−1n+1n+1．21. 【答案】(1)19−9÷(−3)×(−13)=19−9×(−13)×(−13)=19−9×19=19−1=18.(2)−14+16÷(−2)3×∣−3−1∣=−1+16÷(−8)×4=−1+16×(−18)×4=−1+(−2)×4=−1−8=−9.22. 【答案】∵m和n互为相反数，p和q互为倒数，a的绝对值是2，∴m+n=0，pq=1，a=±2，a2=4．∴ m+n2000a −2004pq+14a2=0−2004×1+14×4=−2003.23. 【答案】(1) −a；b；−c；−(a+b)；b−c(2) −a−c．24. 【答案】(1) 8；(4√2,4√2)(2) 如图．∵四边形AOBC是正方形，∴∠AOB=90∘，∠AOC=45∘．∵将正方形AOBC绕点O顺时针旋转45∘，∴点Aʹ落在x轴上．又∵正方形的边长为8，∴OAʹ=OA=8．∴点Aʹ的坐标为(8,0)．∵OC=8√2，∴AʹC=OC−OAʹ=8√2−8．∵四边形OACB，OAʹCʹBʹ是正方形，∴∠OAʹCʹ=90∘，∠ACB=90∘，∴∠CAʹE=90∘，∠OCB=45∘．∴∠AʹEC=∠OCB=45∘．∴AʹE=AʹC=8√2−8．∴S OBEAʹ=S△OBC−S△AʹCE=12OB2−12AʹE2=12×82−12(8√2−8)2=64√2−64.∴旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积为64√2−64．(3) t=8或t=163．25. 【答案】(1) 由题意得a=4，b=5，c=6，所以，C=15．(2) 由题意得6≤S≤11，原式=S−4+3S−6+45−4S=35．11。
北师大版七年级数学上册第二章有理数及其运算期末复习课件
（3）李涛身上仅有10元钱，乘出租车到距离学校7千米远的博物馆的车费够
不够？请说明理由。
解：（1）7.2元
（2）6+1.2（x-3）元
方法一：6+1.2×（7-3）=10.8元, 因为10.8>10，所以车费不够
1
3
方法二：（10-6）÷1.2+3=6 （千米）
5. 9
8. 500
6. -9
9.下列每对数中，不相等的一对是（B ）
A.(−2)3 和 − 23 B.（ − 2）2 和 − 22
C.| − 2|3 和|2|3
D.（ − 4）2 和(−2)4
知识点六：科学计数法
科学计数法：把一个数表示为a×10 的情势，且1 ≤ < 10，n为原
数的整数位数减一.
有理数减法运算时注意一个“不变”：被减数与减数的位置不能变换，也
就是说，减法没有交换律。
绝对值
3.任何一个数都有两部分组成： 符号 ，
.
有理数的运算是先定符号，再定绝对值。
要分清“+”是正号还是加号，“-”是负号还是减号
1.填空
（-2）+（-5）=
（-3.5）+（+3.5）=
(−7) − (−13) =
称重如下（单位：千克）：27,24,23,28,21,26,22,27，为了求得8框样品
的总质量，我们可以选取一个恰当的基准数进行简化运算。
（1）你认为选取的这个恰当的基准为
；
（2）这8框水果的总质量是多少？
解：（1）25千克
（2）各数据与基准数据的差值分别为2，-1，-2,3，-4,1，-3，2
北师大版七年级上册数学 第二章 有理数及其运算2
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北师大版七年级上册数学基础课程
不积跬步无以至千里
最后大括号，有多层括号时，从里向外依次进行。 技巧：先观察算式的结构，策划好运算顺序，灵活进行运算。
【易错点总结】
【课堂练习】
1．（1）2
3
4
1 4
1
1
1
1
2、0.4
2
2 5
2
5 8
1
3 4
0.75
3.
24
99
1
3 8
644.6
加法交换律：a+b=b+a； 加法结合律：a+b+c=a+（b+c） 多个有理数相加时，把符号相同的数结合在一起计算比较简便，若有互为相反的数， 可利用它们的和为 0 的特点。 2. 有理数的减法 知识点：有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，即 a－b=a+（-b）。 注意：运算符号“+”加号、“－”减号与性质符号“+”正号、“-”负号统一与转化，如 a －b 中的减号也可看成负号，看作 a 与 b 的相反数的和：a+（-b）；一个数减去 0，仍得这个 数；0 减去一个数，应得这个数的相反数。 3. 有理数的加减混合运算 知识点：有理数的加减法混合运算可以运用减法法则统一成加法运算；加减法混合运算统一 成加法运算以后，可以把“+”号省略，使算式变得更加简洁。 4. 有理数的乘法 知识点：乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数和 0 相乘都 得 0。 几个不等于 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定；当负因数有奇数个时，积为 负；当负因数有偶数个时，积为正。几个数相乘，有一个因数为 0，积就为 0。 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：abc=a（bc） 乘法分配律：a（b+c）=ab+bc 5. 有理数的除法
北师大版七年级数学上册第二章 有理数及其运算 计算题专题练习题(含答案)
北师大版七年级数学上册第二章 有理数及其运算 计算题专题练习题专题(一) 有理数的加减运算1、计算：(－2)＋3＋1＋(－3)＋2＋(－4)．解：原式＝[(－2)＋2]＋[3＋(－3)]＋1＋(－4)＝0＋0＋1＋(－4)＝－3.2、计算：(＋9)－(＋10)＋(－2)－(－8)＋3.解：原式＝9－10－2＋8＋3＝(9＋8＋3)－(10＋2)＝20－12＝8.3、计算：(1)－23－35＋78－13－25＋18； 解：原式＝(－23－13)＋(－35－25)＋(78＋18) ＝－1－1＋1＝－1.(2)－479－(－315)－(＋229)＋(－615)． 解：原式＝[－479－(＋229)]＋[－(－315)＋(－615)] ＝－7－3＝－10.4、计算：|－0.75|＋(－3)－(－0.25)＋|－18|＋78. 解：原式＝0.75－3＋0.25＋18＋78＝(0.75＋0.25)＋(18＋78)－3 ＝1＋1－3＝－1.5、计算：－156＋(－523)＋2434＋312. 解：原式＝(－1－56)＋(－5－23)＋(24＋34)＋(3＋12) ＝[(－1)＋(－5)＋24＋3]＋[(－56)＋(－23)＋34＋12] ＝21＋(－14) ＝2034. 6、计算：634＋313－514－312＋123. 解：原式＝6＋34＋3＋13－5－14－3－12＋1＋23＝(6＋3－5－3＋1)＋(34＋13－14－12＋23) ＝2＋1＝3.7、计算：(1)(－7)－(＋5)＋(－4)－(－10)；解：原式＝－7－5－4＋10＝－6.