高三数学(理)最新模拟调研试题精选分项汇编：专题12 概率和统计(第01期)答案解析

一．基础题组1. 【湖南省长沙市长郡中学2017届高三摸底考试数学（理）试题】一个不透明的袋子装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字为0,1,2,2，现甲从中摸出一个球后便放回，乙再从中摸出一个球，若摸出的球上数字大即获胜（若数字相同则为平局），则在甲获胜的条件下，乙摸1号球的概率为（）A．516B．916C．15D．25【答案】D【解析】试题分析：甲摸的球数字在前，乙摸的球数字在后，则甲胜的情况有10，20，21，20，21共5种，其中乙摸1号球的有2种，因此概率为25P=．考点：古典概型．2. 【浙江省温州市普通高中2017届高三8月模拟考试数学试题】盒中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中随机摸出3个小球，记摸到黑球的个数为X，则()2P X==_________，EX=__________．【答案】159, 568考点：古典概型，数学期望．3. 【江苏省南京市2017届高三上学期学情调研卷数学试题】为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40，80]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[40，60)内的汽车有▲辆．【答案】80 【解析】试题分析：(0.010.03)1020080+⨯⨯=， 考点：频率分布直方图．4. 【江苏省南京市2017届高三上学期学情调研卷数学试题】某单位要在4名员工（含甲、乙两人）中随机选2名到某地出差，则甲、乙两人中，至少有一人被选中的概率是 ▲ ． 【答案】56【解析】试题分析：22422456C C P C -==． 考点：古典概型．5. 【江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试数学试题】 现有4名学生A ，B ，C ，D 平均分乘两辆车，则“A ，B 两人恰好乘坐在同一辆车”的概率为 ▲ ． 【答案】31考点：古典概型概率【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”（第3题）0.0.0.0.区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.6. 【江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试数学试题】已知等差数列{}n a 的公差为d ，若12345,,,,a a a a a 的方差为8, 则d 的值为 ▲ ． 【答案】±2考点：等差数列性质，方差【思路点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.7. 【江苏省泰州中学2017届高三摸底考试数学试题】右图茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则乙的平均成绩超过甲的概率为 ．【答案】110【解析】试题分析：甲的平均成绩为8889909192905++++=，设被污损一个数字为x ，则乙的平均成绩为8383879990905x +++++>，解得89x x >⇒=，所以所求概率1.10考点：古典概型概率【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.8. 【山西省长治二中、临汾一中、康杰中学、晋城一中2017届高三第一次联考数学（理）试题】不透明的袋子内装有相同的五个小球，分别标有1-5五个编号，现有放回的随机摸取三次，则摸出的三个小球的编号乘积能被10整除的概率为（ ） A.12542 B. 12518 C. 256 D. 12512 【答案】A考点：古典概型概率【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.9. 【广东省珠海市2017届高三9月摸底考试数学（理）试题】一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当你到达路口时，不需要等待就可以过马路的概率为 A.151 B. 52 C. 158 D. 54 【答案】C .试题分析：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是总的时间长度为30+5+40=75秒，绿灯的时间为40秒，所以当你到达路口时，不需要等待就可以过马路的概率为1587540==P ，故应选C . 考点：1、几何概型.10. 【河南省天一大联考2017届高三上学期阶段性测试（一）数学（理）试题】已知实数[0,1]m ∈，[0,2]n ∈，则关于x 的一元二次方程224420x mx n n +-+=有实数根的概率是（ ） A ．14π- B ．4πC ．32π-D ．12π-【答案】A考点：几何概型．11. 【四川省成都市2017届高中毕业班摸底测试数学（理）试题】某班50名学生中有女生20名，按男女比例用分层抽样的方法，从全班学生中抽取部分学生进 行调查，已知抽到的女生有4名，则本次调查抽取的人数是（ ）A ．8B ．10C ．12D ．15 【答案】B 【解析】试题分析：因为50名学生中有女生20名，按男女比例用分层抽样的方法，抽到的女生有4名，所以本次调查抽取的人数是4501020⨯=，故选B. 考点：分层抽样的应用.12. 【广东省惠州市2017届高三第一次调研考试数学（理）试题】某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程 y bx a =⋅+ 的b 约等于9，据 此模型预报广告费用为6万元时，销售额约为（ ）。

