【初三数学上册(秋季班)讲义】第06讲_含参的一元二次方程(教师版)A4

高斯初三数学（9年级）上册秋季班（教师版）最新讲义高斯初三数学（9年级）上册秋季班辅导讲义学员姓名：刘小米年级：辅导科目：小学思维学科教师：五块石1 上课时间2020-06-25 14:00-16:00授课主题第03讲_含参的一元二次方程含参的一元二次方程一．含参数的一元二次方程含参数的一元二次方程是指未知数系数或者常数项含有参数的一元二次方程，解此类方程时要根据参数值和判别式的取值进行分类讨论，另外，利用方程解的情况来求解参数的取值范围或者是由参数的取值范围判断方程根的情况．二．一元二次方程的整数根对于一元二次方程20ax bx c++=(0)a≠的实根情况，可以用判别式24b ac∆=-来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．方程有整数根的条件：如果一元二次方程20ax bx c++=(0)a≠有整数根，那么必然同时满足以下条件：1.24b ac∆=-为完全平方数；2.242b b ac ak-+-=或242b b ac ak---=，其中k为整数．以上两个条件必须同时满足，缺一不可．另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a、b、c均为有理数)．知识图谱错题回顾知识精讲一．考点：含参的一元二次方程．二．重难点：含参的一元二次方程判别式与解的关系，含参一元二次方程的特殊解问题．三．易错点：1．含参一元二次方程如果参数没有明确取值范围必须要分类讨论；2．含参一元二次方程的特殊解问题要注意参数是整数，正整数，负整数，还是有理数等限制条件．题模一：判别式与解的关系例1.1.1解关于x 的方程：()222238213150a x a a x a a --+-+= 【答案】132x a =-，251x a=- 【解析】分类讨论，当0a =时，原方程无解；当0a ≠时，原方程是一元二次方程，解得132x a=-，251x a=-例 1.1.2已知a ，b ，c 为正数，若二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，那么方程22220a x b x c ++=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的正实数根B ．有两个异号的实数根C ．有两个不相等的负实数根D ．不一定有实数根【答案】C【解析】22220a x b x c ++=的()()42222422b a c b ac b ac ∆=-=+-，∵二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，∴240b ac ->，∴220b ac ->，∴()()422224220b ac b ac b ac ∆=-=+->∴方程有两个不相等的实数根，而两根之和为负，两根之积为正．故有两个负根．故选C ． 例1.1.3设方程24x ax +=只有3个不相等的实数根，求a 的取值和相应的3个根．【答案】4a =±，相应求得方程根为2-，222-±；2，222±．【解析】方程等价于以下两个方程：240x ax +-=①，240x ax ++= ②，两方程无相同的根，由于原方程只有3个不相等的实根，故必有且只有方程①或②有重根，21160a ∆=+≥，22160a ∆=-≥，由于12∆>∆，故只可能是20∆=，即4a =±，相应求得方程根为2-，222-±；三点剖析题模精讲2，222±．题模二：特殊解问题例1.2.1已知关于x 的方程220mx x m--=（m ≠0） （1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两个实数根都是整数，求整数m 的值． 【答案】（1）见解析（2）1m =-或1m =【解析】（1）证明：∵ m ≠0， ∴ 220mx x m--=是关于x 的一元二次方程． ∵22(1)4()m m∆=---，……………………………………………1分=9＞0.∴ 方程总有两个不相等的实数根．………………………………2分 （2）解：由求根公式，得19x ±=． ∴12x m =，21x m =-.……………………………………………………4分∵方程的两个实数根都是整数，且m 是整数，∴1m =-或1m =．………………………………………………………5分例1.2.2求出所有正整数a ，使方程22(21)4(3)0ax a x a +-+-=至少有一个整数根． 