(2)3.5－4.6＋3.5－2.4；解：原式＝(3.5＋3.5)＋(－2.4－4.6)＝7－7＝0.(3)－9＋6－(＋11)－(－15)；解：原式＝－9＋6－11＋15＝(－9－11)＋(6＋15)＝－20＋21＝1.(4)12＋(－23)＋45＋(－12)＋(－13)； 解：原式＝[12＋(－12)]＋[(－23)＋(－13)]＋45＝0＋(－1)＋45＝－15.(5)－478－(－512)＋(－412)－318；解：原式＝－478＋512－412－318＝(－478－318)＋(512－412) ＝－8＋1＝－7.(6)0.25＋112＋(－23)－14＋(－512)； 解：原式＝14＋112＋(－23)－14＋(－512) ＝(14－14)＋[112＋(－23)＋(－512)] ＝－1.(7)|－12|－(－2.5)－(－1)－|0－212|； 解：原式＝12＋2.5＋1－212＝(12＋1)＋(2.5－212) ＝112.(8)－205＋40034＋(－20423)＋(－112)； 解：原式＝(－205)＋400＋34＋(－204)＋(－23)＋(－1)＋(－12) ＝(400－205－204－1)＋(34－23－12)＝－10＋(－512) ＝－10512.(9)0＋1－[(－1)－(－37)－(＋5)－(－47)]＋|－4|； 解：原式＝1－[(－1)＋37－5＋47]＋4 ＝1－[(－1＋37＋47)－5]＋4 ＝10.(10)－12－16－112－120－130－142－156－172； 解：原式＝－(12＋16＋112＋120＋130＋142＋156＋172) ＝－(1－12＋12－13＋13－14＋14－15＋15－16＋16－17＋17－18＋18－19) ＝－(1－19) ＝－89.(11)1－2－3＋4＋5－6－7＋8＋…＋97－98－99＋100.解：原式＝(1－2)＋(－3＋4)＋(5－6)＋(－7＋8)＋…＋(97－98)＋(－99＋100) ＝－1＋1－1＋1－…－1＋1＝0.8、观察下列各式：12＝11×2＝1－12，16＝12×3＝12－13，112＝13×4＝13－14，…，根据规律完成下列各题．(1)19×10＝19－110； (2)计算12＋16＋112＋120＋…＋19 900的值为99100．专题(二) 有理数的混合运算1、计算：531×(－29)×(－2115)×(－412)． 解：原式＝－531×29×3115×92＝－(531×3115)×(29×92) ＝－13×1 ＝－13.2、计算：(14－16＋124)×(－48)． 解：原式＝14×(－48)－16×(－48)＋124×(－48) ＝－12＋8－2＝－6.3、计算：4×(－367)－3×(－367)－6×367. 解：原式＝－367×(4－3＋6) ＝－27.4、计算：(16－27＋23)÷(－542)． 解：原式＝(16－27＋23)×(－425) ＝16×(－425)－27×(－425)＋23×(－425) ＝－75＋125－285＝－235.5、计算：(能用简便方法的尽量用简便方法计算)(1)－0.75×(－112)÷(－214)； 解：原式＝－34×(－32)×(－49)＝－12.(2)－(3－5)×32÷(－1)3；解：原式＝－(－2)×9÷(－1)＝－2×9÷1＝－18.(3)(－1.5)×45÷(－25)×34； 解：原式＝32×45×52×34＝94.(4)－14＋16÷(－2)3×(－3－1)；解：原式＝－1＋16÷(－8)×(－4)＝－1＋8＝7.(5)(－5)÷(－127)×(－214)÷7； 解：原式＝－5×79×94×17＝－54.(6)0.7×1949＋234×(－14)＋0.7×59＋14×(－14)； 解：原式＝0.7×(1949＋59)－14×(234＋14) ＝0.7×20－14×3＝－28.(7)391314×(－14)； 解：原式＝(40－114)×(－14)＝40×(－14)－114×(－14) ＝－560＋1＝－559.(8)1318÷(－7)； 解：原式＝1318×(－17) ＝(14－78)×(－17) ＝－2＋18＝－178.(9)12.5×6.787 5×18＋1.25×678.75×0.125＋0.125×533.75×18； 解：原式＝(12.5×6.787 5＋1.25×678.75＋0.125×533.75)×18＝[125×(0.678 75＋6.787 5＋0.533 75)]×18＝125×8×18＝125.(10)(－5)－(－5)×110÷110×(－5)； 解：原式＝(－5)－(－5)×110×10×(－5)＝－5－25＝－30.(11)(－42)÷(223)2＋512×(－16)－(－0.5)2； 解：原式＝(－16)÷649－1112－14＝－94－1112－14＝－4112.(12)148÷(38－56＋14)； 解：因为(38－56＋14)÷148＝(38－56＋14)×48 ＝38×48－56×48＋14×48 ＝18－40＋12＝－10，所以148÷(38－56＋14)＝－110.(13)(－12)÷(－4)－27÷(－3)×(－13)； 解：原式＝3－9×13＝3－3＝0.(14)(－2)3－16×(38－1)＋2÷(12―14―16)． 解：原式＝－8－16×38＋16＋2÷(612－312－212) ＝－8－6＋16＋2÷112＝2＋24＝26.。
北师大版七年级数学上册第二章《有理数及其运算》精品复习课件
|a|= a (a＞0) |a|= 0 (a=0) |a|=-a (a＜0)
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1.下列说法错误的是( B )
A、一个正数的绝对值一定是正数 B、一个负数的绝对值一定是正数 C、任何数的绝对值都不是负数 D、任何数的绝对值 一定是正数
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2.下列说法正确的是( D )
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3、相反数：
只有_符__号__不同的两个数互为相反数. 0的相反数是_0_. a的相反数是__-_a__. 如果a与b互为相反数，那么a+b=_0_.
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4、绝对值：
从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点
到原点的距离.
数a的绝对值记为|a|.
正数的绝对值是它本身； 0的绝对值是0； 负数的绝对值是它的相反数.