A ．54万元B ．55万元C ．56万元D ．57万元 【答案】D 【解析】1245102635493,3044x y ++++++==== ，中心点为()3,30，代入回归方程得 30273a a =+∴= 936y x x ∴=+∴=时 57y =.考点：回归方程.13. 【湖北省襄阳市第四中学2017届高三七月第二周周考数学（理）试题】已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m,n 的比 值mn＝（ ）A ．1B ．13C ．29D ．38【答案】D考点：由茎叶图求中位数及平均数．二．能力题组1. 【2017年普通高等学校招生全国统一考试（长郡中学高三入学考试）（理）】 （本小题满分12分）某城市城镇化改革过程中最近五年居民生活用水量逐年上升，下表是2011年至2015年的统计数据：（1）利用所给数据求年居民生活用水量与年份之间的回归方程y bx a =+；（2）根据改革方案，预计在2020年底城镇改革结束，到时候居民的生活用水量将趋于稳定，预测该城市2023年的居民生活用水量.参考公式：^1221()ni ii nii x y nx yb xn x ==-=-∑∑，^^^a yb x =-.【答案】(1) 13(2013)260.2y x =-+ ；(2)351.2万吨.解法二：由所给数据可以看出，年需求量与年份之间的是近似值直线上升，为此时数据预处理如下表：对预处理后的数据，容易算得：110n i i x x n ===∑，11 3.2ni i y y n ===∑，考点：线性回归方程及其应用.2. 【湖南省长沙市长郡中学2017届高三摸底考试数学（理）试题】（本小题满分12分） 长郡中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查，如下表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）将学生日均课外体育运动时间在[40,60)上的学生评价为“课外体育达标”.（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面22⨯列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？（2）将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该校高三学生中，抽取3名学生，记被抽取的3名学生中的“课外体育达标”学生人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的数学期望和方差.参考公式：22()()()()()n ad bcka b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.参考数据：【答案】（1）列联表见解析，不能判断“课外体育达标”与性别有关；（2）期望为4，方差为9 16．（2）由表中数据可得，抽到“课外体育达标”学生的频率为0.25，将频率视为概率，∴X～1 (3,)4 B，∴13()344E X=⨯=，139()34416D X=⨯⨯=.考点：列联表，独立性检验，二项分布．3. 【江西省新余市第一中学2017届高三上学期调研考试（一）（开学考试）】（本小题满分12分）全国人大常委会会议于2015年12月27日通过了关于修改人口与计划生育法的决定, “全面二孩”从2016年元旦起开始实施,A市妇联为了解该市市民对“全面二孩”政策的态度,随机抽取了男性市民30人、女性市民70人进行调查, 得到以下的22⨯列联表：（1）根椐以上数据，能否有090的把握认为A市市民“支持全面二孩”与“性别”有关？（2）现从持“支持”态度的市民中再按分层抽样的方法选出15名发放礼品，分别求所抽取的15人中男性市民和女性市民的人数；(3) 将上述调查所得到的频率视为概率,.现在从A 市所有市民中,采用随机抽样的方法抽取3位市民进行长期跟踪调查, 记被抽取的3位市民中持“支持”态度人数为X . ①求X 的分布列；②求X 的数学期望()E X 和方差()D X . 参考公式：()()()()()22n ad bc K a b a d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++ 参考数据：【答案】（1）没有90%的把握；（2）男4人，女11人；（3）①分布列见解析；②期望为5，方差为1825．3332()()()(0,1,2,3)55k k k P X k C k -===.（8分）从而X 的分布列为：(ii)E(X)=np=39355⨯=;D(X)=np(1-p)=321835525⨯⨯=. (12分) 考点：独立性检验，分层抽样，二项分布，随机变量分布列，数学期望，方差． 4. 【江苏省南京市2017届高三上学期学情调研卷数学试题】（本小题满分10分）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜．投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束．设甲每次投篮命中的概率为 25，乙每次投篮命中的概率为 23，且各次投篮互不影响．现由甲先投． （1）求甲获胜的概率；（2）求投篮结束时甲的投篮次数X 的分布列与期望．【答案】（1）62125；（2）分布列见解析，数学期望为3125．（2）X 所有可能取的值为1，2，3．则 P (X ＝1)＝25＋35×23＝45；P (X ＝2)＝225＋35×13×35×23＝425；P (X ＝3)＝(35)2×(13)2×1＝125．即X 的概率分布列为……………………… 8分所以X 的数学期望E (X )＝1×45＋2×425＋3×125＝3125． ………………………10分考点：互斥事件的概率，随机变量的概率分布列和数学期望．5. 【江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试数学试题】（本小题满分10分）在公园游园活动中有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球和2个黑球，乙箱子里装有1个白球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同；每次游戏都从这两个箱子里各随机地摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）（1）求在一次游戏中摸出3个白球的概率；（2）在两次游戏中，记获奖次数为X，求X的数学期望．【答案】（1）15，（2）7()5E X考点：概率分布与数学期望【方法点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X ～B(n ，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.6. 【山西省长治二中、临汾一中、康杰中学、晋城一中2017届高三第一次联考数学（理）试题】(本小题满分12分)甲、乙两人组成“火星队”参加投篮游戏，每轮游戏中甲、乙各投一次，如果两人都投中，则“火星队”得4分；如果只有一人投中，则“火星队”得2分；如果两人都没投中，则“火星队”得0分.