【答案】1，3，6，10【解析】由原方程知2x ≠-，不妨将方程整理成关于a 的一元一次方程2(44)212x x a x ++=+，得22121(2)x a x +=≥+（因为a 为正整数），解得42x -≤≤，因此x 只能取4-，3-，1-，0，1，2，分别代入a 的表达式得所求的正整数a 的值是1，3，6，10例1.2.3关于x 的二次方程2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值 【答案】106,3,3k = 【解析】由2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=可知，[][](4)(2)(2)(2)0k x k k x k -+--++=故124k x k -=--，222k x k +=--(由题意可知，26802k k k -+≠⇒≠且4k ≠) 122(1)44k x k k -=-=-+--，224(1)22k x k k +=-=-+--于是有，1241k x -=-+，2421k x -=-+，两式相减可得，1212142232011x x x x x =-+⇒++=++ 故12(3)2x x +=-，从而可知，12132x x =⎧⎨+=-⎩，或12132x x =-⎧⎨+=⎩，或12231x x =⎧⎨+=-⎩，或12231x x =-⎧⎨+=⎩又11x ≠-且21x ≠-，故1215x x =⎧⎨=-⎩，或1224x x =⎧⎨=-⎩，或1222x x =-⎧⎨=-⎩，故106,3,3k =．注 得出122(1)44k x k k -=-=-+--，224(1)22k x k k +=-=-+--后， 直接有41,2k -=±±，21,2,4k -=±±±．由于上述两个等式是同时成立的，故这样的k 只能取6,3k =．当k 是分数时，可设124,k t t -=，1242,,k t t t-=±±±，t 为整数，且1t ≠，2t ≠，4t ≠，上述两等式同时成立，两式的差值为2，故24k t -=，42k t -=-，此时103k =，故106,3,3k =随练1.1解关于x 的方程：2222(1)(1)(1)a x x a x a x -+--=-【答案】当22210a a a ⎧-=⎪⎨-+≠⎪⎩时，方程为一元一次方程的解为0x =或2x =； 当20a a -≠时，方程为一元二次方程，()()10ax a ax x a ----=，11a x a+=，21ax a =-【解析】化为一般式：()()()2222210a a x a x a a ---++=当220210a a a ⎧-=⎪⎨-+≠⎪⎩时，方程为一元一次方程的解为0x =或2x =； 当20a a -≠时，方程为一元二次方程，()()10ax a ax x a ----=，11a x a+=，21ax a =-随练 1.2已知0a >，b a c >+，判断关于x 的方程20ax bx c ++=的根的情况，并给出必要的说明？【答案】见解析【解析】（1）当0c >时，0a >，b a c >+从而22()b a c >+，22()0b a c -+>，224()0b ac a c --->，∴224()0b ac a c ->-≥，即0∆>，原方程必有两个不等实根； （2）当0c =时，由0,a b a c a >>+=，得0,0,0b ac >=∆>； （3）当0c <时，由0a >，得0ac <，240b ac ∆=->． 综合⑴、⑵、⑶，得关于x 的方程总有两个不等的实根随练1.3当a 在什么范围内取值，方程25x x a -=有且只有两相异实根？ 【答案】0a =或254a >【解析】由题意知0a ≥．随堂练习当0a =时，250x x -=，得10x =，25x =．符合题意． 当0a >时，原方程化为250x x a --=，250x x a -+=．在第一个方程中，因为它的判别式2540a +>，所以第一个方程有两个不同的实根．因此由题意知，第二条方程要么无实数解，要么它的解与第一条方程的解相同．显然若两条方程有相同的解，则只有0a =，而0a >，所以，第二条方程无实数解，知2540a -<，即254a >．所以a 的取值范围是0a =或254a > 随练1.4已知关于x 的方程2(3)30(0)mx m x m -++=≠．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）如果方程的两个实数根都是整数，且有一根大于1，求满足条件的整数m 的值． 【答案】（1）见解析（2）=1m 【解析】 （1）证明：2=343m m +-⨯⨯△（），……1分=26+9m m - =23m -（）≥0.∴方程总有两个实根．……2分（2）解：23(3)m m x +±-= ……3分 解得1231,.x x m==……4分 ∵方程的两个实数根都是整数，且有一根大于1， ∴31,.m m为大于的整数且为整数∴=1.m …….5分随练1.5当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数． 【答案】1m =【解析】由于关于x 的一元二次方程2440mx x -+=有整数根，所以0m ≠，且16160m ∆=-≥，解得1m ≤．