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4.一个数的绝对值等于它本身，则这个数是( C )
A 正数
B 负数
C 非正数 D非负数
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5、有理数的大小比较：
在数轴上，右边的数总是_大__于__左边的数
（1） 正数都大于零，
负数都小于零，
正数大于一切负数；
（2） 两个正数，绝对值大的大；
（3） 两个负数，绝对值大的反而小．
A、两个有理数不相等，那么这两个数的绝对值也一定不相等 B、任何一个数的相反数与这个数一定不相等 C、两个有理数的绝对值相等，那么这两个有理数不相等 D、两个数的绝对值相等，且符号相反，那么这两个数是互为相反数。
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3.-|a|=-3.2，则a是( C )
A、3.2 B、-3.2 C、士3.2 D、以上都不对
2022年七年级数学上册 第二章 有理数及其运算知识点归纳 (新版)北师大版
第二章知识点整理七年级上册第二章有理数及其运算1.有理数:有理数=整数+分数(包括有限小数+无限循环小数)整数=正整数+0+负整数分数=正分数+负分数有理数=正有理数+0+负有理数正有理数=正整数+正分数负有理数=负整数+负分数l 正数的概念：数轴上0右边的数即比0大的数叫正数，形如+1，+0.5，+10.1，0.001…l 负数的概念：数轴上0左边的数，形如-3，-0.2，-100…〔负号不能省略〕.l 0既不是正数也不是负数，0是整数也是偶数.①正负数的表示方法：盈利，亏损；足球比赛胜，负；收入，支出；提高，降低；上升，下降；②不投入不支出，不盈也不亏，海平面的海拔，某一个标准或基准….用0表示；2.数轴：概念：规定了原点，正方向和单位长度的直线数轴是一条可以向两端无限延伸的直线，数轴有三要素：原点，正方向，单位长度；画法：首先画一条直线；在这条直线上任取一点，作为原点；再确定正方向，一般规定向右为正，画上箭头，反方向为负方向；最后选取适应的长度作为单位长度；数轴上的点与有理数的关系：任意一个有理数都可以用数轴上的点来表示。
有理数的大小比拟：在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大，正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数.3. 相反数：〔1〕只有符号不同的两个数叫做互为相反数〔在数轴上互为相反数的两点位于原点两侧，并且到原点的距离相等〕，0的相反数是0；a,b互为相反数 a+b=0;〔2〕求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-〞即得原数的相反数，当原数是多个数的和差时，要用括号括起来再添“-〞；下面的a,b即可以是数字，字母，也可以是代数式；〔3〕一般地，数a的相反数是-a,这里的a表示任意一个数，可以是正数、负数、0.4. 绝对值：〔1〕几何定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值；〔2〕代数定义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0；互为相反数的两个数的绝对值相等.〔3〕对于任何有理数a，都有a的绝对值≥0 ,即绝对值非负性；假设几个数的绝对值的和等于0，那么这几个数同时为0；〔4〕比拟两个负数，绝对值大的反而小；5.倒数：〔1〕乘积为1的两个数互为倒数，所以数a(a≠0) 的倒数是 1/a，0没有倒数；〔2〕求一个整数的倒数，写成这个整数分之一；求一个小数的倒数，先将其化成分数，再求其倒数；求一个带分数的倒数，先将其化为假分数，再求出倒数.〔3〕用1除以一个非0数，商就是这个数的倒数.6. 有理数的四那么运算：⑴加法法那么：①同号两数相加，符号不变，把绝对值相加；②异号两数相加，绝对值相等时〔即互为相反数的两个数〕相加得0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数同0相加，仍得这个数；有理数加法运算律：交换律和结合律〔互为相反数的可先相加；相加可得整数的可先相加；同分母的分数可先相加；符号相同的可先相加；易于通分的可先相加〕.⑵减法法那么：①减去一个数，等于加上这个数的相反数，依据加法法那么②加减混合运算，通过减法法那么将减法转化为加法，统一成只含有加法运算的和式；减法没有交换律.⑶乘法法那么：①两数相乘，同号得正，异号得负，把绝对值相乘；②任何数同0相乘，得0；〔另外1乘任何数都等于这个数本身；-1乘以任何数都等于这个数的相反数.〕③几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是奇数时，积为负；当负因数的个数是偶数时，积为正.乘法的运算律：交换律、结合律、乘法对加法的分配律.⑷除法法那么：①两数相除，同号得正，异号得负，把绝对值相除；② 0除以任何非0的数都得0.③除以一个数，等于乘上这个数的倒数，即 .⑸乘方：①求几个相同因数积的运算，叫做乘方；乘方的结果叫做幂；，表示n个相同因数乘积的运算；②负数乘方要用括号括起来；分数乘方要用括号括起来；当指数是1时，可省略不写；③正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数〔奇次幂2n+1,2n-1; 偶次幂 2n〕；0的正整数次幂都是0.⑹混合运算：①从左到右的顺序进行；②先乘方，再乘除，后加减；如有括号，应先算括号里面的；7. 科学记数法〔1〕把一个大于10的数表示成的形式〔其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数,它的值等于原数的整数位数减1，〕，这种记数方法叫科学记数法；〔2〕准确数与近似数：与实际完全相符的数是准确数；与实际相接近的数是近似数；〔3〕精确度：近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示；一般地，把一个数四舍五入到哪一位，就说这个数精确到了那一位；所以，精确度是描述一个近似数的近似程度的量；〔4〕有效数字：在近似数中，从左边第一个不是0的数字起，到精确的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字；一共包含的数字的个数，叫做有效数字的个数；。
七年级数学上册 专题复习 第二章 有理数及其运算 (新版)北师大版