已知甲每次投中的概率为54，乙每次投中的概率为43；每轮游戏中甲、乙投中与否互不影响，假设“火星队”参加两轮游戏，求： （I ）“火星队”至少投中3个球的概率；（II ）“火星队”两轮游戏得分之和X 的分布列和数学期望EX. 【答案】（I ）5039（II ）315EX（Ⅱ）X 的所有可能的取值为0，2,4，6，8， ……………6分400151415141)0(=⋅⋅⋅==X P , , 20074001451415441514151432)2(==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅==）（X P ,40073544154415143514351435441514154432)4(=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅==）（X P 502140016854415443514354432)6(==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅==）（X P25940014454435443)8(==⋅⋅⋅==X P …………………………………………10分∴X 的分布列为…………11分5314001448400168640073440014240010=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=EX …………12分 考点：互斥事件概率，概率分布与数学期望【方法点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义； 第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X ～B(n ，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.7. 【广东省珠海市2017届高三9月摸底考试数学（理）试题】（本小题满分12分）自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”，“生二孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：（1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；②如果用ξ表示两种方案休假周数之和．求随机变量ξ的分布列及数学期望．【答案】（1）141 20050P==，2162 20025P==；（2）①63()105P A==；②ξ的分布列为()290.1300.1310.2320.2330.2340.1350.132 Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【解析】（2）①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件A ，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选 法共有2510C =（种），其和不低于32周的选法有（14，18）、（15，17）、（15，18）、（16，17）、（16，18）、（17，18），共6种，由古典概型概率计算公式得63()105P A ==． ②由题知随机变量ξ的可能取值为29，30，31，32，33，34，35． 1(29)0.110P ξ===，12(30)0.1,(31)0.21010P P ξξ======， 2211(32)0.2,(33)0.2,(34)0.1,(35)0.110101010P P P P ξξξξ============因而ξ的分布列为所以()290.1300.1310.2320.2330.2340.1350.132E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 考点：1.古典概型；2.离散型随机变量的分布列；3.数学期望.【方法点睛】本题主要考查了利用古典概型计算公式计算概率、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生基本的统计知识和综合应用知识的能力，属中档题.对于第一问利用古典概型计算公式计算概率，其解题的关键是正确地列举基本事件的个数和满足事件的基本事件的个数；对于第二问求解离散型随机变量的分布列和数学期望，其解题的关键是正确地求出随机变量取值时的概率.8. 【河南省天一大联考2017届高三上学期阶段性测试（一）数学（理）试题】（本小题满分12分）某中学为了了解全校学生的上网情况，在全校采用随机抽样的方法抽取了40名学生（其中男女生人数恰好各占一半）进行问卷调查，并进行了统计，按男女分为两组，再将每组学生的月上网次数分为5组：[0,5)，[5,10)，[10,15)，[15,20)，[20,25]，得到如图所示的频率分布直方图：（Ⅰ）写出a的值；（Ⅱ）在抽取的40名学生中，从月上网次数不少于20次的学生中随机抽取3人，并用X 表示其中男生的人数，求X的分布列和数学期望.【答案】（I）0.05；（II）分布列见解析，9 5 .考点：频率分布直方图，超几何分布．9. 【四川省成都市2017届高中毕业班摸底测试数学（理）试题】（本小题满分12分）王师傅为响应国家开展全民健身运动的号召，每天坚持“健步走”，并用计步器对每天的“健步走”步数进行统计，他从某个月中随机抽取10天“健步走”的步数，绘制出的频率分布直方图如图所示.（1）试估计该月王师傅每天“健步走”的步数的中位数及平均数（精确到小数点后1位）；（2）某健康组织对“健步走”结果的评价标准为：现从这10天中随机抽取2天，求这2天的“健步走”结果不属于同一评价级别的概率.【答案】（1）12.3，11.8；（2）13.所抽取的2天属于同一评价级别的情况只有12a a ，12b b ，共2种.∴从统计的这10天中评价级别是“良好”或“及格”的天数里随机抽取的2天，属于同一评价级别的概率是13. 考点：1、频率分布直方图，中位数及平均数；2、古典概型概率公式.10. 【广东省惠州市2017届高三第一次调研考试数学（理）试题】（本小题满分12分） 4月23日是世界读书日，惠州市某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动。