又由于方程2244450x mx m m -+--=有整数根，所以()221644450m m m ∆=---≥，解得54m ≥-．因此1m =-，或1．代入验证即可．随练1.6求使关于x 的方程223(1)(1)260a x a x a +-++-=的根均为整数的所有整数a ． 【答案】0,1,2,3a =--【解析】当1a =-时，方程变为280x --=，得4x =-，符合要求； 当1a ≠-时，设方程的两个整数根为12x x ，，则由韦达定理，得221211221111a a x x a a a a +-++===-++++33212262(1)442(1)111a a x x a a a a a ---===++-+++ 因为12x x ，都是整数，所以1212x x x x +和均为整数． 即2411a a ++和也应为整数，由整除性可知0,1,2,3a =--．作业1解关于x 的方程()()221631720m x m x ---+=【答案】当1m =时，6x =；当1m =-时，3x =-；当210m -≠时，161x m =-，2121x m =+ 【解析】分类讨论，当210m -=时，若1m =，则原方程化为()631720x --+=，解得6x =；若1m =-，则原方程化为()631720x ---+=，解得3x =-；当210m -≠时，由()()161120m x m x --+-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，故161x m =-，2121x m =+ 作业2当m 为何值时，关于x 的方程22(4)2(1)10m x m x -+++=有实根 【答案】52m ≥-【解析】题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分240m -=和240m -≠两种情形讨论．当240m -=即2m =±时，2(1)0m +=，方程为一元一次方程，总有实根；当240m -≠自我总结课后作业即2m ≠±时，方程有根的条件是：[]222(1)4(4)8200m m m ∆=+--=+≥，解得52m ≥-∴当52m ≥-且2m ≠±时，方程有实根．综上所述：当52m ≥-时，方程有实根作业3已知：m 、n 为整数，关于x 的二次方程2(7)30x m x n +-++=有两个不相等的实数解，2(4)60x m x n ++++=有两个相等的实数根，2(4)10x m x n --++=没有实数根，求m 、n 的值？ 【答案】2m =，3n =【解析】∵方程2(4)60x m x n ++++=有两个相等的实根， ∴2(4)4(6)0m n +-+=，即2884m m n +-=． 又方程2(7)30x m x n +-++=有两个不等的实根， 方程2(4)10x m x n --++=无实根，∴2(7)4(3)0m n --+>，2(4)4(1)0m n --+<． 把2884m m n +-=代入上两式得20451622m <<∵m 为整数∴2m =，从而3n =作业4已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m+2）x+2=0． （1）证明：不论m 为何值时，方程总有实数根； （2）m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 【答案】（1）证明见解析；(2)1 【解析】（1）证明：△=（m+2）2﹣8m =m 2﹣4m+4 =（m ﹣2）2，△不论m 为何值时，（m ﹣2）2≥0， △△≥0，△方程总有实数根； （2）解：解方程得，x=，x 1=，x 2=1，△方程有两个不相等的正整数根， △m=1或2，m=2不合题意， △m=1．作业5已知关于x 的方程2222(38)213150a x a a x a a --+-+=（其中a 是非负整数）至少有一个整数根，求a 的值 【答案】1,3,5a =【解析】“至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根．因为0a ≠，所以222221,2(38)(38)4(21315)a a a a a a a x -±---+=222(38)(2)2a a a a a -±+=． 所以只要a 是3或5的约数即可，即1,3,5a =作业6已知关于x 的方程2(6)0x a x a +-+=的两根都是整数，求a 的值． 【答案】0或16【解析】设两个根为12x x ≥，由韦达定理得 12126x x ax x a +=-⎧⎨=⎩． 从上面两式中消去a 得12126x x x x ++=⇔12(1)(1)7x x ++=⇔121711x x +=⎧⎨+=⎩或121117x x +=-⎧⎨+=-⎩即1260x x =⎧⎨=⎩或1228x x =-⎧⎨=-⎩．所以120a x x ==或16．。