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学习资料专题有理数及其运算一、选择题1．某种药品的说明书上标明保存温度是(20±2)℃，则该药品适合保存的范围是( D ) A．18℃～20℃B．20℃～22℃C．18℃～21℃D．18℃～22℃2．在－23，(－2)3，－(－2)，－|－2|中，负数的个数是( C )A．1B．2C．3D．43．如图，数轴上点A表示数a，则－a表示数( A )A．2B．1C．－1D．－24．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是( B )A．a－b＞0B．a＋b＞0C．ab＞0D.ab＞05．有理数a在数轴上的位置如图所示，下列各数中，可能在0到1之间的是( A )A．|a|－1B．|a|C．－aD．a＋16．下列说法中正确的有( A )①3.14不是分数；②－2是整数；③数轴上与原点的距离是2个单位的点表示的数是2；④两个有理数的和一定大于任何一个加数．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．如图，乐乐将－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，现在a ，b ，c 分别标上其中的一个数，则a －b ＋c 的值为( C )A ．－1B ．0C ．1D ．38．下列各组数中，互为倒数的是( C )A ．－3 与3B ．－3 与13C ．－3与－13D ．－3 与＋(－3)9．下列几种说法中，正确的是( C )A ．有理数的绝对值一定比0大B ．有理数的相反数一定比0小C ．互为倒数的两个数的积为1D ．两个互为相反的数(0除外)的商是010．若⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋(y ＋1)2＝0，则x 2＋y 3的值是( D ) A.34B.14C ．－14D ．－3411．用科学记数法表示数0.000 301正确的是( C )A ．3×10－4B ．30.1×10－8C ．3.01×10－4D ．3.01×10－5二、填空题12． 2018年岳阳市教育扶贫工作实施方案出台，全市计划争取“全面改薄”专项资金120 000 000元，用于改造农村义务教育薄弱学校100所，数据120 000 000用科学记数法表示为____．13．若2a ＋3与3互为相反数，则a ＝__－3__．14．一个有理数x 满足：x ＜0且|x |＜2，写出一个满足条件的有理数x 的值：x ＝__－1__．15．若有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，则|a －c |－|b ＋c |可化简为__－a －b __．16．小明与小刚规定了一种新运算*：若a ，b 是有理数，则a *b ＝3a －2b .小明计算出2*5＝3×2－2×5＝－4，请你帮小刚计算2*(－5)＝__16__．三、解答题17．计算：(1)－13×3＋6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13； (2)(－1)2÷12×[6－(－2)3]． 解：(1)－13×3＋6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13 ＝－1＋(－2)＝－3.(2)(－1)2÷12×[6－(－2)3] ＝1×2×[6－(－8)]＝1×2×14＝28.18．计算：(1)－14＋|3－5|－16÷(－2)×12； (2)6×⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12－32÷(－12)． 解：(1)原式＝－1＋2－16×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×12＝－1＋2＋4＝5.(2)原式＝6×13－6×12－9×⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝2－3＋34＝－14.19．计算：(1)－20＋(－14)－(－18)－13；(2)4－8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－123；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－59＋712÷136；(4)⎪⎪⎪⎪⎪⎪－79÷⎝ ⎛⎭⎪⎫23－15－13×(－4)2.解：(1)原式＝－20－14＋18－13＝－47＋18＝－29.(2)原式＝4－8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－18＝4＋1＝5.(3)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－59＋712×36＝－34×36－59×36＋712×36＝－27－20＋21＝－26.(4)原式＝79÷715－13×16＝79×157－163＝53－163＝－113.20．计算：(1)－|－7＋1|＋3－2÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－13；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－56＋23÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－712×72；(3)（－2）3－13÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1220.125×8＋[1－32×（－2）].解：(1)原式＝－6＋3＋6＝3.(2)原式＝－16×⎝ ⎛⎭⎪⎫－127×72＝1. (3)原式＝－8＋521＋1＋18＝4420＝2.2. 21．邮递员骑摩托车从邮局出发，先向东骑行2 km 到达A 村，继续向东骑行3 km 到达B 村，然后向西骑行9 km 到C 村，最后回到邮局．(1)以邮局为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示1 km ，请你在数轴上表示出A ，B ，C 三个村庄的位置；(2)C 村离A 村有多远？(3)若摩托车每1 km 耗油0.03升，这趟路共耗油多少升？解：(1)依题意，得数轴为(2)依数轴，得点C 与点A 的距离为2＋4＝6 (km)．(3)依题意，得邮递员骑了2＋3＋9＋4＝18 (km)，共耗油量18×0.03＝0.54(升)．答：这趟路共耗油0.54升．22．在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A 地出发，晚上到达B 地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下(单位：千米)：14，－9，＋8，－7，13，－6，＋12，－5.(1)请你帮忙确定B 地相对于A 地的方位；(2)救灾过程中，冲锋舟离出发点A 最远处有多远？(3)若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油．解：(1)∵14－9＋8－7＋13－6＋12－5＝20，∴B 地在A 地的东边20千米．(2)∵路程记录中各点离出发点的距离分别为14千米，14－9＝5(千米)，14－9＋8＝13(千米)，14－9＋8－7＝6(千米)，14－9＋8－7＋13＝19(千米)，14－9＋8－7＋13－6＝13(千米)，14－9＋8－7＋13－6＋12＝25(千米)，14－9＋8－7＋13－6＋12－5＝20(千米)．∴最远处离出发点25千米．(3)这一天走的总路程为14＋|－9|＋8＋|－7|＋13＋|－6|＋12＋|－5|＝74(千米)， 耗油74×0.5＝37(升)，37－28＝9(升)，故还需补充的油量为9升．23．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a 和b ，规定a ☆b ＝ab 2＋2ab ＋a .如：1☆3＝1×32＋2×1×3＋1＝16.(1)求(－2)☆3的值；(2)若⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12☆3＝8，求a 的值． 解：(1)(－2)☆3＝－2×32＋2×(－2)×3＋(－2)＝－32.(2)a ＋12☆3＝a ＋12×32＋2×a ＋12×3＋a ＋12＝8a ＋8＝8，解得a ＝0.24．对于有理数a ，b ，定义运算：a ⊕b ＝ab －2a －2b ＋1.(1)计算5⊕4的值；(2)计算[(－2)⊕6]⊕3的值；(3)定义的新运算“⊕”交换律是否还成立？请写出你的探究过程．解：(1)5⊕4＝5×4－2×5－2×4＋1＝20－10－8＋1＝2＋1＝3.(2)原式＝[－2×6－2×(－2)－2×6＋1]⊕3＝(－12＋4－12＋1)⊕3＝－19⊕3＝－19×3－2×(－19)－2×3＋1＝－24.(3)成立．∵a ⊕b ＝ab －2a －2b ＋1，b ⊕a ＝ab －2b －2a ＋1，∴a ⊕b ＝b ⊕a ，∴定义的新运算“⊕”交换律还成立．25．对于有理数a ，b ，定义一种新运算“⊙”，规定：a ⊙b ＝|a ＋b |＋|a －b |.(1)计算2⊙(－4)的值；(2)若a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简a ⊙b .解：(1)2⊙(－4)＝|2－4|＋|2＋4|＝2＋6＝8.(2)由数轴知a ＜0＜b ，且|a |＞|b |，则a ＋b ＜0、a －b ＜0，所以原式＝－(a ＋b )－(a －b )＝－a －b －a ＋b＝－2a .26．我们已经学习过“乘方”和“开方”运算，下面给同学们介绍一种新的运算，即对数运算．定义：如果a b ＝N (a ＞0，a ≠1，N ＞0)，则b 叫做以a 为底N 的对数，记作log aN ＝b .例如：因为53＝125，所以lo g 5125＝3；因为112＝121，所以log 11121＝2.(1)填空：log 66＝__1__，log 381＝__4__；(2)如果log 2(M －2)＝3，求M 的值；(3)对于“对数”运算，小明同学认为有“log a MN ＝log a M ·log a N (a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0)”，他的说法正确吗？如果正确，请给出证明过程；如果不正确，请说明理由，并加以改正．【解析】(1)∵61＝6，34＝81，∴log 66＝1，log 381＝4.解：(2)∵log 2(M －2)＝3，∴M－2＝23，解得M＝10.(3)不正确．理由：设a x＝M，a y＝N，则log a M＝x，log a N＝y(a＞0，a≠1，M，N均为正数)．∵a x·a y＝a x＋y，∴a x＋y＝M·N，∴log a MN＝x＋y，即log a MN＝log a M＋log a N.27．同学们都知道|5－(－2)|表示5与(－2)之差的绝对值，也可理解为5与－2两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索：(1)求|5－(－2)|＝__7__；(2)找出所有符合条件的整数x，使得|x＋5|＋|x－2|＝7成立的整数是__－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2__；(3)由以上探索猜想，对于任何有理数x，|x－3|＋|x－6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，请说明理由．【解析】 (1)原式＝|5＋2|＝7.(2)令x＋5＝0或x－2＝0时，则x＝－5或x＝2.当x＜－5时，－(x＋5)－(x－2)＝7，解得x＝－5(不成立)．当－5＜x＜2时，(x＋5)－(x－2)＝7，化简得7＝7，∴x＝－4，－3，－2，－1，0，1.当x＞2时，(x＋5)＋(x－2)＝7，解得x＝2(不成立)．综上所述，符合条件的整数x有－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2.解：(3)由(2)的探索猜想，对于任何有理数x，|x－3|＋|x－6|有最小值，为3.。
北师大版初一上册第二章有理数概念及其运算知识点总结
北师大版初一上册第二章有理数概念及其运算知识点总结一、有理数有理数包括正整数、负整数、0和分数。
其中正整数和负整数统称为整数。
有理数可以用分数的形式表示，即分子、分母都是整数，并且分母不为0。
二、有理数的比较两个有理数的大小关系取决于它们的大小和符号，具体规则如下：- 同号，比大小；- 异号，比绝对值大小，正数大于负数。
三、有理数的加减运算有理数的加减运算遵循以下规则：- 同号相加，不改变符号，绝对值相加；- 异号相加，绝对值相减，符号与绝对值较大的数相同。
例如：- $2-3=-1$- $-2+3=1$- $-2-(-3)=1$- $-2+(-3)=-5$四、有理数的乘法有理数的乘法运算遵循以下规则：- 同号相乘得正，异号相乘得负；- 0乘任何数都得0。
例如：- $2\times 3=6$- $-2\times 3=-6$- $-2\times (-3)=6$- $0\times 5=0$五、有理数的除法有理数的除法其实就是乘以倒数，即$\dfrac{a}{b}\div\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\times \dfrac{d}{c}$。
其中$b\neq 0$，$c\neq 0$。
例如：- $\dfrac{2}{3}\div \dfrac{4}{5}=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{5}{4}=\dfrac{5}{6}$- $(-2)\div \dfrac{3}{4}=(-2)\times \dfrac{4}{3}=-\dfrac{8}{3}$六、绝对值一个数的绝对值表示这个数到0点的距离，记作$|a|$。
其中：- 若$a>0$，则$|a|=a$；- 若$a<0$，则$|a|=-a$；- 若$a=0$，则$|a|=0$。
例如：$|-5|=5$，$|6|=6$，$|0|=0$。
七、有理数的混合运算有理数的混合运算是指有理数的加减乘除四则运算的有理数表达式计算。
第2章 有理数及其运算-专题练 北师大版七年级数学上册课件
• •
(解1)：(－原2)式×＝3＋－86－÷＋138×(－；3) ＝－6＋(－24)
＝－30.
(2)2－(－5)＋6×(－3)÷－322；
解：原式＝|2＋5|＋6×(－3)÷ 9
＝7＋6×(－3)× 4
4
9
＝7－8
＝－1.
• 二、新定义运算
3．我们定义一种新运算，规定如图
表示 a－b＋c，图形
表
• (3)(－3)＋(－4)－(＋11)－(－19)； • 解：原式＝－3－4－11＋19 ＝－18＋19 ＝1.
(4)(－7.3)－(－656)＋|－3.3|＋116. 解：原式＝(－7.3)－－656＋3.3＋116 ＝[(－7.3)＋3.3]＋(656＋116) ＝－4＋8＝4.
• 2.计算：
8
3
• (3)一般地，如果点A表示的数为a，将点A先向左移动b个单位长 度__，__再__向__右__移；动c个单位长度到达点B，那么点B表a－示b的＋数c 是
• (4)如果点A表示的数为－100，点B表示的数是99，在数轴上有点 P到点A和点B的距离相等，则点P表示－的0.5数是________.
• 8．阅读：点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示 为|AB|.
• ①当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|＝|OB| ＝|b|＝|a－b|；
• ②当A，B两点都不在原点时，如图2，点A，B都在原点的右边|AB|＝|OB| －|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；
• 6．定义新运算：对于任意有理数a，b.都有a⊕b＝a(a－b)＋b.等 式右边是通常的加法、减法及乘法运算．
• 比如：3⊕5＝3(3－5)＋5＝3×(－2)＋5＝－1.
北师版七年级数学上册专题复习第二章 有理数及其运算
2019-2019学年北师版七年级数学上册专题复习班级姓名有理数及其运算一、选择题1．某种药品的说明书上标明保存温度是(20±2)℃，则该药品适合保存的范围是( D )A．18℃～20℃B．20℃～22℃C．18℃～21℃D．18℃～22℃2．在－23，(－2)3，－(－2)，－|－2|中，负数的个数是( C )A．1B．2C．3D．43．如图，数轴上点A表示数a，则－a表示数( A )A．2B．1C．－1D．－24．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是( B ) A．a－b＞0B．a＋b＞0C．ab＞0D.ab＞05．有理数a在数轴上的位置如图所示，下列各数中，可能在0到1之间的是( A )A．|a|－1B．|a|C．－aD．a＋16．下列说法中正确的有( A )①3.14不是分数；②－2是整数；③数轴上与原点的距离是2个单位的点表示的数是2；④两个有理数的和一定大于任何一个加数．A．1个B．2个C．3个D．4个7．如图，乐乐将－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，现在a ，b ，c 分别标上其中的一个数，则a －b ＋c 的值为( C )A ．－1B ．0C ．1D ．38．下列各组数中，互为倒数的是( C )A ．－3 与3B ．－3 与13C ．－3与－13D ．－3 与＋(－3)9．下列几种说法中，正确的是( C ) A ．有理数的绝对值一定比0大 B ．有理数的相反数一定比0小 C ．互为倒数的两个数的积为1D ．两个互为相反的数(0除外)的商是010．若⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋(y ＋1)2＝0，则x2＋y3的值是( D )A.34 B.14C ．－14D ．－3411．用科学记数法表示数0.000 301正确的是( C )A ．3×10－4B ．30.1×10－8C ．3.01×10－4D ．3.01×10－5二、填空题12． 2019年岳阳市教育扶贫工作实施方案出台，全市计划争取“全面改薄”专项资金120 000 000元，用于改造农村义务教育薄弱学校100所，数据120 000 000用科学记数法表示为____．13．若2a ＋3与3互为相反数，则a ＝__－3__．14．一个有理数x 满足：x ＜0且|x|＜2，写出一个满足条件的有理数x 的值：x ＝__－1__．15．若有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，则|a －c|－|b ＋c|可化简为__－a －b__．16．小明与小刚规定了一种新运算*：若a ，b 是有理数，则a*b ＝3a －2b.小明计算出2*5＝3×2－2×5＝－4，请你帮小刚计算2*(－5)＝__16__．三、解答题 17．计算：(1)－13×3＋6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13；(2)(－1)2÷12×[6－(－2)3]．解：(1)－13×3＋6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1＋(－2)＝－3.(2)(－1)2÷12×[6－(－2)3]＝1×2×[6－(－8)]＝1×2×14 ＝28.18．计算：(1)－14＋|3－5|－16÷(－2)×12；(2)6×⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12－32÷(－12)．解：(1)原式＝－1＋2－16×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×12＝－1＋2＋4＝5.(2)原式＝6×13－6×12－9×⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝2－3＋34＝－14.19．计算：(1)－20＋(－14)－(－18)－13；(2)4－8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－123；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－59＋712÷136；(4)⎪⎪⎪⎪⎪⎪－79÷⎝ ⎛⎭⎪⎫23－15－13×(－4)2.解：(1)原式＝－20－14＋18－13＝－47＋18＝－29.(2)原式＝4－8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－18＝4＋1＝5.(3)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－59＋712×36＝－34×36－59×36＋712×36＝－27－20＋21＝－26.(4)原式＝79÷715－13×16＝79×157－163＝53－163 ＝－113. 20．计算：(1)－|－7＋1|＋3－2÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－13；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－56＋23÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－712×72；(3)（－2）3－13÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1220.125×8＋[1－32×（－2）].解：(1)原式＝－6＋3＋6＝3.(2)原式＝－16×⎝ ⎛⎭⎪⎫－127×72＝1.(3)原式＝－8＋521＋1＋18＝4420＝2.2.21．邮递员骑摩托车从邮局出发，先向东骑行2 km 到达A 村，继续向东骑行3 km 到达B 村，然后向西骑行9 km 到C 村，最后回到邮局．(1)以邮局为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示1 km ，请你在数轴上表示出A ，B ，C 三个村庄的位置；(2)C 村离A 村有多远？(3)若摩托车每1 km 耗油0.03升，这趟路共耗油多少升？解：(1)依题意，得数轴为(2)依数轴，得点C 与点A 的距离为2＋4＝6 (km)．(3)依题意，得邮递员骑了2＋3＋9＋4＝18 (km)，共耗油量18×0.03＝0.54(升)．答：这趟路共耗油0.54升．22．在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A 地出发，晚上到达B 地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下(单位：千米)：14，－9，＋8，－7，13，－6，＋12，－5.(1)请你帮忙确定B 地相对于A 地的方位；(2)救灾过程中，冲锋舟离出发点A 最远处有多远？(3)若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油．解：(1)∵14－9＋8－7＋13－6＋12－5＝20，∴B 地在A 地的东边20千米．(2)∵路程记录中各点离出发点的距离分别为14千米，14－9＝5(千米)，14－9＋8＝13(千米)，14－9＋8－7＝6(千米)，14－9＋8－7＋13＝19(千米)，14－9＋8－7＋13－6＝13(千米)，14－9＋8－7＋13－6＋12＝25(千米)，14－9＋8－7＋13－6＋12－5＝20(千米)．∴最远处离出发点25千米．(3)这一天走的总路程为14＋|－9|＋8＋|－7|＋13＋|－6|＋12＋|－5|＝74(千米)，耗油74×0.5＝37(升)，37－28＝9(升)，故还需补充的油量为9升．23．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a 和b ，规定a☆b＝ab2＋2ab ＋a.如：1☆3＝1×32＋2×1×3＋1＝16.(1)求(－2)☆3的值；(2)若⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12☆3＝8，求a 的值．解：(1)(－2)☆3＝－2×32＋2×(－2)×3＋(－2)＝－32.(2)a ＋12☆3＝a ＋12×32＋2×a ＋12×3＋a ＋12＝8a ＋8＝8，解得a ＝0.24．对于有理数a ，b ，定义运算：a⊕b＝ab －2a －2b ＋1.(1)计算5⊕4的值；(2)计算[(－2)⊕6]⊕3的值；(3)定义的新运算“⊕”交换律是否还成立？请写出你的探究过程．解：(1)5⊕4＝5×4－2×5－2×4＋1＝20－10－8＋1＝2＋1＝3.(2)原式＝[－2×6－2×(－2)－2×6＋1]⊕3＝(－12＋4－12＋1)⊕3＝－19⊕3＝－19×3－2×(－19)－2×3＋1＝－24.(3)成立．∵a⊕b＝ab －2a －2b ＋1，b⊕a＝ab －2b －2a ＋1，∴a⊕b＝b⊕a，∴定义的新运算“⊕”交换律还成立．25．对于有理数a ，b ，定义一种新运算“⊙”，规定：a⊙b＝|a ＋b|＋|a －b|.(1)计算2⊙(－4)的值；(2)若a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简a⊙b.解：(1)2⊙(－4)＝|2－4|＋|2＋4|＝2＋6＝8.(2)由数轴知a ＜0＜b ，且|a|＞|b|，则a ＋b ＜0、a －b ＜0，所以原式＝－(a ＋b)－(a －b)＝－a －b －a ＋b＝－2a.26．我们已经学习过“乘方”和“开方”运算，下面给同学们介绍一种新的运算，即对数运算．定义：如果ab＝N(a＞0，a≠1，N＞0)，则b叫做以a为底N的对数，记作logaN＝b.例如：因为53＝125，所以log5125＝3；因为112＝121，所以log11121＝2.(1)填空：log66＝__1__，log381＝__4__；(2)如果log2(M－2)＝3，求M的值；(3)对于“对数”运算，小明同学认为有“logaMN＝logaM·logaN(a＞0，a≠1，M＞0，N＞0)”，他的说法正确吗？如果正确，请给出证明过程；如果不正确，请说明理由，并加以改正．【解析】(1)∵61＝6，34＝81，∴log66＝1，log381＝4.解：(2)∵log2(M－2)＝3，∴M－2＝23，解得M＝10.(3)不正确．理由：设ax＝M，ay＝N，则logaM＝x，logaN＝y(a＞0，a≠1，M，N均为正数)．∵ax·ay＝ax＋y，∴ax＋y＝M·N，∴logaMN＝x＋y，即logaMN＝logaM＋logaN.27．同学们都知道|5－(－2)|表示5与(－2)之差的绝对值，也可理解为5与－2两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索：(1)求|5－(－2)|＝__7__；(2)找出所有符合条件的整数x，使得|x＋5|＋|x－2|＝7成立的整数是__－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2__；(3)由以上探索猜想，对于任何有理数x，|x－3|＋|x－6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，请说明理由．【解析】 (1)原式＝|5＋2|＝7.(2)令x＋5＝0或x－2＝0时，则x＝－5或x＝2.当x＜－5时，－(x＋5)－(x－2)＝7，解得x＝－5(不成立)．当－5＜x＜2时，(x＋5)－(x－2)＝7，化简得7＝7，∴x＝－4，－3，－2，－1，0，1.当x＞2时，(x＋5)＋(x－2)＝7，解得x＝2(不成立)．综上所述，符合条件的整数x有－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2.解：(3)由(2)的探索猜想，对于任何有理数x，|x－3|＋|x－6|有最小值，为3.。
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有理数及其运算一、选择题1．某种药品的说明书上标明保存温度是(20±2)℃，则该药品适合保存的范围是( D ) A．18℃～20℃B．20℃～22℃C．18℃～21℃D．18℃～22℃2．在－23，(－2)3，－(－2)，－|－2|中，负数的个数是( C )A．1B．2C．3D．43．如图，数轴上点A表示数a，则－a表示数( A )A．2B．1C．－1D．－24．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是( B )A．a－b＞0B．a＋b＞0C．ab＞0D.ab＞05．有理数a在数轴上的位置如图所示，下列各数中，可能在0到1之间的是( A )A．|a|－1B．|a|C．－aD．a＋16．下列说法中正确的有( A )①3.14不是分数；②－2是整数；③数轴上与原点的距离是2个单位的点表示的数是2；④两个有理数的和一定大于任何一个加数．A．1个B．2个C ．3个D ．4个7．如图，乐乐将－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，现在a ，b ，c 分别标上其中的一个数，则a －b ＋c 的值为( C )A ．－1B ．0C ．1D ．38．下列各组数中，互为倒数的是( C )A ．－3 与3B ．－3 与13C ．－3与－13D ．－3 与＋(－3)9．下列几种说法中，正确的是( C )A ．有理数的绝对值一定比0大B ．有理数的相反数一定比0小C ．互为倒数的两个数的积为1D ．两个互为相反的数(0除外)的商是010．若⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋(y ＋1)2＝0，则x 2＋y 3的值是( D ) A.34B.14C ．－14D ．－3411．用科学记数法表示数0.000 301正确的是( C )A ．3×10－4B ．30.1×10－8C ．3.01×10－4D ．3.01×10－5二、填空题12． 2018年岳阳市教育扶贫工作实施方案出台，全市计划争取“全面改薄”专项资金120 000 000元，用于改造农村义务教育薄弱学校100所，数据120 000 000用科学记数法表示为____．13．若2a ＋3与3互为相反数，则a ＝__－3__．14．一个有理数x 满足：x ＜0且|x |＜2，写出一个满足条件的有理数x 的值：x ＝__－1__．15．若有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，则|a －c |－|b ＋c |可化简为__－a －b __．16．小明与小刚规定了一种新运算*：若a ，b 是有理数，则a *b ＝3a －2b .小明计算出2*5＝3×2－2×5＝－4，请你帮小刚计算2*(－5)＝__16__．三、解答题17．计算：(1)－13×3＋6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13； (2)(－1)2÷12×[6－(－2)3]． 解：(1)－13×3＋6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13 ＝－1＋(－2)＝－3.(2)(－1)2÷12×[6－(－2)3] ＝1×2×[6－(－8)]＝1×2×14＝28.18．计算：(1)－14＋|3－5|－16÷(－2)×12； (2)6×⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12－32÷(－12)． 解：(1)原式＝－1＋2－16×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×12＝－1＋2＋4＝5.(2)原式＝6×13－6×12－9×⎝ ⎛⎭⎪⎫－112 ＝2－3＋34＝－14. 19．计算：(1)－20＋(－14)－(－18)－13；(2)4－8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－123； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－59＋712÷136； (4)⎪⎪⎪⎪⎪⎪－79÷⎝ ⎛⎭⎪⎫23－15－13×(－4)2. 解：(1)原式＝－20－14＋18－13＝－47＋18＝－29. (2)原式＝4－8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－18 ＝4＋1＝5.(3)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－59＋712×36 ＝－34×36－59×36＋712×36 ＝－27－20＋21＝－26.(4)原式＝79÷715－13×16 ＝79×157－163＝53－163＝－113. 20．计算：(1)－|－7＋1|＋3－2÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－13； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－56＋23÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－712×72； (3)（－2）3－13÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1220.125×8＋[1－32×（－2）]. 解：(1)原式＝－6＋3＋6＝3.(2)原式＝－16×⎝ ⎛⎭⎪⎫－127×72＝1. (3)原式＝－8＋521＋1＋18＝4420＝2.2. 21．邮递员骑摩托车从邮局出发，先向东骑行2 km 到达A 村，继续向东骑行3 km 到达B 村，然后向西骑行9 km 到C 村，最后回到邮局．(1)以邮局为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示1 km ，请你在数轴上表示出A ，B ，C 三个村庄的位置；(2)C 村离A 村有多远？(3)若摩托车每1 km 耗油0.03升，这趟路共耗油多少升？解：(1)依题意，得数轴为(2)依数轴，得点C 与点A 的距离为2＋4＝6 (km)．(3)依题意，得邮递员骑了2＋3＋9＋4＝18 (km)，共耗油量18×0.03＝0.54(升)．答：这趟路共耗油0.54升．22．在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A 地出发，晚上到达B 地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下(单位：千米)：14，－9，＋8，－7，13，－6，＋12，－5.(1)请你帮忙确定B 地相对于A 地的方位；(2)救灾过程中，冲锋舟离出发点A 最远处有多远？(3)若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油．解：(1)∵14－9＋8－7＋13－6＋12－5＝20，∴B 地在A 地的东边20千米．(2)∵路程记录中各点离出发点的距离分别为14千米，14－9＝5(千米)，14－9＋8＝13(千米)，14－9＋8－7＝6(千米)，14－9＋8－7＋13＝19(千米)，14－9＋8－7＋13－6＝13(千米)，14－9＋8－7＋13－6＋12＝25(千米)，14－9＋8－7＋13－6＋12－5＝20(千米)．∴最远处离出发点25千米．(3)这一天走的总路程为14＋|－9|＋8＋|－7|＋13＋|－6|＋12＋|－5|＝74(千米)， 耗油74×0.5＝37(升)，37－28＝9(升)，故还需补充的油量为9升．23．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a 和b ，规定a ☆b ＝ab 2＋2ab ＋a .如：1☆3＝1×32＋2×1×3＋1＝16.(1)求(－2)☆3的值；(2)若⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12☆3＝8，求a 的值． 解：(1)(－2)☆3＝－2×32＋2×(－2)×3＋(－2)＝－32.(2)a ＋12☆3＝a ＋12×32＋2×a ＋12×3＋a ＋12＝8a ＋8＝8，解得a ＝0.24．对于有理数a ，b ，定义运算：a ⊕b ＝ab －2a －2b ＋1.(1)计算5⊕4的值；(2)计算[(－2)⊕6]⊕3的值；(3)定义的新运算“⊕”交换律是否还成立？请写出你的探究过程．解：(1)5⊕4＝5×4－2×5－2×4＋1＝20－10－8＋1＝2＋1＝3.(2)原式＝[－2×6－2×(－2)－2×6＋1]⊕3＝(－12＋4－12＋1)⊕3＝－19⊕3＝－19×3－2×(－19)－2×3＋1＝－24.(3)成立．∵a⊕b＝ab－2a－2b＋1，b⊕a＝ab－2b－2a＋1，∴a⊕b＝b⊕a，∴定义的新运算“⊕”交换律还成立．25．对于有理数a，b，定义一种新运算“⊙”，规定：a⊙b＝|a＋b|＋|a－b|.(1)计算2⊙(－4)的值；(2)若a，b在数轴上的位置如图所示，化简a⊙b.解：(1)2⊙(－4)＝|2－4|＋|2＋4|＝2＋6＝8.(2)由数轴知a＜0＜b，且|a|＞|b|，则a＋b＜0、a－b＜0，所以原式＝－(a＋b)－(a－b)＝－a－b－a＋b＝－2a.26．我们已经学习过“乘方”和“开方”运算，下面给同学们介绍一种新的运算，即对数运算．定义：如果a b＝N(a＞0，a≠1，N＞0)，则b叫做以a为底N的对数，记作log aN＝b.例如：因为53＝125，所以lo g5125＝3；因为112＝121，所以log11121＝2.(1)填空：log66＝__1__，log381＝__4__；(2)如果log2(M－2)＝3，求M的值；(3)对于“对数”运算，小明同学认为有“log a MN＝log a M·log a N(a＞0，a≠1，M＞0，N ＞0)”，他的说法正确吗？如果正确，请给出证明过程；如果不正确，请说明理由，并加以改正．【解析】(1)∵61＝6，34＝81，∴log66＝1，log381＝4.解：(2)∵log2(M－2)＝3，∴M－2＝23，解得M＝10.(3)不正确．理由：设a x＝M，a y＝N，则log a M＝x，log a N＝y(a＞0，a≠1，M，N均为正数)．∵a x·a y＝a x＋y，∴a x＋y＝M·N，∴log a MN＝x＋y，即log a MN＝log a M＋log a N.27．同学们都知道|5－(－2)|表示5与(－2)之差的绝对值，也可理解为5与－2两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索：(1)求|5－(－2)|＝__7__；(2)找出所有符合条件的整数x，使得|x＋5|＋|x－2|＝7成立的整数是__－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2__；(3)由以上探索猜想，对于任何有理数x，|x－3|＋|x－6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，请说明理由．【解析】 (1)原式＝|5＋2|＝7.(2)令x＋5＝0或x－2＝0时，则x＝－5或x＝2.当x＜－5时，－(x＋5)－(x－2)＝7，解得x＝－5(不成立)．当－5＜x＜2时，(x＋5)－(x－2)＝7，化简得7＝7，∴x＝－4，－3，－2，－1，0，1.当x＞2时，(x＋5)＋(x－2)＝7，解得x＝2(不成立)．综上所述，符合条件的整数x有－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2.解：(3)由(2)的探索猜想，对于任何有理数x，|x－3|＋|x－6|有最小值，为3.。